2.capitolul_2
DESCRIPTION
Curs 2 - Controlul adaptiv al structurilor roboticeTRANSCRIPT
2 - 1
Cap. 2 Modele pentru sisteme dinamice 2.1. Introducere
În acest capitol prezentăm o scurtă descriere a diferitelor modele şi parametrizări ale sistemelor liniare invariante în timp (LTI-Linear Time Invariant). Accentul se pune pe acele idei care sunt utile în studiul problemelor de identificare a parametrilor şi de control adaptiv ce vor fi prezentate în capitolele viitoare.
Pentru început, vom prezenta pe scurt câteva modele canonice de stare pentru sistemele LTI, precum şi caracteristicile lor. În continuare, pentru aceeaşi clasă de sisteme, vom studia descrierile I/O utilizând funcţia de transfer şi operatorii diferenţiali. Vom defini funcţia de transfer ca raportul a două polinoame şi vom prezenta câteva proprietăţi de bază ale polinoamelor folosite în proiectarea controlului şi modelarea sistemelor.
Aceste modele parametrice ce vor fi prezentate, precum proprietăţile lor sunt esenţiale în problemele de identificare a parametrilor şi control adaptiv ce vor fi prezentate în capitolele viitoare.
Scopul acestui capitol nu este acela de a da o descriere completă a tuturor aspectelor legate de modelarea şi reprezentarea sistemelor LTI, ci mai degrabă de a prezenta un rezumat al acelor idei care vor fi utilizate în capitolele următoare. Pentru detalii privind modelarea şi proprietăţile sistemelor liniare, se recomandă următoarele cărţi standard începând cu cele elementare [44, 57, 121, 180] şi continuând cu cele avansate [30, 42, 95, 237, 238]. 2.2. Modele în spaţiul stărilor 2.2.1. Descriere generală
O serie de sisteme sunt descrise prinr-un set de ecuaţii diferenţiale de forma:
)),(),(()()(),),(),(()( 00
ttutxgtyxtxttutxftx
===&
(2.2.1)
unde t este variabila timp, x(t) este un vector n-dimensional cu elemente reale care reprezintă starea sistemului, u(t) este un vector r-dimensional cu elemente reale care reprezintă intrarea sau comanda sistemului, y(t) este un vector l-dimensional cu elemente reale care reprezintă variabilele de ieşire şi care pot fi măsurate, f şi g sunt funcţii vectoriale de variabile vectoriale reale, n este dimensiunea stării x denumită şi ordin al sistemului, x(t0) reprezintă valoarea lui x(t) la momentul iniţial t = t0 ≥ 0.
Când f şi g sunt funcţii liniare de x şi u, (2.2.1) ia forma:
2 - 2
utDxtCy
xtxutBxtAxT )()(
)(,)()( 00
+=
=+=& (2.2.2)
unde A(t) nn×ℜ∈ , B(t) rn×ℜ∈ , C(t) ln×ℜ∈ şi D(t) rl×ℜ∈ sunt matrice cu elemente variante în timp. Dacă în plus, f şi g nu depind de timpul t, se obţine
uDxCy
xtxuBxAxT +=
=+= 00 )(,& (2.2.3)
unde A, B, C şi D sunt matrice având aceleaşi dimensiuni ca cele din (2.2.2) dar cu elemente constante.
Sistemul (2.2.2) va fi referit ca sistem liniar finit-dimensional variabil în timp (LTV-Linear Time-Varying), iar (2.2.3) ca sistem LTI finit dimensional. Soluţia x(t), y(t) a sistemului (2.2.2) este dată de
)()()()()(
)()(),()(),()(0
00
tutDtxtCty
duBttxtttx
T
t
t
+=
ττττΦ+Φ= ∫ (2.2.4)
unde ),( 0ttΦ este matricea de tranziţie definită ca o matrice care satisface ecuaţia liniară matriceală omogenă:
ItttttAt
tt=ΦΦ=
∂Φ∂ ),(),,()(),(
0000
Pentru sistemul LTI (2.2.3), ),( 0ttΦ depinde numai de diferenţa t-t0, adică, )(
000)(),( ttAetttt −=−Φ=Φ
iar soluţia x(t), y(t) a lui (2.2.3) este dată de
)()()(
)()()(0
0 )(0
)(
tuDtxCty
duBetxetxT
t
ttAttA
+=
ττ+= ∫ τ−−
(2.2.5)
unde eAt poate fi calculată cu =tAe L--1 }){( 1−− AsI , unde L-1 reprezintă transformarea Laplace inversă, iar s este variabila Laplace.
Uzual, matricea D din (2.2.2), (2.2.3) este zero, deoarece în majoritatea sistemelor fizice nu există o conexiune directă între intrări şi ieşiri.
În acest curs, ne vom concentra în principal asupra sistemelor SISO-LTI, cu D = 0, dar vor exista şi câteva paragrafe, în care se vor analiza pe scurt şi sisteme de forma (2.2.2) şi (2.2.3). 2.2.2. Forme canonice în spaţiul stărilor
Considerăm sistemul SISO-LTI:
xCy
xtxuBxAxT=
=+= 00 )(,& (2.2.6)
unde nx ℜ∈ .
2 - 3
Matricea de controlabilitate Pc asociată sistemului (2.2.6) este definită prin:
],,[ 1BAABBP nc
−Δ= K
O condiţie necesară şi suficientă pentru ca sistemul (2.2.6) să fie complet controlabil este ca Pc să fie nesingulară. Dacă (2.2.6) este complet controlabil, transformarea liniară
xPx cc1−= (2.2.7)
transformă sistemul (2.2.6) în forma sa canonică controlabilă
cTc
c
n
c
xCy
ux
a
aaa
x
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
−00001
100
010001000
1
2
1
0
MMOM
LLL
& (2.2.8)
unde ai sunt coeficienţii ecuaţiei caracteristice asociată lui A, adică:
01
1)det( asasAsI nn
n +++=− −− L , iar c
TTc PCC = .
Dacă în locul lui (2.2.7) utilizăm transformarea
xPMx cc11 −−= , (2.2.9)
unde
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
−
1000100
101
1
23
121
LL
MMOMMLL
n
n
a
aaaaa
M ,
obţinem următoarea formă canonică a controllerului
cT
c
nn
c
xCy
ux
aaaa
x
0
0121
0
001
0100
00100001
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−−
=
−−
M
L
MOMM
L
L
L
& (2.2.10)
unde MPCC cTT =0 . Prin rearanjarea elementelor vectorului de stare xc, (2.2.10)
poate fi rescrisă în următoarea formă care apare deseori în cărţile de teoria sistemelor liniare
2 - 4
cT
c
nn
c
xCy
ux
aaaa
x
1
1210 1
000
1000001000010
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−−
M
L
L
OMM
L
L
& (2.2.11)
unde C1 este definită corespunzător. Matricea de observabilitate Po asociată sistemului (2.2.6) se defineşte prin:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
Δ
1nT
T
T
o
AC
ACC
PM
(2.2.12)
O condiţie necesară şi suficientă pentru ca sistemul (2.2.6) să fie complet observabil este ca Po să fie nesingulară. Urmând dualitatea argumentelor prezentate mai sus pentru forma canonică controlabilă şi a controllerului, se ajunge la forma observabilă şi a observerului cu condiţia ca Po să fie nesingulară [95]. Forma canonică observabilă a lui (2.2.6) obţinută prin transformarea xo = Pox este:
o
oo
nn
o
xy
uBx
aaaa
x
]0,,0,1[
1000001000010
1210
K
L
L
OMM
L
L
&
=
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−−
, (2.2.13)
iar forma canonică a observerului este
o
o
n
n
o
xy
uBx
aa
aa
x
]0,,0,1[0001000010001
1
0
1
2
1
K
L
L
OMM
L
L
&
=
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=−
−
, (2.2.14)
unde Bo, B1 pot fi diferite. Dacă pentru sistemul (2.2.6) de ordin n, rangul matricei de controlabilitate
asociate Pc este mai mic decât n, atunci se spune că (2.2.6) este necontrolabil. Similar, dacă rangul matricei de observabilitate Po este mai mic decât n, atunci (2.2.6) este neobservabil.
2 - 5
Sistemul reprezentat prin (2.2.8), (2.2.10) sau (2.2.11) este complet controlabil dar nu necesar şi observabil. Similar, sistemul reprezentat prin (2.2.13) sau (2.2.14) este complet observabil, dar nu necesar şi controlabil. Dacă sistemul (2.2.6) de ordin n este fie neobservabil, fie necontrolabil atunci proprietăţile sale I/O din condiţii iniţiale nule, adică x0 = 0, sunt caracterizate complet printr-un sistem complet controlabil şi observabil de ordin mai mic decât n, descris prin:
coTco
cococococo
xCy
txuBxAx
=
=+= 0)(, 0& (2.2.15)
unde rncox ℜ∈ cu nr < n. Trebuie precizat că, nu mai sunt posibile reduceri
ulterioare ale ordinului sistemului (2.2.15) fără afectarea proprietăţilor I/O, oricare ar fi tipul intrării aplicate. Din acest motiv, (2.2.15) este referit ca reprezentare minimală în spaţiul stărilor (de stare) a sistemului; aceasta se distinge de reprezentarea neminimală de stare care corespunde fie unui sistem necontrolabil, fie unui sistem neobservabil.
