01. teoria sirurilor si seriilor numerice

CAPITOLUL 1

COMPLEMENTE DE TEORIA IRURILOR I SERIILOR NUMERICE

1.1. Noiuni introductive

DEFINIIA 1.1.1. : Se numete ir de numere reale o funcie .

Notm .

DEFINIIA 1.1.2. : Fie n1

, exist un numr natural ( un rang ) N( ) , astfel nct oricare ar fi .

OBSERVAIA 2 : Definiiile 1.1.6. i 1.1.7. sunt echivalente. DEFINIIA 1.1.8. : irul are limita dac oricare ar fi o vecintate ,

aceasta las n afara ei cel mult un numr finit de termeni ai irului. DEFINIIA 1.1.9. : irul are limita dac oricare ar fi , exist un prag

N(a), astfel nct oricare ar fi rezult c .

OBSERVAIA 3 : Definiiile 1.1.8. i 1.1.9. sunt echivalente.

DEFINIIA 1.1.10. : irul are limita dac oricare ar fi o vecintate ,

aceasta las n afara ei cel mult un numr finit de termeni ai irului. DEFINIIA 1.1.11. : irul are limita dac oricare ar fi , exist un prag

N(a), astfel nct oricare ar fi rezult c .

OBSERVAIA 4 : Definiiile 1.1.10. i 1.1.11. sunt echivalente. Un ir este convergent dac are limita finit i este divergent dac are limita sau

sau nu are limit. EXEMPLE :

1. irul constant . Se demonstreaz c , adic .

2. irul . Se demonstreaz c .

ntr-adevr, oricare ar fi , exist un prag astfel nct oricare ar fi

rezult c .

.

OBSERVAIA 5 : n definiiile anterioare ( de convergen a unui ir ctre un numr ) , limita irului , a , este aprioric cunoscut. 1.2. ir fundamental Cauchy introduce noiunea de ir fundamental ( ir Cauchy ).

( )

( ) *Nnna )(V

( ) *Nnna Ra)(aNn aan )(N)(Nn

DEFINIIA 1.2.1. : irul este ir fundamental ( Cauchy ) dac oricare ar fi , exist un prag astfel nct oricare ar fi i oricare ar fi vom avea

.

DEFINIIA 1.2.2. : irul este un ir fundamental ( Cauchy ) dac oricare ar fi

, exist un prag astfel nct oricare ar fi i oricare ar fi , avem

.

OBSERVAIA 1 : Definiiile 1.2.1. i 1.2.2. sunt echivalente.

DEMONSTRAIE : (a) Presupunem c este fundamental conform definiiei 1.2.1. Putem presupune fr

ngrdirea generalitii c m>n . Vom nota p=m-n . De aici rezult c m=n+p. nlocuind pe m=n+p n definiia 1.2.1. vom obine definiia 1.2.2.

(b) Presupunem c este fundamental conform definiiei 1.2.2. Vom nota m=n+p , . Rezult astfel c este verificat definiia 1.2.1.

OBSERVAIA 2 : irul este fundamental dac i numai dac oricare ar fi ,

exist un rang astfel nct oricare ar fi rezult c .

DEMONSTRAIE :

(i) Presupunem c este un ir fundamental. Conform definiiei1.2.1.

rezult c oricare ar fi , exist un rang astfel nct pentru

. Dac N=m, atunci .

(ii) Presupunem c oricare ar fi , exist un rang astfel nct

oricare ar fi rezult c .

Fie .

Observaia anterioar poate fi considerat ca a treia definiie a unui ir fundamental. PROPOZIIA 1.2.1. : Orice ir fundamental este mrginit. DEMONSTRAIE :

( ) *Nnna 0>)(N )(Nm )(Nn

)(N )(Nn *Np

( ) *Nnna 0>)(NN = )(Nn )(NN =

Din ipotez tim c irul este fundamental. Conform observaiei 2 , oricare ar fi

, exist un rang astfel nct oricare ar fi rezult c .

.

| | | | | | a1 a2 aN-1 aN- aN aN+ Notm

Rezult c .

PROPOZIIA 1.2.2. : Dac irul fundamental conine un subir

convergent ctre a , atunci irul este convergent ctre a.

DEMONSTRAIE : Subirul converge ctre a.

astfel nct (1)

irul este fundamental.

astfel nct i (2)

Fie . Alegem astfel nct .

Din (1) rezult : dac , atunci sau .

Din (2) rezult : dac , atunci .

Oricare ar fi i , obinem :

.

( ) *Nnna 0> )(NN = )(Nn

CRITERIU DE CONVERGEN :

Fie , , . Fie . Dac exist un prag N astfel nct oricare ar

fi .

LEMA LUI CESARO Din orice ir mrginit se poate extrage un subir convergent. DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c este mrginit, deci exist astfel nct , oricare ar fi .

a1 a2 b2=b1 | | | |

a=a0 c1 b=b0

Lungimea intervalului [ a , b ] este b-a.

Calculm i obinem dou intervale [ a0 , c0 ] i [c0 , b0 ].

Notm cu [ a1 , b1 ] un interval ce conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale obinute mai sus conin o infinitate de termeni, vom considera drept [ a1 , b1 ] intervalul din stnga.

Lungimea intervalului [ a1 , b1 ] este .

Alegem . Notm cu . Notm cu [ a2 , b2 ] intervalul care conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale conin o infinitate de termeni , aleg drept [ a2 , b2 ] pe cel din stnga.

Lungimea intervalului [ a2 , b2 ] este .

Alegem , n2 > n1 .

Repetnd procedeul de mai sus, dup k pai vom avea intervalul [ ak , bk ] cu lungimea

i care conine o infinitate de termeni ai irului.

Alegem , nk > nk-1 .

( ) *Nnnb 0>nb 0lim = nn b ( ) Nnna lablaNn

nnnn

mprim intervalul [ ak , bk ] n dou intervale egale i alegem drept interval [ ak+1 , bk+1 ] intervalul care conine o infinitate de termeni ai irului. Dac ambele intervale conin o infinitate de termeni, alegem drept [ ak+1 , bk+1 ] pe cel din stnga.

Alegem , nk+1 > nk .

Am demonstrat astfel prin inducie dup k , faptul c putem alege un subir.

astfel nct interval de lungime .

pentru oricare .

Rezult c exist i este unic numrul real .

Dar pentru oricare , i deci . Notnd avem

i .

Conform criteriului de convergen enunat anterior rezult c .

TEOREMA DE CONVERGEN A LUI CAUCHY

Un ir de numere reale este convergent dac i numai dac este ir fundamental.

DEMONSTRAIE : (i) Presupunem c este convergent . Aceasta nseamn c oricare ar fi

, exist astfel nct oricare ar fi .

.

Deci irul este ir fundamental.

(ii) Presupunem c este ir fundamental.

Dac an este ir fundamental, atunci, conform propoziiei 1.2.1. irul an este mrginit. Din

lema lui Cesaro rezult c irul mrginit an conine un subir convergent. Conform propoziiei 1.2.2. orice ir fundamental care conine un subir convergent este convergent. Teorema este astfel demonstrat.

[ ]11,1 +++ kkn baa k

( ) *Nknka [ ]kkn baa k , k ab2bbbbaaaaa kk == 01210 KKKK *Nk

[ ] *)(,, Nkba kk

[ ]kkn baa k , *Nk knaba

k 2= kk abb 2

=

0>kb 0lim = kk b

knka

( ) *Nnna

( ) *Nnna 0> )(N 2)(

1.3. Puncte limit ale unui ir

Fie un ir de numere reale.

