Unde de materie şi ecuaţia lui SchrodingerFundamentarea mecanicii cuantice se situează între anii 1923 şi 1927.

Mecanica ondulatorie a lui Schrodinger are ca origine lucrările lui Luis de Broglie asupra undelor de materie. Încercând să stabilească bazele unei teorii unificate a materiei şi radiaţiei, de Broglie a emis ipoteza că dualitatea undă - corpuscul este o proprietate generală a obiectelor microscopice şi că materia prezintă, ca şi lumina, un dublu aspect ondulatoriu şi corpuscular.

2.1. Unde de materie Dublu aspect ondulatoriu şi corpuscular al luminii constituie una dintre

manifestările cele mai frapante ale apariţiei cuantelor în fizică. Materia posedă un astfel de caracter dual; tot aşa cum fiecărei particule foton

îi este ataşata o unda electromagnetica, asociem fiecărui particule materiale o unda a cărei pulsaţie este legată de energia E a particulei prin relaţia lui Einstein E =ħ.

Teoria unificată susţine că materia şi radiaţia sunt varietăţi diferite ale unui singur tip de obiect, posedând un dublu caracter, ondulatoriu şi corpuscular.

Pachet de unde. Viteza de fază şi viteza de grup

      unda plană monocromatică care reprezintă o vibraţie de lungime de undă propagându-se în direcţia vectorului său de undă cu viteza constantă.

Viteza considerată aici este viteza de propagare a unor unde plane de fază identică, sau viteza de fază

Pulsaţia este independentă de direcţia lui , dar poate depinde eventual de lungimea acestui vector.

Prin ipoteză, fiecare pulsaţie corespunde unei energii bine definite a particulei

Este deci natural să asociem unda cu o mişcare rectilinie şi uniformă de energie E, dirijată paralel cu .

Examinarea aproximaţiei clasice ne va permite să facem o corelare între şi impulsul al particulei.

"mişcarea" unui pachet de unde poate fi asimilată cu mişcarea particulei. clasice.

Tocmai această viteză de grup , şi nu viteza de fază , este aceea care, trebuie identificată cu viteza particulei.

trkie

k

2 k

kv

k

E

k

k

p

gv v

dp

dEv

stanerelativiaaproximatiinm

p

relaţia de Broglie

Tratarea precedentă nu depinde în nici un fel de aproximaţia nerelativistă. Principiul relativităţii permite definirea fără arbitrar a energiei şi a pulsaţiei care îi corespunde.

h

kp

kp

E

2242 cpcmE

Ecuaţia lui Schrodinger Legea de conservare a numărului de particule      numărul de fotoni poate varia în decursul timpului prin emisie sau absorbţie.       numărul de electroni şi, mai general, numărul de particule materiale elementare rămâne constant. Necesitatea unei ecuaţii de undă şi condiţiile impuse acestei ecuaţiiPostulăm că:      funcţia de undă a unui sistem cuantic defineşte complet starea sa dinamică, ( toate previziunile care pot fi făcute cu privire la diversele proprietăţi dinamice ale sistemului la in moment dat t se deduc din cunoaşterea lui în acel moment).Pentru a rezolva această problemă, trebuie să cunoaştem ecuaţia de propagare a undei . Nici un fel de raţionament deductiv nu ne permite să ajungem la această ecuaţie. Ca şi orice altă ecuaţie a fizicii matematice, ea trebuie postulată şi unica sa justificare rezidă în succesul pe care îl are în confruntarea prezicerilor făcute pe baza ei cu rezultatele experimentale.

tr ,

tr ,

tr ,

Condiţii impuse funcţiei de undă .

•Ecuaţia trebuie să fie liniară şi omogenă; unda are astfel proprietatea de superpoziţie caracteristică undelor în general, şi anume că dacă şi sunt soluţii ale ecuaţiei, orice combinaţie liniară , a acestor funcţii este de asemenea a soluţie.

•Ecuaţia trebuie să fie o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi în raport cu timpul; în acest fel, cunoaşterea lui la un moment iniţial dat este suficientă pentru determinarea evoluţiei sale ulterioare, în conformitate cu ipoteza că starea dinamică a sistemului fizic este determinată în întregime prin definirea lui .

