1734_3. analiza seriilor de timp_7319

Utilizarea mediilor mobile n prognoz

Nicolae-Marius JULA, Universitatea

Nicolae Titulescu, Bucuresti

Definim: {yt} - serie de timp (serie dinamic sau serie

cronologic) - un ir de valori pe care le nregistreaz o variabil la momente sau la intervale de timp succesive.

ft - tendina general de evoluie a variabilei analizate (sau trendul) - evoluia pe termen lung a seriei;

st - componenta ciclic (sau componenta sezonier, dac perioada este mai mic de un an);

et (sau t) - variaia accidental - fluctuaii neregulate, de obicei de slab intensitate, de natur aleatoare.



Utilizarea mediilor mobile n prognoz

Se numete medie mobil centrat de lungime (ordin, band de ajustare) impar (2k + 1) calculat la momentul t valoarea medie a observaiilor

yt-k, yt-k+1, , yt, yt+1, , yt+k-1, yt+k,

adic

1k2

yy...yy...yyy kt1kt1tt1ktktt



Se numete medie mobil centrat de lungime (ordin, band de ajustare) par (2k), calculat la momentul t, valoarea medie a observaiilor

yt-k, yt-k+1, , yt, yt+1, , yt+k-1, yt+k,

prima i ultima valoare fiind ponderate cu 0.5:

k2

y5.0y...yy...yy5.0y kt1kt1tt1ktktt



Cazul seriilor de timp cu tendin i sezonalitate

a) Calculul tendinei

pentru estimarea trendului reinem mediile mobile centrate de ordinul p.

Pentru exemplificare s considerm urmtoarea serie yij de date trimestriale (p = 4), nregistrat pentru 10 ani (N = 10).



Anul Trim. I Trim. II Trim. III Trim. IV

1 900 839 1071 1016

2 1033 944 1173 1111

3 1120 1037 1261 1218

4 1236 1179 1401 1356

5 1363 1273 1509 1468

6 1473 1392 1616 1546

7 1545 1458 1677 1625

8 1628 1537 1765 1710

9 1710 1625 1836 1793

10 1810 1724 1949 1904

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45Nicolae-Marius JULA, Universitatea


Calculm mediile mobile de lungime 4:

4

222

112

tttt

t

t

yyyy

y

y , t = 3, 4, Np-2

t ytMediile mobile de

ordin 4t yt

Mediile mobile de ordin 4

1 900 21 1473 1473.875

2 839 22 1392 1497.000

3 1071 973.125 23 1616 1515.750

4 1016 1002.875 24 1546 1533.000

5 1033 1028.750 25 1545 1548.875

6 944 1053.375 26 1458 1566.375

7 1173 1076.125 27 1677 1586.625

8 1111 1098.625 28 1625 1606.875

9 1120 1121.250 29 1628 1627.750

10 1037 1145.625 30 1537 1649.375

18 1273 1389.250 38 1724 1832.875

19 1509 1417.000 39 1949

20 1468 1445.625 40 1904



800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

y Mediile mobile de ordinul 4

Tendina calculat prin metoda mediilor mobile centrate de ordinul 4(banda de ajustare este egal cu frecvena seriei)



Dar prognoza t+h = y'38

este distorsionat, aplicm corecia a1 - nclinaia (panta) dreptei care modeleaz tendina de evoluie a seriei de timp.

a1 = (y'38-y'3 )/35=24.5642



Trimestrul t Date nregistrate yt Prognoza tendinei ft

Anul 10

I 37 1810 1804.875

II 38 1724 1832.875

III 39 1949 1857.439

IV 40 1904 1882.004

Anul 11

I 41 1906.568

II 42 1931.132

III 43 1955.696

IV 44 1980.261

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y Mediile mobile de ordinul 4 Prognoza tendinei

Prognoza calculat prin metoda mediilor mobile

centrate de ordinul 4

(banda de ajustare este

egal cu frecvena seriei)

Nicolae-Marius JULA,

Universitatea Nicolae

Titulescu, Bucuresti

b) Calculul componentei sezoniere

b.1. Descompunerea aditiv

b.2. Descompunerea multiplicativ

Descompunerea aditiv

yij = fij + sij + eij unde f este tendina, s este componenta sezonier i e

este componenta accidental



Calcul:

Se determin diferenele dintre valorile yij i tendina fij;

Se calculeaz valorile medii pentru fiecare perioad j, unde j = 1, 2, , p. Aceste valori medii

n

s

s

N

1i

ij

j

sunt coeficienii de sezonalitate, pentru descompunerea aditiv.

Deoarece netezirea realizat prin metoda mediilor mobile nu este perfect, este posibil ca media componentelor sezoniere s nu fie nul. n aceste condiii se aplic un coeficient de corecie, calculat ca medie a coeficienilor de sezonalitate.



Datele iniialeTrimestrul

AnulTrim.1 Trim.2 Trim.3 Trim.4

1 900 839 1071 10162 1033 944 1173 11113 1120 1037 1261 12184 1236 1179 1401 13565 1363 1273 1509 14686 1473 1392 1616 15467 1545 1458 1677 16258 1628 1537 1765 17109 1710 1625 1836 1793

10 1810 1724 1949 1904

TendinaTrimestrul

AnulTrim. I Trim. II Trim. III Trim. IV

1 973.125 1002.8752 1028.750 1053.375 1076.125 1098.6253 1121.250 1145.625 1173.500 1205.7504 1241.000 1275.750 1308.875 1336.5005 1361.750 1389.250 1417.000 1445.6256 1473.875 1497.000 1515.750 1533.0007 1548.875 1566.375 1586.625 1606.8758 1627.750 1649.375 1670.250 1691.5009 1711.375 1730.625 1753.500 1778.375

10 1804.875 1832.875

SezonalitateaTrimestrul

AnulTrim. I Trim. II Trim. III Trim. IV

1 97.875 13.1252 4.250 -109.375 96.875 12.3753 -1.250 -108.625 87.500 12.2504 -5.000 -96.750 92.125 19.5005 1.250 -116.250 92.000 22.3756 -0.875 -105.000 100.250 13.0007 -3.875 -108.375 90.375 18.1258 0.250 -112.375 94.750 18.5009 -1.375 -105.625 82.500 14.625

10 5.125 -108.875 Media -0.167 -107.917 92.694 15.986

Coeficientul de sezonalitate (sj)

-0.316 -108.066 92.545 15.837

Anul 5, trim. 1:

1363-1361,75=1,25



Trimestrul Coeficientul de sezonalitateI -0.316II -108.066III 92.545IV 15.837

Deoarece suma valorilor medii nu este zero, ci este 0.597 (tendina nu este o dreapt perfect), corectm mediile obinute pe coloan cu

149.04

597.0s .

Atunci

sj = mediaj 0.149, j = 1, 2, 3, 4.

Pentru prognoz, corectm tendina cu sezonalitatea:

ij = fij + sj.



Trimestrul tDate nregistrate

yt

Prognozatendinei

ft

Coeficientul de

sezonalitatePrognoza

Anul 10

I 37 1810 1804.875 -0.316

II 38 1724 1832.875 -108.066

III 39 1949 1857.439 92.545

IV 40 1904 1882.004 15.837

Anul 11

I 41 1906.568 -0.316 1906.252

II 42 1931.132 -108.066 1823.066

III 43 1955.696 92.545 2048.242

IV 44 1980.261 15.837 1996.098



1906.3

2048.2

1996.1

1823.1

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y Prognoza

Prognoza seriilor cu sezonalitate descompunerea aditivNicolae-Marius JULA, Universitatea


1734_3. analiza seriilor de timp_7319

Documents