08_analiza a a seriilor de timp

8/8/2019 08_Analiza a a Seriilor de Timp

1/41

8Analiza econometric a seriilor

de timp

8.1Serii de timp definire, clasificare, factori de influen,

tipuri de modele de timp

Seria cronologic reprezint o form de prezentare ordonat adatelor statistice n care se reflect nivelul de manifestare a fenomenelorntr-un anumit moment sau perioad de timp. Altfel spus, seria cronologic

reprezint un ir de valori ale unui indicator economic sau de alt natur,observate n timp, oglindind procesul de schimbare i dezvoltare a uneicolectiviti statistice n perioade succesive de timp.

Forma general a unei serii cronologice se poate prezenta astfel:

1 2 3 tT

Y1 Y2 Y3 Yt YTunde:

t = momentul sau intervalul de timp ( T,t 1= );

yt= nivelul (exprimat prin date absolute sau relative) atins de fenomenulYlamomentul t.

Seriile dinamice se mpart n:

- serii de stoc sau sau serii de momente (integrale), carecaracterizeaz nivelul de dezvoltare a fenomenelor la anumite momente de

timp. Caracteristica acestor serii este faptul c indicatorii prezentai nu pot finsumai ntruct nivelul de la un moment dat cumuleaz nivelurile tuturor

momentelor anterioare. Prin nsumare, aceeai mrime ar fi luat n calcul


2/41

Analiza econometrica seriilor de timp

de mai multe ori, ceea ce este lipsit de sens. Din aceast cauz, termeniiacestor serii se mai numesc i mrimi de stoc.

- serii de intervale (difereniale), care reflect evoluia unui processau fenomen pe anumite perioade de timp. Nivelurile indicatorilor se potevidenia pe ani, luni sau alte fraciuni de timp. Caracteristica seriilor deintervale o reprezint posibilitatea de nsumare a mrimilor succesive aleindicatorilor. Aceast caracteristic are o deosebit importan att n

formarea seriilor, n iteraiile de optimizare a mrimii intervalelor degrupare, ct i n analiza economic n vederea stabilirii rezultatelor peintervale mari de timp. n literatura de specialitate aceste serii sunt numite

de unii autori cumulative.Modelarea statistic a seriilor de timp se fundamenteaz pe

acceptarea unor ipoteze privind evoluia acestor serii, i anume:

- micarea n timp a unui fenomen social-economic este rezultatulaciunii unui nunr mare de factori care, chiar dac n viitor unii dintreacetia i vor modifica aciunea pe o anumit perioad de timp, influena lor

nu va provoca perturbaii brute i semnificative asupra legitii de evoluiea fenomenului, acesta continundu-i micarea sub impulsul efectului

inerial;- legea de micare a fenomenului n timp, tendina, nu poate fi

cunoscut dect prin cercetarea trecutului i prezentului fenomenelor socio-

economice, evoluia lor fiind privit ca efect al unui sistem caracterizatprintr-un ansamblu de relaii care au o relativ stabilitate n timp.

Ca atare, descrierea statistic a seriilor de timp pornete de la analiza

factorilor ce provoac micarea acestora. n general, evoluia unui fenomen

este generat de aciunea unor grupe de factori:- factorii eseniali, cu aciune de lung durat, ce imprim

fenomenelor tendina de evoluie a acestora; aciunea acestor factoristudiindu-se n funcie de unitile de timp pentru care a fost msuratfenomenul analizat;

- factorii sezonieri, cu aciune pe perioade mai mici de un an, caredetermin abateri de la tendina fenomenului imprimat de factorii eseniali;


3/41

Modele econometrice

- factorii ciclici, cu aciune pe perioade mai mari de un an, ceimprim o evoluie oscilant a fenomenului n cazul unor serii contruite pe

perioade lungi de timp;

- factorii ntmpltori, (cu aciune aleatoare), a cror aciune secompenseaz dac datele nregistrate se refer la un numr mare de perioadede timp.

Pornind de la structura factorilor ce determin evoluia unui

fenomen, descrierea statistic a seriilor de timp se poate realiza cu ajutorulurmtoarelor modele:

1. Modele aditiveyt=f(t) +s(t) + c(t) + u(t) (8.1.1)

2. Modele multiplicativeyt= f(t)s(t)c(t)u(t) (8.1.2)

unde:

f(t) = componenta trend, efect al aciunii factorilor eseniali;s(t) = componenta sezonier, efect al aciunii factorilor sezonieri;

c(t) = componenta ciclic, generat de aciunea factorilor ciclici;

u(t) = componenta rezidual, care exprim influena factorilor ntmpltoriasupra evoluiei fenomenului.

Utilizarea unui anumit tip de model, aditiv sau multiplicativ, se face

pe baza reprezentrii grafice a fenomenului.

Modelele aditive se utilizeaz n cazul n care cronograma seriei estede forma graficului din figura 8.1.1, adic seria prezint oscilaii de

amplitudine constanti regulat fa de tendin.


4/41


0

ytf(t

t

Figura 8.1.1

Modelul multiplicativ, relaia (8.1.2), se transform ntr-un model

aditiv dac se logaritmeaz ecuaia. n timp ce ntr-un model aditivcomponentele se exprim n aceeai unitate de msur cu ale fenomenului

respectiv, n cazul modelului multiplicativ, componentele se exprim procentual fa de funcia tendinf(t). Aceste modele se recomand s fieutilizate dac oscilaiile fenomenului fa de tendin se amplific sau se

diminueaz odat cu creterea numrului perioadelor de timp (Figura 8.1.2-a) i b)).

