Paradoxuri matematice

Lumea exista, cind admiti paradoxul ei

Cuvantul paradox (din greca para=contra, doxa= parere) adica parere absurda,contra unui adevar acceptat.

Indata dupa ce ginditorii greci din scoala lui Thales si Pitagora au pus bazele teoretice ale stiintei matematice si au acceptat , alaturi de notiune de punct, dreapta, masura si pe aceea de infinit , s-a ivit si paradoxul.

Ca s poat evita paradoxul, Aristotel (384-322 i.e.n) a creat logica, el fiind convins c paradoxul apare atunci cnd n locul infinitului potenial se consider infinitul n act. Problema infinitului a preocupat mult pe toi filozofii greci, ns ei nu au ajuns la o soluie comun.

n fizic, Aristotel analizeaz aceste preri i discut pe larg problema infinitului: cercetrile n legtur cu infinitul prezint dificulti deoarece rezult multe lucruri imposibile, fie spunnd c exist infinitul, fie susinnd c nu exist...ntr-un fel, infinitul este ceea ce prin natura sa nu poate fi parcurs, sau ceea ce se poate parcurge, dar nu are sfrit.Considernd infinitul mic, matematicienii greci erau pui ntr-o ncurctur i mai mare pentru c ei considerau c dreapta se poate mpri la nesfrit, fr s se ajung vreodat la punct, dup cum admitem noi azi Cci mintea poate mpri un strop de ploaie n picturi nelimitat de mici i un segment de dreapt n 2 pri egale, apoi n 3, 4, pn ajunge la un segment infinit de mic, care nu are nc lungimea 0, scria Aristotel..

Paradoxurile lui Zenon din Eleea 1) Paradoxul dichotomiei

2) Achile i broasca estoas 3) Paradoxul sgeii

Paradoxul dichotomiein limba greac dichotomia nsemnnd mprirea n 2 seciuni egale); un mobil, care pornete de la o extremitate a unui segment, nu poate ajunge niciodat la cealalt extremitate a lui pentru c, nainte de a atinge aceast extremitate, el trebuie s fi ajuns la mijlocul segmentului i ca s fi ajuns aici trebuia s treac mai nti prin sfertul lui i tot aa nainte. Ori, fiindc dreapta se divide la infinit, mobilului i trebuie un timp infinit ca s parcurg aceast infinitate de segmente i din cauza aceasta orice micare este imposibil.

Achile i broasca estoasAchile, cel iute de picior, nu poate ajunge din urma o broasc estoas care are un avans de 100 de pai cnd ncepe ntrecerea, dei alearg de 100 de ori mai repede dect broasca estoas. Aceasta pentru c n timp ce Achile a fcut cei 100 de pai, broasca a fcut i ea un pas, apoi n timp ce Achile face acest pas, broasca face 1/100 din acest pas i aa mai departe. Admind c dreapta se divide la infinit, va rmne mereu un spaiu de netrecut ntre broasca i Achile.

Paradoxul sgeiiParadoxul sgeii : o sgeat care pornete din arc, nu zboar, ci rmne pe loc, cci pentru o clip sgeata se afl ntr-un spaiu egal cu ea nsi i n clipa aceea nseamn c ea este n repaus. Ori dac este n repaus, pentru o clip, ea nu se mai poate mica, deoarece clipa este indivizibil. Aceste paradoxuri, prin care Zenon, prietenul lui Parmenide (cel mai de seam filozof grec al colii eleate) a devenit nemuritor, i pstreaz prospeimea pe care au avut-o cu 2 milenii i jumtate nainte. Aristotel susine c Zenon a oprit micarea pentru c a speculat asupra infinitului pe care l-a prezentat prin mprirea unui segment finit ntr-un numr infinit de pri, dei infinitul nu exist n act, ci numai n potenialitate.

Nu exista triunghi echilateral

Intre masurile a, b, c ale laturilor unui triunghi ABC exista relatiile:a > b c b > a cScazand aceste inegalitati, parte cu parte, se obtine: a b > b c a + c a b > b a a + a > b + b a > b Deci, nu exista triunghiuri echilaterale.S-a obtinut acest rezultat deoarece s-au scazut doua inegalitati.

Paradoxuri iluzionale

Puzzle-ul triunghiuluisauPuzzle-ul patratului lipsa cunoscut si sub denumirea de Sofismul1lui Curry sau Paradoxul2disectiei triunghiului se refera la oiluzie opticain care,rearanjand 4 figuri geometrice, apare, in mod paradoxal, o gaura. Acest puzzle a fost inventat in 1953 de magicianul New York-ez Paul Curry si a fost discutat ulterior de renumitul matematician american Martin Gardner.Acest puzzle al triunghiului este reprezentat prin2 aranjamente de figuri geometrice, fiecare dintre ele formand in aparenta untriunghi dreptunghic, cu catetele de lungimi 13 si 5 unitati, dar unul dintre triunghiuri are in interior o gaura un patrat de latura 1. Se pune intrebarea:de unde a aparut patratul lipsa?

De fapt majoritatea paradoxurilor apar din cauza unor simple iluzii optice, de aici au aparut si figurile inexistente:

Iluzie optica