no¸tiunea de spa¸tiu liniar liniara dependen¸t˘ a˘ spatii...

Notiunea de spatiu liniarLiniara dependentaDimensiune si baza

Spatii liniare

1 Notiunea de spatiu liniarExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

2 Liniara dependentaMultime infinita liniar independenta

3 Dimensiune si bazaSpatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare debaza

Spatii liniare


ExempleSubspatiu liniarAcoperire (înfasuratoare) liniara

Notiunea de spatiu liniar

Fie Γ corpul numerelor reale Γ = R sau complexe Γ = C.

Definitie

Se numeste spatiu liniar (vectorial) peste Γ o multime Vînzestrata cu cu doua legi de compozitie:-o lege interna ” + ” : VxV → V , (u, v)→ u + v , ∀u, v ∈ V-o lege externa ” · ” : ΓxV → V , (λ,u)→ λ · u, ∀u ∈ V , λ ∈ Γfata de care sunt satisfacute axiomele:

Spatii liniare



Definitie1 (u + v) + w = u + (u + w) ∀u, v ,w ∈ V2 ∃0V ∈ V , astfel ca u + 0V = 0V + u = u, ∀u ∈ V3 ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V astfel ca u + (−u) = (−u) + u = 0V

4 u + v = v + u, ∀u, v ∈ V5 λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∀λ ∈ Γ, u, v ∈ V6 (λ+ µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V7 λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ Γ, u ∈ V8 1 · u = u

Spatii liniare



Observatii

Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din Γ scalari.

1. (V ,+) formeaza grup abelian.

2. În axioma 6. in membrul I este + dintre scalari, iar inmembrul II intre vectori.

3. În axioma 8. 1 este elementul neutru la înmultirea din corpulΓ.

4. Notam cu 0 elementul neutru fata de adunarea din Γ.

Spatii liniare



Consecinte

1 λ · 0V = 0V , ∀λ ∈ Γ

2 0 · u = 0V , ∀u ∈ V3 λ · u = 0V ⇔ λ = 0 sau u = 0V

Spatii liniare



Exemple

1 V = Rn,n ∈ N fata de R.2 F = {f : R→ R, f functie}fata de R.3 Multimea vectorilor din spatiu fata de R.4 Multimea polinoamelor cu coeficienti reali R[X ] fata de R.5 Multimea matricelor Mmn(Γ) fata de Γ.

Spatii liniare



Subspatiu liniar

DefinitieFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V se numeste subspatiuliniar daca V1 împreuna cu restrictiile operatiilor de adunare siînmultire cu scalari formeaza o structura de spatiu liniar.

Spatii liniare



Caracterizarea unui subspatiu

TeoremaFie V un spatiu liniar peste Γ. V1 ⊂ V este subspatiu liniardaca si numai daca au loc

1 ∀u, v ∈ V1 rezulta u + v ∈ V1

2 ∀u ∈ V1, λ ∈ Γ rezulta λ · u ∈ V1.

Spatii liniare



Exemple

1 V1 = C[a,b] multimea functiilor continue pe [a,b] estesubspatiu in F

2 V1 = {u = (x1, x2, x3) | x1− x2 + 2x3 = 0} este subspatiu inR3.

3 Daca V1,V2 ⊂ V sunt doua subspatii liniare, atunciintersectia lor este subspatiu liniar

Spatii liniare



Acoperire (înfasuratoare) liniara

Definitie

Fie V spatiu liniar peste Γ. Numim combinatie liniara aelementelor u1,u2, · · · ,un ∈ V , n ∈ N elementul de forma

n∑i=1

λi · ui = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un, λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n.

Definitie

Fie V spatiu liniar peste Γ si A ⊂ V. Numim acoperire liniara amultimii A , multimea tuturor combinatiilor liniare finite cuelemente din A.

Spatii liniare



Notam cu Sp A spatiul generat. Deci

Sp A =

{u =

n∑i=1

λi · ui λi ∈ Γ, i = 1, · · · ,n,ui ∈ A,n ∈ N

}.

Spatii liniare



Proprietati

TeoremaSp A este subspatiu liniar peste Γ.

TeoremaSpA coincide cu intersectia tuturor subspatiilor care contin A.

Spatii liniare


Multime infinita liniar independenta

Liniara dependenta

Definitie

Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar dependenti dacaexista scalarii λi , i = 1, · · · ,n,n ∈ N nu toti nuli astfel ca

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

Definitie

Vectorii u1,u2, · · · ,un ∈ V se numesc liniar independenti dacadin

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

rezultaλi = 0,∀i = 1, · · · ,n

Spatii liniare



Exemple.Caracterizare a dependentei liniare

1. Vectorul {0V} este liniar dependent.2. Orice vector u 6= 0V este liniar independent.

TeoremaVectorii u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti daca si numaidaca un vector este o combinatie liniara a celorlalti.

