TEORIA (LOGICA) PROPOZIŢIILOR

Acest capitol important al logicii studiază propoziţiile şi îşi propune trei obiective principale: a) formularea lor precisă; b) stabilirea criteriilor în temeiul cărora ele vor fi admise sau respinse, de regulă, adevărul sau falsitatea lor; c) trecerea logică de la unele propoziţii la altele pe calea unor inferenţe valide.

A) Definiţie şi clasificareÎn logică, nu există o definiţie satisfăcătoare şi unanim acceptată pentru termenul de propoziţie. Cel mai

adesea, se consideră că ea reprezintă orice expresie capabilă să ia valori de adevăr, aşadar, să fie adevărată sau falsă. Această accepţiune diferă de aceea încetăţenită în cadrul gramaticii, apropiindu-se doar de specia propoziţiei enunţiative (declarative sau constatative) şi excluzând alte tipuri de expresii (interogative, imperative, optative etc.) nevalorizabile alethic. Alte opini conferă însă propoziţiei un înţeles mai larg, deosebindu-se – pe criteriul intenţiei (scopului) urmărit prin pronunţarea ei – mai multe categorii:

1) propoziţiile cognitive, vizând să transmită o informaţie cu o anume valoare logică, fie ea adevărată ("Londra este actuala capitală a Angliei"), fie falsă ("Filosoful antic elin Aristotel a fost femeie"), fie posibil adevărată ("Există civilizaţii extraterestre"), fie posibil falsă ("Există viaţă pe planeta Marte"), fie absurdă ("Pătratul este rotund") etc.

2) propoziţiile pragmatice, adică acelea ce urmăresc să determine un anumit răspuns sau înfăptuirea unei acţiuni de către cel căruia i se adresează. Se subîmpart în: a) deontice, fie ele de permisie ("Ţi-e îngăduit să mergi la teatru"), fie de obligaţie ("Trebuie să te pregăteşti temeinic pentru examen"), fie de interdicţie ("Nu-ţi permit să mă tutuieşti"); b) imperative, transmiţând un îndemn sau un ordin ("Să vii devreme acasă!", "Închide uşa!); c) interogative, solicitând un răspuns ("Cât este ceasul?");

3) propoziţiile axiologice, manifestând intenţia de a exprima o apreciere în raport cu ceva ("Iată un tablou frumos", "Tutunul e dăunător sănătăţii", "Tot ce este plăcut e sau ilegal, sau imoral sau îngraşă");

4) propoziţii performative, cele care înfăptuiesc ceea ce se exprimă prin simpla lor enunţare ("Promit că te ajut să-ţi repari bicicleta").

Propoziţiile cognitive interesează logica generală, celelalte specii constituind obiectul de studiu al unor logici speciale (modale, deontice, epistemice, doxastice etc.).

Principala caracteristică a propoziţiilor cognitive este aceea de a fi purtătoare a valorilor alethice, dar nu înseamnă că fiecare dispune de o valoare de adevăr determinată, căci nu despre orice propoziţie se poate şti dacă este adevărată sau falsă. În cazul unora, absenţa izvoarelor istorice ne împiedică să decidem asupra problemei, bunăoară "Heraclit s-a născut în anul 549 î.Cr."; în cazul altora, verificarea ar presupune mijloace tehnice irealizabile în prezent sau s-ar dovedi mult prea costisitoare: "Există civilizaţii tehnologice în constelaţia Orion". Pe de altă parte, uneori înşişi termenii conţinuţi sau însăşi expresia pe care o îmbracă obstaculează adoptarea unei decizii asupra valorii de adevăr. De pildă, în propoziţia "Ieri am încheiat lectura dialogului platonician Republica", veracitatea sau falsitatea va fi dependentă de contextul în care este întrebuinţată, mai exact, de persoana care o rosteşte (sau scrie) şi de ziua în care este făcută aserţiunea. De aceea, unii logicieni consideră că asemenea expresii nu constituie propoziţii în sens logic, nefiind adevărate sau false în sine, deci neputând fi calificate alethic.

Orice propoziţie dispune de o structură internă şi, în funcţie de aceasta, se poate realiza următoarea clasificare:

1) propoziţia simplă, aceea în alcătuirea căreia nu intră alte propoziţii, altfel spus, oricare din subexpresiile sale nu constituie o propoziţie. Se prezintă în mai multe forme:

a) propoziţia de predicaţie (sau de inerenţă sau de forma subiect-predicat: "S este P", la plural "S sunt P"): "Pisica este felină", "Şoarecii sunt rozătoare". "S" se numeşte subiect, "este P" se cheamă predicat, în care "este" reprezintă copula, iar "P" constituie termenul predicativ. Reţinem că semnificaţia copulei nu trimite la momentul prezent, ci e atemporală, putând s-o extindem deopotrivă asupra trecutului şi viitorului; aşadar, în exemplele de mai sus ne-am referit la toate pisicile şi şoarecii ce au existat, există sau vor exista. Forma "S este P" se consideră a fi standard, în limba naturală găsindu-se şi alte expresii ce se pot aduce la această formă cu ajutorul unui mic artificiu. De exemplu, "Raţa are două picioare" devine "Raţa este bipedă", "Şopârlele se târăsc" se converteşte în "Şopârlele sunt târâtoare".

b) propoziţia de intensiune (de forma "x are proprietatea P") e aceea care redă raportul dintre un obiect (x) şi o proprietate (P): "Lebăda are proprietatea de a fi zburătoare". Ele au fost cercetate în cadrul logicii moderne, conferindu-se termenului de "proprietate" o accepţiune mai largă, incluzând nu numai însuşirile, dar şi relaţiile ("Femeile au caracteristica de a fi mai sensibile decât bărbaţii").

c) propoziţia de extensiune are forma "x aparţine lui M" sau "clasa L este inclusă în clasa M". Exemplu: "Ion Iliescu aparţine categoriei preşedinţilor de stat", "Clasa schizofrenicilor se include în clasa psihopaţilor".

d) propoziţia de relaţie are forma "x se află în relaţie cu y": "Cristina este soră cu Daniela". Expresia lor cea mai simplă este binară sau diadică (sunt relaţionaţi doar doi termeni: "Platon a trăit anterior lui Plotin"", "6

1

este mai mare decât 5"), dar relaţia poate fi şi ternară/triadică ("Aradul este la nord de Timişoara şi la sud de Oradea"), cuaternară/tetradică ("Băiatul schimbă cu fata un sărut contra o palmă").

2) propoziţia compusă este aceea care cuprinde în alcătuirea ei alte propoziţii, aşadar conţine subexpresii care sunt propoziţii. Ea se construieşte prin utilizarea unor cuvinte şi expresii ce se numesc operatori propoziţionali şi care, după modul de acţiune, se împart în verifuncţionali (atunci când valoarea de adevăr a propoziţiei compuse este determinată univoc de valorile de adevăr ale propoziţiilor componente) şi nefuncţionali (atunci când valoarea de adevăr a compusei nu este determinată de valorile componentelor).

Operatorii propoziţionali funcţionali sunt de două feluri: operatori logici (cei ce se aplică unei singure propoziţii, în speţă afirmaţia şi negaţia) şi conectori logici (cei prin intermediul cărora din două sau mai multe propoziţii se obţine una nouă, precum conjuncţia, disjuncţia, implicaţia etc.). Întrebuinţarea lor conduce la generarea propoziţiilor: afirmative, negative, conjunctive, disjunctive, implicative etc.