0

ytf(t

t 0

ytf(t

ta) b)

Figura 8.1.2

n particular, n funcie de natura fenomenului studiat, modelele demai sus pot fi :

- modele cu o singur component sau modele staionare:( )tuyy t += (8.1.3)


5/41

Modele econometrice

- modele cu dou componente, trend i variabil rezidual:y t= f (t) + u (t) (8.1.4)

- modele cu trei componente: trend, sezonalitate i variabilrezidual:

y t= f (t) + s (t) + u (t) (8.1.5)

y t= f (t) s (t) u (t) (8.1.6)

- modelele cu patru componente, vezi relaiile (8.1.1)i (8.1.2), seutilizeaz mai rar, n cazuri speciale, deoarece necesit serii lungi de date,

condiie care impune probleme deosebite privind comparabilitateatermenilor, din punct de vedere al metodologiei de calcul i unitilor de

evaluare ale fenomenelor.O serie de timpyteste staionar dac:

- M(yt) = y , T,t 1= (8.1.7) media seriei nu depinde de timp;- ( ) ntctyD yt ,12 === (8.1.8) dispersia seriei este

independent de timp;- ( ) nkntctyyCov ktt


6/41


Acceptnd c variabila aleatoare u t ndeplinete ipotezele I2, I3, I4,respectiv ipoteza de homoscedasticitate, de independen a erorilor i de

normalitate a valorilor variabilei reziduale, estimarea luiyt se face pe baza

unui interval de ncredere:

{ } -1yP t = ysty (8.1.12)

n cazul n care numrul de observaii este mai mic dect 30, atuncivaloarea lui tva fi preluat din tabela distribuiei Student, iar, n caz contrar

(n > 30), din tabela distribuiei normale.

Un astfel de model poate fi acceptat fie pe baza reprezentrii grafice(cronograma vezi figura 8.1.3), respectiv dac distribuia punctelorempirice poate fi aproximat cu o dreapt paralel cu axa Ox, atunci

modelul este staionar, fie utiliznd diverse teste.

yt

t0

y

Figura 8.1.3

Un alt procedeu const n mprirea seriei iniiale ( n,t 1= ) n dousubserii:

- ( )21

11

2

111

1

1

111 ===

=

n

ttyt yyn

;yn

yn,t (8.1.13)

(

12

2

1

2

2

2

2

21

1

2

1;

1,1

nnn

yy

n

y

n

ynnt

n

nt

tyt

=

==+= +=

)(8.1.14)


7/41

Modele econometrice

Dup care se aplic testul diferenelor ntre dou medii care const n

verificarea urmtoarei inegaliti:

- dac21

21

11 2

2

1

2

21

v;v;

yy

c t

nn

yyt

+

= (8.1.15) se accept ipoteza

staionaritii, n caz contrar, se respinge.

n situaia n care se dorete verificarea stabilitii dispersiilor se

poate aplica testul FisherSnedecor pentru a vedea dac dispersiile celordou subserii difer semnificativ sau nu difer:

22

21 yy,

- dac21

2

1

2

2

v;v;

y

y

c FF

= (8.1.16) atunci cele dou dispersii difer

semnificativ, n caz contrar se accept ipoteza de stabilitate a acestora.

Acest tip de model se utilizeaz n cazul consumurilor care ating unanumit prag de saturaie, cum ar fi consumul de bunuri alimentare.

Demn de reinut este faptul c, n general, orice serie cronologic poate fi transformat ntro serie staionar. Aceast posibilitate permite

construirea de serii staionare, operaie ce reprezint primul pas nconstruirea de modele autoregresive.

n domeniul social-economic nu se prea ntlnesc serii staionare, dar

o serie de timp oarecare poate fi transformat ntr-o serie staionar n urmacalculrii diferenelor de un anumit ordin k.

Tabel 8.1.1

t yt

= a + b t1

1

1 =

ttttyy


8/41


1 a + b -

2 a + 2 b b

3 a + 3 b b

4 a + 4 b b

5 a + 5 b b

6 a + 6 b b

7 a + 7 b b

8 a + 8 b b

9 a + 9 b b

10 a + 10 b b

Dac diferenele de ordinul 1 sunt aproximativ constante, o serie de

timp oarecare poate fi ajustat (estimat) cu ajutorul unui model liniar,staionar.

Tabel 8.1.2

t yt = a + b t+ c t2 11 1 = tttt yy 11 12 1 = ttttt y 1 a + b +c - -

2 a + 2 b + 4 c b + 3 c -

3 a + 3 b + 9 c b + 5 c 2 c4 a + 4 b + 16 c b + 7 c 2 c

5 a + 5 b +25 c b + 9 c 2 c

6 a + 6 b + 36 c b + 11 c 2 c

7 a + 7 b + 49 c b + 13 c 2 c

8 a + 8 b + 64 c b + 15 c 2 c

9 a + 9 b + 81 c b + 17 c 2 c

10 a + 10 b + 100 c b + 19 c 2 c

n cazul unui model neliniar se continu calculul diferenelor pn

cnd se obine o serie staionar. Dac diferenele de ordinul 2 suntconstante, atunci legea de evoluie a fenomenului poate fi aproximat cu o

parabol.

Ordinul diferenei indic gradul polinomului: dac diferenele deordinul 2 sunt constante, atunci polinomul este de gradul doi, dacdiferenele de ordinul 3 sunt constante, atunci polinomul este de gradul 3

etc.


9/41

Modele econometrice

Alegerea unui anumit tip de model se face n funcie de analizastatistic a structurii factorilor ce determin fenomenul respectiv i de

cronograma seriei de timp respective.

8.2Modele econometrice de timp cu dou componente:trend i variabil rezidual

Descrierea statistic a legitii de evoluie a unui fenomen social-economic permite utilizarea modelului n scopuri explicative, de simulare

sau de prognoz. Printre metodele de prognoz a fenomenelor social-economice, metoda extrapolrii fundamentat pe modelele econometricede timp ocup un loc important datorit uurinei calculelor i a

prognozelor relativ exacte pe termen scurt i mediu.Aplicarea unui model econometric de timp presupune parcurgerea

urmtoarelor etape de lucru:

a) identificarea funciei de ajustare;b) estimarea parametrilor modelului de ajustare;c) verificarea semnificaiei modelului;d) estimarea valorilor viitoare ale fenomenului utiliznd metoda

extrapolrii.

a) Exprimarea matematic a modelului de ajustare se deduce dinreprezentarea grafic a seriei dinamice. n funcie de forma cronogramei sealege o anumit funcie sau grup de funcii, dac graficul punctelor empirice

nu poate fi asimilat cu graficul unei anumite funcii matematice.

Mulimea funciilor care pot fi folosite n ajustarea seriilorcronologice este foarte larg. n general, aceste funcii se mpart n dou

categorii:- funcii liniare:f(t) = a + bt- funcii neliniare- funcie puterebattf =)(- tab)t( = funcie exponenial- polinom de grad nattataatf ++++= ...)( 22110


10/41


- ( )tcbe

atf

+=

1funcie logistic.

