vibratiile sistemelor mecanice
DESCRIPTION
vibratiile sistemelor mecaniceTRANSCRIPT
Liviu BERETEU
VIBRAŢIILE SISTEMELOR MECANICE
2009
2
PREFAŢĂ
Dintre toate disciplinele faţă de care inginerul rămâne profund îndatorat, de aproape un secol, datorită succeselor acţiunilor sale, Vibraţiile Sitemelor Mecanice ocupă un loc de prim rang.
Cunoaşterea şi utilizarea noţiunilor de vibraţii mecanice au devenit necesităţi
fundamentale pentru o largă serie de specialişti: fizicieni, ingineri, arhitecţi, etc. De la geofizicieni la constructori şi până la medici a crescut interesul pentru această disciplină.
Protecţia împotriva vibraţiilor excesive este preocuparea principală a inginerilor proiectanţi. Proiectarea şi construcţia unor maşini vibratoare este, adesea, dorinţa inginerilor mecanici şi a inginerilor de sunet. Măsurarea şi interpretarea vibraţiilor mecanice sunt sarcini importante în activitatea de întreţinere predictivă a maşinilor.
Datorită progreselor din analiza numerică şi a instrumentelor de măsură care sunt astăzi la îndemâna specialistului: programe sofisticate de elemente finite sau elemente de frontieră, echipamente de analiză digitală a semnalelor etc, acesta se găseşte în posesia unui ansamblu complet de mijloace pentru studiul şi descrierea mişcărilor vibratorii.
Scopul principal al acestei cărţi este de a da noţiuni de bază în mecanica vibraţiilor, tocmai pentru a putea fi utilă studenţilor de la diferite specializări. Bazată pe o documentaţie la zi, nu ne îndoim că ea va fi de un real folos. Pentru a întări deprinderile practice ale studenţilor, este dat un număr mare de probleme rezolvate.
3
CUPRINS 1. VIBRAŢIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE 1.1.Stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale vibraţiilor..............................................................
1.1.1.Caracteristici elastice şi de amortizate. Legarea în serie şi în paralel a elementelor elastice..............................................................................................................................................
1.1.2.Modelul mecanic de translaţie pentru vibraţiile liniare ale sistemelor materiale..... 1.1.3.Modelul mecanic de torsiune pentru vibraţiile liniare ale sistemelor materiale....... 1.1.4.Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării sistemelor materiale cu un grad de libertate
cu ajutorul ecuaţiei lui Lagrange de speţa a II-a............................................................................. 1.1.5.Forţe perturbatoare....................................................................................................
1.2.Răspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite excitaţii..... 1.2.1.Vibraţii libere neamortizate...................................................................................... 1.2.2.Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă...................................................................... 1.2.3.Vibraţii libere cu amortizare uscată.......................................................................... 1.2.4.Răspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excitaţia impuls.... 1.2.5.Vibraţii forţate neamortizate cu forţă perturbatoare oarecare.................................. 1.2.6.Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţă perturbatoare oarecare................... 1.2.7.Vibraţii forţate neamortizate cu forţă perturbatoare armonică................................. 1.2.8. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţă perturbatoare armonică................. 1.2.9. Răspunsul complex în frecvenţă.............................................................................. 1.2.10. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţă perturbatoare periodică............... 1.2.11. Aspecte energetice în studiul vibraţiilor liniare. Amortizare structurală...............
1.3.Probleme...................................................................................................................... 2. VIBRAŢIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 2.1.Stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a II-a.......................................................................................................................... 2.2.Ecuaţiile micilor oscilaţii............................................................................................. 2.3.Vibraţii în sisteme cu caracteristici liniare................................................................... 2.4.Vibraţii libere neamortizate.........................................................................................
2.4.1.Pulsaţii proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de mişcare............................ 2.4.2.Ortogonalitatea modurilor proprii............................................................................. 2.4.3.Coordonate normale. Răspunsul sistemului la excitaţie iniţială............................... 2.4.4.Sisteme cu moduri de corp rigid...............................................................................
2.5.Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă......................................................................... 2.5.1.Determinarea legilor de mişcare............................................................................... 2.5.2.Vibraţii libere cu amortizare proporţională...............................................................
2.6.Vibraţii forţate neamortizate........................................................................................ 2.6.1.Vibraţii forţate neamortizate cu forţe perturbatoare oarecare...................................
4
2.6.2.Vibraţii forţate neamortizate cu forţe perturbatoare armonice de aceeaşi pulsaţie... 2.7.Vibraţii forţate amortizate............................................................................................
2.7.1.Vibraţii forţate amortizate cu forţe perturbatoare oarecare....................................... 2.7.2.Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţe perturbatoare armonice de aceeaşi
pulsaţie............................................................................................................................................ 2.8.Probleme...................................................................................................................... 3. APLCAŢII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRAŢIILOR 3.1.Consideraţii generale................................................................................................ 3.2.Turaţii critice ale vibraţiilor de torsiune ale unui arbore elastic cu mai mulţi volanţi............................................................................................................................. 3.3.Turaţii critice ale vibraţiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu mai mulţi volanţi.............................................................................................................................. 3.4.Izolarea vibraţiilor..................................................................................................... 3.5.Amortizorul dinamic simplu..................................................................................... 3.6.Aparate mecanice pentru măsurarea vibraţiilor........................................................ 3.7.Aparate electrice pentru măsurarea vibraţiilor.......................................................... 3.8.Măsurători de vibraţii şi prelucrarea semnalelor....................................................... 4. VIBRAŢII NELINIARE ŞI PARAMETRICE 4.1.Consideraţii generale................................................................................................ 4.2.Studiul în planul fazelor al vibraţiilor neliniare........................................................ 4.3.Puncte singulare şi traiectorii de fază pentru sisteme liniare.................................... 4.4.Metoda exactă pentru studiul vibraţiilor neliniare pentru sisteme conservative....... 4.5.Metoda liniarizării echivalente.................................................................................. 4.6.Metoda variaţiei lente a amplitudinii şi a fazei iniţiale............................................. 4.7.Metoda parametrului mic.......................................................................................... 4.8.Metoda balanţei armonice......................................................................................... 4.9.Metoda lui Ritz.......................................................................................................... 4.10.Autovibraţii produse de frecarea uscată.................................................................. 4.11.Ecuaţia lui Duffing.................................................................................................. 4.12.Vibraţii parametrice................................................................................................. 4.13.Probleme.................................................................................................................. 5. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE 5.1.Vibraţiile longitudinale ale barelor drepte.................................................................
5.1.1.Deducerea ecuaţiei de mişcare............................................................................... 5.1.2.Condiţii iniţiale şi la limită.................................................................................... 5.1.3.Vibraţii longitudinale libere. Metoda separării variabilelor.................................. 5.1.4.Relaţii de ortogonalitate......................................................................................... 5.1.5.Vibraţii longitudinale amortizate ale barei............................................................ 5.1.6.Vibraţii longitudinale forţate ale barei...................................................................
5.2.Vibraţii de răsucire ale barelor.................................................................................. 5.3.Vibraţii transversale ale barelor.................................................................................
5.3.1.Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale............................................................. 5.3.2.Condiţii iniţiale şi la limită..................................................................................... 5.3.3.Vibraţii libere transversale ale barelor...................................................................
5
5.3.4.Relaţii de ortogonalitate......................................................................................... 5.4.Probleme.................................................................................................................... 6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE 6.1.Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate.......................
6.1.1.Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare................................. 6.1.2.Integrarea numerică pas cu pas...............................................................................
6.2.Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de libertate............................................................................................................................
6.2.1.Metoda diferenţelor finite....................................................................................... 6.2.2.Metoda Newmark....................................................................................................
6.3.Metode analitice aproximative................................................................................... 6.3.1.Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue............................ 6.3.2.Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor
presupuse....................................................................................................................................... 6.3.3.Metoda Rayleigh..................................................................................................... 6.3.4.Metoda Rayleigh – Ritz.......................................................................................... 6.3.5.Metoda Galerkin.....................................................................................................
6.4.Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii................................. 6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare....................................................... 6.4.2.Metoda raportului Rayleigh.................................................................................... 6.4.3.Metoda matricelor de transfer.................................................................................
6.5.Probleme.................................................................................................................... BIBLIOGRAFIE............................................................................................................
6
1. VIBRAŢIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE
1.1. Stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale vibraţiilor
1.1.1. Caracteristici elastice şi de amortizare. Legarea în serie şi în paralel a elementelor elastice
În studiul vibraţiilor sistemelor mecanice se fac diferite ipoteze simplificatorii, care reduc sistemul real la un model analitic (model mecanic). Modelele mecanice sunt de două tipuri: modelul sistemului continuu şi modelul sistemului cu parametrii discreţi. Numărul parametrilor geometrici independenţi, care precizează poziţia unui sistem, reprezintă numărul gradelor de libertate. Chiar şi în cazul sistemelor cu mai multe grade de libertate, studiul mişcării se reduce la folosirea a două modele mecanice: modelul de translaţie şi modelul de rotaţie.
Odată ales modelul mecanic se poate trece la aplicarea metodelor de obţinere a ecuaţiilor diferenţiale. Aceste ecuaţii diferenţiale constituie modelul matematic al sistemului.
Componentele, care constituie modelul cu parametrii discreţi ai unui sistem, sunt acelea care dau legătura între forţe, deplasări, viteze şi acceleraţii sau între momente, unghiuri, viteze unghiulare şi acceleraţii unghiulare.
Componenta care leagă forţa de deplasare este arcul, care în mod obişnuit se consideră fără masă şi pentru care se consideră o relaţie liniară între forţă şi elongaţie (deformaţie). Constanta elastică poate fi determinată măsurând deformaţia produsă de o forţă constantă cunoscută F.
sty
Fk = (1.1)
În cazul unui arc elicoidal, asupra căruia acţionează forţa F, acesta va avea o deformaţie statică:
4
38Gd
FnDyst =
(1.2) unde n reprezintă numărul de spire, D este diametrul de înfăşurare al spirelor, d este diametrul spirei, iar G este modulul de elasticitate transversal. Constanta elastică a arcului elicoidal este:
3
4
8nDGd
yFk
st
== (1.3)
7
Pentru un cablu supus la întindere (fig. 1.1.) costanta elastică este:
l
EAYstFk == (1.4)
pentru o bară încastrată la un capăt, supusă la încovoiere (fig. 1.2.), costanta elastică este:
3
3l
IEyFk z
st
⋅== (1.5)
iar pentru o bară elastică încastrată la un capăt şi supusă la răsucire printr-un moment aplicat la celălalt capăt (fig. 1.3.), constanta elastică la torsiune este:
l
GIMk p
st
==θ
(1.6) Fig. 1.1. Fig. 1.2. Fig. 1.3.
În acest caz, legătura este între un moment şi unghiul de răsucire. Componenta care dă legatura între forţă şi viteză este amortizorul. Dacă se consideră forţele de frecare, între elementele sistemului, proporţionale cu
vitezele relative, această amortizare este cunoscută sub numele de amortizare vâscoasă. Dacă forţele de rezistenţă se consideră constante şi de semn neschimbat de-a
lungul unei semiperioade, această amortizare este cunoscută ca amortizare uscată (frecare uscată).
În diagrama efort-deformaţie, trasată pentru un ciclu de încărcare descărcare se constată apariţia unei bucle de histereză. Aria acestei bucle reprezintă energia disipată pe ciclu, iar acest tip de amortizare este numit amortizare internă. Aceasta este numită amortizare vâscoelastică, dacă energia disipată depinde de amplitudine şi frecvenţă, respectiv amortizare histeretică, când energia disipată depinde numai de amplitudine.
În sfârşit, legătura dintre forţă şi acceleraţie sau moment şi acceleraţie unghiulară este dată prin masă, respectiv prin moment de inerţie.
Uneori, pentru legarea maselor rigide între ele sau pentru rezemarea lor se folosesc mai multe elemente elastice. Aceste elemente elastice pot fi legate în serie sau în paralel. În cazul legării în paralel a două elemente elastice, de constante 1k , 2k , se pune
8
problema găsirii unui element elastic echivalent de constantă ek . În ambele cazuri o forţă
F va produce aceiaşi deformaţie. Pentru arcurile legate în paralel se scrie:
xkkxkxkF )( 2121 +=+= (1.7) Pentru cel echivalent se poate scrie:
xkF e= (1.8)
Din cele două relaţii se obţine: 21 kkke += (1.9) Fig. 1.4. În general, pentru un număr de n arcuri legate în paralel se găseşte o constantă echivalentă
∑=
=n
iie kk
1
(1.10)
La elementele elastice legate în serie, fig. 1.5, deformaţia totală a celor două arcuri va fi suma deformaţiilor şi trebuie să fie egală cu deformaţia arcului echivalent. Deci, se poate scrie:
2121 k
FkFxx +=+ (1.11)
ekFx = (1.12)
de unde: 21
111kkke
+= (1.13)
9
Fig. 1.5. În general, în cazul legării în serie a mai multor arcuri se găseşte constanta echivalentă din relaţia:
∑=
=n
i ie kk 1
11 (1.14)
1.1.2. Modelul mecanic de translaţie pentru vibraţiile liniare ale sistemelor materiale Se consideră modelul mecanic din fig. 1.6. format dintr-o masă m aflată în mişcare de translaţie. Fig. 1.6.
Forţa elastică ce acţionează asupra masei este dată de elementul elastic de constantă k. Elementul care introduce amortizarea este reprezentat printr-un cilindru fix în care se poate mişca într-un mediu vâscos un piston legat de masa m.
Din exterior acţionează o forţă dependentă numai de timp )(tF , numită forţă perturbatoare.
Tot din exterior acţioneză în ghidaje forţe de rezistenţă de valoare constantă şi sens constant pe o semiperioadă, numite forţe de amortizare uscată.
Rezultanta acestor forţe de rezistenţă are valoarea constantă R. Se foloseşte principiul lui d'Alembert, proiectând pe axa y, corespunzătoare
mişcării, prima ecuaţie a principiului: 0=++ Ild RRR (1.15)
Pentru studiul mişcării se alege originea la capătul arcului nedeformat. Cu y se
notează deplasarea masei m faţă de originea aleasă.
10
Ecuaţia de echilibru dinamic este: 0sgn)( =−−−−+ yRkyycymmgtF
(1.16)
unde: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=>
=0,,1
0,,00,,1
sgnydaca
ydacaydaca
y
(1.17) sau ordonând necunoscutele în partea stângă a ecuaţiei: ( ) yRmgtFkyycym sgn−+=++ (1.18) Funcţia ysgn nu este liniară, decât pe porţiuni, în intervalul de timp în care viteza are acelaşi sens.
Dacă se alege originea de măsurare a deplasării masei m în poziţia deechilibrului static, ecuaţia diferenţială devine mai simplă. Notând cu x noua deplasare, se poate scrie:
xyy st += (1.19) unde sty este deformaţia statică a arcului, şi deci: mgkyst = (1.20) Derivând relaţia (1.19) şi înlocuind în ecuaţia (1.18) se obţine: ( ) xRmgtFkykxxcxm st sgn−+=+++ (1.21) sau ( ) xRtFkxxcxm sgn−=++ (1.22) În această ecuaţie nu mai apar forţele ce determină poziţia de echilibru static. În lipsa frecării uscate ecuaţia (1.22) este liniară. 1.1.3. Modelul mecanic de torsiune pentru vibraţiile liniare ale sistemelor materiale
Pentru studiul vibraţiilor de răsucire ale arborilor nu se mai poate folosi modelul precedent, datorită tipului diferit de mişcare. În această situaţie se va folosi un model format dintr-un disc omogen articulat printr-o articulaţie cilindrică în centrul său şi având un moment de inerţie J. De obicei acest disc se numeşte volant.
Elementul elastic (arborele elastic) este simbolizat printr-un arc spiral cu un capăt legat de articulaţie şi celălalt capăt fixat de disc. Constanta elastică a acestui element este K. Se mai consideră un element de amortizare, format dintr-un cilindru curb, care este fix şi prin care se poate mişca un piston cu tijă circulară legată la celălalt capăt de disc. Pentru caracterizarea forţelor de amortizare se consideră coeficientul de amortizare vâscoasă la rotire C (fig.1.7.).
Asupra discului mai acţionează un moment perturbator M(t).
11
Parametrul de poziţie se consideră un unghi măsurat din poziţia în care arcul este nedeformat. Fig. 1.7. Pentru deducerea ecuaţiei de mişcare se va folosi cea de-a doua ecuaţie din principiul lui d'Alrmbert:
0000 =++ Ild MMM (1.23) Aceasta se proiectează pe axa fixă perpendiculară în O pe disc. Neglijând frecările, în ecuaţia de momente nu intervin reacţiunile:
dzz MJ =θ (1.24)
Arcul spiral introduce un moment elastic, iar amortizorul un moment de amortizare. Ecuaţia (1.24) devine:
( ) θθθ KCtMJ z −−= (1.25)
Ecuaţia diferenţială corespunzătoare modelului de rotaţie este liniară şi cu coeficienţi constanţi. De obicei momentul perturbator este o funcţie periodică
( ) ( )tMTtM =+ . Ca formă ecuaţia diferenţială a modelului de rotaţie este identică cu cea a
modelului de translaţie, când lipseşte forţa de amortizare uscată. 1.1.4. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării sistemelor materiale cu un grad de libertate cu ajutorul ecuaţiei lui Lagrange de spaţa a II-a Considerând q parametrul de poziţie al sistemului material, ecuaţia lui Lagrange este:
Eq
Edtd cc =
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
(1.26)
unde Q reprezintă forţa generalizată şi se calculeză pentru fiecare categorie de forţe ce acţionează asupra sistemului: ( )tQQQQ pncc ++= (1.27) Cele trei categorii de forţe generalizate reprezintă în ordine: forţa generalizată conservativă ce derivă din forţe care depind de poziţia sistemului (greutăţi, forţe elastice); forţa generalizată ce derivă din forţele de frecare dintre sistem şi exterior sau dintre componentele sistemului; forţa generalizată perturbatoare ce derivă din forţele perturbatoare exterioare ce acţionează asupra sistemului. Se consideră un sistem format din N puncte materiale. Energia cinetică va fi:
12
∑=
=N
i
iic
vmE
1
2
2 (1.28)
unde
qqr
dtrd
v iii
∂∂
==
→→→
11 (1.29)
Poziţia fiecărui punct din sistem depinzând de coordonata q ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
→→
qrr ii 11 , în
cazul sistemelor olonom scleronome, relaţia (1.28) devine:
( ) 22
2
1
1 21
21 qqmq
qrmE i
N
iic =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
=
→
=∑ (1.30)
Coeficientul
( )2
1
1 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
=
→
=∑ q
rmqm iN
ii
(1.31) este funcţie de coordonata generalizată. Funcţia de forţă din care derivă forţa conservativă depinde numai de coordonata generalizată ( )qUU = . Fără a diminua generalitatea problemei, se va considera poziţia de echilibru stabil ca origine de măsurare a coordonatei generalizate. Deci, în poziţia de echilibru, 0=q . Dezvoltând în serie Mac Lauren, după puterile lui q, se obţine:
( ) ( ) ...210 2
02
2
0
+∂∂
+∂∂
+===
qqUq
qUUqU
(1.32)
De la studiul stabilităţii echilibrului se ştie că, 00
=∂∂
=qqU .
În poziţia de echilibru valoarea funcţiei de forţă (sau constantei până la care este determinată energia potenţială) se poate lua zero. Limitând dezvoltarea în serie la primii trei termeni, va rezulta pentru funcţia de forţă
2
02
2
21 q
qUU
q=∂∂
= (1.33)
în care:
kqU
q
−=∂∂
=02
2
(1.34)
este o constantă, k fiind pozitivă. Pentru deducerea foeţei generalizate de amortizare vâscoasă se va calcula lucrul mecanic virtual al forţelor de frecare vâscoasă.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−=
→→
= = =
→→→→
∑ ∑∑ ji
N
i
N
i
N
jjiijiii
a rrvvcrvcL 111 1 1
1 δδδδ (1.35)
13
unde
qqrr i
i δδ∂∂
=
→→ 1
1
(1.36) iar din ecuaţia (1.29) se poate scrie:
qr
qv ii
∂∂
=∂∂
→→
1 (1.37)
Relaţia (1.29) devine:
qqqr
qrc
qrc
q
qvv
qc
vq
cL
jiN
jiij
iN
ii
jiN
jiij
iN
ii
a
δ
δδ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=
→→
=
→
=
→→
==
∑∑
∑∑
2
2
11
1,
2
1
1
2
1,
2
1
21
22
(1.38)
Se notează:
( ) 22
1
2
11
1
2
1
1 21
21 qqcq
qr
qrc
qrcE
N
i
jiN
jij
iN
iid =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
= ∑∑∑=
→→
=
→
=
(1.39)
energia de disipare, cunoscută şi sub numele de funcţia lui Rayleigh, unde ( )qc este un coeficient funcţie de coordonata generalizată. Pe de altă parte, lucrul mecanic virtual se poate scrie: qQL aa δδ = (1.40) de unde
q
EQ da
∂∂
−= (1.41)
Pentru forţa perturbatoare generalizată se aplică metoda generală de calcul al forţelor generalizate:
( )q
LtQp
p
δδ
= (1.42)
Înlocuind în ecuaţia lui Lagrange expresiile (1.30), (1.32) şi (1.41) se obţine o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, în general neliniară. Dacă se dezvoltă în serie de puteri în jurul poziţiei de echilibru, pentru coeficienţii ( )qm şi ( )qc , se obţine:
( ) ( ) ...210 2
02
2
0
+∂∂
+∂∂
+===
qqmq
qmmqm
(1.43)
14
( ) ( ) ...210 2
02
2
0
+∂∂
+∂∂
+===
cqqccqc
(1.44)
Presupunând oscilaţii mici, faţă de poziţia de echilibru, se păstrează numai coeficienţi constanţi ai dezvoltărilor (1.43) şi (1.44). În acest caz ecuaţia lui Lagrange devine: ( )tQkqqcqm p=++ (1.45) adică o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi. 1.1.5. Forţe perturbatoare Forţele perturbatoare sunt acele forţe exterioare, în general periodice, care depind de timp. Există multe surse de forţe perturbatoare. În acest paragraf sunt arătate numai cele de natură mecanică. Sursele cele mai importante de forţe perturbatoare sunt forţele de inerţie ale unor mase neechilibrate şi mişcarea suportului elementului elastic şi/sau a elementului de amortizare. În primul caz se consideră modelul de translaţie (fig.1.8.). Fig. 1.8. Fig. 1.9. O masă om din sistem, excentrică cu excentricitatea 1r , se află în mişcare circulară uniformă cu viteza unghiulară ω . Forţa de inerţie care apare datorită mişcării masei excentrice se transmite asupra axului, deci asupra masei m (în masa totală m este inclusă şi om ). Forţa centrifugă se descompune în două componente. Componenta perpendiculară pe ghidaj este anhilată de reacţiunea ghidajului, iar cealaltă componentă este forţa perturbatoare:
tmrFp ωω sin2= ; 1rmm
r o= (1.46)
15
Acest model are un incovenient, datorat componentei normale pe ghidaj, care duce la
uzura acestuia. Pentru eliminarea acestei solicitări variabile, se consideră două mase 2
om,
care se rotesc, în sensuri contrare, cu aceiaşi viteză unghilară ω (fig. 1.9.). În acest caz, componentele normale pe ghidaj se echilibrează, iar celelalte componente se însumează şi dau forţa (1.46). Cealaltă sursă de producere a forţelor perturbatoare o constituie mişcarea suportului elementului elastic şi/sau elementului amortizor. Se consideră modelul de translaţie din fig. 1.10. şi se presupune că suportul comun se mişcă după o lege ( )tf . Fig. 1.10. Din poziţia de echilibru static, y măsoară deplasarea masei m faţă de un reper fix, corespunzator poziţiei pentru 0=f . Aplicând principiul lui d'Alembert, se obţine:
( ) ( ) 0=−+−+ fykfycym (1.47) respectiv prin ordonarea ecuaţiei (1.47) ( )tFkyycym =++ (1.48) unde ( )tF este dată de formula: ( ) kffctF += (1.49) Presupunând că suportul are o mişcare armonică de forma: ( ) trtf ωsin= (1.50) forţa perturbatoare este: ( )ϕωωωω +=+= tFtcrtkrFp sincossin 0 (1.51) Amplitudinea şi faza iniţială se pot determina prin reprezentare vectorială (fig. 1.11.).
16
Fig. 1.11 ( ) ( )22
0 rckrF ω+= (1.52)
kcrtg ωϕ = (1.53)
Deci, în mişcarea absolută datorită mişcării armonice a suportului, apare o forţă perturbatoare armonică. În unele aplicaţii, cum ar fi studiul aparatelor pentru măsurarea vibraţiilor, interesează în mod deosebit deplasarea relativă a masei m faţă de suport. În această situaţie, ( )tf va reprezenta deplasarea de transport, ( )tx deplasarea relativă, iar ( )ty deplasarea absolută. Deci, se poate scrie:
fxy += (1.54) Înlocuind (1.54) în (1.48), se obţine: ( ) ( ) ( ) kffcfxkfxcfxm +=+++++ (1.55) sau
fmkxxcxm −=++ (1.56) Se observă că forţa perturbatoare în acest caz este:
( ) fmtF −= (1.57) Dacă mişcarea suportului este după legea (1.50), atunci forţa perturbatoare:
( ) trmtF ωω sin2= (1.58) este o forţă armonică şi în fază cu mişcarea suportului.
1.2. Răspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite excitaţii
1.2.1. Vibraţiile libere neamortizate Înainte de a discuta soluţia generală a ecuaţiei (1.22), se vor considera câteva cazuri particulare. În primul rând se neglijează frecările, iar forţa perturbatoare ( )tF se consideră nulă.
17
Fig. 1.12. În aceste condiţii ecuaţia diferenţială a mişcării modelului din fig 1.12 se reduce la: 0=+ kxxm (1.59) sau
02 =+ xx nω , mkxn =2ω (1.60)
unde nω este cunoscută sub numele de pulsaţie naturală sau pulsaţie proprie. Soluţia se caută de forma tcex λ= . Se obţine ecuaţia caracteristică: 022 =+ nωλ (1.61) de unde niωλ ±=2,1 Soluţia ecuaţiei (1.60) va fi de forma: titi nn eCeCx ωω −+= 21 (1.62) sau ( ) tCCitCCx nn ωω sincos)( 2121 −++= (1.63) unde 1C şi 2C trebuie să fie constante complex conjungate pentru ca soluţia (1.63) să reprezinte o mişcare reală. Deci: tAtAx nn ωω sincos 21 += (1.64) Constantele 1A şi 2A se determină din condiţiile iniţiale ( ) 00 xx = şi ( ) 00 vx = . Cu acestea, soluţia (1.64) devine:
( )ϕωωωω
+=+= tAtxtv
x nnnn
sincossin 00 (1.65)
unde A şi ϕ se por determina din condiţiile iniţiale sau prin însumarea vectorială a celor două componente (fig.1.13.). Fig.1.13
2
202
0n
vxA
ω+= (1.66)
0
0 vxtg nω
ϕ = (1.67)
18
În concluzie, în cazul vibraţiilor libere şi neamortizate, mişcarea este armonică cu pulsaţia proprie, ce nu depinde de condiţiile iniţiale. Amplitudinea mişcării şi faza iniţială depind de condiţiile iniţiale. Pentru modelul de rotaţie se va obţine o lege de mişcare identică cu (1.65), unde:
JK
n=ω (1.68)
1.2.2. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă În cazul în care este prezentă amortizarea vâscoasă, amortizarea uscată se neglijează şi în lipsa forţei perturbatoare, ecuaţia diferenţială a mişcării modelului din fig.1.14. este: 0=++ kxxcxm (1.69) Soluţia ecuaţiei (1.69) este de forma: tCex λ= (1.70) unde C şi λ sunt constante ce trebuie determinate. Impunând soluţiei (1.70) să verifice ecuaţia diferenţială (1.69), se ajunge la ecuaţia caracteristică: 02 =++ kcm λλ (1.71) ale cărei rădăcini sunt:
mk
mc
mc
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±−=
2
2,1 22λ
(1.72) Fig. 1.14. Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se anulează radicalul din relaţia (1.72) se numeşte coeficient critic de amortizare:
nc
mk
mc
ω==2
(1.73)
sau kmmc nc 22 == ω , unde nω este pulsaţia naturală a sistemului fără amortizare.
19
Introducând raportul de amortizare cc
c=ξ , rădăcinile ecuaţiei caracteristice pot fi
scrise astfel: ( ) nωξξλ 12
2,1 −±−= (1.74) În funcţie de raportul de amortizare sistemele se clasifică astfel:
a) amortizare supracritică, dacă 1>ξ b) amortizare critică, dacă 1=ξ c) amortizare subcritică, dacă 1<ξ
În fig. 1.15. se arată locul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în planul complex. Fig. 1.15. În cazul a) rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi negative. Soluţia generală va fi:
( ) ( ) tCtCeCeCx nntt ωξξωξξλλ 1exp1exp 2
22
121211 −−−+−+−=+=
(1.75) În acest caz mişcarea nu este vibratorie. Pentru cazul b) există o rădăcină dublă, reală şi negativă. Soluţia în acest caz va fi ( ) tnetCCx ξω−+= 21 (1.76) Şi în acest caz mişcarea sistemului este nevibratorie. În sfârşit, în cazul c) rădăcinile sunt complex conjugate cu partea reală negativă. Pentru un sistem amortizat subcritic, rădăcinile ecuaţiei caracteristice se pot scrie şi astfel ip±−= σλ 2,1 (1.77)
unde nc
n cc ωξωσ == , se numeşte factor de amortizare, iar np ωξ 21−= , se numeşte
pseudopulsaţie. Legea mişcării sistemului în acest caz este:
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )tiptCiptC
tiCtiCx nn
σωξξωξξ
−−+
=−−−+−+−=
expexpexp1exp1exp
21
22
21
(1.78) unde 1C şi 2C trebuie să fie constante complex conjugate pentru că ( )tx reprezintă o mişcare reală. Deci (1.78) se scrie:
20
( ) ( )[ ] ( ) ( )ϕσσσ +⋅=+=−++= −−− ptAeptAptAeptCCiptCCex ttt sinsincossincos 212121
(1.79) Constantele de integrare 1A şi 2A sau A şi ϕ se determină din condiţiile iniţiale. Dacă pentru primele două cazuri sistemul nu are mişcare vibratorie, pentru cazul c) sistemul are o mişcare vibratorie amortizată. Mişcarea lui se stinge în timp pentru că dacă ∞→t , ( ) 0→tx . Fig. 1.16. ilustrează răspunsul în domeniul timp pentru cele trei cazuri.
Fig.1.16. Folosind condiţiile iniţiale ( ) 00 xx = , ( ) 00 vx = se pot determina constantele 1A şi
2A , şi rezultă că:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+= − ptxpt
pxv
ex t cossin 000 σσ (1.80)
şi din reprezentarea vectorială se obţine:
2
0020
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++=
pxv
xAσ (1.81)
şi
00
0
xvpx
tgσ
ϕ+
= (1.82)
Aşa cum rezultă din relaţia (1.79) raportul de amortizare joacă un rol important în descreşterea exponenţială a vibraţiei. În paragraful 1.1.1., s-a arătat cum poate fi determinată constanta elastică a unui sistem simplu cu un grad de libertate. Pentru determinarea raportului de amortizare ξ se foloseşte metoda decrementului logaritmic. Logaritmul natural al raportului a două amplitudini succesive se numeşte decrement logaritmic al amortizării.
( ) TAe
Aexx
nTt
t
i
in
n
ξωδ ξω
ξω
=== +−
−
+
lnln2
(1.83)
unde T reprezintă pseudoperioada vibraţiei amortizate:
21
22
ξω
ππ
−==
np
T (1.84)
Din ecuaţiile (1.83) şi (1.84) se obţine:
22 1
212
ξ
πξ
ξω
πξωδ−
=−
=n
n (1.85)
sau pentru sisteme slab amortizate ( )2,0<ξ
21
πξδ 2= (1.86) deci, poate fi acceptat un raport de amortizare:
2
ln21
+
=i
i
xx
πξ (1.87)
Pe baza definiţiei raportului de amortizare, se poate determina coeficientul de amortizare: kmc ξ2= (1.88) 1.2.3. Vibraţii libere cu amortizare uscată Frecarea coulombiană sau frecarea uscată intervine când un corp alunecă pe o suprafaţă rugoasă. Pentru ca mişcarea să înceapă, trebuie învinsă forţa de frecare. Forţa de frecare este în opoziţie cu sensul vitezei şi, deci este constantă pe porţiunile pe care viteza are semn constant. Folosind modelul de translaţie (fig. 1.17.) şi notând cu R forţa de frecare maximă, ecuaţia de mişcare poate scrisă în forma: xRsignkxxm −=+ (1.89) Fig. 1.17.
Notând cu kRxst = , aceasta are semnificaţia de săgeată statică a elementului elastic
produsă de o forţă ce are valoarea forţei de amortizare uscată. Dacă se consideră intervalul de timp în care viteza are semn constant şi se înlocuieşte: stxkR ⋅= (1.90) ecuaţia (1.89) se scrie: ( ) 0=⋅++ xsignxxkxm st (1.91) Făcând schimbarea de variabilă xsignxxx st ⋅+=1 (1.92) ecuaţia (1.91) devine: 011 =+ kxxm (1.93) şi are soluţia: tAtAx nn ωω cossin 211 += (1.94)
în care mk
n =2ω , iar soluţia (1.94) este valabilă într-un interval de timp în care viteza îşi
păstrează semnul, deci între două momente de timp consecutive în care viteza este nulă.
22
Revenind la coordonata iniţială: tAtAxsignxx nnst ωω cossin 21 ++⋅−= (1.95) Presupunând condiţiile iniţiale ( ) sto xxx >=0 şi ( ) 00 =x , în intervalul de timp [ ]1,0 t se observă că 0≤x şi rezultă: ( ) stnst xtxxx +−= ωcos0 (1.96) unde 1t este primul moment de timp după 00 =t în care viteza devine nulă. Mişcarea are loc în sensul negativ al axe Ox, iar diagrama sa este o semicosinusoidă în jurul dreptei
stxx = . Derivând în raport cu timpul ecuaţia (1.96) se obţine: ( ) txxx nnst ωω sin0 −−= (1.97)
de unde punând condiţia ( ) 01 =tx se obţine n
tωπ
=1 , moment de timp la care elongaţia
este ( ) ( )stxxtx 201 −−= .
Dacă ( )1tx este suficient de mare pentru ca forţa elastică să învingă forţa de frecare uscată începe o nouă mişcare, în care masa are viteza pozitivă ( )1=xsign şi care trebuie să satisfacă ecuaţia: stxkkxxm ⋅−=+ (1.98) a cărei soluţie în intervalul ( )21, tt este: tAtAxx nnst ωω cossin 21 ′+′+−= (1.99) şi este supusă condiţiilor iniţiale: ( ) ( )stxxtx 201 −−= ; ( ) 01 =tx Soluţia ecuaţiei (1.99) este dată de: ( ) stnst xtxxx −−= ωcos30 (1.100) şi reprezintă o semicosinusoidă în jurul dreptei stxx −= . Mişcarea se amortizează datorită frecării uscate şi, deci vor exista un număr de n semicosinusoide până mişcarea se opreşte. În intervalul de timp [ ]nn tt ,1− , legea mişcării va fi: ( ) ( )[ ] txnxxx nstst
n ωcos121 01 −−+−= + (1.101)
Se observă că soluţia are o componentă constantă stx± şi una armonică, a cărei amplitudine scade pe fiecare semiperioadă cu stx2 (fig. 1.18.).
23
Fig. 1.18. Mişcarea se opreşte când forţa elastică nu poate învinge forţa de frecare. Acest lucru are loc la sfârşitul semiperioadei pentru care ( ) stnst xtxx ≤≤− . Deoarece, pentru a fi îndeplinită această condiţie, este necesar ca amplitudinea componentei armonice pentru
[ ]nn ttt ,1−∈ să fie pozitivă, se poate concluziona că n este cel mai mare întreg ce satisface inecuaţia: ( ) 0120 >−− stxnx (1.102) 1.2.4. Răspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excitaţia impuls O formă specială de excitaţie este impulsul de scurtă durată, frecvent utilizat în determinarea răspunsului unui sistem supus unei forţe perturbatoare oarecare. Conceptul de impuls unitar sau funcţia lui Dirac, are următoarea definiţie matematică: ( ) 0=− atδ pentru at ≠
( )∫∞
∞−
=− 1dtatδ (1.103)
Prin definiţie intervalul de timp în care funcţia este diferită de zero este foarte mic, adică este ε , la limită se apropie de zero, şi amplitudinea funcţiei este nedefinită, dar aria de sub curbă este egală cu unitatea (fig. 1.19.). Fig. 1.19. Este clar că aria, deci valoarea integralei (1.103), este adimensională. Un impuls unitar aplicat la at = se notează ( )at −δ . Atunci o forţă impuls de mărime 0F aplicată la timpul at = se va scrie: ( ) ( )atFtF −= δ0 (1.104)
24
Răspunsul sistemului la un impuls unitate aplicat la , se va nota ( )th , iar răspunsul la un impuls unitate aplicat la at = se va nota ( )ath − . Se consideră sistemul amortizat cu un grad de libertate căruia i se aplică o forţă impuls ( )tFkxxcxm δ0=++ (1.105) Pentru că durata este foarte scurtă, 0→ε , se va considera cazul în care condiţiile iniţiale sunt nule, ( ) ( ) 000 == xx , şi prin integrarea ecuaţiei (1.105), în intervalul ε=Δt , se poate scrie:
( ) ( )∫ ∫ ==++→→
ε ε
εεδ
0 000
00limlim FtFdtkxxcxm
(1.106) unde
( ) ( )[ ] ( )+→→→
=−==∫ 00limlimlim000 00
xmxxmxmdtxm εε
εε
εε (1.107)
( ) ( )[ ] 000 00
limlim =−=∫→→
xxcdtxc εε
εε
∫ =→
ε
ε 000lim kxdt
Notaţia ( )+0x arată că în timpul ε=Δt , se schimbă viteza, dar nu există o schimbare instantanee în deplasare. Din (1.106) şi (1.107) se obţine că:
( )mF
x o=+0 (1.108)
ceea ce arată că, aplicarea unei forţe impuls este echivalentă cu condiţia iniţială ( ) 00 =x
şi ( )mF
vx 000 == .
În concluzie, răspunsul unui sistem amortizat la o forţă impuls se obţine din (1.80)
( ) ptempF
tx tn sin0 ξω−= , 21 ξω −= np , 0>t
( ) 0=tx , 0<t (1.109) Dacă impulsul este unitar, se obţine:
( ) ptemp
th tn sin1 ξω−= , 0>t
( ) 0=th , 0<t (1.110) Pentru un sistem neamortizat răspunsul la impuls unitate este:
25
( ) tm
th nn
ωω
sin1= (1.111)
1.2.5. Vibraţii forţate neamortizate cu forţă perturbatoare oarecare Un caz particular important de studiu al vibraţiilor forţate este acela când forţa de excitaţie este arbitrară, iar forţele de amortizare sunt neglijabile. Se consideră modelul mecanic de translaţie din fig. 1.20. Fig. 1.20. Ecuaţia diferenţială a mişcării este: ( )tFkxxm =+ (1.112) Soluţia generală a acestei ecuaţii este o suprapunere dintre ecuaţia omogenă 0x şi o soluţie particulară px , a ecuaţiei neomogene. pxxx += 0 (1.113) Soluţia ecuaţiei omogene este dată de (1.64). Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este numită şi soluţie sau vibraţie forţată. Pentru determinarea ei există mai multe metode. Una dintre cele mai folosite metode este metoda variaţiei constantelor. Se presupune că soluţia este de forma: tAtAx nnp ωω cossin 21 += (1.114) unde constantele 1A şi 2A sunt funcţii de timp ce urmează a fi determinate. Prin derivarea soluţiei (1.114) se obţine:
( ) tAtAtAtAx nnnnnp ωωωωω cossinsincos 2121 ++−= (1.115) Pentru determinarea constantelor 1A şi 2A se pune condiţia: 0cossin 21 =+ tAtA nn ωω (1.116) Se derivează încă odată relaţia (1.115) şi rezultă:
( ) ( )tAtAtsAtAx nnnnnnp ωωωωωω sincoscossin 21212 −++−= (1.117)
Ecuaţia (1.112) se mai poate scrie:
26
( )tFm
xx n12 =+ω ,
mk
n =2ω (1.118)
Înlocuind în ecuaţia (1.118) soluţia (1.114) şi (1.117) se obţine:
( )tFm
tAtAn
nn ωωω 1sincos 21 =− (1.119)
şi împreună cu ecuaţia (1.116) constituie un sistem din care rezultă:
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
ttFm
A
ttFm
A
nn
nn
ωω
ωω
sin1
cos1
2
1
(1.120)
sau prin integrare
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
∫
∫t
nn
t
nn
tdttFm
A
tdttFm
A
02
01
sin1
cos1
ωω
ωω
(1.121)
Aceste constante se înlocuiesc în soluţia (1.114) şi se determină soluţia particulară:
( ) ( )∫∫ −=t
nnn
t
nnn
p tdttFtm
dtttFtm
x00
sincos1cossin1 ωωω
ωωω
(1.122)
Notând variabila, în raport cu care se integrează, cu τ , soluţia se poate scrie:
( ) ( ) ττωτω
dtFm
xt
nn
p ∫ −=0
sin1 (1.123)
şi reprezintă răspunsul sistemului la o excitaţie cu forţă perturbatoare oarecare, în condiţii iniţiale nule. În cazul general, dacă sistemul nu are condiţii iniţiale nule, soluţia sistemului neamortizat va fi:
( ) ( ) ( ) tv
txdtFm
tx nn
n
t
nn
ωω
ωττωτω
sincossin1 00
0
++−= ∫ (1.124)
O altă metodă, frecvent utilizată, este integrala de convoluţie (Duhamel), în care forţa ( )tF poate fi privită ca un tren de impulsuri cu amplitudine variabilă (fig. 1.21.). Fig. 1.21.
