10id_fiabilitatea produselor-1

7

Modulul 1

FIABILITATEA PRODUSELOR

Obiectivele modulului

Cunoaşterea conţinutului noţiunilor de fiabilitate şi mentenabilitate

Icircnsuşirea indicatorilor de fiabilitate Cunoaşterea legilor care descriu fiabilitatea

produselor Icircnsuşirea metodologiei de determinare a legii

de fiabilitate pe baza datelor din exploatare

8

Cuprinsul modulului 1

1 NOŢIUNI DE TEORIA FIABILITĂŢII helliphelliphellip 9

11 Conceptul şi indicatorii de fiabilitate helliphelliphelliphelliphelliphellip 9 111 Noţiuni de bază ale teoriei fiabilităţii helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 112 Indicatorii de fiabilitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 12 Legile de repartiţie ale timpului de bună funcţionare helliphellip 18 121 Legea exponenţială 18 122 Legea normală de distribuţie (Gauss)helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 123 Repartiţia log-normală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22 124 Repartiţia Weibull helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 125 Repartiţia Poisson helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 13 Fiabilitatea sistemelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 131 Fiabilitatea sistemelor legate icircn serie helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 132 Fiabilitatea sistemelor legate icircn paralel helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32 133 Sisteme mixte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 134 Sisteme redondante helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Test de autoevaluare 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

2 PRELUCRAREA ŞI TESTAREA DATELOR PRIVIND DEFECTĂRILE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

43

21 Aspecte generale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22 Prelucrarea statistică a datelor experimentale helliphellip 221 Noţiunea de selecţie helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222 Prelucrarea datelor observate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 223 Calculul parametrilor statistici ai repartiţiei empirice hellip 23 Identificarea tipului funcţiei densitate de

probabilitate a defectărilor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

231 Aspecte generale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232 Identificarea principalelor legi de distribuţie helliphelliphelliphellip 24 Calculul parametrilor distribuţiei helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 241 Noţiuni de teoria estimaţiei helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 242 Verificarea ipotezelor statistice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 243 Metode de calcul ale parametrilor distribuţiei helliphelliphelliphellip 244 Estimarea parametrilor distribuţiei pentru diverse legi hellip 25 Verificarea concordanţei dintre distribuţia

empirică şi distribuţia teoretică

251 Testul χ2 (hi pătrat) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 252 Testul Kolmogorov-Smirnov helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Estimarea valorilor indicatorilor de fiabilitate helliphellip Test de autoevaluare 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

9

1 NOŢIUNI DE TEORIA FIABILITĂŢII 11 Conceptul şi indicatorii de fiabilitate

111 Noţiuni de bază ale teoriei fiabilităţii

Componenta calităţii produselor care se referă la perioada de exploatare a acestora poartă numele de disponibilitate Această componentă este caracterizată prin două noţiuni

bull fiabilitatea reprezentacircnd aptitudinea unui produs de a-şi icircndeplini funcţia specificată icircn condiţii date şi de-a lungul unei perioade date

bull mentenabilitatea exprimacircnd aptitudinea unui produs de a fi supravegheat icircntreţinut şi reparat icircntr-o anumită perioadă de timp icircn condiţii date de exploatare

Defectarea reprezintă pierderea aptitudinii unui produs de a-şi icircndeplini funcţia cerută icircn condiţii date reprezentacircnd starea opusă celei de bună funcţionare Defectările pot fi clasificate astfel

a) după caracterul lor - bruşte cauzate de o variaţie rapidă a proprietăţilor

determinante (dereglare fisurare rupere) - progresive cauzate de o variaţie lentă a proprietăţilor

(uzare icircmbătracircnire) b) după volumul lor

- parţiale (nu conduc la scoaterea din uz) - totale

Durata de viaţă reprezintă intervalul de timp de la realizarea produsului pacircnă la uzarea sa totală Timpul de bună funcţionare este dat de durata dintre două defectări succesive icircn care produsul funcţionează conform specificaţiilor

10

Evaluarea fiabilităţii se poate face icircn faza de proiectare (fiabilitate preliminată) precum şi icircn faza de exploatare (fiabilitate operaţională) Din punct de vedere cantitativ fiabilitatea produselor poate fi exprimată cu ajutorul indicatorilor de fiabilitate 112 Indicatorii de fiabilitate Momentele de producere a defecţiunilor au un caracter statistic rezultacircnd că şi indicatorii de fiabilitate sunt mărimi statistice a căror definire se bazează pe legea de repartiţie a timpului de bună funcţionare Principalii indicatori de fiabilitate sunt

a) funcţia de repartiţie a timpului de bună funcţionare F(t) b) densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare f(t) c) funcţia de fiabilitate R(t) d) media timpului de bună funcţionare m (sau MTBF) e) rata (intensitatea) de defectare z(t) f) dispersia timpului de bună funcţionare D2(t) sau σ2 g) abaterea medie pătratică a timpului de bună funcţionare σ h) cuantila timpului de funcţionare tF

a) Funcţia de repartiţie a timpului de bună funcţionare F(t)

Se presupune că funcţionarea unui produs (element component subansamblu sistem complex) icircncepe la momentul t=0 şi la momentul T el are o defecţiune Mărimea T reprezintă durata de viaţă a produsului icircn cazul icircn care el este nereparabil (se icircnlocuieşte) sau timpul pacircnă la defectare dacă produsul este reparabil Indiferent de situaţie se admite că T este o variabilă aleatorie a cărei funcţie de repartiţie este

)()( tTPtF le= (11)

Funcţia de repartiţie F(t) reprezintă probabilitatea ca un produs să se defecteze icircn intervalul (0t) Din acest motiv funcţia de repartiţie se mai numeşte şi funcţia de defiabilitate

b) Densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare f (t)

Acest indicator este definit ca limită a raportului dintre probabilitatea ca un produs să se defecteze icircn intervalul (t t+∆t)

11

şi mărimea intervalului ∆t atunci cacircnd acest interval tinde către zero Această definiţie se poate exprima prin relaţia

tttTtPtf

t ∆∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (12)

Deoarece se admite că funcţia F(t) este continuă densitatea de probabilitate se poate exprima şi sub forma

dttdFtf )()( = (13)

c) Funcţia de fiabilitate R(t) Funcţia de fiabilitate reprezintă probabilitatea ca un

produs să nu se defecteze icircn intervalul (0 t) definiţie care se exprimă prin relaţia

)()( tTPtR rang= (14)

Proprietăţile acestei funcţii sunt evidente bull 1)0( =R bull )(tR este necrescătoare bull 0)(lim =

infinrarrtR

t

Funcţia de fiabilitate este unul din cei mai folosiţi indicatori deoarece ea permite

- aprecierea nivelului de icircncredere icircn utilizarea unui produs la un anumit moment t din viaţa sa

- compararea nivelului de fiabilitate al unor produse realizate de producători diferiţi

- compararea condiţiilor de utilizare ale unor produse realizate de acelaşi producător dar aflate la utilizatori diferiţi

Icircn majoritate indicatorii de fiabilitate sunt legaţi icircntre ei prin relaţii analitice Aceasta icircnseamnă că determinarea formei analitice a unuia dintre ei permite determinarea expresiei analitice a celorlalţi O primă legătură numită şi prima relaţie de complementaritate este aceea care leagă funcţia de repartiţie cu funcţia de fiabilitate Stabilirea ei pleacă de la constatarea că evenimentele Tgtt şi Tlet sunt contrarii reuniunea lor formacircnd evenimentul sigur a cărui probabilitate este 1 Se poate scrie relaţia

