formule matematice

aparine nu aparine inclus include

-mulimea (nu are niciun element)

unei mulimi=cte elemente are acea mulime.

Mulimi care nu au element

vid

Cardinalul

disjuncte =

Mul imi

*

e comune

naturale : 0,1,2,3,... naturale fr 0 (nenule) :1,2,3,...

ntregi: 4, 0, 9, 12

3 3raionale: ; 4; 3; 6,2; 3,(4) reale: 7; ; 4; 3; 3,(4)

5 5

Iraionale: ( ) 7; 2; .

+

N N

Z

Q R

R Q ...

Operaii cu mulimi {2; 4; 7}, {7; 9}

{2; 4; 7; 9} {7}

{2; 4}

A B

A B A B

A B A B

= =

= = = =

N Z Q R

reuniunea intersecia

diferena produs cartezian

{(2;7),(2;9),(4;7),(4;9),(7;7),(7;9)}

( )( )

Numere = unul dup altul Ex. 4;5

Numr cu so 0,2,4,6,8,10,; are forma 2k

Numr fr so 1,3,5,7,9,11,; are forma 2k+1

10 100 10xy x y abc a b c ab

= + = + +

consecutive

par

impar

Numere naturale

2 3

1000 100 10

lui 7 este 7 49; lui 2 este 2 8

este egal cu ptratul unui numr natural: 0,1, 4,9,16, 25,...

Un ptrat perfect nu poate avea ultima cifr 2, 3,

cd a b c d= + + +

= =

Ptratul cubul

Ptrat perfect

7 sau 8

este egal cu cubul unui numr natural : 0,1, 8, 27,

D=I C+R, R numr toru l. Ex. ;9 2014

7 19- ; au num itorul < numr torul. Ex. ;

4 18

- ; au num itorul = numr torul. Ex

num r tor num itor

subunitare

supraunitare

echiunitare

Frac ii

( 3

5 341. ;5 3419 16

- , care nu se pot sim plifica. Ex. ;14 25

15 5- , care se pot sim plifica. Ex.

18 62 8

- ; se recunosc astfel: 2 12 3 83 12

=

= =

ireductib ile

reductib ile

echivalente

7 207 3450,7 ; 0, 207 ; 3, 45

10 1000 10073 5 23

0, (73) ; 2, (5) 299 9 9135 13 122

,13(5)900 900

= = =

= = =

0 = =

-Finite

-Periodice simple

-Periodice mixte

Transformarea fraciilor zecimale

77% din300 300 21

1003

raportul numerelor 3 i 5 este5

2 4o egalitate de dou rapoarte (ex. )

3 62,3, 4,6 se numesc proporiei

3 i 4s

= =

=

Procente

Raport

Proporie

termenii

unt ; 2 i 6 sunt .

Proprietatea fundamental a unei proporii:

Numerele , , sunt cu 3, 5, 9 dacx y z

produsul mezilor este egal cu produsul extremilor

mezii extremii

direct proporionale 3 5 9

Numerele , , sunt cu 2, 4, 7dac1 1 12 4 7

nr.cazuri favorabile

nr.cazuri posibile

x y z

x y zx y z

= =

= =

=

invers proporionale

Probabilitateaunui eveniment

( )( )( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

a b a b a b

a b a 2ab b

a b a 2ab b

a b c a b c 2ab 2bc 2ac

a b a b (a ab b )

a b a b (a ab b )

a b a 3a b 3ab b

a b a 3a b 3ab b

+ =

+ = + +

= +

+ + = + + + + +

+ = + +

= + +

+ = + + +

= +

Formule de calcul

1 2 .... ; n cazul a dou numere:

2

2

a numerelor 10; 12; 9 , avnd

ponderile 3;

na

a g h

x x xm

n

x y xym m xy m

x y

+ + + =

+= = =+

Aritmetic

Aritmetic Geometric Armonic

Media aritmetic ponderat

Medii

10 3 12 6 9 56; 5 este =

3 6 5ap

h g a

m

m m m

+ + + +

Inegalitatea mediilor

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 4 43 2 2

22 2

3 2 2 2

2

x 5x x x 5 ; n 4 n 4 n 4 n 4 1

y 25= y 5 y+5 ; 9x 6x+1= 3x 1

2 2 7 7 2 1 7 1 1 ( 2 7)