Construcţia pe baza operatorilor nefuncţionali generează multiple categorii de propoziţii, dintre care putem reţine pe cele:

- modale, ele însele subdivizibile în: propoziţii de necesitate (sau apodictice, de forma "este necesar p"), de contingenţă (de forma "este contingent p"), de posibilitate (sau problematice, de forma "este posibil p"), de imposibilitate (de forma "este imposibil p");

- deontice, rezultate în virtutea aplicării operatorilor "este obligatoriu", "este interzis", "este permis";- epistemice, potrivit operatorilor "e verificat", "e verosimil", "se constată că";- doxastice (operatori de tipul: "se crede că", " e credibil că", "e incredibil că");- teleologice (operatori: "se intenţionează să", "nu se tolerează ca", "e indiferent dacă"). Etc.

B) Propoziţiile categoriceI. Caracterizare, structură, clasificareSe numeşte categorică acea propoziţie de predicaţie care exprimă un singur raport între două noţiuni

absolute, fără a-l lega de ceva din afară sau a-l condiţiona cumva. Se consideră de obicei că ea enunţă o proprietate despre un obiect sau o mulţime de obiecte, atât "obiect" cât şi "proprietate" fiind luaţi în sensul larg al vocabulelor. Este una dintre cele mai simple forme de propoziţie, iar în cadrul ei predicatul reprezintă un termen simplu sau negativ: "Toţi oamenii sunt fiinţe raţionale", "Unii oameni sunt neprincipiali". Aparţinând clasei mai largi a propoziţiilor cognitive, proprietatea lor esenţială rezidă în posesia valorii alethice: "adevărat", "fals" sau "indecidabil" (nici cu certitudine adevărat, nici sigur fals).

Structura sa cuprinde un subiect şi un predicat astfel legaţi încât să se enunţe ceva despre altceva. Logica tradiţională distingea şi copula, adică acea particulă ce realiza relaţia dintre subiect şi predicat, în schimb, logica modernă tinde să nu o mai separe faţă de predicatul ca atare.

Propoziţiile categorice pot fi clasificate în funcţie de mai multe criterii:a) după calitate (adică, raportul de concordanţă sau opoziţie dintre subiect şi predicat), deosebim:

propoziţii afirmative (în care intervine operatorul logic al afirmaţiei, aşadar, predicatul este afirmat despre subiect: "Toţi gândacii sunt insecte", "Unele pisici sunt tărcate", "Platon este filosof") şi propoziţii negative (în care acţionează operatorul negaţie, plasat în faţa propoziţiei, în faţa copulei, în faţa amândurora sau asupra predicatului: "Nu toate pisicile prind şoareci", "Unii studenţi nu sunt sportivi", "Nici o moluscă nu este vertebrată", "Unii oameni sunt nefericiţi").

b) după cantitate, adică tipul cuantorului/cuantificatorului care se aplică subiectului, acţionând fie asupra unui singur element al clasei ce-i circumscrie extensiunea, fie asupra mai multor membri, fie asupra tuturor. Cuantificatorul poate fi: universal (redat prin "toţi", "toate", "orice", "fiecare", "nici unul/una" etc.), particular ("unii", "unele", "există cel puţin un/o..." ş.a.), singular (redat de regulă prin "acesta", "aceasta", "eu", "tu", "el"/"ea", un nume propriu). Deci, vom avea trei clase de propoziţii categorice:

- universale, în care predicatul se enunţă despre întreaga extensiune a subiectului, aşadar depre fiecare dintre elementele sale: "Toţi psihopaţii sunt bolnavi", "Nici un psihopat nu este om sănătos";

- particulare, în care subiectul este o noţiune generală, iar predicatul se enunţă despre o parte (măcar unul) dintre membrii sferei subiectului, posibil chiar despre toţi: "Unii studenţi sunt conştiincioşi" (particulară neexclusivă); există şi cazul particularelor exclusive de forma "numai unii S sunt P", unde cuantorul semnifică "cel puţin unu, dar nu toţi"; bunăoară: "Numai unele pisici sunt negre";

- singulare, în care predicatul se enunţă despre un singur element din extensiunea subiectului (care este o fie o noţiune generală, fie una individuală): "Acest stilou este verde", "Shakespeare este dramaturg englez". De reţinut că logica clasică trata propoziţiile categorice singulare ca universale (în sensul că subiectul lor ar reprezenta o clasă cu un singur element), vorbind numai de propoziţii universale şi particulare.

c) combinând criteriul cantităţii cu cel al calităţii şi ignorând categoricele singulare, se obţin patru tipuri de propoziţii:

- universal-afirmativă, de forma "Toţi S sunt P", simbolizată prin "A" sau "SaP". Utilizând diagramele Venn, regiunea 1 (Snon-P) este vidă, aşadar nu există nici un element S care să nu fie P (S~P = 0);

2

- universal-negativă, de forma "Nici un S nu este P", simbolizată prin "E" sau "SeP". În acest caz, regiunea 2 (SP) este haşurată (vidă), ceea ce semnifică că nu există nici un element S care să fie P (SP = 0);

- particular-afirmativă, de forma "Unii S sunt P", simbolizată prin "I" sau "SiP". Acum nu se haşurează vreo regiune, însă vom înscrie un asterisc în regiunea 2, spre a sugera că există cel puţin un S care este P (SP 0);

- particular negativă, de forma "Nici un S nu este P", simbolizată prin "O" sau "SoP". În diagramă vom înscrie un asterisc în regiunea 1 (Snon-P), redând situaţia că există cel puţin un S care nu este P (S~P 0).

II. Raporturi între propoziţiile categoriceCercetând cele patru tipuri de propoziţii categorice ca forme logice (adică independent de conţinut, de

propoziţia concretă pe care o exprimă), logica tradiţională a depistat patru feluri de raporturi (numite opoziţii) existente între ele. În mod sugestiv, le-a reprezentat grafic în aşa-zisul "pătrat al lui Boethius" (sau "pătrat al opoziţiilor"), aşezând pe A, E, I şi O în cele patru colţuri şi căutând să stabilească în ce mod se determină valorile lor de adevăr în cadrul fiecărei relaţii.

Cele patru tipuri de raporturi logice sunt:1. raportul de contrarietate, existent între A şi E. Aceasta înseamnă că ele nu pot fi împreună

adevărate, dar pot fi împreună false, potrivit principiului logic al noncontradicţiei. Altfel spus, din adevărul oricăreia dintre cele două universale decurge falsitatea celeilalte, însă din falsitatea uneia din ele nu urmează nimic pentru valoarea alethică a celeilalte, întrucât, uneori, universala opusă poate fi adevărată, alteori, falsă.

Astfel, dacă A ("Toate pisicile sunt feline") este adevărată, atunci E ("Nici o pisică nu este felină") e falsă. Dacă E ("Nici o pisică nu e câine") este adevărată, atunci A ("Toate pisicile sunt câini") este falsă. În unele

cazuri, dacă A ("Toate pisicile sunt câini") este falsă, atunci E ("Nici o pisică nu este câine") este adevărată, în alte cazuri, dacă A ("Toate pisicile sunt tărcate") este falsă, atunci E ("Nici o pisică nu este tărcată") este de asemenea falsă. Analog, există situaţii în care, dacă E ("Nici o pisică nu este felină") este falsă, atunci A ("Toate pisicile sunt feline") este adevărată, în schimb, în altele, dacă E este falsă ("Nici o pisică nu este tărcată"), atunci A ("Toate pisicile sunt tărcate") e la rândul ei falsă.