Un model minimal de stare nu descrie părţile necontrolabile sau neobservabile ale sistemului. În reprezentarea neminimală de stare, aceste părţi pot conduce la anumite stări nemărginite dacă sistemul evoluează din condiţii iniţiale nenule asociate acestor părţi. Dacă în schimb părţile necontrolabile sau neobservabile sunt asimptotic stabile [95], ele vor tinde exponenţial la zero şi, în multe aplicaţii, efectul lor poate fi ignorat. Un sistem ale cărui părţi necontrolabile sunt asimptotic stabile se numeşte stabilizabil, iar sistemul ale cărui părţi neobservabile sunt asimptotic stabile se numeşte detectabil [95].
Exemplul 2.2.1. Considerăm căruciorul cu două pendule inverse prezentat în Fig. 2.1, unde M este masa căruciorului, m1 şi m2 sunt masele celor două greutăţi, iar l1 şi l2 sunt lungimile celor două pendule. Utilizând legile lui Newton şi presupunând că deviaţiile unghiulare |||,| 21 θθ sunt mici, ecuaţiile de mişcare sunt date de:
22222
11111
2211
)(
)(
θ=θ+
θ=θ+
+θ−θ−=
gmlvm
gmlvm
ugmgmvM
&&&
&&&
&
Fig. 2.1. Cărucior cu două pendule inverse
m1 m2
l1
l2
Mu
θ1
θ2
2 - 6
unde v este viteza căruciorului, u este o forţă externă, iar g este acceleraţia gravitaţională. Pentru a simplifica calculele, presupunem că m1 = m2 = 1 kg, iar M = 10 m1. Dacă notăm x1 = θ1, x2 = 1θ& , x3 = 21 θ−θ , x4 = 21 θ−θ && variabilele de stare, obţinem următoarea reprezentare de stare a sistemului:
x& = Ax + Bu unde
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
xxxx
x , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−α−αα−α
α−α=
0)(1.00)(2.1100001.002.10010
21221
11A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
β−β
β=
21
10
0B
şi α1 = g/l1, α2 = g/l2, β1 = -0.1/l1, β2 = -0.1/l2. Matricea de controlabilitate a sistemului este dată de Pc = [B, AB, A2B, A3B].
Se poate arăta că
42
41
221
22 )()011.0(detll
llgPc−
=
ceea ce înseamnă că sistemul este controlabil dacă şi numai dacă 21 ll ≠ . Presupunem că θ1 este singura variabilă măsurabilă, adică, ieşirea măsurabilă
a sistemului este y = CTx, cu C = [1, 0, 0, 0]T. Matricea de observabilitate a sistemului bazată pe această ieşire este dată de:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=3
2
ACACAC
CP
T
T
T
T
o
Efectuând calculele, vom obţine, 21
2 /01.0det lgPo ⋅= , evident nenul, ceea ce înseamnă că sistemul este observabil pentru y = θ1.
Când l1 = l2, sistemul este necontrolabil. În acest caz, α1 = α2, β1 = β2, iar matricea A şi vectorul B devin:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
α
α−α=
000100001.002.10010
1
11A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡β=
00
01B
evidenţiind faptul că intrarea de comandă u nu poate influenţa variabilele de stare x3, x4. Se poate arăta că pentru x3(0), x4(0) ≠ 0, toate variabilele de stare vor creşte la infinit pentru toate intrările posibile u. Pentru l1 = l2, controlul celor două pendule identice este posibil numai dacă unghiurile iniţiale şi vitezele unghiulare sunt identice, adică, )0()0( 21 θ=θ şi )0()0( 21 θ=θ && , care face ca x3(0) = x4(0) = 0.
2 - 7
2.3. Modele intrare/ieşire
2.3.1. Funcţii de transfer
Funcţiile de transfer joacă un rol important în caracterizarea proprietăţile I/O ale sistemelor LTI şi sunt larg utilizate în teoria controlului clasic.
Vom defini mai întâi funcţia de transfer a unui sistem LTI pornind de la ecuaţia diferenţială care descrie dinamica acestui sistem.
Considerăm un sistem descris prin următoarea ecuaţie diferenţială de ordin n:
)()()()()()( 0)1(
1)(
0)1(
1)( tubtubtubtyatyaty m
mm
mn
nn +++=+++ −
−−
− LL (2.3.1)
unde )()()( tytd
dty i
ii
Δ= , iar )()()( tu
tddtu i
ii
Δ= ; u(t) este variabila de intrare, iar y(t)
este variabila de ieşire; coeficienţii ai, bj, i = 0, 1, ... , n - 1; j = 0, 1, ... , m, sunt constanţi, iar n şi m sunt constante întregi.
Pentru a obţine funcţia de transfer a sistemului (2.3.1), aplicăm trasformata Laplace ambilor membri ai ecuaţiei (2.3.1) considerând condiţiile iniţiale nule. Se obţine:
( ) ( ) )()( 01
101
1 sUbsbsbsYasas mm
mm
nn
n +++=+++ −−
−− LL
unde s este variabila Laplace. Funcţia de transfer G(s) a lui (2.3.1) este definită prin:
01
1
01
1
)()()(
asasbsbsb
sUsYsG n
nn
mm
mm
++++++
== −−
−−
Δ
L
L . (2.3.2)
Funcţia obţinută prin aplicarea transformatei Laplace inverse lui G(s), adică g(t) = L -1[G(s)], este cunoscută sub denumirea de răspuns la impuls al sistemului (2.3.1). Atunci, y(t) = g(t)∗u(t), unde ∗ reprezintă produsul de convoluţie. Când u(t) = )(tΔδ , unde )(tΔδ este funcţia delta definită prin:
εε−−
=δ→εΔ
)()(lim)(0
ttt II ,
unde I (t) este funcţia treaptă unitate, atunci y(t) = )()( ttg Δδ∗ = g(t). De aceea, când intrarea într-un sistem LTI este o funcţie delta (denumită adesea impuls unitate) la t = 0, ieşirea sistemului este egală cu g(t), răspunsul la impuls.
Spunem că G(s) este proprie dacă G(∞ ) este finită, adică n ≥ m, este strict proprie dacă G(∞ ) = 0 , adică n > m şi improprie, dacă n = m.
Gradul relativ n* a lui G(s) se defineşte ca n* = n - m, adică, n* = gradul numitorului – gradul numărătorului lui G(s).
Ecuaţia caracteristică a sistemului (2.3.1) este definită prin ecuaţia: 00
11 =+++ −− asas n
nn L .
Într-o manieră similară, funcţia de transfer a unui sistem LTI poate fi definită pornind şi de la descrierea sistemului prin ecuaţiile de stare (2.2.3). Aplicarea transformatei Laplace fiecărui membru din (2.2.3) conduce la:
2 - 8
)()()(
)()()0()(
sUDsXCsY
sUBsXAxssXT +=
+=− (2.3.3)
sau ( ) )0()()()()( 11 xAIsCsUDBAIsCsY TT −− −++−=
Considerând condiţiile iniţiale nule, adică, x(0) = 0, se obţine: Y (s) = G(s)U(s) (2.3.4)
unde DBAIsCsG T +−= −1)()( se numeşte funcţie de transfer matriceală, în cazul sistemelor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri, şi, funcţie de transfer în cazul sistemelor SISO.
G(s) se poate de asemenea reprezenta prin:
DAIs
BAIsadjCsGT
+−−
=)det()}({)( (2.3.5)
unde adj(Q) reprezintă adjuncta matricei pătratice nnQ ×ℜ∈ . Elementul (i, j) notat cu qij al adj(Q) se calculează ca njiQq ij
jiij ,,2,1,,)det()1( K=−= + , unde
)1()1( −×−ℜ∈ nnjiQ este o submatrice a lui Q obţinută prin eliminarea liniei j şi a
coloanei i a matricei Q. Din (2.3.5) este clar că polii lui G(s) sunt incluşi în valorile proprii ale lui A.
Spunem că A este stabilă dacă toate valorile sale proprii sunt situate în Re[s] < 0, caz în care G(s) este o funcţie de transfer stabilă. Rezultă că 0)det( =− AsI este ecuaţia caracteristică a sistemului cu funcţia de transfer dată de (2.3.5).
Dacă în (2.3.3) şi (2.3.4) trecerea de la reprezentarea de stare la o descriere printr-o funcţie de transfer s-a făcut într-o manieră foarte simplă, calea inversă, adică trecerea de la o descriere printr-o funcţie de transfer proprie, la o reprezentare de stare, nu este aşa de simplă. Este totuşi adevărată afirmaţia că, pentru fiecare funcţie de transfer proprie G(s) există matricele A, B, C şi D astfel încât
DBAIsCsG T +−= −1)()( . Ca exemplu, considerăm un sistem cu funcţia de transfer
)()()(
01
1
01
1
sUsY
asasbsbsbsG n
nn
mm
mm =
++++++
= −−
−−
L
L
unde n > m. Atunci, sistemul poate fi reprezentat în forma controlabilă
xbbby
ux
aaaa
x
mm
nn
],,,,,0,0[
0
001
0100
00100001
01
0121
KK
ML
MOMMLLL
&
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−−
= (2.3.6)
sau în forma observabilă
2 - 9
xy
ubx
aa
aa
x m
n
n
]0,,0,1[
0
0
0001000010001
0
1
2
1
K
M
M
LLOMMLL
&
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=−
−
(2.3.7)
Dar, pentru acelaşi sistem se pot genera încă multe alte reprezentări de stare care să-i descrie proprietăţile I/O.
