capitolul 9 cor
Post on 17-Jan-2016
240 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
180
CAPITOLUL 9
ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE
O bară este solicitată la încovoiere simplă atunci când torsorul eforturilor
se reduce la o componentă moment dirijată după una din axele centrale
principale de inerţie ale secţiunii transversale şi la o componentă forţă, ĩn planul
secţiunii, normală pe axa vectorului moment.
Fig.9.1
Astfel în figura 9.1, a încovoierea simplă este după axa principală z, axa
vectorului moment şi componenta forţei după axa y reprezintă forţa tăietoare
corespunzătoare. Într-un punct curent de coordonate (z,y) se poate dezvolta
tensiunea normală x şi tensiunile tangenţiale xy , xz .
Axele zOy sunt axele centrale principale ale secţiuni transversale (§5).
Daca torsorul are numai componenta zM (fig. 9.1, b) şi în punctul curent
(z,y) se dezvoltă numai tensiunea normală x , solicitarea este denumită
încovoiere pură.
9.1. ÎNCOVOIEREA PURĂ
9.1.1 Formula lui Navier
Distribuţia de tensiuni şi deformaţii specifice se determină, în orice
problemă de Rezistenţa materialelor, prin analiza celor trei aspecte: static,
geometric şi fizic.
Relaţiile de echivalenţă dintre tensiuni şi eforturi secţionale (fig. 9.2, b)
181
a) x
A
N dA 0; b) yx
A
M ( dA)z 0; c) zx
A
M ( dA)y , (9.1)
reprezintă o formă a relaţiilor aspectului static, adică a relaţiilor dintre tensiuni şi
încărcările exterioare.
Fig.9.2
Fig.9.3
Expresia z
x
z
My
I , (9.6)
reprezintă formula lui Navier.
182
Distribuţia de tensiuni, dată de (9.6), variază liniar cu distanţa la axa
neutră (fig. 9.3, b) şi are valoarea maximă în fibra cea mai îndepărtată de axa
neutră
z
max max
z
My
I . (c)
Întroducând noţiunea de modul de rezistenţă
zz
max
IW
y , (9.7)
tensiunea normală (c) devine z
max
z
M
W (9.8)
şi ţinând seama de semnul momentului încovoietor (fig. 9.3, c) poate să fie de
întindere sau de compresiune.
Definind modulele de rezistenţă pentru fibrele extreme (fig. 9.3, c)
s zz
s
IW
y ; j z
z
j
IW
y , (d)
tensiunile în aceste fibre sunt: z
sx s
z
M
W ;
zj
x jz
M
W (e)
cu semne contrarii şi pot fi de întindere sau de compresiune în funcţie de semnul
momentului încovoietor.
9.1.2 Dimensionarea barelor solicitate la încovoierea pură
Cunoscând rezistenţele admisibile ale materialului, la întindere a şi la
compresiune ac , tensiunile maxime şi minime trebuie să îndeplinească
condiţiile de rezistenţă
max a ; min ac . (9.9)
Dacă materialul are aceeaşi rezistenţă la întindere şi la compresiune
a ac , atunci conditia de rezistenta devine
z
amaxz
M
W (9.10)
şi constituie formula de verificare la încovoiere pură.
Pornind de la (9.10), cunoscând zM şi a , se obţine formula de dimensionare
z
nec dimz z
a
MW W
, (9.11)
183
din care se obţine parametrul care defineşte complet elementele geometrice ale
secţiunii transversale. După alegerea dimensiunilor secţiunii se calculează
modulul de rezistenţă efectiv efzW şi se verifică condiţia de rezistenţă
z
aefmaxz
M
W . (9.10’)
Dacă forma geometrică a secţiunii transversale nu poate fi definită printr-
un singur parametru, dimensionarea se face prin încercări succesive: se adoptă
dimensiunile secţiunii, se calculează efzW şi se verifică condiţia de rezistenţă
(9.10’). Se modifică dimensiunile secţiunii până când condiţia (9.10’) este
verificată satisfăcător, adică ef
a amax0,95 ;1,02 .
În situaţia unei bare pentru care se cunoaşte a şi efzW , din condiţia de
rezistenţă (9.10) se determină momentul încovoietor capabil z efcap a zM W , (9.12)
care permite să se stabilească forţele maxime ce pot fi aplicate pe bară.
