6. analiza diakopticĂ În spaŢiul stĂrilorautomation.ucv.ro/romana/cursuri/beab12/6...

124

6. ANALIZA DIAKOPTICĂ ÎN SPAŢIUL STĂRILOR Eficienţa analizei în spaţiul stărilor, pentru soluţionarea regimurilor variabile ale circuitelor electrice liniare şi neliniare, corelată cu interpretarea fenomenelor pe baza semnificaţiei fizice esenţiale a unui set minim de variabile, generează o importanţă practică deosebită în domeniul proiectării asistate de calculator a circuitelor de mare complexitate. Aspectele esenţiale se referă la:

a) Stabilirea ordinului de complexitate al unui circuit dat, deci a numărului de variabile ce descriu complet starea acestuia;

b) Alegerea variabilelor de stare; c) Obţinerea sistematică a ecuaţiilor de stare în forma canonică; d) Studiul existenţei şi unicităţii soluţiilor; e) Soluţionarea ecuaţiilor de stare. 6.1. Alegerea variabilelor de stare

În cazul circuitelor neparametrice, se preferă alegerea ca variabile de stare a tensiunilor la bornele condensatoarelor şi a curenţilor bobinelor, mărimi esenţiale pentru descrierea stării circuitului într-un interval de timp oarecare, atunci când se cunosc condiţiile iniţiale şi mărimile de intrare. Vectorul variabilelor de stare x, respectiv vectorul mărimilor de intrare u, se vor considera structuraţi astfel:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

L

Ciux , respectiv ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

0ieu (6.1)

unde Cu este vectorul tensiunilor condensatoarelor esenţiale, Li este vectorul curenţilor bobinelor esenţiale, e este vectorul t.e.m. ale SIT, 0i este vectorul curenţilor SIC. Această alegere a variabilelor de stare permite exprimarea simplă a condiţiilor iniţiale şi a energiei înmagazinate. Avantaje substanţiale apar şi din punct de vedere topologic, selectarea unui arbore normal (arborescenţă normală) constituind etapa iniţiala a multor metode de formulare şi scriere sistematică a ecuaţiilor de stare.

Cap. 6. Analiza diakoptică în spaţiul stărilor

125

Pentru circuitele parametrice şi (sau) neliniare, alegerea sarcinilor electrice ale condensatoarelor şi fluxurilor magnetice ale bobinelor ca variabile de stare prezintă anumite avantaje, mărimile anterior menţionate îndeplinind condiţiile de continuitate. Întrucât rezolvarea unui circuit neliniar de o complexitate rezonabilă se efectuează, aproape în exclusivitate, cu ajutorul calculatoarelor numerice, este indicată utilizarea parametrilor diferenţiali ai elementelor de circuit neliniare, tehnici de calcul adecvate permiţând determinarea acestora la fiecare pas de integrare a ecuaţiei de stare. În aceste condiţii, apare ca favorabilă prima modalitate descrisă de alegere a variabilelor se stare. Ţinând seama de neunicitatea componentelor vectorului de stare, se pot folosi combinaţii liniare ale mărimilor de stare independente, obţinând, în unele cazuri concrete, expresii convenabile pentru ecuaţiile de stare sau pentru soluţiile acestora. 6.2. Ecuaţia de stare Forma canonică generală a ecuaţiei de stare ),,( tf uxx =& (6.2)

îmbracă aspectul ecuaţiei matricial-vectoriale (5.20), în cazul circuitelor liniare. Pentru circuitele cu elemente în exces, este posibilă apariţia derivatelor mărimilor de intrare în ecuaţia de stare, obţinută iniţial în forma

uBuBAxx && 21 ++= , (6.3)

dar, prin schimbarea de variabilă

uBxx 2+→ ,

ecuaţia (6.3) se aduce la forma (5.20). Odată soluţionată ecuaţia de stare, mărimile de ieşire, grupate în vectorul y, se exprimă simplu:

DuCxy += , (6.4)

unde C şi D sunt matrice dreptunghiulare cu elemente constante, în cazul circuitelor liniare şi neparametrice. Obţinerea ecuaţiilor de stare în forma canonică facilitează studiul condiţiilor de existenţă şi unicitate a soluţiilor acestora, al proprietăţilor soluţiei şi modului în care poate fi calculată exact sau aproximativ. Una dintre metodele frecvent utilizate pentru formularea şi scrierea sistematică a ecuaţiei de stare presupune extragerea elementelor cu memorie (condensatoare, bobine) şi a surselor ideale independente din circuitul iniţial, multiportul pasiv rezistiv rezultat având conectate la accesuri elementele extrase

METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE

126

(metoda multiporţilor). Înlocuirea elementelor cu memorie prin surse echivalente de tensiune, respectiv de curent, permite obţinerea ecuaţiei de stare în forma canonică, fie apelând la o matrice hibridă, fie calculând cu formule topologice transmitanţele între accesuri. Deşi metoda presupune uneori calcule laborioase, are meritul de a putea fi extinsă pentru cazul circuitelor neliniare, cu surse comandate şi elemente în exces. Utilizarea unui circuit rezistiv redus, obţinut prin scurtcircuitarea accesurilor multiportului corespunzătoare condensatoarelor şi SIT corelată cu lăsarea în gol a accesurilor corespunzătoare bobinelor şi SIC, prezintă avantaje pentru circuitele conţinând un număr redus de laturi rezistive. Prezenţa în circuit a unor bucle de condensatoare separabile şi secţiuni de bobine separabile aduce simplificări în formularea topologică a ecuaţiei de stare. O variantă a metodei multiporţilor presupune obţinerea ecuaţiilor de stare mai întâi în forma: fuBBuAxx 1++=& , (6.5)

fuDDuCxy 1++= , (6.6)

fffff uDuDxCy 1++= , (6.7) unde fu şi fy sunt vectorii asociaţi mărimilor porţilor. Îmbinând tehnicile de calcul în domeniul timpului cu cele operaţionale, ecuaţiile (6.5), respectiv (6.6), sunt aduse la forma (5.20), respectiv (6.4), ulterior calculului matricei )(sH din ecuaţia:

)()()( sss ff UHY = , (6.8) cu s notându-se variabila complexă a transformatei Laplace. Câştigul obţinut prin formularea şi scrierea relativ simplă a ecuaţiilor iniţiale (6.5) – (6.7) este însă, practic, anulat de dificultăţile pe care le implică calculul unor transformate Laplace inverse, necesare în cadrul metodei, estimarea erorilor datorate unor derivări succesive de funcţii fiind anevoioasă. Pentru cazul circuitelor ce conţin elemente în exces complementar (de exemplu, noduri de condensatoare sau bucle de bobine), caz în care matricea A din ecuaţia (5.20) este singulară, se recomandă scrierea ecuaţiilor de stare sub forma

uBxAx 1111 +=& , (6.9)

22122 uBxAx +=& , (6.10)

1x fiind vectorul variabilelor de stare, 2x vectorul variabilelor asociate elementelor în exces complementar, iar 2u vectorul funcţiilor integrale impuse în sistemul algebric (fluxuri magnetice sau sarcini electrice). Deşi algebrică, ecuaţia (6.10) se deosebeşte esenţial de ecuaţia (6.4), întrucât deţine informaţii privitoare


127

la starea iniţială si contribuie la descrierea univocă a stării viitoare a circuitului. Prezenţa elementelor de circuit multipolare, în număr din ce în ce mai mare, a determinat apariţia şi dezvoltarea a două modalităţi de abordare a formulării şi scrierii ecuaţiilor de stare. O modalitate constă în extinderea metodelor valabile pentru circuite cu elemente dipolare, diverse şi solid fundamentate teoretic, la circuitele cu elemente multipolare. Cealaltă cale se bazează pe substituirea elementelor multiterminale prin scheme echivalente cu elemente dipolare, fiind necesare apoi construirea grafurilor de curent si de tensiune pentru circuitul dat, selectarea unui arbore normal comun şi eliminarea variabilelor nedorite. În cazul circuitelor liniare parametrice, este uneori eficace metoda descompunerii capacităţilor variabile în timp )(tC , respectiv a inductivităţilor variabile )(tL , în două elemente C& şi C , respectiv L& şi L , conectate în paralel, respectiv în serie, descompunerea bazându-se pe relaţiile:

[ ] uCuCtutCt

&& +=)()(dd , (6.11)

[ ] iLiLtitLt

&& +=)()(dd , (6.12)

Elementul )(LC && este tratat ca o conductanţă (rezistenţă), iar C (L) ca un element reactiv distinct cu parametru fix. Etapa iniţială presupune selectarea unui arbore normal, urmat de substituirea elementelor reactive de valori fixe prin surse echivalente adecvate. Utilizarea superpoziţiei permite obţinerea ecuaţiilor de stare într-o formă specifică, dar numărul de operaţii implicat este relativ mare. Timpul de calcul creşte şi datorită evaluării derivatelor ,, LC && la fiecare pas de integrare. Deşi diverse şi relativ numeroase, metodele de obţinere sistematică a ecuaţiilor de stare, pentru circuite liniare sau neliniare, au totuşi un element comun: considerarea circuitului analizat în ansamblul său, pe tot parcursul aplicării metodei. De aceea, în cazul circuitelor de mare complexitate, cu număr mare de laturi şi structuri topologice relativ complicate, metodele curente întâmpină dificultăţi, amplificate dacă circuitele conţin elemente în exces, cuplaje mutuale şi (sau) surse comandate. 6.3. Abordarea diakoptică. Abordarea diakoptică a formulării şi scrierii ecuaţiilor de stare, prezintă avantaje substanţiale în cazul circuitelor electrice şi electronice cu număr mare de laturi şi noduri, prezentând structuri topologice relativ complicate. Circuitul analizat se descompune în multipoli prin secţionare, menţinând (teoretic) valorile curenţilor laturilor secţionate şi potenţialele punctelor în care acestea înţeapă suprafaţa de secţionare cu ajutorul unor surse fictive. În continuare, se scriu


128

ecuaţiile de stare pentru multipolii rezultaţi în urma secţionării, etapă sensibil facilitată de faptul că fiecare multipol în parte are un număr de laturi şi noduri mult inferior circuitului analizat în întregul său. Matricele care apar în ecuaţia (5.20) a întregului circuit se pot sintetiza apoi, pe baza matricelor ce apar în ecuaţiile de stare ale multipolilor componenţi, cu ajutorul unor formule prestabilite. Pentru claritatea expunerii, se va considera că circuitul analizat este liniar, fără elemente în exces, fără cuplaje mutuale sau surse comandate. În acelaşi scop, se va adopta o singură suprafaţă de secţionare S, circuitul fiind divizat în doi multipoli activi α şi β (fig. 6.1), fiecare prezentând (n+1) poli.

Se definesc vectorii: t

21 ][ nk iiii LL=i , respectiv t21 ][ nk vvvv LL=v , (6.13)

unde ),,2,1(, nkik K= , reprezintă intensitatea curentului în latura secţionată de indice k, ),,2,1(, nkvk K= , reprezintă tensiunea electrică dintre polul k (punctul în care latura k intersectează suprafaţa de secţionare S) şi polul n, al cărui potenţial se va considera de referinţă, t semnifică transpusa matricei linie. Pentru a nu modifica prin secţionare curenţii şi tensiunile asociate elementelor circuitului analizat, se poate proceda astfel: a) Atât pentru multipolul α, cât şi pentru multipolul β, se consideră conectate surse ideale de tensiune fictive, între polul )1( +n şi fiecare dintre ceilalţi n-poli (fig. 6.2). Se definesc vectorii:

Fig. 6.1

in+1

in

ik

i2

i1

vn+1

vn

vk

v2

v1

α β

S


129

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Tnβ

Tβ2

Tβ1

TT

β

Tnβ

Tβ2

Tβ1

Tnα

Tα2

Tα1

TT

Tn

T

T

y

yy

v

vv

y

yy

v

vv

MM

MM β

β

ββα

α

α

α

α

α

α

α yuv

u

vyuv

u

v ,,,2

1

, (6.14)

unde )( βα uu este vectorul coloană ce conţine mărimile de excitaţie asociate surselor independente din multipolul α (β). Pentru circuitul analizat, în ansamblul său, vectorul mărimilor de intrare va fi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

β

αuu

u . (6.15)

Din condiţia ca secţionarea să fie conservativă, rezultă

,vvv == TTβα (6.16)

,iyy == TTβα (6.17)

unde s-a ţinut seama de relaţiile (6.13). b) Pentru fiecare din multipolii α şi β se introduc surse fictive de curent, între polul )1( +n şi ceilalţi n poli (fig. 6.3). În acest caz, se definesc vectorii

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Jn

J

J

JJ

Jn

J

J

Jn

J

J

JJ

Jn

J

J

y

yy

v

vv

y

yy

v

vv

β

β

β

ββ

β

β

β

β

β

β

α

α

α

αα

α

α

α

α

α

αM

MM

M 2

12

1

2

12

1

,,, yuv

u

vyuv

u

v , (6.18)

Fig. 6.2

S

Tnvα

Tv 2α

Tkvα

Tv 1α Ty 2α

Tnyα

Tkyα

Ty 1α

α

Tnvβ

Tv 2β

Tkvβ

Tv 1β Ty 2β

Tnyβ

Tkyβ

Ty 1β

β


130

pentru care, din considerentele menţionate la punctul a), sunt valabile relaţiile

,ivv == JJβα (6.19)

vyy == JJβα . (6.20)

c) Pentru multipolul α (β) se introduc surse fictive de tensiune (curent), iar pentru multipolul β (α) se amplasează surse fictive de curent (tensiune), aşa după cum se sugerează în fig. 6.4.

