9-asignacion en redes

8/14/2019 9-Asignacion en Redes

1/123

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDESCOMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO: FORMULACIN

MATEMTICA Y ALGORITMO DE SOLUCIN

Joaqun de Cea Ch. y J.Enrique Fernndez L.Departamento de Ingeniera de TransportePontificia Universidad Catlica de Chile

Casilla 306, Santiago 22, CHILETELEFONO: (56-2) 686-4270

FAX: (56-2) 552 4054

RESUMEN

En este trabajo se formula un problema de asignacin y particin modal conjunta para sistemascombinados de transporte pblico, con consideracin explcita de redes compuestas y de lasinteracciones entre los usuarios de las diferentes subredes existentes. Los supuestos bsicos delmodelo consideran que en cada una de las subredes (bus, metro y bus-metro) los usuarios eligen susrutas de acuerdo al primer principio de Wardrop y que la repartian de la demanda en transportepblico (matriz de distribucin de viajes) entre dichas subredes se realiza segn un modelo logit.Evidentemente, en el equilibrio los niveles de servicio empleados para determinar las particionesmodales son los mismos que resultan de asignar dichas demandas a las subredes correspondientes.

El modelo es planteado como una desigualdad variacional en la que el Jacobiano del vector defunciones de costo es asimtrico y el de las funciones de demanda es simtnco. Dada esta

caracterstica se propone usar el algoritmo de diagonalizacin como mtodo de solucin.

Luego de la presentacin de la formulacin matemtica del problema y de un esbozo del algoritmo desolucin propuesto, se discuten algunos aspectos relevantes de implementacin, entre los que destacael tema relacionado con el algoritmo de clculo de rutas mnimas en redes combinadas metro-bus. Seenfatizan las diferencias que este algoritmo de clculo de rutas mnimas presenta respecto del dedeterminacin de rutas mnimas en redes combinadas auto-metro.

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


2/123

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO. FORMULACIN MATEMATI

1. INTRODUCCIN

El problema de eleccin de rutas en redes de transporte pblico de gran tamao, con consideracin derestriccin de capacidad de los vehiculos, ha sido un tema de preocupacin bastante reciente entre

los investigadores de transporte. En De Cea y Fernndez (1993) se presenta un modelo de equilibnode trfico con demanda fija, basado en el concepto de ruta de transporte pblico, en el que la funcinde costo asociada a los arcos de viaje en vehculo depende de los flujos de pasajeros, considerndoseen forma implcita, tal como se hace en el caso de redes viales, las restncciones de capacidad delsistema. Dado que el Jacobiano del vector de funciones de costo es asimtnco, el problemavariacional que representa las condiciones de equilibrio de trfico ptimo de usuarios no tiene unproblema de optimizacin equivalente, por lo que se propone para su solucin el algontmo dediagonalizacin. Wu et al (1994) proponen un modelo de equilibrio ptimo de usuarios, basado en elconcepto de estrategia, que tambin resuelven mediante un procedimiento de diagonalizacin.

Si bien es posible simular con ambos modelos la eleccin de rutas en redes de transporte pblico condiferentes clases de servicio (por ejemplo bus, metro y combinaciones metro-bus) es evidente quesuponer que dicha eleccin es el resultado del equilibrio de los costos generalizados de viajeconstituye un enfoque inocente y limitado del problema que se desea resolver. Por esto, los dosmodelos citados tienen su campo de aplicacin ms adecuado en la asignacin de viajes sobre redespuras de transporte pblico (buses o metro, por ejemplo).

Resulta bastante evidente que en un sistema con modos puros y combinados de transporte pblico elenfoque de modelacin debe ser diferente al antenor. En general se supondr que un viajero en este

sistema enfrentar al menos dos decisiones al realizar su viaje entre un par dado de zonas. Debeelegir el modo puro o compuesto y luego su ruta sobre la red correspondiente. El modelo deequilibrio en este caso ser uno de asignacin-particin modal conjunta. En el caso de los modoscombinados existe para los viajeros una tercera decisin posible, que es la del punto de transbordoentre los modos (ver modelo 3 propuesto en Fernndez et al, 1994).

En este trabajo se analizar en detalle el problema de asignacin-particin modal conjunta y sesupondr que para el caso de las rutas sobre modos combinados el nodo de transbordo entre modosresulta del proceso de eleccin de rutas sobre la red compuesta (asignacin). Se considerarexplcitamente la existencia de modos compuestos, en forma similar a lo expuesto en Fernndez et al

(1994) para el caso de las redes compuestas auto-metro y se discutirn en detalle las particulandadesde este problema.

Se supondr que se tiene una red integrada de servaos (lneas) de bus y metro, sobre la que circulan(e interactan, compitiendo por la capacidad de los servicios ofrecidos) diferentes tipos de viajerosaquellos que utilizan slo servicios de bus y slo servicios de metro (usuarios de modos puros detransporte pblico) y aquellos que utilizan una combinacin de servicios de bus y de metro (usuanosdel modo compuesto bus-metro). La demanda origen destino se reparte entre los modos alternativosde acuerdo a un modelo logit y las demandas modales son asignadas a sus respectivas redes demanera tal que en el equilibrio se cumpla, en cada caso, el pnmer principio de Wardrop.



3/123

JOAQUN DE CEA CH. - J ENRIQUE FERNNDEZ L.

El articulo ha sido organizado de la siguiente manera. Luego de esta breve introduccin, en elcapitulo 1 se presentan algunas definiciones bsicas. En particular se define la red subyacente almodelo, las funciones de costo asociadas a sus diferentes arcos y los modelos de particin modal

entre servaos puros y combinados de transporte pblico. El captulo 3 se dedica a la formulacinmatemtica del problema. Se establecen las condiciones de equilibrio y a partir de ellas se plantea elproblema como una desigualdad variacional. En el captulo 4 se discute el algoritmo de solucin yfinalmente en el captulo 5 se presentan comentarios referentes a la implementacin computacionaldel modelo, haciendo especial nfasis en los algoritmos de clculo de rutas mnimas en redescompuestas bus-metro.

2. DEFINICIONES PREVIAS

2.1 La red "multimodal"

La red multimodal de transporte pblico est dada por un grafo donde Nes la unin de losconjuntos de nodos que representan los centroides de zonas , paradas de las lneas de transporte

pblico de superficie (Nb) y estaciones de metro (Nm) y S es la unin de los conjuntos de arcos

que corresponden a los arcos virtuales de viaje para servicios de bus [Sb) y de metro (Sm), a los

arcos de acceso (egreso) y a los arcos de transbordo superficie-metro (Sa) La red que se muestra en

la figura 1 representa una red compuesta (tipo bus-metro), codificada en trminos de los arcosvirtuales de viaje en transporte pblico que conforman cada una de las sub-redes. Tambin estnrepresentados en ella los arcos de transbordo que unen la red de superficie con la red de metro y losarcos de acceso (egreso) que unen los centroides de zonas con los nodos de la red de buses. Esnecesario considerar que un arco virtual de viaje est formado por un conjunto de lneas y tieneasociados atnbutos tales como un tiempo un esperado de viaje en vehculo, una tarifa, una frecuenciaque corresponde a la suma de las frecuencias de las lneas que lo conforman, una capacidadcorrespondiente a la suma de las capacidades de dichas lneas, un tiempo de espera, un flujo, etc.(para mayores detalles sobre este tipo de redes se recomienda ver De Cea y Fernndez, 1993).

En el modelo que se presenta en este trabajo se considerarn tres redes modales diferentes:

Red de buses, que contiene slo arcos virtuales de viaje del modo bus, arcos de transbordoentre servaos de buses y arcos de acceso.

Red de metro, que contiene slo arcos virtuales de viaje del modo metro, arcos detransbordo superfiae-metro y arcos de acceso.

Red compuesta bus-metro, que corresponde a la suma (superposicin) de las dos redesanteriores.

Adems, en trminos de la disponibilidad para los viajeros de modos de transporte pblico se

distinguen dos tipos distintos de pares de zonas origen-destino:



4/123

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO FORMULACIN MATEMATI

WP ' conjunto de pares O-D en los que los usuarios disponen de los modos metro y bus para realizar

sus viajes. Estas son parejas en las que los centroides de origen y destino estn conectadosdirectamente al metro, por lo que se supone no relevante la alternativa combinada.

Wc ' conjunto de pares O-D en los que los usuanos disponen del modo compuesto bus-metro y delmodo bus para realizar sus viajes. Estas son parejas en las que slo uno de los centroides (ongen odestino) o ninguno de ellos estn conectados directamente al metro. En este ltimo caso el modocompuesto tendr rutas del tipo bus-metro-bus.

2.2 Funciones de costo

Las funciones de costo para los arcos virtuales de viaje (que como se ha dicho representan conjuntosatractivos de lneas) en una red de transporte pblico tienen, en trminos generales, la siguiente forma

(ver De Cea y Fernndez, 1993):

f \ ir ~ \"

c = , + \ 1 L ) + IV'+V > \ ( i )

W V Ks J

donde:

/, tiempo de viaje en vehculo ms tanfa para el arco s.d, frecuencia total del arco s.

Vs flujo de pasajeros en el arco s.y s flujo de otros arcos de viaje, que contienen alguna lnea de las que pertenecen al

arco s, que compite por la capacidad del arco s.Ks capacidad del arco s.

Observando la expresin (1), es fcil ver que aun cuando los parmetros de las funciones antenores(r, P, nj fueran los mismos para todos los arcos de viaje el Jacobiano de las funciones de costo no

ser, en general, simtrico, dado que diferentes lneas tienen diferentes capacidades.Para el problema de particin modal y asignacin conjunto, en que los arcos de las redes de bus ymetro son compartidos por pasajeros que utilizan estos modos simples para realizar sus viajes y porpasajeros que utilizan el modo compuesto bus-metro, las funciones de costo deben considerar estainteraccin de flujos. No obstante se supondr que los costos percibidos por un usuario de modopuro o modo compuesto, sobre un arco de bus (o de metro), sern idnticos. Por lo tanto, lasfunciones de costo tendrn la siguiente forma:

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995) ^ ^ 5 7 9

(1)

donde:

tiempo de viaje en vehculo ms tarifa para el arco s.frecuencia total del arco s.

flujo de pasajeros en el arco s.flujo de otros arcos de viaje, que contienen alguna lnea de las que pertenecen al

arco s, que compite por la capacidad del arco s.capacidad del arco s.parmetros de calibracin.

fueran los mismos para todos los arcos de viaje el Jacobiano de las funciones de costo no

Observando la expresin (1), es fcil ver que aun cuando los parmetros de las funciones anteriores


5/123

JOAQUN DE CEA CH. - J ENRIQUE FERNANDEZ L.

costo del arco s para usuarios del modo c (b=bus, m=metro, c=compuesto).

flujo de pasajeros de bus que utilizan el arco s eSb

flujo de pasajeros de metro que utilizan la el arco s eSm-

flujo de pasajeros del modo compuesto bus-metro, que utilizan el arco s, sea de buso de metro.