Formele canonice (2.3.6) şi (2.3.7), au câteva proprietăţi importante care vor fi utilizate în capitolele următoare. De exemplu, dacă notăm cu (Ac, Bc, Cc) şi (Ao, Bo, Co) matricele corespunzătoare din forma controlabilă (2.3.6) şi respectiv din forma observabilă (2.3.7), se pot stabili relaţiile:
)(]1,,,[)]([ 11 sssBAsIadj n
Tncc −
Δ− α==− K (2.3.8)
)(]1,,,[)( 11 sssAIsadjC T
nn
oTo −
Δ− α==− K (2.3.9)
ale căror părţi drepte sunt independente de coeficienţii lui G(s). O altă proprietate importantă constă în aceea că cei n+m+1 coeficienţi al lui
G(s) apar explicit în tripletele (Ac, Bc, Cc) şi respectiv (Ao, Bo, Co), sau altfel spus tripletul (Ac, Bc, Cc), respectiv (Ao, Bo, Co), este caracterizat complet de cei
1++mn parametri care sunt egali cu coeficienţii polinoamelor din G(s). Dacă în G(s) nu există simplificări poli-zerouri atunci atât (2.3.6) cât şi (2.3.7)
constituie reprezentări minimale de stare ale aceluiaşi sistem. Dacă în G(s) există simplificări poli-zerouri, atunci (2.3.6) este neobservabil, iar (2.3.7) este necontrolabil. Dacă simplificările poli-zerouri ale lui G(s) se fac în Re[s] < 0, adică, polii stabili se simplifică cu zerouri stabile, atunci (2.3.6) este detectabil, iar (2.3.7) este stabilizabil. Similar, un sistem descris printr-o reprezentare de stare este neobservabil sau necontrolabil, dacă şi numai dacă funcţia de transfer a sistemului conţine simplificări poli-zerouri. Dacă părţile neobservabile sau necontrolabile ale sistemului sunt asimptotic stabile, atunci simplificările poli-zerouri apar în Re[s] < 0.
O altă abordare pentru reprezentarea ecuaţiei diferenţiale (2.3.1) constă în
utilizarea operatorului diferenţial td
dp )()( ⋅=⋅Δ
, care are următoarele proprietăţi:
yxyxyxpiixxpi &&& +== )()(;)()(
unde x şi y sunt orice funcţii derivabile ce depind de timp şi tdtxdx /)(Δ=& .
Operatorul invers a lui p, notat cu p -1 sau cu 1/p este definit prin
0,)0()()(10
≥∀+ττ= ∫Δ
txdxxp
t,
unde x(t) este o funcţie integrabilă. Operatorii p şi 1/p sunt legaţi de operatorul Laplace s prin următoarele ecuaţii:
2 - 10
L )()}({ 0)0( sXsxp x ==
, respectiv L )()/1()})(/1{( 0)0( sXsxp x ==
unde L este transformata Laplace şi x(t) este orice funcţie derivabilă în raport cu timpul. Utilizând definiţia operatorului diferenţial, relaţia (2.3.1) poate fi scrisă în forma compactă:
R(p)(y) = Z(p)(u) (2.3.10) unde 0
11)( apappR n
nn +++= −
− L , 01
1)( bpbpbpZ mm
mm +++= −
− L se numesc operatori diferenţiali polinomiali [226].
Ecuaţia (2.3.10) are aceeaşi formă ca R(s)Y(s) = Z(s)U(s) (2.3.11)
obţinută prin aplicarea transformatei Laplace ambilor membri ai ecuaţiei (2.3.1), în condiţii iniţiale nule. De aceea, pentru condiţii iniţiale nule, se poate trece de la reprezentarea (2.3.10) la (2.3.11) şi vice versa prin simpla înlocuire a lui s cu p sau p cu s. De exemplu, sistemul
)()(0
20 sUasbssY++
=
poate fi scris sub forma, (p2 + a0)(y) = (p + b0)(u), cu y(0) = y& (0) = 0, u(0) = 0 sau, prin abuz de notaţie (deoarece niciodată nu vom definit operatorul (p2 + a0)-1), sub forma:
)()(0
20 tuapbpty++
=
Observaţie. Datorită similarităţii formelor (2.3.11) şi (2.3.10), vom utiliza s pentru a nota atât operatorul diferenţial, cât şi variabila Laplace, şi vom exprima sistemul (2.3.1), în condiţii iniţiale nule, sub forma:
usRsZy)()(
= (2.3.12)
unde y şi u reprezintă )(sY şi respectiv U(s), când s este folosit ca operator Laplace, iar y şi u reprezintă y(t) şi respectiv u(t), când s este folosit ca operator diferenţial.
Relaţia G(s) = Z(s)/R(s) din (2.3.12) este deseori referită ca filtru cu intrarea u(t) şi ieşirea y(t).
Exemplul 2.3.1. Considerăm sistemul de ecuaţii care descrie mişcarea căruciorului cu două pendule din Exemplul 2.2.1, unde y = θ1 este singura ieşire măsurată. Eliminarea variabilelor θ1, θ2 şi 2θ& prin substituire, conduce la următoare ecuaţie diferenţială de ordinul patru:
uuyyy 21)2(
121)2(
21)4( 2.1)(1.1 βα−β=αα+α+α−
unde αi, βi, i = 1, 2, sunt cele definite în Exemplul 2.2.1, care leagă intrarea u cu ieşirea măsurată y. Aplicând transformata Laplace ambilor membri ai acestei ecuaţii, în condiţii iniţiale nule, se obţine:
2 - 11
)()()(]2.1)(1.1[ 212
1212
214 sUssYss βα−β=αα+α+α−
De aici, se deduce că funcţia de transfer a sistemului de la u la y va fi:
)(2.1)(1.1)(
)(
212
214
212
1 sGss
ssUsY
=αα+α+α−
βα−β=
Pentru l1 = l2, avem α1 = α2, β1 = β2, şi
)2.1()()(
2.12.2)()(
12
12
12
121
21
41
21
α−α−α−β
=α+α−
α−β=
sss
ssssG
are două simplificări poli-zerouri. Deoarece α1 > 0, una dintre cele două simplificări pol-zerou se face în Re[s] > 0 ceea ce arată că orice reprezentare de stare a sistemului cu o funcţie de transfer de ordinul patru nu este stabilizabilă. 2.3.2. Polinoame coprime
Proprietăţile I/O ale majorităţii sistemelor studiate în acest curs sunt reprezentate prin funcţii de transfer proprii exprimate ca raport a două polinoame în s cu coeficienţi reali, adică,
)()()(
sRsZsG = , (2.3.13)
unde 01
1)( bsbsbsZ mm
mm +++= −
− L , 01
1)( asassR nn
n +++= −− L şi n ≥ m.
Proprietăţile sistemului asociat cu G(s) depind foarte mult de proprietăţile lui Z(s) şi R(s). În aceast paragraf, vom reaminti câteva proprietăţi generale ale polinoamelor ce vor fi utilizate în capitolele următoare pentru analiza şi proiectarea algoritmilor de comandă.
Definiţia 2.3.1. Se consideră polinomul 01
1)( asasasX nn
nn +++= −
− L . Se spune că X(s) este monic dacă an = 1 şi X(s) este Hurwitz dacă toate radăcinile lui X(s) = 0 sunt plasate în Re[s] < 0. Spunem că gradul lui X(s) este n dacă coeficientul an a lui sn satisface an ≠ 0.
Definiţia 2.3.2. Un sistem cu o funcţie de transfer dată de (2.3.13) este cu minim de fază dacă Z(s) este Hurwitz; sistemul este stabil dacă R(s) este Hurwitz.
Aşa cum s-a menţionat în paragraful 2.3.1, o reprezentare a sistemului este minimală dacă funcţia de transfer corespunzătoare nu conţine simplificări poli-zerouri, adică, dacă polinoamele de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer nu au alţi factori comuni decât o constantă. Definiţia următoare este des utilizată în teoria controlului pentru caracterizarea polinoamelor cu factori necomuni.
Definiţia 2.3.3. Se spune că două polinoame a(s) şi b(s) sunt coprime (sau relativ prime) dacă ele nu au alţi factori comuni decât o constantă.
O caracterizare importantă a coprimarităţii a două polinoame este dată de următoarea Lemă.
Lema 2.3.1. (Identitatea Bezout). Două polinoame a(s) şi b(s) sunt coprime dacă şi numai dacă există polinoamele c(s) şi d(s) astfel încât:
2 - 12
c(s)a(s) + d(s)b(s) = 1 Pentru demonstraţia Lemei 2.3.1, vezi [73, 237].
Pentru o pereche de polinoame coprime a(s) şi b(s), identitatea Bezout poate avea un număr infinit de soluţii c(s) şi d(s) aşa cum reiese din exemplul următor.
Exemplul 2.3.2. Considerăm polinoamele coprime 1)( += ssa , 2)( += ssb . Atunci, identitatea Bezout este satisfăcută pentru
12)( 1 −+= −nn sssc , 1)( 1 +−−= −nn sssd şi orice 1≥n .
Coprimaritatea este o proprietate importantă şi intens exploatată în teoria controlului pentru proiectarea schemelor de conducere corespunzătoare sistemelor LTI. O teoremă importantă, foarte utilizată în proiectarea şi analiza controlului, este următoarea.
Teorema 2.3.1. Dacă a(s) şi b(s) sunt polinoame coprime cu gradele na şi respectiv nb, cu na > nb, atunci, pentru orice polinom arbitrar a*(s) cu gradul na*≥ na, ecuaţia polinomială
a(s)l(s) + b(s)p(s) = a*(s) (2.3.14) are o soluţie unică polinoamele l(s) şi p(s) ale căror grade nl şi respectiv np, satisfac condiţiile np < na, nl ≤ max(na* - na, nb - 1).