În acest caz, când s-a efectuat o conectare complementară a surselor fictive, se definesc vectorii αv şi T

αy conform relaţiilor (6.14), iar vectorii βv şi Jβy

conform relaţiilor (6.18). Sunt evidente corelaţiile:

,vyv == JTβα (6.21)

Fig. 6.3

S

Jnvβ

Jkvβ

Jv 1β

Jnyβ

Jkyβ

Jy 1β

β

Jnvα

Jv 1α

Jkvα

Jy 1α

Jnyα

Jkyα

α

Fig. 6.4

S

Jnvβ

Jkvβ

Jv 1β

Jnyβ

Jkyβ

Jy 1β

β

Tnvα

Tv 1α

Tkvα

Ty 1α

Tnyα

α

Tkyα


131

iyv == TJαβ . (6.22)

d) Pentru fiecare dintre multipolii α şi β se introduc atât surse fictive de tensiune, cât şi surse fictive de curent, situaţie reprezentată schematic în fig. 6.5. Acest tip de conectare se va numi conectare hibridă. Mărimile de intrare asociate surselor fictive sunt tensiuni (curenţi) dacă primul indice superior este T(J). Mărimile de ieşire asociate surselor fictive sunt curenţi (tensiuni) dacă primul indice superior este T(J). Se definesc vectorii:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

,,,

T

J

J

T

T

J

J

T

J

T

J

T

J

T

J

T

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

yyyy

y

vvvv

v

yyyy

y

vvvv

v , (6.23)

în care, de exemplu, 2T

αv este vectorul tensiunilor surselor fictive de tensiune conectate la accesurile multipolului α, pentru care la accesurile corespondente ale multipolului β au fost conectate surse fictive de curent, vectorul 2J

βv conţinând curenţii injectaţi de acestea. Relaţiile care asigură conservarea condiţiilor anterioare secţionării cu suprafaţa S sunt următoarele:

.,,,

,,,,22221111

22221111

TJJTJJTT

TJJTJJTT

βαβαβαβα

βαβαβαβα

vyvyyyyy

yvyvvvvv

====

==== (6.24)

Fig. 6.5

S

2Tvβ

1Jvβ

2Jvβ

1Tvβ 1Jyβ

2Tyβ

2Jyβ

1Tyβ

β

2Jvα

1Jvα

2Tvα

1Tvα 1Jyα

2Jyα

2Tyα

1Tyα

α


132

6.4. Folosirea surselor fictive unitip Ulterior secţionării, fiecare dintre multipolii α şi β se tratează separat. Tensiunile surselor fictive de tensiune şi curenţii surselor fictive de curent se vor considera mărimi de intrare, iar elementele vectorilor T

αy sau Jαy , respectiv T

βy sau Jβy , vor fi mărimi de ieşire ale multipolilor α, respectiv β. În aceste condiţii,

ecuaţiile (5.20) şi (6.4), scrise pentru multipolii α, respectiv β, vor fi de forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

α

αααααα u

vBBxAxT

T ][& , (6.25)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

α

αααααα u

vDDxCyT

TT ][ , (6.26)

respectiv

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

β

ββββββ u

vBBxAx

TT ][& , (6.27)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

β

ββββββ u

vDDxCy

TTT ][ , (6.28)

unde s-a ţinut seama de relaţiile (6.14) şi (6.15), s-a presupus că toate sursele fictive sunt SIT şi s-au notat cu αx , respectiv βx , vectorii ce conţin variabilele de stare asociate elementelor cu memorie conţinute de multipolii α, respectiv β. Vectorul variabilelor de stare pentru întregul circuit va fi, prin definiţie, de forma:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

β

αxx

x . (6.29)

În ecuaţiile (6.25) – (6.28), indicele inferior α, respectiv β, ataşat matricelor A, B, C, D, indică apartenenţa acestora faţă de setul ecuaţiilor (5.20) şi (6.4) scrise pentru multipolul α, respectiv β. În plus, s-a efectuat partiţionarea matricelor B şi D, corespunzător înmulţirii acestora cu vectorul partiţionat al mărimilor de intrare. Din ecuaţiile (6.26) şi (6.28), ţinând seama de egalităţile (6.16) şi (6.17), rezultă:

ββββββαααααα uDvDxCuDvDxC ++=++ TTTT , (6.30) de unde, cu notaţia


133

1)( −−= TTTβααβ DDD , (6.31)

se obţine

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

β

αβααβ

β

αβααβα u

uDDD

xx

CCDv TTT . (6.32)

Substituind expresia (6.32) în ecuaţiile (6.25) şi (6.27), se obţine forma canonică (5.20) a ecuaţiei pentru întregul circuit:

.uDDBBDDB

DDBDDBBx

CDBACDBCDBCDBA

xβαβββααββ

βαβαααβαα

βαβββααββ

βαβαααβααTTTT

TTTT

TTTT

TTTT

+−

−+

+−

−=&

(6.33)

Dacă toate sursele fictive ar fi de tipul SIC, în ecuaţia (6.33) indicele superior T ar fi înlocuit de indicele superior J. Aplicarea concretă a metodei implică parcurgerea următoarelor etape: 1) Secţionarea circuitului şi introducerea surselor fictive de acelaşi tip. Se va evita apariţia buclelor de condensatoare şi SIT (inclusiv surse fictive) sau a secţiunilor de bobine şi SIC (inclusiv surse fictive), prin alegerea unei suprafeţe de secţionare şi al unui tip de surse fictive convenabile. Dacă acest lucru nu este posibil, se va proceda la conectarea complementară sau la cea hibridă, după cum se arată în paragrafele următoare. 2) Scrierea ecuaţiilor de tipul (6.25) – (6.28) pentru cei doi multipoli rezultaţi prin secţionare şi identificarea matricelor ce apar în aceste ecuaţii. 3) Substituirea matricelor determinate la punctul 2) în ecuaţia (6.33). În prealabil, se calculează T

αβD (sau JαβD ), matricea de inversat fiind nesingulară

pentru clasa de circuite specificată, dacă introducerea surselor fictive se face ţinând seama de precizările de la punctul 1). Pentru ilustrarea modului de aplicare a metodei prezentate, se va considera exemplul concret al graduatorului tiristorizat pentru o locomotivă electrică, având schema de principiu din fig. 6.6. Tiristoarele intră în conducţie în ordinea T1, T2, T3, T4, alimentându-se sarcina de parametri Rs, Ls. Se va admite că tiristoarele au rezistenţa nulă în stare de conducţie şi infinită în stare de blocare, ceea ce permite construirea schemei echivalente din fig. 6.7. Rezistenţele R1 şi R2 au valori foarte mici, într-o primă aproximaţie fiind posibilă neglijarea lor. Întreruptorul K1 modelează grupul tiristoarelor T1, T2, iar întreruptorul K2 modelează perechea de tiristoare T3, T4. Iniţial conduc, în ordine, T1 şi T2, deci

1uus = , apoi T3 şi T4, deci 2uus = . Stingerea tiristoarelor se produce la trecerea prin zero a curentului ce le parcurge. Valorile numerice ale elementelor schemei sunt: H,314023,0kV,62,0,874,0H,31410H,3148kV,24 2211 ==Ω==== LERLLE s


134

Ω= 100sR şi μF1=C , unde s-au indicat valorile efective ale t.e.m. sinusoidale 1e şi 2e .

Echivalentă situaţiei reale, funcţionarea schemei din fig. 6.7 are următoarele secvenţe: a) iniţial K1 este închis, iar K2 deschis, circuitul funcţionând în regim permanent;

b) la momentul 0t , când curentul 1i trece prin zero către valori pozitive, se deschide K1;

Fig. 6.6

T2

LS

R

T1

C

T4

R

T3

C

RS

uS

u2

u1

y1

y2 S

Fig. 6.7

K2

LS

K1

e1

R

x1

C

RS

i2

i1

R C

L1

R1

e2

x2

L2

R2

x4

x3


135

c) după un interval de timp τ , deci la momentul τ+= 0tt f , se închide K2; d) la momentul 1t , corespunzător trecerii prin zero către valori pozitive a curentului 2i , se deschide K2; e) la momentul τ+1t se închide K1. Considerând )(1 te ca origine de fază, cu valorile numerice specificate anterior, rezultă μs61,5690 =t şi ms562,191 =t , iar tipul tiristoarelor folosite a condus la μs200=τ . S-a urmărit determinarea modului de variaţie a tensiunii )(1 ty , din momentul 0t până la momentul )( τ+ft , fiind importante atât valorile extreme cât şi panta acesteia, adică mărimile ce pot determina reaprinderea tiristorului T2, după amorsarea tiristorului T3, situaţie echivalentă cu un scurtcircuit al înfăşurării de 0,62kV. În aceeaşi măsură interesează )(2 ty , din momentul 1t până la momentul

τ21 +t . Considerând că regimurile tranzitorii succesive se declanşează cu începere de la 0t , rezultă următoarele etape, din punct de vedere al poziţiei contactelor K1 şi K2: Tab. 6.1

Etapa I

Etapa II

Etapa III

Etapa IV

K1

Deschis

Deschis

Deschis

Închis

K2

Deschis

Închis

Deschis

Deschis Pentru schema considerată (fig. 6.7), vectorul variabilelor de stare, respectiv vectorul mărimilor de intrare, sunt t

4321 ][ xxxx=x , respectiv t21 ][ ee=u .

Ecuaţiile de stare pentru cele trei situaţii distincte (I şi III sunt echivalente topologic) se vor obţine diakoptic, în urma secţionării schemei circuitului cu suprafaţa S (fig. 6.7), ce separă partea de circuit conţinând dispozitivele de comutaţie. În urma introducerii unor surse fictive de tensiune, se obţin multipolii α şi β din fig. 6.8. Se definesc vectorii:

,,,,2

1

2

1

2

1

2

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= T

TT

T

TT

yy

vv

ee

xx

α

αα

α

αααα yvux

.,,]0[,2

1

2

1

4

3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= T

TT

T

TT

yy

vv

xx

β

ββ

β

ββββ yvux


136

Matricele care apar în ecuaţia (6.33) au o formă mult simplificată deoarece:

- multipolul β nu conţine surse ideale independente, deci ]0[=βB şi ]0[=βD ,

- mărimile Ty 1α şi Ty 2α au expresii ce nu depind de elemente ale vectorului αu , deci ]0[=αD ,

- mărimile Ty 1α şi Ty 2α nu depind de elemente ale vectorului Tαv , în

consecinţă ]0[=TαD şi ( ) 1−

−= TTβαβ DD .

Deoarece structura topologică a multipolului α este invariabilă în raport cu starea contactelor K1 şi K2, rezultă că matricele αA , T

αB , αB şi αC nu se modifică pe parcursul regimurilor tranzitorii succesive, fapt ce evidenţiază unul din avantajele metodei diakoptice în studiul circuitelor de comutaţie. Scrierea ecuaţiilor (6.25), (6.26), pentru multipolul α din fig. 6.8, permite determinarea matricelor

,10

01

,11

10,

0

0

2

1

22

1

2

2

1

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

=

L

LL

LL

LL

LR

LLR

ssTsααα BBA

.]0[,]0[,1110 ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−= ααα DDC T

În continuare, se analizează succesiv regimurile tranzitorii ce corespund etapelor precizate în tab. 6.1.

Fig. 6.8

Tv 2β

(β)

Ty 1β

y1

K1

R C

RS

x3

R C

x4 K2

y2

Ty 2β

Tv 1β

R2

e1

x1

x2

L1 R1

e2 L2

Tv 2α

Ty 1α

Ty 2α

Tv 1α

(α)


137

Etapa I Scrierea ecuaţiilor (6.27), respectiv (6.28), pentru multipolul β din fig. 6.8, conduce la determinarea matricelor

,)2(

1,)2(

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−++−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−−

+=

ss

ss

s

T

ss

ss

s RRRRRR

RCRRRRRRRR

RCRR ββ BA

,]0[=βB respectiv

,)2(

1,)2(

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−++−

+= RRR

RRRRRRRRR

RRRRRR ss

ss

s

T

ss

ss

sββ DC

.]0[=βD Ecuaţia de stare a întregului circuit, obţinută conform structurilor (6.33), este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−+−

++−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

4

3

2

1

222

2

2

111

1

4

3

2

1

0000

10

01

0010

0011

112

01

ee

L

LL

xxxx

C

CC

LLLRR

LR

LLLLR

LLRRR

xxxx

ssss

s

&

&

&

&

.