(4)

(5)


donde:

costo del arco s.

(2)

(3)

expresiones para las funciones de costo:

Si se llama a la suma y a la suma se tienen las siguientes

Los arcos de acceso y arcos de transbordo tienen un costo constante y equivalente al tiempo decaminata sobre ellos.


6/123

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO FORMULACIN MATEMATl

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995) " c g |

2.3 Modelos de particin modal

La distribucin de viajes se considera fija, es decir, se supone conocida la matnz de viajes totales ai

transporte pblico, la que se denominar Por lo tanto, el anlisis de la demanda se centra.nicamente, en los modelos de particin modal.

Se pueden distinguir dos situaciones de eleccin modal entre pares de zonas ongen-destino,suponiendo, como se ha mencionado, que el modo compuesto bus-metro no es relevante cuando elviaje puede realizarse slo en metro. Estas situaciones son las siguientes:

Bus v/s bus-metro, para

Bus v/s metro, para

i) Bus versus Bus-Metro

Suponiendo que en este caso la particin modal se explica por un modelo logit binomial, ste puedeexpresarse de la siguiente forma:

(6)

de donde:

(7)

La notacin utilizada es la siguiente:

proporcin de viajes que utilizan el modo bus para viajar entre el par w e Wt

viajeros que utilizan el modo bus para viajar entre el par w 6 Wc

percepan por parte de los usuarios de los modos bus-metro y bus,

respectivamente, del costo generalizado de viaje entre el par w E|f( en el

equilibno.parmetros a calibrar usando informacin de elecciones modales.


7/123

JOAQUN DE CEA CH. - J ENRIQUE FERNANDEZ L

5 Q9 ^ ^ ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)

ii) Bus versus Metro

En este caso, en forma similar al caso anterior, se puede expresar el modelo de particin modal

mediante:

(8)

(9)

con:

donde:

Las matrices de viajes obtenidas de los modelos de particin modal anteriores son las siguientes:

Modo bus

Modo metro

Modo bus-metro :

Estas matrices deben ser asignadas sobre las redes modales correspondientes: bus, metro, bus-metro.

3. FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA

Antes de plantear las condiciones de equilibrio y formular matemticamente el problema, convienedefinir los diferentes conjuntos de rutas existentes sobre la red multimodal y las subredes puras, estosconjuntos son los siguientes:

conjunto de rutas entre pares w sobre la red de buses.

conjunto de rutas entre pares w sobre la red de metro,

conjunto de rutas entre pares w sobre la red compuesta.


8/123


ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995) " 5 8 3

( 1 3 )

(14)

conjunto de rutas compuestas entre pares w sobre la red compuesta.

Las condiciones de equilibrio del problema propuesto son entonces:

a) Para cada modo, sea ste puro o compuesto, no existe incentivo para que los usuanoscambien unilateralmente de ruta sobre la red correspondiente. En el caso de los modospuros (bus=b y metro=m), el pnncipio de equilibrio (Wardrop, 1952) se expresa como:

(10)

(11)

(12)

Para el caso de los usuarios de modo compuesto bus-metro, las condiciones antenorestoman la forma siguiente:

En la notacin utilizada representa el costo de una ruta, con t"

perteneciente a alguno de los conjuntos de rutas definidos anteriormente. Los superindices,cuando aparecen, indican el modo al que dicha ruta pertenece y el * denota costos en elequilibrio. En el caso del modo compuesto la tiene una parte en cada modo, lo que tambinsucede con el costo de la ruta compuesta. Los parmetros yh y y m deben ser calibrados a

partir de datos observados, para ajustar la percepcin que los usuarios tienen de los costos

en los arcos de las redes de bus y metro respectivamente.

b) En el equilibrio ningn viajero tiene incentivo para cambiar unilateralmente de modo,puro o compuesto. Esto significa que la diferencia entre las desutilidades modales ser iguala la inversa de las funciones de eleccin modal.


9/123

JOAQUN DE CEA CH. - J.ENRIQUE FERNANDEZ L.

(24)

(25)


Las condiciones de equilibrio del problema de asignacin/particin modal conjunta definidas por lasecuaciones (10) a (14) son equivalentes a la siguiente desigualdad variacional:

( 1 5 )

donde c\y *) representa el vector de funciones de costos en los arcos de la red multimodal, evaluadasdonde

en los flujos de equilibrio el vector de la inversas de las funciones de demanda modal

evaluadas en las demandas Los flujos y las demandas deben satisfacer las

siguientes restricciones, que definen el conjunto factible

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)


10/123


4. ALGORITMO DE SOLUCIN

Dado que, como se ha mencionado, el vector de funciones de costo c(F) tendr en general

Jacobiano asimtrico, no existe en este caso un problema de optimizacin equivalente. As, unenfoque de solucin podra usar algn mtodo para resolver directamente (15), como el algoritmo deplanos cortantes propuesto en Nguyen y Dupuis (1984), o cualquier otro mtodo para resolverdesigualdades variacionales (ver Harker y Pang, 1987).

Uno de los enfoques ms usados para resolver problemas de redes con costos asimtricos es, debidoa la simplicidad de implementacin, el algoritmo de diagonalizacion (ver Flonan, 1977 y Abdulaal yLeBlanc, 1979). Este es un procedimiento iterativo similar al mtodo general de Jacobi para resolverecuaciones no lineales (ver Pang y Chang, 1982). En este caso, dada una solucin inicial factible,debern diagonalizarse las funciones de costos de operacin en los arcos de buses y metro, y al

interior de cada diagonalizacion deber resolverse un problema de optimizacin similar al propuestoen Fernndez et al (1994) para el caso de modos combinados auto-metro. Estas funciones de costodiagonalizadas, en la iteracin k, son de la forma:

en las que Vs representa el flujo de pasajeros sobre el arco de viaje s (suma de los pasajeros delmodo puro, bus o metro segn sea el caso, y de los pasajeros del modo compuesto). Los flujoscompitentes son dejados constantes (evaluados para la solucin factible de la iteracin k) por lo quelos costos cs son separables, esto es, dependen slo de su propio flujo.

La convergencia del algoritmo de diagonalizacion tiene como condicin de suficiencia la

monotonicidad de c(V)(verFlonan y Spiess, 1982). Sin embargo en la prctica los algontmos dediagonalizacion han mostrado muy buenas caractersticas de convergencia aun en casos en que dichacondicin no se satisface.

Al interior de una iteracin del algoritmo de diagonalizacion se debe resolver el siguiente problema deoptimizacin:

rninz = Yb \l'cixjdx + y 'c.{x)dx- \f Gdy (28)

' / sesb s^Sm W e

ACTASDELSPTIMO CONGRESO CHILENODEINGENIERADETRANSPORTE (1995) m a 535

(26)

(27)

(28)


11/123

JOAQUN DE CEA CH. - J.ENRIQUE FERNANDEZ L.

s.a {V,g}efl (29)

El problema (28)-(29) tiene solucin nica si las funciones de costo son montonas crecientes y losmodelos de particin modal son funciones estrictamente decrecientes de las diferencias entre lasdesutilidades modales (Florian y Spiess, 1983) y puede resolverse fcilmente usando el algoritmopropuesto en Evans (1976), que es una adaptacin del algoritmo de Frank-Wolfe.

En la fase de aproximacin lineal (bsqueda de direccin) es necesario calcular rutas mnimas sobrelas redes puras y la red compuesta, con lo que se obtienen los niveles de servicio (desutilidades)requeridos para calcular particiones modales y as obtener flujos origen-destino por modos. Dichasdemandas son asignadas a las rutas mnimas en cada red, con lo se obtiene una solucin auxiliar(flujos en arcos y flujos O/D), que junto a la solucin inicial de la iteracin definen la direccin demximo cambio factible de la funcin objetivo (28). Hecho esto se pasa a la etapa de minimizacin

unidimensional, que indica cuanto avanzar en la direccin anterior.

5. ASPECTOS DE IMPLEMENTACION

El algoritmo de diagonalizacin esbozado en el captulo anterior requiere un algoritmo eficiente declculo de rutas mnimas y de asignacin a rutas mnimas en redes puras y compuestas de transportepblico. Para el caso de las redes puras (bus y metro) se ha implementado un algoritmo (ver De Ceay Fernndez, 1989) que ha resultado muy eficiente tratando redes de transporte pblico de gran

tamao, como la red de buses de Santiago. Es necesario, sin embargo, desarrollar un algoritmoeficiente de clculo de rutas mnimas y de asignacin de viajes a redes compuestas de transportepblico.

En Malbrn (1994) se realiza una detallada revisin de los algoritmos de clculo de rutas mnimasms usados en el caso de las redes de transporte. Se propone adems un algoritmo de dos fases paracalcular rutas mnimas en redes combinadas. Dicho algoritmo, sin embargo, est principalmenteorientado a tratar redes combinadas auto-metro, caso en el que los viajes tratados y, en consecuencia,las rutas que deben ser calculadas tienen una etapa en auto y una etapa en metro. Esto no esnecesariamente as para las rutas combinadas bus-metro. En este caso, si bien una parte importante

de las rutas combinadas son de una estructura como la de las rutas auto-metro (una etapa en bus yuna etapa en metro) existe una proporcin de ellas con tres etapas: una primera etapa en bus, unasegunda etapa en metro y una etapa final en bus. Ni el algoritmo de dos fases de Malbrn (1994) nilos algoritmos de clculo de rutas mnimas en redes combinadas implementados en ESTRAUS (verSECTU, 1989) consideran la existencia de este tipo de rutas. Probablemente la poca importanciarelativa de los viajes observados en Santiago sobre rutas de este tipo (bus-metro-bus) para la

5Q6 mm ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DETRANSPORTE (1995)

(29)


12/123ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO FORMULACIN MATEMATI .

encuesta origen-destino de 1991 han llevado a los modeladores a olvidarlos. No obstante, en redesintegradas, con una mayor cobertura de la red de metro, como las que se analizan para planes futurosde la ciudad de Santiago, la importancia de este tipo de viajes aumentar sustancialmente, por lo que

un algoritmo de rutas mnimas sobre redes combinadas de transporte pblico debe considerar suexistencia. En un trabajo de investigacin en curso se ha desarrollado e implementado la versinpreliminar de un algoritmo ms general que los disponibles que est en etapa de prueba y prometeser eficiente.

