CAPITOLUL IX

CAPITOLUL IX

CALCULUL DEPLASRILOR LA NCOVOIERE PRIN

METODE ENERGETICE

La solicitarea de ncovoiere (ca i la solicitarea la ntindere compresiune), dac asupra unui corp elastic se aplic sarcini statice, corpul se va deforma, iar punctele de aplicaie ale forelor vor avea deplasri i legat de aceasta forele externe execut un lucru mecanic, numit lucru mecanic al forelor externe. Se poate admite, c acest lucru mecanic se acumuleaz integral sub form de energie potenial de deformaie n corpul solicitat.

n capitolul 3 s-au prezentat teoremele importante pentru calculul deplasrilor, dezvoltate pe baza noiunilor de lucru mecanic al forelor externe i energiei poteniale de deformaie.

Aceste teoreme rmn valabile i pentru solicitarea de ncovoiere (dar i pentru celelalte solicitri), motiv pentru care n acest capitol ele se vor prezenta n mod succint.

9.1. Lucrul mecanic al forelor externe

Dac asupra grinzilor din figura 9.1.a i b se aplic n mod static fora F i respectiv cuplul M0, acestea se deformeaz realizndu-se pentru cele dou situaii lucrul mecanic exterior:

(9.1)

(9.2)

9.2. Lucrul mecanic al forelor interne. Energia potenial de deformaie

S-a artat c, corpurile elastice se deformeaz sub aciunea sarcinilor externe aplicate, iar lucrul mecanic exterior se regsete n energia potenial de deformaie. n acelai timp, forele interne execut i ele un lucru mecanic, numit lucrul mecanic al forelor interne Li < 0, care se regsete n energia potenial de deformaie Li = W.

n cazul solicitrilor simple, expresiile energiei poteniale de deformaie au expresiile:

(9.3)

Aplicnd principiul suprapunerii efectelor, pentru cazul cel mai general de solicitare, se obine energia potenial de deformaie prin sumarea relaiilor (9.3):

(9.4)

n relaiile (9.3) i (9.4), k este coeficientul de form al seciunii transversale al barei.

9.3. Teorema reciprocitii lucrului mecanic i al deplasrilor

n capitolul 3 ntindere i compresiune, subcapitolul 3.12 Teoreme i metode energetice, s-a artat c lucrul mecanic al unui sistem primar de sarcini cu deplasrile provocate de un sistem de sarcini secundar, este egal cu lucrul mecanic al sistemului secundar de sarcini cu deplasrile provocate de sistemul primar de sarcini, adic:

(9.5)

sau

(9.6)

n (9.6), S1 i S2 reprezint sistemul primar i respectiv secundar de sarcini. Dac S1 = S2 se obine teorema reciprocitii deplasrilor:

(9.7)

n cazul solicitrii la ncovoiere, deplasrile 12 i 21 sunt deplasri liniare (sgei) sau deplasri unghiulare (rotiri).

Relaia (9.7) arat c deplasarea punctului 1 de aplicaie al sistemului S1 pe direcia sa, produs de sistemul S2 aplicat n punctul 2, este egal cu deplasarea punctului 2 de aplicaie al sistemului S2 pe direcia sa, produs de sistemul S1 aplicat n punctul 1.

9.4. Calculul deplasrilor la ncovoiere prin metoda Castigliano

Se consider grinda din figura 9.2 solicitat la ncovoiere de sistemul de fore F1, F2, .., Fn. Se noteaz cu y1, y2, ..., yn, sgeile (deplasrile liniare) punctelor de aplicaie al forelor pe direcia lor. Energia potenial de deformaie acumulat n bar la sfritul procesului de deformaie, egal cu lucrul mecanic exterior al forelor externe va fi:

(9.8)

Dac presupunem c ntr-o prim faz grinda se ncarc mai nti n punctul k cu o for elementar dFk, energia potenial de deformaie acumulat n bar la sfritul procesului de deformaie, cnd punctul k s-a deplasat cu dyk, va fi:

(9.9)

Aplicnd n continuare pe grinda deformat de fora dFk (faza a doua de ncrcare), sistemul de fore F1, F2, ..., Fn, aceasta se deformeaz mai departe i n ea se mai acumuleaz nc o cantitate de energie potenial de deformaie i anume:

(9.10)

n faza a doua de ncrcare, fora dFk existnd deja pe grind, aceasta parcurge cu ntreaga ei intensitate deplasarea yk produs de sistemul de fore, realiznd lucrul mecanic .

