CAPITOLUL 6

SISTEME MECANICE

6.1. CINEMATICA SISTEMELOR MECANICE

6.1.1. NOŢIUNI GENERALE

∗ Definirea sistemelor mecanice Se numeşte sistem mecanic, un ansamblu de rigide ale căror mişcări se intercondiţionează ca urmare a legăturilor dintre ele. Rigidele care intră în componenţa unui sistem mecanic se numesc elementele sistemului. Sistemele mecanice pot fi:

– spaţiale, dacă cel puţin unul din elementele sistemului exe-cută o mişcare spaţială sub acţiunea unui sistem de solicitări cu ori-entări oarecare în spaţiu;

– plane, dacă toate elementele sistemului pot fi considerate în mişcare plan paralelă (se includ aici şi rotaţiile şi translaţiile plane), în plane paralele, foarte apropiate unul de altul, încât să se poată ad-mite că toate elementele se găsesc în acelaşi plan şi dacă toate dis-tribuţiile de forţe sunt distribuţii plane.

În continuare, se vor lua în consideraţie numai sistemele mecanice plane deoarece deducerea diverselor forme ale ecuaţiilor dinamicii sistemelor mecanice este mult mai simplă şi uşor de înţeles decât în cazul sistemelor mecanice spaţiale. Formele finale ale ecuaţiilor dinamicii sistemelor mecanice sunt aceleaşi şi pentru sistemele mecanice plane şi pentru cele spaţiale, termenii acestor ecuaţii având forme mai complicate doar în cazul sistemelor mecanice spaţiale.

Într-un sistem mecanic, mişcarea se transmite într-un sens determinat, ireversibil, de la un element )S( i , la un element )S( j al sistemului, sens de care se ţine seama şi la numerotarea lor. Elementul )S( i care transmite mişcarea se numeşte element

– 366 –

conducător, iar elementul )S( j , care primeşte mişcarea, se numeşte element condus.

O porţiune a sistemului mecanic, care conţine un număr de elemente succesive luate în ordinea în care se transmite mişcarea de la un element conducător la ultimul element condus, se numeşte lanţ cinematic al sistemului mecanic.

∗ Notaţii folosite Fiecăruia din cele n elemente ale unui sistem mecanic i se va

asocia un număr de ordine )n,...,2,1i( = , numerotarea făcându-se astfel încât să se urmărească lanţul cinematic de la elementul conducător până la ultimul element condus de el. Fiecărui element

)S( i al sistemului mecanic plan i se va asocia un sistem plan de axe de coordonate carteziene )n,1i(,yxG)R( iiii =′′≡′ , ales, de regulă, cu originea în centrul de masă iG al elementului )S( i şi cu axele iixG ′ şi

iiyG ′ orientate după axele principale centrale de inerţie geometrice ale secţiunii plane prin care este reprezentat elementul respectiv, Fig. 6.1 (în figură s-a reprezentat numai un element generic )S( i al sistemului mecanic).

Fig. 6.1

iGr

)S( i

iy′

ii GQ ≡

ix′

iϕ

iGy xO

y

iGx

– 367 –

Poziţia elementului )S( i în raport cu reperul fix Oxy faţă de

care se studiază mişcarea întregului sistem mecanic va fi deter-minată, în general, prin cei trei parametri de poziţie variabili în timp cunoscuţi din studiul mişcării plan paralele a rigidului

).n,1i(),t();t(yy);t(xx iiiGiGiGiG =ϕ=ϕ== (6.1) Toate mărimile care caracterizează mişcarea elementului

)S( i , din punct de vedere cinematic sau dinamic, vor fi notate cu indicele i; astfel parametrii cinematici de ordinul I şi II ai elementului

)S( i vor avea expresiile

).n,1i(,kk

jyixa,respectiv,

kk

jyixv

iiii

iGiGiG

iiii

iGiGiG =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=′ϕ=ε

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=′ϕ=ω

+=

&&&&

&&&&

&&

&& (6.2)

∗ Legături. Ecuaţii de legătură. Ecuaţii de transmisie a mişcării. Interacţiunile unui element )S( i al unui sistem mecanic cu corpurile din mediul înconjurător, numite interacţiuni exterioare, pot fi de două tipuri:

- interacţiuni la distanţă, care se produc în baza unor legi fizice determinate, cum ar fi legea atracţiei universale sau legile de interacţiune electrostatică, electrodinamică, magnetică, etc.;

- interacţiuni de contact, care implică fie contactul direct (în cazul reazemelor) al elementului considerat cu corpurile cu care interacţionează, fie contactul realizat prin intermediul unor elemente de legătură cu caracteristici inerţiale neglijabile, numite acum legături exterioare.

Legăturile exterioare pot fi: – active, atunci când sunt realizate prin elemente elastice de

legătură (de exemplu, arcuri elicoidale deformate prin întindere şi

– 368 –

comprimare, etc.);

– pasive, realizate prin legături fundamentale (reazemul, arti-culaţia, legătura prin fir sau tijă şi încastrarea).

Interacţiunile unui element )S( i al unui sistem mecanic cu alte elemente )S( j aparţinând aceluiaşi sistem, se numesc interacţiuni interioare şi ele pot fi de două tipuri:

• interacţiuni interioare la distanţă, care se manifestă în baza unor legi fizice determinate, cum este legea atracţiei universale (luată în consideraţie numai în cazul sistemelor formate din corpuri cereşti) sau cum sunt legile de interacţiune magnetică, electrodi-namică, etc;

• interacţiuni interioare de contact, realizate prin elemente intermediare de legătură cu caracteristici inerţiale neglijabile, numite însă legături interioare.

Legăturile interioare pot fi:

– active, realizate prin elemente de legătură elastică; – pasive, realizate prin legături pasive fundamentale. Deoarece două rigide )S( i şi )S( j ale unui sistem mecanic

legate între ele prin încastrare se comportă ca un bloc unitar, cu aceiaşi parametri cinematici, în problemele de cinematică şi dina-mică ele vor fi considerate că formează un singur corp solid în mişcare. Ca urmare, ca legături pasive interioare vor fi considerate numai reazemul, articulaţia şi legătura prin fir sau tijă rigidă.

Deosebirile esenţiale dintre legăturile active şi cele pasive, fie

că sunt exterioare, fie că sunt interioare, sunt:

legăturile active nu introduc nici un fel de restricţii în vari-aţiile între anumite limite ale parametrilor de poziţie şi ale para-metrilor cinematici ai elementelor pe care le cuplează, în timp ce legăturile pasive introduc astfel de restricţii;

distribuţiile de forţe de interacţiune corespunzătoare legătu-rilor active au caracter de distribuţii de forţe active, în timp ce distri-buţiile de forţe de interacţiune corespunzătoare legăturilor pasive au caracter de distribuţii de forţe pasive.

– 369 –

Legăturile pasive exterioare În cele mai multe situaţii întâlnite în aplicaţiile practice, o legă-

tură pasivă exterioară introduce un număr de relaţii între parametrii de poziţie ai elementului respectiv. Aceste relaţii sunt numite ecuaţii de legătură exterioară geometrice sau finite. În cazul sistemelor mecanice plane, când numărul total al parametrilor de poziţie care pot varia în timp ai unui element )S( i al sistemului este 3, parametrii de poziţie fiind reprezentaţi prin mărimile iGiG y,x şi iϕ , numărul total de ecuaţii finite de legătură exterioară care vor putea fi scrise pentru acel element nu va trebui să depăşească cifra 2, pentru ca cel puţin unul dintre cei trei parametri de poziţie ai elementului să fie variabil în timpul mişcării.

În unele cazuri, legătura exterioară aplicată unui element )S( i al sistemului mecanic poate varia în timp, după legi determinate, indepedente de mişcarea sistemului mecanic, caz în care ecuaţiile de legătură geometrice corespunzătoare elementului )S( i au formele

)2,1;n,...,1i(,0)t;,y,x(f iiGiG)(iext =λ==ϕλ (6.3)

şi legăturile exterioare se numesc legături exterioare nestaţionare sau reonome.

Dacă legăturile exterioare nu se modifică în timp, ecuaţiile de legătură (6.3) capătă formele particulare

)2,1;n,...,1i(,0),y,x(f iiGiG)(iext =λ==ϕλ (6.4)

şi legăturile exterioare se numesc legături exterioare staţionare sau scleronome. Prin derivarea totală în raport cu timpul a ecuaţiilor de legătură (6.3) şi (6.4), se obţin ecuaţiile diferenţiale sau cinematice, de forma

,0t

ffy

y

fx

x

f

dt

df )(iexti

i

)(iextiG

iG

)(iextiG

iG

)(iext)(iext=

∂

∂+ϕ

ϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= λλλλλ

&&& (6.5)

– 370 –

adică de forma

,)2,1;n,1i(,0)t;,y,x;,y,x( iiGiGiiGiG)(iext =λ==ϕϕψ λ &&& (6.6)

în cazul legăturilor exterioare reonome şi de forma

,0f

yy

fx

x

f

dt

df

i

)(iextiG

iG

)(iextiG

iG

)(iext)(iext=

ϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= λλλλ && (6.7)

deci de forma

,)2,1;n,1i(,0),y,x;,y,x( iiGiGiiGiG)(iext =λ==ϕϕψ λ &&& (6.8)

în cazul legăturilor scleronome. Legăturile exterioare care introduc ecuaţii de legătură geo-metrice sau ecuaţii de legătură diferenţiale integrabile, între para-metrii de poziţie ai elementului căruia îi sunt aplicate, se numesc legături olonome; legăturile exterioare care introduc ecuaţii de legă-tură diferenţiale neintegrabile, între parametrii de poziţie ai elemen-tului căruia îi sunt aplicate, se numesc legături neolonome.

Legăturile pasive interioare

Legăturile pasive interioare, între două elemente )S( i şi )S( j ale unui sistem mecanic, impun restricţii parametrilor de poziţie şi parametrilor cinematici de ordinul I ai ambelor rigide cuplate, restricţii care se exprimă, în cazul sistemelor mecanice plane, prin una sau cel mult două ecuaţii de legătură diferenţiale de forma

,)2,1;ji;n,..,2,1j,i(

,0)t;,y,x;,y,x;,y,x;,y,x( jjGjGiiGiGjjGjGiiGiG)(ijint

=λ≠=

=ϕϕϕϕψ λ &&&&&& (6.9)

în cazul legăturilor nestaţionare sau reonome şi de forma

),2,1;ji;n,..,2,1j,i(

,0),yx;,y,x;,y,x;,y,x( jjG,jGiiGiGjjGjGiiGiG)(ijint

=λ≠=

=ϕϕϕϕψ λ &&&&&& (6.10)

– 371 –

în cazul legăturilor staţionare sau scleronome. Dacă sistemele (6.9) şi (6.10) sunt integrabile, ele vor putea fi aduse la formele generale

,)2,1;ji;n,..,2,1j,i(

,0)t;,y,x;,y,x( jjGjGiiGiG)(ijint

=λ≠=

=ϕϕψ λ (6.11)

în cazul legăturilor nestaţionare, şi la formele

,)2,1;ji;n,..,2,1j,i(

,0),y,x;,y,x( jjGjGiiGiG)(ijint

=λ≠=

=ϕϕψ λ (6.12)

în cazul legăturilor staţionare. De cele mai multe ori ecuaţiile de legătură geometrice se stabilesc direct, pe considerente geometrice şi în acest caz ecuaţiile diferenţiale de legătură se obţin prin derivarea totală a lor în raport cu timpul

,0t

ffy

y

fx

x

f

fy

y

fx

x

f

dt

df

)(ijintj

j

)(ijintGj

jG

)(iintjG

jG

)(ijint

ii

)(ijintiG

iG

)(ijintiG

iG

)(ijint)(ijint

=∂

∂+ϕ

ϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

+ϕϕ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

λλλλ

λλλλ

&&&

&&&

(6.13)

aceste relaţii purtând în acest caz numele de ecuaţii de transmisie a mişcării între elementele )S( i şi )S( j , ( 0t/f )(ijint =∂∂ λ , în cazul

legăturilor staţionare). În materialul bibliografic [6, 9, 11] sunt prezentate formele uzuale de legături pasive olonome.