DEFINIIA 1.3.1. : Numrul real a este punct limit al irului , dac orice

vecintate a lui a ( V(a) ) conine o infinitate de termeni ai irului.

EXEMPLU : Fie irul

a1 = 0 , a3 = 0 , , a2k-1 = 0 , a2 = 1 , a4 = 1 , , a2k = 1 , Putem spune c 0 i 1 sunt puncte limit ale lui an pentru c oricare ar fi vecintile V

(0) i V(1), n ele exist o infinitate de termeni ai irului. OBSERVAIE : 1) Dac irul este convergent ctre a , atunci a este singurul punct

limit. 2) Un punct limit al unui ir poate fi un numr finit sau .

EXEMPLU : fie irul 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, puncte limit sunt : 1, 2, 3, Deci exist iruri cu o infinitate de puncte limit. PROPOZIIA 1.3.1. : Fie irul . Punctul a este punct limit pentru acest ir dac

i numai dac exist un subir .

DEMONSTRAIE :

(i) Presupunem c conine un subir astfel nct , deci a este punct limit al irului an . Oricare ar fi vecintatea V(a) , n afara ei exist cel mult un numr finit de termeni ai

subirului . Deci oricare ar fi vecintatea V(a) , n interiorul ei exist o infinitate de termeni ai irului an . Rezult astfel c a este punct limit al irului an .

(ii) Fie a un punct limit al irului an . Trebuie s artm c exist un subir astfel

( ) *Nnna ( ) *Nnna

2)1(1 n

na+=

( ) *Nnna

( ) *Nnna aa

knk

( ) *Nnna ( )kna aa knk

kna

kna

Page 7 of 48Capitolul 1

19.04.2008http://cristiann.ase.ro/AnalizaRaduSerban/capitolul1.html

nct .

Vom studia trei situaii : 1) a este finit , 2) a este , 3) a este .

1) Fie V1(a) = (a-1 , a+1) . Deoarece a este punct limit al irului an , n aceast vecintate exist o infinitate de termeni ai irului an . Alegem un termen al irului anastfel nct .

Fie . i n aceast vecintate exist o infinitate de termeni ai

irului an . Alegem .

.

Fie . Alegem . Demonstrm prin inducie c aceast relaie este adevrat.

Oricare ar fi , oricare ar fi , alegem

. Deci

. Din criteriul de convergen enunat mai sus,

rezult c .

2) a =

Fie V1( ) = ( 1, ) . Alegem .

Fie V2( ) = ( 2, ) . Alegem .

. Fie Vk( ) = ( k, ). Alegem , etc.

.

3) a =

Fie V1( ) = ( , 1 ) . Fie V2( ) = ( , 2 ) . Fie Vk( ) = ( , k ) , etc. n continuare se procedeaz la fel ca la punctul 2) .

aaknk

+

)(11 aVan

+=21,

21)(2 aaaV

122 ),(2 nnaVan >

+=k

ak

aaVk1,1)(

1),( > kkkn nnaVa k

+=k

ak

aaVk1,1)(

*Nk 1),( > kkkn nnaVa k+ kkkk nkknknn akakaka limlimlim),(



DEFINIIA 1.3.2. : Fie un ir de numere reale. Se numete limit inferioar a

irului an , cel mai mic punct limit al lui an . Se noteaz : .

DEFINITIA 1.3.3. : Fie un ir de numere reale. Se numete limit superioar a

irului an , cel mai mare punct limit al lui an . Se noteaz :

EXEMPLU : Fie irul ,

1.4. Serii de numere reale

Fie irul de numere reale , a1 , a2 , , an , an+1 ,

Notm : S1 = a1 S2 = a1 + a2 . Sn = a1 + a2 + + an .

se numete irul sumelor pariale. Dac este convergent ctre limita

S ( deci S este finit! ) , atunci , . (1)

DEFINIIA 1.4.1. : Membrul drept al relaiei (1) se numete serie. DEFINIIA 1.4.2. : a1 , a2 , , an se numesc termenii seriei. DEFINIIA 1.4.3. : Sn = a1 + a2 + + an se numete suma parial de ordinul n DEFINIIA 1.4.4. : Dac exist, S este suma seriei . OBSERVAIE : Dac se cunosc termenii seriei, putem obine sumele pariale i reciproc. Fie irul sumelor pariale .

( ) *Nnna nnnn

aa = liminflim

( ) *Nnna nnnn

aa = mlisuplim

( ) *Nnna 12)1( += n

na nn

2lim2112)12(2

12 =+= nnkk ak

ka

2mli212)2(2

2 +=++= nnkk akka

( ) *Nnna

( ) *NnnS ( ) *NnnS SSnn =lim

==

1iiaS



Sn = a1 + a2 + + an

Sn-1 = a1 + a2 + + an-1 , a1 = S1 , .

DEFINIIA 1.4.5. : Seria este convergent dac irul sumelor pariale Sn este convergent.

DEFINIIA 1.4.6. : Dac irul sumelor pariale are limita sau sau nu are limit,

atunci seria este divergent .

A cerceta natura unei serii nseamn a determina dac seria este convergent sau divergent.

EXEMPLE : A. Folosind definiia convergenei unei serii, s se stabileasc natura seriei cu termenul

general :

B. S se cerceteze natura seriilor urmtoare :

1)

este convergent i are suma S = 1 .

1= nnn SSa 2n

=1n

na

+ =1n

na

1,34

12 ++= nnnun

( )( )13342 ++=++ nnnn1,

31

11

21

341

2

++=++= nnnnnun

=

++++++++=+++= 31

11

211

61

41

51

31

41

21

21

21 nnnnuuuS nn KK

( ) ( )321

221

125

31

21

31

21

21

++=

+++= nnnn

( ) ( ) 125

321

221

125limlim =

++= nnS nnn

= +1 )1(

1n nn

111

)1(1

+=+= nnnnan

+=+++++=++++= 111

1111

11

31

21

211121 nnnnn

aaaaS nnn KK

= 1lim nn S

= +1 )1(1

n nn



2) Seria geometric :

Fie r>0 .

:

:

r = 1 : Sn = n+1 ,

Deci seria geometric este convergent pentru i divergent pentru .

3) Seria oscilant :

S0 = 1 S1 = 0 S2 = 1 S3 = 0 S2k = 1 S2k+1 = 0 .

Observm c Sn nu are limit , deci este divergent .

PROPRIETI ALE SERIILOR : Aceste proprieti rezult din proprietile irurilor.

P1) Dac ntr-o serie se schimb ordinea unui numr finit de termeni, se obine o serie de aceeai natur ca i prima.

KK +++++==

n

n

n rrrr 20

1

rrrrrS

nn

n =++++=

+

111

12 K

( )1,0r rrrn

n = +

11

11lim

1

( ) ,1r += +

rrn

n 11lim

1

+= nn Slim( )1,0r [ ) ,1r

( )=

++=0

...11111n

n

( )=

0

1n

n



P2) Dac ntr-o serie adugm sau scdem un numr finit de termeni, obinem o serie de aceeai natur ca i prima.

P3) Resturile unei serii convergente formeaz un ir convergent ctre zero. DEMONSTRAIE :

Fie

, unde cu Rn am notat restul de ordinul n al seriei.

P4) Dac seria este convergent, atunci irul sumelor pariale este mrginit.

P5) Dac seria este convergent, atunci .

DEMONSTRAIE :

Din ipotez tim c este convergent, deci , unde S este finit.

