curs 4 - serii de numere reale. serii de functii. serii de...
Post on 07-Sep-2019
89 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CURS 4Serii de numere reale. Serii de functii. Serii de puteri
A. Arusoaiearusoaie.andreea@gmail.com
andreea.arusoaie@info.uaic.ro
Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi
23 Octombrie 2017
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 28
Serii cu termeni oarecare
In aceasta sectiune vom analiza serii de tipul∑n∈N
xn, unde xn nu este neaparat pozitiv.
• Daca xn · xn+1 ≤ 0, ∀n ∈ N, atunci spunem ca seria∑n∈N
xn se numeste serie alternata.
Exemplu: Seria armonica alternata∑n∈N∗
(−1)n+1 1
neste convergenta.
Fie xn = (−1)n+1 1
nsi fie n, p ∈ N∗. Atunci avem
|xn+1 + ...+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+1 1
n+ 1+ ...+ (−1)n+p+1 1
n+ p
∣∣∣∣ ≤ 1
n+ 1.
Cum limn→∞
1
n+ 1= 0⇒ ∀ε > 0, ∃nε =
[1
ε
]astfel ıncat
1
n+ 1< ε, ∀n ≥ nε.
Asadar |xn+1 + ...+ xn+p| < ε, pentru orice n ≥ nε si p ∈ N∗, adica (xn)n∈N∗ este sirfundamental.Prin urmare, conform Criteriului de convergenta al lui Cauchy,
∑n∈N∗
xn (C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Dirichlet)
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn := x1 + ...+ xn, n ∈ N∗. Daca:
sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;
sirul (yn)n∈N∗ este monoton iar limn→∞
yn = 0,
atunci seria∑n∈N∗
xnyn este convergenta.
Demonstratie: Cum (Sn) este marginit ⇒ ∃M > 0 astfel ıncat |Sn| ≤M. Presupunem ca sirul(yn)n∈N∗ este descrescator si convergent la 0. Asadar avem:
∀ ε > 0,∃nε ∈ N∗ asa ıncat ∀n ∈ N∗, n ≥ nε : yn+1 <ε
2M.
Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru∑n∈N∗
xnyn, obtinem ca,
∀ε > 0,∃n′ε = nε, n′ε ∈ N∗, asa ıncat, ∀n ∈ N∗, cu n ≥ n′ε si ∀ p ∈ N∗, avem:
|xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| ≤Myn+1 +M(yn+1 − yn+2) + ...+M(yn+p−1 − yn+p)
+Myn+p ≤ 2Myn+1.
Asadar, vom obtine |xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| < ε ⇒∑n∈N∗
xnyn (C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 28
Criterii de convergenta
Exemplu: Seria∑n∈N∗
cosn√n
este convergenta.
Vom considera xn = cosn si yn =1√n
. Aratam ca Sn = cos 1+cos 2+ . . .+cosn este marginit.
Observam ca
2 sin1
2Sn = 2 sin
1
2cos 1 + 2 sin
1
2cos 2 + . . .+ 2 sin
1
2cosn = sin
(n+
1
2
)− sin
(12
)
Asadar Sn =sin
n
2· cos
n+ 1
2
sin1
2
, ∀n ∈ N∗. Deci |Sn| ≤1∣∣∣∣sin 1
2
∣∣∣∣ =1
sin 12
, ∀n ∈ N∗.
Pe de alta parte, sirul
(1√n
)n∈N∗
⊂ R∗+ este descrescator si convergent la 0.
Fiind ındeplinite conditiile criteriului lui Dirichlet, rezulta ca∑n∈N∗
(cosn ·
1√n
)(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Abel)
Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale. Daca
seria∑n∈N∗
xn este convergenta,
sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,
atunci seria∑n∈N∗
xnyn este convergenta.
Demonstratie: Cum sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit ⇒ (yn) este convergent ın R.Fie y = lim
n→∞yn si fie zn := yn − y ⇒ (zn) este monoton, iar lim
n→∞zn = 0.
Cum∑n∈N∗
xn(C) iar (zn) este monoton cu limn→∞
zn = 0 ⇒∑n∈N∗
xnzn (C)
Pe de alta parte, cum y ∈ R iar∑n∈N∗
xn(C) ⇒∑n∈N∗
xny(C).