– 372 –

6.1.2. PROBLEMELE FUNDAMENTALE ALE

CINEMATICII SISTEMELOR MECANICE În urma aplicării legăturilor pasive exterioare elementelor unui sistem mecanic, exprimate prin cel mult două ecuaţii de legătură exterioară între parametrii de poziţie iiGiG ,y,x ϕ ai unui element )S( i al sistemului, cel puţin unul dintre aceşti parametrii de poziţie rămâne variabil în timp, ceea ce înseamnă că numărul total al acestor parametri de poziţie variabili în timp, ai elementelor unui sistem mecanic este cel puţin egal cu numărul elementelor sistemului. Aplicarea legăturilor pasive interioare între elementele siste-mului mecanic - introducând, fiecare asemenea legătură, cel puţin o ecuaţie de legătură interioară între parametrii de poziţie rămaşi variabili în timp ai elementelor cuplate prin ea -, condiţionează, în fiecare cuplaj, variaţia în timp a parametrilor de poziţie variabili în timp ai elementelor conduse de variaţia parametrilor de poziţie ai elementelor conducătoare. Aceste două constatări conduc la concluzia finală că în cazul unui sistem mecanic numai unii dintre parametrii de poziţie variabili în timp ai elementelor lui vor putea avea mişcări arbitrare, eventual prestabilite, în timp ce variaţiile celorlalţi parametri vor fi condiţionate de ecuaţiile de legătură interioară. Prima categorie de parametri de poziţie se numesc parametri de poziţie independenţi ai sistemului mecanic considerat, iar cea de-a doua categorie poartă numele de parametri de poziţie dependenţi ai aceluiaşi sistem. Se ridică în acest caz următoarele probleme, numite problemele fundamentale ale cinematicii sistemelor de rigide:

stabilirea ecuaţiilor de legătură (relaţiile dintre parametrii de poziţie ai elementelor sistemului mecanic) şi a ecuaţiilor de transmi-sie a mişcării (relaţiile dintre parametrii cinematici de ordinul I ai elementelor cuplate ale sistemului mecanic);

stabilirea numărului de parametri de poziţie independenţi care determină la un moment dat poziţia întregului sistem mecanic şi exprimarea tuturor parametrilor de poziţie ai elementelor sistemului mecanic şi a parametrilor cinematici de ordinul I în funcţie de parametrii de poziţie independenţi şi de derivatele lor în raport cu

– 373 –

timpul.elaborarea metodologiei de exprimare a parametrilor de poziţie dependenţi în funcţie de cei independenţi;

∗ Stabilirea numărului de parametri de poziţie independenţi ai unui sistem mecanic

Prin parametri de poziţie independenţi ai unui sistem mecanic

se înţeleg acei parametri de poziţie ai elementelor sistemului care rămân independenţi, putând lua valori arbitrare, după aplicarea elementelor sistemului a legăturilor pasive exterioare şi interioare.

a). Numărul parametrilor de poziţie independenţi ai elementelor izolate din sistem Se consideră un sistem mecanic alcătuit din n elemente. Fie

)S( i un element oarecare al sistemului. Poziţia acestui element este determinată printr-un număr ivp de parametri de poziţie variabili în timp şi independenţi între ei.

– Prin aplicarea asupra rigidului )S( i a unor legături exterioare se stabilesc dependenţe între cei ivp parametri de poziţie variabili în timp, dependenţe exprimate prin ecuaţiile de legătură exterioară iextl . Rezultă că după aplicarea legăturilor exterioare, numărul parametrilor de poziţie care rămân independenţi va fi

.pp iextivi l−= (6.14)

Pentru întregul sistem mecanic, numărul de parametri de poziţie care rămân independenţi după aplicarea legăturilor exterioare va fi dat de relaţia

.pNn

1ii∑

=

= (6.15)

– Prin aplicarea elementelor sistemului a unor legături interioare, prin ecuaţiile corespunzătoare de legătură interioară intl ,

– 374 –

se introduc noi dependenţe între cei N parametri de poziţie astfel că rămân independenţi doar un număr „p” dintre aceştia

.Np intl−= (6.16) Numărul „p” de astfel de parametri se numeşte numărul gradelor de libertate ale sistemului mecanic, iar cei „p” parametri de poziţie aleşi pentru a li se atribui valori arbitrare, se numesc parametri de poziţie independenţi ai sistemului mecanic (ei sunt deci „p” dintre cei N parametri de poziţie independenţi ai elementelor izolate din sistem). În continuare, cei „p” parametri de poziţie independenţi ai întregului sistem mecanic vor fi notaţi cu simbolurile p21 w,...,w,w . În cazul sistemelor mecanice plane, numărul ecuaţiilor de legătură interioară intl se stabileşte în baza relaţiei

,nn2n intfintaintrint ++=l (6.17)

unde intl reprezintă numărul de ecuaţii de legătură interioară;

intrn reprezintă numărul de reazeme interioare;

intan reprezintă numărul de articulaţii interioare;

intfn reprezintă numărul de fire interioare. Noţiunea de parametri de poziţie independenţi ai unui element

)S( i al unui sistem mecanic nu trebuie confundată cu noţiunea de parametrii de poziţie variabili în timp ai acelui element. Dacă, de exemplu, se consideră elementul )S( i supus la o legătură exterioară prin reazem cu rostogolire fără alunecare, între parametrii de poziţie variabili în timp ai acestui element, respectiv între mărimile iGx şi iϕ , ca urmare a reazemului exterior pe o dreaptă )( iΔ , există relaţia exprimând condiţia cinematică de rostogolire fără alunecare. În realitate, datorită ecuaţiei de legătură cinematică numai unul dintre aceştia poate fi considerat independent, de exemplu iϕ .

– 375 –

În tabelul de mai jos sunt trecute mişcările particulare pe care

le-ar executa elementul )S( i supus numai la legături exterioare, precum şi parametrii de poziţie independenţi ai lui.

Nr.crt.

Mişcarea particulară pe care o efectuează elementul )S( i

supus numai la legături exterioare

Parametrii de poziţie independenţi ai elementului )S( i

1. Translaţie rectilinie 1pi = , ( iGx sau iGy )

2. Rotaţie în jurul unei axe fixe 1pi = , )( iϕ

3. Rostogolire fără alunecare 1pi = , )( iϕ

4. Rostogolire cu alunecare 2pi = , ( iGx , iϕ sau iiG ,y ϕ )

5. Mişcare plan paralelă liberă 3pi = , ( iGx , iGy , iϕ )

b). Criterii de alegere a parametrilor de poziţie independenţi ai unui sistem mecanic Criteriul I

Dacă într-un sistem mecanic există un număr oarecare de elemente motoare, atunci parametrii de poziţie variabili în timp ai acelor elemente vor figura printre parametrii de poziţie independenţi ai întregului sistem mecanic. Criteriul II

Dacă un sistem mecanic este compus dintr-un număr oarecare de lanţuri cinematice cuplate elastic între ele prin legături active interioare, atunci parametrii de poziţie variabili în timp ai elementelor conducătoare ale lanţurilor cinematice vor trebui să figureze şi ei printre parametrii de poziţie independenţi ai întregului sistem mecanic.

– 376 –

∗ Coordonatele generalizate şi vitezele generalizate ale unui sistem mecanic

a). Definirea coordonatelor generalizate Poziţia, într-un reper absolut dat, a unui sistem mecanic cu p

grade de libertate este determinată printr-un număr „p” de parametri de poziţie independenţi notaţi p1 w,...,w şi care sunt „p” dintre cei N parametri de poziţie independenţi ai elementelor sistemului consi-derat cu toate legăturile interioare desfiinţate.

Poziţia în spaţiu a unui asemenea sistem mecanic cu p grade de libertate, poate fi însă în mod univoc determinată printr-un alt set de p mărimi scalare algebrice independente între ele (de exemplu, coordonate cilindrice sau intrinseci în locul celor carteziene şi alte unghiuri în locul unghiurilor lui Euler) şi astfel în multe situaţii studiul dinamic al mişcării sistemului mecanic se simplifică în mod apreciabil dacă se folosesc aceşti din urmă parametri pentru determinarea poziţiei sistemului mecanic.

Aceşti parametri de poziţie mai generali ai unui sistem mecanic, notaţi în continuare cu p1 q,...,q şi dintre care unii ar putea să coincidă şi cu unii dintre parametrii de poziţie independenţi

p1 w,...,w definiţi înainte, se numesc coordonate generalizate ale sistemului mecanic, coordonatele lui Lagrange, sau încă para-metrii lagrangeeni de poziţie ai acelui sistem mecanic. În concluzie, în cazul unui sistem mecanic cu p grade de libertate, poziţia lui în reperul fix adoptat poate fi unic determinată fie prin cei p parametri de poziţie independenţi ai lui 21 w,...w , aleşi dintre cei N parametri de poziţie ai elementelor izolate din sistem după criteriile formulate anterior, fie printr-un set de p coordonate generalizate p1 q,...q dintre care unele pot să coincidă cu unii dintre

parametrii )p,1j(w j = ; faptul că prin ambele seturi de parametri poziţia sistemului este unic determinată, implică valabilitatea transformărilor

– 377 –

)p,1j(),q(w)q,...,q(ww jp1jj === (6.18)

şi ),p,1k(),w(q)w,...,w(qq kp1kk === (6.19)

care se stabilesc, pe considerente geometrice, în baza ecuaţiilor de legătură pasivă. Dacă legăturile pasive aplicate elementelor sistemului meca-nic sunt nestaţionare, adică, în ecuaţiile de legătură intră şi timpul t în mod explicit, atunci şi în transformările (618) şi (6.19) va apare timpul în mod explicit, ele având în acest caz formele

),p,1j(),t,q(ww jj == (6.20) respectiv,

.)p,1k(),t,w(qq kk == (6.21) Întrucât parametrii de poziţie independenţi propriu zişi ai unui sistem mecanic )p,1j(w j = , pot fi consideraţi ca forme particulare ale coordonatelor generalizate, corespunzând formelor particulare

),p,1j(,wq jj == (6.22)

ale transformărilor (6.20) şi (6.21), în continuare se va considera că poziţia sistemului mecanic este determinată numai prin aceste coordonate generalizate.

b). Definirea vitezelor generalizate În timpul evoluţiei unui sistem mecanic toţi parametrii de

poziţie variabili în timp ai elementelor sistemului – inclusiv parametrii de poziţie independenţi )p,1j(,w j = ai sistemului şi deci şi coordo-

natele generalizate ale lui )p,1k(,qk = – variază. În timp ce para-metrii de poziţie dependenţi sunt funcţii de timp prin intermediul parametrilor de poziţie independenţi şi, eventual şi de timp în mod explicit dacă legăturile sunt nestaţionare, parametrii de poziţie

– 378 –

independenţi )p,1j(,w j = deci şi coordonatele generalizate ale

sistemului mecanic, )p,1k(,qk = vor fi funcţii numai de timp

,)p,1k(),t(qq kk == (6.23)

funcţii care, în problemele de dinamică de tip fundamental vor trebui determinate prin integrarea unui sistem de ecuaţii diferenţiale. Derivatele în raport cu timpul ale coordonatelor generalizate

kq , adică funcţiile ),p,1k(),t(qq kk == && (6.24)

se numesc viteze generalizate ale sistemului mecanic şi în cazurile când sunt satisfăcute condiţiile

,wq kk && = (6.25) ele au semnificaţii chiar de parametri cinematici de ordinul întâi ai elementelor determinate prin parametrii kw corespunzători şi anume, viteze de translaţie dacă kw sunt coordonate ale polilor ataşaţi elementelor şi viteze unghiulare dacă kw sunt unghiuri de rotaţie.