OBSERVAIA 1 :

Reciproca acestei afirmaii nu este adevrat. Adic, dac , nu rezult c este convergent. Pentru a demonstra aceast afirmaie, vom da un exemplu:

Seria armonic :

, .

4434421 K44 344 21 Knn R

nn

S

nn

n aaaaaa ++++++= ++

= 2121

1

+=

=1nk

kn aR

( ) 0limlimlim1

=====+==

= SSSSSSRSSRRSaS nnnnnnnnnnn n

na na 0lim = nn a

na SSnn =lim( ) 0limlimlimlim 111 ===== + SSSSSSaSSa nnnnnnnnnnnn

0lim = nn a na

=1

1n n

01lim1 == nna nn

+++++++

++++

++

+= nnnnS 21

221

121

81

71

61

51

41

31

211 112 KK

21

211 >+



Deci

Din irul Sn am extras irul care este divergent. De aici rezult faptul c Sn este

divergent, deci este divergent .

OBSERVAIA 2 :

Dac este divergent . Aceast observaie reprezint un criteriu de divergen a seriilor.

P6) Fie o serie convergent cu suma A . Fie o serie convergent cu suma B .

Atunci, , oricare ar fi .

OBSERVAIE : Mulimea seriilor convergente formeaz un spaiu vectorial.

EXEMPLU :

S se arate c seria cu termenul general este convergent i s i se calculeze suma .

Fie seriile cu termenii generali i

Seria este convergent i are suma , iar seria este convergent i are suma

. Din proprietile seriilor convergente rezult c, dac dou serii, respectiv i sunt

21

41

41

41

31 =+>+

21

84

81

71

61

51 =>+++

21

21

1211 >+++ nn K

=> nn SnS

n 22lim

2nS2

= nSnn 1lim

nnn aa 0lim

na nb( ) ++ BAba convnn R ,

1,15

53 = nu nnn

n

nn

n

n

n

n

nu

==31

51

155

153

n

nv

=51 1,

31

= ntn

n

=1n

nv41

=1nnt

21

=1nnv

=1nnt



convergente i au sumele V i T , atunci seria diferen este o serie convergent i are suma V-T .

Deci

CRITERIUL GENERAL DE CONVERGEN AL LUI CAUCHY (CGCC)

Seria este convergent dac i numai dac , oricare ar fi , exist astfel nct ,

oricare ar fi i oricare ar fi avem :

DEMONSTRAIE : (i) Presupunem c seria este convergent, deci (Sn) este convergent i conform

teoremei de convergen a lui Cauchy, (Sn) este un ir fundamental. Rezult astfel c

oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar fi

avem : .

Sn+p = a1 + a2 + + an + an+1 + + an+p Sn = a1 + + an

Deci .

(ii) Presupunem c oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i

oricare ar fi rezult c , adic . De aici rezult c Sn este un ir fundamental i conform teoremei de convergen a lui Cauchy, Sneste un ir convergent. Astfel am demonstrat c seria este convergent.

1.5. Serii cu termeni pozitivi

DEFINIIA 1.5.1. : Seria este o serie cu termeni pozitivi ( stp ) , dac an>0, n =1, 2, .

)(1=

n

nn tv

=

==1 4

121

41

1553

nn

nn

na 0> )(N)(Nn *Np

)(N )(Nn *Np

CRITERII DE COMPARAIE PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI

n acest paragraf vom prezenta cteva criterii de convergen a unei serii cu termeni pozitivi. Se compar seria a crei natur este necunoscut cu o serie a crei natur o cunoatem i astfel putem obine informaii despre natura seriei considerate. De aici denumirea de criterii de comparaie.

I. Primul criteriu de comparaie :

Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac exist N astfel nct oricare ar fi

atunci :

1. dac este convergent, atunci i seria este convergent.

2. dac este divergent, atunci c i seria este divergent.

DEMONSTRAIE : 1. Din ipotez tim c este convergent i, conform criteriului general de

convergen al lui Cauchy, oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi

i oricare ar fi rezult c . Deoarece ,

avem .

Deoarece i , avem :

i prin urmare

seria este convergent.

2. Presupunem contrariul, adic este convergent, atunci, conform 1. rezult c i

este convergent, ceea ce contrazice ipoteza c este divergent.

II. Al doilea criteriu de comparaie :

Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac exist N astfel nct oricare ar fi

, atunci :

1. dac este convergent, atunci i seria este convergent.

na nbnn baNn

nb na na nb

nb0> )(N

)(Nn *Np nb

2. dac este divergent, atunci i seria este divergent.

DEMONSTRAIE :

1. oricare ar fi

Obinem astfel : , unde c este o constant.

Deci , oricare ar fi .

Din ipotez tim c este convergent i conform proprietii P6 rezult c i

este convergent.

Din aceste ultime dou afirmaii rezult, conform primului criteriu c seria este convergent.

2. Presupunem contrariul, adic este convergent i este divergent, lucru

care este in contradicie cu primul criteriu. Rezult astfel c seria este divergent.

III. Al treilea criteriu de comparaie: ( fr demonstraie )

Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Dac ( c fiind finit i diferit de

zero ), atunci seriile i au aceeai natur.

SERII UTILIZATE N CRITERII DE COMPARAIE

1. Seria armonic : . Aceasta este o serie divergent.

2. Seria geometric : , r>0 ,

na nb

n

n

n

n

n

n

n

n

ba

ba

bb

aa

++++1

111

Nn

LL =++

n

n

N

N

N

N

ba

ba

bac

1

1

n

n

bac

Nn nn cba nb

ncb na

nb na nb

na nb cba

n

n

n=lim

na nb

=1

1n n

=0n

nr

3. Seria armonic generalizat : . Exist mai multe situaii :

a) conform criteriului I , seria armonic generalizat este divergent.

b) este seria armonic i este divergent.

c)

. Dar membrul drept al inegalitii reprezint o serie

geometric cu raia , 0 < r < 1 ,deci este o serie convergent.

Conform criteriului I , seria este convergent .

n concluzie, seria armonic generalizat este

EXEMPLU : S se studieze natura seriilor :

1.

Vom nota cu . Fie seria unde vom nota .

conform criteriului III , seria este divergent .

2. ;

=

1

,1n

Rn

( ) >nn111,0

=

=1

11n n

=

+++++++=>1 7

161

51

41

31

21111

n nK

121

22

21

21

31

21

==+

1

1

pentrudivergenta

pentruaconvergent

= +1 12

1n n

121+= nan

=1

1n n n

bn1=

= 21lim

n

n

n ba

= +1 121

n n

7521

3 ++= nnan 331

7521

nnn

Notm . Observm c seria este o serie armonic generalizat convergent, ntruct .

Conform criterului I , seria este convergent.

3.

Notm . Observm c este o serie armonic generalizat divergent, ntruct

.

Conform criteriului I , seria este divergent.

CRITERII SUFICIENTE DE CONVERGEN A SERIILOR CU TERMENI POZITIVI I. Criteriul rdcinii ( Cauchy ) :

Fie o serie cu termeni pozitivi.

1. Dac pentru oricare , exist 0 < k < 1 astfel nct , atunci seria este

convergent. 2. Dac pentru o infinitate de termeni , atunci este divergent.

