fitzuica10
Post on 14-Sep-2015
32 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
1. VECTORI LEGATI
Doi vectori sunt echipoleni AB CD dac au acelai modul, sens i aceeai direcie.
Se numete vector liber mulimea turturor segmentelor orientate echipolente cu un singur segment orientat. 2. SEGMENTE ORIENTATE.
a. Suma segmentelor orientate AB BC este AC . B
Are loc relaia AB BC AC (CHASLES) A
Suma segmentelor orientate DE BC este AC , unde C
AB DE E D
b. , ,A B C sunt coliniare, dac ;AB BC sunt coliniari, deci * a.. AB BC
c. , ,A B C sunt coliniare k a.. 1OC kOA k OB
d. , ,A B C coliniare , ,a b c a.. 0a b c i 0aOA bOB cOC
e. 2 2 2AB AC AB AC BC
f. Dac ,AM
M AB kMB
atunci O avem 1
1 1
kOM OA OB
k k
g. Dac , 1AM
M ABMB
atunci O avem 2
OA OBOM
h. Centrul de greutate al ABC este punctulG cu proprietatea 0GA GB GC
i. Dac ,O H sunt centrul cercului circumscris i ortocentrul triunghiului ABC are loc egalitatea OA OB OC OH (TH SYLVESTER)
j. ntr-un triunghi punctele , ,O G H sunt coliniare (TH EULER)
3. VECTORI
a. Suma a doi vectori a b este vectorul s care are ca reprezentant vectorul cu originea n originea vectorului a i extremitatea n
extremitatea vectorului b
, ,a b b a a b este comutativ
, , ,a b c a b c a b c este asociativ
0 0 ,a a a a vectorul nul
0,a a a a a vectorul opus c b Regula triunghiului a b c
a
Regula paralelogramului a b s
b s
b a
Regula poligonului
a b c d e a c
e d
b. nmulirea vectorilor cu scalari.
Vectorul *,a are aceeai direcie cu a , modulul egal cu a , acelai sens cu a dac 0 i sens opus lui a dac 0 , iar
pentru 0 obinem vectorul nul. Vectorii ,a a sunt coliniari.
, , ;a a a , , ;a a a a
, ; ,a b a b a b ,a b coliniari astfel nct a b
,a b coliniari *, astfel nct 0a b c. Descompunerea unui vector n reper cartezian
i. B A B A B AAB OB OA r r AB x x i y y j descompunerea lui AB
ii. ,B A B AAB x x y y Coordonatele vectorului AB n baza ortonormat , ,O i j
-
iii. 2 2
B A B AAB x x y y lungimea vectorului
iv. ;2 2
A B A Bx x y yM
coordonatele mijlocului segmentului AB
d. cos , cos , a ba b a b a b a ba b
e. 0a b a b
f. 1i i j j i 0i j j i
4. VECTORUL DE POZIIE AL UNUI PUNCT N PLAN
Pentru ,M x y , vectorulOM ,este vectorul legat sau vectorul de poziie al punctului M , i se noteaz ,Mr OM xi y j x y expresia
analitic a vectoruluiMr n baza ,i j
a. ,Mr OM xi y j x y , atunci 2 2
Mr OM x y
b. 2 2
B A B A B A B A B AAB r r AB x x i y y j AB x x y y
c. 1 1 11 2 1 2 1 2
2 2 2
si r x i y j
r r x x y yr x i y j
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , = ,r r x x i y y j x y x y x x y y ;1 1 1
,n n n
k k k
k k k
r x y
Este asociativ
Este comutativ
Elementul neutru este 0,0or
d. ,r x y
1 numim vectorul ,r x y opusul vectorului r i 0r r r r .
,A B A Br r r r
, ,A A Ar r r
, ,A Ar r
1 A Ar r
e. 1 2 1 2 1 2r r x x y y expresia analitic a produsului scalar
f. 1
; , ,1 1
M M M A B
kr x i y j r r A B M AB
k k
a.. ,AM k MB k vectorul de poziie al unui segment care mparte un
segment ntr-un raport dat.
g. ;2
A B
M
r rr AM MB
h. ;G3
A B c
G
r r rr
centru de greutate
i. ;A B cIa r b r c r
r Ia b c
punctul de intersecie al bisectoarelor.
j. 1 2,r r coliniari
1 1
2 2
x y
x y
k. 1 2 1 22 2 2 2
1 1 2 2
cosx x y y
x y x y
l. 1 2,r r perpendiculari 1 2 1 2 0x x y y
1. MULIMEA NUMERELOR COMPLEXE
, ,a b a b ; 0,1not
i i se numete unitatea imaginar. Deci 2 1i . Un element ;z a b se poate scrie
; ;0 ;0z a b a b a bi 2, , , 1z z a ib a b i 2. FORMA ALGEBRIC A UNUI NUMR COMPLEX
-
2, , , 1z a bi a b i este forma algebric a unui numr complex. a Re z se numete partea real, bi se numete partea imaginar ,
iar Imb z este coeficientul prii imaginare a numrului complex Imz Re z i z a) Dac 0b , atunci z a i deci
b) Dac 0, 0a b , atunci z bi numr complex pur imaginar i notm * *i bi b 3. OPERAII CU NUMERE COMPLEXE
