54778133 geometria plana
Post on 07-Oct-2015
239 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Geometria Plan
-
UNGHIURI
definiie : figura geometric obinut prin reunirea a dou semidrepte care au aceeai origine se numete unghi.
msura :mprind cercul n 360 de pri egale,
fiecare parte este un arc de cerc cu msura de 1 (un grad sexagesimal) ; submultiplii gradului sunt minutul si secunda
1 = 60' i 1' = 60''msura unghiului , cu vrful centrul cercului , este aceeai cu msura arcului de cerc corespunztor.
unghiuri congruente : sunt unghiurile care au
aceeai msura.
clasificare : a) un unghi ( dup msura ) poate fi :1. unghi nul msura = 02. unghi ascuit msura < 903. unghi drept msura = 90
-
4. unghi obtuz msura > 905. unghi alungit msura = 1806. unghi n jurul unui punct msura = 360
b) dou unghiuri ( dup msura ) pot fi : 1. complementare - suma msurilor lor este de 902. suplementare - suma msurilor lor este de 180
c) doua unghiuri dup aezare pot fi :1. adiacente - au vrf comun , o latura
comuna , iar celelalte laturi sunt deoparte i de alta laturii comune.
2. opuse la vrf - prelungirea fiecrei laturi a unui unghi este latura a celuilalt unghi.
precizare : unghi propriu este acel unghi care nu-i nul i nici alungit.
-
Teorem : unghiurile opuse la vrf sunt congruente.
definiie : semidreapta , cu originea n vrful unui unghi i care-l njumtete pe acesta , se numete bisectoarea acelui unghi.
Teorem : bisectoarele , a dou unghiuri adiacente suplementare
( complementare ) sunt perpendiculare - formeaz un unghi drept - ( un unghi de 45 ).
-
DREPTE PARALELE
definiie : dou drepte a cror intersecie este mulimea vid se numesc drepte paralele.
T1 - dou drepte intersectate de o secant formeaz unghiuri alterne interne ( sau alt. int. , sau corespodente ) congruente , atunci acele drepte sunt paralele.
RT1- dou drepte paralele intersectate de o secanta formeaz unghiuri congruente.
T2 - dou perpendiculare pe aceeai dreapt sunt paralele.
T3 - dou unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente ( cnd sunt de acelai fel ) , sau suplementare.
-
T4 - dou unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt congruente ( cnd sunt de acelai fel ) , sau suplementare.
coliniaritate - trei puncte care aparin aceleai drepte.
-
PARALELOGRAM
definiie : patrulaterul la care laturile sunt paralele se numete paralelogram.
definiie : paralelogramul cu un unghi drept se numete dreptunghi.
definiie : paralelogramul cu laturile congruente se numete romb.
definiie : - dreptunghiul cu laturile congruente se numete ptrat.
- rombul cu un unghi drept se numete ptrat.
T1 - unghiurile ale unui paralelogram sunt congruente , iar cele alturate unei laturi sunt suplementare.
-
T2 - laturile paralele ale paralelogramului sunt congruente.
1RT2 - patrulaterul , care are laturile opuse congruente ( dou perechi) , este paralelogram.
2RT2 - patrulaterul , care are dou laturi paralele i congruente , este paralelogram.
T3 - diagonalele paralelogramului se njumtesc.
RT3 - patrulaterul la care diagonalele se njumtesc este paralelogram.
T4 - diagonalele dreptunghiului sunt congruente.
RT4 - paralelogramul cu diagonalele congruente este dreptunghi.
-
T5 - diagonalele rombului sunt perpendiculare i bisectoare ale unghiurilor rombului.
RT5 - paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb.
-
TRAPEZ
definiie : patrulaterul convex cu ( numai ) dou laturi paralele se numete trapez.
definiie : trapezul care are laturile neparalele congruente se numete trapez isoscel.
definiie : trapezul care are un unghi drept se numete trapez dreptunghic.
T1 - n trapez , unghiurile alturate bazelor sunt suplementare.
T2 - n trapezul isocel , unghiurile alturate bazelor sunt congruente.
-
RT2 - trapezul , la care unghiurile alturate bazelor sunt congruente , este trapez isoscel.
T3 - diagonalele trapezului isoscel sunt congruente.
RT3 - trapezul , cu diagonalele congruente , este trapez isoscel.
definiie : segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ( ale trapezului )se numete linia mijlocie a trapezului.