Tensiunile pe cele două grupuri de tiristoare rezultă:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

4

3

2

1

2

1

10001

xxxx

RRR

yy

.

Etapa II Scrierea ecuaţiilor (6.27), respectiv (6.28), pentru multipolul β în care K1 este deschis, iar K2 închis, conduce la determinarea matricelor

,]0[,00

11,10

01

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

= βββ BBA RCRC

RC

RC T

respectiv


138

.]0[,11

111

,01

01

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

= βββ DDC

RR

RRR

R

R sT

Substituirea acestora în structura (6.33) permite obţinerea ecuaţiei de stare a circuitului, pentru această etapă de funcţionare:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−+−

++−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

4

3

2

1

22

2

2

111

1

4

3

2

1

0000

10

01

1000

0011

01

01

ee

L

LL

xxxx

RC

CC

LLRR

LR

LLLLR

LLRRR

xxxx

ssss

s

&

&

&

&

.

Tensiunea 2y fiind nulă, se calculează doar

[ ] x⋅−= 011 RRy .

Integrarea ecuaţiilor de stare, pentru valorile numerice precizate, cu pasul de discretizare μs1=h , a permis obţinerea graficului )(1 ty pentru cele două etape de funcţionare analizate (fig. 6.9).

Etapa III Ecuaţia matriceal-vectorială de stare este identică cu aceea obţinută în etapa I, la fel şi relaţia de calcul pentru mărimile 1y şi 2y . Diferite sunt doar condiţiile iniţiale, care se calculează pentru momentul s44,191 mt = .

1000

600 400 200

-600

800

-400 -200

-800

-1200

0

-1000

y1 [V]

0,72

0,67

0,62

t 0 =

0,5

7

0,92

0,82

0,77

0,97

t [ms] 0,

87

Fig. 6.9

t 0 + τ =


139

Etapa IV În condiţiile K1 închis şi K2 deschis, scrierea ecuaţiilor (6.27), respectiv (6.28), conduce la identificarea matricelor:

,]0[,1100

,10

01

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

= βββ BBARCRC

RC

RC T

respectiv

.]0[,111

11

,10

10=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= βββ DDC

RRR

RR

R

R

s

T

Ecuaţia de stare a întregului circuit, ţinând seama de (6.33), se obţine în forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−+−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

4

3

2

1

22

2

1

1

4

3

2

1

0000

10

01

0010

0100

100

000

ee

L

LL

xxxx

C

RC

LLRR

LLRR

xxxx

ss

s

&

&

&

&

.

Tensiunea 2y pe grupul de tiristoare T3, T4 se calculează cu relaţia

[ ] x⋅= 1002 Ry .

Curbele ce indică variaţia în timp a mărimilor de ieşire )(1 ty , respectiv )(2 ty , corespunzător etapelor III şi IV de funcţionare, sunt cele din fig. 6.10,

respectiv fig. 6.11. Fig. 6.10

200

-600

-400

-200

-800

0

y1 [V]

19,5

4

19,5

9

19,4

9

t 1 =

19,

44

t [ms]

19,6

4 t 1

+ τ =


140

6.5. Conectarea complementară a surselor fictive De multe ori, se poate evita apariţia unor elemente în exces ca urmare a introducerii surselor fictive, dacă se recurge la conectarea complementară a acestora: toate sursele fictive afectate multipolului α vor fi surse de tensiune (curent), iar cele afectare multipolului β surse de curent (tensiune). În aceste condiţii, ecuaţiile (5.20) şi (6.4) scrise pentru multipolul α, respectiv β, vor fi de forma (6.25), (6.26), respectiv

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+=

β

ββββββ u

vBBxAx

JJ& , (6.34)

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+=

β

ββββββ u

vDDxCy

JJJ , (6.35)

Din ecuaţiile (6.21), (6.26) şi (6.35), rezultă

( )ββααβββααββαα uDuDDxCxCDDv +++= JJT , (6.36)

unde

( ) 1−−= TJ

αββα DDID , (6.37)

Fig. 6.11

1000

600 400 200

-600

800

-400 -200

-800

-1200

0

-1000

y2 [V]

19,5

4

19,5

9

19,4

9

t 1 =

19,

44

19,7

9

19,6

9

t [ms]

19,7

4

19,6

4 t 1

+ τ =


141

I fiind matricea unitate. Din ecuaţiile (6.22), (6.26) şi (6.35) rezultă: ( )ββαααββααααββ uDDuDxCDxCDv TTJ +++= , (6.38) unde

( ) 1−−= JT

βααβ DDID . (6.39) Substituirea expresiilor (6.36), respectiv (6.38), în ecuaţiile (6.25), respectiv (6.34), cu luarea în considerare a definiţiilor (6.18), (6.29), conduce la ecuaţia de stare a întregului circuit:

.uDDDBBDDB

DDBDDDBBx

CDDBACDBCDBCDDBA

xβααβββααββ

ββαααββααα

βααβββααββ

ββαααββαααTJJ

TJT

TJJ

TJT

+

++

+

+=&

(6.40) Se observă că anumite produse de matrice apar în mod repetat în ecuaţia (6.40), ceea ce micşorează considerabil numărul de operaţii distincte necesare.

În continuare, se exemplifică modul de utilizare a relaţiilor anterioare şi se evidenţiază posibilitatea extinderii metodei pentru cazul când se adoptă mai multe suprafeţe de secţionare. Se consideră schema echivalentă a unui convertizor static de frecvenţă, văzută dinspre bornele de ieşire ale redresorului (fig. 6.12). Tiristoarele T1, T2 şi diodele semiconductoare D1, D2 se vor considera ideale. În vederea scrierii ecuaţiei de stare, pentru etapa în care ambele tiristoare sunt în conducţie, se secţionează circuitul cu suprafeţele 1S şi 2S (fig. 6.12.a), apoi se conectează complementar surse fictive (fig. 6.12.b). Pentru dipolii (δ) şi (γ) se definesc vectorii

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

9

8

3

2

1

5

2 ,,xxx

vv

xx

γβ

βδδ xux .

De precizat că sursele fictive 1βv , 2βv se tratează ca surse independente, în raport cu interconexiunea dipolilor (δ) şi (γ). În urma scrierii ecuaţiilor (6.25), (6.26), (6.34), (6.35) pentru dipolii specificaţi anterior, se identifică matricele

,11,]0[,]0[,]11[,]0[t

52⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −===−==

LLTTδδδδδ BDDCA


142

,]0[,]0[,]010[,]0[,10

11

5

22 ====

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

= γγδδδ DDCBB J

L

LL

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

++−−

=

0

10

,

001

001

11

3

4

3

434343

43

C

C

C

LLLLLLRR

Jγγ BA .

Considerând că vectorul variabilelor de stare asociate elementelor cu memorie conţinute de multipolul (β) este

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

γ

δβ x

xx ,

Fig. 6.12

(b)

(α)

αuu =

1αv

2αv

x1

L1

R1

1αy

x6

x7

2αy

C2

C1 2βy

1βy

2βv

(δ)

x5

L5

1βvx2

L2 yδ

vδ x8

43 RR +

x3

43 LL +

x9

C4 yγ

vγ

C3

(γ)

(β) (a)

S1 L2 L1 R1

C2

C1

L5

L4 L3

C3

D2

C4

D1

T2

T1

u R4 R3

S2


143

se substituie matricele determinate anterior în ecuaţia (6.40), unde indicele inferior α (β) a fost înlocuit cu δ (γ). Se obţin astfel matricele

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

++−−

−

=

000000

10

11

,

00100

00111

1100

01000

01000

2

22

4

333

434343

43

5

2

L

LL

C

CCC

LLLLLLRR

L

L

TBAβ .

Relaţiile evidente 21 xy =β şi 522 xxy +−=β conduc la identificarea matricelor

]0[,]0[,0000100001

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= βββ DDC T .

Vectorul variabilelor de stare corespunzătoare multipolului α este

t761 ][ xxx=αx ,

scrierea ecuaţiilor de stare şi de ieşire permiţând identificarea matricelor:

,

0

0

1

,

11

01

00

,

001

001

11

1

22

1

2

1

111

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

L

CC

C

C

C

LLLR

Jααα BBA

.]0[,]0[,100110

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ααα DDC J

Vectorul de stare al întregului circuit fiind de forma (6.29), ecuaţia de stare (6.40) se poate obţine imediat, folosind matricele determinate anterior. Se ajunge astfel la forma canonică (5.20), în care:


144

.

0000000

1

,

00000100

00001110

1100000

01100000

01010000

00001001

00000011

0011000

1

4

333

434343

43

55

22

22

11

111

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

++−−

−−

−

−−−

=

L

C

CCC

LLLLLLRR

LL

LL

CC

CC

LLLR

BA

Circuitul din acest exemplu a fost astfel ales încât verificarea rezultatelor obţinute se poate face rapid, prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. 6.6. Conectarea hibridă a surselor fictive În general, pentru fiecare din multipolii α şi β, se pot considera conectate la accesuri atât surse ideale fictive de tensiune, cât şi surse fictive de curent. Ecuaţiile de stare corespunzătoare multipolilor α, respectiv β, sunt ααααααα uBvBxAx ++= 1& , (6.41)

respectiv

βββββββ uBvBxAx ++= 1& , (6.42) unde αv şi βv sunt definiţi conform relaţiilor (6.23). Procedând ca în §6.4 şi §6.5, pe baza egalităţilor (6.24), sau examinând circuitul iniţial (înainte de secţionare), se poate exprima vectorul surselor fictive

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

β

α

vv

v (6.43)

în funcţie de variabilele de stare şi mărimile de intrare:


145

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

α

ββ

αα

β

α

ββ

αα

β

α

uu

GGGG

xx

FFFF

vv

21

21

21

21 . (6.44)

Partiţionările matricelor asigură compatibilitatea produselor αα xF 1 , αα uG 1 ,

βα xF 2 etc. Substituind expresiile vectorilor αv , respectiv βv , obţinute din relaţia matriceală (6.44), în ecuaţia (6.41), respectiv (6.42), se obţine ecuaţia de stare a circuitului analizat în ansamblul său:

uGBBGB

GBGBBx

FBAFBFBFBA

x2111

2111

2111

2111

βββββ

ααααα

βββββ

ααααα

++

++

+=& , (6.45)

în care x , respectiv u , sunt vectori definiţi de relaţiile (6.29), respectiv (6.15). Conectarea hibridă permite evitarea apariţiei elementelor suplimentare în exces, ca urmare a secţionării şi a introducerii surselor fictive, deci conservarea ordinului de complexitate. Pentru exemplificare, se consideră circuitul din fig. 6.13 despărţit în doi multipoli prin secţionarea cu suprafaţa S.

Fig. 6.13

(a)

x1

L4

R1

e2

x3

x4

x2 L2

i0

S

C1

R2

R3

e1

C3

R4

Jvα

(α)

Tvα x2

x1

L2

e1

R1

C1

e2

Jvβ

(β)

Tvβ x4

L4

R2

i0

x3

C3

R3

R4

(b)


146

Scrierea ecuaţiilor (6.41) şi (6.42), pentru cei doi multipoli α şi β, permite identificarea următoarelor matrice:

,0.diag,11.diag,01.diag4

43

21111⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

LRR

LCRCR βαα ABA

.0

,1

01

,01

10

4

3

44

43

31

2

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

LR

LLRR

C

L

Cββα BBB

În scrierea ecuaţiilor menţionate anterior, s-a considerat că

.,,,,, 02

1

4

3

2

1 iee

vv

vv

xx

xx

T

J

J

T=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= βα

β

ββ

α

ααβα uuvvxx

Relaţia (6.44), scrisă pentru circuitul din fig. 6.13, conduce la determinarea următoarelor matrice:

,]0[,0110,10

1,000

2143

2432

1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−= ββαα FFFF RRRRR

.]0[,1000

,0

,]0[ 2132

21 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +== ββαα GGGG

RR

Substituirea matricelor determinate anterior, în ecuaţia (6.45), conduce la forma canonică asociată circuitului integral:

uxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−

−−−−−

−

=

4

3

4

2

32

2

11

4

43

4

43

4

3

2

43

22

432111

10000

01

001

01

0010

10

1001

LR

L

LRR

L

CR

LRR

LRR

L

C

LRR

LLRRR

CCR

& ,

în care x , respectiv u , sunt definiţi conform relaţiilor (6.29), respectiv (6.15). În cazul circuitelor ce conţin un număr relativ ridicat de laturi rezistive, este convenabilă selectarea prin secţionare a unui multipol ce deţine cât mai multe rezistoare şi surse ideale, dar nici un element cu memorie (condensator sau bobină).