Gruesamente, la parte del algoritmo (que es una adaptacin del algoritmo de Dijkstra, 1959) quedetermina rutas mnimas del tipo bus-metro y bus-metro-bus consiste en calcular y almacenar, enprimer lugar, los rboles de rutas mnimas desde las estaciones de metro (nodos de metro en la redmultimodal) hacia todos los centroides, exigiendo slo para el primer pivot (origen del arco) que eletiquetaje a nodos vecinos se realice slo para nodos de metro, imponiendo as la restriccin de

buscar rutas mnimas desde el metro, usando al menos un arco de metro. Hecho esto se calculanrboles de rutas mnimas desde los centroides de origen no conectados a la red de metro hasta lasestaciones de metro (no existen en este caso los arcos de metro). Cada vez que un nodo de metrollega a ser pivot, todos los centroides de destino (todos menos el origen del rbol que se estcalculando) se etiquetan con un tiempo que se obtiene sumando al tiempo hasta el pivot el tiempo dela ruta mnima desde la estacin de metro al centroide de destino y con un predecesor quecorresponde al pivot. El esfuerzo de clculo adicional respecto al de un algontmo de Dijkstraconvencional (red pura) se relaciona principalmente con el clculo de rboles adicionales. En el casoconvencional se calcula un rbol por cada centroide de ongen. En este caso, adems de sos se debecalcular un rbol por cada nodo de metro. Por otro lado, el etiqutaje directo de los centroides a partirde los pivots nodos de metro introduce implcitamente un nmero no despreciable de arcos ficticios ala red. Esto es, exactamente

REFERENCIAS

ABDULAAL, M. y LeBLANC, L. (1979) Methods for combimng modal split and equilibnumassignment models. Transportation Science, VoL 13, 292-314.

DE CEA J y FERNANDEZ, JE. (1989) Transit assignment to minimal routes: an efficient newalgonthm. Traffic Engineering and Control 29 (10), 520-526.

DE CEA J y FERNANDEZ, JE. (1993)Transit assignment for congested public transportsystems: an equilibrium model. Transportation Science, VoL 27 (2), 133-147.

DIJKSTRA E. (1959) A note on two problems in connexion with graphs. Numerishe Mathematik1,269-271.

EVANS, S.P. (1976) Derivation and analysis of some methods for combining trip distribution andassignment Transportation Research 10, 37-57.


13/123

JOAQUN DE CEA CH. - J.ENRIQUE FERNNDEZ L.

FERNANDEZ, J.E., DE CEA, J., FLORIAN, M. y CABRERA, E. (1994) "Networkequilibrium models with combined modes". Transportation Science, VOJL 28, 182-192.

FLORIAN, M. (1977) A traffic equilibrium model of travel by car and public transit modes.Transportation Science, 8, 166-179.

FLORIAN, M. y SPIESS, H. (1982) The convergence of diagonalization algorithms forasymmetric network equilibrium problems. Transportation Research, 16B, 447-483.

FLORIAN, M. y SPJIESS,H. (1983) On binary mode choice/assignment models. TransportationScience, 17, 32-47.

FRANK, M. y WOLFW, P. (1956) An algorithm for quadratic programming. Naval Research

LogisticsQuarterly 3, 95-110.

HARKER, P.T. y PANG, J-S. (1987) Finite-dimensional variational inequality and nonlinearcomplementarity problems: a survey of theory, algorithms and applications. Department of DecisinSciences, The Wharton School, ersity of Pennsylvania, 87-12-06.

MALBRAN, BL (1994) Un algoritmo de rutas mnimas para redes combinadas de transporte. Tesisde Magister, Escuela de Ingeniera, Pontificia Universidad Catlica de Chile.

NGUYEN, S. y DUPUIS, C. (1984) An efficient method for computing traffic equilibria innetworks with asymmetric transportation costs. Transportation Science 18, 185-202.

PANG, J.M. y CHANG, D. (1982) Iterative methods for variational and complementarityproblems. Math. Program, 24, 284-313.

SECTU (1989) Estudio de evaluacin y desarrollo del sistema de transporte urbano de santiago(ESTRAUS). Secretara Ejecutiva de la Comisin de Transporte Urbano, Chile.

WARDROP, P.G. (1952) Some theoretcal aspects of road traffic research. Proceedings of theInsttute of Civil Engineers, Part D,

325-378.

WU, J.H., FLORIAN M. y MARCOTTE, P. (1994) Transit equilibrium assignment: a modeland solution algorithms. Transportation Science, Vol. 28, 193-203.

5gg mm ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


14/123

ASIGNACIN PARTICIN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO. FORMULACIN MATEMATI

Figura 1

Representacin de una Red de Compuesta Bus-Metro


CentroidesNodos

Estaciones de metroSecciones de ruta (bus)Arcos de acceso

Secciones de ruta (metro)


15/123

CALIBRACIN DE REDES DE TRANSPORTE: COMPARACIN

DE LOS MTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVESRene M. Alvarez Crcamo

Ingeniero Civil de Industrias U.C.Estudios Economtricos Ingenieros Asociados

Coln 3773, Depto 72. Fono: 206 31 62

RESUMEN

La calibracin de redes de transporte consiste en determinar los parmetros de las curvas flujo-velocidad de los arcos componentes de la red, de tal forma que luego de producida la asignacin deequilibrio, los valores modelados de flujos en los arcos se aproximen tanto como sea posible a losconteos de trfico efectuados a nivel de calles y avenidas. Para lo anterior se requiere contar con treselementos fundamentales: una red de transporte modelada en base a arcos, nodos y centroides; unamatriz Origen-Destino obtenida a travs de encuestas de preferencias, expandida y corregida enforma independiente a la red; y conteos de trfico independientes de la matriz y los parmetros de lared modelada.

En la literatura se han propuesto distintos mtodos para calibrar redes, entre los que destaca el

mtodo binivel propuesto por Suh et al. para calibrar una red interurbana en Corea del Sur (Suh,Parky Kim, 1990) y utilizado en la calibracin de la red estratgica de la Encuesta Origen Destinode Viajes de Santiago 1991.

Este trabajo muestra los resultados de calibracin de una red de transporte privado a travs de losmtodos binivel y de Hooks &Jeeves. Luego de un anlisis de resultados, se fundamenta la eleccindel mtodo de Hooks &Jeeves para calibrar redes de transporte privado cuyas funciones de costo enlos arcos son del tipo BPR.

La Metodologa y resultados del presente trabajo fueron desarrollados como parte del estudio"Anlisis y Recalibracin de los Modelos de ESTRUS" realizado por la empresa consultoraFernndez y De Cea Ingenieros Ltda., por encargo de la Secretara Ejecutiva de la Comisin dePlanificacin de Inversiones en Infraestructura de Transporte (SECTRA)

50Q mm ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


16/123

CALIBRACIN DE REDES DE TRANSPORTE- COMPARACIN DE LOS MTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES

1. EL MTODO BINIVEL-, . -

1.1 Descripcin General del Mtodo

El Problema Binivel consta de dos problemas de optimizacin resueltos secuencialmente. En elpnmero de ellos (Pl), se determinan los parmetros de la funcin de costos de cada categora dearcos, que minimizan las diferencias entre los flujos observados y los flujos modelados En elsegundo problema (P2), se modelan los flujos a travs de una asignacin de equilibrio utilizando losparmetros de la funcin de costos determinados en (Pl). El Problema Binivel asi descnto se planteacomo:

(Pl) M,na^(f:-fa(a,p))2

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Tal como se desprende de (1.3), (1.4), (1.5) y (1.6), (P2) es un problema de equilibno de usuarios

que puede ser resuelto por ejemplo, a travs del algoritmo de Frank-Wolfe.

El proceso iterativo del algontmo binivel, se muestra en la Figura 1.1.


donde es tal que resuelve:

(Pl)

(P2)

(1.5)(1.6)

Funcin de costo del arco aParmetros de la funcin de costosDemanda entre el par wPar Ongen-Destino (IJ)

Flujo observado en el arco aFlujo modelado en el arco atoma el valor 1 si el arco a est en la ruta p, y 0 si no

Conjunto de todas las rutas sobre la redConjunto de rutas que unen el par wElemento de PFlujo en la ruta p

donde:


17/123

RENE M. ALVAREZ CRCAMO.

Figura 1.1Proceso Iterativo Algoritmo Binivel

1.2 Funcin de costo

La funcin de costo utilizada en este trabajo es la BPR (BPR 1964):

(1.8)

A partir de la ecuacin (1.7), y despejando de ella el flujo asignado fa , se obtiene la siguienteecuacin:

(1.9)


1.3 Expresin de los Flujos en Funcin del Costo en el Arco

El (Pl) requiere expresar los flujos modelados en (P2) como una funcin lineal de los costos de

equilibrio


18/123


sacando logantmo y reordenando se obtiene:

(1.10)

resulta la funcin de una recta:

donde:

( L I D

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(116)

(1.17)

El (P4) encuentra su mnimo cuando los flujos observados y los modelados se igualan.


finalmente haciendo los siguientes cambios de variables:

donde z es una funcin de la variableDado lo anterior, el (Pl) de la ecuacin (1.1) se puede plantear como:

(1.18)

lo que es equivalente a plantear el (P4):

(P4) (1.19)


19/123


2. EL MTODO DE HOOKS & JEEVES

2.1 Descripcin del M to do

La aplicacin del mtodo de Hooks & Jeeves a la calibracin de la red vial, permite determinar losparmetros a y P de la funcin de costos (1.7) para cada categora de arcos a travs de un procesode prueba y error. Este proceso consiste en efectuar una bsqueda exploratoria a travs de cada unade las coordenadas del espacio de soluciones (parmetros a y p de las funciones de costo) a fin deencontrar una direccin de descenso local de la funcin objetivo (1.19).En la Figura 2.1 se describe el proceso en dos dimensiones:

Figura 2.1Mtodo de Hooks & Jeeves en 2 Dimensiones

La idea de establecer un nuevo Punto Base a una distancia K d del Punto Base original, espermitir al proceso "salir" de posibles mnimos locales de la funcin objetivo, tal como se muestra enla Figura 2.2



20/123


Figura 2.2

Mtodo de Hooks & Jeeves

Las etapas del proceso de Hooks & Jeeves son las siguientes

) Exploracin desde el Punto de Base y obtencin de la Direccin deDescenso

Se efectan cambios individuales de magnitud 5 en los parmetros a y P de cadacategora de arcos y se evala la funcin objetivo en cada nuevo punto a travs de unaasignacin de equilibrio.

