8. hu

8. HIDROGRAFUL UNITAR

8.1. Procesul integrării scurgerii pe versanŃi

Procesul formării scurgerii şi al integrării acesteia pe versanŃi (funcŃia de transfer a sistemului hidrologic) este deosebit de complex datorită variaŃiei spaŃiale şi temporale a precipitaŃiilor, infiltraŃiilor şi a caracteristicilor bazinului hidrografic. După formarea ploii nete sau a scurgerii de suprafaŃă apa începe să se scurgă pe versant parcurgând distanŃe relativ scurte (50-80 m). NeregularităŃile suprafeŃei determină concentrarea scurgerii în văi, care la rândul lor se unesc formând reŃeaua hidrografică de ordin superior. Scurgerea se formează printr-un proces de integrare succesivă pe versanŃi a cantităŃilor de apă disponibile.

Datorită modului de formare a scurgerii foarte diferit de la un bazin hidrografic la altul, nu a fost elaborată până în prezent o soluŃie analitică general valabilă care să permită calculul scurgerii pe versanŃi şi prin albii pornind de la datele de precipitaŃii. Prin urmare se analizează anumite cazuri tipice de formare şi propagare care permit cunoaşterea trăsăturilor dominante ale procesului (Şerban şi al., 1989) şi anume:

a) scurgerea pe versant sub forma unei pelicule subŃiri de apă, valabilă pentru zone urbane şi pe versanŃii cu caracteristici relativ constante în spaŃiu

b) aportul lateral în cursul de apă relativ uniform distribuit pe lungimea cursului (pentru bazine cu suprafaŃa 10<F<1000 km2)

c) aportul lateral uniform distribuit şi concentrat (F<10 km2); pâraiele se unesc pentru a forma râuri;

d) aportul concentrat mult mai important decât cel uniform distribuit (F>1000 km2);

e) aportul lateral în râu neglijabil în comparaŃie cu scurgerea care se propagă pe sectorul de râu respectiv.

Se observă că procesul dominant este cel de formare (integrare) a scurgerii în cazurile a), b) şi c) şi de propagare în cazurile d) şi e). Din punct de vedere matematic cazurile a) şi b) se tratează utilizând modele hidrodinamice, bazate pe integrarea ecuaŃiilor care descriu mişcarea apei

HIDROLOGIE ŞI METEOROLOGIE

80

în regim nepermanent iar în cazul c) se utilizează modele de tip izocron şi/sau modele de tip hidrograf unitar.

8.2. FuncŃiile răspuns ale sistemelor liniare

Modelul general al unui sistem hidrologic este reprezentat de ecuaŃia:

)t(i)t(Q ⋅Ω= (8.1)

unde i(t) reprezintă intrarea în sistem (impulsul) – precipitaŃia; Q(t) reprezintă ieşirea (răspunsul) – scurgerea hidrologică; Ω - operatorul (funcŃia de transfer).

Teoria hidrografului unitar se bazează pe aproximarea scurgerii hidrologice cu un fenomen liniar. SoluŃia ecuaŃiei (8.1) pentru funcŃia de transfer Ω respectă două principii de bază ale sistemelor liniare:

− Principiul proporŃionalităŃii: dacă f(Q) este o soluŃie a ecuaŃiei (8.1) atunci produsul )Q(fc ⋅ este de asemenea o soluŃie, unde c=const.

− Principiul aditivităŃii sau superpoziŃiei: dacă există două soluŃii f1(Q) şi f2(Q) atunci suma f1(Q)+ f2(Q) este de asemenea o soluŃie a ecuaŃiei.

8.2.1. FuncŃii definite pe un domeniu continuu

În acest caz variabilele t, i(t) şi Q(t) au o variaŃie continuă. FuncŃia de intrare i(t) poate fi de tip: impuls unitar, treaptă unitară sau puls unitar.

8.2.1.1. FuncŃia răspuns la un impuls unitar

Dacă un sistem primeşte un impuls unitar aplicat instantaneu la momentul τ, răspunsul ulterior al sistemului la momentul t este reprezentat de funcŃia u(t-τ); t-τ reprezintă defazajul în timp de la aplicarea impulsului (figura 8.1).

Figura 8.1 Răspunsul unui sistem liniar la un impuls unitar


81

Intrarea de tip impuls unitar se defineşte prin relaŃia:

i(t)=1 pentru t=τ şi i(t)=0 pentru t≠τ.