DEMONSTRAIE :

1. Oricare ar fi , exist 0 < k < 1 astfel nct

, iar este o serie geometric cu raia r = k==

43

1

nbn = nb

43=

na

naNn kan n na

1n na na

Nn kan n nnnn kaka nk

na1n na 1 na

ka

a

n

n

n=+ 1lim



1) pentru k < 1 , seria este convergent

2) pentru k > 1 , seria este divergent

3) pentru k = 1 este neconcludent. EXEMPLU :

Fie seria ,

Aplicnd criteriul rdcinii, rezult c , deci seria este convergent.

OBSERVAIE : Nu putem studia convergena seriei geometrie cu ajutorul criteriului raportuluipentru c n demonstraia criteriului raportului am folosit seria geometric. EXEMPLU :

Fie seria

Aceast serie este convergent , fapt care rezult din criteriul rdcinii, dar nu putem aplica criteriul raportului. II. Criteriul raportului ( DAlembert ) :


1. Dac pentru oricare avem , atunci seria este convergent.

2. Dac , atunci seria este divergent.

DEMONSTRAIE :

1. Oricare ar fi avem

na na

=

+

1 10352

n

n

nn n

n nna

+=10352

132

10352

Seria pe care o obinem este o serie geometric de raie r : . Aceast

serie este convergent. Rezult astfel, conform criterului I de comparaie c seria este convergent.

2.

, oricare ar fi .

Rezult c irul an este un ir cresctor de numere pozitive .

Deci este divergent.

COROLAR :

Fie . Atunci : 1) pentru k < 1 , seria este convergent

2) pentru k > 1 , seria este divergent

3) pentru k = 1 este neconcludent. DEMONSTRAIE :

1) < 1

Exist astfel nct | ( | ) | 0 k 1

Deoarece , nseamn c oricare ar fi vecintatea , n afara ei exist cel mult un numr finit de termeni ai irului, iar n interiorul ei exist o infinitate de termeni.

conform prii nti a criteriului raportului. Deci seria este convergent.

=

==

1 1p p

pN

pN kaka

na

11 >+ ka

a

n

n

NN aa +1

nn aa +1 Nn

0lim nn a na

ka

a

n

n

n=+ 1lim na

na

ka

a

n

n

n=+ 1lim

0> 1

2) > 1

V(k) = . Repetnd raionamentul de mai sus, demonstrm c seria este divergent.

2) n cazul n care k = 1 , nu putem trage nici o concluzie, deoarece exist situaii n care seria

este convergent i situaii n care seria este divergent. De exemplu :

, dar tim c seria este divergent.

, iar seria este convergnt.

EXEMPLE :

1)

.

Deci i conform criteriului raportului, seria este convergent.

2)

Dac , seria este divergent.

Dac , seria este convergent.

Dac , deci este ir strict cresctor, iar seria este divergent. Rezult c seria dat este divergent.

3)

, deci seria este convergent conform criteriului raportului.

ka

a

n

n

n=+ 1lim

( ),1 na

= nan 1 11limlim 1 =+= + nn

aa

nn

nn

>= )1(,1 nan ( ) 11limlim 1 =+= +

nn

aa

nn

n

n

=++++++=+++

=

++

0

11

2)!3()!1(

)!4()!2(2

)!3()!1(2

nn

n

n

nn nn

nnaa

nn

0))4)(3(1)(2(

)651(2))4)(3(1()!2(

))3)(2(1)()!1((2 2 +++++++=++++

++++=nnn

nnnnn

nnn

0lim 1 =+n

n

n aa

enn

nn

nn

aa

nn n

n

n

n

n

n

n

nn

n

+=++= +

++

= 1!)1( )!1(! 1

11

1

ee

>> 1

ee

+=+=

+===+n

nnn

nn

n aa

n

en

nen

neaee

( )na

=

>1

0,!n

n

ana

101

1lim)!1(

!limlim1

1

4)

Dac , seria este convergent .


Dac . Atunci , oricare ar fi n , deci seria este divergent.

III. Criteriul Raabe Duhamel :


1. Dac oricare ar fi , seria este convergent.

2. Dac oricare ar fi , seria este divergent.

COROLAR :

Dac , atunci : 1) pentru k > 1 , seria este convergent

2) pentru k < 1 , seria este divergent

3) pentru k = 1 este neconcludent. EXEMPLU :

Fie seria :

=

>

1

0,!n

n

anan

ea

nna

nan

nan

uu n

n

n

n

n

n

nn

n

n=

+=+

+=

++

+

1lim

!

)1()!1(

limlim1

1

1

eaea > 1

n

n nenuea

ea

=== !1

11

1 >

+=+ n

n

n

nn

eu

u

na

Nn >

+11

1

kaann

n

Nn +1 )0()1()1(!

n nn K

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 1

111

11!111

11!11 +

=++=++++

++=+ nn

nnnn

nnnaa

n

n

KK



1) pentru > 1 > 2 , seria este convergent 2) pentru < 1 < 2 , seria este divergent 3) pentru = 1 = 2, criteriul este neconcludent.

, aceasta fiind serie armonic, este divergent.

1.6. Serii alternate

DEFINIIA 1.6.1. : Seria se numete alternat dac produsul a doi termeni

consecutivi este negativ , adic .

Seria altenat poate avea forma :

n general putem scrie seria astfel : .

CRITERIUL LUI LEIBNITZ

Fie o serie altrenat. Dac sunt ndeplinite condiiile :

1. ( adic irul termenilor fr semn este descresctor )

2.

atunci seria este o serie convergent.

DEMONSTRAIE : Presupunem c avem

( ) 111lim1lim

1

=+=

+

nn

aan

nn

n

n

1 1 1

( )

=

= +=+1 1 11

132!

n n nnnK

=1n

na

*1 )(,0 Nnaa nn ++++ nnn aaaaaaa KK( )0,2124321 >+++ nnn aaaaaaa KK

( ) ( )=

+ >1

1 0,1n

nnn aa

( )=

+1

11n

nn a

1+> nn aa0lim = nn a

( )=

+1

11n

nn a

KK ++++ nn aaaaaa 2124321



Deoarece este un subir strict cresctor.

Artm n continuare c S2n este un subir mrginit superior.

, deci S2n este mrginit superior.

Fie seria este convergent.

EXEMPLU : S se studieze convergena seriei .

Fie funcia

tim c a>1 , deci funcia este cresctoare. Din relaia de mai sus, rezult c

, oricare ar fi . Deci este descresctoare pe intervalul i este

descresctoare pentru orice . De asemenea, . Conform criteriului lui Leibnitz, seria este convergent. 1.7. Serii absolut convergente Fie o serie numeric.

DEFINIIA 1.7.1. : Seria este abslut convergent dac seria valorilor absolute

este convergent. TEOREMA 1.7.1. : Orice serie absolut convergent este convergent.

KK ++++= nnn aaaaaaS 212432122212222 +++ += nnnn aaSS

nnnnn SSSaa 22222212 >> +++

( ) ( ) ( ) { 120

2

0

1222

0

54

0

3212 aSaaaaaaaaS nnnnn >

>>

4434421K4342143421

==

==

=

=

=

SSaSSaSS

SSnnnn

S

nn

S

nnnnn

nn limlimlimlimlim

0

21222122

2

32143421321

=

>1

1,log)1(n

an an

n

( ) [ )= ,1,log xx

xxf a

( ) 222 logloglog

ln1log

ln'x

xex

xa

x

xax

x

xf aaaa =

=

=

xalog

( ) 0' ( )xf ( ),e nnalog

Nnen > , 0loglim = n

nan

na na na



DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c seria este absolut convergent. Conform criteriului general de

convergen al lui Cauchy, oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i

oricare ar fi rezult c .