La direccin de descenso est determinada por un vector de dimensin n (nmero deparmetros a y P) cuyos componentes registran el resultado de cada exploracin individual.

Si luego de modificar un parmetro se produce una mejora en la funcin objetivo, se registraen el vector de descenso un 5. Si la funcin objetivo no mejora, se registra un 0. Dadoesto, el vector de descenso es del tipo:

" )

(2.1)

Evaluacin en el Punto de Descenso

Se modifican en forma conjunta todos aquellos parmetros a y p que produjeron una

mejora de la funcin objetivo en la etapa de exploracin, efectundose una nuevaasignacin de equilibrio en este punto.



21/123

I I I)


Si se produce una mejora en la funcin objetivo, se acepta esta direccin como una direccinen que la funcin objetivo disminuye y se contina con el paso iii). El punto encontrado sedenomina Punto de Descenso.

Si no se produce una mejora en la funcin objetivo, se repite el paso i) con una magnitud de

A partir del Punto Base se efecta un avance K -d En este punto se efecta una nuevaevaluacin de la funcin objetivo. Si mejora el valor de la funcin objetivo, se establece estepunto como nuevo Punto Base, repitindose el proceso de exploracin i).

Si no mejora la funcin objetivo, se efecta un avance {K 2)- ddesde el Punto Baseoriginal. Si mejora el valor de la funcin objetivo, se establece este punto como nuevoPunto Base, repitindose el proceso de exploracin i).

Si no mejora la funcin objetivo, se establece el Punto de Descenso como nuevo PuntoBase y se repite el proceso de exploracin y).

El mtodo finaliza cuando el 5 a travs del cual son efectuadas las exploraciones en i), se hacearbitrariamente pequeo y la funcin objetivo no mejora en la direccin de descenso indicada.

3. COMPARACIN DE LOS DOS MTODOS DE CALIBRACIN

3.1 Descripcin de la Red, Conteos y Ma tr iz Util izadas

Con la finalidad de comparar los dos mtodos de calibracin de redes de transporte privado, seexperiment con una red, matriz y conjunto de conteos de prueba, especialmente preparados para talefecto. La red de prueba utilizada consta de 3.081 arcos de viaje, 731 arcos de acceso, 988 nodos, y264 zonas. Los arcos se encuentran divididos en 12 categoras cuyos parmetros de las funcin decostos (1.7) se muestran a continuacin:

Tabla 3.1Parmetros de las Funciones de Costo de la Red de Prueba

Categora

1234

56

a2,01,5

1,4

2,1

2,12,3

P6,05,55,55,1

5,44,6

Categora

78910

1112

a1,9

2,40,20,8

2,50,2

P4,54,56,04,0

5,24,0

ACTAS DELSPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)

exploracii

Avance


22/123

CALIBRACIN DE REDES DE TRANSPORTE: COMPARACIN DE LOS MTODOS BINIVEL Y HOQKS & JEEVES

La matriz de prueba utilizada tiene un total de 169.735 viajes, distribuidos entre 264 zonas.

Los conteos de prueba fueron obtenidos a travs de una asignaaon de equilibno de la matriz sobrela red de prueba, seleccionndose en forma aleatoria un subconjunto de 565 arcos y sus respectivos

flujos de equilibrio (para las categoras 11 y 12 no se obtuvo conteos).

3.2 Calibracin con Mtodo Binivel

Como punto de partida, se tom los valores a = 0,2 y p = 4 (Recomendados por el Burean qf PublicRoads para autopistas, 1964) para las 12 categoras de arcos de la red. En la figura 3.1, se muestrala evolucin de la funcin objetivo (1.19) luego de 100 iteraciones del algoritmo.

Figura 3.1Mtodo Binivel: Evolucin de la Funcin Objetivo

En el mencionado grfico, se aprecia que el proceso iterativo posee caractersticas oscilantes. En unprincipio la funcin objetivo tiende a disminuir pero a partir de la iteracin 50 se produce un ascensoque estabiliza su valor en torno a 300.

En la Figura 3.2 se muestra la evolucin del coeficiente de determinacin de la muestra ocorrelacin al cuadrado (r2) entre flujos totales observados y modelados, a lo largo de las 100iteraciones.

Figura 3.2

Mtodo Binivel: Evolucin de r2



23/123


En la Figura 3.2, se aprecia que a partir de la iteracin 50 se produce un brusco descenso coincidentecon el ascenso del valor de la funcin objetivo mostrado para dicha iteracin en la figura 3.1.

Finalmente, el valor de r2 se estabiliza en torno a 0,7.

Los valores de a y p alcanzados luego de las 100 iteraciones son mostrados en la Tabla 3.2

Tabla 3.2Parmetros Finales del Mtodo Binivel luego de 100 iteraciones

CorrelacinFuncin Objetivo

Categora12345678910

Alfa10.300,0

57,0993,0

1.590,0

203.000.000,0144.000,0

4.970,065,0

1.000,0

136.000,0

Beta

5,18,6

2,13,98,98,25,80,65,74,5

0,6752289,63

r2

0,74280,43560,6613

0,71890,10870,32240,93190,99090,46690,5365

Es fcil apreciar que los valores de los parmetros a y p, obtenidos luego de 100 iteraciones delproceso difieren substancialmente de los valores con que fueron generados los conteos.

Finalmente, es relevante sealar que el proceso fue detenido arbitrariamente en la iteracin 100, todavez que no se aprecia convergencia hacia ningn valor claro de la funcin objetivo, de r2 o de losparmetros a y p.


El coeficiente de determinacin se calcul a partir de la siguiente expresin:

(3.1)


24/123

CALIBRACIN DE REDES DE TRANSPORTE: COMPARACIN DE LOS MTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES

3.3 Calibracin con Mtodo de Hooks & Jeeves

En esta seccin se describen los resultados de calibrar la red de prueba descrita en la seccin 3.1, atravs del mtodo Hooks & Jeeves, utilizando la misma matriz, conteos y punto de partida utilizados

en 3.2.

Tal como se aprecia en la Tabla 3.3, el valor de la funcin objetivo en el punto de convergencia es2,72, sensiblemente inferior al 289,63 alcanzado al utilizar el mtodo binivel. Adems de lo anterior,el r alcanzado (99,78 %) es claramente cercano a uno, y notablemente mayor que el alcanzado alutilizar binivel (67,52 %).

Tabla 3.3

Resultados de la Calibracin Hooks & Jeeves

Categora

1

2

3

4

5

6

78

9

10

Parmetros H&J

a

2,3

3,1

1,8

2,22,4

2,1

1,63,4

2,8

2,2

36,9

9,2

7,1

4,9

5,3

4,4

3,46,2

9,5

4,9

Correlacin

Funcin Objetivo

r2

por

Categora

0,99780,99160,99660,99730,98430,9911

0,99880,99990,98030,99910,99782,7200

En algunas categoras (por ejemplo 1, 4, 5 y 6) los parmetros obtenidos son bastante cercanos a losparmetros originales (ver Tabla 3.1). Para otras (por ejemplo 3 y 7), los valores son razonablemente

similares. Sin embargo las categoras 2, 8, 9 y 10 presentan diferencias lo que hace suponer laexistencia de mltiples ptimos locales.

4. ANLISIS DE RESULTADOS

4.1 Mtodo Binivel

El mtodo Binivel tiene un largo transiente en el cual el r2 y la funcin Objetivo se comportan enforma osalante. Luego de aproximadamente 50 iteraciones se produce una relativa estabilidad de

estos indicadores.

ACTAS DEL SPTIMO CONGRES O CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


25/123

A pesar de lo anterior, es posible afirmar que el mtodo no converge hacia valores razonables de lafuncin objetivo, de r2 o de los parmetros a y p. En efecto, los valores del parmetro a (en especialpara la categora 5) aparecen claramente errneos y fuera de rango.

Finalmente, es del caso sealar que a pesar de trabajarse con la misma red y la misma matriz con quefueron generados los conteos, se lograron valores de ajuste relativamente pobres (=0,61).

5. CONCLUSIONES

SECTRA (1991) Encuesta Origen Destino de Viajes del Gran Santiago

Suh, Park y Kim. (1990) A highway capacity function in Korea: meseaurement and calibration.

Transportation Research A, Vol.24 A N3, pp 177-186.

4.2 Mtodo de Hooks & Jeeves

El mtodo de Hooks & Jeeves, entreg valores razonables de r2 y de la funcin objetivo. En efecto lafuncin objetivo alcanz un valor de 2,7 , cercano al valor ideal 0. Por su parte el r2 alcanz un valorde 0,998 que es muy cercano al valor ideal 1, lo que indica que el proceso se comportadecuadamente. Finalmente, los valores reportados para los parmetros a y p estn claramentedentro de rangos aceptables.Llama la atencin que a pesar de que los indicadores utilizados (valor de la funcin objetivo y r2)indican que la calibracin se llev a efecto con xito, existan diferencias entre los parmetros con quefueron originados los conteos o "verdaderos", y los parmetros logrados luego de haberse logrado laconvergencia del proceso. Lo anterior sugiere la existencia de mltiples ptimos locales.