12

1)()( =le+rang tTPtTP de unde

1)()( =+ tFtR (15)

Alte legături au fost stabilite pentru situaţia icircn care se cunoaşte forma funcţiei densitate de probabilitate f Mai icircntacirci funcţia de repartiţie F(t) se poate exprima prin integrala

int ττ=t

dftF0

)()( (16)

după care funcţia de fiabilitate R(t) are expresia

int ττ=int ττminusint ττ=minus=infininfin

t

tdfdfdftFtR )()()()(1)(

00 (17)

Forma grafică posibilă a funcţiilor R(t) şi F(t) este prezentată icircn figura 11a iar interpretarea lor geometrică este dată icircn figura 11b Alura acestor funcţii se poate stabili pe baza datelor culese fie prin organizarea unor experienţe fie prin colectarea datelor din exploatare

a b

Fig 11 Prezentarea funcţiilor R(t) şi F(t) a-alura posibilă a funcţiilor

b-interpretarea geometrică la momentul t=t0

d) Media timpului de bună funcţionare m Acest indicator se stabileşte cunoscacircnd densitatea de probabilitate f (t) a timpului de bună funcţionare folosind definiţia mediei acestei funcţii

F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin

0)( dttftm [ore] (18)

Curent se icircntacirclneşte calculul mediei icircn raport de funcţia de fiabilitate R(t) integracircnd prin părţi icircn relaţia (18) după efectuarea substituţiei

dttdR

dttdFtf )()()( minus==

Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=

infininfininfininfin

0000)()()()( dttRtRtdt

dttdRtdttftm

de unde observacircnd că primul termen din dreapta ultimei egalităţi este zero la ambele limite de integrare rezultă relaţia căutată

int=infin

0)( dttRm (19)

Relaţia (19) permite şi o interpretare geometrică media timpului de bună funcţionare este dată de aria de sub graficul funcţiei de fiabilitate R(t) pe domeniul [0 +infin)

e) Rata (intensitatea) de defectare z(t) Rata de defectare se defineşte ca limită a raportului dintre probabilitatea de defectare icircn intervalul (t t+∆t) condiţionată de buna funcţionare icircn intervalul (0t) şi mărimea intervalului ∆t cacircnd acesta tinde către zero respectiv

ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (110)

Numărătorul relaţiei (110) ridică problema stabilirii probabilităţii ca un element care a funcţionat fără defectare pacircnă la momentul t să se defecteze icircn intervalul (t t+∆t) Se folosesc următoarele notaţii

- A evenimentul constacircnd icircn buna funcţionare icircn (0 t) - B evenimentul constacircnd icircn buna funcţionare icircn (t t+∆t) Apelacircnd la formula probabilităţii condiţionate

14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind

)()( ttRBAP ∆+= )()( tRAP = )()( tttRABP ∆+=

se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)

Probabilitatea apariţiei unei defectări icircn intervalul (tt+∆t) este

)()()()(1)(

tRtRttRtttRtttF minus∆+

minus=∆+minus=∆+

Introducacircnd acest rezultat icircn relaţia (110) se obţine

sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(

)(1)( sdotminus= (112)

Integracircnd această egalitate parte cu parte pe intervalul (0t) se obţine

)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)

Graficul funcţiei z(t) este prezentat icircn figura 12 fiind cunoscut şi sub denumirea bdquocurba cadă de baierdquo Icircn acest grafic se disting trei perioade

I - perioada iniţială sau a defectărilor timpurii icircn care rata de defectare are valori ridicate din cauza defectelor ascunse care produc defectări imediat după punerea icircn funcţiune

II - perioada de rată aproximativ constantă rată ce caracterizează fiabilitatea produselor

15

III - perioada de uzură sau a defectărilor tacircrzii icircn care valorile ratei cresc pe seama transformărilor ireversibile produse icircn elemente

Fig12 Graficul funcţiei z(t) Rata de defectare este un indicator care permite

- compararea nivelului de fiabilitate al produselor realizate de diferiţi producători

- compararea condiţiilor de utilizare a aceluiaşi tip de produse

- identificarea etapei din viaţa produselor şi implicit a naturii defecţiunilor

f) Dispersia timpului de bună funcţionare D2(t) Acest indicator exprimă gradul de icircmprăştiere al timpilor

de bună funcţionare şi este prin definiţie

int sdotminus=σ=infin

0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)

g) Abaterea medie pătratică a timpului de bună funcţionare σ(t)

Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)

h) Cuantila timpului de funcţionare tF Cuantila tF[ore] se defineşte ca timpul icircn care un produs funcţionează cu probabilitatea (1ndashF) definiţie prezentată sub forma

FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16

Icircntre indicatorii de fiabilitate sunt stabilite relaţiile prezentate icircn tabelul 11 Tabelul 11 Relaţii icircntre diferiţi indicatori de fiabilitate

Nr crt Indi-

cator

Exprimat icircn funcţie de indicatorul

F(t) f (t) R(t) z(t)

1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(

3 R(t) )(1 tFminus int ττinfin

tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0

)(1 dttF int sdotinfin

0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t

Valorile teoretice ale indicatorilor de fiabilitate pentru o

mulţime omogenă de produse industriale se pot determina consideracircnd totalitatea elementelor mulţimii respective Valorile indicatorilor obţinute icircn acest caz se numesc valori adevărate sau valori icircn populaţie Relaţiile de calcul pentru valorile teoretice sunt prezentate sintetic icircn tabelul 12 Ele se referă la timpul de funcţionare pacircnă la defectare icircn cazul produselor nereparabile sau la timpul pacircnă la prima defectare icircn cazul produselor reparabile Valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate se determină prin prelucrarea statistică a datelor experimentale obţinute prin observaţii efectuate asupra unui eşantion prelevat din mulţimea de produse studiată Valorile estimate sunt corecte

17

numai dacă eşantionul este reprezentativ pentru populaţia cercetată Tabelul 12 Valorile teoretice ale indicatorilor de fiabilitate

Indicatorul de fiabilitate Valoarea teoretică

Funcţia de repartiţie a timpului de bună funcţionare )(tF )0(

)()0()(N

tNNtF minus=

Densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare )( tttf ∆+ )0(

)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+

Funcţia de fiabilitate )(tR )0()()(

NtNtR =

Rata de defectare )( tttz ∆+ )(

)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+

Media timpului de bună funcţionare m sum==

)0(

1)0(1 N

iitN

m

Dispersia timpului de bună funcţionare 2σ 2)0(

1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=

Abaterea medie pătratică a timpului de bună funcţionare σ

2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=

Cuantila timpului de funcţionare Ft Timpul pacircnă la care se defectează )0(NF sdot produse

OBSERVAŢII 1 Simbolurile folosite au următoarele semnificaţii

N(0) ndash numărul total de produse N(t) ndash numărul de produse icircn bună stare la momentul t ti ndash timpul de funcţionare al produsului i i = 1 2 N(0) ∆t ndash interval de timp convenabil ales

2 Pentru f(t) şi z(t) se pot determina numai valorile medii nu şi cele instantanee

Estimarea valorilor indicatorilor de fiabilitate se face prin două metode

bull metoda parametrică a cărei aplicare necesită identificarea legii de repartiţie a timpului de bună funcţionare

