2008
DESCRIPTION
2008TRANSCRIPT
-
Miercuri 16 iulie, 2008
Problema 1. ntr-un triunghi ascuitunghic ABC se noteaz cu H ortocentrul su. Cercul cucentrul n mijlocul segmentului BC i care trece prin H intersecteaz dreapta BC n A1 i A2.Analog, cercul cu centrul n mijlocul segmentului CA i care trece prin H intersecteaz dreapta CAn B1 i B2, iar cercul cu centrul n mijlocul laturii AB i care trece prin H intersecteaz dreaptaAB n punctele C1 i C2. Artai c punctele A1, A2, B1, B2, C1, C2 sunt conciclice.
Problema 2. (a) Artai c inegalitatea
x2
(x 1)2 +y2
(y 1)2 +z2
(z 1)2 1
are loc pentru orice numere reale x, y, z, diferite de 1, ce satisfac relaia xyz = 1.
(b) Demonstrai c exist o innitate de triplete de numere raionale x, y, z, ce veric relaiaxyz = 1, pentru care mai sus are loc egalitate.
Problema 3. Demonstrai c exist o innitate de numere naturale n astfel nct numrul n2 + 1are un factor prim strict mai mare dect 2n +
2n.
Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minute
Fiecare problem este notat cu 7 puncte
Language: Romanian Day: 1
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIADMADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008
-
Joi 17 iulie, 2008
Problema 4. Gsii toate funciile f : (0,) (0,) pentru care(f(w)
)2+
(f(x)
)2f(y2) + f(z2)
=w2 + x2
y2 + z2
pentru orice numere reale strict pozitive w, x, y, z, avnd proprietatea wx = yz.
Problema 5. Fie n i k numere naturale nenule astfel nct k n i kn numr par. Considerm2n becuri notate 1, 2, . . . , 2n ce se pot afla n strile aprins sau stins. La nceput toate becurile suntn starea stins. Considerm secvene de pai : la fiecare pas unul i numai un bec este aprins dacera stins, sau stins dac era aprins.
Fie N numrul de astfel de secvene, formate din k pai, ce duc la starea n care becurile de la 1la n sunt toate aprinse, iar becurile de la n + 1 la 2n sunt toate stinse.
Fie M numrul de astfel de secvene, formate din k pai, ce duc la starea n care becurile de la 1la n sunt toate aprinse, iar becurile de la n + 1 la 2n sunt toate stinse, dar nici unul dintre becurilede la n + 1 la 2n nu a fost aprins pe parcursul secvenei.
Aflai numrul N/M .
Problema 6. Fie ABCD un patrulater convex cu |BA| 6= |BC|. Notm cercurile nscrise ntriunghiurile ABC i ADC cu 1 i 2. Presupunem c exist un cerc tangent la semidreptele(BA dincolo de A i (BC dincolo de C, i la dreptele AD i CD. Demonstrai c tangentele exterioarecomune cercurilor 1 i 2 se intersecteaz pe .
Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minuteFiecare problem este notat cu 7 puncte
Language: Romanian Day: 2
49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIADMADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008