Demonstraţie. Din Lema 2.3.1, rezultă că există polinoamele c(s) şi d(s) astfel încât
a(s)c(s) + b(s)d(s) = 1. (2.3.15) Înmulţind ambii membri ai ecuaţiei (2.3.15) cu polinomul a*(s), obţinem:
a*(s)a(s)c(s) + a*(s)b(s)d(s) = a*(s). (2.3.16) Împărţim a*(s)d(s) prin a(s), adică,
)()()(
)()()(*
saspsr
sasdsa
+=
unde r(s) este polinomul cât de grad na* + nd - na, na*, na şi nd fiind gradele lui a*(s), a(s) şi respectiv d(s), iar p(s) este restul cu gradul np < na. Utilizând
a*(s)d(s) = r(s)a(s) + p(s), membrul stâng al lui (2.3.16) se exprimă sub forma a*(s)a(s)c(s) + r(s)a(s)b(s) + p(s)b(s) = [a*(s)c(s) + r(s)b(s)]a(s) + p(s)b(s), care ne permite să rescriem (2.3.16) sub forma
l(s)a(s) + p(s)b(s) = a*(s), (2.3.17) unde l(s) = a*(s)c(s) + r(s)b(s). Din ecuaţia anterioară se deduce că gradul lui l(s)a(s) = gradul lui (a*(s) - p(s)b(s)) ≤ max{na*, np + nb}. Deci, gradul lui l(s), notat cu nl, satisface nl ≤ max{ na* - na, np + nb – na}. Mai mult, putem stabili că polinoamele l(s) şi p(s) din (2.3.17) cu gradele nl şi np satisfac următoarele inegalităţi: nl ≤ max{ na* - na, np + nb – na} şi respectiv np < na. Cum din np < na se deduce că np ≤ na - 1, gradul nl satisface de asemenea nl ≤ max{ na* - na, nb – 1}.
2 - 13
Vom demonstra unicitatea lui l(s) şi p(s) procedând astfel: Presupunem că (l1(s), p1(s)), (l2(s), p2(s)) sunt două soluţii ale lui (2.3.17) adică,
a(s)l1(s) + b(s)p1(s) = a*(s), respectiv a(s)l2(s) + b(s)p2(s) = a*(s), care satisfac următoarele condiţii de grad: np < na, nl ≤ max{ na* - na, nb – 1}.
Scăzând a doua ecuaţie din prima, se obţine a(s)(l1(s) - l2(s)) + b(s)(p1(s) - p2(s)) = 0 (2.3.18)
care va determina
)()()()(
)()(
21
12
spspslsl
sasb
−−
= (2.3.19)
Deoarece np < na, rezultă că în (2.3.19) polinoamele b(s), a(s) au factori comuni, ceea ce contrazice ipoteza că a(s) sunt b(s) coprime. Astfel, l1(s) = l2(s) şi p1(s) = p2(s), ceea ce conduce la faptul că soluţia l(s) şi p(s) a lui (2.3.17) este unică, şi demonstraţia este completă.
Dacă nu se impun constrângeri asupra gradelor lui l(s) şi p(s), ecuaţia (2.3.14) are o infinitate de soluţii. Ecuaţiile de forma (2.3.14) se numesc ecuaţii Diofantice şi sunt utilizate în proiectarea algebrică a regulatoarelor pentru procese LTI. Exemplul următor ilustrează modul de utilizare a Teoremei 2.3.1 pentru proiectarea unui sistem de conducere stabil.
Exemplul 2.3.3. Considerăm procesul descris prin:
us
sy 31−
= (2.3.20)
Se doreşte o alegere a intrării u(t) astfel încât ecuaţia caracteristică a sistemului în circuit închis să fie descrisă prin a*(s) = (s + 1)5, adică, u trebuie aleasă astfel încât sistemul în circuit închis să fie descris prin:
(s + 1)5 y = 0. (2.3.21) Considerăm o comandă de forma
yslspu)()(
−= (2.3.22)
unde l(s) şi p(s) sunt polinoame cu coeficienţi reali ale căror grade şi coeficienţi trebuie să fie determinate. Înlocuind (2.3.22) în (2.3.20), se obţine următorul sistem în circuit închis, yspsysls )()1()(3 −−= , sau, 0)]()1()([ 3 =−+ yspssls .
Dacă l(s) şi p(s) se aleg astfel încât să satisfacă ecuaţia Diofantică: l(s)s3 + p(s)(s - 1) = (s + 1)5, (2.3.23)
atunci sistemul în circuit închis devine identic cu cel dorit, dat de (2.3.21). Întrucât (2.3.23) poate avea un număr infinit de soluţii pentru l(s) şi p(s),
pentru a alege l(s) şi p(s) cu gradul cel mai mic folosim Teorema 2.3.1. Conform Teoremei 2.3.1, ecuaţia (2.3.23) are o soluţie unică l(s), p(s) cu gradul cel mult 2. Ca urmare, presupunem că l(s), p(s) au forma: l(s) = l2s2 + l1s + l0 , respectiv p(s) =
2 - 14
p2s2 + p1s + p0, pe care le introducem în (2.3.23) şi obţinem următoarea ecuaţie polinomială
l2s5+l1s4+(l0+p2)s3+(p1-p2)s2+(p0-p1)s-p0 = s5+5s4+10s3+10s2+5s+1. Egalând coeficienţii aceloraşi puteri ale lui s din cei doi membrii ai ecuaţiei anterioare, se obţin ecuaţiile algebrice:
l2 = 1, l1 = 5, l0 + p2 = 10, p1 - p2 = 10, p0 - p1 = 5, -p0 = 1, care au soluţia unică l2 = 1, l1 = 5, l0 = 26, p2 = -16, p1 = -6, p0 = -1. Deci,
l(s) = s2 + 5s + 26, p(s) = -16s2 - 6s – 1. Rezultă ca mărimea de comandă din (2.3.22) este dată de:
yss
ssu265
16162
2
++++
−= .
O altă caracterizare a coprimarităţii pe care o vom folosi în capitolele următoare este dată de următoarea teoremă:
Teorema 2.3.2 (Teorema lui Sylvester). Două polinoame
01
1)( asasasa nn
nn +++= −
− L , 01
1)( bsbsbsb nn
nn +++= −
− L
sunt coprime dacă şi numai dacă matricea Sylvester Se asociată lor este nesingulară, unde Se este o nn 22 × matrice definită prin:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
−−
−−
−−
Δ
00
1010
00
110110
11
11
11
11
00000000
...0...
....00...00
....0....0..............
0.....0...........
..00000000000000
babbaa
babbbaaabbaa
babbaa
bbaaba
Snn
nn
nn
nnnn
nnnn
nn
e
LLOMMOMM
OMOMM
MOMOMOMO
LLLL
(2.3.24)
Demonstraţie. Necesitatea. Considerăm următoarea ecuaţie polinomială: a(s)c(s) + b(s)d(s) = 1 (2.3.25)
unde c(s) = cn-1sn-1+cn-2sn-2 ++L c0, d(s) = dn-1sn-1+dn-2sn-2 ++L d0, sunt polinoame arbitrare cu gradul n-1. Egalând coeficienţii puterilor egale ale lui s din cei doi membri ai lui (2.3.25), se obţine ecuaţia algebrică
ne epS 2= , (2.3.26)
unde e2n = [0, 0, ... , 0, 1]T n2ℜ∈ şi p = [cn-1, cn-2, ... , c0, dn-1, dn-2, ... , d0]T n2ℜ∈ . Ecuaţiile (2.3.25) şi (2.3.26) sunt echivalente în sensul că orice soluţie a lui
(2.3.26) satisface (2.3.25) şi vice versa. Întrucât Se este nesingulară, ecuaţia
2 - 15
(2.3.26) are soluţie unică pentru p. Rezultă că (2.3.25) are de asemenea soluţie unică pentru c(s) şi d(s) care, conform Lemei 2.3.1, conduce la concluzia că a(s), b(s) sunt coprime.
Suficienţa. Vom arăta că dacă a(s) şi b(s) sunt coprime, atunci pentru toate polinoamele nenule p(s) şi q(s) cu gradele np < n şi respectiv nq < n, avem
a(s)p(s) + b(s)q(s) ≠ 0 (2.3.27) Dacă (2.3.27) nu este adevărată, există polinoamele nenule p1(s) şi q1(s) cu gradele
nnp <1
şi respectiv nnq <1
, astfel încât
a(s)p1(s) + b(s)q1(s) ≠ 0 (2.3.28) Din ecuaţia (2.3.28) se vede că b(s)/a(s) poate fi exprimat ca
)()(
)()(
1
1
sqsp
sasb
−=
care, deoarece nnp <1
şi nnq <1
, conduc la ideea că a(s) şi b(s) au factori comuni, prin aceasta contrazicând ipoteza că a(s), b(s) sunt coprime. Deci, afirmaţia este adevărată şi (2.3.27) rămâne adevărată.
Relaţia (2.3.27) poate fi rescrisă sub forma 0≠xSe (2.3.29)
unde nx 2ℜ∈ conţine coeficienţii lui p(s) şi q(s). Deoarece (2.3.27) este adevărată pentru toate polinoamele nenule p(s) şi q(s) cu gradele np < n şi respectiv nq < n, atunci (2.3.29) rămâne adevărată pentru toţi vectorii nx 2ℜ∈ cu 0≠x , care face ca Se să fie nesingulară.