Funciile de ajustare neliniare pot fi liniarizate prin logaritmare i,

din acest motiv, se va trata numai cazul liniar.b) Estimarea parametrilor modelului de ajustareOdat identificat ecuaia componentei trend,f(t), urmeaz operaia

de determinare a parametrilor acesteia. Pot fi utilizate mai multe procedee,dar cele mai frecvent folosite sunt:

- metoda punctelor empirice;- metoda celor mai mici ptrate.Estimarea parametrilor prin intermediul primului procedeupresupune alegerea arbitrar a unui numr de puncte de pe cronogram, egal

cu numrul parametrilor modelului. Prin introducerea valorilorcoordonatelor acestor puncte n funcia de ajustare se obine un sistem de kecuaii cu knecunoscute (k= numrul parametrilor respectivi).

Fiey fenomenul cercetat a crui tendin este o parabol de forma:

2ctbtayt ++=

Fie M1(t1,y1), M2(t5,y5) i M3(t7,y7) punctele empirice alese careprezentative pentru evoluia fenomenului i prin care va trebui s treac

parabola:2111 ctbtay ++= 2555 ctbtay ++=

2777 ctbtay ++=

n urma rezolvrii acestui sistem de ecuaii se vor obine valorile

parametrilor a, b i c dup care, cu ajutorul funciei de ajustare, se vorcalcula valorile teoretice ale fenomenului Y.

Procedeul recomandat a fi utilizat atunci cnd funcia de ajustare estefolosit nu numai pentru descrierea evoluiei fenomenului ci i pentru

efectuarea de previziuni este metoda celor mai mici ptrate.


11/41

Modele econometrice

S admitem c funciile de ajustare pot fi liniare sau neliniare.Deoarece foarte multe funcii neliniare pot fi transformate n funcii liniare,

metoda celor mai mici ptrate va fi prezentat numai pentru cazul liniar.

Se admite deci c legea de evoluie a fenomenului y n perioada

Tt ,1= este , reprezint valorile teoritice ale

funciei trend, iar a b sunt estimatorii parametrilor modelului de ajustare.

Rezult c tt

tt ubtay ++= tbaYt +=

i

tYyu = ila rezidual.- variab

n mod curent, metoda celor mai mici ptrate const n minimizareafunciei:

( ) ( ) ( ) = =t

tt

tt tbayminYyminb,aF

22 (8.2.1)

Impunnd condiiile de minim se ajunge la urmtorul sistem de

ecuaii:

( )

( )

=+=

=+=

tytbtab

b,aF

ytbaTa

b,aF

t

t

20

0

(8.2.2)

Rezolvarea sistemului de ecuaii va conduce la urmtoarele soluii:

tbya = (8.2.3)i

=

2)(

))((tt

yyttb

t (8.2.4)

sau

ya = (8.2.5) i

=

2t

tyb t (8.2.6)

dac n sistemul de ecuaii (8.2.2) variabila t(anii) se nlocuiete cu valorile

sale centrate: ttt =' .


12/41


Odat calculai estimatorii parametrilor a i b se va trece ladeterminarea valorilor ajustate ale tendinei pe baza funciei de

regresie: .tbaYt +=

c) Verificarea semnificaiei modelului i d) estimarea estimareavalorilor viitoare ale fenomenului se va realiza dup aceleai principii

prezentate n cazul modelului unifactorial.

8.3Modele econometrice de timp cu trei componente:trend, sezonalitate i variabil rezidual

Acest tip de model se aplic atunci cnd seria de timp se construiete pe subperioade anuale (luni, trimestre, semestre) i pe mai muli ani. O

astfel de serie se prezint, de regul, printr-un tabel de forma:

Tabel 8.3.1

Subperioade mj ,1= Ani

ni ,1= 1 j mTotal iy

1 y11 y1j y1m =

m

jjy

11 1y

M M M M M M

i yi1 yij yim =

m

jijy

1 iy

M M M M M M

n yn1 ynj ynm =

m

jnjy

1 ny

Total =

n

i

iy1

1 =

n

i

ijy1

=

n

i

imy1

= =

n

i

m

jijy

1 1

jy 1y jy my 0y

unde:


13/41

Modele econometrice

yij = valorile empirice ale fenomenului nregistrat n subperioada

j ( mj ,1= ) a anului i ( n,i 1= );

Dac se noteaz cu t = j + m* (i - 1), atunci valorile empirice ale

fenomenului se ordoneaz n timp dup variabilayt, mn,t = 1 .

-n

y

y

n

iij

j

= =

1 (8.3.1) valorile medii ale subperioadeij;

-m

y

y

m

j iji

= =

1 (8.3.2) valorile medii anuale ale seriei;

-m

y

n

y

mn

y

y

m

jj

n

ii

n

i

m

jij

=

=

= =

=

= = 111 10 (8.3.3) media general a seriei.

Dac poate fi acceptat existena celor trei componente- trend,sezonalitate i variabil aleatoare, atunci seria poate fi modelat cu ajutorul

unui model de forma:

y t= f (t) + s (t) + u (t) sau

y t= f (t) s (t) u (t)

Structura modelului se poate decide utiliznd dou metode: metodagrafici metoda analizei variaiei.


14/41


Metoda grafic const n construirea de curbe suprapuse, efectuatepe subperioade de timpj.

0

ij

1 2 m

Figura 8.3.1

Dac reprezentarea grafic rezult sub forma unor curbe suprapuse,cresctoare sau descresctoare, avnd un punct de maxim sau de minim, sereine ipoteza unui model cu trei componente - trend, sezonalitate i

variabil aleatoare, iar dac se prezint sub forma unor curbe care seintersecteaz, aceasta denot inexistena componentei trend, fenomenul fiind

staionar.Metoda analizei variaiei se bazeaz pe descompunerea variaiei

globale a fenomenuluiyt pe cele trei componente: variaia luiyt provocatde factorii eseniali, de factorii sezonieri i de factorii reziduali.