6 8

n n n n n n n n

x x

= + = +

+ + + = + + + = + +

+ + =

Prin factor comun

Prin formule

Prin grup ri de termeni

Descompunerea expresiilor n factori

( ) ( ) ( )( )2 4 2 8 4 2 4 4 2x x x x x x x x+ + + = + + + = + +

7 4 9 9 2; ; 1

5 5 2 7 99 7 ; 5 2 ; 2 3 0

2 , 4 2 , 3 9 ; 4 , 1 3 , 8 2

3 1; 6 1 0

> > >

C o m p a r r i

Ox- axa

Oy- axa

Punctul M(5;3)

5i 3 sunt punctului M.

Numrul 5 este , iar 3 este lui M.

absciselor

ordonatelor

coordonatele

abscisa ordonata

Sistem de axe

( )

1 2,2 2

2Forma general 0.

2Rezolvare: calculm , b 4ac.

Dac 0, soluiile sunt: b bx xa a

ax bx c

+ = =

+ + =

=

Ecuaia de gradul doi

deltaSpunem c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n mulimea Bdac facem

ca element din A s-i corespund un element n B.

f : A B (citim funcia f definit pe A cu v

fiecrui singur

Funcii

( ) ( )( )

( )

alori n B")

A - , B -

este o funcie de forma f : , .

Ex. 3 5

Reprezentare grafic. Fie f : , 3 5

Calcular

f x ax b

f x x

f x x

= +

=

=

domeniul de definiie domeniul de valori

Funcie liniar de gradul I R R

R R

( )

( )

ea coordonatelor punctelor de

intersecie a graficului cu axele:

5 5-cu axa se rezolv ecuaia 0 ;3 5 0 ( ;0)

3 3

-cu axa secalculeaz f 0 ; (0) 5 (0; 5)

Calcularea coordonatelor

Ox f x x x A

Oy f B

= = =

=

( ) punctului de intersecie a graficelor a dou funcii f i :

se rezolv ecuaia ( )

g

f x g x

=

3 m=30 dm 7

Lungime Arie Volum Capacitate Mas Timp

Uniti de msur

m=700 dm 5 m=5000 dm 1 l=1 dm 4 kg=4000 g 1 or=60 minute

0,7 m=70 cm 0,05m=500 cm 0,03 cm=30 mm 3 l=3000

ml 0,5 dag=5 g 1 minut=60 secunde

2 km=2000 m 2 km=200 hm 0,05 km=50 hm 0,3 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani

3,5 cm=3

9

5 mm 1 ar=1dam=100 m 1 dm=1000 cm 0,2 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani

2,7 dam=0,27 hm 1 ha=1hm=100 ari 1 m=10 mm 12

5 ml=0,125 l 6,23 g=62,3 dg 1 mileniu=1000 ani

1,3 mm=0,13 cm 0,02 ha =2 ari= 200 m 3 mm=0,003 cm 0,07 kl=70 l 3 t=3000 kg ore=15minute

5,7 hm=570 m

m=400 cm 0,25 dam=250 m 3 cl=0,3 dl 34 dg=0,34 g ore=30 minute 0,04

-Rezolvare prin metoda

4 4 4 4 5

2 11 2(4 ) 11 8 3 11 3 3 1

-Rezolvare prin metoda

4 2

3 2 2

x y x y x y x y x

x y y y y y y

a b

a b

= = + = + = + =

+ = + + = + = = =

= + =

substituiei

reducerii

Sisteme de ecuaii

2 2 8(se adun ecuaiile)

3 2 222

5 / 30 6 4

a b

a b

a a b

= + =

= = =

, dac 06 6; 3 3. n general,

, dac 0

Ex. 3 2 3 2, deoarece 3 2 0

1 2 (1 2) 2 1, deoarece 2 0

x xx

x x

= = =

suma unghiurilor unui triunghi este 180

suma unghiurilor unui patrulater este 360

unghiurile de la baza unui triunghi

isoscel sunt congruente

ntr-un triunghi isoscel, bisectoa

Teoreme importante

rea

unghiului de la vrf este i median,

nlime, mediatoare.