Seria este convergent deoarece :

oricare ar fi i oricare ar fi

.

OBSERVAIE : Reciproca, n general, nu este adevrat ( nu orice serie convergent este

i absolut convergent ) . EXEMPLU :

Seria este convergent .

Seria este seria armonic i este divergent.

DEFINIIA 1.7.2. : O serie convergent care nu este absolut convergent se numete

semiconvergent. OBSERVAIE : ntr-o serie cu termeni pozitivi, notiunile de convergen i absolut

convergen coincid.

CRITERIU DE ABSOLUT CONVERGEN

Fie i , dou serii numerice. Dac exist N astfel nct oricare ar fi , s avem

(*) , atunci dac este absolut convergent i seria este absolut convergent.

DEMONSTRAIE :

Dac este o serie absolut convergent, din criteriul general de convergen al lui Cauchy rezult c oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar

fi , exist relaia :

.

na0> )(N )(Nn

*Np

, oricare ar fi

i oricare ar fi . Rezult astfel c seria este abslut convergent.

TEOREMA LUI ABEL ( pentru serii numerice ) : Fie o serie numeric i fie ( Sn ) irul sumelor pariale care este mrginit. Fie irul de

numere , fiind convergent ctre zero i descresctor. Atunci seria este convergent.

DEMONSTRAIE :

Din ipotez tim c ( Sn ) este un ir mrginit.

Sn = a1 + a2 + + an

Tot din ipotez tim c , descresctor c oricare ar fi , exist

astfel nct , oricare ar fi , .

n continuare vom aplica seriei criteriul general de convergen al lui Cauchy:

Oricare ar fi , exist astfel nct , oricare ar fi i oricare ar fi ,

exist relaia :

Rezult c seria este convergent.

nn ( )n nna

( ) *)(,0 NnMMSn >( ) 0

nn

nn ,0> 0> )(N

)(Nn MM nn 220

1.8. iruri de funcii

Fie , funcii reale definite pe mulimea .

DEFINIIA 1.8.1. : irul f1 , f2 , , fn , se numete ir de funcii i se noteaz cu

( 1 ) .

OBSERVAIE : Oricare ar fi , obinem irul de numere f1(a), f2(a), , fn(a) pe care-

l notm : ( 2 ) .

DEFINIIA 1.8.2. : Punctul se numete punct de convergen al irului de funcii

( 1 ) , dac irul este convergent.

Fie ( 3 )

DEFINIIA 1.8.3. : Mulimea B se numete mulimea de convergen a irului de funcii ( 1 ) .

Fie . Notm .

DEFINIIA 1.8.4. : Funcia care verific relatia de mai sus se numete funcia limit a irului de funcii ( 1 ) . EXEMPLU : Fie funcia , . Evident, B = ( -1 , 1 ] .

este funcia limit.

Fie un ir de funcii. Fie mulimea .

DEFINIIA 1.8.5. : irul de funcii converge simplu ctre funcia f pe mulimea

B, dac oricare ar fi i oricare ar fi , rezult c exist astfel nct oricare ar fi

, ( 1 ) .

Vom nota cu , unde cs nseamn converge simplu .

*,: NnBAfn RA

( ) *Nnnf Aa

( )( ) *Nnn af Ax

( )( ) *Nnn xf ( )( ){ }convergentestexfAxBAB Nnn *|, =

Bx ( ) ( ) )4(lim xfxf nn =RBf :

RRfn : ( ) nn xxf =

( ) ( ) RBfxx

xf

== :

1,11,1,0

*,: NnBAfn AB

( ) *Nnnf 0> Bx ( )xN ,

( )xNn , ( ) ( )

DEFINIIA 1.8.6. : irul de funcii converge uniform ctre funcia f pe

mulimea B, dac oricare ar fi , exist astfel nct oricare ar fi i oricare ar

fi , rezult c ( 1 ) .

Vom nota cu , unde cu nseamn converge uniform .

Interpretarea geometric a convergenei uniforme este prezentat n figura de mai jos :

-

-f

- | | a b

OBSERVAIE : Dac , atunci . Reciproca nu este adevrat.

EXEMPLUL 1 :

( ) *Nnnf 0> ( )xN , ( )xNn ,

Bx ( ) ( )

. Observm c , dar nu este uniform convergent.

EXEMPLUL 2 :

. Fie irul :

.

OBSERVAIE : Pentru convergena simpl se aplic criteriile obinuite de convergen a irurilor de numere.

CRITERII DE CONVERGEN UNIFORM I. Primul criteriu de convergen uniform ( criteriul lui Cauchy ):

Fie un ir de funcii. Fie mulimea .

irul dac i numai dac , oricare ar fi , exist astfel nct oricare ar fi , oricare ar fi i oricare ar fi , rezult :

(1)

DEMONSTRAIE :

1) Necesitatea :

Presupunem c astfel nct, ,

(2).

Pentru , avem relaia (2)

oricare ar fi , oricare ar fi i oricare ar fi .

ffnn =lim ( ]ff

cs

n 1,1

[ ] ( ) [ ] 2,0)(,sin,2,0: * == BNnn

nxxfRf nn

( ) Bxxf = )(,0( )

2) Suficiena :

Presupunem c astfel nct,

Prin urmare irul de numere este un ir fundamental i deci irul

este convergent.

Fie limita irului , . Vom demonstra n continuare c aceast convergen este uniform.

Fie , fixat, ales arbitrar . Deoarece , nseamn c este adevrat relaia :

.

Trecem la limit cnd . Vom avea : . Deoarece este ales arbitrar, l putem nlocui cu n i obinem :

II. Al doilea criteriu de convergen uniform:

Fie . Fie irul numeric , de numere pozitive, convergent ctre zero. Fie .

Dac exist astfel nct , oricare ar fi .

DEMONSTRAIE :

Fie . Deoarece astfel nct . Dar ,

deci .

Pentru . Aceasta demonstreaz faptul c

.

CONTINUITATEA I CONVERGENA UNIFORM Fie funcia .

),()(,0)( N> BxNn )(),()(

DEFINIIA 1.8.7. : Funcia f este continu n punctul dac :

1) exist

2)

DEFINIIA 1.8.8. : Funcia f este continu n punctul dac oricare ar fi ,

exist o vecintate V(a) astfel nct oricare ar fi .

Cele dou definiii sunt echivalente.

TEOREMA 1.8.1. : Fie irul ( mulimea B fiind inclus n mulimea A ) . Dac toate funciile fn sunt continue n punctul , atunci i funcia limit f este continu n punctul a .

DEMONSTRAIE :

Din ipotez tim c astfel nct, ,

. (1)

n cazul particular x = a , obinem relaia . (2)

Tot din ipotez tim faptul c funciile fn sunt continue n x = a , deci i funcia fN este continu n punctul x = a , i prin urmare, oricare ar fi , exist vecintatea V(a) astfel nct oricare ar

fi . (3)

DERIVABILITATE I CONVERGEN UNIFORM TEOREMA 1.8.2. : Fie I un interval mrginit i fie irul de funcii derivabile pe

intervalul I . Dac sunt ndeplinite condiiile :

1) exist astfel nct irul este convergent

Aa)(lim xf

ax

)()(lim afxfax

=

Aa 0>( ) ( ) BxNn )(),()(

3)()(

2) exist astfel nct

atunci : 1) exist funcia astfel nct

2) .

OBSERVAIE : Convergena uniform a irului fn nu atrage dup sine convergena

uniform a irului derivatelor. EXEMPLU :

Fie intervalul . Fie , . Vom arta c fn este un ir convergent uniform pe acest interval.