Ca atare, vom avea perechi de universale care să fie: a) ambele false; b) una falsă, iar cealaltă adevărată, dar nu ambele adevărate. Aceste raporturi de valoare pot fi reprezentate în următorul tabel:

2. raportul de subcontrarietate, fiinţând între I şi O. Ele pot fi împreună adevărate, însă nu pot fi împreună false, în conformitate cu principiul terţului exclus. De aceea, din falsitatea oricăreia dintre cele două particulare decurge adevărul particularei de calitate opusă, pe când din adevărul uneia dintre ele nu urmează nimic pentru valoarea de adevăr a celeilalte.

Exemple: dacă I ("Unele pisici sunt câini") e falsă, atunci O ("Unele pisici nu sunt câini") este adevărată (în sensul că există cel puţin o pisică - dacă nu toate - care nu este câine). Dacă O ("Unele pisici nu sunt feline") este falsă, atunci I ("Unele pisici sunt feline") este adevărată (în sensul că măcar o pisică - posibil

A E contrarietate 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1

I O subcontrarietate 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 3

chiar toate - e felină). Sunt cazuri în care, dacă I ("Unele pisici sunt tărcate") este adevărată, atunci O ("Unele pisici nu sunt tărcate") este adevărată, în altele însă, dacă I ("Unele pisici sunt feline") este adevărată, atunci O ("Unele pisici nu sunt feline") este falsă. Similar, există împrejurări în care, dacă O ("Unele pisici nu sunt tărcate") este adevărată, atunci I ("Unele pisici sunt tărcate") este adevărată şi contexte în care, dacă O ("Unele pisici nu sunt câini") este adevărată, atunci I ("Unele pisici sunt câini") este falsă.

Astfel, avem perechi de particulare care sunt: a) ambele adevărate; b) una adevărată, cealaltă falsă, dar nu ambele false. Tabel:

3. raportul de contradicţie, existent între perechea A şi O, respectiv E şi I. Ele nu pot fi împreună nici adevărate, nici false, aici acţionând combinat principiile noncontradicţiei şi al terţului exclus. Aşadar, din adevărul oricăreia dintre ele decurge falsitatea celeilalte, iar din falsitatea oricăreia dintre ele urmează adevărul celeilalte.

De pildă: dacă A ("Toate pisicile sunt feline") este adevărată, atunci O ("Unele pisici nu sunt feline") este falsă şi reciproc. Dacă A ("Toate pisicile sunt câini") este falsă, atunci O ("Unele pisici nu sunt câini") este adevărată. Dacă E ("Nici o pisică nu este câine") e adevărată, atunci I ("Unele pisici sunt câini") va fi falsă şi reciproc. Dacă E ("Nici o pisică nu este felină") e falsă, atunci I ("Unele pisici sunt

feline") va fi adevărată şi reciproc.Avem aici un singur tip de pereche a propoziţiilor categorice, anume, când una este adevărată, cealaltă

este falsă.4. raportul de alternare (mai exact, supraalternare sau sub-alternare), având loc între cuplurile A şi I,

respectiv E şi O. Pe de o parte, din adevărul universalei decurge adevărul particularei, însă din falsitatea universalei nu urmează nimic în privinţa valorii de adevăr a particularei. Pe de altă parte, din falsitatea particularei decurge falsitatea universalei, dar din adevărul particularei nu urmează nimic referitor la valoarea universalei.

Astfel, dacă A ("Toate pisicile sunt feline") e adevărată, atunci I ("Unele pisici sunt feline") este adevărată. Uneori, dacă A ("Toate pisicile sunt câini") e falsă, atunci I ("Unele pisici sunt câini") este tot falsă, alteori, dacă A ("Toate pisicile sunt tărcate") e falsă, I ("Unele pisici sunt tărcate") este adevărată. Dacă E ("Nici o pisică nu este câine") e adevărată, atunci O ("Unele pisici nu sunt câini") este adevărată. Însă, se poate întâmpla ca E ("Nici o pisică nu este felină") să fie falsă, iar O ("Unele pisici nu sunt feline") de asemeni falsă şi E ("Nici o pisică nu este tărcată") să fie falsă, iar O ("Unele pisici nu sunt tărcate") adevărată.

Concomitent, dacă I ("Unele pisici sunt câini"), respectiv O ("Unele pisici nu sunt feline"), este falsă, atunci A ("Toate pisicile sunt câini"), respectiv E ("Nici o pisică nu este felină") va fi falsă. În schimb, există cazuri în care, dacă I ("Unele pisici sunt felien"), respectiv O ("Unele pisici nu sunt câini") este adevărată, atunci A ("Toate pisicile sunt feline"), respectiv E ("Nici o pisică nu este câine") e adevărată şi situaţii în care, dacă I ("Unele pisici sunt tărcate"), respectiv O ("Unele pisici nu sunt tărcate"), este adevărată, atunci A ("Toate pisicile sunt tărcate"), respectiv E ("Nici o pisică nu este tărcată") va fi falsă.

Rezultă că vom afla cupluri de propozţii categorice formate dintr-o universală şi o particulară care să fie: a) ambele adevărate; b) ambele false; c) dacă universala e falsă, atunci particulara este adevărată, însă nu vom întâlni o pereche în care universala să fie adevărată şi particulara falsă. Tabel:

Sofismele care se pot comite în cazul inferărilor de la un tip de propoziţie categorică la altul sunt următoarele:

a) contrarul ilicit: deducţia de la falsitatea lui A (respectiv E) către adevărul lui E (respectiv A);b) subcontrarul ilicit: inferenţa de la adevărul lui I (respectiv O) către falsitatea lui O (respectiv I);c) subalternul ilicit: de la falsitatea lui A (respectiv E) spre falsitatea I (respectiv O);d) supraalternul ilicit: de la adevărul lui I (respectiv O) spre adevărul lui A (respectiv E).

III. Inferenţe imediate prin echivalenţă (educţii)Inferenţa (sinonim al lui "raţionament") reprezintă operaţia logică de derivare a unui enunţ din altul (sau

altele). Când dintr-un singur enunţ (numit premisă) rezultă deductiv un altul (numit concluzie) în mod direct – fără intermedierea unui al treilea enunţ – atunci inferenţa este imediată.

Caracteristica principală a inferenţelor imediate rezidă în aceea că niciodată concluzia (privită atât ca întreg, cât şi din unghiul termenilor conţinuţi) nu depăşeşte – ca grad de generalitate – premisa din care provine. Astfel, sunt situaţii în care de la o particulară ("Unele pisici sunt tărcate") nu se poate infera decât abuziv către universală ("Toate pisicile sunt tărcate"), căci ar însemna o extrapolare nelegitimă. Ca atare, este important să ştim dacă termenii din propoziţia categorică sunt consideraţi într-o parte a extensiunii lor sau în totalitatea ei. Se numeşte distribuit acel termen care este luat sau exclus în totalitatea sferei sale şi nedistribuit, termenul luat sau exclus doar într-o parte a sferei sale.

