cap 2 . ecuatiile_liniilor nou_20[1].03

8/7/2019 Cap 2 . ecuatiile_liniilor nou_20[1].03

1/42

Capitolul 2

Linii electrice de transport la tensiune

alternativ

2.1 Comparaie ntre liniile electrice scurte i lungi.

La liniile scurte n raport cu (la 50 Hz)

se pot neglija:

a) curentul de deplasare transversal ntre conductoare-prindielectric: deci nu se consider capacitatea de serviciu.

b) curentul de conducie transversal deci, se neglijeazconductana.

reprezentarea liniilor scurte prin dipolcu parametrii concentrai.

km6000=

Z

Conductor faz

Conductor fictiv ntoarcere


2/42

La liniile electrice lungienergia electromagnetic este repartizatuniform la fel ca i parametrii n lungul liniei:

a) curentul total de deplasare transversal i cel de conducie ndielectric

cu intensitatea curentului longitudinal din conductor;

b) la mersul n gol al liniei, curentul de conducie la surs este diferitde zero.

- curentul de conducie la mers n gol este capacitiv,modificndu-se de la o seciune la alta;

- curentul crete de la consumator spre surs;- tensiunea crete de la surs spre consumator.

c) Apare fenomenul Ferranti de supratensionare care este cu att

mai pronunat cu ct lungimea liniei este mai mare.

La funcionarea n gol tensiuneapoate s creasc teoretic la valoriinfinite, pentru lungimi ale liniei de

km15004 =

Sursa 750 1500 Consumator

Cresterea

lungimiiliniei

U

Unom

Tensiune lacaptul liniei

In exploatare, n cazul punerii n paralel a dou noduri din SEE printr-o

linie de transport lung se folosete compensarea transversal cu bobin.

surs consumator

2.2 Schemele echivalente ale liniilor electrice

n funcie de lungimea liniei i tensiunea nominal se distingscheme cu parametri concentrai i cu parametri uniform distribuii.

n literatura de specialitate, se mai consider cazurile liniilor detransport scurte (L


3/42

2.2.1 Cazul liniilor de transport scurte (L


4/42

Folosind ca referin, din triunghiul dreptunghic se obine:022 0= VV

( ) ( )2

22

2

2221 sincossincos LLLL IRIXIXIRVV +++=

21 = sau )sincos

sincos(atan

222

22

LL

LL

IXIRV

IRIX

++

=

sau

=

2

2

1

1

10

1

I

VZ

I

V L

=

=

1

1

1

1

1

2

2

10

1

10

1

I

VZ

I

VZ

I

V LL

Folosind scrierea matriceal

Randamentul de transport al unei linii scurte

11

22

11

22

intrare

iesire

cos

cos

cos3

cos3

V

V

IV

IV

P

P===

Relaia este valabil att pentru linii monofazate ct i pentru linii trifazate.Randamentul reelei de transport poate fi exprimat i sub forma:

222

22 2cos

cos

IRIV

IV

PP

P

Llinieiesire

iesiremonofazat +=+=

222

22

3cos3

cos3

IRIV

IV

PP

P

Llinieiesire

iesiretrifazat

+=

+=

Dac se folosesc constantele generalizate sau parametrii DCBA ,,,

=

2

2

1

1

IV

DCBA

IV 1= CBDAi adic cuadripolul prezint

proprietatea de reciprocitate.

1=A LZB = 0=C 1=Dunde ; ; ;


5/42

2.2.2 Cazul liniilor de transport cu lungime medie (L


6/42

Curentul la captul surs al liniei:

222212211

2

)

2

1(

2222

IYZ

VYZY

VY

IVY

VY

IIII LLLLLLLLcl ++++=++=+=

22

2

1 )2

1()4

( IYZ

VYZ

YI LLLLL +++=

221 IDVCI +=

21 LL

YZA += 2

1 LLYZ

D +=

=

2

2

1

1

I

V

DC

BA

I

V

unde:

sau

Relaia ntre tensiuni:

LZB = )41( LLL

YZYC +=

Deoarece determinantul matricei cuadripolului prezint proprietateade reciprocitate

1= CBDA 12 =

CBA

Cazul cnd se cunosc i1V 1I

=

1

1

2

2

I

V

DC

BA

I

V

DA =


7/42

2.2.3 Cazul liniilor de transport lungi (L>250 km)

Studiul exact al unor asemenea linii lungi considerate cu parametrii uniformdistribuii - se face folosind ecuaiile telegrafitilor (a se vedea 2.3.1)

221 IBVAV +=

221 IDVCI +=

unde coeficienii liniilor lungi sunt:

LDA == cosh LZB C = sinh LYC C = sinh

Pentru folosirea unui cuadripol n i n cazul liniilor cu parametri uniformdistribuii trebuie ca i care sunt impedana longitudinal iadmitana transversal totale ale liniei, s fie corectate cu coeficienii lui Kennely

),( 21 KK

lzz 0= lyy 0=

n acest scop, prin identificarea coeficienilor cuadripolului ncu cei ai liniilor lungi , rezult:

DCBA ,,,

)6

1(1yz

zKzZ +=

)12

1(22

2

yzyK

yY =

( ) DCBA ,,,

I1 I2

V1 V2

Z

Y Y2 2


8/42

2.3 Ecuaiile de funcionare n regim staionar armonic

Se consider o poriune xdin lungimea L a liniei, situat la distanaxde captul receptor. Aplicnd teoremele lui Kirchhoff se obine:

Cderea de tensiune n seciunea x:

( ) ( ) ( )xIxzxVxxV =+ 0

( ) ( ) ( )xVxyxIxxI =+0

Curentul transversal prin

Fig. 1. Schema echivalent cu parametrii uniform distribuii a unei linii de transport.

(1)

(2)

xy 0

2.3.1 Ecuaiile telegrafitilori parametrii secundari

I( )x

I( )L

I( )L

V( )L V( )x

I( ) x+ x

V( ) x+ x

Surs

y x0

z0 x

xL

x

Receptor

I(0)

V(0)

I(0)

x=0

Dezvoltnd n serie Taylor primul termen din ec. (1)

xdx

xVdxVx

dx

xVdxVxVxxV =+++

)()(......

)()()()(

......)(

)()( +++ xdx

xVdxVxxV

i nlocuind n (1), rezult

( ) ( )( )xIz

xVxxV0=

+

Ecuaia (1) se poate scrie:

( ) ( )( )xIz

x

xVxxV

x0

0lim =

+

Trecnd la limit, cnd 0x

( )( )xIz

x

xV0d

d=sau (3)


9/42

sau innd seama de ecuaiile (3) i (4) se obine:

( )( )xVyz

xV002

2

dd =

( )( )xIyz

x

xI002

2

dd =

(5)

(6)

n care:este impedana complexlineic a liniei;

admitana complexlineic a liniei.

