4147_217_261_39_1
DESCRIPTION
Culegere de probleme pentru studenti,in special capitole precum termodinamica,oscilatii,undeTRANSCRIPT
PAZARA TIBERIU
CULEGERE DE PROBLEME REZOLVATE DE FIZICĂ
PENTRU STUDENŢI
Editura Academiei Navale „Mircea cel Bătrân” Constanţa, 2009
CUPRINS
CAPITOLUL I
OSCILAŢII…………………………………………………….…. 7
CAPITOLUL II
UNDE ELASTICE ŞI ELECTROMAGNETICE …………….. 36
CAPITOLUL III
TERMODINAMICĂ ……………………………………………. 76
7
CAPITOLUL I
OSCILAŢII
1. Un punct material oscilează armonic cu amplitudinea A = 5cm şi perioada T = 4 s.
a) Să se găsească valorile maxime ale vitezei şi acceleraţiei de mişcare a punctului material.
b) Să se găsească momentul când viteza şi acceleraţia sunt maxime, faza iniţială a mişcării fiind α = 0.
a) cos( )x A t= ω + ϕ
122
sT
−π πω = =
sin( )dxv A tdt
= = −ω ω + ϕ
2 cos( )dva A tdt
= = −ω ω + ϕ
v = vmax max5sin( ) 1 ( 1)2
t v A A π⇔ ω + ϕ = − ⇒ = −ω ⋅ − = ω =
a = amax 2
2max
5cos( ) 14
t a A π⇔ ω + ϕ = ± ⇒ = ω =
b) deoarece φ = 0, condiţiile de maxim vor fi:
max sin 1 (2 1) 2 12
v v t t n t nπ= ⇔ ω = − ⇒ ω = + ⇒ = +
max cos 1 2 22
a a t t n t nπ= ⇔ ω = ± ⇒ ω = ⇒ =
unde 1
2s−πω =
2. Să se afle amplitudinea şi faza iniţială a mişcărilor descrise de următoarele ecuaţii:
a) 2( ) 20sin 15x t t=
b) ( ) 3 sin 6, 28 cos 6, 28x t t t= +
a) 0;10)30cos1(102
30cos120)(2
2cos1sin 2 =ϕ=⇒−=−
=⇒α−
=α Atttx
b) sin sin sin6,28 cos cos6,28
3 3 33 ( ) sin6,28 cos6,283 cos cos
3 3
t ttg x t t t
π π π+π= ⇒ = + = =
π π
8
cos 6, 283 2 cos 2 2 ;
3 3cos3
tt A
π − π π = = π − ⇒ = ϕ = − π
3. Un punct material execută o oscilaţie armonică după legea tttx 2cos2sin3)( −= . Care sunt
amplitudinea, perioada şi faza iniţială a mişcării?
sin sin sin 2 cos cos 23 3 3( ) tg sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
3 cos cos3 3
t tx t t t t t
π π π−π
= − = − = =π π
2 cos 23
t π = − −
Rezultă: 2A = − ; 2 22
T π π= = = π
ω;
3π
ϕ = − .
4. Faza iniţială a unui punct material aflat în mişcare oscilatorie armonică este nulă. La o elongaţie
1 2,4x cm= , viteza punctului material este 1 3 /v cm s= , iar la o elongaţie 2 2,8x cm= , viteza este
2 2 /v cm s= . Să se găsească ecuaţia de mişcare a punctului material.
sin( )x A t= ω + ϕ
Dar φ = 0 sinx A t⇒ = ω
Pentru a afla ecuaţia de mişcare trebuie determinate A şi ω.
cosdxv A tdt
= = ω ω
Din datele problemei se poate scrie:
1 1 1 1
2 2 2 2
sin ; cossin ; cos
x A t v A tx A t v A t
= ω = ω ω = ω = ω ω
( )( )
2 21 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 11 1
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1sin cos 1
sin cos 1 11
x vA x vt t A A
t t x v A x vA A
+ = +ω =ω + ω + ω = ω⇔ ⇔ ⇒
ω + ω = +ω =ω + + = ω
( )2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 1 2 2 2
2 1
v vx v x v x x v vx x
−⇒ ω + = ω + ⇒ ω − = − ⇒ ω =
−
Iar 2 2 2
1 121
x vA ω +=
+ ω
9
5. Energia totală a unui material ce execută o oscilaţie armonică este JEt5103 ⋅= . Forţa maximă
ce acţionează asupra lui este F = 1,5 10 –3 N. Să se scrie ecuaţia de mişcare dacă perioada de oscilaţie este T
= 2 s şi faza iniţială 3πφ = .
Legea de mişcare a corpului este: ( )ϕ+ω= tAtx sin)( .
Tπ
=ω2
Rămâne de determinat amplitudinea.
83
5
2
max104
2105,11032 ⋅=⇒=⋅⋅
⇒= − AAkA
kA
FEt
6. Amplitudinea de oscilaţie a unui punct material este
A = 2 cm, energia totală 33 10tE J−= ⋅ . Pentru ce elongaţie forţa elastică are valoarea 32,25 10 N−⋅ ?
kFxxkF e
e =∆⇒∆=
2
2 22 A
EkkAE tt =⇒=
cm
AEFx
t
e 5,122
==∆
7. Legea de oscilaţie a unui punct material de masă gm 2= este:
−= ttBx 10cos
3110sin , unde 35=B
Să se determine:
a) viteza maximă a punctului material în decursul oscilaţiei şi momentul de timp la care se realizează,
considerat din momentul în care a început mişcarea;
b) forţa maximă ce acţionează asupra punctului material în decursul mişcării.
a) =
π
−=
−= ttgtttBx 10cos
610sin3510cos
3110sin
π
−=π
π−π
=6
10sin10
6cos
10cos6
sin6
cos10sin35 t
tt
10
π−=
610cos100 tv
smvv /100max == pentru 60
16
10cos π=⇒=
π− tt
b) NAmkAF 22max =ω==
8. Un corp execută o mişcare dată de legea:
π+π=
46sin4)( 2 ttx [cm]
Să se demonstreze că mişcarea este una oscilatorie armonică şi să se calculeze amplitudinea, faza
iniţială, perioada şi viteza mişcării.
π+π−=
π
+π−⋅=
π+π=
212cos22
24
62cos14
46sin4)( 2 t
tttx
A = 2; 2π
=ϕ ; 6
2 π=ωπ=T ;
π+ππ=
212sin24 tv
9. Să se determine amplitudinea oscilaţiei armonice a unui corp dacă la un moment dat raportul
dintre pătratul vitezei şi acceleraţie are valoarea α, iar diferenţa dintre amplitudine şi elongaţie este β.
( )ϕ+ω= tAx sin
( )ϕ+ωω= tAv cos
( )ϕ+ωω−= tAa sin2
( )( )
( ) α−βα−β
β=⇒
β=ϕ+ω−
α=ϕ+ωω−ϕ+ωω
⇔
β=−
α=2
sinsin
cos2
2222
AtAAtAtA
xAav
10. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de două resorturi ideale identice, fiecare cu constanta
elastică N/m40=k , astfel încât la echilibru sistemul arată ca în figura de mai jos, valoarea unghiului α
fiind de 450. Să se determine:
a) alungirea resorturilor la echilibru;
b) perioada oscilaţiilor verticale ale corpului.
11
La echilibru:
sin sin 2 sin 2 sine e eF F mg F mg k y mgα + α = ⇔ α = ⇔ ∆ α =
unde Δy este alungirea.
22 sin 10
mgyk
⇒ ∆ = =α
2 2 22 5
k mTm k
π πω = ⇒ = = π =
ω
11. Un resort ideal, suspendat vertical, are legat la capătul liber un corp cu masa m1, perioada
oscilaţiilor armonice fiind T1. Dacă se adaugă o masă suplimentară m2, resortul se alungeşte cu h, iar
pendulul oscilează cu perioada T2. Ştiind că diferenţa între perioadele de oscilaţie este ΔT, să se afle:
constanta elastică a resortului, perioadele T1 şi T2, precum şi masa m2.
Din datele problemei se pot scrie următoarele ecuaţii:
11 1
1 1 1
2 2 mk k Tm T m k
πω = ⇔ = ⇒ = π
1 22 2
1 2 2 1 2
2 2 m mk k Tm m T m m k
+πω = ⇔ = ⇒ = π+ +
1k y m g∆ =
1 2( ) ( )k y h m m g∆ + = +
2 1T T T∆ = −
În aceste ecuaţii necunoscute sunt: y∆ , T1 şi T2, m2 şi k.
După ce se elimină y∆ , se află pe rând m2 :
12 22
2
mmg T
h T
=∆ π − π ∆
apoi T1 şi T2 şi k.
12. Un corp execută o mişcare oscilatorie dată de ecuaţia:
12
x = x0 (sinωt + 3
1 cosωt).
Să se afle:
a) amplitudinea (A) şi faza iniţială (φ) a mişcării oscilatorii
b) raportul dintre Ec şi Ep în momentul în care oscilatorul trece prin punctul de elongaţie x1=A/4.
0 0 0
00 0
sin1 6sin cos sin cos sin cos63 cos
6
sinsin cos sin cos 266 6 sin63 3cos
6 2
x x t t x t tg t x t t
tt t xx x t
π π = ω + ω = ω + ω = ω + ω = π
π π π ω +ω + ω π = = = ω + π
Rezultă: 02 ;63
xA π= ϕ =
2 2 2
; ;2 2 2c p t c p
mv kx kAE E E E E= = = + =
2 2 2
2 21
1 1 1
154 4 16;
2 2 2 2 2p c t p
A A kAk kkx kAE E E E
= = = − = − =
2
12
1
154
2 15
42
c
p
Ak
EE Ak
= =
13. Să se determine perioada şi pulsaţia unui corp cu masa
m = 5 kg suspendat de un resort ce se alungeşte sub acţiunea acestuia cu ∆x = 9,8 cm.
La echilibru:
1 2105e
k g gF mg k y mg s T sm y y
− π π= ⇒ ∆ = ⇒ = ⇒ω= = ⇒ = =
∆ ∆ ω
14. Să se determine amplitudinea şi faza iniţială a unei oscilaţii armonice dacă la momentul iniţial
corpul care execută mişcarea se află la distanţa x0 = 1cm faţă de poziţia de echilibru şi are viteza v0 = 0,6
cm/s, perioada mişcării fiind T = 3,14 s.
2Tπ
ω =
13
Din condiţiile iniţiale, la 0
0
(0)0:
(0)x x
tv v
== =
Deoarece este o mişcare armonică:
( ) sin( )x t A t= ω + ϕ
( ) cos( )dxv t A tdt
= = ω ω + ϕ
Atunci, condiţiile iniţiale devin:
0
0
sin(0) sin(0) cos cos
x Ax Av A v A
= ϕ= ϕ ⇔ = ω ϕ = ω ϕ
0 0 00
0 0
cossin
x v vv ctg arcctgx x
ω= ϕ ⇒ ϕ = ⇒ ϕ =
ϕ ω ω
Deci, 0
0
0
sin
xA varcctgx
=
ω
.
15. Un resort suspendat în punctul O are o lungime l = 40 cm. Un corp de greutate G = 20 N, atârnat
de celălalt capăt al resortului îi imprimă o alungire ∆l = 4 cm. Ridicând corpul astfel ca OA = 42 cm şi
lăsându-l liber, să se afle perioada de oscilaţie, forţa maximă de întindere a resortului şi să se scrie ecuaţia de
mişcare.
2eg lF mg k l mg Tl g
∆= ⇔ ∆ = ⇒ ω = ⇒ = π
∆
La momentul iniţial (t = 0):
(0) 2(0) 0
x cmv
= =
Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este:
( )( ) sinx t A t= ω + ϕ
( )( ) cosv t A t= ω ω + ϕ
Din condiţiile iniţiale se obţine:
14
2(0) sin sin 2 sin 2
(0) cos cos 0 cos 02
A cmx A A Av A A
== ϕ ϕ = ϕ = ⇒ ⇒ ⇒ π= ω ϕ ω ϕ = ϕ = ϕ =
maxF kA=
16. Un corp cu masa m = 10 kg se află pe un suport orizontal pe care se poate mişca fără frecare,
fiind racordat la două resorturi de constante elastice k1 = 4 ∙ 10 3 N/m şi k2 = 5 ∙ 10 3 N/m. În poziţia de
echilibru, cele două resorturi sunt nedeformate. Să se găsească legea de mişcare şi perioada de oscilaţie a
corpului dacă la momentul iniţial se află la distanţa x = 4 cm faţă de poziţia de echilibru şi are o viteză v = 90
cm/s.
1 2
1 2( ) 0ma k x k xma k k x
= − −+ + =
2 2
1 21 22 2( ) 0 0k kd x d xm k k x x
dt dt m+
+ + = ⇒ + =
2 1 2
1 2
2k k mTm k k+
⇒ ω = ⇒ = π+
Deci soluţia ecuaţiei, adică legea de mişcare va fi de forma ( ) sin( )x t A t= ω + ϕ .
La t = 0 : 0
0
(0) 4(0) 90 /
x x cmv v cm s
= = = =
Rezultă: sin 4 1 2 2 4;
cos 90 45 45 sinA
tg arctg AA
ϕ = ω⇒ ϕ = ⇒ ϕ = =ω ϕ = ω ϕ
17. De un resort aşezat vertical se suspendă o greutate. Sub acţiunea ei, resortul se alungeşte cu Δl =
5cm. Care este legea de mişcare a greutăţii dacă la momentul iniţial ea se află în echilibru şi i se imprimă o
viteză pe verticală în jos v0 = 20cm/s? (g = 10 m/s2).
y(t) = Asin(ωt+φ)
v(t) = ωAcos(ωt+φ)
La t = 0: 0
0(0) 0 (0) sin sin 0 sin 0 020(0) (0) cos cos 20 20
y y A Av v v A A A A
ϕ== = ϕ ϕ= ϕ= ϕ= ⇒ ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ = =ω ϕ ω ϕ= ω = = ω
mg = kΔl k gm l
⇒ ω = =∆
15
18. Un corp cu masa m = 4 kg este suspendat de un resort ideal ce are constanta elastică
N/m900=k . Corpul este împins în sus cu 50 mm faţă de poziţia de echilibru şi apoi este eliberat din
repaus. Aflaţi legea de mişcare a corpului.
Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este:
( )ϕ+ω= tAx sin ; ( )ϕ+ωω= tAv cos
Din condiţiile iniţiale (la t = 0):
⇒
==
⇒
==
⇔
====
0cos50sinA
0cosAω50sinA
0v)0(vmm50x)0(x
0
0
mm50A2π
50sinA=⇒
=
=⇒
1s15mkω −==
19. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de un resort ideal cu constanta elastică N/m80=k .
Dacă se imprimă corpului o viteză m/s0,8v = în momentul când acesta se află la 4 cm în sus faţă de poziţia
de echilibru, să se determine legea de mişcare a corpului considerând că viteza aplicată este orientată spre
poziţia de echilibru a corpului.
Corpul oscilează armonic, deci legea de mişcare este:
( )ϕ+ω= tAx sin ; ( )ϕ+ωω= tAv cos
110k sm
−ω = =
Din condiţiile iniţiale (la t = 0):
0
0
(0) 0,04 sin 0,04 1 0,04 1tg(0) 0,8 / cos 0,8 0,8 2
x x m Aarctg
v v m s A= = ϕ=
⇔ ⇒ ϕ= ⇒ϕ= = = ω ϕ= ω
0,04sin
A =ϕ
20. Ecuaţia unei mişcări oscilatorii amortizate este: tex t
2πsin5 25,0−= [m]. Care este viteza
punctului material la momentele t = 0, T, 2T, 3T şi 4T?
0,25 0,25( ) 0,25 5 sin 5 cos2 2 2
t tv t e t e t− −π π π= − ⋅ +
16
2 4
22
Tπ πω = ⇒ = =
π
(0) 52
v π= ; 1( ) 5
2v T e−π
= ; 2(2 ) 52
v T e−π= ;
3( ) 52
v T e−π= ; 4( ) 5
2v T e−π
=
21. Un mobil se află într-o mişcare oscilatorie amortizată descrisă de ecuaţia
( ) cos( )tx t Ae t−δ= ω + ϕ . Să se afle momentul în care viteza se anulează prima oară.
cos( ) sin( )t tdxv Ae t Ae tdt
−δ −δ= = − ω + ϕ − ω ω + ϕ
0 [ cos( ) sin( )] 0tv Ae t t−δ= ⇒ − δ ω + ϕ + ω ω + ϕ = ⇒
1tg( )t t arctg t arctg δ δ δ ⇒ ω +ϕ = − ⇒ω +ϕ= − ⇒ = − −ϕ ω ω ω ω
22. Un punct material cu masa m = 100g, suspendat de un resort, oscilează sub acţiunea forţei
elastice a acestuia.
a) dacă pentru o elongaţie Δx = 1 cm, forţa elastică are valoarea F = 10 – 1 N, să se afle pulsaţia mişcării
proprii;
b) în prezenţa unei forţe de rezistenţă (proporţională cu viteza) care are valoarea N10 3−=R pentru o viteză
v = 1 cm/s, care este noua pulsaţie a mişcării?
c) care este decrementul logaritmic al amortizării?
d) dacă la momentul iniţial corpul este în poziţia de echilibru şi i se imprimă o viteză v0 = 1 cm/s, care va fi
ecuaţia de mişcare a lui în condiţiile de la punctul b) şi care va fi deplasarea maximă a lui faţă de poziţia de
echilibru?
a) mk
=ω0
x
FkxkF ee ∆
=⇒∆= ; deci 101010
2
1
==∆
= −
−
xFk
110 10
1010 −
− ==ω s
b) În prezenţa unei forţe de rezistenţă, corpul va oscila amortizat. Deci, noua pulsaţie a mişcării va fi:
220 δ−ω=ω
17
12
3
101010 −
−
−
===ρ⇒ρ=ρ−=⇒ρ−=vRvvRvFr
21
10210
22 1
1
=⋅
=ρ
=δ⇒ρ
=δ −
−
mm
c) ωπ
δ=δ=∆2T
d) Corpul oscilează amortizat şi, deci, legea de mişcare este:
( )ϕ−ω= δ− tAetx t cos)(
Iar viteza este: ( ) ( )ϕ−ωω−ϕ−ωδ−= δ−δ− tAetAetv tt sincos)(
Din condiţiile iniţiale (t = 0):
===
scmvvx
/1)0(0)0(
0
se obţin amplitudinea şi faza iniţială.