∗ Exprimarea parametrilor cinematici de ordinul I ai elementelor unui sistem mecanic în funcţie de coordonatele şi vitezele generalizate

Expresiile parametrilor de poziţie ai elementelor n,1i),S( i = , în

cazul cel mai general, sunt în funcţie de q şi t, adică

).n,1i(,

)t;q()t;q,...,q(

)t;q(y)t;q,...,q(yy

)t;q(x)t;q,...,q(xx

ip1ii

iGp1iGiG

iGp1iGiG

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ=ϕ=ϕ

==

==

(6.26)

– 379 –

Cunoaşterea funcţiilor (6.1) permite să se exprime şi vectorii de poziţie, în raport cu originea reperului fix, ai centrelor de masă

ii QG ≡ ale elementelor )S( i ale sistemului mecanic ca funcţii de coordonatele generalizate şi de timp

).n,1i(,)t,q(rj)t,q(yi)t,q(xr iGiGiGiG ==+= (6.27)

În cazul sistemelor mecanice plane se pot defini vectorii

rotaţii ale elementelor, în baza relaţiilor

).n,1i(,)t,q(k)t,q(k)t,q( iiiii =ϕ=′ϕ=ϕ=ϕ (6.28)

În baza relaţiilor de definiţie ale parametrilor cinematici de ordinul întâi ai unui element generic )S( i al sistemului mecanic

,)n,1i(,)]t,q([

dtd

)]t,q(r[dtd

rv

iii

iGiGiG=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ=ϕ=ω

==

&

&

(6.29)

se pot calcula expresiile vitezei de translaţie şi vitezei unghiulare de rotaţie. Întrucât iGr şi iϕ depind de timp direct, dar şi prin intermediul

coordonatelor generalizate )p,1k(,qk = , derivatele totale din relaţia (6.28) vor avea expresiile

,t

rq

qr

tr

qqr

...qqr

dtrd iG

p

1kk

k

iGiGp

p

iG1

1

iGiG

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂++

∂

∂= ∑

=

&&& (6.30)

respectiv

.t

qqt

qq

...qqdt

d ip

1kk

k

iip

p

i1

1

ii

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂++

∂

ϕ∂=

ϕ ∑=

&&& (6.31)

În baza relaţiilor (6.30) şi (6.31), rezultă expresiile parametrilor

– 380 –

cinematici de ordinul întâi (6.29) ai elementelor sistemului mecanic nestaţionar

),n,1i(,

)t,q,q(t

qq

)t,q,q(vt

rq

qr

v

ii

k

p

1k k

ii

iGiG

k

p

1k k

iGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω=∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂=ω

=∂

∂+

∂

∂=

∑

∑

=

=

&&

&&

(6.32)

cu formele particulare

),n,1i(,

qq

;qqr

v

k

p

1k k

ii

k

p

1k k

iGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

ϕ∂=ω

∂

∂=

∑

∑

=

=

&

&

(6.33)

în cazul sistemelor mecanice staţionare, când elementele sistemului sunt supuse numai la legături pasive staţionare şi timpul nu mai figurează în relaţiile (6.27) şi (6.28).

În relaţiile (6.32), derivatele parţiale k

i

q∂ϕ∂

şi ti

∂

ϕ∂ au următoa-

rele semnificaţii

ik

i

k

i

k

i kq

kqq

′∂

ϕ∂=

∂

ϕ∂=

∂

ϕ∂ (6.34)

şi

.kt

ktt i

iii ′∂

ϕ∂=

∂ϕ∂

=∂

ϕ∂ (6.35)

– 381 –

∗Sisteme de deplasări elementare ale unui sistem mecanic La variaţii elementare ale timpului, se vor produce variaţii elementare ale vectorilor iGr şi )n,1i(,i =ϕ .

Ansamblul variaţiilor vectorilor iGr şi iϕ ai tuturor elementelor

sistemului mecanic corespunzătoare unei variaţii elementare date a timpului se numeşte sistem de deplasări elementare ale sistemu-lui mecanic. Există trei sisteme de deplasări elementare.

I. Sistemul de deplasări elementare reale Acest sistem de deplasări elementare corespunde unei miş-

cări reale a sistemului mecanic, efectuată sub acţiunea unui sistem dat, real, de solicitări exterioare active aplicate elementelor sistemu-lui mecanic şi pentru condiţiile iniţiale date, reale ale lui; în acest caz, variaţia elementară a timpului se notează cu simbolul dt, iar variaţiile vectorilor iGr şi iϕ se notează cu simbolurile

,n,ii,kdd

jdyidxrd

ii

iGiGiG=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=ϕ

+= (6.36)

şi au semnificaţiile matematice de diferenţiale totale ale funcţiilor vectoriale )t,q(r iG şi k)t,q(ii ϕ=ϕ . Ţinând seama şi de relaţiile (6.32) şi (6.33), rezultă expresiile

),n,1i(,

dtt

dqq

dtd

dtt

rdq

qr

dtvrd

ik

p

k k

iii

iGk

p

k k

iGiGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂=ω=ϕ

∂

∂+

∂

∂==

∑

∑

λ=

λ= (6.37)

în cazul sistemelor mecanice reonome (supuse la legături pasive

– 382 –

nestaţionare) şi expresiile

),n,1i(,

dqq

d

dqqr

rd

k

p

1k k

ii

k

p

1k k

iGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

ϕ∂=ϕ

∂

∂=

∑

∑

=

= (6.38)

în cazul sistemelor mecanice scleronome (supuse la legături pasive staţionare). Solicitările exterioare reale aplicate sistemului mecanic şi condiţiile iniţiale impuse lui nu trebuie să provoace o evoluţie a sistemului care să conducă la distrugerea legăturilor pasive la care sunt supuse elementele sistemului, îndeosebi a celor interioare. Legăturile interioare sunt exprimate prin cele intl ecuaţii de legătură interioară de forma

),,...,1(,0)t,...,,y,x(...,f intiiGiG l=λ=ϕλ (6.39)

iar prin diferenţierea totală în raport cu timpul a acestor ecuaţii se obţin relaţiile

,,..,1

,0dtt

fd

fdy

yf

dxxf

int

ii

iiG

iGiG

iG

l=λ

=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂ λλλλ∑ (6.40)

care trebuie să fie satisfăcute de variaţiile reale iGiG dy,dx şi idϕ ale parametrilor de poziţie pentru ca sistemul de deplasări elementare

iGrd şi idϕ să fie reale. În acest caz se spune că sistemul de

deplasări elementare reale )d,rd( iiG ϕ este compatibil cu legăturile, iar condiţiile (6.40) se numesc condiţii de compatibilitate a deplasărilor elementare reale cu legăturile.

– 383 –

II. Sistemul de deplasări elementare posibile Aceste deplasări corespund situaţiei când s-ar modifica fie

solicitările exterioare active aplicate elementelor sistemului mecanic, fie condiţiile iniţiale, fie ambele. În timp ce sistemul de deplasări reale este unic, numărul sistemelor de deplasări posibile este infinit.

Variaţia elementară a timpului va fi notată cu simbolul tΔ , iar variaţiile parametrilor de poziţie cu simbolurile iGiG y,x ΔΔ şi iϕΔ ,

respectiv iGrΔ şi iϕΔ , simbolul Δ având semnificaţia de operator diferenţial.

Rezultă următoarele expresii ale deplasărilor posibile

),n,1i(,

tt

qq

t

tt

rq

qr

tvr

ik

p

k k

iii

iGk

p

1k k

iGiGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ∂

ϕ∂+Δ

∂

ϕ∂=Δω=ϕΔ

Δ∂

∂+Δ

∂

∂=Δ=Δ

∑

∑

λ=

= (6.41)

în cazul sistemelor reonome şi

),n,1i(,

qq

qqr

r

k

p

1k k

ii

k

p

1k k

iGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ∂

ϕ∂=ϕΔ

Δ∂

∂=Δ

∑

∑

=

= (6.42)

în cazul sistemelor scleronome. Variaţiile posibile ale parametrilor de poziţie ai elementelor sistemului vor trebui să verifice relaţiile obţinute prin diferenţierea totală în raport cu timpul a ecuaţiilor de legătură (6.39)

,,...,1,0tt

ffy

yf

xxf

inti

ii

iGiG

iGiG

l=λ=Δ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕΔ

ϕ∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂ λλλλ∑ (6.43)

– 384 –

care se vor numi condiţii de compatibilitate cu legăturile a sistemului de deplasări elementare posibile considerat.

III. Sistemul de deplasări virtuale Aceste deplasări elementare ale unui sistem mecanic se

definesc la momente t determinate ale intervalului de timp în care se studiază mişcarea sistemului mecanic, adică un asemenea sistem ar trebui denumit de fapt sistemul de deplasări virtuale la momentul t al unui sistem mecanic. Deplasările virtuale reprezintă variaţiile elementare ale parametrilor de poziţie ai elementelor sistemului mecanic care se produc în următoarele condiţii:

– apar ca urmare a modificărilor solicitărilor active exterioare aplicate sistemului mecanic şi a condiţiilor lui iniţiale, sau numai a unuia dintre aceşti factori, ca şi în cazul sistemelor de deplasări ele-mentare posibile;

– corespund situaţiei în care, la momentul t în care sunt definite aceste deplasări, sistemul reonom ar deveni scleronom, ceea ce înseamnă că atât în ecuaţiile de legătură (6.39), cât şi în expresiile parametrilor cinematici de ordinul întâi ai elementelor siste-mului, timpul t va trebui considerat constant, cu valoarea cores-punzătoare momentului t considerat, adică va trebui să se considere

.0t

;0t

r;0

tf iiG =

∂

ϕ∂=

∂

∂=

∂∂ λ (6.44)

Variaţia elementară a timpului va fi notată cu simbolul tδ , iar

variaţiile elementare ale parametrilor de poziţie cu simbolurile iiGiG ,y,x δϕδδ , respectiv iGrδ şi iϕδ , simbolul δ având semnificaţia

de operator diferenţial, timpul t va trebui să fie considerat constant, adică, diferenţialele totale în raport cu timpul ale ecuaţiilor de legătură vor fi scrise acum sub forma

.,....,1

,0f

yyf

xxf

int

ii

iiG

iGiG

iG

l=λ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δϕ

ϕ∂∂

+δ∂∂

+δ∂∂∑ λλλ

(6.45)

– 385 –

Deplasările elementare virtuale ale unui sistem mecanic sunt

),n,1i(,

qq

t

qqr

tvr

p

1kk

k

iii

p

1kk

k

iGiGiG

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

δ∂

ϕ∂=δω=ϕδ

δ∂

∂=δ=δ

∑

∑

=

= (6.46)

kqδ reprezentând variaţiile virtuale ale coordonatelor generalizate.

Pentru ca legăturile pasive să fie în acţiune, deplasările virtuale iGiG y,x δδ şi iδϕ vor trebui să satisfacă relaţiile (6.45) numite acum condiţii de compatibilitate a deplasărilor virtuale cu legăturile pasive aplicate sistemului mecanic.

∗ Relaţiile lui Lagrange În toate expresiile celor trei categorii de sisteme de deplasări

elementare ale unui sistem mecanic intră derivatele parţiale k

iG

qr∂

∂ şi

n,1i(,qk

i =∂

ϕ∂ şi )p,1k = .

Pentru aceste derivate parţiale se pot demonstra două serii de relaţii – numite relaţiile lui Lagrange –, care vor juca un rol important în stabilirea unor forme ale ecuaţiilor diferenţiale ale dinamicii siste-melor mecanice [2, 6, 9, 12].

Seria întâi de relaţii Lagrange Această primă serie de relaţii Lagrange are forma

.)p,1k;n,1i(,qq

;qv

qr

k

i

k

i

k

iG

k

iG ==∂ω∂

=∂

ϕ∂

∂

∂=

∂

∂&&

(6.47)

– 386 –

Seria a doua de relaţii Lagrange Cea de-a doua serie de relaţii Lagrange este constituită din egalităţile

.)p,1k;n,1i(,qqdt

d;

qv

qr

dtd

k

i

k

i

k

iG

k

iG ==∂ω∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂

∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂&&

(6.48)

6.2. DINAMICA SISTEMELOR MECANICE

Ca şi în dinamica rigidului, se introduc şi în dinamica sisteme-lor de rigide cele trei categorii de caracteristici mecanice:

– caracteristicile inerţiale, pentru caracterizarea distribuţiei masei în sistem şi a inerţiei lui la translaţie şi rotaţie;

– caracteristicile cinetice, pentru caracterizarea mişcării sis-temelor;

– caracteristicile dinamice, pentru caracterizarea interacţi-unilor elementelor sistemului mecanic cu exteriorul sau cu alte ele-mente din sistem.

6.2.1. Caracteristici inerţiale Luând în consideraţie şi aici numai cazul sistemelor mecanice plane, fiecărui element )S( i al sistemului i se va ataşa invariabil un reper iiii yxG)R( ′′≡′ (polii mobili iQ se aleg în centrele de masă iG ale elementelor), Fig. 6.2, a cărui poziţie în reperul fix Oxy)R( ≡ va fi determinată prin parametrii de poziţie iiGiG ,y,x ϕ , dintre care, unii vor putea rămâne invariabili ca urmare a eventualelor legături pasive exterioare aplicate elementului. Caracteristicile inerţiale ale unui sistem mecanic sunt repre-zentate prin masa sistemului şi momentele de inerţie.