147

Circuitul analizat se tratează ca o interconexiune între un multipol activ rezistiv şi n multipoli conţinând elemente cu memorie, rezistoare şi surse independente (metoda selectării prin secţionare a unui multipol activ rezistiv). 6.7. Modificarea ordinului de complexitate Determinarea numărului minim de condiţii iniţiale independente ce pot fi precizate pentru un circuit dat a suscitat discuţii ce au dus la cristalizarea a două modalităţi de considerare a ordinului de complexitate: în sensul lui Bers, respectiv în sensul lui Bryant. Egal cu numărul frecvenţelor naturale, luând în considerare ordinul de multiplicitate al acestora, ordinul de complexitate μ nu poate depăşi numărul elementelor cu memorie (condensatoare şi bobine). În cazul circuitelor cu elemente în exces, prezenţa buclelor de condensatoare şi (sau) secţiunilor de bobine implică scăderea acestuia: LCLC sbnn −−+=μ , (6.46)

unde Cn - numărul laturilor de condensatoare, Ln - numărul laturilor de bobine, Cb - numărul buclelor de condensatoare, Ls - numărul secţiunilor de bobine. Existenţa unor bucle de bobine şi (sau) secţiuni de condensatoare, deci a unor elemente în exces complementar, conduce la scăderea numărului frecvenţelor naturale nenule, deci la diminuarea ordinului de complexitate în sensul lui Bers. Ţinând seama de faptul că secţiunile de condensatoare şi buclele de bobine nu influenţează numărul frecvenţelor naturale, ci valorile acestora, se consideră ecuaţiile algebrice generate de prezenţa elementelor în exces complementar (6.10) ca ecuaţii diferenţiale în care nu apar derivate ale ecuaţiilor de stare. În continuare se va considera ordinul de complexitate în sensul lui Bryant. Anumite procedee de obţinere diakoptică a ecuaţiilor de stare conduc, în unele cazuri, la modificarea artificială a ordinului de complexitate prin introducerea surselor fictive. De exemplu, descompunerea circuitului din fig. 6.14.a, prezentând un condensator în exces, poate fi însoţită de:

- creşterea ordinului de complexitate (fig. 6.14.b), adică μμμ f21 + ; - scăderea ordinului de complexitate (fig. 6.14.c), adică μμμ p21 + ; - menţinerea ordinului de complexitate (fig. 6.14.d), adică μμμ =+ 21 . Constatări similare se pot face în legătură cu descompunerea circuitului cu o bobină în exces din fig. 6.15.a. Dacă se descompune arbitrar un circuit cu ordinul de complexitate μ în n


148

multipoli, în vederea formulării diakoptice a ecuaţiilor de stare, poate rezulta:

μμ ≠∑=

n

ii

1, (6.47)

unde iμ este ordinul de complexitate al multipolului de indice i. Diferenţa

μμδ −= ∑=

n

ii

1, (6.48)

βv

βv

αvαv

αv

βv

βv

αv

βv

αv βv

αv

4=μ

(a)

S

(b)

21 =μ 32 =μ

(c)

11 =μ 22 =μ

Fig. 6.14

(d)

11 =μ 32 =μ

S

4=μ

(a)

(b)

21 =μ 32 =μ

(c)

11 =μ 22 =μ

Fig. 6.15

(d)

11 =μ 32 =μ


149

indică, dacă este pozitivă, numărul variabilelor adiţionale, care depinde atât de alegerea suprafeţelor de secţionare, cât şi de modul în care se constituie perechile de surse fictive. O valoare negativă pentru δ semnalează apariţia unor elemente în exces suplimentare, faţă de cele conţinute iniţial de circuitul analizat, fiecare din ele incidente la cel puţin un acces al multipolilor. Ecuaţiile de stare de tipul (6.25) ale unor multipoli, vor conţine derivate ale mărimilor de intrare asociate surselor fictive. Aceasta conduce la o inversare suplimentară de matrice, situaţie evident defavorabilă. O valoare pozitivă pentru δ semnalează că apariţia variabilelor adiţionale a condus la creşterea artificială a ecuaţiilor de tipul (6.25), care nu vor mai fi toate independente. Nedeterminarea matematică este asociată unei modelări neadecvate a sistemului fizic analizat. Rezultă necesitatea unui procedeu de secţionare şi introducere adecvată a surselor fictive, care să preîntâmpine situaţiile descrise anterior. 6.8. Noduri centrale în arborele normal Selectarea unui arbore normal, definit în §2.1, eventual a unui arbore normal comun în graful de tensiune şi în cel de curent, constituie punctul de plecare a numeroase metode de analiză a circuitelor electrice. Dacă circuitul nu conţine elemente în exces, condensatoarele şi bobinele se pot atribui unic arborelui sau coarborelui normal, modalitate de atribuire în general nevalabilă pentru elementele rezistive. În cazul circuitelor degenerate, atribuirea nu mai este unică nici măcar pentru elementele cu memorie. Ramurile şi coardele unui arbore normal se pot clasifica în felul următor:

Ramuri r1. Ramuri de SIT r2. Ramuri de condensatoare r3. Ramuri de rezistoare r4. Ramuri de bobine

Coarde c1. Coarde de condensatoare c2. Coarde de rezistoare c3. Coarde de bobine c4. Coarde de SIC Laturile elementelor de circuit multiterminale (giratoare, transformatoare ideale, surse comandate), pentru care relaţiile tensiune-curent sunt algebrice, se includ în rândul ramurilor (coardelor) de tipul r2 (c2). Se impun precauţii speciale asupra modului de atribuire (ramurilor sau coardelor) a laturilor anterior menţionate.


150

În cazul giratoarelor, ambele laturi vor fi de acelaşi tip (ori ramuri, ori coarde). În cazul transformatorului ideal şi al convertorului negativ, o latură trebuie să fie ramură, iar cealaltă coardă. Pentru o sursă comandată, fiecare latură (de comandă sau comandată) se atribuie unic, fie ca o ramură, fie ca o coardă, în funcţie de tipul variabilei specificate: dacă se specifică curentul unei laturi, aceasta va fi desemnată coardă, iar dacă se specifică tensiunea, latura va fi atribuită arborelui. Existenţa ramurilor de bobine, respectiv a coardelor de condensatoare, este condiţionată de prezenţa în circuit a secţiunilor de bobine, respectiv a buclelor de condensatoare. Bobinele din categoria r4 şi condensatoarele din categoria c1 vor fi considerate elemente în exces. Fiind dat un circuit electric, arborele normal construit în conformitate cu cele precizate anterior va uni toate nodurile fără a forma bucle, proprietate definitorie pentru oricare arbore. În raport cu arborele normal, nodurile se pot împărţi în două categorii: a) Noduri centrale, în care converg cel puţin două ramuri şi un număr oarecare de coarde, b) Noduri periferice, la care converg un număr oarecare de coarde şi o singură ramură.

Pentru circuitul din fig. 6.16, de exemplu, unde arborele normal s-a indicat cu linii îngroşate, nodurile 1, 3, 5, 6 sunt noduri centrale, celelalte fiind noduri periferice. Deoarece, în general, arborele normal nu este unic, rezultă că nodurile unui circuit vor fi centrale sau periferice în funcţie de modul în care au fost alese ramurile de bobine şi coardele de condensatoare. Astfel, de exemplu, dacă în circuitul din fig. 6.16 bobina L2 se consideră în exces, deci ramură în arborele normal, nodul 2 devine central; dacă condensatorul C2 se consideră în exces, nodul 3 devine periferic. Faptul că ramurile de bobine şi coardele de condensatoare se pot alege arbitrar conduce la creşterea

Fig. 6.16

L4

R1

2 L2

i0

e

L1

R2

C3

L3

C1

C5

C2

C4

3

4 5

6

7

8 1


151

manevrabilităţii în cadrul metodei diakoptice. Descompunerea circuitului în multipoli, în vederea obţinerii ecuaţiilor de stare pe cale diakoptică, presupune selectarea unui arbore normal, despicarea unui număr oarecare de noduri centrale şi introducerea unor seturi de surse fictive. Despicarea a )1( −n noduri centrale va condace la apariţia a n multipoli. Modul în care se despică un nod central, cu o suprafaţă S ce nu intersectează decât coarde, precum şi introducerea adecvată a surselor fictive complementare au fost descrise în §2.2.5, ilustrarea grafică fiind dată în fig. 2.10 şi fig. 2.11. În acelaşi paragraf se definesc matricele de incidenţă diakoptică Σs şi Γs. 6.9. Conservarea ordinului de complexitate. Aşa după cum s-a arătat în §6.7, alegerea arbitrară a suprafeţelor de secţionare poate conduce la modificarea ordinului de complexitate, cu consecinţe nefavorabile. Descompunerea circuitului analizat în multipoli se poate efectua şi prin despicarea unui număr dorit de noduri centrale ale arborelui normal, procedeu descris în §2.2.5. Se va arăta că acest procedeu conservă ordinul de complexitate iniţial. Fie Sk suprafaţa cu care s-a despicat nodul central k şi ),...,2,1( mjckj = coardele intersectate de această suprafaţă (fig. 2.10). Toate aceste coarde se vor atribui multipolului α, conectându-le în serie cu surse fictive de tensiune; la accesurile multipolului β se introduc surse fictive de curent (fig. 2.11). Cu notaţiile: *

Cc - mulţimea coardelor de condensatoare incidente la Sk, *

Rc - mulţimea coardelor de rezistoare incidente la Sk, *

Lc - mulţimea coardelor de bobine incidente la Sk, *

ic - mulţimea coardelor SIC incidente la Sk, rezultă

*****iLRC ccccc UUU= , (6.49)

unde cu *c s-a notat mulţimea tuturor coardelor incidente la suprafaţa de secţionare Sk. În conformitate cu definiţia arborelui normal, laturile în exces care intersectează suprafaţa Sk nu pot aparţine decât mulţimii *

Cc . Dacă această mulţime nu este vidă, suprafaţa Sk secţionează una sau mai multe bucle de condensatoare. Introducerea surselor fictive de tensiune conservă însă numărul buclelor de condensatoare, deci ordinul de complexitate nu se modifică. Mulţimea *r a ramurilor multipolului β incidente la accesurile surselor


152

fictive de curent este dată de reuniunea

*****LRCe rrrrr UUU= , (6.50)

notaţiile fiind evidente, similare celor din relaţia (6.49). Dacă mulţimea *

Lr nu este vidă, rezultă că mulţimea *Lc va conţine coarde ce

aparţin unor secţiuni de bobine. Prin introducerea surselor fictive de curent se conservă numărul secţiunilor de bobine, deci nu se modifică ordinul de complexitate. Dacă circuitul analizat nu prezintă elemente în exces, atunci multipolii în care se descompune, prin despicări ale unor noduri centrale, nu vor conţine elemente în exces, deoarece: - mulţimile *

Cc şi *Lr sunt vide,

- înserierea surselor fictive de tensiune cu oricare din coardele aparţinând mulţimilor *** ,, iLR ccc nu generează elemente în exces, - incidenţa surselor de curent la oricare dintre ramurile *** ,, RCe rrr nu poate conduce la apariţia unor elemente în exces. Descompunerea circuitului analizat într-un număr dorit de multipoli, prin procedeul despicării nodurilor centrale, are dezavantajul că nu modifică ordinul de complexitate iniţial, indiferent dacă circuitul prezintă sau nu elemente în exces. Matricele Σ şi Γ, definite în §2.2.5, au un număr de elemente care depinde de numărul coardelor secţionate, iar nu de numărul total al laturilor conţinute de multipolii α şi β. Faptul că numărul surselor fictive, introduse în urma secţionării, nu depinde de complexitatea întregului circuit, ci numai de numărul coardelor secţionate, constiuie un avantaj al metodei de formulare a ecuaţiilor pe cale diakoptică, servind în acelaşi timp drept criteriu de optimizare în alegerea suprafeţelor de secţionare.