27
La un moment arbitrar τ=t , unui interval de timp foarte scurt τΔ , îi corespunde un impuls de mărime ( ) ττ ΔF , respectiv expresia matematică a impulsului ( ) ( )ττδτ −Δ tF . Deoarece răspunsul sistemului la impuls unitar aplicat la momentul τ=t este ( )τ−th , contribuţia impulsului ( ) ( )ττδτ −Δ tF la răspuns va fi:
( ) ( ) ( )ττττ −Δ=Δ thFtx , (1.125) aşa că răspunsul total este: ( ) ( ) ( ) τττ Δ−=∑ thFtx (1.126) Făcând pe 0→Δτ , se obţine o sumă integrală, şi deci:
( ) ( ) ( ) τττ dthFtxt
−= ∫0
(1.127)
care reprezintă integrala de convoluţie, unde ( )τ−th se obţine din (1.110) sau (1.111). Deci pentru sisteme neamortizate şi condiţii iniţiale nenule, soluţia generală este dată de relaţia (1.124). 1.2.6. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţă perturbatoare oarecare Se consideră cazul general când asupra sistemului, având modelul din fig. 1.22. acţionează o forţă perturbatoare oarecare ( )tF şi a cărui ecuaţie diferenţială este: ( )tFkxxcxm =++ (1.128) Fig. 1.22. Soluţia generală a acestei ecuaţii se compune din soluţia ecuaţiei omogene 0x şi o soluţie particulară px , numită şi vibraţie forţată. Soluţia ecuaţiei omogene, numită şi vibraţie tranzitorie este de forma (1.79). Soluţia particulară a ecuaţiei (1.128) se va lua de forma:
( )tux np ξω−= exp , rc
c=ξ ,
mk
n =2ω (1.129)
28
unde ( )tuu = este o funcţie particulară de timp ce urmează a fi determinată din condiţia impusă soluţiei (1.129) de a verifica ecuaţia (1.128). Prin impunerea acestei condiţii se obţine ecuaţia: ( ) ( ) ( )tFtukum nξωξ exp1 2 =−+ (1.130) sau
( ) ( ) ( )tFtm
uu nn ξωξω exp11 22 =−+ (1.131)
a cărei soluţie va fi de forma (1.123), adică:
( ) ( ) ( ) ( ) ττξωττξωξω
dtFm
tut
nn
n∫ −−
−=
0
2
21sinexp
11 (1.132)
Soluţia particulară va fi:
( )[ ] ( ) ( ) ττξωττξωξω
dtFtm
xt
nn
n
p ∫ −−−−−
=0
2
21sinexp
11 (1.133)
sau folosind notaţia pentru pseudoperioadă 21 ξω −= np , presupunând sistemul amortizat subcritic ( )1<ξ , ţinând cont şi de condiţiile iniţiale, soluţia generală va fi:
( )[ ] ( ) ( ) ( )tptxptp
xvdtpFt
mpx n
nt
n ξωξω
ττττξω −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++−−−= ∫ expcossinsinexp1
000
0
(1.134) Folosind integrala lui Duhamel se va obţine soluţia particulară dată de (1.132). Deoarece, în cazul amortizării subcritice vibraţia tranzitorie se stinge în timp, interesează numai vibraţia forţată. 1.2.7. Vibraţii forţate neamortizate cu forţă perturbatoare armonică Se consideră că asupra modelului din fig. 1.19. acţionează o forţă de excitaţie ( ) tFtF ωsin0= , având amplitudinea constantă 0F şi pulsaţia ω .
Ecuaţia diferenţială a mişcării este: tFkxxm ωsin0=+ (1.135) Soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este suma dintre soluţia ecuaţiei
omogene ( )ϕω += tAx nsin0 , unde mk
n =ω este pulsaţia proprie a sistemului şi px o
soluţie particulară de forma membrului drept al ecuaţiei diferenţiale (1.135). Soluţia particulară, fiind de forma, txx p ωsin0= (1.136) se determină impunându-i să verifice ecuaţia diferenţială (1.135) de unde se obţine amplitudinea vibraţiei forţate:
29
2
0
20
0
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
=
n
kF
mkF
x
ωωω
(1.137)
Notând stxkF
=0 , reprezentând săgeata statică a elementului elastic sub acţiunea unei
forţe constante egale cu amplitudinea forţei perturbatoare. Astfel, formula (1.137) se poate scrie sub forma unui raport adimensional.
( ) 20
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==
n
stxx
H
ωω
ω (1.138)
numit funcţie de răspuns în frecvenţă. Vibraţia armonică forţată va fi:
tx
x
n
stp ω
ωω
sin
12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (1.139)
Funcţia de răspuns în frecvenţă ( )ωH dă amplitudinea şi faza iniţială a răspunsului staţionar al unui sistem neamortizat supus la o excitaţie armonică. Modulul funcţiei ( )ωH se numeşte factor de amplificare. În fig. 1.23. este
reprezentată grafic variaţia sa în funcţie de raportul nωω .
Fig. 1.23.
Se constată că pentru ( )1,0∈nωω , factorul de amplificare creşte până la infinit, iar
valoarea 0x este pozitivă, reprezentând chiar amplitudinea vibraţiei forţate şi arătând că
forţa ( )tF şi mişcarea sunt în fază. Dacă raportul ( )00,1∈nωω , atunci valoarea 0x este
negativă. În aceste caz forţa perturbatoare şi vibraţia forţată sunt în opoziţie, iar amplitudinea acesteia din urmă este 0x . Vibraţia forţată va fi:
( )πωω ±=−= txtxxp sinsin 00 (1.140)
30
Pentru cazul în care nωω = , ecuaţia diferenţială a mişcării (1.135) devine:
tmF
xx nn ωω sin02 =+ (1.141)
Soluţia particulară a acestei ecuaţii este de forma: ttxx np ωcos0= (1.142) Derivând şi înlocuind în ecuaţia (1.135) se obţine:
nm
Fx
ω20
0 −=
(1.143) Vibraţia forţată a sistemului este:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
2sin
2cos
200 πωω
ωω
tm
tFt
mtF
x nn
nn
p (1.144)
Se constată (fig. 1.24.) că vibraţia forţată este modulată liniar în amplitudine şi că
este defazată cu 2π (un sfert de perioadă) faţă de forţa perturbatoare. Crescând
amplitudinea vibraţiei forţate, cresc şi forţele din elementul elastic, până când acestea depăşesc valoarea limită de rezistenţă, urmând distrugerea acestuia. Acest fenomen poartă numele de rezonanţă şi trebuie evitat. Această evitare poate fi făcută din proiectare, fie prin schimbarea pulsaţiei forţei perturbatoare, fie prin modificări structurale, modificând m şi k. În acele acţionări în care turaţia de regim este dincolo de cea la care poate avea loc rezonanţa, se va trece rapid prin rezonanţă. Fig. 1.24. Soluţia generală a ecuaţiei (1.135) este: ( ) txtAx n ωϕω sinsin 0++= (1.145) unde A şi ϕ sunt constante ce se determină din condiţiile iniţiale impuse soluţiei (1.145). Dacă pulsaţia forţei perturbatoare este în apropierea rezonanţei, adică nωω ≈ , mişcarea dată de (1.145) şi reprezentarea în fig. 1.25. prezintă fenomenul de bătăi.
31
Fig. 1.25. În această vibraţie amplitudinea variază în timp, deci mişcarea este o vibraţie modulată în amplitudine. Un alt caz, de forţă perturbatoare, frecvent întâlnit, este cel în care amplitudinea este proporţională cu pătratul pulsaţiei. Aşa se întâmplă în cazul mişcării relative a masei m faţă de suport, când acesta are o lege de mişcare amornică: ( ) trmtF ωω sin2= (1.146) Factorul de amplificare este:
2
2
0
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
n
n
rx
ωω
ωω
(1.147)
Diagrama de rezonanţă este dată în fig. 1.26. Fig. 1.26. Răspunsul total pentru excitarea sistemului cu o forţă perturbatoare (1.146) este:
( ) tr
tAx
n
nn ω
ωω
ωω
ϕω sin
1
sin 2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++= (1.148)
unde constantele A şi ϕ se determină din condiţiile iniţiale impuse soluţiei (1.148). 1.2.8. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă cu forţă perturbatoare armonică Se consideră sistemul mecanic din fig. 1.22., asupra căruia acţionează o forţă armonică: ( ) tFtF ωsin0= . Ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului este: tFkxxcxm ωsin0=++ (1.149) a cărei soluţie generală este compusă din soluţia ecuaţiei omogene 0x şi o soluţie particulară px de forma membrului drept al ecuaţiei (1.149). Soluţia ecuaţiei omogene pentru cazul 1<ξ , este:
32
( )ϕξω += − ptAex tn sin0 (1.150) ş se stinge în timp, fiind numită şi vibraţie tranzitorie. Soluţia particulară: ( )ψω −= txx p sin0 (1.151) unde 0x este amplitudinea vibraţiei forţate, iar ψ este defazajul dintre forţa perturbatoare şi mişcare. O metodă pentru determinarea acestor constante este înlocuirea soluţiei (1.151) în ecuaţia diferenţială a mişcării şi identificarea termenilor. Se foloseşte şi reprezentarea prin numere complexe. Ecuaţia de mişcare (1.149) se poate scrie în forma: 0sin0 =−−− ppp kxxcxmtF ω (1.152) pentru care se poate utiliza reprezentarea vectorială ca în fig. 1.27. Fig. 1.27. Suma vectorială a vectorilor ce sunt reprezentaţi în fig.1.27. trebuie să fie nulă. Proiectând pe axele xO ′ şi yO ′ , se obţin ecuaţiile: 0cos 00
20 =−+ kxxmF ωψ
(1.153) 0sin 00 =− xcF ωψ (1.154) Rezolvând ecuaţiile (1.153) şi (1.154) se obţine:
( ) ( ) 222222
00
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=+−
=
ncn
st
cc
x
cmk
Fx
ωω
ωωωω
(1.155)
şi
2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
nccc
tg
ωω
ωω
ψ (1.156)
sau punând în evidenţă factorul de amplificare,
33
222
0
21
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
nn
stxx
ωωξ
ωω
(1.157)
şi
2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
ntg
ωω
ωωξ
ψ (1.158)
În fig. 1.28. este reprezentat factorul de amplificare în funcţie de raportul nωω , având
parametru raportul de amortizare ξ . Acestea se numesc diagrame de rezonanţă. Valorile maxime ale factorului de amplificare se obţin pentru:
221 ξωω
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
REZn
(1.159)
pentru care:
2
0
121
ξξ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
MAXstxx
(1.160)
Fig. 1.28. Fig. 1.29.
În fig. 1.29. se prezintă variaţia unghiului de defazaj ψ în funcţie de raportul nωω
pentru diferite valori ale raportului de amortizare, care se numesc diagrame de fază.
Se constată că pentru raportul 10 <<nωω defazajul ψ este cuprins între 0 şi
2π .
Pentru 1=nωω , adică la rezonanţa sistemului neamortizat
2πψ = . Dincolo de rezonanţă,
pentru 1>nωω , forţa şi mişcarea sunt în opoziţie.
34
Pentru cazul în care forţa perturbatoare este: ( ) trmtF ωω sin2= , se obţine amplitudinea vibraţiei forţate,
( ) ( )222
2
0
ωω
ω
cmk
mrx+−
= (1.161)
respectiv, factorul de amplificare:
222
2
0
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
nn
n
rx
ωωξ
ωω
ωω
(1.162)
defazajul ψ are aceiaşi expresie ca şi în cazul precedent. Factorul de amplificare este
reprezentat grafic în funcţie de raportul nωω , având parametru raportul de amortizare ξ în
fig. 1.30. Fig. 1.30. În ambele cazuri, soluţia generală este de forma: ( ) ( )ϕωϕξω −++= − txptAex tn sinsin 0 (1.163) unde A şi ϕ se determină din condiţiile iniţiale impuse soluţiei (1.163), iar amplitudinea vibraţiei forţate 0x este dată în primul caz de (1.155), respectiv în al doilea caz de (1.161). În al doilea caz maximele factorului de amplificare se obţin pentru:
221
1ξω
ω
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
REZn
(1.164)
având valorile:
2
0
121
ξξ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
MAXrx (1.165)
1.2.9. Răspunsul complex în frecvenţă
35
În paragraful precedent amplitudinea 0x şi unghiul de fază, ψ , ale variaţiei forţate, s-au determinat prin proiecţia pe axe a vectorilor rotitori ce corespund ecuaţiei (1.152), din condiţia ca suma acestor vectori să fie nulă. Reprezentând forţa excitatoare în forma complexă: ( ) tieFtF ω
0= (1.166) se înţelege că excitaţia va fi dată în forma (1.149) de partea imaginară din (1.166). De asemenea, răspunsul ( )tx va fi partea imaginară a funcţiei ( )tx , unde ( )tx este soluţia ecuaţiei: tieFxkxcxm ω
0=++ (1.167) Soluţia ecuaţiei (1.167) poate fi presupusă a avea forma: tieXx ω
0= (1.168) unde 0X este amplitudinea complexă şi poate fi scrisă: ψieXX −= 00 (1.169) unde amplitudinea 0X şi defazajul ψ sunt cele introduse în soluţia (1.151). Înlocuind (1.168) în (1.167) se obţine:
( ) ωω icmkF
X+−
= 20
0 (1.170)
care poate fi scrisă şi în forma:
( )
nn
sti
HxX
ωωξ
ωω
ω
21
12
0
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
== (1.171)
unde ( )ωH este numit răspunsul complex în frecvenţă şi conţine informaţii asupra factorului de amplificare şi a unghiului de fază. Într-adevăr:
( )222
0
21
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==
nn
stxX
H
ωωξ
ωω
ω (1.172)
şi
2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
ntg
ωω
ωωξ
ψ (1.173)
Amândouă informaţiile se pot obţine prin reprezentarea răspunsului complex în frecvenţă, în planul complex, numită diagrama Nyquist. Într-adevăr:
36
( )222
2
21
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
nn
ne HR
ωωξ
ωω
ωω
(1.174)
( )222
21
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
nn
nm HI
ωωξ
ωω
ωωξ
(1.175)
astfel încât afixele numărului complex ( )ωH pentru ( )∞∈ ,0ω sunt punctele din planul complex situat pe cercul:
( ) ( ) 2
2
2
4
1
4
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
nn
me HIHR
ωωξω
ωξ (1.176)
În fig. 1.31. se dă această diagramă pentru un sistem cu amortizare vâscoasă. Această diagramă este foarte utilă în examinarea rezultatelor experimentale. Fig. 1.31. 1.2.10. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţă perturbatoare periodică Funcţia complexă de răspuns în frecvenţă ( )ωH este folosită în reprezentarea răspunsului unui sistem amortizat supus la o excitaţie armonică. În studiul vibraţiilor se întâlnesc frecvent forţe perturbatoare care nu sunt armonice, dar sunt periodice. Orice funcţie periodică poate fi reprezentată printr-o serie de funcţii armonice a căror frecvenţe
sunt multipli întregi ai frecvenţei fundamentale0
01
Tf = , unde 0T este perioada excitaţiei.
O astfel de serie, cunoscută ca serie Fourier, poate fi scrisă în forma:
( ) ( )∑∞
=
++=1
000 sincos21
nnn tnbtnaatF ωω ,
00
2Tπω =
(1.177)
37
unde n este un număr întreg. Coeficienţii seriei sunt daţi de formulele:
( )∫−
=2
2
00
0
0
cos2T
Tn tdtntF
Ta ω ,...2,1,0=n (1.178)
( )∫−
=2
2
00
0
0
sin2T
Tn tdtntF
Tb ω ,...2,1=n
(1.179)
şi reprezintă o măsură a participării fiecărei armonice la funcţia ( )tF , iar 021 a constituie
valoarea medie a cestei funcţii. Seria Fourier (1.177)corespunzătoare funcţiei ( )tF se poate prezenta şi sub formă complexă:
( ) ∑∞
=
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−
+=1
0
222 n
tinnntinnn nn eiba
eibaa
tF ωω (1.180)
unde s-a ţinut cont de formulele:
2
cos00
0
tintin eetnωω
ω−+
= ; 2
sin00
0
tintin eetnωω
ω−−
=
(1.181) Din relaţiile (1.178) şi (1.179) se constată că: nn aa =− ; nn bb −=− (1.182) şi, deci relaţia (1.180) devine:
( ) ∑ ∑∞
=
∞
−∞=
=−
+=1
0 00
22 n n
tinn
tinnn eceibaa
tF ωω (1.183)
unde
2
00
ac = ;
2nn
niba
c−
= ; ( )∫−
−=2
20
0
0
01
T
T
tinn dtetF
Tc ω (1.184)
Relaţia (1.183) reprezintă forma comlexă a seriei Fourier. Deoarece răspunsul în frecvenţă al unui sistem cu un grad de libertate, excitat armonic, este (1.171) ( ) tieFHx ωω 0= (1.185) Pentru o forţă periodică se poate folosi seria complexă Fourier (1.183), fiind valabil principiul suprapunerii efectelor, în acest caz răspunsul complex va fi:
( ) ∑∞
−∞=
=n
tinneXtx 0ω (1.186)
Notând, în ecuaţia (1.185), ( )ωHFX 00 = , atunci se vede că:
( )nCnHinnnnn eCHCHX αα +⋅== (1.187)
38
unde
( )
nn
n
nin
H
ωω
ξωω
ω0
2
0 21
1
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= (1.188)
Din (1.188) se poate observa că dacă o armonică 0ωn este apropiată de pulsaţia naturală a sistemului, atunci va avea o contribuţie mare în răspunsul sistemului, mai ales dacă sistemul este slab amortizat. În cazul sistemelor neamortizate sunt create condiţii de rezonanţă pentru o armonică oarecare, dacă nn ωω =0 . 1.2.11. Aspecte energetice în studiul vibraţiilor liniare. Amortizare structurală Dacă se consideră vibraţiile libere ale unui sitem neamortizat şi se înmulţeşte prin
dtx termenii ecuaţiei diferenţiale a mişcării (1.59), se obţine: 0=⋅+⋅ dtxkxdtxxm (1.189) Prin integrare se poate scrie:
∫ ∫ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅
t t
cc EEdtxmdtddtxxm
0 0
202
1 (1.190)
respectiv
∫ ∫∫ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=⋅
x
x
x
xpp
x
x
EEdxkxdxddxkxdtxkx
0 0
0
02
2
(1.191)
Integrând ecuaţia (1.189) şi ţinând cont de (1.190) şi (1.191) se poate scrie: mpcpc EconstEEEE ==+=+
00 (1.192)
Deci, în cazul vibraţiilor libere şi neamortizate energia mecanică se conservă. De aceea derivând în raport cu timpul ecuaţia (1.192) se obţine:
0=dt
dEm (1.193)
care poate fi folosită în deducerea ecuaţiei de mişcare a sistemului. În cazul sistemelor forţate şi amortizate cu amortizare vâscoasă se definesc următoarele energii:
a) Energia totală a sistemului în vibraţie, egală cu energia acumulată în elementul elastic, când acesta are deformaţoa maximă:
202
1 kXE p = (1.194)
Ea reprezintă energia potenţială maximă sau energia de deformaţie maximă. b) Energia introdusă în sistem, în decursul unei perioade, de către forţa perturbatoare armonică:
( )∫ ∫ ∫ =−===T T T
F XFdtttXFdtxFFdxE0 0 0
0000 sincossin ψψωωω (1.195)
39
c) Energia disipată pe ciclu prin frecare vâscoasă, egală cu lucrul mecanic al forţei de frecare:
( )∫ ∫ ∫∫ =−==⋅==T T TT
dd XcdttcXdtxcdtxxcdxFE0 0 0
20
2220
0
2 cos ωπψωω (1.196)
din care rezultă că energia disipată pe ciclu este proporţională cu coeficientul de amortizare c, pulsaţia forţei perturbatoare şi pătratul amplitudinii mişcării. Experienţa arată că energia se disipă în toate sistemele reale, chiar şi-n acelea în care modelul mecanic nu conţine amortizorul cu frecare vâscoasă, deoarece energia se disipă în elementul elastic, datorită frecărilor interne. Frecarea internă, spre deosebire de frecarea vâscoasă, nu este proporţională cu viteza. Experienţa arată că pentru o categorie mare de materiale energia disipată pe ciclu, prin frecări interne, este proporţională cu amplitudinea deplasării: 2
0XEd α= (1.197) undeα este o constantă ce depinde de frecvenţa oscilaţiilor armonice. Acest tip de amortizare, numită amortizare structurală, este caracteristică sistemelor cu ciclu de histereză (fig. 1.32.). Fig. 1.32. Comparând ecuaţiile (1.196) şi (1.197) se poate deduce că un sistem care are amortizare structurală şi este supus unei excitaţii armonice este analog cu un sistem cu amortizare vâscoasă a cărui coeficient de amortizare este:
πωα
=ec
(1.198) Cu această echivalare ecuaţia (1.149) devine:
tFkxxxm ωπωα sin0=++ (1.199)
Folosind reprezentarea prin numere complexe, forţa perturbatoare tF ωsin0 va fi ( )ti
m eFI ω0 , legea de mişcare x va fi zI m , unde tiZez ω= este soluţia ecuaţiei:
tieFkzzzm ω
πωα
0=++
(1.200) Deoarece tiz ω= , ecuaţia (1.200) se poate scrie: ( ) tieFzikzm ωγ 01 =++ (1.201)
40
unde Rπαγ = se numeşte factor de amortizare structurală, iar ( )γik +1 se numeşte
rigiditate complexă. Înlocuind soluţia complexă în ecuaţia (1.201) se obţine:
γω ikmk
FZ
+−= 2
0 (1.202)
unde Z se poate pune sub forma: ψψ ii eXeZZ −− =⋅= 0 (1.203) Pe baza relaţiilor (1.202) şi (1.203), se obţin factorul de amplificare şi unghiul de fază
2
22
0
1
1
γωω
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
stxX
(1.204)
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
tg
ωω
γψ (1.205)
Comparând relaţia (1.204) cu relaţia (1.157) se constată că:
nωωξγ 2= (1.206)
1.3. Probleme
1.3.1. Masa m din fig. 1.33. este aşezată între două arcuri elicoidale, având acelaşi diametru d al spirei şi acelaşi diametru D de înfăşurare. Suma N a numărului de spire ale celor două arcuri este constantă. Să se exprime pulsaţia proprie a sistemului în funcţie de numărul de spire ale celor două arce. În ce caz pulsaţia este minimă? Fig. 1.33. Rezolvare: Arcurile sunt legate în paralel, deci 21 kkk += , de unde:
41
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
113
4
213
4 118
118 NNND
GdNND
Gdk
Pulsaţia proprie a sistemului este:
( )113
4
8 NNNN
mDGd
mkP
−==
Pentru ca pulsaţia să fie minimă, trebuie ca numitorul să fie maxim, ceea ce are loc pentru
221NNN == , adică:
mND
GdPm 3
4
2=
1.3.2. Să se determine constantele elastice echivalente pentru sistemele oscilante din fig. 1.34. În fig. 1.34. a şi b, masa m este rigid legată de bara AB, considerată fără masă, iar în fig. 1.34. c, legătura se realizează prin articulaţia O. a b c
Fig. 1.34
Rezolvare: Arcurile 1k şi arcurile 2k din fig. 1.34.a sunt legate în paralel. Arcurile echivalente lor sunt legate în serie. Deci, se poate scrie:
21 21
211
kkk+= ,
de unde 21
212kk
kkk
+=
În fig. 1.34. b toate cele trei arcuri sunt legate în paralel, deci: 321 kkkk ++= Datorită legării masei m de bara AB prin articulaţia O, cele trei arcuri din fig. 1.34. c au deformaţii diferite, deci nu sunt legate în paralel. Se calculează constanta echivalentă pentru primele două arcuri. Din ecuaţia de momente faţă de O, se obţine
222111 axkaxk = , iar din asemănarea triunghiurilor AOO' şi ABB' rezultă:
42
21
12
2
1
aaxx
axx
+−
=−
obţinându-se deformaţiile:
( )
xakakaaakx 2
22211
21221 +
+= ;
( )x
akakaaakx 2
22211
21112 +
+= ,
respectiv constanta echivalentă celor două arcuri:
( )222
211
221212211
akakaakk
xxkxk
ke ++
=+
=
Constanta echivalentă a sistemului va fi:
( )32
22211
22121
3 kakak
aakkkkk e +
++
=+=
Dacă 21 aa = ,
321
214k
kkkk
k ++
=
iar dacă 321 kkk == , rezultă: 13kk = 1.3.3. Un cilindru din lemn, având densitatea ρ , aria secţiunii S şi înălţimea h, pluteşte în apă, parţial scufundat, cum se arată în fig. 1.35. Faţă de poziţia de echilibru acesta este deplasat cu 0x . Să se deducă ecuaţia diferenţială a mişcării, pulsaţia şi legea mişcării cilindrului. Se neglijează frecările. Fig. 1.35. Rezolvare: În poziţia de echilibru forţa gravitaţională şi forţa arhimedică îşi fac echilibru. Într-o poziţie în care cilindrul este deplasat cu x faţă de poziţia iniţială se poate scrie: Sgxxm 0ρ−= sau 00 =+ SgxxSh ρρ
de unde 00 =+ xhgx
ρρ
şi rezultă: ρρ
ω 0
hg
n = ; txx nωcos0=
43
1.3.4. Să se determine pulsaţia proprie a oscilaţiilor unei coloane de lichid, având lungimea l, într-un tub manometric în formă de U. (fig. 1.36.) Fig. 1.36. Rezolvare: Masa lichidului în mişcare este lSm ρ= , iar forţa care produce mişcarea este
SxgF ρ2= . Ecuaţia de mişcare este:
02 =+ SxgxSl ρρ , sau 02=+ x
lgx ,
de unde lg
n2
=ω
1.3.5. Să se determine ecuaţia de mişcare şi perioada pendulului simplu din fig. 1.37., scufundat într-un lichid de densitate ( )00 ρρρ > . Forţele de rezistenţă se neglijează. Fig. 1.37. Rezolvare: Legea lui Newton AFGTam ++= , unde AF este forţa lui Arhimede, se proiectează pe direcţia tangentei θθθ sinsin AFmgml +−= sau ( ) 0sin0 =++ θρρθρ gVVVl de unde
( )0sin0 =
−+ θ
ρρρ
θlg
În cazul micilor oscilaţii, se obţine:
44
00 =−
+ θρρρ
θlg
şi ( )g
lT0
2ρρρπ−
=
1.3.6. Un corp de masă M, având o axă de simetrie ( )Δ ce trece prin centrul său de masă, este suspendat prin trei fire simetric aşezate faţă de această axă. Se scoate corpul din poziţia de echilibru, prin rotire în jurul axei ( )Δ cu un unghi mic (fig. 1.38.). Să se determine ecuaţia diferenţială a micilor oscilaţii şi să se stabilească o metodă pentru determinarea momentului de inerţie al corpului în raport cu axa ( )Δ . Fig. 1.38. Rezolvare: În general trei fire asigură o bună stabilitate, dar formula ce se deduce în continuare este independentă de numărul de fire. În cazul suspendării prin trei fire, pentru
unghiuri mici se poate scrie ϕθ lR = şi forţa din fiecare fir 3gMT = . De asemenea, forţa
tangenţială, de readucere, va fi ϕϕ MgTF ==′ sin33 . Aplicând teorema momentului cinetic faţă de axa ( )Δ , se poate scrie:
RFJ ⋅′−=Δ 3θ sau θθl
RMgJ2
−=Δ
adică:
02
=+Δ
θθlJ
MgR
de unde
Δ
=lJ
MgRn
22ω
respectiv 22
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Δ π
Tl
MgRJ
unde T este perioada micilor oscilaţii, care se măsoară experimental. 1.3.7. Un cilindru de masă m şi rază r se rostogoleşte fără să alunece pe o suprafaţă cilindrică de rază R (fig. 1.39.). Să se determine perioada micilor oscilaţii faţă de poziţia
45
de echilibru. Care este perioada micilor oscilaţii dacă cilindrul se înlocuieşte cu o sferă m şi rază r? Fig. 1.39. Rezolvare: Folosind metoda energetică, se calculează energia cinetică a discului aflat în mişcare plană, considerând axa Oz perpendiculară pe planul mişcării:
22
21
21 ωzc JmvE += ,
unde
( )θrRv −= , θωr
rRrv −== , 2
21 mrJ z =
Astfel, energia cinetică devine:
( ) ( ) 2222
22
43
21
21
21 θθθ rRm
rrRmrrRmEc −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
Energia potenţială este: ( )( )θcos1−−= rRmgE p iar energia mecanică:
( ) ( )( )θθ cos143 22 −−+−=+= rRmgrRmEEE pcm
Sistemul fiind conservativ, se poate scrie:
( ) ( ) 0sin23 2 =−+−= θθθθ rRmgrRm
dtdEm
Împărţind cu θ , se obţine ecuaţia diferenţială:
( ) 0sin3
2=
−+ θθ
rRg
În cazul micilor oscilaţii θθ ≅sin , ecuaţia devine liniară:
( ) 03
2=
−+ θθ
rRg
,
şi mişcarea este armonică cu perioada:
( )g
rRTn 2
322 −== π
ωπ
Pentru sferă, se ţine cont că 2
52 mrJ z = şi se obţine:
46
( )g
rRT5
72 −= π
1.3.8. Să se determine ecuaţia diferenţială a mişcării şi perioada acesteia pentru modelul de translaţie din fig. 1.40., presupunând că arcul are masa m, uniform distribuită. Fig. 1.40. Rezolvare: Se consideră un element dz din arc. Energia lui cinetică este
( )2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x
LzldzdEc ρ , deoarece deplasarea elementului dz la cota z va fi x
Lz .
Energia cinetică a întregului arc este:
22
002
322
2
61
321
321
21 xmxl
Lzxdzx
LzlE
LLL
carc===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
ρρ
Energia cinetică totală va fi:
22
61
21 xmxMEc +=
iar energia potenţială:
2
21 kxE p =
Energia mecanică a sistemului este:
222
21
61
21 kxxmxMEEE pcm ++=+= ,
de unde, aplicând metoda energetică (1.193) şi împărţind cu x , se poate scrie ecuaţia de mişcare:
03
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + kxxmM ,
respectiv perioada mişcării:
k
mMT 32
+= π
47
1.3.9. Se consideră sistemul vibrant din fig. 1.41., format din corpuri omogene, legate între ele prin fibre flexibile şi inextensibile. Dacă în poziţia de echilibru static corpului de greutate GQ 2= i se imprimă viteza 0v , se cer: a) ecuaţia diferenţială a mişcării şi legea de mişcare a corpului Q ; b) tensiunile din fire; c) valorile extreme ale tensiunilor şi valoarea maximă a vitezei 0v , astfel ca în tot timpul mişcării, firele să fie întinse. Fig. 1.41. Rezolvare: Se aplică ecuaţia lui Lagrange
x
Ex
Ex
Edtd pcc
∂
∂−=
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
unde coordonata generalizată x reprezintă deplasarea corpului Q din poziţia de echilibru static. Deoarece corpul Q are mişcare de translaţie, scripetele fix 1O are mişcare de rotaţie cu axa fixă, iar scripetele mobil 2O are mişcare plană, energia cinetică a sistemului este:
2222
2
222
1623
2221
221
221
21 x
gG
RxR
gGx
gG
RxR
gGx
gQEc =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ,
iar energia potenţială este:
22
81
221 kxxkE p =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Înlocuind în ecuaţia lui Lagrange, se obţine:
041
823
=+ kxxgG
sau 02 =+ xx nω
unde G
kgn 23
22 =ω
Soluţia ecuaţiei diferenţiale este de forma: tAtAx nn ωω sincos 21 += iar în condiţiile iniţiale date ( ) 00 =x ; ( ) 00 vx = , legea de mişcare rezultă:
48
tv
x nn
ωω
sin0=
Pentru determinarea tensiunilor din fire se separă corpurile ca în fig. 1.42. şi se aplică principiul lui d'Alembert, obţinându-se următoarele ecuaţii:
0221 =−− Gx
gGT , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= t
gv
GT nn ω
ωsin12 0
1
02
2
21 =−−RxR
gGRTRT , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= t
gv
GT nn ω
ωsin
252 0
2
022
2
32 =−−RxR
gGRTRT , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= t
gv
GT nn ω
ωsin
4112 0
3
Fig. 1.42. Valorile extreme ale acestor tensiuni sunt:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
gv
GT ne
ω01 12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
gv
GT ne
ω02 2
52
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
gv
GT ne
ω03 4
112
Pentru ca firele să fie tot timpul mişcării întinse, trebuie ca tensiunile minime să fie pozitive, condiţie din care rezultă:
n
gvω11
80 <
1.3.10. Să se deducă ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului din fig. 1.43., presupunând că bara OB de masă m este orizontală în poziţia de echilibru static şi că efectuează mici oscilaţii în jurul acestei poziţii, sub acţiunea forţelor perturbatoare distribuite.