O funcŃie continuă i(t) poate fi considerată ca o sumă de impulsuri de durată infinitezimală; de exemplu, dacă i(τ) reprezintă intensitatea ploii [mm/h] şi dτ este intervalul de timp infinitezimal [h] atunci produsul i(τ)dτ reprezintă precipitaŃia [mm] intrată în sistem în acest interval de timp. Conform principiului proporŃionalităŃii scurgerea directă care rezultă după timpul t-τ este )t(ud)(i τττ −⋅ .

Figura 8.2 FuncŃia răspuns la o intrare continuă

Răspunsul la întreaga intrare i(τ) (figura 8.2) se obŃine prin integrarea tuturor răspunsurilor constituente:

∫ −⋅=t

0d)t(u)(i)t(Q τττ ( 8.2)


82

Expresia de mai sus poartă numele de integrala de convoluŃie şi reprezintă ecuaŃia fundamentală pentru soluŃia unui sistem liniar cu t – variabilă continuă.

În general, în aplicaŃiile hidrologice funcŃia de intrare este reprezentată pe intervale discrete de timp (hietograma ploii nete), ceea ce conduce la necesitatea introducerii funcŃiilor răspuns la treapta şi pulsul unitar.

8.2.1.2. FuncŃia răspuns la intrare tip treaptă unitară

Intrarea de tip treaptă unitară, compusă dintr-o succesiune continuă de impulsuri unitare se defineşte prin relaŃia :

1)(i =τ , 0≥τ ( 8.3)

În figura 8.3 sunt reprezentate funcŃiile de intrare şi răspuns la semnalul treaptă unitar. Răspunsul sistemului, funcŃia g(t), se obŃine din ecuaŃia (8.2) considerând 1)(i =τ . Rezultă:

∫ −=t

0d)t(u)t(g ττ ( 8.4)

Cu substituŃia τ−= tl ecuaŃia ( 8.5) devine:

∫=t

0dl)l(u)t(g ( 8.6)

Figura 8.3 FuncŃia răspuns la o intrare de tip treaptă unitară

8.2.1.3. FuncŃia răspuns la intrare tip puls unitar

Intrarea de tip puls unitar reprezintă o intrare (precipitaŃie) egală cu 1 mm sau 1 cm care se produce într-un timp ∆t; se defineşte prin relaŃia :


83

t

1)(i

∆=τ , t0 ∆≤≤ τ ( 8.7)

Pulsul unitar se obŃine grafic din diferenŃa a două intrări treaptă, neunitare (figura 8.4), a doua fiind decalată faŃă de prima cu ∆t.

Figura 8.4 FuncŃia răspuns la o intrare de tip puls unitar

Răspunsul la prima treaptă care începe la momentul τ=0, conform

principiului proporŃionalităŃii este )t(gt

1

∆ iar la cea de-a doua treaptă

)tt(gt

1∆−

∆. Răspunsul sistemului la pulsul unitar de durată ∆t, funcŃia

f(t), se obŃine prin diferenŃa răspunsurilor la cele două intrări treaptă decalate cu ∆t:

∫ ∆−∆=∆−−

∆=

t

ttdl)l(u

t

1)]tt(g)t(g[

t

1)t(f ( 8.8)

8.2.2. FuncŃii definite pe intervale discrete de timp

Domeniul de variaŃie pentru variabila independentă timp este împărŃit în intervale discrete de durată ∆t. Există două modalităŃi de a reprezenta o funcŃie continuă pe intervale discrete şi anume:


84

− Prin dreptunghiuri sau pulsuri (precipitaŃia netă-intrarea)

− Prin puncte (debitul – ieşirea).

Figura 8.5 hm reprezintă cantitatea de precipitaŃie netă [mm] corespunzătoare intervalului „m” de timp şi este dată de relaŃia:

( )∫∆

∆−=

tm

t1mm d)(ih ττ , m=1, 2,...M ( 8.9)

unde M reprezintă numărul total de pulsuri de precipitaŃie.

Valoarea ieşirii (debitului) la momentul tnt ∆⋅= este

)tn(QQn ∆= , n=1, 2,...N ( 8.10)

unde N reprezintă numărul total de valori ale debitului.

