formule matematice pentru examenul de bacalaureat
Post on 25-Jul-2015
2.001 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ALGEBRA CLS aXIIa
LEGI DE COMPOZITIE
Definitie :Fie A o multime se numeste lege de compozitie pe A o regula prin care la oricare doua elemente ,x y A∈ asociem un element tot din A numit xcompus cu y si notat in diverse moduri
xo y , x y∗ , x y e.t.c.
PARTE STABILA
Definitie:Fie A o multime si ,,o” o lege pe multimea A. B⊂A spunem ca B e parte stabila a lui A in raport cu legea,,o” daca ,x y B∀ ∈ atunci xoy B∈
Exemple: Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 1) Sa se demonstreze ca e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” (2, )∞ e parte stabila daca atunci(2, )∞ , (2,x y∀ ∈ ∞) (2, )xoy∈ ∞ Fie adica x, y>2 sa demonstam ca xoy>2 , (2,x y∈ ∞) xoy>2 xy-2x-2y+6>2 ⇔ ⇔ xy-2x-2y+4>0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)>0 ⇔ (x-2)(y-2)>0 dar x>2 si y>2 rezulta (x-2)(y-2)>0 deci (2, )∞ e parte stabila 2) Sa se demonstreze ca R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” R\{2}e parte stabila daca atunci, \{x y R∀ ∈ 2} \{2}xoy R∈ Fie adica x, y, \{x y R∈ 2} ≠ 2 sa demonstam ca xoy ≠ 2 Presupun xoy=2 xy-2x-2y+6=2 ⇔ ⇔ xy-2x-2y+4=0 ⇔ x(y-2)-2(y-2)=0 ⇔ (x-2)(y-2)=0 dar x 2 si y≠ 2 rezulta (x-2)(y-2) ≠ ≠ 0 deci R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” 3) Sa se demonstreze ca multimea H=(1,3) e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” H e parte stabila daca ,x y H∀ ∈ atunci xoy H∈ x H∈ ⇔ 1<x<3 ⇔ -1<x-2<1 ⇔ |x-2|<1 Fie ,x y H∈ |x-2|<1 si |y-2|<1 trebuie demonstrat ca |xoy -2|<1 ⇔|xoy -2|<1 |xy-2x-2y+6-2|<1 ⇔ ⇔ |(x-2)(y-2)|<1 ⇔ |x-2||y-2|<1 ceea ce e adevarat tinand seama de faptul ca |x-2|<1 si |y-2|<1
4) fie 0 1
( ) 0 0 0 /1 0
x xM A x x R
x x
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= = ∈⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟−⎝ ⎠⎩ ⎭
⎪⎬ sa se demonstreze ca M e parte stabila a
lui M3(R) in raport cu inmultirea matricelor M e parte stabila daca ( ), ( )A x A y M∀ ∈ atunci si ( ) ( )A x A y M⋅ ∈
0 1 0 1 1 2 0 2( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1 2
1 0 1 0 2 0 1 2
x x y y x y xy x y xyA x A y A x y xy
x x y y x y xy x y xy
− − − − + + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = = = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − − − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )A x A y M⋅ ∈
)
rezulta TABLA LEGII DE COMPOZITIE se poate face doar daca multimea pe care e definita legea e multime finita * a1 a2 a3 a4
a1 a1*a1 a1*a2 a1*a3 a1*a4
a2 a2*a1 a2*a2 a2*a3 a2*a4
a3 a3*a1 a3*a2 a3*a3 a3*a4
a4 a4*a1 a4*a2 a4*a3 a4*a4
PROPRIETATI:
ASOCIATIVITATE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e asociativa daca (xoy)oz=xo(yoz) , ,x y z A∀ ∈
COMUTATIVITATE :Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e comutativa daca xoy=yox ,x y A∀ ∈
ELEMENT NEUTRU : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea are element neutru daca exista e A∈ astfel incat xoe=eox=x x A∀ ∈
Teorema: Elementul neutru daca exista e unic Observatie: in general pentru legile definite pe multime de numere
egalitatea avand loc x A∀ ∈ identificam coeficientii lui x din cei doi membrii
ELEMENTE SIMETRIZABILE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A care are element neutru . Spunem ca x A∈ e simetrizabil daca 'x A∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=e in acest caz x’ se numeste simetricul lui x
Teorema: Daca x e simetrizabil simetricul lui x’ e unic Observatie : Pentru legile definite pe multimi de numere prcedez astfel :
• plec de la xox’=e • scot pe x’ in functie de x • pentru expresia gasita pun conditia sa existe si sa faca parte din
multimea pe care e definita legea Exemplu:1)Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine
elementele simetrizabile Rezolvare : Elementul neutru: xoe=eox=x x R∀ ∈
xe-2x-2e+6=x x R∀ ∈ identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x R∈ e simetrizabil daca 'x R∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 2'
2xx
x3−
=−
punand condita sa existe rezulta
cum 2x ≠ 2 32
x Rx−
∈−
rezulta ca orice element 2x ≠ e simetrizabil , simetricul
lui e 2 3'2
xxx−
=−
Exemplu:2)Pe Z def legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabile.