I. Egalitatea a dou numere complexe: 1 21 1 2 21 2
a aa ib a ib
b b
II. Adunarea: 1 2 1 2 1 2z z a a i b b
a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z
b) 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z z
c) Elementul neutru este 0 0 0i : 0 0 ,z z z
d) Elementele opuse z : 0,z z z z z
III. Scderea: 1 2 1 2 1 2z z a a i b b .
IV. nmulirea: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z a ib a ib a a bb i a b ba
a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z
b) 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z z
c) Elementul neutru este 1 1 0i : 1 1 ,z z z
d) Elementele inversabile. 1 *z este inversul lui *z : 1 1 *1,z z z z z 12 2 2 2
a bz i
a b a b
e) Distributivitatea n raport cu adunarea numerelor complexe: 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z z
V. mprirea: Dac 1 2 2, , 0z z z , 1
1 2z z 1
2
z
z 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
z a a b b a b a bi
z a b a b
4. PUTERILE LUI i
i i 2 1i 3i i 4 1i 4 1ki i 4 2 1ki 4 3ki i 4 1ki
5. CONJUGATUL UNUI NUMR COMPLEX
Conjugatul numrului complex z a bi este numrul complex not
z a ib a ib .
a) ,2
z za z
i ,
2
z zib z
b) 2 2 ,z z a b z
c) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1
, , 1,n n
k k k
k k
z z z k n
d) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1
, , 1,n n
k k k
k k
z z z k n
e) ,n
nz z z
f) 1 1 1 22 2
, ,z z
z zz z
g) ,z z z
h) z z z
i) *z i z z
6. MODULUL UNUI NUMR COMPLEX 2 2not
z a b .
a) 0,z z
b) 0 0z z
c) ,z z z
d) 2
,z z z z
-
e) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1
, , 1,n n
k k k
k k
z z z k n
f) ,n nz z z
g) 1
1z zz
h) 11 1 22 2
, ,zz
z zz z
i) 1 2 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z z z Inegalitatea triunghiului
7. RDCINILE PTRATE ALE UNUI NUMR COMPLEX
2 2
2 2 2 2
2
x y a
z a ib z r x iy x y a b
xy b
8. REZOLVAREA ECUAIEI DE GR. II CU COEFICIENI REALI 2 0, , , , 0ax bx c a b c a atunci avem 2 4b ac :
0 0 0
1,22
b ix
a
1 2
2
bx x
a
1,22
bx
a
9. REZOLVAREA ECUAIEI DE GR. II CU COEFICIENI COMPLECI
2 0, , , , 0az bz c a b c a avem 2 4b ac i soluiile sunt 1,22
bz
a
2
2 0 02 4
baz bz c a z
a a
2 2
2 20
2 24 4
b ba z z
a aa a
2
2az b Rezolvm ecuaia
redus 2 , 0y u iv v
1,2 sgn2 2
r u r uy i v
unde r . Revenind obinem 1,2 1,2
1
2z b y
a .
10. RELAIILE LUI VIETE
2 0, , , , 0ax bx c a b c a i 1 2,x x soluii avem 1 2
1 2
bS x x
a
cP x x
a
.
1. Dac 1 2,x x soluii atunci avem 2 2 2
1 2 2x x S P
2. Dac 1 2
notn n
nS x x obinem relaia de recuren: 1 2 0n n naS bS cS
3. 1 2,x x , ecuaia de gradul II cu aceste soluii are forma 2 0x Sx P
4. 1 2,x x sunt soluiile complexe ale ecuaiei 2 0, , , , 0ax bx c a b c a , atunci 2 1 2ax bx c a x x x x
11. ECUAII BIPTRATE
4 2 *0, , ,ax bx c a b c . Facem notaia 2not
x t i obinem ecuaia de gradul II cu coeficieni reali 2 0at bt c 2 1x t respectiv 2
2x t
1. INTERPRETAREA GEOMETRIC A NUMERELOR COMPLEXE
z a ib se numete afix al punctului ;M a b sau afix al vectorului OM .
;M a b este imaginea geometric a lui z a ib , iar OM este vectorul imagine al lui z a ib . 2. APLICAII ALE NUMERELOR COMPLEXE N GEOMETRIE
1. Afixul Mz al punctului M pentru care 1
2
0M M
kMM
este 1 21
M
z kzz
k
, unde 1 1 2 2,M z M z
2. Afixul Mz al mijlocului M al unui segment AB este2
A B
M
z zz
, unde ,A BA z B z .
