curs 1 analiza
Post on 17-Sep-2015
213 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
1
Curs 1
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL
1. Integrale reductibile la integrale din funcii raionale ( )2, dI R x ax bx c x= + +
a) dac 0a > se face substituia 2ax bx c x a t+ + = + b) dac 0c > se face substituia 2ax bx c c x t+ + = + c) dac 0 > se face substituia ( )2 1ax bx c t x x+ + = , sau
( )2 2 .ax bx c t x x+ + =
Exemplu 1
20
d.
6xI
x x=
+ +
Soluie
2. Integrala binome
( ) d , , , .pm nI x ax b x m n p= + a) dac p se face substituia x t= , unde este cel mai mic
multiplu comun al numitorilor lui m i n.
b) dac 1, mpn
+ , se face substituia nax b t+ = , unde
este numitorul lui p.
-
2
c) dac 1 1, ,m mp pn n
+ + + , se face substituia
n
n
ax bt
x
+= , unde este numitorul lui p.
Exemplu 3 41 dxI x
x
+= .
Soluie
3. Integrale improprii
Pentru [ ]: , ,f a b integrabil, avem ( ) ( ) ( )db
a
f x x F b F a= .
( ) ( ) ( ) ( )d , d , d , d .bb
a a
f x x f x x f x x f x x
+
+ +
Exemplu
020
1 d arctg lim arctg .21 x
x x xx
pi+
= = =
+ Integrala este convergent.
Criterii de convergen a integralelor improprii 1) La infinit, dac exist ( )lim
xx f x
< pentru 1 > , integralele
de tipul ( ) ( ) ( )d , d , db
a
f x x f x x f x x+ +
sunt convergente.
-
3
2) n puncte de valori finite, dac exist ( ) ( )limx ax a
x a f x>
<
pentru 1 < , respectiv ( ) ( )limx bx b
b x f x , deoarece ( )( ) 22 2 21 1
11 1 xx t x
++ +, iar integrala
020
1 d arctg21
x xx
pi
= =
+ deci este convergent.
Integrala lui Euler de spea a doua
( ) 10
e d , 0.p xp x x p
= >
Proprieti
1) ( ) ( ) ( )10 0
1 1e d e d 1 .p x p xp x x x x p
p p
= = = +
Rezult ( ) ( )1 .p p p + = 2) Din proprietatea 1) obinem
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ...1 2 ... 1 , .
p n p n p n
p n p n p p p n
+ = + + = == + + +
Pentru 1p = rezult ( ) ( )1 !, .n n n + =
Integrala lui Euler de prima spe
( ) ( )1
11
0, 1 d , , 0.qpB p q x x x p q= >
Proprieti
1) ( ) ( ) ( )( ), .p q
B p qp q
=
+
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,1 .sinp p pppi
pi =
-
6
Exemplu 1 1 11 .
12 2 2sin
2
pipi pi
pi
= = =
Aplicaii seminar
1) S se calculeze ( ) 2
d.
1 3 2xI
x x x=
+
2) S se calculeze 3 5
d.
1
xIx x
=
+
3) S se studieze convergena integralei 2
1
d.
1
xIx x
=
+
4) S se studieze convergena integralei 1
3 40
d.
1
xIx
=
5) S se calculeze integrala
( ) ( )11 1 1
2 2 2
0 0
1 11 1 2 2d 1 d , .2 2 1
I x x x x x x B
= = = =
6) S se calculeze integrala ( )4
20
d .1
xI xx
=
+
Ind. Se face substituia .1
tx
t=
7) S se calculeze integrala 2
40
d .1
xI xx
=
+
Ind. Se face substituia 4 .1
tx
t=
top related