Rezolvare :elementul neutru: xoe=eox=x x Z∀ ∈ xe-2x-2e+6=x x Z∀ ∈ identificand coeficientiilui x obtinem e=3 x Z∈ e simetrizabil daca 'x Z∃ ∈ astfel incat xox’=x’ox=3 xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 2'
2xx
x3−
=−
punand condita sa existe rezulta
punem conditia ca si 2x ≠ 2 32
x Zx−
∈−
122
Zx
+ ∈−
deci x-2 divide pe 1
rezulta x-2=1 sau x-2=-1 deci elementele simetrizabile sunt 3 si 1 OBSERVATIE:pentru legile definite pe multimi finite la care se poate construi tabla legii de compozitie proprietatile se pot vedea din tabla astfel:
• comutativitate:daca tabla e simetrica fata de diagonala principala • elementul neutru : e elementul pe linia caruia se regasesc elementele
multimi neschimbate • elementele simetrizabile :sunt elementele pe linia carora gaseste
elementul neutru
MONOIZI,GRUPURI.
Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid daca legea ,,o”
• e asociativa • are element neutru
Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid comutativ daca legea ,,o”
• e asociativa • are element neutru • comutativa
Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup daca legea ,,o”
• e asociativa • are element neutru • orice element e
simetrizabil Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca
(G,o) are structura algebrica de grup comutativ (abelian) daca legea ,,o” • e asociativa • are element neutru • orice element e
simetrizabil • comutativa
Definitie:Fie (G,o)un grup a G∈ se numeste ordinul lui a si se noteaza ord(a) cel mai mic numar natural n cu proprietatea ca unde e e
elementul neutru.Daca nu exista n cu aceasta proprietate atunci a are ordinul infinit
.....de n ori
a a a a e=o o o1442443
Definitie:Fie (G,o)un grup M⊂G spunem ca (M,o) e subgrup al lui (G,o) daca:
• M e parte stabila a lui G in raport cu legea ,,o” • x M∀ ∈ simetricul lui 'x M∈
Teorema: daca (M,o) e subgrup al lui (G,o) atunci M cu legea indusa are structura de grup
Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste morfism intre cele doua grupuri o functie :f G H→ cu proprietatea ( ) ( ) ( )f xoy f x f y∗ ,x y G∀ ∈ =
Definitie:Fie (G,o) si ( H,∗) doua grupuri se numeste izomorfism intre cele doua grupuri o functie :f G H→ cu proprietatile
1) ( ) ( ) ( )f xoy f x f y= ∗ ,x y G∀ ∈ 2) f e bijectiva
Propritate : :f G H→ izomorfism intre (G,o) si ( H,∗) atunci f(e1)= e2
unde e1 este elementul neutru al lui (G,o) si e2 e elementul neutru al lui ( H,∗) INELE,CORPURI Definitie:( A,+, ⋅)are structura de inel daca :
1) (A,+) grup abelian 2) (A, ⋅) monoid 3) inmultirea e distributiva fata de adunare adica
x ⋅(y+z)=x ⋅y+x ⋅z si (y+z) ⋅x=y ⋅x+z ⋅x ∀x,y,z∈A Definitie :Daca in plus inmultirea e si comutativa se numeste inel comutativ Definitie :Elementul neutru de la + se numeste zeroul inelului (0 ) Definitie :Elementul neutru de la a doua lege este elementul unitate al
inelului1 Definitie :Elementele simetrizabile in raport cu a doua lege de compozitie
se numesc elemente inversabile in inel sau unitatile inelului Definitie: x,y∈A se numesc divizori ai lui zero in inel daca
x,y≠ 0astfel incat x ⋅y=0 Definitie: un inel fara divizori ai lui zero se numeste inel integru Definitie: un inel comutativ fara divizori ai lui zero se numeste
domeniu de integritate Definitie: un inel in care 1 ≠ 0 si ∀x ∈A x≠ 0 e invesabil (adica
simetrizabil in raport cu a doua lege de compozitie )se numeste corp Observatie : un corp nu are divizori ai lui zero
Definitie:Fie (A,+, ) (B,*, o) doua inele se numeste morfism de inele⋅ o functie f:A B cu proprietatile : →
1) f(x+y)=f(x)*f(y) ∀x,y∈A 2) f(x ⋅ y)=f(x)of(y) ∀x,y∈A 3) f(1)=f(1’) unde 1 este unitatea primului inel si 1’este unitate celui de-al
doilea inel Definitie: un morfism de inele se numeste izomorfism daca in plus fuctia e
si bijectiva Analog pentru morfism si izomorfism de corpuri INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n Zn
Fie n∈N* n≥2 un numar natural fixat definim
0̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 0 (clasa lui 0) 1̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 1 (clasa lui 1) 2̂=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 2 (clasa lui 2) ……………..