00000 ljrjxrz +=+=

00000cjgjbgy +=+=

Ecuaiile (5) i (6) sunt cunoscute ca fiind ecuaiile fundamentale ale telegrafitilor,care definesc transferul de energie electromagnetic n lungul liniilor de transport "lungi".

respectiv pentru curent rezult( )

( )xVyx

xI0d

d= (4)

Difereniind ecuaiile (3) i (4) n raport cux

( ) ( )x

xIz

x

xV

d

d

dd

02

2

=( ) ( )

x

xVy

x

xI

d

d

dd

02

2

=

Soluia general pentru din (5) este de forma:( )xV

( ) ee 21xx AAxV += (7)

1 2, n care i sunt constante de integrare.

Calculnd derivata de ordinul doi n raport cu x:

( ) ( ) ( )xVAAx

xV xx =+= 2

21

2

2

2

ee

d

d

din identificarea cu (5) se obine:

(8)

(9)

yz00

2 =

Rezult expresia constantei complexe de propagare:

( )( )jbgjxryz 000000 ++==

)()( xIsixV sunt soluiile unei ecuaii difereniale unice de ordinul 2

cu coeficieni constani; cunoscnd forma unei soluii pentruse poate deduce cealalt form. )(sau)( xIxV


10/42

Constanta de propagare se poate exprima i sub forma = j+ (9`)

n care:

este constanta de atenuare, n [Np/m], legat de variaia

amplitudinii tensiunii i curentului pe linie;

constanta de faz, n [rad/m], exprim variaia fazei tensiuniisau curentului n dou puncte de pe linie.

Introducnd (7) n (3) se obine:

( ) ( ) ( ) ( )xIzAAAAx

x

xV xxxx02121 eeeed

d

d

d==+=

respectiv:

( ) ( ) ( )ee1

ee 21210

xx

C

xx AAZAA

zxI =

= (10)

Dac se consider:00

00

0

0

00

00

jbg

jxr

y

z

yz

z

z

++

==

=

a liniei, reflectproprietile geometrice i de material ale mediului - att conductor ct idielectric - de propagare a energiei electromagnetice. Ele nu depind delungimea liniei.

Raportul (11) reprezintimpedana caracteristic a liniei electrice.y

zZ

C0

0+=

Parametrii si Zcsunt numiti parametrii secundari ai liniei electrice,ei deducndu-se din parametrii primari r0, l0, c0, g0.

, ,

Constanta de propagare i impedana caracteristic CZ

Pentru determinarea celorlalte constanteA1 iA2se folosesc condiiile la limitimpuse la bornele de intrare i ieire ale circuitului. Astfel:

La bornele consumatorului, pentrux= 0, din (7) i (10)se obin:

( ) 210 AAVV B +==

( ) ( )AAZII

C

B 21

10 ==

Pentru cazul particular al liniei fr pierderi (r0=0,g0=0), impedana caracteristic

devine o rezistenc

lZC

0

0+=


11/42

rezult:( )BCB IZVA += 211

( )BCB IZVA = 212

(12)

(12)

nlocuind (12') i (12'') n (7) se obine:

( ) ( ) ( )2ee

2ee

e2

1e

2

1 xxBC

xx

Bx

BCBx

BCB IZVIZVIZVxV

++

=++=

sau

( ) IxZVxxV BCB += sinhcosh (13)

( ) IxVxYxI BBC += coshsinh

n mod analog se obine ecuaia pentru curent:

(14)

Rezult, ecuaia matriceal care d tensiunea i curentul ntr-un punctla distanax, n funcie de mrimile de la ieire:

( )( )

=

B

B

C

C

I

V

xxY

xZx

xI

xV

coshsinh

sinhcosh

La bornele sursei, pentrux = L:

=

B

B

C

C

A

A

I

V

LLY

LZL

I

V

coshsinh

sinhcosh

Rezultcoeficienii ecuaiilor liniei electrice lungi:

(15)

LDA == cosh LZB C = sinh LYC C = sinh


12/42

(16)

ntruct coeficienii ndeplinesc condiia necesar unui cuadripol pasiv, adic:

1sinhcosh22

== LLCBDA

rezult c orice linie electric lung se poate reprezenta printr-un cuadripolechivalent (fig. 2).

A= Lcosh

C Y= LCsinh D= Lcosh

B Z= LCsinhIA

VA VB

IB

Fig.2. Cuadripolul echivalent al unei linii electrice.

n cazul cnd se dau mrimile de intrare VA, IA i se cer

mrimile de la ieire VB, IB:

=

=

A

A

C

C

A

A

C

C

B

B

I

V

LLY

LZL

I

V

LLY

LZL

I

V

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh1

2.3.2 Propagarea undelor de tensiune i curent pe o linie de transport

Interpretarea fizic

Pentru a pune n eviden aspectul fizic de propagare a undelor de tensiune i decurent pe linie se reiau ecuaiile:

( ) ee 21xx AAxV += ( ) ( )ee

121

xx

C

AAZxI =

n care constantaA1 se va determina n funcie de mrimile de la intrare,adic pentrux = L

ee 21LL

AAAV +=

ee 21LL

AC AAIZ

=

Prin nsumarea acestor ecuaii rezult:

( )e2

11

LACA IZVA

+=

(7) (10)

(17)


13/42

Pentru constantaA2se va pstra valoarea din (12''), determinat n funcie demrimile de la ieire: .

nlocuind (17)i (12'') n (7) rezult

:

( ) ( ) ( ) xBCB

xL

ACA IZVIZVxV ++= e

2

1ee

2

1

sau innd seama de figura 3,a se obine:

( ) ee''' xB

xA VVxV

+=

unde

( ) e2

1 '' =+= ajAACAA VIZVV

( ) e2

1 '' == bjBBCBB VIZVV

Avnd n vedere c += j rezult

( ) ( ) ( )eeee'' xxjB

xxjA

ba VVxV +=

(18)

( )BCB IZVA = 212

x=0x=L

L

x'=L x-

x

v

x

Vr

x'

t t+t

x ' v t=

Vd

v

VA2 e-x

2 VB e-x

Fig.3. Propagarea undelor mobile pe o linie de transport

a) Seciunea liniei b) Und mobil directc) Und mobil reflectat

a)

b) c)

ntr-un punctxapare o suprapunere de unde mobile ce dau o und staionar.