Asadar, ∑n∈N∗
xnyn =∑n∈N∗
xn(zn + y) (C) - suma de doua serii convergente
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 28
Criterii de convergenta
Teorema (Criteriul lui Leibniz)
Daca sirul (un)n∈N∗ de numere reale pozitive este monoton si convergent la 0, atunci seria
alternata∑n∈N∗
(−1)nun este convergenta.
Exemplu: Seria∑n∈N∗
(−1)n1
neste convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 28
Convergenta absoluta a seriilor
Definitie
Spunem ca seria∑n∈N∗
xn este:
absolut convergenta (AC) daca∑n∈N∗
|xn| este convergenta;
semiconvergenta (SC) daca∑n∈N∗
xn este convergenta si∑n∈N∗
|xn| este divergenta.
Propozitie
Daca o seria∑n∈N∗
xn (AC), rezulta ca seria∑n∈N∗
xn (C).
Definitie
Se numeste produs Cauchy al seriilor de numere reale∑n∈N∗
xn si∑n∈N∗
yn, seria∑n∈N∗
zn, unde
zn = x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1, ∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 28
Convergenta absoluta a seriilor
Teorema (Mertens)
Fie∑n∈N∗
xn si∑n∈N∗
yn doua serii de numere reale.
Daca∑n∈N∗
xn (AC) si∑n∈N∗
yn (C) atunci seria produs Cauchy a celor doua serii este convergenta.
Mai mult, iar suma ei este egala cu produsul sumelor celor doua serii.
Corolar
Seria produs Cauchy a doua serii absolut convergente este absolut convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 28
Aproximarea seriilor convergente
Teorema (de aproximare a sumei unei serii alternate)
Fie seria∑n∈N∗
(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ monoton si convergent la 0. De asemenea, fie S suma
acestei serii si (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:
|S − Sn| < |xn+1|,∀n ∈ N∗.
Teorema (de aproximare a sumei unei serii absolut convergente)
Fie∑n∈N∗
xn o serie absolut convergenta de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul
corespunzator al sumelor partiale. Atunci, daca exista λ ∈ (0, 1) si n0 ∈ N∗ astfel ıncat
i) n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| ≤
λn+1
1− λ, ∀n ≥ n0
sau
ii)
∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| <|xn+1|1− λ
, ∀n ≥ n0.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 28
Serii de functii
Fie A ⊆ R, A 6= ∅ si fie (fn)n∈N∗ un sir de functii, unde fn : A→ R, n ∈ N∗.Vom nota o serie de functii de termen general fn prin
∞∑n=1
fn sau∑n∈N∗
fn.
Vom nota cu (Sn)n∈N∗ , Sn : A→ R, sirul sumelor partiale corespunzator seriei∑n∈N∗
fn, definit
prinSn(x) = f1(x) + f2(x) + ...+ fn(x), x ∈ A.
Definitie
Fie∞∑
n=1
fn o serie de functii definite pe multimea nevida A ⊂ R.
Spunem ca x0 ∈ A este un punct de convergenta al seriei de functii∞∑
n=1
fn, daca∞∑
n=1
fn(x0)(C).
Multimea tuturor punctelor de convergenta ale seriei∞∑
n=1
fn se numeste multimea de
convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 28
Serii de functii
Definitie
Fie A ⊂ R o multime nevida, fn : A→ R un sir de functii, si fie (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale
atasat seriei∞∑
n=1
fn.
i) Spunem ca seria∞∑
n=1
fn converge punctual pe A daca∞∑
n=1
fn(x) este convergenta, ∀x ∈ A,
adica daca exista S : A→ R astfel ıncat Snp/A−→ S. In acest caz, vom nota S =
∞∑n=1
fn pe A.
ii) Spunem ca seria∞∑
n=1
fn este uniform convergenta pe multimea A, daca exista o functie
S : A→ R astfel ıncat Snu/a−→ S.
iii) Spunem ca∞∑
n=1
fn este absolut convergenta, daca seria∞∑
n=1
|fn| este convergenta punctual.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 28
Serii de functii
Exemplu: Fie seria de functii∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1). Aratam ca seria este convergenta
uniform pe (0,∞). Intr-adevar
Sn =n∑
k=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)=
n∑k=0
(1
x+ k−
1
x+ k + 1
)=
1
x−
1
x+ n+ 1.