Figura 8.5 FuncŃiile răspuns la intrări de tip puls

În figura 8.5, m, n-m+1 şi n reprezintă respectiv indexul de timp pentru precipitaŃia netă, hidrograful unitar şi hidrograful scurgerii de suprafaŃă.


85

Pulsul unitar care începe la momentul (m-1)∆t produce un răspuns care, la momentul t=n∆t are valoarea ]t)1mn[(f]t)1m(t[f ∆+−=∆−− .

Conform relaŃiei (8.8) rezultă:

∫∫∆+−

∆−

∆+−

∆−∆+− ∆=

∆=∆+−

t)1mn(

t)mn(

t)1mn(

tt)1mn(dl)l(u

t

1dl)l(u

t

1]t)1mn[(f ( 8.11)

Pentru pulsul m: t

h)(i m

∆=τ , tmt)1m( ∆≤≤∆− τ

De asemenea 0)(i =τ , tM∆>τ

ContribuŃia fiecăruia din cele M pulsuri ale intrării asupra ieşirii Q(t) la momentul t=n∆t se obŃine împărŃind integrala de convoluŃie (8.2) în M părŃi:

ττ

ττττ

τττττ

d)tn(ut

h...

d)tn(ut

h....d)tn(u

t

h

d)tn(ut

hd)tn(u)(i)tn(QQ

tM

t)1M(

M

tm

t)1m(

mt2

t

2

t

0

1tn

0n

−∆∆

++

+−∆∆

++−∆∆

+

+−∆∆

=−∆⋅=∆=

∫

∫∫

∫∫

∆

∆−

∆

∆−

∆

∆

∆∆

( 8.12)

Dacă în fiecare din integralele de mai sus se face substituŃia

τ−∆= tnl ( 8.13

Integrala „m” din relaŃia (8.12) devine:

dl)l(ut

hd)tn(u

t

h t)1mn(

t)mn(

mtm

t)1m(

m ∫∫∆+−

∆−

∆

∆− ∆=−∆

∆ττ ( 8.14)

łinând cont de relaŃia (8.8) ecuaŃia de mai sus se poate scrie sub forma:

1mnmm

t)1mn(

t)mn(

m Uh]t)1mn[(fhdl)l(ut

h+−

∆+−

∆−⋅=∆+−⋅=

∆ ∫ ( 8.15)

unde ]t)1mn[(fU 1mn ∆+−=+− reprezintă valoarea răspunsului la pulsul unitar corespunzător intervalului tmt)1m( ∆≤≤∆− τ .

Aplicând formula (8.15) fiecărui termen din relaŃia (8.12) rezultă:

]t)1Mn[(fh...]t)1mn[(fh

...]t)2n[(fh]t)1n[(fh]tn[fhQ

Mm

321n

∆+−⋅++∆+−⋅+

++∆−⋅+∆−⋅+∆⋅= ( 8.16)


86

Final se obŃine:

1MNM1mnm2n31n2n1n Uh...Uh...UhUhUhQ +−+−−− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (8.17)

Sau sub forma:

∑=

+−⋅=M

1m1mnmn UhQ ( 8.18)

RelaŃia de mai sus reprezintă integrala de convoluŃie pe intervale discrete de timp şi este valabilă pentru Mn ≥ . Dacă n<M se consideră numai primele n pulsuri de intrare, deoarece sunt singurele care influenŃează ieşirea până la momentul t=n∆t. Prin urmare ecuaŃia (8.18) poate fi rescrisă sub forma:

∑≤

=+−⋅=

Mn

1m1mnmn UhQ ( 8.19)

RelaŃia (8.19) arată că termenii se însumează numai pentru m=1, 2,..., M.

8.3. Hidrograful unitar

Hidrograful unitar notat (HU, ∆t) reprezintă funcŃia răspuns la un puls unitar de durată ∆t a unui sistem hidrologic liniar sau cu alte cuvinte, hidrograful scurgerii de suprafaŃă care rezultă dintr-o ploaie netă PN de 1 mm (1 cm) generată uniform pe un bazin hidrografic, având o intensitate constantă pe o anumită durată ∆t (Chow şi al., 1988). Prin urmare, modelul HU se aplică în următoarele ipoteze:

− Ploaia netă PN are o intensitate constantă pe durata ∆t considerată.

