180

CAPITOLUL 9

ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

O bară este solicitată la încovoiere simplă atunci când torsorul eforturilor

se reduce la o componentă moment dirijată după una din axele centrale

principale de inerţie ale secţiunii transversale şi la o componentă forţă, ĩn planul

secţiunii, normală pe axa vectorului moment.

Fig.9.1

Astfel în figura 9.1, a încovoierea simplă este după axa principală z, axa

vectorului moment şi componenta forţei după axa y reprezintă forţa tăietoare

corespunzătoare. Într-un punct curent de coordonate (z,y) se poate dezvolta

tensiunea normală x şi tensiunile tangenţiale xy , xz .

Axele zOy sunt axele centrale principale ale secţiuni transversale (§5).

Daca torsorul are numai componenta zM (fig. 9.1, b) şi în punctul curent

(z,y) se dezvoltă numai tensiunea normală x , solicitarea este denumită

încovoiere pură.

9.1. ÎNCOVOIEREA PURĂ

9.1.1 Formula lui Navier

Distribuţia de tensiuni şi deformaţii specifice se determină, în orice

problemă de Rezistenţa materialelor, prin analiza celor trei aspecte: static,

geometric şi fizic.

Relaţiile de echivalenţă dintre tensiuni şi eforturi secţionale (fig. 9.2, b)

181

a) x

A

N dA 0; b) yx

A

M ( dA)z 0; c) zx

A

M ( dA)y , (9.1)

reprezintă o formă a relaţiilor aspectului static, adică a relaţiilor dintre tensiuni şi

încărcările exterioare.

Fig.9.2

Fig.9.3

Expresia z

x

z

My

I , (9.6)

reprezintă formula lui Navier.

182

Distribuţia de tensiuni, dată de (9.6), variază liniar cu distanţa la axa

neutră (fig. 9.3, b) şi are valoarea maximă în fibra cea mai îndepărtată de axa

neutră

z

max max

z

My

I . (c)

Întroducând noţiunea de modul de rezistenţă

zz

max

IW

y , (9.7)

tensiunea normală (c) devine z

max

z

M

W (9.8)

şi ţinând seama de semnul momentului încovoietor (fig. 9.3, c) poate să fie de

întindere sau de compresiune.

Definind modulele de rezistenţă pentru fibrele extreme (fig. 9.3, c)

s zz

s

IW

y ; j z

z

j

IW

y , (d)

tensiunile în aceste fibre sunt: z

sx s

z

M

W ;

zj

x jz

M

W (e)

cu semne contrarii şi pot fi de întindere sau de compresiune în funcţie de semnul

momentului încovoietor.

9.1.2 Dimensionarea barelor solicitate la încovoierea pură

Cunoscând rezistenţele admisibile ale materialului, la întindere a şi la

compresiune ac , tensiunile maxime şi minime trebuie să îndeplinească

condiţiile de rezistenţă

max a ; min ac . (9.9)

Dacă materialul are aceeaşi rezistenţă la întindere şi la compresiune

a ac , atunci conditia de rezistenta devine

z

amaxz

M

W (9.10)

şi constituie formula de verificare la încovoiere pură.

Pornind de la (9.10), cunoscând zM şi a , se obţine formula de dimensionare

z

nec dimz z

a

MW W

, (9.11)

183

din care se obţine parametrul care defineşte complet elementele geometrice ale

secţiunii transversale. După alegerea dimensiunilor secţiunii se calculează

modulul de rezistenţă efectiv efzW şi se verifică condiţia de rezistenţă

z

aefmaxz

M

W . (9.10’)

Dacă forma geometrică a secţiunii transversale nu poate fi definită printr-

un singur parametru, dimensionarea se face prin încercări succesive: se adoptă

dimensiunile secţiunii, se calculează efzW şi se verifică condiţia de rezistenţă

(9.10’). Se modifică dimensiunile secţiunii până când condiţia (9.10’) este

verificată satisfăcător, adică ef

a amax0,95 ;1,02 .

În situaţia unei bare pentru care se cunoaşte a şi efzW , din condiţia de

rezistenţă (9.10) se determină momentul încovoietor capabil z efcap a zM W , (9.12)

care permite să se stabilească forţele maxime ce pot fi aplicate pe bară.