3. Afixul Gz al centrului de greutate G al ABC este3
A B C
G
z z zz
, cu , ,A B CA z B z C z
4. 1 1 2 2 3 3 4 4; ; ;M z M z M z M z sunt vrfurile unui paralelogram 1 3 2 4z z z z
5. n reperul , ,O i j din planul P , ,A B P cu afixele Az , respectiv Bz , avem A BAB z z
-
6. Fie punctele 1 1M z si 2 2M z 22 11
argz
m M OMz
7. , arg C AB A
z zm AB AC
z z
8. Punctele , ,A B C sunt coliniareC A B A C Bz z z z z z
9. Punctele , ,A B C sunt coliniare arg 0,C A A BB A
z zz z
z z
10. Punctele , ,A B C sunt coliniare *B A
C A
z z
z z
11. Vectorii 1 2,v v de afixe 1z , respectiv 2z sunt coliniari 1 2 2 2 1 20 Im 0z z z z z z
12. Fie 1 1 2 2 3 3 1 2; ; ;M z M z M z z z . atunci 1 2 1 3,M M M M sunt ortogonali 3 1
2 1
Re 0z z
z z
13. Vectorii 1 2,v v de afixe 1z , respectiv 2z sunt ortogonali 1 2 2 1 1 20 Re 0z z z z z z
14. Dac ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci *B A
D C
z zAB CD
z z
.
15. ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci *3arg ;
2 2
D C D C
B A B A
z z z zAB CD i
z z z z
.
16. Dac ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci sunt conciclice dac avem echivalenele:
arg arg arg : 0 :A C A C A CA D A D A D
B C B D B C B D B C B D
z z z z z zz z z z z z
z z z z z z z z z z z z
.
17. Dac ABC i ' ' 'ABC sunt asemenea, atunci avem:' '
' '
B A B A
C A C A
z zz z
z z z z
.
18. Triunghiul ABC este echilateral dac 2 0A B Cz z z , unde 2 2
cos sin3 3
i
3. FORMA TRIGONOMETRIC A NUMERELOR COMPLEXE
Numr complex z a ib i corespunde un unic punct n plan ;M a b r z . Unghiul 0;2 se numete argument redus i se noteaz
arg z . ,r se numesc coordonatele polare ale punctului M . Numrul pozitiv r se numete raza polar, iar argumentul polar.
cosx r , siny r i 2 2r x y
cos sin , 0;2z r i se numete forma trigonometric a numrului complex. cos 2 sin 2 cos sinz r i r i 4. EXPRIMAREA COORDONATELOR POLARE
1. Dac IA C atunciy y
tg arctgx x
2. Dac IIA C atunci2
x xtg arctg
y y
3. Dac IIIA C atunciy y
tg arctgx x
4. Dac IVA C atunci3
2
x xtg arctg
y y
Mulimea tuturor argumentelor numrului complex z se noteaz arg 2not
Arg z z k k . arg 2not
Arg z z k k
4. OPERAII CU NUMERE COMPLEXE SUB FORM TRIGONOMETRIC
Dac 1 1 1 1cos sinz r i i 2 2 2 2cos sinz r i , atunci:
1) nmulirea: 1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i
cos sin , 1,k k k kz r i k n atunci 1 11 1
cos sinn n n n
k n k k
k kk k
z r i
2) Ridicarea la putere: cos sinn nz r n i n
formula lui MOIVRE: dac 1z atunci: cos sin cos sinn
i n i n
-
3) mprirea a dou numere complexe: 1 1 1 2 1 2 22 2
cos sin , 0z r
i zz r
4) Rdcina de ordin n dintr-un numr complex 2 2
cos sin , 0, 1nkk k
Z r i k nn n
a. Numrul complex cos sin , 0Z i Z este rdcina de ordin , , 2n n n a numrului complex
cos sin , 0z r i z , dac nZ z .
b. Rdcinile de ordin n a numrului complex z sunt distincte i sunt n numr de n
5) Rdcina de ordin n a unitii 2 2
cos sin , 0, 1, 1 cos0 sin0kk k
Z i k n z in n
6. ECUAII BINOME
0, , , 2nz a a n n se numesc ecuaii binome. 2 2
cos sin cos sin , 0, 1nkk k
a r i z r i k nn n
.
1. FUNCIA RADICAL
a. Funcia radical de ordin par: *2: 0, 0, , ,kf f x x k
i. Intersecia cu axele 0,0O
ii. Este concave pe 0,
iii. Puncte remarcabile pe grafic 0,0 ; 1,1
iv. Monotonia f str pe 0,
v. 0, 0,f x x
vi. 1 1 2 *: 0, 0, , ,kf f x x k
b. Funcia radical de ordin impar: *2 1: , ,kf f x x k
i. Intersectia cu axele 0,0O
ii. Convex pe ,0 , concav pe 0,
iii. Este impar ,f x f x x ; simetric fa deO
iv. Puncte remarcabile 1, 1 ; 0,0 ; 1,1
v. Monotonia f str pe
vi. 0, 0,f x x ; 0, ,0f x x
vii. 1 1 2 1 *: , ,kf f x x k
2. ECUAII IRAIONALE CU RADICALI DE ORDIN 2
ecuaia n care necunoscuta apare sub radical se numete ecuaie iraional. Punerea condiiilor de existen
o Radicalii de ordin par care intr n structura unei ecuaii iraionale sunt definii dac expresiile de sub ei sunt nenegative.(dac rezolvarea tuturor condiiilor este complicat, atunci aceasta nu se realizeaz.)
Eliminarea radicalilor prin o ridicare la putere, (se izoleaz un radical intr-un membru i se ridic la putere convenabil) o notaii, (se aleg substituii potrivite, care conduc la un sistem de ecuaii rationale) o amplificri cu expresii conjugate, (se amplific cu conjugata, pentru a elimina radicalii) o injectivitate, (se studiaz injectivitatea, i se caut o soluie particular, unic)
Alegerea soluiei iniiale. Verificarea soluiei.