49
Fig. 1.43. Rezolvare: Deplasarea verticală a punctului de pe bară situat la distanţa x de capătul 0 va fi ( ) θδ xtgtx =, , iar θ fiind un unghi mic, se poate scrie:
( ) ( )txtx θδ =, Forţele rezultante sunt:
θklF e = , θcLF a = , ( )dxtfL
xPdF P 0=
Aplicând ecuaţia de momente din principiul lui d'Alembert faţă de axa fixă 1Oz perpendiculară pe planul mişcării, se obţine:
( ) ( ) ( )tfLP
klcLmL⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛33
2022
2
θθθ
1.3.11. O placă dreptunghiulară de masă m şi suprafaţă A este legată la capătul unui arc de constantă k (fig. 1.44.). Dacă perioada oscilaţiilor plăcii în aer este 1T , iar pseudoperioada oscilaţiilor când placa este suspendată într-un vas cu un lichid vâscos este
2T , să se deducă formula de calcul al coeficientului de amortizare şi al coeficientului dinamic de vâscozitate. Fig. 1.44. Rezolvare: Aplicând principiul lui d'Alembert pentru oscilaţiile masei m în lichid, neglijând forţa arhimedică, se obţine: ( ) 0=−+++ mgxxkxcxm st , unde x se măsoară din poziţia de echilibru static, deci:
stkxmg = , 2n
st mk
xg ω==
Ecuaţia se poate scrie: 02 2 =++ xxx nωξ unde
50
crcc
=ξ , kmccr 2= , 1
2Tm
kn
πω == ,
iar pseudopulsaţia este: 21 ξω −= np De aici,
( )22
1
2
2
122 ξππ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛TT
adică:
22
21
222
TTT −
=ξ
sau ţinând cont şi de relaţiile precedente se obţine:
( )
21
21
22
2
21
22
42
TTTTm
Tx
TTgmc st −⋅
=
−
=π
De asemenea, ţinând cont de definiţia coeficientului dinamic de vâscozitate, rezultă:
ttt
a
Ac
xAxc
xAF
===η
unde tA este aria suprafeţei totale în contact cu lichidul. Ca urmare, se obţine:
21
22
21
2 TTATTm
−⋅
=πη
1.3.12. O elice de masă m=2kg, având raza de giraţie faţă de axa sa de simetrie i=100mm, este suspendată printr-un fir de oţel de diametru d=1,5mm şi modul de elasticitate transversal 291080 mNG ⋅= . Elicea are oscilaţii de rotaţie în aer, cu rezistenţa aerului neglijabilă, având perioada sT 21 = . a) Să se determine lungimea L a firului. Dacă se scufundă elicea în apă, se constată o scădere a amplitudinii oscilaţiilor în fiecare ciclu cu 63%. b) Să se calculeze raportul de amortizare ξ , pseudoperioada 2T şi momentul de inerţie aparent al elicei. Rezolvare:
a) Ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor de răsucire este:
0=+ θθ kJ , unde L
GIk =
G fiind modulul de elasticitate transversal, Ip mometul de inerţie (geometric) polar, al secţiunii firului, iar L lungimea firului. Perioada oscilaţiilor este:
51
GI
JLTp
π21 = , iar 2miJ =
de unde
mJ
GTIL p 2,0
24
21 ==
π
b) Decrementul logaritmic este: 137
100lnln2
===+j
j
θθ
δ , unde jθ este valoarea
extremă de ordinul j a lui θ, pentru care raportul de amortizare este:
16,028,61
2===
πδξ
Pseudoperioada oscilaţiilor se calculează din formula: 21 ξω −= np adică
sTT 026,21 2
12 =
−=
ξ
Momentul de inerţie mecanic se poate calcula în aer din formula perioadei T1. Deoarece
LGIT
J p2
21
4π=
prin analogie, se obţine pentru momentul de inerţie aparent în apă:
LGIT
J papa 2
22
4π=
Făcând raportul şi ţinând cont de relaţia dintre T1 şi T2, se obţine:
221
22
11ξ−
==TT
JJ apa
deci,
22
2
0205.01
mkgmiJ apa ⋅=−
=ξ
Ca urmare, datorită antrenării apei şi frecării vâscoase, aparent se produce o creştere a momentului de inerţie. 1.3.13. Se dă sistemul vibrant din fig. 1.45., format din corpuri omogene legate între ele prin fire flexibile şi inextensibile, iar frecările sunt neglijabile. În poziţia de echilibru static a sistemului când suportul inferior al arcului elicoidal este fixat (f=0), toate eforturile din fire au valoarea T0=6G. La un moment dat suportul începe să vibreze după
legea: ( ) trtf 0sinω= , unde kg
=0ω . Să se determine:
52
a) Deformaţiile statice ale arcurilor, ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului şi pulsaţia sa proprie; b) Legea mişcării forţate a centrului C al scripetelui mobil; c) Eforturile din fire şi valoarea maximă a lui r pentru ca acestea să fie întinse tot timpul mişcării. Fig. 1.45. Rezolvare: Din condiţia de echilibru static al scripetelui mobil se obţine: 01000 =−−+ stkxGTT
6
2 RkGxst ==
iar din condiţia de echilibru static al troliului se obţine: 02 000 =−+ stkRTRT θ
radk
GRst 6
1180 ==θ
Pentru deducerea ecuaţiei diferenţiale a mişcării se va folosi ecuaţia lui Lagrange. Scripetele mobil are mişcare plană, iar scripetele fix şi troliul au mişcare de rotaţie. Se pot scrie următoarele relaţii cinematice: RVA 23θ= ; RVB 3θ= ; RIBAB 2==
Rx
311 == θω ; 3
2xVB = ; 3
4xVA = ;
Rx
32
3 =θ ; Rx
32
2 =θ
Energia cinetică a sistemului este:
2
222
22222
215
32
244
22
21
32
22
21
3210
2110
21
xgG
RxR
gGR
gG
RxR
gG
RxR
gGx
gGEc
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Energia potenţială, faţă de poziţia de echilibru static, este:
( ) ( ) 2223
2 24621
21 x
RGfx
RGkfxkE p +−=+−= θ
Se înlocuieşte în ecuaţia lui Lagrange:
53
x
Ex
Ex
Edtd pcc
∂
∂−=
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
,
şi se obţine:
tgRrx
Rgx 0sin
544 ω=+ ,
Rg
n ⋅= 2ω
Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este: pxxx += 0 , unde ( )ϕω += tAx nsin0 , iar vibraţia forţată este de forma: txx p 00 sinω= Impunând soluţiei particulare să verifice ecuaţia diferenţială, se obţine:
20
20
20 5 nn
rXX ωωω =+− ,
de unde amplitudinea vibraţiei forţate devine:
( ) rr
Xn
n
154
5 20
2
2
0 =−
=ωω
ω,
deci
trx p 0sin154 ω=
Pentru determinarea eforturilor se separă corpurile 1 şi 2 şi se aplică principiul lui d'Alembert (fig. 1.46.). Fig. 1.46. Se obţin următoarele ecuaţii:
( ) 0101012 =−+−−−+ fxxkxgGGTT st
035
21 =−− RxgGRTRT
032
23 =−− RxgGRTRT
de unde
trRGGT 01 sin
452686 ω−= ; r
RGGT m 45
26861 −=
54
trRGGT 02 sin
452486 ω−= ; r
RGGT m 45
24862 −=
trRGGT 03 sin
3166 ω−= ; r
RGGT m 3
1663 −=
Pentru ca firele să fie întinse, trebuie îndeplinită condiţia: Rr 01,1< 1.3.14. Un motor electric de greutate G=12.000N cu turaţia nominală n=1500rot/min, este montat la mijlocul unui suport, format din două grinzi II6 coliniare, simplu rezemate la capete, de lungime l=200cm. Rotorul motorului de greutate P=2000N, are o excentricitate e=0,1mm. Să se determine turaţia critică a motorului, amplitudinea vibraţiilor de încovoiere şi forţele dinamice transmise la reazeme. Rezolvare: Pentru II6 din tabele rezultă: Iz=935cm4, cu care constanta electrică a celor două grinzi devine:
cmNIEk z /235620200
9352101,2483
2483
7
=⋅⋅⋅⋅
=⋅
=
Pulsaţia proprie şi turaţia critică se obţin astfel:
18,13812000
981235620 −=⋅
=== sGkg
mk
nω , 30
crn
nπω =
de unde
min/13258,1383030rotn n
cr =⋅
==ππ
ω
Pentru determinarea amplitudinii vibraţiei forţate, se scrie ecuaţia diferenţială de mişcare:
tegPkxx
gG ωω sin2=+
Vibraţia forţată este de forma: tXx p ωsin0= Impunând condiţia ca această soluţie particulară să verifice ecuaţia diferenţială, se obţine amplitudinea vibraţiei forţate:
mmGPeX
n
n 077,0113,1
13,112000
1,02000
12
2
2
2
0 =−
⋅⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ωω
ωω
unde
13,1==ncrn
nωω
Pulsaţia forţei perturbatoare este:
55
1157301500
30−=
⋅=
⋅= sn ππω
mişcarea având loc dincolo de rezonanţă. În lagăre se transmite forţa dinamică:
NXk
FD 9072
0077,02356202
0 =⋅
=⋅
=
1.3.15. Un vehicol având masa M=400kg (fig. 1.47.) se deplasează cu viteza v pe un drum denivelat, al cărui profil poate fi aproximat prin legea trf ωsin= , având lungimea de undă a denivelării L=10m. Să se determine factorul de amplificare la vitezele v1=24km/h, v2=96km/h şi valoarea vitezei critice de mers, dacă suspensia elastică are constanta k=40N/mm. Fig. 1. 47. Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a mişcării vehicolului este: ( )fykyM −−= sau tryy nn ωωω sin22 =+ Vibraţia forţată a acestei mişcări este:
trtYy
n
p ω
ωω
ω sin
1
sin 20
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==
unde Mk
n =2ω . Deci, factorul de amplificare este:
( )2
0
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==
n
rY
H
ωω
ω
Lungimea de undă a denivelării fiind ωπ2
⋅=⋅= vTvL
Factorul de amplificare devine:
( )( ) 22
0
21
1
LkMvr
YH
⋅−==
πω
56
La v1=24km/h ( )
21,1418,01
12
0 =−
=r
Y
La v2=96km/h ( )
82,1672,111
20 =
−=
rY
Rezonanţa are loc dacă nωω = , adică:
hkmsmMkLvcr /3,57/
2100
4001040
14,3210
2
3
==⋅
⋅==
ππ
1.3.16. O forţă perturbatoare periodică este aplicată unui sistem vibrant prin intermediul unui element elastic şi a unui amortizor, al căror suport comun este pus în mişcare de o camă, care se roteşte cu viteza unghiulară constantă 0ω (fig. 1.48.). Să se determine legea mişcării forţate a mesei m. Fig. 1.48. Rezolvare: O mişcare periodică poate fi reprezentată printr-o serie Fourier în forma:
( ) ( )∑∞
=
++=1
000 sincos21
nnn tnbtnaatf ωω
unde
( )∫ ∫ =⋅
==0 0
0 0000 2
11 T T
o
hdtT
thT
dttfT
a
( )∫ ∫ =⋅
==0 0
0 00
00
0
0cos2cos2 T T
on tdtn
Tth
Ttdtntf
Ta ωω
( )∫ ∫ −=⋅
==0 0
0 00
00
0
sin2sin2 T T
on n
htdtnT
thT
tdtntfT
bπ
ωω
deci
( ) ∑∞
=
−=1
0sin2 n n
tnhhtfω
π
Ecuaţia diferenţială a mişcării masei m este:
( ) ( ) xkfxkfxcxm22
−−−−−= sau fkfckxxcxm2
+=++
57
unde
∑∞
=
=1
00 cos
ntn
hf ω
πω
Cu aceasta ecuaţia diferenţială a mişcării devine:
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=++
10
00 cossin
24 ntn
chtn
nkhkhkxxcxm ω
πω
ω ,
sau restrângerea membrului drept, folosind reprezentarea vectorială,
( )∑∞
=
++−=++1
022
022 sin4
21
4 nntnnck
nhkhkxxcxm ϕωωπ
unde
k
nctg n02
ωϕ = şi, încă
mk
n =2ω , nm
cω
ξ2
=
deci
( )∑∞
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=++
10
2
02
22 sin24121
42
nn
n
nnnn tnn
nhhxxx ϕω
ωω
ξπω
ωωξω
Legea mişcării masei m este:
( )∑∞
=
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=1
02
0
22
0
2
0
sin
21
241
21
4 nn
nn
np tn
nn
n
nhhx ψω
ωω
ξωω
ωω
ξ
π
unde
n
n
nn
n
narctg ϕ
ωω
ωω
ξψ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= 2
0
0
1
2
1.3.17. Sistemul din fig.1.49. reprezintă modelul unui vibrator, a cărui masă nerotitoare este M-m şi care este fixat de o fundaţie printr-un arc de constantă k şi un amortizor având coeficientul de amortizare c. Două mase 2m au mişcări de rotaţie de sensuri contrare, cu aceiaşi viteză unghiulară ω, şi aceiaşi excentricitate e. Să se determine ecuaţia de mişcare a sistemului, amplitudinea vibraţiei forţate a vibratorului şi amplitudinea forţei transmisă la fundaţie.
58
Fig. 1.49. Răspuns: Ecuaţia de mişcare este: tmekxxcxM ωω sin2=++ , amplitudinea vibraţiei forţate a vibratorului este:
( ) ( )222
2
0
ωω
ω
cMk
meX+−
= ,
iar amplitudinea forţei transmisă la fundaţie rezultă:
( ) ( )222
2222
ωω
ωωcMk
ckmeFt+−
+=
1.3.18. Se consideră sistemul din fig. 1.50., având amortizare structurală. Folosind metoda punctelor de semiputere, să se determine din reprezentarea diagramei Nayquist factorul de amortizare structurală, constanta elastică şi masa sistemului. Fig. 1.50. Rezolvare: Folosind reprezentarea în complex pentru rezolvarea ecuaţiei de mişcare: ( ) tFxikxm ωγ cos1 0=⋅++ se obţine receptanţa mecanică (1.202)
ivukimkF
z+=
+−=
γω 20
1
2
22
2
1
11
γωω
ωω
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
n
ku
59
2
22
1
1
γωω
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
n
kv
Aceste relaţii dau cercul:
22
2
21
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
kkvu
γγ
Punctele din diagrama de rezonanţă pentru care corespunde o pierdere de energie egală cu jumătate din cea corespunzătoare rezonanţei se numesc puncte de semiputere (fig. 1.51.). Fig. 1.51. Fig. 1.52. Din (1.196) rezultă amplitudinea: ( )
nX ωω =02
1
Folosind ecuaţia (1.204) se obţine: ( )k
FX o
n γωω ==0, şi
2
22
1
12
1
γωω
γ+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
n
adică
γωω
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
2
2
n
γωω
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
2
1
n
Pentru 1<<γ , ωωω
γ 12 −=
Pe cercul din fig. 1.52. viteza unghiulară creşte în sensul acelor ceasornicului. Punctul B corespunde amplitudinii maxime, deci nωω = . Punctele A şi C corespund pentru
2OBOCOA == , deci sunt de semiputere. Dacă R este raza cercului, se obţine:
60
Rk γ21= şi 2n
kmω
=
1.3.19. O maşină de masă M este fixată elastic de o fundaţie. Pulsaţia proprie este necunoscută. Pentru determinarea acesteia se fixează rigid de masa M un vibrator de masă m şi frecvenţă variabilă, care realizează rezonanţă la pulsaţia ω. Se cere pulsaţia naturală ωn. Aplicaţie numerică: M=10.000kg, m=1.500kg, ω=31,4s-1 Răspuns:
161,33 −=+
= sM
mMn ωω
1.3.20 - 1.3.22. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.53., 1.54. şi 1.55., să se determine ecuaţiile diferenţiale ale mişcării şi pulsaţiile proprii. Fig. 1.53. Fig. 1.54. Fig. 1.55. Răspuns:
1.3.20. ( ) 022 =++ kxxMm Mm
kn +=
222ϖ
1.3.21. ( ) 0832 =++ kxxMm Mm
kn 32
82
+=ϖ
1.3.22. ( ) 0238 =++ kxxMm Mm
kn 38
22
+=ϖ
1.3.23.- 1.3.25. Pentru sistemele mecanice din fig. 1.56., 1.57. şi 1.58., să se determine ecuaţiile diferenţiale ale mişcării şi condiţiile de stabilitate ale micilor oscilaţii.
61
Fig. 1.56. Fig. 1.57. Fig. 1.58. Răspuns: 1.3.23. 0cos2sin2 22 =⋅+− θθθθ lkmglml sau
022 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ θθ g
mlk
mglk >⋅
1.3.24. 0sin2
cos3
22
=−+ θθθθ lmgklml sau
036 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ θθ g
mlk
2
mglk >⋅
1.3.25. ( ) 02sin 22 =−+− θθθ alkmglml sau
012 2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ θθ
lg
la
mk
lg
la
mk
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2
12
1.3.26. O elice, cu număr par de pale, este suspendată printr-un fir şi are oscilaţiile de rotaţie în jurul axei sale de simetrie, în aer, cu perioada T1. Dacă se aşează simetric faţă de axa de rotaţie la distanţe d egale două corpuri (magneţi) de masă egală m, oscilaţiile au perioada T2. Să se determine momentul de inerţie al elicei faţă de axa sa de simetrie (fig. 1.59.). Fig. 1.59.
62
Răspuns:
21
22
21
22TTTmdJ
−⋅
=
1.3.27. Un corp de rotaţie al cărui moment de inerţie J faţă de axa sa de simetrie este cunoscut, este suspendat printr-un fir. Perioada oscilaţiilor de răsucire în aer este T1, iar în ulei T2. Să se determine coeficientul de vâscozitate al uleiului. Răspuns:
21
21
224TT
TTJc
−=
π
1.3.28. Să se determine răspunsul unui sistem cu un grad de libertate supus unei excitaţii treaptă F0, în condiţiile iniţiale nule. Rezolvare: Considerând sistemul neamortizat, răspunsul la impuls unitar este:
( ) tm
th nn
ωω
sin1=
Înlocuind în (1.127) se obţine:
( ) ( ) ( )tkFdt
mFtx n
t
nn
ωττωω
cos1sin 0
0
0 −=−= ∫
Pentru sistemul amortizat soluţia va fi: 0xxx p += unde
kF
xp0= , ( )tAtAex nn
tn 22
210 1sin1cos ξωξωξω −+−= − ,
adică
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+−−= − tte
kF
tx n
n
nn
tn 2
2
20 1sin1
1cos1 ξωξω
ξωξωξω
63
2. VIBRAŢIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE
2.1. Stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării cu ajutorul
ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a II-a Se consideră un sistem mecanic supus la legături olonome, aflat în mişcare, a cărui poziţie este precizată prin coordonatele generalizate q1, q2, ..., qn. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a II-a sunt:
jj
c
j
c QqE
qE
dtd
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
, ( )nj ,...,2,1= (2.1)
unde Ec reprezintă energia cinetică a sistemului, iar jQ sunt forţele generalizate. Forţele
generalizate jQ se împart astfel:
)(tQQQQ pj
ncj
cjj ++= (2.2)
în care cjQ reprezintă forţele consecutive, nc
jQ reprezintă forţele generalizate
neconsecutive, altele decăt cele perturbatoare, iar )(tQ pj reprezintă forţele generalizate
perturbatoare. Forţele generalizate consecutive derivă dintr-o funcţie de forţă U şi pot fi scrise pe baza lucrului mecanic virtual:
∑ ∑ ∑= = = ∂
∂−=
∂∂
==n
j
n
j
n
jj
j
pj
jj
cj
c qqE
qqUqQL
1 1 1δδδδ (2.3)
sub forma:
j
pcj q
EQ
∂
∂−= ( )nj ,...,2,1= (2.4)
Forţele neconsecutive pot fi clasificate în două categorii. Dacă puterea lor mecanică este nulă:
01
=∑=
n
jj
gj qQ , (2.5)
ele se numesc forţe giroscopice, iar dacă puterea lor este negativă:
01
<∑=
n
jj
dj qQ , (2.6)
ele se numesc forţe disipative. Ecuaţiile lui Lagrange de spaţa a II-a constituie un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi în coordonatele generalizate. Într-adevăr, energia cinetică a sistemului are expresia:
64
∑∑ ∑
∑∑∑∑
= = =
====
++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
==
n
r
n
s
n
ssssrrs
n
s
is
s
in
r
ir
r
iN
ii
N
iiic
mqmqqm
tr
qqr
tr
qqr
mrmE
1 10
1
1
11
1
11
11
21
21
21
21
(2.7)
unde coeficienţii:
s
i
r
iN
iisrrs q
rqr
mmm∂∂
∂∂
== ∑=
11
1
t
rqr
mm i
s
iN
iis ∂
∂∂∂
= ∑=
11
1
2
1
10 2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∑= t
rmm i
N
ii (2.8)
sunt funcţii de coordonatele generalizate şi de timp. Energia cinetică este deci, suma dintre o formă pătratică în vitezele generalizate, o formă liniară în aceleaşi viteze, respectiv o formă de grad zero. Dacă legăturile sistemului sunt scleronome:
01 =∂∂
tr i Ni ,,2,1 …= (2.9)
şi energia cinetică a sistemului se reduce la forma:
∑∑= =
=n
r
n
ssrrsc qqmE
1 121 (2.10)
adică o formă pătratică şi omogenă în vitezele generalizate. O formă pătratică şi omogenă de forma (2.10), poate fi scrisă în notaţie matriceală după cum urmează:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
{ } { } [ ]{ }qmq
q
mmm
mmm
mmm
qqq
qmqmqmq
qmqmqmq
qmqmqmqE
T
nnnnn
n
n
n
nnnnnn
nn
nnc
………………………
…
…
…
21
21
21
................................................................21
21
2
1
21
22221
11211
21
2211
22221212
12121111
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=++++
+++++
++++=
(2.11)
în care { } { }nT qqqq ,21= este matricea linie, iar { }q este matricea coloană a vitezelor
generalizate. Matricea [ ]m este numită matricea formei pătratice şi după modul în care a fost alcătuită este o matrice simetrică.
65
În general, o funcţie de mai multe variabile este pozitiv (negativ) definită, dacă ea nu este niciodată negativă (pozitivă) şi este egală cu zero dacă şi numai dacă toate variabilele sunt zero. O funcţie de mai multe variabile este pozitiv (negativ) semidefinită dacă nu este niciodată negativă (pozitivă) şi poate fi zero şi în alte puncte decât cele pentru care toate variabilele sunt nule. Aceste definiţii sunt extinse şi asupra matricelor asociate formelor pătratice. Criteriul lui Sylvester dă condiţiile necesare şi suficiente pentru ca o formă pătratică să fie pozitiv definită: toţi determinanţii (minorii principali) ai matricei asociate să fie pozitivi. Scriind energia cinetică sub forma:
021
21
1
1
1≥⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= ∑∑== t
rq
qr
mE in
rr
r
iN
iic (2.12)
rezultă că ea este o formă pătratică pozitiv definită. Revenind la ecuaţiile lui Lagrange (2.1), pentru sisteme scleronome se obţine:
( )
s
n
sjsr
n
rrjs
n
sjs
sjrrjs
n
r
n
srs
j
srs
j
rn
r
n
srs
j
c
qmqmqm
qqmqq
qqqqm
qE
∑∑∑
∑∑∑∑
===
= == =
=+=
=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=∂∂
111
1 11 1
21
21
21
21 δδ
(2.13.a)
unde rjδ este simbolul Kronecker, care este egal cu zero pentru jr ≠ şi egal cu unu pentru jr = . Atunci:
s
n
sjs
j
c qmqE
dtd ∑
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
1, nj ,,2,1 …= (2.13.b)
Pe de altă parte j
c
qE∂∂
şi jQ nu depind de acceleraţiile generalizate. Grupând toţi termenii
care nu conţin derivatele de ordinul doi ale coordonatelor, ecuaţiile lui Lagrange (4.1) devin:
( )qqQqm js
n
sjs ,~
1=∑
=, nj ,,2,1 …= (2.14)
adică, ecuaţii diferenţiale de ordinul doi în coordonatele generalizate şi a căror coeficienţi jsm sunt funcţii de coordonatele generalizate.
2.2. Ecuaţiile micilor oscilaţii Dacă la momentul iniţial poziţia unui sistem sceronom este în vecinătatea unei poziţii de echilibru stabil, iar vitezele iniţiale sunt suficient de mici în valoare absolută, atunci în decursul mişcării atât derivaţiile de la poziţia echilibrului, cât şi vitezele
66
generalizate, vor ramâne mici. În aceste condiţii se vor păstra, în ecuaţiile diferenţiale ale mişcării, numai termenii care le liniarizează. Fără a micşora generalitatea problemei, se consideră originea coordonatelor generalizate în poziţia de echilibru. Astfel, poziţia de echilibru va fi dată de soluţia banală: 0321 ===== nqqqq . Efectuând o dezvoltare în serie a coeficienţilor rsm (2.8), care figurează în expresia energiei cinetice, în jurul poziţiei de echilibru, se obţine:
( ) ( ){ } { }
…… +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+= ∑= =
n
j qj
j
rsrsnrs q
qm
mqqqm1 0
21 0,,0,0,,, (2.15)
din care se vor păstra numai părţile constante, adică ( )0,,0,0 …rsm . În legătură cu energia potenţială, aceasta este o funcţie numai de coordonatele generalizate, adică ( )npp qqqEE ,,, 21 …= . Dezvoltând această funcţie în serie în jurul poziţiei de echilibru, neglijând termenii superiori celor de ordinul doi se obţine:
( ) ( ){ } { } { } { }
∑∑∑= = == = ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+=
n
r
n
s qsr
sr
pn
r qr
r
ppnp qq
qqE
qqE
EqqqE1 1 0
2
1 021 2
10,,0,0,,, …… (2.16)
Însă în poziţia de echilibru { } { }
00
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
=qr
p
qE
, şi în plus se admite că, constanta până la
care este determinată energia potenţială este astfel aleasă încât ( ) 00,,0,0 =…pE . Atunci dezvoltarea în serie se reduce la:
∑∑= =
=n
r
n
ssrrsp qqkE
1 121 (2.17)
unde
{ } { }
sr
qsr
prs k
qqE
k =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂=
= 0
2
(2.18)
Conform teoremei Lejeune-Dirichlet, deoarece poziţia de echilibru este o poziţie stabilă, trebuie ca 0≥pE , ceea ce înseamnă că şi energia potenţială este o formă pătratică pozitiv definită şi se poate scrie matriceal sub forma:
{ } [ ]{ }qkqE Tp 2
1= (2.19)
Cât priveşte forţele generalizate neconsecutive, ele depind numai de vitezele generalizate şi există două cazuri particulare (2.5) şi (2.6). În primul caz forţele generalizate giroscopice sunt funcţii liniare şi omogene de vitezele generalizate:
∑=
=n
ssjs
gj qgQ
1, nj ,,2,1 …= (2.20)
sau sub formă matriceală:
67
{ } [ ]{ }qGQg = (2.21) în care matricea giroscopică [ ]G trebuie să fie antisimetrică, adică: şi 0=jjq , njs ,,2,1, …= (2.22) Într-adevăr, în acest caz:
( ) 01 1
2
11 1=++= ∑∑∑∑∑
≠= === =
js
n
sjj
n
ssjjsj
n
jjj
n
j
n
ssjjs qqggqgqqg (2.23)
deci puterea lor este nulă. Exemple de forţe generalizate giroscopice, care pot acţiona în sisteme scleronome, îl reprezintă cuplurile giroscopice şi forţele Coriolis. Într-adevăr, pentru forţele inerţiale Coriolis se poate arăta uşor că satisfac condiţia de giroscopicitate.
( ) 0211
=×−= ∑∑==
ii
N
iii
N
i
Ic vvmvF ω (2.24)
unde iv este viteza punctului de masă im faţă de un sistem mobil, iar ω viteza unghiulară a acestui sistem faţă de un sistem de referinţă inerţial. Pentru cel de-al doilea caz de forţe neconservative, ele sunt de rezistenţă, opuse de mediu asupra punctelor aflate în mişcare. Ele sunt direct proporţionale şi de sens contrar cu vitezele punctelor. ii
di vcF −= , Ni ,,2,1 …= (2.25)
Lucrul mecanic virtual al forţelor generalizate neconservative disipative se scrie:
∑ ∑ ∑ ∑= = = =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
===n
j
N
jj
n
j j
iN
iiiij
dj
d qqr
FrFqQL1 1 1
1
11 δδδδ (2.26)
de unde:
j
ii
N
ii
j
iN
ii
dj q
rvc
qr
FQ∂∂
−=∂∂
= ∑∑==
1
1
1
1 nj ,,2,1 …= (2.27)
Pentru sisteme mecanice se ştie:
j
i
j
i
qr
qv
∂∂
=∂∂ 1 (2.28)
şi, în acest caz relaţiile (2.27) devin:
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=∂∂
−= ∑∑==
N
i
ii
jj
iN
ii
dj
vcqq
vcQ
1
22
1 221
(2.29)
Introducând funcţia disipativă a lui Rayleigh:
∑∑∑∑∑= ====
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
==n
r
n
ssrrs
n
rr
r
iN
ii
N
iiid qqcq
qr
cvcE1 1
2
1
1
11
2
21
21
21 (2.30)
unde
srs
i
r
iN
iirs c
qr
qr
cc =∂∂
∂∂
= ∑=
11
1 (2.31)
68
Coeficienţii rsc depind de coordonatele generalizate. Dezvoltându-i în serie şi păstrând numai termenii constanţi, analog ca şi coeficienţii energiei cinetice, funcţia de disipare a lui Rayleigh este o formă pătratică pozitiv definită care se poate scrie sub formă matriceală:
{ } [ ]{ }qcqE Td 2
1= (2.32)
Este posibil ca forţele de rezistenţă disipative să apară între punctele sistemului. În acest caz funcţia lui Rayleigh are aceiaşi formă (2.29) în vitezele relative dintre puncte. Acum se pot deduce ecuaţiile diferenţiale ale micilor oscilaţii cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange:
( )
s
n
sjsr
n
rrjs
n
sjs
sjrrjs
n
r
n
srs
j
srs
j
rn
r
n
srs
j
c
qmqmqm
qqmqqqq
qqm
qE
∑∑∑
∑∑∑∑
===
= == =
=+=
=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=∂∂
111
1 11 1
21
21
21
21 δδ
(2.33)
unde rjδ este simbolul Kronecker. Forţele generalizate conservative se obţin din (2.4) şi (2.17).
s
n
sjs
j
pcj qk
qE
Q ∑=
−=∂
∂−=
1 nj ,,2,1 …= (2.34)
Luând în calcul numai forţele neconservative disipative, rezultă:
s
n
sjs
j
ddj
ncj qc
qE
QQ ∑=
−=∂∂
−==1
nj ,,2,1 …= (2.35)
Introducând (2.33), (2.34) şi (2.35) în ecuaţiile lui Lagrange (2.1), se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare:
( ) ( )tQqkqcqm pj
n
ssjssjssjs =++∑
=1 nj ,,2,1 …= (2.36)
unde ( )tQpj reprezintă forţele generalizate perturbatoare.
Ecuaţiile (2.36) se pot pune în forma: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqcqm p=++ (2.37) unde matricele: [ ] [ ]Tmm = , [ ] [ ]Tcc = , [ ] [ ]Tkk = (2.38) sunt simetrice şi se numesc matricea de inerţie, matricea de amortizare, respectiv matricea de rigiditate. Matricele { }q şi ( )tQ p sunt matrice coloană ale coordonatelor generalizate, respectiv ale forţelor generalizate perturbatoare.
69
2.3. Vibraţii în sisteme cu caracteristici liniare
Există sisteme mecanice a căror ecuaţii de mişcare sunt ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. Un astfel de sistem este şi cel în fig. 2.1., numit model de translaţie. Fig. 2.1. Scriind ecuaţia de echilibru dinamic al fiecărei mese, se obţine:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) gmtFykyykycyycym
gmtFyykyykyycyycym
gmtFyykyykyycyycymgmtFyykykyycycym
nnnnnnnnnnnnnn
ssssssssssssssss
+=+−++−+
+=−+−+−+−+
+=−+−+−+−++=−++−++
+−+−
++−++−
1111
111111
2232312232312222
11212112121111
…………………………………………………………………………………………
(2.39) unde poziţiile celor n mase ale sistemului aflate în mişcare de translaţie pe verticală sunt măsurate din poziţia corespunzătoare arcurilor nedeformate. Este uşor de observat că ecuaţiile (2.39) se pot scrie:
( ) ( ) gmtFykycym jj
n
sssjssjssj +=++∑
=1, nj ,,2,1 …= (2.40)
sau sub formă matriceală: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ } { }mgtFykycym +=++ (2.41) unde ssjsj mm δ= , sjδ este simbolul Kronecker
0=sjc ; 0=sjk , nssj ,,2,2,,2,1 …… +−= (2.42) 1+−= ssj cc ; 1+−= ssj kk , 1+= sj
1++= sssj ccc ; 1++= sssj kkk , sj =
70
ssj cc −= ; ssj kk −= , 1−= sj Dacă se aleg noi coordonate, care se măsoară din poziţia de echilibru static, deformaţiile statice se obţin din ecuaţiile (2.40) în lipsa forţelor perturbatoare şi-n condiţii de repaus, adică:
gmyk js
n
ssj =∑
=
0
1, nj ,,2,1 …= (2.43)
în care 0sy reprezintă deplasarea masei ms până în poziţia sa la echilibrul static al
sistemului. Făcând schimbările de variabilă: 0
sss yxy += , ns ,,2,1 …= (2.44) ecuaţiile (2.40), ţinând cont şi de (2.43), devin:
( ) ( )tFxkxcxm j
n
sssjssjssj =++∑
=1, nj ,,2,1 …= (2.45)
adică forţele care determină poziţia de echilibru static nu intervin în ecuaţiile diferenţiale ale mişcării dacă coordonatele generalizate au originea în această poziţie. Un alt sistem mecanic, care conduce la ecuaţii diferenţiale liniare, îl constituie un arbore cu n mase la care interesează vibraţiile de răsucire (fig. 2.2.). Acest sistem mecanic se numeşte model de rotaţie. Fig. 2.2. Notând cu nθθθ ,,, 21 … unghiurile de rotaţie ale celor n volanţi, cu nJJJ ,,, 21 … momentele de inerţie ale acestora şi cu ( ) ( ) ( )tMtMtM n,,, 21 … momentele cuplurilor perturbatoare, scriind ecuaţiile de echilibru dinamic pentru fiecare volant, se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )tMkkJ
tMkkJ
tMkkJ
tMkkJ
nnnnnnnn
sssssssss
=+−+
=−+−+
=−+−+
=−++
+−
++−
θθθθ
θθθθθ
θθθθθ
θθθθ
11
111
232312222
12121111
………………………………………………
……………………………………………… (2.46)
sau sub formă matriceală:
71
[ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tMkm =+ θθ (2.47) unde
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
3
2
1
θ
θθ
θ , [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nJ
J
J
m………………………………
00
00
00
2
1
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−+−
−+
=
+1
3322
221
0000
00
000
nn kk
kkkk
kkk
k…………………………………………………………………… (2.48)
În cazul în care elementele elastice de legătură din fig. 2.3. sunt bare deformabile la încovoiere în acelaşi plan meridian, pentru aceste sisteme devine raţională utilizarea metodei coeficienţilor de influenţă. Aplicând principiul suprapunerii efectelor, deplasărilor nyyy ,,, 21 … ale celor n mase vor fi date de forţele de inerţie: 111 ymy −= , nnn ymyymy −=−= 222 şi de forţele perturbatoare, astfel:
nnnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
FFFYYYy
FFFYYYyFFFYYYy
δδδδδδ
δδδδδδδδδδδδ
+++++++=
+++++++=+++++++=
……………………………………………………………………
…………
22112211
222212122221212
121211112121111
(2.49)
Fig. 2.3. Înlocuind forţele de inerţie în (2.49) acestea se pot scrie sub formă matriceală: [ ][ ]{ } { } [ ]{ }Fyym δδ =+ (2.50)
72
unde [ ]δ reprezintă matricea coeficienţilor de influenţă, numită şi matrice de flexibilitate, [ ]m matricea de inerţie,{ }y matricea coloană a deplasărilor, iar { }F matricea coloană a forţelor perturbatoare. Coeficienţii de influenţă ijδ reprezintă deplasarea grinzii în secţiunea i sub acţiunea unei forţe unitate ce acţionează în secţiunea j. Înmulţind la stânga cu [ ] 1−δ , ecuaţia (2.50) devine:
[ ]{ } [ ] { } ( ){ }tFyym =+ −1δ (2.51) adică este identică cu (2.37) sau cu (2.41) în lipsa amortizărilor şi a greutăţilor. Rezultă: [ ] [ ] 1−= δk (2.52) şi că sistemul mecanic din fig. 2.3. se poate reduce la un model de translaţie.
2.4. Vibraţii libere neamortizate 2.4.1. Pulsaţii proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de mişcare În absenţa forţelor perturbatoare şi a disipării de energie în sistem, ecuaţia (2.37) se poate scrie: [ ]{ } [ ]{ } 0=+ qkqm (2.53) care reprezintă un sistem de n ecuaţii diferenţiale omogene de forma:
( ) 01
=+∑=
n
jjijjij qkqm , ni ,,2,1 …= (2.54)
Interesează în mod deosebit acea soluţie a sistemului (2.54), în care toate coordonatele sistemului să execute mişcări având aceiaşi dependenţă de timp. Matematic, acestea se exprimă prin relaţiile: ( ) ( )tfatq jj = , nj ,,2,1 …= (2.55)
în care ja sunt constante, iar ( )tf este aceeaşi pentru toate coordonatele. Înlocuind ecuaţiile (2.55) în (2.54) aceasta se poate scrie:
( )( ) λ−=−=
∑
∑
=
=
j
n
jij
j
n
jij
am
ak
tftf
1
1 , ni ,,2,1 …= (2.56)
unde λ este o constantă reală şi pozitivă. Ecuaţiile (2.56) devin: ( ) ( ) 0=+ tftf λ (2.57)
( ) 01
=−∑=
n
jjijij amk , ni ,,2,1 …= (2.58)
Soluţia ecuaţiei (2.57) este: ( ) stAetf = (2.59) unde s trebuie să satisfacă ecuaţia:
73
02 =+ λs (2.60) Punând 2p=λ , unde p este o constantă reală soluţia ecuaţiei (2.57) se scrie: ( ) iptipt eAeAtf −+= 21 (2.61) unde A1 şi A2 sunt numere complex conjugate, deoarece funcţia ( )tf este reală, ea se poate scrie: ( ) ( )ϕ+= ptCtf cos (2.62) în care C este o constantă, p este pulsaţia unei mişcări amornice,ϕ este unghiul de fază iniţială. Ecuaţiile (2.58) reprezintă un sistem liniar şi omogen în necunoscutele ja , având
parametru 2p=λ . Sistemul liniar omogen (2.58) se poate scrie: [ ]{ } [ ]{ }ampak 2= (2.63) Determinarea valorilor λ=2p şi a constantelor ja ( )nj ,...,2,1= , pentru ca sistemul (2.62) să aibă soluţia nebanală reprezintă o problemă de valori proprii şi vectori proprii. Pentru existenţa soluţiei nebanale trebuie ca: ( ) [ ] [ ] 022 =−=Δ mpkp (2.64) Din această ecuaţie se determină pulsaţiile naturale, motiv pentru care se numeşte ecuaţia pulsaţiilor sau ecuaţia caracteristică. În general, ele se aranjează în ordine crescătoate: nPPP << …21 . Cea mai mică pulsaţie se numeşte pulsaţie fundamentală. Pentru fiecare pulsaţie rP ( )nr ,...,2,1= corespunde un vector { }ra care este soluţia ecuaţiei: [ ]{ } [ ]{ }rrr ampak 2= (2.65) Vectorii { }ra ( )nr ,...,2,1= se numesc vectori proprii sau caracteristici. Deoarece sistemul (2.65) este omogen, dacă { }ra este soluţie, atunci şi { }rr aα este soluţie, unde rα este o constantă arbitrară. Deci, se poate spune că vectorul propriu este determinat până la o constantă, din acest motiv se introduc rapoartele:
r
jrjr a
a
1
=μ (2.66)
Noul sistem algebric: [ ]{ } [ ]{ }rrr mpk μμ 2= (2.67) conţine numai n-1 necunoscute, fiind compatibil şi determinat, deoarece determinantul sistemului format cu n-1 ecuaţii liniar independente este nenul. Vectorii: { } { }nrrr
Tr μμμμ ,,, 21 …= , nr ,,2,1 …= (2.68)
determină forma modurilor proprii. Mişcarea după modul propriu r este dată de funcţiile:
74
{ } ( ) ( ) { } rrrr
nr
r
r
rrr
nr
r
r
r tpCtp
a
aa
Cq ζμϕ
μ
μμ
ϕ =+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
= coscos 2
1
2
1
(2.69)
unde ( )rrrr tpC ϕζ += cos . Procedeul de aranjare a elementelor vectorilor proprii se numeşte normalizare. Un procedeu frecvent de normalizare este a lua un element egal cu unitatea, de exemplu
11 =rμ . Cel mai folosit procedeu este dat de relaţia:
{ } [ ]{ } 1=rTr m μμ , nr ,,2,1 …= (2.70)
Având în vedere ecuaţiile (2.55) şi (2.62), soluţia ecuaţiei (2.53) va fi o suprapunere a celor n moduri de vibraţie, adică va fi de forma:
( ){ } ( ){ } { } ( )rrr
n
rr
n
rr tpCtqtq ϕμ +== ∑∑
==
cos11
(2.71)
unde rC şi rϕ sunt constante de integrare şi se determină din condiţiile iniţiale ( ){ }0q şi ( ){ }0q .
2.4.2. Ortogonalitatea modurilor proprii (vectorilor proprii) Modurile proprii se bucură de o proprietate foarte utilă numită ortogonalitate. Nu este o ortogonalitate în sensul obişnuit, ci ea este în raport cu matricea de inerţie [ ]m sau în raport cu matricea de rigiditate [ ]k . Fie{ }rμ şi { }sμ vectorii proprii corespunzători pulsaţiilor proprii rp , respectiv sp ( )sr pp ≠ . Ei sunt soluţiile ecuaţiilor:
[ ]{ } [ ]{ }rrr mpk μμ 2= (2.72)
[ ]{ } [ ]{ }sss mpk μμ 2= (2.73)
Înmulţind la stânga ecuaţia (2.72) cu { }Tsμ , iar ecuaţia (2.73) cu { }T
rμ , se obţine:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTsrr
Ts mpk μμμμ 2=
(2.74) { } [ ]{ } { } [ ]{ }s
Trss
Tr mpk μμμμ 2=
(2.75) Transpunând ecuaţia (2.75) după regula cunoscută de transpunere a unui produs de matrice [ ] [ ]( ) [ ] [ ]TTT ABBA =⋅ şi presupunând matricele [ ]m şi [ ]k simetrice, se obţine: { } [ ]{ } { } [ ]{ }r
Tssr
Ts mpk μμμμ 2= (2.76)
75
Din ecuaţiile (2.74) şi (2.76) prin scădere se obţine: ( ){ } [ ]{ } 022 =− r
Tssr mpp μμ (2.77)
Deoarece sr pp ≠ , rezultă condiţia:
{ } [ ]{ } 0=rTs m μμ , sr ≠ (2.78)
care reprezintă ortogonalitatea vectorilor modali în raport cu matricea de inerţie. Înlocuind relaţia (2.78) în ecuaţia (2.74) se obţine condiţia de ortogonalitate a vectorilor modali în raport cu matricea de rigiditate [ ]k .
{ } [ ]{ } 0=rTs k μμ , sr ≠ (2.79)
Dacă sr pp = , cei doi vectori corespund aceleaşi pulsaţii, şi nu sunt ortogonali. În acest caz relaţia (2.78) este egală cu o constantă, alta decât zero. { } [ ]{ } rr
Tr Mm =μμ (2.80)
şi se va numi masa modală. Analog, relaţia (2.79) va da o constantă nenulă numită rigiditate modală, care, pe baza relaţiei (2.74) pentru rs = , devine: { } [ ]{ } rrrr
Tr KMpk == 2μμ (2.81)
În cazul în care vectorii modali se normalizează şi se numesc ortonormali şi-n cazul normalizării după relaţia (2.70) se obţine: 1=rM , 2
rr pK = (2.82) Setul de vectori { }rμ ( )nr ,...,2,1= sunt liniari independenţi. Presupunând că sunt liniar dependenţi se poate scrie:
{ } { } { } { } 01
2211 ==+++ ∑=
r
n
rrnn μαμαμαμα …
(2.83) unde rα ( )nr ,...,2,1= sunt constante nenule.