.

. Conform criteriului II de convergen uniform, rezult c

.

. Fie .

Obinem irul -1, 0, 1, 0 , -1, , deci nu este un ir convergent.

TEOREMA 1.8.3. : Fie un ir de funcii, . Dac fn sunt integrabile pe intervalul [a, b], atunci :

1) funcia limit f este integrabil pe intervalul [a, b]

2) este convergent

3)

OBSERVAIE : Teorema 1.8.2. se mai numete i teorema de derivare termen cu termen a unui ir de funcii , iar teorema 1.8.3. se mai numete i teorema de integrare termen cu termen a unui ir de funcii .

RIg : gfcu

In'

RIf : ffcu

In

( ) ( ) Ixxgxf = )(,'

[ ]2,0=I RIfn : ( ) ( )*,cos Nnnnxxfn =( ) Ixxf = ,0( ) ( )

nnnxxfxfn

1cos =

ffcu

In

( ) nxxfn sin' = Ix = 2

0sin2

2

12

sin2

1

'2

'1

==

=

==

=

fn

fn

02

4sin2

4

12

3sin3

3

'4

'3

==

=

==

=

fn

fn

[ ] *,, NnRbaf n [ ] ffcu

ban ,

( )ba n dxxf( ) ( ) = ba bann dxxfdxxflim



1.9. Serii de funcii

Fie , , un ir de funcii.

DEFINIIA 1.9.1. : Suma (1) se numete serie de funcii.

OBSERVAII :

1) Oricare ar fi , seriei i corespunde o serie de

numere (2) .

Dac seria numeric (2) este convergent, atunci spunem c punctul a este un punct de

convergen a seriei de funcii (1) . 1) O serie de funcii este echivalent cu o familie de serii de numere ( fiecrui

i corespunde o serie de numere ) . 2) Unei serii de funcii i putem aplica rezultatele de la serii de numere i de la iruri de

funcii. Astfel, notm :

S1 = f1 S2 = f1 + f2 Sn = f1 + f2 + + fn (3) unde Sn reprezint suma parial de ordinul n a seriei de funcii (1)

DEFINIIA 1.9.2. : Seria de funcii (1) , , este convergent pe dac irul de funcii ( Sn ) este convergent pe multimea B . DEFINIIA 1.9.3. : Seria de funcii este absolut convergent n punctul dac

este absolut convergent.

DEFINIIA 1.9.4. : Mulimea de convergen a unei serii de funcii este

.

EXEMPLE :

RAfn : ( )*Nn=

=++++1

21n

nn ffff LK

Aa

=1nnf

( ) ( ) ( ) ( ) KK ++++==

afafafaf nn

n 211

Aa

( ) *NnnS nf AB

nf Aa( ) afn

AB ( ){ }= aconvergentesteafAaB n|



(1) , ,

x < 0 : , este divergent .

x = 0 : , , , este divergent .

x > 0 : , este serie geometric cu raia , deci este o serie convergent. Rezult c mulimea de convergen este .

(2) , ,

Din criteriul raportului, obinem :

, seria este convergent.

, seria este divergent.

, serie armonic, divergent.

, serie armonic alternat, care este convergent.

Rezult c mulimea de convergen este .

DEFINIIA 1.9.5. : Seria converge simplu pe mulimea B ctre funcia S dac oricare

ar fi , oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , avem

.

DEFINIIA 1.9.6. : Seria converge uniform pe mulimea B ctre funcia S dac

oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , oricare ar fi , avem

=

0n

nxe ( ) nxn exf = RRfn :( ) +== nxnnn exf limlim nf

( ) 10 =nf ( ) 10 += nSn ( ) += 0lim nn S nf

( ) nxnxn eexf

== 11 n

xe1

11

.

DEFINIIA 1.9.7. : Funcia S se numete suma seriei de funcii.

CRITERII DE UNIFORM CONVERGEN A SERIILOR DE FUNCII Criteriul Cauchy de convergen uniform:

Fie . Fie . Seria converge uniform pe mulimea B dac i

numai dac oricare ar fi , exist astfel nct, oricare ar fi , oricare ar fi

, avem :

, oricare ar fi .

DEMONSTRAIE :

Fie .

irul astfel nct : i

i .

Criteriul lui Weierstrass de convergen uniform:

Fie . Fie . Fie o serie cu termeni pozitivi convergent. Dac

oricare ar fi i oricare ar fi , , atunci converge uniform pe mulimea B .

DEMONSTRAIE : Din ipotez tim c este convergent i . Din criteriul general de convergen

al lui Cauchy rezult c astfel nct , , avem :

.

i

conform criteriului de convergen uniform al lui Cauchy rezult c converge uniform pe mulimea B .

( ) ( ) ( )N ( )Nn

*Np( ) ( ) ( ) )()( Nn Bx)(

( ) ( ) )()( Nn *)( Np

EXEMPLE :

1. , , .

este seria armonic generalizat, , deci seria este convergent.

Conform criteriului lui Weierstrass, converge uniform pe R.

2. , , .

pentru este seria armonic generalizat ( convergent )

pentru seria este divergent. 1.10 . Serii de puteri

Fie , .

DEFINIIA 1.10.1. : Seria de funcii se numete serie de puteri. OBSERVAII : Orice serie de puteri este o serie de funcii, deci rezultatele obinute la seriile de funcii se

aplic seriilor de puteri. este un polinom de gradul n .

PROPOZIIA 1.10.1. : Mulimea de convergen a unei serii de puteri este nevid. DEMONSTRAIE :

Fie irul . Pentru x = 0 , Sn(0) = a0 ; . Deci mulimea Beste nevid.

OBSERVAIE : Exist serii de puteri pentru care mulimea de convergen este format

doar din numrul zero. ( )

nf RRfn : ( ) 2sinn xxfn

n =

( ) 22* 1sin)(,)( nnxxfRxNn

n

n =

= 21nan 2=nf

nf RRfn : ( ) xn nxf 1=> 1x ( ) xn nxf

1= 1x

RRfn : ( ) Nnxaxf nnn = ,

=

++++=0

10n

nn

nn xaxaaxa KK

( ) nnn xaxaaxS +++= K10

( )( ) Nnn xS ( ) BxaSnn == 00lim 0

{ }0=B



EXEMPLU : Fie seria: .

Notm .

Fie .

De asemenea, .

Pentru . Rezult c . Deci seria este divergent pentru orice ( vezi criteriile de convergen )

TEOREMA LUI ABEL PENTRU SERII DE PUTERI Pentru orice serie de puteri , exist un numr astfel nct :

1. Oricare ar fi , seria este absolut convergent.

2. Oricare ar fi , seria este divergent.

3. Oricare ar fi , seria este uniform convergent pentru orice .

Numrul cu proprietile 1. i 2. se numete raza de convergen a seriei de puteri. DEMONSTRAIE :

Fie B multimea de convergen a seriei .

Dac , atunci teorema este demonstrat.

Dac , atunci :

(*) Fie este convergent, deci de unde rezult c

irul este mrginit.

Dac irul este mrginit, atunci exist astfel nct .

Consierm | | | |

0 x

=1n

nn xn

nn na =

0, 00 xRxKK +++++=

=nn

n

nn xnxxxxn 030

320

20

1

32

( )nnn xnxn 00 11 0

0

>

> xnx

n 0lim 0 nn

nxn

0x

nn xa 0R( )RRx ,( ) ( ) ,, RRx

Rr

Dar este o serie geometric convergent , i conform primului

criteriu de comparaie, seria este absolut convergent.