Utilizarea metodei analizei variaiei (dispersionale) pornete de ladefinirea acestor variaii cu ajutorul urmtoarelor relaii:

( = i j ijy yy2

02

) - variaia total a fenomenuluiy (8.3.4)

( = i j

it/y yy2

02 ) - variaia lui y explicat de componenta

trend, efect al aciunii factorilor eseniali (8.3.5)


15/41

Modele econometrice

( = i j

js/y yy2

02 ) - variaia lui y explicat de componenta

sezonier, efect al aciunii factorilor sezonieri (8.3.6)

( += i j

jiiju/y yyyy2

02 )

- variaia lui y generat de

aciunea factorilor ntmpltori (componenta rezidual)1 (8.3.7)

Se poate demonstra c ntre aceti termeni exist relaia:

2

/

2

/

2

/

2

uysytyy ++= (8.3.8)

Deoarece seria de timp pe baza creia se urmrete descrierea

econometric a legitii de evoluie a fenomenului reprezint doar unsegment, doar o parte din evoluia de lung durat a acestuia, ea poate fiasimilat unui sondaj i, ca atare, se impune verificarea semnificaiei

indicatorilor calculai pe perioada de timp analizat.

1 Se pornete de la relaia de egalitate:

( ) 0000 yyyyyyyyyy jiijjiij +++=

Prin ridicare la ptrat i nsumarea acestor relaii se ajunge la:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= =

= =

= =

= =

= = =

= =

=

+++++

++++=

n

i

m

j

jiiji

n

i

m

j

jiijj

n

i

m

j

ji

n

i

m

j

jiij

n

i

n

i

m

j

j

n

i

m

j

i

m

j

ij

yyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

1 100

1 100

1 100

1 1

20

1 1 1

20

1 1

20

1

20

222

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

==

= =

= =

==

==

m

j

j

n

i

i

n

i

j

n

i

i

n

i

m

j

ji

n

i

m

j

ji

yyyn

ymyynyyyyyyyyy

110

10

10

1 100

1 100 222


16/41


Testarea semnificaiei rezultatelor obinute se face cu ajutorultestului Fisher-Snedecor. Astfel, se poate demonstra c:

)1)(1(:

1

2/

2/1

=

mnnF

uyty

calc (8.3.9) urmeaz o distribuie Fisher-

Snedecor de n-1 i (n-1)(m-1) grade de libertate;

)1)(1(:

1

2/

2/2

=

mnmF

uysy

calc (8.3.10) urmeaz, de asemenea, o

distribuie Fisher-Snedecor de m-1 i (n-1)(m-1) grade de libertate.

Alegndu-se un prag de semnificaie = 0,05 sau = 0,01, din

tabela distribuiei Fisher-Snedecor se preiau valoarile teoreticecorespunztoare celor dou valori calculate.

DacFcalc > Ftab (8.3.11) se accept semnificaia componentelor

respective, adic specificarea modelului de ajustare se face cu ajutorulrelaiilor:

y t= f (t) + s (t) + u (t) sau

y t= f (t) s (t) u (t)

n general, n cazul unui model structurat pe trei componente,

calculele statistice se efectueaz n urmtoarea ordine:a) estimarea componentei sezoniere i calculul seriei corectate de

variaii sezoniere (S.C.V.S.);

b) estimarea componentei trend pe baza seriei desezonalizate i acomponentei reziduale;c) verificarea verosimilitii modelului;d) utilizarea modelului (dac este acceptat) la explicarea, simularea

i prognoza fenomenului analizat.

a) Componenta sezonier se poate exprima, fie sub form relativ -

coeficienii de sezonalitate, , fie sub form absolut, .kj sj


17/41

Modele econometrice

Ca regul general, componenta sezonier se calculeaz n raport cutendina (componenta trend).

n funcie de modalitile de exprimare a tendinei, sezonalitatea se

poate determina prin mai multe procedee,cum ar fi:a1) procedeul mediilor aritmetice;a2) procedeul mediilor ealonate;a3) procedeul mediilor ciclice;

a4) procedeul mediilor mobile;a5) procedeul tendinei analitice.

a1) Procedeul mediilor aritmetice

Procedeul mediilor aritmetice const n compararea valorilorempirice cu mediile anualeyij iy i calculul mediilor aritmetice ale

acestor valori pe subperioade.

Astfel, sezonalitatea n valoare absolut, , rezult din relaia:sj

( )

0

111

yyn

y

n

y

n

yy

s j

n

ii

n

iij

n

iiij

j =

=

= =

==

(8.3.12)

De reinut c: 001

011

=====

=

y*my*myys om

j

m

jj

m

jj

(8.3.13), respectndu-se criteriul echivalenei ariilor y ft t = ( ) ,precum i condiia .0= tu

Sezonalitatea n valoare relativ, , respectiv coeficienii de

sezonalitate, se calculeaz ca medii aritmetice simple, pe subperioadele j,

din rapoartele valorilor empirice fa de mediile anuale

kj

yij iy :

=

==

= n

i i

ij

n

i i

ij

jy

y*

nn

y

y

k1

1 1 (8.3.14)


18/41


mnn

my

m

yn

yyny

y

nk

m

j

ij

n

im

j

ij

m

j

ij

n

i i

n

i

m

j i

ijm

j

j =====

==

=

== = = =

**1

*1

*1

*1

*1

11

1

111 11

(8.3.15)

Deci, n cazul modelului multiplicativ - ttt uktfy += )( , pentru

care:

== )(0 tfyu tt

== 0)1)(()()( tt ktfktftf

se pune condiia ca:

==

==m

j

j

m

j

j mkk11

01

Dac n urma calculelor, din cauza rotunjirii cifrelor, cele doucondiii nu se verific, acestea se corecteaz:

s ajj

m

= =

1

0 s s am

s j j jj

m

* *= ==

1

0 (8.3.16)

=

=m

j

j mak1

=

==m

j

jjj mka

mkk

1

** * (8.3.17)

n general, n practic, sezonalitatea se exprim prin intermediulcoeficienilor de sezonalitate , calculai pe baza mediilor aritmetice

anuale

kj

iy :

=

i

ijij y

yk (8.3.18)

==

n

iijj k*n

k1

1 (8.3.19)

(vezi tabelul 8.3.2, coloanele 5 i 6). Dac kj > 1 rezult c se manifest osezonalitate puternic n subperioadaj.