Astfel, din condiţia z zcap efM M (9.13)
se determină forţele maxime pe bară dacă acestea depind de un singur
parametru.
9.1.3. Module de rezistenţă pentru anumite secţiuni caracteristice
A. Secţiunea dreptunghiulară
3
2z
z
max
bhI bh12W
hy 6
2
. (9.14)
Fig.9.4
184
Secţiunea dreptunghiulară este de tip casetă (fig. 9.4, b), modulul de
rezistenţă faţă de axa z este
3 3 2 3
z 1 1 1 1z 3
max
I 1 bh b h bh b hW 1
hy 12 12 6 b h
2
(9.14’)
B. Secţiune circulară
La secţiunile circulare
4
3z
z y
max
DI D64W W
Dy 32
2
. (9.15)
Dacă secţiunea este inelară
43
max
zyz
D
d1
32
D
y
IWW . (9.15’)
9.2 ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ
Se consideră o bară solicitată la încovoiere după axa z, eforturile
secţionale fiind zM şi forţa tăietoare yT (fig. 9.9, a).
Fig.9.9
9.2.1. Formula lui Juravski
Relaţiile de echivalenţă dintre tensiunile xy xz, şi forţa tăietoare sunt
yxyA
T dA; zxzA
T dA 0 . (9.18)
185
Fig.9.10
y *
zxy yx
z
T S
bI (9.21)
şi reprezintă formula lui Juravski.
Termenii din formula lui Juravski sunt:
- Ty, forţa tăietoare din secţiune;
- *zS , momentul static al porţiunii din secţiunea transversală care
tinde să lunece în raport cu axa neutră (se introduce în valoare absolută); aria
care tinde să lunece (fig. 9.10, a) poate fi A* sau A’
* întrucât momentul static al
întregii secţiuni este nul (axa neutră trece prin centrul de greutate);
- Iz, momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa neutră (axa z);
- b, lăţimea secţiunii în punctul în care se calculează ; se obţine
ducând prin punctul curent P o paralelă cu axa neutră.
9.2.2. Distribuţia tensiunilor pe secţiuni caracteristice
A. Secţiunea dreptunghiulară
186
Fig.9.11
Valoarea maximă y
maxxy
T1,5
A (9.22’)
are loc pentru y=0, adică în axa neutră. Tensiunea xy este constantă pe lăţimea
secţiunii şi are sensul forţei tăietoare Ty.
B. Secţiunea circulară
Fig 9.12
Tensiunea xy este maximă în axa neutră.
ymaxxy
4 T
3 A . (9.23´)
C.
9.6. APLICAŢII
9.6.1. Grinda simplu rezemată cu consolă din figura 9.27, a, are secțiunea
casetată cu dimensiunile din figura 9.27, d). Cunoscând mkN15q , m6,0a , 2
a mmN150 , se cer: a) dimensionarea grinzii; b) ce sarcină q ar suporta
grinda în cazul când aceasta ar acționa pe direcția axei Oz;
c) verificarea condiției de rezistență după EDT în punctual j din secțiunea cea mai
solicitată.
Rezolvare. a) Se determină diagramele de eforturi T (fig. 9.27, b) și M (fig.
9.27, c). Pentru secțiunea din B, unde momentul înconvoietor este maxim se
aplică relația (9.11):
362
a
2necz mm86400
150
10)6,0(154,2qa4,2W
.
187
Fig. 9.27
Pentru dimzW se aplică (9.14’)
3
3
2dimz t67,282
)t16(t10
)t12(t81
6
)t16(t10W
.
Din condiția dim
z
nec
z WW rezultă mm74,667,282
86400t 3 . Se adoptă valoarea
mm7t și se face verificarea secțiunii cu (9.10):
a2
3
62
efz
maxzef
max mmN7,133767,282
10)6,0(154,2
W
M
.
b) Când sarcina q este orientată în direcția axei Oz, momentul înconvoietor
capabil al secțiunii se calculează cu (9.12) pentru axa Oz:
3
3
2
y t26,164)t10(t16
)t18(t121
6
)t10(t16W
și se obține kNm45,8mmN1045,8150726,164WM 63ay
ycap
Din condiția kNm45,8)m6,0(q4,2MM 2
max
yycap , rezultă
mkN78,9q .
c) Se determină 2
4
62
j
z
z
j mmN25,10076733,2261
10)6,0(154,2y
I
M
.