18

bull metoda neparametrică care nu necesită identificarea legii de repartiţie

Valorile indicatorilor se pot estima punctual printr-o singură valoare sau prin intervale de icircncredere stabilite cu o probabilitate impusă δ=1ndashα numită nivel de icircncredere 12 Legile de repartiţie ale timpului de bună funcţionare Cele mai icircntacirclnite legi de repartiţie icircn studiul fiabilităţii sunt legile exponenţială normală log-normală Weibull şa legi de variabilă continuă şi legea Poisson de variabilă discretă Alegerea legii teoretice de repartiţie se face pe baza informaţiilor cu privire la modul de apariţie al acestora 121 Legea exponenţială Legea exponenţială de repartiţie este folosită pe scară largă pentru descrierea fiabilităţii produselor utilizare justificată pe baza următoarelor motive a) această lege are rata de defectare constantă z(t)=λ fapt care

simplifică mult calculul matematic al fiabilităţii b) legea exponenţială descrie apropiat fiabilitatea produselor la

care defectările apar spontan (probabilitatea funcţionării fără defecţiuni nu depinde de vacircrsta elementelor)

c) legea este tipică sistemelor complexe alcătuite din elemente eterogene cu diferite caracteristici

d) această lege este prima pe care o testăm atunci cacircnd există puţine informaţii cu privire la defectări icircn timpul icircncercării sau exploatării sistemului

Folosirea legii de repartiţie exponenţială se face icircn condiţiile acceptării următoarelor ipoteze

bull defecţiunile elementelor sunt statistic independente icircntre ele iar fluxul de defecţiuni ale sistemului se consideră egal cu suma fluxurilor de defecţiuni ale elementelor

bull sunt luate icircn considerare numai defecţiunile primare

19

bull se iau icircn considerare elemente şi sisteme care la momentul iniţial erau icircn stare de funcţionare

bull calculele de fiabilitate se efectuează pentru perioada de viaţă utilă consideracircndu-se că elementele au fost rodate iar icircmbătracircnirea nu are loc

Indicatorii de fiabilitate pentru legea exponenţială se stabilesc cu ajutorul relaţiilor prezentate icircn tabelul 11 pornind de la rata de defectare constantă

λ=)(tz =constant (117)

λ fiind parametrul acestei legi Ceilalţi indicatori de fiabilitate pentru care se prezintă şi forma grafică icircn figura 13 rezultă succesiv

bull funcţia de fiabilitate R(t)

tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)

bull funcţia de repartiţie F(t)

tetRtF sdotλminusminus=minus= 1)(1)( (119)

05

1

a b

Fig 13 Reprezentarea grafică a indicatorilor de fiabilitate pentru legea exponenţială

a- R(t) şi F(t) b- z(t) şi f (t)

bull densitatea de probabilitate f (t)

tedt

tdFtf sdotλminussdotλ==)()( (120)

bull media timpului de bună funcţionare m

R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=

infin sdotλminusinfin 1)(00

dtedttRm t (121)

bull dispersia σ2 şi abaterea medie pătratică σ

20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)

Valori interesante se obţin pentru funcţiile de repartiţie şi de fiabilitate pentru un timp de funcţionare egal cu media

timpului de bună funcţionare Astfel pentru λ

==1mt se obţin

succesiv

6301)(1

asympminus== λsdotλminus

emtF (123)

370)(1

asymp== λsdotλminus

emtR

Aceste valori arată că probabilitatea de defectare a unui produs avacircnd fiabilitatea corespunzător descrisă de legea exponenţială care a funcţionat un timp egal cu media timpului de bună funcţionare este de 63 iar probabilitatea de a nu se defecta este de numai 37 122 Legea normală de distribuţie (Gauss) Legea de repartiţie normală reflectă apropiat comportarea multor utilaje şi subansamble a căror fiabilitate este condiţionată de fenomene de uzare sau se află la sfacircrşitul perioadei de viaţă Ea descrie de asemenea valorile unor caracteristici de rezistenţă ale materialelor folosite la construcţia utilajelor precum şi variaţia icircn timp a icircncărcării acestora Densitatea de probabilitate a acestei legi este

2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)

relaţie icircn care mgt0 şi σgt0 sunt cei doi parametri ai legii Funcţia de repartiţie F(t) a legii normale este dată de relaţia

21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)

Dacă se recurge la schimbarea de variabilă

σminus

=mtz (126)

numită normarea legii se poate calcula valoarea funcţiei de repartiţie cu ajutorul funcţiei integrale a lui Laplace

intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)

care are proprietatea )()( zz Φminus=minusΦ Simetria faţă de origine a acestei funcţii permite să se utilizeze numai valorile sale (tabelate anexa 1) pentru zgt0 celelalte valori obţinacircndu-se imediat Cu ajutorul funcţiei lui Laplace funcţia de repartiţie normată se exprimă cu relaţia

)(50)( zzF Φ+= (128)

valorile fiind echivalente cu cele ale funcţiei F(t) valorile variabilelor t şi z respectacircnd relaţia (126)

a B

Fig 14 Graficele indicatorilor de fiabilitate pentru legea normală a- f (t) şi z(t) b- F(t) şi R(t)

Ceilalţi indicatori de fiabilitate ai legii normale sunt

bull funcţia de fiabilitate

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)

bull media timpului de bună funcţionare este chiar unul din parametrii legii m

bull dispersia şi abaterea medie pătratică sunt respectiv σ2 şi σ 123 Repartiţia log-normală Această repartiţie are densitatea de probabilitate de forma

2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)

icircn care m şi σ sunt respectiv media şi abaterea medie pătratică ale logaritmului valorilor variabilei (lnt) Graficul acestei legi de distribuţie este asimetric (fig 15)

a b Fig 15 Graficele repartiţiei log-normale

a- legea de distribuţie b- F(t) şi R(t)

Indicatorii de fiabilitate pentru legea log-normală se exprimă icircn deplină analogie cu cei ai legii normale apelacircnd la valorile funcţiei integrale a lui Laplace pentru care variabila normată este

σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23

124 Repartiţia Weibull Legea Weibull reprezintă cea mai generală lege de distribuţie a timpilor de bună funcţionare Ea se utilizează atunci cacircnd experienţele indică faptul că distribuţia timpilor nu are nici caracter exponenţial nici caracter normal Dacă se consideră expresia funcţiei de fiabilitate sub forma

intminus=

tdttz

etR 0)(

)(

şi se admite pentru rata de defectare o relaţie de forma

btatz sdot=)(

icircn care a şi b sunt două constante se poate induce forma funcţiei de fiabilitate după Weibull care icircn forma generală are expresia

β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)

Densitatea de probabilitate a distribuţiei are forma

β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)

Relaţia (133) conţine trei parametri motiv pentru care legea Weibull poate fi adaptată mai uşor unui colectiv de date experimentale Cei trei parametri sunt

bull β se numeşte parametru de formă pentru β=1 se obţine repartiţia exponenţială iar pentru βasymp325 se obţine o repartiţie foarte apropiată de cea normală (fig16a)

bull γ este parametrul de poziţie de cele mai multe ori el este sau se consideră zero rezultacircnd forma simplificată a legii iar cazurile icircn care γgt0 şi βgt1 sunt caracteristice fenomenelor cu perioadă de incubaţie

bull η este numit parametru de scară Rata de defectare rezultă avacircnd expresia