Astfel, din condiţia z zcap efM M (9.13)

se determină forţele maxime pe bară dacă acestea depind de un singur

parametru.

9.1.3. Module de rezistenţă pentru anumite secţiuni caracteristice

A. Secţiunea dreptunghiulară

3

2z

z

max

bhI bh12W

hy 6

2

. (9.14)

Fig.9.4

184

Secţiunea dreptunghiulară este de tip casetă (fig. 9.4, b), modulul de

rezistenţă faţă de axa z este

3 3 2 3

z 1 1 1 1z 3

max

I 1 bh b h bh b hW 1

hy 12 12 6 b h

2

(9.14’)

B. Secţiune circulară

La secţiunile circulare

4

3z

z y

max

DI D64W W

Dy 32

2

. (9.15)

Dacă secţiunea este inelară

43

max

zyz

D

d1

32

D

y

IWW . (9.15’)

9.2 ÎNCOVOIEREA SIMPLĂ

Se consideră o bară solicitată la încovoiere după axa z, eforturile

secţionale fiind zM şi forţa tăietoare yT (fig. 9.9, a).

Fig.9.9

9.2.1. Formula lui Juravski

Relaţiile de echivalenţă dintre tensiunile xy xz, şi forţa tăietoare sunt

yxyA

T dA; zxzA

T dA 0 . (9.18)

185

Fig.9.10

y *

zxy yx

z

T S

bI (9.21)

şi reprezintă formula lui Juravski.

Termenii din formula lui Juravski sunt:

- Ty, forţa tăietoare din secţiune;

- *zS , momentul static al porţiunii din secţiunea transversală care

tinde să lunece în raport cu axa neutră (se introduce în valoare absolută); aria

care tinde să lunece (fig. 9.10, a) poate fi A* sau A’

* întrucât momentul static al

întregii secţiuni este nul (axa neutră trece prin centrul de greutate);

- Iz, momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa neutră (axa z);

- b, lăţimea secţiunii în punctul în care se calculează ; se obţine

ducând prin punctul curent P o paralelă cu axa neutră.

9.2.2. Distribuţia tensiunilor pe secţiuni caracteristice

A. Secţiunea dreptunghiulară

186

Fig.9.11

Valoarea maximă y

maxxy

T1,5

A (9.22’)

are loc pentru y=0, adică în axa neutră. Tensiunea xy este constantă pe lăţimea

secţiunii şi are sensul forţei tăietoare Ty.

B. Secţiunea circulară

Fig 9.12

Tensiunea xy este maximă în axa neutră.

ymaxxy

4 T

3 A . (9.23´)

C.

9.6. APLICAŢII

9.6.1. Grinda simplu rezemată cu consolă din figura 9.27, a, are secțiunea

casetată cu dimensiunile din figura 9.27, d). Cunoscând mkN15q , m6,0a , 2

a mmN150 , se cer: a) dimensionarea grinzii; b) ce sarcină q ar suporta

grinda în cazul când aceasta ar acționa pe direcția axei Oz;

c) verificarea condiției de rezistență după EDT în punctual j din secțiunea cea mai

solicitată.

Rezolvare. a) Se determină diagramele de eforturi T (fig. 9.27, b) și M (fig.

9.27, c). Pentru secțiunea din B, unde momentul înconvoietor este maxim se

aplică relația (9.11):

362

a

2necz mm86400

150

10)6,0(154,2qa4,2W

.

187

Fig. 9.27

Pentru dimzW se aplică (9.14’)

3

3

2dimz t67,282

)t16(t10

)t12(t81

6

)t16(t10W

.

Din condiția dim

z

nec

z WW rezultă mm74,667,282

86400t 3 . Se adoptă valoarea

mm7t și se face verificarea secțiunii cu (9.10):

a2

3

62

efz

maxzef

max mmN7,133767,282

10)6,0(154,2

W

M

.

b) Când sarcina q este orientată în direcția axei Oz, momentul înconvoietor

capabil al secțiunii se calculează cu (9.12) pentru axa Oz:

3

3

2

y t26,164)t10(t16

)t18(t121

6

)t10(t16W

și se obține kNm45,8mmN1045,8150726,164WM 63ay

ycap

Din condiția kNm45,8)m6,0(q4,2MM 2

max

yycap , rezultă

mkN78,9q .

c) Se determină 2

4

62

j

z

z

j mmN25,10076733,2261

10)6,0(154,2y

I

M

.