Energia potenial de deformaie la sfritul procesului de deformaie va fi:

(9.11)

Fora elementar dFk poate fi considerat ca o cretere a forei Fk.

Termenul din (9.11) este un infinit mic de ordinul doi i el poate fi neglijat n raport cu ceilali termeni din aceast relaie, obinndu-se:

(9.12)

Dac inem seama c W reprezint energia potenial de deformaie corespunztoare numai sistemului de fore, fr creterea dFk, se gsete c energia potenial de deformaie are pe seama existenei lui dFk o cretere:

(9.13)

Conform relaiei (9.8), energia potenial de deformaie produs de sistemul de fore F1, F2, ..., Fn este o funcie de toate forele sistemului:

,

(9.14)

a crei diferenial este:

(9.15)

Dac variaz numai Fk iar celelalte fore sunt constante, derivatele pariale ale acestora din relaia (9.15) sunt nule, rezultnd:

(9.16)

Egalnd relaia (9.13) cu (9.16) se obine:

(9.17)

Relaia (9.17) formeaz teorema I-a a lui Castigliano pentru sgei i arat c sgeata n dreptul unei fore externe Fk, pe direcia acesteia este egal cu derivata parial a energiei poteniale de deformaie n raport cu fora extern respectiv.

Printr-un raionament asemntor, se obine:

,

(9.18)

care reprezint teorema I-a a lui Castigliano pentru rotiri i aceasta arat c rotirea unei seciuni a grinzii n care este aplicat un cuplu Mk este egal cu derivata energiei poteniale de deformaie n raport cu acest cuplu.

Dac yk i k rezult pozitive, ele se vor produce n sensul lui Fk i respectiv Mk, iar dac rezult negative, ele se produc n sens invers.

Se poate demonstra i viceversa relaiei (9.17):

,

(9.19)

care formeaz teorema a II-a a lui Castigliano i care arat c derivata energiei poteniale de deformaie n raport cu proiecia deplasrii pe direcia unei fore Fk, aplicat n punctul k, este egal cu aceast for.

n mod analog, se obine teorema a II-a pentru cupluri

,

(9.20)

adic derivata energiei W n raport cu rotirea k a seciunii k, n care este aplicat cuplul Mk, este egal cu acest cuplu.

Se nlocuiete sgeata yk cu o deplasare k i innd seama de (9.4), relaia (9.17), n cazul cel mai general de solicitare al unei bare devine:

(9.21)

n cazul cnd k reprezint k din (9.18), n (9.21) n locul lui Fk se introduce momentul Mk ce acioneaz n punctul k unde se determin rotirea.

Relaia (9.21) este valabil i pentru bare curbe de mic curbur, dac lungimea elementar de bar dx se nlocuiete cu un arc elementar de bar , n care este unghiul ce definete poziia seciunii curente n care s-au scris expresiile eforturilor, iar R reprezint raza de curbur.

(9.22)

Cnd k reprezint o rotire k, n (9.22) se nlocuiete Fk cu momentul Mk, ce acioneaz n punctul k unde se determin rotirea.

Dac n punctul k, n care se determin k nu sunt aplicate ncrcrile Fk i respectiv Mk pe direcia acestor deplasri, n mod fictiv pe grind n punctul k se aplic Fk = 0 i respectiv Mk = 0, care se anuleaz n expresiile eforturilor dup efectuarea derivatelor pariale.

n cazul solicitrii monoaxiale (la ntindere compresiune) a unei bare, cnd , din relaia (9.21) se obine:

,

(9.23)n care k este deplasarea punctului de aplicaie al forei Fk pe direcia acesteia, adic n lungul axei barei.