Spatii liniare



Demonstratie.

⇒ Presupunem ca u1,u2, · · · ,un sunt liniar dependenti. Existascalarii λi , i = 1,n, nu toti nuli astfel ca

λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un = 0V

Schimbând eventual ordinea presupunem ca λ1 6= 0. Împartimprin λ1 avem

u1 = −λ2

λ1· u2 − · · · −

λn

λ1· un

⇐ Presupunem ca u1 este o combinatie liniara de ceilalti;Exista deci β2, · · · , βn astfel ca

u1 = β2 · u2 + · · ·+ βn · un.

De unde obtinem

1 · u1 − β2 · u2 − · · · − βn · un = 0V .

Spatii liniare




Definitie

Multimea V1 ⊂ V, infinita, se numeste liniar independenta dacaorice n elemente sunt linar independente, ∀n ∈ N.

Definitie

Spatiul V se numeste infinit dimensional daca contine osubmultime infinita liniar independenta.

Spatiul F este infinit dimensional, deoarece multimea1, x , x2, x3, . . . , xn, · · · este o submultime infinit dimensionala.

Spatii liniare


Spatii n-dimensionaleSchimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de baza

Notiunile de dimensiune si baza

Definitie

Spatiul V are dimensiunea n, n ∈ N daca contine n elementeliniar independente si oricare n + 1 sunt liniar dependente.

Definitie

Nimim baza a unui spatiu n- dimensional oricare n vectori liniarindependenti.

Daca {u1, · · · ,un} formeaza o baza , notam B = {u1, · · · ,un}.

Spatii liniare



Exemple

În spatul Rn, spatiu liniar peste R vectoriie1 = (1,0, · · · ,0)e2 = (0,1,0, · · · ,0)· · ·en = (0,0, · · · ,1)formeaza o baza numita baza canonica sau uzuala.

Spatii liniare



Caracterizare a unei baze

TeoremaMultimea B = {u1, · · · ,un} este o baza a spatiului liniarn-dimensional V daca si numai daca orice element u ∈ Vpoate fi scris unic ca o combinatie liniara de vectorii bazei.

Aceasta înseamna ca exista scalarii λ1, · · · , λn ∈ Γ unicdeterminati astfel ca u = λ1 · u1 + λ2 · u2 + · · ·+ λn · un.λ1, · · · , λn se numesc coordonatele vectorului u în baza B.Vom mai nota (λ1, · · · , λn)B sau sub forma unei matrice:

X =

λ1λ2· · ·λn

.

Spatii liniare



Demonstratie

⇒ Deoarece V are dimensiunea n si B = {u1, · · · ,un} este obaza, rezulta ca multimea {u,u1, · · · ,un} este liniardependenta. Exista scalarii α1, α2, · · · , αn+1 nu toti nuli astfel ca

α1 · u1 + · · ·+ αn · un + αn+1 · u = 0V .

Observam ca αn+1 6= 0, deoarece în caz contrar ar rezultau1, · · · ,un sunt liniar dependenti.Rezulta u = − α1

αn+1· u1 − · · · −

α1

αn+1· un.

Aratam unicitatea scalarilor. Presupunem ca

u = β1 · u1 + · · ·+ βn · un = γ1 · u1 + · · ·+ γn · un.

Rezulta (β1 − γ1) · u1 + · · ·+ (βn − γn) · un = 0V , deci βi = γi .

Spatii liniare



⇐ Fie B = {u1, · · · ,un} cu proprietatea ca orice vector seexprima unic ca o combinatie liniara.În particular pentru vectorul 0V exista scalariiα1 = · · · = αn = 0, unic determinati astfel ca

0V = α1 · u1 + · · ·+ αn · un.

Deci u1, · · · ,un sunt liniar independenti.Cum orice u 6= 0V se exprima ca o combinatie liniara deu1, · · · ,un rezulta ca {u,u1, · · · ,un} este liniar dependenta,deci spatiul are dimensiunea n si B este o baza.

