Titular curs: Şef lucrări dr.mat. Pop N.Daniel Laborator : Şef lucrări dr.mat. Pop N.Daniel

Fiecare dintre noi foloseste cuvântul “probabil” in limbajul curent de câteva ori pe zi, atunci când se referă la posibilitatea ca un anumit eveniment să se întâmple.Indiferent dacă avem sau nu cunoştinţele matematice necesare, estimăm şi comparăm frecvent probabilităţi, uneori fără să ne dăm seama, în special atunci când luăm decizii. Dar probabilităţile nu sunt numai nişte simple numere atasate obiectiv sau subiectiv evenimentelor, aşa cum ar părea la prima vedere, iar calculul şi utilizarea lor sunt foarte predispuse la erori calitative sau cantitative, în absenta unor cunoştinţe adecvate.

În spatele cuvântului probabilitate, care în vorbirea curentă reprezintă un anumit grad de încredere subiectiv în producerea unui eveniment, se află un întreg ansamblu conceptual dezvoltat de teoria probabilităţilor. Mai mult, conceptul de probabilitate are implicaţii filozofice și psihologice majore, precum și numeroase interpretări. Însă niciuna din interpretarile sale nu poate face abstracţie de definiţia matematică.

Numim probabilitate a unui eveniment raportul dintre numărul situaţiilor favorabile pentru ca evenimentul să se producă și numărul tuturor situaţiilor egal posibile.

Teoria probabilitatilor extinde aceasta definiţie pe o mulţime de evenimente mai complexă (sigma-câmp de evenimente), înzestrată cu o anumită structură matematică, și definește pe aceasta mulţime o funcţie cu anumite proprietăţi.

Aceasta funcţie - numită probabilitate - este de fapt o măsură pe un câmp de evenimente, cu valori in intervalul [0, 1].

Inițial, teoria probabilităților a avut ca origine modelul reprezentat de jocurile de noroc, in special în Franţa secolului al XVII-lea, fiind inaugurată de corespondența dintre Fermat si Pascal.

Axiomatizarea sa completă a trebuit să aștepte însă lucrarea lui Kolmogorov Fundamentele teoriei probabilitatilor, publicată in 1933. Cu timpul, teoria probabilitătilor a găsit multiple modele în natură, devenind o ramura a matematicii cu aplicaţii din ce în ce mai numeroase. În fizică, teoria probabilitatilor a devenit un instrument de calcul de baza, odată cu crearea termodinamicii şi, mai târziu, a fizicii cuantice.

Aceasta metodă este uzuală în studiul fenomenelor fizice, mecanice și în aplicatii tehnice. Întâmplarea și complexitatea, multitudinea cauzelor care intervin, conduc la metode speciale de studiere a fenomenelor aleatoare, metode elaborate de teoria probabilităților.

Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazeaza pe faptul ca, prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, în condiţii practic identice, frecvenţa relativă a apariţiei unui anumit rezultat (raportul dintre numarul experimentelor in care apare rezultatul și numărul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ același, osciland in jurul unui număr constant.

Dacă acest lucru se întâmplă, atunci unui eveniment dat îi putem asocia un număr, anume probabilitatea sa. Această legatură între structura unui câmp de evenimente și număr este o reflectare în matematică a transferului calităţii în cantitate

S-a constatat că, în lumea inconjurătoare, fenomenele deterministe ocupă doar o mică parte. Imensa majoritate a fenomenelor din natura și societate sunt stochastice (aleatoare, modelabile probabilistic și statistic).

Studiul acestora nu poate fi făcut pe cale deterministă și, de aceea, știința hazardului a apărut ca o necesitate.

Teoria probabilitatilor studiaza legile după care evolueaza fenomenele aleatoare.

Iată câteva exemple de fenomene aleatoare: 1. Cel mai simplu exemplu este dat de

experimentul care consta în aruncarea zarului, rezultatul experimentului fiind dat de cifra aratată de zar la oprire.

Repetând experimentul de un număr de ori, nu putem prevedea care va fi cifra aratătă de zar dupa fiecare aruncare, deoarece aceasta depinde de mulţi factori întâmplători (impulsul iniţial al zarului, poziţia lui în momentul aruncării, particularitatile suprafetei pe care se rostogoleste, etc.)