De la experiencia descrita en este trabajo se puede concluir que el mtodo binivel no es apropiadopara calibrar redes de transporte privado, ya que no converge hacia valores adecuados de la funcin

objetivo y de r2, arrojando valores claramente fuera de rango para los parmetros a y p.Por su parte, el mtodo de Hooks & Jeeves s converge adecuadamente hacia valores apropiados delos parmetros calibrados, entregando buenos valores para la funcin objetivo y r2.Dada la existencia de mltiples ptimos locales se hace especialmente apropiada la utilizacin delmtodo de Hooks & Jeeves para la calibracin de redes de transporte privado.Finalmente, es de inters sealar que el mtodo de Hooks & Jeeves aqu descnto fue utilizado conxito para la recalibracin de la red estratgica de Santiago en 1994.

REFERENCIAS]

Bureau of Public Roads. (1964) Traffic Assignement Manual. U.S. Department of Commerce,Urban Planning Divisin, Washington D.C.

SECTRA (1994) Recalibracin de la Red Estratgica de Santiago

6 0 0 " ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


26/123

MODELOS DE REDES DE CARGA: ESTADO DEL ARTETRANSPORTE INTERURBANO

J. Enrique Fernndez L. y Joaqun de Cea Ch.Dpto. Ingeniera de Transporte,

U. Catlica de ChileCasilla 306, Santiago 22, CHILE

RESUMEN

Los sistemas de transporte interurbano pueden ser representados a travs de modelos de redesmultimodales; estos ltimos han experimentado un fuerte desarrollo durante las ltimas dos dcadasen su aplicacin a sistemas urbanos de transporte de pasajeros, sin embargo su aplicacin a sistemasinterurbanos ha sido mucho ms limitada. Por otra parte, aunque los pnncipios de modelacinrelacionados con teora de grafos y redes, modelos matemticos de opmizacin y pnncipios de

teora microeconmica, son tiles para tratar ambos problemas, sus caractersticas especficas sonbastante diferentes, haciendo que no sea posible realizar una extensin o adaptacin de modelosdesarrollados en un caso (por ejemplo urbano) a su aplicacin en el otro (por ejemplo interurbano).

En este trabajo se realiza un anlisis crtico de la literatura respecto del desarrollo de modelos detransporte interurbano de carga. En cada caso se estudian los supuestos y planteamientos tencosbsicos y las implicancias para su aplicacin prctica, y se efecta un anlisis comparativo para elcaso de los modelos de redes, en el que se evalan las ventajas y limitaciones de los distintosenfoques propuestos en la literatura especializada. Como conclusin se especifican los aspectos msrelevantes que requieren de investigacin y desarrollos futuros y las formas posibles de enfrentar

dichos desarrollos.

I i presente investigacin ha sido parcialmente financiada por FONDEC YT-Chile y la Pontificia Universidad Catlica de Chile.

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995) " ^ Q I


27/123

J. ENRIQUE FERNANDEZ L - JOAQUN DE CEA CH.

1. INTRODUCCIN

La modelacin de los flujos interurbanos de carga presenta una gran complejidad inherente, lo que hallevado a distintos autores a tomar diversos enfoques desde la perspectiva de diferentes disciplinas.Es as como podemos encontrar en la literatura modelos que tratan de representar y explicar desde elcomportamiento de los agentes individuales en la eleccin de rutas, hasta el fenmeno de entrada ysalida de empresas del mercado de transporte interurbano de carga. Sin embargo, en el centro detodos estos modelos est presente el concepto de la prediccin del comportamiento de los diversosagentes que intervienen en el movimiento de la carga.

Harker (1987), propone el diagrama de la Figura 1 para representar los distintos agentes quenormalmente participan y las interrelaciones que entre ellos se producen. Los productores son los

agentes econmicos que producen los bienes; los consumidores demandan dichos bienes para elconsumo. Tpicamente, se consideran distintos sub-grupos de productores y consumidores que selocalizan en diversas zonas dentro de la regin que se desea analizar, los que se comunican medianteel conjunto de precios de los bienes y servicios que ellos venden y compran. Por lo tanto, si lasdistintas zonas consideradas se encuentran unidas por un sistema de transporte y hay intercambioentre ellas, debe existir un conjunto de agentes, denominados despachadores (shippers) quecumplen la funcin de administrar el movimiento de la carga desde su origen hasta su destino. En laprctica ellos estn representados por un conjunto de entidades tales como los departamentos dedespacho de empresas manufactureras, departamentos de distribucin, despachadores de cargaindependientes, departamentos recibidores de carga de las empresas, etc.

En general, los despachadores, son el conjunto de los agentes que toman las decisiones relativas a laforma operacional en que la carga se mueve dentro del rea bajo estudio: la generacin de viajesdesde cada origen, su distribucin hacia los distintos destinos posibles, y el conjunto de modos yempresas de transporte que tomarn parte en el traslado de la carga. Las elecciones que losdespachadores realizan se basan en las condiciones que el mercado plantea que se resumen en losprecios observados.

Una de las decisiones ms importantes que los despachadores deben tomar se refiere al conjunto demodos que se utilizarn en el transporte de la carga desde su origen hasta su destino y en particular

las empresas que realizarn el servicio; a estas se les denomina transportistas (carriers) y sufuncin propia es la produccin de servicios de transporte. Se supone adems que su objetivofundamental es maximizar el beneficio obtenido de su operacin.

Por lo tanto, despachadores y transportistas son respectivamente los demandantes (consumidores) yoferentes (productores), en el mercado de servicios de transporte. Harker (1987) denomina decisionesde ruteo de los despachadores, a la eleccin que estos realizan de uno o varios transportistas (cadenade servaos) para mover la carga; a travs de dicho proceso, los despachadores crean una demandapor servicios de transporte, que es el producto de los transportistas. Estos a su vez producen unaoferta de servicios de transporte, que en su conjunto determinar un nivel de servicio del sistema.Esta interrelacin se representa por una flecha bidireccional en la Figura 1.

6 0 2 ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


28/123

MODELOS DE REDES DE CARGA: ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

Figura 1. Relaciones en el Mercado de Transporte de Carga

Normalmente, el sistema de transporte de carga se considera adems integrado por otros dos agentes:los transportistas potenciales y el Gobierno. Los primeros son agentes que normalmente norealizan servaos de transporte, pero tienen el potencial de hacerlo y por lo tanto influyen en elestablecimiento de las tanfas de los servicios, dada la presin que su potencial entrada al mercadoejerce sobre los operadores normales. El segundo est representado por todas las agencias estatalesrelevantes, tanto de nivel central, como regional y local. Ellas influyen en el sistema

fundamentalmente a travs de las regulaciones que imponen a la operacin y de la provisin ymantencin de infraestructura.



29/123

J. ENRIQUE FERNANDEZ L. - JOAQUN DE CEA CH

2. MODELOS DE REDES DE TRANSPORTE DE CARGA

Una red representa al sistema de transporte, como un conjunto de arcos y nodos con una topologa

definida, que especifica la estructuracin espacial y funcional de los distintos servicios de transporteofrecidos y que generalmente coincide adems con la distribucin fsica de la infraestructura. En elcaso interurbano, los nodos representan lugares de acceso a la red de servicios o de encuentro dedistintos modos: puertos, aeropuertos, patios ferroviarios etc.; los arcos representan vas sobre lascuales se movilizan los vehculos: carreteras, autopistas, lneas frreas, vas de navegacin, etc. Engeneral, cada elemento de la red lleva adems asociado un ndice del nivel de servicio y/o de loscostos de operacin experimentados, el que en las representaciones ms sencillas es constante pero enlos modelos ms sofisticados corresponde a una funcin que depende del flujo y la capacidad delelemento en cuestin.

Los modelos de redes tpicos suponen un anlisis de corto plazo, en el que dado un cierto capitalinvertido en la red y por lo tanto caractersticas definidas de capacidad y costos de operacin, queestructuran una funcin global de oferta de corto plazo, se predicen los flujos y niveles de servicioque se observaran si se consideraran determinadas demandas entre los diferentes pares Origen-Destino, las que pueden ser constantes o elsticas dependiendo del caso. A continuacin revisaremoslos modelos de redes de transporte de carga ms importantes que han sido desarrollados y reportadosen la literatura especializada desde 1960.

2.1 El Modelo Harvard-Brookings.

Sin duda este es el primer desarrollo significativo de un modelo predictivo de redes de transporteinterurbano de carga. Creado inicialmente por Roberts (1966) y extendido posteriormente por Kresgey Roberts (1971) fue usado en Colombia para la elaboracin de un plan de desarrollo del sistema detransporte interurbano de dicho pas.

Este modelo usa una red multimodal, incluyendo carreteras, ferrocarriles, rutas martimas y rutasareas y distingue distintos productos a ser transportados. Sin embargo, solo considera la simulacindel comportamiento de los despachadores, que son los nicos agentes representados. Los costos deoperacin de los modos de transporte se suponen constantes y la eleccin de modo y ruta por parte de

los despachadores se basa en el clculo de rutas mnimas sobre la red multimodal, para cada tipo deproducto separadamente. Los costos de transporte resultantes se usan en dos submodelos dedistribucin distintos, dependiendo del tipo de producto: i) un sub-modelo estndar del tipoKoppmans-Hitchckok (K-H), que calcula los flujos 0-D para productos homogneos de bajo valoragregado (principalmente graneles) ii) un submodelo gravitacional estndar (Isard, 1975, Cap. 3)para los productos especiales de alto valor agregado. Las generaciones y atracciones necesanas paraespecificar las restricciones de los submodelos de distribucin se obtienen en forma extema, a partirde un modelo macroeconmico.

Una vez obtenidos los flujos O-D por cada tipo de producto, estos se asignan a la red multimodalusando las mismas rutas mnimas calculadas inicialmente. Ntese que, dado que se supone que noexiste congestin, no es necesario revisar los costos de operacin calculados inicialmente, ya que

6 0 4 ^ ^ ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DETRANSPORTE (1995)


30/123

MODELOS DE REDES DE CARGA; ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

estos son independientes del nivel de flujo asignado. El procedimiento de asignacin se completacargando volmenes apropiados para considerar el retomo de los vehculos vacos a su punto deorigen.

2.2 El Modelo de Redes de Transporte de CACI.

Este modelo fue desarrollado por CACI Inc., como parte del Estudio Nacional de Energa yTransporte (CACI, 1980, Bronzini, 1980a-c) y su objetivo inicial fue estudiar la eficiencia energticade los distintos modos de transporte de carga interurbanos, debido a lo cual se realiz unarepresentacin de los costos de energa ms detallada que lo que es normal en este tipo de modelos

La versin original es mulmodal y multiproducto, aunque las demandas por transporte son fijasentre pares O-D. Los supuestos bsicos son los siguientes:

El ruteo de la carga es resultado exclusivo de las decisiones de los despachadores,cuyo objetivo es encontrar las rutas de costo mnimo.