A O E I

contradicţie

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0

A I E O

alternare

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

4

În cazul subiectului, cuantificatorul (semnul de cantitate) arată dacă propoziţia se enunţă despre întreaga extensiune a sa sau numai despre un segment al acesteia. Universala afirmativă şi cea negativă realizează predicaţia cu referire la fiecare membru al sferei, deci subiectul este distribuit. În schimb, în categoricele particulare, se enunţă ceva numai în legătură cu unele elemente ale clasei, prin urmare, subiectul este nedistribuit. Propoziţiile de forma A şi I indică incluziunea clasei subiectului în clasa predicatului, dar fără a nu spune în ce măsură aceasta din urmă este acoperită, astfel că predicatul este nedistribuit. Dar, în propoziţiile negative de forma E şi O, sfera subiectului este exclusă (în totalitate, respectiv într-o parte a ei) din întrega extensiune a predicatului, aşadar predicatul este distribuit.

Rezumând, desprindem două concluzii: a) subiectul este distribuit în universale şi nedistribuit în particulare; b) predicatul este distrbuit în negative şi nedistribuit în afirmative. Totodată, vom formula o regulă care să ghideze efectuarea inferenţelor imediate: nici un termen nu poate apărea distribuit în concluzie dacă nu a fost distribuit în premisă.

Fiecărei inferenţe imediate îi corespunde o anumită operaţie care, aplicată asupra premisei, are capacitatea să genereze direct concluzia. În privinţa propoziţiilor categorice există două asemenea operaţii fundamentale, restul inferenţelor nefiind decât aplicaţii sau combinaţii ale lor. Să le trecem în revistă:

1) Conversiunea este operaţia logică prin care termenii premisei (numită convertendă) îşi schimbă reciproc funcţiile în cadrul concluziei (numită conversă); altfel spus, subiectul şi predicatul se intervertesc, din structura S-P derivând forma P-S şi păstrându-se calitatea propoziţiei, eventual cu modificarea cantităţii. Conversiunea validă se prezintă în două tipuri:

a) simplă (fără schimbarea cantităţii), în cazul propziţiilor E şi I. De exemplu, din "Nici o babă nu este mitralieră" derivă "Nici o mitralieră nu este babă", iar din "Unii studenţi sunt sportiivi" decurge "Unii sportivi sunt studenţi";

b) prin accident (cu schimbarea cantităţii), în cazul propoziţiei A: "Toate mamiferele sunt vertebrate" devine "Unele vertebrate sunt mamifere". Deoarece, în cadrul ei, predicatul este nedistribuit, propoziţia de tip A nu se poate converti valid decât prin accident, iar nu simplu. Altminteri, ar decurge o concluzie falsă precum "Toate vertebratele sunt mamifere".

Cât priveşte particulara negativă (O), acesta nu se converteşte nici simplu, nici prin accident, pe acelaşi considerent al distribuţiei termenilor. "Unii oameni nu sunt psihologi" ar deveni fie "Unii psihologi nu sunt oameni", fie "Toţi psihologii sunt neoameni".

Să mai reţinem că, dacă în cazul propoziţiilor de tip E şi I conversa este logic echivalentă cu convertenda, acest lucru nu e valabil pentru tipul A. Convertind conversa lui E şi I vom obţine enunţul iniţial, dar nu şi în cazul universalei afirmative.

2) Obversiunea este operaţia prin care, dintr-o propoziţie dată (obvertenda) se obţine o alta (obvertita) având calitatea modificată şi predicatul negat. Toate cele patru tipuri de propoziţii categorice se obvertesc în mod valid, între obvertendă şi obvertită existând un raport de echivalenţă logică. De aceea, obvertind obversa, se obţine propoziţia iniţială. - SaP devine Se~P: "Toţi psihologii sunt specialişti" - "Nici un psiholog nu este nespecialist";- SeP devine Sa~P: "Nici o mătură nu este făraş" - "Toate măturile sunt non-făraşuri";- SiP devine So~P: "Unii pomi sunt meri" - "Unii pomi nu sunt non-meri";- SoP devine Si~P: "Unele păsări nu sunt vrăbii" - "Unele păsări sunt non-vrăbii".

3) Contrapoziţia este inferenţa complexă constând dintr-o obversiune urmată de o conversiune, eventual, de încă o obversiune. Propoziţia iniţială se numeşte contraponendă, iar concluzia se cheamă contrapusă. Se prezintă în două forme:

a) parţială, aceea care schimbă calitatea contraponendei şi are ca predicat subiectul propoziţiei iniţiale. Este aplicabilă doar categoricelor A, E şi O:- SaP devine ~PeS: "Toate pisicile sunt feline" - "Nici o non-felină nu este pisică";- SeP devine ~PiS: "Nici un crocodil nu este hipopotam" - "Unii non-hipopotami sunt crocodili"; - SoP devine ~PiS: "Unii psihologi nu sunt psihanalişti" - "Unii non-psihanalişti sunt psihologi".

b) totală, aceea care menţine calitatea contraponendei şi are ca predicat negaţia subiectului acesteia. De asemenea, se aplică doar lui A, E şi I:- SaP devine ~Pa~S: "Toate pisicile sunt feline" - "Toate non-felinele sunt non-pisici";- SeP devine ~Po~S: "Nici un crocodil nu este hipopotam" - "Unii non-hipopotami nu sunt non-crocodili";- SoP devine ~Po~S: "Unii psihologi nu sunt psihanalişti" - "Unii non-psihanalişti nu sunt non-psihologi".

4) Obvertirea conversei este operaţia complexă ce schimbă ordinea celor două verigi ale contrapoziţiei, efectuând mai întâi conversiunea şi apoi obversiunea. Propoziţia obţinută se numeşte conversă obvertită. Această inferenţă este validă numai în cazul propoziţiilor A, E şi I:- SaP devine Po~S: "Toţi lupii sunt carnivori" - "Unii carnivori nu sunt non-lupi";- SeP devine Pa~S: "Nici un hârciog nu este vulpe" - "Toate vulpile sunt non-hârciogi";- SiP devine Po~S: "Unii sportivi sunt atleţi" - "Unii atleţi nu sunt non-studenţi".

5

5) Inversiunea este inferenţa prin care se trece de la o propoziţia cu termeni pozitivi la una cu termeni negativi şi constă într-un lanţ de obversiuni şi conversiuni: Doar categoricele universale îngăduie realizarea acestei operaţii, care cunoaşte două forme:

a) parţială (este negat doar primul termen, cu schimbarea cantităţii şi a calităţii):- SaP devine ~SoP: "Toate rândunicile sunt păsări" - "Unele non-păsări nu sunt rândunici";- SeP devine ~SiP: "Nici un cal nu este măgar" - "Unii non-măgari sunt cai";

b) totală (sunt negaţi ambii termeni, cu schimbarea cantităţii, dar nu a calităţii):- SaP devine ~Si~P: "Toţi peştii sunt vertebrate" - "Unii non-peşti sunt nevertebrate";- SeP devine ~So~P: "Nici un coleric nu este flegmatic" - "Unii non-flegmatici nu sunt non-colerici".