2. O persoană face zilnic drumul între casă și locul de muncă. Timpul drumului nu este constant, ci prezinta variatii datorate factorilor întămplători (trafic, condiții meteo, etc.)

3. Nu se poate prevedea numărul de rateuri la un anumit număr de trageri asupra unei ținte.

4. Nu știm dinainte care vor fi numerele ce se vor extrage la loto.

În aceste experimente, condițiile esențiale ale experimentului rămân neschimbate.

Toate variațiile au loc datorită unor factori secundari, care influentează rezultatul experimentului.

Din multitudinea factorilor care intervin în fenomenele studiate, îi vom selecționa pe cei decisivi și vom neglija influența factorilor secundari.

Probabilitatea nu este expresia gradului subiectiv de încredere a omului în producerea evenimentului, ci caracterizarea legăturii obiectiv existente între condiții și eveniment, între cauză și efect. Probabilitatea unui eveniment are sens atâta timp cât ansamblul de condiții rămâne neschimbat, orice modificare a acestor condiții atrăgând după sine modificarea probabilității și deci modificarea legii statistice a fenomenului.

Practic nu există domenii ştiinţifice în care teoria probabilităţilor să nu fie aplicată. De asemenea, sociologia foloseste calculul probabilistic drept instrument principal. Mai mult, unele domenii comerciale se bazează pe probabilităţi (printre altele, asigurări, pariuri, cazinouri).

Efectuarea unui calcul probabilistic înseamna a găsi probabilitatea numerică a unui eveniment, prin aplicarea proprietăţilor probabilităţii și operarea calculelor pentru parametrii specifici aplicaţiei sau problemei respective. Nu trebuie să fiţi matematician și nu trebuie sa aprofundati notiunile teoriei probabilitatilor pentru a putea efectua calcule probabilistice pentru aplicaţii finite. Abilităţile de calcul probabilistic pot fi dezvoltate prin procedee algoritmice.

Singurele lucruri care trebuie știute dinainte sunt principalele definiţii şi un set de formule. Și abilităţile de calcul combinatoric sunt binevenite. În afara acestor cunoștiinţe minime de teoria probabilităţilor și combinatorică, singura cerinţă pentru rezolvitorul care nu este matematician este aceea de a stăpâni bine cele patru operatii cu numere reale și calculul algebric de bază

Teoretic, orice problemă de calcul probabilistic, oricât de complexă ar fi, poate fi descompusă în aplicații succesive elementare care utilizează formule de bază, însă de cele mai multe ori finalizarea calculului poate fi anevoioasă sau chiar practic imposibilă, ca să nu mai vorbim de riscul crescut al apariției greșelilor în cadrul unei succesiuni foarte lungi de calcule.

Utilizarea combinatoricii sau chiar a repartiţiilor probabilistice clasice pot rezolva de multe ori în mod simplu și elegant astfel de probleme în care rezolvarea "pas cu pas" este prea anevoioasă și supusă erorilor de calcul.

Fiecare soluție a unei aplicații probabilistice se supune unui algoritm de bază, care asigura în linii mari corectitudinea încadrării și abordării problemei de calcul, precum și a aplicarii rezultatelor teoretice. Chiar dacă metodele de rezolvare ale unei probleme pot fi multiple, orice procedeu este aplicat in baza acestui algoritm general, care este valabil pentru orice aplicație probabilistică de tip finit sau discret.

Algoritmul de rezolvare cuprinde trei etape principale:

1. încadrarea problemei (stabilirea câmpului de probabilitate asociat experimentului, prin definirea textuală a evenimentelor de măsurat),

2. stabilirea procedeului teoretic (alegerea metodei de lucru, selectarea formulelor care urmează a fi folosite)

3. calculul propriu-zis (calcul aritmetic sau combinatoric si aplicarea formulelor).

Asa cum am menţionat, calculul probabilistic a fost dezvoltat pentru a răspunde întrebarilor asupra fenomenelor aleatoare, inclusiv in jocurile de noroc.