Cu relația (9.21) se scrie

188

24

4

3

zj

j

z

z

xy mmN51,12720733,226172

106,0152,2

Ib

ST

,

43j

z 720t7210S și aplicând (8.20) rezultă

a

222

ech mmN56,10251.12325,100 .

9.6.2. Grinda simplu rezemată cu o consolă din figura 9.28, a, are secțiunea în

formă de T. Cunoscând mkN12q , m3,0a , 2a mmN150 , se cer:

a) dimensionarea grinzii; b) distribuția de tensiuni și îm secțiunea din stgC ;

c) coeficientul de siguranță în punctul i după T și EDT știind că limita de

curgere a materialului este 2c mmN240 .

Rezolvare. a) Observând diagramele de eforturi T (fig. 9.28, b) și M (fig. 9.28,

c), secțiunea cea mai solicitată este cea din E. Aplicând (9.11) se obține

32

a

2necz mm4500

150

3001225,6qa25,6W

.

Se determină poziția centrului de greutate, situat pe axa y (axă de simetrie), față

de centrul de greutate al dreptunghiului (1): t875,6t24t40

t40t11y

22

2

G1

și se

calculează

4222233

z t33,3156)t125,4(t40)t875,6(t24t12

)t20(t2

t12

)t2(t12I

.

Aplicând relația (9.7) se obține

34

max

zdimz t46,223

t125,14

33,3156

y

IW .

Din condiția dimz

necz WW rezultă mm86,5

46,223

45000t 3 . Se adoptă valoarea

mm6t și se face verificarea secțiunii cu (9.10):

a2

3

62

efz

maxzef

max mmN85,139646,223

10)3,0(1225,6

W

M

b) Distribuția de tensiuni , se determină cu formula lui Navier (9.6) este

reprezentată în figura 9.28, d. Se calculează:

2

3

62

ef

z

C

zC

max mmN25,134646,223

10)3,0(126

W

M stg

stg

și din asemănarea triunghiurilor cu laturi minmax, se obține t125,14

t875,7

max

min

din

care rezultă 2

min mmN85,74

189

2a

a)

5qa

qa

2qa2

b)

c)

A

CD

3qa

B

3a2a

T

M E

2qa

4qa

2qa2

6qa2

Mmax=6,25qa2

Fig. 9.28

În mod asemănător 2

i mmN84,5585,74875,7

875,5 .

Pentru tensiunile tangențiale xzxy , se folosește formula lui Juravski (9.21).

Cunoscând kN4,143,0124qa4T stgC

z , se determină 3i

z t165t875,6t2t12S și aplicând (9.21) se obține:

2

4

33ixy mmN45,10

t33,3156t2

t165104,14

.

190

Se calculează 3iz

maxxy t52,199

2

t875,5t2t78754,5SS din (9.21) și se obține

2maxxy mmN64,12 . La calculul lui max

xz se folosește (9.27).

Ținând seama că grosimea tălpii este t2 rezultă

2

4

3maxxz mmN35,4

t33,3156t2

t875,6t5t2104,14

c) Coeficientul de siguranță în puctul i se determină cu formula (8.2). Se

calculează 2222

xz2xyi mmN32,1135,445,10

și folosind (8.20) se obține 222

ech mmN26,6032,11484,55 ,

din care rezultă 98,326,60

240c

ech

c

.

Aplicând teoria energiei potenţiale de deviaţie ( EDT ) (8.20) se obține

222

ech mmN18,5932,11384,55 și 06,418,59

240c .

Se observă că teoria energiei potențiale de deviație, pentru aceeași stare de

tensiune, dă coeficienți de siguranță mai mari decât teoria tensiunii tangențiale

maxime.

9.6.3. Consola din figura 9.29, a, se realizează din două corniere cu aripi neegale

solidarizate între ele ca în figura 9.29, d. Știind că 2a mmN150 , se cer:

a) dimensiunile celor două corniere; b) valorile tensiunilor x și xy în

secțiunea cea mai solicitată.