Pe de altă parte, previziunile teoriei trebuie să se confunde cu cele ale mecanicii clasice în domeniul de valabilitate al acesteia din urmă. (principiul de corespondenţă).

tx,

1 22211

Ecuaţia de undă a unei particule libereTeoria undelor de materie permite să se scrie ecuaţia de undă riguroasă a unei

particule libere (în aproximaţia nerelativistă). Unda este a suprapunere de unde plane monocromatice a căror pulsaţie este legată de

vectorul de undă prin relaţia care leagă impulsul de energia unei particule de masă m, .

Luând derivatele parţiale ale celor doi membrii ai ecuaţiei - se obţine succesiv: Aceasta este ecuaţia lui Schrodinger pentru particula liberă;  

tr ,

pdepFtrEtrpi

,

Etrpi

e

E

p

m

pE

2

2

pdepEFtrt

iEtrp

i

,

pdeppFtri

Etrpi ,

pdepFptr

Etrpi

22 ,

trm

trt

i ,2

,2

ip

tiE

Particula într-un potenţial scalarPentru a scrie ecuaţia de undă a unei particule într-un potenţial V(r) vom

considera că centrul pachetului se deplasează ca o particulă clasică, poziţia, impulsul şi energia căreia vor fi notate cu , şi respectiv . Aceste mărimi sunt legate între ele prin relaţia

Aşadar

Şi, aplicând acestei relaţii divergenţa, obţinem

Combinând ultimele patru relaţii, obţinem

Aceasta este ecuaţia de undă a unei particule într-un potenţial V(r), sau

clr

clp

clE

clclcl rV

m

pE

2

2

trEtrt

i cl ,,

trtptri cl ,,

trptr cl ,, 22

022

22

clcl

cl rVm

pEV

mti

trrVm

trt

i ,2

,2

Ecuaţia Schrodinger independentă de timp Ecuaţia lui Schrodinger a unui sistem cuantic se scrie

Care se numeşte ecuaţia lui Schrodinger independentă de timp.Vom presupune că hamiltonianul nu depinde explicit de timp. (cazul sistemelor conservative, sisteme clasice a căror energie este o constantă a mişcării).

O undă trebuie să aibă o pulsaţie bine determinată, cea dată de relaţia Einstein . va fi deci pus sub forma Unde depinde de coordonatele în spaţiul configuraţiilor dar nu depinde de timp.Când sistemul se află într-o stare reprezentată printr-o undă ca cea de mai sus, se spune că se află într-o stare staţionară de energie E, iar funcţia de undă independentă de timp este desemnată sub numele de funcţie de undă a stării staţionare, deşi funcţia de undă adevărată diferă de aceasta prin factorul de fază .

rVmt

i

2

2

Ht

i

02

2 rVE

m

hE

Eti

e

Eti

e

Eti

e

Particula liberă Particula liberă este considerată o particulă asupra căreia nu acţionează nici o

forţă externă.Se mai poate defini particula liberă ca o particulă care se mişcă intr-o regiune

în care energia potenţială, V, este constantă şi cum energia potenţială este definită până la o constantă arbitrară, se poate considera această constantă ca fiind V=0.

În condiţiile mişcării unidimensionale ecuaţia lui Schrodinger are forma  Aceasta este o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi. Soluţia acestei

ecuaţii este de forma

Coeficienţii A şi B pot fi găsiţi din condiţiile de normare, adică, presupunând că probabilitatea de a localiza particula în întreg spaţiul este certă.

Energia unei particule în mişcare este dată de relaţia dacă energia potenţială am considerat-o egală cu zero, această energie este

energia cinetică a particulei. Variabila k este numită numărul de undă şi este modulul vectorului de undă, care are direcţia mişcării particulei.

