7/22/2019 1 oscilatii 1

1/6

ELEMENTE DE MECANIC ANALITIC

Pentru c multe dintre aplicaiile mecanicii analitice studiate nparagraful urmtor se refer la micarea oscilatorie a unor sistemefizice, vom aminti principalele caracteristici ale acestui tip de micare.

1.1. Micarea oscilatorie

Oscilatorul armonic constituie un exemplu de micare periodicdeosebit de important, deoarece servete drept model exact sauaproximativ pentru multe probleme din fizica clasic i cuantic.

Sistemele clasice care sunt descrise de o micare oscilatorie armonicinclud orice sistem stabil care este deplasat puin din starea deechilibru, ca de exemplu:

a) un corp fixat de un resort elastic, n limita amplitudinilor micide oscilaie;

b) un pendul simplu, n limita unghiurilor mici de oscilaie;c) un circuit electric compus dintr-o inductan i o capacitate,

pentru cureni suficient de mici, astfel nct elementele decircuit sfie liniare.

Un element de circuit electric sau mecanic este liniar dacrspunsul este direct proporional cu fora extern. n domeniul deliniaritate, cele mai importante proprieti ale oscilatorului armonicsunt:

a) frecvena micrii este independent de amplitudineaoscilaiei;

b) efectele mai multor fore care acioneaz simultan pot fisuprapuse liniar.

n cele ce urmeazvom studia att micarea oscilatorie liber, ct icea forat, cu i framortizare.

1.1.1. Micarea oscilatorie armonic

n cazul micrii oscilatorii dupdirecia Oxa unui punct materialde masm,sub aciunea unei fore elastice

xkF = (1.1)

i n absena forelor de frecare, putem scrie:

0=+ kxxm && (1.2)

Dacintroducem pulsaia proprie a oscilatorului

1

7/22/2019 1 oscilatii 1

2/6

m

k=0 , (1.3)

soluia generala ecuaiei (1.2) este:

x(t ) =Acos ( t + ) (1.4)0

0

undeAreprezintamplitudinea micrii oscilatorii, iar faza iniial.

Aceste mrimi se determindin condiiile iniiale, cunoscnd elongaiaxi viteza

0

x& la momentul t= 0.

Exemplu. Un corp oscileaz sinusoidal cu perioada s. Lamomentul iniial t= 0 particula are viteza nul, iar la momentul t1= 0,5s viteza are valoarea m/s. S se scrie ecuaia de micare aparticulei i soluia acesteia (legea de micare).

20 =T

=1v

Rezolvare. Introducnd n ecuaia (1.2) pulsaia proprie (1.3) seobine:

020 =+ xx&&

Dar0

002

2T

== . nlocuim i obinem0T =0 rad/s.

Ecuaia de micare devine:

02 =+ xx&&

Soluia ecuaiei este de forma (1.4). Determinm amplitudinea i fazainiialdin condiiile precizate de problem. Calculm viteza particulei:

( )000sindd

+== tAt

xv

La t = 0 aceasta este zero; obinem ecuaia 00sin0 = A din carerezult

0

i ca urmaresin

0= 0

0= . Rescriem expresia vitezei

i

punem a doua condiie din textul problemei: 10t01 sinAv = sau

2sin

= A . Rezult 1 m. Legea de micare devine:=A

( ) ttx = cos (m)

1.1.2 . Micarea oscilatorie amortizat

Frecarea. n condiii reale, asupra unui corp n micare

oscilatorie acioneaz, pe lngfora elastic, i o forde frnare, F.f

2

7/22/2019 1 oscilatii 1

3/6

Pentru o mare clasde fenomene fizice, se poate considera c forade frnare este proporionalcu viteza corpului

xbbvFf &== (1.5)

unde este un coeficient de proporionalitate, . Vom considera

pentru nceput cteva cazuri n care acioneaznumai aceast for.Ecuaia diferenial corespunztoare legii a doua a dinamicii este nacest caz:

b 0>b

xbxm &&& = . (1.6)

n funcie de vitezaxdt/dxv &== , aceast ecuaie

devine:

v

v0

0

0=

+ vdtdv (1.7)

t

unde constanta b/m= senumete timp de relaxare.Dupsepararea variabilelor

Fig.1.1

=

dt

v

dv (1.8)

i integrare, se obine:

( )= /texpv)t(v 0 (1.9)

unde este viteza la0v 0=t . Viteza descrete exponenial n timp(fig.1.1).