Înmulţind la stânga relaţia (2.83) cu { } [ ]mTsμ se obţine:
{ } [ ]{ } 01
=∑=
r
n
r
Tsr m μμα (2.84)
Toţi termenii acestei sume { } [ ]{ }rTsr m μμα sunt nuli pentru rs ≠ şi diferiţi de zero
pentru rs = . Deci, relaţia (2.84) poate fi satisfăcută numai dacă 0=sα . Repetând operaţia pentru ns ,,2,1 …= se ajunge la concluzia că relaţia (2.84) poate fi satisfăcută numai dacă toţi coeficienţii rα sunt nuli. Deoarece vectorii { }rμ nu pot satisface relaţia (2.83), se poate scrie: { } { } { } { } 02211 ≠+++= nn μαμαμαμ … (2.85) adică totalitatea combinaţiilor liniare obţinute din (2.85) constituie un spaţiu vectorial { }μ , iar vectorii { }rμ ( )nr ,...,2,1= constituie baza acestui spaţiu. Orice vector al
76
spaţiului { }μ poate fi scris într-o combinaţie liniară (2.85). Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că orice mişcare a unui sistem vibrant liber şi neamortizat poate fi descrisă printr-o combinaţie liniară de vectori modali. Coeficienţii rα reprezintă contribuţia fiecărui mod la mişcarea rezultantă. 2.4.3. Coordonate normale. Răspunsul sistemului la excitaţie iniţială Revenind la ecuaţiile diferenţiale ale unui sistem liber neamortizat (2.53) şi încercând a-l rezolva pentru a da soluţia (răspunsul sistemului) sub forma (2.69) se întâmpină dificultăţi datorită cuplării ecuaţiilor diferenţiale. Aceasta înseamnă, termeni nenuli în matricea de inerţie [ ]m şi în matricea de rigiditate [ ]k , alţii decât cei de pe diagonala principală. Există două tipuri de cuplaje: static şi dinamic. În primul caz, matricea [ ]k nu este diagonală, iar în al doilea caz, matricea [ ]m . Procedeul prin care, fiind dat un sistem cuplat de ecuaţii, se obţine un sistem necuplat, este cunoscut sub numele de analiză modală. La baza acestei analize stă transformarea de coordonate. Notând cu [ ]μ matricea modală, având drept coloane chiar vectorii modali, iar prin{ }ξ matricea coloană a noilor coordonate ale sistemului, transformarea de coordonate va fi: { } [ ]{ }ξμ=q (2.86) unde [ ] { } { } { }[ ]nμμμμ …21= (2.87) Înlocuind transformarea de coordonate (2.86) în ecuaţia (2.53) se obţine: [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } { }0=+ ξμξμ km (2.88)
Înmulţind ecuaţia (2.88) la stânga cu matricea [ ]Tμ , se obţine:
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } { }0=+ ξμμξμμ km TT (2.89) unde, pe baza relaţiilor de ortogonalitate (2.78), (2.79) şi relaţiilor (2.80) şi (2.81) se observă că matricea: [ ] [ ] [ ][ ] ( )n
T MMMdiagmM …21== μμ (2.90)
[ ] [ ] [ ][ ] ( )nT KKKdiagkK …21== μμ (2.91)
sunt matrice diagonale numite şi matrice modale de inerţie, respectiv de rigiditate şi ale căror elemente de pe diagonală sunt de forma: { } [ ]{ } rr
Tr Mm =μμ , respectiv { } [ ]{ } rr
Tr Kk =μμ .
După cum se constată ecuaţia matriceală: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ ξξ KM (2.92) decupleză ecuaţiile diferenţiale în raport cu coordonatele rξ ( )nr ,...,2,1= , adică sunt de forma: 0=+ rrrr KM ξξ , nr ,,2,1 …= (2.93)
77
Prin analogie cu sistemul cu un grad de libertate soluţia ecuaţiei (2.93) este: ( )rrrr tpC ϕξ += cos , nr ,,2,1 …= (2.94)
unde rC şi rϕ sunt constante de integrare, iar r
rr M
Kp =2 .
Revenind la ecuaţia de transformare (2.86) se obţine:
( ){ } [ ]{ } { } { } ( )rrr
n
rr
n
rrr tpCtq ϕμμξξμ +=== ∑∑
==
cos11
(2.95)
adică vibraţiile libere ale unui sistem neamortizat cu mai multe grade de libertate sunt o suprapunere de n mişcări armonice, având pulsaţiile egale cu pulsaţiile naturale ale sistemului, iar amplitudinile şi defazajele depind de condiţiile iniţiale. Dacă condiţiile iniţiale sunt: ( ){ } { }00 qq = şi ( ){ } { }00 qq = , atunci din (2.93) se obţin:
{ } { } rr
n
rrCq ϕμ cos
10 ∑
=
=
(2.96)
{ } { } rr
n
rrr pCq ϕμ sin
10 ∑
=
−=
(2.97) Înmulţind ecuaţiile (2.96) şi (2.97) prin { } [ ]mT
sμ şi ţinând cont de relaţiile de ortogonalitate, se pot scrie:
{ } [ ]{ }oTr
rrr qm
MC μϕ 1cos =
(2.98)
{ } [ ]{ }oTr
rrrr qm
pMC μϕ 1sin −= (2.99)
Înlocuind ecuaţiile (2.98) şi (2.99) în (2.95) se obţine soluţia:
( ){ } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ }∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
rrr
Tr
rrrr
Tr
r
tpqmpM
tpqmM
tq1
00 sin1cos1 μμμμ (2.100)
Presupunând că sistemului i se dă o deplasare iniţială după forma modului propriu { }sμ şi se lasă liber atunci condiţiile iniţiale sunt { } { }sq μα00 = şi { } { }00 =q . În acest caz răspunsul sistemului este:
( ){ } { } [ ]{ } { } { } tptpM
mtq ssrr
rsTr
n
rcoscos1
01
0 μαμμμα ==∑=
(2.101)
78
ceea ce reprezintă o mişcare armonică cu pulsaţia sp şi având configuraţia modului propriu { }sμ , adică fiecare mod poate fi excitat independent unul de altul. Trebuie subliniat că pulsaţiile proprii caracterizează mişcarea de ansamblu a sistemului mecanic, aşa încât ele nu pot fi identificate niciodată cu pulsaţiile de oscilaţie ale unor puncte aparţinând sistemului. 2.4.4. Sisteme cu moduri de corp rigid În sistemele studiate până acum s-a considerat energia potenţială, iar de aici şi matricea [ ]k , ca fiind pozitiv definite. Dacă energia cinetică şi, deci, matricea [ ]m , sunt pozitiv definite din definiţia însăşi a energiei cinetice, energia potenţială poate să fie nulă chiar dacă nu toate coordonatele sistemului sunt nule. Din punct de vedere fizic aceasta înseamnă că există moduri proprii în care nici un element elastic nu este deformat. Acestea sunt moduri proprii de corp rigid. În acest caz, energia potenţială şi [ ]k sunt numai pozitiv semidefinite şi rezultă: [ ]{ } 0=rk μ , lr ,,2,1 …= (2.102) unde l reprezintă numărul modurilor de corp rigid. Revenind la problema de valori proprii şi vectori proprii (2.67) deoarece [ ]{ }rm μ nu este zero, urmează că vectorii care satisfac ecuaţia (2.67) corespund unei pulsaţii proprii 02 =rp . În baza ecuaţiei (2.85), de superpoziţie a modurilor, se poate scrie transformarea de coordonate:
( ){ } [ ]{ } [ ] [ ][ ] { }{ } [ ] { } [ ] { }EERR
E
RERtq ξμξμ
ξξ
μμξμ +=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
== (2.103)
unde [ ]Rμ şi [ ]Eμ sunt matricele modale corespunzătoare modurilor de corp rigid, respectiv modurilor de corp elastic. Înlocuind această transformare în ecuaţia mişcării (2.53) se obţine:
[ ] [ ] [ ][ ] { }{ } [ ] [ ] [ ][ ] { }
{ }{ }{ }⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
00
E
RER
E
RER km
ξξ
μμξξ
μμ (2.104)
sau [ ][ ] { } [ ][ ] { } { }0=+ RRRR km ξμξμ (2.105)
[ ][ ] { } [ ][ ] { } { }0=+ EEEE km ξμξμ (2.106) Ecuaţiile (2.105) şi (2.106) se înmulţesc la stânga cu [ ]TRμ , respectiv [ ]TEμ în care, ţinând cont de ortogonalitatea modurilor proprii, cât şi de relaţiile (2.102), se obţine: [ ] { } { }0=RRM ξ (2.107)
[ ] { } [ ] { } { }0=+ EEEE KM ξξ (2.108)
79
Relaţiile (2.107) arată că mişcările de corp rigid pentru vibraţiile libere neamortizate, rezultă din teorema de conservare a impulsului şi a momentului cinetic.
2.5. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă 2.5.1. Determinarea legilor de mişcare Vibraţiile libere cu amortizare vâscoasă au ecuaţia generală de forma: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=++ qkqcqm (2.109) În acest caz, soluţia ecuaţiei se va lua de forma: ( ){ } { } teatq λ= (2.110) undeλ este un parametru, iar{ }a este o matrice coloană constantă. Înlocuind soluţia (2.110) în ecuaţia (2.109) se obţine un sistem algebric omogen. Deoarece{ }a nu poate fi nulă ({ } { }0=a corespunde echilibrului), sistemul de ecuaţii algebrice: [ ] [ ] [ ]( ){ } { }02 =++ akcm λλ (2.111) va avea soluţie nebanală dacă: [ ] [ ] [ ] 02 =++ kcm λλ (2.112) ceea ce reprezintă ecuaţia caracteristică care este o ecuaţie polinomială de gradul 2n. Soluţiile nr 221 ,,,,, λλλλ …… vor fi şi în acest caz valorile proprii, iar matricele coloană { }ra corespunzătoare vor fi vectorii proprii ( )nr 2,,2,1 …= . Deoarece sistemul (2.111) este determinat până la o constantă, se vor introduce rapoartele:
r
jrjr a
a
1
=μ nj ,,2,1 …= (2.113)
nr 2,,2,1 …= Fiecărei valori proprii rλ îi va corespunde vectorul propriu { } ( )nrr 2,,2,1 …=μ . Cu matricea coloană { }rμ se întocmeşte matricea dreptunghiulară [ ]μ cu dimensiunile nn 2× : [ ] { } { } { }[ ]n221 μμμμ …= (2.114)
Se notează cu trr
reA λξ = , unde rA sunt constante de integrare, nr 2,,2,1 …= . Soluţia generală a vibraţiilor libere va fi: ( ){ } [ ]{ }ξμ=tq (2.115) Această metodă este dificil de aplicat în studiul sistemelor cu mai multe grade de libertate, deoarece, în general, rA , Cr ∈λ , [ ] nn CC 2×∈μ .
80
2.5.2. Vibraţii libere cu amortizare proporţională Determinarea răspunsului unui sistem amortizat este dificilă şi datorită faptului că numai în puţine cazuri se poate face decuplarea ecuaţiilor diferenţiale folosind analiza modală clasică. Sistemele disipative cele mai des întâlnite ca modele sunt cele cu amortizare vâscoasă proporţională. Ecuaţiile diferenţiale se decuplează dacă: [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]cmkkmc 11 −− = (2.116.a) sau [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]ckmmkc 11 −− = (2.116.b) Un model frecvent întâlnit în aplicaţii ca tip de amortizare este amortizarea Rayleigh, pentru care: [ ] [ ] [ ]kmc βα += (2.117) şi care verifică condiţiile (2.116.a) şi (2.116.b). Modalitatea de transformare a unui sistem de ecuaţii diferenţiale în sisteme necuplate, fiecare având un singur grad de libertate, urmăreşte etapele ce urmează. În primul rând, se rezolvă problema de valori proprii şi vectori proprii pentru sistemul neamortizat asociat: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ qkqm (2.118) Se construieşte matricea modală: [ ] { } { } { }[ ]nμμμμ …21= (2.119) apoi se aplică transformarea de coordonate: ( ){ } [ ]{ }ξμ=tq (2.120) şi se înlocuieşte în ecuaţia (2.109). Prin înmulţire la stânga cu [ ]Tμ se obţine:
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } { }0=++ ξμμξμμξμμ kcm TTT (2.121) Datorită condiţiilor de ortogonalitate se obţin matricele modale: [ ] [ ] [ ][ ] ( )n
T MMMdiagmM …21== μμ (2.122)
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )nTT CCCdiagKMkmC …21=+=+= βαμμβμμα
(2.123) [ ] [ ] [ ][ ] ( )n
T KKKdiagkK …21== μμ (2.124) astfel că ecuaţiile: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=++ ξξξ KCM (2.125) reprezintă un set de sisteme necuplate cu un singur grad de libertate a căror ecuaţii sunt de forma: 0=++ rrrrrr KCM ξξξ , nr ,,2,1 …= (2.126)
81
Soluţia acestei ecuaţii în condiţiile iniţiale date: ( ){ } { }00 qq = şi ( ){ } { }00 qq = , dacă 1<rξ , este:
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−+−−
−= − tp
ptpe rr
rr
rrrr
r
rtpr
rr 2
2
2
21sin
1
01cos1
0ς
ς
ξϕς
ς
ξξ ς (2.127)
unde
r
rr M
Kp =2 , { } [ ]{ }rTr
rrrr
rr c
pMpMC
μμς2
12
== ,
21 r
rrtg
ς
ςϕ
−= (2.128)
Condiţiile iniţiale ( )0rξ şi ( )0rξ se obţin în baza relaţiei de transformare (2.120), relaţie ce dă apoi răspunsul sistemului în condiţii iniţiale date.
( ) { } [ ]{ }010 qm
MTr
rr μξ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (2.129)
( ) { } [ ]{ }010 qm
MTr
rr μξ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (2.130)
iar soluţia:
( ){ } [ ]{ } { } r
n
rrtq ξμξμ ∑
=
==1
(2.131)
2.6. Vibraţii forţate neamortizate 2.6.1. Vibraţii forţate neamortizate cu forţe perturbatoare oarecare Analiza modală folosită în studiul vibraţiilor libere şi neamortizate poate fi folosită şi în obţinerea răspunsului unui sistem neamortizat supus unor excitaţii exterioare oarecare. În acest caz ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sunt de forma: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqm =+ (2.132) Ecuaţiile (2.132) reprezintă un set de n ecuaţii diferenţiale de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. Ecuaţiile fiind liniare se poate aplica transformarea Laplace. Obţinerea practică a soluţiei pentru această metodă este foarte laborioasă. O metodă mai eficientă din punct de vedere al calculului este folosirea analizei modale care dă posibilitatea transformării ecuaţiilor (2.132), în general cuplate, într-un set de n ecuaţii diferenţiale independente. Pentru obţinerea soluţiei trebuie în primul rând, să fie rezolvată problema valorilor proprii şi a vectorilor proprii.
82
Soluţia ecuaţiei (2.132) va fi suma dintre soluţia ecuaţiei omogene şi a soluţiei particulară, dată de forţele perturbatoare: { } { } { }pqqq += 0 (2.133) Considerând acum transformarea de coordonate: { } [ ]{ }ξμ=q (2.134)
şi înlocuind-o în ecuaţia (2.132), care se înmulţeşte apoi la stânga cu [ ]Tμ , se obţine ecuaţia: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tPKM =+ ξξ (2.135) unde [ ]M şi [ ]K sunt matricele modale de inerţie, respectiv de rigiditate, iar vectorul:
( ){ } [ ] ( ){ }tQtP Tμ= (2.136) sunt forţele generalizate modale. Ecuaţia (2.135) este echivalentă cu setul de ecuaţii decuplate: ( )tPKM rrrrr =+ ξξ , nr ,,2,1 …= (2.137) unde { } [ ]{ }r
Trr mM μμ=
{ } [ ]{ }rTrr kK μμ=
( ) { } ( ){ }tQtP Trr μ=
(2.138) Răspunsul total corespunzător modului r va fi o suprapunere a răspunsului modal dat de condiţiile iniţiale şi un răspuns modal dat de ( )tPr . Integrala lui Duhamel poate fi folosită pentru a reprezenta răspunsul total. Astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σσξ
ξξ dtptPpM
tpp
tpt r
t
rrr
rr
rrrr −++= ∫ sin1sin
0cos0
0
(2.139) unde ( )0rξ şi ( )0rξ sunt condiţiile iniţiale pentru coordonatele normale (2.129) şi (2.130). Revenind la coordonatele generalizate se obţine soluţia:
( ){ } [ ]{ } { } ( )ttq r
n
rrξμξμ ∑
=
==1
(2.140)
2.6.2. Vibraţii forţate neamortizate cu forţe perturbatoare armonice de aceiaşi pulsaţie Se consideră un sistem mecanic vibrant supus unei excitaţii armonice, dată de un sistem de forţe de aceiaşi pulsaţie: ( ){ } { } tQtQ ωcos0= (2.141) Ecuaţiile diferenţiale de mişcare (2.132) devin:
83
[ ]{ } [ ]{ } { } tQqkqm ωcos0=+ (2.142) Soluţia acestei ecuaţii matriceale va fi formată din soluţia ecuaţiei omogene, care este la fel ca şi-n cazul precedent şi o soluţie particulară, care va constitui vibraţia forţată. Făcând transformarea de coordonate (2.134) şi înmulţind ecuaţia (2.142) la stânga cu [ ]Tμ , se obţine ecuaţia:
[ ]{ } [ ]{ } { } tPKM ωξξ cos0=+ (2.143) unde [ ]M şi [ ]K sunt cunoscutele matrice modale, iar:
{ } [ ] { }00 QP Tμ= sau { } { }0QP Trro μ= (2.144)
Ca şi-n cazul vibraţiilor sistemelor cu un grad de libertate, interesează vibraţia forţată: { } { } tXq p ωcos0= (2.145) sau în coordonatele normale: { } { } tp ωξξ cos0= (2.146) Matricea coloană a amplitudinilor satisface ecuaţia: [ ] [ ]( ){ } { }00
2 PKM =+− ξω (2.147) de unde
{ } ( ) { } [ ]{ }00012
0 PPMK αωξ =−=−
(2.148) unde matricea [ ]0α este o matrice diagonală şi se numeşte matrice de receptanţă. În coordonatele normale ea are elementele diagonalei de forma:
( )22
1ω
α−
=rr
ro pM, nr ,,2,1 …= (2.149)
Amplitudinile vibraţiilor forţate în coordonatele normale sunt:
( ) 22
2
22
2
22 ωξ
ωωξ
−=
−=
−=
r
rr
r
r
r
ro
rr
roro p
pp
pKP
pMP
st (2.150)
Trecând la coordonatele mişcării se obţin amplitudinile: { } [ ]{ }00 ξμ=X (2.151) Dacă pulsaţia forţelor perturbatoare coincide cu una din pulsaţiile proprii ale sistemului, amplitudinea coordonatei normale devine infinită şi odată cu ea toate amplitudinile deplasărilor jq care o conţin, conform (2.151). Se spune că sistemul intră în rezonanţă. Dacă forţele generalizate ( ){ }tQ sunt astfel alese încât să excite o singură coordonată normală roξ , se obţine un mod principal de excitaţie, în acest caz toate celelalte coordonate normale sunt nule. Din (2.151) rezultă: { } { }rroX μξ=0 (2.152) Pentru a obţine amplitudinile forţelor ce excită modul r se înlocuieşte (2.153) în (2.146) şi aceasta în (2.142), obţinându-se:
84
[ ] [ ]( ){ } { }02 Qmk rro =− μωξ (2.153)
sau
[ ] [ ]( ){ } { }02 1 Qmk
ror ξ
μω =− (2.154)
Deoarece{ }rμ este un vector propriu, se poate scrie:
[ ] [ ]( ){ } { }02 =− rr mpk μ (2.155) Scăzând (2.154) şi (2.155) se obţine: { } ( )[ ]{ } [ ]{ }rrrrrro mpmpQ
stμξμωξ 222
0 =−= (2.156) Excitarea unui mod propriu de vibraţie poate fi făcută cu un sistem de forţe proporţionale cu forţele de inerţie dezvoltate în mişcarea liberă după modul respectiv, cu condiţia ca pulsaţia forţelor perturbatoare să nu coincidă cu pulsaţia proprie a modului excitat.
2.7. Vibraţii forţate amortizate
2.7.1. Vibraţii forţate amortizate cu forţe perturbatoare oarecare Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui sistem cu n grade de libertate şi asupra căruia acţionează un sistem de forţe perturbatoare se poate scrie: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqcqm =++ (2.157) Folosind transformarea de coordonate (2.86) şi înmulţind la stânga ecuaţia (2.158) cu [ ]Tμ , ecuaţia de mai sus se reduce la: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tPKCM =++ ξξξ (2.158) unde [ ] [ ] [ ][ ]μμ cC T= (2.159) care, în general, nu este diagonală. În continuare se va considera numai cazul amortizării vâscoase proporţionale când: { } [ ]{ } 0=s
Tr c μμ , sr ≠ (2.160)
{ } [ ]{ } rsTr Cc =μμ , sr = (2.161)
În acest caz, ecuaţia matriceală (2.159) se decuplază într-un set de n ecuaţii diferenţiale care pot fi scrise sub forma: ( )tPKCM rrrrrrr =++ ξξξ (2.162) sau
( )tPM
pp rr
rrrrrr12 2 =++ ξξςξ (2.163)
85
unde rς este factorul modal definit prin:
{ } [ ]{ }rTr
rrrr
rr c
pMpMC
μμς2
12
== (2.164)
Soluţia ecuaţiei (2.163) poate fi scrisă în aceiaşi formă ca şi la sistemele cu un grad de libertate, adică:
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tptptpp
p
dtpPtppM
t
rrrrrrr
rr
rrrr
t
rrrrrrr
r
ςςξςς
ξςξ
ττςττςξ
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+−
−
++
+−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫
exp1cos01sin1
00
1sinexp1
22
2
0
2
(2.165)
under
rr M
Kp = este pulsaţia proprie corespunzătoare modului r, iar 21 rrp ς− ar
corespunde pseudopulsaţiei în modul r. De aici, revenind la coordonatele generalizate prin transformarea (2.134), se obţine soluţia corespunzătoare ecuaţiilor (2.157). 2.7.2. Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă şi forţe perturbatoare armonice de aceiaşi pulsaţie Se consideră un sistem mecanic cu amortizare vâscoasă, supus unei excitaţii armonice dată de un sistem de forţe de aceiaşi pulsaţie (2.141). Ecuaţiile diferenţiale de mişcare (2.132) devin în acest caz: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tQqkqcqm ωcos0=++ (2.166) Soluţia ecestei ecuaţii diferenţiale matriceale va fi formată din soluţia ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară care va constitui vibraţia forţată. Deoarece vibraţia tranzitorie, dată de soluţia ecuaţiei omogene se stinge în timp, interesează numai vibraţia forţată. Pentru determinarea soluţiei particulare a ecuaţiei (2.166) se pot aplica mai multe metode:
a) Metoda directă Se alege soluţia de forma: { } { } { } tBtAq ωω sincos += (2.167) unde necunoscutele{ }A şi{ }B se determină impunând soluţiei (2.167) să verifice ecuaţia (2.166) şi prin identificare rezultă sistemul:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
( )
{ }
{ }
{ } ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
0
0
2
2 Q
B
A
mkc
cmk
ωω
ωω
(2.168) O variantă a acestei metode, avantajoasă pentru scrierea condensată a ecuaţiilor, o constituie utilizarea reprezentării prin numere complexe a mărimilor armonice. Forţele date de (2.141) se pot scrie:
86
( ){ } { }( )tie eQRtQ ω
0= (2.169) iar legile de mişcare forţată ( ){ } ( ){ }tzRtq e= , ( ){ } { } tieztz ω
0= (2.170) Înlocuind în ecuaţiile (2.166) mărimile armonice prin reprezentările lor complexe, se obţine: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tieQzkzczm ω
0=++ (2.171) sau, ţinând cont că: { } { } { } tieZiziz ωωω 0==
{ } { } { } tieZzz ωωω 022 −=−=
(2.172) după înlocuire în ecuaţia (2.171), rezultă: [ ] [ ] [ ]( ){ } { }00
2 QZkcim =++− ωω (2.173) unde matricea coloană{ }0Z are elemente numere complexe de forma:
jijjjjj eYXiYXZ ψ−+=+= 22
0, nj ,1= (2.174)
Se înlocuieşte forma algebrică a numerelor complexe0j
Z în ecuaţia (2.173) şi, prin suprapunerea părţilor reale şi imaginare, se obţine sistemul:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
( )
{ }
{ }
{ } ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
0
0
2
2 Q
Y
X
mkc
cmk
ωω
ωω
(2.175)
Din acest sistem se obţin: jX , jY şi j
jj X
Ytg −=ψ , respectiv legile de mişcare:
( )jjjti
jejej tYXeZRZRq ψωω −+=== cos220 , nj ,1= (2.176)
Această metodă are avantajul că nu impune nici o condiţie asupra matricei de amortizare, însă are un mare dezavantaj când n este mare, ordinul sistemului (2.175) fiind 2n.
b) Metoda analizei modale Această metodă impune matricei amortizărilor îndeplinirea condiţiilor (2.166.a) şi (2.166.b). Presupunând rezolvată problema de vectori proprii şi valori proprii, se face transformarea de coordonate (2.134) pentru ecuaţia (2.166), care se înmulţeşte la stânga cu [ ]Tμ şi se obţine ecuaţia: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tPKCM =++ ξξξ (2.177) unde [ ]M , [ ]C şi [ ]K sunt matrice modale de inerţie, de amortizare, respectiv de rigiditate, toate fiind matrice diagonale, iar forţele generalizate modale ( ){ }tP sunt date de expresia:
( ){ } [ ] { } tQtP T ωμ cos0= (2.178) Ecuaţia matriceală se decupleză într-un sistem de n ecuaţii independente de forma:
87
tPKCM rrrrrrr ωξξξ cos0=++ (2.179) unde { } { }00 QP T
rr μ= (2.180) Ca şi-n cazul sistemelor cu un grad de libertate, vibraţia forţată va fi:
( )r
rr
r
r
r
r t
PP
KP
ψωωςω
ξ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= cos
21222
0
(2.181)
unde
2
1
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
r
rr
P
Ptg
ω
ωςψ (2.182)
Revenind la coordonatele generalizate prin transformarea (2.134) se obţine:
{ } { } { } { } { } ( )r
n
r
rr
rr
Trr
r
n
rr t
PPK
Qq ψω
ωςω
μμξμ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
== ∑∑==
cos
211 222
0
1
(2.183)
2.8. Probleme
2.8.1. Pentru studiul mişcării unei construncţii supuse unei excitaţii tectonice se foloseşte modelul din fig. 2.4., unde m este masa fundaţiei, M este masa construcţiei, prin arcul spiral K este modelată comportarea elastică a clădirii, iar comportarea fundaţiei este
modelată prin arcurile2k
şi amortizarea 2c
. Să se determine ecuaţiile de mişcare ale
sistemului.
88
Fig. 2.4. Fig. 2.5. Rezolvare: Prin separarea corpurilor şi aplicarea teoremelor impulsurilor se pot scrie ecuaţiile: ( ) ( ) Hfxcfxkxm +−−−−= (1) (De ecuaţia de proiecţie pe verticală şi de ecuaţia de momente nu e nevoie) HxM c −= (2) MgVyM c −= (3) θθθθ cossin HaVaKJ c ++−= (4) la care se adaugă ecuaţiile cinematice, pentru mici oscilaţii: θθ axaxxc +=+= sin aayc == θcos Din (2) şi (3) se obţin H şi V, care se înlocuiesc în (1) şi (4) obţinându-se ecuaţia de mişcare în formă matriceală:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+
2
12 0
0
00
0
QQx
MgaK
kxcxMaJMa
MamM
c θθθ
unde kffcQ +=1 şi 02 =Q . 2.8.2. Pentru studiul vibraţiilor simetrice ale unui avion acesta este modelat, fig. 2.6., printr-un "fuselaj" de masă M la care se ataşează "aripile" de masă m prin două bare rigide de lungime L. Comportarea elastică este modelată prin arcurile spirală de constantă k, care leagă fuselajul de aripi. Să se deducă ecuaţiile de mişcare, neglijând greutăţile. Fig. 2.6. Rezolvare: Cele două coordonate generalizate sunt: yq →1 , θ→2q . Energia cinetică a sistemului este:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+= 22
212
21
mc ymyME
unde θLyym += deci
89
( )22
212
21 yLmyMEc ++= θ
iar energia potenţială este:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
212 θKE p
Aplicând ecuaţiile lui Lagrange se obţin:
( ) yMLymy
Ec ++=∂∂
θ2 ; ( ) yMLymy
Edtd c ++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
θ2
( )θθ
LymLEc +=∂∂
2 ; ( )θθ
LymLE
dtd c +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
2
0=∂∂
=∂∂
θcc E
yE
01 =∂
∂−=
yE
Q pc ; θθ
KE
Q pc 22 −=∂
∂−=
Ecuaţiile de mişcare se scriu în formă matriceală:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
00
20
00
22
222 θθ
yk
ymLmL
mLmM
2.8.3. Un cilindru omogen de masă m şi rază r se poate rostogoli fără să alunece într-un cărucior de masă M (fig. 2.7.). Căruciorul este legat printr-un arc de constantă k1 de un perete vertical, iar printr-un arc de constantă k2 de centrul discului. Să se determine ecuaţiile de mişcare ale sistemului. Fig. 2.7. Rezolvare: Se aplică ecuaţiile lui Lagrange pentru deducerea ecuaţiilor de mişcare ale sistemului:
20
22
21 2
121
21 ωJxmxMEc ++=
unde 20 2
1 mrJ = este momentul de inerţie al cilindrului în raport cu centrul său O,
iarr
xx 12 −=ω , deoarece cilindrul se rostogoleşte fără să alunece, deci:
90
( )212
22
21 4
121
21 xxmxmxMEc −++=
iar energia potenţială:
( )2122
211 2
121 xxkxkE p −+=
Înlocuind în ecuaţiile lui Lagrange se obţine:
( )1211 2
1 xxmxMxE
dtd c −−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ , 0
1
=∂∂
xEc , ( )12211
1
xxkxkxE p −−=∂
∂
( )1222 2
1 xxmxmxE
dtd c −+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ , 0
2
=∂∂
xEc , ( )122
2
xxkxEp −=∂
∂
În formă matriceală ecuaţiile de mişcare sunt:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
0
0
23
2
22
2
1
22
221
2
1
x
x
kk
kkk
x
x
mm
mmM
2.8.4. Două mase m1 şi m2 sunt fixate pe o bară AB rigidă de greutate neglijabilă, bară sprijinită de două arcuri k1 şi k2 şi un amortizor c (fig. 2.8.). Mişcarea fiind într-un plan vertical sub acţiunea unei forţe ( ) tFtF ωcos0= ce acţionează în capătul A al barei, să se determine ecuaţiile de mişcare. Poziţia de echilibru static se presupune a fi în poziţia cu bara AB orizontală. Fig. 2.8. Fig. 2.9. Rezolvare: Pentru a folosi ecuaţiile lui Lagrange se calculează:
222
211 2
121 xmxmEc +=
( )2122
211 2
21
21 xxkxkE p −+=
222
1 cxEd =
Ecuaţiile lui Lagrange pentru acest sistem sunt de forma:
91
( )tQQQxE
xE
dtd pdccc
11111
++=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
( )tQQQxE
xE
dtd pdccc
22222
++=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
unde
j
pcj x
EQ
∂
∂−= ,
j
ddj x
EQ
∂∂
−= 2,1=j
( )1
1 xLtQ
pp
δδ
= , 02 =xδ
( )2
2 xLtQ
pp
δδ
= , 01 =xδ
Deci,
11
xmxE
dtd c =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ , 0
1
=∂∂
xEc , ( )12211
1
2 xxkxkxE p −−=∂
∂
01
=∂∂
xEd , ( ) ( ) ( )tF
xxtF
xLtQ
pp ===
1
1
11 δ
δδδ
222
xmxE
dtd c =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ , 0
2
=∂∂
xEc , ( )122
2
22 xxkxE p −=∂
∂
22
xcxEd =∂∂
, ( ) ( ) ( )tFx
xtFxLtQ
pp 2
2
2
2
22 −=
−==
δδ
δδ
În formă matriceală ecuaţiile de mişcare sunt:
tF
Fxx
kk
kkk
xx
cxx
m
mωcos
242
2
0
00
0
0
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
2
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Observaţie: În exemplele date se constată că ecuaţiile de mişcare sunt cuplate static (elastic), dinamic (inerţial) sau static şi dinamic. 2.8.5 Se consideră sistemul din fig. 2.10. Să se determine:
a) ecuaţiile diferenţiale ale mişcării; b) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii; c) legea mişcării în condiţiile iniţiale ( ) ( ) ( )000 211 xxx == ( ) oxx 22 0 = .
Fig. 2.10.
92
Rezolvare: Ecuaţiile de mişcare se pot obţine aplicând ecuaţiile lui Lagrange:
111 x
ExE
xE
dtd pcc
∂
∂−=
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
222 x
ExE
xE
dtd pcc
∂
∂−=
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
unde
222
211 2
121 xmxmEc +=
( ) 233
2212
211 2
121
21 xkxxkxkE p +−+=
În continuare se va considera mmm == 21 , kkkk === 321 . Ecuaţiile de mişcare sunt:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
2
2
0
0
2
1
2
1
xx
kk
kk
xx
m
m
Luând soluţia sub formă armonică{ } { } ( )ϕ+= ptax cos , se ajunge la problema de valori proprii şi vectori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−
00
2
2
2
12
2
aa
mpkk
kmpk
de unde, pentru ca sistemul omogen să aibă soluţie nebanală, se obţine ecuaţia pulsaţiilor proprii:
02
22
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−
mpkk
kmpk sau 034 2242 =−− kkmppm
cu rădăcinile mkp =2
1 , mkp 32
2 = . Deoarece vectorii proprii sunt determinaţi până la o
constantă, se introduc rapoartele r
jrjr a
a
1
=μ , astfel că problema vectorilor proprii devine:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−
001
2
2
22
2
rr
r
mpkk
kmpk
μ
unde
mpk
kk
mpk
r
rr 2
2
2 22
−=
−=μ
adică, 121 =μ , 122 −=μ Cele două moduri sunt reprezentate în fig. 2.11.
93
Fig. 2.11.
Modul 1, mkp =1 , { }
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=11
1μ
Modul 2, mkp 3
2 = , { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=1
12μ
Determinarea maselor modale şi rigidităţilor modale se face conform (2.80) şi (2.81): { } [ ]{ }r
Trr mM μμ= , { } [ ]{ }r
Trr kK μμ=
Se obţine:
{ } mm
mM 2
11
0
0111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= , { } k
kk
kkK 2
11
2
2111 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
{ } mm
mM 2
11
0
0112 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−= , { } k
kk
kkK 6
11
2
2112 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−−=
Determinarea legii de mişcare se face pe baza relaţiei (2.100), cu condiţiile iniţiale{ } { }Toxx 20 0= ,{ } { }Tx 000 = , adică:
( ){ } { } [ ]{ }{ }∑=
=2
10 cos1
rrr
Tr
r
tpxmM
tx μμ
unde
{ } [ ]{ }
{ }22
00
011
22
1
01 ooT x
m
xm
m
Mxm
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=μ
{ } [ ]{ }
{ }22
00
011
22
2
02 ooT x
m
xm
m
Mxm
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=μ
Şi, în sfârşit:
tmkx
tmkx
xx oo 3cos
11
2cos
11
222
2
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
sau
94
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= t
mkt
mkx
tx o 3coscos22
1
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= t
mkt
mkxtx o 3coscos
22
2
adică mişcările celor două corpuri nu sunt armonice. 2.8.5. Pentru sistemul din fig. 2.12. să se determine:
a) ecuaţiile diferenţiale ale mişcării; b) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii.
Se va considera: kkkkk ==== 4321 , mmmm === 321 Fig. 2.12. Rezolvare: Energia cinetică a sistemului este:
{ } [ ]{ }xmxxmxmxmE Tc 2
121
21
21 2
33222
211 =++= ,
iar energia potenţială:
( ) ( ) { } [ ]{ }xkxxkxxkxxkxkE Tp 2
121
21
21
21 2
342
2332
122211 =+−+−+=
de unde se obţine matricea de rigiditate şi de inerţie:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
210
121
012
kk , [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
mm
Fie, ( )[ ] [ ] [ ]mpkpL 2−= atunci : ( )[ ] 0det =pL este ecuaţia pulsaţiilor proprii. În cazul dat:
( )[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
=
mpkk
kmpkk
kmpk
pL2
2
2
20
2
02
95
de unde
( )[ ] ( )
( )( )22442
22
22
242
202
22det
kmkppmmpk
mpk
kkk
mpkk
kmpkmpkpL
+−−=
=−
−−+
−−
−−−=
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt:
( )mkp 222
1 −= , mkp 22
2 = , ( )mkp 222
3 +=
Ecuaţia (2.67) poate fi scrisă şi astfel: [ ] [ ]( ){ } { }02 =− rr mpk μ sau ( )[ ]{ } { }0=rrpL μ Presupunând că coordonata x1 nu este un punct nodal, adică nu este un punct de deplasare nulă, ecuaţia de mai sus se poate partiţiona în felul următor:
( ) ( )
( ) ( ) { } ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
01
rbrbbrba
rabraa
pLpL
pLpL
μ
unde în{ }rμ s-a luat 11 =rμ , iar
{ } { }T
rnrb μμμμ …32=
Deoarece pulsaţiile proprii sunt distincte, rangul matricei ( )[ ]rpL va fi n-1, în consecinţă:
{ } ( )[ ] ( ){ }rbarbbrb pLpL 1−−=μ adică
{ }
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−
+−−
=
=+−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−−=
−
2
22
2242
2242
2
2
1
2
2
234
1
34
02
2
02
2
k
kmkpkkmppm
kkmppm
kmpkk
kmpk
kmpkk
kmpk
r
rr
rr
r
r
r
r
rbμ
Pentru cele trei pulsaţii proprii se obţine: { } { }Tb 121 =μ , { } { }T
b 102 −=μ , { } { }Tb 123 −=μ
Deoarece 11 =rμ , cei trei vectori proprii sunt:
{ } { }Tb 1211 =μ , { } { }Tb 1012 −=μ , { } { }Tb 1213 −=μ
2.8.7. Se consideră sistemul din fig. 2.13., unde mmmm === 321 , kkk == 21 . Să se determine: a) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii;
96
b) legea mişcării în condiţiile iniţiale: ( ) oxx 11 0 = , ( ) ( ) 000 32 == xx , ( ) ( ) ( ) 0000 321 === xxx .
Fig. 2.13. Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a mişcării este:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
0
2
0
00
00
00
3
2
1
3
2
1
xxx
kk
kkk
kk
xxx
m
m
m
Ecuaţia pulsaţiilor proprii: [ ] [ ]( ) 0det 2 =− mpk , are rădăcinile:
01 =p , mkp =2 ,
mkp 3
3 =
Procedând ca şi la problema precedentă, se obţin vectorii proprii din ecuaţia:
{ } { }⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
0
01
0
2
0
2
2
2
………………………………
rbr
r
r
mpkk
kmpkk
kmpk
μ
adică:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−−=
−
0
21
2
2 kmpkk
kmpk
r
r
rbμ
Pentru cele trei pulsaţii se obţin vectorii: { } { }T1111 =μ , { } { }T1012 −=μ , { } { }T1213 −=μ Masele modale sunt date de: { } [ ]{ }r
Trr mM μμ= , adică: mM 31 = , mM 22 = , mM 63 = ,
97
iar soluţia este:
tmkx
tmkxx
x ooo 3cos6
cos23
1111 ++=
tmkxx
x oo 3cos3311
2 −=
tmkx
tmkxx
x ooo 3cos6
cos23
1113 +−=
În mişcarea acestui sistem există un mod de corp rigid (p1=0). În acest mod arcurile nu se deformează. Mişcarea sistemului este o suprapunere de moduri proprii. 2.8.8. Pentru sistemul din fig. 2.14., să se determine: a) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul neamortizat; b) matricele modale [ ]M , [ ]C şi [ ]K . c) rapoartele modale de amortizare 1ς , 2ς . d) răspunsul sistemului pentru condiţiile iniţiale: ( ) oxx 11 0 = , ( ) oxx 12 0 −= , ( ) ( ) 000 21 == xx .
Se vor lua următoarele valori: kgmmm 121 === , mNkkk 98731 === ,
mNk 2172 =
mNsccc 6284,031 === ,
mNsc 0628,02 = .