  

02

2

2

Em

dx

d

ikxikx BeAex 2

2

mE

k

m

kE

2

22

Bariera de potenţial 

Pentru a găsi efecte tipic cuantice, trebuie ca potenţialul V(x) să prezinte o variaţie relativ mare pe o distanţă de deplasare de ordinul unei lungimi de undă. Tipul cel mai simplu de potenţial care corespunde acestor condiţii este potenţialul de formă în treaptă (sau potenţialul de formă pătrată): acesta este un potenţial care prezintă discontinuităţi de speţa întâi (adică salturi bruşte cu valoare finită) în anumite puncte şi rămâne constant în tot restul domeniului. La fiecare discontinuitate a potenţialului V(x), prezintă un salt brusc, dar şi cu atât mai mult sunt funcţii continue peste tot.

Ecuaţia generală a lui Schrodinger se poate scrieSoluţia generală în această regiune este o combinaţie liniară de exponenţiale.  

Comportarea sa este foarte diferită după cum este pozitiv sau negativ.

 

Bariera depotenţial

Bariera depotenţial

Fig.Bariera de potenţial

 

2

0)(

22

2

xVEm

dx

d

ikxikx BeAex 2

2

xVEm

k

)(xVE

Dacă E.>Vo , funcţia de undă prezintă forme diferite în regiunile I şi II,

ca urmare a faptului că şi ecuaţia lui Schrodinger trebuie particularizată

  

În regiunea II funcţia de undă nu are termenul în deoarece se ignoră posibilitatea ca particula să vină de la (BII=0).

Obiectivul următor este evaluarea coeficienţilor de reflexie şi de transmisie, adică   

Coeficientul de reflexie se referă la raportul între amplitudinea undei reflectate şi amplitudinea undei incidente, pentru aceasta trebuie exprimaţi coeficienţii AI, BI şi AII, .

02

2

2

ii E

m

dx

d

0)(2

2

2

IIII xVE

m

dx

d

cu funcţiile de undă de forma:

 

ikxe

2

I

I

A

BR

2

1

2

I

II

A

A

k

kT

Prin exprimarea condiţiilor la frontiera x=0, adică continuitatea funcţiei de undăşi continuitatea derivatei funcţiei de undărezolvând ecuaţiile de mai sus putem scrie

IIII

ikII

ikI

ikI

III

ABA

eAeBeA

000 211

00

IIII

ikII

ikI

ikI

III

AkBkAk

eAikeBikeAik

211

02

01

01

211

0'0'

IIII BAkBkAk 211

IIII BkBkAkAk 2121

II BkkAkk 2121

21

21

kk

kk

A

B

I

I

 Sau

IIIIII AkAAkAk 211

IIIIII AkAkAkAk 2111

IIII AkkAk 212

21

12

kk

k

A

A

I

II

 

Vom exprima coeficienţii de transmisie şi de reflexie  

 

Cazul în care V0>E  

 

În regiunea II se înregistrează o scădere exponenţială probabilităţii de localizare a particulei. Coeficienţii A şi B se găsesc din condiţiile de continuitate pentru funcţia de undă şi derivatele saleşi  

  xq

IIII

II

II

IIeAx

VEmq

iqk

2

0

2

2

00 III 0'0' III

Bariera de potenţial de lărgime finităVariaţia de potenţial la o astfel de barieră este de forma   

Ecuaţia lui Schrodinger pentru cele trei regiunicu funcţiile de undă

xLpt

LxptV

xpt

xV

......0

0......

0......0

0

02

2

2

ii E

m

dx

d

0)(2

2

2

IIII xVE

m

dx

d

02

2

2

IIiIIi E

m

dx

d

   dacă E<Vo

  în regiune III există funcţie de undă deci există probabilitatea de a găsi particula şi după bariera de potenţial. Coeficientul de transmisie depinde de lărgimea şi înălţimea barierei. Acest fenomen de transparenţă a barierei se numeşte efect tunel.  

dacă E>Vo

 

Groapa de potenţialSoliţiile şi ecuaţiile lui Schrodinger în cazul groapei de potenţial infinit de adâncă, cu pereţi impenetrabili  

  

 

xLptV

Lxpt

xptV

xV

......

0......0

0......

2

1

 

unde energia particulei poate avea numai valori discrete

Se găseşte funcţia de undă