Determinantul lui Se este cunoscut sub denumirea de rezultant Sylvester şi poate fi folosit la examinarea coprimarităţii unei perechi de polinoame. Dacă polinoamele a(s) şi b(s) din Teorema 2.3.2 au grade diferite – să presupunem nb < na - atunci b(s) se poate exprima ca un polinom cu gradul na prin augmentarea lui cu puteri adiţionale în s ai căror coeficienţi sunt consideraţi nuli.
Exemplul 2.3.4. Considerăm polinoamele: a(s) = s2 + 2s + 1, b(s) = s - 1 = 0s2 + s – 1.
Matricea Sylvester asociată este:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
1010112101120001
eS
Cum det Se = 4 ≠ 0, rezultă că a(s) şi b(s) sunt polinoame coprime. Proprietăţile matricei Sylvester sunt utile în rezolvarea în raport cu l(s) şi p(s)
a unei clase de ecuaţii Diofantice de forma l(s)a(s) + p(s)b(s) = a*(s), unde a(s), b(s) şi a*(s) sunt polinoame precizate.
2 - 16
De exemplu, ecuaţia a(s)l(s) + b(s)p(s) = a*(s) cu na = n, na* = 2n – 1 şi nb = m < n conduce la ecuaţia algebrică
fxSe = (2.3.30)
unde nneS 22 ×ℜ∈ este matricea Sylvester asociată lui a(s) şi b(s), nx 2ℜ∈ este un
vector care conţine coeficienţii polinoamelor l(s) şi p(s) ale căror grade, conform Teoremei 2.3.1 sunt cel mult n – 1, iar nf 2ℜ∈ conţine coeficienţii lui a*(s). Deci, dându-se a*(s), a(s) şi b(s), se poate rezolva (2.3.30) în raport cu x, vectorul coeficienţilor lui l(s) şi p(s). Dacă a(s) şi b(s) sunt coprime, 1−
eS există şi deci, soluţia lui (2.3.30) este unică şi este dată de fSx e
1−= . Dacă a(s) şi b(s) nu sunt coprime, atunci Se nu este inversabilă, şi (2.3.30) are o soluţie dacă şi numai dacă dimensiunea vectorului f este egală cu rangul lui Se. Prin calcule algebrice, se poate arăta că această condiţie este echivalentă cu faptul că a*(s) conţine factorii comuni ai lui a(s) şi b(s).
Exemplul 2.3.5. Considerăm aceeaşi problemă de proiectare a comenzii ca cea din Exemplul 2.3.3, unde comanda u de forma u = -(p(s)/l(s)) y este utilizată
pentru a forţa sistemul us
sy 31−
= să satisfacă ecuaţia caracteristică (s + 1)5 y = 0.
Trebuie să arătăm că polinoamele l(s) şi p(s) satisfac ecuaţia Diofantică l(s)a(s) + p(s)b(s) = (s + 1)5 (2.3.31)
unde a(s) = s3 iar b(s) = s - 1. Matricea Sylvester Se corespunzătoare lui a(s) şi b(s) este
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
100000110000011000001100000010000001
eS
Cum, det Se = -1, se deduce că a(s) şi b(s) sunt coprime. Ca şi în Exemplul 2.3.3, se doreşte rezolvarea lui (2.3.31) pentru coeficienţii
necunoscuţi li, pi, i = 0, 1, 2 ai polinoamelor l(s) = l2s2 +l1s+l0 şi p(s) = p2s2 +p1s+p0. Prin egalarea coeficienţilor puterilor egale ale lui s din cei doi membri ai lui (2.3.31), se obţine ecuaţia algebrică
fxSe = (2.3.32)
unde f = [1, 5, 10, 10, 5, 1]T şi x = [l2, l1, l0, p2, p1, p0]T. Deoarece Se este nesingulară, soluţia lui (2.3.32) este dată de T
e fSx ]1,6,16,26,5,1[1 −−−== − , care este identică cu soluţia obţinută în Exemplul 2.3.3.
2 - 17
2.4. Modele parametrice ale procesului
Considerăm procesul reprezentat prin următoarea formă minimală de stare:
xCy
xxBuAxxT=
=+= 0)0(,& (2.4.1)
unde nx ℜ∈ , 11, ℜ∈ℜ∈ yu , iar A, B şi C au dimensiuni corespunzătoare. Tripletul (A, B, C) conţine n2+2n elemente numite parametri ai procesului. Dacă (2.4.1) este în una din formele canonice prezentate în paragraful 2.2.2, atunci n2 elemente din (A, B, C) sunt fixate (cunoscute), fie 0 fie 1, ceea ce înseamnă că pentru a specifica proprietăţile procesului sunt necesare cel mult 2n elemente. Aceste 2n elemente sunt coeficienţii numărătorului şi numitorului funcţiei de transfer Y(s)/U(s). De exemplu, aplicând transformarea Laplace în (2.4.1), se obţine
Y (s) = CT (sI - A)-1BU(s) + CT (sI - A)-1x0, de unde se deduce că
0)()}({)(
)()()( x
sRAsIadjCsU
sRsZsY
T −+= (2.4.2)
unde R(s) este un polinom de gradul n, iar Z(s) de grad cel mult n - 1. Dacă în (2.4.2), x0 = 0, se obţine funcţia de transfer descrisă prin:
usRsZy)()(
= , (2.4.3)
unde, fără pierderea generalităţii, se poate presupune că Z(s) şi R(s) sunt de forma:
012
21
1
012
21
1
)(
)(
asasasassR
bsbsbsbsZn
nn
nn
nn
nn
+++++=
++++=−
−−
−
−−
−−
L
L (2.4.4)
Dacă Z(s) are gradul 1−< nm , atunci coeficienţii bi, 1,,2,1 +−−= mnni K sunt egali cu zero. Ecuaţiile (2.4.3) şi (2.4.4) arată că pentru a preciza univoc proprietăţile I/O ale procesului (2.4.1) sunt necesari cel mult 2n parametri. Dacă în (2.4.3), pentru a specifica aceleaşi proprietăţi I/O, sunt utilizaţi mai mult decât 2n parametri, se spune că modelul este supraparametrizat. De exemplu, modelul
uss
sRsZy
)()(
)()(ΛΛ
= , (2.4.5)
unde Λ(s) este Hurwitz şi are gradul 0>r , are aceleaşi proprietăţi I/O ca şi procesul descris prin (2.4.3), şi, din această cauză, se spune că (2.4.5) este supraparametrizat. În plus, orice reprezentare de stare a lui (2.4.5) de ordin
nrn >+ este neminimală. Pentru anumite probleme de estimare şi control, parametrizările sigure ale
procesului sunt mult mai convenabile decât alte tipuri de parametrizări. O parametrizare a procesului utilă în problemele de estimare şi control este cea în care parametrii sunt consideraţi împreună (reuniţi într-un vector), dar separaţi de
2 - 18
semnalele măsurabile. Precizăm că în problemele de estimare a parametrilor, parametrii sunt consideraţi constante necunoscute care trebuie estimate din măsurătorile semnalelor de I/O ale procesului.
În paragraful următor, pentru un acelaşi proces, se prezintă o serie de parametrizări, utile pentru proiectarea estimatoarelor parametrilor (ce vor fi prezentate în capitolele viitoare). 2.4.1. Modele liniar-parametrizate
Parametrizarea 1
Ecuaţia (2.4.3) poate fi exprimată ca o ecuaţie diferenţială de ordinul n descrisă prin:
ububububyayayayay nn
nn
nn
nn
n01
)2(2
)1(101
)2(2
)1(1
)( ++++=+++++ −−
−−
−−
−− &L&L
(2.4.6) Dacă vom introduce toţi parametrii din (2.4.6) în vectorul parametrilor
Tnnnn aaaabbbb ],,,,,,,,,[ 01210121
* KK −−−−=θ ,
iar semnalele de I/O precum şi derivatele lor, în vectorul semnalelor TT
nTn
Tnnnn ysusyyyyuuuuY ])(,)([],,,,,,,,,[ 11)2()1()2()1(
−−−−−− α−α=−−−−= &K&K
unde Tiii ssss ]1,,,,[)( 1 K−
Δ=α , atunci (2.4.6) şi implicit (2.4.3), se poate exprima în
următoarea formă compactă (unde s trebuie interpretat ca operator diferenţial):
YyTn *)( θ= (2.4.7)
Ecuaţia (2.4.7) este liniară în raport cu parametrul *θ , proprietate care, aşa cum se va vedea în Cap. 4 şi 5, este esenţială pentru proiectarea estimatoarelor pentru estimarea lui *θ din măsurătorile lui y(n) şi Y.
Deoarece, în majoritatea aplicaţiilor, singurele semnale disponibile pentru a fi măsurate sunt intrarea u şi ieşirea y, iar folosirea derivatelor acestora nu este indicată, folosirea semnalelor y(n) şi Y trebuie evitată.
O cale de a evita folosirea lui y(n) şi Y constă în a filtra fiecare membru din (2.4.7) cu un filtru stabil de ordin n, de forma 1/Λ(p) sau 1/Λ(s), obţinând:
φθ=T
z * , (2.4.8) unde
ys
sys
zn
n
)()(1 )(
Λ=
Λ=Δ
, TT
nTn y
ssu
ss
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Λα
−Λα
=φ −−Δ
)()(,
)()( 11 ,
iar
012
21
1)( λ+λ++λ+λ+=Λ −−
−− sssss n
nn
nn L
este un polinom Hurwitz arbitrar în s.