14/42

Trecnd la exprimarea n mrimi instantanee reale, tensiunea este o funcie sinusoidalde tix:

( ) ( ) ( )esin2esin2 '' xbBx

aA xtV+xtVtx,v

++=

( ) ( ) ( )txVtxVtxv rd ,,', +=sau

Deci,n orice punct i n orice moment tensiunea este suma a dou unde mobile deargument descresctor:

unda mobil direct care se propag de la surs spre consumator,

de amplitudine preponderent, i care seamortizeaz exponenial cu factorul (fig. 3,b)

( ) 2' ACAA IZVV +='e x

unda mobil reflectat care se propag de la consumator spre surs

(n sens contrar transferului de energie), avnd amplitudinearedus n raport cu unda directi care se amortizeaz exponenialcu factorul (fig. 3,c).

( ) 2' BCBB IZVV =

xe

(19)

Procednd n mod asemntor n ceea ce privete undele mobile de curent

( ) ( ) ( )eeeeee '''' xjj

Bxjj

Ax

Bx

Aba II=IIxI ++ =

respectiv n mrimi instantanee

( ) ( ) ( )esin2e'sin2 ''' xbBx-

aA xtIxtItx,I ++= (20)

Obs. Undele reflectate ale curentului sunt de semn contrar celor incidente.

Interpretrii:

Fenomenul de propagare pe linie a undelor electromagnetice poate fiinterpretat ca o suprapunere a dou unde, una incident i una reflectat.

Cele dou unde - incident i reflectat - se propag simultan, iar pentrudistanexixegale se amortizeaz la fel.

Factorul de amortizare ataat att undelor incidente ct i reflectate aratc n fenomenul de propagare pe liniile reale, cu rezisteni perditan, auloc pierderi de energie electric.


15/42

Viteza i sensul de deplasare al undelor mobile

n acest sens se consider dou puncte succesive n lungul liniei, ce auaceeai faz. Dac faza tensiunii la momentul ti la distanax'este egal,

prin definiie, cu faza tensiunii la momentul (t + t) i la distana (x' + x')se poate scrie:

( ) ( ) aa +x+xt+t=+xt '''

de unde rezult c

0' xt =sau

=

=

t

x'(21) adic tocmai viteza de propagare a undei

Rezult c unda mobil Vd(x',t) se deplaseaz n sensul de cretere a luix',adic n sensul pozitiv cu aceeai vitez ; din acest motiv Vd(x',t) se numeteund direct.

Procednd n mod asemntor, pentru cea de-a doua und mobil se obine:

= /

vt

x=

=

- Pentru cazul liniilor electrice fr pierderi longitudinale i transversale, adicr0 = 0, g0 =0, din expresia (9) a constantei de propagare rezult:

== jcljbxj 0000

00cl=de unde

Dac se nlocuiete n expresia (21) a vitezei de propagare a undelor se obine

cl==v 00

1

=

=

=

222

jT

jf

jj

Revenind la expresia (22) i innd sema de (23) se obine

(22)

adic Vi(x,t) se deplaseaz n sensul de cretere a luix, respectiv n sensul inversundei mobile directe cu aceeai vitez ; din acest motiv Vi(x,t) este o undinvers sau reflectat.

= /

(23)

(22)

(24)


16/42

n cazul liniilor aeriene fr pierderi, viteza de propagare a undelor este independentde frecveni egal cu viteza luminii n vid, 300.000 km/s.

n toate celelalte cazuri, viteza de propagare a undelor este mai mic dect viteza luminii.Ca o consecin a acestui fapt, lungimea de und a liniilor electrice alimentate

n CA (cu frecvena de 50 Hz) este egal cu

km6000Hz50

km/s000.300===

f

v

Deci, fenomenul de propagare este periodic n spaiu dup fiecare 6 000 km.n general intereseaz liniile de lungime l=/4 = 1500 km i l =/2 = 3000 km.

n cazul liniilor n cablu, fr pierderi, viteza de propagare este teoretic egal cu

unde este permitivitatea relativ a dielectricului.

Considernd cabluri cu izolaie din hrtie impregnat avnd

lungimea de und este de ordinul:

r

v

km/s000.300= r

4...6,3=r

kmff

v

r

3150...3000504...6,3

000.300km/s000.3000 =

=

==

2.3.3.Puterea aparent caracteristic. Puterea natural

Funcionarea unei linii electrice fr und reflectat de ntoarcere este mai favorabildin punct de vedere economic, deoarece scad pierderile de energie electrici n consecin se mbuntete randamentul transportului.

n aceste condiii termenul V'B din ecuaia (18 ) devine nul, adic:

( ) 02

1' == BCBB IZVV

sarcina

B

C

BB

Z

V

Z

VI ==

de unde:

Impedana caracteristic Zca liniei, este impedana pe care dac se nchideconsumatorul n B, atunci se va funciona fr unde reflectate, adic cu pierderiminime pe linie.

Puterea aparent cerut de consumator n regim fr unde reflectate este denumitputere aparent caracteristic (Sc).Expresia puterii aparente caracteristice pe o singur faz, la consumator, este:

*

2*

,0C

BBBCB

Z

VIVS ==


17/42

sau notnd cu argumentul impedanei caracteristice Zc:

( )[ ] ( )( )+=

=

+= sincos

sincossincos

22

*

2

,0 jZ

V

jZ

V

jZ

VS

C

B

C

B

C

BCB

n regimul fr und reflectat, cnd ecuaiile (13) i (14) devin:BCB IZV =

( ) ( ) esinhcoshsinhcosh xBBBCB Vx+xVxIZxV=xV ==+( ) ( ) ecoshsinh xBB I=x+xI=xI

Puterea aparent caracteristic pe fazntr-un punctxde pe linie:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

*** * *0,

20, 0,

e e e

e

x x xB BC B B

j j x xB C B C

S x V x I x V I I V

S e S

+

+ +

= = = =

= =

Deoarece la LEA este foarte mic , impedana caracteristic avnd o componentrezistiv mare, termenul dominant al puterii aparente caracteristice din va fi

puterea activ caracteristic, adic

= cos2

,0

C

BCB

Z

VP

CBS ,0

respectiv ( ) e2,0,0x

CBC PxP=

Deoarece constanta de atenuare este foarte mic, P0,c(x) variaz puin n lungulliniei fiind ( ) CBC PxP ,0,0 n cazul liniilor electrice fr pierderi longitudinale i transversale, cnd ,0=

ji , impedana caracteristic devine o rezisten;

n aceste condiii PB0,Cse conserv n tot lungul liniei, fiind o constantcaracteristic a liniei denumitputere natural:

C

BNCB

Z

VPP

2

,0,0 ==

La transferul puterii naturale, tensiunea este aceeai pe toat lungimea liniei i

dac

se admite c

ea este egal

cu tensiunea nominal, atunci

CnN

ZVP 2

,0

=

Puterea natural trifazat va fi:CnNN ZUPP

2,03 ==

unde: Un este tensiunea nominal a liniei (ntre faze);ZC impedana caracteristic a liniei fr pierderi.