β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24

cu formele grafice din figura 16b iar funcţia de repartiţie este dată de relaţia

β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b

Fig 16 Forma grafică a indicatorilor de fiabilitate a- densitatea de probabilitate b- rata de defectare

Media timpului de bună funcţionare se determină cu relaţia

β

Γsdotβη

+γ=1m (136)

icircn care Γ este funcţia gamma (integrala Euler de speţa a II-a) cu definiţia

int sdot=Γinfin minusminus

0

1)( dxexp xp

căreia icirci este caracteristică următoarea proprietate icircn raport cu parametrul p

)()1( ppp Γsdot=+Γ

Forma simplificată a legii prezentată pentru funcţia de fiabilitate are forma

β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25

Aplicată iniţial icircn cercetările privind rezistenţa la oboseală a materialelor legea Weibull are numeroase aplicaţii şi icircn studiul fiabilităţii 125 Repartiţia Poisson Legea Poisson se aplică atunci cacircnd funcţionarea unui produs este un proces aleatoriu care icircndeplineşte următoarele condiţii

bull probabilitatea ca un produs să se defecteze de k ori depinde numai de k şi de durată

bull defectările sunt independente adică o defectare nu atrage după sine alte defectări

bull icircntr-un interval mic de timp are loc de fiecare dată numai o defectare

Legea de distribuţie a acestei legi este

tk

ekttkP sdotλminussdotλ

=)()( (138)

icircn care m1

=λ m fiind media timpului de bună funcţionare

Pentru k=0 defectări icircn intervalul considerat rezultă

tetP sdotλminus=)0( (139)

adică timpul dintre două defectări succesive este repartizat exponenţial Repartiţia Poisson poate fi considerată icircn consecinţă un proces Poisson punctiform

Aplicaţii rezolvate Calculul parametric al fiabilităţii

1 Funcţia de repartiţie a timpului de bună funcţionare pentru

produsul manometru este bine descrisă de legea exponenţială Ştiind că

pentru acest aparat probabilitatea funcţionării fără defectare este 095 după

un timp de funcţionare de 2000 de ore se cer

26

a) media timpului de bună funcţionare a produsului

b) probabilitatea de defectare a manometrului după 500 de ore de

funcţionare

Rezolvare

Probabilitatea funcţionării fără defectare a manometrului este dată de

funcţia de fiabilitate care pentru legea exponenţială are expresia

tetR sdotλminus=)( expresie pentru care trebuie cunoscută valoarea parametrului λ

Aceasta se determină ştiind că fiabilitatea produsului are valoarea 095 după

2000 de ore de funcţionare fapt care permite egalitatea

950)2000( 2000 == sdotλminuseR

De aici rezultă valoarea parametrului

51056522000

)950ln( minussdot=minus

=λ ore-1

a) Media timpului de bună funcţionare m se calculează pentru legea

exponenţială cu relaţia (121) rezultacircnd

38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore

b) Probabilitatea de defectare după 500 de ore este dată de valoarea

funcţiei de repartiţie a timpului de bună funcţionare la acest moment adică

3101301)500( 500 ==minus= sdotλminuseF

2 Fiabilitatea unui motor electric asincron este bine descrisă de

legea exponenţială (defectările apar spontan) pentru perioada de funcţionare

normală iar icircn perioada finală de exploatare defectările apar atacirct spontan cacirct

şi din cauza uzării acestuia (fiabilitate după modelul legii normale) Se cer

a) fiabilitatea motorului după un timp de funcţionare t=6000 de ore şi

media timpului de bună funcţionare pacircnă la prima defectare dacă

rata de defectare este z(t)=λ=1510-6 ore-1

b) probabilitatea de funcţionare fără defecte (fiabilitatea) şi rata de

defectare icircn perioada finală de exploatare pentru trei momente

27

t1=8000 de ore t2=10000 de ore şi t3=12000 de ore se cunosc cei

doi parametri ai legii normale media m=12000 de ore şi abaterea

medie pătratică σ=2000 de ore

Rezolvare

a) Cei doi indicatori de fiabilitate pentru un timp t=6000 de ore din

perioada de funcţionare normală se determină folosind expresiile de calcul

ale acestora icircn cazul modelului exponenţial

- funcţia de fiabilitate este tetR sdotλminus=)( pentru care se obţine

9140)6000( 60001015 6== sdotsdotminus minus

eR

- media timpului de bună funcţionare λ

=1m pentru care se obţine

66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore

b) Fiabilitatea motorului va scădea icircn perioada finală de exploatare

nu numai din cauza defectărilor produse de uzură dar şi din cauza

defectărilor accidentale astfel că fiabilitatea rezultantă R(t) va fi dată de

produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care

R1(t) este componenta fiabilităţii accidentale

R2(t) este componenta fiabilităţii de uzură

bull tetR sdotλminus=)(1 ia următoarele valori

8870)8000( 800010151

6== sdotsdotminus minus

eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR

bull R2(t)=05 ndash Φ(u) icircn care Φ( u) este funcţia integrală a lui Laplace

(cu valori icircn anexa1) iar u este variabila normală normată calculată cu

expresia σminus

=mtu (s-a notat cu u variabila normală normată icircn locul

28

notaţiei obişnuite cu z p entru a nu fi con fund ată cu no taţia p entru rata d e

defectare) Se obţine succesiv

t=8000 22000

120008000minus=

minus=u Φ(ndash2)= ndash04772 R2(8000)=09772

t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05

bull Cumulacircnd cele două cauze de producere a defectării rezultă la

cele trei momente următoarele fiabilităţi

R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417

Rata de defectare z(t) pentru repartiţia normală se determină cu

relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==

Pentru cele trei moment solicitate rata de defectare prezintă

următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1

3 Frecvenţa defectărilor icircn timp pentru rulmenţii cu bile este

descrisă corespunzător de repartiţia Weibull avacircnd următorii parametri

γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer

a) fiabilitatea şi rata de defectare pentru trei intervale de timp

t1=500 de ore t2=1000 de ore şi t3=2000 de ore

b) media timpului de bună funcţionare

29

Rezolvare

a) Funcţia de fiabilitate R(t) pentru legea Weibull icircn forma ei

simplificată (γ=0) are forma

ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(

Pentru cele trei momente solicitate se obţin fiabilităţile

9780)(516 500102 == sdotsdotminus minus

etR


etR


etR

Rata de defectare c are forma

11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η

γminusβ= tttz (γ=0)

Valorile ratei de defectare pentru cele trei momente sunt

5506 10705650051102)500( minusminus sdot=sdotsdotsdot=z ore-1



b) Media timpului de bună funcţionare m este calculată cu relaţia

+

βΓsdotη+γ= 11m γ=0 3

32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30

13 Fiabilitatea sistemelor

Fiabilitatea sistemului reprezintă fiabilitatea determinată pentru un ansamblu căruia i se cunosc structura şi fiabilitatea tuturor părţilor componente (elemente subansamble) După modul icircn care sunt conectate elementele sistemului din punct de vedere al fiabilităţii se deosebesc următoarele tipuri de structuri

bull sisteme conectate icircn serie bull sisteme conectate icircn paralel bull sisteme complexe