– 387 –

1). Definiţia noţiunii de masă totală a unui sistem mecanic Se numeşte masă totală a unui sistem mecanic suma mase-

lor tuturor elementelor lui, adică mărimea

.MMn

1ii∑

=

= (6.49)

În cazul când unele dintre elementele sistemului mecanic vor fi asimilate cu puncte materiale, pentru desemnarea maselor lor se vor folosi simbolurile adoptate în dinamica punctului material (simbolurile “m”, cu indicii respectivi). Centrul de masă al unui sistem mecanic

Se numeşte centru de masă al unui sistem mecanic, punctul C din spaţiu determinat în reperul fix prin vectorul de poziţie Cr dat de relaţia

,M

rM

M

rM

riG

n

1ii

n

1ii

iG

n

1ii

C

∑

∑

∑=

=

= == (6.50)

)n,1i(,OGr iiG == , fiind vectorii de poziţie în raport cu originea repe-

rului fix ai centrelor de masă iG ale elementelor sistemului. Coordonatele centrului de masă C al sistemului mecanic, se obţin proiectând relaţia vectorială (6.50) pe axele reperului fix

Oxyz)R( ≡ .

Introducând un reper ∗∗∗ ≡ yCx)R( cu originea în centrul de masă C şi cu axele ∗Cx şi ∗Cy paralele în permanenţă la axele

– 388 –

reperului fix, Fig. 6.2 şi notând cu ∗

iGr vectorii de poziţie, în raport cu punctul C, ai centrelor de masă iG ai elementelor sistemului mecanic, va rezulta condiţia evidentă

Fig. 6.2

,0rMM1

r iG

n

1iiC == ∗

=

∗ ∑ (6.51)

cu consecinţele

,0vMr;0rM riG

n

1ii

n

1iiGiG

n

1ii ≡=≡ ∑∑∑

==

∗∗

=

& (6.52)

unde

),n,1i(,vrv riGiGiG === ∗∗ & (6.53)

iGv

iω

)S( i

ix′

Cr

∗iGr

∗y

∗x C

iGx

iGr

iy′

ii GQ ≡ iϕ

iGy

xO

y

– 389 –

reprezintă vitezele relative ale centrelor de masă iG în raport cu reperul )R( ∗ . Din relaţiile

),n,1i(,rrr iGCGi =+= ∗ (6.54)

evidente din Fig. 6.2, prin derivare în raport cu timpul, rezultă

),n,1i(,vvv riGCiG =+= (6.55)

cu

,rvv Ct

iGC&== (6.56)

jucând deci rolul de viteză de transport.

Aceasta înseamnă că mişcarea absolută a elementului )S( i poate fi considerată ca rezultând din compunerea unei mişcări de transport – reprezentând o translaţie, efectuată o dată cu reperul

)R( ∗ –, cu o mişcare relativă efectuată în raport cu reperul )R( ∗ , cu parametrii cinematici

),n,1i(,vvv

iri

CiGr

iG =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω=ω

−= (6.57)

ultimele relaţii fiind justificate de faptul că reperul )R( ∗ se deplasează numai prin translaţie.

2). Momente de inerţie În ipoteza că toate axele instantanee de rotaţie ale elemen-

telor sistemului mecanic au direcţii fixe în spaţiu, atunci se vor întâlni numai momentele de inerţie iyzixz J,J ′′ şi izzJ′ , cu n,1i = .

– 390 –

6.2.2. Caracteristici cinetice Caracteristicile cinetice ale unui sistem mecanic sunt repre-

zentate prin noţiunile de torsor cinetic (impulsul şi momentul cinetic) şi energie cinetică.

6.2.2.1. Torsorul cinetic al unui sistem mecanic

a). Torsorul cinetic al unui sistem mecanic în polul fix O Torsorul cinetic, în polul fix O, al unui element generic )S( i al

sistemului mecanic va avea componentele (impulsul şi momentul cinetic) cu expresiile stabilite în dinamica rigidului, prevăzute însă acum cu indicele de ordine respectiv, adică

,)n,1i(,vMrJHrKK

;vMH

iGiiGiiiiGiGiO

iGii

=×+ω=×+=

=

(6.58)

ele exprimând cele două teoreme ale lui Koenig relative la impuls, respectiv moment cinetic. Mărimile H şi OK , numite impulsul şi respectiv momentul cinetic în polul O ale sistemului mecanic, se numesc componente ale torsorului cinetic în polul fix al sistemului mecanic plan considerat şi sunt definite prin relaţiile

.)vMrJ(KK

;vMHH

n

1iiGiiGii

n

1iiOO

n

1i

n

1iiGii

∑∑

∑ ∑

==

= =

×+ω==

==

(6.59)

– 391 –

b). Torsorul cinetic al unui sistem mecanic în centrul de masă Acest torsor cinetic corespunde mişcării relative a sistemului mecanic, efectuată în raport cu reperul ∗∗∗∗ ≡ yxC)R( aflat în translaţie faţă de reperul absolut )R( , Fig. 6.2, mişcare în care elementele )S( i ale sistemului au parametrii cinematici r

iGv şi

iri ω=ω ; în consecinţă, torsorul cinetic în polul C al unui element )S( i

va avea componentele

).n,1i(,vMrJK

;vMH

riGiiG

rii

riC

riGi

ri

=×+ω=

=

∗ (6.60)

Componentele torsorului cinetic în polul C al întregului sistem mecanic vor fi definite prin relaţii analoge relaţiilor (6.59), adică

,)vMrJ(KK

;0vMHH

riGi

n

1iiGii

n

1i

riC

rC

n

1i

n

1i

riGi

ri

r

×+ω==

≡==

∑∑

∑ ∑

=

∗

=

= =

(6.61)

prima expresie fiind justificată de cea de-a doua din relaţiile (6.52). c). Relaţiile între componentele torsorului cinetic în polii O şi C ai unui sistem mecanic

Se demonstrează [1, 6, 9, 12] că

.vMrKK;vMH CCrCOC ×+== (6.62)

exprimând teoremele lui Koenig relative la torsorul cinetic în dinamica sistemelor de rigide, cu următoarele formulări:

– 392 –

– Teorema lui Koenig relativă la impuls

„Impulsul unui sistem mecanic este egal cu impulsul centrului de masă al sistemului considerându-se concentrată în acest centru întreaga masă a sistemului”.

– Teorema lui Koenig relativă la momentul cinetic

„Momentul cinetic, în polul fix, al unui sistem mecanic este egal cu momentul cinetic al sistemului corespunzător mişcării lui relative în raport cu centrul său de masă C, adunat cu momentul cinetic în polul fix, al centrului de masă al sistemului mecanic, considerându-se concentrată în acest centru întreaga masă a sistemului”.

6.2.2.2.Energia cinetică a unui sistem mecanic a). Energia cinetică a unui sistem mecanic în mişcare în

raport cu un reper absolut este definită prin relaţia

.)JvM(21

EEn

1i

2ii

2iGi

n

1iicc ∑∑

==

ω+== (6.63)

b). Energia cinetică a unui sistem mecanic corespunză-

toare mişcării relative a lui în jurul centrului său de masă este definită prin relaţia

,JvM21

En

1i

2rii

2riGi

rc ∑

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+= (6.64)

r

iGv şi riω fiind parametrii cinematici de ordinul I corespunzători

mişcării relative a elementelor )S( i în raport cu reperul ∗∗∗ ≡ yCx)R( aflat în mişcare de translaţie faţă de reperul fix .Oxy)R( ≡

– 393 –

c). Relaţia dintre energiile cinetice ale unui sistem meca-nic corespunzătoare mişcării absolute şi mişcării relative a sis-temului în jurul centrului său de masă are forma

.EvM21

E rc

2Cc += (6.65)

Această relaţie, în care primul termen din membrul drept este interpretat ca reprezentând energia cinetică a centrului de masă al sistemului, exprimă teorema lui Koenig relativă la energia cinetică în dinamica sistemelor de rigide, care poate fi formulată astfel:

„Energia cinetică corespunzătoare mişcării absolute a unui sistem mecanic este egală cu energia cinetică a centrului de masă al sistemului, adunată cu energia cinetică a sistemului corespunzător mişcării relative a sistemului, în raport cu centrul său de masă”.

6.2.3. Caracteristici dinamice

Caracteristicile dinamice ale unui sistem mecanic sunt:

– caracteristicile dinamice vectoriale (torsorii solicitărilor); – caracteristicile dinamice scalare (puterea mecanică şi lucrul mecanic al solicitărilor); – caracteristicile dinamice generalizate.

6.2.3.1. Caracteristici dinamice vectoriale

În dinamica sistemelor de rigide se menţine clasificarea solicitărilor din dinamica rigidului, în solicitări active şi solicitări pasive. O modificare esenţială se produce în dinamica sistemelor de rigide, în raport cu dinamica rigidului, în ceea ce priveşte noţiunea de “interacţiune interioară”. În dinamica sistemelor de rigide prin “interacţiune interioară” se înţelege interacţiunea totală a unui element )S( i cu un alt element )S( j al aceluiaşi sistem mecanic şi se caracterizează, conform teoremei acţiunii şi reacţiunii, prin apariţia a doi torsori ai solicitărilor de interacţiune interioară acţionând în

– 394 –

punctele teoretice de interacţiune – unul aplicat elementului )S( i şi al doilea elementului )S( j –, cu componente de mărimi finite şi formând perechi de vectori direct opuşi. Întrucât solicitările interioare apar ca urmare a legăturilor interioare, active şi pasive, aplicate elementelor unui sistem mecanic, ele vor trebui luate în consideraţie numai în cazurile când se izolează elementele din sistem.

6.2.3.2. Caracteristici dinamice scalare Caracteristicile dinamice scalare sunt reprezentate prin noţiu-

nile de putere mecanică şi lucru mecanic al solicitărilor aplicate unui sistem mecanic.

1. Puterea mecanică Dacă elementul generic )S( i al unui sistem mecanic plan se

deplasează cu parametrii cinematici de ordinul întâi iGv şi iω , sub acţiunea unui torsor rezultant al solicitărilor aplicate lui, de compo-nente iF şi iGM , atunci puterea mecanică a acestor solicitări va avea expresia stabilită în dinamica rigidului, scrisă acum cu indicele de ordine al elementului, adică expresia

).n,1i(

,vFP iiGiGii

=

ω⋅+⋅= M (6.66)

Puterea mecanică a tuturor solicitărilor la care este supus întregul sistem mecanic va fi definită ca sumă a puterilor solicitărilor aplicate fiecăruia din elementele sistemului, deci

).vF(PP iiGiGi

n

1i

n

1ii ω⋅+⋅== ∑∑

==

M (6.67)

– 395 –

2. Lucrul mecanic elementar al solicitărilor aplicate unui sistem mecanic Notând cu iF şi iGM , componentele torsorului rezultant în po-lul iG al tuturor solicitărilor la care este supus acel element în timpul mişcării lui cu parametrii cinematici iGv şi iω , se va numi lucru mecanic elementar al acestor solicitări, mărimea elementară

.drdFdt)vF(dtPdL iiGiGiiiGiGiii ϕ⋅+⋅=ω⋅+⋅== MM (6.68)

Mărimea

,)drdF(PdtdLdLn

1iiiGiGi

n

1ii ∑∑

==

ϕ⋅+⋅=== M (6.69)

reprezintă lucru mecanic elementar al tuturor solicitărilor la care este supus sistemul mecanic considerat. Lucrul mecanic total efectuat de sistemul considerat de solicitări într-un interval finit de timp ]t,t[ 0 , va fi notat

.dtPdLLt

0t

t

0t∫ ∫== (6.70)

În cazul când solicitările active exterioare şi interioare sunt conservative, simbolul dL al lucrului mecanic elementar capătă sem-nificaţia matematică de diferenţială totală a funcţiei de forţă exte-rioară extU , respectiv interioară intU , adică se pot scrie relaţiile

.dUdL;dUdL intcaintextcaext == (6.71)

În baza relaţiilor (6.71) se poate defini o funcţie generală de

forţă, dată de relaţia

,UUU intext += (6.72)

– 396 –

iar lucrul mecanic elementar al tuturor solicitărilor active conservative va fi de forma

.dU)UU(d

dUdUdLdLdL

intext

intextcaintcaextca

=+=

=+=+= (6.73)

6.2.3.3. Caracteristici dinamice generalizate

Lucrul mecanic virtual Lucrul mecanic elementar virtual al sistemului de solicitări

aplicate elementului generic )S( i , cu componentele torsorului lor în polul iG reprezentate prin vectorii iF şi iGM , va fi dat de relaţia

,)n,1i(,rFtPL iiGiGiii =ϕδ⋅+δ⋅=δ=δ M (6.74)

iar lucrul mecanic virtual al întregului sistem al acestor solicitări va fi

∑∑==

ϕδ⋅+δ⋅==δ=δn

1iiiGiGi

n

1ii ).rF(PdtLL M (6.75)

Lucrul mecanic elementar virtual al solicitărilor active conser-

vative, exterioare şi interioare, are forma

,UL;UL intcaintextcaext δ=δδ=δ (6.76)

extU şi intU fiind funcţia de forţă exterioară, respectiv funcţia de forţă interioară. Lucrul mecanic elementar virtual al tuturor solicitărilor active conservative este dat de relaţia

,U)UU(UULLL intextintextcaintcaextca δ=+δ=δ+δ=δ+δ=δ (6.77)

U fiind funcţia de forţă generală.