18/42

Regimul de putere natural prezint urmtoarele caracteristici:

Apare un fenomen specific liniilor lungi, de autocompensare. Dei pe linie seproduc pierderi Qind, linia nu absoarbe de la sursQ. Explicaia: Qindproduse pereactanaXL sunt egale i de sens contrar cu puterea generat de linie !!!

- puterea transmis pe linie n acest regim are un pronunat caracter activ.

- tensiunea i curentul i modific puin valoarea n lungul liniei, iar dac liniaeste fr pierderi, atunci tensiunea i curentul nu-i schimb valoarea n lungulliniei ci numai se rotesc cu un unghi proporional cu lungimea liniei;

- defazajul ntre curent i tensiune n orice punct al liniei are aceeai valoare. Daclinia este considerat fr pierderi, atunci tensiunea i curentul sunt n faz att lasfritul liniei ct i n orice punct al liniei;

- impedana echivalent a liniei i a consumatorului, determinat n orice punct

al liniei, este aceeai i egal cu impedana caracteristic a liniei;

40005000200025001200140030010LEC

1800400500120301LEAPN

[MW]

75040022011020Un [kV]

Fenomenul specific de autocompensare de pe liniile lungi, n cazul liniilor fr

pierderi . Pierderile de putere inductivi capacitiv pe linie:( )0 00, 0r g= =

02 xIQind =

02

02 bVCVVIQ ccap ===

Fcnd raportul

11 2

2

2

0

0

2

02

02

==

=

=

c

ccap

ind ZZb

x

V

I

bV

xI

Q

Q

Valori orientative pentru puterea natural


19/42

2.3.4. Coeficienii ecuaiilor liniilor de transport

Determinarea numeric a constantei complexe de propagare

( )( ) jbjgxjryz +=++== 000000

Dac se noteaz: = 00 zz '00 = yy;

00tan rx= 00'tan gb=;unde:

=

+

=2

'

200yzrezult:

Modulul constantei de propagare se poate exprima sub forma:

( )( )

( )( )

=

++=

+

+=

+

+=+=++==

sinsin

1,

cot1cot111

00

4 22004

2

0

0

2

0

000

420

20

20

20

20

20

004 2

020

20

20

20

20

20

2000

bxDeci

bxb

g

x

rbx

=b

bg

x

xrbxb+gxrbgxryz

Lcosh Lsinh LsinhZc LsinhYc funcii hiperbolice de mrimi complexe; ; ;

Avnd n vedere c , expresia anterioar devine

0

2 1 2

sin sin '

= =

= sinsin0unde:

este lungimea de und echivalent a liniei electrice cu pierderi i estelungimea de und corespunztoare undelor electromagnetice de perioadT, carese propag pe o linie fr pierderi.

n vederea simplificrii calculelor se pot avea n vedere urmtoarele situaii:

(i) Dac se neglijeaz numai pierderile de putere transversale adic00 g 'tan

= 90' 1'sin = , expresia (24) devine:

'

2

sin

2

0

=

= sin' 0unde

i

(24)

,

00000

222

====

vTv

fclbx

(24)

00

0

2

bx

=

,


20/422

Valoarea lui poate fi exprimat sub forma:

4

0

02

0

4 2

0

42

22

0

42

0

0

1cot1

sincossin

sin1

sin'

+

==

+

=

==

x

r

+

Dac, n plus, se considerr0


21/422

Se poate scrie:

( )00atan2 xr= ( )00atan xr

Avnd n vedere cr0/x0


22/422

Determinarea numeric a impedanei caracteristice

Prin definiie "'

0

0CCCC ZjZZ

y

zZ +===

= 00 zz '00 = yy

00tan rx= 00'tan gb=

unde:

respectiv argumentul impedanei caracteristice ( ) 2'= Modulul Zc al impedanei caracteristice

2

02 2 2

00 0 0 0 0 4442 2 2 2

0 00 00 0

0

0 0

0 0 0

11 cot

1 cot '1

sin ' sin sin '

sin sin

C

r

xr x x xzZ

y b bg b

gb

x x

b x b

+

+ + = = = =+ +

+

= =

cos' cc zz = sin''

cc zz =

(26)

innd seama de relaiile:

=sin

00

xz

0

002

== bx

i c pentru LEA se poate considera ,00 g 1'sin =

din (26) rezult:

=

2

sinsin 000 zzZC

0 0 0

60001000

2 2CZ z z z

=

n cazul liniei fr pierderi (r0=0, g0=0) atunci i , adic

n funcie de valoarea impedanei specifice z0 = (0,28...0,4) /km, pentru liniileelectrice aeriene se obin valori Zc= (280...400).

Argumentul al impedanei caracteristiceFie ipoteza , adic

( ) ( ) 2902' =

( )== 90902sau

,

=0

0'tang

b 90'=, ,

sin 1 =

(26)

(26)

00 g ' 90 =


23/422

( ) 00cot90tan2tan xr=== respectiv

( )00atan21 xr=

Avnd n vedere c r0/x0


24/422

Calculul numeric al coeficienilor (A, B, C, D).

Coeficienii liniilor electrice de transport sunt:

LDA == cosh LZB C = sinh LYC C = sinhPentru calculul numeric al coeficienilor se va utiliza dezvoltarea n serie a

funciilor hiperbolice:

( ) ( ) ( )

!6!4!21coshcoshcosh

642

00

yzyzyzyzLyzL +++===

++++===720242

1cosh4422

yzyzyzyzDA

( ) ( )

( ) ( )

+++=

+++=

=

+++===

12061

1206

!5!3!1

sinhsinh

2253

53

yzyzz

yzyzyz

y

z

yzyzyzZyzZLZB CCC

(28)

(28)

Pentru o linie electric presupus fr pierderi (r0=0, g0=0), constanta depropagare este:

0 0 000

2z y j l c j

= =

3

0

21.05 10L j L j L

=

respectiv pentru 0 6000 km =

Reinnd numai primii doi termeni din dezvoltarea n serie (28,,28) i observndc este un numr negativ, se obine2

2 2 6 21.1 10L z y L = [rad2]

Introducnd aceast valoare n expresia coeficienilor A,B i C rezult valorile

acestora n funcie de lungimea liniei, prezentate n tabel.