Prin urmare, oricare ar fi , seria este absolut convergent, deci convergent.

Am artat deci c dac , atunci oricare ar fi , seria este absolut convergent. 0

(**) Fie ( | ) | |

x1 x B

Dac , atunci seria este divergent.

Vom demonstra c oricare ar fi x astfel nct , seria este divergent.

Presupunem contrariul, adic este convergent. Rezult conform (*) c seria

este convergent. Aceasta este o contradicie cu ipoteza, deci seria este divergent pentru orice punct mai mare dect x1 . Fie . Oricare ar fi M cu proprietatea se numete majorant al intervalului (a,b) . Observaie : Un interval (a,b) are o infinitate de majorani. Se numete supremul lui I , notat supI , cel mai mic majorant.

Fie R=supB . Vom arta c R este raza de convergen a seriei.

1. Oricare ar fi , rezult conform (*) , , seria este absolut convergent.

2. Dac R este infinit , atunci punctul 2. din teorema lui Abel nu are sens. Presupunem c

R este finit. Atunci , seria este divergent.

Din 1. i 2. rezult faptul c R este raza de convergen a seriei.

3. Fie

Vom arta c oricare ar fi , seria este convergent .

nnn

nn

nn

nn

n xxM

xxxa

xxxaxa

000

000 ==

=nn

nn x

xMxxMxa

000

n

xx0

nn xa 1

nn xa nn xa 1

( ) RbaI = , ( ) Mxbax

Dac , atunci r face parte din intrevalul de convergen , deci seria este

convergent. Dar , aceasta din urm fiind o serie numeric cu termeni pozitivi, convergent.

Oricare ar fi , rezult c i conform criteriului lui Weierstrass

de convergen uniform, seria este uniform convergent pe intervalul .

OBSERVAII : Teorema lui Abel nu afirm nimic despre natura seriei atunci cnd x = R sau cnd x = -R. n

aceste puncte seria poate fi convergent sau divergent. Teorema lui Abel afirm existena seriei de puteri, dar nu arat cum poate fi calculat raza de

convergen.

EXEMPLU :

Pentru orice , seria este divergent. Pentru x = 1, , deci seria este divergent. Pentru x = -1 , este o serie oscilant, deci divergent.

n concluzie, .

TEOREMA CAUCHY HADAMARD

Fie o serie de puteri. Fie . Atunci :

DEMONSTRAIE : Fie oarecare . ( x0 fixat )

Fie seria cu termeni pozitivi . Notm . Pentru seria aplicm criteriul rdcinii:

Rr

Exist mai multe cazuri :

1) . Din criteriul lui Cauchy rezult c

seria este convergent i .

2) .

3) , seria este divergent i R=0 .

Observaie : . Dac nu exist aceast limit, atunci sau .

EXEMPLE :

1) ,

2)

Oricare ar fi , seria este absolut convergent.

Oricare ar fi , seria este divergent.

CONTINUITATEA UNEI SERII DE PUTERI

Fie seria i fie B mulimea de convergen a seriei, .

Oricare ar fi , notm . Obinem astfel funcia ( suma seriei ).

EXEMPLU :

( ) 000 limlimlim xaxaxu n nnn nnn nn ===

111)(0 000

PROPOZIIA 1.10.2. : Suma S a unei serii de puteri este continu pentru oricare .

DEMONSTRAIE : Fie ( | | )

-R r R

Deoarece x0 aparine acestui interval, rezult c exist r > 0 astfel nct .

Conform teoremei lui Abel, seria este uniform convergent pe intervalul [-r,r] .

Dar funciile sunt nite polinoame, deci sunt continue pentru orice este

continu, deci este continu pe intervalul (-R,R) .

TEOREM : Fie o serie de puteri i fie S suma acestei serii.

1. Seria derivatelor are aceeai raz de convergen ca i seria iniial.

2. Funcia S este derivabil n intervalul de convergen i suma seriei este S .

EXEMPLE :

1) S se determine mulimea de convergen a seriei

Dac , seria este absolut convergent.


Oricare ar fi r astfel nct , seria este uniform convergent pe

Dac . Dac . Acestea sunt serii alternate care verificcondiiile criteriului lui Leibnitz, deci sunt convergente. Rezult c mulimea de convergen este .

2) S se studieze convergena seriei

nn xa

( )RRx ,0 0x

Rrx

Notm i obinem seria .


Dac este o serie cu termeni pozitivi pe care o comparm cu seria

. Astfel, . Observm c seriile au aceeai natur,deci seria dat este divergent.

Dac este o serie alternat. irul este monoton descresctor i tinde la zero. Conform criteriului lui Leibnitz, seria dat este convergent.


3) S se determine mulimea de convergen a seriei



Dac . Dac .

yx =+1n

n

nn

yn

=

+1

)2(3

31

3213

321

1lim)2(3

1)2(3limlim111

1

=

+

++=+

++== ++++R

nnn

naaR

n

n

nnn

nn

nn

nn

32,

34

31,

31 xy

=

+=1 3

1)2(331

nn

nn

ny

=1

1n n

13

)2(3lim3

))2(3(lim =+=+

nnn

nn

nn

n nn

=

+=1 3

)2(3)1(31

nn

nnn

ny

Nnn

nn

n

+3

)2(3

,32

34,x

=

+

+1

1

1nn

n

nn

x

nn

n

1

1

lim

1

lim1lim2

111=

+=

+==

++n

nn

nn

n

nnn

nn

nn

n

nn

aR

( )1,1x( ) ( ) ,11,x

=

+

+=

1

1

11

nn

nn

nn

nx =

+

+=

1

1

)1(1

1n

nn

nn

nn

nx =

+

+

nn

n

n

nn

n1

lim

1



, deci seria este divergent.

4) S se dezvolte n serie de puteri ale lui x

funcia , unde .

1.11. Serii Taylor i serii MacLaurin

Fie I un interval din R i fie o funcie indefinit derivabil n punctul .

DEFINIIA 1.11.1. : Se numete serie Taylor ataat funciei f n punctul a, seria :

(1)

Evident, seria (1) este o serie de puteri , cci notnd x a = y , obinem :

(1)

Raza de convergen a seriei (1) se studiaz cu ajutorul teoremei Cauchy Hadamard. OBSERVAIE : Deoarece raza de convergen este , seria Taylor are mulimea

de convergen deoarece . Suma parial de ordinul n a seriei (1) , pentru orice (mulimea de convergen) o

vom nota :

(2)

111

1lim

1

2 =

+=

n

nn

n

n

n

( ) Rf ,1: ( ) ( )xxf += 1ln

( ) ( ) KK +++++=+=+= nn xxxxxxxxf )1(1111' 4321

( ) ( ) +=++++=+= x xxxnnx dtttdtdtdtttttdttxf 0 0 200320 1)1(11 1 KK =+++++=+++

+x nnnnxx

nxxxxxdttdtt

0

1432

0

3

1)1(

432)1( KKKK

=

+

+= 01

1)1(

n

nn

nx

RIf : Ia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++==0

)(2

)(

!''

!2'

!1!nn

nn

n

afn

axafaxafaxafafn

ax

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++==

afnyafyafyafaf

ny nn

n

nn

)(2

0

)(

!''

!2'

!1!

R0B Ba

Bx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afn

axafaxafaxafxT nn

n)(

2

!''