19/41

Modele econometrice

Acest procedeu de exprimare a sezonalitii se folosete doar pentrua evidenia intensitatea sezonalitii datorit ipotezei restrictive pe care se

fundamenteaz - tendin constant pe subperioadele anului:

( ) ( )[ ] m,j,yi*mjft i 11 ==+= (8.3.20)

a2) Metoda mediilor ealonate

Acest procedeu se bazeaz pe estimarea valorilor tendinei pe

subperioadelej,j = 1, m pe cale grafic, pe baza mediilor anuale. Acestea se

noteaz pe grafic pe locul pe care l ocup i se unesc cu segmente de

dreapt.

Ex.m

y

ym

y

y

m

jij

i

m

jij

=

=== 11

1

Ordonatele punctelor care rezult din intersecia perpendicularelorridicate din mijlocul subperioadelor cu aceste segmente de dreaptreprezint valorile tendinei seriei - vezi figura 8.3.2.

0

24

6

81 0

1 2

1 41 61 8

2 02 2

2 4

2 62 8

3 0

3 23 4

3 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 t

y

3y

1y 2y

Figura 8.3.2


20/41


Pe baza graficului din Figura 8.3.2 s-au estimat valorile tendinei( ) fenomenului y. Acestea msoar ns nivelul fenomenului ntre

subperioadele calendaristice -ty

Y Y Y2 5 3 5 10 5, ,; ; ;L , - fapt ce impune centrarea

acestor valori: ( ) ( )5,105,9105,35,23 21,...,

21 YYYYYY +=+= .

Tabel 8.3.2

Per.(i)

Subper. (j)( )1+= imjt y t y t k

y

yij

t

t

= jk *jk y kyt

j

t

**

=1

0 1 2 3 4 5 6 71 1 1 y11 - - -

2 2 y12 - - -3 3 y13 13y k13 k3

4 4 y14 14y k14 k4

2 1 5 y21 21y k21 k1

2 6 y22 22y k22 k2

3 7 y23 23y k23 k3

4 8 y24 24y k24 k4

3 1 9 y31 31y k31 k1 2 10 y32 32y

k32 k2

3 11 y33 - - -4 12 y34 - - -

Not:

( )i ani n

j trim mt j m i

= =

= ==

= + 1 2 3 3

1 2 3 4 41

, ,

, , ,

( )Y Y Y3 1 3 34 1 1. = + =

Pe baza coeficienilor provizorii de sezonalitate k se calculeaz

coeficienii de sezonalitate

ij

jk ca medii aritmetice simple ale acestora:

n

k

k

n

1iij

j

= =


21/41


22/41


mai sus reprezint valorile tendinei seriei ty (vezi figura 8.3.3). i n acest

caz se completeaz acelai tabel ca la metoda mediilor ealonate.

n comparaie cu alte metode de estimare a componentei sezoniere,

metoda mediilor ealonate i metoda mediilor ciclice ofer o informaiesuplimentar, respectiv permit specificarea pe cale grafic a funciilor

analitice cu care se poate descrie tendina seriei cronologice respective.

a4) Metoda mediilor mobile

Tabel 8.3.3

Per.(i) Subper.(j) y yt i= j y ij y ij kij jk kj* ij

j

t yk

y **1

=

0 1 2 3 4 5 6 7 8I y11

II y12

5,2y

III y13 3y

5,3y

1

IV y14 4y

I y21

II y22

III y23 2

IV y24

I y31

II y32

III y33 3

IV y34


23/41

Modele econometrice

Mediile mobile sunt medii aritmetice simple, calculate dintr-unanumit numr de termeni. Numrul de termeni din care se calculeaz o

medie mobil se deduce din cronograma funciei, el fiind egal cu numrul

subperioadelor dintre dou puncte de minim sau dou puncte de maxim.n general, numrul termenilor din care se calculeaz mediile mobile

este egal cu numrul subperioadelor anuale, respectiv m. De cele mai multeori m este un numr par: 12 luni, 4 trimestre, 2 semestre.

n cazul n care mediile mobile se calculeaz dintr-un numr par de

termeni ( se parcurg urmtoarele etape:)4=m

- calculul mediilor mobile provizorii

4

yyyyyy 432152152

+++== ,.,

4

yyyyyy 543253153

+++== ,.,

Deoarece aceste medii nu cuantific nivelul fenomenului pentru o

anumit perioad de timp este necesar operaia de centrare n vederea

calculrii mediilor mobile definitive ( )y , care centreaz mediile provizoriipe perioadele de timp ale seriei - pe trimestrele anilor:

2531521

313,.,.

.

yyyy

+==

2

5,4.15,3.14.14

yyyy

+==

Coeficienii provizorii de sezonalitate ( )kij se calculeaz ca raport

ntre valorile reale ( i valorile mediilor mobile definitive)yij ( )yij cuajutorul relaiei:

ij

ijij

y

yk =


24/41


Deoarece aceti coeficieni de sezonalitate au valori diferite de la un

an la altul pentru acelai trimestru, coeficienii de sezonalitate ( se

calculeaz ca medii aritmetice simple din coeficienii provizorii

(pe

trimestre.

)kj

)k

ij

k

k

mj

ij

j

m

= =

1

Acest lucru este necesar deoarece se consider c sezonalitatea este

rigidi deci constant pe subperioade de timp.Cei patru coeficieni de sezonalitate trebuie s respecte egalitatea:

. ==

m

jj mk

1

Datorit aproximrilor n plus, condiia nu este respectat i, ca

atare, coeficienii vor trebui corectai. Corectarea const n:

kj

= =m

jj mak1 = ==

m

jjjj mka

m

kk 1

**

* .