Pentru o bar solicitat la rsucire pur, cnd , mrimea k din relaia (9.21) reprezint unghiul de deformaie al barei n seciunea n care acioneaz cuplul Mk, care nlocuiete fora Fk din ultimul termen al acestei relaii:

(9.24)

n cazul barelor solicitate la ncovoiere simpl, cnd planul forelor coincide cu planul xy, caz n care , din (9.21) se obine sgeata i rotirea dintr-o seciune n care acioneaz fora Fk i respectiv cuplul Mk:

(9.25)

(9.26)

Pentru barele solicitate la ncovoiere simpl, cnd forele acioneaz n planul xz, caz n care , din (9.21) se obine sgeata i rotirea dintr-o seciune n care acioneaz fora Fk i respectiv cuplul Mk:

(9.27)

(9.28)

n cazul barelor solicitate la ncovoiere dubl, sgeata rezultant ntr-un punct k se obine din (9.25) i (9.27)

(9.29)

Uneori n cazul barelor solicitate la ncovoiere, n calculul sgeii i al rotirii se neglijeaz termenii n care intervin eforturile N, Txy i Txz, care contribuie cu o pondere mic la valoarea deplasrilor.

9.5. Calculul deplasrilor prin metoda Mohr Maxwell

Cu ajutorul metodei lui Castigliano putem calcula cu uurin deplasrile (sgei, rotiri), dac cunoatem expresiile de variaie a eforturilor. Expresia deplasrii dup Castigliano capt o interpretare simpl dup concepia Mohr Maxwell, care permite determinarea pe cale expeditiv a acesteia.

Pentru simplificare, n expresia sgeii i rotirii, considerm numai termenul n care intervine momentul ncovoietor Mz

(9.30)

(9.31)

i cutm o interpretare pentru derivata .

Pentru aceasta ne referim la cazul grinzii din figura 9.3, la care se scrie momentul ncovoietor n seciunea c de abscis x, dup care se deriveaz acesta n raport cu Fk.

(9.32)

Derivata poate fi privit ca fiind un moment mz din seciunea curent c (n care s-a determinat i Mz), produs de o for unitar , aplicat n dreptul forei Fk, pe direcia sgeii cutate (pe direcia forei Fk).

nlocuind (9.32) n (9.30) se obine:

(9.33)

Dac pe grinda considerat se urmrete determinarea rotirii k n punctul k, n aceast seciune trebuie s acioneze un moment Mk, caz n care momentul ncovoietor n seciunea c are expresia:

Derivata lui Mz n raport cu Mk este:

,

(9.34)care arat c derivata este egal cu momentul mz produs n seciunea c, de un moment unitar aplicat n seciunea k unde se caut rotirea. nlocuind (9.34) n (9.31) se obine:

,

(9.35)

Relaiile (9.33) i (9.34) pot fi unificate ntr-o singur relaie dac deplasrile yk i k se noteaz cu k

,

(9.36)

cu specificaia c k reprezint sgeata yk (din punctul k), dac momentul mz se obine din ncrcarea grinzii cu o for unitar n punctul i pe direcia sgeii cutate, i c k reprezint rotirea k (din punctul k), dac mz se obine din ncrcarea grinzii cu un moment unitar n punctul i pe direcia rotirii cutate.

Dac deplasrile yk i k obinute din calcul sunt pozitive, rezult c ele se produc n sensul forei unitare i respectiv a momentului unitar.

Relaii analoage (cu 9.36) pentru deplasri se obin i pentru celelalte eforturi, astfel c n cazul cel mai general de solicitare al unei bare drepte expresia deplasrii are forma:

(9.37)

Din relaia (9.37), se obin prin particularizri i expresiile deplasrilor pentru solicitri simple ca i n cazul metodei lui Castigliano. Pentru bare curbe de mic curbur, deplasarea k se obine nlocuind dx cu n relaia (9.38).