6.10. Circuite fără elemente în exces În cazul circuitelor care nu conţin bucle de condensatoare şi (sau) secţiuni de bobine, elementele cu memorie se distribuie în mod unic arborelui normal, în aşa fel încât nu vor exista coarde de condensatoare şi (sau) ramuri de bobine. După despicarea unui nod central (k) în arborele normal, fiecare din multipolii rezultaţi, α şi β, va constitui o reţea fără elemente în exces, deoarece: a) circuitul iniţial nu prezintă elemente în exces; b) neexistând coarde de condensatoare secţionate, sursele fictive de tensiune ataşate multipolului α vor fi înseriate cu rezistoare, bobine sau SIT; c) cel puţin o ramură este incidentă la fiecare din nodurile la care sunt conectate sursele fictive de curent, iar ramurile sunt constituite din SIT,


153

condensatoare sau rezistoare. Vectorii variabilelor de stare se definesc astfel:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

kL

L

C

α

α

α

α

xxx

x , respectiv ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

L

kC

C

β

β

β

β

xxx

x , (6.51)

în care

Cαx - vectorul tensiunilor la bornele condensatoarelor conţinute de multipolul α;

Lαx - vectorul curenţilor bobinelor conţinute de multipolul α, mai puţin cele plasate în coardele secţionate;

kLαx - vectorul curenţilor bobinelor plasate în coardele secţionate; Cβx - vectorul tensiunilor la bornele condensatoarelor conţinute de

multipolul β, excluzând pe cele incidente la buclele surselor fictive de curent; k

Cβx - vectorul tensiunilor la bornele condensatoarelor incidente la buclele surselor fictive de curent;

Lβx - vectorul curenţilor bobinelor conţinute de multipolul β. Se definesc vectorii asociaţi surselor ideale independente conţinute de

multipolii α, respectiv β, astfel:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=k

i

i

e

α

α

α

α

iiu

u , respectiv ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

i

ke

e

β

β

β

β

iuu

u , (6.52)

unde eαu - vectorul asociat SIT conţinute de multipolul α; iαi - vectorul curenţilor SIC ce aparţin multipolului α, fiind exceptate sursele plasate în coardele secţionate de suprafaţa ce despică nodul (k); k

iαi - vectorul curenţilor SIC plasate în coardele secţionate; eβu - vectorul asociat SIT aparţinând multipolului β, fiind exceptate cele incidente la buclele surselor fictive de curent; k

eβu - vectorul asociat SIT incidente la buclele surselor fictive de curent; iβi - vectorul curenţilor SIC aparţinând multipolului β. Vectorul variabilelor de stare, respectiv vectorul mărimilor de intrare, pentru circuitul analizat în ansamblul său, vor fi de forma (6.29), respectiv (6.15). Ţinând seama de definiţiile matricelor sΣ şi sΓ , date în §2.2.5, rezultă vectorul surselor fictive de forma


154

ks

ks

k

kk

iΣuΓ

vv

v =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

β

α , (6.53)

în care ki - vectorul curenţilor coardelor secţionate, ku - vectorul tensiunilor ramurilor ce formează bucle cu sursele fictive de curent. Pentru fiecare din multipolii α şi β, se pot scrie ecuaţii de tipul (5.20), matricea B partiţionându-se corespunzător celor două tipuri de surse: independente (reale) şi fictive (dependente). Astfel, pentru multipolul α se obţine ecuaţia ααααααα uBvBxAx ++= kk& , (6.54) iar pentru multipolul β ecuaţia βββββββ uBvBxAx ++= kk& . (6.55) Ţinând seama de notaţiile (6.29), (6.15) şi (6.53) ecuaţiile (6.54) şi (6.55) conduc la forma compactă

uB00B

vB00B

xA00A

x⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

β

α

β

α

β

α kk

k& . (6.56)

Pentru un circuit liniar, fără elemente în exces, vectorul kv asociat surselor fictive se poate totdeauna exprima sub forma

GuFxv +=k , (6.57) în care F şi G sunt matrice formate din partiţii ce corespund secţionării circuitului:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= k

k

β

α

FF

F , respectiv ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= k

k

β

α

GG

G . (6.58)

Substituind vectorul kv , prin expresia sa (6.57), în ecuaţia (6.56), se obţine forma canonică a ecuaţiei de stare pentru întregul circuit analizat

uGBBGBB

xFBAFBA

x kk

kk

kk

kk

βββ

ααα

βββ

ααα

⋅+⋅+

+⋅+⋅+

= /

/

/

/& , (6.59)

unde s-au folosit notaţiile


155

[ ] [ ] [ ] [ ]ββααββαα B0B0BBA0A0AA ==== //// ,,, . (6.60) Aplicarea procedeului diakoptic prezentat presupune parcurgerea următoarelor etape: a) Selectarea arborelui normal; b) Alegerea nodului central (k), despicarea lui şi introducerea surselor fictive; c) Definirea vectorilor kiuuxx ,,,, βαβα şi ku ; d) Scrierea ecuaţiilor de tipul (6.54) şi (6.55); e) Exprimarea vectorului kv sub forma (6.57); f) Substituirea matricelor determinate la punctele d) şi e) în ecuaţia (6.59), ţinând seama de notaţiile (6.60).

6.11. Circuite cu elemente în exces Pentru astfel de circuite apar, în general, ramuri de bobine şi coarde de condensatoare. În funcţie de poziţia nodului despicat, faţă de elementele în exces ale circuitului, precum şi de tipul coardelor intersectate de suprafaţa ce despică nodul central, se disting mai multe cazuri, tratate în cele ce urmează.

Cazul 1, când nu există coarde de condensatoare secţionate, nici ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive de curent, admite pentru vectorul kv expresia (6.53). Ecuaţia de stare se obţine în forma generală:

uM0

0Mu

GBBGBB

xFBAFBA

x &&β

α

βββ

ααα

βββ

ααα +⋅+⋅+

+⋅+⋅+

= kk

kk

kk

kk

/

/

/

/, (6.59)

unde αM şi βM sunt matrice ale căror elemente sunt nule dacă nu există SIT incluse în buclele de condensatoare şi SIC ce aparţin secţiunilor de bobine.

Cazul 2, în care există ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive de curent, menţine restricţia ca suprafaţa de secţionare S să nu intersecteze coarde de condensatoare. În fig. 6.17, de exemplu, bobinele în exces kL 1β , respectiv kL 2β ,

indicate explicit, sunt incidente buclelor surselor fictive kv 1β , respectiv kv 2β .

Exprimarea mărimilor kv 1α , kv 2α , conform relaţiei (6.53), implică apariţia derivatei în raport cu timpul a curenţilor ce parcurg bobinele anterior menţionate. Ecuaţiile de stare corespunzătoare multipolilor (α) şi (β), pentru care tensiunile (curenţii) surselor fictive de tensiune (curent) se consideră mărimi de intrare, sunt de forma:


156

ααααααααα uMuBvBxAx && +++= kk , (6.62)

βββββββββββ uMvMuBvBxAx &&& ++++= kkkk . (6.63)

În conformitate cu relaţia (6.53), rezultă:

xEuMuGxFv && kkkkkααααα +++= , (6.64)

în timp ce pentru vectorul surselor fictive de curent se menţine forma întâlnită la cazul 1, neexistând coarde de condensatoare secţionate. Cu notaţiile

[ ] [ ]βαββαα I0I0II == 00 , , (6.65) unde αI , respectiv βI , sunt matrice unitate cu atâtea elemente nenule câte componente au αx , respectiv βx , precum şi

1

0

01

−

⋅−⋅−

= kk

kk

βββ

ααα

FMIEBI

N , (6.66)

se obţine ecuaţia de stare a circuitului analizat în forma

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅+

+⋅+⋅+

+⋅+⋅+

= uGMM

MBMu

GBBGBB

xFBAFBA

Nx && kk

kk

kk

kk

kk

kk

βββ

ααα

βββ

ααα

βββ

ααα/

/

/

/

/

/

1 . (6.67)

Schimbarea de variabilă, indicată în §6.2, aduce imediat această ecuaţie la forma canonică (5.20).

kL 2β

kL 1β

)( αk )( βk

kv 1α

kv 2α

kv 1β

S

Fig. 6.17 (α) (β)

kv 2β


157

6.12. Secţionarea buclelor de condensatoare Se admite că suprafaţa de secţionare intersectează un număr oarecare de coarde de condensatoare. Se presupune că nu există ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive de curent, acest caz fiind tratat ulterior. În fig. 6.18, de exemplu, au fost specificate două coarde de condensatoare (în exces), kC 1α şi kC 2α , secţionate de suprafaţa S ce despică nodul (k).

Exprimarea mărimilor asociate surselor fictive, cu ajutorul relaţiei matriceale (6.53), implică apariţia derivatelor în raport cu timpul a tensiunilor condensatoarelor anterior menţionate. Vectorul curenţilor coardelor secţionate are structura partiţionată astfel:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k

kL

kR

kC

k

0α

α

α

α

β

ixii

v , (6.68)

semnificaţiile fiind cele precizate de relaţiile (6.51) şi (6.52).

Dacă kCαx este vectorul tensiunilor la bornele condensatoarelor plasate în

coardele secţionate, atunci vectorul curenţilor acestor condensatoare kCαi se poate

exprima cu relaţia,

( )uMxEKi && CCkk

C αααα += , (6.69)

în care kαK este matricea diagonală a capacităţilor condensatoarelor din coardele

secţionate. Deoarece curenţii bobinelor, respectiv cei ai SIT, nu intervin în

)( αk )( βk

kv 1α

kv 2α

kv 1β

S

Fig. 6.18 (α) (β)

kv 2β kC 2α

kC 1α


158

exprimarea vectorului kCαx , rezultă că matricele CαE şi CαM sunt rare, fiind

indicată apelarea la tehnici de calcul specifice pentru întocmirea programelor în care acestea intervin. Conform relaţiei (6.53), ţinând seama de (6.68) şi (6.69), rezultă

( )

k

kL

kkCC

k

k

0α

α

αα

ααα

β

ix

uDxCuMxEK

Σv++

⋅=

&&

, (6.70)

sau

uMuGxFxEv && kkkkkβββββ +++= , (6.71)

în care kβF şi k

βG corespund partiţionării (6.58), iar pentru celelalte două noi matrice structura este

Ck

k

αα

β

EK

ΣE ⋅= , respectiv

Ck

k

αα

β

MK

ΣM ⋅= . (6.72)

Întrucât nu există ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive de curent, vectorul k

αv este de forma (6.57). Ecuaţiile de stare corespunzătoare multipolului α, respectiv β, vor fi ααααααααααα uMvMuBvBxAx &&& ++++= kkkk , (6.73)

respectiv

βββββββββ uMuBvBxAx && +++= kk . (6.74) În scrierea ecuaţiei (6.73), s-a ţinut seama că, deoarece condensatoarele coardelor secţionate sunt elemente în exces, acestea vor forma bucle împreună cu sursele fictive de tensiune, unele ramuri de condensatoare şi SIT ce aparţin multipolului α. Ca urmare, în ecuaţia de stare a acestui multipol apare derivata în raport cu timpul a vectorului k

αv . Cu notaţia

1

0

02

−

⋅−⋅−

= kk

kk

βββ

ααα

EBIFMI

N , (6.75)


159

ţinând seama de expresiile (6.57) şi (6.71), ecuaţiile (6.73) şi (6.74) conduc la forma compactă a ecuaţiei de stare pentru circuitul analizat în ansamblul său:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅+

+⋅+⋅+

+⋅+⋅+

= uMBMGMM

uGBBGBB

xFBAFBA

Nx && kk

kk

kk

kk

kk

kk

βββ

ααα

βββ

ααα

βββ

ααα/

/

/

/

/

/

2 . (6.76)

Aplicarea metodei, în acest caz, presupune parcurgerea etapelor precizate în §6.10. 6.13. Despicarea unui nod de bobine Cazul în care la nodul despicat (k) converg doar bobine şi SIC este particular. Suprafaţa de secţionare S (fig. 6.19) intersectează un număr oarecare de coarde de bobine, de SIC sau de rezistoare, dar nici o coardă formată de un condensator. Aceasta întrucât apariţia unei coarde formată dintr-un condensator în exces implică existenţa unei bucle alcătuită din condensatoare şi eventual SIT, aşa după cum se sugerează cu linie punctată în fig. 6.19.

O suprafaţă închisă S care, despicând nodul (k), ar intersecta o coardă conţinând condensatorul în exces eC , ar secţiona implicit şi o ramură conţinând un condensator esenţial rC . Ori suprafaţa S, aşa cum a fost definită, despică nodul (k) şi secţionează numai coarde. Rezultă deci că nu există coarde de condensatoare secţionate de suprafaţa ce despică nodul (k). Ca un corolar, nu vor apărea bucle de condensatoare, SIT şi surse fictive de tensiune în mulipolul (α), a cărei ecuaţie de stare va fi de forma (6.62). Deoarece multipolul (β) are cel puţin un nod, nodul )( βk , în care converg doar bobine şi surse fictive de curent, ecuaţia sa de stare va fi de forma (6.63).

S

Fig. 6.19

(α) (β)

(k)

eC

rC


160

Din cele expuse, rezultă că ecuaţia de stare a circuitului analizat va fi de forma (6.76), cu precizarea că matricele k

αE şi kβM nu mai sunt rare.