Tabelul următor rezumă concluziile tuturor inferenţelor imediate studiate:

SaP SeP SiP SiPConversiunea simplă — PeS PiS —Conversiunea prin accident PiS PoS — —Obversiunea Se~P Sa~P So~P Si~PObvertirea conversei Po~S Pa~S Po~S —Contrapoziţia parţială ~PeS ~PiS — ~PiSContrapoziţia totală ~Pa~S ~Po~S — ~Po~SInversiunea parţială ~SoP ~SiP — —Inversiunea totală ~Si~P ~So~P — —

6

TEORIA (LOGICA) PROPOZIŢIILOR (continuare)

IV. Propoziţiile compuseCum s-a văzut, o propoziţie compusă (moleculară) este o formă logică ce cuprinde în alcătuirea ei alte

propoziţii, fiind rezultatul utilizării aşa-zişilor operatori propoziţionali, fie ei verifuncţionali, fie nefuncţionali. În această secţiune a cursului ne interesează doar propoziţiile construite prin implicarea operatorilor verifuncţionali, care se împart în: operatori logici (afirrmaţia şi negaţia) şi conectori logici (conjuncţia, disjuncţia, implicaţia, echivalenţa etc.). De pildă, "Nu plouă", ""Afară ninge şi e frig", "Fulgeră sau tună", "Dacă dă grindina, atunci se compromite recolta" ş.a. Vom face abstracţie de structura propoziţiilor atomare componente, rezumându-le la a le nota cu litere mici din a doua parte a alfabetului, precum p, q, r... O propoziţie compusă poate fi alcătuită şi din alte propoziţii compuse, cum ar fi: "Mă duc la cinematograf şi, dacă filmul merită văzut, intru să-mi cumpăr bilet".

În logica actuală, propoziţia compusă este abordată din două perspective distincte (dar interdependente), una a informaţiei conţinute, cealaltă a valorii ei alethice. Dacă acceptăm că enunţarea unei propoziţii vădeşte o anumită intenţie (aşadar, vrea să "spună" ceva), ea va transmite o informaţie ce se pretează la a fi calificată drept adevărată sau falsă. Totodată, din unghiul conţinutului informaţional vehiculat, unele propoziţii compuse din cel puţin doi membri sunt formate la întâmplare, fără a sugera vreo legătură între stările de fapt evocate ("Citesc avid din Platon, iar pisica doarme şi toarce pe fotoliu"), altele exprimă corelaţii între obiecte, evenimente, stări care se petrec şi pot fi constatate frecvent ("Ninge mărunt şi bate puternic vântul"). În genere, se apreciază că nu dispunem de criterii riguroase pentru a alcătui propoziţii compuse, ca atare, ne orientăm adesea în funcţie de contextul în care le utilizăm. În schimb, din punctul de vedere al valorii alethice, spre a se evita anumite dificultăţi, se consideră că propoziţiile se constituie ţinând cont de corelaţiile existente între stările de fapt pe care le enunţă.

În perimetrul filosofiei şi al logicii, termenii de adevăr şi fals au dobândit accepţiuni dintre cele mai diferite. În gândirea europeană, primul care i-a definit a fost Aristotel, socotindu-i proprietăţi ale enunţurilor noastre şi nicidecum ale lucrurilor însele. Adevărul reprezintă corespondenţa dintre conţinutul afirmaţiilor sau negaţiilor pe care le facem şi realitatea la care ele se referă, în vreme ce falsul rezidă tocmai în absenţa acestei concordanţe. În linii mari, acest punct de vedere este acceptat şi în zilele noastre.

De obicei, simţul comun consideră propoziţiile ca fiind ori adevărate, ori false. În viaţa cotidiană, deşi frecventă, o asemenea dihotomie este aplicabilă doar în anumite situaţii, existând destule altele în care conformitatea enunţurilor noastre cu realitatea nu e exactă, ci doar aproximativă, astfel că mai potrivit ar fi să vorbim despre "grade ale corespondenţei", implicit nuanţe intermediare între valorile polare. De pildă, "Cutare este un om bun".

Pe de altă parte, calificarea alethică este dependentă şi de tipul propoziţiilor luate în considerare. Aşa-numitele propoziţii închise (acelea lipsite de părţi variabile, de pildă "2+3=5") pot fi valorizate drept adevărate sau false. În schimb, cele deschise (conţinând variabile, bunăoară "x+y=z", "Astăzi a plouat în cursul dimineţii", "Ea citeşte cursul de logică") nu sunt – în această formă – nici adevărate, nici false. Eventual, valorizarea devine posibilă atunci când variabilele sunt determinate: "5+4=9", "Astăzi, 17 ianuarie 2007, cerul este înnorat", Chiar şi în această formă, ultima propoziţie ascunde încă o variabilă implicită (de natură temporală), iar fără precizarea riguroasă a ei, – să zicem, ora 16 şi 25 de minute – nu ne vom putea pronunţa asupra proprietăţilor sale de adevăr.

Din cele de mai sus decurge că adevărul şi falsul nu sunt decât produsul specific al unei anume idealizări ce restrânge diversitatea situaţiilor posibile la aceea calificabilă în două valori nu doar exclusive, dar şi contradictorii. Logica tradiţională a asumat această dihotomie fundamentală, aşezând-o sub regnul a ceea ce s-a numit mai târziu principiul bivalenţei, potrivit căruia există două şi numai două valori alethice, anume adevărul şi falsul.

Reamintim că, în cazul aplicării operatorilor verifuncţionali, valoarea de adevăr a propoziţiei compuse este dependentă de valorile de adevăr ale propoziţiilor componente, ceea ce înseamnă că unei combinaţii de valori a acestora din urmă îi corespunde o valoare unică a compusei. De aceea, propoziţiile moleculare sunt tratate ca funcţii de adevăr ce se deosebesc între ele prin operaţiile logice realizate pentru constituirea lor. În continuare, vom trece în revistă cei mai importanţi compuşi verifuncţionali:

1) Negaţia (simbol "~") este operaţia care modifică valoarea de adevăr a propoziţiei în opusa ei. Fiind dată o propoziţie oarecare p, dacă aceasta este adevărată, negaţia ei (~p) este falsă, iar dacă este falsă, nagaţia va fi adevărată. Pe scurt, valoarea alethică a propoziţiei negative este inversa valorii de adevăr a

propoziţiei iniţiale. Cele două nu pot fi nici împreună adevărate, nici împreună false, între ele existând un raport de contradicţie. Notând cu "1" valoarea adevărat şi cu "0" valoarea fals, rezultă utmătoarea matrice a funcţiilor de adevăr:

p ~p 1 0

0 1

7

În limba naturală, negaţia se exprimă prin "nu", "non", "nu e adevărat că" "este fals că" etc., însă mecanismul său nu este uniform. Uneori, negaţia se cere plasată în faţa propoziţiei: "Toate dialogurile lui Platon s-au transmis posterităţii" – "Nu (este adevărat că) toate dialogurile lui Platon s-au transmis posterităţii"; alteori, în interiorul ei, în faţa predicatului gramatical: "Stiloul meu este albastru" – "Stiloul meu nu este albastru"; în fine, sunt situaţii când este necesară o transformare radicală a întregii propoziţii supuse negării: "Unele pisici sunt tărcate" are drept negaţie nu "Unele pisici nu sunt tărcate", ci "Nici o pisică nu este tărcată" (conform pătratului logic, pe diagonală). Aşadar, pentru a construi nagaţia unei propoziţii nu se poate proceda mecanic, trebuind mai întâi sesizat sensul ei exact, apoi formulând negaţia ţinând cont că propoziţia iniţială şi cea nouă se află în raport de contradicţie.

Există şi aşa-zisa lege a dublei negaţii, conform căreia negând negaţia unei propoziţii se revine la valoarea alethică a propoziţiei iniţiale: ~ (~p) = p. De pildă, "Plouă" – "Nu plouă" – "Nu este adevărat că nu plouă" (adică "Plouă").

2) Conjuncţia (simbol "&") este operaţia prin care din două propoziţii p şi q rezultă o alta p&q (citită "p şi q") care este adevărată dacă ambele sunt adevărate şi falsă dacă una din ele sau ambele sunt false. Tabelul

valorilor sale de adevăr este cel alăturat. Simbolul "&" este conectorul conjuncţiei, iar propoziţiile p şi q se numesc termeni, stâng respectiv drept.