2 - 19
Este clar că semnalul scalar z şi vectorul semnalelor φ pot fi generate fără a folosi derivatele, prin simpla filtrare a intrării u şi a ieşirii y cu filtrele stabile strict proprii )(/ ssi Λ , i = 0, 1, ..., n.
Dacă rescriem pe Λ(s) sub forma )()( 1 sss nTn
−αλ+=Λ , unde T
nn ],,,[ 021 λλλ=λ −− K , z din (2.4.8) se poate scrie în forma:
ys
syys
ssys
sz nTnTn
)()(
)()()(
)(11
Λα
λ−=Λ
αλ−Λ=
Λ= −− ,
de unde
ys
szy nT
)()(1
Λα
λ+= − .
Deoarece 2*21
*1
* φθ+φθ=φθ=TTT
z , unde
Tnn bbbb ],,,,[ 0121
*1 K−−
Δ=θ , T
nn aaaa ],,,,[ 0121*2 K−−
Δ=θ ,
us
sTn
)()(1
1 Λα
=φ −Δ
, ys
sTn
)()(1
2 Λα
−=φ −Δ
rezultă că, 2*21
*122
*21
*1 )( φλ−θ+φθ=φλ−φθ+φθ= TTTTTT
y . Deci,
φθ= λT
y * , (2.4.9)
unde TTTT],[ *
2*1
* λ−θθ=θλ . Ecuaţiile (2.4.8) şi (2.4.9) sunt reprezentate prin schema bloc din Fig. 2.2.
Fig.2.2. Parametrizarea 1 a procesului
O reprezentare de stare pentru generarea semnalelor din (2.4.8) şi (2.4.9) poate fi obţinută folosind identitatea )()]([ 1 slsIadj nc −α=Λ− , unde Λc şi l sunt date prin:
)()(1
ssn
Λα −
)()(1
ssn
Λα
− −
T*1θ
T*2θ
Tλ
Σ
Σ1φ
2φ_
u
z
y ++
+ +
2 - 20
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ λ−λ−λ−λ−
=Λ
−−
0
001
,
0100
00100001
0121
ML
MOMMLLL
l
nn
c
care implică
)()()(,)()det( 11
sslsIssI n
cc Λα
=Λ−Λ=Λ− −− .
Atunci, din (2.4.8) şi Fig. 2.2 rezultă că:
φθ=φλ+=
φθ=
ℜ∈φ−φΛ=φ
ℜ∈φ+φΛ=φ
λ
TT
T
nc
nc
yz
y
ly
lu
*2
*
222
111
,
,&
&
(2.4.10)
Deoarece )det()( csIs Λ−=Λ şi )(sΛ este Hurwitz, rezultă că Λc este o matrice stabilă.
Modelul parametric (2.4.10) este o reprezentare de stare neminimală a procesului (2.4.3). Este neminimală deoarece pentru a reprezenta un sistem de ordinul n sunt folosite 2n integratoare. Într-adevăr, funcţia de transfer Y(s)/U(s) calculată folosind (2.4.10) sau Fig. 2.2,
)()(
)()(
)()(
)()(
sRsZ
ss
sRsZ
sUsY
=ΛΛ
=
implică n simplificări poli-zerouri stabile. Sistemul (2.4.10) are acelaşi răspuns I/O ca şi (2.4.3) şi (2.4.1) cu condiţia ca
toate condiţiile iniţiale să fie nule, adică, x0 = 0, 0)0()0( 21 =φ=φ . Într-un proces real, starea x din (2.4.1) poate reprezenta variabile fizice, iar
starea iniţială x0 poate fi nenulă. Efectul stării iniţiale x0 poate fi inserat în modelul (2.4.10) utilizând aceeaşi procedură prezentată aplicată ecuaţiei (2.4.2) şi nu ecuaţiei (2.4.3). Se poate arăta că dacă se consideră efectul condiţiei iniţiale x0, se va obţine următoarea reprezentare de stare:
0*
2
0*
222
111
0)0(,
0)0(,
η+φθ=φλ+=
η+φθ=
=φ−φΛ=φ
=φ+φΛ=φ
λ
TT
Tc
c
yz
y
ly
lu&
&
(2.4.11)
unde 0η este ieşirea următorului sistem:
ω=η
ω=ωωΛ=ωT
c
C00
0)0(,& (2.4.12)
2 - 21
unde nℜ∈ω , 000 xB=ω şi nC ℜ∈0 , nnB ×ℜ∈0 sunt matrice constante care satisfac egalitatea: )}({)}({ 00 AsIadjCBsIadjC T
cT −=Λ− .
Întrucât Λc este o matrice stabilă, din (2.4.12) rezultă că ω şi 0η converg la zero exponenţial. Atunci, efectul condiţiei iniţiale nenule x0 constă în apariţia în ieşirea y şi respectiv z a termenului 0η cu descreştere exponenţială la zero.
Parametrizarea 2
Considerăm modelul parametric (2.4.9), φθ= λT
y * , şi identitatea
1)()( 1 =− sWsW mm , unde Wm(s) = Zm(s)/Rm(s) este o funcţie de transfer cu gradul relativ 1, iar Zm(s) şi Rm(s) sunt polinoame Hurwitz. Deoarece *
λθ este un vector constant, (2.4.9) se poate exprima sub forma:
φθ= −λ )()( 1* sWsWy m
Tm .
Dacă în această relaţie notăm T
m
Tn
m
Tn
my
ssWsu
ssWs
sW ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Λ
α−
Λα
=φ=ψ −−Δ
)()()(,
)()()(
)(1 11 ,
unde φ este dat în (2.4.8), obţinem:
ψθ= λT
m sWy *)( . (2.4.13)
Întrucât toate elementele lui )()(
)(1
ssWs
m
n
Λα − sunt funcţii de transfer cel mult
proprii, cu polii stabili, rezultă că starea TTT ],[ 21 ψψ=ψ , unde
ussW
s
m
n
)()()(1
1 Λα
=ψ − , yssW
s
m
n
)()()(1
2 Λα
−=ψ −
poate fi generată fără derivarea lui y sau u. Dimensiunea lui ψ depinde de ordinul n al lui Λ(s) şi de ordinul lui Zm(s). Cum Zm(s) poate fi arbitrar, dimensiunea lui ψ poate fi de asemenea arbitrară.
Figura 2.3 prezintă schema bloc a parametrizării procesului descris prin (2.4.13) pe care o vom denumi Parametrizarea 2.
Fig.2.3. Parametrizarea 2 a procesului
)()()(1
ssWs
m
n
Λα− −
T*1θ
T*2θ
Tλ
Σ1ψ
2ψ_
u y ++ )()(
)(1
ssWs
m
n
Λα − Wm(s)
2 - 22
În [201], Parametrizarea 2 este denumită reprezentare cu model de referinţă şi este folosită în proiectarea estimatoarelor parametrilor pentru estimarea lui *
λθ , când Wm(s) este o funcţie de transfer strict real-pozitivă (vezi definiţia din Cap. 3).
Un caz special al lui (2.4.13) este prezentat în Fig. 2.4, unde 0
1)(λ+
=s
sWm ,
iar 0λ+s este factor a lui Λ(s), adică
012
21
10 )()()( λ+λ++λ+λ+=Λλ+=Λ −−
−− sssssss n
nn
nn
q L ,
unde 1)( 12
21 ++++=Λ −
−− sqsqss n
nn
q L . Parametrizarea 2 din Fig. 2.4 a fost sugerată pentru prima dată în [131], unde a
fost folosită pentru dezvoltarea observerelor adaptive stabile. O alternativă a modelului parametric al procesului din Fig. 2.4 poate fi obţinută prin intermediul primei separări a elementelor improprii ale lui )(/)(1 ss qn Λα − , astfel:
Fig.2.4. Parametrizarea 2 a procesului cu )()()( 0 sss qΛλ+=Λ şi )/(1)( 0λ+= ssWm
Pentru orice vector nTnn ccccc ℜ∈= −−
Δ],,,,[ 0121 K , avem
)()(
)()()( 2
111
ssc
ssc
ssc
q
nT
q
nn
q
nT
Λα
+Λ
=Λα −
−−− (2.4.14)
unde Tn cccc ],,,[ 012 K−
Δ= , Tn
n ss ]1,,,[ 22 K−Δ
− =α . Cum )()( 21 sqss n
Tnq −
− α+=Λ ,
unde Tn qqq ]1,,,[ 12 K−
Δ= , avem )()( 2
1 sqss nT
qn
−− α−Λ= , care, după substituire
conduce la:
)()()(
)()( 21
11
ssqccc
ssc
q
nT
nn
q
nT
Λα−
+=Λα −−
−− (2.4.15)
Folosid (2.4.15) se obţin următoarele expresii:
yssyay
ss
ussubu
ss
q
nTnn
q
nTT
q
nTn
q
nT
)()()(
)()(
,)()(
)()(
2*211
1*2
2*11
1*1
Λα
θ−−λ=Λα
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ λ−θ−
Λα
θ+=Λα
θ
−−−
−
−−
−
(2.4.16)
)()(1
ss
q
n
Λα
− −
T*1θ
T*2θ
Tλ
Σ1ψ
2ψ_
u y ++)(
)(1
ss
q
n
Λα −
0
1λ+s
2 - 23
unde qbb nT
1*1 −−=θ , qaa nn
T)( 11
*2 −− λ−−λ−=θ şi T
n aaaa ],,,[ 012 K−
Δ= ,
Tn bbbb ],,,[ 012 K−
Δ= , T
n ],,,[ 012 λλλ=λ −
ΔK . Utilizând (2.4.16), Fig. 2.4 poate fi
reconfigurată ca în Fig. 2.5.