Cu relația (9.21) se scrie
188
24
4
3
zj
j
z
z
xy mmN51,12720733,226172
106,0152,2
Ib
ST
,
43j
z 720t7210S și aplicând (8.20) rezultă
a
222
ech mmN56,10251.12325,100 .
9.6.2. Grinda simplu rezemată cu o consolă din figura 9.28, a, are secțiunea în
formă de T. Cunoscând mkN12q , m3,0a , 2a mmN150 , se cer:
a) dimensionarea grinzii; b) distribuția de tensiuni și îm secțiunea din stgC ;
c) coeficientul de siguranță în punctul i după T și EDT știind că limita de
curgere a materialului este 2c mmN240 .
Rezolvare. a) Observând diagramele de eforturi T (fig. 9.28, b) și M (fig. 9.28,
c), secțiunea cea mai solicitată este cea din E. Aplicând (9.11) se obține
32
a
2necz mm4500
150
3001225,6qa25,6W
.
Se determină poziția centrului de greutate, situat pe axa y (axă de simetrie), față
de centrul de greutate al dreptunghiului (1): t875,6t24t40
t40t11y
22
2
G1
și se
calculează
4222233
z t33,3156)t125,4(t40)t875,6(t24t12
)t20(t2
t12
)t2(t12I
.
Aplicând relația (9.7) se obține
34
max
zdimz t46,223
t125,14
33,3156
y
IW .
Din condiția dimz
necz WW rezultă mm86,5
46,223
45000t 3 . Se adoptă valoarea
mm6t și se face verificarea secțiunii cu (9.10):
a2
3
62
efz
maxzef
max mmN85,139646,223
10)3,0(1225,6
W
M
b) Distribuția de tensiuni , se determină cu formula lui Navier (9.6) este
reprezentată în figura 9.28, d. Se calculează:
2
3
62
ef
z
C
zC
max mmN25,134646,223
10)3,0(126
W
M stg
stg
și din asemănarea triunghiurilor cu laturi minmax, se obține t125,14
t875,7
max
min
din
care rezultă 2
min mmN85,74
189
2a
a)
5qa
qa
2qa2
b)
c)
A
CD
3qa
B
3a2a
T
M E
2qa
4qa
2qa2
6qa2
Mmax=6,25qa2
Fig. 9.28
În mod asemănător 2
i mmN84,5585,74875,7
875,5 .
Pentru tensiunile tangențiale xzxy , se folosește formula lui Juravski (9.21).
Cunoscând kN4,143,0124qa4T stgC
z , se determină 3i
z t165t875,6t2t12S și aplicând (9.21) se obține:
2
4
33ixy mmN45,10
t33,3156t2
t165104,14
.
190
Se calculează 3iz
maxxy t52,199
2
t875,5t2t78754,5SS din (9.21) și se obține
2maxxy mmN64,12 . La calculul lui max
xz se folosește (9.27).
Ținând seama că grosimea tălpii este t2 rezultă
2
4
3maxxz mmN35,4
t33,3156t2
t875,6t5t2104,14
c) Coeficientul de siguranță în puctul i se determină cu formula (8.2). Se
calculează 2222
xz2xyi mmN32,1135,445,10
și folosind (8.20) se obține 222
ech mmN26,6032,11484,55 ,
din care rezultă 98,326,60
240c
ech
c
.
Aplicând teoria energiei potenţiale de deviaţie ( EDT ) (8.20) se obține
222
ech mmN18,5932,11384,55 și 06,418,59
240c .
Se observă că teoria energiei potențiale de deviație, pentru aceeași stare de
tensiune, dă coeficienți de siguranță mai mari decât teoria tensiunii tangențiale
maxime.
9.6.3. Consola din figura 9.29, a, se realizează din două corniere cu aripi neegale
solidarizate între ele ca în figura 9.29, d. Știind că 2a mmN150 , se cer:
a) dimensiunile celor două corniere; b) valorile tensiunilor x și xy în
secțiunea cea mai solicitată.