!2'

!1++++= K



i se numete polinomul lui Taylor de ordinul n. DEFINIIA 1.11.2. : Se numete rest al lui Taylor de ordinul n, funcia

, (3) . Deci (4) , oricare ar fi .

TEOREMA 1.11.1. : Seria Taylor ataat funciei f n punctul a este convergent n punctul dac i numai dac irul este convergent ctre zero.

DEMONSTRAIE : Din relaia (4) obinem relaia (5) . Prin urmare, dac irul sumelor

pariale de ordinul n , , converge ctre f(x), trecnd la limit cnd n relatia (5),

rezult c .

Invers, dac atunci din relatia (5) avem i deci seria Taylor ataat funciei f n punctul a este convergent pentru orice , ctre f(x) .

OBSERVAII :

1) Dac , avem :

(6)

Formula (6) se numete formula de dezvoltare n serie Taylor a funciei f n jurul punctului x = a.

2) Mulimea nu coincide, n general cu I.

Caz particular : Dac , atunci seria urmtoare se numete serie MacLaurin ataat funciei f .

(7)

Evident, dac converge ctre zero cnd n tinde spre infinit, avem:

(8)

Formula (8) se numete formula de dezvoltare n serie MacLaurin a funciei f . EXEMPLE :

RIRn :( ) ( ) ( )xTxfxR nn = ( ) ( ) ( )xRxTxf nn += Ix

Ix ( )( ) *Nnn xR

( ) ( ) ( )xRxTxf nn =( )xTn n

( ) 0lim = xRnn( ) 0lim = xRnn ( ) ( )xfxTnn =lim

Ix

( ) 0lim = xRnn( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= af

naxafaxafaxafxf n

n)(

2

!''

!2'

!1

( ) ( )

=

=0)(

!|

n

nn aconvergenteste

naxafIxB

I0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+++++=0

)(2

)( 0!

0''!2

0'!1

00!n

nn

nn

fnxfxfxff

nx KK

( )+=

=1

)( 0!nk

kk

n fkxR

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= 0!

0''!2

0'!1

0 )(2

nn

fnxfxfxfxf



1) S se dezvolte n serie MacLaurin funcia .

i deci ( formula de dezvoltare n serie MacLaurin )

Pentru determinarea razei de convergen, conform teoremei Cauchy Hadamard, avem:

2) S se dezvolte n serie MacLaurin i s se determine raza de convergen a funciei

.

( formul ce se demonstreaz uor prin inducie )

Prin urmare,

Pentru determinarea razei de convergen, avem :

5) S se scrie seria McLaurin pentru funcia :

( ) xexfRRf = ,:( ) ( ) 10, == fexf x( ) ,' xexf = ( ) 10 =f( ) ( ) 10, )()( == nxn fexf

KK +++++=!!2!1

12

nxxxe

nx

=

==0 !

1!

1n

nnx

nax

ne

( ) ==+== + Rnn

aa

nn

n

n0

!1!limlim 1

( ) ( ) 00,sin,: == fxxfRRf

( ) ( ) 10',2

sincos' =

+== fxxxf

( ) ( ) 10'',2

2sin2

cos'' =

+=

+= fxxxf

( )

+=2

sin)( nxxf n

( )( ) KK ++

+++=+ kk

kxxxxxx

!121

!7!5!3!1sin

12753

( )( ) ==+

+= Rkk

k0

!32!12lim

( ) xxfRRf cos,: =



RESTUL N FORMULA LUI TAYLOR

TEOREMA 1.11.2. : Fie de n+1 ori derivabil pe intervalul I. Atunci pentru

orice , exist un numr cuprins ntre a i x astfel nct :

(1)

DEMONSTRAIE :

Vom considera restul de forma (2)

i vom determina pe k n funcie de x i de a. Din formula lui Taylor avem:

(3)

Vom defini funcia , derivabil pe I astfel :

(4)

Evident i de unde obinem .

Presupunnd c, de exemplu, a < x , avem: este continu pe intervalul [ a , x ] este derivabil pe intervalul ( a , x ) (5) (conform teoremei lui Rolle)

Pe de alt parte, derivnd funcia dat de (4) obinem :

( ) ( )

+==2

coscos)( nxxxf nn

( )

====

12,02,)1(

2cos0)(

knkn

nfk

n

( ) =

===++++=

0 0

)(24

!2

cos

!0

)!2()1(

!4!21cos

n n

nnnn

n xn

nx

nf

nxxxx

KK

RIf :*Np ""

( ) ( ) ( ) )1(1!

)( ++

= n

pnp

n fnpxaxxR

( )xRn ( ) ( ) kaxxR pn =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kaxafn

axafaxafaxafxf pnn

+++++= )(2

!''

!2'

!1K

RI :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ktxtf

ntxtftxtftxtft pn

n

+++++= )(2

!''

!2'

!1K

( ) ( )xfx = ( ) ( )axf = ( ) ( )ax =

( ) ( ) 0',,)( = xa( ) ( )xa =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++= tftxtftxtftxtftftxtft IV

!3''

!22'''

!2'''

!1''

32



Reducnd termenii asemenea, se obine :

Deci : , de unde

i rezult astfel

, unde este cuprins ntre a i x.

Teorema este astfel demonstrat . Cazul cnd x < a se trateaz analog. Cazuri particulare ale expresiei restului :

(1) Pentru p = 1 se obine i se numete restul lui Cauchy.

(2) Pentru p = n+1 se obine i se numete restul lui Lagrange.

RESTUL N FORMULA LUI MACLAURIN

Aa cum am mai vzut, o serie Taylor pentru a = 0 se numete serie MacLaurin. Prin urmare, dezvoltarea unei funcii ( ) n serie MacLaurin

este:

Restul n formula lui Cauchy are forma : , unde este cuprins ntre a i x.

Restul n formula lui Lagrange are forma : , unde este cuprins ntre a i x.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) +

++

+

tf

ntxtf

ntxtf

ntxtf

ntxtftx n

nn

nn

nn

n)(

1)1()1(

2)(

12

!1!!2!1'''

!2K

( ) ( ) ( ) ( ) ktxptfn

txt pnn

= + 1)1(!

'

( ) ( ) ( ) ( ) 0!

' 1)1( == + kxpfn

x pnn

( ) ( )

( )( ) ( )

)1(11

)1(

!,

!+

+

+

=

= npn

p

nn

fnp

xksauxpn

fxk

( ) ( ) ( ) )1(1!

)( ++

= n

pnp

n fnpxaxxR

""

( )( ) ( ) )1(!

)( += nn

n fnxaxxR

( ) ( ))1(1)!1(

)( ++

+= n

n

n fnaxxR

RIf : I0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++= 0

!0''

!20'

!10 )(

2n

n

fnxfxfxfxf

( ) ( )=

=n

k

kk

n fkxxT

0

)( 0!

( ) ( )+=

=1

)( 0!nk

kk

n fkxxR

( ) ( ) ( ) )1(!

+= nn

n fnxxxR

""

( ) ( ) ( ))1(1

!1+

+

+=n

n

n fnxxR

""



EXEMPLU :

1) S se calculeze cu trei zecimale exacte.

Pentru utilizm formula restului lui Lagrange :

deoarece

Punnd condiia , adic sau rezult n = 4 ( prima valoare natural ).

Deci .

e1

+

== 21

211 2

1

nn RTee

21

nR

( ) 1)!1(21

!121

21

1

1

++

=

+

+

ne

nR n

n

n

11 0 =

01. teoria sirurilor si seriilor numerice

Documents