no¸tiunea de spa¸tiu liniar liniara dependen¸t˘ a˘ spatii...

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii liniare

1 Notiunea de spatiu liniarExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

2 Liniara dependentaMultime infinita liniar independenta

3 Dimensiune si bazaSpatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare debaza

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Notiunea de spatiu liniar

Fie Γ corpul numerelor reale Γ = R sau complexe Γ = C.

Definitie

Se numeste spatiu liniar (vectorial) peste Γ o multime Vînzestrata cu cu doua legi de compozitie:-o lege interna ” + ” : VxV → V , (u, v)→ u + v , ∀u, v ∈ V-o lege externa ” · ” : ΓxV → V , (λ,u)→ λ · u, ∀u ∈ V , λ ∈ Γfata de care sunt satisfacute axiomele:

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Definitie1 (u + v) + w = u + (u + w) ∀u, v ,w ∈ V2 ∃0V ∈ V , astfel ca u + 0V = 0V + u = u, ∀u ∈ V3 ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V astfel ca u + (−u) = (−u) + u = 0V

4 u + v = v + u, ∀u, v ∈ V5 λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∀λ ∈ Γ, u, v ∈ V6 (λ+ µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V7 λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V8 1 · u = u

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Observatii

Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din Γ scalari.

1. (V ,+) formeaza grup abelian.

2. În axioma 6. in membrul I este + dintre scalari, iar inmembrul II intre vectori.

3. În axioma 8. 1 este elementul neutru la înmultirea din corpulΓ.

4. Notam cu 0 elementul neutru fata de adunarea din Γ.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Consecinte

1 λ · 0V = 0V , ∀λ ∈ Γ

2 0 · u = 0V , ∀u ∈ V3 λ · u = 0V ⇔ λ = 0 sau u = 0V

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Exemple

1 V = Rn,n ∈ N fata de R.2 F = {f : R→ R, f functie}fata de R.3 Multimea vectorilor din spatiu fata de R.4 Multimea polinoamelor cu coeficienti reali R[X ] fata de R.5 Multimea matricelor Mmn(Γ) fata de Γ.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Subspatiu liniar

DefinitieFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V se numeste subspatiuliniar daca V1 împreuna cu restrictiile operatiilor de adunare siînmultire cu scalari formeaza o structura de spatiu liniar.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Caracterizarea unui subspatiu

TeoremaFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V este subspatiu liniardaca si numai daca au loc

1 ∀u, v ∈ V1 rezulta u + v ∈ V1

2 ∀u ∈ V1, λ ∈ Γ rezulta λ · u ∈ V1.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Exemple

1 V1 = C[a,b] multimea functiilor continue pe [a,b] estesubspatiu in F

2 V1 = {u = (x1, x2, x3) | x1− x2 + 2x3 = 0} este subspatiu inR3.

3 Daca V1,V2 ⊂ V sunt doua subspatii liniare, atunciintersectia lor este subspatiu liniar

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Acoperire (înfasuratoare) liniara

Definitie

Fie V spatiu liniar peste Γ. Numim combinatie liniara aelementelor u1,u2, · · · ,un ∈ V , n ∈ N elementul de forma

n∑i=1

λi · ui = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un, λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n.

Definitie

Fie V spatiu liniar peste Γ si A ⊂ V. Numim acoperire liniara amultimii A , multimea tuturor combinatiilor liniare finite cuelemente din A.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Notam cu Sp A spatiul generat. Deci

Sp A =

{u =

n∑i=1

λi · ui λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n,ui ∈ A,n ∈ N

}.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Proprietati

TeoremaSp A este subspatiu liniar peste Γ.

TeoremaSpA coincide cu intersectia tuturor subspatiilor care contin A.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Multime infinita liniar independenta

Liniara dependenta

Definitie

Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar dependenti dacaexista scalarii λi , i = 1, · · · ,n,n ∈ N nu toti nuli astfel ca

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

Definitie

Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar independenti dacadin

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

rezultaλi = 0,∀i = 1, · · · ,n

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Multime infinita liniar independenta

Exemple.Caracterizare a dependentei liniare

1. Vectorul {0V} este liniar dependent.2. Orice vector u 6= 0V este liniar independent.

TeoremaVectorii u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti daca si numaidaca un vector este o combinatie liniara a celorlalti.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Multime infinita liniar independenta

Demonstratie.