1n− =multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul n-1 (clasa lui n-1) Multimea acestor clase de resturi o notam cu Zn={ , , ,…, }
numita multimea claselor de resturi modulo n 0̂ 1̂ 2̂ 1n−
Pe aceasta multime definim doua legi de compozitie : Adunarea: ˆ ˆx y+ =restul impartirii lui x+y la n Inmultirea ; ˆ ˆx y⋅ =restul impartirii lui x ⋅y la n
Proprietatile adunarii: • asociativitate • comutativitate • element neutru 0̂ • orice element e simetrizabil fata de + adica are un
opus a n a− = − Proprietatile inmultirii:
• asociativitate • comutativitate • element neutru 1̂ • nu orice element e simetrzabil singurele elemente • inversabile in Zn sunt numerele prime cu n
(Zn, +, )are structura de inel numit inelul claselor de resturi modulo n ⋅
Observatie: • daca n e numar prim (Zn, +, ⋅ ) are structura de corp • pentru un sistem cu coeficienti in Zn se poate aplica regula lui Cramer
doar daca determinantul sistemului e numar prim cu n • pentru o matrice coeficienti in Zn exista inversa ei doar doar daca
determinantul matricei e numar prim cu n A-1=(detA)-1 ⋅A* • pentru polinoame cu coeficienti in Zn doar daca n e numar prim se
poate face impartirea
PROGRESII ARITMETICE
Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r)
Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e
medie aritmetica intre a si c adica 2
a cb +=
an=a1+(n-1)r Sn= 1(2 ( 1) )
2n a n r+ − unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
PROGRESII GEOMETRICE
Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q).
Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b a= c . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac
an=a1qn-1
Sn= 1( 1
1
nqaq−−
) unde am notat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
PROBABILITATI
Probabilitatea= ..
nr cazurifavorabilenr cazuriposibile
LOGARITMI
loga b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. loga b exista doar pentru 0, 0, 1a b a> > ≠
log ba a = b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris
ca log in orice baza vreau) loga b c= revine la cb a=
logab+ logac= loga(bc) logab- logac= loga(
bc
)
logabp=p logab 1log logp aa
b bp
=
1logloga
b
ba
= loga ba b=
daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac ⇒ b>c daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac ⇒ b<c
EXPONENTIALA
x y xa a a += y x
x yy
a aa
−=
1 x
x aa
−=
( ) yx x ya a ⋅=
COMBINARI
Permutari de n se noteaza Pn
Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente
Aranjamente de n luate cate k se noteaza knA
!( )
kn
nAn k
=− !
reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente ce se
pot forma dintr-o multime cu n elemente
Combinari de n luate cate k se noteaza knC
!!( )!
kn
nCk n k
=−
reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k elemente ce
se pot forma dintr-o multime cu n elemente. 0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C+ + + + =
Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente
este knC
FUNCTII
Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g
se rezolva sistemul ( )( )
y f xy g x=⎧
⎨ =⎩
Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. Inversa functiei f:
Daca ( )f x = y atunci 1( )f y x− =
Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f.
Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie.
Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei ,
graficul functiei nu taie axa Oy.