Fig. 2.14. Rezolvare: Ecuaţia de mişcare este:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
2
1
322
221
2
1
322
221
2
1
2
1
xx
kkk
kkk
xx
ccc
ccc
xx
m
m
de unde ecuaţia pulsaţiilor proprii poate fi scrisă astfel:
02
2322
212
21=
−+−
−−+
mpkkk
kmpkk
iar pulsaţiile proprii sunt:
98
221 987 −== s
mkp , 1
1 42,31 −= sp , Hzp
f 52
11 ==
π
222 14122 −=
′+= s
mkkp , 1
2 7,37 −= sp , Hzpf 62
22 ==
π
Vectorii proprii se determină din ecuaţia:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−
−−+
001
222
322
212
21
rmpkkk
kmpkk
μ,
adică { } { }T111 =μ , { } { }T112 −=μ Matricele modale de inerţie, de rigiditate şi de amortizare sunt:
[ ] [ ] [ ][ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
20
02
11
11
10
01
11
11μμ mM T
[ ] [ ] [ ][ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
28420
01974
11
11
1204217
2171204
11
11μμ kK T
[ ] [ ] [ ][ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
508,10
02568,1
11
11
6912,00628,0
0628,06912,0
11
11μμ cC T
Rapoartele modale sunt:
rr
rr Mp
C2
=ς , 2,1=r
01,042,3122
2568,11 =
⋅⋅=ς , 01,0
7,3722508,1
2 =⋅⋅
=ς
Legile de mişcare se determină în baza relaţiei (2.127):
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−+−−
−−= tp
ptptp rr
rr
rrrr
r
rrrr
2
2
2
21sin
1
01cos1
0exp ςς
ξϕς
ς
ξςξ
unde
( ) { } [ ]{ }010 qm
MTr
rr μξ = , ( ) 001 =ξ , ( ) ox12 0 =ξ
( ) { } [ ]{ }010 qm
MTr
rr μξ = , ( ) 001 =ξ , ( ) 002 =ξ
21 r
rrtg
ς
ςϕ
−= , 0
21 5,0, =ϕϕ
Revenind la coordonatele generalizate:
99
{ } [ ]{ } { } rr
rx ξμξμ ∑=
==2
1,
se obţine:
( )222211 1cos22 ϕςς −−= − tpexx tp
o
( )222212 1cos22 ϕςς −−−= − tpexx tp
o 2.8.9. Sistemul cu două grade de libertate din fig. 2.15. este supus unei forţe armonice
tFF ωcos01 = . Să se determine: legile mişcării forţate ale celor două mase, dacă mm =1 , mm 22 = , kkk == 21 , kk 23 = .
Fig. 2.15. Fig. 2.16. Rezolvare: Ecuaţia de mişcare a sistemului este:
tF
xx
kk
kk
xx
m
mωcos
03
2
20
00
2
1
2
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Frecvenţele şi modurile proprii sunt:
mkp =2
1 , mkp
252
2 =
Matricea modală este:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
5,01
11μ
Transformând ecuaţia de mişcare în coordonatele principale, se obţine: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tPKM =+ ξξ unde
[ ] [ ] [ ][ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
m
m
m
mmM T
5,10
03
5,01
11
20
0
5,01
11μμ
[ ] [ ] [ ][ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
k
k
kk
kkkK T
4150
03
5,01
11
3
2
5,01
11μμ
100
( ){ } [ ] ( ){ } tFF
tF
tQtP T ωωμ coscos05,01
11
0
00
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−==
Ecuaţiile de mişcare în coordonatele principale sunt:
tF
F
k
k
m
mω
ξ
ξ
ξ
ξcos
4150
03
230
03
0
0
2
1
2
1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Aceste ecuaţii diferenţiale sunt decuplate, fiecare corespunde unui sistem cu un grad de libertate (fig. 2.17.). Fig. 2.17. tFkm ωξξ cos33 011 =+
tFkm ωξξ cos4
1523
022 =+
Soluţiile particulare (forţate) ale acestor ecuaţii sunt: tY o ωξ cos11 = tY o ωξ cos22 = unde
2
1
0
20
1
1
31
33⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
=
p
Fk
mkF
Y oωω
2
2
0
2
02
1
154
23
415
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
=
p
Fk
mk
FY o
ωω
Revenind la coordonatele fizice:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1
2
1
5,01
11
ξξ
xx
, se obţine:
101
t
p
kF
p
kF
x ωωω
ξξ cos
1
154
1
32
2
0
2
1
0
211
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=+=
t
p
kF
p
kF
x ωωω
ξξ cos
1
154
21
1
321
2
2
0
2
1
0
212
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−=
2.8.10. Se consideră absorbitorul de vibraţii de răsucire din fig. 2.18., alcătuit dintr-un arbore având constanta elastică la răsucire k, o carcasă având momentul de inerţie axial J1 şi un volant liber înăuntrul carcasei, având momentul de inerţie J2. Între carcasă şi volant sunt spaţii foarte mici, iar carcasa se umple cu ulei. Dacă asupra carcasei acţionează un moment de torsiune armonic tMM o ωcos11 = , să se determine amplitudinile vibraţiilor celor două corpuri. Coeficientul de amortizare se presupune a fi c. Fig. 2.18. Rezolvare: Ecuaţiile de mişcare sunt: ( ) tMkcJ ωϕϕϕϕ cos012111 =+−+ ( ) 02122 =−− ϕϕϕ cJ Folosind reprezentarea prin numere complexe:
( ){ } tie e
MRtM ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0
0 şi
( ){ } ( ){ } { }( )tiee eZRtzRt ωϕ 0== ,
ecuaţiile devin: ( ) 012111
2 MkZZZciZJ oooo =+−+− ωω
( ) 021222 =−−− ooo ZZciZJ ωω
102
de unde se obţin:
( )
( ) ( )1
122
21
21
22
220
1ψ
ωωωωωωω i
oo eZJJkcikJJ
JicMZ −⋅=
−−+−−
=
( ) ( )2
222
21
21
22
02
ψ
ωωωωωω i
oo eZJJkcikJJ
MciZ −⋅=
−−+−⋅
=
respectiv
( ) ( )222
21
22221
422
22422
011ωωωωω
ωωϕ
JJkckJJ
cJMZ oo
−−+−
+==
( ) ( )22
22
12222
142
2
022
ωωωωω
ωϕ
JJkckJJ
cMZ oo
−−+−== ,
şi ω
ψ2
1 Jctg = ,
22πψ −=
2.8.11.- 2.8.30. Se consideră sistemele vibrante din fig. 2.19.- 2.38. cu datele şi condiţiile iniţiale notate alăturat. Corpurile masive se consideră rigide şi omogene, firele sunt perfect flexibile şi inextensibile, iar masa elementelor elastice şi frecările se neglijează. Pentru micile oscilaţii în jurul poziţiei de schilibru static a fiecărui sistem, faţă de care se măsoaro toţi parametrii de poziţie, se cer: a) ecuaţiile diferenţiale ale mişcării; b) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii; c) legea mişcării. Fig. 2.19. Fig. 2.20. Răspuns:
2.8.11. 22
21 2
23 x
gGx
gGEc += , ( )2
1221 2
23
212 xxkkxE p −+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
126
615
40
03
2
1
2
1
x
x
kk
kk
x
x
gG
gG
01 22 ω==GgKp , 02 66 ω==
GgKp
103
{ }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
2311μ , { }
T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
2112μ
tXxx
002
1 2cos231
2 ω⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
, o mişcare după primul mod propriu.
2.8.12. ( ) 222
221
222
21
2 221
22
212
21
22
21 x
gG
RxRR
gGx
gGR
gGEc +
+++=
θθ ,
22
21
2 421
21 xkkRE p += θ , 11 xR =θ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
40
02
2
1
2
1
x
x
k
k
x
x
gG
gG
gG
gG
01 32ω=p , 02 ω=p
{ }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
4111μ , { } { }T112 −=μ
tRxx
02
1 sin1
1ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
, mişcarea are loc după cel de-al doilea mod.
Fig. 2.21. Fig. 2.22. Răspuns:
2.8.13. ( )22122
221 2
232
23 θθ Rx
gGR
gGx
gGEc +++= ,
22
21 3
21 θGRkxE p += , 22 θRx =
104
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
30
0
83
36
2
1
2
1
x
x
RG
k
x
x
gG
gG
gG
gG
Rgp
103
1 = , Rgp
10352 =
{ }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
2311μ , { }
T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −=
2112μ
( )tptpR
x 210
1 coscos2
−=θ
( )tptp 210
2 coscos34
+=θ
θ
2.8.14. ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
30
039
23
38
2
1
2
1
22
22
θ
θ
θ
θ
Gl
GlK
lG
lG
lG
lG
01 76ω=p , 02 6ω=p
{ } { }T211 =μ , { } { }T212 −=μ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= tt 00
01 6cos
76cos
4ωω
θθ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= tt 00
02 6cos
76cos
2ωω
θθ
Fig. 2.23. Fig. 2.24. Răspuns:
2.8.15. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
θθ
θ
θkk
kkk
J
J
105
01 31 ω=p , 02 3
2 ω=p
{ }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
2311μ , { } { }T312 −=μ
3
2sin
363sin
1800
1tt ωπωπθ −=
3
2sin
23sin
1200
2tt ωπωπθ +=
2.8.16. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
xx
kk
kkk
xx
m
m
01 ω=p , 02 2ω=p
{ }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
2311μ , { } { }T312 −=μ
tv
xx
00
2
1 2sin3
12
ω⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Fig. 2.25. Fig. 2.26. Răspuns:
2.8.17. ( )22
2212
211 2
121 θlxmxmEc ++= ,
222
211 2
1221 θglmxkE p +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
00
0
02
0
0
2
1
22
12
2
21
θθx
glm
kx
lm
mm
Aceste coordonate sunt şi coordonate normale txx 001 6cos ω=
106
t02 sin36
ωπθ =
2.8.18. ( )22
221
22
21
22 16
21
24
21 θθθ RRmRmEc ++= ,
2
421 2
22
21
θθ RgmKEp +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
40
03
2
1
22
12
2
22
θθ
θ
θgRm
k
Rm
Rm
01 =θ , 2
sin36
02
tωπθ =
Fig. 2.27. Fig. 2.28. Răspuns:
2.8.19. ( )22122
21
2
714 xRgGx
gG
gGREc −++= θθ ,
( )2122
12 24 θθ RxkkREp ++= , 11 xR =θ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
0
0
44
412
162
230
2
1
2
1
x
x
kk
kk
x
x
gG
gG
gG
gG
01 172 ω=p , 02 7
2 ω=p
{ } { }T211 −=μ , { } { }T112 =μ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
72
cos172cos
30
00
1t
tR
x ωωθ
107
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
72
cos172cos2
30
00
2t
tx ω
ωθ
2.8.20. ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
0
0
40
08
8
9
2
1
2
2
2
1
22
22
θ
θ
θ
θ
kR
kR
gGR
gGR
gGR
gGR
01 1722 ω=p , 02 ω=p
{ } { }T411 −=μ , { }T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
2112μ
t02
1 cos21
136
ωπθθ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Fig. 2.29. Fig. 2.30. Răspuns:
2.8.21. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
002
0
02
2
1
2
1
xx
kk
kk
xx
m
m
01 222 ω−
=p , 02 222 ω+
=p
{ } { }T211 =μ , { } { }T212 −=μ
tpx
tpx
xx
20
10
2
1 cos2
142
cos2
142
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
108
2.8.22. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
2
1
211
11
2
1
2
1
xx
kkk
kk
xx
m
m
11 3,13 −= sp , 1
2 1,30 −= sp { } { }T41,011 =μ , { } { }T66,012 −=μ Fig. 2.31. Fig. 2.32. Răspuns:
2.8.23. { } [ ]{ } 233
222
211 2
121
21
21 θθθθθ JJJJE
Tc ++== ,
( ) ( )[ ] { } [ ]{ }θθθθθθ kkkE Tp 2
121 2
2322
121 =−+−=
01 =p , 02 ω=p , 03 3ω=p
{ } { }T1111 =μ , { } { }T1012 −=μ , { } { }T5,015,03 −=μ
2.8.24. ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
98
187
97
94
2
1
2
1
33
33
y
y
y
y
EIml
EIml
EIml
EIml
01 54ω=p , 02 5
68ω=p
{ } { }T049,111 =μ , { } { }T47,012 −=μ
109
Fig. 2.33. Fig. 2.34. Răspuns:
2.8.25. ( ) 0616 22
12
12 =−++ θθθ klklGll
gG
( ) 0616 22
12
22 =++− θθθ klGlkll
gG
01 3ω=p , 02 2ω=p
{ } { }T111 =μ , { } { }T112 −=μ
tt 001 2sin288
3sin3144
ωπωπθ +=
tt 002 2sin288
3sin3144
ωπωπθ −=
2.8.26. ( ) ( )[ ]{ } 022112
21
211 =+−−−++ θθθ kbalbalkkbkaJ
( )[ ]{ } ( )[ ]{ } 0222
12
12122 =+−+++−−− θθθ kbalklkbalbalkJ 1
1 9,45 −= sp , 12 1,71 −= sp
{ } { }T2,011 =μ , { } { }T9,012 −=μ
tptp 212
1 cos9,0
1345
cos2,0
180 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧−
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ππθθ
Fig. 2.35. Fig. 2.36. Răspuns: Ecuaţia diferenţială sub formă matriceală este:
110
2.8.27. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
32
23
0
0
2
1
2
1
2
1
xx
kk
kk
xx
cc
cc
xx
m
m
Ecuaţia caracteristică este:
032
232
2
=++−−
−−++
kcmkc
kckcm
λλλ
λλλ
( )( ) 05222 =+++ kcmkm λλλ cu rădăcinile:
12,1 ipmki ±=±=λ ,
mk
mc
mc 5
2
2
4,3 −±−=λ
pentru care se obţin: { } { }T111 =μ , { } { }T112 =μ , { } { }T113 −=μ , { } { }T114 −=μ
Dacă kmcc cr 5=≥ , mişcarea fiecărui corp va fi suprapunerea unei mişcări armonice cu pulsaţia p1 şi a unei aperiodice amortizate, care după un timp se stinge. 2.8.28. Ecuaţia matriceală este:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
xx
kk
kk
xx
c
c
xx
m
m
iar ecuaţia caracteristică se poate scrie: ( )( ) 022 =+++ kcmcm λλλλ cu rădăcinile:
01 =λ , mc
−=2λ , mk
mc
mc 2
22
2
4,3 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±−=λ
Dacă kmcc cr 8=≥ , toate rădăcinile sunt reale şi negative. Mişcarea rezultantă va fi aperiodică amortizată. Dacă kmcc cr 8=< , 3λ şi 4λ , sunt complex conjugate şi vectorii proprii sunt:
{ } { }T111 =μ , { } { }T112 =μ , { } { }T113 −=μ , { } { }T114 −=μ Legile de mişcare ale celor două corpuri în condiţiile iniţiale date vor fi:
( )ϕϕ
+−=−
tpex
x mct
220
1 sinsin , ( )ϕ
ϕ+=
−tpe
xx m
ct
220
2 sinsin
unde: cmtg 2
=ϕ şi 2
2 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
mc
mkp
111
Fig. 2.37. Fig. 2.38. Răspuns: 2.8.29. Ecuaţia diferenţială a mişcării sub formă matriceală este:
tFx
xkk
kk
xx
k
xx
m
mωω
γcos
02
00
00
02
02
1
2
1
2
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Trecând în complex se obţine:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
02
1
2
1
2
1 02
00
0
0
02
FZZ
kk
kk
ZZk
iZZ
m
m
o
o
o
o
o
oγ
Înlocuind forma algebrică a numerelor complexe (2.175), se obţine sistemul:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−−
00
0
00
220
00
022
0
2
1
2
1
2
2
2
2
F
YY
XX
mkk
kmkk
mkk
kkmk
o
o
o
o
ω
ϖ
ω
γω
Din acest sistem se obţin: oX1 , oX2 , oY1 şi oY2 . Legile de mişcare vor fi:
( )12
1211 cos ψω −+= tYXx oo , ( )2
221
222 cos ψω −+= tYXx oo
unde:
o
o
XY
tg1
11 −=ψ ,
o
o
XY
tg2
22 −=ψ
112
2.8.30. Ecuaţia mişcării este:
tFx
xkk
kk
xx
xx
m
mωsin
000
00
0
0
02
1
2
1
2
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Trecând în complex se obţine:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−−
−+−
02
12
2 0FZ
Z
kcimk
kkm
o
o
ωω
ω
de unde:
( )22420
1 2 ωωωω mkcimkmkF
Z o −+−=
( )
( )2242
20
2 2 ωωωωω
mkcimkmmkF
Z o −+−−
=
Deoarece ( )ti
m eFItF ωω 00 sin = , rezultă că: ( ) ( )1111 sin ψωω +== tZeZIx o
tiom
( ) ( )2222 sin ψωω +== tZeZIx oti
om unde
( )
242
2
21 2 ωωωωψψ
mkmckmtgtg
−−
==
113
3. APLICAŢII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRAŢIILOR
3.1. Consideraţii generale
În orice unitate industrială există lanţuri tehnologice, în care funcţionează
simultan mai multe maşini. În timpul funcţionării în regim staţionar ale maşinilor, întotdeauna apar forţe sau momente de forţe perturbatoare, deoarece nu este posibil să se realizeze o echilibrare dinamică perfectă a tuturor organelor de maşină aflată în mişcare. Datorită acestor forţe generalizate perturbatoare şi datorită caracterului elastic sau vâsco-elastic al deformaţiilor în elemente componente şi în legăturile interioare şi exterioare ale unui lanţ cinematic al unei maşini, sistemul mecanic format cu toate elementele componente mobile ale unui astfel de lanţ cinematic constituie un sistem vibrant, care are vibraţii forţate. În cele mai frecvente cazuri întâlnite în practică, într-un lanţ cinematic al unei maşini apar vibraţii forţate de torsiune şi/sau de încovoiere ale arborilor elastici, între care există legături interioare realizate prin cuplaje elastice, sau prin diferite transmisii mecanice, pe care sunt montate mai multe mase concentrate considerate ca volanţi. În timpul mişcării în regim staţionar al unui lanţ cinematic, există pericolul de rezonanţă pentru vibraţiile forţate de torsiune şi/sau de încovoiere ale unui arbore elastic cu unul sau mai mulţi volanţi, dacă viteza unghiulară a arborelui, corespunzătoare turaţiei sale în mişcarea sa de regim staţionar, este egală cu una din pulsaţiile proprii ale sistemului vibrant considerat. Turaţiile arborelui corespunzătoare pulsaţiilor sale proprii pentru vibraţiile sale de torsiune şi/sau de încovoiere se numesc turaţii critice şi este necesar ca, încă din faza de proiectare a unei maşini, să se ia măsuri pentru evitarea acestor turaţii critice în orice regim staţionar de mişcare al maşinii, astfel încât, în aceste regimuri staţionare de mişcare, amplitudinile vibraţiilor forţate să fie cât mai mici şi să se evite, astfel, uzura pronunţată a lagărelor şi chiar distrugerea lor. Această problemă se numeşte verificarea la vibraţii a unei maşini.
Pe de altă parte, pentru economisirea spaţiului de producţie, într-un lanţ tehnologic se montează două sau mai multe maşini pe aceeaşi fundaţie sau pe acelaşi suport. În aceste cazuri, prin fundaţia comună sau prin suportul comun, forţele perturbatoare se por transmite de la o maşină la alta, ceea ce poate avea efecte negative asupra funcţionării unora din aceste maşini. Ca urmare, se pune problema, de o
114
importanţă practică deosebită, de a se lua măsuri pentru reducerea, cât mai mult posibil, a amplitudinilor forţelor perturbatoare ce se transmit de la o maşină la fundaţia sa, sau la suportul său, problemă care se numeşte izolarea vibraţiilor.
Dacă, într-un regim staţionar de mişcare al unei maşini, unul din corpurile sale are vibraţii forţate de translaţie sau de rotaţie cu amplitudine mare, de natură să afecteze buna funcţionare a maşinii, se pune problema de a se lua măsuri pentru reducerea, cât mai mult posibil, a amplitudinii acestor vibraţii forţate. Această problemă se numeşte amortizarea vibraţiilor. O soluţie pentru rezolvarea acestei probleme ar fi introducerea unor elemente de amortizare vâscoasă sau uscată cu coeficient mare de amortizare, dar, în acest caz, apar pierderi mari în sistemul mecanic constituit dintr-un lanţ cinematic al maşinii şi randamentul său mecanic scade. De asemenea, în general, deoarece aceste pierderi se transformă în căldură, unele elemente componente ale maşinii ajung, după un anumit timp de funcţionare, într-o stare de supraîncalzire periculoasă, ceea ce limitează durata de funcţionare a maşinii sau necesită sisteme suplimentare de răcire. O altă soluţie de amortizare a vibraţiilor forţate ale unui corp, care elimină, în mare parte, aceste dezavantaje ale soluţiei prezentate anterior, este constituită de ataşarea de corpul considerat, prin intermediul unor legături elastice sau vâsco-elastice, a unei mase suplimentare în mişcare de translaţie sau rotaţie, care, împreună cu legăturile sale de corpul principal considerat, formează un amortizor dinamic.
Ţinând seama de tendinţa actuală de construire a unor noi maşini, cu performanţe economice şi funcţionale ridicate, de mare putere şi/sau cu turaţii mari în regimurile staţionare de funcţionare, se impune cu prioritate, pentru orice maşină, rezolvarea celor trei probleme prezentate anterior. În faza de proiectare a unei noi maşini, aceste probleme se rezolvă pe baza unor modele mecanice, în care se fac anumite aproximări şi se neglijează efectul dinamic al unor forţe considerate de valoare mică. Datorită acestor aproximări şi interpolări, efectuate asupra modelului mecanic, rezultatele studiului teoretic asupra comportării dinamice a sistemului mecanic considerat trebuie să fie verificate experimental, prin încercări la vibraţii pe prototip. Ca urmare, în prezent nu este de conceput omologarea oricărei noi maşini fără testarea sa la vibraţii, de care depinde, în mare măsură, siguranţa sa în funcţionare şi, mai ales, fiabilitatea sa. Pentru aceasta, s-au realizat sisteme complexe de măsurare a vibraţiilor, în cea mai mare parte prin mijloace electrice şi electronice, cu ajutorul cărora se poate prescrie fiabilitatea unei maşini, durata sa de funcţionare fără reparaţii, durata dintre două reparaţii capitale consecutive, precum şi organele de maşină cele mai solicitate, care trebuie să fie înlocuite la o reparaţie curentă sau la o reparaţie capitală.
Spre deosebire de cazurile prezentate anterior, există cazuri în care vibraţiile forţate ale unor sisteme mecanice sunt folositoare în anumite procese tehnologice. Astfel, în procesul tehnologic de formare în turnătorii, prin vibrarea formelor în timpul procesului tehnologic, se obţine o calitate superioară a acestora şi o durată a procesului tehnologic cu mult mai mică decât prin mijloace clasice. De asemenea, cu ajutorul vibraţiilor, se poate realiza detensionarea cu eficienţă sporită, faţă de mijloacele clasice, a pieselor turnate sau sudate. Pentru realizarea practică a acestor procese tehnologice, ca şi pentru testarea la vibraţii a unor maşini, agragate sau structuri mecanice, este necesar să se folosească sisteme mecanice ce produc forţe perturbatoare armonice, de amplitudine şi frecvenţă reglabile, numite generatoare de vibraţii sau vibratoare.
115
3.2. Turaţii critice ale vibraţiilor pe torsiune ale unui arbore
elastic cu mai mulţi volanţi
Se consideră un arbore elastic, pe care sunt montaţi n volanţi ca în fig. 3.1., în care n=4.
Fig. 3.1. Se presupun cunoscute momentele de inerţie ( )niJi ,,1…= ale volanţilor faţă de linia
lagărelor, precum şi constantele elastice la torsiune ( )1,,,1,,1 +=−= ijnikij … ale porţiunilor de arbore dintre volanţii cu numerele de ordine i şi i+1. Masa arborelui şi toate forţele rezistente se consideră neglijabile. Dacă sistemul considerat are vibraţii libere de torsiune, ecuaţia diferenţială matriceală a acestor vibraţii este de forma: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ θθ kJ (3.1) în care [ ]J este matricea de inerţie a sistemului, [ ]k este matricea sa de rigiditate, iar{ }θ este matricea coloană formată cu parametrii de poziţie ai volanţilor, care sunt unghiurile lor de rotaţie măsurate din poziţia de echilibru static a sistemului. Pentru n=4, matricele de inerţie şi de rigiditate sunt de forma:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
000
000
000
000
J
J
J
J
J , [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+−
−+−
−
=
3434
34342323
23231212
1212
00
0
0
00
kk
kkkk
kkkk
kk
k (3.2)
Pulsaţiile proprii ale sistemului considerat se obţin din ecuaţia caracteristică:
[ ] [ ] ( ) 022 ==− pPJpk n (3.3) din care, ţinând seama de expresiile de forma (3.2) ale matricelor de inerţie şi de rigiditate, rezultă 01 =p . Aceasta înseamnă că sistemul considerat are n-1 grade de libertate, matricea de rigiditate fiind singulară. Ca parametrii de poziţie independenţi se pot considera unghiurile ( )1,,,1,,1 +=−=−= ijniijij …θθθ de rotaţie a volanţilor cu numărul de ordine i+1 faţă de volanţii cu numărul de ordine i. Dacă n=2, cazul cel mai frecvent întâlnit în aplicaţii, sistemul are un grad de libertate şi pulsaţia proprie corespunzătoare devine:
( )
21
21
JlJJJGIp
n
+=ω (3.4)
116
unde G este modulul de elasticitate transversal al materialului din care este confecţionat
arborele, pI este momentul de inerţie geometric polar al secţiunii transversale a arborelui, iar l este lungimea sa, cei doi volanţi fiind montaţi la capetele sale. Dacă arborele se află în mişcare de rotaţie în jurul axei sale orizontale, identică cu linia lagărelor, cu viteza unghiulară ω constantă, datorită montării excentrice a volanţilor pe arbore, asupra fiecărui volant acţionează un moment perturbator produs de greutatea volantului. Se presupune că, în poziţia de echilibru static a sistemului considerat, toate centrele de greutate Ci ale volanţilor se află în acelaşi plan meridian vertical, sub linia lagărelor.
În fig. 3.2. s-a reprezentat secţiunea prin volantul cu numărul de ordine i cu planul perpendicular pe linia lagărelor ce trece prin Ci, în care O1 este intersecţia acestui plan cu linia lagărelor, axa O1X1 este o axă fixă verticală, axa CiX este legată de volant, iar mig este greutatea volantului. Momentul perturbator ce acţionează asupra acestui volant devine: ( ) ( )πωω +=−= tgemtgemtM iiiii sinsin (3.5)
unde ii COe 1= este excentricitatea volantului. Fig. 3.2. Datorită acestor momente perturbatoare, sistemul considerat are vibraţii forţate neamortizate, a căror ecuaţie diferenţială matriceală a mişcării este de forma: [ ]{ } [ ]{ } { } ( )πωθθ +=+ tMkJ sin0 (3.6)
în care{ }0M este matricea coloană formată cu amplitudinile momentelor perturbatoare, elementul său corespunde liniei i, având valoarea migei. Deoarece, pentru vibraţia forţată a sistemului considerat, legea de mişcare a volantului cu numărul de ordine i este de forma: ttma ii ωθωθ sin0+= , viteza sa unghiulară şi acceleraţia sa unghilară devin: tt iiii ωωωωωθωθω coscos 00 +=+==
ttt iiiii ωεωωωωθωθε sinsinsin 0002 =−=−== (3.7)
117
Ca urmare, derivând de două ori în raport cu timpul ecuaţiei (3.6) şi notând { } { }θε = , se obţine ecuaţia diferenţială matriceală:
[ ]{ } [ ]{ } { } tMKJ ωωεε sin20=+ (3.8)
a cărei soluţie particulară rezultă:
{ } ( ) [ ] [ ]( ) { } tMJKPn
ωωωω
ε χ sin1 20
22 −= (3.9)
unde [ ] [ ]( )χω JK 2− este reciproca matricei pătrate şi simetrice [ ] [ ]( )JK 2ω− , iar ( )2ωnP , exprimat şi de (3.3), este determinantul acestei matrice. Din (3.9) se determină amplitudinile 0iε ale acceleraţiilor unghiulare ale volanţilor
cu numărul de ordine ( )nii ,,1…= , pentru vibraţia forţată a sistemului, iar din relaţiile (3.7) rezultă valorile pentru 0iω şi 0iθ . Se observă că, dacă sp=ω , ns ,,2…= , sp fiind una din pulsaţiile proprii ale sistemului considerat, toate amplitudinile 0iε , 0iω şi 0iθ tind spre infinit. Ca urmare, turaţiile critice ale sistemului considerat, pentru vibraţiile de torsiune ale unui arbore elastic cu mai mulţi volanţi, sunt date de:
ss pnπ30
= , ns ,,2…= (3.10)
3.3. Turaţii critice ale vibraţiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu
mai mulţi volanţi
Se consideră un arbore elastic, de masă neglijabilă, pe care sunt montaţi un număr
de n volanţi ca în fig. 3.3., în care n=3. Pentru studiul vibraţiilor libere de încovoiere ale sistemului considerat, se neglijează forţele de amortizare şi se presupun cunoscute masele mi ale volanţilor, precum şi toţi coeficienţii de influenţă ( )njiji ,,1,, …=δ ai arborelui, i şi j fiind numerele de ordine ale secţiunilor arborelui în care sunt montaţi volanţii.
Fig. 3.3. De asemenea, se presupune că toţi volanţii au mişcări de translaţie rectilinie pe direcţie verticală, linia lagărelor fiind orizontală, iar parametrii lor de poziţie xi sunt măsuraţi după această direcţie din poziţia de echilibru static a sistemului. În aceste condiţii, ecuaţia diferenţială matriceală pentru studiul vibraţiilor libere, neamortizate şi de încovoiere ale sistemului considerat se exprimă sub forma:
118
[ ][ ]{ } { } { }0=+ xxmδ (3.11) în care [ ]δ este matricea de flexibilitate, [ ]m este matricea diagonală de inerţie, iar{ }x este matricea coloană formată cu parametrii de poziţie consideraţi. Pulsaţiile proprii ( )nsps ,,1…= ale vibraţiilor de încovoiere ale sistemului considerat se determină ca rădăcinile reale pozitive ale ecuaţiei caracteristice:
[ ] [ ][ ] ( ) 022 ==− pPmpI nn δ (3.12)
unde [ ]nI este matricea unitate de ordinul n. Dacă arborele, împreună cu volanţii, se roteşte în jurul liniei lagărelor cu viteza unghiularăω constantă, datorită greutăţilor şi a forţelor centrifuge ale volanţilor, asupra acestora acţionează forţe perturbatoare, astfel încât sistemul considerat va avea vibraţii forţate de încovoiere. Se consideră că, în timpul mişcării sistemului, arborele se deformează în acelaşi plan meridian, în care se află toate centrele de greutate Ci ale volanţilor. De asemenea, se consideră că fiecare volant se mişcă într-un plan perpendicular pe linia lagărelor, neglijându-se efectele giroscopice asupra mişcărilor volanţilor. În fig. 3.4. s-a reprezentat secţiunea prin volantul cu numărul de ordine i cu planul perpendicular pe linia lagărelor ce trece prin Ci, în care O1 este intersecţia acestui plan cu linia lagărelor, iar Ai este intersecţia acestui plan cu axa arborelui deformat. Axa O1X1 este o axă fixă verticală, iar axa CiX, care trece prin O1, este legată de volant. Fig. 3.4. În fig. 3.4. s-au reprezentat şi forţele ce acţionează asupra volantului considerat, care intervin în studiul vibraţiilor de încovoiere ale arborelui, în planul meridian ce conţine toate axele CiX. Dintre aceste forţe, pentru studiul vibraţiilor de încovoiere se consideră numai componentele de valoare tgmi ωcos , ale greutăţilor volanţilor, deoarece, aşa cum s-a arătat în paragraful precedent, celelalte componente, de valoare tgmi ωsin , intervin în studiul vibraţiilor de torsiune ale sistemului considerat. În expresia forţei centrifuge ( )iii erm +2ω intervine deformaţia ii AOr 1= a arborelui în secţiunea sa în care este montat volantul considerat şi excentricitatea volantului iii CAe = . Ţinând seama de consideraţiile de mai sus, cu ajutorul coeficienţilor de influenţă se pot scrie ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilor de încovoiere ale sistemului considerat, care se pot exprima sub forma compactă matriceală: [ ][ ]{ } { } [ ][ ]{ } { } { }( )tgIermrrm n ωωωδδ cos22 ++=+ (3.13)
119
unde{ }r este matricea coloană formată cu deformaţiile arborelui în secţiunile sale în care sunt montaţi volanţii,{ }e este matricea coloană formată cu excentricităţile volanţilor, iar{ }nI este matricea coloană unitară de ordinul n, având toate elementele egale cu unitatea. Dacă sistemul considerat este constituit din componentele unui lanţ cinematic al unei maşini cu putere mare, în general greutăţile gmi au valori mari şi viteza unghiulară ω în mişcarea de regim staţionar a sistemului este mică, astfel încât, pentru studiul vibraţiilor forţate de încovoiere, se poate neglija efectul forţelor centrifuge ale volanţilor. În acest caz, vibraţiile forţate de încovoiere ale sistemului sunt de forma: { } { } { } trrr st ωcos0+= (3.14) unde{ }str este matricea coloană formată cu deformaţiile arborelui la echilibrul static al sistemului, iar{ }0r este matricea coloană formată cu amplitudinile vibraţiilor forţate de încovoiere ale arborelui în dreptul secţiunilor sale în care sunt montaţi volanţii. Săgeţile statice ale arborelui în dreptul volanţilor la echilibrul static al sistemului considerat se obţin din ecuaţia (3.13), impunând condiţiile de echilibru static, din care rezultă: { } [ ][ ]{ }gImr nst δ= (3.15) iar amplitudinile vibraţiilor forţate{ }0r se determină după ce se derivează odată în raport cu timpul relaţia (3.14) şi ecuaţia diferenţială matriceală a vibraţiilor de încovoiere, de forma (3.13) fără forţele centrifuge, obţinându-se:
{ } ( ) [ ] [ ][ ]( ) [ ][ ]{ }gImmIP
r nnn
T
δδωω
χ220
1−= (3.16)
unde ( )2ωnP este dat de (3.12) cu ω în loc de p. Dacă viteza unghiulară ω în mişcarea de regim staţionar a sistemului este mare, forţele perturbatoare produse de greutăţile volanţilor se pot neglija faţă de forţele lor centrifuge. În acest caz, deformaţiile ir ale arborelui în dreptul volanţilor sunt constante în timpul mişcării sistemului, astfel încât, cu particularizările care rezultă, din (3.13) se obţine:
{ } ( ) [ ] [ ][ ]( ) [ ][ ]{ } 222
1 ωδδωω
χ emmIP
rT
nn
−=
(3.17) În ambele cazuri considerate, dacă sp=ω , unde sp este una din pulsaţiile proprii ale vibraţiilor de încovoiere ale unui arbore elastic cu mai mulţi volanţi, din (3.16) şi din (3.17) se observă că deformaţiile arborelui tind spre infinit. Ca urmare, turaţiile critice ale acestor vibraţii de încovoiere se obţin tot cu prima relaţie (3.10), cu deosebirea că pulsaţiile proprii sp rezultă din ecuaţia caracteristică (3.12) şi ns ,,1…= .
120
Dacă n=1 şi eg
>>ω , unde e este excentricitatea volantului, forţa perturbatoare
dată de greutatea volantului se poate neglija şi deformaţia arborelui în dreptul volantului devine:
22
2
ωωω−
=n
er , mk
n =ω (3.18)
în care m este masa volantului, iar k este constanta elastică de încovoiere a arborelui în secţiunea sa în care este montat volantul. Turaţia critică corespunzătoare se obţine cu prima relaţie (3.10), în care se înlocuieşte sp cu nω din a doua relaţie (3.18). Dacă în prima relaţie (3.18) viteza unghiulară ω a arborelui este mult mai mare decât pulsaţia proprie nω a vibraţiilor de încovoiere ale sistemului considerat, deformaţia r a arborelui în dreptul volantului tinde spre e− , deci centrul de greutate al volantului tinde să ajungă pe linia lagărelor. Apare, astfel, fenomenul de autocentrare a volantului.
3.4. Izolarea vibraţiilor
Se consideră o maşină de masă m, care, în timpul funcţionării sale în regim staţionar, generează o forţă perturbatoare armonică cu amplitudinea 0F şi pulsaţia ω . Pentru izolarea vibraţiilor maşinii considerate, între ea şi fundaţie se intercalează elemente elastice şi de amortizare vâscoasă, având constanta elastică echivalentă k şi coeficientul de amortizare c (fig. 3.5.). Fig. 3.5. Presupunând cunoscute mărimile precizate ale dinamicii maşinii considerate, se pune problema a se determina valorile parametrilor k şi c, astfel încât forţa ce se transmite fundaţiei să aibă amplitudini de valoare cât mai mică. Pentru aprecierea eficienţei izolării vibraţiilor, se calculează un coeficient adimensional η , numit coeficient de transmisibilitate, definit ca raportul dintre valoarea maximă a forţei transmise la fundaţie şi amplitudinea 0F a forţei perturbatoare. Pentru o bună izolare a vibraţiilor, acest coeficient de transmisibilitate trebuie să aibe valori cât mai mici.
121
Notând cu 0x amplitudinea vibraţiei forţate a maşinii şi cu kF
xst0= săgeata statică
a elementului elastic sub acţiunea unei forţe egală cu amplitudinea forţei perturbatoare, deoarece forţele ce se transmit la fundaţie se transmit prin elementele elastice şi de amortizare, valoarea maximă a forţei transmise fundaţiei este:
( ) ( ) ( )220
20
20max ωω ckxxckxF +=+=
(3.19) iar coeficientul de transmisibilitate devine succesiv:
( )
222
2
2022
0
0
0
max
21
21
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+==
ncrn
ncr
st
cc
cc
kc
xx
ckFx
FF
ωω
ωω
ωω
ωωη
(3.20)
în care mk
n =ω este pulsaţia proprie a vibraţiilor libere neamortizate a sistemului
vibrant din fig. 3.5., iar ncr mc ω2= este coeficientul său critic de amortizare vâscoasă. În diagramele din fig. 3.6. s-a reprezentat coeficientul de transmisibilitate η ca
funcţie de raportul adimensional nωω
, pentru câteva valori uzuale ale raportului
adimensional crcc
.
Fig. 3.6.
Din această figură se observă că, pentru raportul nωω
mai mic decât 2 , pentru
orice valoare a raportului crcc
coeficientul de transmisibilitate este supraunitar. Mai mult,
122
pentru ω apropiat de nω şi valori mici ale raportului crcc
, pentru η rezultă valori foarte
mari. Ca urmare, pentru o bună izolare a vibraţiilor în regimul staţionar de mişcare al
maşinii, este necesar ca raportul nωω
să aibe o valoare cât mai mare, deci pulsaţia
proprie nω trebuie să fie foarte mică, astfel încât rezultă necesitatea de a alege un element elastic cu constanta elastică k foarte mică. De asemenea, pentru o bună izolare a
vibraţiilor, raportul crcc
ar trebui să fie cât mai mic, chiar nul pentru cazul ideal, dar, în
acest caz, apare pericolul rezonanţei la pornirea şi la oprirea maşinii, când pulsaţiaω a forţei perturbatoare ajunge în apropierea pulsaţiei proprii nω . Practic, pentru izolarea vibraţiilor unei maşini, se folosesc elemente elastice confecţionate din cauciuc, care au o constantă elastică mică şi introduc în sistem şi amortizare de natură vâscoasă, cu raportul
crcc
de valoare relativ mică. Dacă forţa perturbatoare are mai multe componente
armonice, izolarea vibraţiilor maşinii trebuie să fie efectuată pentru armonica sa fundamentală.
3.5. Amortizorul dinamic simplu
Se consideră o maşină sau un organ de maşină, care, sub acţiunea unei forţe perturbatoare armonice, are vibraţii forţate de translaţie rectilinie de amplitudini mari, periculoase pentru buna funcţionare a maşinii. Dacă forţele de frecare şi de amortizare sunt neglijabile, rezultă că maşina care produce forţa perturbatoare funcţionează, în regimul său staţionar, în apropierea rezonanţei sistemului vibrant principal, constituit din elementul component ce are vibraţii forţate mari şi suspensia sa elastică. Pentru amortizarea vibraţiilor forţate ale masei principale a sistemului vibrant considerat, se foloseşte un amortizor dinamic, format dintr-un corp de masă am , aflat în mişcare de translaţie rectilinie, legat de masa principală m printr-un element elastic de constantă elastică ak (fig. 3.7.). Dacă amortizarea vâscoasă introdusă de elementul elastic al amortizorului este neglijabilă, acesta se numeşte amortizor dinamic simplu. Fig. 3.7.