În limbajul obişnuit, de regulă conjuncţia se exprimă prin "şi", însă există şi alte cuvinte care o redau: "iar", "dar" etc., chiar simpla virgulă: "Afară ninge şi bate vântul", "Ceasul meu merge bine, iar al tău întârzie", "3+2=5, dar 3-2=1", "Câinele latră, pisica miaună" ş.a.m.d. Totodată, într-o propoziţie precum "Platon şi Aristotel au fost filosofi", conjuncţia leagă două nume, dar ea poate fi analizată logic şi drept conector ce uneşte propoziţiile atomare "Platon a fost

filosof" şi "Aristotel a fost filosof". Pe de altă parte, există utilizări ale lui "şi" în care acesta nu îndeplineşte funcţia de operator

interpropoziţional. Bunăoară, "Eminescu şi Creangă au fost contemporani" este o propoziţie atomară având un subiect compus, nicidecum o propoziţie compusă. De asemenea, când două propoziţii descriu evenimente, relaţia dintre ele nu este conjunctivă, ci de succesiune ("A bătut la uşă şi a aşteptat să i se deschidă"), cauzală ("Vremea s-a încălzit şi zăpada se topeşte") etc.

3) Disjuncţia neexclusivă (implicită) (simbol "V") reprezintă operaţia de compunere prin care propoziţia nouă este falsă dacă ambele componenete sunt false şi adevărată dacă cel puţin una – indiferent care – este adevărată. Valorile de adevăr sunt înscrise în tabelul alăturat.

În limbajul curent, disjuncţia se exprimă de obicei prin "sau" şi "ori": "Iarna ninge sau iarna este friguroasă", "Pisica prinde şoareci sau vânează vrăbii".

4) Disjuncţia exclusivă (explicită)dacă una din componente (oricare) este adevărată şi falsă, atunci când ambele componente sunt simultan adevărate, respectiv false, potrivit matricei de alături.

De regulă, se exprimă în limba naturală prin "sau..., sau...", "ori..., ori...", "fie..., fie..."; de pildă, "Sau totul, sau nimic", "Troleibuzul care se apropie este ori 14, ori 17", "Fie promovăm la examen, fie cădem". Însă, nu întotdeauna "sau..., sau..." are sensul unei disjuncţii exclusive, de pildă în propoziţia "Sau filamentul becului s-a ars, sau comutatorul veiozei s-a defectat",

întrucât este posibil să fie adevărate ambele componente.5) Implicaţia (simboluri "", "= ") este operaţia logică prin care din două propoziţii (numite antecedent,

respectiv secvent sau succedent) se construieşte o propoziţie compusă (numită implicativă sau condiţională) care e falsă numai atunci când antecedentul este adevărat iar secventul fals. Aşadar, va fi adevărată când componentele sunt ambele adevărate, ambele false sau antecedentul fals şi succedentul adevărat, după cum reiese şi din matrice. Se poate constata, compusa implicativă nu reclamă ca antecedentul să fie adevărat, iar falsitatea lui nu ne împiedică să decidem asupra valorii de adevăr a ansamblului.

Propoziţia condiţională este de forma "p implică q", "dacă p, atunci q", "q, dacă p" etc., ceea ce exprimă un raport de condiţionare suficientă. De exemplu, "Dacă arma detonează, atunci s-a acţionat pe trăgaci", "Îmi iau umbrela dacă plouă". În limbajul ştiinţific, "dacă p, atunci q" este substituit adesea prin formularea "o condiţie suficientă pentru q este p" (sau "p este o condiţie suficientă pentru q"): "O condiţie suficientă pentru ca triunghiul ABC să fie dreptunghic este ca lungimile laturilor sale să fie egale cu 3, 4 şi 5 cm". Aceasta revine la a spune că "q este o condiţie necesară pentru p" (sau "p numai dacă q"). "Faptul de a avea lungimile laturilor egale cu 3, 4 şi 5 cm este condiţia necesară pentru ca triunghiul ABC să fie dreptunghic".

6) Echivalenţa (sau implicaţia reciprocă, simboluri "", " = ", "") este operaţia de compunere în urma căreia rezultă o propoziţie (numită bicondiţională) ce va fi adevărată atunci când componentele au aceeaşi

p q p&q 1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0

p q pVq 1 1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0

p q pWq 1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0

p q pq 1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1

8

valoare de adevăr şi falsă când au valori diferite. A se vedea tabelul alăturat. În fapt, ea reprezintă conjuncţia dintre "p implică q" şi "q implică p".Cât priveşte formulările verbale ale propoziţiei bicondiţionale, acestea sunt mai multe,

precum: "dacă şi numai dacă p, atunci q", "p numai dacă q", "p cu condiţia q", "p este o condiţie necesară şi suficientă pentru q" ş.a. Ele exprimă când condiţia suficientă (cea necesară fiind sugerată de context), când condiţia necesară (cea suficientă fiind

subînţeleasă), când însăşi condiţionarea necesară şi suficientă: "Dacă şi numai dacă se strică vremea excursia va fi amânată", "Promovez examenul numai dacă iau o notă peste 5", "Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o bucată de metal să se dilate este ca ea să fie încălzită".

Mai pot fi reţinuţi ca operatori interpropoziţionali interesanţi următorii doi:7) Incompatibilitatea

compuse de forma "fie că nu p, fie că nu q" şi se prezintă ca o disjuncţie de propoziţii negative. De exemplu, "Fie că insomniacul nu doarme destul, fie că el nu se poate îngrăşa". Dar poate fi şi de structura "e imposibil (fals că) p şi q", fiind falsă numai atunci când ambele componente sunt false şi dispune de următoarea reprezentare matriceală:

8) Excluziunea (numită şi antidisjuncţie sau rejecţie, simbol "") care generează o compusă de forma "nici p, nici q" şi se prezintă ca o conjuncţie de propoziţii negative. De pildă, "Nici nu merg la cursul de logică, nici nu rămân acasă". Ori "este imposibil p sau q", fiind adevărată atunci când ambele componenete sunt false, şi adevărată în restul situaţiilor, potrivit tabelului învecinat.

Fireşte, ne putem întreba asupra numărului total al operatorilor interpropoziţionali existenţi între propoziţiile compuse. Ţinând cont de faptul că avem două variabile propoziţionale (notate cu p şi q)

combinate cu două valori alethice (notate cu 1 şi 0), numărul lor este 16, conform tabelului general de mai jos:

p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 11 00 10 0

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 0 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

Să le numim: 1) tautologia (pV~p); 2) disjuncţia (pVq); 3) implicaţia conversă (qp); 4) prependenţa sau afirmaţia lui p (p); 5) implicaţia (pq); 6) postpendenţa afirmaţia lui q (q); 7) echivalenţa (pq); 8) conjuncţia (p&q), 9) incompatibilitatea (p/q); 10) disjuncţia exclusivă (pWq); 11) prenonpendenţa sau negaţia lui q (~q); 12) negaţia implicaţiei [~(pq)]; 13) prenonpendenţa sau negaţia lui p (~p); 14) negaţia implicaţiei converse [~(q p)]; 15) excluziunea (pq); 16) contradicţia (p&~p).

Precum se observă, funcţiile sunt opuse simetric faţă de jumătatea tabelului.