Lungime[km]

100 200 300 600 800 1000

A 0.995 0.976 0.950 0.808 0.668 0.500

0.998 0.993 0.983 0.935 0.887 0.827y

C

z

B=

+++==

1206

1sinh22

yzyzyLYC C (28)

[rad]


25/422

Termenii A , se micoreaz odat cu lungimea liniei.

Impunnd o eroare de 0,01 se pot alege:

y

Csi

z

B

+

21

1

yzA

A pentru

pentru

100 kmL

650 kmL

+=

=

61

1

yz

y

C

z

B

y

C

z

B pentru

pentru

230 kmL

1000 kmL

Deci, pentru linii de transport cu:

L = 300500 km se pot folosi cu o bun aproximare primii doi termenidin dezvoltare;

L>1000 km este corect a se folosi pentru determinarea coeficienilor A,B i Crelaiile (28)(28).

Comentarii:

Coeficienii de corecie ai lui Kennely

Liniile electrice de transport sunt considerate cu parametrii uniform distribuii

I1 I2

V1 V2

Z

Y Y2 2

Fig.4. Scheme echivalente: a - cu parametri uniform distribuii;b - cu parametri concentrai.

a b

Fie schema n cu parametri concentrai (fig. 4,b) pentru care se poate scrieecuaia matriceal:

=

=

2

2

2

2

1

1

12

01

10

11

2

01

I

V

DC

BA

I

VY

ZY

I

V


26/422

n care coeficienii cuadripolului echivalent se determin cu relaiile:

21;

41

;2

1

YZD

YZYC

ZBYZ

A

+=

+=

=+=

Relaiile (29) sunt aproximative dac i ,sunt impedana i admitana nominal total a liniei de transport.

Pentru a deveni riguroase se determin coeficienii de corecie ai lui Kennely.n acest sens se identific coeficienii liniilor lungiA, B, C, D cu cei ai cuadripolului n

zLzZ == 0 yLyY == 0

A=A L=YZ

+ cosh2

1

B=B

2 2

sinh 1 ...6 120Cz y z y

L zZ Z

= + + +

sau

sau

(30)

(29)

(28)

Deci: zKZ 1= unde primul coeficient de corecie Kennely este:

2 2

1 1 ...6 120

z y z yK = + + +

nlocuind pe n prima relaie (30) rezult:LZZ C = sinh

LY

LZ+ C = cosh

2sinh1

2tanh

1

2

cosh

2

sinh2

2sinh2

sin

1cosh1

2

2L

Z

LLZ

L

LhZ

L

B

A

Y

CC

C

=

=

=

=

de unde:

Dac se introduce relaia rezult:yz

y

yz

y

y

z

ZC===

00

0

0

0

11

(31)

cosh 1sinh

2 2

x x =


27/422

Ky

yz

yz

y

yz

yz

y

Y22

2

2tanh

22tanh

2=

=

=

Al doilea factor de corecie Kennely este dat de expresia:

...

yz

yz

yz

yz

yz

yz

K

+

==15

22

3

2

2

2

1

2

2tanh

52

2

...yz

yz

K +=12012

122

2 Pentru LEA cu lungimi mai maride 300km

(31)

respectiv

Lungime[km]

100 200 400 600 800 1000

0.998 0.993 0.970 0.925 0.883 0.816

1.001 1.004 1.015 1.033 1.059 1.090

611

yzK +=

612

yzK =

3 52tanh( ) ...

3 15

x xx x= +

Valorile coeficienilorK1 i K2 pentru liniile electrice fr pierderi

Rezult c folosirea schemei echivalente a cuadripolului n conduce la aceleairezultate pentru tensiune i curent la bornele extreme, ca i n cazul folosirii ecuaiilor liniilorlungi, numai dacparametriiziy sunt corectai cu coeficieniiK1 iK2 ai lui Kennely.

Pentru a se calcula mai repede coeficienii lui Kennely, se pot folosi expresiilecoeficienilorA iB rezultate din dezvoltarea n serie a funciilor trigonometrice. Se obine:

=+

+

=

=12

1

61

72121

61

121

sinh

1cosh1

2 2

22

yzy

yz

yzyzy

yz

yzy

yzZ

yz

B

AY

C

n cazul liniei frpierderi longitudinale i transversale, adic r0 = 0, g0 = 0, rezult:

xjzbjy Dac se nlocuiesc zi yn expresiile coeficienilor lui Kennely se obine:

61

61

611

xbjbjxyzK =

++=

121

121

1212

xbjbjxyzK +=

=


28/422

2.4. Regimurile de funcionare ale liniilor de transport

n general prin calculul regimurilor de funcionare se urmresc:

stabilirea variaiei tensiunii i curentului pe linie, pentru a nu se depi valorile admisibile;

determinarea randamentului de transport a energiei electrice i msurile de cretere aacestuia.

Apar dou cazuri generale de transfer:

a) Transfer numai de putere activ: P< Pnat , P=Pnat , P> Pnat i Q = 0 care cuprinde icazul particular al liniei funcionnd n gol.

b) Transfer de putere activ i reactiv: P 0 i Q 0, care cuprinde i cazul particular alliniei cu tensiuni egale la capete.

Se consider ecuaiile de funcionare ale unei linii de transport "lungi":( ) BCB IxZVxxV += sinhcosh

n cazul "ideal", adic al liniei frpierderi longitudinale ( r0=0) i transversale (g0=0). n aceastsituaie constanta complex de propagare capt forma simplificat:

=

=== jjcljbxjyz0

000000

2

Avnd n vedere expresia simplificat a lui rezult celelalte mrimi:

=

=

= cos

2cos

2coshcosh

00

xxjx

unde cu s-a notat unghiul n grade al liniei electrice, corespunztor lungimiix msuratde la nodul consumator.

