9. functia de propagare

9. PROPAGAREA SCURGERII PRIN ALBIE

Capitolele precedente au tratat modul în care se obŃine stratul de apă care participă la scurgere, plecând de la ploaia brută (funcŃia de producŃie) şi hidrograful de debit (funcŃia de transfer). În continuare se pune întrebarea dacă şi cum se modifică hidrograful de debit în aval de staŃia la care a fost determinat (funcŃia de propagare sau transport).

9.1. Caracterizare fizică

Procesul hidraulic de propagare a scurgerii prin albie este deosebit de complex şi conduce la modificarea formei şi volumului undei de viitură datorită următorilor factori :

− VariaŃia în spaŃiu a rugozităŃii şi morfologiei albiei; rezultă că procesul hidraulic al propagării viiturilor este tridimensional, cu direcŃia principală de curgere în lungul cursului de apă.

− VariaŃia în timp a rugozităŃii şi morfologiei albiei, în special în cazul albiilor din materiale aluvionare.

− Reducerea volumului undelor de viitură ce se propagă pe cursurile inferioare ale râurilor prin reŃinerea apei în depresiunile din lunca râului. O parte din volumul reŃinut se infiltrează şi o altă parte se pierde prin evaporaŃie.

− Propagarea pe un sector de râu a undei de viitură este influenŃată de debitul iniŃial din albie şi de tipul de viitură: singulară sau compusă.

− Propagarea viiturii este influenŃată de aportul lateral: la confluenŃa râului cu un afluent important, caracteristicile scurgerii se schimbă datorită efectului de remuu care apare prin bararea de către afluent a scurgerii prin albie.

Fenomenele care conduc la modificarea formei şi volumului undei de viitură sunt următoarele: atenuare, dezatenuare, translaŃie şi subsidenŃă.

Atenuarea se datorează întârzierii scurgerii unei părŃi din volumul undei afluente prin stocarea temporară a unui volum de apă în albia majoră.

HIDROLOGIE ŞI METEOROLOGIE

94

Dezatenuarea apare în cazul îndiguirii râurilor şi /sau amenajării în cascadă a unor lacuri de acumulare de capacitate mică.

SubsidenŃa reprezintă reducerea debitului maxim a undei de viitură ca urmare a procesului de alungire a undei datorită vitezelor diferite de curgere în lungul râului.

Studiul procesului de propagare a undelor de viitură analizează modul în care viiturile se transformă în urma parcurgerii unui sector de râu. S-au dezvoltat două tipuri de modele: hidraulice şi hidrologice. Ambele tipuri de modele se bazează pe aceleaşi principii fizice; ele diferă numai prin gradul de aproximaŃie utilizat în descrierea fenomenului.

Prin modelarea hidraulică se studiază caracteristicile generale ale mişcării fluidului la nivelul fiecărei secŃiuni a unui râu. Prin modelarea hidrologică se studiază modificarea globală a undei de viitură pe un întreg sector de râu.

Alegerea nivelului de cercetare (punct, secŃiune sau sector de râu) depinde de scopul urmărit, de precizia cu care se cere determinarea unui anumit element şi de datele disponibile.

În acest capitol se studiază funcŃia de propagare prin modele hidrologice care reprezintă o abordare simplificată, conceptuală a fenomenelor. În continuare se prezintă metoda Muskingum, fiind cea mai utilizată metodă, atât în cercetare, cât şi în practică.

9.2. Metoda Muskingum

9.2.1. EcuaŃiile modelului

Modelul Muskingum a fost dezvoltat de Mc Carthy şi aplicat prima dată în 1935 la propagarea undelor de viitură pe râul Muskingum.

Modelul se bazează pe ecuaŃia de continuitate:

dVQ q

dt− = , ( 9.1)

unde Q, q reprezintă debitul afluent, respectiv debitul defluent din sectorul de râu, V – volumul acumulat pe sectorul de râu.