Rezolvare. a) Pe baza diagramelor de eforturi T (fig. 9.29, b) și M (fig. 9.29, c),
secțiunea cea mai solicitată este în stângaB , kN3T , kNm3Mz . Cu formula
(9.11) se obține
3333
a
maxznec
z cm20mm20000150
10103MW
,
pentru o singură cornieră 3nec1z cm10W . Se alege 88065L2 cu
3ef1z cm3,12W , 4
1z cm1,68I , cm47,2ey . Verificarea secțiunii se face cu
formula (9.10):
a2
3
33
efz
maxzef
max mmN122103,122
10103
W
M
.
b) Cu formula de verificare s-a obținut practic valoarea lui min din figura 9.29,
e. Din asemănarea triunghiurilor rezultă:
191
2max mmN49,54
47,28
47,2122
și 2
i mmN84,3647,2
8,047,249,54
.
Fig. 9.29
Cu formula lui Juravski (9.21) se determină tensiunile tangențiale xy (fig. 9.29,
f). Se calculează: N103kN3T 3z ; 4
1zz cm136I2I
3zi cm528,21)07,28,05,6(2S ; 3max
z cm46,242
53,58,053,52S
2
3
33
efz
maxzef
max mmN122103,122
10103
W
M
și aplicând (9.21) rezultă:
2
4
33maxxy mmN37,3
102,13682
1046,24103
; 2max
xyixy mmN96,2
46,24
528,21 .
În calculul maxzS s-a considerat porțiunea de secțiune situată sub axa z.
9.6.4. Consola din figura 9.30, a, are secțiunea simetrică față de axa Gz. Știind 2
a mmN150 , kN14F , m1l , se cer: a) dimensionarea consolei;
b) distribuția de tensiuni în secțiunea C cu precizarea tensiunilor principale și
direcțiilor lor în punctul i; c) centrul de încovoire-torsiune al secțiunii și
precizarea planului de forțe pentru care bara să fie numai încovoiată.
Rezolvare. a) Se determină diagramele de eforturi T (fig. 9.30, b) și M (fig.
9.30, c) și se aplică (9.11):
333
aa
maxznec
z mm1033,373150
101144Fl4MW
;
43
z t393612
)t20(t10I
; 3
max
zdimz t6,393
y
IW ,
192
Fig. 9.30
din condiția dim
z
nec
z WW , 33 1033,373t3,393 rezultă
cm1mm10mm82,9t .
b) 2
3
6
efz
zmax
minmax mmN28,142106,393
10144
W
W
.
Folosind distribuția din figura 9.30, e, se obține:
2
efz
zmax
maxi mmN41,71W
W
t10
t5 .
Tensiunile tangențiale xy se determină cu formulele (9.24) și (9.25).
Se determină: N1014kN14FT 3z ; 44
z mm10393614I ; mm20b ; 333i
z mm10219t219t5,6t2t3t9t2t10S și cu formula (9.24) se
obține 2
4
33ixy mmN89,3
10393620
102191014
.
În punctul j, calculând 3jz t180t9t2t10S rezultă
2
4
33jxy mmN2,3
10393620
101801014
.
În axa neutră, calculând 330z t244t4t2t8t180S se obține
2ixy
maxxy mmN34,4
180
244 .
Pentru tensiunile xz se calculează 333*z mm10144t144t9t2t8S
și aplicând (9.24) se obține:
2
4
33maxxz mmN56,2
10393620
101441014
.
În punctul i există tensiunile: 2
i mmN14,71 ; 2j
xy mmN89,3 .
193
Cu relațiile (6.11) se obțin 22
2
2,1 mmN89,32
14,71
2
14,71
,
2
1 mmN35,71 , 2
2 mmN21,0 .
Folosind formula (6.13) se determină 0445,035,71
89,3tg
1
xy
01
din care
rezultă "14'073rad0545,001 și apoi "14'079302 .
c) Tensiunile tangențiale xz de pe o talpă se reduc la o rezultantă H a cărei
valoare este t2t82
1*A
2
1H max
xz
max
xz . Cele două forțe H situate la distanța
t18 care formează un cuplu împreună cu rezultanta tensiunilor xy de pe inima
profilului se reduc la o rezultantă unică trecând prin punctul C (fig. 9.30, d)
denumit centrul de înconvoiere-torsiune. Din ecuația de momente față de C:
0hHcR 1xz , se obține
xz
1
R
hHc
. Întrucât zxz
TR ;
2
z
4
3zmax
xzt
T0183,0
t3936t2
t144T
; t18h1 ;
zmaxxz T14634,0t2t8
2
1H , rezultă cm634,2mm34,26c .
