01 seminar 1 mecanica1

Seminar1 Noiuni de calcul vectorial

1

SEMINAR 1

NOIUNI DE CALCUL VECTORIAL

CUPRINS

1. Noiuni de calcul vectorial ..................................1

Cuprins ..................................1

Introducere ..................................1

1.1. Aspecte teoretice ..................................2

1.1.1. Definiii ..................................2

1.1.2. Adunarea vectorilor ..................................3

1.1.3. Multiplicarea unui vector cu un scalar ..................................3

1.1.4. Produs scalar ..................................4

1.1.5. Produs vectorial ..................................4

1.1.6. Produs mixt ..................................5

1.1.7. Produs dublu vectorial ..................................6

1.2. Aplicaii ..................................6

Bibliografie ..................................8

1. Noiuni de calcul vectorial

Introducere

seminar

n acest seminar se vor recapitula elementele calculului vectorial.

Dup definirea i clasificarea mrimilor vectoriale, vor fi trecute n

revist, sintetic, operaiile cu vectori.

Obiective seminar

Dup parcurgerea acestui seminar cursantul va ti:

- s defineasc o mrime vectorial;

- s adune doi vectori;

- s efectueze produsul scalar i vectorial a doi vectori;

- s efectueze produsul mixt i dublu a doi vectori.


2

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noiunilor prezentate n

acest modul i realizarea aplicaiilor.

1.1. Aspecte teoretice

1.1.1. Definiii

Mrimea scalar este marimea definit complet prin valoare numeric.

Mrimea vectorial este o mrime cu caracter geometric, definit prin mrime, punct de

aplicaie, direcie i sens. Din punct de vedere geometric, un vector este un segment de

dreapt orientat (fig. 1.1)

Fig 1.1. Vectorul a

n figura 1.1. este reprezentat vectorul a . Dreapta () se numete dreapta suport (suportul)

vectorului a . Punctul O se numete punctul de aplicaie (originea) vectorului a iar punctul A

se numete vrful vectorului a . Mrimea vectorului a se va nota cu a.

Un vector poate fi:

- liber punctul de aplicaie al vectorului poate ocupa orice poziie n spaiu, fr ca

rezultatele problemei studiate s se modifice; cu alte cuvinte, n problema studiat nu

intereseaz poziia punctului de aplicaie al vectorului;

- alunector punctul de aplicaie al vectorului poate ocupa orice poziie pe dreapta

suport a acestuia, fr ca rezultatele problemei studiate s se modifice;

- legat punctul de aplicaie ocup o poziie bine definit n spaiu; orice modificare a

acestei poziii conduce la modificarea rezultatelor problemei studiate.

O

A

()

a


3

n raport cu un sistem de referin cartezian, expresia analitic a unui vector este:

kajaiaa zyx ,

unde ax, ay, az sunt proieciile vectorului a pe axele unui sistem de referin cartezian avnd

versorii i , j i k . Se face precizarea c un versor este un vector avnd mrimea egal cu 1.

1.1.2. Adunarea vectorilor

Fie doi vectori a i b concureni. Expresiile analitice ale acestor vectori sunt:

kbjbibbkajaiaa zyxzyx

Rezultatul adunrii este tot un vector

cba

cu proprietatea c

zzzyyyxxx bacbacbac

Proprieti:

- comutativitate: abba ;

- asociativitate: )()( cbacba ;

- element neutru: aaa 00 ;

- element invers: 0)( aa .

O alt modalitate de adunare a doi vectori concureni este aplicarea regulii paralelogramului.

Aceast modalitate va fi prezentat ntr-un modul ulterior.

1.1.3. Multiplicarea unui vector cu un scalar

nmulirea unui vector a cu un scalar are ca rezultat un vector b , cu proprietatea:

zzyyxx ababab

Vectorul b are aceeai orientare cu vectorul a dac este pozitiv. Cei doi vectori au sensuri

opuse dac este negativ.

Proprieti:

- comutativitate: aa ;

- asociativitate: )()()( aaa ;


4

- distributivitate n raport cu adunarea vectorilor: baba )( ;

- distributivitate n raport cu adunarea: aaa)( .

1.2.4. Produs scalar



Produsul scalar al celor doi vectori ba are ca rezultat un scalar:

zzyyxx babababa

sau

),(cos baabba

Se observ c pentru a i b diferii de zero, produsul lor scalar este egal cu zero dac cei doi

vectori sunt perpendiculari. Rezult condiia de perpendicularitate a doi vectori nenuli:

bababa 0,,0

Proprieti:

- comutativitate: abba ;

- distributivitate n raport cu adunarea vectorilor: cabacba )( ;

- 222 aaaaa .