El costo relevante para las decisiones de ruteo se obtiene mediante una combinacinlineal del costo de operaaon, el tiempo de viaje y el uso de energa.

Estos supuestos ignoran por completo el rol que cumplen los transportistas en el ruteo de los envosde la carga y utilizan una expresin inusual del costo de transporte, al mezclar en una misma medidafactores que son de inters para los transportistas, como el costo de operaaon, con otros perabidos

por los despachadores y usuarios como el tiempo de viaje.A pesar de que sus creadores califican la versin ms reaente del modelo como de equilibno ymultiproducto, el procedimiento de asignacin de equilibno usado trabaja con funciones de costosagregadas (para el conjunto de los productos), en vez de diferenciadas por producto, lo cual esequivalente a considerar un solo producto. En la ltima versin, se incluye un submodelo separadoque simula las decisiones de ruteo de los transportistas (Bronzini y Sherman, 1983) pero que usacostos fijos y asignacin a rutas mnimas.

2.3 Modelo de Peterson.

Peterson propuso un modelo (Peterson y Fullerton, 1975) predictivo de transporte ferroviano queutiliza alternativamente los dos principios de comportamiento de Wardrop para modelar lasdecisiones de los operadores de transporte, aunque el autor opina que el segundo pnnapio(optimizacin de sistema) es ms adecuado para modelar sistemas de transporte de carga.

La formulacin est basada en un problema de programacin matemtica, en el que se minimiza unafuncin objetivo que est construida usando funaones no lineales de tiempo de viaje sobre los arcosde la red, que son funcin de los flujos agregados que los utilizan; las restricciones corresponden alas tpicas conservaciones y nonegatividad de los flujos. En la solucin se utiliza el conoadoalgoritmo de Frank-Wolf propuesto por Leblanc et al., (1975).



31/123

J. ENRIQUE FERNNDEZ l. - JOAQUN DE CEA CH.

Las demandas por transporte son constantes y determinadas exgenamente y se considera un soloproducto y un solo operador. Adems, tampoco se modela el retomo de los vehculos vacos.

2.4 Modelo de Lansdowne.Aunque este modelo es menos general que los anteriores, es de inters por ser el primero que incluyelas interacciones que se presentan entre despachadores y transportistas (operadores) (Lansdowne,1981). El modelo es unimodal y considera demanda fija, la que se le debe entregar a travs de unamatnz de viajes en ferrocarril. Como resultado, entrega un conjunto de rutas ferroviarias incluyendola localizacin de las interlineas, que corresponden a los puntos de la red en que el control de la cargaes transferido de un operador a otro. Las decisiones de eleccin de ruta incluyendo el nmero ylocalizacin de las interlineas es determinado conjuntamente por los despachadores y transportistasinvolucrados. A pesar de que el punto de transferencia de la carga (interlinea) puede ser especificado

por el despachador, es ms comnmente determinado por el primer operador que interviene en lacadena de transporte; este tiene por objetivo maximizar su beneficio econmico, pero debe ofrecer unnivel de servicio razonable al despachador a fin de mantenerlo como cliente. Los principios usados enla modelacin son los siguientes:

La eleccin de rutas considera como criterio, minimizar el nmero de interlneas.

Los operadores eligen la ruta mnima dentro de su propia red.

Si existen varias rutas elegibles se escoge la que maximiza el ingreso percibido por

el primer operador en la cadena de transporte.

Si existe ms de un operador inicial potencial la carga se divide entre todos ellos deacuerdo con alguna regla pre especificada.

A pesar de que el proceso de transferencia de la carga en los puntos interlnea ocasiona costos,demoras e incertidumbres adicionales que normalmente tratan de evitarse, la aplicacin del primerprincipio especificado ignora varios factores importantes en la operacin real de un sistema detransporte de carga; por ejemplo, las condiciones y trazado de las lneas y las demoras causadas por

la congestin existente en las lneas y patios intermedios, influyen en forma importante en la eleccinde ruta en la prctica. El segundo, y cuarto principios, parecen razonables y el segundo se basa en elreconocimiento de la fuerte posicin negociadora que tiene el primer operador con respecto al restode los subsecuentes operadores, dado que el aporta el equipo y negocia las tarifas con eldespachador. El modelo no considera el problema del retorno del equipo vado.

2.5 El modelo de Prnceton.

Este es tambin un modelo ferroviario (Kornhauser et al., 1979) conformado por dos submodelos.El primero simula las decisiones de ruteo al intenor de un operador y el segundo determina los

movimientos entre distintos operadores. Las rutas al interior de un operador son determinadascalculando rutas mnimas sobre la subred correspondiente y suponiendo costos fijos en cada arco.


32/123

MODELOS DE REDES DE CARGA. ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

Los movimientos entre operadores son determinados considerando una red total, que incluye las detodos los operadores, unidas por arcos especiales que representan los puntos de interlinea; a estosarcos se les asigna un elevado costo de operacin a fin de evitar que sean elegidos con demasiadafrecuencia. En ambos modelos se utilizan libre y discrecionalmente los costos de operacin sobre los

arcos, como parmetros de calibracin a fin de obtener el mejor ajuste posible entre los flujosobservados y los modelados. No se considera el retomo de vehculos vados.

2.6 Otros Modelos.

Los dos modelos ms importantes desarrollados a la fecha: i) el Modelo de Equilibno de Redes deTransporte de Carga (Freight Network Equilibnum Model: FNEM) y ii) el Modelo de PlanificacinEstratgica para Flujos Multiproducto de Carga Interurbanos (STAN), sern tratados en formaseparada en las secciones siguientes. Estos modelos son los ms sofisticados disponibles yconstituyen el estado del arte en materia de modelos interurbanos de redes de transporte de carga ypor lo tanto merecen un anlisis ms detallado. Antes de ello revisaremos sin embargo un enfoquealternativo de modelacin, que es complementano al revisado en la presente seccin y que algunosautores han propuesto recientemente integrar con los modelos de redes ms desarrollados existentes,Fnesze tal , (1993).

3. MODELOS DE EQUILIBRIO ESPACIAL DE PRECIOS

Al igual que los modelos revisados en la seccin anterior, estos utilizan una representacin explcitadel sistema de transporte mediante una red. En este caso sin embargo se consideran solo las

interacciones entre productores, consumidores y despachadores, correspondientes a las representadasen el tnngulo supenor de la Figura 1; los transportistas u operadores se dejan fuera del anlisis y ensu lugar se definen funciones de costo de transporte sobre los elementos de la red, que los representanen forma indirecta. En general la representacin de la red o sistema de transporte es ms bienagregada y simplificada.

El modelo considera un conjunto de nodos que se pueden clasificar en dos clases diferaites:centroides, que representan regiones productoras y/o consumidoras y nodos de transferencia(ruteadores) que corresponden a puntos de interseccin (o confluencia) de distintos arcos de la red, enlos que no existe generacin ni atraccin de viajes, sino que nicamente transferencia de flujos. Los

arcos pueden ya sea conectar directamente distintos centroides, o hacerlo a travs de una serie denodos de transferencia. A cada centroide que representa una regin productora se le asocia unafuncin de oferta y una funcin de demanda a cada regin consumidora. Sobre dicha red se busca unconjunto de flujos de equilibrio caracterizados por las siguientes dos condiciones:

Si existe un flujo del producto "k" desde la regin A (exportadora) hacia la reginB (importadora), entonces el precio final de equilibrio en la regin A ms el costode transporte entre A y B, debe ser igual al precio final de equilibrio en la regin B.

Si el precio final del producto "k" en la regin A ms el costo de transporte entre Ay B es mayor que el precio final en la regin B, entonces no puede haber flujo desdeA hacia B.



33/123

J. ENRIQUE FERNANDEZ L - JOAQUN DE CEA CH.

En este modelo las demandas por transporte son derivadas de la necesidad de mover los productosentre regiones exportadoras e importadoras, que alcanzan un equilibrio espacial de precios, cuandoestn unidas por un sistema de transporte.

La nocin de equilibrio entre mercados espacialmente separados y las demandas de transporteresultantes ha sido desarrollada por diversos autores.

Figura 2. Redes consideradas en los Modelos de Equilibrio Espacial de Precios


(a)

(b)

(c)


34/123

MO DE LOS DE REDES DE CAR GA ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

En un paper clsico en este tema, Samuelson (1952) elabora el enfoque antenor proponiendo unaformulacin, basada en programacin matemtica, como un problema de optimizadn, sobre unared como la de la figura 2-a. Usando una funcin objetivo que interpreta como "baieficio socialneto", aplica las condiciones de Kuhn-Tucker para obtener las condiciones matemticas de IUI

equilibrio espacial de preaos.

Beckman, et al., (1956) en un captulo acerca de "Algunos Problemas no Resueltos", plantea que elmodelo de equilibrio espaaal de preaos seria muy til en el anlisis de sistemas de transporte decarga. Takayama y Judge (1964 y 1971), plantean un problana de programacin cuadrticasuponiendo que las funaones de oferta y demanda tiaiai una fonna lineal y los costos de transporteson constantes e independientes de los flujos. El modelo considera vanos productos y los autores loaplican para resolver un ejemplo.

Flonan y Los (1982), consideran una red con nodos de transferenaa, como la mostrada ai la Figura2.2-b, y funaones no lineales, para formular un problana de optimizacin cuya solucincorresponda a un equilibno espacial de preaos. Sin anbargo, su procedimiaito de solucinpresenta problemas debido a que est basado en un enfoque que requiere enumeraan de rutas aitrepares O-D.