Pentru ca bara să fie numai înconvoiată trebuie ca forțele F să se afle în planul
vertical care conține linia centrelor C ale tuturor secțiunilor.
9.6.5. Conducta din figura 9.31 are secțiunea inelară. Știind mkN10q ,
m1a , 2a mmN150 , se cer: a) maxq pe care îl suportă conducta;
b) tensiunile și în secțiunea din dreaptaB .
Rezolvare. a) Se deteremină diagramele de eforturi T (fig. 9.31, b) și M
(fig.9.31, c). Pentru secțiunea din B unde momentul înconvoietor este maxim, se
aplică relația (9.12) în care efzW se calculează cu relația (9.15’)
3
43efz cm1,270
20
181
32
20W
;
kNm51,40150101,270WM 3a
efzcap ;
2capmaxcap aq6MM de unde rezultă mkN75,6qcap .
b) Distribuția de tensiuni din secțiunea dreaptaB este dată în figura 9.31, d.
2
3
6
efz
BdrBdrmax mmN94,149
101,270
10175,66
W
M
194
maxxy se determină cu relația lui Juravski
z
maxz
Bdrmaxxy
I2
ST
, unde:
Fig. 9.31
4
4444
z cm270120
181
64
20
D
d1
64
DI
;
;mm1067,180
3
2D2
8
2D
3
D2
8
DSSS 33e
2
ee2emax
2zmax1z
maxz
2
4
33
z
maxzmax
xy mmN35,810270120
1067,181075,67,3
Ib
Sqa7,3
.
9.6.6. Consola din figura 9.32 are secțiunea dreptunghiulară t12t80 .
Încastrarea C are practicată o gaură centrală de t4 . Știind că mKN10q ,
m7,0a , 2a mmN150 , se cer: a) dimensionarea barei; b) distribuția de
tensiuni și în încastrarea din punctul C.
Rezolvare. a) Pe baza diagramelor de eforturi T (fig. 9.32, b) și M (fig. 9.32, c),
secțiunea cea mai solicitată este în secțiunea în castrată C.
KN427,0106qa6TC şi kNm1,4449,0109qa9M 2C .
Cu formula (9.11) se obține
336
a
Cnecz mm10294
150
101,44MW
.
Se calculează momentul de inerție
.t44,1139t56,12t115264
)t4(
12
)t12(t8
64
d
12
bhIII 444
4343
2z1zz
Aplicând (9.7) se obține
34
max
zdimz t9,189
t6
t44,1139
y
IW
.
195
3a 4a
qaq
a)
b)
c)
12
t
8t4t
y
A B C
qa8qa2
2qa2
M
T
qa 2qa6qa
9qa2
qa2
2qa2
7qa2
ij
4,09
9,87
4,09
σmax
σmin
e)d) f)
Fig. 9.32
Din ecuația dimz
necz WW , rezultă mm56,11t și se adoptă mm12t .
b) 2
3
6
efz
Cminmax mmN39,134
129,189
101,44
W
M
.
Tensiunea tangențială xy .se determină cu formula (9.22) pentru punctele i și j
din secțiunea slăbită.
Pentru punctul i se determină 333i
z mm11059212128t128t4t4t8S și se obține
23
ixy mmN09,4
84,2362742796
2211841042
.
Pentru punctul j se calculează momentul static al suprafeței care lunecă:
3332
j2z
j1z
jz t66,138t34,5t144
3
t42
8
t4t3t8t6SSS
, şi se
obţine 2
4
33max,j
xy mmN87,8t44,1139t4
t66,1381042
.
9.6.7. Grinda din figura 9.33, a, se realizează din platbande sudate având
secțiunea simetrică față de axe. Știind că kN60F , m1a , 2a mmN150 ,
se cer:
a) dimensionarea grinzii; b) calculul cordoanelor de sudură continue pe AB și
DE și întrerupte pe BD; c) verificarea de rezistență după EDT la îmbinarea între
inimă și talpă.