FUNCTIA DE GRADUL DOI
Varful parabolei este ,2 4
bVa a− −Δ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
-daca varful este punct de minim0a >
o Conditia ca x2 0a bx c+ + ≥ ∀ ∈ este 0, 0aΔ ≤ > o Conditia ca x2 0a bx c+ + ≤ ∀ ∈ este 0, 0aΔ ≤ < o Conditia ca x2 0a bx c+ + > ∀ ∈ este 0, 0aΔ < > o Conditia ca x2 0a bx c+ + < ∀ ∈ este 0, 0aΔ < < o Conditia ca ecuatia 0x c2a b+ + = sa aibe doua solutii reale este 0Δ > o Conditia ca ecuatia 2 0a bx c+ + = 0Δ =
2 0a bx csa aibe doua solutii egale este
o Conditia ca ecuatia + + = 0Δ <sa nu aibe solutii reale este
4a−Δ este valoare minima iar
2ba− punct de minim
-daca a<0 varful este punct de maxim
4a−Δ este valoare maxima iar
2ba− punct de maxim
Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are 0Δ = Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are
00a
Δ <⎧⎨ >⎩Relatiile lui Viette Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini 1 2,x x au loc relatiile:
1 2
1 2
bx xacx xa
−⎧ + =⎪⎪⎨⎪ ⋅ =⎪⎩
Observatie ( )2
22 21 2 1 2 1 22 2b cx x x x x x
a a−⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ecuatia cu radacini 1 2,x x este 2 0x Sx P− + = unde iar
1S x x= + 2
1 2P x x= ⋅
VECTORI IN PLAN
Modulul vectorului v a este i b j= ⋅ + ⋅r r r
2 2v a b= +r
Produsul scalar a doi vectori v ar
i b j= ⋅ + ⋅r r
si w c i d j= ⋅ + ⋅ur r r
v w a c b d⋅ = ⋅ + ⋅r ur
este
Suma a doi vectori si v a i b j= ⋅ + ⋅r r r
w c i d j= ⋅ + ⋅ur r r
este ( ) (v w a c i b d+ = + + +
r ur r) jr
Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori vr
si sunt coliniri daca exista a numar real astfel incat
ur
v a u= ⋅r r
v a i b j= ⋅ + ⋅r r r
Daca vectorii sunt dati sub forma si u cr
i d j= ⋅ + ⋅r r
conditia de
coliniaritate revine la a bc d=
Daca ( , )A AA x y si ( , )B BB x y atunci ( ) ( )B A B AAB x x i y y j= − ⋅ + − ⋅uuur r r
Daca ( , )A AA x y vectorul de pozitie al lui A este A AOA x i y j= ⋅ + ⋅
uuur r r se mai
noteaza Aruuv
TRIGONOMETRIE
sin(180 ) sino x x− = | cos(180 ) coso x x− = − sin(90 ) coso x x− = | cos(90 ) sino x x− =
2 2sin cos 1x x+ = oricare ar fi x real sincos
xtgxx
= | cossin
xctgxx
=
x 0 π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o) 1 sinx 0 1 2 3 2 2 20 cos x 1 13 2 22 2Nu exista
tgx 0 13
31
1 ctgx Nu exista
0 13
3
GEOMETRIE
11 01
A A
B B
x yx yx y
=Ecuatia dreptei AB :
Panta dreptei AB A B
ABA B
y ymx x−
=−
o daca stiu doua puncte panta este
o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta a
b−
o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta
Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este ( )A Ay y m x x− = − Conditia de paralelism a doua drepte
1 21 2 d dd d m m⇔ =
Distanta dintre doua puncte 2 2| | ( ) ( )A B A BAB x x y y= − + −
mijlocul segmentului AB este ( ,2 2
A B A B )x x y yM + +
11 01
A A
B B
C C
x yx yx y
=Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare
Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul
facut de ecuatiile lor. 111
A A
B B
C C
x yx yx y
Δ =2ABCSΔ
=Aria triunghiului ABC este unde
2ABCbaza inaltimeaS ⋅
=Aria triunghiului 2 34
lS =Aria triunghiului echilateral cu latura l este:
In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza
Aria triunghiului ABC (Heron) ( )( )(ABCS p p a p b p )c= − − − unde
2a b cp + +
=
sin2
BC AC C⋅ ⋅ sin2
BC AB B⋅ ⋅ sin2
AB AC A⋅ ⋅Aria triunghiului ABC= = =
Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic b2+c2=a2
Teorema cosinusului 2 2 2 ˆ2 cos( )BC AC AB AB AC A= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 coAC AB BC AB BC B= + − ⋅ ⋅ ⋅ s( )
)
2 2 2 2 cos( )AB AC BC BC AC C= + − ⋅ ⋅ ⋅)
2sin sin sinBC AC AB R
A B C= = =Teorema sinusurilor unde R raza cercului
circumscris triunghiului Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are
ecuatia y=x. A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are
ecuatia y=-x.
Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse
Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri
congruente. _sin Cateta opusa
ipotenuza=
_cos Cateta alaturataipotenuza
=In trunghiul dreptunghic
CONDITII DE EXISTENTA
( )E x ( ) 0E x ≥
3 ( )E x exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta lo ; ; ; g ( )a E x ( ) 0E x > 0a > 1a ≠
daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0. arcsin ( )E x 1 ( )E x− ≤ ≤1
1 arccos ( )E x 1 ( )E x− ≤ ≤
( ) 22
E x kπ π≠ + ( )tgE x
domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.
FORMULE SUBIECTUL III
f e continua in a daca lim ( )x a
f x = lim ( )x a
f x = f(a)
( ) ( )lim '( )x a
f x f a f ax a→
−=
− Definitie
Ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa a este ( ) '( )( )y f a f a x a− = − Panta tangentei la grafic in punctul a este '( )f a
Monotonie fie :f D → R unde D interval f derivabila pe D D R⊂ atunci f e monoton descrescatoare pe D 1) daca '( ) 0f x ≤ x D∀ ∈ atunci f e monoton crescatoare pe D 2) daca '( ) 0f x ≥ x D∀ ∈ atunci f e strict descrescatoare pe D 3) daca '( ) 0f x < x D∀ ∈ atunci f e strict crescatoare pe D 4) daca '( ) 0f x > x D∀ ∈
Punctele de extrem ale unei functii se determina din semnul derivatei Convexitate,concavitate fie :[ , ]f a b R→ de doua ori derivabila pe [a,b] 1)daca ( , )x a b∀ ∈ atunci f e convexa pe [a,b] "( ) 0f x ≥ 2)daca ( , )x a b∀ ∈ atunci f e concava pe [a,b] "( ) 0f x ≤ ASIMPTOTE Asimptote verticale : Daca spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la stanga lim ( )
x af x = ±∞
Daca spunem ca dreapta x=a asimptota verticala la dreapta lim ( )x a
f x = ±∞
Asimptote orinzontale Daca lim ( )
xf x a
→∞= , a R∈ spunem ca dreapta y=a e asimptota orizontala la
; analog la . ∞ −∞ Asimptote oblice
Daca ( )limx
f x mx→∞
= lim( ( ) )x
f x mx n→∞
− = si cu ,m n R∈ , spunem ca graficul lui
f are asimptota oblica la ∞ dreapta y=mx+n ; analog la −∞'F f= F primitiva a lui f daca
Daca f e continua atunci f admite primitive
( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ Daca ( ) ( )f x g x≥ [ , ]x a b∀ ∈ atunci
( )b
a
f x dx∫Aria marginita de graficul functiei f axa Ox si dreptele x=a,x=b este
Volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei 2 ( )
b
a
f x dxπ ∫:[ , ]f a b R→ este
FORMULE DE DERIVARE
( ), 1n nx n x −= ⋅ , 1x = ( ),2 2x x= ⋅ ( ),3 23x x= ⋅ , 0a =
( ),lnx xa a= ⋅ a ( ),x xe e=
( ), 12
xx
= ( ),3
3 2
13
xx
= ( ),
1
1nn n
xn x −
=
( ),sin cosx x= ( ),cos sinx x= −
( ),2
1cos
tgxx
= ( ),2
1sin
ctgxx
−=
( ),
2
1arcsin1
xx
=−
( ),
2
1arccos1
xx
−=
−
( ),2
11
arctgxx
=+ ( ),
2
11
arcctgxx
−=
+
( ), 1ln xx
= ( ), 1loglna x
x a=
( ), , ,f g f+ = + g ( ), , ,f g f− = − g ( ), ,a f a f⋅ = ⋅
( ), , ,f g f g f⋅ = ⋅ + ⋅ g
, , ,
2
f f g f gg g
⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟
⎝ ⎠
FORMULE DE INTEGRARE
adx ax C= +∫ 1
1
aa xx dx C
a
+
= ++∫ pentru a -1 ≠