9.6. Regula lui Veresciaghin pentru calculul deplasrilor

Aceast regul reprezint o interpretare grafo-analitic a metodei Mohr Maxwell. Pentru prezentarea concis a acestei reguli se consider cazul unei bare solicitat la ncovoiere simpl n planul xy, la care deplasarea ntr-o seciune k este dat de relaia (9.36). n figura 9.4 sunt prezentate diagramele Mz i mz, pentru o bar de lungime l i rigiditate EIz. n timp ce diagrama momentului ncovoietor Mz, rezultat din ncrcarea grinzii cu forele externe este reprezentat printr-o curb oarecare, diagrama mz rezultat din ncrcarea grinzii cu o for unitar sau un moment unitar, care acioneaz n punctul i pe direcia deplasrii cutate este totdeauna liniar. De acest lucru ne putem convinge pe cazuri concrete.

n figura 9.4 s-a notat: Mz, mz momentele ncovoietoare din diagramele Mz i mz, n seciunea de abscis x a barei; aria diagramei de momente Mz; d o arie elementar din aria , delimitat de abscisele x i x+dx; valoarea momentului din diagrama mz, msurat n dreptul centrului geometric c al ariei ; xc abscisa centrului geometric al ariei ; unghiul de pant al diagramei mz.

ntr-o seciune x a barei, msurat de la centrul sistemului cartezian ales ca n figura 9.4, momentul mz se poate scrie

,

(9.38)

cu care relaia (9.36) devine:

(9.39)

Integrala din relaia (9.39) reprezint momentul static Sy al ariei diagramei Mz, fa de axa y, care se mai poate scrie sub forma:

(9.40)

Substituind (9.40) n (9.39), rezult

,

(9.41)

n care .

Pentru o grind cu mai multe intervale distincte, relaia (9.41) se scrie sub forma

,

(9.42)n care p i q sunt punctele ce delimiteaz un interval al grinzii.

Relaia (9.42) poate fi aplicat i n cazul cel mai general de solicitare, caz n care p-q se determin din diagramele N, Txy, Txz, Mz, My i Mx, iar p-q sunt ordonatele din diagramele n, txz, txy, mz, my i mx, msurate n dreptul centrului geometric al ariilor p-q.

Dac din calcul deplasarea k rezult pozitiv, ea se va produce n sensul ncrcrii cu sarcina unitar sau i se va produce n sens invers acestor ncrcri, dac din calcul rezult negativ. n relaia (9.42), aria p-q i ordonata p-q se introduc cu semnul lor.

Deoarece relaia (9.42) s-a dedus din condiia de pant constant a diagramei mz, aria p-q se calculeaz din diagrama Mz, pe intervalele p-q, pe care n diagrama mz avem pant constant.

Dac pe intervalul p-q i diagrama Mz i diagrama mz au pant constant, se poate lua aria din diagrama mz i ordonata din diagrama Mz.

Exemple1. O grind cotit spaial (fig.9.5) are seciunea circular avnd diametrul d, aria A i momentul de inerie I. Materialul din care este confecionat grinda are modulul de elasticitate longitudinal E i modulul de elasticitate transversal G. Se cere s se determine: a) sgeata y1 a punctului 1, pe direcia axei y; b) sgeata x1 a punctului 1, pe direcia axei x; c) sgeata z1 a punctului 1, pe direcia axei z. Axele x, y i z pe direcia crora se cer sgeile, sunt axele sistemului cartezian de pe intervalul 1-2; d) sgeata rezultant.

Rezolvare

Se aplic metoda Mohr-Maxwell. n calcul se va ine seama de toate eforturile ce rezult din solicitarea grinzii cu fora F.

a) Se centralizeaz eforturile de pe cele trei intervale rezultate din ncrcarea grinzii cu fora F, n tabelul 9.1, iar n tabelul 9.2 sunt centralizate eforturile rezultate din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia sgeii y1.