Spatii liniare



Exemple

1. Multimea polinoamelor cu coeficienti reali, de grad ≤ n,Rn[X ] este spatiu liniar de dimensiune n + 1.

2. Multimea matricelorMmn(R) este spatiu liniar dedimensiune m · n.

Spatii liniare



Caracterizarea rangului unei matrice

TeoremaFie A ∈Mm,n(Γ). Atunci are loc

rang (A) = dim Sp{L1, · · · ,Lm} = dim Sp{C1, · · · ,Cn}, (1)

unde Li , i = 1, · · · ,m sunt liniile, iar Ci , i = 1, · · · ,n coloanelematricei A.

Demonstratie. Demonstram ca

rang (A) = dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (2)

Notam r = rang (A) ≤ min{m,n}. Aratam ca

r ≤ dim Sp{C1, · · · ,Cn}. (3)

Pentru aceasta este suficient sa aratam ca primele r coloane(schimbând eventual ordinea)sunt liniar independente .

Spatii liniare



Fie combinatia liniara λ1C1 + · · ·+ λr Cr = 0Rm , echivalenta cuλ1a11 + λ2a12 + · · ·+ λr a1r = 0

· · ·λ1ar1 + λ2ar2 + · · ·+ λr arr = 0

· · ·λ1am1 + λ2am2 + · · ·+ λr amr = 0

Notam B = (aij), i , j = 1, · · · , r si din definitia rangului lui A,det (B) 6= 0. Primele r linii devin

B

λ1· · ·λr

=

0· · ·0

.

Amplificând la stânga cu B−1, rezulta λi = 0, i = 1, · · · , r , deci(3) este adevarata.

Spatii liniare



Reciproc

Fie

∆ik =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1r a1k· · · · · · · · · · · ·ar1 · · · arr arkai1 · · · air aik

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Daca i ≤ r sau k ≤ r , avem evident ∆ik = 0. Fixamk = 1, · · · ,n si dezvoltam ∆ik dupa ultima linie. Avem

∆ik = A1ai1 + A2ai2 + · · ·+ Ar air + det(B)aik = 0.

aik = − A1

det(B)ai1 − · · · −

Ar

det(B)air , i = 1, · · ·m.

Spatii liniare



Deducem

Ck = − A1

det(B)C1 − · · · −

Ar

det(B)Cr .

Deci pentru k = r + 1, · · · ,n coloanele Ck sunt liniardependente de primele r coloane. Rezulta

dim Sp{C1, · · · ,Cr} ≤ r . (4)

Din (3) si (4) rezulta (2); teorema este demonstrata dacaobservam ca rang A = rang At .

Spatii liniare



Consecinta.

Multimea solutiilor unui sistem liniar si omogen este spatiu liniarde dimensiune n − r unde

n este numarul de necunoscuter este rangul matricei.

Spatii liniare



Matricea de schimbare de baza

Fie V un spatiu n dimensional si bazele B = {e1, · · · ,en} siB′ = {e′1, · · · ,e′n}.Vectorii e′i se exprima în mod unic in functie de vectorii bazei Bdupa formulele

e′i =n∑

j=1

cji · ej . (5)

Matricea C = (cji), i , j = 1, · · · ,n se numeste matrice deschimbare de baza.Observatie Matricea C are pe coloane coordonatele vectorilore′i în baza B si evident det (C) 6= 0.

Spatii liniare



Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbarede baza

TeoremaFie V un spatiu n dimensional în care avem bazeleB = {e1, · · · ,en} si B′ = {e′1, · · · ,e′n}.Fie vectorul u ∈ V care are coordonatele (α1, · · · , αn)B sirespectiv (α′1, · · · , α′n)B′ în cele doua baze.Atunci are loc

α′1α′2· · ·α′n

= C−1

α1α2· · ·αn

(6)

Spatii liniare



Demonstratie

Vectorul u poate fi scris în cele doua baze

u =n∑

i=1

α′i · e′i =n∑

j=1

αj · ej .

Înlocuim (5) si avem

u =n∑

i=1

α′i · e′i =n∑

i=1

α′i

n∑j=1

cji · ej =

=n∑

j=1

(n∑

i=1

cjiα′i) · ej

Spatii liniare



Din unicitatea exprimarii unui vector avem

αj =n∑

i=1

cjiα′i , ∀j = 1, · · · ,n

Matriceal devine α1α2· · ·αn

= C

α′1α′2· · ·α′n

Deoarece matricea C este nesingulara, afirmatia este dovedita.

Spatii liniare



Daca notam

X =

α1α2· · ·αn

X ′ =

α′1α′2· · ·α′n

relatia (6) devine

X ′ = C−1X . (7)

Spatii liniare

no¸tiunea de spa¸tiu liniar liniara dependen¸t˘ a˘ spatii...

Documents