– 397 –

Lucrul mecanic elementar virtual al solicitărilor pasive Întrucât sistemul de deplasări elementare virtuale a fost definit în ipoteza că la momentul t considerat, toate legăturile pasive, exte-rioare şi interioare, aplicate elementelor sistemului mecanic trebuie considerate ca devenind staţionare în acel moment, rezultă că puterea mecanică a componentelor ideale ale torsorilor reacţiunilor legăturilor pasive, exterioare şi interioare, aplicate elementelor siste-mului mecanic vor trebui considerate egale cu zero, adică vor trebui acceptate, la momentul t considerat, condiţiile

.0)t(P;0)t(P

idintRidextR == (6.78)

Concluziile precedente conduc la relaţiile

,0t)t(P)t(L

;0t)t(P)t(L

idintRidintR

idextRidextR

=δ=δ

=δ=δ (6.79)

adică

,0L)t(LidintRidextRidR =δ+δ=δ (6.80)

relaţie care este foarte importantă în stabilirea sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic.

Forţele generalizate ale unui sistem mecanic Introducând în expresia (6.75), expresiile deplasărilor

elementare virtuale iGrδ şi iϕδ ale sistemului mecanic, rezultă următoarea formă a lucrului mecanic virtual

.qq

qqr

FLn

1i

p

1k

p

1kk

k

iiGk

k

iGi∑ ∑ ∑

= = = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡δ

∂

ϕ∂⋅+δ

∂

∂⋅=δ M (6.81)

Se inversează ordinea de sumare în (6.81) pentru a putea

– 398 –

scoate în factor comun deplasările elementare generalizate virtuale

kqδ şi se obţine

.qqq

rFL k

p

1k

n

1i k

iiG

k

iGi δ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂⋅+

∂

∂⋅=δ ∑ ∑

= =

M (6.82)

Mărimile kQ definite prin relaţiile

,p,1k,qq

rFQ

n

1i k

iiG

k

iGik =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂⋅+

∂

∂⋅=∑

=

M (6.83)

se numesc forţe generalizate ale sistemului mecanic corespunză-toare gradelor de libertate )p,1k(,k = , ale sistemului. În baza relaţiei (6.83), expresia (6.82) capătă forma

.qQL k

p

1kk δ=δ ∑

=

(6.84)

Denumirea de forţe generalizate date expresiilor (6.83) se explică prin faptul că în cazul când coordonata generalizată kq este o coordonată carteziană, dimensiunea fizică a expresiilor kQ este a unei forţe, în timp ce în cazul când coordonata kq este un unghi de rotaţie, kQ are dimensiunea fizică de moment al unei forţe. În baza condiţiei (6.80), expresia (6.84) a lucrului mecanic virtual al tuturor solicitărilor aplicate, se reduce la următorii termeni

.LLL

LLLLL

dcana

dintdextaintaext

δ+δ+δ=

=δ+δ+δ+δ=δ (6.85)

Mărimile din relaţia (6.85) au următoarele semnificaţii:

naLδ este lucrul mecanic virtual al solicitărilor exterioare active neconservative, cu expresia

– 399 –

,qQLL k

p

1kknanaextna δ=δ=δ ∑

=

(6.86)

unde

knaQ reprezintă forţele generalizate corespunzătoare siste-

mului de solicitări exterioare active, neconservative;

caLδ este lucrul mecanic virtual al solicitărilor active conservative

,qQL k

p

1kkcaca δ=δ ∑

=

(6.87)

kcaQ reprezentând forţele generalizate ale sistemului mecanic

corespunzătoare tuturor solicitărilor active conservative;

dLδ este lucrul mecanic virtual al tuturor solicitărilor disipative

,qQL k

p

1kkdd δ=δ ∑

=

(6.88)

kdQ fiind forţele generalizate corespunzătoare solicitărilor disipative.

În baza relaţiilor (6.86), (6.87) şi (6.88), rezultă următoarea expresie a lucrului mecanic virtual al tuturor solicitărilor

.q)QQQ(L kkdkca

p

1kkna δ++=δ ∑

=

(6.89)

Expresia (6.89) poate fi prezentată şi sub o altă formă, care va fi folosită la stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic. Funcţiile de forţă, exterioară şi interioară vor putea fi exprimate ca funcţii de coordonatele generalizate ale sistemului şi, eventual şi de timp explicit, dacă sistemul este reonom (legăturile pasive aplicate lui sunt nestaţionare), adică

– 400 –

).t;q(U)t;q,...,q(UU

);t;q(U)t;q,...,q(UU

intp1intint

extp1extext

==

== (6.90)

Lucrul mecanic virtual al tuturor solicitărilor active conservative are forma

.q)UU(q

qq

Uq

U

qq

Uq

qU

UUL

k

p

1kintext

kk

p

1k k

int

k

ext

k

p

1k k

intk

p

1k k

extintextca

δ+∂∂

=δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

=δ∂∂

+δ∂∂

=δ+δ=δ

∑∑

∑∑

==

== (6.91)

Introducând şi funcţia de forţă generală

)t;q(UUUU intext =+= ,

se poate scrie expresia (6.91) sub forma de mai jos

.qqU

L k

p

1k kca δ

∂∂

=δ ∑=

(6.92)

Compararea, relaţiilor (6.87) şi (6.92), cu considerarea şi a

faptului că atât coordonatele generalizate kq , cât şi variaţiile lor kqδ definite prin operatorul δ - variaţii numite şi deplasări virtuale generalizate - sunt independente între ele, conduce la concluzia

),p,1k(,q

Uq

UqU

Qk

int

k

ext

kkca =∂∂

+∂∂

=∂∂

= (6.93)

care evidenţiază coincidenţa forţelor generalizate conservative cu derivatele parţiale ale funcţiei generale de forţă în raport cu coordo-natele generalizate care definesc forţele generalizate respective. Ţinând seama şi de ultimele relaţii, expresia (6.89) a lucrului mecanic virtual ia forma

– 401 –

.qQqU

QL k

p

1kkd

kkna δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+=δ ∑=

(6.94)

Dacă se pot neglija toate solicitările disipative exterioare şi interioare )p,1k,0Q( kd == , această expresie va deveni

,qqU

QL k

p

1k kkna δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=δ ∑=

(6.95)

iar dacă solicitările exterioare şi interioare sunt conservative

)0Q(kna = , expresia precedentă ia forma

.qqU

L k

p

1k kδ

∂∂

=δ ∑=

(6.96)

6.2.4. Teoreme fundamentale în dinamica sistemelor Relaţiile vectoriale care exprimă principiul impulsului şi principiul momentului cinetic, cunoscute din dinamica rigidului, pot fi scrise pentru orice element )S( i al sistemului, cu condiţia izolării lui din sistem şi a introducerii solicitărilor interioare, active şi pasive, din punctele de izolare din sistem, obţinându-se

,)n,1i(

,K

;FFFFFH

pintiGpextiGaintiGaextiGiGiG

ipintipextiaintiaextii

=

+++==

+++==

MMMMM&

&

(6.97)

cu

),n,1i(,JK;vMH iiiGiGii =ω== (6.98)

– 402 –

pentru sistemele mecanice plane. Din relaţia exprimând teorema lui Koenig relativă la momentul cinetic, scrisă pentru elementele )S( i ale sistemului mecanic

),n,1i(

,KHrKvMrK iGiiGiGiGiiGiO

=

+×=+×= (6.99)

rezultă, prin derivare în raport cu timpul, egalităţile

),n,1i(

,KHrKHrHrK iGiiGiGiiGiiGiO

=

+×=+×+×= &&&&&&

(6.100)

deoarece 0vMvHr iGiiGiiG =×=×& .

Prin considerarea relaţiilor (6.97), expresia anterioară mai poate fi scrisă şi sub forma

),n,1i(

,FrK iOiGiiGiO

=

=+×= MM&

(6.101)

deci valabilitatea relaţiilor (6.97) implică şi valabilitatea relaţiilor

)n,1i(

,K

;FFFFFH

ipintOiaintO

ipextOiaextOiOiO

ipintiaintipextiaextii

=

+++==

+++==

MMMMM&

&

(6.102)

Plecând de la aceste relaţii, se pot deduce nişte relaţii generale, care pot descrie mişcarea întregului sistem mecanic, numite teoremele fundamentale ale dinamicii sistemelor.

– 403 –

6.2.4.1. Teoremele torsorului cinetic a). Teorema torsorului cinetic în raport cu polul fix Prin însumarea, separată, a celor două serii de relaţii (6.102)

scrise pentru toate elementele sistemului mecanic, se obţine

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=====

=====

+++=

+++=

n

1iipintO

n

1iiaintO

n

1iipextO

n

1iiaextO

n

1iOi

n

1iipint

n

1iiaint

n

1iipext

n

1iiaext

n

1ii

.K

;FFFFH

MMMM&

&

(6.103)

Termenii din relaţiile (6.103) au semnificaţiile de mai jos

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

==

==

==

==

===

===

==+=+

==+=+

=+=+

=+=+

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

n

1iintOpintOaintO

ipintO

n

1iiaintO

intpintaint

n

1iipint

n

1iiaint

n

1iextOpextOaextO

ipextO

n

1iiaextO

extpextaext

n

1iipext

n

1iiaext

O

n

1iOiOi

n

1i

n

1iOi

n

1ii

n

1ii

n

1ii

,0

;0FFFFF

;

;FFFFF

);K(dtd

Kdtd

)K(dtd

K

;)H(dtd

Hdtd

)H(dtd

H

MMMMM

MMMMM

&

&

(6.104)

unde

H şi OK sunt componentele torsorului cinetic în polul fix O;

– 404 –

extF este rezultanta tuturor forţelor active şi pasive;

extOM este momentul rezultant în polul O al tuturor forţelor

active şi pasive. Ultimele două relaţii din (6.104) s-au scris ţinând seama de

principiul fortelor interioare. Înlocuind expresiile (6.104) în relaţiile (6.103), se obţine

,K

;FFFH

pextOaextOextOO

pextaextext

MMM +==

+==

&

&

(6.105)

relaţii care exprimă teorema impulsului (prima relaţie) şi teorema momentului cinetic în raport cu polul fix O (a doua relaţie) cu următoarele formulări: „Derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem mecanic este egală cu rezultanta tuturor forţelor active şi pasive aplicate elementelor sistemului”, respectiv, „Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic, calculat faţă de polul O, al unui sistem mecanic este egală cu momentul rezultant în acelaşi pol O al tuturor forţelor active şi pasive aplicate elementelor sistemului”.

b). Teorema torsorului cinetic în raport cu centrul de masă Folosind teorema lui Koenig, rezultă consecinţele

,KHrKvMrvMrK

;aMvMH

rCC

rCCCCCO

CC

&&&&&&

&&

+×=+×+×=

== (6.106)

cărora li se va asocia relaţia dintre momentele rezultante în polii O şi

– 405 –

C, extcextCextO Fr MM +×= .

Introducând aceste expresii în relaţiile (6.105), rezultă

,K;FaM extCrCextC M== & (6.107)

care exprimă teorema torsorului cinetic în raport cu centrul de masă C în dinamica sistemelor mecanice.

Prima relaţie din (6.107) exprimă teorema mişcării centrului de masă „Centrul de masă al unui sistem mecanic se mişcă ca un punct material, în care ar fi concentrată întreaga masă a sistemului mecanic şi asupra căruia ar acţiona toate forţele exterioare active şi pasive la care sunt supuse elementele sistemului mecanic”.

A doua relaţie din (6.107) exprimă teorema momentului cinetic în raport cu centrul de masă „Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic corespunzător mişcării relative a unui sistem mecanic în jurul centrului său de masă, este egală cu momentul rezultant, în centrul de masă C al sistemului, al tuturor solicitărilor exterioare, la care sunt supuse elementele sistemului”.

