2

Curs 3

Metode moderne de maximizare a profitului unei firme

prin folosirea eficient a resurselor limitate

3.1. Introducere

Creterea eficienei economice n orice sector de activitate nseamn n primul rnd organizarea n aa fel a activitii economice nct cu resursele materiale, financiare i cu fora de munc de care dispunem s se obin cele mai bune rezultate [1]. Modelarea matematic (n particular, programarea liniar prin metoda geometric) este una din metodele de optimizare a profitului unei firme / ntreprinderi industriale, a unei secii a acesteia sau, n general, de organizare a activitilor productive din orice sector de activitate.

n situaia n care dispunem de suficiente resurse materiale, financiare i de for de munc, avem de-a face cu programe fr restricii. Este situaia cea mai favorabil, care nu ridic probleme sau ridic probleme minore de organizare. n general, ns, dispunem de resurse limitate, fie c sunt resurse materiale, financiare sau de for de munc specializat. n acest caz avem de-a face cu programe cu restricii.

3.2. Exemple de programe cu restricii

a) S presupunem c n seciile de producie ale unei ntreprinderi de mbuteliat buturi rcoritoare trebuie s realizm sortimentele de produse A, B, C, D, de exemplu:

A Fanta;

B Coca-cola;

C Cappi Tempo;

D Sprite,

n butelii de l. Se cere s se determine cantitile x1, x2, x3, x4 din fiecare tip de produs A, B, C, D care maximizeaz beneficiul ntreprinderii.

Datele privind disponibilitile de utilaje, fondul de timp aferent precum i beneficiul unitar sunt, pentru exemplificare, prezentate n tabelul 1.

Tabelul 1

Nr. crt.Denumirea grupei de maini i utilaje folosite la realizarea produselor Fondul de timp disponibil

[ore utilaj/an]Consumul de timp efectiv

pentru realizarea unui set de operaii necesare fiecrui produs

[s]

ABCD

1.U110 00012546

2.U27 000532,55

3.U35 00021,542

4.U43 0001304

Beneficiul unitar [lei/produs]0,2500,1750,3500,500

Cu ajutorul datelor din tabelul 1 (i transformarea n secunde a fondului de timp disponibil al utilajelor) se construiete urmtorul model de programare liniar:

cu restriciile:

Funcia z, dat de relaia (1), reprezint beneficiul seciei n lei/an, corespunztor realizrii acestor sortimente de produse.

Pentru tehnician, calculul necunoscutelor x1, x2, x3, x4 (numrul de uniti realizate din fiecare produs) este o problem de matematic, iar pentru secie este o problem de optimizare a profitului.

b) ntr-o secie a unei ntreprinderi se realizeaz simultan trei sortimente de produse A, B, C. Regimul de lucru este de dou schimburi pe zi a 8 ore. Se consider c se lucreaz 5 zile/sptmn, 52 sptmni/an. Timpul afectat reparaiilor preventive ale utilajelor este 6% din totalul de timp anual, adic timpul efectiv de lucru va fi: 0,94 x 52 spt./an x 5 zile/spt x 16 ore/zi = 3910,4 ore/an.utilaj. Se cere s se determine cantitile din fiecare tip de produs A, B, C care maximizeaz ncrcarea utilajelor.

Datele privind disponibilitile de utilaje, fondul de timp efectiv necesar realizrii produselor A, B, C sunt, pentru exemplificare, prezentate n tabelul 2.

Tabelul 2

Nr. crt. Denumirea utilajului Numrul

de utilaje disponibile

[buc]Fondul de timp efectiv corespunztor fiecrui ultilaj pentru realizarea produselor A, B, C

[ore/buc]

ABC

1.U151246

2.U21072543

3.U34201022

4.U4331134

5.U57587

Total ore/buc4758112

Rezult modelul de programare liniar:

(3)

cu restriciile:

(4)

ncrcarea optim a utilajelor rezult din rezolvarea matematic a sistemului de inecuaii (4).

c) Problema aprovizionrii

Patru produse diferite sunt stocate cte unul n fiecare din depozitele D1, D2, D3, D4, din care se aprovizioneaz patru consumatori A, B, C, D. Se cere costul total al aprovizionrii consumatorilor cu materiale, dac se cunosc stocurile, necesarul de materiale, preul unitar al transportului (Pu.trsp. lei/103t.km) i distanele consumatorilor fa de depozite. Datele problemei sunt centralizate n tabelul 3.