3. ECUAII IRAIONALE CU RADICALI DE ORDIN 3
o Radicalii de ordin impar care intr n structura unei ecuaii iraionale sunt definii pentru orice numr real o Semnul radicalului de ordin impar coincide cusemnul numrului de sub radical.
Eliminarea radicalilor prin o ridicare la putere, (se izoleaz un radical intr-un membru i se ridic la putere convenabil) o notaii, (se aleg substituii potrivite, care conduc la un sistem de ecuaii rationale) o amplificri cu expresii conjugate, (amplificm cu conjugata, eliminm radicalii) o injectivitate, (se studiaz injectivitatea, i se caut o soluie particular, unic)
Alegerea soluiei iniiale. Verificarea soluiei.
1. FUNCIA EXPONENIAL : 0, , ; 0, 1xf f x a a a .
c. 0,1a
i. Intersecia cu Oy 00,1 0 1A f a
-
ii. Convex 1 2 1 21 21 2 2
2 2 2
x x x xf x f xx x a af a
iii. Monotonia f str pe
iv. 0, 0,1xa a
v. 1 1: 0, , log , 0,1af f x x a
d. 1,a
i. Intersecia cu axa Oy 00,1 0 1A f a
ii. convex 1 2 1 21 21 2 2
2 2 2
x x x xf x f xx x a af a
iii. Monotonia f str pe
iv. 0, 1,xa a
v. 1 1: 0, , log , 1af f x x a
2. ECUAII EXPONENIALE
Ecuaia n care necunoscuta figureaz la exponeni se numete ecuaie exponenial. Punerea condiiilor de existen
o O funcie exponenial xa este totdeauna pozitiv
o Baza 0, 1a a
Determinarea tuturor soluiilor.
1) , 0, 1f x g x
a a a a f x g x
2) , 0, 1, 0f x
a b a a b logaf x b
3) 1 2 1 21 2 1 2 , , 0, , 1f x f x g x g x
i i i ia a b b a b a b se logaritmeaza intr-o baza convenabila
4) 21 2 3 0, 0, 1
f x f xc a c a c a a
21 2 3 1 2not 0 0 , 0
f xa t c t c t c t t
5) 1 2 3 0, , 0, , 1, 1
f x f xc a c b c a b a b a b
21 2 3 1 3 2 1 2
1 1not 0 0 0 , 0
f x f x
f xb a t c t c c c t c t c t t
ta
6) 1 11 1... ... , , 0, , 1, 1
k lf x f x g x g x
k lc a c a d b d b a b a b a b
se grupeaza intr-un membru termenii care contin exponentiale in baza , iar in celalalt membru termenii care au exponentiala in baza , apoi
se dau factori comuni in ambii membri.
a b
7) 2 2
1 2 3 0, , 0, , 1f xf x f x
c a c b c a b a b a b
2
2
2
1 3 2 1 2 3 1 2
ecuatia este omogena si se recomanda impartirea ambilor membri cu
0 not 0 0 , 0
f x
f x f x f x
b
a a ac c c t c t c t c t t
b b b
8)
ecuatii exponentiale cu solutie unica
0se recomanda aducerea lor sub forma , unde este strict monotona injectiva se observa o solutie care este unica.f x c f x
a. ecuatii exponentiale care se rezolva cu descompuneri in factorise recomanda descompunerea bazelor in factori primi,
observand o posibilitate de a-i grupa
b. 2 2daca ecuatiile au forma generala + 0,x x x xA a a B a a C 2 2 2 2
1 20, 1, , , . Se recomanda notatia = 2 2 + 2 0 , 2x x x xa a A B C a a t a a t At Bt C A t t
9)
g x h x
f x f x
1 daca 1 egalitatea este verificata pentru ,
2 daca 1 1 = 1 egalitatea este verificata daca ,
au aceeasi paritate
3 daca 0 egalitatea este verificata pentru 0,
g x h x
f x g x h x
f x g x h x
f x g x
0
4 daca 0, 1
h x
f x f x g x h x
1. FUNCIA LOGARITMIC : 0, , log ; 0, 1af f x x a a .
-
e. 0,1a
i. Intersecia cu axa Ox 1,0 1 log 1 0aA f
ii. Convex iii. Axa Oy este asimptot vertical .