Reducerea operatorilor verifuncţionaliLogica propoziţiilor compuse se pretează la simplificări. Astfel, studiind matricile valorilor de adevăr ale

celor 16 operatori verifuncţionali se constată că numărul lor poate fi restrâns, întrucât există posibilitatea exprimării unora prin intermediul altora. Bunăoară, luând conjuncţia şi disjuncţia, observăm că atunci când schimbăm reciproc valorile adevărat şi fals (adică, negăm cele două componente şi conectorul dintre ele), se obţine tabelul funcţiei alethice a celeilalte, însă răsturnată:

p & q ~ (~p V ~q) respectiv p V q ~ (~p & ~q)1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 10 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Rezultă că negaţia şi disjuncţia pot servi la exprimarea conjuncţiei, iar conjuncţia şi negaţia, la exprimarea disjuncţiei, conform relaţiilor de mai jos:

(p&q) ~(~pV~q)(pVq) ~(~p&~q)

De pildă, a zice că "Fulgeră şi tună" este acelaşi lucru cu a spune că "Nu este adevărat că nu fulgeră sau nu tună"; respectiv "Plouă sau ninge" devine "Nu este adevărat că nu plouă şi nu ninge"

Negând ambii termeni ai echivalenţei, se obţin alte două relaţii semnificative:~(p&q) ~(pV~q)

p q p q 1 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1

p q p/q 1 1 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1

p q pq 1 1 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1

9

~(pVq) ~(p&~q)De exemplu, "Nu este adevărat că fulgeră şi tună" se mai poate exprima ca "E fals că fulgeră sau nu tună". În schimb, propoziţia "Nu este adevărat că plouă sau ninge" echivalează cu "E fals că plouă şi nu ninge".

Intuite încă din evul mediu, cele patru formule de mai sus sunt cunoscute sub denumirea de "legile lui de Morgan", potrivit numelui logicianului englez care le-a redescoperit şi exprimat simbolic în veacul trecut.

În general, operatorii verifuncţionali se pot defini prin intermediul altora (numiţi operatori de bază), astfel că, alegând pe unii, ne putem dispensa de utilizarea altora. Desigur, nu orice grup de operatori constituie o bază pentru exprimarea celorlalţi. Iată câteva cupluri posibile: conjuncţia şi negaţia (&, ~), disjuncţia şi negaţia (V, ~), implicaţia şi negaţia (, ~). Spre a traduce restul conectorilor, englezul George Boole a întrebuinţat tripletul conjuncţie-disjuncţie-negaţie (&, V, ~), în vreme ce francezul Jean Nicod a utilizat un singur operator, anume cel al incompatibiliăţii (/).

Să luăm ca exemplu practic cazul perechii formate din conjuncţie şi negaţie. Pentru a realiza reducerea celorlalţi conectori, se procedează pe temeiul următorului algoritm simplu: a) se construieşte matricea operatorului care se doreşte a fi definit; b) în cadrul tabelului obţinut, pe criterii de economicitate (situaţii mai puţine), se selectează şi reţin acele combinaţii de valori alethice pentru care formula dată este falsă (respectiv adevărată) şi se exprimă prin intermediul operatorilor de bază (aici, al conjuncţiei şi negaţiei), cu păstrarea valorii de adevăr a combinaţiilor respective (în caz de falsitate, se neagă formula obţinută); c) atunci când sunt două la număr, expresiile astfel rezultate se leagă între ele fie prin conjuncţie (atunci când se porneşte de la situaţiile de falsitate), fie prin disjuncţie (atunci când se au în vedere situaţiile de adevăr).

De pildă, propoziţia condiţională "Dacă eşti psiholog, atunci te preocupă problemele psihicului uman". Implicaţia (directă) se defineşte prin matricea din stânga: Precum se ştie, compusa condiţională este falsă atunci când antecedentul este adevărat, iar secventul fals. Propoziţia conjunctivă este însă adevărată atunci când ambele componente sunt adevărate, ceea ce – pentru linia a doua a tabelului – vom exprima prin p&~q. Dar pe linia respectivă, implicaţia este falsă, astfel că trebuie să negăm formula obţinută: ~(p&~q).

Deoarece nu mai avem altă combinaţie de valori în care propoziţia condiţională să fie falsă, operatorul implicaţiei se va traduce în termeni de conjuncţie şi implicaţie prin echivalenţa:

(p q) ~ (p & ~q)În exemplul nostru, tocmai propoziţia "Nu este adevărat că eşti psiholog şi nu te preocupă problemele psihicului uman". Corectitudinea operaţiei de traducere efectuate, poate fi verificată prin compararea tabelelor de adevăr ale celor doi termeni ai echivalenţei.

(p q) ~ (p & ~q) 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

Să luăm acum operatorul disjuncţiei exclusive, definit prin matricea alăturată. Propoziţia disjunctiv-exclusivă este falsă atunci când ambele componente sunt adevărate, respectiv false, ceea ce tradus prin conjuncţie şi negaţie se exprimă ca ~(p&q), respectiv ~(~p&~q). Traducerea disjuncţiei exclusive prin conjuncţie şi negaţie va fi atunci:

(pWq) [~(p&q)&~(~p&~q)]De pildă, "Studenţii sunt ori băieţi, ori fete" revine la a spune: "Nu-i adevărat că studenţii sunt concomitent băieţi şi fete şi nu-i adevărat că n-ar fi băieţi şi n-ar fi fete"

În mod similar se procedează pentru traducerea:- incompatibilităţii (antidisjuncţiei): (p/q)~(p&q); "Faptul de a ninge este incompatibil cu cerul senin" —

"Este fals că ninge şi e cer senin";- echivalenţei: (pq)[~(p&~q)&~(~p&q)]: "Citesc cursul de logică este acelaşi lucru cu lecturez cursul

de logică" — "E fals că citesc cursul de logică şi nu-l lecturez, după cum este fals că nu citesc cursul de logică şi-l lecturez";

- excluziunii (rejecţiei): pq(~p&~q): "Nu se poate ca animalul să fie căprioară sau să fie carnivor" — "Animalul nu este căprioară şi nu este carnivor".

p q p q 1 1 1 p&q 1 0 0 ~(p&~q) 0 1 1 ~p&q 0 0 1 ~p&~q

p q pWq 1 1 0 ~(p&q) 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ~(~p&~q

10

În linii mari, aceiaşi paşi se întreprind şi atunci când se procedează la traducerea operatorilor prin disjuncţie (neexclusivă) şi negaţie. Există, totuşi, o diferenţă: în cazul obţinerii a două formule, va fi necesar să exprimăm conjuncţia lor sub forma disjuncţiei, potrivit "legii lui de Morgan" corespunzătoare. Exemplu: propoziţia

condiţională "Dacă plouă, îmi iau umbrela". Matricea este cea alăturată. Linia a doua indică condiţia falsităţii implicaţiei (antecedent adevărat şi consecvent fals), traduc-tibilă prin ~pVq. Aşadar:

(pq) (~pVq)În exemplul nostru, "Dacă plouă, îmi iau umbrela" devine "Nu plouă sau îmi iau umbrela".

Acum, disjuncţia exclusivă: "Pacientul este fie nevrozat, fie psihopat". În cazul liniilor întâi şi a patra propoziţia disjunctiv-exclusivă este falsă, ceea ce se poate converti în ~pV~q, respectiv pVq. În ansamblu, vom avea:

(pWq) [(~pV~q)&(pVq)]Exprimând conjuncţia prin disjuncţie, se obţine noua echivalenţă logică:

(pWq) ~[~(~pV~q)V~(pVq)]. Adică: "Nu-i adevărat că e fals că pacientul nu e nevrozat sau nu e psihopat, sau e fals că pacientul este nevrozat sau psihopat".