T4 - linia mijlocie a trapezului este paralel cu bazele i lungimea ei este media aritmetic a lungimilor bazelor.
aria trapezului : A ABCD = = MN h( B + b ) h
2
-
TRIUNGHI
definiie : figura geometric obinuta din reunirea segmentelor determinate de trei puncte necoliniare , se numete triunghi.
clasificare : a) dup felul unghiurilor :1. - triunghi ascuitunghic - are toate
unghiurile ascuite
2. - triunghi dreptunghic - are un unghi drept
3. - triunghi obtuzunghic - are un unghi obtuz
b) dup felul laturilor : 1. triunghi SCALEN - are toate
laturile necongruente
-
2. triunghi ISOCEL - are dou laturi congruente
3. triunghi ECHILATERAL - are toate laturile congruente
Observaie : triunghi OARECARE este acel triunghi ascuitunghic i scalen.
linii importante n triunghi : - NLIMEA - perpendiculara
din vrf pe latura opus
- MEDIANA - segmentul determinat de vrf i de mijlocul laturii opuse
- MEDIATOAREA - perpendiculara pe latur n mijlocul ei
-
- BISECTOAREA - bisectoarea unghiului triunghiului
- LINIA MIJLOCIE - segmentul determinat de mijloacele a dou laturi
concurena liniilor importante :H ortocentrul - punctul de
concuren al nlimilor
G centrul de greutate - punctul de concuren al medianelor
O centrul cercului circumscris - punctul de concuren al mediatoarelor
I centrul cercului n scris - punctul de concuren al bisectoarelor
-
CONGRUENA :definiie : dou triunghiuri se numesc
congruente , dac au laturile respectiv congruente i unghiurile corespunztoare lor respectiv congruente.
cazurile de congruen :
a) dou triunghiuri oarecare sunt congruente dac auL.U.L. dou laturi i unghiul format de ele , sauU.L.U. dou unghiuri i latura lor comun , sauL.L.L. cele trei laturi respectiv congruente
b) dou triunghiuri dreptunghice sunt congruente dac au :C.C. catetele , sauC.U. o cateta i unghiul ascuit alturat , sau
-
I.U. ipotenuza i un unghi ascuit , sauI.C. ipotenuza i o catet respectiv
congruente
TEOREME :
T1 - ntr-un triunghi isoscel , la laturi congruente corespund unghiuri congruente.
RT1 - dac un triunghi are dou unghiuri congruente , atunci laturile corespunztoare lor sunt congruente.
T2 - ntr-un triunghi isoscel , bisectoarea unghiului format de laturile congruente este median , nlime , mediatoare.
1RT2 - dac ntr-un triunghi , o bisectoare este i median ( sau nlime , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.
-
2RT2 - dac ntr-un triunghi , o nlime este i median (sau bisectoare , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.
T3 - ntr-un triunghi isoscel , nlimile corespunztoare laturilor congruente , sunt congruente.
T4 - ntr-un triunghi isoscel , medianele corespunztoare laturilor congruente , sunt congruente.
T5 - suma msurilor unghiurilor unui triunghi este de 180.
C1T5 - unghiurile ascuite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare.
C2T5 - unghiurile ascuite ale triunghiului dreptunghic isoscel au masuri de 45.
C3T5 - fiecare unghi al triunghiului echilateral are msura de 60.
-
C4T5 - triunghiul isoscel care are un unghi ( oricare ) cu msura de 60 este triunghi echilateral.
T6 - ntr-un triunghi dreptunghic , cateta opus unghiului de 30 este jumtate din ipotenuz.
T7 - unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma unghiurilor neadiacente cu el.
T8 - linia mijlocie a triunghiului este paralel cu latura a treia si egal cu jumtate din ea.
T9 - mediana corespunztoare ipotenuzei , unui triunghi dreptunghic , este jumtate din ipotenuz.
T10 - o paralel cu latura unui triunghi determin pe celelalte laturi segmente proporionale ( Teorema lui Thales ).
-
RT10 - dac dou puncte mpart dou laturi ale unui triunghi n segmente proporionale , atunci dreapta determinat de cele dou puncte este paralel cu latura a treia.
T11 - o paralel cu o latur a unui triunghi , determin un nou triunghi asemenea cu primul.
T12 - dac dou triunghiuri au unghiuri respectiv congruente , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 1 ).
T13 - dac dou triunghiuri au un unghi respectiv congruent i laturile care-l formeaz proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 2 de asemnare ).
-
T14 - dac dou triunghiuri au cele trei laturi proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 3 ).
T15 - dac dou triunghiuri dreptunghice au un unghi ascuit congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.
T16 - dac dou triunghiuri dreptunghice au catetele proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.
T17 - dac dou triunghiuri isoscele au un unghi ( la fel aezat ) respectiv congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.
T18 - bisectoarea unghiului unui triunghi mparte latura opus n segmente proporionale cu laturile care formeaz unghiul.
T19 - centrul de greutate al triunghiului se gsete pe median la 2/3 de vrful triunghiului i la 1/3 de latura opus.
-
T20 - cateta este medie proporional ntre ipotenuz si proecia ei n ipotenuz ( Teorema catetei ).
T21 - ntr-un triunghi dreptunghic , inalimea corespunztoare ipotenuzei este medie proporional ntre segmentele determinate de ea pe ipotenuz ( Teorema 1 a nlimii ).
T22 - nlimea corespunztoare ipotenuzei este egal cu raportul dintre produsul catetelor i ipotenuz ( Teorema 2 a nlimii ).