iv. Monotonia f x str. pe 0,
v. 0f x pentru 1, si 0f x pentru 0,1
vi. 1 1: 0, , , 0,1xf f x a a
f. 1,a
i. Intersecia cu axa Ox 1,0 1 log 1 0aA f
ii. Concav iii. Axa Oy este asimptot vertical
iv. Monotonia f x str. pe 0,
v. 0f x pentru 1, si 0f x pentru 0,1
vi. 1 1: 0, , , 1xf f x a a
ECUAII LOGARITMICE Ecuaia n care necunoscuta figureaz ca argument al logaritmilor sau n baze ale acestora se numete ecuaie logaritmic. Punerea condiiilor de existen
o Argumentul logaritmului este totdeauna pozitiv o Baza 0, 1a a
Determinarea tuturor soluiilorpe domeniul de definiie. Sunt utile formulele
o
log log , 0, 0log
log log , 0, 0
f x g x f x g xf x g x
f x g x f x g x
o
log log , 0, 0log
log log , 0, 0
f x g x f x g xf x
f x g x f x g xg x
o
22log , 0
log2log , 0
f x f xf x
f x f x
1) log ,g x f x a a
0
0 Se rezolva ecuatia si valorile gasite vor fi solutii
1 daca verifica si celelalte relatiia
f x
g x
g x
f x g x
2) log logg x g xf x h x
0
0Se rezolva ecuatia si dintre valorile obtinute vor fi solutii
1numai acelea ce verifica si celelalte conditii
0
f x
h x
g x
g x
f x h x
3) Ecuatii logaritmice care contin logaritmi in baze diferite
Se impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se aduc logaritmii
login aceeasi baza folosindu-se formula log , , 0, , 1, 0
log
b
a
b
xx a b a b x
a
4) Ecuatii exponential-logaritmice log logSe impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se utilizeaza
formula , , , 0, , , 1b bc a
a c a b c a b c
5) Ecuatii logaritmice cu solutie unicaSe impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se arata ca functiile sunt strict
monotone sau se utilizeaza inegalitati clasice.
II. Funcii trigonometrice inverse:
a. Arcsinus: : 1,1 , , arcsin2 2
f f x x
i. Intersecia cu axele arcsin0 0 0,0 0 0,0f fG Oy O G Ox x O
ii. Impar f x f x ; simetric n raport cu O
iii. f str. pe 1,1
-
x 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2 3
2
1 f x
2
3
4
6
0
6
4
3
2
iv. Concav pe 1,0 ; Convex pe 0,1 ; Punct de inflexiune 0x
v. 2 2
f x
vi. 1,0 arcsin 0 0,1 arcsin 0x x x x
vii. 13
: , 1,1 , sin2 2
f f x x
viii. sin arcsin , 1,1x x x
arcsin sin , ,2 2
x x x
b. Arcosinus: : 1,1 0, , arccosf f x x
i. Intersecia cu axele arccos0 0, 1 1,02 2
f fG Oy C G Ox x A
ii. arccos arccosx x ; simetric n raport cu arccos arccos
2 2
x xC
iii. f str. pe 1,1
x 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2 3
2
1 f x
5
6
3
4
2
3
2
3
4
6
0
iv. Concav pe 0,1 ; Convex pe 1,0 ; Punct de inflexiune 0x
v. 0 f x
vi. 1,1 arccos 0x x
vii. 1: 0, 1,1 , cosf f x x
viii. cos arccos , 1,1x x x
arccos cos , 0,x x x
b. Arctangenta: : , , arc2 2
f f x tgx
i. Intersecia cu axele arc 0 0 0,0 0 0,0f fG Oy tg O G Ox x O
ii. Impar arc arctg x tgx simetric n raport cu O
iii. f str. pe
x 1 0 1 f x
2
4
0
4
2
iv. Concav pe 0, ; Convex pe ,0 ; Punct de inflexiune 0x
v. 2 2
f x
vi. ,0 arc 0 0, arc 0x tgx x tgx
vii. 1: , ,2 2
f f x tgx
viii. arc ,tg tgx x x
arc , '2 2
tg tgx x x
c. Arccotangenta: : 0, , arcf f x ctgx
i. Intersecia cu axele arc 0 0, 02 2
f fG Oy ctg A G Ox y Imf
-
ii. arc arcctg x ctgx ; simetric n raport cu arc arc
0,2 2 2
ctg x ctgxA
iii. f str. pe
x 1 0 1 f x
3
4
2
4
0
iv. Concav pe ,0 ; Convex pe 0, ; Punct de inflexiune 0x
v. 0 f x vi. arc 0ctgx
vii. 1: 0, ,f f x ctgx
viii. arc ,ctg ctgx x x
arc , 0,ctg ctgx x x
ECUAII TRIGONOMETRICE
ecuaia n care necunoscuta apare n argumentul funciilor sin,cos, ,tg ctg se numete ecuaie trigonometric.
Rezolvarea ecuaiei trigonometrice comport transformarea ei i inlocuirea cu o alt ecuaie Ecuaiile trigonometrice fundamentale
sin , 1x a a 1 arcsin ,kS a k k ,tgx a a arc ,S tga k k
cos , 1x a a arccos 2 ,S a k k ,ctgx a a arc ,S ctga k k
TIPURI DE ECUAII TRIGONOMETRICE :
1) sin sin ,cos cos , , cos ,cos 0 , , sin ,sin 0ax bx ax bx tgax tgbx ax bx ctgax ctgbx ax bx
sin sin 1 ,
cos cos 2 ,
, cos 0,cos 0 ,
, sin 0,sin 0 ,
kax bx ax bx k k
ax bx ax bx k k
tgax tgbx ax bx ax bx k k
ctgax ctgbx ax bx ax bx k k
sin sin , cos cos sin sin , cos cosax bx ax bx ax bx ax bx
sin cos sin sin2
ax bx ax bx
tgax tgbx tgax tg bx
2
tgax ctgbx tgax tg bx
2) sin 0, cos 0, 0, 0f x f x f tgx f ctgx Notam sin ;cos ; ;x y x y tgx y ctgx y
3) Ecuatii omogene in sin si cosf x f x
1 2 21 2 0sin sin cos sin cos ... cos 0n n n n
n n na f x a f x f x a f x f x a f x
mpart prin cos 0n f x i se noteaz cu
tgf x y . Rezolv ecuaiile , 1,itgf x y i n i fac reuniunea soluiilor, la care adaug soluiile ecuaiei cos 0f x ,dac verific ecuaia.