Sistemele cu structura icircn serie sau icircn paralel ori care pot fi descompuse icircn secvenţe avacircnd aceste structuri permit o determinare uşoară a fiabilităţii lor Pentru sistemele complexe idecomposabile icircn aceste structuri de bază se recurge la tehnici speciale de evaluare a fiabilităţii 131 Fiabilitatea sistemelor legate icircn serie Un sistem legat icircn serie este un sistem alcătuit din mai multe elemente conectate astfel icircncacirct să funcţioneze simultan iar defectarea unuia dintre ele antrenează defectarea (oprirea) sistemului Se consideră un sistem cu schema logică de fiabilitate icircn serie (fig17) pentru care se folosesc următoarele notaţii

bull E este evenimentul constacircnd icircn buna funcţionare a sistemului iar probabilitatea P(E)=Rs(t) reprezintă fiabilitatea sistemului

bull Ei reprezintă evenimentul constacircnd icircn buna funcţionare a elementului ei iar probabilitatea P(Ei)=Ri(t) reprezintă fiabilitatea acestui element

Fig 17 Schema logică a sistemelor serie Fiabilitatea sistemului serie este dată de probabilitatea intersecţiei evenimentelor Ei respectiv de relaţia

e1 e2 en

31

)()()( 21 ns EEEPEPtR ==

Dacă elementele funcţionează independent (funcţionarea unui element nu depinde de funcţionarea celorlalte) se aplică legea icircnmulţirii probabilităţilor şi rezultă

prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)

Relaţia (140) arată că fiabilitatea sistemelor serie este mai mică decacirct fiabilitatea celui mai slab element din sistem adevăr care se scrie sub forma

]1[)()( nitRtR is isinforallle (141)

Pentru un sistem serie cu fiabilitatea tuturor elementelor descrisă de legea exponenţială t

i ietR sdotλminus=)( se obţine valoarea fiabilităţii

sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(

Media timpului de bună funcţionare a sistemului este

sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(

Dacă elementele sistemului au aceeaşi valoare a fiabilităţii (Ri=R) rezultă

tnns etRtR sdotλsdotminus== )()(

nm

sdotλ=

1

Dacă sistemul serie este compus din elemente care urmează diverse legi de repartiţie ca de exemplu k după legea exponenţială şi n ndash k după legea Weibull

ti ietR sdotλminus=)( i=1 2 k

i

i

it

i etR

β

ηγminus

minus=)( i=k+1 k+2 n

atunci fiabilitatea sistemului rezultă din relaţia

32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln

132 Fiabilitatea sistemelor legate icircn paralel Un sistem legat icircn paralel este un sistem format din mai multe elemente conectate astfel icircncacirct să funcţioneze simultan iar pentru defectarea sistemului este necesar să se defecteze toate elementele Se consideră un sistem cu schema logică de fiabilitate icircn paralel (fig18) pentru care se folosesc următoarele notaţii

bull E este evenimentul constacircnd icircn buna funcţionare a sistemului iar probabilitatea P(E)=Rp(t) reprezintă fiabilitatea sistemului


bull E (sau nonE) este evenimentul constacircnd icircn defectarea sistemului

bull iE (sau inonE ) este evenimentul constacircnd icircn defectarea elementului ei i=1 2 n

Fig 18 Schema logică a sistemelor icircn paralel

Evenimentul constacircnd din defectarea sistemului icircn paralel se exprimă prin relaţia

nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33

Dacă defectările elementelor sunt independente rezultă

prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)

Fiabilitatea sistemului se exprimă icircn funcţie de probabilitatea sa de defectare )(1)( EPtRp minus= iar probabilitatea de defectare a fiecărui element icircn funcţie de fiabilitatea sa )(1)( tREP ii minus= astfel că se obţine relaţia de calcul a fiabilităţii sistemului icircn paralel

[ ]prod minusminus==

n

iip tRtR

1)(11)( (144)

Relaţia (144) permite formularea următoarelor concluzii bull fiabilitatea sistemului cu schema logică de fiabilitate icircn

paralel este mai mare decacirct fiabilitatea oricărui element component al sistemului

bull dacă fiabilitatea elementelor componente urmează o lege de repartiţie exponenţială ( t

i ietR sdotλminus=)( ) fiabilitatea sistemului nu mai este descrisă de această lege

( )prod=

sdotminusminusminus=n

i

tp ietR

111)( λ

bull icircn cazul des icircntacirclnit icircn care toate elementele sistemului sunt identice şi au aceeaşi fiabilitate R(t) fiabilitatea sistemului este

[ ]np tRtR )(11)( minusminus=

133 Sisteme mixte [11] a) Sisteme decompozabile icircn structuri simple Sistemele complexe pot avea icircn structură numai componente amplasate atacirct icircn serie cacirct şi icircn paralel din punct de vedere al fiabilităţii rezultacircnd o configuraţie mixtă Fiabilitatea sistemelor de acest tip se determină icircn etape succesive pornind de la calculul fiabilităţii celor mai simple grupări avacircnd elemente cu acelaşi tip de dispunere continuacircnd

34

cu calculul fiabilităţii ansamblurilor formate din grupări legate icircn acelaşi fel şamd pacircnă la definirea fiabilităţii icircntregului sistem b) Sisteme idecompozabile icircn structuri simple Icircn această situaţie calculul fiabilităţii sistemului se complică Una din metodele de calcul este cea care apelează la formula fiabilităţii totale

)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)

icircn care s=1 simbolizează starea de bună funcţionare a sistemului j =1 este starea de fiabilitate maximă a componentului j j =0 este starea de defect a componentului j Metoda presupune identificarea unui component j care să permită descompunerea sistemului icircn grupări numai icircn serie şisau icircn paralel Prezentarea modului de lucru este exemplificat pe sistemul cu schema logică de fiabilitate din figura 19 icircn care componentul j este e4

Fig 19 Schema logică a unui sistem idecompozabil

Se consideră că elementul component e4 are fiabilitatea maximă caz icircn care schema logică de fiabilitate are configuraţia din figura 110 cu grupu ri d e comp onente numai icircn serie şi icircn paralel Fiabilitatea sistemului icircn această stare este dată de relaţia

e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR

jsR minussdotminusminussdotminussdotminusminusminussdotminusminus=

==

(146)

Fig 110 Schema logică pentru starea j=1 Icircn continuare se consideră starea icircn care componentul j s-a defectat (j=0) stare icircn care schema logică de fiabilitate a sistemului este cea din figura 111 Fiabilitatea sistemului icircn această stare este dată de relaţia

( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR

jsR sdotminussdotsdotminussdotminusminus=

== (147)

Fig 111 Schema logică pentru starea j=0 Fiabilitatea sistemului studiat poate fi acum calculată introducacircnd icircn relaţia (145) valorile din relaţiile (146) şi (147) rezultacircnd

e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR

RRRRRRRsistminussdotminussdotminussdotminusminus+

+sdotminussdotminusminussdotminussdotminusminusminussdotminusminus=

(148)

Icircn final trebuie remarcat faptul că valoarea funcţiei fiabilităţii sistemului este aceeaşi indiferent care din componentele sistemului sunt considerate a icircmpiedica organizarea acestuia icircn grupări de acelaşi tip