Alţi operatori traduşi:- incompatibilitatea: (p/q) (~pV~q);- echivalenţa: (pq) ~[~(~pVq)V~(pV~q)];- rejecţia: pq ~(pVq).

Problema deciziei şi calculul propoziţionalVizualizând tabelul funcţiilor de adevăr ale operatorilor propoziţionali, vom constata în cadrul lui trei tipuri

diferite de compuşi verifuncţionali: cei cuprinşi între numerele 2 şi 15 dispun de ambele valori (adevărat şi fals), cea notată cu 1 întruneşte de sus până jos doar valoarea adevărat, în fine, la numărul 16 avem funcţia calificată cu fals pe fiecare linie.

Primul caz este cel al formulelor zise contingente (sau realizabile) care sunt adevărate cel puţin pentru unul dintre aranjamentele propoziţiilor din alcătuirea ei. Al doilea tip este cel al tautologiei (numită şi lege logică sau funcţie identic-adevărată), bucurându-se de proprietatea de a fi adevărată indiferent de combinaţia valorilor alethice ale componentelor. În a treia situaţie, e vorba de aşa-numita contradicţie (se mai cheamă funcţie identic-falsă sau inconsistentă), fiind falsă oricum ar fi valorizate propoziţiile alcătuitoare.

Funcţiile tautologice şi cele contingente constituie împreună mulţimea formulelor consistente, având valoarea 1 măcar pentru un aranjament de valori ale argumentelor. Totodată, funcţiile realizabile şi cele contradictorii formează laolaltă ansamblul formulelor zise netautologice şi dispun de trăsătura comună că iau valoarea 0 cel puţin pentru o combinaţie de valori ale componentelor.

Chestiunea fundamentală a teoriei propoziţiilor este aceea a deciziei şi constă în tentativa de a determina – prin intermediul unui procedeu potrivit – dacă o expresie logică oarecare redă o taitologie, o funcţie contingentă sau o contradicţie. Au fost puse la punct mai multe asemenea metode (a formelor normale, a matricilor, axiomatică), dintre care cea mai simplă (cu ea de altfel ne-am şi familiarizat deja) rezidă în utilizarea matricilor (sau tabelelor de adevăr).

Precum ştim, o matrice este o combinaţie de valori alethice care indică modul cum valoarea propoziţiei compuse (apărând în dreapta tabelului) variază în funcţie de posibilele valori ale componentelor (notate în stânga). Pentru a o construi şi a decide cu ajutorul ei, se impune a fi reţinut un algoritm conţinând următorii paşi:

1) stabilim numărul de linii pe care acest tabel îl va conţine. Vom reţine următoarea egalitate simplă: L = 2ⁿ , unde L desemnează numărul liniilor, iar n pe cel al propoziţiilor atomice componente diferite. Aşadar, pentru două argumente (p şi q) vom avea 4 linii, pentru trei argumente (p, q şi r), 8 linii, pentru patru argumente (p, q, r şi s), 16 linii ş.a.m.d.;

2) atribuim componentelor valorile adevărat (1) şi fals (0), în aşa fel încât să fie acoperite toate combinaţiile posibile. Pe coloană, prin convenţie, pentru prima componentă, jumătatea superioară conţine pe 1, iar jumătatea inferioară pe 0. Pentru următoarea propoziţie (sau următoarele propoziţii), valorile alethice vor fi distribuite alternativ;

p q p q 1 1 1 ~pV~q 1 0 0 ~pVq 0 1 1 pV~q 0 0 1 pVq

p q pWq 1 1 0 ~pV~q 1 0 1 0 1 1 0 0 0 pVq

11

3) în partea dreaptă a matricei, descompunem expresia asupra căreia decidem în subexpresii mai mici (numite subformule), de la variabilele propoziţionale negate şi până la eventualele propoziţii compuse ce intră în alcătuirea ei. Ordinea în care le înscriem este aceea în care ne apar, respectând fireşte indicaţiile parantezelor. Ultima coloană va reda exact expresia întreagă pe care o examinăm;

4) sub fiecare subformulă se notează (pe coloană) valorile ei de adevăr calculate în funcţie de tipul operatorului propoziţional întrebuinţat şi valorile alethice ale componentelor;

5) se calculează coloana finală care va arăta ce valori cunoaşte expresia întreagă pentru fiecare dintre cele 2ⁿ combinaţii de valori ale variabilelor.

Ca exemplu, să luăm propoziţia multiplu compusă (adică accea în care o subformulă poate fi ea însăşi propoziţie compusă): "Dacă Piaget este psiholog, atunci Piaget este psiholog sau Janet este psiholog". Acesteia îi corespunde expresia: p(pVq), în care p reprezintă propoziţia atomară "Piaget este psiholog", iar q, propoziţia "Janet este psiholog". Întrucât există doar două variabile, tabelul va conţine 4 linii. Avem aici o singură subformulă: pVq. Tabelul şi calculul propoziţional aferent se prezintă în felul următor:

p q pVq p (pVq)1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 1

Deoarece propoziţia compusă ia valoarea adevărat indiferent de valorile componentelor, expresia calculată constituie o tautologie.

Iată şi o altă propoziţie. "Unii oameni sunt sportivi amatori sau nu toţi oamenii sunt logicieni şi ori unii sportivi sunt logicieni, ori nici un om nu este sportiv amator". Notăm cu p propoziţia atomară "Unii oameni sunt sportivi amatori", cu ~q, "Nu toţi oamenii sunt logicieni", cu r, "Unii sportivi sunt logicieni" şi cu ~p, "Nici un om nu este sportiv amator" (contradictoria lui p). Îi corespunde expresia formală: (pV~q)&(rW~p). De vreme ce avem trei variabile propoziţionale, numărul liniilor din tabel va fi 8. Expresia conţine 4 subformule: (~p), (~q), (pV~q), şi (rW~p). Pe temeiul calculului matriceal, parvenim la următoarea soluţie:

p q r ~p ~q pV~q rW~p (pV~q)&(rW~p)1 1 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 1 0 01 0 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 1 00 0 1 1 1 1 0 00 0 0 1 1 1 1 1

Expresia de mai sus redă o funcţie contingentă ce este adevărată în trei cazuri: a) când p, q şi r sunt toate adevărate; b) când p şi q sunt adevărate, iar r falsă; c) când p şi q sunt false, iar r adevărată.

Printr-un procedeu mai simplu, calculul se poate desfăşura fără a mai construi tabelul, ci aşezând liniile valorilor alethice direct sub variabile, iar sub constante (operatorii verifucţionali), rezultatele calculului, desigur, respectând indicaţiile parantezelor. Să luăm propoziţia multiplu compusă "Dacă şi numai dacă unele farfurii sunt zburătoare (p) şi ele planează (q) ori se prăbuşesc (r), atunci este fals că unele farfurii sunt zburătoare şi planează sau unele farfurii sunt zburătoare şi se prăbuşesc". Expresia sa formală este:

[p&(qVr)] ~[(p&q)V(p&r)].

Iată mai jos modalitatea prin care se poate realiza dispunerea formulei în ansamblu şi efectuarea calculului pe subformulele ce o alcătuiesc:

[p & (q V r)] ~ [(p & q) V (p & r)] 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

12

0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Expresia este o contradicţie.

13