Această metodă modelează volumul viiturii acumulat în albia râului printr-o combinaŃie a acumulării de tip pană şi prismă (figura 9.1). În timpul


95

avansării unei unde de viitură debitul afluent (intrarea) depăşeşte debitul defluent (ieşirea) producând o acumulare de forma unei pene de apă. În perioada de scădere a nivelurilor (recesiunii) debitul defluent depăşeşte debitul afluent, astfel încât volumul penei de apă devine negativ. La pana de apă se adaugă şi acumularea sub forma de prismă formată dintr-un volum de apă de secŃiune transversală constantă.

Figura 9.1 Acumularea sub formă de prismă şi pană de apă pe un sector de râu

Se presupune că aria transversală a viiturii este direct proporŃională cu debitul din acea secŃiune, volumul prismei de apă este egal cu Kq, unde K reprezintă un coeficient de proporŃionalitate, iar volumul penei de apă este egal cu KX(Q-q), unde X reprezintă un factor de pondere 0 ≤ X ≤ 0,5. Volumul total acumulat reprezintă suma celor două componente:

pKQ)qQ(KXKqV =−+= , ( 9.2)

unde Qp reprezintă debitul ponderat pe sectorul de râu.

EcuaŃia 9.2 se poate pune sub forma: ]q)X1(XQ[KV −+= ( 9.3)

şi reprezintă un model liniar pentru propagarea scurgerii în albii.

CondiŃiile iniŃiale ale modelului presupun cunoaşterea la momentul t = t0 a debitelor Q şi q, iar condiŃiile la limită implică cunoaşterea hidrografului afluent în sectorul de râu considerat.

Pentru rezolvarea sistemului format din ecuaŃiile (9.1) şi (9.3) se utilizează metoda diferenŃelor finite.


96

1i iV VdV

dt t

+ −=∆

( 9.4)

1 1 1[ (1 ) ]i i iV K XQ X q+ + += + − ]q)X1(XQ[KV iii −+= ( 9.5)

1

2i iQ Q

Q ++= , 1

2i iq q

q ++= , ( 9.6)

unde 1iQ + , 1iq + sunt debitele de intrare şi ieşire din sectorul de râu la momentul tt ∆+ , iQ , iq – debitele de intrare şi ieşire din sectorul de râu la

momentul t, ∆t – pasul de timp. Datorită înmagazinării temporare a unui volum de apă în albia majoră, la propagarea undelor de viitură pe un sector de râu care nu are aport de debit se constată că hidrograful din aval are debitul maxim decalat şi mai redus faŃă de cel din amonte (figura 9.2).

Figura 9.2 Schema de principiu a propagării undelor de viitură

Substituind relaŃiile 9.5 în ecuaŃia 9.4 se obŃine :

1 1i i i iq aQ bQ cq+ += + + ( 9.7)

unde

t)X1(K2

KX2ta

∆+−−∆

= , t)X1(K2

KX2tb

∆+−+∆

= , t)X1(K2

t)X1(K2c

∆+−∆−−

= ( 9.8)


97

Se verifică relaŃia:

1cba =++

SemnificaŃia fizică a parametrilor K şi X este următoarea:

K reprezintă durata de propagare a centrului de greutate a undei de viitură în regim permanent pe sectorul de râu considerat; valoarea parametrului X depinde de forma penei de apă acumulate şi reprezintă coeficientul de atenuare a viiturii pe sector.

9.2.2. Determinarea parametrilor modelului Muskingum

Pentru calculul parametrilor au fost elaborate diferite metode, pentru cazul în care parametrii K şi X sunt consideraŃi constanŃi. Metodele prezentate în continuare presupun cunoaşterea hidrografelor înregistrate, amonte şi aval, pe un sector de râu în perioada de viitură.