02 = x

2.4.1 Exprimarea n mrimi relative a ecuaiilor liniilor de transport

( ) ) ) BBc IxVxYxI coshsinh +=

sin

2sin

2sinhsinh

00

jxjxjx ==

=

cc Zc

l

b

x

y

zZ ===

0

0

0

0

0

0

(13)

(14)


29/422

Pentru raportare s-au ales ca mrimi de baz tensiunea (VB) i curentul (YcVB), la bornele

consumatorului.Exprimnd sub form matriceal:

( )( )

=

=

i

v

j

j

xi

xv

B

B1

cossin

sincos

n aceste condiii ecuaiile liniilor fr pierderi longitudinale i transversale sunt:

( )( )

=

B

B

C

C

I

V

jY

jZ

xI

xV

cossinsincos

Dac se introduc mrimile relative:

( )( )

+== sincos BB

ijV

xVxv

( )( )

+== cossin BBC

ijVY

xIxi

(32)

Exprimnd iBn funcie de puterile pe faz, i , puterea

aparent complex pe faz este:

30 BB PP = 30 BB QQ =

*000 BBBBB IVjQPS =+=

*000

B

BB

B

B

*

BV

QjP

V

SI

=

=

00 0 02

0

BB B BBBB B

C NB C B

P jQP jQI= = = = p ji q

Y V PY V

de unde

sau n mrimi relative:

n ultima expresie numitorul reprezintputerea natural monofazat:

02

222

331

3N

N

C

B

C

B

C

BBC P=

P=ZU=

ZU=

ZV=VY

( )

( )

=

=

BB

B

jqp

v

j

j

xi

xv 1

cossin

sincos

n final, se obin ecuaiile liniilor de transport fr pierderi exprimate n uniti relative:

(32)


30/423

2.4.2 Regimurile de funcionare numai cu putere activ (pB 0, qB = 0)n acest caz ecuaiile de baz (32) capt forma:

( )( )

=

=

B

B

p

v

j

j

xi

xv 1

cossin

sincos

ntr-o prim etap se vor reprezenta grafic fazorii de tensiune v(x) i de curent i(x), n funciede unghiul al liniei.

a. Cazul special cnd pe linie se transport puterea natural:pB =PB/PN=1 ; qB = 0, adicconsumatorul este nchis pe impedana caracteristic,ZB =Zc.

Se obine:( ) =+= jjxv esincos

( )

=+=

j

jxi esincos

Rezult c locurile geometrice descrise de vrfurile fazorilorv(x) i i(x) sunt cercuri cu razaegal cu unitatea (fig.5), tensiunea i curentul rmnnd constante n tot lungul liniei.

(33)

Fig.5 Locul geometric al fazorilor de tensiune i curent, n ipotezapB = 1 i qB = 0.

Se constat c U= I = ; deci curentul i tensiunea care sunt n faz la consumator,ntruct impedana consumatorului este o rezistenZB =Zc (fiind un regim de putere natural) irmn n faz n tot lungul liniei, fiind defazate cu unghiul fa de mrimile de la consumator.

Faptul c nu apare nici o cdere de tensiune pe linie i nici o variaie a curentului sedatoreaz pe de o parte ipotezei c rezistena liniei este nul (r0 = 0) i pe de alt partefenomenului de autocompensare a liniei; energia capacitiv transversal compenseaz localenergia inductiv nmagazinat n elementele longitudinale ale liniei:

j

M

vB

v()x

=

=1

v B

v=0

v x v( )= B

= x0

2

surs

receptor

j

M

iB

i()

x

=

=1

i B

i=0

i x i( )= B

= x0

2


31/423

202

1VCWc =

202

1ILWp =

2

0

2

0 ILVC =

CZC

L

I

V==

0

0

Considernd , se obine:

b. Cazul tranzitrii unei puteri active (PB) mai mic dect puterea natural:pB< 1, qB = 0.

( )

( ) +=

+=

sincos

sincos

jpxi

jpxv

B

B

Pentru a trasa locul geometric descris de vrful fazorului v(x) n cazul pB < 1, se traseaz doucercuri concentrice, unul de raz 1 = vB = 1 i altul de raz 2 =pB < 1 (fig. 6).

Se reiau ecuaiile (33):

Fig.6 Locul geometric al fazorilor de tensiune i curent, n cazulpB < 1 i qB = 0

Din centrul cercurilor se duce o dreapt de coeficient unghiular, careintersecteaz cercurile n m1 i m2. Proiectnd pe m1 pe abcis i pe m2 pe ordonat se

obin coordonatele parametrice ale fazorului v(x):

x 1 cos= y sinBp=

x 1 cos= y sinBp = sau

;

;

1=

=1

v B

j

M

2= Bv x v( )< B

m2

m1

= x0

2 = x

0

2

x

y


32/423

Pentru eliminarea variabilei se fac nlocuiri n expresia

1cossin 22 =+obinnduse

22x y

11 B+ =p

Deci, locul geometric descris de vrful fazorului de tensiune v(x) este o elips cusemiaxa mare egal cu 1 i semiaxa mic egal cupB < 1.

Revenind( ) cos sin x yBv x jp j= + = +

prin adunarea fazorilorx ijy, se poate determina punctul Mal elipsei descris de vrful fazoruluiv(x) n cadranul I. n cadranul II, de la surs (=900) spre consumator (=1800) se obine ovariaie asemntoare.

n mod analog se poate construi i graficul de variaie al intensitii curentului i(x):

( ) cos sin x' y'Bi x p j j= + = +

x' cosBp= y' sin= unde i

n acest caz vrful fazorului i(x) descrie tot o elips, dar rotit cu 90; diametrele acestei elipsesunt conjugate cu diametrele elipsei descris de fazorul v(x).

Observaii: Pentru un unghi cuprins ntre 0 i /2 (adicx 0 ... 1500 km) tensiunea scade dela consumator (M( = 0)) spre surs (M( = 90)).

Explicaii: Linia fiind strbtut de un curent capacitiv, n fiecare seciune a liniei (cu excepiadin nodul consumator) curentul de conducie longitudinal este decalat naintea tensiunii dinseciunea respectiv. Avnd n vedere c v < i I > , rezult c I > v, ceea ce explicridicarea tensiunii pe linie dinspre surs spre consumator.

c. Cazul tranzitrii unei puteri active (PB) mai mare dect puterea natural : pB > 1 iqB = 0 (fig.7). n acest caz fenomenele se desfoar invers fa de cazul precedent(pB < 1, qB = 0). Locurile geometrice descrise de vrfurile fazorilorv(x) i i(x) sunt elipse cusemiaxa mare egal cu pB > 1 i semiaxa mic egal cu 1. Analiznd locurile geometrice seobserv c, n acest caz, v > i I< , adic I< v .

v( )xj

M

v x v( )> B

1=1

2=pB

0v

vB

= x

0

2

j

M

i x i( )> B

1=1

2=pB

iB

i( )x

0i

= x

0

2

Fig.7 Locul geometric al fazorilor de tensiune i curent, n cazulpB

> 1 i qB

= 0.


