integrale cu parametru - grupa 5107 · pdf fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a...

Integrale cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru

1 Integrale cu parametruDefinitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

2 Integrale improprii cu parametru

3 Integralele lui Euler




Definitia integralei cu parametruDerivarea integralelor cu parametruIntegrarea unei integrale cu parametru

Definitia integralei cu parametru

Definitia

Daca f : [a,b]× R→ R este o functie cu proprietatea ca pentruorice y ∈ R, exista integrala

F (y) =

∫ b

af (x , y)dx (1)

atunci F (y) se numeste integrala cu parametru.





Continuitatea integralei cu parametru

TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R este continua, atunci functia F este

continua pe [c,d ].





Derivabilitatea integralei cu parametru

TeoremaDaca f : [a,b]× [c,d ]→ R si au loc:i. ∀y ∈ [c,d ] exista integrala cu parametru

F (y) =

∫ b

af (x , y)dx

ii. exista∂f∂y

continua pe [a,b]× [c,d ]

atunci F este derivabila si

F ′(y) =

∫ b

a

∂f∂y

(x , y)dx . (2)





Teorema lui Leibniz

TeoremaFie integrala cu parametru

F (y) =

∫ β(y)

α(y)f (x , y)dx , y ∈ [c,d ]

si presupunem îndeplinite urmatoarele ipotezei. functiile α, β : [c,d ]→ [a,b] sunt derivabile,ii. f : [a,b]× [c,d ]→ R este o functie continua,

iii. exista∂f∂y

: [a,b]× [c,d ]→ R, continua

atunci F este derivabila si are loc formula

F ′(y) = f (β(y), y)β′(y)− f (α(y), y)α′(y) +

∫ β(y)

α(y)

∂f∂y

(x , y)dx .

(3)Integrale cu parametru




Integrarea unei integrale cu parametru

TeoremaFie f : [a,b]× [c,d ]→ R o functie continua, atunci are locformula∫ d

c

(∫ b

af (x , y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx . (4)

În conditiile teoremei vom spune ca putem schimba ordinea deintegrare.




Definitia integralelor improprii cu parametru

Definitia

Fie f : [a,+∞)× [c,d ]→ R,a, c,d ∈ R ; spunem ca integralacu parametru

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx , y ∈ [c,d ]. (5)

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→+∞

∫ b

af (x , y)dx .




Definitie

Definitia

Spunem ca integrala (5) este uniform convergenta dacapentru orice sir (bn)n care are limita +∞, sirul de functii (Fn)nconverge uniform la F pe [c,d ].




Criteriu de convergenta uniforma si absoluta

TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R si exista g : [a,+∞)→ R astfel cai. | f (x , y) |≤ g(x), ∀x ∈ [a,+∞)ii.∫ +∞

a g(x)dx < +∞

atunci∫ +∞

af (x , y)dx este uniform si absolut convergenta.




Continuitatea integralei improprii cu parametru

TeoremaDaca f : [a,+∞)× [c,d ]→ R este o functie continua si∫ +∞

af (x)dx este uniform convergenta , atunci functia

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx este continua pe [c,d ].




Derivabilitatea integralei improprii cu parametru

TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R cu proprietatile

i.∫ +∞

af (x , y)dx converge

ii.∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y)dx converge uniform

atunci F este derivabila si are loc

ddy

∫ +∞

af (x , y)dx =

∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y)dx . (6)




Integrabilitatea unei integrale improprii cu parametru

TeoremaFie functia f : [a,+∞)× [c,d ]→ R, a, c,d ∈ R continua astfelîncât

i. integrala∫ +∞

af (x , y)dx este uniform convergenta,

ii. integrala∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx este convergenta

atunci are loc

∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ +∞

af (x , y)dx

)dy . (7)




Calculati urmatoarele integrale folosind derivarea integralei cuparametru.

1. F (y) =

∫ π2

0ln(y2 − sin2 x)dx , y > 1

2. F (y) =

∫ ∞0

arctan xyx(1 + x2)

dx

3. F (y) =

∫ b

0

x(1 + xy)2 dx , b > 0

4. F (y) =

∫ b

0

dx(x2 + y2)3




5. F (y) =

∫ π2

0

1cos x

ln1 + y cos x1− y cos x

dx , y ∈ (−1,1)

6. F (a,b) =

∫ π2

0

dx(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2

7. F (a,b) =

∫ ∞0

e−ax2 − e−bx2

xdx , a > 0,b > 0

8. F (a,b) =

∫ ∞0

e−ax − e−bx

xsin mx dx




Calculati schimbând ordinea de integrare

1.∫ ∞

0

e−ax

x(cos bx − cos cx)dx , a > 0,b, c ∈ R

2.∫ ∞

0

e−ax

x(sin bx − sin cx)dx , a > 0,b, c ∈ R





DefinitiaIntegralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−xdx (8)

si

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx . (9)

se numesc integralele lui Euler.

Integrala (8) se mai numeste functia Gamma.Integrala (9) se mai numeste functia Beta.




Convergenta integralelor lui Euler

TeoremaIntegralele improprii cu parametru (8) si (9) sunt convergentepentru p > 0, respectiv p,q > 0.




Formule de calcul

TeoremaIntegralele lui Euler satisfac urmatoarele proprietati

Γ(1) = 1 (10)

Γ(p + 1) = pΓ(p) (11)

B(p,q) = B(q,p) (12)

B(12,12

) = π (13)




Demonstratie

Formula (10) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0e−xdx = −e−x ∣∣+∞

0 = 1.

Pentru a deduce (11) integram prin parti.

Γ(p+1) =

∫ +∞

0xpe−xdx = −e−xxp ∣∣+∞

0 +

∫ +∞

0pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca în definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabilay = 1− x , obtinem imediat formula (12).Pentru formula (13), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p,q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

=

∫ +π2

0

1sin t cos t

2 sin t cos tdt = π




Consecinta Din (11) deducem

Γ(n + 1) = n! (14)

Γ(n +12

) =(2n − 1) · . . . 3 · 1

2n Γ(12

) (15)




Legatura dintre Gamma si Beta

TeoremaAre loc urmatoarea formula

B(p,q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q). (16)




Integrala lui Gauss

Au loc urmatoarele formule

Γ(12

) =√π (17)

∫ +∞

0e−x2

dx =

√π

2(18)




Aratati ca urmatoarele egalitati au loc

1. B(p,q) =

∫ +∞

0

yp−1

(1 + y)p+q dy

2 B(p,1− p) =

∫ +∞

0

yp−1

1 + ydy , 0 < p < 1

3. B(p,q) =q − 1

p + q − 1B(p,q − 1) =

=p − 1

p + q − 1B(p − 1,q) p > 1, q > 1




Reduceti la integralele lui Euler si stabiliti natura lor:

1.∫ π

2

0sinm x cosn xdx , m,n ∈ R

2.∫ 1

0

dx

(1− xm)1n

, m > 0, n ∈ N

3.∫ +∞

0

xm−1

(1 + x)n dx m,n ∈ R

4.∫ +∞

0xpe−axdx , a > 0,p ∈ R




5.∫ +∞

0

x14

(1 + x)2 dx

6.∫ +∞

0

xm−1

1 + xn dx , m,n ∈ R

7.∫ +∞

0x2ne−x2

dx , n ∈ N.


integrale cu parametru - grupa 5107 · pdf fileeste (simplu) convergenta dac˘ a exist˘ a...

Documents