6.14. Circuite cu elemente în exces şi surse comandate Se consideră cazul general, în care există surse comandate pentru care atât latura de comandă cât şi latura comandată aparţin aceluiaşi multipol, dar şi surse pentru care latura de comandă aparţine unui multipol, iar latura comandată altui multipol. La selectarea arborelui normal al circuitului analizat, fiecare latură (de comandă sau comandată) a unei surse comandate se atribuie unic, fie ca o ramură, fie ca o coardă, în funcţie de tipul mărimii specificate: dacă pentru o latură se specifică tensiunea, latura va fi atribuită arborelui, iar dacă se specifică curentul unei laturi, aceasta va fi atribuită coarborelui. Este preferabil ca nodul central (k), ce urmează a fi despicat, să fie astfel ales încât elementele cu memorie să se împartă aproximativ egal între multipoli, iar numărul coardelor secţionate să fie cât mai mic posibil. Suprafaţa închisă S, ce despică nodul (k), poate fi intersectată de coarde formate din laturi ce aparţin unor surse comandate, dar aceasta nu afectează tratarea diakoptică. Formularea şi scrierea ecuaţiilor de stare pentru multipolii α şi β se face considerând mărimile de ieşire ale surselor comandate ca mărimi de intrare pentru cei doi multipoli. Relaţia dintre mărimea de ieşire şi cea de intrare ale unei surse comandate fiind algebrică, rezultă uGxFu ccc

ααα += , (6.77) uGxFu ccc

βββ += , (6.78) în care c

αu )( cβu - vectorul mărimilor de ieşire ale acelor surse comandate pentru

care latura de comandă aparţine multipolului β (α), iar latura comandată aparţine multipolului α (β), cccc

ββαα GFGF ,,, - matrice (în majoritatea cazurilor matrice rare). Multipolii rezultaţi în urma despicării nodului central (k) ales şi a introducerii surselor fictive sunt, în general, circuite cu elemente în exces. Rezultă că ecuaţiile de stare ale multipolilor α, respectiv β, vor fi de forma cckkcckk

ααααααααααααααα uMuMvMuBuBvBxAx &&&& ++++++= 1 , (6.79) respectiv


161

cckkcckkβββββββββββββββ uMuMvMuBuBvBxAx &&&& ++++++= 1 . (6.80)

Ţinând seama de (6.57) şi (6.58), precum şi de relaţiile (6.77), (6.78), apoi folosind notaţia

1

10

103

−

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−

= cckkkk

cckkkk

βββββββ

αααααααFMFMEBIFMFMEBIN , (6.81)

se obţine ecuaţia de stare a circuitului analizat:

./

/

1/

1/

1/

1/

3

⎟⎟

⎠

⎞

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

+

⎜⎜

⎝

⎛+

⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+

=

uGMMBGMMGMMBGMM

uGBGBBGBGBBx

FBFBAFBFBANx

&

&

cckkkk

cckkkk

cckk

cckk

cckk

cckk

βββββββ

ααααααα

βββββ

ααααα

βββββ

ααααα

(6.82)

Dacă, în urma secţionării circuitului, ambele laturi ale fiecărei surse comandate aparţin unui singur multipol, α sau β, atunci matricele ccc

βαα FGF ,, şi cβG au toate elementele nule, ceea ce conduce la simplificări în structurile (6.81),

(6.82). În cazul general însă, apare etapa suplimentară a scrierii ecuaţiilor (6.77), (6.78). Utilizarea metodei topologice bazată pe selectarea unui arbore normal comun în graful de curent şi în cel de tensiune, apelându-se la scheme echivalente cu elemente dipolare ale surselor comandate, în vederea obţinerii ecuaţiilor (6.79), (6.80) nu mai este posibilă, fiind indicate alte metode.

6.15. Circuite cu cuplaje mutuale Se consideră cazul în care există cuplaje mutuale, într-un număr oarecare, între bobine situate într-un acelaşi multipol sau în multipoli diferiţi. Simularea cuplajelor magnetice cu ajutorul unor surse ideale de tensiune comandate în curent nu impietează asupra exprimării variabilelor în exces în funcţie de variabilele de stare şi mărimile de excitaţie. Se presupune existenţa unor coarde de bobine ),...,2,1( αα ljLj = , aparţinând multipolului α, cuplate magnetic cu bobine ce aparţin multipolului β şi, eventual, cu bobine din multipolul α. Se admite şi existenţa unor coarde de bobine

),...,2,1( ββ lpLp = , aparţinând multipolului β, cuplate magnetic cu bobine ce aparţin multipolului α şi, eventual, cu bobine din multipolul β (fig. 6.20.a).


162

Coardele de bobine anterior considerate pot fi cuplate magnetic atât cu bobine coarde cât şi cu bobine ramuri aparţinând multipolilor α şi β. Acest fapt este sugerat în fig. 6.20.a prin folosirea liniilor îngroşate în desenarea ramurilor şi a liniilor subţiri în desenarea coardelor. Sursele fictive introduse în urma secţionării au fost reprezentate schematic prin blocurile JT vv βα , . În fig. 6.20.b se sugerează simularea cuplajelor magnetice cu ajutorul surselor ideale de tensiune comandate în curent, )( ,, pmjm uu βα reprezentând suma

algebrică, la un moment dat, a tensiunilor induse în bobina )( pj LL βα de curenţii ce parcurg bobinele cu care aceasta este cuplată magnetic. Expresiile mărimilor jmu ,

α şi pmu ,β vor conţine derivatele în raport cu timpul

ale unora din curenţii bobinelor coarde (variabile de stare), precum şi derivatele unora din curenţii bobinelor ramuri (variabile în exces), înmulţite cu inductivităţile de cuplaj mutual corespunzătoare. Substituirea variabilelor în exces, în funcţie de variabilele de stare şi mărimile de intrare, conduce la apariţia derivatelor în raport cu timpul ale curenţilor unora dintre sursele ideale independente de curent, în expresiile mărimilor pmjm uu ,, , βα .

(a)

jxα

(α)

*

jLα *

*

pxβ

(β)

*

pLβ

*

*

JβvT

αv

Fig. 6.20

(b)

pmu ,β

jmu ,α

jxα

(α)

jLα pxβ

(β)

pLβ

JβvT

αv


163

Se definesc vectorii mαu , respectiv m

βu , ca matrice coloană ce conţin

mărimile ),...,2,1(,αα lju jm = , respectiv ),...,2,1(,

ββ lpu pm = . Conform precizărilor de mai sus, rezultă expresiile: βαβαααβαβαααα uHuHxLxLu &&&& mmmmm +++= , (6.83)

βββαβαβββαβαβ uHuHxLxLu &&&& mmmmm +++= , (6.84)

unde )( mm

ββαα LL este matricea care conţine inductivităţile de cuplaj mutual între bobine ce aparţin multipolului α (β), precum şi un număr de coloane cu elemente nule egal cu numărul condensatoarelor esenţiale din multipolul α (β) plus numărul bobinelor esenţiale necuplate magnetic conţinute de multipolul α (β) plus numărul bobinelor esenţiale ce aparţin multipolului α (β) şi sunt cuplate magnetic numai cu bobine din multipolul β (α); )( mm

βααβ LL este matricea care conţine inductivităţile de cuplaj mutual între bobine esenţiale ce aparţin multipolului α (β) şi bobine esenţiale ce aparţin multipolului β (α), precum şi un număr de coloane cu elemente nule egal cu numărul condensatoarelor esenţiale din multipolul β (α) plus numărul bobinelor esenţiale necuplate magnetic din multipolul β (α) plus numărul bobinelor esenţiale aparţinând multipolului β (α) şi cuplate magnetic numai cu bobine din multipolul β (α); mmmm

βββααβαα HHHH ,,, sunt matrice care apar în exprimarea formulelor (6.83) şi (6.84), atunci când există surse de curent incidente la nodurile de bobine, elementele în exces legate la aceste noduri fiind cuplate magnetic. Cu notaţiile

,, mmmmmmβββαβαβααα LLLLLL == (6.85)

,, mmmmmmβββαβαβααα HHHHHH == (6.86)

ecuaţiile (6.83) şi (6.84) se pot scrie în formă compactă

uHxLu && mmmααα += , (6.87)

uHxLu && mmmβββ += . (6.88)

Presupunând cazul general, în care cei doi multipoli conţin elemente în exces şi surse comandate, mărimile conţinute de vectorii m

αu şi mβu se consideră ca

mărimi de intrare, ecuaţiile de stare ale multipolului α, respectiv β, fiind:


164

ccTTmmccTTααααααααααααααααα uMuMvMuBuBuBvBxAx &&&& +++++++= , (6.89)

respectiv

ccTTmmccJJβββββββββββββββββ uMuMvMuBuBuBvBxAx &&&& +++++++= , (6.90)

în care s-au folosit notaţiile din paragraful anterior. Substituirea vectorilor T

αv , respectiv Jβv , se face conform relaţiei (6.64),

adaptată prin modificarea indicilor, după cum urmează:

( ) ( )Tkαα → , respectiv ( ) ( )Jk

βα → .

Vectorii cαu , respectiv c

βu , asociaţi surselor comandate, se exprimă prin relaţiile (6.77), respectiv (6.78), apoi se substituie în ecuaţiile (6.89), respectiv (6.90). Relaţiile (6.83), respectiv (6.84), vor fi utilizate pentru substituirea vectorilor

mαu , respectiv m

βu , în ecuaţiile (6.89), respectiv (6.90). Pentru exemplificare, se va considera circuitul din fig. 6.21, în care există secţiunea de bobine şi sursă independentă de curent ),,,( 421 JiLLL , bobina 4L fiind aleasă ca element în exces, deci ramură în arborele normal. Bobinele 53, LL şi

4L sunt cuplate magnetic între ele, cuplajele fiind statice.

Cu sensurile de parcurs indicate, sensuri ce vor fi păstrate şi în scrierea ecuaţiilor de stare, rezultă

,345352341343

Jm iLxLxLxLu &&&& +++=− α

,5453434 xLxLum && +=− α

Fig. 6.21

L2

iJ

x3

E1

E2 x2 R2

R5

R1

L1 x1

R3

L5

x5

L3

C

L4

i4 * *

*

x4 γ x4

(k)

R4


165

,543532541545

Jm iLxLxLxLu &&&& +++=− β

indicii α, respectiv β, fiind asociaţi descompunerii în multipoli (fig. 6.22) prin despicarea nodului central (k).

Vectorii asociaţi tratării circuitului se definesc astfel:

[ ] [ ].,,,,, 21

5

4

3

2

15

4

3Ei

Exx

xxx

uuu

J

mmm

mm =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= βαβαββ

α

αα uuxxuu

Ţinând seama de relaţiile (6.83), (6.84), (6.85) şi (6.86), cu notaţii evidente pentru inductivităţile de cuplaj mutual, rezultă

.,

,,

54535454

34

4543

353434

LLLL

LLLLLL

mm

mm

=−=−

=−=−

ββ

αα

HL

HL

Întrucât multipolul α nu conţine laturi de surse comandate, iar multipolul β nu are elemente în exces, rezultă

,,,, 0M0M0M0B ==== ββααccc

ceea ce conduce la simplificarea formală a ecuaţiilor (6.89) şi (6.90), cu atât mai pronunţată cu cât nu există bucle de condensatoare secţionate de suprafaţa ce a despicat nodul (k), nici ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive de curent.

5muβ

4muα

Fig. 6.22

)( αk )( βk

Jv 1β

Jv 2β

Tv 1α

Tv 2α

3muα

L2

iJ

R3

E1

x2

L1

x3

L4

L3

R2

C

x5

L5

R5

x4 E2

γ x4

R4 R1

(α) (β)


166

Determinarea vectorilor surselor fictive

[ ] [ ] ,,t

21t

21JJJTTT vvvv βββααα == vv

se poate face pe cale diakoptică, sau folosind un circuit rezistiv auxiliar (fig. 6.23) obţinut din circuitul iniţial prin înlocuirea bobinelor cu surse ideale de curent şi a condensatoarelor cu surse ideale de tensiune.

Expresiile mărimilor de calcul JT vv 22 , βα rezultă imediat, prin simpla examinare vizuală a schemei auxiliare. Aplicarea teoremei lui Thévenin permite obţinerea mărimii Jv 1β , iar calculul curentului prin rezistenţa 5R conduce la Tv 1α . Se obţin expresiile

,11

1

1

,1

1

)()1)((

155111

31515

315531515151

uxv

u

xv

ΔΔΔΔΔγ

ΔΔΔ

ΔΔΔ

ΔΔγ

ΔΔΔ

β

α

−−−+

−−−−=

+−−+

+−

+−+−−−=

RRRRRR

RRRRR

RRRRRRRRRRRR

J

T

în care 531 RRR ++=Δ . Scrierea ecuaţiilor (6.89) şi (6.90), urmată de substituirea mărimilor anterior determinate, conduce la ecuaţia de stare a întregului circuit analizat.

Jv 2β

Tv 2α

Jv 1β

Tv 1αR4

Fig. 6.23

iJ

x3

E1

E2

x2 R2

R5

R1

x1

R3

x5

x4

i4

γ x4


167

6.16. Secţionări multiple în circuite liniare Pentru circuitele cu număr mare de laturi şi noduri, cu ordin de complexitate relativ ridicat, este recomandabilă descompunerea acestora într-un număr n de multipoli, astfel încât scrierea ecuaţiei de stare pentru fiecare dintre ei să nu constituie o dificultate. Prin despicarea succesivă a unui număr )1( −n de noduri centrale ale arborelui şi introducerea surselor fictive de tensiune şi de curent, se ajunge la situaţia prezentată în fig. 6.24, unde s-a sugerat faptul că, în general, la accesurile unui multipol se pot introduce atât surse fictive de tensiune, cât şi surse fictive de curent.