Observam ca limn→∞
Sn = limn→∞
(1
x−
1
x+ n+ 1
)=
1
x, pentru orice x ∈ (0,∞).
Asadar, seria de functii reale∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta punctual la functia
f : (0,∞)→ R, f(x) =1
x.
Pe de alta parte, pentru orice x ∈ (0,∞), avem
|Sn(x)− f(x)| =∣∣∣∣ 1x − 1
x+ n+ 1−
1
x
∣∣∣∣ = 1
x+ n+ 1≤
1
n+ 1.
Prin urmare, seria∞∑
n=0
1
(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta uniform pe (0,∞).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 28
Serii de functii
Teorema lui Cauchy de convergenta uniforma
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii.
Seria de functii∞∑
n=0
fn converge uniform pe multimea A daca si numai daca
∀ε > 0, ∃nε ∈ N, a. ı. ∀n ≥ nε, ∀p ∈ N∗ : |fn+1 + fn+1 + ...+ fn+p| < ε, ∀x ∈ A.
Demonstratie: Fie (Sn)n∈N sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑
n=0
fn. Cum (Sn) este
convergent uniform pe A daca si numai daca (Sn) este sir uniform Cauchy, vom avea ca pentruorice ε > 0, ∃nε ∈ N, astfel ıncat ∀n ≥ nε si orice p ∈ N avem
|Sn(x)− Sn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,
sau, echivalent,|fn+1(x) + ...+ fn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,
asadar teorema este demonstrata.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 28
Serii de functii
Teorema (Criteriul lui Weierstrass)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii. Daca exista un sir de numere reale
pozitive (αn)n∈N astfel ıncat∞∑
n=0
αn este convergenta si
|fn(x)| ≤ αn, pentru orice n ∈ N si x ∈ A,
atunci seria de functii∞∑
n=0
fn este uniform si absolut convergenta pe A.
Exemplu: Fie seria∞∑
n=1
cosnx
n2 + x2, pentru orice x ∈ R.
∣∣∣∣ cosnx
n2 + x2
∣∣∣∣ ≤ | cosnx|n2≤
1
n2, pentru orice n ∈ N si orice x ∈ R,
iar seria numerica∞∑
n=1
1
n2, este convergenta. Asadar, aplicand criteriul lui Weierstrass, rezulta ca
seria∞∑
n=1
cosnx
n2 + x2, este uniform si absolut convergenta pe R.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 28
Serii de functii
In continuare, vom stabili doua criterii de convergenta uniforma (nu si absoluta) pentru serii de
functii de forma∑n∈N∗
fngn.
Teorema (Criteriul lui Abel pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗
fn este
uniform convergenta pe A iar sirul (gn(x))n∈N∗ este uniform marginit si monoton pentru orice
x ∈ A, atunci seria∑n∈N∗
fngn este uniform convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 28
Serii de functii
Teorema (Criteriul lui Dirichlet pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗
fn are
sirul sumelor partiale uniform marginit, iar sirul (gn)n∈N∗ este monoton descrescator si
convergent uniform la 0, atunci seria∑n∈N∗
fngn este uniform convergenta.
Teorema (Criteriul lui Leibniz pentru serii de functii reale)
Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn : A→ R un sir de functii.Daca (fn)n∈N∗ este un sir descrescator (pentru orice x ∈ A) si uniform convergent la 0, atunci
seria∑n∈N∗
(−1)nfn este uniform convergenta pe A.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 28
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente
2 Serii de functii
3 Serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 28
Serii de puteri
Definitie
Fie A ⊂ R, o multime nevida, (an)n∈N un sir de numere reale si x0 ∈ R.
Seria de functii∑n∈N
fn, ın care fn(x) = an(x− x0)n, ∀x ∈ A ,∀n ∈ N∗, se numeste serie de
puteri (sau serie ıntreaga), ın variabila x, centrata ın x0 si cu coeficientii an.Numarul real an se numeste coeficientul termenului de rang n din seria de puteri.