− Ploaia netă este uniform distribuită pe întreaga suprafaŃă a bazinului; Timpul de bază tb al hidrografului (durata scurgerii directe) care rezultă dintr-o PN de o anumită durată este constant.

− Pentru un anumit bazin hidrograful care rezultă dintr-o anumită precipitaŃie netă reflectă caracteristicile bazinului, acestea fiind considerate neschimbate.

− Se admit principiile proporŃionalităŃii şi superpoziŃiei astfel încât valorile debitului, Qn, sunt date de relaŃia (8.19).

Hidrograful unitar este un model liniar simplu care poate fi utilizat pentru a determina hidrograful care rezultă din orice cantitate de ploaie netă.


87

Modelul a fost iniŃial dezvoltat pentru bazine mari dar s-a dovedit ulterior aplicabil şi pentru bazine mai mici, cu suprafaŃa până la 25 km2.

O comparaŃie între sistemul liniar şi conceptul de hidrograf unitar este prezentată în tabelul (8.1).

Tabelul 8.1 ComparaŃie între sistemul liniar şi conceptul HU

Sistem liniar Conceptul HU

Intrarea în sistem i(t) PrecipitaŃia netă PN

Ieşirea din sistem Q(t) Debitul scurs Q

Impulsul unitar

Răspunsul la impulsul unitar u(t-τ)

1 mm PN instantanee

Hidrograful unitar instantaneu (HUI)

Treaptă unitară

Răspunsul la treaptă unitară g(t)

1 mm/h (cm/h) PN continuă

Hidrograful în S

Puls unitar de durată ∆t

Răspunsul la pulsul unitar f(t)

1 mm (cm) PN

Hidrograful unitar (HU, ∆t)

Sistemul liniar Scurgerea directă se calculează pe baza

principiilor proporŃionalităŃii şi superpoziŃiei

8.4. Calculul hidrografului unitar

EcuaŃia de convoluŃie (8.19) permite calculul valorilor hidrografului scurgerii Qn (m=1, 2,..., N) cunoscându-se precipitaŃia netă (hm, m=1, 2,..., M) şi hidrograful unitar (Un-m+1, n-m+1=1, 2,..., N-M+1). Procesul invers, numit deconvoluŃie, conduce la calculul HU fiind cunoscute ploaia netă şi hidrograful scurgerii.

EcuaŃia (8.19) reprezintă un sistem de N ecuaŃii cu N-M+1 necunoscute, nedeterminat deoarece sunt mai multe ecuaŃii decât necunoscute.(N> N-M+1):


88

+++++++++=

++++++++=

++++=

+++=

++=

+=

=

+−

+−−−−

++

−

Uh 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 Q

UhUh0... ....0 0 .... 0 .... 0Q

...

UhUh....Uh 0Q

Uh.....UhUhQ

........

UhUh UhQ

Uh Uh Q

UhQ

1MNMN

1MN1MMNM1N

1M1M22M1M

M121M1MM

3122133

21122

111

(8.20)

Sistemul (8.20) poate fi rezolvat prin următoarele metode:

8.4.1. Metoda substituŃiei

Metoda substituŃiei / înapoi utilizează doar primele S= N-M+1 respectiv ultimele S ecuaŃii.

=

−=

=

+− ...U

...

)UhQ(h

1U

h

QU

1MN

222

1

2

1

11

( 8.21)

8.4.2. Metoda celor mai mici pătrate (matricială)

Dacă se notează cu h matricea dreptunghiulară de dimensiune (N×S), formată din cele M pulsuri ale hietogramei ploii nete, U – vectorul de dimensiune (S×1), formată din cele S ordonate ale HU şi Q - vectorul de dimensiune (N×1), format din cele N ordonate ale hidrografului scurgerii de suprafaŃă, sistemul de ecuaŃii (8.20) poate fi pus sub formă matricială astfel:


89

=

⋅

−

+

+−

−−

−

−−

⋮

⋮

⋮

⋮

……

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

……

⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮

……

……

……

N

1N

1M

M

3

2

1

1MN

3

2

1

M

1M1M

121MM

12M1MM

123

12

1

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

U

U

U

U

h000000

hh00000

00hhhh0

000hhhh

0000hhh

00000hh

000000h

(8.22)