123
Sistemul vibrant principal şi amortizorul dinamic simplu formează, împreună, un sistem vibrant cu două grade de libertate. Considerând parametrii de poziţie 1x şi 2x măsuraţi din poziţia de echilibru static a sistemului, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sale sunt:
( ) tFxkxkkxm aa ωsin0211 =−++ 0212 =+− xkxkxm aaa (3.21) Vibraţiile forţate ale sistemului considerat sunt armonice, cu pulsaţia lor egală cu pulsaţia ω a forţei perturbatoare. Amplitudinile acestor vibraţii forţate rezultă din (3.21), având expresiile:
( )
( )( ) 2220
2
1aaaa
aao kmkmkk
Fmkx
−−−+−
=ωω
ω
( )( ) 2220
2aaaa
ao kmkmkk
Fkx
−−−+=
ωω
(3.22) Folosind notaţiile:
mk
n =ω , a
aa m
k=ω ,
kF
xst0= ,
mma=μ (3.23)
în care nω este pusaţia proprie a sistemului principal şi aω este pulsaţia proprie a amortizorului, amplitudinile (3.22) ale vibraţiilor forţate se pot exprima prin rapoarte adimensionale, sub forma:
( ) 11
1
2222
2
1
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
anan
a
st
o
xx
ωω
ωωμ
ωω
ωω
ωω
(3.24)
( ) 11
12222
2
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
anan
st
o
xx
ωω
ωωμ
ωω
ωω
(3.25)
Din relaţia (3.24) se observă că amplitudinea ox1 a vibraţiei forţate a masei principale este nulă dacă ωω =a . Dar amortizorul dinamic simplu considerat este folosit pentru amortizarea vibraţiilor forţate ale masei principale în apropierea rezonanţei sistemului principal, deci pentru nωω = , astfel încât, din condiţia na ωω = , rezultă:
μ==mm
kk aa (3.26)
care este condiţia de proiectare a amortizorului dinamic simplu. Din relaţia (3.25), pentru na ωωω == , se obţine:
124
aa
sto kF
kF
kkxx 00
21
−=−=−=μ
(3.27)
unde s-a ţinut seama de (3.26) şi de a treia relaţie (3.23). Din ultima relaţie (3.27) rezultă că, în timpul funcţionării în regim staţionar a maşinii cu amortizorul dinamic simplu ataşat sistemului principal, valoarea momentană a forţei elastice a amortizorului ce acţionează asupra masei principale este: tFtxk oa ωω sinsin 02 −= (3.28) deci această forţă echilibrează forţa perturbatoare şi masa principală rămâne în repaus. Din ultima relaţie (3.27) sau din (3.28) se observă că, dacă F0 are o valoare mare, pentru a nu avea deformaţii ox2 periculoase ale elementului elastic al amortizorului, acesta trebuie să aibe constanta elastică ak de valoare mare. Pe de altă parte, pentru ca amortizorul să fie economic, masa am a amortizorului trebuie să fie mică pentru a ocupa un spaţiu cât mai redus şi pentru economie de material. Ca urmare, deoarece aω rezultă de valoare mare, folosirea amortizorului dinamic simplu este justificată numai dacă pulsaţia proprie a sistemului principal şi pulsaţia forţei perturbatoare au valori mari, apropiate între ele. Pentru proiectarea unui amortizor dinamic simplu, se adoptă o valoare subunitară pentruμ şi din condiţia de proiectare (3.26), cunoscând k şi m, se determină parametrii
ak şi am ai amortizorului. Pentru ca acesta să fie cât mai economic, este necesar ca pentru μ să se adopte valori cât mai mici posibil. Dar pentru valoriμ foarte mici, cele două pulsaţii proprii ale sistemului vibrant din fig. 3.7., care sunt valorile pulsaţiei ω a forţei perturbatoare pentru care numitorii din relaţiile (3.24) şi (3.25) se anulează, având valorile:
42
12
1μμμω +−+= np ,
421
2
2μμμω +++= np (3.29)
rezultă foarte apropiate de pulsaţia proprie nω a sistemului principal şi apare pericolul de rezonanţă, dacă ω variază în apropierea valorii nω . Practic, pentru μ se adoptă valori cuprinse între 0,1 şi 0,3, pentru valoarea medie 2,0=μ rezultând din (3.29) valorile
np ω8,01 = şi np ω25,12 = . Deoarece, pentru un sistem vibrant real, având modelul din fig. 3.7., nu se pot evita complet efectele forţelor de frecare internă din elementele elastice şi ale rezistenţei aerului, vibraţiile forţate ale masei principale nu se amortizează complet, în schimb pericolul de distrugere la rezonanţă, în special a elementului elastic al amortizorului, care este cel mai solicitat, este mult diminuat. Dacă sistemul principal are vibraţii forţate de rotaţie sau de torsiune, în mod analog se poate proiecta un amortizor dinamic simplu pentru aceste vibraţii de rotaţie, la care elementul elastic al amortizorului poate fi un arc spiral.
3.6. Aparate mecanice pentru măsurarea vibraţiilor
125
Aparatele mecanice folosite pentru măsurarea anumitor elemente ale vibraţiilor mecanice se împart în două categorii principale: aparate cu punct fix şi aparate cu masă seismică. Aparatele cu punct fix au carcasa lor fixată de un suport fix şi, cu vârful unui palpator, urmăresc vibraţiile de translaţie rectilinie ale organului de maşină mobil, ale cărui vibraţii se măsoară. Prin intermediul unui sistem de pârghii, mişcarea vibratorie se transmite de la palpator la un aparat indicator al amplitudinilor vibraţiilor măsurate, sau la peniţa unui dispozitiv de înregistrare pe hârtie a acestor vibraţii. În cazul folosirii unui dispozitiv de înregistrare, hârtia este antrenată în mişcare de translaţie rectilinie cu viteza constantă cunoscută, cu care se determină factorul de scară pentru timpul de înregistrare, obţinându-se diagrama de mişcare pentru vibraţiile măsurate, la o scară pentru deplasări dată de factorul de amplificare al sistemului de pârghii. Datorită inerţiei palpatorului şi a sistemului de pârghii, cu aceste aparate se pot măsura, cu o precizie acceptabilă, numai vibraţii de frecvenţă redusă. Cel mai răspândit aparat pentru măsurarea vibraţiilor din această categorie este tastograful, care foloseşte un dispozitiv de înregistrare şi care este utilizat în unutăţile industriale pentru determinarea rapidă a unor elemente ale vibraţiilor, carcasa aparatului fiind, de obicei, fixată în mâini de persoane care efectuează măsurătorile. Aparatele cu masă sistemică pentru măsurarea vibraţiilor au un dispozitiv de prindere, cu ajutorul căruia carcasa aparatului este fixată de organul de maşină mobil, ale cărui vibraţii se măsoară. Pentru măsurarea vibraţiilor de translaţie rectilinie, un corp aflat în mişcare de translaţie rectilinie faţă de carcasa aparatului, numit masă seismică, este legat de această carcasă prin intermediul unui element elastic şi a unui element de amortizare vâscoasă. Se formează, astfel, un sistem vibrant cu un singur grad de libertate, care are vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă, forţa perturbatoare în mişcare relativă a masei seismice faţă de carcasa aparatului fiind de forma: ( ) tmrfmtFr ωω sin2=−= (3.30) unde m este valoarea masei seismice, iar ( )tf este legea de mişcare a carcasei, aceeaşi cu a organului de maşină la care se măsoară vibraţiile, de forma ( ) trtf ωsin= , dacă aceste vibraţii sunt armonice. Dacă aparatul cu masă seismică este folosit în apropierea rezonanţei, când pulsaţia forţei perturbatoare, egală cu cea a vibraţiei de măsurat, are valoarea apropiată de pulsaţia proprie a sistemului vibrant al aparatului, cu ajutorul lui se poate măsura, cu precizie ridicată, pulsaţia vibraţieie sau frecvenţa sa, deci acesta este folosit ca frecventmetru. În acest caz, masa seismică este fixată la un capăt al unei lamele elastice, care constituie elementul elastic pentru vibraţiile sale de încovoiere, celălalt capăt al lamelei fiind fixat de carcasa aparatului. Deoarece se iau măsuri, ca pentru un astfel de frecventmetru,
coeficientul de amortizare critic crc să fie mare şi raportul crcc
să fie foarte mic,
diagrama sa de rezonanţă are o formă foarte ascuţită, cu variaţii foarte mari de
amplitudine a vibraţiei forţate în jurul rezonanţei, pentru care raportul nωω
este foarte
apropiat de 1. Frecventmetrele din această categorie, în funcţie de destinaţia lor, se construiesc în două variante constructive:
126
a) Frecventmetre cu lamelă simplă, la care se poate regla pulsaţia proprie a sistemului vibrant al aparatului până se ajunge la rezonanţă, prin modificarea lungimii lamelei elastice între masa seismică şi punctul de fixare la carcasa aparatului;
b) Frecventmetre cu lamele multiple, la care de aceeaşi carcasă a aparatului sunt fixate mai multe sisteme vibrante formate din câte o masă seismică şi o lamelă elastică, având pulsaţii proprii apropiate ca valoare şi determinate cu mare precizie într-un domeniu restrâns.
Frecventmetrele cu lamele multiple se folosesc, de exemplu, pentru măsurarea cu precizie ridicată a frecvenţei curentului electric în centrale electrice sau în unităţi industriale. Dacă pulsaţia proprie nω a unui aparat cu masă seismică are o valoare foarte
mică, raportul nωω
este foarte mare şi amplitudinile vibraţiilor forţate ale masei seismice,
în mişcarea sa relativă faţă de carcasa aparatului, tind să fie egale cu amplitudinile vibraţiilor carcasei. În acest caz, aparatul seismic funcţionează ca vibrometru, sau ca vibrograf, dacă aceste vibraţii sunt înregistrate cu un dispozitiv mecanic de înregistrare sau cu un înregistrator de altă construcţie. Astfel de aparate se folosesc pentru înregistrarea vibraţiilor scoarţei terestre, a seismelor, în centrele de cercetări seismologice, purtând denumirea de seismografe. Seismografele au valoarea masei seismice foarte mare, peste o tonă, astfel încât rezultă o valoare foarte mică a pulsaţiei lor proprii nω , frecvenţa lor proprie fiind în jur de 0,1 Hz. Dacă pulsaţia proprie nω a unui aparat cu masă seismică are o valoare foarte
mare, raportul nωω
este mult mai mic decât unitatea. Presupunând că vibraţia de măsurat
este armonică, cu pulsaţia ω şi amplitudinea r, ţinând seama că raportul crcc
este
subunitar, astfel încât şi termenul adimensional 2
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ncrccωω se poate neglija faţă de unitate,
amplitudinea 0y a vibraţiei forţate a masei seismice, în mişcarea sa relativă faţă de carcasa aparatului, se poate exprima, cu o bună aproximaţie, sub forma:
( )22
2
01 ωωω
ω rrynn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (3.31)
unde 2ωr este amplitudinea acceleraţiei vibraţiei de măsurat, iar 2
1
nω este o constantă a
aparatului. Rezultă că, în acest caz, aparatul cu masă seismică funcţionează ca accelerometru, sau ca accelerograf, dacă vibraţiile forţate ale masei seismice sunt înregistrate. Cu un accelerograf din această categorie se pot măsura, cu o precizie ridicată, acceleraţii ale vibraţiilor având frecvenţe ν relativ mici, până la rapoarte
127
25,0==nn νν
ωω
. Domeniul de măsură al acestor aparate poate fi extins până la rapoarte
75,0==nn νν
ωω
, dacă este îndeplinită condiţia:
7,05,0 <<crcc
(3.32)
pe baza observaţiei că porţiunile din diagramele de rezonanţă până la 75,0=nωω
, pentru
care este îndeplinită condiţia (3.32), sunt foarte apropiate de diagrama corespunzătoare a parabolei de ecuaţie (3.31), caracteristică pentru un accelerograf din această categorie. Pentru a nu influenţa vibraţiile organului de maşină mobil ale cărui vibraţii se măsoară, toate aceste aparate cu masă seismică trebuie să aibe masa lor totală mult mai mică decât masa acestui organ de maşină. Această condiţie poate fi îndeplinită mai uşor în cazul accelerometrelor. Aparatele cu masă seismică se pot construi şi pentru măsurarea vibraţiilor de rotaţie, de exemplu ale unui volant dintr-o maşină. Pentru aceasta, masa seismică are mişcare de rotaţie faţă de carcasa aparatului, fiind legată de aceasta printr-un arc spiral. S-au construit şi aparate mecanice universale pentru măsurarea vibraţiilor, care pot să funcţioneze atât ca aparate cu punct fix, cât şi ca aparate cu masă seismică, şi care pot fi utilizate atât pentru măsurarea vibraţiilor de translaţie rectilinie, cât şi pentru a celor de rotaţie. Un astfel de aparat este aparatul universal Geiger pentru măsurarea vibraţiilor.
3.7. Aparate electrice pentru măsurarea vibraţiilor
În prezent, în toate domeniile activităţilor industriale şi în cercetare ştiinţifică experimentală, cea mai mare parte a mărimilor mecanice se măsoară prin mijloace electrice. Pentru aceasta, un element component important al aparatelor electrice şi electronice folosite, este elementul care transformă variaţia mărimii mecanice de măsurat în variaţia unei mărimi electrice, element care se numeşte traductor sau captor. Traductorii folosiţi pentru măsurarea vibraţiilor se împart în două categorii principale: traductori pasivi sau parametrici şi traductori activi sau generatori. Traductorii pasivi transformă deplasarea vibratorie sau deformaţia liniară a unui corp în variaţia impedanţei unui circuit electric, alimentat în curent alternativ. După natura acestei impedanţe variabile, traductorii pasivi se împart, la rândul lor, în trei tipuri: traductori rezistivi, traductori capacitivi şi traductori inductivi. Traductorul rezistiv cel mai frecvent folosit este timbrul tensometric. Un timbru tensometric este constituit dintr-un conductor electric filiform, dispus după o grilă plană şi lipit, cu adezivi speciali, pe o bucată de hârtie specială, cu proprietăţi de deformare elastică cu constanta elastică foarte mică. Pentru ca timbrul tensometric să nu fie influenţat de variaţiile de temperatură, materialul din care este confecţionat conductorul
128
electric este constantanul sau manganinul, care au un coeficient de dilataţie termică liniară foarte mic. Pentru măsurarea vibraţiilor, timbrul tensometric se lipeşte, de asemenea cu adezivi speciali, pe elementul elastic al sistemului vibrant, la care se măsoară vibraţiile, astfel încât, în timpul mişcării sistemului, deformaţiile elementului elastic şi a timbrului tensometric lipit pe el să producă variaţii ale lungimii l a timbrului tensometric, care se transformă în variaţii ale rezistenţei sale electrice R în circuitul electric în care este conectat la aparatul de măsură. Considerând aria S a secţiunii transversale şi rezistivitatea ρ a conductorului electric al timbrului tensometric constante, rezistenţa electrică şi variaţia sa sunt date de relaţiile cunoscute:
SlR ρ= ,
SlR Δ
=Δ ρ (3.33)
Deoarece, aria S a secţiunii transversale a conductorului electric este foarte mică şi lungimea sa l este relativ mare, din prima relaţie (3.33) rezultă pentru R valori mari, de ordinul zecilor sau sutelor de ohmi, dar, deoarece variaţiile Δl ale lungimii sale sunt foarte mici, de ordinul zecimilor sau al sutimilor de milimetrii, din a doua relaţie (3.33) rezultă pentru ΔR valori mici, de ordinul zecimilor, al sutimilor şi chiar a miimilor de ohmi. Pentru măsurarea vibraţiilor, este necesar să se măsoare, cu aparatul electric de măsură, aceste variaţii mici de rezistenţă electrică, proporţionale cu deformaţiile elastice ale elementului elastic al sistemului vibrant, care, la rândul lor, sunt proporţionale cu deplasarea vibratorie a masei sistemului vibrant sau cu variaţia oscilatorie a forţei sale elastice. Un traductor capacitiv este constituit dintr-un condensator electric plan, la care dielectricul este aerul dintre cele două plăci conductoare ale sale, şi care are una din plăci mobilă, legată rigid de organul de maşină ale cărui vibraţii se măsoară. Dacă vibraţiile sistemului vibrant considerat sunt de translaţie rectilinie, în urma mişcării de translaţie rectilinie a plăcii mobile a condensatorului se produc variaţii ale distanţei d dintre cele două plăci, rezultând variaţii ale capacităţii sale electrice C. Dacă vibraţiile acestui sistem vibrant sunt de rotaţie, traductorul capacitiv este constituit dintr-un condensator electric plan rotativ şi, în urma mişcării de rotaţie a plăcii mobile, se produc variaţii ale ariei S a suprafeţelor plane suprapuse ale celor două plăci, rezultând, de asemenea, variaţii ale capacităţii sale electrice C. Cunoscând permeabilitatea electrică 0ε a aerului, capacitatea electrică a unui condensator plan şi variaţiile sale în cele două cazuri prezentate anterior sunt date de relaţiile cunoscute:
dSC 0ε= , d
dSC Δ−=Δ 20ε ,
dSC Δ
=Δ 0ε (3.34)
astfel încât, pentru măsurarea vibraţiilor cu un astfel de traductor capacitiv, este necesar să se măsoare aceste variaţii mici ale capacităţii sale electrice. Un traductor inductiv este constituit dintr-o bobină electrică, conectată la circuitul electric al aparatului de măsură, în interiorul căreia se poate mişca un capăt al unui miez de fier, care are celălalt capăt fixat rigid de organul de maşină mobil, ale cărui vibraţii se măsoară. Inductanţa L a bobinei depinde de lungimea l a miezului de fier aflat în interiorul său, astfel încât la variaţii Δl ale acestei lungimi, le corespund variaţii ΔL, proporţionale cu Δl, ale inductanţei bobinei. Ca urmare, pentru a se măsura vibraţiile unui sistem cu ajutorul unui astfel de traductor inductiv, este necesar să se măsoare aceste variaţii mici ale inductanţei bobinei sale.
129
Pentru măsurarea turaţiei sau a frecvenţei de rotaţie a unui volant, aflat în mişcare de rotaţie uniformă, se utilizează în mod frecvent un traductor inductiv fără contact, constituit dintr-o bobină electrică cu miez de fier solidar cu bobina. Acest traductor inductiv fără contact este fixat într-un suport fix, astfel încât un ştift de oţel fixat de volant să treacă prin dreptul lui în timpul mişcării de rotaţie a volantului, iar în intervalul scurt de timp, în care ştiftul se află în dreptul traductorului, apare o variaţie bruscă a inductanţei bobinei sale. Pentru măsurarea unor variaţii mici de rezistenţă electrică ΔR, de capacitate electrică ΔC, sau de inductanţă ΔL, se foloseşte un aparat electric de măsură numit punte de măsură sau punte tensometrică. Partea principală a unei punţi de măsură este constituită de o punte Wheatstone, alimentată după una din diagonale sale, în curent
electric alternativ, care are frecvenţa πων2
= mult mai mare decât toate frecvenţele
vibraţiilor mecanice de măsurat (fig. 3.8.). Fig. 3.8. Tensiunea electrică de alimentare U a punţii este armonică, având aceeaşi frecvenţă ν şi amplitudinea mU constantă cunoscută. Traductorul principal folosit pentru măsurarea vibraţiilor este conectat într-unul din braţele punţii, având impedanţa TZ egală cu
rezistenţa electrică R a traductorului rezistiv, cu reactanţa capacitivă C
X C ω1
= a
traductorului capacitiv, sau cu reactanţa inductivă LX L ω= , a traductorului inductiv. În braţul opus al punţii se conectează un element electric cu impedanţa 2Z constantă cunoscută. Într-unul din braţele alăturate ale punţii se conectează un alt traductor, numit traductor compensator de acelaşi tip cu cel principal, fixat, în aceleaşi condiţii de mediu ambiant cu cel principal, într-un suport fix. Impedanţa sa CZ este egală, în aceleaşi condiţii de mediu ambiant, cu cea a traductorului principal aflat în repaus, traductorul compensator fiind folosit pentru compensarea, în timpul efectuării măsurătorilor, a variaţiei unor parametrii de mediu ca temperatura, umiditate, etc., care ar putea să afecteze precizia măsurătorilor. În celălalt braţ alăturat al punţii se conectează elemente electrice reglabile, astfel încât, pentru impedanţa lor echivalentă 1Z , să se poată modifica continuu şi în trepte, între anumite limite, atât rezistenţa lor electrică, cât şi reactanţa lor capacitivă. După cealaltă diagonală a punţii, se măsoară tensiunea sa electrică de ieşire
eU , care are valoarea momentană exprimată de:
( )( )( )21
12
ZZZZUZZZZU
CT
CTe ++
−= (3.35)
130
Înainte de efectuarea măsurătorilor, după conectarea traductorului principal şi a celui compensator în circuitul elecric al punţii, conform schemei din fig. 3.8., se efectuează echilibrarea punţii, adică se reglează impedanţa 1Z până când tensiunea de ieşire eU devine nulă. Ţinând seama de relaţia (3.35), condiţia de echilibrare a punţii este: 12 ZZZZ CT = (3.36) În timpul efectuării măsurătorilor, impedanţa TZ a traductorilor principali are variaţii TZΔ în intervale mici de timp, celelalte impedanţe din circuitul electric al punţii rămănând, practic, constante. Deoarece TT ZZ <<Δ şi ţinând seama de condiţia (3.36) de echilibrare a punţii, valoarea momentană a tensiunii electrice de ieşire a punţii, dată de (3.35), devine:
( )
UZZ
ZZZZ
UT
Te
Δ+
= 221
21 (3.37)
ceea ce arată că semnalul electric de la ieşirea punţii, dat de raportul m
e
UU
este
proporţional cu produsul mărimilor variabile în timp TZΔ şi U . Având în vedere că frecvenţa ν , numită frecvenţa purtătoare, a tensiunii electrice
U de alimentare a punţii, raportul mU
U fiind numit semnal purtător, este mult mai mare
decât frecvenţele de variaţie în timp a impedanţei TZΔ , raportulT
T
ZZΔ
, fiind numit
semnal modulator, din (3.37) rezultă că acest semnal de ieşire al punţii este o tensiune electrică modulată în amplitudine de semnalul modulator, raportată la amplitudinea mU a tensiunii electrice de alimentare. Pentru efectuarea măsurătorilor, deoarece TZΔ este proporţional cu vibraţia de măsurat, din semnalul de ieşire al punţii trebuie să fie extras semnalul modulator, deci trebuie să fie îndepărtat semnalul purtător prin filtrarea frecvenţei purtătoare, operaţie care se numeşte demodulare. De asemenea, deoarece semnalul modulator este foarte mic, deci şi semnalul de ieşire al punţii este foarte mic, înainte de demodulare tensiunea de ieşire a punţii trebuie să fie amplificată. Aceste operaţii se efectuează pe cale electrică, cu ajutorul altor circuite electrice şi electronice ale punţii de măsură. Traductorii activi sau generatori transformă variaţia energiei cinetice sau potenţiale a unui sistem vibrant în variaţia energiei electrice a unui circuit electric, deci, oricare din aceştia, furnizează o tensiune electromotoare în circuitul electric la care este conectat în aparatul electric de măsură. Pentru măsurarea vibraţiilor de translaţie rectilinie ale unui corp dintr-un sistem mecanic vibrant, cel mai frecvent se foloseşte ca traductor activ un traductor piezoelectric. Funcţionarea lui se bazează pe efectul piezoelectric al unei plăci de dimensiuni mici din cuarţ, din titanat de bariu sau din alte materiale piezoelectrice. Efectul piezoelectric constă în faptul că, dacă, pe două feţe opuse ale unei plăcuţe din material piezoelectric, acţionează două forţe de compresiune egale şi de sens contrar, pe
131
cele două feţe ale plăcuţei apar sarcini electrice de semn contrar, care determină o diferenţă de potenţial electric şi generează o tensiune electromotoare într-un circuit electric. Dacă cele două feţe de compresiune sunt variabile în timp, această diferenţă de potenţial electric sau tensiunea electromotoare corespunzătoare urmăresc variaţia în timp a forţelor de compresiune, între valorile momentane ale acestor mărimi existând o relaţie de proporţionalitate, expprimată pe baza constantei piezoelectrice a materialului piezoelectric al plăcuţei. În fig. 3.9. este reprezentată schema de principiu a unui traductor piezoelectric. Fig. 3.9. Masa seismică m este legată de carcasa 4 a traductorului prin intermediul unor elemente elastice 1 şi de amortizare 2. Elementul elastic are rolul şi de a pretensiona plăcile din material piezoelectric 5 între masa seismică şi suportul 7 al traductorului, prin intermediul plăcilor electroizolatoare 3 şi al plăcuţelor metalice conductoare 6, astfel încât, tot timpul funcţionării traductorului, plăcile din material piezoelectric să fie solicitate mecanic la compresiune. Suportul 7 al traductorului are un dispozitiv de fixare pe organul de maşină mobil, ale cărui vibraţii de translaţie rectilinie se măsoară, de obicei cu magnet permanent sau şurub. Valoarea masei seismice m este mică, constanta elastică a elementului elastic este mare, iar coeficientul de amortizare vâscoasă verifică relaţiile (3.32), astfel încât, pe baza relaţiilor (3.31), rezultă că deplasarea relativă y a masei seismice faţă de carcasa sau faţă de suportul traductorului este proporţională cu acceleraţia vibraţiei de măsurat. Deoarece, diferenţa de potenţial între bornele A şi B ale traductorului, sau tensiunea electromotoare corespunzătoare din circuitul electric de măsură, este proporţională cu variaţia forţelor de compresiune ale plăcilor din material piezoelectric, iar această variaţie, la rândul ei, este proporţională cu deplasarea relativă y a masei seismice, deci cu acceleraţia vibraţiei de măsurat, mai rezultă că un astfel de traductor piezoelectric funcţionează ca un accelerometru. Pentru măsurarea vibraţiilor mecanice, această tensiune electromotoare, de valori momentane foarte mici, trebuie să fie amplificată, iar semnalul electric furnizat de traductor, care este raportul dintre această tensiune electromotoare şi o tensiune electrică de referinţă, trebuie să fie integrat de două ori în timp. Aceste operaţii se realizează de alte circuite electrice ale aparatului de măsurat. Pentru măsurarea vibraţiilor de rotaţie ale unui volant dintr-un sistem mecanic vibrant, cel mai frecvent se foloseşte ca traductor activ un traductor electrodinamic. Acesta funcţionează pe principiul aparatelor cu punct fix, fiind un generator electric cu statorul fix şi cu rotorul legat printr-o transmisie mecanică, de volant. Deoarece tensiunea electromotoare indusă este proporţională cu viteza unghiulară a vibraţiilor de rotaţie şi aceasra are valori momentane suficient de mari pentru a putea fi măsurate fără
132
amplificare, aparatul electric de măsură trebuie să realizeze numai integrarea odată în timp a semnalului electric furnizat de acest traductor electrodinamic. Un alt aparat electric de măsură, folosit frecvent pentru măsurarea unor elemente ale vibraţiilor mecanice de translaţie rectilinie sau de rotaţie, având principiul de funcţionare diferit de al aparatelor electrice de măsură prezentate anterior, este stroboscopul. Funcţionarea acestui aparat se bazează pe efectul stroboscopic al unei succesiuni periodice de impulsuri luminoase, de durată foarte mică şi cu frecvenţa de repetiţie reglabilă duficient de mare, asupra ochiului omenesc. Folosind această succesiune de impulsuri luminoase, generate de lampa stroboscopică a aparatului, pentru iluminarea unui reper practicat pe organul de maşină care are vibraţii armonice şi reglând frecvenţa de repetiţie a impulsurilor, de la generatorul interior al aparatului, până când aceasta devine egală cu frecvenţa vibraţiilor, ochiul omenesc vede acest reper numai când este iluminat, în aceeaşi poziţie faţă de un sistem de referinţă fix, deci imaginea reperului mobil este "îngheţată". În acest mod, măsurând frecvenţa generatorului interior al stroboscopului, se poate măsura frecvenţa unor vibraţii mecanice armonice sau periodice. Dacă frecvenţa de repetiţie a impulsurilor luminoase diferă foarte puţin de cea a vibraţiilor reperului considerat, ochiul omenesc vede acest reper deplasându-se foarte lent între cele două poziţii extreme ale mişcării sale vibratorii, astfel încât, cu ajutorul stroboscopului, se poate măsura şi amplitudinea unor vibraţii armonice. Dacă amplitudinea vibraţiei se măsurat este mică, sub 1 mm, pe lângă stroboscop se foloseşte un dispozitiv optic de mărire a imaginilor vizuale (un microscop), prevăzut cu un ocular cu reticul, având scala gradată în micrometrii.
3.8. Măsurători de vibraţii şi prelucrarea semnalelor Studiul teoretic al comportării dinamice a unor maşini sau agregate, a unor structuri de rezistenţă din construcţii ediliate sau industriale, precum şi a unor instalaţii cu diferite destinaţii, se efectuează pe baza unui model mecanic. Datorită caracterului preponderent elastic al deformaţiilor legăturilor interioare şi exterioare, precum şi al deformaţiilor altor elemente componente din astfel de structuri mecanice, mişcările staţionare, determinate pe baza modelului mecanic, sunt sau vibratorii, sau sunt însoţite de vibraţii mecanice. În cele mai frecvente cazuri întâlnite în aplicaţii, un astfel de model mecanic este constituit din modelul unui sistem vibrant cu mase concentrate, aflate în mişcare de translaţie rectilinie sau de rotaţie, având un număr finit de grade de libertate. Chiar şi o structură de corp continuu, pe baza unor metode de discretizare, cum ar fi metoda elementului finit, se poate reduce la un astfel de model mecanic. Pentru studiul teoretic, în primă aproximaţie, a comportării dinamice a unei structuri mecanice, se consideră că modelul său mecanic este liniar, astfel încât ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sale sunt liniare cu coeficienţi constanţi. Pentru efectuarea acestui studiu teoretic, trebuie să fie cunoscute forţele exterioare perturbatoare ce acţionează asupra maselor concentrate, transmise prin sistemul de acţionare sau prin legăturile exterioare, care se mai numesc mărimi de intrare ale modelului mecanic, sau ale structurii mecanice, precum şi parametrii dinamici ai structurii mecanice, care sunt elementele matricelor de inerţie, de amortizare vâscoasă şi de rigiditate sau de flexibilitate pentru modelul său mecanic. Legile de mişcare ale maselor concentrate, rezultate în urma
133
studiului teoretic, se mai numesc mărimi de ieşire ale modelului mecanic considerat sau ale structurii mecanice corespunzătoare. Dacă se cunosc aceste mărimi de ieşire şi parametrii dinamici ai unei structuri mecanice, pe baza modelului său mecanic şi a ecuaţiilor de mişcare corespunzătoare se pot determina mărimile sale de ieşire. De asemenea, dacă se cunosc mărimile de intrare şi de ieşire ale modelului unui sistem mecanic vibrant, precum şi o parte din parametrii săi dinamici (de exemplu elementele matricii de inerţie, care se pot determina uşor experimental sau prin calcule), se pot evalua, cu un anumit grad de aproximaţie, ceilalţi parametrii dinamici ai sistemului, pe baza studiului teoretic efectuat. Această ultimă problemă se mai numeşte identificarea unui sistem mecanic vibrant. În fazele de proiectare, execuţie şi omologare ale unui nou prototip, scopul oricăror măsurători de vibraţii este determinarea experimentală a mărimilor de intrare, de ieşire şi/sau a parametrilor dinamici pentru o structură mecanică reală, după care se compară mărimile determinate experimental cu cele rezultate din studiul teoretic pe baza modelului mecanic corespunzător. Dacă, în urma acestor comparaţii, între mărimile calculate sau evaluate iniţial în cadrul studiului teoretic şi cele determinate experimental se obţin diferenţe mari, rezultă că modelul mecanic folosit pentru studiul teoretic este necorespunzător şi acesta trebuie să fie modificat, până când aceste diferenţe ajung mici, situate între anumite limite admisibile. Pentru a se putea evalua structura modelului mecanic al unui sistem vibrant real, este necesar ca semnalele de ieşire de la aparatele folosite pentru efectuarea măsurătorilor, care, în general, sunt proporţionale cu valorile momentane ale mărimilor de ieşire ale sistemului vibrant, să fie analizate şi prelucrate modal, astfel încât să se determine mărimile caracteristice ale modelului mecanic, corespunzătoare modurilor sale naturale de vibraţie, şi anume pulsaţii proprii, vectori proprii şi parametrii dinamici modali. De asemenea, deoarece, în general, vibraţiile unui sistem mecanic real cu caracter aleator, datorită neliniarităţilor şi jocurilor din sistem, precum şi datorită caracterului aleator al forţelor perturbatoare, este necesar ca aceste semnale de ieşire de la aparatele de măsurat vibraţii să fie analizate şi prelucrate statistic. Folosind aparate electrice de măsurat vibraţiile, cu traductori activi sau pasivi, analiza şi prelucrarea semnalelor se poate realiza pe cale electrică, cu ajutorul unor aparate electrice şi electronice pentru prelucrarea semnalelor. Astfel, pentru analiza modală a semnalelor, un aparat electric de prelucrare a semnalelor frecvent utilizat este analizorul spectral, care conţine mai multe filtre electrice de bandă de frecvenţe foarte îngustă, furnizând spectrul de frecvenţe al semnalului. Pentru analiza statistică a semnalelor se folosesc frecvent corelatoarele, care furnizează funcţia de autocorelaţie a unui semnal sau funcţia de intercorelaţie a două semnale. În prezent, cu ajutorul calculatoarelor electronice, se poate efectua o analiză complexă a semnalelor, prin prelucrarea lor numerică. Pentru aceasta, semnalele de la ieşirea aparatelor electrice de măsurat vibraţii se înregistrează pe bandă magnetică, iar apoi, prin intermediul unui convector analog – numeric, sunt introduse ca date în memoria operativă a calculatorului. În timpul exploatării unei maşini, a unui agragat, sau a unui utilaj dintr-o unitate industrială, periodic se efectuează măsurători ale unor mărimi de ieşire ale sistemului vibrant corespunzător, numite măsurători de nivel al vibraţiilor, care se compară cu valorile admisibile standardizate. Aceste măsurători de nivel al vibraţiilor dau indicaţii pentru evaluarea gradului de uzură al unor organe de maşină şi furnizează elemente cantitative, care se pot compara cu normele pentru valori admisibile, din punctul de
134
vedere al confortului omului, al bunei funcţionări a utilajului, sau al siguranţei privind rezistenţa la oboseală a unor ogane de maşină. În general, măsurătorile de nivel al vibraţiilor se efectuează atât în regimurile staţionare de funcţionare ale utilajului, cât şi în unele regimuri tranzitorii. În cazul unor maşini sau utilaje complexe, mărimile de intrare ale sistemului vibrant corespunzător sunt mai greu de măsurat. Dacă acest lucru este posibil, pentru măsurarea forţelor sau a momentelor perturbatoare se folosesc traductori de forţă, respectiv traductori de moment de forţă, care se realizează, de obicei, cu timbre tensometrice. Pentru identificarea unui sistem mecanic vibrant, care se poate reduce la un model mecanic cu un singur grad de libertate, se poate folosi diagrama legii de mişcare, înregistrată pe hârtie, pentru vibraţiile libere ale sistemului. Din această diagramă, care este o vibraţie amortizată, cunoscând vitezele u [mm/s] de deplasare a hârtiei în timpul înregistrării şi măsurând, după axa timpului, distanţa nτ [mm], corespunzătoare pentru n oscilaţii complete, se poate determina pseudoperioada T a mişcării. De asemenea, măsurând, după cealaltă axă de coordonate, distanţele ix [mm] ( )1,,1 += ni … de la axa timpului până la punctele de maxim sau de minim din diagrama legii de mişcare, se poate determina decrementul logaritmicδ . Aceste mărimi determinate experimental au valorile:
nu
T nτ= [s], 1
1ln1
+
=nxx
nδ (3.38)
Deoarece masa m [kg], sau momentul de inerţie axial J [kg·m2], faţă de axa de rotaţie, pentru modelul mecanic considerat, se poate determina uşor, experimental sau prin calcule, cu valorile date de (3.38) se pot determina ceilalţi parametrii dinamici ai sistemului, care sunt:
T
mc δ2= [Ns/m], ( )222 4 δπ +=
Tmk [N/m] (3.39)
dacă modelul mecanic este de translaţie, respectiv:
T
JC δ2= [Nm/s], ( )222 4 δπ +=
TJK [N·m] (3.40)
dacă modelul mecanic este de rotaţie. În cazul în care, din a doua relaţie (3.38), pentru decrementul logaritmic se obţine
o valoare foarte mică, astfel încât 25,0<δ pentru care 04,0<crcc
, rezultă că amortizarea
vâscoasă a sistemului este foarte mică şi pseudopulsaţia vibraţiei amortizate este foarte apropiată de pulsaţia proprie a sistemului fără amortizare. În acest caz, cu o bună aproximaţie, decrementul logaritmic al vibraţiei amortizate se poate calcula cu relaţiile:
n
nn
xxx
xxx
xxx 1
2
32
1
21 +−==
−=
−=δ (3.41)
În mod analog, se poate efectua identificarea unui sistem mecanic vibrant cu un singur grad de libertate, dacă amortizarea sistemului este dată de forţa de frecare uscată, având valoarea constantă R [N], în intervalul de timp dintre două momente consecutive în care se anulează viteza, considerând modelul mecanic al sistemului de translaţie. În acest
135
caz, cu prima relaţie (3.38), se determină perioada T a vibraţiilor libere şi neamortizate ale sistemului, cu ajutorul căreia rezultă:
Tnπω 2
= [s-1], 2
24T
mk π= [N/m] (3.42)
unde s-a presupus valoarea masei m [kg] a sistemului cunoscută. De asemenea, ştiind că valoarea absolută a diferenţei dintre două valori succesive de
maxim sau de minim, din diagrama legii de mişcare, este egală cu kR4
, valoarea forţei de
frecare rezultă:
12
23
1
3 104
10+
−
+
−
−=−= iiii xxT
mxxkR π (3.43)
în care s-a ţinut seama de a doua relaţie (3.42). Dacă 121 xxx <<− şi raportul
adimensional 1
21
xxx −
este mai mic decât 0,25 , amortizarea uscată a sistemului se poate
echivala cu o amortizare vâscoasă foarte mică, decrementul logaritmic corespunzător fiind calculat cu prima relaţie (3.41). Din relaţiile (3.41) şi (3.43) rezultă că, într-o pseuduperioadă T a mişcării, cuprinsă între momentele it , în care legea de mişcare are elongaţia maximă sau minimă ix , şi 1+it , în care aceasta are valoarea extremă de acelaşi fel 1+ix , amortizarea uscată a sistemului se poate echivala cu o amortizare vâscoasă foarte
mică, atâta timp cât decrementul logaritmic corespunzător i
iii x
xx 1+−=δ este mai mic
decât 0,25. În cazul unei structuri mecanice complexe pentru identificarea unui sistem mecanic vibrant echivalent, cu un număr finit de grade de libertate, este necesar să se măsoare vibraţiile forţate ale sistemului, în anumite puncte corespunzătoare ale structurii, sub acţiunea unei forţe perturbatoare armonice cunoscute, având amplitudinea şi pulsaţia reglabile. Forţa perturbatoare este aplicată într-un punct ales convenabil al structurii, astfel încât să se poată excita toate modurile de vibraţie ale sistemului mecanic vibrant echivalent. În general, pentru obţinerea unei forţe perturbatoare armonice cu amplitudinea şi frecvenţa reglabile între anumite limite, se foloseşte un vibrator electrodinamic, alimentat cu o tensiune electrică alternativă de la un generator de frecvenţă variabilă, prin intermediul unui amplificator de putere. Deoarece puterea unui astfel de vibrator electrodinamic este limitată, având în general, o valoare constantă cunoscută pe întregul domeniu de frecvenţe pentru care se efectuează măsurătorile, amplitudinea vibraţiei perturbatoare depinde atât de frecvenţa sa, cât şi de amplitudinea vibraţiei forţate a punctului său de aplicaţie. Ca urmare, este necesar ca forţa perturbatoare să fie aplicată asupra structurii prin intermediul unui traductor de forţă, pentru a măsura amplitudinea sa, iar unul din punctele de măsură ale mărimilor de ieşire ale sistemului vibrant trebuie să fie punctul său de aplicaţie, pentru a măsura amplitudinea vibraţiei acestuia. În acest fel, dacă sistemul mecanic vibrant echivalent are n grade de libertate, pentru o anumită frecvenţă a forţei perturbatoare se efectuează un set de măsurători prin cele n+1 canale de măsură, unul pentru mărimea de intrare şi n pentru mărimile de ieşire ale sistemului vibrant. În continuare, se efectuează cât mai multe seturi de măsurători pentru cât mai
136
multe valori ale frecvenţei forţei perturbatoare din domeniul de frecvenţe pentru care se efectuează măsurătorile, corespunzător domeniului în care se apreciază că se află toate pulsaţiile proprii ale sistemului mecanic vibrant echivalent. Determinarea amplitudinilor vibraţiilor forţate ale structurii mecanice în funcţie de frecvenţă sau pulsaţia forţei perturbatoare armonice se numeşte determinarea răspunsului în frecvenţă al sistemului vibrant echivalent. Identificarea acestui sistem mecanic vibrant se efectuează pe baza analizei modale a răspunsului său în frecvenţă, respectiv a semnalelor de ieşire de la aparatele electrice de măsură folosite, corespunzătoare tuturor seturilor de măsurători, iar pentru aceasta, datorită volumului mare de măsurători, prelucrarea semnalelor trebuie să se facă numeric cu ajutorul mijloacelor de calcul electronic.