1 lndx x Cx
= +∫ ln1 ax b
dx Cax b a
+= +
+∫
x xe dx e C= +∫ ax
ax ee dx Ca
= +∫ ln
xx aa dx C
a= +∫
sin cosxdx x C= − +∫ cossin axaxdx Ca
= − +∫
cos sinxdx x C= +∫ sincos axaxdx Ca
= +∫
ln costgxdx x C= − +∫
ln sinctgxdx x C= +∫
2
1sin
dx ctgx Cx
= − +∫
2
1cos
dx tgx Cx
= +∫
2 2
1 1 xdx arctg Cx a a a
= ++∫
2 2
1 1 ln2
x adx C
x a a x a−
= +− +∫
22
1 ln2
x dx x a Cx a
= + ++∫
2 2
2 2
1 lndx x x a Cx a
= + + ++
∫
2 2
2 2
1 lndx x x a Cx a
= + − +−
∫
2 2
1 arcsin xdx Caa x
= +−
∫
2
2
x dx x a Cx a
= + ++
∫
2
2
x dx a x Ca x
= − − +−
∫
LIMITE DE FUNCTII
Dreapta reala incheiata { ,R R }= ∪ −∞ +∞ Operatii pe , R ∞+∞ = ∞ a∞± = ∞ a−∞± = −∞−∞−∞ = −∞
,, 0
daca aa
daca a0∞ >⎧
∞⋅ = ⎨−∞ <⎩
, 0, 0
daca aa
daca a−∞ >⎧
−∞⋅ = ⎨+∞ <⎩ ,
, ∞⋅∞ = ∞ ( )∞⋅ −∞ = −∞ , ( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = ∞ 1 0=±∞
10= −∞
−10= +∞
+ , ,
CAZURI DE NEDETERMINARE 00
±∞±∞
0 ⋅ 1 00∞ 0∞±∞ ∞−∞
REGULI PENTRU LIMITELE FUNCTIILOR ELEMENTARE Teorema: 1 2lim ( ...)n n n
xax bx cx− −
→±∞+ + +
x= lim ( )nax
→±∞= ±∞
1
1
...lim ( )...
n n
p px
ax bxx xα β
−
−→±∞
+ +=
+ +lim
n
px
axxα→±∞
2π
2πarctg = arctg- =- arcctg =0 arcctg- =∞ ∞ ∞ ∞ π
loga = , ., .pt a
∞11
, ., .
11
pt apt a
−∞ >⎧⎨ ∞ <⎩pt a
∞⎧⎨−∞ <⎩
> loga0=
cazuri particulare ln∞ = ∞ ln 0 = −∞, . 1
0, . 1pt apt a
∞ >⎧⎨ <⎩
0, . 1, . 1pt apt a
>⎧⎨∞ <⎩
a∞= ∞ a- =
REZOLVAREA CAZURILOR DE NEDERMINARE 00
sau aplic regula lui L’Hospital 1)
sau folosim urmatoarele limite remarcabile : daca f(x)=0 atunci limx a→
sin ( )lim 1( )x a
f xf x→
=( )lim 1
( )x a
tgf xf x→
=arcsin ( )lim 1
( )x a
f xf x→
=( )lim 1
( )x a
arctgf xf x→
=
( )1 ( ) 1lim
( )
p
x a
f xp
f x→
+ −=
( ) 1lim ln( )
f x
x a
a af x→
−=
ln(1 ( ))lim 1( )x a
f xf x→
+=
±∞±∞
2) daca x tinde la scot factor comun fortat puterea cea mai
mare , daca nu merge aplic regula lui L’Hospital
±∞
ATENTIE daca x tinde la 2x x x= = − −∞
daca x tinde la ∞ 2x x x= =
3) ±∞ 0 din f ⋅g scriu ⋅ 1 1f gsau
g f
00
∞∞
rezulta cazul sau
4) ∞− daca apar radicali amplific cu conjugata ∞ sau scot factor comun fortat puterea cea mai mare
5) 1 folosim urmatoarea limita remarcabila daca f(x)=0 atunci ∞ limx a→
( )1( )lim 1 ( ) f x
x af x e
→+ =
6,7) si folosim ca lng g ff e= 00 0∞
OPERATII CU VECTORI
1) ADUNAREA VECTORILOR -REGULA PARALELOGRAMULUI Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine,iar suma lor e diagonala
paraleogramului avandu-i pe cei doi vectori ca laturi ,si originea comuna cu cei doi vectori :
-REGULA TRIUNGHIULUI Se aseaza cei doi vectori unul cu originea in extremitatea celuilalt(de
exemplu v cu originea in extremitatea lui u),suma celor doi vectori este latura triunghiului format de cei doi vectori ,avand aeeasi origine cu u si aceeasi extremitate cu v.
2)SCADEREA VECTORILOR Se aseaza cei doi vectori cu aceeasi origine ,iar diferenta lor este a treia
latura a triunghiului ,orientat catre descazut(cel din care scazi).