⇒ Presupunem ca u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti. Existascalarii λi , i = 1,n, nu toti nuli astfel ca

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

Schimbând eventual ordinea presupunem ca λ1 6= 0. Împartimprin λ1 avem

u1 = −λ2

λ1· u2 − · · · −

λn

λ1· un

⇐ Presupunem ca u1 este o combinatie liniara de ceilalti;Exista deci β2, · · · , βn astfel ca

u1 = β2 · u2 + · · ·+ βn · un.

De unde obtinem

1 · u1 − β2 · u2 − · · · − βn · un = 0V .

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Multime infinita liniar independenta

Multime infinita liniar independenta

Definitie

Multimea V1 ⊂ V, infinita, se numeste liniar independenta dacaorice n elemente sunt linar independente, ∀n ∈ N.

Definitie

Spatiul V se numeste infinit dimensional daca contine osubmultime infinita liniar independenta.

Spatiul F este infinit dimensional, deoarece multimea1, x , x2, x3, . . . , xn, · · · este o submultime infinit dimensionala.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Notiunile de dimensiune si baza

Definitie

Spatiul V are dimensiunea n, n ∈ N daca contine n elementeliniar independente si oricare n + 1 sunt liniar dependente.

Definitie

Nimim baza a unui spatiu n- dimensional oricare n vectori liniarindependenti.

Daca {u1, · · · ,un} formeaza o baza , notam B = {u1, · · · ,un}.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Exemple

În spatul Rn, spatiu liniar peste R vectoriie1 = (1,0, · · · ,0)e2 = (0,1,0, · · · ,0)· · ·en = (0,0, · · · ,1)formeaza o baza numita baza canonica sau uzuala.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Caracterizare a unei baze

TeoremaMultimea B = {u1, · · · ,un} este o baza a spatiului liniarn-dimensional V daca si numai daca orice element u ∈ Vpoate fi scris unic ca o combinatie liniara de vectorii bazei.

Aceasta înseamna ca exista scalarii λ1, · · · , λn ∈ Γ unicdeterminati astfel ca u = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un.λ1, · · · , λn se numesc coordonatele vectorului u în baza B.Vom mai nota (λ1, · · · , λn)B sau sub forma unei matrice:

X =

λ1λ2· · ·λn

.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Demonstratie

⇒ Deoarece V are dimensiunea n si B = {u1, · · · ,un} este obaza, rezulta ca multimea {u,u1, · · · ,un} este liniardependenta. Exista scalarii α1, α2, · · · , αn+1 nu toti nuli astfel ca

α1 · u1 + · · ·+ αn · un + αn+1 · u = 0V .

Observam ca αn+1 6= 0, deoarece în caz contrar ar rezultau1, · · · ,un sunt liniar dependenti.Rezulta u = − α1

αn+1· u1 − · · · −

α1

αn+1· un.

Aratam unicitatea scalarilor. Presupunem ca

u = β1 · u1 + · · ·+ βn · un = γ1 · u1 + · · ·+ γn · un.

Rezulta (β1 − γ1) · u1 + · · ·+ (βn − γn) · un = 0V , deci βi = γi .

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

⇐ Fie B = {u1, · · · ,un} cu proprietatea ca orice vector seexprima unic ca o combinatie liniara.În particular pentru vectorul 0V exista scalariiα1 = · · · = αn = 0, unic determinati astfel ca

0V = α1 · u1 + · · ·+ αn · un.

Deci u1, · · · ,un sunt liniar independenti.Cum orice u 6= 0V se exprima ca o combinatie liniara deu1, · · · ,un rezulta ca {u,u1, · · · ,un} este liniar dependenta,deci spatiul are dimensiunea n si B este o baza.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Exemple

1. Multimea polinoamelor cu coeficienti reali, de grad ≤ n,Rn[X ] este spatiu liniar de dimensiune n + 1.

2. Multimea matricelorMmn(R) este spatiu liniar dedimensiune m · n.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Caracterizarea rangului unei matrice

TeoremaFie A ∈Mm,n(Γ). Atunci are loc

rang (A) = dim Sp{L1, · · · ,Lm} = dim Sp{C1, · · · ,Cn}, (1)

unde Li , i = 1, · · · ,m sunt liniile, iar Ci , i = 1, · · · ,n coloanelematricei A.