⇒
=ϕω+ϕδ−=ϕ
⇒
ϕω+ϕδ−=ϕ=
⇔
==
1sincos0cos
sincos)0(cos)0(
)0(0)0(
0 AAA
AAvAx
vvx
ω=⇒=ω⇒
π=ϕ⇒=ϕ⇒
112
0cos AA
23. Un corp cu greutatea G = 49 N execută oscilaţii amortizate într-un mediu a cărui forţă de
rezistenţă este proporţională cu viteza. Cunoscând pseudoperioada de oscilaţie 4
T sπ= , decrementul
logaritmic 32π
∆ = şi, ştiind că la momentul iniţial x = x0 = 10 cm şi v = v0 = 20 cm/s, să se determine legea
de mişcare şi coeficientul de amortizare. În cazul în care coeficientul de amortizare creşte de 3 ori, să se
determine noua lege de mişcare.
3;
4 2T s= ∆ =
π π
Din condiţiile iniţiale, la 0
0
(0)0 :
(0)x x
tv v
== =
18
2 2 20
2 2 2 10
1
10
2 2 8
43
( ) 2ln 6( )
464 36 10
sT
A t T sA t T T
s
−
−
−
ω = ω + δ π πω = ω − δ ⇒ ω = = =
π
π∆
∆ = = δ ⇒ δ = = =π+
⇒ ω = + =
0 ( ) cos( )tx t Ae t−δ⇒ ω > δ ⇒ = ω − ϕ – este o oscilaţie amortizată (cazul rezistenţelor mici)
( ) cos( ) [ sin( )]
[ cos( ) sin( )]
t t
t
dxv t A e t e tdt
v Ae t t
−δ −δ
−δ
= = −δ ω − ϕ + ω − ω − ϕ
= −δ ω − ϕ − ω ω − ϕ
(0) cos 10(0) [ cos sin ] 20
x A cmv A cm
= ϕ == −δ ϕ − ω ϕ =
cos 10
6 cos 8 sin 20(6cos 8sin ) 20
8 sin 40 sin 10
A cmA A cm
A cmA cm A
ϕ = ⇒ − ϕ − ϕ = − ϕ − ϕ =
⇒ ϕ = ⇒ ϕ = −
10 1 ( 1)10
tg arctg−ϕ = = − ⇒ ϕ = −
2 m
GG mg mg
ρ = δ
= ⇒ =
1 11 1
1 1
32 6 18
2m m s
m−ρ = ρ
⇒ δ = δ ⇒ δ =ρ = δ
2 2 2 21 1 0 1 1 0( ) ( )
1 0 1 2( ) t tx t C e C e−δ + δ −ω −δ − δ −ωδ > ω ⇒ = +
– este o oscilaţie amortizată (cazul rezistenţelor mari)
2 2 2 2 11 0 18 10 15 s−δ − ω = − ≅
3 33
1 23 33
1 2
( )( ) 3 33
t t
t t
x t C e C ev t C e C e
− −
− −
= +
= − −
1 21 2
1 2 1 2
10 3(0)(0) 3 33 3 33 20
C Cx C Cv C C C C
+ = ⋅= + ⇒ = − − − − =
2 2 15 5 3530 50 103 3 3
C C C− = ⇒ = − ⇒ = + =
19
24. Un oscilator amortizat are masa m = 1 kg şi coeficientul de amortizare 0, 2 /g sρ = . Să se
calculeze timpul τ în care amplitudinea scade la 10% din valoarea sa la momentul t = 0.
22m m
ρ ρδ = ⇒ δ =
( ) tA t Ae−δ=
La t = 0: (0)A A=
La t = τ: 2( ) mA Ae−ρ
ττ =
Dar ( ) 10% (0)A Aτ = .
1 11 ln10 ln1010 ln1010
2
Ae A e
m
−δτ −δτ − −⇒ = ⇒ = ⇒ −δτ = ⇒ τ = =ρδ
25. Un corp cu masa m = 0,4 kg este suspendat de un resort cu constantă elastică k = 200 N/m. Dacă
pseudopulsaţia este mai mică cu 0,005 s1− decât pulsaţia proprie a pendulului, să se determine coeficientul
de rezistenţă al forţei care produce amortizarea (forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza).
2 2 mmρ
δ = ⇒ ρ = δ
0km
ω =
0 0,005ω = ω −
22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0,005k k km m m
ω= ω −δ ⇒ω =ω −δ ⇒δ= ω −ω= −ω = − −
2
2 0,005k kmm m
ρ = − −
26. Un corp oscilează amortizat cu frecvenţa proprie de 1 Hz. Să se determine pseudopulsaţia
oscilaţiilor amortizate dacă amplitudinea acestora scade de la 25 cm la 12,5 cm după 10 s de la începerea
mişcării. Forţa de rezistenţă este proporţională cu viteza. Se cunoaşte că 693,02ln ≅ .
2 20ω = ω − δ
0( ) tA t A e−δ=
20
0
0
(0)
( )
A AA A e−δτ
=
τ =
dar 10 sτ = ; (0) 25A cm= ; ( ) 12,5A cmτ =
0 1010
0
25 ln 221012,5
Ae
A eδ
− δ
=⇒ ⇒ = ⇒ δ ==
Se înlocuieşte δ şi se află pseudopulsaţia.
27. Un corp efectuează o mişcare oscilatorie amortizată, forţa de rezistenţă fiind proporţională cu
viteza. Pseudoperioada este
T = 0,25 s. Dacă în primele 10 s de la începerea mişcării amplitudinea oscilaţiilor scade de 5 ori, să se
determine:
a) factorul de amortizare a oscilaţiilor
b) decrementul logaritmic al amortizării
c) perioada proprie a oscilaţiilor
Se cunoaşte ln5 = 1,6.
a) la t: ( ) tA t Ae−δ=
la t = 10 s : ( 10) ( )( 10)5
t A tA t Ae−δ ++ = =
( 10) 10 1 ln 55 10 ln 55 10
tt AeAe e
−δ−δ + −δ −⇒ = ⇒ = ⇒ δ = ⇒ δ =
b) T∆ = δ
c) 0 00 0
2 2TTπ π
ω = ⇒ =ω
2 2 2 2 20 0ω = ω − δ ⇒ ω = ω + δ
0 2 2
2T π=
ω + δ
28. Un corp cu masa m = 0,25 kg suspendat de un resort ideal efectuează oscilaţii amortizate, forţa
de frânare fiind proporţională cu viteza corpului. Dacă elongaţia maximă a resortului scade la un sfert după
N = 10 oscilaţii complete, efectuate în timpul ∆t = 8,4 s, să se determine:
a) coeficientul de amortizare al oscilaţiilor
b) decrementul logaritmic
c) constanta elastică a resortului
21
a) la momentul t: 1tA Ae−δ=
la momentul t + Δt: ( )2
t tA Ae−δ +∆=
Dar: ( ) 112
ln 44 ln 44 4
tt t tA AeA Ae e t
t
−δ−δ +∆ −δ∆ −= ⇒ = ⇒ = ⇒δ∆ = ⇒ δ =
∆
Coeficientul de amortizare este 2 mρ = δ .
b) Perioada mişcării corpului este:
0, 84tT sN∆= =
Decrementul logaritmic este:
T∆ = δ
c) Constanta elastică se determină astfel:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0
2( )k k m mm T
π ω= ω −δ ⇒ω =ω +δ ⇒ =ω +δ ⇒ = ω +δ = +δ
29. O sferă de rază r este legată de un resort de constantă elastică k. Sfera oscilează încet într-un
lichid vâscos de vâscozitate η. Să se calculeze raza sferei în aşa fel încât, în timp de o perioadă amplitudinea
oscilaţiei să scadă de 2 ori.
Fr = – ρv
6 rρ = πη
( ) 1
( )
( )( )2
( ) 2 ln 22
( )
tt t T T
t T
A tA t TAeA t Ae Ae e T
A t T Ae
−δ−δ −δ + −δ −
−δ +
+ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ δ =+ =
622 3
r mrm mρ πη δ
δ = ⇒ δ = ⇒ =πη
Deci ln 2
3 3m mr
Tδ
= =πη πη
2 2 20ω = ω − δ
( )2 2
2 22 ln 2 4 ln 2k mTT m T kπ = − ⇒ = π +
( )2 2
2 ln 2
6 4 ln 2
mrmk
⇒ =πη π +
22
30. Asupra unui corp cu masa m = 0,5 g, aflat la distanţa Δx = 2 cm faţă de poziţia de echilibru,
acţionează o forţă elastică F = 1,936 N.
a) dacă corpul este lăsat liber şi se neglijează frecările, care este ecuaţia mişcării considerând că se află în
poziţia de echilibru şi are viteza cm/s40 =v ? Care este energia totală a acestui oscilator?
b) dacă oscilaţia ar fi amortizată, ce factor de amortizare ar trebui să aibă mediul pentru ca după t = 0,23 s,
amplitudinea mişcării să fie numai 0,2 mm?
c) ce pulsaţie ar trebui să aibă o forţă exterioară sinusoidală care acţionând asupra corpului ar produce
fenomenul de rezonanţă?
a) Fiind o oscilaţie armonică, legea de mişcare este:
( )ϕ+ω= tAtx sin)(
Condiţiile iniţiale sunt:
====
scmvvxx
/4)0(0)0(
0
0
( )ϕ+ωω= tAtv cos)(
ω
=⇒=ω⇒=ϕ⇒=ϕ⇒
=ϕω=
⇒
ϕω== 4400sin
4cos0sin
cos)0(sin)0(
AAA
AAv
Ax
mk=ω
La distanţa Δx, x
FkxkF∆
=⇒∆=
JkAEt3
2
1042
⋅==
b) La momentul t = 0,23 s, amplitudinea are expresia:
23,050ln
1101102,0)( 23,03 ≅δ⇒=⋅⇔= δ−−δ− eAetA t
c) 220 2δ−ω=Ωr
31. Asupra unui corp cu masa m = 2 kg, legat de un resort ideal şi de un amortizor, acţionează o forţă
externă 3, 2sin ( )F t N= Ω . Dacă rezonanţa amplitudinilor se produce la frecvenţa 4,8rν = Hz,
amplitudinea la rezonanţă fiind Br = 2,3 cm, să se determine:
a) constanta elastică a resortului şi factorul de amortizare;
b) amplitudinea oscilaţiilor forţate la o frecvenţă a forţei externe de 4 Hz;
c) amplitudinea oscilaţiilor forţate (frecvenţa forţei externe este 4 Hz) în condiţiile înlăturării
amortizorului.
23
a)
max2 2
0
2 22 2 2 0
0
2
22
r
rr
FBm
= δ ω − δ ω − ΩΩ = ω − δ ⇒ δ =
max max2 2 2 2
2 0 00
20
2 22 2
r
r r
F FBm m
km
= = ω − Ω ω + Ω δ ω − δ ⇒ω =
max
22
max
22
2 20
2
222
22 2
r
rr
r
rr
r
Fm Bk
km FmmB
kk mm
⇒ δ = + Ω
− Ω ⇒ = ⇒ + Ω− Ωω − Ω δ = =
24 max
2 2rr
Fk mm B
⇒ = Ω +
cu 2r rΩ = πν
b) max2 2 2 2 20
( )( ) 4
2
FBm
Ω =ω − Ω + δ Ω
Ω = πν
c) Dacă se înlătură amortizorul δ = 0
şi max2 20
( )( )
FBm
Ω =ω − Ω
, cu 2Ω = πν
32. Trei corpuri de masă m sunt aşezate pe un suport orizontal fiind legate între ele şi de 2 elemente
verticale cu ajutorul a 4 arcuri identice având constanta elastică k. Ştiind că mişcarea are loc fără frecare, să
se determine pulsaţiile proprii ale sistemului.
24
Considerăm că sistemul din figura de mai sus este deplasat din poziţia de echilibru spre dreapta.
Cele 3 corpuri se vor deplasa cu x1, x2 şi x3 (x1 < x2 < x3).
Conform principiului II al mecanicii:
1 1 2 1
2 2 1 3 1
3 3 2
( )( ) ( )( )
ma kx k x xma k x x k x xma k x x
= − + − = − − + − = − −
Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării celor 3 corpuri sunt:
2 21 1
1 2 1 22 2
2 22 2
1 2 3 1 2 32 2
2 23 3
2 3 2 32 2
2 2 0
2 2 0
0
d x d xm kx kx m kx kxdt dtd x d xm kx kx kx m kx kx kxdt dt
d x d xm kx kx m kx kxdt dt
= − + + − =
= − + ⇒ − + − =
= − − + =
Mişcările corpurilor sunt mişcări oscilatorii armonice (nu există frecare), deci legile de mişcare
(soluţiile ecuaţiilor de mişcare) vor fi de forma:
1 1 2 2 3 32
21 11 12
222 2
1 22
223 3
1 32
sin ; sin ; sin
cos ; sin
cos ; sin
cos ; sin
x A t x A t x A tdx d xA t A tdt dtdx d xA t A tdt dtdx d xA t A tdt dt
= ω = ω = ω
= ω ω = −ω ω
= ω ω = −ω ω
= ω ω = −ω ω
Se înlocuiesc în sistem şi se obţine: 2
1 22
1 2 32
2 1
(2 ) 0(2 ) 0
(2 ) 0
k m A kAkA k m A kA
kA k m A
− ω − =
− + − ω − =− + − ω =
Sistemul admite pentru A1, A2, A3 soluţii diferite de zero dacă determinantul său se anulează:
25
21
2
2 22
2
23
22 02 0
(2 2)det 2 0 2 2 00 2
(2 2)2 2 0
kk mm
m k kkk m k k k m k
mk m k
kk m km
− ω = ⇒ω =
− ω + − +− − ω + − = ⇒ − ω − = ⇒ω = − ω + −
− ω + = ⇒ω =
33. Un corp de masă m se află pe un suport orizontal cu care interacţionează printr-o frecare uscată
(coeficientul de frecare fiind μ). Corpul este legat de un suport fix cu ajutorul unui resort de constantă
elastică k. Să se afle legea de mişcare a corpului.
Forţele care acţionează asupra corpului sunt:
;e fF kx F N mg= − = −µ = −µ
Deci, se va putea scrie:
ma kx mg= − − µ
2
2
22
02
d xm kx mgdt
d x x gdt
+ = −µ
+ ω = −µ
Ultima ecuaţie este o ecuaţie diferenţială neomogenă de gradul II a cărei soluţie este de forma:
1 2
0 0
0 0
1
22
02
2 3
2 20
1,2 0
2 3
1 2 3
( ) ( )
. : 0
( )
. : 0
( )
( )
omogen
t tomogen
i t i tomogen
i t i t
x t x t C g
d xec omogena xdt
x t C e C e
ec caracteristicai
x t C e C e
x t C g C e C e
α α
ω − ω
ω − ω
= + µ
+ ω =
= +
α + ω =α = ± ω
= +
= µ + +
Alegem următoarele condiţii iniţiale:
(0)0 :
(0) 0x A
la tv
= −= =
00 0
1 2 0 0 3 0 0
1 2 3 0 2 3 0
cos sin( ) (cos sin ) (cos sin )
( ) cos ( )sin
i te t i tx t C g C t i t C t i t
C g C C t i C C t
± ω = ω ± ω= µ + ω + ω + ω − ω =
= µ + + ω + − ω
Se notează:
1 2 3
2 2 3( )B C CB i C C
= + = −
26
1 1 0 2 0( ) cos sinx t C g B t B t= µ + ω + ω
0 1 0 0 2 0
2 20 1 0 0 2 0
( ) sin cos
( ) cos sin
dxv t B t B tdt
a t B t B t
= = −ω ω + ω ω
= −ω ω − ω ω
1 1 1 1
0 2 0 2 2
(0)(0) 0 0
x C g B C g B Av B B B
= µ + µ + = − ⇒ = ω ω = ⇒ =
20 1 0( ) cosa t B t⇒ = −ω ω
Se înlocuieşte a(t) astfel obţinut, precum şi x(t) în ec. diferenţială a mişcării corpului: 2 2 2
0 1 0 0 1 0 1 0cos cosB t C g B t g−ω ω + ω µ + ω ω = −µ
20 1 1 2
0
1C g g Cω µ = −µ ⇒ = −ω
Deci 1 1B A C g= − − µ
C2 şi C3 se determină din sistemul: 1 2 3
2 2 3( )B C CB i C C
= + = −
34. Să se găsească amplitudinea şi faza iniţială a oscilaţiei armonice obţinută prin compunerea a
două oscilaţii paralele de ecuaţii: 1 4sinx t= π şi 2 3sin2
x t π = π −
. Să se scrie ecuaţia mişcării oscilatorii
rezultate.