POLINOAME
Impartirea polinoamelor Teorema impartirii cu rest
D=I⋅C+R D=deimpartit I=impartitor C=catul R=restul gradul restului <gradul
impartitorului Observatie :
Folosim de multe ori teorema imartirii cu rest pentru a afla restul cand nu pot face imartirea polinoamelor
Astfel: -scriu teorema impartirii cu rest -aflu gradul restului din conditia (gradul restului <gradul impartitorului) - dau lui x ca valori radacinile impartitorului
Exemplu: Suma coeficientilor unui polinom f
Suma coeficientilor unui polinom f este f(1) Restul impartirii lui f la X-a
Th : Restul imartirii lui f la X-a este f(a) Conditia ca un polinom sa aibe radacina a
Definitie: f∈K[X] spunem ca a∈K e radacina pentru f daca f(a)=0
Conditia ca un polinom sa aibe pe a radacina dubla f∈K[X] spunem ca a∈K e radacina dubla pentru f daca doua
dintre radacinile polinomului sunt egale cu a ( x1=x2=a ) f se divide cu (x-a)2 f(a)=f ‘(a)=0
⇔⇔
Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini intregi
Daca f ∈Z[X] si are radacini intregi atunci ele sunt divizori ai termenului liber
Conditia ca un polinom cu coeficienti intregi sa aibe radacini rationale
pqDaca f ∈Z[X] are radacini rationale (de forma ) atunci p e divizor
al termenului liber iar q e divizor al coeficientului dominant Conditia ca un polinom cu coeficienti rationali sa aibe radacini de a b+forma
b b atunci are si radacina a- Daca f∈Q[X] si are radacina a+Conditia ca un polinom cu coeficienti reali sa aibe radacini
complexe nereale Daca f∈R[X] si are radacina a+ib atunci are si radacina a-ib Rezolvarea unei ecuatii de grad mai mare sau egal cu 3 In general pentru rezolvarea unei ec de grad mai mare sau egal cu trei caut o radacina a (eventual folosind teoremele anterioare) si daca gasesc radacina a fac imparirea cu X-a . Restul trebuie sa dea 0 , si folosind teorema impartirii cu rest practic reusesc descompunerea in doua polinoame unul de grad 1 si unul cu un grad mai putin decat cel initial Divizibilitatea polinoamelor Definitie Fie f,g∈K[X] spunem ca f se divide cu g sau ca g divide pe f ,daca restul impartirii lui f la g este 0
⇔Teorema : Fie f,g∈K[X] f se divide cu g orice radacina a lui g e radacina pentru f
Relatiile lui Viette ec de gr III ax3+bx2+cx+d=0 unde a,b,c,d∈C a≠0
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
bx x xa
cx x x x x xa
dx x xa
−⎧ + + =⎪⎪⎪ + + =⎨⎪
−⎪ =⎪⎩
Observatie 1
2 21 2
23x x x+ +
22
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2( ) b cx x x x x x x x xa a−⎛ ⎞+ + − + + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠2
= Observatie 2
Pentru 3 31 2
33x x x+ + procedam astfel
3 21 1 1 0ax bx cx d+ + + = (1) x1 radacina deci verifica ecuatia 3 22 2 2 0ax bx cx d+ + + = (2) x2 radacina deci verifica ecuatia 3 23 3 3 0ax bx cx d+ + + = (3) x3 radacina deci verifica ecuatia
adunand relatiile obtinem 3 31 2
33x x x+ + 2 2
1 223x x x+ + 3 3
1 233x x x+ +a( ) +b( )+c( 1 2 3x x x+ + )+3d=0 aflam pe
ec de gr IV ax4+bx3+cx2+dx+e=0 unde a,b,c,d,e∈C a≠0
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
bx x x xa
cx x x x x x x x x x x xa
dx x x x x x x x x x x xa
ex x x xa
−⎧ + + + =⎪⎪⎪ + + + + + =⎪⎨ −⎪ + + + =⎪⎪⎪ =⎩ Observatie
2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + =
22
1 2 3 4 1 2 1 3 2 3 1 4 4 3 2 4( ) 2( ) b cx x x x x x x x x x x x x x x xa a−⎛ ⎞+ + + − + + + + + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠2
MATRICE Inmultirea matricelor
a b c p q rA B d e f s t u
g h i w v z
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
Am impartit matricele asttfel: -prima in linii a doua in coloane Vom inmultii linia 1 din matricea A cu col1 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col2 din B Apoi linia 1 din matricea A cu col3 din B Ele reprezilnat linia 1 a matricei podus La fel linia a2a a lui A pe rand cu fiecare col din B Apoi linia a3a a lui A cu fiec col din B
a b c p q rA B d e f s t u
g h i w v z
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1_ 1_ 1_ 2 _2 _ 1_ 2 _ 2 _3_ 1_ 3_ 2 _