4. VIBRAŢII NELINIARE ŞI PARAMETRICE
4.1. Consideraţii generale
În general, vibraţiile sistemelor mecanice reale sunt neliniare, deoarece ecuaţiile diferenţiale ale mişcării, pentru studiul dinamicii acestora, rezultă neliniare. Numai pentru studiul în primă aproximaţie al mişcării unui sistem mecanic real, se poate considera un model mecanic liniar, pentru care se studiază micile oscilaţii ale sistemului în jurul unei poziţii de echilibru static. În multe aplicaţii tehnice ale teoriei vibraţiilor mecanice liniare, acest studiu în primă aproximaţie este suficient pentru stabilirea caracterului general al mişcării sistemului în timpul unui regim staţionar de funcţionare, precum şi pentru determinarea regimurilor în care anumite organe de maşină sunt supuse la solicitări dinamice maxime, astfel încât se pot efectua calculele inginereşti de dimensionare şi de verificare la solicitări variabile ale acestor organe de maşină. Există, însă, cazuri, în care apar aşa numitele fenomene de bifurcaţie, care sunt caracteristice pentru comportarea dinamică a sistemelor mecanice neliniare. Într-un astfel de fenomen de bifurcaţie, atunci când o mărime mecanică atinge o valoare critică, unele elemente ale mişcării sistemului se schimbă brusc. În general, o valoare critică a mărimii mecanice considerate, desparte două domenii de valori ale sale, unul în care mişcarea sistemului este stabilă, iar celălalt în care aceasta este instabilă.
Metoda cea mai generală, pentru stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic real, este cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a II-a. Pentru
137
aceasta, dacă sistemul mecanic are un număr finit de grade de libertate, iar toate legăturile exterioare sunt olonome, se calculează forţele generalizate perturbatoare, energia cinetică a sistemului, energia sa potenţială, precum şi funcţia sa de disipare a energiei, ţinând seama de caracterisiticile elastice reale, neliniare, ale elementelor elastice, de amortizările structurale, de forţele de frecare şi de rezistenţă a mediului. Cu aceste mărimi calculate, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sistemului rezultă neliniare, exprimându-se sub formă matriceală:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }QqDqCqB =++ (4.1) în care{ }q este matricea coloană a coordonatelor generalizate,{ }Q este matricea coloană a forţelor generalizate perturbatoare, [ ]B este matricea de inerţie, [ ]C este matricea de amortizare, iar [ ]D este matricea de rigiditate. Pentru sistemul neliniar considerat, elementele matricei de inerţie pot să depindă de coordonatele generalizate, iar elementele matricelor [ ]C şi [ ]D depind, în general, de timp, de coordonatele generalizate şi de vitezele generalizate. În cele ce urmează, în acest capitol se va pune accent pe studiul vibraţiilor neliniare ale unui sistem cu un singur grad de libertate. Metodele de studiu, precum şi unele rezultate ale studiului vibraţiilor neliniare pentru aceste sisteme, se pot extrapola în cazul sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate. Clasificarea vibraţiilor neliniare ale unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate se face după forma ecuaţiei diferenţiale a mişcării. Considerând un astfel de sistem neliniar, care are, în general, masă constantă, dacă se reduce la un model mecanic de translaţie, sau momentul de inerţie axial constant, dacă se reduce la un model de rotaţie, ecuaţia sa de mişcare şi toate mărimile energetice se exprimă prin mărimi specifice, raportate la masă, respectiv la momentul de inerţie axial faţă de axa de rotaţie.
a) Vibraţii libere, neliniare, pentru care ecuaţia specifică de mişcare este de forma:
( ) 0, =+ qqfq (4.2) unde ( )qqf , este o funcţie neliniară de coordonata generalizată q şi de viteza generalizată q . Dacă f este o funcţie neliniară, depinzând numai de q, sistemul mecanic corespunzător este conservativ, având ecuaţia specifică de mişcare de forma: ( ) 0=+ qfq (4.3) De asemenea, se pot întâlni cazuri în care ecuaţia specifică de mişcare (4.2) are una din formele particulare: ( ) 02 =++ qfqq ε (4.4)
( ) 0, 2 =++ qqqfq nω (4.5) în careε şi nω sunt constante pozitive, iar ε fiind factor de amortizare vâscoasă pentru un sistem liniar, iar nω fiind pulsaţie proprie pentru un sistem liniar. Sistemul mecanic cu ecuaţia de mişcare (4.4) are numai caracteristica elastică neliniară, iar cel cu ecuaţia de mişcare (4.5) are numai caracteristica de amortizare neliniară.
138
b) Vibraţii forţate neliniare, pentru care ecuaţia specifică de mişcare este de forma:
( ) ( )tPqqtfq =+ ,, (4.6) în care ( )tP este forţa generalizată perturbatoare specifică, cu dimensiune de acceleraţie generalizată, fiind armonică sau periodică în timp. În unele cazuri, ecuaţia (4.6) se exprimă sub o altă formă, prin explicarea termenilor liniari, şi anume: ( ) ( )tPqqtfqqq =+++ ,,2 1
200 μωε (4.7)
în care toţi termenii neliniari sunt cuprinşi în funcţia 1f . Dacă parametrul constant μ are o valoare mică, se spune că sistemul mecanic corespunzător este slab neliniar, iar μ se numeşte parametru mic. Dacă q nu apare explicit în membrul stâng al ecuaţiei (4.7), nici în funcţia 1f , se spune că sistemul mecanic corespunzător are vibraţii forţate neamortizate neliniare.
c) Autovibraţii sau vibraţii autoexcitate pot apărea în sisteme mecanice cu caracteristica de amortizare neliniară, la care funcţia neliniară f din ecuaţia (4.5) se poate exprima sub una din formele:
( )qqhf 2= , ( )qqhf 2= , ( )qqqhf ,2= (4.8) unde h reprezintă un factor de amortizare variabil. Aşa cum se va arăta în unele din paragrafele următoare, în anumite intervale de timp ale mişcării sistemului, funcţia h poate avea valori negative şi, în acele intervale de timp, amplitudinile vibraţiilor libere ale sistemului iau valori crescătoare în timp. Rezultă că, în aceste intervale de timp, lucrul mecanic al forţei de amortizare este pozitiv, iar forţa de amortizare fiind interioară sistemului, vibraţiile corespunzătoare sunt autoîntreţinute sau autoexcitate.
d) Vibropercuţii sau mişcări vibropercutante pot să apară în sistemele mecanice cu jocuri sau cu limitatori ai mişcării, mumite sisteme vibropercutante, în timpul mişcării acestora, având loc ciocniri repetate. Chiar dacă, între două ciocniri consecutive, ecuaţiile de mişcare ale unui sistem vibropercutant sunt liniare cu coeficienţi constanţi, în ansamblu un astfel de sistem mecanic este neliniar, datorită caracterului profund neliniar şi discontinuu al ciocnirilor. Există numeroase aplicaţii tehnice, în care mişcările vibropercutante periodice ale unui sistem vibropercutant sunt folosite în anumite procese tehnologice.
e) Vibraţiile parametrice ale unui sistem mecanic sunt liniare, dar coeficienţii din ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sale, deci parametrii dinamici ai sistemului, sunt variabili în timp, având, în general, o variaţie periodică cu aceeaşi perioadă. În cele mai frecvente cazuri întâlnite în aplicaţii, ecuaţia specifică de mişcare a unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate, care are vibraţii parametrice, se exprimă sub forma generală:
( ) ( ) 02 =++ qtPqtQq (4.9)
139
Întotdeauna, cu ajutorul unei transformări de variabilă, ecuaţia (4.9) se poate aduce la forma:
( ) 0=+ qtPq (4.10) numită ecuaţia lui Hill. Pentru a produce variaţia periodică în timp a parametrilor dinamici P şi Q din ecuaţia generală (4.9), este necesar ca, din exterior, să se introducă energie mecanică în sistem, printr-o forţă aplicată printr-o legătură rigidă, aceasta constituind aşa – numita excitaţie parametrică. O proprietate caracteristică a ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic neliniar, constă în faptul că, acestora nu li se poate aplica principiul suprapunerii. Aceasta înseamnă că, dacă se cunosc două sau mai multe soluţii ale ecuaţiilor diferenţiale neliniare, o combinaţie liniară a acestor soluţii particulare nu este soluţie a ecuaţiilor respective. Ca urmare, pentru studiul mişcării unui sistem mecanic neliniar, integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sale trebuie să se efectueze pornind de la condiţiile iniţiale ale mişcării, astfel încât rezultă că, spre deosebire de sistemele liniare, toate elementele mişcării sale depind de aceste condiţii iniţiale. De asemenea, în cazul vibraţiilor neliniare, nu se poate exprima o soluţie generală pentru vibraţiile forţate ale sistemului ca suprapunerea unor componente tranzitorii şi forţate, aşa cum se putea face la vibraţiile liniare ale unui sistem mecanic. În general, soluţiile ecuaţiilor diferenţiale neliniare nu se pot exprima cu ajutorul unor funcţii analitice de o variabilă independentă reală (timpul), astfel încât, pentru studiul mişcării unui sistem neliniar, este necesar să se folosească metode aproximative pentru determinarea acestor soluţii. O altă problemă importantă pentru sistemele mecanice neliniare este studiul stabilităţii mişcărilor acestora, care nu întotdeauna se poate efectua în primă aproximaţie, pri liniarizarea ecuaţiilor diferenţiale în perturbaţii. În cazul vibraţiilor parametrice, deşi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sunt liniare şi, pentru acestea, se poate aplica principiul suprapunerii, este foarte dificil de determinat soluţii particulare ale ecuaţiilor diferenţiale şi, în general, aceste soluţii particulare nu se pot exprima cu ajutorul funcţiilor analitice cunoscute. Ca urmare, ca şi în cazul vibraţiilor neliniare, pentru studiul mişcărilor unui sistem mecanic, care are vibraţii parametrice, se folosesc metode aproximative pentru determinarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării. În cele ce urmează, se prezintă unele metode aproximative pentru determinarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării, în cazul vibraţiilor neliniare şi parametrice. Se pune accent pe metodele analitice, cel mai frecvent folosite în aplicaţii, care, în general, au caracter iterativ, determinându-se aproximaţii succesive ale soluţiei exacte. Pentru o bună aproximare a soluţiei exacte, în general, este necesar să se calculeze cât mai multe aproximaţii succesive ale sale, astfel încât, datorită volumului mare de calcul, chiar şi în cazul sistemelor neliniare cu un singur grad de libertate, se folosesc calculatoarele electronice. Pentru aceasta, pe baza metodei aproximative folosite, se elaborează un algoritm de calcul şi se întocmeşte un program într-un limbaj de programare accesibil calculatorului.
4.2. Studiul în planul fazelor al vibraţiilor libere neliniare
140
Planul fazelor asociat unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate este planul de coordonate carteziene Oxy, în care coordonatele unui punct curent, numit punct reprezentativ al mişcării sistemului, sunt:
qx = , 0ω
qy = (4.11)
unde 0ω este o constantă pozitivă aleasă convenabil, având dimensiune de pulsaţie. În timpul mişcării sistemului mecanic, punctul reprezentativ al mişcării sale descrie în planul fazelor o curbă plană, numită traiectorie de fază. Viteza jyixV += a punctului reprezentativ, care este tangentă la traiectoria de fază, având direcţia dată de coeficientul unghiular al tangentei dxdy , determină sensul în care aceasta parcurge traiectoria de fază, în timpul mişcării sistemului. Deoarece yqxVx 0ω=== , rezultă că în semiplanul superior al planului fazelor, în care 0>y , punctul reprezentativ parcurge traiectoria de fază întotdeauna de la stânga spre dreapta, în sensul pozitiv al axei Ox, iar în semiplanul inferior, în care 0<y , acesta se deplasează de la dreapa spre stânga, în sensul negativ al axei Ox. De asemenea, deoarece yqVxVydxdy 2
0ω== şi pentru 0== qy se obţine ±∞=dxdy , dacă 0≠q , rezultă că traiectoria de fază intersectează ortogonal axa Ox, în punctele sale în
care nu se anulează, simultan cu viteza generalizată, acceleraţia generalizată a sistemului. Cunoscând mai multe traiectorii de fază, determinate în diferite condiţii iniţiale ale mişcării sistemului, se poate aprecia caracterul general al mişcării sale şi se pot determina unele proprietăţi importante ale acestei mişcări, chiar dacă legile de mişcare ale sistemului, pentru condiţiile iniţiale considerate, nu sunt cunoscute. Pentru studiul în planul fazelor al vibraţiilor libere neliniare ale unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate, se consideră ecuaţia generală de mişcare (4.2), în care se efectuează substituţiile date de (4.11), astfel încât rezultă:
dtdx
dtdqy
00
11ωω
== , ( )yxfqdtdy
00 ,ωω −==
(4.12) Eliminând timpul între cele două ecuaţii (4.12), se obţine:
( )
yyxf
dxdy
20
0,ωω
−= (4.13)
care este ecuaţia diferenţială de ordinul întâi a traiectoriilor de fază. Dacă ecuaţia (4.13) se poate integra, se obţin curbele integrale, care sunt traiectoriile de fază, sub forma implicită: ( ) 0,, =Cyxg (4.14) unde C este o constantă de integrare, determinată din condiţiile iniţiale considerate pentru fiecare traiectorie de fază. Deoarece membrul stâng al ecuaţiei diferenţiale (4.13) reprezintă coeficientul unghiular al tangentei la oricare din traiectoriile de fază date de (4.14), din (4.13) rezultă că acesta este determinat în oricare din punctele din planul fazelor, numite puncte
141
ordinare, cu excepţia punctelor de pe axa Ox, numite puncte singulare, pentru care se anulează atât numitorul, cât şi numărătorul din membrul drept al ecuaţiei (4.13). Ca urmare, un punct singular din planul fazelor are coordonatele χx şi χy ce verifică condiţiile: 0=χy , ( ) 00, =χxf (4.15) deci poziţia corespunzătoare χχ xq = este o poziţie de echilibru static a sistemului considerat. Într-adevăr, dacă o traiectorie de fază trece prin acest punct singular, în momentul de timp în care punctul reprezentativ atinge punctul singular, viteza generalizată χχ ω yq 0= a sistemului este nulă, iar acceleraţia sa generalizată
( )0,χχ xfq −= rezultă, de asemenea, nulă. În conformitate cu teorema lui Cauchy, printr-un punct ordinar trece o singură traiectorie de fază. Rezultă că traiectoriile de fază nu se pot intersecta în puncte ordinare, existând posibilitatea ca ele să se intersecteze în puncte singulare din planul fazelor, în care coeficientul unghiular al tangentei este nedeterminat. Dacă, pe o traiectorie de fază ce trece printr-un punct singular, sensul de deplasare a punctului reprezentativ este spre punctul singular, rezultă că poziţia de echilibru static corespunzătoare a sistemului, atinsă când punctul reprezentativ al mişcării ajunge în punctul singular, este stabilă; în caz contrar, aceasta este instabilă. Dacă, în jurul unui punct singular, o traiectorie de fază intersectează de foarte multe ori axa Ox în puncte ordinare, situate, succesiv, de o parte şi de cealaltă parte faţă de punctul singular, rezultă că mişcarea sistemului este vibratorie, dar neperiodică, iar stabilitatea acestei mişcări se apreciază după cum sensul de mişcare al punctului reprezentativ pe traiectoria de fază determină o apropiere sau o îndepărtare a acestuia de punctul singular. Dacă fiecare din traiectoriile de fază din jurul unui punct singular intersectează cel mult o dată axa Ox într-un punct ordinar, mişcările corespunzătoare ale sistemului sunt nevibratorii, toate fiind stabile, dacă punctul reprezentativ se apropie de punctul singular pe oricare din traiectoriile de fază, şi instabile în sens contrar. Pentru ca un sistem mecanic, neliniar, cu un singur grad de libertate, să aibe mişcarea dată de o vibraţie periodică, în acest caz mişcarea fiind şi stabilă, este necesar ca toate traiectoriile de fază din jurul punctului singular să fie curbe închise, fiecare dintre ele intersectând axa Ox în două puncte ordinare, situate de o parte şi de cealaltă parte faţă de punctul singular. În cazul vibraţiilor neliniare libere ale acestor sisteme, se mai poate întâlni situaţia în care traiectoriile de fază din jurul unui punct singular, de forma unor spirale, se apropie asimptotic de o curbă închisă din planul fazelor, numită ciclu limită stabil. Astfel de situaţii se întâlnesc frecvent la sistemele cu caracteristica de amortizare neliniară, ciclul limită stabil sau semistabil (la care traiectoriile de fază se apropie de ciclul limită numai din interiorul său sau numai din exteriorul său) determinând apariţia autovibraţiilor.
4.3. Puncte singulare şi traiectorii de fază pentru sisteme liniare
142
În acest paragraf se prezintă forma traiectoriilor de fază din jurul punctului singular pentru un sistem mecanic liniar cu un singur grad de libertate, având vibraţii libere, deoarece traiectorii de fază de formă foarte apropiată se regăsesc în jurul punctelor singulare, în cazul vibraţiilor libere ale unor sisteme mecanice neliniare. Această observaţie rezultă şi din faptul că micile oscilaţii ale unui sistem mecanic neliniar, în jurul unei poziţii de echilibru static, se poate studia, cu o bună aproximaţie, pe baza unui model mecanic liniar. Un sistem mecanic liniar cu un singur grad de libertate are o singură poziţie de echilibru static, pentru care 0=q , deci, în planul fazelor îi corespunde un singur punct singular, având coordonatele 0== χχ yx . Pentru reprezentarea traiectoriilor de fază, se determină legile de mişcare ale sistemului, aşa cum s-a arătat în capitolul 1, de forma
( )21 ,, CCtqq = , unde 1C şi 2C sunt constante de integrare. Folosind substituţiile (4.11), în care 0ω se consideră egal cu pulsaţia proprie nω , iar apoi eliminând timpul între x şi y, se obţin ecuaţiile traiectoriilor de fază sub forma: ( ) 0,,, 211 =CCyxg (4.16) care, întotdeauna, se pot aduce la forma (4.14). În cele ce urmează, se prezintă aceste traiectorii de fază pentru punctele singulare care pot să apară în planul fazelor pentru un sistem liniar. a) În cazul vibraţiilor libere şi neamortizate ale unui sistem liniar, ecuaţia specifică de mişcare este: 02 =+ qq nω (4.17) care are soluţia generală armonică, de forma ( )γω += tCq ncos . Ecuaţiile traiectorilor de fază rezultă de forma (4.14), fiind cercuri cu centrul în punctul singular şi de rază C (fig.4.1.). Punctul singular, în acest caz, se numeşte centru şi este stabil. Fig. 4.1.
b) Dacă un sistem liniar ar avea ecuaţia specifică de mişcare de forma: 02 =− qq nω (4.18) soluţia generală se poate exprima, cu ajutorul unei funcţii hiperbolice, sub forma
( )γω +⋅= tchCq n . Ecuaţiile traiectoriilor de fază rezultă tot de forma (4.14), fiind
hiperbole de ecuaţii 222 Cyx =− (fig. 4.2.). Pentru C=0 se obţin ca traiectorii de fază două drepte, şi anume prima şi a doua bisectoare a planului fazelor, care se numesc
143
separatoare. Toate mişcările sistemului, corespunzătoare tuturor traiectoriilor de fază, sunt nevibratorii. Fig. 4.2. Punctul singular, în acest caz, se numeşte şea şi este instabil. Ecuaţii diferenţiale de forma (4.18) pot să apară numai în anumite intervale de timp ale mişcării unui sistem neliniar. c) Sistemul liniar cu ecuaţia specifică de mişcare de forma: 02 2 =++ qqq nωε (4.19) în care nωε ≥ , se ştie că are mişcări nevibratorii, legile de mişcare exprimându-se cu ajutorul a două exponenţiale descrescătoare în timp. Pentru nωε > , se determină soluţia generală a ecuaţiei (4.19) şi, procedând aşa cum s-a arătat la începutul paragrafului, se obţin ecuaţiile traiectoriilor de fază sub forma:
21
1
2
2
1
λλωλωλ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +C
yxC
yx nn
(4.20)
în care 1λ şi 2λ sunt valorile absolute ale rădăcinilor ecuaţiei caracteristice asociată ecuaţiei (4.19). Ecuaţiile (4.20) sunt de forma (4.16), dar se pot aduce uşor la forma (4.14). Între traiectoriile de fază exprimate de (4.20), o parte sunt drepte ce trebuie să treacă prin punctul singular, acestea fiind separate de celelalte traiectorii de două separatoare, reprezentate în fig. 4.3., prin linii mai groase. Fig. 4.3. Ecuaţiile analitice ale separatoarelor se obţin punând condiţia ca ele să aibe coeficientul unghiular egal cu dxdy din ecuaţia de forma (4.13) a traiectoriilor de fază. Din această condiţie, ecuaţiile separatoarelor rezultă:
144
( ) 022 =−±+ xy nn ωεεω (4.21) În acest caz, punctul singular se numeşte nod stabil. Dacă nωε = , punctul singular este tot un nod stabil. Ecuaţiile traiectoriilor de fază şi ale separatoarelor, în acest caz, rezultă:
( )yxC
yxx
n +=
+ ωln , ( ) 021 =±+ xy (4.22)
d) Vibraţiile liniare şi cu amortizare vâscoasă ale unui sistem liniar sunt descrise de ecuaţia (4.19), în care nωε < . Legile de mişcare sunt vibraţii amortizate cu factorul
de amortizare ε şi cu pseudopulsaţia 22 εω −= np . Procedând aşa cum s-a arătat la începutul paragrafului, ecuaţiile traiectoriilor de fază se pot exprima sub forma:
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++=
+2
222 2ln
2 pxyyxPCtg
pxxy nnn εωω
εεω
(4.23)
care sunt transcendente. Reprezentând, în planul fazelor, graficele ecuaţiile implicite (4.23) prin puncte, pentru diferite valori ale constantei adimensionale C, se obţin traiectoriile de fază sub forma unor spirale (fig. 4.4.). Punctul singular corespunzător se numeşte focar stabil. Fig. 4.4. e) Dacă un sistem liniar ar avea ecuaţia specifică de mişcare de forma: 02 2 =+− qqq nωε (4.24) în care ε şi nω sunt constante pozitive şi nωε ≥ , legile de mişcare şi traiectoriile de fază se determină ca şi în cazul c), înlocuind în ecuaţiile (4.20) sau (4.21) pe ε cu ε− . Traiectoriile de fază rezultă de aceeaşi formă cu cele din fig. 4.3., dar au altă poziţie în planul fazelor faţă de punctul singular, iar punctul reprezentativ se îndepărtează de punctul singular pe oricare din ele (fig. 4.5.). Acest punct singular se numeşte punct instabil. Fig. 4.5.
145
f) Vibraţiile unui sistem liniar, descrise de ecuaţia (4.24), în care nωε < , se studiază ca şi în cazul d). Legea de mişcare se obţine de forma: ( )γε += pteCq t cos1 (4.25) în care 1C şi γ sunt constante de integrare. Legea de mişcare (4.25) reprezintă o vibraţie neperiodică şi instabilă, modulată în amplitudine printr-o funcţie exponenţială crescătoare în timp. Astfel de mişcări nu se pot obţine pentru sisteme liniare, ele pot apărea în sisteme neliniare, având caracteristica de amortizare neliniară. Această observaţie stă la baza explicării apariţiei autovibraţiilor la unele sisteme mecanice reale, întâlnite în alicaţii. Pe baza legii de mişcare (4.25), se obţine ecuaţia traiectoriilor de fază, care rezultă de forma (4.23) cu ε− în loc de ε . Ca urmare, traiectoriile de fază au forma tot a unor spirale, iar punctul singular se numeşte focar instabil (fig. 4.6.) Fig. 4.6.
4.4. Metoda exactă pentru studiul vibraţiilor neliniare pentru sisteme conservative
Se consideră un sistem mecanic neliniar cu un singur grad de libertate, a cărui ecuaţie specifică de mişcare este de forma (4.3). Înmulţind această ecuaţie cu dq şi integrând de la momentul iniţial 00 =t al mişcării până la un moment oarecare t, se obţine:
( ) .21
00
2 constEdqqfqQ
==+ ∫ (4.26)
unde primul termen reprezintă energia cinetică specifică a sistemului, al doilea termen este energia sa potenţială specifică, iar 0E este energia mecanică specifică iniţială, imprimată sistemului. Deoarece ecuaţia (4.26) reprezintă teorema de conservare a energiei mecanice pentru sistemul mecanic considerat, rezultă că acesta este conservativ. Notând cu ( )qEp energia potenţială specifică a sistemului, din ecuaţia (4.26) se obţine: ( )[ ] ( )qFtEEq p ±=−±= 02 (4.27)
Ţinând seama de (4.11), rezultă că, pe baza ecuaţiei (4.27), se pot construi traiectoriile de fază pentru sistemul considerat, care sunt de forma (4.14), rolul constantei de integrare fiind îndeplinit de 0E . Ca şi din analiza acestor traiectorii de fază, pe baza ecuaţiei (4.27) se pot stabili unele proprietăţi ale mişcării sistemului, care depind de natura şi valorile rădăcinilor ecuaţiei ( ) 0=qF . Dacă determinarea analitică a acestor
146
rădăcini este dificilă, ele se pot obţine uşor grafic, intersectând diagrama funcţiei ( )qEp
cu dreapta 0EEp = . Cu diagrama funcţiei ( )qEp se pot construi şi traiectoriile de fază, prin metode grafice sau grafo – analitice.
a) Dacă ecuaţia ( ) 0=qF nu are rădăcini reale, sistemul are mişcări în acelaşi
sens şi viteza generalizată nu se anulează. Din (4.27) rezultă ( ) 0>qF tot timpul mişcării sistemului. În acest caz, mişcarea sistemului nu este vibratorie.
b) Dacă 1q este o rădăcină multiplă a ecuaţiei ( ) 0=qF , când sistemul ajunge în
poziţia 1qq = , acesta rămâne în repaus. Într-adevăr, deoarece ( ) 01 =qF , viteza generalizată corespunzătoare 1q este nulă, iar 1q fiind rădăcină multiplă, este necesar să fie îndeplinite condiţiile:
( ) ( ) ( ) 022 1
11
=−=−===
qfdq
qdEdq
qdF
p
(4.28)
astfel încât, din ecuaţia (4.3), rezultă că şi acceleraţia sa generalizată 1q este nulă. Deoarece a doua expresie din (4.28) este nulă, mai rezultă că pentru 1qq = energia potenţială a sistemului are o valoare extremă, deci aceasta este o poziţie de echilibru static a sistemului, în general, instabilă. Şi, în acest caz, mişcarea sistemului este nevibratorie. c) Pentru ca mişcarea sistemului să fie vibratorie, în acest caz, ea fiind şi periodică, este necesar ca energia mecanică iniţială să aibe o valoare astfel încât să imprime sistemului mişcarea între două poziţii 1q şi 2q , care trebuie să fie rădăcini reale, simple şi distincte ale ecuaţiei ( ) 0=qF . Într-adevăr, când sistemul ajunge în poziţia
1qq = , conform ecuaţiei (4.27) viteza sa generalizată se anulează, sistemul îşi schimbă sensul de mişcare, iar când ajunge în poziţia 2qq = , din nou se anulează viteza generalizată şi sistemul revine în poziţia 1qq = . În continuare, toate elementele mişcării sistemului se repetă periodic în timp. Pentru ilustrarea acestor proprietăţi ale mişcării sistemului considerat, în fig. 4.7. s-au reprezentat traiectoriile de fază corespunzătoare mişcărilor unui pendul matematic de lungime l, care are ecuaţia diferenţială specifică de mişcare neliniară, de forma (4.3).
147
Fig. 4.7. Energia potenţială specifică a pendulului matematic are expresia:
( ) ( )qdqqqEq
p cos1sin 20
0
20 −=⋅= ∫ ωω (4.29)
unde lg=0ω este pulsaţia proprie a micilor oscilaţii ale pendulului. Cu expresia (4.29) înlocuită în (4.27), se analizează cazurile de mişcare ale pendulului matematic, în funcţie de valoarea adimensională 2
00 ωχ EE = a energiei mecanice specifice iniţiale. Se regăsesc, astfel, proprietăţile prezentate mai sus, care rezultă şi din analiza traiectoriilor de fază din fig. 4.7. De asemenea, din fig. 4.7. se observă că, în jurul punctelor singulare, traiectoriile de fază au forme foarte apropiate cu cele ale punctelor singulare de tip centru şi şea de la sistemele mecanice liniare. Revenind la ecuaţia generală (4.27), aceasta are variabilele separabile şi se mai poate integra odată, sub forma:
( )∫ ±=q
q qFdqt
0
(4.30)
unde 0q determină poziţia iniţială a sistemului. Dacă funcţia care se obţine din (4.30) este inversabilă, se determină legea de mişcare a sistemului ( )tqq = . De asemenea, dacă sunt îndeplinite condiţiile ca mişcarea sistemului să fie vibratorie, exprimate în proprietatea c), considerând 12 qq > , se poate determina perioada mişcării:
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ =−
+=2
1
2
1
1
2
2q
q
q
q
q
q qFdq
qFdq
qFdqT (4.31)
În expresia dată de relaţia (4.27) a funcţiei ( )qF , care reprezintă dublul energiei cinetice specifice a sistemului, apar condiţiile iniţiale ale mişcării prin 0E . De asemenea,
1q şi 2q se determină ca rădăcini ale ecuaţiei ( ) 0=qF , deci şi acestea depind de condiţiile iniţiale. Ca urmare, din (4.31) rezultă că, spre deosebire de sistemele liniare, în cazul sistemelor neliniare conservative perioada vibraţiilor libere depinde de condiţiile
iniţiale. Considerând amplitudinea 2
12 qqA −= a acestor vibraţii, se acceptă că perioada
T a vibraţiilor libere şi pulsaţia fundamentală corespunzătoare Tπω 2
= sunt funcţii de
această amplitudine. În cazul sistemelor mecanice neliniare de tipul considerat, întâlnite în aplicaţii, integralele din (4.30) şi (4.31) nu se pot efectua cu ajutorul funcţiilor analitice, conducând, în general, la integrale eliptice. Ca urmare, deşi metoda de studiu prezentată se numeşte exactă, pentru efectuarea acestor integrale se folosesc metode numerice de integrare, care presupun un anumit grad de aproximare.
148
4.5. Metoda liniarizării echivalente Metoda liniarizării echivalente se foloseşte tot la studiul vibraţiilor libere ale sistemelor neliniare conservative. În general, prin liniarizare echivalentă a unui sistem neliniar se înţelege determinarea parametrilor dinamici ai unui sistem liniar, din condiţia ca acesta să aibe o comportare dinamică cât mai apropiată de cea a sistemului neliniar. Desigur, rezolvarea acestei probleme pentru un sistem neliniar complex nu este posibilă, datorită comportării dinamice total diferită a acestuia faţă de comportarea dinamică a oricărui sistem liniar. Chiar şi în cazul unui sistem neliniar conservativ, care are vibraţii libere, liniarizarea sa echivalentă nu dă rezultate satisfăcătoare în toate cazurile, apărând diferenţe mari între comportarea sa dinamică şi cea a sistemului liniarizat. În aceste cazuri, se folosesc metode de liniarizare pe porţiuni a sistemului neliniar considerat. În cazul sistemului neliniar cu ecuaţia de mişcare (4.3), problema liniarizării sale echivalente constă în determinarea pulsaţiei proprii nω a sistemului liniar echivalent. Una din metodele de liniarizare echivalentă se bazează pe condiţia ca energiile potenţiale ale celor două sisteme echivalente, pentru aceeaşi deformaţie a elementelor elastice Aq = ,
să fie egale. Deoarece forţa elastică specifică a sistemului liniar este qn2ω , această
condiţie conduce la ecuaţia:
( )∫ ∫ =⋅=A
n
A
n Adqqdqqf0
22
0
2
21ωω (4.32)
de unde rezultă:
( )∫=A
n dqqfA 0
22 2ω (4.33)
De asemenea, pentru liniarizarea pe porţiuni a sistemului neliniar considerat, pulsaţia proprie iω , pe porţiunea i a caracteristicii elastice neliniare ( )Ni∈ , se obţine din relaţia:
( ) ( )( )∫−−
=iA
Aii dqqf
Ai 12
2
122ω (4.34)
Rezultatele mai bune se obţin cu metoda lui Blaquiere de liniarizare optimă
echivalentă. Conform acestei metode, pentru liniarizarea echivalentă pe porţiunea de la 0=q până la Aq = , se calculează o eroare e în timpul mişcării celor două sisteme de la 0=q până la Aq = , având aceeaşi durată T, exprimată de diferenţa dintre forţele
elastice specifice ale celor două sisteme, sub forma: ( )qfqe n −== 2ω (4.35) Se pune condiţia ca eroarea pătratică medie corespunzătoare, care este:
149
( )[ ] dttfqT
dteT
T T
n∫ ∫ −=0 0
222 11 ω
(4.36) să fie minimă. Considerând ca parametru de minimalizare a expresiei (4.36) valoarea 2
nω căutată, din condiţia de minim a acestei expresii rezultă succesiv:
( )[ ] 0220
2
0 02
22 =−=
∂∂
=∂∂
∫∫ ∫ dtqfqqdteedteT
n
T T
nn
ωωω
(4.37)
astfel încât se obţine:
( )
∫
∫= T
T
n
dtq
dtqqf
0
2
02ω (4.38)
Pentru efectuarea integralelor din (4.38), ar fi necesar să se cunoască legile de
mişcare ale ambelor sisteme, care nu sunt identice. Considerând că sistemul neliniar are o lege de mişcare foarte apropiată de cea a sistemului liniar, care este de forma:
tAq nωsin= , efectuând integralele pentru n
Tωπ2
= , din (4.38) rezultă:
( )dttAftA n
T
nn ωωω sinsin2
0
2 ⋅= ∫ (4.39)
4.6. Metoda variaţiei lente a amplitudinii şi a fazei iniţiale Această metodă se poate aplica pentru studiul vibraţiilor libere neliniare. În primul rând, funcţia neliniară f, din ecuaţia de mişcare de forma (4.2), se dezvoltă în serie de puteri, luându-se în considerare numai termenii liniari, astfel încât se obţine:
( ) ( ) ( )qqfqfq
qfqfqqf
,0,0, 1
00
00
μ+∂∂
+∂∂
+===
==
(4.40)
unde 1fμ este restul acestei dezvoltări în serie, iar factorul constant μ se consideră un parametru mic. Folosind notaţiile:
00
20
==∂
∂=
qqq
fω , 00
02==∂
∂=
qqq
fε (4.41)
150
şi ştiind că ( ) 00,0 =f , deoarece poziţia 0=q se consideră o poziţie de echilibru static a sistemului, cu expresia (4.40), ecuaţia (4.2) devine: ( ) 0,2 1
200 =+++ qqfqqq μωε (4.42)
În al doilea rând, pentru o primă aproximaţie a soluţiei exacte a ecuaţiei (4.2), sau a ecuaţiei (4.42), se consideră 00 =ε . În această condiţie, dacă 0=μ soluţia generală a ecuaţiei (4.42) ar fi: ( ) ψϕω coscos 2
0 AtAq =+= (4.43) unde A şi ϕ sunt constante de integrare. Deoarece 0≠μ , se consideră că amplitudinea A şi faza iniţială ϕ sunt funcţii de timp, care se determină din condiţia ca soluţia (4.43) să verifice ecuaţia diferenţială (4.42). Pentru aceasta, se calculează viteza generalizată: ψωψϕψ sinsincos 0AAAq −−= (4.44) şi se impune condiţia suplimentară: 0sincos =− ψϕψ AA (4.45) astfel încât viteza generalizată devine: ψω sin0Aq −= (4.46) În continuare, din (4.46), se calculează acceleraţia generalizată: ψωψωϕψω coscossin 2
000 AAAq −−−= (4.47) care se înlocuieşte în (4.42), împreună cu (4.43) şi (4.46). După reducerea termenilor asemenea, se obţine: ( )ψωψμψωϕψω sin,coscossin 0100 AAfAA −=+ (4.48) În final, din (4.45) şi (4.48), rezultă:
( )ψωψωψμ sin,cossin
010
AAfA −=
( )ψωψωψμ sin,coscos
010
AAfA
A −= (4.49)
Sistemul de ecuaţii diferenţiale (4.49) este, în general, greu de integrat. Se observă
că, dacă 0=μ , A şi ϕ sunt nule, adică A şi ϕ sunt constante. Se poate presupune că, dacă parametrul μ este suficient de mic, funcţiile de timp A şi ϕ variază foarte lent,
astfel încât ele să fie constante într-o perioadă 0
02ωπ
=T . Ca urmare, în locul valorilor
instantanee ale derivatelor A şi ϕ , se pot considera valorile lor medii într-o perioadă 0T , adică:
( )dtAAfA ψωψψπμ ω
π
sin,cossin2 01
2
00 −= ∫
151
( )dtAAfA
ψωψψπμϕ ω
π
sin,coscos2 01
2
00 −= ∫ (4.50)
Cu schimbarea de variabilă τω =t0 şi înlocuind ϕτψ += , expresiile (4.50) devin:
( ) ( ) ( )[ ] τϕτωϕτϕτπωμ π
dAAfA +−++= ∫ sin,cossin2 01
2
00
( ) ( ) ( )[ ] τϕτωϕτϕτπωμϕ
πdAAf
A+−++= ∫ sin,coscos
2 01
2
00
(4.51)
Deoarece, în integralele din (4.51), A şi ϕ sunt constante, aceste integrale se pot efectua mai uşor, astfel încât, după efectuarea lor, se obţine un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, de forma: ( )ϕ,1 AFA = , ( )ϕϕ ,2 AF= (4.52) din care se determină funcţiile necunoscute ( )tA şi ( )tϕ . Cele două constante de integrare care apar se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării sistemului, impuse pentru soluţia (4.43), în care se înlocuiesc expresiile ( )tA şi ( )tϕ obţinute din (4.52). Se observă că, în general, mişcarea sistemului rezultă ca o vibraţie modulată atât în amplitudine, cât şi în frecvenţă, iar pseudopulsaţia instantanee ϕωψϕ +== 0 depinde de condiţiile iniţiale. Pentru o mai bună aproximaţie a soluţiei exacte a ecuaţiei (4.42), se ia în considerare şi factorul de amortizare 00 ≠ε , iar soluţia generală a acestei ecuaţii pentru
0=μ , se exprimă sub forma: ( )ϕε += − ptAeq t cos0 (4.53)
unde 20
20 εω −=p , 00 εω > , A şi ϕ fiind constante de integrare.
Pentru 0≠μ , în mod analog, se consideră A şi ϕ ca funcţii de timp lent variabile, care se determină la fel, din condiţia ca (4.53) să verifice ecuaţia diferenţială (4.42). În locul relaţiilor (4.49) se obţine:
( )[ ]ψψεψψμ εεε sincos,cossin01
000 pAeAefep
A ttt +−= −−
( )[ ]ψψεψψμϕ εεε sincos,coscos01
000 pAeAefepA
ttt +−= −− (4.54)
ajungându-se, în mod analog, la un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi de forma (4.52). Aproximaţii şi mai bune se pot obţine, determinând aproximaţii succesive ale soluţiei exacte a ecuaţiei (4.42), considerând, din nou, constantele de integrare ale sistemului (4.52) ca funcţii lent variabile de timp.