Fig.2.5 Echivalentul Parametrizării 2 din Fig.2.4
Din Fig. 2.5 se obţine următoarea reprezentare de stare neminimală a procesului:
1
1222
1111
11
*101
,
,
,
xyyl
ul
xxx
nc
nc
T
=ℜ∈ψ−ψΛ=ψ
ℜ∈ψ+ψΛ=ψ
ℜ∈ψθ+λ−=
−
−
&
&
&
(2.4.17)
unde TT
nnT
n ab ],,,[ *211
*11
* θ−λθ=θ −−− , TTT yu ],,,[ 21 ψψ=ψ şi
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−
=Λ−−
010
001032
LMOM
LL qqq nn
c , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0
01
Ml
Ca şi în cazul Parametrizării 1, dacă se doreşte o justificare a condiţiei iniţiale 0)0( 0 ≠= xx , se obţine:
01
222
111
1*
101
0)0(,
0)0(,
0)0(,
η+==ψ−ψΛ=ψ
=ψ+ψΛ=ψ
=ψθ+λ−=
xyyl
ul
xxx
c
c
T
&
&
&
(2.4.18)
unde 0η este ieşirea sistemului:
ω=η
ℜ∈ωω=ωωΛ=ωT
nc
C00
0 ,)0(,&
)()(2
ss
q
n
Λα
− −
T*1θ
T*2θ
11 −− −λ nn a
Σ1ψ
2ψ+
u y ++)(
)(2
ss
q
n
Λα −
0
1λ+s
+ bn-1
2 - 24
unde 0, CcΛ şi 0ω sunt cele definite în (2.4.12).
Exemplul 2.4.1 (Parameterizarea 1). Considerăm ecuaţia diferenţială y(4) + a2y(2) + a0y = b2u(2) + b0u (2.4.19)
care descrie mişcarea căruciorului cu două pendule considerat în Exemplele 2.2.1, 2.3.1, unde
)(1.1 212 α+α−=a , 210 2.1 αα=a , 12 β=b , 210 βα−=b . Ecuaţia (2.4.19) are aceeaşi formă ca cea din (2.4.6) cu n = 4 şi coeficienţii a3 = a1 = b3 = b1 = 0. Conform (2.4.7), ecuaţia (2.4.19) se poate rescrie în forma compactă
0*0
)4( YyT
θ= (2.4.20)
unde Taabb ],,[ 0202*0 =θ , TyyuuY ],,,[ )2()2(
0 −−= . Întrucât y şi u sunt singurele semnale care se măsoară, rezultă că y(4) şi Y0 nu sunt măsurabile.
Dacă fiecare membru din (2.4.20) este trecut prin filtrul )(/1 sΛ , unde Λ(s) = 4)2( +s = s4 + 8s3 + 24s2 + 32s + 16, se va obţine
0*0 φθ=
Tz (2.4.21)
unde ys
sz 4
4
)2( += şi
T
ys
ys
sus
us
s⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
++=φ 44
2
44
2
0 )2(1,
)2(,
)2(1,
)2(sunt
acum semnalele care pot fi generate prin filtrarea măsurătorilor lui y şi u. Deoarece în (2.4.19) elementele a3 = a1 = b3 = b1 = 0, dimensiunea lui *
0θ , respectiv 0φ este 4 în loc de 8, aşa cum ar fi rezultat din (2.4.8).
Similar, conform (2.4.9) se obţine:
φθ= λT
y * , (2.4.22) unde
Taabb ]16,32,24,8,,0,,0[ 0202* −−−−=θλ ,
TTT
ys
sus
s⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+α
−+
α=φ 4
34
3
)2()(,
)2()( , Tssss ]1,,,[)( 23
3 =α .
În (2.4.22) se pot separa elementele lui *λθ , care nu depind de parametrii lui
(2.4.19) şi se obţine:
φ+φθ= λTT
hy 00*0
unde Taabb ]16,24,,[ 0202*0 −−=θ λ , Th ]0,32,0,8,0,0,0,0[0 −−= . Folosind
(2.4.10), se obţine o reprezentare de stare a lui (2.4.21) şi (2.4.22), dată de:
2 - 25
0*0
00*0
*
4222
4111
,
,
φθ=
φ+φθ=φθ=
ℜ∈φ−φΛ=φ
ℜ∈φ+φΛ=φ
λλ
T
TTTc
c
z
hy
yl
ul&
&
unde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−−=Λ
0100001000011632248
c , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0001
l , φ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=φ
10000000001000000000100000000010
0
şi TTT ],[ 21 φφ=φ . În loc de (2.4.22), se poate de asemenea scrie 20*0 φλ−φθ= TT
y , unde T]16,32,24,8[=λ .
Exemplul 2.4.2 (Parametrizarea 2). Considerăm acelaşi proces ca cel din Exemplul 2.4.1, adică φθ= λ
Ty * , unde
Taabb ]16,32,24,8,,0,,0[ 0202* −−−−=θλ ,
TTT
ys
sus
s⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+α
−+
α=φ 4
34
3
)2()(,
)2()( .
Rescriem acum pe y sub forma:
ψθ+
= λT
sy *
21 , unde
TTT
ys
sus
s⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
α−
+α
=ψΔ
33
33
)2()(,
)2()( .
Prin câteva calcule simple, se obţine:
)(1000100018126
)2(1
0001
1)2(
1)2()(
23
2
3
333 s
ssss
sss
α⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−
++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
+α ,
unde α2(s) = [s2, s, 1]T. Atunci, ψ poate fi exprimat sub forma TT
TT
T ys
sys
syus
sus
su ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+α
−+
αλ+−
+α
+α
λ−=ψ 32
32
32
32
)2()(,
)2()(,
)2()(,
)2()( ,
unde T]8,12,6[=λ , iar ψθλT* poate fi exprimat ca
ψθ=ψθλTT ** (2.4.23)
unde
Taabb ]48,64,24,8,,0,[ 0202* ++=θ ,
TTT
ys
syus
s⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+α
−+
α=ψ 3
23
2
)2()(,,
)2()( .
Atunci,
2 - 26
ψθ+
=T
sy *
21 (2.4.24)
O realizare de stare a lui (2.4.24) este
1
3222
3111
11
*11
,
,
,2
xyyl
ul
xxx
c
c
T
=ℜ∈ψ−ψΛ=ψ
ℜ∈ψ+ψΛ=ψ
ℜ∈ψθ+−=
&
&
&
unde TTT y ],,[ 21 ψψ=ψ , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−−=Λ
0100018126
c , ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
001
l .
2.4.2. Modele parametrice biliniare
Considerăm parametrizarea unei clase speciale de sisteme exprimate prin
usRsZky)()(
0
00= , (2.4.25)
unde k0 este un scalar, R0(s) este monic de grad n, iar Z0(s) este monic şi Hurwitz de grad m < n. În plus, Z0(s) şi R0(s) satisfac ecuaţia Diofantică
k0Z0(s)P(s) + R0(s)Q(s) = Z0(s)A(s) (2.4.26) unde
)()( 21 sqssQ n
Tn−
− α+= , )()( 1 spsP nT
−α= , Tiii ssss ]1,,,,[)( 1 K−
Δ=α ,
nn pq ℜ∈ℜ∈ − ,1 sunt vectorii coeficienţilor lui 1)( −− nssQ , respectiv ai lui P(s), iar A(s) este un polinom Hurwitz monic de grad 12 −−mn . Ecuaţia Diofantică (2.4.26) care pune în relaţie pe Z0(s), R0(s), k0 cu P(s), Q(s) şi A(s) apare în proiectarea comenzilor, cum ar fi controlul cu model de referinţă, care va fi discutat în capitolele ulterioare. Polinoamele P(s) şi Q(s) sunt de regulă polinoamele asociate controllerului care, pentru un A(s) dat, trebuie calculate prin rezolvarea ecuaţiei (2.4.26). Pentru aceasta, obiectivul nostru constă în a obţine o parametrizare a lui (2.4.25), în funcţie de coeficienţii lui P(s) şi Q(s), care să fie independentă de coeficienţii lui Z0(s) şi R0(s). Acest obiectiv se atinge folosind (2.4.26) pentru a elimina dependenţa lui (2.4.25) de Z0(s) şi R0(s) după cum urmează:
Prin rescrierea lui (2.4.25) sub forma R0(s)y = k0Z0(s)u şi înmulţind fiecare membru cu Q(s), se obţine:
Q(s)R0(s)y = k0Z0(s)Q(s)u (2.4.27) Înlocuind în (2.4.27) pe Q(s)R0(s) = Z0(s)(A(s) - k0P(s)) obţinut din (2.4.26), se obţine:
Z0(s)(A(s) - k0P(s))y = k0Z0(s)Q(s)u (2.4.28)
2 - 27
Cum Z0(s) este Hurwitz, vom filtra fiecare membru din (2.4.28) prin 1/Z0(s) obţinând
A(s)y = k0P(s)y + k0Q(s)u (2.4.29) Rescriem (2.4.29) sub forma
])()([)( 1210 ususqyspkysA n
nT
nT −
−− +α+α= (2.4.30)
Acum există mai multe variante. Se poate filtra fiecare membru din (2.4.30) cu filtrul stabil 1/A(s) obţinând:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
α+
α=
−−− u
sAsu
sAsqy
sAspky
nnTnT
)()()(
)()( 1
210
care poate fi scris în forma compactă )( 0
*0 zky
T+φθ= (2.4.31)
unde
TTT pq ],[* =θ , TT
nTn y
sAsu
sAs
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ αα=φ −−
)()(,
)()( 12 şi u
sAsz
n
)(
1
0
−
= .