Valorile desezonalizate sau seria corectat de variaii sezoniere

se calculeaz cu relaia:

y t

t

j

ij

j

t yk

yk

y

==11

(8.3.21)

=

=

=

mn

tt

mn

t

*t yy

11(principiul echivalenei ariilor) (8.3.22)

)5a Metoda tendinei analitice

Acest procedeu const n estimarea valorilor tendinei fenomenuluicu ajutorul unei funcii de ajustare, specificat pentru valorile reale ale

fenomenului , dup care se vor calcula coeficienii de sezonalitate

dup aceleai principii ca i n cazurile precedente.

yij kj


25/41

Modele econometrice

Aplicarea acestui procedeu const n efectuarea urmtoareloroperaii:

1. Specificarea funciei de ajustare

Pe baza graficului din figura 8.3.1 se presupune c evoluiafenomenului poate fi descris cu ajutorul unei funcii liniare .btay t +=

2. Estimarea parametrilor funciei de ajustare se face pe bazaaplicrii metodei celor mai mici ptrate (M.C.M.M.P.)

( ) ( ) ( ) = ===

T

tt

T

ttt tb

ayminYyminb,aF1

2

1

2

( )

F a b

aTa b t y t

$,$

$$ $= + = 0

( ) = +=

tytbta

b

b,aFt

20

3. Calculul valorilor ajustate ale seriei:

tbaYt

+=

4. Calculul coeficienilor provizorii de sezonalitate:

t

t

ij

ijij

Y

y

Y

yk ==

5. Calculul coeficienilor de sezonalitate - a componentei

sezoniere sub form relativ:

kj

n

k

k

n

1iij

j

= =


26/41


6. Calculul valorilor desezonalizate, , sau seria C.V.S. se

calculeaz cu relaia:

y t

t

j

t yk

y

=1

Componenta sezonier, precum i valorile seriei de timp C.V.S. se pot calcula i pe baza sezonalitii, sj, exprimat n valori absolute. Se

calculeaz sezonalitile,sj, ca medie aritmetic a diferenelor (yij - iy ) pe

fiecare an:

( )

n

yy

s

n

1iiij

j

= =

Dac: , se pstreaz aceste valori.01

==

m

jjs

Dac se corecteazs01

==

asm

jj jastfel:

01

===

m

j

*jj

*j s

mass

n acest caz , seria desezonalizat se determin cu ajutorul relaiei:

*jij

*ij syy =

b) Funcia de ajustare privind tendina fenomenului se deduce pebaza valorilor C.V.S., adic a seriei de timp corectat de variaiile sezoniere,denumiti serie desezonalizat.

n cazul n care componenta sezonier se estimeaz pe baza funciei

de tendin, anumii autori nu mai recomand specificarea trendului pe bazavalorilor C.V.S., ea fiind estimat prin modelul iniial.

c) Verificarea verosimilitii modelului se realizez n acelai mod

ca i n cazul modelului unifactorial.


27/41

Modele econometrice

d) Dup estimarea celor trei componente, modelul econometric poatefi utilizat la estimarea valorilor viitoare ale fenomenului.

Dac lh ,1= , unde l este orizontul de prognoz, valoarea real a

fenomenului n perioada t+h va fi:

hthtjht uYsy +++ ++= (8.3.23)

unde cele trei componente sunt estimate prin:

)( htbaY ht ++=+ (8.3.24)

),0()( usNuL = , de unde se deduce c:

=++++

1)stYs(yPhtY

htjht (8.3.25)

sau

=+

++ 1 htY

htjht stYkyP (8.3.26)

adic valoarea real a fenomenului este estimat printr-un interval dencredere, avnd pragul de semnificaie egal cu .

8.4 Modele particulare privind descrierea econometric

a seriilor de timp

Alturi de modelele generale prezentate, modelarea seriilor de timpse poate face i cu ajutorul unor metode particulare, a cror utilizare se

fundamenteaz pe anumite restricii pe care trebuie s le ndeplineascseriile de timp.

n acest sens, demne de menionat sunt:

8.4.1 Funcia logistic;8.4.2 Metoda Buys-Ballot;

8.4.3 Metode de nivelare (lissage).


28/41


8.4.1 Funcia logistic

Descrierea evoluiei fenomenelor economice cu ajutorul unei funcii

exponeniale nu se poate face dect n scopuri explicative pe perioade micide timp i nu n scopuri prospective. Aceast limitare este determinat defaptul c, la un moment dat, funcia exponenial tinde rapid, ctre infinit,

proprietate care nu este specific fenomenelor social-economice. n cazul

acesteia, o serie de restricii tehnologice, economice i sociale determin ca,dup o cretere accelerat, s urmeze o diminuare i apoi o stabilizare anivelului fenomenului.

DacB0 este pragul de saturaie al fenomenului ,t

y Tt ,1= , atunci

, iar cnd ,],0[ 0By t 0Byt 0dt

dy, adic valoarea seriei de timp se

stabilizeaz.Funcia care posed aceste proprieti are derivata de forma:

=

0

0

B

yByK

dt

dy tt (8.4.1)

Ecuaia arat c, pentru valori mici ale variabilei yt, creterea

fenomenului este aproximativ liniar, iar pentru valori mari, ,

creterea tinde la zero

0Byt

0dt

dy.

Relaia (8.4.1) se mai poate scrie:

( )tt yBKydt

dy= 0 dac k

B

k=

0

( )+=

= 0000

1CtK

yB

yln

BKdt

yBy

dy

t

t

tt

t


29/41

Modele econometrice

0000

CBtKByB

yln

t

t +=

, ,00 >B 00 > tyB ,

.constC =0

Sub form exponenial, funcia de mai sus devine:

000000

0

CBtKBCBtKB

t

t eeeyB

y + ==

Se nlocuiete == tKB

t

tCB

eCyB

y

Ce000

101

tKBt

eC

By

+=

0

1

0

11

(8.4.2)

Dac n relaia (8.4.3) se introduc notaiile:

11

1

CB = , KBB 02 = tBt

eB

By

+=

21

0

1 (8.4.4)

Relaia (8.4.4) este cunoscut sub numele de funcia logistic sau

funcia Verhulst-Pearl.Din relaia (8.4.1) se observ c ritmul de cretere a funciei este

(tt

yByK )0

. Pentru a determina maximul se anuleaz derivata:

( )[ ] ( ) ( )2

02 0000B

yyBKyBKyByKdy

dttttt

t

====

Ritmul maxim de cretere va fi atins pentru2

0By = , care reprezint

punctul de inflexiune al funciei.


