GRAFICE

GRAFICE

TEOREM. Fie f:E(R, E interval , o funcie derivabil. Atunci: (1) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este cresctoare pe E; (2) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este descresctoare pe E; (3) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este strict cresctoare pe E; (4) Dac f(x)(0, (x(E, atunci f este strict descresctoare pe E.

DEF. O funcie f:E(R, E(R interval, se numete convex ( (ine ap() pe intervalul E dac (x1,x2(E, (t([0;1] are loc inegalitatea f((1(t)x1+tx2)((1(t)f(x1)+tf(x2).

DEF. O funcie f:E(R, E(R interval, se numete concav ( (nu ine ap() pe intervalul E dac (x1,x2(E, (t([0;1] are loc inegalitatea f((1(t)x1+tx2)((1(t)f(x1)+tf(x2).

INTERPRETARE GEOMETRIC. Dac f este convex graficul funciei se afl sub orice coard obinut unind dou puncte situate pe graficul funciei. Dac f este concav graficul funciei se afl deasupra oricrei coarde obinute unind dou puncte situate pe graficul funciei.

TEOREM. Fie o funcie f:[a;b](R, a,b(R, a(b o funcie de dou ori derivabil pe [a;b]. (1) Dac f((0, (x((a;b), atunci funcia f este convex pe intervalul [a;b]. (2) Dac f((0, (x((a;b), atunci funcia f este concav pe intervalul [a;b].

TEOREM. Fie f:E(R, E interval i x0(E. Dac f este de dou ori derivabil ntr-o vecintate V a lui x0 i dac exist dou numere (,((V astfel nct: (1) ((x0((; (2) f((x0)=0; (3) (f((0 pe ((;x0) i f((0 pe (x0;()) sau (f((0 pe ((;x0) i f((0 pe (x0;()), atunci x0 este punct de inflexiune pentru f. Punctul M(x0;f(x0)) se numete punct de inflexiune al graficului.

TEOREM. Fie f:(a;b)(R i x0((a;b) un punct de extrem pentru f. Atunci: (1) Dac f((x0)(0, atunci x0 este punct de minim local pentru f. (2) Dac f((x0)(0, atunci x0 este punct de maxim local pentru f.DEF. Se spune c dreapta x=a este asimptot vertical la stnga a lui f, dac: sau .DEF. Se spune c dreapta x=a este asimptot vertical la dreapta lui f, dac: sau .

DEF. Se spune c dreapta x=a este asimptot vertical a lui f dac ea este asimptot vertical att la stnga ct i la dreapta sau numai lateral.

DEF. Dac , b finit , atunci dreapta y=b este asimptot orizontal spre +( pentru f.

DEF. Dac , b finit , atunci dreapta y=b este asimptot orizontal spre (( pentru f.

DEF. Se spune c dreapta y=mx+n este asimptot oblic la ramura spre +( a funciei f, dac distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre zero cnd x tinde ctre +(, adic dac: .DEF. Se spune c dreapta y=mx+n este asimptot oblic la ramura spre (( a funciei f, dac distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre zero cnd x tinde ctre ((, adic dac: .

TEOREM. Dreapta y=mx+n este asimptot oblic la ramura spre +( a funciei f, dac i numai dac: , m,n finite i m(0.TEOREM. Dreapta y=mx+n este asimptot oblic la ramura spre (( a funciei f, dac i numai dac: , m,n finite i m(0.

ALGORITM PENTRU TRASAREA GRAFICULUI FUNCIEI

1. Domeniul de definiie al funciei. Acesta poate fi indicat explicit n problem sau, n caz contrar, determinm domeniul maxim de definiie ( punem condiiile de existen). Determinarea perioadei: dac funcia este periodic studiem funcia doar pe un interval egal cu o perioad. Determinarea simetriilor: dac funcia este par ( f(-x)=f(x) ) atunci graficul funciei este simetric n raport cu axa Oy, iar dac funcia este impar ( f(-x)=-f(x) ) atunci graficul funciei este simetric n raport cu originea O a reperului cartezian ales. Determinarea interseciilor graficului funciei cu axele de coordonate: Gf(Oy dac 0(E atunci A(0,f(0))=Gf(Oy. Gf(Ox se rezolv ecuaia f(x)=0 i se rein soluiile xi(E. Punctele Bi(xi,0)=Gf(Ox . Calcularea valorilor sau limitelor lui f la capetele intervalelor lui E. 2. Asimptote. Orizontale. Oblice, doar dac nu are asimptote orizontale. Verticale , se caut doar n punctele de discontinuitate ale funciei.3. Derivata nti. Se stabilete mulimea punctelor n care funcia este derivabil i se precizeaz natura punctelor n care f nu este derivabil (puncte unghiulare, puncte de ntoarcere). Se calculeaz f. Se rezolv ecuaia f(x)=0. Soluiile xi ale ecuaiei sunt eventuale puncte de minim sau de maxim ale lui f. Se calculeaz f(xi). Se stabilete semnul lui f pe intervale.

4. Derivata a doua. Se calculeaz derivata a doua, f(. Se rezolv ecuaia f((x)=0. Soluiile x(i(E fiind eventualele puncte de inflexiune ale graficului. Se calculeaz f(x((i). Se stabilete semnul lui f( pe intervale.

5. Tabelul de variaie.

xDomeniul de definiie. Punctele: (xi;f(xi)), (xi;f(xi)), (x(i;f(x(i)), (0;f(0)).

f(x)Rdcinile i semnul funciei f

f(x)Valorile lui f i monotonia funciei

f((x)Rdcinile i semnul funciei f(, concavitate sau convexitate

6. Trasarea graficului. ntr-un sistem cartezian de coordonate xOy se trec mai nti asimptotele, apoi punctele: (xi;f(xi)), (xi;f(xi)), (x(i;f(x(i)), (0;f(0)). Aceste puncte se unesc printr-o curb continu, innd seama de asimptote, monotonie, convexitate, concavitate. PAGE 3

_1091524912.unknown

_1091525945.unknown

_1091526225.unknown

_1091526319.unknown

_1091526448.unknown

_1091526152.unknown

_1091525780.unknown

_1091524869.unknown

_1091524905.unknown

_1091524807.unknown