ntr-un triunghi dreptunghic,

mediana din vrful unghiului

drept este jumtate din ipotenuz.

ntr-un triunghi dreptunghic

care are un ungh

i de 30, cateta

opus acestui unghi este

jumtate din ipotenuz.

teorema lui :

EF BC

teorema :

dac EF BC, atunci AEF ~ ABC (sunt asemenea), adic

AE AF

EB FC

AE AF EF

AB AC

=

= =

Thales

fundamental a asemnrii

raportul ariilor a dou triunghiuri asemenea este egal cu

ptratul raportului de asemnare

teorema : dac AD

este bisectoare,

ntr-un dreptunghic:

teorema :

BC

AB AC

BD DC

AD BD DC

=

=

bisectoarei

nlimii

2 2 2

teorema :

teorema lui : AB AC BC

AOB are msura

egal cu a arcului cuprins ntre laturi

AMB are msura

jumtate din a arcului cuprins n

AB BD BC = + =

catetei

Pitagora

unghiul la centru

unghiul nscris

tre laturi

raza este perpendicular pe tangent

unghiul format de o tangent cu o coard

este jumtate din arcul subntins de coard

diametrul perpendicular pe o coard

njumtete i coarda i arcul

.

:

,AM MB d AB d

teorema celor trei perpendiculare

30 45 60

cat.op. cat.al. 1 2 3sinus= ; csinus= sin

ip ip 2 2 2

cat.op. cat.al.tangenta= ; ctangenta=

cat.al. cat.op.

Trigonometrie

2 2

3 2 1cos

2 2 2

sin 3 sin cos 1 tg = tg 1 3

cos 3u

u u uu

+ =

2

.

sin; ; ( )( )( ) , unde este

2 2

semiperimetrul, ( )2

3 3Triunghi : nl imea ; aria

2 4

Triun

ech

b h ab uA A A p p a p b p c p

a b cp

a ah A

= = =

+ + =

= =

Triunghi

formula lui Heron

echilateral

Arii i alte formule

1 2 1 2.ghi : n limea ; aria 2

-unete mijloacele a dou laturi;

Este paralel cu a treia latur i

este jumtate din aceasta.

Raza cercului nscris

dr

c c c ch A

ip = =

dreptunghic

Linia mijlocie n triunghi

n triunghi

sau )2

diagonala 2 , aria l

( )2

-unete mijloacele laturilor nepara

Ar

p

D dA b h A L l A b h

d l A

B b hA

=

= = = (

= =+ =

Paralelogram Dreptunghi Romb

Ptrat

Trapez

Linia mijlocie n trapez

( ) ( )

lele;

Este paralel cu bazele i

este egal cu media lor aritmetic:2

180 180: apotema cos ; latura 2 sin

2 180 3M sura unghiului ; Nr. diagonalelor

2 Lun

m

n n

n

B bl

a R l Rn n

n n nu

n

+ =

= =

= =

Poligon regulat

Cerc gimea (circumferina) 2 , Aria , 3,14159265...L R A R = =

B

L

T L B

2 2 2

L

h

sum a ariilor feelor laterale

A ria to tal 2

D iagonala paralelip iped

D iagonala cubului 3

3sum a ariilor feelor laterale

A r

B

V A

A

A A A

d a b c

d l

A hV

A

= =

= +

= + +

= =

=

Prism a

P iram ida

Poliedre

T L B

L

T L B

ia to tal

apotem=n l im ea unei fee laterale

( )3sum a ariilor feelor laterale

A ria to tal +

B b B b

b

A A A

hV A A A A

A

A A A A

= +

= + +

= = +

T runchiu l de piram id

2

2

2

3

unghiul secto

L

T L B

L

T L B

A RG

A A A

V R h

A RG

A A A

R hV

= = + =

= = +

=

Cilindrul

Conul

Corpuri rotunde

( )