Observatii:
a) Toate rezultatele stabilite pentru serii de functii oarecari sunt aplicabile, desigur, si ın cazulparticular al seriilor de puteri.
b) O chestiune de baza din studiul seriilor de puteri este determinarea multimilor deconvergenta punctuala, absoluta si uniforma.
c) Vom nota cu Acp multimea de convergenta punctuala a unei serii de puteri∑n∈N
an(x− x0)n.
Este usor de aratat ca Acp 6= ∅.
d) In continuare, vom considera cazul ın care x0 = 0, adica asupra seriei∑n∈N
anxn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 28
Serii de puteri
Teorema lui Abel
Pentru orice serie de puteri∑n∈N
anxnexista un element r ∈ [0,+∞], numit raza de convergenta a
seriei ın cauza, astfel ıncat:
i) daca r = 0, seria∑n∈N
anxneste convergenta numai pentru x = 0, adica Acp = {0};
ii) daca r > 0, atunci seria∑n∈N
anxneste absolut convergenta pe intervalul (−r, r);
iii) daca 0 < r < +∞, atunci seria∑n∈N
anxneste divergenta pe (−∞,−r) ∪ (r,+∞);
iv) daca r = +∞, atunci seria∑n∈N
anxneste convergenta pe R;
v) daca r > 0 si ρ ∈ (0, r), atunci seria∑n∈N
anxneste uniform convergenta pe orice interval
[α, β] ⊆ [−ρ, ρ].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 28
Serii de puteri
Propozitie
Fie∑n∈N
anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.
Daca exista ρ = limn→∞
n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei este data de
r =
0, cand ρ = +∞1
ρ, cand 0 < ρ < +∞
∞, cand ρ = 0
.
Daca nu exista limn→∞
n√|an|, vom calcula r similar, doar ca de data asta, ρ = lim sup
n→∞n√|an|.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 28
Propozitie
Fie∑n∈N
anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.
Daca exista n0 ∈ N asa ıncat an 6= 0, ∀n ≥ n0, n ∈ N si exista ` = limn→∞
|an+1||an|
∈ R, atunci:
r =
0, cand ` = +∞1
`, cand 0 < ` < +∞
∞, cand ` = 0
.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 28
Serii de puteri
Observatii:
1. Pentru orice serie de puteri∑n∈N
anxn, avem:
(−r, r) ⊆ Acp ⊆ [−r, r].
2. Pentru gasirea multimii Acp, se determina raza de convergenta r si apoi se stabileste dacax = −r si x = r sunt sau nu puncte de convergenta ale seriei ın cauza.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 28
Serii de puteri
Exemple de serii de puteri de forma∑n∈N
anxn:
Seria nula: an = 0, n ∈ N. Avem r = +∞, Acp = R;Seria geometrica: cand an = 1. Avem r = 1, Acp = (−1, 1);
Seria∑n∈N
n!xn. Avem r = 0, Acp = {0};
Seria exponentiala,∑n∈N
1
n!xn. Avem r = +∞, Acp = R. Mai mult,
∞∑n=0
xn
n!= ex, x ∈ R.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 28
Serii de puteri
Observatie: Daca f : A ⊆ R→ R este o functie derivabila de orice ordin ın x0 ∈ A, atunci vom
numi serie Taylor asociata functiei f , ın punctul x0, seria de puteri∑n∈N
f (n)(x0)
n!(x− x0)n,
adica seria de puteri pentru care an =f (n)(x0)
n!.
Pentru x0 = 0 vom numi serie MacLaurin atasata functiei f , ın punctul x0 = 0, seria de puteri∑n∈N
f (n)(x0)
n!(x− x0)n.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 28
Bibliografie
Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iasi, 1998.
V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica (Cap. 10, 11 si 12),Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
E. Macovei, F. Iacob - Matematica pentru anul I), Editura Universitatii ”Al. I. Cuza”, Iasi,2005.
W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of CongressCataloging-in-Publication Data, 2010.
M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”Fair Partners”,Bucuresti, 2011.
Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department ofMathematics, Los Angeles, 2015.
M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), ImperialCollege London, Department of Computing, 2016.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 28
top related