33/423

Deci, curentul din linie are un caracter inductiv, n sensul c n orice seciune - a uneilinii electrice cu lungimea sub 1500 km - curentul i(x) este defazat n urma tensiunii v(x). Acestfapt explic cderea de tensiune care se produce pe linie dinspre surs spre consumator, respectivo ridicare de tensiune dinspre consumator spre surs.

Revenind la ecuaiile de funcionare (33) n cazulpB 0 i qB = 0,

( )

( ) +=

+=

sincos

sincos

jpxi

jpxv

B

B

la limit se poate obine cazul liniei n gol, cndpB = 0, qB = 0. Rezult:

( ) = cosxv

adic variaia fazorului de tensiune va fi funcie de o cosinusoid.Modulele fazorilor de tensiune i curent se pot obine din relaiile

( ) ( ) ++= sin11sincos 22222 BB p=pxv

( ) ( ) +=+= cos11sincos 22222 BB ppxi(34)

n figura 8 se d reprezentarea grafic a modulelorv(x) i i(x) pentru cazulpB


34/423

Din expresia:

rezult:

( ) ( )B

VxVxv =

( ) ( ) +

+

== LBL

B

AB jp

jp

VVxvxV sincos

sincos

respectiv modulul

( )+

+=

LBL

BA

p

pVxV

sincos

sincos222

222

n ceea ce privete fazorul de curent:

( ) ( ) BCVYxIxi =

( )2 2 2

22 2

cos sin

cos sinA B

C BL L

V pI x

Z p

+ =

+

rezult:

respectiv modulul

(35)

( ) ( )+

+==

LBL

B

C

ABC

jp

jp

Z

VVYxixI

sincos

sincos

(35)

(36)

(36)

Pentru L = /2 (linia sfert de und, adic avndL = 1500 km) tensiunea la captul consumatortinde teoretic ctre infinit:

=

0

AB

VV

Adicpentru liniile electrice "lungi", apropiate de 1500 km, lsate n gol, pot apreasupratensiuni foarte periculoase !!!!

n cazul particular al regimului de mers n gol (pB = 0 i qB = 0), pentru o tensiune dat VA lasurs, rezult c tensiunea la captul consumator (x = 0) este

( )

===

L

ABx

VVxV

cos0


35/423

n figura 9 se red variaia raportului V(x)/VA n funcie de raportulx'/Lpentru linii de 200,800, 1100 i 1400 km, ntr-un caz ideal, n care parametrii liniei s-au considerat constani. nrealitate, la apariia unor supratensiuni importante, pe linie apare descrcarea corona. Aceastaconduce la o micorare a nivelului de tensiune fa de cazul ideal, ntruct la apariia descrcrii

corona se modificparametrii liniei n special conductana i capacitatea acesteia.

Astfel, pentru o linie de 1400 km funcionnd n gol, la apariia descrcrii corona, are locmodificarea supratensiunii (curba cu linie ntrerupt): iniial, au loc pierderi prin descrcarecorona indiferent de lungimea liniei; pe msur ce lungimea liniei crete, efectul capacitiv alliniei crete mai repede dect pierderile prin descrcare corona. Pentru o linie de 1000 km, n careL = 60, rezult c raportul VB /VA este practic egal cu 2.

0.15 0.5

1

x' L/

1400 kmwith corona

V x( )

VA

2

3

1

800 km

400 km

1100 km

1400 km

Fig. 9 Modificarea supratensiunii n funcie de descrcarea corona.

Trebuie menionat c, pentru linii cu lungimi sub 1500 km, apariia fenomenului corona poate produce - din cauza creterii capacitii conductorului "coronat" - i o supratensionare

suplimentar a liniei, fa de cazul cnd acest fenomen nu ar aprea.Din aceast cauz, n exploatare trebuie studiat cu mult atenie funcionarea liniilor detransport "lungi" n gol.

Fig. 10. Tensiunea la capetele unor linii cu lungimi diferite n funcie de puterea tranzitat.

x'=L-x

1

L3

L2

L1

p =B 1

pB1


36/423

2.4.3 Regimul de funcionare cu transfer de putere activ i reactiv (pB 0, qB 0)

Se consider ecuaiile de baz

( ) cos sin sin x yB Bv x q jp j= + + = +

( ) ( )cos sin cos x ' y 'B Bi x p j q j= + = +

din care coordonatele parametrice pentru fazorul v(x) sunt:

x cos sinBq= + y sinBp= ;

Pentru a elimina parametrul din ultimele dou expresii se exprim:

cos x sinBq = sin y Bp =;

i se nlocuiesc n2 2

2 2 y ysin cos x 1B

B B

q

p p

+ = + =

(37)

(37)

22 2

2

1x 2xy y 1B B

B B

q q

p p

+ + =

rezult:

Deci, locul geometric al vrfului fazorului de tensiune v(x) este o elips rotit n raport cu axelede coordonate principalex iy.

Procednd n mod asemntor se obine o elips i pentru fazorul curentului i(x):

22 2

2

1x' 2x'y' y' 1B B

B B

qq

pp

++ + =

Din analiza ecuaiilor celor dou elipse, rezult cpentru tranzite de puteri PB 0 conduce la apariiaunui maxim de tensiune ntr-o seciune a liniei, n timp ce transferul de putere reactiv capacitivqB < 0 conduce la un maxim al curentului ntr-o seciune a liniei

Fig. 11. Stabilirea poziiei i valorii maxime atensiunii pe o linie de transport.

v x( )

x'=L-x

1

M(0)

max

poziie

valoare

L


37/42


38/423

Procednd analog pentru i2(x) se obine:

( ) ( )

= maxmax

2 2cos2sin

cos21 qxi B

Analiznd relaiile (40) i (40) se observ c: dac qB este pozitiv, respectiv pe linie se tranziteaz o putere inductiv, pentru

= max tensiunea pe linie prezint un maxim:

( ) ( ) maxmaxmaxmaxmax

maxmax

2 tan12sincossin2

sin21 +=

+= BB qqv

iar curentul prezint un minim, dat de expresia:

( ) maxmax2 cot1 = Bqi

dac qB este negativ, respectiv pe linie se tranziteaz o putere capacitiv, curentulprezint un maxim, iar tensiunea un minim.