Vectorii asociaţi surselor fictive de tensiune (curent) au fost notaţi cu

)( Jj

Tj vv , pentru multipolul ),...,2,1( njj = , în cazul general având expresiile:

,uMuGxFxEv && Tj

Tj

Tj

Tj

Tj +++= (6.91)

,uMuGxFxEv && Jj

Jj

Jj

Jj

Jj +++= (6.92)

indicele inferior j arătând apartenenţa surselor fictive la multipolul )( j .

Conform celor precizate în §6.14, vectorul mărimilor de ieşire cju , ale acelor

surse comandate pentru care latura comandată aparţine multipolului )( j , este exprimabil în forma

uGxFu cj

cj

cj += . (6.93)

Fig. 6.24

J1v

T1v

T2v

J2v

(1)

(2)

Jjv

Tjv ( j )

Jnv

Tnv

( n )


168

Simularea cuplajelor mutuale se poate face cu ajutorul unor surse ideale de tensiune comandate în curent, caz în care vectorul m

ju asociat acestor surse, din multipolul )( j , are expresia

uHxLu && mj

mj

mj += . (6.94)

În general, fiecare din cei n multipoli poate conţine laturi cuplate magnetic, surse comandate şi elemente în exces. Rezultă că ecuaţia de stare a fiecărui multipol este de tipul (3.89). Cele n ecuaţii de acest tip se grupează în forma compactă

ccJe

JTe

TmmccJJTT uMuMvMvMuBuBuBvBvBxAx &&&&& +++++++++= /// (6.95) în care apar matrice şi vectori a căror construcţie şi semnificaţie se precizează în cele ce urmează. Matricele din ecuaţia (6.95) au structura

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Jn

Jj

J

J

Tn

Tj

T

T

n

j

B

B

B

B

B

B

B

B

A

A

A

AO

O

O

O

O

O111

/ ,, etc., (6.96)

partiţiile nenule, plasate în diagonală, corespunzând celor n multipoli. Vectorii din ecuaţia (6.95) au următoarea alcătuire

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Tn

Tj

T

T

mn

mj

m

m

cn

cj

c

c

n

j

n

j

v

v

v

v

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

x

x

x

xM

M

M

M

M

M

M

M

M

M11111

,,,, etc. (6.97)

Vectorii Tev , respectiv J

ev , conţin mărimile asociate surselor fictive de tensiune, respectiv de curent, introduse în urma secţionării unor bucle de condensatoare (v. §6.12), respectiv a unor coarde de bobine incidente la noduri de bobine (v. §6.13). Exprimarea acestor vectori, în funcţie de mărimile de stare şi de intrare, conduce la:

uGxFv Te

Te

Te += , (6.98)

uGxFv Je

Je

Je += . (6.99)

Scrierea ecuaţiilor (6.91), (6.92) pentru fiecare din cei n multipoli, permite exprimarea compactă a vectorilor asociaţi tuturor surselor fictive:


169

uMuGxFxEv && TTTTT +++= , (6.100)

uMuGxFxEv && JJJJJ +++= . (6.101)

Procedând similar, pentru ecuaţiile (6.93), respectiv (6.94) se obţin relaţiile:

uGxFu ccc += , (6.102) respectiv

uHxLu && mmm += . (6.103)

Utilizarea relaţiilor de substituţie (6.98)-(6.103) permite aducerea ecuaţiei (6.95) la forma canonică

( ) ( )[( ) ],/

//

uGMGMGMHBMBMBM

uGBGBGBBxFBFBFBANx

&

&

ccJe

JTe

TmmJJTT

ccJJTTccJJTT

+++++++

++++++++= (6.104)

în care s-a adoptat notaţia

( ) 1−−−−−−−= ccJ

eJT

eTmmJJTT FMFMFMLBEBEBIN , (6.105)

I fiind matricea unitate al cărui ordin este dat de numărul variabilelor de stare. Pentru diverse cazuri particulare, frecvent întâlnite în aplicaţiile tehnice, ecuaţia (6.104) şi matricea (6.105) capătă forme mai simple, după cum se arată în continuare.

Cazul 1: nodurile despicate sunt astfel alese încât nici o buclă de condensatoare sau coardă incidentă la un nod de bobine nu sunt secţionate. În acest caz, matricele TJT MEE ,, şi JM sunt nule, obţinându-se:

( ) 1−−−= ccmm FMLBIN , (6.106)

( ) ( )[

( ) ]./

//

uGMGMMBMBM

uGBGBBxFBFBFBANx

&

&

Je

JTe

TJJTT

JJTTccJJTT

+++++

+++++++= (6.107)

Cazul 2: circuitul nu conţine surse comandate, nici laturi cuplate magnetic. Rezultă că matricele mcc LGF ,, şi mH sunt nule, deci

( ) 1−−−−−= J

eJT

eTJJTT FMFMEBEBIN , (6.108)

( ) ( )[( ) ]./

//

uGMGMMBMBM

uGBGBBxFBFBANx

&

&

Je

JTe

TJJTT

JJTTJJTT

+++++

++++++= (6.109)

În acest caz nu a fost exclusă eventualitatea în care sunt secţionate bucle de


170

condensatoare şi coarde incidente la noduri de bobine, de către suprafeţele ce despică nodurile centrale. Cazul 3: circuitul fără elemente în exces, conţine surse comandate şi cuplaje magnetice. Se obţin formele particulare corespunzătoare:

( ) 1−−= mmLBIN , (6.110)

( ) ( )[ ]uGBGBGBBxFBFBFBANx ccJJTTccJJTT +++++++= //& . (6.111)

Cazul 4: nu există surse ideale de tensiune incidente la bucle de condensatoare, nici surse ideale de curent incidente la noduri de bobine. Ecuaţia de stare este de forma (6.111) în care

( ) 1−−−−−−= J

eJT

eTmmJJTT FMFMLBEBEBIN , (6.112)

Cazul 5: circuite fără elemente în exces, surse comandate şi (sau) laturi cuplate magnetic. Matricea N devine matrice unitate, conform cu (6.105), iar ecuaţia de stare va fi

( ) ( )uGBGBBxFBFBAx JJTTJJTT +++++= //& . (6.113) Există, desigur, cazuri particulare intermediare celor prezentate, particularizările pentru (6.104) şi (6.105) fiind imediate. Pentru circuitul din fig. 6.25, cu elemente în exces, surse comandate şi bobine cuplate magnetic, se exemplifică descompunerea în multipoli prin despicarea nodurilor centrale (k) şi (p). Desemnând bobina 3L şi condensatorul 4C ca elemente în exces, a fost selectat arborele normal indicat prin linii îngroşate. Fig. 6.25

R4

x3

x2

R2

R3

R1

S1

x1

R6 L5

x5 L3 L2

L1 *

E

*

x4 γ x4

C3

C1

δ x5

C2

C4

S2

x6

L4

x7

(p)

(k)

R5


171

În urma secţionării circuitului, cu suprafeţele 1S şi 2S , se obţin trei multipoli (fig. 6.26), al treilea conţinând şi sursele comandate care simulează cuplajul mutual.

Circuitul se poate încadra în cazul particular 4, prezentat anterior. 6.17. Abordarea diakoptică a circuitelor neliniare Se va considera cazul circuitelor neliniare de mare complexitate, cu elemente în exces, cuplaje magnetice şi surse comandate neliniare. Vectorul variabilelor de stare conţine tensiunile la bornele condensatoarelor ramuri Cx şi curenţii bobinelor coarde Lx . Se presupun cunoscute funcţiile neliniare ce descriu dependenţa sarcinilor condensatoarelor (curenţilor bobinelor) de tensiunile (fluxurile) acestora. Se admite că toate condensatoarele din circuit sunt controlate în tensiune, adică )( CCC ufq = , (6.114)

Fig. 6.26

13mu

Tv3

R4

δ x5 x6

L4

23mu

R6

L5

x7

Jv2

12Tv 2

2Tv

x3

x5

L1 x4

R2

(2)

C3

C2 C4

21Jv1

1Jv

L2 R3

x1

C1

(1)

x2

γ x4

L3

R1

(3)

E

R5


172

iar bobinele sunt controlate în curent, adică )( LLL if=ϕ . (6.115) Considerând că funcţiile de mai sus aparţin clasei de funcţii C1, curenţii condensatoarelor, respectiv tensiunile la bornele bobinelor necuplate magnetic, rezultă astfel:

)(dd

CdC tuCi = , respectiv )(

dd

LdL tiLu = , (6.116)

unde s-au folosit notaţiile: dC - matricea diagonală a capacităţilor dinamice, mărimi ce depind neliniar de tensiunile la bornele condensatoarelor; dL - matricea diagonală a inductivităţilor dinamice, parametri ce depind neliniar de curenţii bobinelor. Capacităţile şi inductivităţile dinamice se determină la fiecare pas de integrare a ecuaţiilor de stare, pe baza dependenţelor (6.114) şi (6.115), cunoscute sub formă analitică, grafică sau tabelară. Pentru rezistoarele neliniare ale circuitului, controlate în tensiune sau în curent, se presupune că funcţiile neliniare ce descriu dependenţa iu − sunt monotone. În cazul surselor comandate neliniare, se consideră cunoscute funcţiile ce descriu dependenţa neliniară dintre mărimea comandată şi mărimea de comandă. În vederea aplicării metodei secţionărilor multiple, se selectează iniţial un arbore normal al circuitului analizat, cuprinzând: 1r - ramuri de surse ideale independente de tensiune, 2r - ramuri de condensatoare (în număr maxim posibil), 3r - ramuri de rezistoare (număr maxim posibil de rezistoare controlate în tensiune şi număr minim posibil de rezistoare controlate în curent), 4r - ramuri de bobine (în număr minim posibil). Coardele aparţinând coarborelui normal vor fi: 1c - coarde de condensatoare (în număr minim posibil), 2c - coarde de rezistoare (număr maxim posibil de rezistoare controlate în curent şi număr minim posibil de rezistoare controlate în tensiune), 3c - coarde de bobine (în număr maxim posibil), 4c - coarde de surse ideale independente de curent. Laturile elementelor de circuit multiterminale se vor atribui arborelui sau coarborelui, în conformitate cu cele precizate în §6.8. Simularea cuplajelor mutuale se va efectua aşa cum s-a arătat în §6.15, în exprimarea tensiunilor surselor comandate folosite pentru simulare intervenind inductivităţile dinamice de cuplaj mutual, mărimi ce depind neliniar de curenţii ce parcurg bobinele cuplate magnetic.


173

În urma despicării unui număr )1( −n de noduri centrale ale arborelui normal, însoţită de introducerea unor seturi de surse fictive adecvate, circuitul analizat se descompune în n multipoli (fig. 6.24). Unui multipol, )( j de exemplu, îi revine un set de surse fictive de tensiune, ale căror tensiuni constituie elementele vectorului T

jv , precum şi un set de surse fictive de curent, ai căror curenţi sunt

grupaţi în vectorul Jjv . Elementele vectorilor T

jv , respectiv Jjv , se ordonează

astfel:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= T

j

TjT

j2

1

vv

v , respectiv ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= J

j

JjJ

j2

1

vv

v , (6.117)

în care: T

j1v corespunde acelor surse fictive de tensiune pentru care nici o ramură de bobină nu este incidentă la buclele surselor fictive pereche de curent; T

j2v corespunde acelor surse fictive de tensiune pentru care există ramuri de bobine incidente la buclele surselor fictive pereche de curent; J

j1v corespunde surselor fictive de curent introduse în urma secţionării coardelor de rezistoare, bobine sau surse ideale independente de curent; J

j2v corespunde surselor fictive de curent introduse în urma secţionării coardelor de condensatoare. Fie 21, jj ΓΓ , respectiv 21, jj ΣΣ , matricele de incidenţă a ramurilor la buclele surselor fictive de curent, respectiv a coardelor la suprafeţele de secţionare, definite ca în §2.2.5. Conform precizărilor de mai sus, rezultă:

,, 2211

La

Ra

C

E

jTj

Ra

C

E

jTj

uuxu

Γvuxu

Γv == (6.118)

respectiv

,,

0

2211

ixii

Σvixi

ΣvL

Rc

Cc

jJj

J

L

Rc

jJj == (6.119)

unde: )( 0iuE este vectorul tensiunilor (curenţilor) surselor ideale independente de tensiune (curent); )( LC xx este vectorul tensiunilor (curenţilor) condensatoarelor (bobinelor) esenţiale;


174

)( LaRa uu este vectorul tensiunilor ramurilor de rezistoare (bobine) incidente la buclele surselor fictive de curent; )( CcRc ii este vectorul curenţilor coardelor de rezistoare (condensatoare) incidente la suprafeţele ce despică nodurile arborelui normal. Dacă se asociază, circuitului analizat, un circuit rezistiv auxiliar obţinut din circuitul iniţial prin înlocuirea condensatoarelor (bobinelor) ramuri cu surse ideale de tensiune (curent) şi îndepărtarea (scurtcircuitarea) elementelor în exces de tip condensator (bobină), rezolvarea circuitului rezistiv auxiliar în raport cu Rau şi Rci conduce la expresiile

uDxCu Tj

TjRa += , (6.120)

uDxCi Jj

JjRc += , (6.121)

în care Jj

Jj

Tj

Tj DCDC ,,, sunt matrice neliniare ce conţin rezistenţe şi conductanţe

statice ale rezistoarelor neliniare. Soluţiile (6.120) şi (6.121) sunt unice, dacă rezistoarele neliniare au caracteristicile iu − monotone. Admiţând existenţa unor noduri la care sunt incidente doar bobine şi surse ideale de curent, precum şi a unor bucle de condensatoare şi surse ideale de tensiune, rezultă ( )uMxELu && LLdaLa += , (6.122) respectiv ( )uMxECi && CCdcCc += , (6.123) unde ( )dcda CL este matricea neliniară a inductivităţilor (capacităţilor) diferenţiale ale bobinelor (condensatoarelor) în exces, CCLL MEME ,,, sunt matrice de incidenţă. Substituirea expresiilor (6.120) şi (6.122) în (6.118) permite obţinerea vectorului T

jv în structura (6.117). Substituirea expresiilor (6.121) şi (6.123) în

(6.119) conduce la obţinerea vectorului Jjv în forma (6.117).