T23 - suma ptratelor catetelor este egal cu ptratul ipotenuzei ( Teorema lui Pitagora ).
T24 - n triunghi , ptratul unei laturi esteegal cu suma ptratelor celorlalte dou laturi minus ( sau plus ) de dou ori
-
2a
22 2 ( c + b ) - a
4 2b+c
2 2
produsul lor cu cosinusul unghiului dintre cele dou laturi ( Teorema lui Pitagora generalizat ).
T25 - n triunghi , produsul dintre oricare latur i nlimea corespunztoare ei este aceeai.
T26 _ teorema lui Steward.
T27 _ teorema lui Menelaus.
T28 _ teorema lui Ceva.
ALTE RELATIIn triunghi oarecare :lungimea nlimii
AD = ha = p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c)
lungimea medianei AM = ma =
2
-
a ha 2
a b c 4R
L 3 4L 3 4
2
lungimea bisectoarei AA' = ba = . bcp ( p-a )
aria AABC = AABC = p ( p-a ) ( p-b) ( p-c) formula lui Heron
AABC =
AABC =
unde R = raza cercului circumscris
n triunghi echilateral :
nlimea h =
aria A =
a c sinB 2
-
CERC
definiie : locul geometric al punctelor planului egal deprtate de un punct al planului ( centru ) se numete cerc.
raza : distana de la centrul cercului la un punct al cercului.
coarda : segmentul determinat de dou puncte ale cercului.
diametru : coarda care conine centrul cercului.
T1 - msura unghiului nscris n cerc este jumtate din msura arcului de cerc corespunztor.
- msura unghiului cu vrful n exteriorul cercului este jumtate din diferena msurilor arcelor corespunztoare.
-
- msura unghiului cu vrful n interiorul cercului este jumtate din suma msurilor arcelor corespunztoare.
definiie : dreapta care are un singur punct de intersecie cu cercul se numete tangenta la cerc.
T2 - diametrul perpendicular pe o coard njumtete coarda i pe arcul corespunztor ei.
RT2 - dac un diametru njumtete o coard, atunci el este perpendicular pe acea coard.
T3 - coardele egal deprtate de centru sunt congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).
RT3 - coardele congruente sunt egal deprtate de centru.
-
T4 - la coardele congruente corespund arce congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).
RT4 - la arce congruente corespund coarde congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).
T5 - ntre coarde paralele sunt arce congruente.
definiie : patrulaterul ale crui vrfuri sunt puncte conciclice ( aparin aceluiai cerc ) se numete patrulater nchis in cerc .Patrulater inscriptibil este acel patrulater care poate fi nscris ntr-un cerc.
T6 - unghiurile opuse ale patrulaterului nscris n cerc sunt suplementare.
RT6 - dac dou unghiuri opuse ale unui patrulater sunt suplementare , atunci patrulaterul este inscriptibil.
-
2 R
T7 - ntr-un patrulater nscris n cerc , unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul format de latura opus i cealalt diagonala.
RT7 - dac ntr-un patrulater , unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul opus format de latura opus i cealalt diagonal , atunci patrulaterul este inscriptibil.
T8 - tangentele la cerc , dintr-un punct exterior , sunt congruente , iar dreapta determinat de punctul exterior i de centrul cercului este bisectoare a unghiului format de cele dou tangente.
T9 - triunghiul dreptunghic se nscrie ntr-un semicerc al crui centru este mijlocul ipotenuzei.
lungimea cercului L = aria discului A = 2 R
-
2 R n 360
180 n
180 n
R2
R 2 2
R 3 2
R n l R 360 2
lungimea arcului de cerc l =
aria sectorului de cerc As = sau
latura i apotema poligonului regulat nscris n cerc n funcie de raza cercului
ln = 2 R sin an = R cos
3 4 6
l R 3 R 2 R
a
-
AC AB AD + CB CDBD BA BC + DA DC
- inegalitatea lui Ptolomeu - ntr-un patrulater convex , produsul diagonalelor este mai mic cel mult egal cu suma produselor dintre laturile opuse.
- T1 Ptolomeu - ntr-un patrulater inscriptibil , produsul diagonalelor este egal cu suma produselor dintre laturile opuse.
- T2 Ptolomeu - ntr-un patrulater inscriptibil exist relaia :
=
- T Pascal - ntr-un hexagon nscris in cerc , interseciile laturilor opuse sunt trei puncte coliniare.
-
ABCDEF - inscriptibilAC CD = { M }AB DE = { P } => M , N , P coliniareBC EF = { N }
- cercul lui Euler ( cercul celor 9 puncte ) - ntr-un triunghi , mijloacele laturilor ,
picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor determinate de ortocentru i vrfurile triunghiului sunt puncte conciclice.
O' - centrul cercului lui Euler este mijlocul segmentului determinat de H - ortocentrul triunghiului - i de O - centrul cercului circumscris ;
r - raza cercului lui Euler este jumtate din raza cercului circumscris al triunghiului.
top related