196
Rezolvare. a) Se determină 36
aa
maxznec
z mm102,3Fa8M
W
;
43
223
z t67,649012
t20tt11t24
12
t2t122I
; 3
max
zz t88,540
y
IW .
2a
a)
b)
c)
A C DB
2a 2a 2a
1,5F2,5F
5Fa8Fa
2t
2t
20
t
12t
E
t
j
T
M
F 3F F
Fig. 9.33
Din condiția dimz
necz WW rezultă cm8,1mm18t .
Se face verificarea secțiunii cu (9.10):
a2
3
6
efz
maxzef
max 02,1mmN1521888,540
10608
W
M
.
b) Pentru sudura continuă pe AB și DE, cunoscâd kN150F5,2Tz (fig. 9.33,
b), 3z t264t11t2t12S , 4
z t67,6490I și aplicând (9.46) se obține:
mm74,115065,0t67,64902
t26410150a
4
33
.
Grosimea cordoanelor de sudură trebuie să fie mai mare sau egală cu
mm3amin . Se va executa sudură continuă cu mm3amin . Pe intervalul BD se
adoptă constructiv cm15ls și cm45e și aplicând relația (9.47) rezultă
mm2,515065,0t67,64901502
45010150t264
Il2
Sa
4
33
aszs
Tez
.
c) În secțiunea stângaC sau dreaptaC se determină în punctul j (fig. 9.33, d)
2j mmN67,126
12
10152 și 2
4
33j
xy mmN3,11t67,6490t
t26410605,1
.
197
Întrucât sudura nu este continuă pe intervalul BD, tensiunile de lunecare în
cordoanele întrerupte au valoarea 2
s
jxyxy mmN9,33
l
e' . Folosind EDT
rezultă a222
ech mmN6,1393 .
9.6.8. Grinda compusă nituită din figura 9.34, a, are secțiunea transversală din
figura 9.34, d. Știind m1a 2a mmN150 se cer:
a) sarcina maximă pe care o suportă grinda; b) distanțele dintre niturile ce prind
talpa de corniere și a celor ce prind cornierele de inimă.
Rezolvare. a) Cunoscând elementele geometrice ale profilelor laminate
108080L ( cm34,2e , 2cm1,15A , 4yz cm5,87II ) se determină:
2
32
3slz
brutz
netz 66,121,155,874
12
3015,15120
12
1202III
423
cm65,18288415412
22
; 3
max
netznet
z cm114316
65,18288
y
IW .
a)
b)
c)
A
qa
B
5a a
T
M
q
2,645qa2
2,3qaqa
2,7qaqa2
Pb 200x10
L 80x80x10
Pb 300x10
Φ20
100
d) Fig. 9.34
Aplicând (9.12) kNm456,171Nmm10456,171150101143M 63capz și
(9.13) 456,171qa645,2 2 rezultă mkN82,64qmax (valoarea zmaxM s-a luat
din figura 9.34, c).
b) Pentru calculul distanței dintre niturile ce prind talpa de corniere se folosește
relația (9.49) în care zT se ia cu valoarea cea mai mare din diagrama T (fig.
9.34, b); kN175qa7,2Tz . Se calculează 4brut
zz cm21894II ; 3z cm3105,15120S ;
198
kN7,378,04
2
4
dR a
4
a
4forfnit
;
kN60212dR astriva
strivnit
și ținând seama că în secțiune sunt două nituri, formula (9.49) ia forma
cm4,30175310
218944,75
TS
IR2e
zz
znit
.
Pentru niturile care prind cornierele de inimă se calculează 3
z cm332,69266,121,152310S , ca moment static al tălpii compuse din
platbande și corniere, kN4,75R forfnit (fiecare nit are două secțiuni de forfecare);
kN60212dR astriva
strivnit și aplicând (9.49) rezultă:
cm84,10175332,692
2189460e
.
Niturile de prindere a cornierelor de inimă se vor așeza la distanțe egale
cm10e și între ele se vor așeza constructiv niturile de prindere ale
platbandelor de corniere.
Pe porțiunile cu forțe tăietoare mai mici distanța e poate crește până la cel mult
d8 .
top related