set concurs 1

A

CONCURSUL NAŢIONAL STUDENŢESC “TRAIAN LALESCU” BUCUREŞTI, mai 2008

1. Fie , unde , ,

, şi , ( este mulţimea matricilor cu trei linii şi o coloană cu elemente din , iar

este transpusa lui ).a) Să se arate că este un produs scalar pe şi să se

găsească o bază ortonormată a lui în raport cu care matricea lui să fie diagonală.

b) Să se arate că pentru orice .c) Dacă sunt coordonatele unui punct din plan şi , ce reprezintă ecuaţia , unde .

2. Fie spatiul vectorial al functiilor continue definite pe intervalul [-1,1] cu valori reale si, pentru orice , fie functia de doua

variabile

a) Sa se arate ca este un produs scalar pe b) Sa se gaseasca o baza ortonormata in subspatiul generat

de monoamele relativ la produsul scalar c) Fie functia de doua variabile Sa

se arate ca functia are un unic minim . Dati o interpretare geometrica pentru acest rezultat.

3. Fie , , . Să se calculeze:

.

4. Fie funcţia , .

Să se studieze continuitatea şi diferenţiabilitatea în origine a funcţiei f.