4) Ecuatii liniare in sin si cosf x f x sin cos ; , ,a f x b f x c a b c
Se folosesc substituiile universal 2
2 2
2 1sin ,cos ,
21 1
t t xf x f x t tg
t t
.Trebuie verificat dac valorile lui x , pentru care
,
2 2
f xk k
sunt soluii.
5) Ecuatii simetrice de forma sin cos sin cosa f x f x b f x f x c notm sin cosf x f x y i ridic la ptrat, obin
2 1
sin cos , 2, 22
yf x f x y
.
6) 2 2ecuatii care contin sume de forma sin cos , , 2n nx x n n
2 22 2 4 4 6 61 3sin cos 1; sin cos 1 sin 2 ; sin cos 1 sin 2 ;
2 4x x x x x x x x
7) ecuatii care contin sume de sinusuri sau cosinusuri .Se grupeaz convenabil i se transform sumele n produse.
-
8) ecuatii trigonometrice care contin functii inverse
ecuaia
2a
2a
2 2a
2a
2a
arcsin x a Nici o soluie 1x sinx a 1x Nici o soluie
ecuaia 0b 0a 0 b b b
arccos x b Nici o soluie 1x cosx b 1x Nici o soluie
ecuaia
2c
2 2c
2c
arc tgx c Nici o soluie x tgc Nici o soluie
ecuaia 0d 0 d d
arcctgx d Nici o soluie x ctgd Nici o soluie
1. MULIMI FINITE ORDONATE
O mulime A mpreun cu o ordine bine determinate de dispunere a elementelor sale este o combinaie (sau mulime ordonat). Dou combinaii sunt diferite dac: se deosebesc prin elementele lor sau se deosebesc prin ordinea de dispunere a elementelor lor.
1 2 3, , ,..., nA a a a a , atunci combinaiile formate cu elementele lui A le notm 1 2 3, , ,..., na a a a . 2. REGULILE GENERALE ALE COMBINATORICII. (regula sumei) Dac un anumit obiect A poate fi ales n mmoduri, iar un alt obiect B poate fi ales n n moduri,atunci alegere a lui A sau
B poate fi realizat n m n moduri. Dac exist coincidene, atunci regula sumei d m n k moduri de alegere a lui A sau B , unde k este numrul de coincidene.
(regula produsului) Dac un anumit obiect A poate fi ales n mmoduri, i dup fiecare astfel de alegere, un alt obiect B poate fi ales n n
moduri, atunci alegere perechii ,A B n aceast ordine poate fi realizat n m n moduri. Dac notm cu 1 2, ,..., mA A A cele m posibiliti de
alegere a lui A i cu 1 2, ,..., nB B B cele n posibiliti de alegere a lui B , atunci putem prezenta cele m n posibiliti de alegere a lui ,A B sub forma unui tabel.
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
, , , ,..., ,
, , , ,..., ,
.........................................
, , , ,..., ,
n
n
m m m n
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
3. PERMUTRI Se numete permutare a mulimii A finite, orice mulime ordonat format cu toate elementele ei.
Numrul permutrilor mulimii A se noteaz cu nP i este 1 2 3 ... !, , 1not
nP n n n n .
Numrul permutrilor cu repetiie a n elemente, n care fiecare element se repeta pn la n ori este nnP n .
Numrul permutrilor a n elemente, dintre care 1 sunt egale ntre ele, 2 sunt egale ntre ele,, r sunt egale ntre ele este
1 2
1 2
!, ...
...n r
r
nP n
.
Prin convenie 0! 1 .
! 1 !n n n
! 1 ! !n n n n
! 2 1n n n n
2 !!
2 1
nn
n n
4. ARANJAMENTE
Fie mulimea finit A cu elemente n i 1,2,3,...,k n . Se numec aranjamente de n elemente luate cte k
elemente ale mulimii A ,
toate submulimile ordonate cu k elemente ale mulimii A .
!
!
k
n
nA
n k
Numrul aranjamentelor cu repetiie a n elemente luate cte k este k knA n .
0 1nA
-
!nn nA P n
1n nn nA A
1k kn nA n k A
1 2 ... 1knA n n n n k 5. COMBINRI
Fie mulimea finit A cu elemente n i 1,2,3,...,k n . Se numec combinri de n elemente luate cte k
elemente ale mulimii A , toate
submulimile cu k elemente ale mulimii A .
!
! !
k
n
nC
k n k
Numrul combinrilor cu repetiie a n elemente luate cte k este1
k k
n n kC C .