Tabelul 9.1

Domeniu

Efort1 2

2 3

3 4

N00-F

Txy-F-F0

Txz000

Mz-Fx-Fx-2Fa

My00-Fa

Mx0Fa0

Tabelul 9.2 Domeniu

Efort1 2

2 3

3 4

n00-1

txy-1-10

txz000

mz-x-x-2a

my00-a

mx0a0

Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.2, considernd c grinda este din oel cu E/G=2,6 i cum la seciunea rotund k=10/9, iar Ip = 2I, se obine sgeata y1 conform relaiei (9.37).

b) Se centralizeaz eforturile de pe cele trei intervale n tabelul 9.3, rezultate din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia sgeii x1 (fig.9.6.b)Tabelul 9.3

Interval

Efort1 2

2 3

3 4

n-100

txy000

txz0-1-1

mz000

my0xx

mx002a

Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.3 se obine sgeata x1 conform relaiei (9.37).

(9.44)

c) Eforturile pe cele trei intervale din ncrcarea grinzii cu o for unitar , aplicat n punctul 1 pe direcia z1, sunt centralizate n tabelul 9.4.

Tabelul 9.4

Interval

Efort1 2

2 3

3 4

n0-10

txy001

txz100

mz00x

my-x-a0

mx00-a

Cu eforturile din tabelele 9.1 i 9.l4 se obine sgeata z1 conform relaiei (9.37).

(9.45)

Din (9.43), (9.44) i (9.45) se obine deplasarea total a punctului 1:

(9.46)

Aplicaie numeric: F = 0,5 kN; a = 1 m; d = 80 mm.

.

n relaia (9.46), primul termen din parantez , rezultat din eforturile N, Txy i Txz, este neglijabil n raport cu ceilali termeni de sub radical, care sunt dai de eforturile Mz, My i Mx. Din acest motiv, la calculul deplasrilor (sgei, rotiri), n majoritatea cazurilor, eforturile N, Txy i Txz se neglijeaz.2. Bara cotit n spaiu din figura 9.7 este solicitat de forele F1=F2=F. Se cere deplasarea vertical a punctului 1 i deplasarea orizontal a punctului 2 (pe direcia barei 2 3), dac se consider n calcul numai solicitrile de ncovoiere i rsucire. Pe cele trei intervale bara are lungimile l12 = a; l23 = 2a i l34 = 2a i are seciunea ptrat de latur b, circular de diametru d = b i respectiv dreptunghiular cu laturile b i 2b.

Rezolvare

Pentru determinarea celor dou deplasri se utilizeaz metoda Castigliano.

n tabelul 9.5 sunt centralizate eforturile Mz, My i Mx din ncrcarea barei cu forele F1 i F2, iar n tabelul 9.6 sunt centralizate derivatele acestor eforturi n raport cu fora F1 ce acioneaz n punctul 1 pe direcia deplasrii cutate y1.

Tabelul 9.5

Interval

Efort1 2

2 3

3 4

Mz-F1x-F1x-F12a

My00-F1a-F2x

Mx0F1a0

Tabelul 9.6

Interval

Derivat1 2

2 3

3 4

-x-x-2a

00-a

0a0

Deplasarea y1 a punctului 1 pe direcia forei F1 va fi:

n tabelul 9.7 sunt centralizate eforturile Mz, My i Mx, rezultate din ncrcarea grinzii cu forele F1, F2 i cu fora Fk = 0, aplicat n punctul 2 pe direcia deplasrii cutate, iar n tabelul 9.8 sunt prezentate derivatele acestor eforturi n raport cu Fk.