30/41


Abscisa acestui punct este:

2

1

1

00

212 B

Blnt

eB

BB

tB

=+

=

Funcia logistic se poate prezenta sub dou forme:

a)tBt

eB

By

21

0

1 += (8.4.5), fiind simetric fa de punctul de

inflexiune

2

,ln 0

2

1 B

B

BM ;

b) notnd cu: AeB =1 tBAte

By

+=

21

0 (8.4.6), punctul M

avnd coordonatele

2, 0

2

B

B

A.

ln B1B2

B02

t

B0

t

Figura 8.4.1

Deoarece estimarea parametrilor funciei logistice cu ajutorul

metodei celor mai mici ptrate conduce la calcule foarte complicate, de

regul, estimarea parametrilor se face prin metoda punctelor medii. Aceast

metod presupune ca seria de timp s fie mprit n trei pri egale, pentru


31/41

Modele econometrice

fiecare dintre acestea calculndu-se valorile medii (mediane) ale celor douvariabile.

Se obin astfel trei puncte medii: ),( 111 ytM , ),( 222 ytM i ),( 333 ytM .

Aceste valori se introduc n ecuaia (8.4.4), obinndu-se cele treiecuaii din care se vor calcula estimatorii: , , .0B 1B 2B

Un alt procedeu de estimare a parametrilor se folosete atunci cndse precizeaz nivelul de saturaie a fenomenuluiyt, respectiv valoarea luiB0.

n acest caz, se efectueaz urmtoarele calcule:- relaia (8.4.5) se mai poate scrie:

tB

teB

y

B = 210 1 (8.4.7)

- se noteaz cu: tBtt

t eBxy

Bx

== 210 1 (8.4.8)

12 BlntBxln t += (8.4.9)

- se aplic metoda celor mai mici ptrate, care presupuneminimizarea funciei:

( +=

T

tt tBBlnxlnmin

1

221 ) (8.4.10)

- n final se calculeaz t, adic numrul de perioade necesareevoluiei fenomenuluiypentru a atinge pragul de saturaie B0, sau valoarea

prognozat a fenomenului.

Aceast ultim tehnic de prognoz este frecvent folosit n previziunea fenomenelor economice care, ntr-o perioad iniial, au o

evoluie exponenial, dar, pe o perioad lung de timp, au o tendinlogistic.


32/41


8.4.2 Metoda Buys-Ballot

Aceast metod poate fi aplicat dac seria cronologic ndeplinete

urmtoarele condiii:- tendin liniar: btaYt += ;

- sezonalitate constant: .ctss tj ==

unde:

)1( += imjt ;

mj ,1= numrul subperioadelor (luni, trimestre);

ni ,1= numrul perioadelor (ani);sj coeficienii de sezonalitate ai subperioadeij;

st=sj,i coeficienii de sezonalitate ai subperioadeij n perioadele i.Aceste ipoteze de lucru implic utilizarea unui model aditiv de

descompunere a seriei cronologice:

tjtij usabtyy +++== (8.4.11)

sau

tjtij uabtyy ++== (8.4.12)

unde: jj saa += (8.4.13)

tiind c: i, deoarece

(principiul conservrii ariilor), rezult c:

amsaam

j

j

m

j

j =+= == 11

)( 01

==

m

j

js

=

=m

j

jam

a1

1 (8.4.14)

=

==m

j

jjjj am

aaas1

1 (8.4.15)


33/41

Modele econometrice

nlocuind n modelul (8.4.12) pe t = j + m (i - 1), prin aplicareametodei celor mai mici ptrate, se estimeaz parametrii b i aj cu ajutorul

crora se vor calcula coeficienii de sezonalitate,sj,i valoarea termenului

a, formulele lor de calcul fiind urmtoarele:

( )

( )121

2

0

1

+

= =

nn

ynnyi

b

n

ii

(8.4.16)

bnm

ya

2

1

0

+= (8.4.17)

bm

jyys jj

+= 21

0 (8.4.18)

Parametrii relaiei (8.4.11) fiind estimai, prognoza fenomenuluiy norizontul de prognoz (T,T+Q) are la baz urmtoarea relaie:

( )[ ] jhT sahimjbY ++++=+ 1 (8.4.19)

unde: Qh ,1= perioada de prognoz.

8.4.3 Metode de nivelare (lissage) a seriilor de timp

Aceste metode pornesc de la premisa c variabilele seriilor

cronologice sunt rezultatul unui proces autoregresiv:

ththttt uya...yayay ++++= 2211 (8.4.20)

Dei, teoretic, un proces autoregresiv poate fi de ordinul 1,2,,h, n

practic, de regul, se lucreaz cu un proces autoregresiv de ordinul 1:

ttt uayy += 1 (8.4.21)


34/41


Un proces autoregresiv de ordinul 1 poate fi stabil i staionar.Astfel, dac:

- |a| < 1 proces autoregresiv stabil;

- |a| = 1 puin utilizat i studiat, nu a fost nc denumit;- |a| > 1 proces autoregresiv exploziv, specific fenomenelor n

expansiune.Un proces autoregresiv este staionar dac toate momentele

variabileiyt, nt ,1= , sunt independente de timp:

thyMyMyM httt


35/41

Modele econometrice

Metoda mediilor mobile de ordinul 1 permite obinerea de estimatorinedeplasai dac seria de timp este staionar. Astfel, dac:

tt uy += 0 (8.4.23)0)( =tuM

.cts)u(M ut ==22

mkntyyyy ktttt ,1,,1),cov(),cov( 1 ===

Media estimaiilor valorilor teoretice este:

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] 0010100

1

00

1

0

11

...1

11

==++++++=

=

+=

=

=

=+

m

muMuMuM

m

um

Mym

MYM

mttt

m

k

kt

m

k

ktt

(8.4.24)

Dac seria de timp empiric prezint o tendin de form liniar, de

exemplu, aceast metod provoac o eroare sistematic (valorile teoreticevor fi subestimate fa de cele empirice), estimaiile Yt+1

1 fiind astfel

distorsionate. Deci, dac tt uty ++= 10 , media estimaiilor acestor

valori va fi:

( )[ ]

( )[ ]

( )

110

110

110

1

010

1

0

11

21

211

1211

11

+=

+=

=++++=

++=

=

=

=+

mt

mm

mt

m...tmmm

uktm

Mym

M)Y(Mm

kt

m

kktt

(8.4.25


36/41


Dac estimatorii 0i 1 sunt nedeplasai (obinui prin metoda celor

mai mici ptrate), ajustarea seriei de timp cu ajtorul metodei mediilormobile de ordinul 1 trebuie s se fac cu ajutorul relaiei:

1101

1 21

+=+m

tYt (8.4.26)

8.4.3.2 Nivelarea seriilor de timp cu ajutorul metodei mediilor

mobile de ordinul doi nivelare dubl

Lissage-ul (nivelarea) unei serii de timp cu ajutorul mediilor mobilede ordinul doi (nivelare dubl) const n a calcula alte medii mobile (Yt

2) dinmediile mobile de ordinul unu (Yt

1) utiliznd acelai numr de termeni - mca i n cazul nivelrii simple.