Pentru ceea ce pare sa fie cel mai popular domeniu recreativ din zilele noastre, anume jocurile de noroc (în special jocuri ca poker, ruleta, blackjack, sloturi sau loto), teoria probabilitatilor a devenit o necesitate incontestabilă.

Definiția 1 Prin experiență se înțelege orice act care poate fi repetat în condiții date.

Definiția 2 Toate situațiile legate de o experiență și despre care putem spune cu certitudine că s-au produs sau nu, după efectuarea experienței poartă numele de evenimente.

Definiția 3 Evenimentele A și B se numesc compatibile dacă se pot produce simultan, adică există rezultate care favorizează atât pe A cât și pe B.

Definiția 4. Vom spune că evenimentul A implică evenimentul B sau că evenimentul B este implicat de evenimentul A, dacă B se produce ori de câte ori se produce A.

Definiția 5. Spațiul de selecție al unei experiențe este o mulțime de elemente astfel încât orice eveniment rezultat în urma unei experințe corespunde unui singur element al acestei mulțimi.

Definiția 6. Numărul f (n)=alpha/n, poartă numele de frecvență relativă a evenimentului A (0<=alpha<=n), 0<=f (n)<=1.

Definiția 7. Dacă în urma efectuării unei anumite experințe pot rezulta n evenimente egal probabile diferite și dacă din acestea m definesc evenimentul A, atunci probabiltatea evenimentului A este:

P(A)=m/n Teorem a 1 . Dacă A,B, ... sunt evenimente

incompatibile, atunci : P(AUBU...)=P(A)+P(B)+....

Teorem a 2. Dacă A și B sunt evenimente dintr-un spaţiu de selecţie S finit, atunci

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A ∩B) Definiția 8. Dacă evenimentele A,B, ... Sunt

incompatibile și dacă reuniunea lor conţine toate punctele spaţiului se selecţie S, atunci vom spune că ele realizează

O partiţie a spaţiului de selecţie S și mai mult:

P(A)+P(B)+...= 1

Probabilitate asociată oricărui eveniment ≥ 0 Probabilitatea întregului spaţiu de selecţie

este 1. Dacă evenimentele A și B sunt incompatibile,

atunci: P(AUB)=P(A)+P(B)

Definiția 9. Evenimentele A și B sunt independente dacă:

P(A ∩B)=P(A)*P(B) Teorema 3. Dacă A și B sunt independente, având

probabilităţile nenule , atunci mulţimile A și B au un punct de selecţie comun.

Definiția 10. Probabilitatea lui A condiţionată de B, notată P(A/B) este:

P(A/B)=(P(A∩B)/(P(B);P(B)≠0

Teorema 4. (Formula probabiltăților totale) Dacă evenimentele A, B, ... realizează o

desfacere a spaţiului de selecţie S și dacă X este un eveniment al acestui spaţiu atunci:

P(X)=P(A)P(X/A)+P(B)P(X/B)+....

G.Ciucu, V.Craiu- Introducere în Teoria Probabilităţilor şi Statistică – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti ,1971

P.Blaga- Statistică prin Matlab - Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2000

D.N.Pop- Iniţiere în Matlab - Câteva aplicaţii practice în diverse domenii de activitate- Editura Presa Universitară Clujeană, 2013

B.Apolloni, A.Barrchielli, E.Batistini, D.Defalco, M.Verri- Problemi svolti di probabilita e statistica matematica- Mc.Graw-Hill,1993.

P. Blaga-Statistică prin Matlab, Editura Presa Universitară Clujeană, 2002.

G.Ciucu,V.Craiu-Introducere în Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică,1971

G.Beganu, L.Bădin, L.Manu, M.Covrig, A.Toma-Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Culegere de probleme-Editura Meteor Press, 2004.

G.Ciucu, V.Craiu, I.Săcuiu- Probleme de teoria probabiltăţilor- Editura Tehnică Bucureşti, 1974

Daniel N.Pop-Inițiere în Matalab-Câteva aplicaţii practice în diverse domenii de activitate- Editura Presa Universitară Clujeană , 2013.