6.2.4.2. Forme ale teoremei energiei a). Teorema energiei sub formă generală

Considerând şi acum, un element generic )S( i al sistemului

mecanic izolat din sistem, se va putea scrie pentru el relaţia exprimând teorema energiei în dinamica rigidului sub forma

).n,1i(,PPPPPPEipintiaintipextiaextiintiextic =+++=+=& (6.108)

Însumând aceste relaţii, scrise pentru toate cele n elemente

ale sistemului mecanic, va rezulta egalitatea

,PPPPEn

1iipint

n

1iiaint

n

1iipext

n

1iiaext

n

1iic ∑∑∑∑∑

=====

+++=& (6.109)

– 406 –

cu următoarele semnificaţii mecanice ale termenilor

.PP;PP

;PP;PP

;E)E(dtd

Edtd

)E(dtd

E

pint

n

1iipintaint

n

1iiaint

pext

n

1iipextaext

n

1iiaext

cc

n

1iic

n

1iic

n

1iic

==

==

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∑∑

∑∑

∑∑∑

==

==

===

&&

(6.110)

în care cE reprezintă energia cinetică a întregului sistem mecanic, iar mărimile aintpextaext P,P,P şi pintP , reprezintă puterile mecanice

ale solicitărilor exterioare şi interioare, active şi pasive. Relaţia (6.109) va lua forma

pintaintpextaextc PPPPE +++=& (6.111)

şi ea reprezintă teorema energiei sub formă generală, cu formularea: „Derivata în raport cu timpul a energiei cinetice a unui sistem mecanic este egală cu suma puterilor mecanice ale tuturor solicitărilor exterioare şi interioare, active şi pasive”.

b). Teorema energiei sub formă diferenţială Relaţia (6.111) poate fi scrisă sub forma

,PPPPdt

dEE pintaintpextaext

cc +++==&

care, în baza relaţiilor de mai jos

,dLdtP,dLdtP,dLdtP aintaintpextpextaextaext === pintpint dLdtP = ,

conduce la expresia

– 407 –

,dLdLdLdLdE pintaintpextaextc +++= (6.112)

ce exprimă teorema energiei sub formă diferenţială „Diferenţiala energiei cinetice a unui sistem mecanic în mişcare este egală cu suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor solicitărilor exterioare şi interioare, active şi pasive, la care sunt supuse elementele sistemului”.

c). Teorema variaţiei finite a energiei Prin integrarea relaţiei (6.112), într-un interval determinat de

timp ]t,t[ 0 , în care energia cinetică a sistemului variază de la

valoarea )t(EE 0coc = la valoarea )t(EE cc = se obţine egalitatea

∫∫∫∫∫ +++=t

0tpint

t

0taint

t

0tpext

t

0taext

cE

ocE

c ,dLdLdLdLdE (6.113)

cu următoarele semnificaţii ale termenilor

∫∫

∫∫∫

==

==−=

t

0tpintpint

t

0taintaint

t

0tpextpext

t

0taextaext

occ

cE

ocE

c

,LdL;LdL

;LdL;LdL;EEdE

aintpextaext L,L,L şi pintL fiind lucrurile mecanice totale efectuate în

intervalul de timp considerat de solicitările respective. În baza relaţiilor anterioare, din (6.113) rezultă

,LLLLEE pintaintpextaextocc +++=− (6.114)

– 408 –

care exprimă teorema variaţiei finite a energiei cinetice cu următoa-rea formulare „Variaţia, într-un interval determinat de timp, a energiei cinetice a unui sistem mecanic în mişcare este egală cu suma lucrurilor mecanice efectuate în acel interval de timp de toate solicitările, exterioare şi interioare, active şi pasive la care sunt supuse elementele sistemului”.

6.2.5. Legi de conservare în dinamica sistemelor

1). Legea de conservare a impulsului În cazul când într-un interval determinat de timp ]t,t[ 0 , siste-

mul solicitărilor exterioare, active şi pasive, satisfac condiţia

,0FFF pextaextext ≡+= (6.115)

prima dintre relaţiile (6.105) ia forma 0H =& şi conduce prin integrare în intervalul de timp menţionat, în care impulsul sistemului mecanic variază de la valoarea iniţială oH la valoarea finală H , la relaţia

,HH o= (6.116)

care exprimă legea de conservare a impulsului în dinamica sisteme-lor de rigide „În cazul când asupra unui sistem mecanic acţionează un sistem de solicitări exterioare, active şi pasive, cu rezultanta identic zero într-un interval determinat de timp, atunci, în tot acel interval de timp, impulsul sistemului mecanic se conservă. O altă variantă de formulare a acestei legi poate fi stabilită considerându-se condiţia (6.115) în prima dintre relaţiile (6.107). Rezultă 0aM C = care, prin integrare în intervalul de timp ]t,t[ 0 , în care viteza centrului de masă al sistemului mecanic variază de la valoarea iniţială o

Cv la valoarea finală Cv , conduce la egalitatea

,vMvM oCC = (6.117)

– 409 –

cu concluzia

.vv oCC = (6.118)

Ultima relaţie exprimă legea inerţiei la translaţie în dinamica

sistemelor mecanice, echivalentă legii de conservare a impulsului „În cazul când asupra unui sistem mecanic acţionează un sistem de solicitări exterioare, cu rezultanta identic zero, într-un interval de timp

]t,t[ 0 , centrul de masă al sistemului mecanic se deplasează rectiliniu şi uniform, sau îşi păstrează starea iniţială de repaus, după cum viteza sa în momentul iniţial al intervalului de timp considerat este diferită de zero, sau egală cu zero”.

2). Legea de conservare a momentului cinetic a) În raport cu polul fix

În cazul când sistemul solicitărilor exterioare, active şi pasive, la care este supus un sistem mecanic satisface, într-un interval determinat de timp ]t,t[ 0 , condiţia

,0pextOaextOextO =+= MMM (6.119)

cea de-a doua dintre ecuaţiile (6.105) va lua forma 0KO =& . Prin integrare în intervalul de timp în care este satisfăcută

condiţia (6.119) – interval de timp în care momentul cinetic al siste-mului mecanic variază de la valoarea iniţială o

OK la valoarea finală

OK –, rezultă egalitatea

,KK oOO = (6.120)

care exprimă legea de conservare a momentului cinetic, în polul fix, al unui sistem mecanic în mişcare: „În cazul unui sistem mecanic supus la un sistem de solicitări exterioare, active şi pasive, cu momentul rezultant în polul fix identic zero într-un interval de timp ]t,t[ 0 , momentul cinetic al sistemului în acel pol fix se conservă în tot acel interval de timp”.

– 410 –

b) În raport cu centrul de masă al unui sistem mecanic Dacă într-un interval determinat de timp ]t,t[ 0

,0pextCaextCextC =+= MMM (6.121)

atunci cea de-a doua dintre ecuaţiile (6.107) va lua forma 0KrC =& .

Prin integrare în acest interval (momentul cinetic rCK variază

de la valoarea iniţială or

CK la valoarea finală rCK ) conduce la

concluzia

,KKor

CrC = (6.122)

care exprimă legea de conservare a momentului cinetic corespunzător mişcării relative a sistemului mecanic în jurul centrului său de masă: „În cazul unui sistem mecanic supus la un sistem de solicitări exterioare, active şi pasive, cu momentul rezultant în centrul de masă al sistemului mecanic identic egal cu zero într-un interval de timp,

]t,t[ 0 momentul cinetic al sistemului mecanic în centrul său de masă se conservă în tot acel interval de timp”. 3). Legea de conservare a energiei Se consideră un sistem mecanic care evoluează în condiţiile:

– rezistenţa mediului se neglijează; – sistemul este staţionar şi cu frecare neglijabilă; – toate legăturile active, exterioare şi interioare sunt nepertur-

bate şi cu amortizări neglijabile; – toate solicitările disipative sunt neglijabile; – solicitările active sunt conservative, adică

.dUdLdLdLcaintcaextaext =+= (6.123)

Din primele patru condiţii rezultă

– 411 –

.0dLdLdL pintpextp =+= (6.124)

În baza ultimelor două relaţii, expresia (6.112) va lua forma

dUdEc = (6.125)

şi va conduce, prin integrare, la relaţia

,hUEc += (6.126)

h fiind o constantă de integrare – numită constanta energiei. Ca şi în dinamica rigidului, şi în dinamica sistemelor mecanice se va putea introduce, în locul funcţiei de forţă U, funcţia

,UV −= (6.127)

numită şi funcţie potenţială, respectiv energie potenţială a siste-mului mecanic, pE , dacă se alege astfel constanta aditivă până la

care este determinată această funcţie încât valoarea iniţială oV să fie considerată zero; în această din urmă situaţie )EV( p= , relaţia (6.126) mai poate fi scrisă sub forma

,hEEEVE mpcc ==+=+ (6.128)

exprimând legea de conservare a energiei mecanice în dinamica sistemelor de rigide, formulată astfel:

„Energia mecanică mE a unui sistem mecanic scleronom, supus la legături active şi pasive cu solicitări disipative neglijabile şi care evoluează numai sub acţiunea unui sistem de solicitări active, exterioare şi interioare, conservative se conservă în tot intervalul de timp în care sunt satisfăcute condiţiile precizate”.

– 412 –

6.2.6. ECUAŢIILE DINAMICII SISTEMELOR 6.2.6.1. Ecuaţiile corespunzătoare teoremelor torsorilor cinetici a). Ecuaţiile corespunzătoare torsorilor cinetici scrise pentru elemente izolate din sistem Alegându-se centrele de masă iG ale elementelor )S( i ale

unui sistem mecanic ca poli invariabil ataşaţi lor şi considerând elementele izolate din sistem - cu introducerea torsorilor solicitărilor de legătură, active şi pasive, exterioare şi interioare, în punctele de legătură corespunzătoare -, această primă formă de ecuaţii ale dinamicii sistemelor mecanice va fi reprezentată prin sistemul celor n subsisteme de câte două ecuaţii vectoriale care exprimă principiul acţiunii forţelor aplicat fiecărui element al sistemului, adică

,)n,1i(

,K

;FFFFFH

pintiGpextiGaintiGaextiGiGiG

ipintipextiaintiaextii

=

+++==

+++==

MMMMM&

&

(6.129)

cu

).n,1i(

,JK,JK

;aMH;vMH

iiiGiiiG

iGiiiGii

=

ε=ω=

==

&

&

(6.130)

Înlocuind relaţiile (6.130) în ecuaţiile (6.129), acestea devin de

forma

– 413 –

)n,1i(

,J

;FFFFaM

pintiGaintiGpextiGaextiGii

ipintiaintipextiaextiGi

=

+++=ε

+++=

MMMM (6.131)

şi reprezintă sistemul de ecuaţii vectoriale ale dinamicii sistemelor mecanice corespunzătoare teoremelor torsorilor cinetici, scrise pentru elemente izolate din sistem. Prin proiectarea primei ecuaţii vectoriale din (6.131) pe axele reperului plan Oxy, în care se consideră că evoluează sistemul mecanic, iar a celei de-a doua ecuaţie vectorială pe axele iizG ′ , rezultă sistemul de ecuaţii scalare ale dinamicii sistemelor mecanice corespunzătoare teoremelor torsorilor cinetici scrise pentru elemen-tele izolate din sistem, sistem de forma

).n,1i(

,J

;FFFFyM

;FFFFxM

pintiGaintiGpextiGaextiGii

yipintyiaint

yipextyiaextiGi

xipintxiaint

xipextxiaextiGi

=

+++=ϕ

+++=

+++=

MMMM&&

&&

&&

(6.132)

b) Ecuaţiile corespunzătoare teoremei torsorului cinetic formulată pentru întregul sistem mecanic Ecuaţiile corespunzătoare teoremei torsorului cinetic, scrise

pentru întregul sistem mecanic, sunt reprezentate prin următoarele relaţii:

- relaţia care exprimă teorema impulsului; - relaţia care exprimă teorema momentului cinetic faţă de

polul O.

– 414 –

Aceste relaţii au formele:

.K

;FFFH

pextOaextOextOO

pextaextext

MMM +==

+==

&

&

(6.133)

Se retranscriu termenii din membrul stâng sub forma

,)JaMr()JvMr(dtd

K

;aM)vM(vMdtd

H

n

1iiiiGiiG

n

1iiiiGiiGO

iG

n

1i

n

1iiiGi

n

1iiGi

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

ε+×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω+×=

==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

&

&&

(6.134)

rezultând astfel ecuaţiile

,)JaMr(

;FFaM

pextO

n

1iaextOiiiGiiG

pext

n

1iaextiGi

MM +=ε+×

+=

∑

∑

=

= (6.135)

care se vor numi ecuaţiile vectoriale ale dinamicii sistemelor mecanice corespunzătoare teoremei torsorului cinetic formulată pentru întregul sistem mecanic.