Fie jku mărimea de ieşire (tensiune sau curent) a unei surse comandate

neliniare, a cărei latură comandată aparţine multipolului )( j . Cu cikm se va nota

mărimea de comandă (tensiunea sau curentul porţii de intrare) a acestei surse, exprimabilă sub forma

uDxC ck

ck

cikm += , (6.124)

deci ca mărime de ieşire în circuitul analizat, ckC şi c

kD fiind matrice, în general


175

neliniare. Fie cjkf funcţia neliniară ce leagă mărimea de ieşire de cea de intrare

( )cik

cjk

cjk mfu = . (6.125)

Prin definiţie, transmitanţa de transfer de la poarta de intrare a sursei comandate la cea de ieşire este:

( ) ( )cik

cik

cjkc

ikcjk m

mfmt = . (6.126)

În funcţie de natura mărimii de comandă şi a celei comandate, transmitanţa

cjkt poate fi: rezistenţă de transfer, conductanţă de transfer, factor de transfer în

tensiune sau factor de transfer în curent. Din relaţiile (6.124)-(6.126), rezultă: ( )uDxC c

kck

cjk

cjk tu += . (6.127)

Cu notaţiile

ck

cjk

cjk t CF = şi c

kcjk

cjk t DG = , (6.128)

rezultă

uGxF cjk

cjk

cjku += . (6.129)

Dacă pentru fiecare din laturile comandate aparţinând multipolului j, se obţine o relaţie de tipul (6.129), notând cu c

ju vectorul mărimilor specificate pentru aceste

laturi, se ajunge la relaţia (6.93), matricele cj

cj GF , fiind însă neliniare.

Pentru vectorul mju al tensiunilor surselor comandate ce simulează cuplajele

mutuale, se ajunge la relaţia (6.94), în care: m

jL este matricea care conţine inductivităţile dinamice de cuplaj mutual;

mjH este o matrice nenulă doar când există surse ideale independente de

curent incidente la noduri de bobine, dintre care cel puţin una este cuplată magnetic. Considerând elementele vectorilor c

jJj

Tj uvv ,, şi m

ju ca mărimi de intrare pentru multipolul j, alături de tensiunile (curenţii) surselor ideale independente de tensiune (curent), se obţine ecuaţia de stare a acestui multipol, apoi ecuaţia întregului circuit analizat în forma (6.95). Deoarece matricele care intervin sunt, în general, neliniare, este necesar calculul inductivităţilor şi capacităţilor dinamice, precum şi al rezistenţelor sau conductanţelor statice la fiecare pas de integrare, pe baza caracteristicilor elementelor neliniare. Dacă se efectuează liniarizarea pe porţiuni a caracteristicilor elementelor neliniare, se poate obţine o precizie


176

mulţumitoare pentru marea majoritate a problemelor practice, într-un timp de calcul rezonabil. Pentru exemplificarea abordării diakoptice a circuitelor neliniare, se consideră schema electrică din fig. 6.27. Aceasta prezintă o buclă de condensatoare

),,( 321 CCC , un nod de bobine ),,( 654 LLL , două bobine cuplate magnetic ),( 32 LL , o sursă comandată neliniară )( ci , precum şi mai multe elemente neliniare

),,,( 6394 LCRR . Arborele normal selectat a fost indicat cu linie îngroşată. Suprafeţele 1S , respectiv 2S , despică nodurile centrale )(k , respectiv )( p . În urma secţionării şi a introducerii surselor fictive, rezultă cele trei scheme electrice din fig. 6.28, fiecare având ordinul de complexitate sensibil mai mic decât acela al circuitului iniţial. Sursele 1

2mu şi 2

2mu simulează cuplajul mutual.

Transmitanţa de la poarta de intrare a sursei comandate la cea de ieşire va fi

1

111

thx

xIt cc = .

Deoarece matricele mH şi cG au toate elementele nule, ecuaţia de stare se obţine în forma

Fig. 6.27

R7

x3

x8

R3

R5

S1

i0

L5

x9

*

e1

x4

1th xIi cc =

C3

R1

R8

R2

R4

S2

x5

L4

x7

(p)

*

L1

L3

x6

R10

R6

x2

x1 C1

C2

R9

C5 e3 L6

L2

e2

(k) C4


177

( ) ( )[ ]uGBFBGBBxFBFBFBANx ccJJTTccJJTT +++++++= //& ,

în care

( ) 1−−= mmLBIN .

Scrierea ecuaţiilor de stare pentru fiecare din circuitele (1), (2), şi (3) se face urmând procedura descrisă în §6.16, vectorul mărimilor de intrare fiind

[ ] t3201 eeie=u .

6.18. Calculul partiţiilor diakoptice ale vectorului de stare Abordarea diakoptică face posibil calculul separat al componentelor vectorului de stare asociate multipolilor în care a fost descompus prin secţionare circuitul analizat. În cazul descompunerii în doi multipoli, partiţionării vectorilor de stare şi de intrare asociaţi acestora, adică

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

2

1

2

1 , uuux

xx , (6.130)

Fig. 6.28

S1 S2

(1)

Jv1

x3

R3

i0

e1

cu1

C3

R1

R4

L1

x2

x1

C1

C2

Jv2

12mu

R5

x4

R2

R6

L2

e2

R7

x5L322mu

Tv2

x8

L5

x9

R8

L4

x6

R10

R9

C5

e3

L6 Tv3

C4

x7

(3) (2)


178

le corespunde partiţionarea adecvată a matricelor din ecuaţia de stare (5.20), adică

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

2221

1211

2221

1211 , BBBBBAA

AAA . (6.131)

Partiţiile matricelor A şi B se sintetizează cu ajutorul matricelor, de dimensiuni reduse, ce intervin în ecuaţiile multipolilor componenţi. În vederea calculului selectiv al partiţiilor vectorului de stare se va determina matricea T care realizează transformarea )()(ˆ tt xTx ⋅= , (6.132)

astfel încât

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= )(ˆ

)(ˆ)(ˆ2

1ttt x

xx , (6.133)

iar în ecuaţia

uBxAx ˆˆˆ)(ˆ +=t& (6.134)

matricea A să fie de forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

1211ˆˆˆˆA0AAA , (6.135)

deci cu partiţia 21A având toate elementele nule. Din ecuaţiile (5.20) şi (6.134), ţinând seama de transformarea (6.132), rezultă

1ˆ −= TATA şi TBB =ˆ . (6.136) Relaţiile (6.132) şi (6.133) impun forma particulară a matricei căutate:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2221

1TT0IT , (6.137)

unde 1I este matricea unitate având dimensiunea adecvată vectorului 1x . Relaţiile (6.136) şi (6.137) conduc la egalitatea:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 12221

122

1

2221

1211

2221

1

22

1211ˆˆˆ

TTT0I

AAAA

TT0I

A0AA . (6.138)

De aici rezultă ZTT 2221 −= , (6.139)


179

în care

#LLZ 12= , (6.140)

cu notaţiile

[ ] [ ]2221212111 , AALAAL == , (6.141) pseudoinversa matricei 1L fiind

[ ] 1t11

t11

−= LLLL# , (6.142)

existentă dacă rangul acesteia este maxim şi egal cu numărul elementelor vectorului 1x . Fără a micşora generalitatea soluţiei obţinute, se poate alege 222 IT = , adică o matrice unitate cu dimensiunea adaptată vectorului 2x . Matricea care operează transformarea (6.132) va fi deci

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

2

1IZ0IT , (6.143)

cu inversa

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−

2

11IZ0IT . (6.144)

Din relaţia (6.132), ţinând seama de (6.144), rezultă )(ˆ)()( 212 ttt xxZx += . (6.145) Soluţia generală a ecuaţiei (6.134) va fi de forma (5.21), adică:

∫ −− +=t

t

ttt tt0

0 d)(ˆe)(ˆe)( )(ˆ0

)(ˆ τττ uBxx AA , (6.146)

pentru momentul iniţial 0t fiind valabilă relaţia )()(ˆ 00 tt xTx = , (6.147) sau, ţinând seama de (6.145), se obţine:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−= )()()()(ˆ

0102

010 tt

tt xZxxx . (6.148)

Soluţia ecuaţiei (6.134) se poate pune sub forma


180

[ ] )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ 000 tttttt pp xxxΦx +−−= , (6.149) convenabilă dacă se poate determina o soluţie particulară )(ˆ tpx a ecuaţiei (6.134). S-a folosit notaţia

)(ˆ0

0e)(ˆ tttt −=− AΦ . (6.150) Ţinând seama de transformarea (6.132), matricea de tranziţie se poate calcula astfel

TΦTΦ )(ˆ)( 01

0 tttt −=− − . (6.151)

Calculul matricei )(ˆ tΦ este mai simplu decât al matricei )(tΦ , dată fiind forma particulară a matricei A , care face ca valorile proprii necesare să se obţină ca o reuniune a valorilor proprii ale matricelor 12A şi 22A , cu dimensiuni reduse faţă de A . Transformarea (6.132), cu condiţia suplimentară (6.135), conduce la

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+=

1222

121211ˆZAA0

AZAAA , (6.152)

respectiv

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−=2

1

12221121

1211ˆˆˆBB

ZBBZBBBBB . (6.153)

Ecuaţia matriceal-vectorială (6.134) se poate descompune în două ecuaţii satisfăcute de partiţiile diakoptice ale vectorului de stare

21211111 ˆˆˆ xAuBxAx ++=& , (6.154)

uBAx 2222ˆˆˆ +=& , (6.155)

cu condiţia

)()()(ˆ 010202 ttt xZxx −= , (6.156) conformă cu relaţia (6.145). Soluţia generală a ecuaţiei (6.155) este de forma cunoscută

∫ −− +=t

t

ttt tt0

22022 d)(ˆe)(ˆe)(ˆ 2)(ˆ

02)(ˆ

2 τττ uBxx AA , (6.157)

sau


181

[ ] )(ˆ)(ˆ)(ˆe)(ˆ 20202)(ˆ

2022 tttt pp

tt xxxx A +−= − , (6.158) dacă se poate găsi o soluţie particulară )(ˆ 2 tpx a acestei ecuaţii. Cunoscându-se )(ˆ 2 tx , se poate calcula prima partiţie diakoptică a vectorului de stare:

[ ]∫ ++= −−t

t

ttt tt0

11011 d)(ˆ)(ˆe)(e)( 2121)(ˆ

01)(ˆ

1 ττττ xAuBxx AA (6.159)

sau

[ ] )()()(e)( 10101)(ˆ

1011 tttt pp

tt xxxx A +−= − , (6.160) dacă se poate afla o soluţie particulară )(1 tpx a ecuaţiei (6.154). A doua partiţie diakoptică a vectorului de stare rezultă simplu din relaţia (6.145), cu )(1 tx şi )(ˆ 2 tx calculaţi anterior. De menţionat că, la descompunerea în multipoli, fiecare matrice de tranziţie are dimensiuni reduse, corespunzătoare numărului elementelor cu memorie conţinute de fiecare multipol.

6. analiza diakopticĂ În spaŢiul stĂrilorautomation.ucv.ro/romana/cursuri/beab12/6...

Documents