Tabelul 9.7

Interval

Efort1 2

2 3

3 4

Mz-F1x-F1x-F12a+Fkx

My00-F1a-F2x

Mx0a0

Tabelul 9.8 Interval

Efort1 2

2 3

3 4

00x

000

000

Deplasarea x2 a punctului 2, pe direcia forei Fk, va fi:

Valoarea pozitiv a deplasrii y1 arat c aceasta se produce n sensul forei F1, iar valoarea negativ a deplasrii x2 arat c aceasta se produce n sens invers forei Fk.3. Se consider grinda din figura 9.8, avnd pe intervalul 1 2 seciunea dreptunghiular cu laturile b i 2b, iar pe intervalul 2 3 este rotund cu diametrul d = 2b. Se cere deplasarea vertical y1 a punctului 1, rezultat din solicitarea de ncovoiere i rsucire.

Rezolvare

Pentru calculul deplasrii se va folosi regula lui Veresciaghin.

n figura 9.9.a, b i c sunt prezentate diagramele Mz, My i Mx din ncrcarea grinzii cu sarcinile externe, iar n figura 9.9.d, e i f diagramele mz i mx, rezultate din ncrcarea grinzii n punctul 1 cu o for unitar pe direcia deplasrii cutate.

Deplasarea punctului 1 va fi:

4. Cadrul din figura 9.10.a, avnd momentul de inerie I pe panoul 12 i 1,5I pe panourile 23 i 24 este acionat de fora F. Se cer: a) deplasarea punctului 4; b) rotirea seciunii 2; c) deplasarea pe vertical a punctului 3.

Rezolvare

a) Se folosete metoda Mohr Maxwell i regula Veresceaghin. n figura 9.10.b este prezentat diagrama mpmentului ncovoietor din fora F. n figura 9.10.c este prezentat diagrama mi din ncrcarea cadrului cu o for virtual F =1.

Deplasarea punctului 4 este:

b) Se introduce n 2 un moment virtual unitar M =1 (fig.9.10.d), din care se obine diagrama mi.

Rotirea seciunii 2 este:

c) Se introduce n 3 o for virtual unitar i se obine diagrama mi (fig.9.10.e). Deplasarea pe vertical a punctului 3 este:

5. Pentru grinda din figura 9.11 se cere: a) s se traseze diagramele T, M; b) s se determine rotirea n reazemul 2.

Rezolvare

a) Rezultanta sarcinii q este:

Poziia rezultantei este determinat de abscisa:

Integrala , se obine utiliznd integrarea prin pri:

, n care:

,

,u = x,

du = dx

Se obine:

Reaciunile din reazeme sunt: ; .

ntr-o seciune oarecare fora tietoare i momentul ncovoietor sunt:

Se caut punctul n care se anuleaz fora tietoare, punct n care momentul ncovoietor are valoarea de extrem:

;

;

;

;

.

b) La ncrcarea grinzii cu un moment unitar n reazemul 2, momentul ncovoietor n seciunea oarecare este .

Rotirea n punctul 2 va fi:

Integrala I2 are valoarea:

Se obine:

.

6. O bar n form de sfert de cerc ca n figura 9.12 este solicitat de o for vertical uniform distribuit de intensitate p. Se cere s se calculeze deplasarea pe vertical a punctului 1.

Rezolvare

Pe un element de arc ds din bar acioneaz fora elementar .

ntr-o seciune oarecare c, corespunztoare unghiului , momentul ncovoietor dat de fora elementar dF din seciunea oarecare B corespunztoare unghiului va fi:

Pentru calculul deplasrii pe vertical a punctului (1) se aplic metoda Castigliano. Cum n seciunea (1) pe direcia deplasrii cutate nu acioneaz o for concentrat exterioar, se aplic n aceast seciune fora fictiv Fk=0.

Momentul n seciunea C i derivata parial a lui n raport cu Fk vor fi:

;

Se obine:

Cunoscnd soluia unei integrale de forma:

,

se obine:

7. Pentru bara curb cu seciune ptrat din fig. 9.13, ncrcat cu sarcina distribuit uniform p, se cere s se calculeze deplasarea vertical a punctului A. Bara are seciunea ptrat de latur b i se cunoate G = 2E/5.