0 00 1n
n nC C C
1 1nn nC C n
2 2 1
2
n
n n
n nC C
k n kn nC C (formula combinrilor complementare)
11 1k k k
n n nC C C
(formula de recuren a combinrilor)
Triunghiul aritmetic
00 1C
01 1C
1
1 1C
02 1C
1
2 2C 2
2 1C
03 1C
1
3 3C 2
3 3C 3
3 1C
0
4 1C 1
4 4C 2
4 6C 3
4 4C 4
4 1C
0 1 ... 2n nn n nC C C (numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente)
k
k n
n
k
AC
P
1 1 1 1 11 2 1 1...k k k k k k
n n n k k kC C C C C C
6. NUMRUL DE FUNCII INJECTIVE I BIJECTIVE
a. Numrul de funcii :f A B este cardAN cardB . Notm m mnA r n i reprezint numrul de aranjamente de n elemente luate cte
m cu repetiie, unde ;cardB n cardA m
2
: ,nf A A A N n cardA n
b. Numrul de funcii injective :f A B este ,cardAcardBN A cardA cardB .
c. Numrul de funcii surjective :f A B este 11 2 3 11 2 3 ... 1
n n n mn m
m m m mN m C m C m C m C .
d. Numrul de funcii bijective :f A B este !,cardAcardBN A cardA cardA cardB . 7. BINOMUL LUI NEWTON
0 1 1 2 2 2 ... ...n n n n k n k k n
n n n n na b C a C a b C a b C a b C
0 1 1 2 2 2 ... 1 ... 1n k nn n n k n k k n
n n n n na b C a C a b C a b C a b C
Coeficienii 0 1 2, , ,..., nn n n nC C C C sunt coeficiei binomiali si sunt 1n
Coeficienii k knC b sunt coeficieni numerici
0 1 2 ... 1 0n n
n n n nC C C C
0 2 4 1... 2nn n nC C C
1 3 5 1... 2nn n nC C C
8. TERMENUL DE RANG 1k
1n k n k k
k na b T C a b
1 1n k k n k k
k na b T C a b
2 11
k k
n k bT T
k a
9. PROCENTE
-
, 0100
pp este raport procentual %p .
1
100procent,
100
psunt p procente
Valoarea la care se face raportarea procentual se numete valoare de baz a . Valoarea care se compare cu valoarea de baz se numete
valoare procentual b100
b p
a
a) Aflarea 100
p dintr-un numr dat
100
px a
b) Creteri i scderi cu att.
i. Creteri cu 100
100 100
p px a
ii. Scderi cu 100
100 100
p px a
c) Aflarea unui numr cnd se cunoate 100
pdin el
100
100
p bx b x
p
d) Determinarea raportului procentual 100
100
x ba b x
a
, 01000
pp este promila 0 00p
m T M este titlul unui aliaj n care intr un metal preios T titlul aliajului, m masa metalului preios, M masa aliajului
10. DOBNZI.
a. Dobnd simpl 100
s
rD S n , D masa dobnzii, S creditul,
100
r rata dobnzii, n perioada
Dac anul este divizat n k pri egale i kt este perioada de calcul a dobnzii simple
100
k
s
trD S
k
b. Dobnd compus 0c nD S S , unde 1
100
n
n
rS
c. Taxa pe valoarea adugat TVA este un impozit indirect exprimat n procente care se stabilete asupra vnzrilor bunurilor i a prestrilor de servicii. Impozitele indirecte sunt impozite cuprinse n preurile bunurilor i serviciilor sub forme i denumiri diferite: TVA, accize, taxe vamale... . Impozitele indirecte se caracterizeaz prin faptul c acei care le pltesc (la bugetul statului) sunt unitile economice care vnd bunuri sau presteaz servicii, iar cei care le suport sunt cumprtorii (intr n pre).
100p
PTVA P ,
100
P cota de impozitare, pP pre producie, vP pre vnzare v pP P TVA ,
11. ELEMENTE DE PROBABILITI a. Evenimente.
Prin eveniment nelegem orice rezultat al unui experiment. Efectuarea unui experiment presupune realizarea unui complex de condiii.
- evenimentul sigur (cert) care este evenimentul ce se produce n mod obligatoriu, la efectuarea unui anumit experiment; AA C
-evenimentul imposibil care este evenimentul ce n mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unui anumit experiment; AA C
- evenimentul ntmpltor (aleator) care este evenimentul ce poate s se produc sau nu la efectuarea unui anumit experiment, dependent de aciunea mai multor factori ntmpltori. Dou sau mai multe evenimente spunem c sunt incompatibile dac producerea unuia dintre ele exclude producerea celorlalte ntr-o aceeai prob. Dou evenimente se numesc independente dac probabilitatea de realizare a unuia dintre ele nu depinde de faptul c cellalt eveniment s-a produs sau nu. n caz contrar evenimentele se numesc dependente.
n mulimea tuturor evenimentelor se pot introduce trei operaii corespunztoare operaiilor logice sau, i, non; - evenimentul A sau B , notat A B, este evenimentul care se produce dac i numai dac cel puin unul dintre evenimentele A, B se produce i-l vom numi reuniunea evenimentelor A i B; 1. ,A B K A B B A (comutativitatea);
2. , , ( ) ( )A B C K A B C A B C (asociativitatea);
3. Dac ,A B K i A B A B B (evident A E E , A A , E E i A A E ).
- evenimentul A i B, notat AB, este evenimentul care se produce dac i numai dac ambele evenimente A i B se produc i-l vom numi intersecia evenimentelor A i B; 1. ,A B K A B B A (comutativitatea)
2. , , ( ) ( )A B C K A B C A B C (asociativitatea)
3. Dac ,A B K i A B A B A (evident A E A , A , E i A A A ).
4. A K A A .
-
- evenimentul non A, notat CA, este evenimentul care se produce dac i numai dac A nu se produce; acesta va fi numit evenimentul contrar lui A.