A col B linia A col BA col B linia A col BA col B linia A col B
⎞⎟⎟⎟⎠ =
1_ 3_2 _ 3 _3_ 3_
linia linia A col Blinia linia A col Blinia linia A col B
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
a b c p q r ap bs cw aq bt cv ar bu czA B d e f s t u dp es fw dq et fv dr eu fz
g h i w v z gp hs iw gq ht iv gr hu iz
+ + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
2I 3IMatricele , , si 2O 3O
2
1 00 1
I⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2
si
3
1 0 00 1 00 0 1
I⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0 00 0
O⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
3
0 0 00 0 00 0 0
O⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2nI I= 3
n3I I= , , Ele au propreitatile
2 2I X X I X⋅ = ⋅ = pentru orice matrice X patratica de ordin 2 3 3I X X I X⋅ = ⋅ = pentru orice matrice X patratica de ordin 3
INVERSA UNEI MATRICE O matrice patratica e inversabila daca si numai daca are determinantul diferit
de 0 Inversei unei matrice : Inversa unei matrice A se noteaza A-1 si are proprietatea A⋅A-1=A-1⋅A=In Pentru calculul inversei se procedeaza astfel -calculez determinantul matricei care trebuie sa dea nenul -calculez transpusa matricei A notata At matrice care se obtine din matricea A schimband liniile cu colanele ( adica linia1 devine col 1, linia2 devine coloana 2, etc) -calculez matricea adjuncta notata A∗ formata din comlementii algebrici ai matricei A calculati in matricea transpusa
11 21 31
12 22 32
13 23 33
δ δ δδ δ δδ δ δ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Adica A∗= pt matricea de ordin 3
11 21
12 22
δ δδ δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠si A∗= pt matricea de ordin 2
unde (determinantul obtinut din matricea A taind linia i si coloana j) ( 1)i jijδ
+= − ⋅
1det A- aflu inversa A-1= A∗
Exemplu1: 3 42 3
A⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
detA=9-8=1 3 24 3
tA⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 1 2*
2 1 2 2
( 1) 3 ( 1) 4( 1) 2 ( 1) 3
A+ +
+ +
⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠* 3 4
2 3A
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 * 3 42 3
A A− −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
1det AA-1= A∗ cum detA=1 rezulta
Exemplul2:
1 2 30 1 20 0 1
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
det(A)=1 1 0 02 1 03 2 1
tA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 4
* 3 4 5
4 5 6
1 0 2 0 2 1( 1) ( 1) ( 1)
2 1 3 1 3 2
0 0 1 0 1 0( 1) ( 1) ( 1)
2 1 3 1 3 2
0 0 1 0 1 0( 1) ( 1) ( 1)
1 0 2 0 2 1
A
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎝ ⎠
*
1 2 10 1 20 0 1
A−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1 * *
1 2 11 0 1 2
det0 0 1
A A AA
−
−⎛ ⎞⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−
DETERMINANTI
Determinant de ordin doi a b
ad bcc d
= −
Determinant de ordin trei Regula lui Saruss pt calculul determinantilor
a b cd e fg h i
Se copiaza primele doua linii a b cd e fg h ia b cd e f
Deci det A= a e i d h c g b f g e c a h f d b i⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Aplicatiile determinantilor in geometrie
11 01
A A
B B
x yx yx y
=
Ecuatia dreptei AB : 11 01
A A
B B
C C
x yx yx y
=
Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare
111
A A
B B
C C
x yx yx y
Δ =
2ABCSΔ
=Aria triunghiului ABC este unde
SISTEME
Natura unui system
Un sistem poate fi: • sistem incompatibil (adica nu are solutii) • sistem compatibil (adica are solutii) • compatibil determinat (adica are solutie unica) • compatibil nedeterminat (adica are o infinitate de solutii)
Conditia ca un sistem sa fie compatibil determinat Un sistem e compatibil determinat daca are determinantul diferit de 0 Metoda lui Cramer-pentru rezolvarea unui sistem compatibil determinat Daca A este matricea coeficientilor daca detA≠0 sistemul e compatibil determinat si pot aplica regula lui Cramer
adica x= detyA
Δdet
zA
Δdet
xA
ΔxΔ y= z= ,e.t.c … =det obtinut din matricea A inlocuind
coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi ;analog yΔ , e.t.c.
top related