Tabelul 3

Nr. crt.Denumirea depozituluiCantitile de produs stocate n fiecare depozit

[t]Necesarul

consumatorilor

[mii t]Distana consumatorilor

fa de depozit

[km]

ABCDABCD

1.D115.000524364,379,4

2.D212.00031-86,947,39,2

3.D37.00022117,947,69

4.D425.000575494,68,29,1

Soluie

n cazul de fa problema aprovizionrii este o problem fr restricii, deoarece se cunoate cantitatea necesar din fiecare produs, aceasta fiind cu cea aflat n depozite:

5000 + 2000 + 4000 + 3000 = 14000 < 15000

3000 + 1000 + 8000 = 12000

2000 + 2000 + 1000 + 1000 = 6000 < 7000

5000 + 7000 + 5000 + 4000 = 21000 < 25000

Fie C1 costul aprovizionrii consumatorilor cu materiale din depozitul D1. Rezult:

i analog, pentru depozitele D2, D3, D4:

Costul total al aprovizionrii consumatorilor cu materiale va fi:

3.3. Rezolvarea geometric a problemelor de optimizare prin metoda programrii liniare

Metoda geometric de rezolvare a problemelor de optimizare prin programarea liniar este aplicabil numai n ipoteza n care numrul variabilelor din sistemul de inecuaii este 2; n celelalte cazuri se folosete algoritmul simplex primal.

a) Prezentarea metodei

S considerm sistemul de inecuaii:

S admitem, pentru exemplificare, c valoarea maxim a funciei este definit prin relaia: , cu restriciile , .

Soluie

S considerm egalitatea din prima ecuaie a sistemului (5). Rezult dreapta de ecuaie

.

Reprezentarea dreptei prin tieturi conduce la:

;

,

iar domeniul optim (pentru ) este situat deasupra acestei drepte.

Procednd analog cu celelalte inecuaii, i considernd i restriciile , , se obine reprezentarea grafic din fig. 1, unde sistemul de inecuaii are ca soluie domeniul A, B, C, D, E, A, domeniu ce conine i valoarea maxim a funciei .

Pentru a determina maximul funciei z, notm

unde f este un parametru.

Fig. 1

Pentru f = 0, obinem:

Dreapta (D0) este o dreapt ce trece prin origine. Maximul funciei z se afl la limita domeniului ():

unde (D) || (D0).

b) Aplicaia 1

S se rezolve geometric maximul funciei

numit funcie scop, n condiiile respectrii restriciilor i

S considerm egalitatea din prima ecuaie a sistemului (7). Rezult dreapta de ecuaie

Reprezentarea dreptei prin tieturi conduce la:

iar domeniul optim pentru

este situat deasupra acestei drepte.

Procednd analog cu celelalte inecuaii, i considernd i restriciile , , se obine reprezentarea grafic din fig. 2, unde sistemul de inecuaii are ca soluie domeniul (), domeniu ce conine i valoarea maxim a funciei scop.

Fig. 2

Pentru a determina maximul funciei z, notm

unde f este un parametru.

Pentru f = 0, obinem:

Dreapta (D0) este o dreapt ce trece prin origine. Maximul funciei z se afl la limita domeniului ():

unde (D) || (D0). Din rezolvarea sistemului de ecuaii (9), rezult coordonatele punctului de maxim, respectiv: x1 = 5,091; x2 = 0,909, iar funcia scop:

Concluzii

Ca i alte metode de rezolvare a problemelor de programare liniar (cum ar fi, de exemplu, algoritmul simplex primal care, de altfel, este mai laborios) [2], metoda geometric stabilete soluia optim ns, pe lng aceasta, evideniaz domeniul () de existen a sistemului de inecuaii. Acest lucru este deosebit de important n aplicaiile practice, deoarece se pot considera i alte soluii posibile din domeniul (), mai mult sau mai puin deprtate de soluia optim, dar legate nemijlocit de cerinele pieei.

Bibliografie

[1] R. LLOID i colab., Planul de afaceri, Editura Expert, Bucureti, 1997.

[2] E. RUSU, Decizii optime n management prin metode ale cercetrii operaionale, Ed. Junimea, Iai, 1997.

*** http//ec.europa.eu/environment/resource_efficiency/

_260500696.unknown

_268079520.unknown

_268079840.unknown

_268080160.unknown

_268080480.unknown

_268080800.unknown

_268081120.unknown

_268081440.unknown

_268081760.unknown

_268082080.unknown

_268082400.unknown

_268082720.unknown

_268152932.unknown

_268153572.unknown

_268153892.unknown

_152976284.unknown

_152976924.unknown