Aceste observaii rezult i din studiul derivatelor funciiloru(x) i i(x) n punctul n care = 0, adic la consumator:

( )[ ] qqqpw BBBB 22cos212sin 220

2

=++=

=

(41)

(41)

(40)

respectivq

iB

2

0

2

=

=

Alura curbelor v(x) i i(x) este redat n figura 12: valoarea maxim a tensiunii pe liniecorespunde valorii minime a curentului i invers.

V( )x

500 1000 150000.7

1.0

1.3

pB= 0.75

pB= 1

pB= 1.25

x =L-x [km]

VAv x( )=

i x( )=

5001000 00.7

1.0

1.3pB= 1.25

pB= 1

pB= 0.75

x[km] 1500

I( )xIB

500 1000 150000.7

1.0

1.3pB= 0.75

pB= 1

pB= 1.25

V( )x

VAv x( )=

x =L-x [km] 50010001500 00.7

1.0

1.3pB= 1.25

pB= 1

pB= 0.75

x [km]

i x( )=I( )xIB

Fig.12. Variaia mrimiloru(x) i i(x) pe liniile lungi (1200 km) pentrup

B< 1,p

B= 1,p

B> 1 i q

B= 0,2 respectiv q

B= 0,2.

2.0=Bq

2.0=Bq


39/423

Deci, la nodul consumator derivata are semnul lui qB : pentru qB pozitiv, curbele detensiune prezint o derivat pozitiv n origine; ele cresc pn la un maxim i apoi descresc.Curbele de curent, pentru qBpozitiv, au n origine o derivat negativ, descresc pn la un minimi apoi cresc.

Pentru qB pozitiv, n poriunea de linie cuprins ntre = 0 (nodul consumator) i = max, tensiunea v(x) este defazat naintea curentului i(x), iar n poriunea cuprins ntre =maxi = L (la surs), curentul i(x) este defazat naintea tensiunii v(x).

2.4.4 Regimul de funcionare cu tensiuni egale la capete

Deziderat: n exploatare, la punerea n paralel a dou sisteme electrice printr-o linie detransport lung, trebuie ca tensiunile la cele dou capete ale acesteia s fie practic egale iapropiate de tensiunea nominal.

Se pune problema ca, pentru o putere activpB dat, s se determine puterea reactiv qB crastfel nct VA = VB.

qB

VA VB

Fig. 13

=+ LBLcrBL pq sin1sincos22

sau

pentrux =L, = L, condiia VA = VB conduce la vA2 = v2(L) = 1, adic modulul tensiunii devine:

Din ecuaia (37)

Pentru linii electrice cuL < 1500 km, adic < 900, rezult expresia:

+=

L

LBLcrB

pq

sin

sin1cos 22

( ) ( ) LBLcrBL p+qLv +== 2222 sinsincos1

(42)

( ) cos sin sinB Bv x q jp= + +


40/424

Analiznd relaia (42), n funcie de puterea activ tranzitatpB, se poate determinacaracterul puterii reactive qB crde la consumator:

1. pentrupB = 1, rezult c qB cr= 0, fapt ce era de ateptat ntruct pe linie se transportputereanatural;

2. pentrupB < 1, rezult i deci qB creste pozitiv; deci, pentru a obine lacaptul liniei VA = VB, se va monta o bobin de compensare;

3. pentrupB > 1, rezult c qB creste un numr real negativ sau un numr complex:

dac 1 -pB2 sin2L > 0, atunci qB cr rezult ca un numr real negativ i deci la bornele

consumatorului se va monta o baterie cu condensatoare;

dac 1 -pB2 sin2L < 0, atunci din (42) rezult:

2 2sin 1tan ' ''sin

B LBcr L Bcr Bcr

L

p

q j q jq

= + = +

2 21 cossinB L Lp >

ceea ce contrazice ipoteza cqB este numr real.

Pentru cazul cnd 1 pB2 sin2L = 0, rezult c

max 1 sin LBp = adicputerea maxim ce poate fi transmis pe linie pentru a obine o compensare capacitiv ncondiiile VA = VB. n acest caz, puterea de compensat devine:

=

+=

L

L

LcrBq cotsin

0cos

Variaia curbelor de tensiune n ipoteza VA = VB este redat n figura 14. Valorile maxime iminime de tensiune apar - din cauza simetriei liniei - pentru max = L/2.

V x( )

1

L

pB=1

pB>1

pB


41/424

Pentru calculul valorii maxime se revine la relaia (40)n care se nlocuiete =L/2:

( ) ( )

+= maxmax

2 2sin2sin

sin21 qxv B

( )2 max max2 max

sin

21 2 sin 2sin 2 2

sin sin2 21 2 1 tan

22sin cos2 2

L

L

LB

L L

LB B

L L

v q

q q

=

= +

= + = +

v x( )

L

1

1

v x2( )

qBtan 2L

v x( )

L/2

Lx'

qBtan 2L

v x2( )

1

1

Fig. 15. Supratensiuni pe linii electrice de transport:a - curba de tensiune pentru o linie compensat la capt, funcionnd cupB=0;

b - curbele de tensiune n cazul unor linii cu lungimile L i L/2 funcionnd n gol (pB = 0, qB = 0).

a. b.

(44)

Cea mai defavorabil situaie apare la funcionarea cupB

= 0, caz n care supratensiuneape linie va fi maxim. Rezult valoarea lui qB cr:

2tan

2cos

2sin2

2sin2

sin

cos12

=

=

= L

LL

L

L

crBq

Introducnd (45) n relaia (44) se obine:

( )

2cos

1

2tan1

2

2max

2

=

+=

L

Lv

( )

2cos

1max

L

v

=

respectiv

(45)

(46)


42/42

Deci, la funcionarea cu pB = 0, supratensiunea care apare pe o linie de lungime L,compensat astfel nct VA = VB, este egal cu supratensiunea care ar aprea pe o linie de

lungime L/2 n cazul funcionrii n gol (pB = 0, qB = 0). S-a ajuns deci la aceeai relaie,dar demonstratpentru L/2.

Obinerea egalitii la cele dou capete, pentru pB = 0, se realizeaz prin folosirea de bobine de compensare transversale. Dac supratensiunea depete o anumit valoareadmisibil se monteaz o bobin i la mijlocul liniei.

Pentru micorarea puterii bobinelor de compensare transversal, se poate admite c, lafuncionarea n gol a unei linii,pB = 0, raportul VA/VB s fie subunitar (0,9...0,85), adic

1

cap 2 . ecuatiile_liniilor nou_20[1].03

Documents