În relaŃia de mai sus se observă că prima coloană a matricii precipitaŃiei conŃine cele M valori ale ploii nete, a doua coloană conŃine aceleaşi valori însă decalate pe verticală cu o poziŃie în raport cu prima coloană, a treia coloană este decalată cu două poziŃii etc.; restul elementelor pe fiecare coloană sunt nule. Prin generalizarea relaŃiei (8.22) se poate scrie următoarea ecuaŃie matricială:

QUh =⋅ ( 8.23)

Dacă se cunosc precipitaŃia netă şi hidrograful scurgerii de suprafaŃă (h şi Q), în general nu există soluŃie pentru vectorul U care să satisfacă toate cele N ecuaŃii (8.22). Se consideră că pentru o soluŃie U rezultă o matrice

estimată Q

astfel încât QUh

=⋅ , toate cele N ecuaŃii fiind satisfăcute.

SoluŃia optimă Uopt care minimizează eroarea Q-Q

se determină prin metoda celor mai mici pătrate. Pentru a rezolva ecuaŃia (8.23) matricea dreptunghiulară h(N×S) se transformă într-o matrice pătrată Z(N×N) prin înmulŃire cu transpusa sa: hhZ T ⋅= .

Prin înmulŃire la stânga a ambilor membrii ai egalităŃii (8.23) cu hT se obŃine:

QhUZ T ⋅=⋅ ( 8.24)

Prin înmulŃire la stânga a ecuaŃiei de mai sus cu matricea inversă Z-1 se obŃine:

QhZU T-1

opt⋅⋅= ( 8.25)


90

8.5. Determinarea HU pentru diferite durate ale ploii

Atunci când se cunoaşte HU pentru o anumită durată dt a ploii se poate determina HU pentru alte durate, prin aplicarea principiilor proporŃionalităŃii şi superpoziŃiei. Acest procedeu este cunoscut sub denumirea de metoda hidrografului în S (HS).

Se reaminteşte că HS reprezintă răspunsul unui sistem hidrologic la o ploaie netă continuă de intensitate constantă egală cu 1 mm/h (cm/h) considerată pe o perioadă nedefinită; reprezintă răspunsul la o intrare de tip treaptă unitară. Denumirea de hidrograf în S provine de la graficul în formă de S a funcŃiei răspuns g(t); aceasta atinge după un anumit timp valoarea intensităŃii ploii nete. Răspunsul g(t) poate fi obŃinut din răspunsul f(t) la un puls unitar de durată ∆t după cum urmează.

Răspunsul la momentul t la un puls unitar de durată ∆t care începe la momentul t=0 este dat de relaŃia:

)]tt(g)t(g[t

1)t(f ∆−−

∆= ( 8.26)

În mod similar, răspunsul la momentul t la un puls unitar de aceeaşi durată dar care începe la momentul t=∆t (figura 8.6- a) este:

)]t2t(g)tt(g[t

1)tt(f ∆−−∆−

∆=∆− ( 8.27)

Repetând raŃionamentul, pentru un puls unitar care începe la momentul t=2∆t răspunsul este:

)]t3t(g)t2t(g[t

1)t2t(f ∆−−∆−

∆=∆− ( 8.28)

Continuând la infinit din însumarea acestor ecuaŃii se obŃine răspunsul la

un semnal treaptă neunitar, de intensitate t

1

∆:

∑∞

= ∆=∆−

1i

)t(gt

1)tit(f ( 8.29)

Răspunsul la treapta unitară (hidrograful în S) este:

∑∞

=

∆−∆=1i

)tit(ft)t(g ( 8.30)


91

Figura 8.6 Metoda hidrografului în S

După determinarea HS se poate obŃine HU pentru o altă durată ∆t’, notat (HU, ∆t’) în modul următor.

HS se decalează cu ∆t’ (figura 8.6-b) obŃinându-se astfel funcŃia )tt(g)t(g ′∆−=′ . DiferenŃa )t(g)t(g ′− reprezintă răspunsul la un puls

neunitar de durată ∆t’. Răspunsul la pulsul unitar de durată ∆t’este funcŃia f’(t) care reprezintă hidrograful unitar de durată ∆t’ (figura 8.6-c) notat (HU, ∆t’):

)tt(g)t(g[t

1)t(f ′∆−−

∆=′ ( 8.31)

8. hu

Documents