1 14; 0A = ϕ =
2 23;2
A π= ϕ = −
( )2 21 2 1 2 1 22 cos 5A A A A A= + + ϕ − ϕ =
1 1 2 2
2 2 2 2
sin sin 3tgcos cos 4
A AA A
ϕ + ϕϕ = = −
ϕ + ϕ
35. Să se găsească ecuaţia de mişcare a punctului material supus simultan acţiunii a două oscilaţii
paralele de aceeaşi perioadă T = 8 s şi amplitudine A = 2 cm. Diferenţa de fază este 4πφΔ = , iar faza iniţială
a unei oscilaţii este nulă.
2 21 2 cos 2 2A A A AA A= + + ∆ϕ = +
27
1 1
sin 0 sin 2 24tg2 2 2 2cos 0 cos
4
A Aarctg
A A
π+
ϕ = = ⇒ ϕ =π + ++
124
sT
−π πω = =
( )1 1 1sinx A t= ω + ϕ
36. Un punct material efectuează concomitent 2 mişcări oscilatorii armonice pe direcţii
perpendiculare între ele. Ecuaţiile celor 2 mişcări sunt: x = cosπt; y = 2 cos2
tπ. Să se afle traiectoria
punctului material.
2 2 2cos 2 cos sin 2cos 12 2 2 2
t t t tπ π π π= − = −
Prin identificare:
cos 22
t xπ= ; cos
2 2ytπ
=
Rezultă:
2 2
2 1 14 2y yx x= − ⇒ = −
37. Să se scrie ecuaţia mişcării rezultate din compunerea a două oscilaţii perpendiculare cu
frecvenţele 1 2 10 Hzν = ν = , fazele iniţiale 1 2 3π
α = α = şi amplitudinile 1 0,1mA = , 2 0,2 mA = . Să se
interpreteze rezultatul.
Pentru că ( )1 2 1 2ω = ω ν = ν , se poate utiliza formula:
2 2
22 2
2 cos sinx y xyA B AB
+ − ∆ϕ = ∆ϕ
unde 1 0,1A A= = ; 2 0,2B A= = ; 2 1 0∆ϕ = ϕ − ϕ =
Se obţine:
( )2 2
22 2
2 0 0,2 0,1 0 20,1 0, 2 0,1 0, 2x y xy x y y x+ − = ⇒ − = ⇒ =
⋅
Deci, traiectoria nu este o elipsă, ci o dreaptă, deci mişcarea este tot o oscilaţie liniară.
28
38. Un punct material este supus simultan la două oscilaţii perpendiculare de ecuaţii tx ωsin2= şi
ty ωcos= . Care este traiectoria de mişcare a punctului?
cos sin2
t t π ω = ω +
Deoarece x şi y au aceeaşi pulsaţie, se poate scrie:
2 2
22 2
2 cos sinx y xyA B AB
+ − ∆ϕ = ∆ϕ
unde 2A = ; 1B = ; 2 1 2π
∆ϕ = ϕ − ϕ =
2 2
14 1x y
+ =
Rezultă că traiectoria este o elipsă.
Elipsa este parcursă în sens trigonometric 2π ∆ϕ =
.
39. Un punct material este supus acţiunii simultane a două oscilaţii perpendiculare de ecuaţii
tx πcos= şi ty2πcos= . Să se găsească traiectoria mişcării rezultante.
2 2cos cos 2 2cos 1 2 12 2
x t t t yπ π= π = = − = −
40. Se consideră următoarele oscilaţii perpendiculare:
a)
π+π=
26cos3)( ttx şi tty
6cos2)( π= ;
b)
π+π=
22sin)( ttx şi tty
4cos2)( π= .
Să se găsească traiectoria particulei care este supusă simultan acestor oscilaţii.
a) Pentru că au aceeaşi pulsaţie, se poate folosi formula:
2 2
22 2
2 cos sinx y xyA B AB
+ − ∆ϕ = ∆ϕ
A = 3; B = 2 ; 2π
∆ϕ =
29
2 24 9 36x y⇒ + =
b) ( ) sin sin cos cos sin cos cos22 2 2 2 2 2 2 4
x t t t t t tπ π π π π π π π = + = + = = =
2
22cos 1 14 2
ytπ= − = −
41. Ecuaţia traiectoriei unui corp supus la două mişcări oscilatorii armonice cu aceeaşi pulsaţie este:
4x2 + 9y2 – 6xy = 27 cm2.
Să se determine:
a) amplitudinile de oscilaţie ale proiecţiilor corpului pe axele OX si OY;
b) defazajul dintre oscilaţii.
4x2 + 9y2 – 6xy = 27 : 36
2 2
2 2
33 2 6 4x y xy
+ − =
Deoarece corpul oscilează după axele Ox şi Oy, ecuaţia traiectoriei poate fi de forma: 2 2
22 2
2 cos sinx y xyA B AB
+ − ∆ϕ = ∆ϕ
După identificare:
A = 3 ; B = 3 ; sin2Δφ = 3/4 3arcsin
2 3π
⇒ ∆ϕ = =
30
CAPITOLUL II
UNDE ELASTICE ŞI ELECTROMAGNETICE
1. O membrană elastică dreptunghiulară de lungime L şi lăţime l, cu marginile fixate rigid, este pusă
în vibraţie. Să se demonstreze că frecvenţa vibraţiei libere a membranei poate lua doar anumite valori şi să se
găsească o soluţie particulară a ecuaţiei undelor în această situaţie.
2
2 2
1c t
∂ Ψ∆Ψ =
∂
2 2 2
2 2 2 2
1x y c t
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ+ =
∂ ∂ ∂
( , , ) ( , ) i tx y t f x y e ωΨ =
;i t i tf fe ex x y y
ω ω∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂= =
∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2 2
2 2 2 2;i t i tf fe ex x y y
ω ω∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂= =
∂ ∂ ∂ ∂
2
2 22( , ) ; ( , )( ) ( , )i t i t i tf x y i e f x y i e f x y e
t tω ω ω∂Ψ ∂ Ψ
= ω = ω = − ω∂ ∂
2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
1 1( , ) ( , )i t i t i tf f f fe e f x y e f x yx y c x y c
ω ω ω∂ ∂ ∂ ∂ + = − ω ⇒ + = − ω ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 k
cω πν π
= = =λν λ
( , ) ( ) ( )f x y g x h y=
( ) ; ( )f dg f dhh y g xx dx y dy
∂ ∂= =
∂ ∂
2 2 2 2
2 2 2 2( ) ; ( )f d g f d hh y g xx dx y dy
∂ ∂= =
∂ ∂
2 2 2
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )d g d hh y g x g x h ydx dy c
ω+ = −
2 2
22 2( ) ( ) ( ) ( ) |:d g d hh y g x k g x h y gh
dx dy+ = −
2 2
22 2
1 1d g d h kg dx h dy
+ = −
31
2 2
22 2
1 1d g d h kg dx h dy
= − −
a c
a bb c
=⇒ = =
Dacă a = b, atunci ∃ un c, astfel încât a cb c
= =
.
2 22 2
2 2
222 22 2
22
10
1 ( ) 0
d g d g gg dx dx
d hd h k hkdyh dy
= − + = ⇒ + − =− − = −
α α
αα
1 1( ) sin cosg x A x B x= +α α
2 2 2 22 2( ) sin ( ) cos ( )h y A k y B k y= − + −α α
Membrana are marginile fixate rigid – rezultă că funcţia de undă ( , , )x y tΨ are valoarea 0 pe întreg
conturul.
(0, , ) 0( , , ) 0( ,0, ) 0( , , ) 0
y tL y tx tx l t
Ψ =Ψ =Ψ =Ψ =
1
1
2
2 22
0(0) ( ) 0 (0) 0sin 0( ) ( ) 0 ( ) 0
0(0) 0( ) (0) 0( ) 0 sin 0( ) ( ) 0
i t
i t
i t
i t
Bg h y e gA Lg L h y e g LBhg x h e
h l A k lg x h l e
ω
ω
ω
ω
= = = α == = ⇔ ⇔ === = − α ==
2 2 2 2
sin 0 ,
sin 0 ,
L L m m Z
k l k l n n Z
α = ⇒ α = π ∈⇒ − α = ⇒ − α = π ∈
2 kck
c cω πν
= = ⇒ ν =π
2 2 2
2n n mkl l Lπ π π = + α = +
2 2 2 2
2 2c n m c n m
l L l Lπ π ν = + ⇒ ν = + π
1 2 1 2( , , ) sin sin ( , , )i t i tm nx y t A xA ye x y t A A eL l
ω ωπ πΨ = ⇒ Ψ =
32
2. De câte ori trebuie să crească temperatura absolută a unui gaz ideal pentru ca lungimea de undă a
unui sunet care se propagă prin el să crească cu o fracţiune f ?
1 0 0fλ = λ + λ
RTc γ
=µ
; c = λν
( )
0 120 0 0
21 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0011 1 1
;1
;
RT RTc cc T T T fc T T TRTRTc c
γ γ= = λ νµ µ λ ν λ λ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + λ ν λ λγγ = = λ ν µµ
3. Fie o coardă elastică semiinfinită, una din extremităţi oscilând după legea 0,5cos 20 tΨ = π .
a) Aflaţi frecvenţa şi perioada oscilaţiilor extremităţii.
b) Calculaţi lungimea de undă a undelor elastice transversale care se propagă în coardă cu viteza c =
0,5 m/s.
c) Ce diferenţă de fază există între oscilaţiile punctelor de pe coardă aflate la o distanţă 5x cm∆ =
unul de altul?
d) La ce distanţă se află două puncte de pe coardă ale căror oscilaţii sunt defazate cu 6π
rad ?
a) ( )cosA t kxΨ = ω −
0,5cos 20 tΨ = π
12020 102 2
s−ω πω = π ⇒ ν = = =
π π; 11 10T s−= =
ν
b) 0,05c cT m= λν ⇒ λ = =
c) ( )1 10,5cos 20 t kxΨ = π −
( )2 20,5cos 20 t kxΨ = π −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 120 20kx kx k x x k x∆ϕ = ϕ − ϕ = π − − π − = − = ∆
unde 2k π
=λ
d) '6π
∆ϕ = ; '' ' 'k x x
k∆ϕ
∆ϕ = ∆ ⇒ ∆ =
4. Să se demonstreze că o coardă de lungime l fixată la ambele capete poate oscila liber numai cu
frecvenţe care sunt multiplii întregi ai unei valori inferioare care urmează a fi determinată.
33
Ecuaţia undelor pentru o coardă este:
2
2 2
1c t
∂ Ψ∆Ψ =
∂
2 2
2 2 2
1x c t
∂ Ψ ∂ Ψ=
∂ ∂
Capetele fiind fixate, pe coardă se va propaga o undă progresivă şi una regresivă datorită reflexiei la
capete. Vor apare unde staţionare. Prin urmare, elongaţia oscilaţiei unui punct oarecare de pe coardă va
depinde de poziţia acestuia, dar va oscila şi armonic în timp. Soluţia ecuaţiei undei va fi sub forma unui
produs dintre o funcţie care descrie oscilaţia armonică şi o funcţie care dă distribuţia elongaţiei în funcţie de
x.
( , ) ( ) i tx t f x e ωΨ =
i t dfex dx
ω∂Ψ=
∂; i ti e f
tω∂Ψ
= ω∂
2 2
2 2i t d fe
x dxω∂ Ψ
=∂
; 2
22
i te ft
ω∂ Ψ= −ω
∂
( )2 2 2
22 2 2 2
1 0i t i td f d f fe e fdx c dx c
ω ω ω= −ω ⇒ + =
Soluţia acestei ecuaţii este de forma:
1 2( ) sin cosf x C x C xc cω ω
= +
unde C1 şi C2 sunt două constante arbitrare.
Se pot scrie condiţiile la limită deoarece coarda este fixată la ambele capete:
2
1
(0, ) 0 (0) 0 0sin 0 ,
( , ) 0 ( ) 0 sin 0
t f Cl l n n
c cl t f l C lc
Ψ = ⇒ = ⇒ = ω ω ⇒ = ⇒ = π ∈ ω
Ψ = ⇒ = ⇒ =
2
n c ncl lπ
ω = ⇒ ν =
Frecvenţa fundamentală (frecvenţa oscilaţiei fundamentale) se obţine pentru n = 1:
2fcl
ν =
Celelalte frecvenţe sunt multiplii întregi ai acestei valori.
5. O undă electromagnetică plană cade la incidenţă normală pe o lamă cu feţe plan-paralele de
grosime l. Lama este formată dintr-o substanţă cu permeabilitatea magnetică relativă 1rµ = şi a cărei
permitivitate electrică scade liniar de la valoarea ε1 pe faţa superioară la ε0 pe faţa inferioară. Să se afle
timpul în care unda electromagnetică străbate lama.
34
Fie un strat de grosime dy care este străbătut de undă cu viteza c în timpul dt.
0 0 0
1l ldy dy dyc dt dt dydt c c c
τ
= ⇒ = ⇒ = ⇒ τ =∫ ∫ ∫
unde τ este timpul în care unda străbate întreaga lamă.
0 0
1 1 1( ) ( )r
cy y
= = =εµ ε µ µ ε µ
( )y a byε = −
1
1 1 1
1 00 0 1 0
(0) ; (0)( ) ; ( )
aa a al l a bl a bl bl b
l
= εε = ε ε = = ε = ε ⇒ ⇒ ⇒ ε − εε = ε ε = − − = ε ε − = ε =
1 01( )y y
lε − ε
ε = ε −
1 0
0 1
1cy
l
=ε − ε µ ε −
( )3 32 201 0
0 1 0 10 10
23
l ly dy
lµε − ε τ = µ ε − = ε − ε ε − ε ∫
6. Să se deducă relaţia vectorială care se stabileşte între viteza de propagare a unei unde
electromagnetice plane în vid şi componentele sale Er
si Br
.
Din ecuaţiile lui Maxwell:
0cErotH jt
∂= + ε
∂
uruur uur
0cEH jt
∂∇× = + ε
∂
uruur uur
În vid nu există curenţi de conducţie şi deci, 0cj =uur
. Unda fiind armonică plană:
r ikr
∂∇ = = −
∂r
rr , unde i este numărul imaginar şi k
r este vectorul de undă.
it
∂= ω
∂
Ecuaţia lui Maxwell se va scrie:
0 0ik H i E k H E− × = ε ω ⇒ − × = ε ωr uur ur r uur ur
2k k π
= ⋅ξ = ⋅ξλ
r r r, unde ξ
r este versorul direcţiei de propagare a undei.
35
0 0 0
2 2 2 2 1H E H E H ET cT T c
π π π π− ξ × = ε ⇔ − ξ × = ε ⇔ − ξ × = ε
λ
r uur ur r uur ur r uur ur
Dar cc cc
= ⋅ξ ⇒ ξ =r
r r r
02
c H Ec
− × = εr
uur ur, iar
0 0
1c =ε µ
deoarece unda se propagă în vid.
0 0 0 0 0c H E c H E c H E c B E−ε µ × = ε ⇒ −µ × = ⇒ − ×µ = ⇒ − × =r uur ur r uur ur r uur ur r ur ur
Sau E B c= ×ur ur r
7. Din cauza refracţiei din atmosfera terestră, poziţia unghiulară reală a unei stele diferă puţin de cea
aparentă. Evaluaţi eroarea în determinarea poziţiei unghiulare a unei stele observate sub un unghi de 450 faţă
de verticală. Indicele mediu de refracţie al atmosferei este n = 1,0003.
Din legea refracţiei:
( )0 0 0sin sin sin cos cos sin sinn n n n nα + ∆α = α ⇒ α ∆α + α ∆α = α
Dar eroarea ∆α este foarte mică sin⇒ ∆α ≅ ∆α şi cos 1∆α ≅
Se obţine:
0 0sin cos sinn n nα + α∆α = α ⇒
2 2 21,0003 1 1,0003 0,00032 2 2
⇒ + ∆α = ⇒ + ∆α = ⇒ ∆α =
8. O undă este dirijată sub un unghi i0 faţă de normală într-o atmosferă în care temperatura se
modifică continuu după legea 20T ay by T= − + , unde a şi b sunt constante pozitive. Neglijând absorbţia
undei, să se afle înălţimea maximă la care are loc întoarcerea undei.
Se consideră un strat de grosime infinit de mică, aflat la înălţimea y. Pe acest strat presupunem că
viteza undei scade cu dc, iar unghiul de refracţie va fi mai mic decât unghiul de incidenţă cu o valoare
infinitezimală di.
36
Se aplică legea refracţiei pentru acest strat:
( ) ( )c
dci
diidiicdcc
idii
dccdii
ci
−=−
⇒−
=−
⇒−
−= 1
sinsincoscossin
sinsinsinsin
Dar 1cos ≅di şi didi ≅sin .
cdc
iidi
−=−⇒ 1sincos1
⇒=⇒=⇒=⇒ ∫∫c
c
i
i
c
c
i
i
cicdc
iid
cdc
iid
00
00
ln)ln(sinsin
)(sinsin
)(sin
0
0
00
sinsinlnsinsinln
ci
ci
cc
ii
=⇒=⇒
unde i0 şi c0 sunt constante (sunt valori cunoscute).
constc
i=⇒
sin
Pe de altă parte, viteza sunetului are expresia:
( )RT yc γ
=µ
sin sin ( ) ( )
( )i Rconst i const T y T y
RT yγ
= ⇒ = ⋅ = αµγ
µ
, unde α este o constantă.