Aplicaţii rezolvate Calculul fiabilităţii sistemelor

Aplicaţie Să se determine fiabilitatea sistemului a cărui schemă

logică de fiabilitate este redată icircn figura 112 dacă la un anumit moment

valorile probabilităţilor de bună funcţionare ale componentelor sistemului

sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05

Fig112 Schema logică de fiabilitate

Rezolvare Analizacircnd schema logică de fiabilitate a sistemului se observă că

unele componente pot fi grupate icircn blocuri caracterizate prin acelaşi mod de

dispunere a lor Drept urmare schema logică de fiabilitate se simplifică

avacircnd forma prezentată icircn figura 113

10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37

Valorile funcţiilor de fiabilitate pentru blocurile de componente

astfel formate sunt

R13 = 1 ndash (1 ndash R1)sdot(1 ndash R3) = 1 ndash (1 ndash 09)sdot(1 ndash 07) = 097


R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049


Fig113 Schema logică de fiabilitate simplificată

Icircn această schemă simplificată componentele nu mai pot fi asociate

icircn grupări cu acelaşi tip de amplasare Drept element care icircmpiedică

organizarea sistemului icircn astfel de grupări pot fi considerate mai multe

componente elementul 4 blocul 6 ndash7 elementul 5 şi blocul 8-9-10 Icircn cele

ce urmează vor fi considerate numai două cazuri

Cazul I

Schema logică de fiabilitate a sistemului atunci cacircnd elementul 4 are

fiabilitate maximă este prezentată icircn figura 114

ej = 4

Fig114 Cazul I-Schema logică pentru starea j=1

1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38

Fiabilităţile subansamblurilor şi ale sistemului sunt icircn acest caz

R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792

R25678910 = 1ndash(1ndashR2567)sdot(1ndashR8910) = 1ndash(1ndash0792)sdot(1ndash049) =

=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671

Consideracircnd elementul 4 icircn stare de defect schema logică de

fiabilitate a sistemului devine cea din figura 115


Fiabilităţile subansamblurilor şi sistemului sunt icircn acest caz

R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245

R5678910 = 1ndash(1ndashR67)sdot(1ndashR58910) = 1ndash(1ndash088)sdot(1ndash0245) = 09094

R(s=1j=0) = R13 sdot R2sdotR5678910 = 097sdot08sdot09094 = 07057

Se determină fiabilitatea sistemului

Rsist= 08671sdot06 + 07057sdot(1ndash06) = 08025

Cazul II

Schema logică de fiabilitate a sistemului atunci cacircnd blocul

elementelor 6 şi 7 are fiabilitate maximă este cea din figura 116

ej = 6 7

Fiabilităţile subansamblelor şi sistemului sunt icircn acest caz


R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447

R2458910= 1 ndash (1 ndash R2)sdot(1 ndash R458910) = 097sdot08894 = 08627

R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39

Fig116 Cazul II-Schema logică pentru starea j=1

Icircn cazul icircn care blocul elementelor 6 şi 7 este defect schema

sistemului devine cea din figura 117


Fiabilităţile subansamblurilor şi sistemului icircn acest caz sunt

R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04

R245= 1 ndash (1 ndash R4)sdot(1 ndash R25) = 1 ndash (1 ndash 06)sdot(1 ndash 04) = 076

R(s=1j=0) = R13sdotR245 sdotR8910 = 097sdot076sdot049 = 03612


Rsist= 08627sdot088+ 03612sdot(1ndash 088) = 08025

Observaţii

1 Valoarea funcţiei fiabilităţii sistemului este aceeaşi indiferent

care dintre componentele sistemului sunt considerate a icircmpiedica

organizarea acestuia icircn grupări de acelaşi tip

1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40

2 Icircn unele cazuri concrete la alcătuirea schemei logice de fiabilitate

trebuie ţinut seama de particularităţile funcţionale privind sensul de

parcurgere al diagramei atunci cacircnd se consideră anumite componente ca

fiind de tipul bdquojrdquo Astfel sensul de parcurgere icircn cazul unui sistem hidraulic

va trebui să respecte traseul de la pompă către elementul de execuţie şi nu se

va accepta sensul invers o acţionare prin cablu va putea funcţiona de

asemenea icircntr-un singur sens cel corespunzător icircntinderii cablului şi nu icircn

cel al comprimării cablului etc

134 Sisteme redondante La sistemele complexe la care fiabilitatea elementelor componente este icircn general diferită creşterea fiabilităţii se realizează frecvent prin metoda introducerii icircn sistem a unor elemente de rezervă metodă numită redondanţă (sau redundanţă) Un sistem se numeşte redondant dacă acesta conţine mai multe elemente care pot icircndeplini aceeaşi funcţie chiar dacă această funcţie ar putea fi icircndeplinită icircn mod normal de un singur element Icircn funcţie de modul icircn care se realizează redondanţa se icircntacirclnesc mai multe variante

bull redondanţă activă sau caldă atunci cacircnd elementele similare funcţionează icircn permanenţă

bull redondanţă pasivă sau rece atunci cacircnd elementele de siguranţă sunt conectate la sistem după defectarea elementului principal

bull redondanţă semiactivă atunci cacircnd elementele de rezervă funcţionează icircn acelaşi timp cu elementul principal dar la parametri mult diminuaţi stare care le face să poată icircnlocui imediat elementul principal icircn caz de defectare a acestuia

Icircn practică una dintre situaţiile cele mai icircntacirclnite este aceea icircn care elementele de rezervă sunt amplasate icircn paralel cu elementul principal Calculul fiabilităţii unor asemenea sisteme decurge similar metodelor cunoscute cu observaţia că se consideră icircn marea majoritate a cazurilor că fiabilitatea dispozitivului de comutare este maximă

41

Rezumatul capitolului 1

Fiabilitatea reprezintă aptitudinea unui produs de a-şi icircndeplini funcţia specificată icircn condiţii date şi de-a lungul unei perioade date

Mentenabilitatea exprimă aptitudinea unui produs de a fi supravegheat icircntreţinut şi reparat icircntr-o anumită perioadă de timp icircn condiţii date de exploatare

Defectarea reprezintă pierderea aptitudinii unui produs de a-şi icircndeplini funcţia cerută icircn condiţii date reprezentacircnd starea opusă celei de bună funcţionare Defectările pot fi bruşte sau progresive parţiale sau totale

Durata de viaţă reprezintă intervalul de timp de la realizarea produsului pacircnă la uzarea sa totală Timpul de bună funcţionare este dat de durata dintre două defectări succesive icircn care produsul funcţionează conform specificaţiilor Din punct de vedere cantitativ fiabilitatea produselor poate fi exprimată cu ajutorul indicatorilor de fiabilitate Principalii indicatori de fiabilitate sunt funcţia de repartiţie a timpului de bună funcţionare F(t) densitatea de probabilitate a timpului de bună funcţionare f(t) funcţia de fiabilitate R(t) media timpului de bună funcţionare m (sau MTBF) rata (intensitatea) de defectare z(t) dispersia timpului de bună funcţionare D2(t) sau σ2 abaterea medie pătratică a timpului de bună funcţionare σ cuantila timpului de funcţionare tF