Prin proiectarea primei ecuaţii vectoriale din (6.135) pe axele Ox şi Oy ale reperului plan Oxy în care evoluează sistemul mecanic plan considerat şi a celei de-a doua ecuaţii pe axa Oz, se obţine sistemul de ecuaţii scalare ale dinamicii sistemelor mecanice corespunzătoare torsorului cinetic formulat pentru întregul sistem mecanic, de forma

– 415 –

.]J)xyyx(M[

;FFyM

;FFxM

pextO

n

1iaextOiiiGiGiGiGi

ypext

n

1iyaextiGi

xpext

n

1ixaextiGi

MM +=ϕ+−

+=

+=

∑

∑

∑

=

=

=

&&&&&&

&&

&&

(6.136)

6.2.6.2. Ecuaţiile de echilibru dinamic ale lui d´Alembert Aceste ecuaţii pot fi scrise atât pentru elemente izolate din

sistem, cât şi pentru întregul sistem mecanic. În dinamica rigidului s-a arătat faptul că sistemul forţelor

elementare de inerţie se reduce, în centrul de masă G al rigidului, la un torsor al forţelor de inerţie. În cazul unui element oarecare )S( i al sistemului mecanic, componentele torsorului forţelor de inerţie, in

iF

şi iniGM , în centrul de masă iG ale elementului, Fig. 6.3, au expresiile

Fig. 6.3

iniGM

iε

iGa

iniF

iGr )S( i

ix′ iy′

iG iϕ

x O

y

– 416 –

).n,1i(,JKM;aMHF iiiG

iniGiGii

ini =ε−=−=−=−= && (6.137)

Torsorul rezultant în polul fix O, al solicitărilor de inerţie cores- punzătoare întregului sistem mecanic, va fi definit prin componentele

∑∑∑

∑∑∑

===

===

ε+×−=−=−==

−=−=−==

n

1iiiiGiiG

n

1iOiO

n

1i

iniO

inO

n

1iiGi

n

1ii

n

1i

ini

in

).JaMr(KKMM

;aMHHFF

&&

&&

(6.138)

a). Ecuaţiile de echilibru dinamic ale lui d`Alembert scrise pentru elemente izolate din sistem Plecându-se de la sistemele de ecuaţii (6.131) şi ţinând

seama de semnificaţiile (6.137) ale componentelor torsorilor forţelor de inerţie, aceste relaţii se mai pot scrie sub forma de mai jos:

),n,1i(,0M

;0FFFFF

pintiGaintiGiniGpextiGaextiG

ipintiaintiniipextiaext

==++++

=++++

MMMM (6.139)

care reprezintă sistemul de ecuaţii de echilibru dinamic ale lui d`Alembert scrise pentru elementele izolate din sistem.

Denumirea de “ecuaţii de echilibru dinamic” se explică prin aceea că, deşi descriu comportamentul dinamic ale elementelor sis-temului, ele se prezintă sub o formă similară ecuaţiilor de echilibru static, prin înlocuirea componentelor torsorilor cinetici prin compo-nentele torsorilor forţelor de inerţie; numele lui d`Alembert asociat acestor ecuaţii se justifică prin aceea că el le-a formulat iniţial axio-matic, sub forma unui principiu care îi poartă de altfel şi numele – principiul lui d`Alembert – având următorul enunţ:

– 417 –

„În timpul mişcării unui sistem mecanic, torsorii forţelor de inerţie, în centrele de masă iG , ale elementelor )S( i ale sistemului mecanic, echilibrează dinamic, în orice moment, torsorii în polii iG ai tuturor solicitărilor exterioare şi interioare, active şi pasive, la care sunt supuse elementele sistemului”.

Prin proiectarea primei ecuaţii din (6.139) pe axele reperului fix Oxy în care evoluează sistemul mecanic şi a celei de-a doua dintre ecuaţii pe axele iizG ′ se obţine sistemul de ecuaţii scalare ale lui d`Alembert scrise pentru elementele izolate din sistem, de forma

).n,1i(

,0M

;0FFFFF

;0FFFFF

pintiGaintiGin

iGpextiGaextiG

yipintyiaint

inyiyipext

yiaext

xipintxiaint

inxixipext

xiaext

=

=++++

=++++

=++++

MMMM (6.140)

b). Ecuaţiile de echilibru dinamic ale lui d`Alembert scrise pentru întregul sistem mecanic Ecuaţiile de echilibru dinamic (6.140) exprimă faptul că an-

samblul solicitărilor exterioare, interioare şi de inerţie corespunză-zătoare fiecărui element al unui sistem mecanic poate fi considerat, convenţional, ca formând un sistem de echivalent cu zero. Echiva-lenţa cu zero a unui sistem de vectori alunecători este independentă de pol, rezultă că ansamblul solicitărilor exterioare, interioare şi de inerţie la care este supus fiecare element al sistemului mecanic va continua să rămână echivalent cu zero în orice alt pol, deci şi în polul fix O, comun tuturor elementelor sistemului.

În consecinţă, se pot scrie ecuaţiile de echilibru dinamic şi în raport cu polul fix, adică valabilitatea ecuaţiilor (6.139) are drept consecinţă şi valabilitatea ecuaţiilor

– 418 –

).n,1i(

,0M

;0FFFFF

ipintOiaintOinOiipextOiaextO

ipintiaintin

iipextiaext

=

=++++

=++++

MMMM (6.141)

Însumând, pe de o parte, ecuaţiile de echilibru dinamic al

forţelor scrise pentru toate elementele sistemului mecanic şi, pe de altă parte, ecuaţiile de echilibru dinamic al momentelor, suma fiind extinsă asupra tuturor elementelor sistemului şi, ţinând seama de faptul că, în baza principiului forţelor interioare, solicitările interioare corespunzătoare întregului sistem mecanic formează un sistem echivalent cu zero, precum şi de semnificaţiile termenilor din membrul stâng, rezultă următorul sistem de ecuaţii de echilibru dinamic ale lui d`Alembert scrise pentru întregul sistem mecanic

,0M)M(

;0FFF)FFF(

pextOinOaextO

n

1iipextO

inO

iaextO

pextin

aext

n

1iipext

iniiaext

=++=++

=++=++

∑

∑

=

=

MMMM

(6.142)

care are următoarea interpretare mecanică: „În timpul mişcării unui sistem mecanic, torsorul rezultant în polul fix al solicitărilor de inerţie ale elementelor sistemului, echili-brează dinamic, în orice moment, torsorii rezultanţi în acelaşi pol fix ai tuturor solicitărilor exterioare active şi pasive la care sunt supuse elementele acelui sistem mecanic”. Prin proiectarea primei ecuaţii din (6.142) pe axele Ox şi Oy ale reperului fix plan în care se consideră că evoluează sistemul mecanic dat, iar a celei de-a doua dintre ecuaţii pe axa Oz se obţine sistemul de ecuaţii scalare de echilibru dinamic ale lui d`Alembert scrise pentru întregul sistem mecanic

– 419 –

.0M

;0FFF

;0FFF

pextOinOaextO

ypextinyyaext

xpextinxxaext

=++

=++

=++

MM

(6.143)

6.2.6.3. Forme ale ecuaţiilor mecanicii analitice

Plecând de la modul de definire a sistemului de deplasări ele-mentare virtuale ale unui sistem mecanic, cu consecinţele 0L idR ≡δ , care permite eliminarea din calcule a reacţiunilor ideale necunoscute ale legăturilor pasive, exterioare şi interioare, aplicate elementelor unui sistem mecanic, Joseph – Louis Lagrange a conceput o schemă generală de stabilire directă a sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic, fără o prealabilă eliminare a reacţiunilor ideale necunoscute din sistemele de ecuaţii scalare ale mişcării scrise pentru sistemul mecanic dat sub una din formele stabilite anterior. În cadrul acestei scheme formale, generale, de stabilire a sistemelor de ecuaţii diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic cunoscut încă şi sub numele de formalismul lagrangeian, punctele de plecare în stabilirea diverselor forme ale sistemelor de ecuaţii diferenţiale ale mişcărilor sistemelor mecanice – numite forme ale ecuaţiilor mecanicii analitice –, sunt totdeauna nişte relaţii care exprimă proprietăţi extremale ale unor funcţii care caracterizează mişcarea sistemului mecanic, relaţii denumite principiile mecanice analitice, datorită deplinei lor echivalenţe cu axiomele clasice ale mecanicii şi îndeosebi cu principiul acţiunii forţelor; ele pot fi deduse plecându-se de la axioma acţiunii forţelor şi invers, acceptarea lor ca axiome include şi valabilitatea principiului acţiunii forţelor. Odată cu dezvoltarea mecanicii analitice au fost găsite astfel de principii ale mecanicii analitice, clasificate astăzi în două categorii: principii diferenţiale şi principii integrale, după cum proprietatea

– 420 –

de extremum, este sesizată la funcţia ce caracterizează mişcarea sistemului mecanic, sau la integrala ei pe durata mişcării [11]. În această lucrare se va pleca de la principiul diferenţial, numit principiul lucrului mecanic virtual, sau principiul lui d´Alembert-Lagrange şi care aici va fi dedus prin acceptarea principiului acţiunii forţelor, principiu care, prin considerarea semnificaţiilor precizate ale solicitărilor de inerţie, poate fi exprimat chiar sub forma ecuaţiilor de echilibru dinamic ale lui d´Alembert scrise pentru elementele izolate din sistem.

Principiul lucrului mecanic virtual Pentru a stabili relaţia matematică prin care se exprimă principiul lucrului mecanic virtual, se pleacă de la ecuaţiile (6.139) de echilibru dinamic ale lui d´Alembert scrise pentru elementele izolate din sistem, în care se introduc notaţiile

),n,1i(

,)R(

;

;FRFF

;FFF

iGdiidiGpintiGpextiG

iGaiGaint

iGaext

idiidipintipext

iaiaintiaext

=

+=+

=+

+=+

=+

MMMM

MMM (6.144)

solicitările pasive fiind descompse in componentele ideale şi cele disipative. În baza notaţiilor (6.144), ecuaţiile (6.139) iau forma

.)n,1i(,0)R(M

;0RFFF

iidiGiGdiniGiGa

iididin

iia

==+++

=+++

MMM (6.145)

– 421 –

Multiplicând scalar prima dintre relaţiile (6.145), cu deplasa-

rea elementară virtuală la translaţie iGrδ şi pe cea dea doua, cu deplasarea elementară virtuală la rotaţie iϕδ şi însumând cele două relaţii astfel multiplicate, se obţin egalităţile

.n,1i,0))R(rR()rF(

)MrF()rF(

iiidiGiGiidiiGdiGid

iiniGiG

iniiiGaiGia

==ϕδ⋅+δ⋅+ϕδ⋅+δ⋅+

+ϕδ⋅+δ⋅+ϕδ⋅+δ⋅

MM

M

Prin însumarea acestor egalităţi, scrise pentru toate elemen-tele sistemului mecanic, rezultă

[ ] .0))R(rR)rF(

)MrF()rF(

n

1iiiidiGiGiid

n

1iiiGdiGid

n

1ii

iniGiG

ini

n

1iiiGaiGia

=ϕδ⋅+δ⋅+ϕδ⋅+δ⋅+

+ϕδ⋅+δ⋅+ϕδ⋅+δ⋅

∑∑

∑∑

==

==

MM

M

(6.146)

Termenii din (6.146) au semnificaţia de lucruri mecanice

virtuale ale solicitărilor active, de inerţie, disipative şi ale reacţiunilor ideale ale sistemului mecanic

.0L))R(rR(

;L)rF(

;L)MrF(

;L)rF(

idR

n

1iiiidiGiGiid

d

n

1iiiGdiGid

ini

iniG

n

1iiG

ini

a

n

1iiiGaiGia

=δ=ϕδ⋅+δ⋅

δ=ϕδ⋅+δ⋅

δ=ϕδ⋅+δ⋅

δ=ϕδ⋅+δ⋅

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

M

M

M

(6.147)

– 422 –

În baza relaţiilor (6.147), egalitatea (6.146) ia forma

,0LLL din

a =δ+δ+δ (6.148)

care exprimă principiul deplasărilor virtuale (sau principiul lucrului mecanic virtual) în mecanica analitică, cu următoarea formulare:

„În timpul mişcării unui sistem mecanic, suma lucrurilor meca-nice virtuale ale solicitărilor active, disipative şi de inerţie, la care sunt supuse elementele sistemului, este în permanenţă egală cu zero”.