Înălţimea la care unda începe să revină la suprafaţa Pământului este înălţimea la care are loc
fenomenul de reflexie totală pentru că temperatura începe să crească şi deci, va creşte şi unghiul de
incidenţă; la această înălţime 2π
=i . Se obţine:
20
1 11 ( ) ( )T y T y ay by T= α ⇒ = ⇒ − + = ⇒α α
( )1
2 20
1ay by T⇒ − + =α
20 2
20 1,22
141 0
2
b b a Tay by T y
a
± − − α ⇒ − + − = ⇒ =α
Se alege soluţia cu „+“.
9. O undă se propagă pornind dintr-un punct A situat într-un mediu în care viteza sa de propagare
este c1 şi ajunge într-un punct situat într-un mediu în care viteza sa de propagare este c2. Să se demonstreze
că din infinitatea de drumuri posibile, unda se propagă pe acel drum prin care ajunge din A în B în timpul
minim.
37
Se notează: CD = d şi CI = x.
11
AIct
= ; 22
IBct
=
( )222 2
211 2
1 2 1 2
( )h d xh xAI IBt t t t t x
c c c c+ −+
= + = + = + ⇒ =
t este timpul în care unda parcurge distanţa de la A la B şi este o funcţie de distanţa x.
Timpul este minim dacă derivata sa de ordinul I este 0 şi derivata sa de ordinul II este pozitivă.
( )2 2 221 2 1 21 2
1 1 sin sindt x d x i rdx c c c ch x h d x
−= − = −
+ + −
La suprafaţa de separaţie dintre cele două medii are loc refracţia undei şi, deci:
1 2
sin sini rc c
=
Rezultă că 0dtdx
= .
( ) ( )( )
( )
22 222 2
21 222 2221
22 2 2 21 1 2 2
1 1
d xx h d xh xh d xh xd t
dx c h x c h d x
−+ − −+ −
+ −+= − =
+ + −
( ) ( )
2 21 2
3 32 2 221 2
1 2
1 1h hc ch x h d x
= + + + −
Rezultă că 2
2
d tdx
> 0.
Deci, timpul în care unda ajunge în B este minim.
10. O coardă elastică este întinsă de o forţă de 100N şi are masa pe unitatea de lungime
10 /g mµ = . Un capăt al corzii oscilează după legea: 0,1sin 6, 28tΨ = . Să se calculeze:
a) viteza de propagare a undei pe coardă
b) frecvenţa şi perioada oscilaţiei
c) lungimea de undă
38
d) defazajul dintre capătul corzii şi un punct situat la distanţa de 3 m de acest capăt.
a) 100 /Fc m s= =µ
b) 16, 28 1 12
s T s−ωω = ⇒ ν = = ⇒ =
π
c) 100cT mλ = =
d) ( )1 22 3
50t t kx kx xπ π
∆ϕ = ϕ − ϕ = ω − ω − = = =λ
11. Să se calculeze coeficientul de reflexie R la suprafaţa aer-fier şi la suprafaţa aer-apă; ştiind că:
pentru aer: 31 1, 293 /km mρ = , 1 340 /c m s=
pentru fier: 3 32 7,8 10 /km mρ = ⋅ , 2 5000 /c m s=
pentru apă: 3 33 10 /km mρ = , 3 1450 /c m s=
( )( )
21 2
21 2
z zR
z z−
=+
; 1 1aerz c= ρ ; 2 2fierz c= ρ ; 3 3apaz c= ρ
( )( )
2
2aer fier
aer fier
aer fier
z zR
z z−
−=
+
( )( )
2
2aer apa
aer apa
aer apa
z zR
z z−
−=
+
12. Cu cât se schimbă frecvenţa percepută de un observator în repaus faţă de cea emisă de o sursă,
dacă sursa se depărtează de observator cu o viteză egală cu jumătatea vitezei undei? Frecvenţa undei emise
de sursă este 450 Hzν = .
RR S
S
c vc v
±ν = ν
m
Observatorul este în repaus: 0Rv = .
Sursa se depărtează:
R SS
cc v
ν = ν+
, unde c este viteza undei, iar vS este viteza sursei.
39
450 300
2
R SS
c c Hzcc v cν = ν = =
+ +
Frecvenţa se schimbă cu 450 300 150 Hz∆ν = − =
13. Ce valoare trebuie să aibă efortul unitar într-o coardă cu modul Young 11 210 /E N m= pentru ca
frecvenţa fundamentală a oscilaţiei longitudinale să coincidă cu prima armonică a oscilaţiei transversale?
Frecvenţa primei armonice a oscilaţiei transversale are valoarea tt ν=ν 21
, unde 2tcl
ν = şi Tc =µ
,
T – tensiunea în coardă.
Pentru oscilaţia longitudinală frecvenţa fundamentală are expresia 2lcl
ν = , unde Ec =ρ
.
µ
=ρ
⇒µ
=ρ
⇔ν=νTET
lE
ltl 4212
21
1
Efortul unitar are expresia FS
σ = . Pentru coardă, ST
=σ .
m V l S Sl l l
ρ⋅ ρ ⋅ ⋅µ = = = = ρ
10 24 4 4 4 2,5 10 /4
E T E T T EE E N mS S
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = σ ⇒ σ = = ⋅ρ µ ρ ρ
14. O sarcină q pozitivă este distribuită uniform în interiorul unei sfere dielectrice omogene cu
permitivitatea ε. Se cere intensitatea câmpului electric în afara sferei şi în interiorul ei.
Câmpul electric în interiorul sferei şi în exteriorul ei are direcţia razei sferei din motive de simetrie:
Se foloseşte forma integrală a legii lui Gauss:
DdS q=∫∫rr
Pentru un mediu omogen D E= εr r
. Atunci, pentru punctele din exteriorul sferei se va putea scrie:
40
20 2
0 0
44
q qEndS q E R ER
ε = ⇒ π = ⇒ =ε πε∫∫
rr
Pentru punctele din interiorul sferei se va putea scrie:
2
0
'4 qE rπ =ε
unde q’ reprezintă sarcina din interiorul sferei de rază r.
3 3
3 00
43' 43
r rq q qRR
π = =
π
Deci, intensitatea câmpului electric în interiorul sferei este:
30 04
q rER
=πε
15. Se dă o distribuţie liniară de sarcină, a cărei densitate este λ (sarcina pe unitatea de lungime). Să
se găsească expresia intensităţii câmpului electric la distanţa r de aceasta dacă distribuţia de sarcină se
găseşte în vid.
Din considerente de simetrie, Eur
are o direcţie radială ca în figura de mai jos:
Pentru a determina câmpul electric se consideră o suprafaţă cilindrică a cărei axă de simetrie o
constituie distribuţia liniară de sarcină. Se observă că fluxul câmpului electric este diferit de zero doar pe
suprafaţa laterală a cilindrului. Pe baze, fluxul este nul deoarece unghiul dintre normală şi intensitatea
câmpului electric este 2π
. Deoarece 0D E= ε , legea lui Gauss se scrie:
( )0 00
22
EndS q E rh h Er
λε = ⇒ ε π = λ ⇒ =
πε∫∫rr
16. Permitivitatea unei sfere neomogene de rază R aflată în vid variază după legea:
0( ) 2rrR
ε = ε +
Să se calculeze câmpul electric creat de o sarcină Q distribuită în întregul volum al sferei.
41
Se aplică legea lui Gauss:
DndS Q=∫∫r r
Pentru r < R, unde R este raza sferei, rezultă:
( )
32 2
int 0 int 3 20
4 2 44 2
r r QrD r Q r Q Q ER R R r R
π = ⇔ ε + π = = ⇒ = πε +
Pentru r > R, rezultă:
20 2
0
44
QE r Q Er
ε π = ⇒ =πε
17. Un mediu neomogen dar izotrop, caracterizat prin constantele ε şi σ, este străbătut de un curent
staţionar de densitate jr
. Să se arate că în mediul respectiv există sarcini de volum şi să se calculeze
densitatea ρ a acestora.
Conform legii lui Gauss:
D∇ = ρur
D E= εur ur
j E= σr ur
Deci jε ρ = ∇ σ
r
Dar ( )ab a b b a∇ = ∇ + ∇r r r
Rezultă:
j j jε ε ε ∇ = ∇ + ∇ σ σ σ
r r r
Deoarece densitatea de curent jr
este aceeaşi în orice punct al mediului:
0j∇ =r
Atunci:
j ε ρ = ∇ σ
r
18. O sferă de rază a încărcată cu sarcina Q este învelită într-un strat dielectric cu permitivitatea
relativă εr astfel încât raza sferei astfel construită este b. Să se determine potenţialul la care se află sfera.
Se aplică legea lui Gauss pentru o suprafaţă sferică cu raza r, unde a < r < b.
42
0 r Ed S Qε ε =∫∫ur ur
Câmpul din interiorul dielectricului va fi:
204 r
QEr
=πε ε
Pentru o suprafaţă sferică cu raza r > b din afara dielectricului, legea lui Gauss este:
0 Ed S Qε =∫∫ur ur
Se obţine:
204
QEr
=πε
Potenţialul sferei este:
2 2
0 0 0 0
1 14 4 4 4
b b b
r ra a b a a
Q dr Q dr Q QV Edr Edr Edrr r a b b
∞ ∞ = = + = + = − + πε ε πε πε ε πε ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ur r ur r ur r
19. Să se determine câmpul magnetic în interiorul unei bobine toroidale (o bobină toroidală este un
solenoid de lungime finită, curbat sub forma unui tor). Se cunosc numărul de spire N şi curentul care trece
prin bobină.
Liniile câmpului magnetic formează cercuri concentrice în interiorul torului. Se aplică legea lui
Ampere pe un contur circular de rază r :
0Bdl I= µ∫ur r
unde 0I I N= .
0 02B r NIπ = µ
Se obţine:
0 0
2I NB
rµ
= ⋅π
20. Să se determine câmpul magnetic în interiorul şi în exteriorul unui cilindru de rază R prin care
circulă un curent de densitate j, ştiind că liniile de câmp sunt cercuri concentrice în plane perpendiculare pe
axa cilindrului.
43
În interiorul cilindrului se calculează câmpul magnetic folosind legea lui Ampere pe un contur
circular cu centrul pe axa cilindrului aflat într-un plan perpendicular pe cilindru de rază r < R :
0CBdl jd S= µ∫ ∫∫ur r r ur
unde S este suprafaţa care se sprijină pe conturul C.
202B r j rπ = µ π
Se obţine:
0
2jrB µ
=
În exteriorul cilindrului se calculează câmpul magnetic folosind legea lui Ampere pe un contur
circular cu centrul pe axa cilindrului aflat într-un plan perpendicular pe cilindru de rază r > R .
Se obţine relaţia:
2
2 002
2jRrB j R Br
µπ = µ π ⇒ =
21. Într-o regiune a spaţiului există un câmp magnetic uniform paralel cu axa Oz. Mărimea lui
variază în timp după legea:
0 sinB B t= ω
Să se determine câmpul electric în fiecare punct.
Pentru a calcula câmpul electric se alege un contur circular de rază r într-un plan perpendicular pe
axa Oz. Se aplică legea inducţiei electromagnetice:
dEdldtΦ
= −∫ur r
unde Φ este fluxul magnetic prin suprafaţa 2S r= π .
2Edl rE= π∫ur r
20 sinBS r B tΦ = = π ω
Se obţine:
20 0
12 cos cos2
rE r B t E rB tπ = −π ω ω ⇒ = − ω ω
22. Un punct material oscilează după ecuaţia ty2
sin10 π= . Dacă această oscilaţie se propagă sub
forma unei unde plane, fără pierderi, cu viteza smc /300= , să se afle:
a) ecuaţia de oscilaţie a unui punct material al mediului, atins de undă, situat la distanţa x de sursa de
unde;
44
b) ecuaţia de oscilaţie a unui punct material situat la mx 600= de sursă. Să se calculeze viteza de
mişcare a acestui punct la st 8= de la începerea mişcării;
c) ecuaţia punctelor atinse de undă la st 4= de la începerea oscilaţiilor.
a) ( )kxtAy −ω= cos
ty2
sin10 π=
Prin comparaţie, rezultă: 10=A ; 2π
=ω
600π
=ω
=c
k
Deci:
π
−π
=6002
cos10 xty
b) la mx 600= :
π−
π= ty
2cos10
π−
ππ−== t
dtdyv
2sin
210
la st 8= : 0=v
c) la st 4= : ( ) 102cos10 −=π−π=y
23. Ecuaţia de oscilaţie neamortizată a unui punct material este ty π= 5,2sin . Undele plane produse
în mediul înconjurător se propagă neamortizat cu viteza smc /100= . Care este elongaţia, viteza şi
acceleraţia unui punct atins de undă situat la distanţa mx 20= de sursă la momentul st 1= ?
( )kxtAy −ω= cos ; ty π= 5,2sin
Prin comparaţie, rezultă: 1=A ; π=ω 5,2
40π
=ω
=c
k
Deci:
π
−π=40
5,2cos xty
π
−ππ−==40
5,2sin5,2 xtdtdyv ;
π
−ππ−==40
5,2cos25,6 2 xtdtdva
La distanţa x şi la momentul t se obţin relaţiile:
1=y ; 0=v ; 225,6 π−=a
45
24. Să se găsească elongaţia, viteza şi acceleraţia unui punct situat la distanţa12λ
=x de o sursă de
unde plane, la momentul6Tt = . Amplitudinea de oscilaţie este cmA 5= , iar perioada este sT 1= .
( )kxtAy −ω= cos ;
( )kxtAdtdyv −ωω−== sin ;
( )kxtAdtdva −ωω−== cos2
π=π=ω 22T
6
11cos5 π=y ; 6
11sin10 ππ−=v ; 6
11cos20 2 ππ−=a
25. Să se găsească diferenţa de fază între punctele ce oscilează aflate la mx 101 = ,
respectiv mx 162 = de sursa de unde. Se cunosc: perioada de oscilaţie sT 04,0= şi viteza de propagare a
undei smc /300= .
( )11 cos kxtAy −ω= ; ( )22 cos kxtAy −ω=
( ) ( ) ( ) ( ) π=−π
=−=−ω−−ω=ϕ∆ 1212212 xxcT
xxkkxtkxt
26. Să se calculeze diferenţa de fază între două puncte aflate pe direcţia de propagare a unei unde la
distanţa m2=δ unul de celălalt. Lungimea de undă este m1=λ .
( ) ( ) ( ) π=δλπ
=−=−ω−−ω=ϕ∆ 421221 xxkkxtkxt
27. Să se calculeze indicele de refracţie a sunetului la suprafaţa de separaţie aer-sticlă, cunoscând
densitatea sticlei 3/2600 mkg=ρ , modulul de elasticitate 210 /107 mNE ⋅= şi viteza sunetului în
aer smc /340= .
1
sinsinc
rc
i= ; rnin sticlaaer sinsin =
sticlacc
ri
=sinsin ;
aer
sticla
nn
ri
=sinsin
46
ρ
===⇒Ecn
ccn
rinn aer
sticlaaeraersticla sin
sin
28. Ştiind viteza c0 a sunetului în aer la 0 0C, să se calculeze timpul de propagare a sunetului în aer
de la sol până la înălţimea h, dacă temperatura variază liniar pe această distanţă de la T1 la T2.
byayT −=)(
h
TTbTbhTTbha
Ta
ThTTT
bhahTaT
2121
2
1
2
1
)()0(
)()0(
−=⇒=−⇒
=−=
⇒
==
−==
yh
TTTyT 121)( −+=
dyyRT
dtyRTdtdyyRTc
)()()(
γµ
=⇒µ
γ=⇔
µγ
=
−
γµ
−=τ⇒
γµ
=τ⇒γ
µ=⇒ ∫∫∫
τ21
121
2120
2)(
1)(
TTRTT
hdyyTR
dyyRT
dth
o
h
o
29. O undă sonoră plană este emisă de la suprafaţa Pământului sub unghiul 00 30=i faţă de
verticală. Ştiind că dependenţa de înălţimea h deasupra Pământului a temperaturii atmosferice este dată de
expresia ( ) 1
2021)(
−
−
+=H
hHahThT , să se determine distanţa de la locul emisiei la care unda sonoră revine
la suprafaţa Pământului. Se cunosc: 25,0=a ; kmH 25= . Se va presupune că aerul se comportă ca un gaz
ideal.
Se consideră un strat de grosime infinit de mică, aflat la înălţimea y. Pe acest strat presupunem că
viteza undei scade cu dc, iar unghiul de refracţie va fi mai mic decât unghiul de incidenţă cu o valoare
infinitezimală di.
Se aplică legea refracţiei pentru acest strat:
( ) ( )cdc
idiidii
cdcc
idii
dccdii
ci
−=−
⇒−
=−
⇒−
−= 1
sinsincoscossin
sinsinsinsin
Dar 1cos ≅di şi didi ≅sin .
cdc
iidi −=−⇒ 1
sincos1
⇒=⇒=⇒=⇒ ∫∫c
c
i
i
c
c
i
i
cicdc
iid
cdc
iid
00
00
ln)ln(sinsin
)(sinsin
)(sin
47
0
0
00
sinsinlnsinsinln
ci
ci
cc
ii
=⇒=⇒
unde i0 şi c0 sunt constante (sunt valori cunoscute).
constc
i =⇒ sin
Pe de altă parte, viteza sunetului are expresia:
µ
γ=
)(hRTc
)()(sin)(
sin hThTRconsticonsthRT
iα=
µγ
⋅=⇒=
µγ
, unde α este o constantă.