Rezolvare

Pe un arc elementar de bar ds acioneaz fora elementar dF = pds = pRd.

ntr-o seciune definit de unghiul , fora elementar dF d un moment ncovoietor elementar dMi i un moment de torsiune elementar dMt.

Momentul ncovoietor i de torsiune n seciunea definit de unghiul , se obine integrnd din relaiile de mai sus n limitele (0-).

Calculul deplasrii verticale a punctului A, se face prin metoda Castigliano. Pentru aceasta n seciunea A se introduce fora fictiv Fk = 0.

n seciunea definit de unghiul momentul ncovoietor i momentul de torsiune dat de sarcina distribuit i fora fictiv vor avea expresiile:

;

.

Deplasarea pe vertical a punctului A datorit momentului ncovoietor i momentului de torsiune va fi:

8. Pentru bara curb cu seciune rotund din fig. 9.14 se cere s se calculeze deplasarea pe vertical a punctului A. ntre modulul de elasticitate transversal i longitudinal exist relaia G = 2E/5.

Rezolvare

Pentru rezolvare se aplic metoda Castigliano. ntr-o seciune definit de unghiul , momentul ncovoietor i momentul de torsiune au expresiile:

Derivatele acestora n raport cu fora F ce acioneaz n seciune i pe direcia sgeii cutate sunt:

Deplasarea pe vertical a punctului A va fi:

9. Pentru bara curb din fig. 9.15 se cere s se calculeze deplasarea pe vertical, pe orizontal i rotirea captului liber (2). Se consider c bara are rigiditatea la ncovoiere constant pe lungime (EI = const.).

Rezolvare

Pe arcul elementar de bar ds acioneaz fora elementar:

Momentul ncovoietor elementar dMi, produs de fora elementar dF, ntr-o seciune curent c va fi:

Momentul ncovoietor total, produs de sarcina specific p ce acioneaz pe poriunea 2-c este:

Pentru calculul deplasrii pe vertical v2 a punctului (2), se aplic n acest punct fora fictiv Fk = 0. Momentul ncovoietor n seciunea c i derivata parial a acestuia n raport cu Fk vor fi:

Deplasarea vertical a punctului 2 este:

Pentru calculul deplasrii pe orizontal a punctului (2), n acest punct se aplic fora fictiv orizontal Pk = 0. Se obine succesiv:

Pentru calculul rotirii seciunii (2) se introduce n aceast seciune momentul Mk = 0, rezultnd:

10. S se determine expresia deplasrii orizontale i verticale a captului B al barei din fig. 9.16, aflat sub aciunea unei fore uniform distribuite p i a unei fore verticale F. Rigiditatea la ncovoiere este constant n lungul segmentului.

Rezolvare

Se scrie momentul elementar al forei elementare dF = p ds = pRd, n raport cu o seciune curent definit de unghiul .

Momentul ncovoietor dat de sarcina p de pe panoul cB, n raport cu seciunea c este:

Momentul ncovoietor total din seciunea c, pentru calculul lui uB (innd seama de sarcinile p i F, dar i de fora fictiv Fk) i derivata sa parial n raport cu Fk sunt:

Se obine:

Momentul ncovoietor total n seciunea c, pentru calculul deplasrii pe vertical a punctului B i derivata sa parial n raport cu F sunt:

Se obine:

11. Pentru sistemul spaial din figura 9.17.a se cere deplasarea vertical a punctului 4. Grinzile i stlpul au seciunea rotund de diametru E/G = 2,6.

Rezolvare

n figura 9.17.b, c, d, e sunt prezentate diagramele de eforturi din ncrcarea exterioar. n figura 9.17.f, g, h, i sunt prezentate diagramele de eforturi din ncrcarea sistemului cu o for unitar n punctul i pe direcia deplasrii cutate.