Demonstratie. Demonstram ca

rang (A) = dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (2)

Notam r = rang (A) ≤ min{m,n}. Aratam ca

r ≤ dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (3)

Pentru aceasta este suficient sa aratam ca primele r coloane(schimbând eventual ordinea)sunt liniar independente .

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Fie combinatia liniara λ1C1 + · · ·+ λr Cr = 0Rm , echivalenta cuλ1a11 + λ2a12 + · · ·+ λr a1r = 0

· · ·λ1ar1 + λ2ar2 + · · ·+ λr arr = 0

· · ·λ1am1 + λ2am2 + · · ·+ λr amr = 0

Notam B = (aij), i , j = 1, · · · , r si din definitia rangului lui A,det (B) 6= 0. Primele r linii devin

B

λ1· · ·λr

=

0· · ·0

.

Amplificând la stânga cu B−1, rezulta λi = 0, i = 1, · · · , r , deci(3) este adevarata.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Reciproc

Fie

∆ik =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1r a1k· · · · · · · · · · · ·ar1 · · · arr arkai1 · · · air aik

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Daca i ≤ r sau k ≤ r , avem evident ∆ik = 0. Fixamk = 1, · · · ,n si dezvoltam ∆ik dupa ultima linie. Avem

∆ik = A1ai1 + A2ai2 + · · ·+ Ar air + det(B)aik = 0.

aik = − A1

det(B)ai1 − · · · −

Ar

det(B)air , i = 1, · · ·m.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Deducem

Ck = − A1

det(B)C1 − · · · −

Ar

det(B)Cr .

Deci pentru k = r + 1, · · · ,n coloanele Ck sunt liniardependente de primele r coloane. Rezulta

dim Sp{C1, · · · ,Cr} ≤ r . (4)

Din (3) si (4) rezulta (2); teorema este demonstrata dacaobservam ca rang A = rang At .

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Consecinta.

Multimea solutiilor unui sistem liniar si omogen este spatiu liniarde dimensiune n − r unde

n este numarul de necunoscuter este rangul matricei.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Matricea de schimbare de baza

Fie V un spatiu n dimensional si bazele B = {e1, · · · ,en} siB′ = {e′1, · · · ,e′n}.Vectorii e′i se exprima în mod unic in functie de vectorii bazei Bdupa formulele

e′i =n∑

j=1

cji · ej . (5)

Matricea C = (cji), i , j = 1, · · · ,n se numeste matrice deschimbare de baza.Observatie Matricea C are pe coloane coordonatele vectorilore′i în baza B si evident det (C) 6= 0.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbarede baza

TeoremaFie V un spatiu n dimensional în care avem bazeleB = {e1, · · · ,en} si B′ = {e′1, · · · ,e′n}.Fie vectorul u ∈ V care are coordonatele (α1, · · · , αn)B sirespectiv (α′1, · · · , α′n)B′ în cele doua baze.Atunci are loc

α′1α′2· · ·α′n

= C−1

α1α2· · ·αn

(6)

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Demonstratie

Vectorul u poate fi scris în cele doua baze

u =n∑

i=1

α′i · e′i =n∑

j=1

αj · ej .

Înlocuim (5) si avem

u =n∑

i=1

α′i · e′i =n∑

i=1

α′i

n∑j=1

cji · ej =

=n∑

j=1

(n∑

i=1

cjiα′i) · ej

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Din unicitatea exprimarii unui vector avem

αj =n∑

i=1

cjiα′i , ∀j = 1, · · · ,n

Matriceal devine α1α2· · ·αn

= C

α′1α′2· · ·α′n

Deoarece matricea C este nesingulara, afirmatia este dovedita.

Spatii liniare

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Daca notam

X =

α1α2· · ·αn

X ′ =

α′1α′2· · ·α′n

relatia (6) devine

X ′ = C−1X . (7)

Spatii liniare