Valorile teoretice ale indicatorilor de fiabilitate pentru o mulţime omogenă de produse industriale se pot determina consideracircnd totalitatea elementelor mulţimii respective Valorile indicatorilor obţinute icircn acest caz se numesc valori adevărate sau valori icircn populaţie Valorile estimate ale indicatorilor de fiabilitate se determină prin prelucrarea statistică a datelor experimentale obţinute prin observaţii efectuate asupra unui eşantion prelevat din mulţimea de produse studiată Valorile estimate sunt corecte numai dacă eşantionul este reprezentativ pentru populaţia cercetată Valorile indicatorilor se pot estima punctual printr-o singură valoare sau prin intervale de icircncredere stabilite cu o probabilitate impusă δ=1ndashα numită nivel de icircncredere Cele mai icircntacirclnite legi de repartiţie icircn studiul fiabilităţii sunt legile exponenţială normală log-normală Weibull şa legi de variabilă continuă şi legea Poisson de variabilă discretă

Legea exponenţială descrie apropiat fiabilitatea produselor la care defectările apar spontan (probabilitatea funcţionării fără defecţiuni nu depinde de vacircrsta elementelor) Legea de repartiţie normală reflectă apropiat comportarea multor utilaje şi subansamble a căror fiabilitate este condiţionată de fenomene de uzare sau se află la sfacircrşitul perioadei de viaţă Ea descrie de asemenea valorile unor caracteristici de rezistenţă ale materialelor folosite la construcţia utilajelor precum şi variaţia icircn timp a icircncărcării acestora Legea Weibull reprezintă cea mai generală lege de distribuţie a timpilor de bună funcţionare Ea se utilizează atunci cacircnd experienţele

42

indică faptul că distribuţia timpilor nu are nici caracter exponenţial nici caracter normal Fiabilitatea sistemului reprezintă fiabilitatea determinată pentru un ansamblu căruia i se cunosc structura şi fiabilitatea tuturor părţilor componente (elemente subansamble) După modul icircn care sunt conectate elementele sistemului din punct de vedere al fiabilităţii se deosebesc următoarele tipur i de structuri sisteme conectate icircn serie sisteme conectate icircn paralel sisteme complexe

Test de autoevaluare 1

1 Fiabilitatea unui produs reprezintă a) aptitudinea unui produs de a fi supravegheat icircntreţinut şi reparat icircntr-o anumită perioadă de timp icircn condiţii date de exploatare b) aptitudinea unui produs de a-şi icircndeplini funcţia specificată icircn condiţii date şi de-a lungul unei perioade date c) pierderea aptitudinii unui produs de a-şi icircndeplini funcţia cerută icircn condiţii date de exploatare

2 Funcţia de fiabilitate R(t) reprezintă a) probabilitatea ca un produs să se defecteze icircn intervalul de timp (0t) b) probabilitatea ca un produs sa nu se defecteze icircntr-un interval egal cu timpul mediu de bună funcţionare c) probabilitatea ca un produs să nu se defecteze icircn intervalul (0t)

3 Un produs are fiabilitatea descrisă de legea exponenţială Probabilitatea ca el să nu se defecteze după t=500 de ore de funcţionare este de 09 Care este probabilitatea ca el să nu se defecteze după t=1000 de ore a) 081 b) 05 c) 073

4 Un sistem este format din trei componente avacircnd la un moment dat valorile fiabilităţii R1=096 R2=084 R3=091 Care este fiabilitatea sistemului la acest moment dacă aceste componente formează un sistem icircn serie a) 0873 b) 734 c) 092

5 Un sistem este format din trei componente avacircnd la un moment dat valorile fiabilităţii R1=096 R2=084 R3=091 Care este fiabilitatea sistemului la acest moment dacă aceste componente formează un sistem icircn paralel a) 0831 b) 0902 c) 0999 (Răspunsurile testului la pag XXX)

Observaţii

8

Cuprinsul modulului 1

1 NOŢIUNI DE TEORIA FIABILITĂŢII helliphelliphellip 9

11 Conceptul şi indicatorii de fiabilitate helliphelliphelliphelliphelliphellip 9 111 Noţiuni de bază ale teoriei fiabilităţii helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 9 112 Indicatorii de fiabilitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 12 Legile de repartiţie ale timpului de bună funcţionare helliphellip 18 121 Legea exponenţială 18 122 Legea normală de distribuţie (Gauss)helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 123 Repartiţia log-normală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22 124 Repartiţia Weibull helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23 125 Repartiţia Poisson helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25 13 Fiabilitatea sistemelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 131 Fiabilitatea sistemelor legate icircn serie helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 30 132 Fiabilitatea sistemelor legate icircn paralel helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32 133 Sisteme mixte helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 134 Sisteme redondante helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40 Test de autoevaluare 1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 42

2 PRELUCRAREA ŞI TESTAREA DATELOR PRIVIND DEFECTĂRILE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

43

21 Aspecte generale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22 Prelucrarea statistică a datelor experimentale helliphellip 221 Noţiunea de selecţie helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222 Prelucrarea datelor observate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 223 Calculul parametrilor statistici ai repartiţiei empirice hellip 23 Identificarea tipului funcţiei densitate de

probabilitate a defectărilor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

231 Aspecte generale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232 Identificarea principalelor legi de distribuţie helliphelliphelliphellip 24 Calculul parametrilor distribuţiei helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 241 Noţiuni de teoria estimaţiei helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 242 Verificarea ipotezelor statistice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 243 Metode de calcul ale parametrilor distribuţiei helliphelliphelliphellip 244 Estimarea parametrilor distribuţiei pentru diverse legi hellip 25 Verificarea concordanţei dintre distribuţia

empirică şi distribuţia teoretică

251 Testul χ2 (hi pătrat) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 252 Testul Kolmogorov-Smirnov helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Estimarea valorilor indicatorilor de fiabilitate helliphellip Test de autoevaluare 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

9












10





)()( tTPtF le= (11)




11


tttTtPtf

t ∆∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (12)


dttdFtf )()( = (13)





infinrarrtR

t






12


1)()( =+ tFtR (15)


int ττ=t

dftF0

)()( (16)



t


00 (17)


a b




F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

9












10





)()( tTPtF le= (11)




11


tttTtPtf

t ∆∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (12)


dttdFtf )()( = (13)





infinrarrtR

t






12


1)()( =+ tFtR (15)


int ττ=t

dftF0

)()( (16)



t


00 (17)


a b




F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

10





)()( tTPtF le= (11)




11


tttTtPtf

t ∆∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (12)


dttdFtf )()( = (13)





infinrarrtR

t






12


1)()( =+ tFtR (15)


int ττ=t

dftF0

)()( (16)



t


00 (17)


a b




F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

11


tttTtPtf

t ∆∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0

[ore ndash 1 ] (12)


dttdFtf )()( = (13)





infinrarrtR

t






12


1)()( =+ tFtR (15)


int ττ=t

dftF0

)()( (16)



t


00 (17)


a b




F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

12


1)()( =+ tFtR (15)


int ττ=t

dftF0

)()( (16)



t


00 (17)


a b




F(t)

R(t)

t

1

0

R(t) F(t) f (t)

F(t0) R(t0)

f (t)

t t0

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

13

int sdot=infin



dttdR


Se obţine

int+int sdotminus=

minussdot=int sdot=



dttdRtdttftm


int=infin

0)( dttRm (19)



ttTttTtPtz

t ∆rang∆+lelang

=rarr∆

)(lim)(0




14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

14

)()()(

APBAPABP

=

şi icircnlocuind


se obţine relaţia

)()()(

tRttRtttR ∆+

=∆+ (111)