Înălţimea la care unda începe să revină la suprafaţa Pământului este înălţimea la care are loc
fenomenul de reflexie totală pentru că temperatura începe să crească şi deci va creşte şi unghiul de incidenţă;
la această înălţime 2π
=i . Se obţine:
( )⇒
α=
−
+⇒α
=⇒α=− 1211)()(1
1
20 HhHahThThT
( )α
=
−
+⇒− 121
21
221
0 HhHahT
( )
−α−±=⇒=−α+−⇒
aTHhTHaHhah 111012 0
2
2,10222
Se alege soluţia cu „+“.
30. Să se demonstreze că funcţia
++
−=
cxtf
cxtf)t,x( 21Ψ verifică ecuaţia unidimensională a
undelor, indiferent de forma funcţiilor f1 şi f2.
Ecuaţia unidimensională a undelor este:
2
2
22
2 1tcx ∂Ψ∂=
∂Ψ∂
Se notează cu cxt −=τ şi cu
cxt +=σ şi se calculează derivatele parţiale ale funcţiei în raport cu x
şi t.
cd
dfcd
dfdxd
ddf
dxd
ddf
x11 2121
σ+
−
τ=σ
σ+τ
τ=
∂Ψ∂
σ+
τ=
σσ
+τ
−
τ=
∂Ψ∂
22
2
21
2
222
2
21
2
2
2 111d
fdd
fdcdx
dcd
fddxd
cdfd
x
48
σ
+τ
=σσ
+ττ
=∂Ψ∂
ddf
ddf
dtd
ddf
dtd
ddf
t2121
22
2
21
2
2
2
σ+
τ=
∂Ψ∂
dfd
dfd
t
Înlocuind, se observă că se verifică ecuaţia undelor.
31. Să se demonstreze că funcţia:
000
sinsinsin),,,(cnz
bmy
alxAetzyx ti πππ
=Ψ ω
a) satisface ecuaţia tridimensională a undelor dacă:
++π=ω 2
0
2
20
2
20
2222
cn
bm
alc
b) se anulează în 0si0 axx == , în 0si0 byy == şi în 0si0 czz == dacă l, m şi n sunt numere întregi.
Ecuaţia tridimensională a undelor este:
2
2
22
2
2
2
2
2 1tczyx ∂Ψ∂
=∂
Ψ∂+
∂Ψ∂
+∂
Ψ∂
0000
sinsincoscnz
bmy
alxAe
al
xti ππππ
=∂Ψ∂ ω
000
2
02
2
sinsinsincnz
bmy
alxAe
al
xti πππ
π−=
∂Ψ∂ ω
Analog, se calculează pentru derivatele în raport cu y şi cu z.
000
2
02
2
sinsinsincnz
bmy
alxAe
bm
yti πππ
π−=
∂Ψ∂ ω
000
2
02
2
sinsinsincnz
bmy
alxAe
cn
zti πππ
π−=
∂Ψ∂ ω
000
sinsinsincnz
bmy
alxAei
tti πππ
ω=∂Ψ∂ ω
000
22
2
sinsinsincnz
bmy
alxAe
tti πππ
ω−=∂
Ψ∂ ω
Înlocuind în ecuaţie, se obţine:
⇒ω
−=
π−
π−
π− 2
22
0
2
0
2
0 cal
al
al
++π=ω 2
0
2
20
2
20
2222
cn
bm
alc
b) în 00 =Ψ⇒=x ; în 00 =Ψ⇒=y ; în 00 =Ψ⇒=z ;
în 0sin0 =π⇒= lax dacă l este număr întreg;
în 0sin0 =π⇒= mbx dacă m este număr întreg;
49
în 0sin0 =π⇒= ncx dacă n este număr întreg.
32. Pe suprafaţa de separare dintre două plăci transparente, cu indicii de refracţie 21 =n şi
41,12 =n , cade un fascicul de lumină sub unghiul de incidenţă i. Care este valoarea maximă a unghiului i
astfel încât lumina să iasă din a doua placă?
Deoarece n2 < n1, raza refractată se va depărta de normală. La suprafaţa de separare dintre placa a 2-a
şi aer fasciculul de lumină se va depărta şi mai mult de normală pentru că 2< naern .
Pe măsură ce creşte i, creşte r, dar şi r’ astfel încât, la un moment dat, se ajunge la o valoare maximă
a lui i pentru care '2
r π= şi deci, fasciculul de lumină nu se va mai refracta, ci se va propaga de-a lungul
suprafeţei de separare dintre placa a 2-a şi aer sau se va întoarce în placa 2 (are loc reflexia totală).
Se pot scrie relaţiile la reflexie totală:
1 max 2
2 1 max max1
sin sinsin sin sin sin sin
2'
2
aeraer aer
n i n rnn r n r n i n in
unde r
= π
= ⇒ = ⇒ = ⇒ π =
0max max
1sin 302
i i⇒ = ⇒ =
33. La adâncimea 1h m= sub apă se află o sursă punctiformă de lumină. Să se calculeze raza
minimă a discului de pe suprafaţa apei, cu centrul pe perpendiculara dusă din punctul în care se află sursa,
pentru ca un observator aflat în aer să nu poată observa sursa de lumină. Indicele de refracţie al apei este
43
n = .
50
Cu cât se depărtează observatorul de sursă, cu atât creşte unghiul de refracţie şi, la un moment dat,
atinge valoarea maximă la care are loc reflexia totală şi, deci, observatorul nu va mai vedea lumina de la
sursă. Discul imaginar de pe suprafaţa apei apare deoarece lumina se propagă în toate direcţiile.
La reflexie totală:
sin sin
3sin sin4
2
apa aer
apa aer
n i n rn i n i
unde r
= ⇒ = ⇒ =π
=
Din triunghiul dreptunghic SOA:
m in
m in
m in
tgtg
rir h ih
und e r ra za d iscu lu i im agina r
= ⇒ =−
m in 2
sin 371 sin
ir hi
= =−
34. O sursă sonoră se află pe suprafaţa Pământului la temperatura 00 16t C= . Gradientul
temperaturii atmosferei este 37 10 /Ta K mh
−∆= = − ⋅
∆. Să se calculeze timpul în care sunetul atinge
înălţimea 10h km= .
( )T y y= α − β
0 0 0 10 1
1 1
(0) ; (0)( ) ; ( )
T T T T T TT h TT h T T h h h T h
= = α α = −⇒ ⇒ −β = ⇒ β = = = α −β α −β =
1 0
0T TTa a
h h−∆
= = ⇒ = −β∆ −
Se obţine:
0( )T y T ay= +
( ) ( )( )
R T y dy RT yc dt dydt RT y
γ γ µ= ⇔ = ⇒ = ⇒
µ µ γ
( )1122
0 00 0
2( )
h
dt dy T ah TRT y a R
τ µ µ⇒ = ⇒ τ = + − γ γ
∫ ∫
51
35. O undă armonică plană se propagă printr-o bară foarte lungă de densitate 3 38 10 /kg mρ = ⋅ şi
are modulul de elasticitate 11 22 10 /E N m= ⋅ . Frecvenţa oscilaţiilor este 100 Hzν = . Să se calculeze:
a) viteza de propagare a undei;
b) lungimea de undă.
Ec =ρ
; cc = λ ⋅ν ⇒ λ =ν
36. Un tren se deplasează cu viteza de 60 km/h, apropiindu-se de un alt tren care vine spre el cu 40
km/h. Din primul tren se emite un sunet cu frecvenţa 840 Hzν = . Ce frecvenţă are sunetul auzit de un
observator din al doilea tren înaintea întâlnirii celor două trenuri? Dar dacă cel de-al doilea tren ar merge în
acelaşi sens cu primul?
RR S
S
c vc v
±ν = ν
m
în sensuri opuse: RR S
S
c vc v
+ν = ν
−
al doilea în acelaşi sens cu primul: RR S
S
c vc v
−ν = ν
+
37. Două trenuri cu vitezele 1 72 /v km h= şi 2 54 /v km h= se apropie unul de altul pe căi ferate
paralele. Din primul tren se emite un semnal sonor cu frecvenţa 600 Hzν = . Să se calculeze frecvenţa
sunetului recepţionat de pasagerii din cel de-al doilea tren:
a) înainte ca trenurile să treacă unul pe lângă celălalt;
b) după ce trenurile au trecut unul pe lângă celălalt.
RR S
S
c vc v
±ν = ν
m
a) înainte să treacă unul pe lângă celălalt: RR S
S
c vc v
+ν = ν
−
b) după ce au trecut unul pe lângă celălalt: RR S
S
c vc v
−ν = ν
+
38. O sursă produce în vid oscilaţii electrice care au amplitudinea câmpului electric max 30 /E V m=
şi frecvenţa 10 GHz. Unda electromagnetică produsă se propagă pe o direcţie definită în planul XOY de
52
prima bisectoare. Să se afle expresiile lui Eur
şi Bur
în punctul P situat la 0 3000x m= şi 0 2000y m= de
origine.
Punctul P, se află o distanţă suficient de mare de origine astfel încât se poate considera că unda
electromagnetică produsă de sursă este de forma unei unde armonice plane. Atunci expresiile lui Eur
şi Bur
sunt:
( ) ( )max, cosE r t E t kr= ω −ur r rr
( ) ( )max, cosB r t B t kr= ω −ur r rr
Se calculează pe rând fiecare necunoscută din expresiile lui Eur
şi Bur
.
2ω = πν
c
λ =ν
2k π
= ξλ
r r
ξr
este versorul direcţiei de propagare şi se scrie cu ajutorul cosinusurilor directoare:
cos cosi jξ = α + βr r r
045α = β =
( )2 22
k i jπ= +
λ
r r r
3000 2000r i j= +r r r
55 2 10k r⋅ ≅ ⋅r r
maxmax
EBc
=
( ) ( )5 5, 30cos10 6, 28 10 5 2E r t t= ⋅ −ur r
V/m
( ) ( )7 5 5, 10 cos10 6, 28 10 5 2B r t t−= ⋅ −ur r
T
39. O undă armonică plană cu frecvenţa Hz450=ν se propagă într-un mediu omogen cu viteza c =
340 m/s. Dacă amplitudinea de oscilaţie a particulelor mediului este mm3,0=A , să se afle:
a) lungimea de undă;
b) viteza maximă de oscilaţie a particulelor mediului.
a) cc = λν ⇒ λ =ν
53
b) ( )cosy A t kx= ω −
( )
( )max
max
sin2
sin 1
dyv A t kxdt v A A
v v t kx
= = −ω ω − ⇒ = ω = πν= ⇔ ω − = −
40. Printr-un mediu cu modulul de elasticitate 2N/m75GE = se propagă o undă longitudinală cu
faza iniţială nulă. Ecuaţia oscilaţiilor particulelor mediului la distanţa m5=x de sursă este
]mm[)5,0500cos(2 −=ξ t . Să se determine:
a) frecvenţa şi perioada undei;
b) densitatea mediului;
c) lungimea de undă a undei;
d) ecuaţia oscilaţiilor particulelor mediului la distanţa m1=′x de sursă şi diferenţa de fază dintre aceste
oscilaţii şi cele de la distanţa m5=x de sursă, pentru acelaşi moment de timp;
a) 1500
2Tω
ω = ⇒ ν = ⇒ =π ν
b) 2
E Ecc
= ⇒ ρ =ρ
c) cc = λν ⇒ λ =ν
2 2k
kπ π
= ⇒ λ =λ
0,5 20kx = ⇒ λ = π
d) ( ) ( ) ( ) ( )2t kx t kx k x x x xπ′ ′ ′∆ϕ = ω − − ω − = − = −λ
41. Amplitudinea unei perturbaţii este A = 10 cm, frecvenţa Hz4=ν , iar viteza de propagare a
perturbaţiei într-un mediu elastic este c = 100 m/s. Să se afle deplasarea faţă de poziţia de echilibru, viteza şi
acceleraţia punctelor aflate la distanţa m100=x faţă de sursa de oscilaţii la momentul s1t = de la
începerea mişcării.
( )cosA t kxξ = ω − ;
( )sindv A t kxdtξ
= = −ω ω − ;
54
( )2 cosdva A t kxdt
= = −ω ω −
2 992 8
100t kx t xπ
ω − = πν − = πλ
1 9910 cos 8100
− ξ = π
;
1 998 10 sin 8100
v − = − π⋅ π
;
2 1 9964 10 cos 8100
a − = − π π
42. Un punct material dintr-un mediu cu modulul de elasticitate 2kN/m27=E şi densitatea
3g/cm3=ρ este supus simultan oscilaţiilor descrise de ecuaţiile ]mm[)5300(2cos41 −π=ξ t şi
]mm[)5,4300(2cos32 −π=ξ t .
Se cere:
a) să se calculeze lungimea de undă a oscilaţiilor longitudinale care interferă;
b) să se studieze dacă în locul unde se află punctul material se obţine un minim sau un maxim de
interferenţă;
c) să se calculeze amplitudinea şi faza oscilaţiei rezultante.
a) Ec =ρ
; 22ω
ω = πν ⇒ ν =π
; cc = λν ⇒ λ =ν
b) ( ) ( )1 2 2 1 9 10t kx t kx kx kx∆ϕ = ω − − ω − = − = π − π = −π ⇒
⇒ este un minim de interferenţă
c) 2 21 2 1 22 cos 1A A A A A= + + ∆ϕ =
1 2
1 2
sin10 sin 9 0cos10 cos9
A AarctgA A
π + πϕ = =
π + π
43. Capetele unei bare având densitatea 3kg/m8000=ρ şi modulul de elasticitate
211 N/m102 ⋅=E , oscilează cu aceeaşi frecvenţă, dar cu amplitudini diferite. Oscilaţiile se propagă în bară
sub forma unor unde longitudinale, astfel că într-un punct al barei ajung undele:
]mm[)5,310(cos4 31 −π=ξ t şi
]mm[)5,210(cos5 32 −π=ξ t .
Se cere:
55
a) frecvenţa şi lungimea de undă a undelor;
b) lungimea barei;
c) să se cerceteze dacă în punctul considerat se formează un maxim sau un minim de interferenţă;
d) amplitudinea oscilaţiilor punctului considerat.
a) 22ω
ω = πν ⇒ ν =π
; cc = λν ⇒ λ =ν
; Ec =ρ
b) ( )cosA t kxξ = ω − ⇒ 1 3,5kx = π şi 2 2,5kx = π
1 23,5 2,5 6 32L x x
kπ + π π
= + = = = λπ
λ
c) ( ) ( )1 2 2,5 3,5t kx t kx∆ϕ = ω − − ω − = π − π = −π ⇒ este un minim de interferenţă
d) 2 21 2 1 22 cos 1A A A A A= + + ∆ϕ =
44. La distanţa m51 =r de o sursă punctiformă de unde sferice, aflată într-un mediu absorbant,
amplitudinea oscilaţiilor particulelor mediului este m501 µ=A . Într-un punct situat la o distanţă de p = 2
ori mai mare amplitudinea scade de n = 3 ori. Să se determine:
a) coeficientul de amortizare μ a undei;
b) amplitudinea A0 de oscilaţie a sursei.
Se dă 4,05,1ln ≅ .
2 212
I z A= ω ; 0rI I e−µ=
2 21 1
12
I z A= ω ; 11 0
rI I e−µ=
2 22 2
12
I z A= ω ; 22 0
rI I e−µ=
( )
1
21 2
212
22
112 2 1
2ln 33; 2
3
r
rr r
A eA e e
rAA r r
−µ
−µ−µ −
= ⇒ = ⇒ µ =
= =
2 20 0
12
I z A= ω ; 1 1
2 21
10
12
r r
z AIIe e−µ −µ
ω= = ;
12
0 1
r
A A eµ
⇒ =
56
45. La distanţa m101 =r de o sursă punctiformă de unde sferice aflată într-un mediu absorbant,
intensitatea undei este de n = 5 ori mai mare decât la m202 =r . Să se determine coeficientul de amortizare
μ al undei.
11 0
rI I e−µ= ; 22 0
rI I e−µ= ;
1
2
2
2
5 ln 510
r
rI eI e
−µ
−µ⇒ = ⇒ µ =
46. O sursă de unde sonore emite unde cu frecvenţa kHz10=ν . Cu ce viteză trebuie să se
deplaseze sursa faţă de observatorul în repaus pentru ca acesta să nu audă sunetul? Viteza sunetului este c =
340 m/s.
RR S
S
c vc v
±ν = ν
m
Pentru că observatorul este în repaus, 0Rv = .
10S kHzν =
Un om aude în domeniul 20 Hz – 20 kHz. Deci, sub 20 Hz şi peste 20 kHz nu aude sunetul emis de
sursă. Se va calcula viteza sursei pentru aceste limite ale frecvenţei:
3 34020 10 10 340 499 /340 S
S
v m sv
= ⋅ ⇒ = ⋅+
3 3 34020 10 10 10 170 /340 S
S
v m sv
⋅ = ⋅ ⇒ = −+
În concluzie:
• pentru 20 Hz sursa trebuie să se depărteze de observator cu viteza 340 499 /m s⋅ pentru ca să nu
audă sunetul emis de sursă;
• pentru 20 kHz sursa trebuie să se apropie de observator cu viteza 170 /m s pentru ca să nu audă
sunetul emis de sursă.