Relaia de calcul a termenilor seriei nivelat cu ajutorul mediilormobile de ordinul doi este:

==

=

=

=+

1

0

1

0

1

0

121

111 m

k

m

k

m

llktktt ymm

Ym

Y (8.4.27)

Se poate demonstra c ntre metoda de nivelare a seriilor de timp cuajutorul mediilor mobile de ordinul doi i situaia n care seria cronologic

prezint o tendin liniar, de exemplu, exist o coresponden.


37/41

Modele econometrice

Fieyt= 0 +1t+ut , atunci media termenilor relaiei (8.4.27) va fi:ncazul nivelrii cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul doi:

+

+=

=

++=

=

++=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=+

2

)1(

2

)1(1

1

))((1

1)(

110

1

0

1

011

20

2

2

1

0

1

0102

1

0

1

02

21

mmmm

mt

lkmtmmm

ulktm

M

ym

MYM

m

l

m

k

m

k

m

llkt

m

k

m

llktt

Deci:

)1()( 1102

1 +=+ mtYM t (8.4.28)

Comparnd relaiile (8.4.25)i (8.4.27) rezult c:1110110

21

11 2

1)1(

2

1)()(

=+

+= ++

mmt

mtYMYM tt (8.4.29)

De unde rezult c:

( )()(1

2 21

111 ++

= tt YMYMm ) (8.4.30)

tYMYM tt 102

11

1 )()(2 += ++ (8.4.31)

relaie care, dac se plaseaz originea n t= 0, devine:

)()(2 211

10 ++ = tt YMYM (8.4.32)


38/41


n cazul n care seria prezint o tendin liniar, parametrii acestuimodel vor trebui estimai pe baza valorilor ajustate cu mediile mobile deordinul unu i doi cu ajutorul relaiilor:

21

1110 2 +++ = ttt YY (8.4.33)

)(1

2 21

1111 +++

= ttt YYm (8.4.34)

Previziunea fenomenului se va determina cu ajutorul relaiei:

( ) ( ) tYYm

YYtY tttttott +=+= +++++++

21

11

21

11

11111 1

22 (8.4.35)

sau, generaliznd, rezult c:

hY hththt += +++ 10 (8.4.36)

Inconvenientul major al acestei metode n domeniul prognozeiconst n construirea unei serii de timp cu lungimea de cel puin (2m - 1)

perioade. Acest neajuns este eliminat de metoda nivelrii exponeniale, carenu necesit dect cunoaterea a dou sau trei valori ale fenomenuluiyt.

8.4.3.3 Metoda nivelrii exponeniale simple

Se poate aplica n cazul n care seria cronologic a fenomenuluistudiat nu prezint oscilaii sezoniere i este de tendin nul (seriestaionar).

Metoda nivelrii exponeniale simple se bazeaz pe urmtorul modelde prognoz:

( ) tt)t,t( YyY +=+ 11 ( )ttt YyY += (8.4.37)


39/41

Modele econometrice

unde:Y(t,t+1) = valoarea previzionat a fenomenului y efectuat n momentul

t pentru momentul t+1;

yt= valoarea real (empiric) a fenomenuluiy n momentul t;yt-Yt= eroarea de previziune din momentul t;

= constanta de nivelare (lisaj): 0<


40/41


Lisajul exponenial dublu (LED) se calculeaz cu relaiile de maisus, dac se lucreaz cu o serie de timp staionar. Dac aceast metod seaplic unei serii cu tendin, ea va conduce tot la obinerea de valori

distorsionate, subestimate.n cazul n care seria de timp iniial prezint o tendin

liniar yt = a + bt + ut termenii seriei estimai prin metoda lisajuluiexponenial dublu se vor calcula cu ajutorul relaiilor de mai jos:

hbaY ttht +=+2 (8.4.40)

unde:h = orizontul de prognoz, h = 1,2,

=

=

1

2

21

21

)YY(b

YYa

ttt

ttt

(8.4.41)

hYYYYY ttttht +=+

1

)()(2 21212 (8.4.42)

Cu ajutorul acestei metode, prognoza efectuat n momentul tpentru orizontul t+h, Yt+h se calculeaz cu formula:

)t()t,t()ht,t( bhSY 11

1+++

+

+= (8.4.43)

unde:

( ) )t,t(t)t,t( SyS 11 1 + += = prognoza pentru momentul t+1

efectuat cu metoda nivelrii exponeniale simple;


41/41

Modele econometrice

)t(bh 1

1+

+

= termenul de corectare a erorii sistematice a

metodei nivelrii exponeniale simple atunci cnd seria cronologic prezint

o tendin liniar.Precizia prognozei efectuate cu metoda nivelrii exponeniale

depinde att de respectarea restriciilor impuse de cele dou forme de

aplicare ale ei, ct i de mrimea constantei de nivelare - . n funcie de

mrimea acestei constante se calculeaz ponderea medie a observaiilor

trecute - k luate n calculul prognozei, Y(t,t+1). Aceasta va rezulta ca omedie aritmetic a momentelor de prognoz ponderate cu coeficienii

valorilor empirice aa cum apar n formula (8.4.38)- pentru k= 0 ponderea este ;

- pentru k= 1 ponderea este (1-);

- pentru k= 2 ponderea este (1-)2.

.. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

unde:

( )

( )

=

=

=

= 1

1

1

0

0

k

k

k

kk

k (8.4.44)

Acest termen specific prognozelor efectuate cu ajutorul metodei

nivelrii exponeniale se diminueaz pe msur ce crete

(= 0,1 k = 9;= 0,2 k = 4), adic ponderea medie a observaiilor

trecute pe care se fundamenteaz prognoza Y(t, t+1) se afl ntr-o relaie deinvers proporionalitate cu mrimea constantei de nivelare ..

08_analiza a a seriilor de timp

Documents