Se poate de asemenea filtra fiecare membru din (2.4.30) utilizând un filtru arbitrar stabil 1/Λ(s) al cărui ordin λn satisface 112 −≥≥−− λ nnmn , obţinând
)()( 0*
0 zksWyT
+φθ= (2.4.32)
unde acum TT
nTn y
ssu
ss
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Λα
Λα
=φ −−
)()(,
)()( 12 , u
ssz
n
)(
1
0 Λ=
−
şi )()()(
sAssW Λ
= este o funcţie de transfer
proprie. În (2.4.31) şi (2.4.32), φ şi z0 pot fi generate prin filtrarea intrării u şi a ieşirii
y a procesului. De aceea, dacă u şi y sunt măsurabile, atunci toate semnalele din (2.4.31) şi (2.4.32) pot fi generate, singurele necunoscute posibile fiind k0 şi *θ . Dacă k0 este cunoscut, el poate fi absorbit în semnalele φ şi z0, conducând la modele care sunt afine în *θ , de forma:
φθ=T
sWy *)( (2.4.33)
unde zksWyy 0)(−= , iar φ=φ 0k . Dacă k0 este totuşi necunoscut şi este parte a parametrilor de interes, atunci (2.4.31) şi (2.4.32) nu sunt afine în raport cu parametrii k0 şi *θ , dar k0 şi *θ apar într-o formă specială biliniară. Din acest motiv, definim (2.4.31) şi (2.4.32) ca modele parametrice biliniare pentru a le distinge de cele de forma (2.4.7)-(2.4.9) şi (2.4.33), care sunt referite ca modele-parametrice liniare sau modele parametrice afine (sau modele afine în raport cu parametrii). Aceste forme de modele (parametrizate liniar şi bilinear) sunt destul de
2 - 28
generale pentru a include şi parametrizările anumitor sisteme ale căror dinamici nu sunt neapărat liniare, aşa cum se vede în exemplul următor.
Exemplul 2.4.3. Considerăm sistemul neliniar scalar uctxgbtxfax 000 ),(),( ++=& (2.4.34)
unde a0, b0 şi c0 sunt scalari constanţi, ),( txf şi ),( txg sunt funcţii neliniare cunoscute care pot fi calculate la fiecare moment de timp t, iar u şi x sunt intrarea şi starea sistemului. Presupunem că f, g şi u sunt astfel încât pentru fiecare condiţie iniţială x(0) = x0, (2.4.34) are o singură soluţie definită pentru orice ),0[ ∞∈t . Dacă x şi u sunt măsurabile, prin filtrarea fiecărui membru al lui (2.4.34) cu un filtru stabil strict propriu cu funcţia de transfer Wf(s), modelul (2.4.34) poate fi exprimat în forma modelului parametric (2.4.33):
φθ=T
f sWz *)( (2.4.35)
unde xssWz f )(= , Tcba ],,[ 000* =θ şi Tutxgtxf ]),,(),,([=φ . În loc de (2.4.35),
relaţia (2.4.34) se poate rescrie în forma φθ++−=
Tmm xaxax *&
cu am > 0, sau
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ φθ+
+=
Tm
mxa
asx *1
Atunci,
φθ+
=+
−=Δ T
mm
m
asx
asaxz *1 (2.4.36)
care are aceeaşi formă cu (2.4.35) cu Wf(s) = 1/(s+am). Se poate continua şi rescrie (2.4.35) (respectiv (2.4.36)) sub forma
fT
z φθ= * , φ=φ )(sWff (2.4.37)
care este de forma (2.4.8). Exemplul prezentat demonstrează faptul că deşi parametrul *θ apare liniar în
(2.4.35) şi (2.4.37) nu înseamnă că are o dinamică liniară.
2.5. Probleme
2.1. Fie a(s) = (s + α)3, b(s) = β, unde α, β sunt constante cu 0≠β . (a) Scrieţi matricea Sylvester asociată lui a(s) şi b(s). (b) Considerăm că p0(s), l0(s) este o soluţie a ecuaţiei polinomiale
a(s)l(s) + b(s)p(s) = 1. (2.5.1) Arătaţi că (p1(s), l1(s)) este o soluţie a lui (2.5.1) dacă şi numai dacă p1(s), l1(s) pot fi exprimate sub forma p1(s) = p0(s) + r(s)a(s), l1(s) = l0(s) - r(s)b(s) pentru orice polinom r(s).
2 - 29
(c) Găsiţi soluţia lui (2.5.1) pentru care p(s) are cel mai mic grad şi p(s)/l(s) este o funcţie raţională proprie.
2.2. Se consideră procesul de ordinul trei y = G(s)u, unde
012
23
012
2)(asasas
bsbsbsG+++
++=
(a) Scrieţi modelul parametric al procesului în forma (2.4.8) sau (2.4.13) când *θ = [b2, b1, b0, a2, a1, a0]T.
(b) Dacă a0, a1 şi a2 sunt cunoscute, adică, a0 = 2, a1 = 1 şi a2 = 3, scrieţi un model parametric al procesului în funcţie de *θ = [b2, b1, b0]T. (c) Dacă b0, b1 şi b2 sunt cunoscute, adică, b0 = 1, b1 = b2 = 0, dezvoltaţi un model parametric în funcţie de *θ = [a2, a1, a0]T.
2.3. Se consideră sistemul cu amortizare de mai jos: unde k este constanta resortului, f este coeficientul de frecare vâscoasă sau de amortizare, m este masa sistemului, u este forţa de intrare, iar x este deplasarea masei M. Dacă se consideră un resort "liniar", adică, forţa ce acţionează asupra resortului este proporţională cu deplasarea, iar forţa de frecare este proporţională cu viteza x& , utilizând legea lui Newton, se obţine următoarea ecuaţie diferenţială:
xfxkuxM &&& −−=
care descrie dinamica sistemului. (a) Precizaţi o reprezentare de stare a sistemului. (b) Calculaţi funcţia de transfer dintre x şi u. (c) Obţineţi un model parametric liniar de forma φθ=
Tz * , unde *θ = [M, k, f]T
, iar z, φ sunt semnale care pot fi generate din măsurătorile lui u şi x, fără a utiliza elemente derivative.
2.4. Verificaţi dacă (2.4.11) şi (2.4.12) sunt reprezentări de stare neminimale ale sistemului descris prin (2.4.1). Arătaţi că pentru aceeaşi intrare u(t), ieşirea y(t) este identică pentru cele două sisteme. (Indicaţie: Verificaţi că
)]([)]([ 00 AsIadjCBsIadjC Tc
T −=Λ−
pentru anumiţi nC ℜ∈0 , nnB ×ℜ∈0 folosind identitatea [adj(sI - A)] = sn-1I + sn-2(A + an-1I) + sn-3(A2 + an-1A + an-2I)
+ ... + (An-1 + an-1An-2 + ... + a1I) şi alegând C0 astfel încât (C0, Λc) să fie o pereche observabilă.
2.5. Scrieţi o reprezentare de stare pentru următorul sistem:
(a) us
sn
)()(1
Λα
=φ − , Λ(s) este monic de ordin n.
2 - 30
(b) ussn
)()(
1
1
Λα
=φ − , Λ1(s) este monic de ordin n - 1.
(c) ussm
)()(
1Λα
=φ , 1−≤ nm , Λ1(s) este monic de ordin n - 1.
2.6. Arătaţi că ( ))(
)()()( 111
sssIClsI nT
oToc Λ
α=Λ−=Λ− −−− , unde (Λc, l) este
forma controller, iar (Co, Λo) este forma observer. Bibliografie [30] Chen, C.T., Introduction to Linear System Theory, Holt, Rinehart and Winston Inc.,
New York, 1970. [42] Desoer, C.A. and M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input-Output Properties,
Academic Press Inc., New York, 1975. [44] Dorf, R.C. Modern Control Systems, 6th Edition, Addison-Wesley Publishing
Company, Reading, Massachusetts, 1991. [57] Franklin, G.F., J.D. Powell and A. Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic
Systems, 2nd Edition, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1991. [73] Goodwin, G.C. and K.C. Sin, Adaptive Filtering Prediction and Control, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984. [95] Kailath, T., Linear Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980. [121] Kuo, B. C. Automatic Control Systems, 6th Edition, Prentice Hall, Englewood Cli®s,
New Jersey, 1991. [131] Luders, G. and K.S. Narendra, "A New Canonical Form for an Adaptive Observer",
IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 19, no. 2, pp. 117-119, 1974. [180] Ogata, K. Modern Control Engineering, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1990. [201] Sastry, S. and M. Bodson, Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989. [226] Tsakalis K.S. and P.A. Ioannou, Linear Time Varying Systems: Control and
Adaptation, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993. [237] Wolovich, W.A., Linear Multivariable systems, Springer-Verlag, New York, 1974. [238] Wonham, W.M., Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, 3rd Edition,
Springer-Verlag, New York, 1985.