Rezolvare. a) Pe baza diagramelor de eforturi T (fig. 9.29, b) și M (fig. 9.29, c),

secțiunea cea mai solicitată este în stângaB , kN3T , kNm3Mz . Cu formula

(9.11) se obține

3333

a

maxznec

z cm20mm20000150

10103MW

,

pentru o singură cornieră 3nec1z cm10W . Se alege 88065L2 cu

3ef1z cm3,12W , 4

1z cm1,68I , cm47,2ey . Verificarea secțiunii se face cu

formula (9.10):

a2

3

33

efz

maxzef

max mmN122103,122

10103

W

M

.

b) Cu formula de verificare s-a obținut practic valoarea lui min din figura 9.29,

e. Din asemănarea triunghiurilor rezultă:

191

2max mmN49,54

47,28

47,2122

și 2

i mmN84,3647,2

8,047,249,54

.

Fig. 9.29

Cu formula lui Juravski (9.21) se determină tensiunile tangențiale xy (fig. 9.29,

f). Se calculează: N103kN3T 3z ; 4

1zz cm136I2I

3zi cm528,21)07,28,05,6(2S ; 3max

z cm46,242

53,58,053,52S

2

3

33

efz

maxzef

max mmN122103,122

10103

W

M

și aplicând (9.21) rezultă:

2

4

33maxxy mmN37,3

102,13682

1046,24103

; 2max

xyixy mmN96,2

46,24

528,21 .

În calculul maxzS s-a considerat porțiunea de secțiune situată sub axa z.

9.6.4. Consola din figura 9.30, a, are secțiunea simetrică față de axa Gz. Știind 2

a mmN150 , kN14F , m1l , se cer: a) dimensionarea consolei;

b) distribuția de tensiuni în secțiunea C cu precizarea tensiunilor principale și

direcțiilor lor în punctul i; c) centrul de încovoire-torsiune al secțiunii și

precizarea planului de forțe pentru care bara să fie numai încovoiată.

Rezolvare. a) Se determină diagramele de eforturi T (fig. 9.30, b) și M (fig.

9.30, c) și se aplică (9.11):

333

aa

maxznec

z mm1033,373150

101144Fl4MW

;

43

z t393612

)t20(t10I

; 3

max

zdimz t6,393

y

IW ,

192

Fig. 9.30

din condiția dim

z

nec

z WW , 33 1033,373t3,393 rezultă

cm1mm10mm82,9t .

b) 2

3

6

efz

zmax

minmax mmN28,142106,393

10144

W

W

.

Folosind distribuția din figura 9.30, e, se obține:

2

efz

zmax

maxi mmN41,71W

W

t10

t5 .

Tensiunile tangențiale xy se determină cu formulele (9.24) și (9.25).

Se determină: N1014kN14FT 3z ; 44

z mm10393614I ; mm20b ; 333i

z mm10219t219t5,6t2t3t9t2t10S și cu formula (9.24) se

obține 2

4

33ixy mmN89,3

10393620

102191014

.

În punctul j, calculând 3jz t180t9t2t10S rezultă

2

4

33jxy mmN2,3

10393620

101801014

.

În axa neutră, calculând 330z t244t4t2t8t180S se obține

2ixy

maxxy mmN34,4

180

244 .

Pentru tensiunile xz se calculează 333*z mm10144t144t9t2t8S

și aplicând (9.24) se obține:

2

4

33maxxz mmN56,2

10393620

101441014

.

În punctul i există tensiunile: 2

i mmN14,71 ; 2j

xy mmN89,3 .

193

Cu relațiile (6.11) se obțin 22

2

2,1 mmN89,32

14,71

2

14,71

,

2

1 mmN35,71 , 2

2 mmN21,0 .

Folosind formula (6.13) se determină 0445,035,71

89,3tg

1

xy

01

din care

rezultă "14'073rad0545,001 și apoi "14'079302 .

c) Tensiunile tangențiale xz de pe o talpă se reduc la o rezultantă H a cărei

valoare este t2t82

1*A

2

1H max

xz

max

xz . Cele două forțe H situate la distanța

t18 care formează un cuplu împreună cu rezultanta tensiunilor xy de pe inima

profilului se reduc la o rezultantă unică trecând prin punctul C (fig. 9.30, d)

denumit centrul de înconvoiere-torsiune. Din ecuația de momente față de C:

0hHcR 1xz , se obține

xz

1

R

hHc

. Întrucât zxz

TR ;

2

z

4

3zmax

xzt

T0183,0

t3936t2

t144T

; t18h1 ;

zmaxxz T14634,0t2t8

2

1H , rezultă cm634,2mm34,26c .