9.2.2.1. Metoda celor mai mici pătrate

Interpretând relaŃia Muskingum ca o corelaŃie liniară multiplă, se determină parametrii a, b şi c care minimizează expresia :

( ) ( )2 2

1 11 1

n nc m c m

i i i i i i

i i

F q q aQ bQ cq q− −= =

= − = + + −∑ ∑ ( 9.9)

FuncŃia F este minimă atunci când pentru orice indice i, mi

ci qq = . FuncŃia

obiectiv F devine:

( )21 11

nm m

i i i i

i

F aQ bQ cq q− −=

= + + −∑ ( 9.10)

Prin derivarea funcŃiei F în raport cu parametrii a, b şi anularea derivatelor, rezultă următorul sistem de ecuaŃii liniare:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 11 1 1 1

2

1 1 1 1 11 1 1 1

2

1 1 1 1 11 1 1 1

n n n nm m

i i i i i i i

i i i i

n n n nm m

i i i i i i i

i i i i

n n n nm m m m m

i i i i i i i

i i i i

a Q b Q Q c q Q q Q

a Q Q b Q c q Q q Q

a q Q b q Q c q q q

− −= = = =

− − − − −= = = =

− − − − −= = = =

+ + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

( 9.11)


98

Între parametrii a, b, c există relaŃia: 1cba =++ ( 9.12)

RelaŃiile de definire a parametrilor a, b, c permit calculul parametrilor K şi X:

1;

aK t

a b

−= ∆

+

1

2 1

b aX

a

−= ⋅

− ( 9.13)

După determinarea parametrilor K şi X se impune validarea acestor coeficienŃi, verificând corectitudinea propagării undei de viitură pe sector; cu relaŃia Muskingum:

c1i1ii

ci cqbQaQq −− ++= ( 9.14)

Eroarea de reconstituire a debitelor aval se poate evalua cu relaŃia:

( )21

nc m

i i

i

q q

en

=

−=∑

( 9.15)

9.2.2.2. Metoda grafică

Volumul de apă Vi existent în albie la momentul i poate fi obŃinut ca produs al unui debit ponderat p

iQ (cuprins între Qi şi qi) cu timpul K de parcurgere a viiturii pe sectorul respectiv.

KQV pii ⋅= ,

unde

( )1p m

i i iQ XQ X q= + − ( 9.16)

RelaŃia dintre volum şi debit este liniară, fiind reprezentată de o dreaptă de pantă K. Deoarece Q0 – debitul anterior producerii viiturii nu este nul, dreapta nu trece prin origine, ci prin punctul de coordonate (Q0, 0).

Se reprezintă punctele de coordonate ( ),pi iQ V iar norul de puncte obŃinut se

aproximează printr-o dreaptă având panta K. Deoarece parametrul X din relaŃia (9.12) este necunoscut, i se vor atribui valori arbitrare în domeniul (0; 0,5) şi se va reŃine acea valoare a lui X pentru care norul de puncte

( ){ },pi iQ V se distribuie aproximativ după o dreaptă.


99

Valorile Vi se calculează cu relaŃia:

1 1,i i i iV V V− −= + ∆ ( 9.17)

1 11, 2 2

m m

i i i ii i

Q Q q qV t− −

−

+ +∆ = − ⋅∆

( 9.18)

În aceste relaŃii Vi-1 este volumul din albie la momentul i-1, 1,i iV −∆ este

variaŃia volumului în intervalul (i-1, i) şi este evaluat ca produs dintre pasul de timp şi diferenŃa dintre debitul mediu intrat în sector şi debitul mediu care părăseşte sectorul în cadrul pasului de timp.

Mărimea i,1iV −∆ se mai poate scrie sub forma:

( ) ( )1, 1 1

1

2m m

i i i i i iV Q q Q q t− − − ∆ = − + − ⋅∆ ( 9.19)

Justificarea grafică a relaŃiilor pentru Vi este prezentată în Figura 9.3.

Figura 9.3 Principiul de calcul al volumului Vi (după Drobot, 1999).


100

În prima parte a procesului de propagare, Q(t) > q(t); are loc o reŃinere temporară a apei în albie şi volumul înmagazinat creşte în mod continuu, atingând valoarea maximă pentru Q(t) = q(t). Această reŃinere temporară înseamnă de fapt o atenuare a viiturii, în special în albia majoră. În momentul în care Q(t) < q(t) diferenŃele de debit devin negative, ceea ce înseamnă că din albie se eliberează volumele înmagazinate în prima parte.

După determinarea parametrilor K, X şi a, b, c, eroarea la reproducerea viiturii înregistrate se calculează cu relaŃia (9.15).

9. functia de propagare

Documents