A B A B i E A A .
A B A B i A B A B i respectiv generalizrile i i
i I i I
A A
; i ii I i I
A A
.
Dac A B i B A atunci A=B, caz n care evenimentele A i B sunt echivalente.
Dac A B = , n limbajul evenimentelor, spunem c evenimentele A i B sunt incompatibile. Un eveniment se numete: 1) elementar dac se realizeaz ca rezultat al unei singure probe; se noteaz cu e. 2) compus dac acesta apare cu dou sau mai multe rezultate ale probei considerate.
b. Probabiliti
Fie ;E K un cmp de evenimente, probabilitatea pe mulimea K este o funcie :P K R care satisface axiomele:
i) ( ) 0,P A A K
ii) 1P E
iii) ( ) ( ) ( ), ; ;P A B P A P B A B K A B
1. 0P
2. 1P A P A
3. 11
n n
i i
ii
P A P A
dac ,i jA A ,i j , 1,i j n
Probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre numrul evenimentelor egal probabile favorabile evenimentului A i numrul total al evenimentelor egal probabile.
nr. cazurilor favorabile
nr. cazuri posibileP .
Reguli de calcul cu probabiliti
Probabilitatea diferenei: ,A B K i A B atunci P B A P B P A
Probabilitatea reunirii (formula lui Poincar): ,A B K ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B
Probabiliti condiionate: ( ) 0P B atunci raportul ( )
( )
P A B
P B
( )BP A P A B .
( ) ( ) ( )BP A B P B P A - intersecia a dou evenimente dependente.
( ) ( ) ( )P A B P A P B - intersecia a dou evenimente independente.
Dac ;A B se condiioneaz reciproc i ( ) 0, ( ) 0P A P B atunci ( ) ( ) ( ) ( )A BP A P B P B P A .
1
( ) ( )
( ) ( )
i
i
i A
X i n
i A
i
P A P XP A
P A P X
, 1,i n formula lui BAYES
Scheme clasice de probabilitate Schema lui Bernoulli cu bila ntoars (binomial)
Modelul probabilistic se realizeaz printr-o urn ce conine bile de dou culori (albe i negre). Se extrag bile din urn una cte una, fiecare bil se reintroduce n urn dup constatarea culorii. Se cere determinarea probabilitii ca din n bile extrase, k s fie de culoare alb.
, 1 2 1( ... ... ) k n kk n k k k nP X P A A A A A p q , , 1k k n k
nP n k C p q p q
Dac se consider formula binomului lui Newton: 0 0
( ) ( , )n n
n k k n k k k
n
k k
px q C p q x P n k x
, deci ,P n k este coeficientul lui kx din
dezvoltarea binomial ( )npx q , de aici i denumirea de schema binomial. 0
( , ) 1.n
k
P n k
Schema lui Bernoulli cu bila nentoars (hipergeometric) . Se consider o urn care conine bile de dou culori: a bile albe i b bile negre. Se extrag bile din urn, una cte una, fr ntoarcerea bilelor extrase napoi n urn. Se cere s se determine probabilitatea ca din n bile extrase k s fie de culoare alb i n-k de culoare neagr.
Exist na bC posibiliti de a lua n bile din totalul de a+b bile cte sunt n urn la nceput. Numrul posibilitilor de a lua k bile albe din cele a
existente la nceput n urn este kaC , iar pentru a lua n-k bile negre din cele b bile negre ce se afl n urn la nceput este n k
bC , deci
,k n k
a b
n
a b
C CP n k
C
, unde ,a k b n k i a b n .
Schema lui Poisson Se aplic n cazul n care se fac repetri independente ale unui experiment i la fiecare repetare se are n vedere un anumit eveniment, eveniment ce apare, n general, cu probabiliti diferite la repetri de rang diferit. Se cere s se determine probabilitatea ca din n repetri ale experimentului, evenimentul considerat s apar de k ori.
-
Modelul probabilistic se obine cu ajutorul unui sistem de n urne care conin bile de dou culori, albe i negre, n proporii diferite, n general.
Se ia cte o bil din fiecare urn i se cere probabilitatea ,P n k de a obine k bile albe din cele n extrase.
Notm cu ip probabilitatea de a extrage bil alb din urna de rang i i cu iq probabilitatea de a extrage bil neagr din urna de rang i, unde
1, 1, .i ip q i n Avem c ,P n k este coeficientul lui kx din dezvoltarea polinomului: 1 1 2 2( )( )...( )n np x q p x q p x q .
top related