Ce tip de fenomene fizice conduc la o forde amortizare de forma?vb

Cazul unei sfere care se deplaseazlent printr-un mediu vscos

a fost rezolvat de ctre G. G. Stokes, iar expresia foreicorespunztoarevrFf = 6 (1.10)

unde r este raza sferei i este coeficientul de vscozitate, senumete legea lui Stokes.

n teoria fenomenologic elaborat de Drude, se consider cntr-un conductor sarcinile mobile interacioneazcu ionii reeleicristaline prin fore de amortizare de forma

vm

Fcf

= (1.11)

3

7/22/2019 1 oscilatii 1

4/6

unde m este masa purttorului de sarcin, iar c , timpul dintredouciocniri consecutive cu ionii reelei.

Viteza limit. Dac o for constant, . este aplicat uneiparticule aflate sub aciunea unei fore de frecare de tipul discutat mai

sus, viteza va crete dac particula pleac din repaus sau de la ovitez mic, sau va descrete dac ea pleac de la o vitez foartemare, pncnd acceleraia devine zero. La echilibru

constF

xbF .const &= sau bF

vx .const==& . (1.12)

i viteza corespunztore se numete viteza limit. De exemplu, dacoparticulde masm cade sub aciunea greutii i a unei fore datdelegea lui Stokes, (ca n experiena lui Millikan), viteza limiteste:

r/mgvl = 6 . (1.13)

Dac asupra sarcinilor mobile dintr-un conductor acioneaz o forelectric E , viteza limitare expresiaqF=

Em

qvl

= . (1.14)

Oscilatorul armonic amortizat

Ecuaia diferenialcorespunztoare legii a doua a dinamicii esten acest caz

xbkxxm &&& = (1.15)Notnd ,

mb

= 2 obinem

02 20 =++ xxx &&& (1.16)

Pentru valori mici ale coeficientului de amortizare, , cutm pentruecuaia (1.16) soluii de forma unor oscilaii periodice amortizate

(1.17)( ) ( )0cos += tAetx t

unde i trebuie sfie determinate, iarAi 0 sunt constante fixatedin condiiile iniiale. Aceast dependen este sugerat de soluiileecuaiilor (1.2) i (1.6).Calculm derivatele x& i x&& ; dupnlocuire n ecuaia (1.16) obinem:

( )( ) ( )( ) 022sin2cos 022200 =+++ ttAe t Singura posibilitate ca aceastecuaie spoatfi satisfcut la oricemoment t, este anularea coeficienilor lui )t( 0cos + i, respectiv,

( )0sin +t . Rezult:

4

7/22/2019 1 oscilatii 1

5/6

= i 220 = . (1.18)

Prin urmare, soluia generala ecuaiei ( 1.16) este:

( )

+= 022

0cos tAetxt . (1.19)

Se observc:- pulsaia micrii oscilatorii amortizate este diferit de pulsaia

proprie a oscilatorului, ;0- amplitudinea micrii oscilatorii amortizate scade exponenial n

timp (fig. 1.2).O astfel de micare oscilatorie este reprezentat n fig. 1.2,

pentru un sistem caracterizat de 100= rad/s i =1 s-1.

Fig. 1.2

Observaie. Metoda prezentat pentru rezolvarea ecuaiei (1.16)presupune calcule algebrice laborioase; o metod de rezolvare maisimplconstn cutarea unei soluii complexe de forma:

( ) tetx~ = (1.20)

cu i , n general, mrimi complexe:

+= i , . 0= ieA

Soluia ecuaiei (1.16) va fi atunci partea reala expresiei (1.20):

( ) ( ) ( )0cosRe +== teAtx~tx t ; (1.21)

Se observc descrie fenomenul de atenuare, iar=Re =Im ,caracterul oscilatoriu al micrii sistemului. nlocuind (1.20) n ecuaia

(1.16), pentru c , obinem o ecuaie n :x~x~;x~ 2=&&x~ =&

02 202 =+x~ (1.22)

5

7/22/2019 1 oscilatii 1

6/6

cu soluiile20

221 = , .

Daceste un numr real, micarea nu mai este periodic.ntr-adevr, pentru = (amortizare critic), se obine:0

( ) tetx~ = (1.23)

Curba dependenei de timp a elongaiei (fig. 1.3) aratcn acest cazrevenirea la starea cu 0=x se produce ntr-un timp minim.

Amortizarea critic are o importan deosebit pentru funcionareaunor aparate de msur, cum ar fi galvanometrul balistic.

Fig. 1.3

Pentru , (amortizare puternic),202 >

( ) tt eetx~ 21 21 += ;

rezult, de asemenea, o scdere exponenialn timp a elongaiei. nacest caz, corpul revine la poziia de echilibru atunci cnd este lsat liber

din poziia iniialde elongaieA(fig.1.3, curbele punctate). Dac este un numr pur imaginar, ( 00 == ; ), se obine o

micare framortizare, cu pulsaia 0= .

Dac este un numr complex, 0 i 020 , soluia(1.21) descrie o micare oscilatorie slab amortizat i coincide cuexpresia (1.19).

2