Pentru ca bara să fie numai înconvoiată trebuie ca forțele F să se afle în planul

vertical care conține linia centrelor C ale tuturor secțiunilor.

9.6.5. Conducta din figura 9.31 are secțiunea inelară. Știind mkN10q ,

m1a , 2a mmN150 , se cer: a) maxq pe care îl suportă conducta;

b) tensiunile și în secțiunea din dreaptaB .

Rezolvare. a) Se deteremină diagramele de eforturi T (fig. 9.31, b) și M

(fig.9.31, c). Pentru secțiunea din B unde momentul înconvoietor este maxim, se

aplică relația (9.12) în care efzW se calculează cu relația (9.15’)

3

43efz cm1,270

20

181

32

20W

;

kNm51,40150101,270WM 3a

efzcap ;

2capmaxcap aq6MM de unde rezultă mkN75,6qcap .

b) Distribuția de tensiuni din secțiunea dreaptaB este dată în figura 9.31, d.

2

3

6

efz

BdrBdrmax mmN94,149

101,270

10175,66

W

M

194

maxxy se determină cu relația lui Juravski

z

maxz

Bdrmaxxy

I2

ST

, unde:

Fig. 9.31

4

4444

z cm270120

181

64

20

D

d1

64

DI

;

;mm1067,180

3

2D2

8

2D

3

D2

8

DSSS 33e

2

ee2emax

2zmax1z

maxz

2

4

33

z

maxzmax

xy mmN35,810270120

1067,181075,67,3

Ib

Sqa7,3

.

9.6.6. Consola din figura 9.32 are secțiunea dreptunghiulară t12t80 .

Încastrarea C are practicată o gaură centrală de t4 . Știind că mKN10q ,

m7,0a , 2a mmN150 , se cer: a) dimensionarea barei; b) distribuția de

tensiuni și în încastrarea din punctul C.

Rezolvare. a) Pe baza diagramelor de eforturi T (fig. 9.32, b) și M (fig. 9.32, c),

secțiunea cea mai solicitată este în secțiunea în castrată C.

KN427,0106qa6TC şi kNm1,4449,0109qa9M 2C .

Cu formula (9.11) se obține

336

a

Cnecz mm10294

150

101,44MW

.

Se calculează momentul de inerție

.t44,1139t56,12t115264

)t4(

12

)t12(t8

64

d

12

bhIII 444

4343

2z1zz

Aplicând (9.7) se obține

34

max

zdimz t9,189

t6

t44,1139

y

IW

.

195

3a 4a

qaq

a)

b)

c)

12

t

8t4t

y

A B C

qa8qa2

2qa2

M

T

qa 2qa6qa

9qa2

qa2

2qa2

7qa2

ij

4,09

9,87

4,09

σmax

σmin

e)d) f)

Fig. 9.32

Din ecuația dimz

necz WW , rezultă mm56,11t și se adoptă mm12t .

b) 2

3

6

efz

Cminmax mmN39,134

129,189

101,44

W

M

.

Tensiunea tangențială xy .se determină cu formula (9.22) pentru punctele i și j

din secțiunea slăbită.

Pentru punctul i se determină 333i

z mm11059212128t128t4t4t8S și se obține

23

ixy mmN09,4

84,2362742796

2211841042

.

Pentru punctul j se calculează momentul static al suprafeței care lunecă:

3332

j2z

j1z

jz t66,138t34,5t144

3

t42

8

t4t3t8t6SSS

, şi se

obţine 2

4

33max,j

xy mmN87,8t44,1139t4

t66,1381042

.

9.6.7. Grinda din figura 9.33, a, se realizează din platbande sudate având

secțiunea simetrică față de axe. Știind că kN60F , m1a , 2a mmN150 ,

se cer:

a) dimensionarea grinzii; b) calculul cordoanelor de sudură continue pe AB și

DE și întrerupte pe BD; c) verificarea de rezistență după EDT la îmbinarea între

inimă și talpă.

