integrale cu parametru - grupa 5107 · pdf fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a...

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

1 Integrale cu parametruDefinitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

2 Integrale improprii cu parametru

3 Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Definitia integralei cu parametru

Definitia

Daca f : [a,b]× R→ R este o functie cu proprietatea ca pentruorice y ∈ R, exista integrala

F (y) =

∫ b

af (x , y)dx (1)

atunci F (y) se numeste integrala cu parametru.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Continuitatea integralei cu parametru

TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R este continua, atunci functia F este

continua pe [c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Derivabilitatea integralei cu parametru

TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R si au loc:i. ∀y ∈ [c,d ] exista integrala cu parametru

F (y) =

∫ b

af (x , y)dx

ii. exista∂f∂y

continua pe [a,b]× [c,d ]

atunci F este derivabila si

F ′(y) =

∫ b

a

∂f∂y

(x , y)dx . (2)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Teorema lui Leibniz

TeoremaFie integrala cu parametru

F (y) =

∫ β(y)

α(y)f (x , y)dx , y ∈ [c,d ]

si presupunem îndeplinite urmatoarele ipotezei. functiile α, β : [c,d ]→ [a,b] sunt derivabile,ii. f : [a,b]× [c,d ]→ R este o functie continua,

iii. exista∂f∂y

: [a,b]× [c,d ]→ R, continua

atunci F este derivabila si are loc formula

F ′(y) = f (β(y), y)β′(y)− f (α(y), y)α′(y) +

∫ β(y)

α(y)

∂f∂y

(x , y)dx .

(3)Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Integrarea unei integrale cu parametru

TeoremaFie f : [a,b]× [c,d ]→ R o functie continua, atunci are locformula∫ d

c

(∫ b

af (x , y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx . (4)

În conditiile teoremei vom spune ca putem schimba ordinea deintegrare.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralelor improprii cu parametru

Definitia

Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→+∞

∫ b

af (x , y)dx .

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralelor improprii cu parametru

Definitia

Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→+∞

∫ b

af (x , y)dx .

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitia integralelor improprii cu parametru

Definitia

Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→+∞

∫ b

af (x , y)dx .

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Definitie

Definitia

Spunem ca integrala (5) este uniform convergenta dacapentru orice sir (bn)n care are limita +∞, sirul de functii (Fn)nconverge uniform la F pe [c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Criteriu de convergenta uniforma si absoluta

TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R si exista g : [a,+∞)→ R astfel cai. | f (x , y) |≤ g(x), ∀x ∈ [a,+∞)ii.∫ +∞

a g(x)dx < +∞

atunci∫ +∞

af (x , y)dx este uniform si absolut convergenta.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Continuitatea integralei improprii cu parametru

TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R este o functie continua si∫ +∞

af (x)dx este uniform convergenta , atunci functia

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx este continua pe [c,d ].

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Derivabilitatea integralei improprii cu parametru

TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R cu proprietatile

i.∫ +∞

af (x , y)dx converge

ii.∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y)dx converge uniform

atunci F este derivabila si are loc

ddy

∫ +∞

af (x , y)dx =

∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y)dx . (6)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrabilitatea unei integrale improprii cu parametru

TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R, a, c,d ∈ R continua astfelîncât

i. integrala∫ +∞

af (x , y)dx este uniform convergenta,

ii. integrala∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx este convergenta

atunci are loc

∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ +∞

af (x , y)dx

)dy . (7)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Calculati urmatoarele integrale folosind derivarea integralei cuparametru.

1. F (y) =

∫ π2

0ln(y2 − sin2 x)dx , y > 1

2. F (y) =

∫ ∞0

arctan xyx(1 + x2)

dx

3. F (y) =

∫ b

0

x(1 + xy)2 dx , b > 0

4. F (y) =

∫ b

0

dx(x2 + y2)3

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

5. F (y) =

∫ π2

0

1cos x

ln1 + y cos x1− y cos x

dx , y ∈ (−1,1)

6. F (a,b) =

∫ π2

0

dx(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2

7. F (a,b) =

∫ ∞0

e−ax2 − e−bx2

xdx , a > 0,b > 0

8. F (a,b) =

∫ ∞0

e−ax − e−bx

xsin mx dx

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Calculati schimbând ordinea de integrare

1.∫ ∞

0

e−ax

x(cos bx − cos cx)dx , a > 0,b, c ∈ R

2.∫ ∞

0

e−ax

x(sin bx − sin cx)dx , a > 0,b, c ∈ R

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

DefinitiaIntegralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−xdx (8)

si

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx . (9)

se numesc integralele lui Euler.

Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

DefinitiaIntegralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−xdx (8)

si

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx . (9)

se numesc integralele lui Euler.

Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

DefinitiaIntegralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−xdx (8)

si

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx . (9)

se numesc integralele lui Euler.

Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integralele lui Euler

DefinitiaIntegralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−xdx (8)

si

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx . (9)

se numesc integralele lui Euler.

Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Convergenta integralelor lui Euler

TeoremaIntegralele improprii cu parametru (8) si (9) sunt convergentepentru p > 0, respectiv p,q > 0.

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Formule de calcul

TeoremaIntegralele lui Euler satisfac urmatoarele proprietati

Γ(1) = 1 (10)

Γ(p + 1) = pΓ(p) (11)

B(p,q) = B(q,p) (12)

B(12,12

) = π (13)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Demonstratie

Formula (10) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0e−xdx = −e−x ∣∣+∞

0 = 1.

Pentru a deduce (11) integram prin parti.

Γ(p+1) =

∫ +∞

0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞

0 +

∫ +∞

0pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p,q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

=

∫ +π2

0

1sin t cos t

2 sin t cos tdt = π

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Demonstratie

Formula (10) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0e−xdx = −e−x ∣∣+∞

0 = 1.

Pentru a deduce (11) integram prin parti.

Γ(p+1) =

∫ +∞

0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞

0 +

∫ +∞

0pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p,q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

=

∫ +π2

0

1sin t cos t

2 sin t cos tdt = π

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Demonstratie

Formula (10) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0e−xdx = −e−x ∣∣+∞

0 = 1.

Pentru a deduce (11) integram prin parti.

Γ(p+1) =

∫ +∞

0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞

0 +

∫ +∞

0pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p,q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

=

∫ +π2

0

1sin t cos t

2 sin t cos tdt = π

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Demonstratie

Formula (10) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0e−xdx = −e−x ∣∣+∞

0 = 1.

Pentru a deduce (11) integram prin parti.

Γ(p+1) =

∫ +∞

0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞

0 +

∫ +∞

0pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p,q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

=

∫ +π2

0

1sin t cos t

2 sin t cos tdt = π

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Consecinta Din (11) deducem

Γ(n + 1) = n! (14)

Γ(n +12

) =(2n − 1) · . . . 3 · 1

2n Γ(12

) (15)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Legatura dintre Gamma si Beta

TeoremaAre loc urmatoarea formula

B(p,q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q). (16)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrala lui Gauss

Au loc urmatoarele formule

Γ(12

) =√π (17)

∫ +∞

0e−x2

dx =

√π

2(18)

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Aratati ca urmatoarele egalitati au loc

1. B(p,q) =

∫ +∞

0

yp−1

(1 + y)p+q dy

2 B(p,1− p) =

∫ +∞

0

yp−1

1 + ydy , 0 < p < 1

3. B(p,q) =q − 1

p + q − 1B(p,q − 1) =

=p − 1

p + q − 1B(p − 1,q) p > 1, q > 1

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Reduceti la integralele lui Euler si stabiliti natura lor:

1.∫ π

2

0sinm x cosn xdx , m,n ∈ R

2.∫ 1

0

dx

(1− xm)1n

, m > 0, n ∈ N

3.∫ +∞

0

xm−1

(1 + x)n dx m,n ∈ R

4.∫ +∞

0xpe−axdx , a > 0,p ∈ R

Integrale cu parametru

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

5.∫ +∞

0

x14

(1 + x)2 dx

6.∫ +∞

0

xm−1

1 + xn dx , m,n ∈ R

7.∫ +∞

0x2ne−x2

dx , n ∈ N.

Integrale cu parametru