)()()()(1)(




sdot

∆minus∆+

minus=rarr∆ )(

1)()(lim)(0 tRt

tRttRtzt

respectiv

dttdR

tRtz )(



)(ln)()()(

00tR

tRtdRdttz

tt=int=intminus

de unde

intminus=

tdttz

etR 0)(

)( (113)




15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

15









0

222 )()()( dttfmttD [ore2] (114)


Prin definiţie

)(2 tD=σ [ore] (115)


FtTP F =le )( (116)

z(t)

t

I II III

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

16


Nr crt Indi-

cator



1 F(t) - int ττt

df0

)( )(1 tRminus

int ττminusminust

dz0

)(exp1

2 f (t) dt

tdF )( - dt

tdR )(minus

int ττminussdott

dztz0

)(exp)(


tdf )( -

int ττminust

dz0

)(exp

4 z(t) dttdF

tF)(

)(11

sdotminus

int ττinfin

tdf

tf

)(

)( dt

tdRtR

)()(

1sdotminus -

5 m [ ]intinfin

minus0


0)( dttft int

infin

0)( dttR int

int ττminus

infin

0 0)(exp dtdz

t



17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

17




)()0()(N

tNNtF minus=


)()()(Nt

ttNtNtttfsdot∆

∆+minus=∆+


NtNtR =


)()()(tNt

ttNtNtttzsdot∆

∆+minus=∆+


)0(

1)0(1 N

iitN

m


1

2 )()0(

1 mtN

N

ii minussum=σ

=


2)0(

1)(

)0(1 mt

N

N

ii minussum=σ

=







18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

18










19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

19







tdttz

eetR

t

sdotλminusintminus

== 0)(

)( (118)



05

1

a b




tedt



R(t) F(t)

R(t)

F(t)

t m

063

037

f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

λ

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

20

λ=int=int=


dtedttRm t (121)


20

22 1)()(λ

=int minus=σinfin

dttfmt şi λ

=σ1 (122)



==1mt se obţin

succesiv

6301)(1


emtF (123)

370)(1


emtR


2

2

2)(

21)( σ

minusminus

πσ=

mt

etf (124)


21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

21

intπσ

=infinminus

σ

minusminust

mx

dxetF 2

2

2)(

21)( (125)


σminus

=mtz (126)


intπ

=Φminusz y

dyez0

2

2

21)( (127)


)(50)( zzF Φ+= (128)


a B




f (t) z(t) z(t)

f (t)

t

m

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t m

0

05

1

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

22

int=minus=infin

tdttftFtR )()(1)( (129)



2ln21

21)(

σminus

minus

πσsdot=

mt

et

tf (130)





σminus

=mtz ln (131)

f (t)

t

F(t) R(t)

R(t) F(t)

t 0

05

1

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

23


intminus=

tdttz

etR 0)(

)(


btatz sdot=)(


β

ηγminus

minus=

t

etR )( (132)


β

ηγminus

minus

β

minusβsdot

η

γminusβ=

t

ettf1)()( (133)





β

minusβ

η

γminusβ=

1)()( ttz (134)

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

24


β

ηγminus

minusminus=

t

etF 1)( (135)

a

b



β

Γsdotβη

+γ=1m (136)



0

1)( dxexp xp




β

η

minus=

t

etR )( (137)

β=1 β=2 β=3

t

f (t)

βlt1

1ltβlt2

βgt2

t

z(t)

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

25






tk


=)()( (138)

icircn care m1










26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

26



funcţionare

Rezolvare








51056522000


=λ ore-1



38990105652

115 =

sdot=

λ=

minusm ore













27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

27




Rezolvare






eR



66666101511

6 =sdot

=λ

=minus

m ore




produsul

R(t)=R1(t)R2(t)

icircn care




8870)8000( 800010151


eR

8610)10000( 1000010151


eR

8350)12000( 1200010151


eR



expresia σminus


28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

28



t=8000 22000

120008000minus=


t=10000 12000

1200010000minus=


t=12000 02000

1200012000=

minus=u Φ(0)= 0 R2(12000)=05



R(8000)=R1(8000)R2(8000)=088709772=0867

R(10000)=R1(10000)R2(10000)=086108413=0724

R(12000)=R1(12000)R2(12000)=083505=0417


relaţia

)(2

1

)()()(

2

2

)(2

2

tR

e

tRtftz

mt

σ

minusminus

πσ==


următoarele valori

z(8000)=27610-5 ore-1

z(10000)=143810-5 ore-1

z(12000)=398910-5 ore-1



γ=0 β=15 61021 minusβ

sdot=η

ore-1 Se cer




29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

29

Rezolvare



ββ

βsdot

ηminus

η

minus==

tt

eetR

1

)(



etR


etR


etR


11 1)()( minusβ

ββ

minusβsdotβsdot

η=

η







+


32

6

1036

)102(

1sdot=

sdot

=ηminus

568990301036151

11036 33 =sdotsdot=

+Γsdotsdot=m ore

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

30








e1 e2 en

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

31



prod=sdotsdotsdot==

n

iins tREPEPEPtR

121 )()()()()( (140)





sum sdotλminus

=

sdotλminus ==prod=

n

ii

itn

i

ts eetR 1

1)(


sumλ=int=

=

infin

n

ii

s dttRm

10

1)(



nm

sdotλ=

1



i

i

it

i etR

β

ηγminus



32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

32

sum

ηγminus

+sum sdotλminus=+=

β

=

n

ki iik

iis

itttR11

)(ln








nEEEE 21= (142)

e1

e2

en

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

33


prod=sdotsdotsdot==

n

iin EPEPEPEPEP

121 )()()()()( (143)



n

iip tRtR

1)(11)( (144)





( )prod=


i

tp ietR

111)( λ




34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

34


)1(01

11

jjsist RjsRR

jsRR minussdot

==

+sdot

==

= (145)




e1

e2 e3

e4

e6 e5

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

35

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]63521 11111111111 RRRRR


==

(146)


( ) ( ) ( )65321 111101 RRRRR


== (147)


e1

e5 e6

e3 e2

e1

e5 e6

e3 e2

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

36

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )465321

46352111111

111111111RRRRRR



(148)






sunt respectiv

R1 = 09 R2 = 08 R3 = 07 R4 = 06 R5 = 05 R6 = 06 R7 = 07 R8 = 08 R9 = 09 R10 = 05






10 9

1

8

7

6

5 4 3

2

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

37


astfel formate sunt



R8910 = R89sdotR10 = 098 sdot 05 = 049








Cazul I



ej = 4


1 3

8910

6 7

5

2

8 9 10

6 7

5 4

2

1 3

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

38


R13 = 097


R2567 = R25 sdot R67 = 09 sdot 088 = 0792


=089392

R(s=1j=1) = R13 sdot R25678910 = 097sdot089392 = 08671





R58910 = R5 sdot R8910 = 05sdot049 = 0245





Cazul II



ej = 6 7



R458910 = R4 sdotR58910 = 06sdot0745 = 0447


R(s=1j=1) = R13 sdot R24568910 = 097sdot08894 = 08627

1 3

5 8910

6 7

2

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

39






R25 = R2 sdot R5 =08sdot05 = 04





Observaţii




1 3

4

2

5

8 9 10

1 3 89100

5 2

4

40














41








42








Observaţii

40














41








42








Observaţii

41








42








Observaţii

42








Observaţii

10id_fiabilitatea produselor-1

Documents