Tobin y Fnesz (1983), usan una red general del tipo presentado en la Figura 2.2-c, ai la que LU nodopuede representar un ongai, un destino o un punto de transferaiaa A partir de dicha fonnulacionmuestran que no es necesano considerar explcitamente los flujos en rutas (como ai el caso deFlorian y Los, 1982), con lo que se reduce considerablanente el esfuerzo computacional requendopara obtener una solucin. Sin embargo, este enfoque de modelacin supone ai fonna implcita queexiste sustituibihdad de productos en cada nodo de la red, esto quiere dear que ai LU nodo detransferenaa, los flujos que aitran y salen no pueda ser identificados y distinguidos segn su destinofinal. Esto resulta en una modelacin poco realista ai aquellas situaciones ai que se requiereidentificar movimientos especificos entre pares O-D, como es el caso de carros de ferrocarnl(Harker, 1985). Los autores examinan tambin las propiedades de existenaa y unicidad de lassoluaones, para lo cual usan una fonnulacion como problana complementario no lineal (PCN) yanalizan las caractersticas de convergaiaa de LU algoritmo de solucin correspondale

Existen vanas aplicaciones de este concepto ai estudios de transporte de carga, sin embargo, pocasde ellas consideran un enfoque multiproducto y la mayora corresponde al anlisis de los sectoresagrcola y de energa.

4. EL ESTADO DEL ARTE EN MODELOS DE REDES DE TRANSPORTE DECARGA

El estado del arte en la modelaan de redes de transporte interurbano de carga, esta represaitadofundamentalmente por dos modelos i) el Modelo de Equilibno de Redes de Transporte de Carga(Freight Network Equilibnum Model FNEM) y n) el Modelo de Planificacin Estratgica para

Flujos Multiproducto de Carga Interurbanos (STAN) A continuacin se hace un anlisis de cadauno de ellos:



35/123

J. ENRIQUE FERNNDEZ L. - JOAQUN DE CEA CH.

4.1 El Modelo de Equilibrio en Redes de Transporte de Carga (FNEM).

Este modelo (FNEM) fue desarrollado por un equipo conjunto de investigadores de la Universidad dePennsylvania (Penn) y el Argonne National Laboratory (ANL), bajo el patrocinio del Departamento

de Energa de los Estados Unidos de Norte Amrica. Una descripcin conceptual del modelo puedeencontrarse en Friesz et al., (1981) y una descripcin resumida se entrega en Friesz et al., (1983b).

"

Las caractersticas ms importantes de FNEM son las siguientes:

Se modelan en forma explcita las decisiones de despachadores y operadores(transportistas).

Se usan dos redes distintas, una agregada para modelar el comportamiento de losdespachadores y otra desagregada para modelar el comportamiento de losoperadores.

Se consideran distintos modos y diferentes productos en forma simultnea.

Las funciones de costos y demoras consideradas tienen una forma no lineal.

Los costos y las demoras dependen de la congestin en el sistema, la que esdeterminada por los niveles de flujos que usan cada elemento de la red multimodal.

Las producciones y atracciones de los productos a ser transportados son fijas, perosu distribucin O-D es variable.

FNEM, modela las decisiones de los despachadores y operadores en forma secuencial, tal como serepresenta en el diagrama de la Figura 3. Se supone, que los despachadores tratan unilateralmente deminimizar el precio de entrega final de los productos que envan, el que se compone de la suma delprecio en origen ms el costo de transporte (que incluye la tarifa y el costo econmico del tiempo deviaje), por lo que su comportamiento puede representarse mediante una variante del primer principiode Wardrop (equilibrio de usuarios).

Figura 3. Estructura del Modelo secuencia! Despachador-Operador



36/123

MODEL OS DE REDES DE CARGA ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

Por lo tanto, el submodelo de despachadores considera demandas elsticas en trminos dedistnbucin y su representacin analtica corresponde a un problema de programacin matemtica(problema de optimizacin) Adems, usa una representacin agregada de la red, que considera arcossintticos entre nodos, que pueda ser centroides, nodos de transferencia, o interlineas; cada uno dedichos arcos corresponder ai la prctica a un conjunto de arcos reales, o una seccin completa de lared de un operador. La solucin de este submodelo, conduce a la determinacin de cantidadesdemandadas, por producto, despachador, modo o combinaaon de modos que sean utilizados, y poroperador.

FNEM usa un detallado procedimiaito de tipo contable, que est implementado ai un algontmodaiominado de descomposicin (Figura 3), para determinar las matnces O-D correspondientes acada operador que controla una subred.

Cada operador corresponde a una empresa, que se supone acta de acuerdo a un cnteno de

maxiiruzacin de beneficios; sin embargo, dado que ai el enfoque secuaiaal utilizado, el submodelode los operadores recibe matnces fijas de demandas por transporte aitre pares O-D, detenninadaspor los despachadores (correspondaite al resultado del submodelo de despachadores) el ingresopercibido ser constante y por lo tanto puede considerarse que maximizacin de benefiaos esequivalente a minimizacin de costos. Por lo tanto, el comportamiento de los operadores esrepresaitado a travs del segundo pnnapio de Wardrop (ptimo de sistema).

El submodelo de operadores se fonnula como un problema de programaan matemtica,correspondiente a un modelo de asignacin de equilibno con costos marginales de operaaon (ptimode sistema) y demanda fija. La red individual de cada operador es considerada en forma completa y

daallada para la defiman del problana de asignacin equivalente; ai la Figura 4 se muestra unarepresaitacin de las caractersticas de las redes usadas ai los submodelos de despachadores yoperadores Los dos submodelos son resueltos mediante un algontmo del tipo Frank-Wolfe (LeBlanca al., 1975) utilizando procedimiaitos de diagonahzaan (Fernndez y Fnesz, 1983) para tratar lasinteracciones aitre distintos productos

Figura 4. Redes usadas en FNEM

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA BE TRANSPORTE (1995)


37/123

J. ENRIQUE FERNANDEZ L. - JOAQUN DE CEA CH.

Los flujos de retorno de vehculos vacos son considerados en forma indirecta mediante ajustes de las -funciones de costos y demoras.

-

Es importante hacer notar que FNEM no est restringido a trabajar con funciones de costos y

demoras que sean estrictamente crecientes, como en el caso de los modelos urbanos de redes detransporte. Sin embargo, si se utilizan funciones decrecientes, para representar la existencia deeconomas de escala o de densidad de flujos, las funciones objetivo de los submodelos dedespachadores y operadores pueden resultar no convexas, lo que ocasionar la posibilidad de obtenermltiples soluciones correspondientes a ptimos locales de los problemas de programacincorrespondientes. Cuando esto ocurre, el mismo algoritmo de Frank-Wolfe puede usarse paraobtener una solucin, pero debe tenerse cuidado en la eleccin del paso de avance de la segundaetapa del algoritmo, a fin de garantizar la obtencin de un ptimo local. Avriel (1976) provee detallesrespecto de varias reglas de seleccin, que pueden ser usadas para garantizar la convergencia delalgoritmo a un ptimo local, cuando la funcin objetivo no es convexa.

Se han realizado extensivas pruebas de validacin de este modelo aplicndolo a la red de transporteinterurbano de carga de Estados Unidos (Friesz, Gotrfried y Morlok, 1983) y los resultados indicanque su capacidad de prediccin es substancialmente superior que la de los modelos anteriores (verseccin 2).

4.2 El Modelo de Planificacin Estratgica para flujos MultimodalesMultiproducto de Carga Interurbanos (STAN)

Es tambin un modelo de redes que considera distintos modos (multimodal) y distintos productos

(multiproducto) (Crainic, Florian y Leal, 1990). Fue desarrollado inicialmente por investigadores dela Universidad de Montreal y es actualmente comercializado a travs de la empresa canadienseENRO Consultants Inc.

La demanda es determinada exgenamente y se expresa en la forma de matrices de viajes O-D paracada producto considerado. Para ello, el paquete computacional con que STAN es comercializadopermite implementar un procedimiento de clculo y balanceo de matrices; tambin es posibleimportar los resultados de un modelo Insumo-Producto, si es que este se encuentra disponible.Adems, se debe especificar el modo o conjunto de modos posibles de ser utilizados por cadaproducto y por lo tanto, puede ser usado en forma integrada con modelos economtricos de demanda.

El nfasis de la modelacin est en la simulacin de las operaciones sobre la red (infraestructura).En STAN un producto representa a un conjunto de bienes o pasajeros, que demandan servicios detransporte y en consecuencia generan flujos sobre la infraestructura disponible. Cada producto esdefinido por un conjunto de caractersticas que describen sus atributos fsicos y la forma en que estransportado, tal como la especificacin del tipo de vehculo requendo para su transporte en cadamodo usado.

Un modo es un medio de transporte que permite mover productos y posee determinadascaractersticas operacionales y de costos. Los modos se diferencian tambin por el tipo deinfraestructura que utilizan, sin embargo, el modo involucra un concepto ms amplio que puede serusado para modelar un espectro de posibilidades. Los modos pueden ser usados para modelardiferentes tipos detraccin (ej. diesel y elctrica en el caso ferroviario) o de va (normal, de montaa

a] 2 ^ ^ ACTASDELSPTIMO CONGRESO CHILENO DEINGENIERADETRANSPORTE (1995)



38/123

MODELOS DE REDES DE CARGA: ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

etc.) o mbito de operacin (navegacin costera u ocenica). Tambin se pueda daitificardiferencias geogrficas y de tipo de administracin mediante una adecuada especificacin de losmodos. Para cada modo se define un vehculo tpico ai trminos de su peso muerto y capacidad detransporte, as como largo o composicin cuando corresponda (tren, convoy, camin multi-trailer,

etc.)

La red base est compuesta por un conjunto de nodos, arcos y modos que represaitan todos losmovimientos posibles sobre la infraestructura disponible. Cada arco es identificado mediante tresparmetros: el nodo cabeza, el nodo cola y el modo al que el arco pertenece, si existe ms de unmodo disponible para transportar un producto aitre dos nodos adyacentes, stos se represaitanmediante arcos paralelos. En esta forma, el modo es una parte integral de la red y no solo un atnbutode los arcos. La definicin de cada arco mediante tres parmetros es importante para evitardificultades con la aplicacin de algontmos de redes (ej. rutas mnimas).