În cazul neglijării tuturor solicitărilor disipative, )0L( d ≡δ , relaţia (6.148) are forma simplificată de mai jos

.0LL ina =δ+δ (6.149)

În cazul unui sistem mecanic în echilibru ;0 ,0v iGi

=ω=

0 ,0a iiG =ε= , rezultă condiţiile ,0M ,0F iniG

ini == cu consecinţa

,0Lin =δ în baza căreia, relaţia (6.148) va lua forma

0LL da =δ+δ , (6.150) şi va exprima principiul lucrului mecanic virtual aplicat la statică (principiul deplasărilor virtuale aplicat la statică) având formularea:

„În cazul unui sistem mecanic aflat în stare de echilibru, suma lucrurilor mecanice ale solicitărilor active şi disipative (exterioare şi interioare) la care sunt supuse elementele sistemului mecanic este egală cu zero”.

– 423 –

Ecuaţiile lui Lagrange

În relaţia (6.148), lucrurile mecanice virtuale ale solicitărilor active şi dispative vor putea fi exprimate în funcţie de forţele generalizate corespunzătoare tipurilor menţionate de solicitări, sub următoarea formă

,qQL

;qqU

QqQL

p

1kkkdd

p

1kk

kkna

p

1kkkaa

∑

∑∑

=

==

δ=δ

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=δ=δ (6.151)

knaQ fiind forţele generalizate active neconservative.

O expresie asemănătoare va putea fi scrisă şi pentru lucrul mecanic virtual al solicitărilor de inerţie ale sistemului mecanic

,qQLp

1kk

ink

in ∑=

δ=δ (6.152)

cu forţele generalizate de inerţie definite prin relaţiile

.)p,1k(

,q

Mqr

FQn

1i k

iiniG

k

iGini

ink

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂+

∂

∂=∑

=

(6.153)

Introducând expresiile (6.151) şi (6.152) în relaţia (6.148),

aceasta va lua forma

,0qQQqU

Q k

p

1kkd

ink

kkna =δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+∑=

(6.154)

– 424 –

din care, ţinând seama de faptul că atât coordonatele generalizate

kq , cât şi deplasările generalizate virtuale kqδ , sunt independente între ele, rezultă consecinţele

.)p,1k(,0QQqU

Q kdink

qkna ==++∂∂

+ (6.155)

Acest sistem de p relaţii reprezintă o primă formă a ecuaţiilor

lui Lagrange, forma finală a lor urmând a fi stabilită după evidenţierea semnificaţiilor mecanice ale forţelor generalizate de inerţie.

Introducând expresiile solicitărilor de inerţie în relaţiile (6.153), rezultă relaţia

).p,1k(,q

Jqr

aMQn

1i k

iii

k

iGiGi

ink =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂ε+

∂

∂−= ∑

=

(6.156)

În baza transformărilor de mai jos

,qdt

dJ

qJ

dtd

q)J(

dtd

qJ

;qr

dtd

vMqr

vMdtd

qr

)vM(dtd

qr

aM

k

iii

k

iii

k

iii

k

iii

k

iGiGi

k

iGiGi

k

iGiGi

k

iGiGi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ϕ∂ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ϕ∂ω=

∂

ϕ∂ω=

∂

ϕ∂ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

(6.157)

relaţia (6.156) se mai poate scrie sub forma

).p,1k(

,qdt

dJ

qr

dtd

vM

qJ

qr

vMdtd

Q

n

1i k

iii

k

iGiGi

n

1i k

iii

k

iGiGi

ink

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂ω+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

−⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

ϕ∂ω+

∂

∂−=

∑

∑

=

=

(6.158)

– 425 –

În baza primei serii de relaţii Lagrange, prima sumă din

membrul drept al relaţiilor (6.158) va mai putea fi scrisă sub formele

,)p,1k(,qE

dtd

)E(qdt

d

)JvM(21

qdtd

J21

vM21

qdtd

qJ

qv

vMdtd

qJ

qr

vMdtd

k

cc

k

n

1i

2ii

2iGi

k

n

1i

2ii

2iGi

k

k

iii

k

iGiGi

n

1ik

iii

k

iGiGi

n

1i

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω+

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+

∂∂

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂ω∂

ω+∂

∂=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂ϕ∂

ω+∂

∂

∑∑

∑∑

==

==

&&

&&

&&

(6.159)

cE reprezentând energia cinetică a sistemului mecanic. Folosind cea de-a doua serie de relaţii Lagrange, a doua sumă din membrul drept al relaţiilor (6.158) devine de forma

).p,1k(,qE

)JvM(21

q

)JvM(21

qqJ

qv

vM

qdtd

Jqr

dtd

vM

k

cn

1i

2ii

2iGi

k

2ii

2iGi

n

1i k

n

1i k

iii

k

iGiGi

n

1i k

iii

k

iGiGi

=∂∂

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω+∂∂

=

=ω+∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂ω∂

ω+∂

∂=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

ϕ∂ω+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∑

∑∑

∑

=

==

=

(6.160)

În baza relaţiilor (6.159) şi (6.160), expresiile (6.158) ale

forţelor generalizate de inerţie capătă formele finale de mai jos

),p,1k(,qE

qE

dtd

Qk

c

k

cink =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=&

(6.161)

iar introducerea acestor expresii în ecuaţiile (6.155) permite să se

– 426 –

scrie ecuaţiile lui Lagrange sub forma finală

).p,1k(

,QqU

QqE

qE

dtd

kdkkna

k

c

k

c

=

+∂∂

+=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(6.162)

Aceste ecuaţii pot căpăta următoarele forme simplificate:

forma corespunzătoare sistemelor cu solicitări disipative neglijabile )0Q( kd ≡

).p,1k(,qU

QqE

qE

dtd

kknak

c

k

c =∂∂

+=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(6.163)

forma corespunzătoare sistemelor mecanice conservative,

adică sistemele cu solicitări disipative neglijabile, cu elementele supuse numai la solicitări active conservative )0Q;0Q(

knakd ≡≡ :

.)p,1k(,qU

qE

qE

dtd

kk

c

k

c =∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(6.164)

Ultimele ecuaţii Lagrange pot fi scrise sub o formă concen-

trată, introducându-se funcţia lui Lagrange, numită încă şi potenţial cinetic şi definită prin relaţia

),q(U)q,q(EVEUE ccc +=−=+= &L (6.165)

cu

.)p,1k(

,qE

)UE(qq

;qU

qE

)UE(qq

k

cc

kk

kk

cc

kk

=

∂∂

=+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

=+∂∂

=∂∂

&&&

L

L

(6.166)

– 427 –

Se observă că ecuaţiile (6.164), scrise încă sub forma

),p,1k(,0)UE(qq

Edtd

ckk

c ==+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(6.167)

pot fi retranscrise, în baza relaţiilor (6.166), sub forma

),p,1k(,0qqdt

d

kk==

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

(6.168)

cunoscută în literatură şi sub numele de ecuaţiile lui Lagrange corespunzătoare sistemelor mecanice conservative.

6.2.6. Problemele dinamicii sistemelor mecanice şi metodologia de rezolvare a lor

∗ Formularea problemelor dinamicii sistemelor mecanice

În cazul general, formularea unei probleme de dinamica

sistemelor mecanice este următoarea: Presupunând cunoscute caracteristicile inerţiale ale elemen-

telor unui sistem mecanic, legăturile pasive, exterioare şi interioare aplicate acestor elemente, o parte din solicitările active, exterioare şi interioare la care sunt supuse elementele sistemului, precum şi condiţiile iniţiale de poziţie şi viteză ale lui, se cere să se studieze mişcarea acelui sistem mecanic.

Într-o problemă de dinamica sistemelor de rigide se pot întâlni

următoarele elemente scalare necunoscute: un număr de „p” parametri de poziţie independenţi ai siste-

mului mecanic cu p grade de libertate, care pot fi înlocuiţi şi cu cei „p” parametri lagrangeeni ai sistemului;

– 428 –

un număr extf de elemente scalare necunoscute ce carac-

terizează torsorii solicitărilor active exterioare, reprezentând moduli, braţe sau unghiuri de orientare ale unor forţe active exterioare;

un număr intf de elemente scalare necunoscute, caracte-rizând torsorii solicitărilor active interioare, reprezentate cel mai adesea, prin constante elastice sau constante de torsiune ale elementelor de legătură elastică interioară (arcuri elicoidale şi arcuri spirale);

un număr de extextr l= reacţiuni ideale exterioare necu-noscute, care apar ca urmare a aplicării legăturii pasive exterioare, exprimate prin extl ecuaţii de legătură;

un număr de intintr l= reacţiuni ideale interioare necu-noscute din torsorii reacţiunilor legăturilor pasive interioare aplicate elementelor sistemului mecanic, legături exprimate printr-un număr total de intl ecuaţii de legătură.

Rezultă că numărul total, s, de mărimi scalare necunoscute pe care le poate conţine o problemă de dinamica sistemelor de rigide este dat de relaţia

.rrffps intextintext ++++= (6.169)

Studiul mişcării poate însemna, fie o rezolvare completă a problemei – care constă în determinarea tuturor celor „s” elemente scalare necunoscute ale problemei şi care este posibilă numai în cazul respectării condiţiei de problemă dinamic determinată, exprimată prin egalitatea ,se = „e” fiind numărul total de ecuaţii scalare de mişcare de care se poate dispune în cazul sistemului mecanic considerat –, fie o rezolvare numai parţială, redusă numai la determinarea parametrilor de poziţie independenţi ai sistemului ca funcţii de timp şi eventual şi a reacţiunilor necunoscute ale legăturilor pasive exterioare aplicate elementelor sistemului mecanic.

În aplicaţiile concrete, tipul de problemă cel mai frecvent întâlnit este însă tipul de problemă fundamentală, caracterizat prin condiţiile 0ff intext == , adică toate solicitările active, exterioare şi interioare, sunt cunoscute, pentru care relaţia (6.169) capătă forma

– 429 –

intext rrps ++= . (6.170)

În consecinţă, formularea problemei de tip fundamental în

dinamica sistemelor mecanice este următoarea: Considerând cunoscute - caracteristicile inerţiale ale elementelor unui sistem mecanic; - legăturile pasive, exterioare şi interioare, aplicate elemente-

lor lui, exprimate printr-un număr total de extl ecuaţii de legătură exterioară

),...,1(),t;,y,x(f extiiGiGext l=λϕλ (6.171)

şi printr-un număr total de intl de ecuaţii de legătură interioară

),...,1(,0)t;,y,x,...,,y,x(...f intjjGjGiiGiGint l=λ=ϕϕλ; (6.172)

- toate solicitările active, exterioare şi interioare la care sunt

supuse elementele sistemului mecanic, precum şi condiţiile iniţiale de poziţie şi viteză ale acestor elemente

)n,1i(,

)0(;)0(

v)0(y;y)0(y

v)0(x;x)0(x

:0t

oii

oii

oyiGiG

oiGiG

oxiGiG

oiGiG

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ω=ϕϕ=ϕ

==

==

=

&

&

&

, (6.173)

se cere să se efectueze studiul dinamic al mişcării sistemului.

Acest studiu poate implica o rezolvare integrală a problemei (determinarea ecuaţiilor parametrice ale mişcărilor elementelor sistemului mecanic, determinarea componentelor ideale ale torsorilor reacţiunilor legăturilor pasive exterioare şi interioare), sau o rezolvare parţială (determinarea numai a parametrilor de poziţie independenţi ai sistemului, exprimaţi ca funcţii cunoscute de timp, determinarea, eventual, şi a celor extextr l= componente ideale necunoscute din torsorii reacţiunilor legăturilor pasive exterioare aplicate elementelor sistemului mecanic).

– 430 –

∗ Metodologia de rezolvare a problemelor de tip fundamental Considerându-se în continuare că într-o problemă de tip

fundamental este satisfăcută condiţia se = , dacă se cere o rezolvare integrală a problemei, această rezolvare va parcurge următoarele etape de lucru:

• stabilirea sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării sistemului mecanic;

• integrarea sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării sistemului mecanic;

• stabilirea ecuaţiilor parametrice ale mişcărilor elemen-telor sistemului mecanic;

• determinarea componentelor ideale necunoscute ale torsorilor reacţiunilor legăturilor pasive, exterioare şi interioare aplicate elementelor sistemului mecanic.