1.2.5. Produs vectorial



Produsul vectorial al celor doi vectori ba este un vector, c , ale crui proiecii sunt date de

expresiile:

xyyxzzxxzyyzzyx babacbabacbabac

Din expresiile proieciilor vectorului c se observ c acesta poate fi exprimat sub forma:


5

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac

Vectorul c este un vector perpendicular pe planul format de vectorii a i b , orientat astfel

nct triedrul cba s fie un triedru drept (dac sistemul de referin utilizat este un sistem

drept de referin).

Mrimea vectorului c mai poate fi determinat n felul urmtor:

),(sin baabc

Se observ c pentru a i b diferii de zero, produsul lor vectorial este egal cu zero dac cei

doi vectori au aceeai direcie (sunt paraleli sau coliniari):

coliniarisauparalelibababa ,0,,0

Valoarea absolut a produsul vectorial a doi vectori reprezint aria paralelogramului avnd ca

laturi cei doi vectori.

Proprieti:

- anticomutativitate: )( abba ;

- distributivitate n raport adunarea vectorilor: cabacba )( .

1.1.6. Produs mixt

Fie trei vectori a , b i c coliniari. Expresia )( cba se numete produsul mixt al

vectorilor a , b i c . Rezultatul este un scalar, obinut din dezvoltarea urmtorului

determinant:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cbacba ),,()(

Valoarea absolut a produsului mixt este egal cu volumul paralelipipedului construit pe cei

trei vectori.


6

Proprieti:

- condiia necesar i suficient ca trei vectori a , b i c s fie coplanari este ca

produsul lor mixt s fie nul;

- )()( cbacba ;

- determinatul lui Gramm:

ccbcac

cbbbab

cabaaa

cba 2),,(

1.2.7. Produs dublu vectorial

Fie trei vectori a , b i c coliniari. Expresia )( cba se numete produsul dublu al

vectorilor a , b i c . Rezultatul este un vector, obinut cu formula produsului dublu:

)()()( baccabdcba

Proprieti:

- vectorul d este un vector situat n planul format de vectorii b i c ;

- 0)()()( bacacbcba .

1.2. Aplicaii

Aplicaia rezolvat

1

Fie vectorii kjia 653 i kjib 426 . S se determine

expresia analitic a vectorului bac .

Rezolvare:

Proieciile vectorului c pe axele sistemului de referin se

calculeaz astfel:

24)6(

3)2(5

963

zzz

yyy

xxx

bac

bac

bac

Expresia analitic a vectorului c este:

kjikcjcicc zyx 239


7

Aplicaia rezolvat

2

Se cunosc vectorii kjia 542 i kjib 474 . Sunt cei

doi vectori perpendiculari?

Rezolvare:

Condiia de perpendicularitate a doi vectori este ca produsul scalar

al celor doi vectori s fie zero.

045)7(442zzyyxx bababababa

Rezult c vectorii a i b sunt perpendiculari.

Aplicaia rezolvat

3

Se cunosc vectorii kjia 652 i kjib 23 . S se

determine expresia analitic a vectorului bac i s se arate c

vectorul c este perpendicular pe planul format de vectorii a i b .

Rezolvare:

kji

kji

kji

bac

11228

]15)3(2[)]1622([)]3(625[

231

652

Dac vectorul c este perpendicular pe planul format de vectorii a

i b , atunci el trebuie s fie perpendicular pe fiecare vector n parte:

02)11()3(2128

06)11(52228

bc

ac

Aplicaia rezolvat

4

S se arate c vectorii kjia 642 , kjib 432 i

kjic 543 sunt coplanari.

Rezolvare:

Condiia ca trei vectori s fie coplanari este ca produsul lor mixt s

fie egal cu zero:

0

543

432

642

)(),,( cbacba


8

Exerciiul 1

Fie vectorii kjia 394 i kjib 247 . S se determine

expresia analitic a vectorului bac .

Rspuns: kjic 553

Exerciiul 2


doi vectori perpendiculari?

Rspuns: Da

Exerciiul 3


doi vectori paraleli?

Rspuns: Da

Bibliografie modul

[1]. Vlcovici, V., Blan, t., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretic,

Editura Tehnic, Bucureti, 1963, pag. 28-41.

01 seminar 1 mecanica1

Documents