Los nodos representan localizaciones fsicas ai el espacio analizado (ciudades, puertos, patios decarga, interlneas, etc.). Existen dos tipos de nodos que juegan LU rol especial ai la red los caitroidesy los nodos de transferencia intermodal. Estos ltimos deba ser asociados con las funciones de costoy de demoras apropiadas, lo cual puede requenr una expansin mediante su reemplazo por vanosnodos y arcos especiales, que formen un grafo bipartito. Los caitroides a su vez, tienai asociadosgeneraaones y atracaones de viajes y se unai a la red mediante arcos daiominados conectores, losque pueden usarse para modelar los puntos de entrada de los productos ai las zonas

Los flujos son las pnnapales vanables del modelo. Estos son expresados ai dos formas diferaites i)en trminos de una unidad comn de medida, normalmente toneladas, lo que pemiite asegurar lacompatibilidad entre diferentes modos mediante una modelaan uniforme del flujo a travs de toda lared y ) en trminos del nmero de vehculos necesanos para transportar el flujo asignado a cadaarco de la red, a fin de realizar un clculo realista de los costos de operaan sobre la infraestructuray las demoras denvadas de la congestin produada.

La congestin tiene una influencia muy importante en los niveles de serviao finalmente obtandos. Elmodelo considera funciones flujo-demora que afectan tanto a los tiempos de viaje, como a los costosde transporte; estas pueden ser calibradas como funciones no lineales, que en pnnapio pueda serno-convexas y asimtncas, en trminos de la consideraan de los efectos cruzados de congestin,

produados por el transporte de aferentes productos.

Se define una funan de costo generalizado sobre cada elemento de la red multimodal, como unasuma ponderada de una funan de costos de operacin, una funan de tiempo de viaje (danora) yuna funcin de consumo de energa; los ponderadores de cada uno de estos trminos son parmetrosque indican la importanaa relativa de cada uno de los componentes considerados En casosparticulares es posible dar valor cero a algunos de estos parmetros, a fin de usar un cnteno espeaalde anlisis; en otros casos, los pesos relativos de cada componente pueden calibrarse para reflejardiferentes pnondades o polticas. El uso de STAN no impone ninguna regla espeaal para la elecande los elementos de costo a considerar (tracan, mantencin, personal, combustibles, lubncantes

etc.), sin embargo los mismos elementos debieran incluirse para todos los modos y ai las mismasunidades

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995) ^ ^ x i o


39/123

1 ENRIQUE FERNANDEZ L. - JOAQUN DE CEA CH.

La obtencin de soluciones numricas se logra mediante la aplicacin de un algoritmo del tipo

gradiente (Frank-Wolfe), el que, a fin de evitar problemas de dimensionalidad, usa un enfoque dedescomposicin por producto.

5. DESARROLLOS FUTUROS

El modelo STAN es formulado matemticamente como un problema de optimizacin no lineal,correspondiente a la forma general de un modelo de asignacin a redes multimodales ymultiproducto. La funcin objetivo es minimizar el costo total generalizado del sistema y lasrestricciones corresponden a continuidad de flujos y nonegatividad; por lo tanto, la solucin

producida corresponde a un equilibrio de sistema. En este sentido es ms simplista y menossofisticado que FNEM, el que simula explcitamente el comportamiento de los principales agentes ysus interacciones. La flexibilidad y generalidad en la formulacin y consideracin de las funciones decosto, es fundamental en STAN para contrarrestar las limitaciones que puede imponer el enfoque deminimizacin de costos, ya que en una gran cantidad de situaciones a nivel micro-operacional, laforma en que los productos son transportados est en gran media determinada por un conjunto decircunstancias restrictivas de carcter fsico y de costos.

Los anlisis de las secciones anteriores permiten concluir que los modelos existentes presentantodava algunas limitaciones en los siguientes aspectos importantes:

1. Interacciones despachadores operadores. An los modelos ms avanzados que consideran en lamodelacin los principales agentes que intervienen en el sistema en la realidad, realizan una

modelacin secuencial de las decisiones de los despachadores y operadores. Sin embargo, solo unamodelacin simultnea (determinacin simultnea y consistente de las decisiones de todos los agentesinteractuantes) asegura la obtencin de una solucin nica y consistente.

Harker y Friesz (1985, 1986a, 1986b) muestran que, si se supone una interaccin del tipo Cournot-Nash entre despachadores y operadores, es posible formular el problema de equilibrio conjunto conuna sola desigualdad variacional; adems, bajo ciertos supuestos, es posible usar una combinacinde algoritmos de linearizacin (gradiente), relajacin y diagonalizacin, para resolver dichadesigualdad variacional. Los subproblemas que se obtienen como consecuencia de la aplicacin de

diagonalizacin, pueden ser expresados como problemas de optimizacin y resueltos mediante laaplicacin del bien conocido algoritmo de Frank-Wolfe y otros algoritmos estndar.

2. Equilibrio parcial vs. Equilibrio general. Los modelos existentes usan como datos los preciosque los productos a ser transportados tienen en distintas localizaciones del espacio. Por lo tanto, notoman en cuenta las interacciones que existen entre el equilibrio del mercado de los productos, queson objeto de transporte (y que determina los precios finales de estos) y el equilibrio del mercado detransporte que determina las cantidades transportadas y los niveles de servicios y costosexperimentados. A fin de obtener un resultado consistente entre ambos mercados es preciso realizarun tratamiento simultneo que considere las interacciones que entre ellos existen.

6] 4 mm ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


40/123

MODELOS DE REDES DE CARGA. ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

Como se mencion en la seccin 3 , Tobn y Fnesz (1983) y Fnesz et al., (1983b), muestran que elconcepto tradicional de "problema de equilibno espacial de precios", puede ser extendido con laconsideracin de redes de transporte que incluyan explcitamaite funciones de costos, demanda yoferta no lineales La formulacin tpica del problema de equilibno espacial de precios (ver seccin

3 ), no incluye explcitamente funciones de demanda por servaos de transporte, sino que lasconsidera en forma implcita, denvando las cantidades de servaos demandados, como consecuenciade las caractersticas de producan y consumo en mercados espaaalmente separados.

En consecuenaa, debiera ser posible usar un modelo de equilibrio espaaal de precios parareemplazar el submodelo de despachadores incluido ai FNEM, con lo que este se convierte ai unmodelo con generaan vanable y aidgaia. En tal caso, el resultado obtenido aitregasimultneamaite, tanto las condiaones de equilibno sobre el mercado de transporte (flujos y nivelesde serviao), como los preaos de equilibno de los productos transportados, en cada localizaanespaaal considerada; es dear, se obtiene lo que se daiomina un equilibno general. Tal fonnulaan,con generaan aidgena fue propuesta por Harker y Fnesz (1985, 1986a, 1986b) y da ongai a loque Harker (1987) daiomina Modelo Gaieralizado de Equilibno Espaaal de Preaos (GSPEM).

3. Monotonicidad de las Funciones de Costos En el caso de sistemas de transporte de cargaexisten funaones de costos (ej. en el modo ferroviano) que pueden decrecer en un comienzo, debido ala presenaa de economas de escala y crecer postenormaite, debido a la apanan de congestincuando el flujo se aproxima a la capaadad (Morlok, 1978); dichas funaones no son montonas loque produce formulaaones no convexas, que tratan de evitarse en la mayora de los modelos dadoque generan mltiples soluaones (ptimos locales)

4. Consideracin de Vehculos Vacos. Se refiere a la necesidad de modelar adecuadamente losflujos de los vehculos (carros, camiones, barcazas, etc.), que una vez realizada una operaan detransporte deba ser retornados vados a su lugar de ongen, para recomenzar el aclo de operaan.Existai dos impactos de estos vehculos que debieran ser considerados: i) los flujos de retomo devehculos vacos producen congestin que afectan a los costos de operaan de los dems vehculosii) la disponibilidad de vehculos vacos en el origen, ai el momento necesario, define la capaadad detransporte desde dicho punto del espacio, en el modo respectivo (Solo el modelo STAN incluyeexplatamente este tipo de restncan).

5. Consideracin de Estrategias de Operacin. En la operaan ferroviaria se usan trenes dedistinta longitud, compuestos de distintos tipos de carros que son agrupados en bloques que poseen elmismo o similares destinos. Este fenmaio tiaie una importante influenaa ai la correcta modelacinde la operaan de los patios ferrovianos de clasificaan y por lo tanto seria benefiaoso considerarloen los modelos.

6. Competencia Imperfecta En la prctica el mercado de transporte se aleja comnmente depresentar condiciones de competenaa perfecta, dada la posibilidad e incentivos que existen para quehaya colusin entre operadores en la negoaaan de tanfas con los despachadores. Ninguno de losmodelos existentes considera esta posibilidad y por lo tanto este es otro aspecto que puede ser

mejorado

ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO D INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)


41/123

J. ENRIQUE FERNANDEZ L. - JOAQUN DE CEA CH

-AGRADECIMIENTOS

La presente investigacin ha sido parcialmente financiada por FONDECYT-Chile y la Pontificia

Universidad Catlica de Chile.

Coumot, A. A (1838). Mathematical Principies of the Theory of Wealth Translated by N.T

Florian, M. y Los, M. (1982). A New Look at Static Spatial Pnce Equilibnum Models. Regional

Science and Urban Econ 12, 579-597

(] 6 ACTAS DEL SPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERA DE TRANSPORTE (1995)

REFERENCIAS

Avriel, M. (1976). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Prentice-HaD, EnglewoodCliffs, N.J.

-Beckmann, M.L., McGuire, C.B. y Winsten, C.B. (1956). Studies in the Economics ofTransportation. Yale University Press, New Faven, CT.

Bronzini, M.S. (1980a). Evolution of a Multimodal Freight Transportation Network Model.Mmeo, University of Tennessee, Knoxville.

Bronzini, M.S. (1980b). Freight Transportation Energy Use. Report N DOT-TSC-OST-79-1,vols. 1 and 2, U.S. Department of Transportation, Washington, D.C.

Bronzini, M.S. (1980c). Evolution of a Multimodal Freight Transportation Network Model.Proceedings of the Transportation Research Forum, 21, N 1:475-85.

1Bronzini, M.S. y Sherman, D. (1983). The Rail-Carrier Route Choice Model. Transportation

Research, 17A. N 6:463-69. 3CACL INC. (1980). Transportation Flow Analysis: The National Energy TransportationStudy (NETS). 3 vols. Report N DOT-OST-P-10-(29-32), U.S. Department of Transportation,Washington, D.C.

Bacon, Kelley, New York, NY.

Crairuc, T.G., Florian, M. y Leal, J.E. (1990). A model for Strategic Planning of National FreightTransportation by Rail. Transportation Science, 24(1, 1-24.

Enke, S. (1951). Equilibr

9-asignacion en redes

Documents