47. O sursă sonoră se află între un observator în repaus şi un obstacol în repaus şi se deplasează spre
obstacol cu viteza m/s10vS = emiţând sunete cu frecvenţa kHz1S =ν .
a) Care este frecvenţa sunetului receptat direct de la sursă?
b) Care este frecvenţa cu care se recepţionează sunetul reflectat de stâncă?
Viteza sunetului în aer este c = 340 m/s.
57
a) 3341035
RR S
S
c v Hzc v
−ν = ν =
+
b) 3341033
RR S
S
c v Hzc v
+ν = ν =
−
48. O undă armonică plană se propagă printr-o bară foarte lungă cu densitatea 33 mkg108 −⋅=ρ şi
modulul de elasticitate E = 2 · 1011 2mN . Amplitudinea oscilaţiilor este constanta A = 1 mm şi frecvenţa
ν = 100 1s − . Să se calculeze:
a) viteza de propagare a undei;
b) lungimea de undă;
c) densitatea de energie;
d) impedanţa acustică a mediului.
a) 65 10 /Ec m s= = ⋅ρ
b) 45 10cc m= λν ⇒ λ = = ⋅ν
c) 2 212
w A= ρω ; 2ω = πν
d) z c= ρ
49. Un tren se deplasează cu viteza v = 30 m/s, paralel cu un perete stâncos aflat la distanţa d =
200m. După cât timp se va sesiza din tren ecoul unui semnal sonor, emis de acesta. Viteza sunetului în aer
este c = 340 m/s.
1 2
1 2
;O A AB O A ABc t tt t c c
= = ⇒ = =
OB OBvv
= ⇒ τ =τ
Pentru ca un observator din tren să poată sesiza ecoul trebuie ca timpul în care sunetul ajunge înapoi
la tren să fie egal cu timpul în care se deplasează trenul până în punctul de întâlnire.
58
Deci:
1 2OB OA ABt tv c c
τ = + ⇔ = +
OA = AB; 2
2
2OBOA d = +
22
2 2
24
2
OBdOB d vOBv c c v
+⇒ = ⇒ =
−
2 2
12d
c vτ =
−
50. O membrană elastică dreptunghiulară cu lungimea L = 2m şi lăţimea l = 1m, încastrată la
margini, vibrează cu o astfel de frecvenţă încât de-a lungul Ox formează două ventre, iar de-a lungul axei Oy
un singur ventru. Cunoscând că viteza cu care se propagă perturbaţia pe membrană este de c = 200 m/s, să se
calculeze această frecvenţă şi să se determine amplitudinea oscilaţiei punctului 11 ;6
P m m
, amplitudinea
oscilaţiei în centrul membranei fiind A = 1mm.
Folosind formulele deduse în problema 1 din capitolul curent, se poate scrie:
2 2
2 22c m n
L lν = +
m = 2; n = 1
1200 4 1 100 22 4 1
s −ν = + =
3 3
122 1 36sin sin 10 sin sin 104 1 2
i t i t i tmx nyA e e eL l
ω − ω − ωππ π π ⋅Ψ = = =
51. Într-o experienţă de difracţie cu două fante, una dintre fante este acoperită cu o placă din sticlă cu
indicele de refracţie n1 = 1,4, iar cealaltă cu o placă din sticlă cu indicele de refracţie n2 = 1,7 şi de aceeaşi
grosime cu prima. Punctul de pe ecran în care se afla maximul central, înaintea introducerii plăcilor din
sticlă, este acum ocupat de a 5-a franjă luminoasă. Să se determine grosimea plăcilor de sticlă. Se dă λ = 650
nm.
Diferenţa de drum optic este:
• înainte de introducerea plăcilor de sticlă:
2 1r r kδ = − = λ
59
dar k = 0 (este un maxim central) 2 1 0r r⇒ δ = − =
• după introducerea plăcilor de sticlă:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1 2 1 2 1
1
r n d r n d r r n n d n n dk
′ δ = + − + = − + − = − ⇒′δ = λ
( ) 12 1 1
2 1
kn n d k dn n
λ⇒ − = λ ⇒ =
−; unde k1 = 5.
52. În calea unuia dintre fasciculele din dispozitivul lui Young se aşează o lamă subţire cu indicele
de refracţie n = 1,58. Maximul central se formează în locul minimului de ordinul al treilea (fără lamă). Să se
calculeze grosimea lamei dacă λ = 5800 Ǻ.
Diferenţa de drum optic este:
• înainte de introducerea lamei:
2 1r r kδ = − = λ
dar k = 3 (minim de ordin 3) 2 1 3r r⇒ δ = − = λ
• după introducerea lamei:
( )2 1 2 1
1 1
3 33 00( 0, )
r r nd r r nd ndnd d
nk k este un maxim central
′ δ = − + = − − = λ − λ ⇒ λ − = ⇒ =′δ = λ = =
60
CAPITOLUL III
TERMODINAMICĂ
1. Să se deducă formula barometrică considerând că temperatura scade liniar cu înălţimea
yTT α−= 0 .
dLdEp =
pdVmgdy =
( ) ( ) RdTνVdppdVRTνdpVdRTνpV =+⇔=⇒=
dydT α−=
dyRVdpmgdy αν−−=
Ţinând cont de )( 0 yTR
pVRTpVm
α−µ
=µ
= , rezultă:
VdpdyRgyTR
pV−=
µα
+α−
µ)( 0
∫∫ α−µ
µα
+−=⇒
hp
pyT
dyR
Rg
pdp
0 00
µ
+α−
α−=⇒
Rg
Thpp0
0 1
2. Să se calculeze diferenţa căldurilor molare la presiune şi volum constant, Cp – CV, pentru un gaz
real şi să se particularizeze pentru un gaz ideal.
Din primul principiu al termodinamicii:
pdVdVVUdT
TUdQ
TV
+
∂∂
+
∂∂
=
Prin definiţie:
+
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
=ppTp
p dTdVp
dTdV
VU
TU
nTQ
nC 11
Pentru un gaz Van der Waals:
61
V
V TU
nC
∂∂
=1
Diferenţiind ecuaţia termică de stare Van der Waals
( ) nRTnbVVanp =−
+ 2
2
şi ţinând seama că presiunea trebuie să rămână constantă, se obţine relaţia:
( )3
42
22
Vabnp
nRdTdVnRdTdV
VanpnbVdV
Vna
p +=
⇒=
++−−
Rezultă:
( )nbV
Vabnp
TnRCC Vp
−
+
=−
3
4
2
Pentru un gaz ideal, pentru care a = b = 0, se obţine:
RCC Vp =− , adică relaţia Robert Mayer.
3. La unele metale, căldura specifică depinde de temperatura absolută după legea bTaTc +=)( ,
unde a şi b sunt constante pozitive. Să se calculeze căldura necesară încălzirii unei mase de Cu de 1 kg în
intervalul KT 15,2731 = şi KT 15,3732 = .
∫ +=⇒+==ν=2
1
)()(T
T
dTbTamQdTbTammcdTCdTdQ
4. Într-un mediu fluid având temperatura Tfl se află un corp de masă m, căldură specifică c şi
temperatură iniţială T0. Între fluid şi corp are loc un schimb de căldură astfel încât temperatura corpului
variază. Să se afle dependenţa de timp a temperaturii corpului. Se va presupune T0 < Tfl.
( ) τ−α= SdTTdQ fl
dQ – schimbul elementar de căldură în intervalul de timp dτ
α – coeficientul schimbului de căldură
S – suprafaţa corpului
mcdTdQ =
( ) ⇒τα
−=−
⇒τα
−=−
⇒=τ−α⇒ ∫∫ττ
0
)(
0
dmc
STT
dTdmc
STT
dTmcdTSdTTT
T flflfl
( ) mcS
flfl eTTTTτα
−−−=τ⇒ 0)(
62
5. Un corp de masă m, căldură specifică c şi temperatură iniţială Ct 00 0= , cade liber de la o înălţime
oarecare faţă de pământ. Forţa de rezistenţă datorită frecării cu aerul este proporţională cu viteza (constanta
de proporţionalitate k se cunoaşte). Căldura degajată prin frecarea cu aerul este preluată numai de corp.
Neglijând forţa arhimedică, să se afle dependenţa de timp a temperaturii corpului înainte de atingerea vitezei
limită.
⇒τ
=−⇔=−⇔=−ddvkvmgmakvmgmaFG f
⇒τ=−
−⇒τ=−
−⇒ ∫∫ττ
0
)(
0
d
kmgv
dvkmd
kmgv
dvkm v
−=τ⇒
τ−mk
ek
mgv 1)(
Pe de altă parte: dLdQ = .
unde mcdtdQ = ; kvdydyFdL f == ; τ=⇒τ
= vddyddyv
Înlocuind se obţine:
∫∫τ
τ−τ
τ
−⋅=⇒τ=⇒τ=
0
2
2
22)(
0
22 1 dek
gmmckdtdv
mckdtdkvmcdt m
kt
−−
−+τ=τ
τ−τ−1
212)(
22mk
mk
ek
mekm
kcmgt
6. Fie funcţia f(x,y,z) unde x, y, z sunt parametrii stării. Să se arate că dacă:
a) z = ct. atunci zxyz x
yyf
xf
xf
∂∂
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
b) 0),,( =zyxf este ecuaţia de stare a sistemului, atunci 1−=
∂∂
∂∂
∂∂
yxz xz
zy
yx
a) , ,,
:y z x yx z
f f fdf dx dy dz dxx y z
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂
, ,,y z x yx z
df f f dy f dzdx x y dx z dx
∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂
dacă z = ct 0dz⇒ =
Rezultă: zxyz x
yyf
xf
xf
∂∂
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
.
63
b) , ,,
,
10 0x y x x yx z
x z
f f y fx ct dx dy dzy z z z f
y
∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
,
10 0y z x y y y z
x y
f f z fy ct dy dx dzfx z x xz
∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − ⋅ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
,
10 0y z x z z x z
y z
f f x fz ct dz dx dyfx y y yx
∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − ⋅ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Efectuând înmulţirile, se obţine 1−=
∂∂
∂∂
∂∂
yxz xz
zy
yx .
7. Să se stabilească relaţia dintre coeficientul termic al presiunii, coeficientul de dilatare în volum şi
coeficientul de compresibilitate.
1
p
VV T
∂ α = ∂ - coeficientul de dilatare în volum
1
V
pp T
∂ β = ∂ - coeficientul termic al presiunii
1
T
VV p
∂ℵ = − ∂
- coeficientul de compresibilitate
Pentru funcţia de stare ( , , )f f p V T= care este egală cu 0 se poate scrie relaţia:
1T p V
p V TV T p
∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂
Din formulele de definiţie ale coeficienţilor se obţin relaţiile:
1
T
pV V
∂ = − ∂ ℵ ;
p
V VT
∂ = α ∂ ;
1
V
Tp p
∂= ∂ β
Înlocuind, se obţine:
pα = ℵβ
8. Un gaz ideal trece din starea caracterizată de parametrii p1, V1 în starea caracterizată de parametrii
p2, V2 printr-un proces descris de ecuaţia p a bV= − , unde a şi b sunt constante pozitive.
a) Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de gaz în cursul acestui proces.
b) Să se stabilească dependenţa temperaturii de presiune.
a) ( ) ( ) ( )2 22
1 1
2 21
2 1 2
V V
V V
V VL pdV a bV dV a V V b
−= = − = − −∫ ∫
64
b) 2pV p a p ap ppV RT T
R R b Rb− − = ν ⇒ = = = ν ν ν
9. În cazul unei substanţe a cărei ecuaţie termică de stare este de forma ( ),p p V T= , să se arate că
p αβ =
ℵ, unde β este coeficientul de variaţie a presiunii cu temperatura, α este coeficientul de dilatare liniar,
iar ℵ este coeficientul de compresibilitate izoterm.
Din ( ),p p V T= rezultă:
V T
p pdp dT dVT V
∂ ∂ = + ∂ ∂
Dar, 1
V
pp T
∂ β = ∂ şi
1
T
VV p
∂ℵ = − ∂
.
De unde rezultă: V
ppT
∂ β = ∂ şi
1
T
VV p
∂− = ℵ ∂
.
Prin înlocuire, se obţine:
1 dVdp p dT
V= β −
ℵ
Când p = const. şi dp = 0, se obţine:
1 0dVp dT
Vβ − =
ℵ
De unde: 1
p
V p pV T
∂ α α = = βℵ ⇒ β = ∂ ℵ
10. Să se determine ecuaţia termică de stare în cazul unei substanţe pentru care se cunosc
coeficientul termic al presiunii şi coeficientul de compresibilitate izoterm.
Din problema precedentă:
pα = βℵ
Iar coeficientul termic al presiunii este: 1 ( )
V
p f Tp T
∂ β = = ∂
şi coeficientul de compresibilitate izoterm este
1 1
T
VV p p
∂ℵ = − = ∂
.
Pe de altă parte, coeficientul de dilatare izobar este:
65
( )ln1
p p
VVV T T
∂∂ α = = ∂ ∂
Rezultă:
( )ln 1
p
Vp
T p ∂
= β⋅ = β ∂
( )ln1 1 1
T T
VVV p p p p
∂ ∂ℵ = − = ⇔ − = ∂ ∂
( ) ( ) ( )ln lnln
p T
V Vd V dT dp
T p ∂ ∂
= + ∂ ∂
Înlocuind în ultima relaţie, rezultă:
( ) 1ln ( )d V f T dT dpp
= −
Astfel, se ajunge la următoarea ecuaţie termică de stare:
ln ( ) ln constV f T dT p= − +∫
11. Să se deducă ecuaţia termică de stare a unei substanţe pentru care coeficientul de dilatare
volumică α şi coeficientul de compresibilitate izoterm ℵ sunt daţi de expresiile:
1
p
V V aV T VT
∂ − α = = ∂
1 3( )
4T
V V aV p pV
∂ −ℵ = − = ∂
unde a este o constantă.
Fie V o funcţie de T şi p. Prin diferenţiere, se obţine:
( ) ( )34T
p T
V aV V dT dpdV dT dp VdT K Vdp V aT p T p
− ∂ ∂ = + = α − = − − ⇒ ∂ ∂
3/ 43 const4
dV dT dp V apV a T p T
− ⇒ = − ⇒ = −
12. Se presupune că atunci când aerul (considerat gaz ideal) se ridică, suferă un proces de destindere
adiabatică. Să se determine variaţia temperaturii cu creşterea altitudinii, ştiind că 1, 41γ = ,
28,9 /g molµ = şi 29,8 /g m s= .
Presupunem că avem un cilindru de înălţime dz şi bază S în care se găseşte aer.
66
Pentru aerul cu acest volum, condiţia de echilibru este:
( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )dp zp z S p z dz S z Sgdz dp z z gdz z gdz
− + − ρ = ⇒ − = ρ ⇒ = −ρ
Pentru un gaz ideal: m ppV RT
RTµ
= ⇒ ρ =µ
Se obţine:
dzRT
gp
dpRT
gpdz
zdp µ−=⇒
µ−=
)(
Deoarece gazul suferă o destindere adiabatică, se poate scrie:
constTp =γγ−1
Diferenţiind ultima relaţie, se obţine:
TdT
pdppdTTdpdTTpdpTp
10)1(0)1( 11
−γγ
=⇒=+γ−⇒=γ+γ− −γγ−γγ−
Rezultă:
Rg
dzdTdz
RgdT µ
γ−γ
−=⇒µ
−=−γγ 1
1
13. Propagarea sunetului în aer are loc adiabatic cu viteza ρ
=ddpvs , unde ρ este densitatea aerului.
a) Să se determine relaţia care există între exponentul adiabatic γ şi viteza sunetului vs.
b) Să se determine variaţia lui vs în funcţie de temperatură.
a) Din ecuaţia transformării adiabatice pentru gazul ideal constpV =γ se obţine prin diferenţiere:
001 =γ+⇒=γ+ −γγ
VdV
pdpdVVdpV
Din Vm
=ρ rezultă: VdVd
VdV
VdVmd −=
ρρ
⇒ρ−=−=ρ 2
Se obţine:
67
ρ
γ=ρ
⇒=ρρ
γ−p
ddpd
pdp 0
Rezultă:
ργ
=pvs
b) µ
=ρ
⇔µ
=⇔ν=RTpRTmpVRTpV
Astfel, viteza sunetului devine:
µ
γ=RTvs
14. Care va fi temperatura finală a unui mol de gaz care se destinde adiabatic în vid de la volumul V1
la volumul V2 considerând că:
a) gazul este ideal, iar expresia energiei interne este de forma 2
3RTU = .
b) gazul este real, iar expresia energiei interne este de forma VaRTU −=
23
, unde a este o constantă.
Deoarece gazul se destinde adiabatic în vid, acesta va ocupa noul volum de gaz datorită agitaţiei
termice, şi deci, 0=δQ , 0=δL , ceea ce înseamnă că 0=∆U , adică constU = şi 21 UU = .
a) 2121
23
23 TTRTRT
=⇒=
b)
−+=⇒−=−
1212
2
2
1
1 1132
23
23
VVRaTT
VaRT
VaRT
Rezultă că T2 < T1, deci gazul se răceşte.
15. Să se arate că procesul de destindere adiabatică a unui gaz ideal dintr-o incintă cu volumul V1 şi
temperatura T1, într-o incintă vidată cu volumul V2 este ireversibil. Să se calculeze variaţia de entropie în
cursul acestui proces.