196

Rezolvare. a) Se determină 36

aa

maxznec

z mm102,3Fa8M

W

;

43

223

z t67,649012

t20tt11t24

12

t2t122I

; 3

max

zz t88,540

y

IW .

2a

a)

b)

c)

A C DB

2a 2a 2a

1,5F2,5F

5Fa8Fa

2t

2t

20

t

12t

E

t

j

T

M

F 3F F

Fig. 9.33

Din condiția dimz

necz WW rezultă cm8,1mm18t .

Se face verificarea secțiunii cu (9.10):

a2

3

6

efz

maxzef

max 02,1mmN1521888,540

10608

W

M

.

b) Pentru sudura continuă pe AB și DE, cunoscâd kN150F5,2Tz (fig. 9.33,

b), 3z t264t11t2t12S , 4

z t67,6490I și aplicând (9.46) se obține:

mm74,115065,0t67,64902

t26410150a

4

33

.

Grosimea cordoanelor de sudură trebuie să fie mai mare sau egală cu

mm3amin . Se va executa sudură continuă cu mm3amin . Pe intervalul BD se

adoptă constructiv cm15ls și cm45e și aplicând relația (9.47) rezultă

mm2,515065,0t67,64901502

45010150t264

Il2

Sa

4

33

aszs

Tez

.

c) În secțiunea stângaC sau dreaptaC se determină în punctul j (fig. 9.33, d)

2j mmN67,126

12

10152 și 2

4

33j

xy mmN3,11t67,6490t

t26410605,1

.

197

Întrucât sudura nu este continuă pe intervalul BD, tensiunile de lunecare în

cordoanele întrerupte au valoarea 2

s

jxyxy mmN9,33

l

e' . Folosind EDT

rezultă a222

ech mmN6,1393 .

9.6.8. Grinda compusă nituită din figura 9.34, a, are secțiunea transversală din

figura 9.34, d. Știind m1a 2a mmN150 se cer:

a) sarcina maximă pe care o suportă grinda; b) distanțele dintre niturile ce prind

talpa de corniere și a celor ce prind cornierele de inimă.

Rezolvare. a) Cunoscând elementele geometrice ale profilelor laminate

108080L ( cm34,2e , 2cm1,15A , 4yz cm5,87II ) se determină:

2

32

3slz

brutz

netz 66,121,155,874

12

3015,15120

12

1202III

423

cm65,18288415412

22

; 3

max

netznet

z cm114316

65,18288

y

IW .

a)

b)

c)

A

qa

B

5a a

T

M

q

2,645qa2

2,3qaqa

2,7qaqa2

Pb 200x10

L 80x80x10

Pb 300x10

Φ20

100

d) Fig. 9.34

Aplicând (9.12) kNm456,171Nmm10456,171150101143M 63capz și

(9.13) 456,171qa645,2 2 rezultă mkN82,64qmax (valoarea zmaxM s-a luat

din figura 9.34, c).

b) Pentru calculul distanței dintre niturile ce prind talpa de corniere se folosește

relația (9.49) în care zT se ia cu valoarea cea mai mare din diagrama T (fig.

9.34, b); kN175qa7,2Tz . Se calculează 4brut

zz cm21894II ; 3z cm3105,15120S ;

198

kN7,378,04

2

4

dR a

4

a

4forfnit

;

kN60212dR astriva

strivnit

și ținând seama că în secțiune sunt două nituri, formula (9.49) ia forma

cm4,30175310

218944,75

TS

IR2e

zz

znit

.

Pentru niturile care prind cornierele de inimă se calculează 3

z cm332,69266,121,152310S , ca moment static al tălpii compuse din

platbande și corniere, kN4,75R forfnit (fiecare nit are două secțiuni de forfecare);

kN60212dR astriva

strivnit și aplicând (9.49) rezultă:

cm84,10175332,692

2189460e

.

Niturile de prindere a cornierelor de inimă se vor așeza la distanțe egale

cm10e și între ele se vor așeza constructiv niturile de prindere ale

platbandelor de corniere.

Pe porțiunile cu forțe tăietoare mai mici distanța e poate crește până la cel mult

d8 .