Deplasarea pe vertical a punctului 4 este:

Fig.9.1

Fig.9.2

Fig.9.3

Fig.9.4

Fig.9.5

Fig.9.6

Fig.9.7

Fig.9.9

Fig.9.8

Fig.9.10

Fig.9.11

Fig.9.12

Fig.9.13

Fig.9.14

Fig.9.15

Fig.9.16

Fig.9.17

PAGE 262

_1180341829.unknown

_1181118783.unknown

_1181982879.unknown

_1181985898.unknown

_1182059369.unknown

_1182059562.unknown

_1182059700.unknown

_1182059764.unknown

_1182059871.unknown

_1182059889.unknown

_1182059897.unknown

_1182060220.unknown

_1182059881.unknown

_1182059851.unknown

_1182059863.unknown

_1182059772.unknown

_1182059734.unknown

_1182059751.unknown

_1182059718.unknown

_1182059673.unknown

_1182059686.unknown

_1182059563.unknown

_1182059412.unknown

_1182059425.unknown

_1182059434.unknown

_1182059561.unknown

_1182059418.unknown

_1182059394.unknown

_1182059406.unknown

_1182059377.unknown

_1182057977.unknown

_1182058963.unknown

_1182059084.unknown

_1182058471.unknown

_1182057272.unknown

_1182057922.unknown

_1182057161.unknown

_1181985237.unknown

_1181985370.unknown

_1181985534.unknown

_1181985770.unknown

_1181985494.unknown

_1181985299.unknown

_1181985333.unknown

_1181985270.unknown

_1181983522.unknown

_1181984978.unknown

_1181985223.unknown

_1181983929.unknown

_1181983323.unknown

_1181983470.unknown

_1181982965.unknown

_1181455792.unknown

_1181975255.unknown

_1181982599.unknown

_1181982800.unknown

_1181982852.unknown

_1181982739.unknown

_1181975592.unknown

_1181980357.unknown

_1181975456.unknown

_1181456456.unknown

_1181974923.unknown

_1181975124.unknown

_1181974823.unknown

_1181455883.unknown

_1181456004.unknown

_1181455810.unknown

_1181119617.unknown

_1181119922.unknown

_1181120362.unknown

_1181120590.unknown

_1181119627.unknown

_1181118970.unknown

_1181119607.unknown

_1181118810.unknown

_1180427297.unknown

_1181108759.unknown

_1181113776.unknown

_1181114229.unknown

_1181118753.unknown

_1181114101.unknown

_1181111205.unknown

_1181112409.unknown

_1181110770.unknown

_1181110788.unknown

_1181110735.unknown

_1181108313.unknown

_1181108385.unknown

_1181108742.unknown

_1181108326.unknown

_1181107923.unknown

_1181108091.unknown

_1181107808.unknown

_1180424753.unknown

_1180425350.unknown

_1180425590.unknown

_1180425771.unknown

_1180425438.unknown

_1180425229.unknown

_1180425286.unknown

_1180424911.unknown

_1180424009.unknown

_1180424251.unknown

_1180424492.unknown

_1180424077.unknown

_1180342298.unknown

_1180342449.unknown

_1180341975.unknown

_1179564577.unknown

_1180339822.unknown

_1180341327.unknown

_1180341556.unknown

_1180341698.unknown

_1180341391.unknown

_1180340697.unknown

_1180341170.unknown

_1180340039.unknown

_1180173256.unknown

_1180173707.unknown

_1180174392.unknown

_1180173549.unknown

_1179564846.unknown

_1179564921.unknown

_1179564661.unknown

_1179559924.unknown

_1179561546.unknown

_1179561631.unknown

_1179561784.unknown

_1179561560.unknown

_1179560884.unknown

_1179561094.unknown

_1179560200.unknown

_1179558259.unknown

_1179559129.unknown

_1179559279.unknown

_1179559111.unknown

_1179557480.unknown

_1179558242.unknown

_1179557458.unknown