Deoarece destinderea este adiabatică şi s-a realizat în vid, 0=Q şi 0=L . Rezultă că 0=∆U şi
cum pentru un gaz ideal TCU V ∆=∆ , rezultă că 0=∆T , adică temperatura finală este egală cu cea
iniţială.
68
Procesul ar fi reversibil dacă sistemul şi mediul ar putea reveni la starea iniţială prin aceleaşi stări
intermediare, lucru care nu este posibil deoarece gazul ar trebui să treacă de la sine în incinta cu volum V1, în
incinta cu volumul V2 rămânând vid. Procesul este ireversibil şi este asociat cu creştere de entropie.
Calculul variaţiei de entropie se realizează pornind de la faptul că aceasta este o funcţie de stare şi
există posibilitatea evaluării ei în cursul unui proces reversibil între cele două stări. În această situaţie se
consideră o transformare izotermă reversibilă între cele două stări.
Astfel se va putea scrie:
TQdS δ
=
Într-o transformare izotermă a unui gaz ideal:
pdVLQLQdU =δ=δ⇒=δ−δ= 0
Folosind ecuaţia termică de stare a gazului ideal se obţine:
VdVRdS ν=
Prin integrare:
1
21ln21
1V
VVRVdVRS
VV
V
+ν=ν=∆ ∫
+
> 0
16. Să se determine expresia entropiei unui gaz ideal alcătuit din ν kmoli, cunoscând VC – căldura
molară la volum constant şi pC – căldura molară la presiune constantă.
Pentru procese reversibile, ecuaţia fundamentală este:
VdVR
TdTCdS
VdVRTdTCpdVdUTdS VV ν+ν=⇒ν+ν=+=
Prin integrare, se obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii T şi V:
constVRTCVTS V +ν+ν= lnln),(
Pentru a obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii p şi T se înlocuieşte volumul:
pRTV ν
=
constpRTCconstpRTRTCpTS pV +ν−ν=+
νν+ν= lnlnlnln),(
69
Pentru a obţine expresia entropiei în funcţie de parametrii p şi V se înlocuieşte temperatura:
R
pVTν
=
constVCpCconstVRR
pVCVpS pVV +ν+ν=+ν+ν
ν= lnlnlnln),(
17. Fie un gaz ideal care satisface ecuaţia de stare Van der Waals:
( ) RTbVV
ap ν=ν−
ν+ 2
2
Considerând constantă căldura molară la volum constant VC , să se stabilească:
a) expresia energiei interne
b) expresia entropiei
c) ecuaţia transformării adiabatice
a) Se consideră energia o funcţie de volum şi temperatură: ),( TVUU =
Se obţine:
dTTUdV
VUdU
VT
∂∂
+
∂∂
=
Dar VV
CTU
ν=
∂∂
şi pTpT
VU
VT
−
∂∂
=
∂∂
.
Din ecuaţia de stare a gazului real:
2
2
Va
bVRTp ν
−ν−
ν=
Diferenţiind, se obţine:
bV
RTp
V ν−ν
=
∂∂
Înlocuind, rezultă:
2
2
Va
TU
V
ν=
∂∂
Atunci, se obţine:
22
VdVadTCdU V ν+ν=
Şi, prin integrare:
constV
aTCU V +ν
−ν=2
70
Se observă că în cazul gazului real în afara termenului TCVν în expresia energiei interne intră şi
termenul V
a2ν− care exprimă contribuţia energiilor potenţiale de interacţiune dintre moleculele gazului.
b) Din relaţia fundamentală pentru procesele reversibile rezultă:
T
pdVdUTQdS +
==δ
Ţinând cont de expresia presiunii din ecuaţia de stare a gazului real şi de cea a energiei interne dU,
se obţine:
bV
RdVT
dTCdS V
ν−ν
+ν
=
Prin integrare rezultă:
( ) 0lnln SbVRTCS V +ν−ν+ν=
c) În cazul unui proces adiabatic constS = . Din ultima expresie a entropiei de la punctul b se obţine
ecuaţia procesului adiabatic:
( ) constbVT RCV
=ν−
18. Să se determine randamentul ciclului Otto format din două adiabate şi două izocore (vezi figura)
având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc 2
1
VV
=ε şi V
p
CC
=γ .
Căldura schimbată de sistem pentru fiecare transformare în parte este:
012 =Q
( )2323 TTCQ V −ν=
034 =Q
( )4141 TTCQ V −ν=
Deci, randamentul se va scrie:
71
1
1111
2
3
1
4
2
1
23
14
12
41
−
−−=
−−
−=−=η
TTTT
TT
TTTT
Din transformările ce au loc între cele 4 stări se poate scrie:
122
111
−γ−γ = VTVT
114
123
−γ−γ = VTVT
1
1
1
2
2
1 1−γ
−γ
ε=
=
VV
TT
2
3
1
4
TT
TT
=
Înlocuind, expresia randamentului devine:
γε−=η
11
19. Să se determine randamentul ciclului Diesel format din două adiabate, o izobară şi o izocoră
(vezi figura) având ca substanţă de lucru un gaz ideal. Se cunosc 2
1
VV
=ε , V
p
CC
=γ şi 2
3
VV
=ρ .
Se calculează căldurile schimbate de sistem pentru fiecare transformare în parte:
012 =Q
( )2323 TTCQ p −ν= > 0
034 =Q
( )4141 TTCQ V −ν= < 0
Randamentul ciclului este:
1
1111
2
3
1
4
2
1
23
41
−
−
γ−=−=η
TTTT
TT
Din transformările ce au loc între cele 4 stări se poate scrie:
72
122
111
−γ−γ = VTVT
114
123
−γ−γ = VTVT
1
1
1
2
2
1 1−γ
−γ
ε=
=
VV
TT
ρ==2
3
2
3
VV
TT
11
1
2
2
3
1
1
3
3
4−γ−γ−γ
ερ
=
=
=
VV
VV
VV
TT
Pentru a calcula raportul 1
4
TT
se va scrie:
ερ==1
2
2
3
3
4
1
4
TT
TT
TT
TT
Deci, randamentul ciclului este:
( )1111 1 −ρε
−ργ
−=η −γ
γ
20. Să se calculeze randamentul unei maşini termice ce lucrează după un ciclu Joule care este
compus din două adiabate şi din două izobare, substanţa de lucru fiind un gaz ideal cu exponentul adiabatic
γ. Se cunoaşte raportul 2
1
pp
ε = .
( )12 2 1pQ C T T= ν − > 0
23 0Q =
( )34 4 3pQ C T T= ν − < 0
41 0Q =
Randamentul ciclului este:
73
4
34 3 4 3 3
112 2 1 2
2
11 1 1
1
TQ T T T T
TQ T T TT
−−
η = − = − = −− −
Transformările 2-3 şi 4-1 sunt transformări adiabatice şi se pot scrie următoarele relaţii:
1 1
2 1 3 2T p T p−γ −γγ γ=
1 1
1 1 4 2T p T p−γ −γγ γ=
Din care rezultă:
1 4
2 3
T TT T
=
Deci, randamentul va avea expresia:
1 1
3 1
2 2
11 1 1T pT p
−γ −γγ γ η = − = − = − ε
21. Să se calculeze lucrul mecanic minim necesar transformării unui volum 3 310 mV −= de apă la
temperatura de 50°C în ceaţă formată din picături sferice cu raza 5r m= µ . Coeficientul de tensiune
superficială a apei la 50°C este 10,063 Nm−σ = .
Prin transformarea volumului V de apă în ceaţă, suprafaţa totală a celor N picături sferice de rază r
obţinute este:
2 2 234 4 3 600
43
V VA N r r A mr r
= ⋅ π = ⋅ π = ⇒ =π
.
Conform definiţiei, lucrul mecanic necesar în acest proces va fi:
0
37.8A
L dA J= σ =∫ .
S-a neglijat energia membranei volumului de apă în starea iniţială.
22. Un cilindru închis la ambele capete, confecţionat dintr-un material izolator termic, este împărţit
în două compartimente de un piston termic conductor care se deplasează fără frecare. Cele două
compartimente conţin un gaz la presiunea p1, volumul V1, şi temperatura T1, respectiv p2, V2 şi T2.
Ce relaţie există între temperaturile şi presiunile gazelor din cele două compartimente la echilibru?
Pistonul se deplasează şi sistemul evoluează spre starea de echilibru, de entropie maximă şi deci:
74
1 2 0sistemdS dS dS= + =
Dar:
1 11 1
1 1
dU pdS dVT T
= +
şi:
2 22 2
2 2
dU pdS dVT T
= + .
Sistemul fiind izolat faţă de exterior, dU2 = -dU1 şi dV2= -dV1, ceea ce conduce la:
1 21 1
1 2 1 2
1 1 0sistemp pdS dU dV
T T T T
= − + − =
.
Aceasta implică, pentru orice dU1 şi dV1, anularea coeficienţilor corespunzători:
1 2
1 1 0T T
− =
; 1 2
1 2
0p pT T
− =
.
Rezultă că la echilibru:
T1 = T2 ; p1 = p2
23. Pentru a menţine temperatura unei lăzi frigorifice la –40°C atunci când temperatura mediului
înconjurător este 27°C, căldura din interiorul acesteia trebuie extrasă cu o viteză de 1,25kW.
Care este puterea minimă care trebuie furnizată dispozitivului frigorific de la reţea pentru ca acesta
să funcţioneze în acest regim ?
Se ştie că:
2 2.
1 2frig
consumat
Q TL T T
η = =−
.
În condiţiile de funcţionare date:
T2 = 233,15K, T1 = 300,15K, 3,48η = .
Folosind definiţia eficienţei frigη :
2consumat
frig
QL =η
se obţine minim 359P W= .
24. Pornind de la ecuaţia diferenţială care leagă presiunea hidrostatică de înălţimea unui fluid:
dp gdz= −ρ
75
unde ρ este densitatea fluidului, g acceleraţia gravitaţională, iar z înălţimea fluidului faţă de un nivel de
referinţă, să se obţină expresia presiunii atmosferice ca funcţie de înălţime, măsurată de la suprafaţa
pământului presupunând că:
a) temperatura aerului nu variază cu înălţimea
b) temperatura aerului variază cu înălţimea conform ecuaţiei 0T T kz= − , relaţie valabilă pentru z <
10 km.
a) Presupunând ca aerul atmosferic se comportă ca un gaz perfect, aceasta va satisface ecuaţia de
stare mpV RT=µ
, de unde rezultă ca densitatea aerului este pRT
µρ = . Folosind ecuaţia diferenţială a
presiunii hidrostatice:
dp g dzp RT
µ= −
prin integrare, rezultă
0( ) exp gp z p zRTµ = −
.
Aceasta este formula barometrică, strict valabilă la T = const., condiţie satisfăcută în stratosferă, pentru care
( )10 25z ∈ − km.
b) În cazul variaţiei temperaturii cu înălţimea avem:
( )0
dp g dzp R T kz
µ= −
−.
Prin integrare, obţinem:
0
0 0
ln ln T kzp gp kR T
−µ=
sau:
00
1
gkRkzp p
T
µ
= −
.
25. O cantitate m = 1kg de apă aflată la temperatura T0 = 273 K este pusă în contact termic cu un
termostat având temperatura T = 373 K.
a) Care este variaţia entropiei apei, a termostatului şi a ansamblului apă-termostat?
b) Dacă apa este pusă în contact termic întâi cu un termostat de temperatură T1 = 323K şi apoi, după
atingerea echilibrului termic cu un alt termostat cu temperatura T2 = 373K, care este variaţia entropiei
ansamblului apă-termostate? Sistemul apă-termostate este izolat adiabatic faţă de mediul exterior.
76
a) Căldura primită de apă este:
0
T
TQ mc dT= ∫
unde 34,18 10 Jckg K
= ⋅⋅
este căldura specifică a apei. Variaţia de entropie a apei va fi atunci:
0 0
T ln 1305T
T
apa T
mc dT JS mcT K
∆ = = =∫ .
Termostatul aflat la temperatura T = const. cedează apei cantitatea de căldură ( )0Q mc T T− = − − ,
iar variaţia de entropie corespunzătoare va fi:
( )0mc T-T
1120TT
JSK
∆ = − = − .
Variaţia de entropie a ansamblului va fi:
185 0apa TJS SK
∆ + ∆ = > .
b) Ţinând cont de rezultatul de mai sus,
1 1
0
2 2
0
T lnT
1305T lnT
apa
apa
apa
S mcJSKS mc
∆ = ⇒ ∆ =∆ =
( )
( )
1 0
1
2 1
2
T1T
1207T1T
T
T
T
S mcJSK
S mc
∆ = − −
⇒ ∆ = − ∆ = − −
.
Variaţia entropiei ansamblului va fi în acest caz:
98 0apa TJS S SK
∆ = ∆ + ∆ = > .
Se observă că în cazul acesta, variaţia entropiei ansamblului este mai mică decât in primul caz.
26. Arătaţi că pentru 1 mol de gaz real descris de ecuaţia Van der Waals:
( )2
ap V b RTV
+ − =
având căldura molară la volum constant CV constantă, ecuaţia procesului adiabatic este:
( ) constV
RCT V b− =
77
Diferenţiala entropiei pentru 1 mol de gaz Van der Waals este:
( )VC T RdS dT dVT V b
= +−
.
Într-un proces adiabatic dS = 0 şi atunci:
( )0VC T RdT dV
T V b+ =
−
unde pentru gazul real descris de ecuaţia Van der Waals, CV nu depinde de V şi este doar în funcţie de T.
Prin integrarea ecuaţiei de mai sus se obţine:
( )ln ln .VC T R V b const+ − =
şi ecuaţia adiabatei este:
( ) .R
CV
T V b const− =
27. Un mol de gaz ideal având RCV 23= şi RCp 2
5= , unde, KmolJR ⋅= 314,8 aflat iniţial la
temperatura T1 = 450K se destinde adiabatic de la volumul V1 = 3 litri la volumul V2 = 5 litri. Să se calculeze
lucrul mecanic efectuat şi variaţia entalpiei gazului în acest proces.
Într-o transformare adiabatică:
KVVTT 320
1
2
112 =
=
−γ
unde 35==γ
V
p
CC . Transformarea fiind adiabatică, ∆S = 0 şi lucrul mecanic efectuat va fi:
JTCUL V 1620−=∆⋅=∆=
iar entalpia:
JTCH p 2700−=∆⋅=∆ .
28. Un gaz real are ecuaţia de stare p(V-b) = nRT, unde 0 < b < V este o constantă. Să se găsească
expresia lucrului mecanic efectuat de gaz atunci când se destinde izoterm reversibil de la volumul iniţial Vi ,
la volumul final Vf > Vi . Comparaţi rezultatul de mai sus cu cel obţinut în cazul destinderii unui gaz ideal
între aceleaşi stări.
În cazul gazului real:
bbnRT
bVdVnRTpdVL f
ifi
realfi −
−−=∫
−−=∫−=→
i
f
VVln
Pentru un gaz ideal:
i
f
VVln nRTpdVL f
iideal
fi −=∫−=→ .
78
Deoarece b > 0 şi Vf > Vi , rezultă că: real
fiideal
fi LL →→ < .
29. O cantitate de oxigen, care se comportă ca un gaz real, se găseşte în starea caracterizată de
parametrii p1, T1 şi 1ρ , unde 1ρ este densitatea. Să se determine:
a) Densitatea gazului în starea iniţială, dacă mărindu-i presiunea de patru ori, densitatea creşte de
două ori, iar temperatura gazului scade de două ori.
b) Densitatea iniţială a gazului în cazul în care, păstrând temperatura constantă, presiunea se măreşte
de patru ori, iar densitatea creşte de două ori.
a) Gazul are o comportare de gaz real care se supune ecuaţiei Van der Waals. Conform acestei
ecuaţii, temperatura ca funcţie de presiune şi densitate este:
µ
ρ−
µρ
+ρ
µ=
bapR
T 12
2
.
Se exprimă raportul temperaturilor celor două stări:
µ
ρ−
µρ−
==b
b
TTx
1
1
2
1
212
1
şi rezultă:
1412
1 −−⋅µ=ρ
xx
b
cum 32
1 mkg 1034,42 ⋅=ρ⇒=x .
b) Considerând x = 1, se obţine:
32
1 mkg 10375,3
3⋅=ρ=µ=ρ cb
.
30. Se consideră un gaz ideal de masă m caracterizat prin parametrii de stare p şi T1. Sistemul suferă
o destindere izobară la un volum V2. Se cere:
a) Cantitatea de căldură Q schimbată de sistem cu exteriorul şi semnul ei.
b) Variaţia energiei interne ∆U a gazului.
c) Lucrul mecanic L schimbat de sistem cu exteriorul.
d) Aplicaţie numerică: m = 2g azot, p1 = 2atm, T1 = 300K şi V2 = 8,2dm3.
a) Din ecuaţia de stare:
79
22 nRTpV =
rezultă temperatura T2:
RnpVT 2
2 = .
Cantitatea de căldură schimbată de sistem cu exteriorul este:
22p
iQ nC T n RT+= =
unde i este numărul gradelor de libertate Q > 0, cantitatea de căldură este primită de gaz.
b) Variaţia energiei interne este:
TRinU ∆⋅=∆2
c) Lucrul mecanic schimbat de sistem cu exteriorul rezultă din primul principiu al termodinamicii: LQU +=∆
de unde: QUL −= ∆
L > 0, lucrul mecanic este cedat.
d) KT °= 28002 , JJQ 5225 18,41250 =⋅= , J 9,3731=U , J 1,1593−=L .