2 2

2

3

360rului desfurrii

( )3

43

L

T L B b

Ru

G

A G R r

A A A A

hV R r Rr

A R

RV

=

= += + +

= + +

= 4

=

Trunchi de con

Sfera

: au msuri egale

: au acelai vrf i

o latur comun

: au acelai vrf i laturile

unuia sunt n prelungirea laturilor celuilalt

congruente

adiacente

opuse la vrf

Unghiuri

Dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente

: dou unghiuri care au suma 90

x complementul unghiului de 20 este unghiul de 70

: dou unghiuri care au suma 180

.

complementare

suplementare

x suplementul unghiului de 20 este unghiul de 160

unghi : care are 180; unghi care are 0

unghi : care nu este nici alungit, nici nul

unghi 90; 90 ;

. < =

alungit nul

propriu

ascuit drept 90

unghiuri

Suma unghiurilor n jurul

unui punct este 360

Unghiuri formate de dou drepte cu o secant

:1 i 7; 2 i 8

: 3

>

obtuz

n jurul unui punct

alterne interne

alterne externe i 5; 4 i 6

: 1 i 5; 2 i 6;

3 i 7; 4 i 8

Dac dreptele sunt paralele, aceste perechi

de unghiuri sunt congruente i reciproc.

corespondente

: mparte un unghi

n dou unghiuri congruente.

Bisectoarele sunt concurente

n - cen

Bisectoarea

I

Linii importante n triunghi

trul cercului nscris

: perpendicular pe

mijlocul unei laturi.

Mediatoarele sunt concurente

n - centrul cercului circumscris.

La triunghiul obtuzunghic, O este

situat n exterior.

La triun

Mediatoarea

O

ghiul dreptunghic, O este n mijlocul ipotenuzei.

: perpendiculara

dintr-un vrf pe latura opus.

nlimile sunt concurente

n - ortocentrul.

La triunghiul obtuzunghic, H este n exterior.

nlimea

H

: unete un vrf

cu mijlocul laturii opuse.

Medianele sunt concurente

n - centrul de greutate.

1 2 1 2Centrul de greutate este la de baz i de vrf: ,

3 3 3 3GM AM GA AM

= =

Mediana

G

: are dou laturi congruente

: are toate laturile congruente

: are laturi de lungimi diferite

: to

Triunghi

isoscel

echilateral

oarecare

ascuitunghic

Figuri geometrice

ate unghiurile ascuite

: are un unghi drept

: laturile care formeaz unghiul drept

: latura opus unghiului drept

: are un unghi obtuz

:

dreptunghic

catete

ipotenuza

obtuzunghic

Patrulater

Paralelogram are laturile opuse paralele

Proprietile paralelogramului:

laturile opuse sunt congruente

unghiurile opuse sunt congruente, iar

unghiurile alturate sunt suplementare

diagonalele au acelai mij

loc

: paralelogramul care are

un unghi drept

diagonalele dreptunghiului sunt congruente

: paralelogramul care are dou

laturi alturate congruente

diagonalele rombului sunt perpendicula

Dreptunghiul

Rombul

re i

sunt bisectoare ale unghiurilor

: are toate proprietile

dreptunghiuluii rombului

: are dou laturi paralele i

celelalte dou neparalele

: are laturile nepa

Ptratul

Trapezul

rapez isoscel ralele

congruente

: are un unghi drept

rapez dreptunghic

puncte : sunt situate pe o dreapt

drepte : drepte care se intersecteaz

: punctul n car

coliniare

concurente

punct de concuren

Puncte i drepte

e se

intersecteaz dou drepte

: (OA O

: [OA O

segmente : au lungimi egale [AB] [CD]

drepte : formeaz

un unghi d

( [

semidreapta deschis

semidreapta nchis

congruente

perpendiculare

rept a b

drepte : sunt n acelai plan i nu

se intersecteaz a b

:

printr-un punct exterior unei drepte se poate

duce o singur parale

paralele

Axioma lui Euclid

l la dreapta dat.

Geometrie