31. Se consideră un gaz perfect monoatomic aflat la presiunea p1 şi volumul V1. Se cere să se scrie
expresiile pentru:
a) Lucrul mecanic efectuat într-o transformare izotermă în care volumul gazului se dublează.
b) Cantitatea de căldură primită în această transformare.
a) Lucrul mecanic efectuat de sistem într-o transformare izotermă este:
1
211
1
2
VVln
VVln 2
1
2
1
VPnRTVdVnRTdVpL
V
V
V
V−=−=−=−= ∫∫
deci ln2 11VpL −= .
b) Pentru un gaz perfect, energia internă este dată de energia cinetică a moleculelor
nRTkTnNkTNU A 23
23
23 =⋅=⋅= .
Astfel
TnRU ∆⋅=∆23 .
Într-o transformare izotermă ∆T = 0, deci ∆U = 0
Din primul principiu al termodinamicii, rezultă
80
Q = – L
Deci, ln211VpQ =
32. Un mol de gaz perfect monoatomic aflat în condiţii normale de temperatură şi presiune se dilată
adiabatic, triplându-şi volumul. Se cere:
a) Să se calculeze lucrul mecanic efectuat.
b) Variaţia energiei interne.
a) Lucrul mecanic efectuat de sistem într-o transformare adiabatică este:
∫∫γ
−=−=
2
1
2
1 V 2
11V 2 dV
VVpdV p
VVL
unde s-a ţinut seama de ecuaţia transformării adiabatice γγ = 2211 VpVp .
Integrând, obţinem:
−
−γ−=−
γ−−=
−γγ−γ−
1
2
11111
12
11 111 V
VVpVVVpL
sau J 201911
1
2
11 −=
−
−γ−=
−γ
VVnRTL .
b) Într-o transformare adiabatică (Q = 0) din primul principiu al termodinamicii rezultă:
J201912 +=−=− LUU .
33. Un gaz perfect suferă o comprimare de la un volum de 5 dm3 la 1 dm3. Comprimarea se poate
face adiabatic sau izoterm. În care caz lucrul mecanic efectuat este mai mic?
Se ştie că lucrul mecanic într-o transformare adiabatică este:
−
−γ=
−γ 1
2
11 11 V
VnRTLad
iar lucrul mecanic într-o transformare izotermă este:
=
1
21 ln
VVnRTLizot .
Făcând raportul celor două relaţii, se obţine:
81
3,1ln
1
11
1
2
1
2
1
=
−
−γ=
−γ
VV
VV
LL
izot
ad .
Deci, comprimarea izotermă a unui gaz este mai avantajoasă din punct de vedere al lucrului mecanic
consumat.
34. Să se demonstreze că randamentul ciclului Carnot este mai mare decât randamentul ciclului
Carnot generalizat.
Randamentul ciclului Carnot generalizat este:
( )
1
2
211
21
VVln R
TT CT
TTη−+
−=
iar randamentul ciclului Carnot este:
1
21c T
TTη −= .
Expresia primului randament conduce la:
+=
+
−=
1
2
c1
2
21
1
VVln
CR
η1
VVln
CR
TTT
η1 .
Deoarece C > 0, iar 12 VV > , rezultă că 0VVln
1
2 >
CR , şi deci din ultima relaţie se obţine:
cη>
η11
De aici, rezultă:
η>ηc .
35. Se consideră un sistem termodinamic format dintr-un mol de gaz perfect biatomic, care suferă o
dilatare politropă .constpV n = de la un volum V1 la un volum V2.
Care este variaţia entropiei dacă dilatarea are loc?
a) pe o izotermă;
b) pe o adiabată.
a) Variaţia entropiei este:
1
2
1
212 V
Vln TTln RCSSS V +=−=∆ .
82
Într-o transformare politropă: 1
1
2
2
1−
=
n
VV
TT
astfel că:
[ ]pV CnCS −=∆ VVln
2
1 .
Pentru gazul biatomic se obţine:
−⋅=∆ RRS
27
252
VVln
2
1 .
Dacă dilatarea are loc după o izotermă, n = 1, astfel că
[ ]2
1
2
1
VVln
VVln RCCS pV −=−=∆ .
b) Dacă dilatarea are loc pe o adiabată, n = γ, deci:
[ ] 0VVln
2
1 =−⋅γ= pV CCS .
36. Un sistem termodinamic format dintr-un gaz perfect parcurge ciclul din figură. Să se arate că pe
drumurile 1 → 2 → 3 şi 1 → 4 → 3 cantiţătile de căldură schimbate sunt diferite, dar variaţiile de entropie
sunt egale.
Ciclul parcurs de sistem este format din două izobare 1 → 2 şi 3 → 4, şi două izocore 2 → 3 şi 4
→1.
Cantitatea de căldură IQ , pe ramura 1 → 2 → 3 este:
2312 QQQI +=
unde: ( ) ( )12112112 VVpTTCVpTCQ VV −+−=∆+∆=
( )2323 TTCQ V −= .
Atunci:
83
( ) ( ) ( )2312112 TTCVVpTTCQ VVI −+−+−= .
Pe ramura 1 → 4 → 3, cantitatea de căldură este:
( ) ( ) ( )1224314
4312
VVpTTCTTCQQQ
VV
II
−+−+−==∆+∆=
Dar, din ciclu se vede că:
4
1
3
2
TT
TT
= şi 3
2
2
1
TT
pp
=
astfel încât:
( ) ( )
( )3
4121
32
312
3
423
TTVVp
TTTTC
TTTTCQ VVII
−+
+−+−=
Deoarece T2 > T3 şi T3 > T4, rezultă că:
III QQ > .
Variaţia entropiei pe cele două ramuri este:
∫∫∫∫ +=+=∆3
2
2
1
2312T
TVT
T
pI T
dTCTdTC
TQ
TQS
∫∫∫∫ +=+=∆3
4
4
1
4314T
T
pT
TV
II TdTC
TdTC
TQ
TQS .
Integrând, rezultă:
2
3
1
2
TTln
TTln VpI CCS +=∆
1
2
2
3
TTln
TTln pVIi CCS +=∆ .
Comparând relaţiile obţinute, rezultă:
III SS ∆=∆
37. Într-un cilindru cu piston se află 5 l de apă la 293 K. Cunoscând coeficientul de dilatare în volum 14102 −⋅=α K şi cel de compresibilitate Nm /104 210−⋅=β , să se calculeze lucrul mecanic efectuat în
următoarele procese cuasistatice:
a) izoterm, cu creşterea presiunii de la 1 atm la 100 atm
b) izobar, la presiunea de 1 atm şi la creşterea temperaturii de la 0 o C la 80 o C
a) 00
1 VpV
pV
V TT
β−=
∂∂⇒
∂∂−=β
84
( )TpVVpRTVRTpV ,=⇒
ν=⇒ν=
dTTVdp
pVdV
pT
∂∂+
∂∂=⇒
Pentru că transformarea e izotermă dT = 0 :
dppVdV
T
∂∂=⇒ .
( ) ∫∫ β=β−−=⇒−=2
1
2
1
00
p
p
p
p
pdpVdpVpLpdVδL
unde V0 = 5 l = 5∙10 – 3 m3
b) 00
1 VTV
TV
V ppα=
∂∂⇒
∂∂=α
Pentru că transformarea e izobară dp = 0 dTTVdV
p
∂∂=⇒ .
( ) ∫∫ α−=α−=⇒−=2
1
2
1
00
T
T
T
T
dTVpdTVpLpdVδL
unde V0 = 5 l = 5∙10 – 3 m3 şi p = 1 atm
38. Să se calculeze expresia lucrului mecanic efectuat de ν moli de gaz Van der Waals, care se
destind izoterm la o temperatură T de la volumul V 1 la un volum V 2 .
2
2
Va
bVRTp ν−−
ν=
( )2
1
2
1
2
1
2
1
1ln 22
2 V
V
VV
V
V
V
VV
abVRTdVV
adVbV
RTLpdVδL
ν−−ν−=ν−−
−ν−=⇒−= ∫∫
−ν−
−−ν−=⇒
12
2
1
2 11lnVV
abVbVRTL
39. O masă m de gaz ideal, având masa molară μ este închis într-un corp de pompă, având la o
anumită temperatura volumul 1V . Fiind încălzit parametrii gazului devin 2p , 2V . Să se afle temperatura
maximă la care a fost încălzit gazul, ştiind că presiunea depinde de volum prin relaţia aVbp −= , a şi b
fiind constante.
pV=mµ
RT
85
(b-aV)V= mµ
RT⇒T= ( )2bV aVmR
µ −
Pentru ca temperatura să aibă un maxim trebuie cadTdV
= 0 şi 2
2
d TdV
< 0.
( ) ( )
<−
=−⇔
−=
−=⇒
0mRμa2
0aV2bmRμ
mRμa2
dVTd
aV2bmRμ
dVdT
2
2
Dacă ( )∃ T max ⇒ ( )∃ V max ⇒ b – 2aV max = 0 ⇒ V max =2ba
⇒
⇒ T max =mRµ 2 2
22 4b baa a
−
=
2
4b
maRµ
1 1
2 2
p b aVp b aV
= − = −
⇒ 1 1
2 2
p b aVp b aV
= − = − +
⇒
1 2
1 2
2 1 1 2
1 2
p paV V
p V p VbV V
− = − − − = −
T max =
2
2 1 1 2
1 2
2 1
1 2
4
p V p VVVp pmRV V
µ −
−−
= ( )( )
21 1 2 2
2 1 1 24 ( )p V p V
mR p p V Vµ −
− −
40. Să se calculeze randamentul unei maşini termice care lucrează după un ciclu Carnot generalizat
(format din 2 izoterme şi 2 politrope) ( )21 TT > substanţa de lucru fiind un gaz perfect.
1–2 T 1 = ct.: 2
11
1
211212 lnln
ppRT
VVRTQL ν=ν== > 0 absQQ =⇒ 12
2–3: transf. politropă: constpV =γ ; γ−
+=γ 1RCC V
( ) ( )1223232323 1TTRLdTCCdUδQδL V −
γ−ν=⇒−ν=−= γ
( ) dTCdTCdTCCdTCpdVdTCδLdUδQ VVVV γγ ν−ν=−ν−ν=+ν=−= 2232323
( )23 2 11VRQ C T T
= ν − − − γ < 0 cedatQQ =⇒ 23
3–4: T 2 =ct.: 4
32
3
423434 lnln
ppRT
VVRTQL ν=ν== < 0 cedatQQ =⇒ 34
4-1: transf. politropă: constpV =γ ; γ−
+=γ 1RCC V
86
( ) ( )2141414141 1TTRLdTCCdUδQδL V −
γ−ν=⇒−ν=−= γ
( ) dTCdTCdTCCdTCpdVdTCδLdUδQ VVVV γγ ν−ν=−ν−ν=+ν=−= 2414141
( )41 1 21VRQ C T T
= ν − − − γ > 0 absQQ =⇒ 41
η = 1234
abs
LQ
=R
( )
2 41 2
1 3
21 1 2
1
ln ln
ln1v
V VT TV V
V RRT C T TV
+
+ − − − γ
41. Să se demonstreze că în cazul unui proces adiabatic aplicat unui gaz ideal este adevărată relaţia:
pV γ =ct. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat în cursul unui astfel de proces, când gazul trece din starea
caracterizată prin parametrii 1 1 1, ,p V T în starea caracterizată prin parametrii 2 2 2, ,p V T .
δLdUδQ +=
Fiind o transformare adiabată Q = 0 şi deci 0=δQ .
0=+ν⇒ pdVdTCV
unde 1−γ
=RCV
01
=+−γ
ν⇒ pdVRdT
Pentru că este un gaz ideal ecuaţia de stare este:
( ) ( ) RdTVdppdVRTdpVdRTpV ν=+⇔ν=⇒ν=
Înlocuind, se obţine:
∫∫ γ−=⇒γ−=⇒=γ−⇒=+−γ+
VdV
pdp
VdV
pdppdVVdppdVVdppdV 00
1
ctpVctVp =⇒+γ−=⇒ γlnln
11
11
12
1 2
1
2
1
2
1+γ−
⋅−⋅=
+γ−⋅
===+γ−+γ−+γ−
γ∫∫VctVctVctdV
VctpdVL
V
V
V
V
V
V
Dar: ctVpVp == γγ2211 .
Înlocuind constanta se obţine:
γ−
−=
11122 VpVpL
87
42. Să se găsească creşterea energiei interne ∆U a unui mol de lichid (presupus gaz ideal R23CV = ),
care se dilată izobar de la lV 51 = la lV 102 = , procesul având loc la presiunea 2m/N20p = .
La gazele ideale, în transformarea izobară, energia internă depinde de temperatură şi volum:
)(TUU =
dTTUdU
V
∂∂=⇒ ;
dar V
V TUC
∂∂
ν= 1 ; rezultă: dTCdU Vν=
R
pVTRTpVν
=⇒ν=
Pentru 1 mol de gaz se va scrie:
( )121122
23 VVp
RVpVpCTCU VV −=−=∆=∆
43. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de o cantitate de 0,25kg amoniac într-o transformare
izotermă la temperatura de 270C cunoscând volumul iniţial al gazului 30 1,0 mV = şi presiunea finală a
acestuia atmp 17,1= .
00
lnlnVVRTm
VVRTQL
amoniacµ=ν==
molkgamoniac /31=µ
Fiind o transformare izotermă T = const.:
p
mRTp
VVRT
pVpVpVVp
amoniacµ=
ν
==⇒=0
00000
0
lnpV
mRTRTmLamoniacamoniac µµ
=
44. Într-un motor Diesel se aspiră aer atmosferic la presiunea 25 /01 mNp = şi la temperatura
Ct 015= . Aerul este apoi comprimat adiabatic până ce volumul scade de 15,6 ori. Ştiind că lucrul mecanic
cheltuit la comprimare este de 1260 J se cere:
a) masa de aer aspirată la o cursă a pistonului
b) temperatura aerului la sfârşitul comprimării
c) presiunea aerului la sfârşitul comprimării
88
Se dă exponentul adiabatic pentru aer γ = 1,4 şi densitatea aerului 3/3,1 mkgaer =ρ
a) 111
1 VmmVm
aeraeraer ρ==⇒=ρ
γ−
−=
γ−−=⋅== ∫∫ γ 11
11
22
11122
2
1
2
1
pVVp
VVpVpV
dVctpdVLV
V
V
Vcomprimare
6,15
1
1
2 =VV
γ
γ
γγγ
==⇒=
2
11
2
1122211 V
VpVVppVpVp
( )4,0
11
4,0
111
14,11
1 6,1514,0
4,06,151
4,116,156,15
−
⋅=⇒
−=
−−⋅⋅
=−
pL
VVpppVL comprimarecomprimare
b) RTVp
ν=1
11 ; RTVp
ν=2
22 ; 1
2
2
112
2
22
1
11
VV
VVTT
TVp
TVp
γ
=⇒=⇒
c) γ
γ
γγγ
==⇒=
2
11
2
1122211 V
VpVVppVpVp
45. Într-un cilindru se află o cantitate de aer la 251 /10 mNp = , KT 3001 = , ocupând volumul
lV 301 = . Gazul din cilindru este supus la următoarele transformări:
1. O încălzire izocoră până la 252 /105,1 mNp ⋅=
2. O destindere izobară până la lV 603 =
3. O răcire izocoră până la 14 pp =
4. O comprimare izobară până la starea iniţială.
Se cunosc:
gradgJCV ⋅= /7,0 ; gradgJCp ⋅= /1,1 ; kmolkg /9,28=µ .
Aerul se consideră gaz ideal.
Să se afle:
89
a) Masa aerului din cilindru.
b) Temperatura la sfârşitul fiecărui proces.
c) Lucrul mecanic efectuat şi cantitatea de căldură schimbată de aerul din cilindru în fiecare proces.
a) µ=⇒µ
=⇔ν=1
11111111 RT
VpmRTmVpRTVp
b) 1 – 2: izocoră:
21 VV = ;1
212
2
2
1
1
ppTT
Tp
Tp
=⇒= ; 252 /105,1 mNp ⋅=
2 – 3: izobară:
32 pp = ;2
323
3
3
2
2
VVTT
TV
TV
=⇒= ; lV 603 =
4 – 1: izobară:
14 pp = ;1
414
1
1
4
4
VVTT
TV
TV
=⇒=
3 – 4: izocoră:
lVV 6043 == ;2
114
4
1
3
2
4
4
3
3
ppTT
Tp
Tp
Tp
Tp
=⇒=⇔=
c) 1 – 2: izocoră:
12 0L = ; ( )2
1
12 12 2 1
T
V VT
Q U C dT C T T= ∆ = ν = ν −∫
2 - 3: izobară:
( ) ( )2
1
23 2 3 2 3 2
V
V
L pdV p V V R T T= = − = ν −∫
( )3
2
23 3 2
T
p pT
Q C dT C T T= ν = ν −∫
3 – 4: izocoră:
34 0L = ; ( )4
3
34 34 4 3
T
V VT
Q U C dT C T T= ∆ = ν = ν −∫
4 – 1: izobară:
( ) ( )1
4
41 1 1 4 1 4
V
V
L pdV p V V R T T= = − = ν −∫
( )1
4
41 1 4
T
p pT
Q C dT C T T= ν = ν −∫
90