4.7. Metoda parametrului mic
152
Metoda parametrului mic este o metodă generală, foarte frecvent utilizată în aplicaţii, pentru studiul vibraţiilor neliniare, atât libere, cât şi forţate. Aceasta este o metodă iterativă, cu ajutorul ei determinându-se aproximaţii succesive ale soluţiei exacte a ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării unui sistem mecanic neliniar. Pentru prezentarea metodei, se consideră vibraţiile libere ale unui sistem mecanic neliniar cu un singur grad de libertate, având ecuaţia specifică de mişcare de forma (4.2), care, întotdeauna, se poate aduce la forma (4.42). Considerând μ ca parametru mic, soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.42) se ia sub forma unei serii întregi de puteri ele acestui parametru, coeficienţii fiind funcţii de timp necunoscute, care se determină din condiţia ca această soluţie să verifice ecuaţia diferenţială. Ca urmare, soluţia considerată este de forma: ( ) ( ) ( ) …+++= tqtqtqq 3
221 μμ (4.55)
în care 1q este prima aproximaţie a soluţiei exacte sau soluţia generatoare, iar ,,, 32 …qq sunt aproximaţiile sale succesive, de ordinul doi, trei, etc. Impunând condiţia ca (4.55) să verifice ecuaţia diferenţială (4.42), se obţine:
( ) ( )
( ) 0,
2
32
2132
211
32
21202103
221
=+++++++
+++++++++++
……………
qqqqqqf
qqqqqqqq
μμμμμ
μμωμεμμ
(4.56) Deoarece μ este parametru mic, funcţia neliniară 1f se poate dezvolta în serie de puteri, după puterile lui μ , sub forma:
( )
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
∂∂∂
+∂∂
+
+⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+=
==
==
==
==
==
11
11
11
11
11
12
2221
223
21
223
212
121111
2
!21,
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqqq
qqf
qqqf
q
qf
qqf
qqf
qqqff μμ
(4.57)
Înlocuind (4.57) în (4.56) şi efectuând identificarea coeficienţilor ecuaţiei care
rezultă după puterile parametrului μ , se obţin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, de ordinul doi, fiecare din ele având o singură funcţie de timp necunoscută, exprimată de una din aproximaţiile căutate ale soluţiei exacte, care se integrează succesiv. Aceste ecuaţii diferenţiale rezultă de forma:
02 120101 =++ qqq ωε
( )taqqq 1220202 2 −=++ ωε
( )taqqq 2320303 2 −=++ ωε (4.58)
153
unde ( )tai sunt coeficienţii lui 1−iμ din (4.57), care sunt cunoscuţi ca funcţii de timp, în urma integrării ecuaţiilor diferenţiale anterioare. Constantele de integrare care rezultă, în urma integrării acestor ecuaţii diferenţiale, se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării pentru soluţia generatoare, iar pentru toate celelalte aproximaţii succesive se impun condiţii iniţiale nule. Dacă în ecuaţia (4.42), din a doua relaţie (4.41), se obţine 00 =ε , din prima ecuaţie (4.58) rezultă soluţia generatoare 1q de forma (4.43). În acest caz, în membrul drept al celei de a doua ecuaţii diferenţiale din (4.58) apar termeni ce conduc la rezonanţa sistemului mecanic, numiţi termeni seculari sau de rezonanţă. Dar la sistemele neliniare nu este posibilă apariţia fenomenului de rezonanţă nici dacă acestea au vibraţii forţate, astfel încât aceşti termeni seculari trebuie să fie eliminaţi. Pentru aceasta, se ţine seama de faptul că perioada sau pseudoperioada vibraţiilor libere ale sistemelor neliniare depind de condiţiile iniţiale ale mişcării, deci de amplitudinea maximă A a acestor vibraţii. Ca urmare, pătratul pulsaţiei instantanee sau al pseudopulsaţiei corespunzătoare 2ω se poate dezvolta în serie de puteri întregi ale parametrului mic μ , sub forma:
( ) ( ) …+++= AbAb 22
120
2 μμωω (4.59)
în care coeficienţii ib ai lui ( )…,2,1, =iiμ trebuie să fie determinaţi ca funcţii de amplitudinea A, astfel încât să se elimine termenii seculari. Înlocuind în ecuaţia (4.42), în care 00 =ε , valoarea 2
0ω din (4.59), în locul ecuaţiilor (4.58) se obţin ecuaţiile:
012
1 =+ qq ω ( ) ( )taqAbqq 1112
22 −=+ω
( ) ( ) ( )taqAbqAbqq 2122132
3 −+=+ω (4.60) din care se determină succesiv aceşti coeficienţi, după care ω rezultă din (4.59). Convergenţa metodei parametrului mic, deci numărul de aproximaţii succesive necesare pentru a obţine o precizie acceptabilă de calcul, depinde foarte mult de valoarea numerică a parametruluiμ . În general, metoda este convergentă dacă valoarea
adimensională a lui μ , care se poate exprima prin ( )
20
10
0,ω
μμ
AAf
= , este subunitară.
Pentru ca metoda să fie rapid convergentă, deci pentru a avea nevoie de un număr mic de aproximaţii succesive, este necesar ca această valoare adimensională 0μ să fie mult mai mică decât unitatea. Dacă această condiţie nu este îndeplinită, se creează artificial un parametru mic, utilizând în ecuaţia diferenţială (4.42) o schimbare de variabilă, în general, sub una din formele: t0ωτ = , ( ) ( ) tetutq λ−= , ( ) ( )tutq λ= (4.61) unde λ este o constantă pozitivă, aleasă adecvat.
4.8. Metoda balanţei armonice
154
Această metodă se poate utiliza, dacă mişcarea unui sistem mecanic neliniar este foarte apropiată de o vibraţie periodică, a cărei perioadă T este cunoscută. Metoda balanţei armonice se bazează pe observaţia că, dacă mişcarea unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate este o vibraţie periodică, aceasta se poate descompune în serie Fourier, dar, în locul seriei infinite, se consideră un număr finit de termeni, începând cu armonica fundamentală de pulsaţie Tπω 2= . Cel mai frecvent, metoda balanţei armonice se foloseşte pentru studiul vibraţiilor forţate ale sistemelor neliniare. Considerând un astfel de sistem mecanic, de exemplu, cu ecuaţia specifică de mişcare de forma generală (4.6), se presupune că forţa specifică perturbatoare este armonică, de forma: ( ) tPtP ωsin0= (4.62) iar funcţia ( )qqtf ,, , dacă depinde explicit de timp, se presupune periodică în raport cu variabila independentă t, având perioada ωπ2=T , sau un multiplu întreg al acesteia. În primul rând, funcţia f se dezvoltă în serie Fourier în raport cu timpul, păstrând, de asemenea, un număr finit de termeni, exprimându-se sub forma:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
++=n
iii tiqqBtiqqAqqAqqtf
10 sin,cos,,
21,, ωω (4.63)
În continuare, se consideră că vibraţia forţată a sistemului este periodică, cu aceeaşi perioadă T, astfel încât soluţia ecuaţiei (4.6) se poate dezvolta în serie Fourier, sub forma:
( ) ( )∑=
+=n
jjj tjDtjCtq
1sincos ωω (4.64)
unde jC şi jD sunt constante necunoscute, care se determină din condiţia ca soluţia considerată să verifice ecuaţia diferenţială. Înlocuind (4.63) şi (4.64) în ecuaţia (4.6), se obţine:
( ) ( )
( ) { ( )
( ) ( )
( ) tFtitjDtjCj
tjDtjCBtitjDtjCj
tjDtjCAtjDtjCj
tjDtjCAtjDtjCj
jj
n
j
n
jjjijj
n
j
n
jjj
n
iijj
n
j
n
jjj
n
jjj
ωωωωω
ωωωωωω
ωωωωω
ωωωωω
sinsincossin
,sincoscoscossin
,sincoscossin
,sincos21sincos
01
11
111
10
1
22
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎥⎦
⎤+−
⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤+−
⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤+−
⎢⎣
⎡+++−
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑
=
==
===
==
(4.65) Toate funcţiile de funcţii din (4.65), fiind periodice, se dezvoltă în serie Fourier, după care, transformând în sume toate produsele de funcţii trigonometrice sin şi cos, în membrul stâng al ecuaţiei (4.65) apar numai termeni armonici. Neglijând termenii care au pulsaţia mai mare decât ωn şi identificând coeficienţii funcţiilor sin tkω şi cos tkω
155
( )nk ,,1…= din cei doi membrii ai acestei ecuaţii, se obţine un sistem algebric de 2n ecuaţii, din care se determină cele 2n necunoscute din soluţia (4.64). Dacă forţa perturbatoare specifică are două componente armonice, fiind de forma: ( ) tPtPtP oo 2211 sinsin ωω += (4.66) soluţia ecuaţiei diferenţiale (4.6) trebuie să fie căutată pentru această forţă perturbatoare în ansamblu. Într-adevăr, datorită neliniarităţii sistemului, dacă ecuaţia (4.6) are o soluţie
1q , pentru prima componentă din (4.66) şi o altă soluţie 2q pentru cealaltă componentă, suma lor 21 qq + nu este soluţie a acestei ecuaţii pentru forţa perturbatoare dată de (4.66).
4.9. Metoda lui Ritz
Metoda lui Ritz, utilizată frecvent pentru rezolvarea problemelor de valori de frontieră în mecanica corpurilor elastice continue, se poate folosi, cu bune rezultate, şi pentru studiul vibraţiilor neliniare ale sistemelor mecanice cu un număr finit de grade de libertate. Principiul metodei constă în faptul că, o funcţie de timp necunoscută, considerată ca o coordonată generalizată din soluţia ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării, se aproximează printr-o combinaţie liniară a unor funcţii de timp cunoscute, iar coeficienţii constanţi necunoscuţi ai acesteia se determină din condiţia ca soluţia considerată să verifice sistemul de ecuaţii diferenţiale, precum şi din condiţia de minim a erorilor medii pătratice, care apar în urma aproximărilor efectuate. Pentru exemplificarea metodei, se consideră un sistem mecanic neliniar conservativ cu un singur grad de libertate, având ecuaţia specifică de mişcare de forma (4.3). Soluţia sa se aproximează prin:
( ) ( )tCtq j
n
jjψ∑
=
=1
(4.67)
unde funcţiile cunoscute de timp jψ sunt alese adecvat. Dacă se impune ca (4.67) să verifice ecuaţia diferenţială (4.3), rezultatul înlocuirii nu este nul în orice moment de timp al mişcării, astfel încât apare o eroare e, exprimată prin:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑∑
==
n
jjjj
n
jj CfCte
11
ψψ (4.68)
Dacă se consideră un interval de timp T în care se aproximează soluţia exactă prin (4.67), eroarea medie pătratică corespunzătoare este dată de expresia:
( ) dtCfCT
dtteT
T n
jjj
n
jjj
T 2
0 110
2 11∫ ∑∑∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
==
ψψ (4.69)
Condiţiile de minim ale expresiei (4.69) conduc la ecuaţiile:
156
0
22
1
0 1100
2
1
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
=∂∂
∑
∫ ∑∑∫∫
= =
==
=
dtdqdf
CfCdtCeedte
C
n
j Cqjj
T n
jjj
n
jjj
T
j
T
j
n
jjjψ
ψψ
ψψ
nj ,,1…= (4.70)
care formează unu sistem de n ecuaţii algebrice, din care se determină necunoscutele jC . Metoda lui Ritz este generală, fiind aplicabilă pentru orice sistem neliniar. În cazul vibraţiilor forţate ale unui sistem neliniar, pentru aplicarea metodei lui Ritz, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării trebuie să fie scrise cu toţi termenii într-unul din cei doi membrii, sub forma dată de aplicarea principiului lui d'Alembert. Această metodă se poate utiliza şi ca o metodă iterativă, determinănd aproximaţii succesive ale soluţiei exacte. Precizia calculelor depinde de alegerea iniţială a funcţiilor de timp iψ şi a intervalului de timp T în care se efectuează minimalizarea erorilor medii pătratice.
4.10. Autovibraţii produse de frecarea uscată
În anumite regimuri de funcţionare ale maşinilor- unelte pentru prelucrarea prin aşchiere a unor piese, pot să apară autovibraţii ale sculelor aşchietoare, produse de forţa de frecare uscată dintre sculă şi piesa de prelucrat. Dacă amplitudinile acestor autovibraţii sunt mari, acestea au un efect dăunător asupra calităţii suprafeţei de prelucrat a piesei, astfel încât aceste regimuri de funcţionare ale maşinilor – unelte trebuie să fie evitate. Se consideră un strung aflat într-un regim de funcţionare pentru prelucrarea prin aşchiere a unei piese cilindrice. Modelul mecanic pentru ansamblul cuţit de strung – piesă de prelucrat se poate considera ca în fig. 4.8., în care parametrul de poziţie x al vârfului cuţitului este măsurat din poziţia de echilibru static a sistemului. Fig. 4.8. Fig. 4.9. Ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului este: rsignvRkxxcxm ⋅=++ (4.71)
157
în care NR ⋅= μ este valoarea absolută a forţei de frecare dintre cuţit şi piesă, iar xuvr −= este viteza relativă dintre vârful cuţitului şi punctul teoretic de contact de pe
periferia piesei de prelucrat, care are viteza periferică u constantă. Chiar dacă μ din expresia forţei de frecare R este considerat constant, datorită caracterului neliniar al funcţiei ( )xusign − , caracteristica de amortizare a sistemului este neliniară, deşi ecuaţia diferenţială (4.71) este liniară în intervalele de timp în care rv păstrează semnul constant. Ca urmare, şi în acest caz pot să apară autovibraţii, ceea ce se observă din analiza traiectoriilor de fază, reprezentate în fig. 4.10., în care 0=c şi
mkn =ω . Se observă că apare un ciclu limită semistabil, din care se determină amplitudinile autovibraţiilor. Fig. 4.10. Fig. 4.11. În cazul sistemelor mecanice reale, coeficientul de frecare uscată μ nu este constant, el depinzând de viteza relativă rv ca în fig. 4.9. Dezvoltând forţa de frecare R în serie de puteri, după puterile întregi ale vitezei x, în jurul vitezei relative ( )0== xuvr , şi păstrând numai termenii liniari, sub forma:
( ) ( ) ( ) xuN
NuNtgxNudvdRxuRR
uvrr
0μμαμ +=−=−==
(4.72)
ecuaţia diferenţială devine:
( ) ( )xusignNukxxuN
cxm −⋅=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ μ
μ0 (4.73)
Din ecuaţia (4.73) rezultă că, pentru valori foarte mici ale coeficientului de
amortizare vâscoasă c, factorul echivalent de amortizare mu
Nuch
20μ−= poate să devină
negativ. Ca urmare, amplitudinile vibraţiilor sistemului cresc în timp, până când, în planul fazelor, traiectoriile de fază ajung într-un ciclu limită stabil (fig. 4.11.). Din fig. 4.9. şi fig. 4.11. se observă că amplitudinile autovibraţiilor produse de frecarea uscată, sunt cu atât mai mari, cu cât viteza periferică u a piesei de prelucrat este mai mică.
4.11. Ecuaţia lui Duffing
158
Ecuaţia specifică de mişcare de forma: tPqqq ωμω cos0
320 =++ (4.74)
numită ecuaţia lui Duffing, descrie vibraţiile forţate neamortizate ale unui sistem mecanic neliniar, având caracteristica elastică tare. Cea mai mare parte din elementele elastice, întâlnite în aplicaţiile tehnice, nu au o caracteristică elastică liniară, decât în cazul micilor deformaţii elastice, ci au o astfel de caracteristică elastică neliniară tare, descrisă de forţa elastică specifică de valoare 32
0 qq μω + . Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei (4.74), se foloseşte metoda balanţei armonice. Dacă μ este un parametru mic, cea mai mare pondere în vibraţia forţată a sistemului este dată de armonica fundamentală, astfel încât soluţia ecuaţiei (4.74) se consideră de forma: ( )ϕω += tAq cos (4.75) Înlocuind (4.75) în (4.74) şi ţinând seama de identitatea:
( ) ( ) ( )ϕωϕωϕω +++=+ ttt 3cos41cos
43cos3 (4.76)
se obţine:
( ) ( ) ( ) tPtAttAA ωϕωμωϕωϕωωμ cos3cos4
sinsincoscos4
30
322
0
3
=++−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+ (4.77
)
Neglijând ultimul termen din membrul stâng şi identificând coeficienţii funcţiilor tωcos şi tωsin din cei doi membrii ai ecuaţiei (4.77), rezultă:
( ) 022
0
3
cos4
3 PAA=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+ ϕωωμ
( ) 0sin4
3 220
3
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+ ϕωωμ AA
(4.78)
Deoarece 00 ≠P , expresia dintre parantezele mari a primei ecuaţii (4.78) nu poate fi nulă, astfel încât, din a doua ecuaţie, se obţine 0=ϕ sau πϕ = . Ca urmare, amplitudinea A a vibraţiilor forţate se determină din ecuaţia algebrică de gradul trei de forma:
( ) 04
30
220
3
=±−+ PAA ωωμ
(4.79) în care se ia semnul + sau – înaintea lui 0P astfel încât să rezulte 0>A pentru rădăcinile reale, care pot fi în număr de una sau trei.
159
În fig. 4.12. s-a reprezentat, pe baza ecuaţiei (4.79), graficul amplitudinii A a vibraţiilor forţate în funcţie de pulsaţia ω a forţei perturbatoare. Fig. 4.12. Acest grafic se numeşte diagrama de rezonanţă a sistemului mecanic neliniar considerat, deşi, pentru pulsaţiiω finite, nu pot apărea amplitudini ale vibraţiilor forţate care să tindă spre infinit, chiar şi în absenţa forţelor de amortizare. În acest caz, diagrama de rezonanţă este constituită din trei ramuri, la ramurile 1 şi 3 corespunzând mişcări stabile ale sistemului în timp ce la ramura 2, reprezentată cu linie întreruptă, corespund mişcări instabile. Abscisa ω′ a punctului ce separă ramurile 2 şi 3 este dată de intersecţia graficului cu hiperbola:
220
2
49 Aμωω += (4.80)
reprezentată în fig. 4.12. prin curba 4. În cazul în care se consideră un factor de amortizare foarte mic în sistem, caz întâlnit frecvent în aplicaţii, diagrama de rezonanţă rezultă foarte apropiată de cea corespunzătoare vibraţiilor forţate neamortizate, dar ramurile 1 şi 2 sunt limitate printr-o racordare 5. Abscisa ω ′′ a punctului de pe această racordare, care separă punctele de pe ramura 1, la care le corespund mişcări stabile, de punctele de pe ramura 2, la care le corespund mişcări instabile, depinde foarte mult de valoarea numerică a factorului de amortizare vâscoasă. Considerând cazul real întâlnit în aplicaţii, în care în sistem există amortizare, caracterizată printr-un factor de amortizare vâscoasă foarte mic, din diagrama de rezonanţă din fig. 4.12., rezultă unele proprietăţi importante ale vibraţiilor forţate ale sistemelor neliniare. a) În cazul vibraţiilor forţate neliniare, pentru valori finite ale pulsaţiei forţei perturbatoare, nu poate apărea fenomenul de rezonanţă, chiar dacă forţele de amortizare sunt neglijabile. b) Starea mecanică a unui sistem mecanic neliniar, la un moment dat în timpul vibraţiilor sale forţate, depinde de starea anterioară a sistemului. Într-adevăr, pentru pulsaţiiω ale forţei perturbatoare, cuprinse între ω′ şi ω ′′ , amplitudinea vibraţiilor forţate poate să corespundă ramurii 1 sau ramurii 3 din diagrama de rezonanţă, după cum s-a ajuns anterior la această stare mecanică. c) În cazul variaţiei continue în timp a pulsaţiei forţei perturbatoare, în timpul vibraţiilor forţate apar variaţii bruşte ale amplitudinii vibraţiilor forţate, numite salturi de amplitudine, care sunt caracteristice pentru sistemele neliniare. Astfel, la creşterea pulsaţiei forţei perturbatoare, amplitudinea vibraţiilor forţate creşte după ramura 1 din
160
diagrama de rezonanţă, până când se ajunge la pulsaţia ω ′′ , când apare un salt de amplitudine, de la amplitudini mari de pe ramura 1 la amplitudini mici de pe ramura 3, aşa cum este indicat prin săgeată în fig. 4.12. De asemenea, la micşorarea pulsaţiei forţei perturbatoare, amplitudinea vibraţiilor forţate creşte după ramura 3 din diagrama de rezonanţă, până când se ajunge la pulsaţia ω′ , când are loc saltul de amplitudine la amplitudinile mari de pe ramura 1. Rezultă că valorile ω′ şi ω ′′ sunt valori critice ale pulsaţiei forţei perturbatoare, la care apare fenomenul de bifurcaţie, fenomen caracteristic pentru comportarea dinamică a sistemelor neliniare.
4.12. Vibraţii parametrice Vibraţiile parametrice ale unui sistem mecanic cu un singur grad de libertate se studiază pe baza ecuaţiei lui Hill, de forma (4.10). Un caz particular al acestei ecuaţii, asupra căruia s-au făcut numeroase studii, este ecuaţia lui Mathieu, de forma: ( ) 0cos =++ qtq ωβα (4.81) care are excitaţia parametrică armonică, α şi β fiind constante cunoscute cu dimensiunea corespunzătoare pătratului unei pulsaţii. În cazul ecuaţiei (4.10) a lui Hill, excitaţia parametrică ( )tP nu este armonică, dar este periodică, având perioada T şi pulsaţia fundamentală Tπω 2= cunoscute. Funcţia ( )tP fiind periodică, ea se poate descompune în serie Fourier. Ca şi în cazul vibraţiilor
forţate ale sistemelor liniare, pentru armonica fundamentală sau pentru unii termeni armonici din această dezvoltare în serie Fourier, se pot obţine mişcări vibratorii cu amplitudine crescătoare în timp, rezultând mişcări instabile şi apărând fenomenul de rezonanţă parametrică. Pentru a se cuprinde şi problema stabilităţii sau instabilităţii mişcării, teoria matematică arată că trebuie considerate soluţii de forma: ( ) ( ) tetutq λ= (4.82) în care ( )tu este o funcţie periodică, cu aceeaşi perioadă T sau un muultiplu întreg al acesteia, iar λ este constantă. După o perioadă T, legea de mişcare devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsqtqeeTtuTtq TTt ==+=+ + λλ (4.83) ceea ce arată că mişcarea se reproduce după o perioadă înmulţită cu un factor adimensional constant s. Această proprietate este valabilă şi pentru viteza generalizată q .
Rezultă că pentru 1>s mişcarea este instabilă, iar pentru 1≤s mişcarea este stabilă, în cazul egalităţii sistemului, fiind la limita stabilităţii. Cu transformarea de variabilă independentă tωτ = , ecuaţia (4.81) a lui Mathieu se poate pune sub forma: ( ) 0cos =++′′ qq τμγ , (4.84) în care:
161
2ωαγ = , 2ω
βμ =
(4.85) iar q ′′ reprezintă derivata a doua a lui q în raport cu τ. Mişcarea unui sistem mecanic descrisă de ecuaţia (4.84) este foarte apropiată de mişcarea sistemului cu excitaţie parametrică în trepte, având ecuaţia diferenţială de forma: ( )[ ] 0cos =++′′ qsignq τμγ (4.86) sau de forma: ( )[ ] 0sin =++′′ qsignq τμγ (4.87) Considerând ecuaţia (4.87), aceasta este liniară în fiecare semiperioadă a mişcării, fiind exprimată de ecuaţiile diferenţiale liniare: ( ) 0=++′′ qq μγ pentru πτ <<0 ( ) 0=−+′′ qq μγ pentru πτπ 2<< (4.88) Soluţiile acestor ecuaţii diferenţiale sunt: ( ) τττ 12111 sincos pCpCq += , pentru πτ <<0 ( ) τττ 24232 sincos pCpCq += , pentru πτπ 2<< (4.89)
în care μγ +=1p şi μγ −=2p . Constantele de integrare din (4.89) se determină din condiţiile de continuitate ale mişcării: ( ) ( )ππ 21 qq = , ( ) ( )ππ 21 qq ′=′ (4.90) precum şi din condiţiile ca mişcarea ( )τq şi viteza generalizată ( )τq′ să se reproducă după o perioadă înmulţite cu factorul s: ( ) ( )π20 21 qsq = , ( ) ( )π20 21 qqs ′=′ (4.91) Impunând în (4.89) condiţiile (4.90) şi (4.91), se ajunge la un sistem de 4 ecuaţii algebrice, care este liniar şi omogen în raport cu cele 4 constante de integrare. Din condiţia ca determinantul acestui sistem să fie nul, pentru a avea soluţii diferite de soluţie banală, rezultă ecuaţia caracteristică de forma: ( ) 01,22 =+− μγsPs (4.92) pe baza căreia se studiază mişcările posibile ale sistemului mecanic, precum şi stabilitatea acestor mişcări. Pentru ecuaţia (4.84) a lui Mathieu, rezultatele studiilor teoretice asupra domeniilor de stabilitate şi de instabilitate ale soluţiilor sunt cuprinse în diagrama de stabilitate Ince-Strutt, care se găseşte în literatura de specialitate.
4.13. Probleme
162
4.13.1. Să se determine perioada oscilaţiilor de amplitudine finită ale pendulului matematic. Rezolvare: Funcţia ( )qF din ecuaţia (4.27), ţinând seama de (4.29), devine:
( ) ( ) ( ) ( )AqqqqqF coscos2cos1cos1212 2
0200
20
20 −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−−+= ωωω
unde 0q şi 0q exprimă condiţiile iniţiale ale mişcării, iar A este amplitudinea oscilaţiilor pendulului matematic, rezultând ca funcţie de condiţiile iniţiale ale ecuaţiei ( ) 0=qF . Aplicând formula finală (4.31), rezultă:
( ) ( ) ( )∫∫−
=−
=−
AA
A qAdq
AqdqT
022
00 2sin2sin2
coscos22
ωω
Deoarece π<A , ( ) 12sin <= Ak , astfel încât se poate efectua trasformarea de variabilă:
kuAuq==
2sin
2sin ,
2212
ukdukdq
−
⋅= ,
cu care se obţine:
( )( )∫−−
=1
0222
0 114
ukuduT
ω (1)
Integrala din membrul drept al relaţiei (1) este o integrală eliptică de prima speţă. Pentru a se efectua, se foloseşte dezvoltarea în serie de puteri:
( ) ……… +
⋅−⋅
++⋅⋅
++=−
nnukn
nukukuk
224422
22 2421231
4231
211
11
Făcând notaţia:
∫−
=1
02
2
1 uduuI
n
n , ,2,1,0=n
şi integrând prin părţi, se obţine relaţia de recurenţă:
1212
−−
= nn In
nI (2)
Deoarece 20π
=I , pe baza relaţiei (2) se obţine:
( )
nnIn 242
12312
…⋅
−⋅=π
(3)
Înlocuind lg
=0ω şi relaţiile de forma (3) în dezvoltarea în serie a integralei din
membrul drept al ecuaţiei (1), rezultă:
163
( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅−⋅
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
…… nk
nnkk
glT 2
24
22
2
2421231
4231
2112π
Deoarece 1<k , această serie este convergentă, iar dacă 1<<k , ea este rapid convergentă. În cazul micilor oscilaţii ale pendulului matematic, din această serie se poate păstra numai primul termen, obţinându-se formula cunoscută 02 ωπ=T . 4.13.2. Două arcuri elicoidale identice, fiecare de constantă elastică k şi având lungimea în stare nedeformată ( )α+= 1lL , cu masa neglijabilă, sunt legate cu unul din capetele lor în punctele fixe A şi B, iar cu celălalt capăt de un culisor de masă m. Culisorul de mişcă fără frecare pe axa fixă orizontală DH, care este situată în acelaşi plan orizontal cu punctele fixe A şi B şi este perpendiculară pe dreapta AB (fig. 4.13.). Să se traseze traiectoriile de fază în jurul punctelor singulare, corespunzătoare poziţiilor de echilibru static ale sistemului, pentru valorile: a) 5,0=α b) 0=α c) 5,0−=α Fig. 4.13. Rezolvare: Considerând parametrul de poziţie q al culisorului ca în fig. 4.13. ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului este:
( ) 0112
22=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+−+ q
qllkqm α
,
care, folosind notaţiile:
lgx = ,
mk2
0 =ω , t0ωτ =
se poate exprima prin mărimi adimensionale, sub forma:
0111
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−+′′ x
xx α
(1)
unde x ′′ reprezintă derivata a doua a lui x în raport cu τ.
164
Sistemul considerat fiind conservativ, ecuaţia (1) se poate integra odată, ajungându-se la o integrală primă de forma (4.27), în care:
( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+++−= 2222
0 11212111
212 xxExxExF αα
pe baza căreia se pot trasa traiectoriile de fază, reprezentate în fig. 4.14. Se observă că pentru 5,0=α , există trei poziţii de echilibru static, poziţiile lq 25,1±=χ , fiind stabile, iar poziţia 0== χχ xq este instabilă. Fig. 4.14. 4.13.3. Un sistem conservativ are ecuaţia specifică de mişcare:
0220 =++ qqq μω (1)
în care μ este un parametru mic. Folosind metoda parametrului mic, să se determine legea de mişcare a sistemului şi perioada oscilaţiilor sale de amplitudine finită prin trei aproximaţii succesive. Rezolvare: Înlocuind în (1): ( ) ( ) ( ) ( )tqtqtqtq 3
221 μμ ++=
( ) ( )AbAb 22
122
0 μμωω −−= se obţin ecuaţiile diferenţiale:
012
1 =+ qq ω (2) 2
11122
2 qqbqq −=+ω (3)
21122132
3 2 qqqbqbqq −+=+ω (4) din care se determină cele trei aproximaţii succesive cerute ale soluţiei exacte a ecuaţiei diferenţiale (1). Soluţia generatoare a ecuaţiei (2) se poate lua de forma: ( ) tAtq ωcos1 = (5) astfel încât soluţia ecuaţiei (3), în condiţii iniţiale nule şi pentru 01 =b , devine:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= ttAttAtq ωω
ωωω
ω2
2
2
2
2
2 cos31cos
31
322cos
61cos
31
21
(6)
Pentru a elimina termenii seculari din ecuaţia (4), 2b trebuie să aibă valoare:
165
( ) 2
2
2 65ωAAb −= (7)
astfel încât soluţia ecestei ecuaţii, în condiţii iniţiale nule, rezultă:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−= tttAtq ωωω
ω3cos
4812cos
91cos
14429
31
4
3
3 (8)
Ţinând seama de (5), (6) şi (8), legea de mişcare devine:
( )
tAtAA
tAAAAAtq
ωω
μωωμ
ωμ
ωω
μωμ
ωμ
ωμ
3cos48
2cos32
13
cos14429
31
321
4
32
22
2
4
22
222
2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
în care trebuie să se înlocuiască ω, care, ţinând seama de (7), se determină din ecuaţia:
2
2220
2
65
ωμωω A
−= (9)
Din ecuaţia (9) rezultă:
20
2240
202
65
42ωμ
ωωω <−+= A ,
μω 2
0
103
<A ,
astfel încât se determină şi perioada cerută ωπ2
=T .
4.13.4. Se consideră sistemul mecanic din fig. 4.15., format dintr-un arc elicoidal de constantă elastică k, având masa neglijabilă, şi un corp de masă m, cele două elemente fiind legate între ele, între capătul A al arcului şi punctul B aparţinând corpului, printr-un fir ideal, adică perfect flexibil, inextensibil şi de masă neglijabilă. Se presupune că sistemul se mişcă pe verticală, parametrul de poziţie x fiind măsurat din poziţia masei m în care arcul este nedeformat şi firul este întins. Să se determine perioada oscilaţiilor
sistemului cu amplitudinile: k
mgxx st =>0 .
Fig. 4.15. Răspuns:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1arccos2
2
0
0 st
st
xx
xx
kmT
166
4.13.5. Corpul de masă m are o mişcare rectilinie fără frecare pe un plan orizontal, astfel încât, după ce parcurge o distanţă 0x , într-o parte sau în cealaltă parte faţă de poziţia mediană, ajunge în contact cu capătul liber al unui arc elicoidal de constantă elastică k şi de masă neglijabilă, aşezat în poziţie orizontală după direcţia mişcării corpului (fig. 4.16.) Să se determine perioada oscilaţiilor sistemului cu amplitudini 0xA > . Fig. 4.16. Răspuns:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=1
124
0
0
xA
mk
xA
Tπ
5. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CONTINUE În primele patru capitole modelele analitice folosite au fost modele cu parametrii discreţi. Există sisteme mecanice, în care masele elementelor deformabile sunt comparabile cu masele elementelor rigide, pentru care modelul cu parametrii discreţi nu mai este satisfăcător şi pentru care se folosesc modelele sistemului continuu. În aceste modele forţele de inerţie sunt distribuite în tot volumul, iar deplasarea în mişcarea vibratorie este o funcţie continuă de punct (poziţie) şi de timp. Sistemul are un număr infinit de grade de libertate, corespunzător valorilor cu care funcţia deplasare descrie poziţia punctelor corpului.
5.1. Vibraţiile longitudinale ale barelor drepre 5.1.1. Deducerea ecuaţiei de mişcare Se consideră, pentru început, deformaţii longitudinale în lungul unei bare drepte (fig. 5.1.a.). Pentru deducerea ecuaţiei de mişcare a vibraţiei axiale, se separă un element de lungime Δx (fig. 5.1.b.). Fie ( )txu , deplasarea secţiunii transversale în lungul direcţiei axiale, ( )txq , forţa axială aplicată externă pe unitatea de lungime, ( )tuxr ,, forţa axială de frecare internă, iar ( )txN , şi ( )txxN ,Δ+ forţele axiale din cele două secţiuni ale elementului considerat. ( )xA este aria secţiunii transversale, iar ( )xρ este densitatea, adică masa unităţii de volum.
167
Fig. 5.1
Se consideră ipotezele din rezistanţa materialelor:
a) Secţiunile transversale rămân plane şi rămân perpendiculare pe axa longitudinală.
b) Materialul este din punct de vedere elastic liniar. c) Proprietăţile de material E şi ρ sunt constante într-o secţiune transversală.
Pe baza acestor ipoteze se pot scrie următoarele relaţii:
( ) ( )
xu
xtxutxxu
x ∂∂
=Δ
−Δ+=
→Δ
,,lim0
ε (5.1)
( )x
txuEE∂
∂==
,εσ (5.2)
E fiind modulul de elasticitate longitudinal şi
( ) ( ) ( )x
txuxEAtxN∂
∂=
,, (5.3)
Scriind ecuaţia de echilibru dinamic pentru elementul considerat se obţine:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
,,,,,txxAxtuxrtxNtxxNxtxq
∂∂
Δ=Δ−−Δ++Δ ρ (5.4)
unde, prin împărţire cu Δx şi trecere la limită, se obţine:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
0,,,,,lim
tuAtuxrtxq
xtxNtxxN
x ∂∂
=−+Δ
−Δ+→Δ
ρ (5.5)
sau
( ) ( ) 2
2
,,,tuAtuxrtxq
xN
∂∂
=−+∂∂ ρ (5.6)
168
Înlocuind (5.3) în (5.6) se obţine:
( ) ( ) 2
2
,,,tuAtuxrtxq
xuAE
x ∂∂
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ (5.7)
Aceasta este ecuaţia de mişcare pentru vibraţiile axiale ale unei bare liniar elastice. În multe cazuri, bara este omogenă de secţiune constantă, iar forţa de frecare se consideră proporţională cu viteza, obţinându-se ecuaţia:
( )txqAx
uctuh
tu ,12 2
22
2
2
ρ=
∂∂
−∂∂
+∂∂
(5.8)
unde:
ρEc =2
Neglijându-se frecările şi considerând ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere:
2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
(5.9)
având aceeaşi formă ca ecuaţia coardei vibrante. 5.1.2. Condiţii iniţiale şi la limită În continuare, pentru caracterizarea complet a vibraţiilor longitudinale, sunt necesare precizarea unor condiţii suplimentare. O categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile se propagă în timp din nişte condiţii iniţiale date. Pentru ecuaţia diferenţială (5.8) acestea sunt de forma:
( ) ( )xtxut
ϕ==0
, , ( ) ( )xt
txu
t
ψ=∂
∂
=0
, (5.10)
unde ( )xϕ şi ( )xψ sunt funcţii cunoscute. Cea de-a doua categorie de condiţii rezidă din faptul că soluţiile trebuie să satisfacă ecuaţia diferenţială (5.8) într-un domeniu închis de câteva condiţii de frontieră (limită) ale domeniului. Condiţiile la limită pot fi împărţite în două clase distincte, fiecare reflectând diferite tipuri de condiţii fizice. Prima clasă reflectă constângerile geometrice (deplasări, unghiuri), iar a doua clasă forţele (şi/sau momentele) de pe frontieră. În cazul vibraţiilor longitudinale, primul tip de condiţii la limită, numite şi condiţii geometrice, sunt de forma: ( ) ( )tstxu
x 10, =
= , ( ) ( )tstxux 21
, == (5.11)
unde ( )ts1 şi ( )ts2 sunt deplasări cunoscute. Pentru cel de-al doilea tip de condiţii, numite şi condiţii naturale, din (5.3) se obţine:
169
( )tNEAx
u
Lx
1=
∂∂
=
(5.12)
unde ( )tN este forţa ce acţionează la capătul Lx = . Cele mai frecvent întâlnite condiţii la limită, în cazul vibraţiilor longitudinale ale barelor, sunt:
a) Capetele încastrate (I – I) ( ) 0,
0=
=xtxu şi ( ) 0, =
=Lxtxu
(5.13)
b) Un capăt liber şi altul încastrat (L – I) ( ) 0,
0
=∂
∂
=xxtxu
şi ( ) 0, ==Lx
txu
(5.14)
c) Ambele capete libere (L – L) ( ) 0,
0
=∂
∂
=xxtxu
şi ( ) 0,
=∂
∂
=Lxxtxu
(5.15)
Pe lângă aceaste condiţii la limită, se mai întâlnesc şi cele arătate în fig. 5.2.
Fig. 5.2
Ecuaţia de mişcare pentru masa m este:
( )Lxt
umtLN=∂
∂= 2
2
, (5.16)
iar din (5.3)
( )Lxx
uEAtLN=∂
∂=, (5.17)
se obţine pentru capătul Lx = condiţia:
170
LxLx t
umxuAE
== ∂∂
=∂∂
2
2
(5.18)
Pentru cazul din fig. 5.2.b. se scrie: ( ) ( )tkutN ,0,0 = (5.19) şi folosind din nou relaţia (5.3), se obţine:
( )tkuxuAE
x
,00
=∂∂
=
(5.20)
5.1.3. Vibraţii libere longitudinale ale bazelor. Metoda separării variabilelor Deoarece se neglijează frecările şi nu există forţe exterioare care să acţioneze asupra barei, aceasta este o problemă de vibraţii libere. Se va presupune că soluţia este separabilă în timp şi spaţiu. Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că sistemul execută mişcări sincrone, adică fiecare punct al sistemului execută acelaşi tip de mişcare în timp. Se va considera soluţia ecuaţiei (5.9) de forma: ( ) ( ) ( )tTxUtxu ⋅=, (5.21) Punând condiţia ca aceasta să verifice ecuaţia (5.9), se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=′′⋅−⋅ xUtEATtTxAUρ (5.22) care se poate separa în două ecuaţii diferenţiale ordinare.
λ===′′
constTT
UUc2 (5.23)
Cele două rapoarte ale unor funcţii de variabile diferite, pot fi egale doar dacă sunt constante, iar constanta λ trebuie să fie negativă ( )2p−=λ , deoarece soluţia trebuie să fie mărginită în timp. Urmează că: 02 =+ TpT (5.24)
02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ U
cpU (5.25)
Acestea au soluţiile: ( ) ptBptAtT sincos += (5.26)
( )cpxD
cpxCxU sincos += (5.27)
Egalitatea (5.23) poate fi satisfăcută pentru o infinitate de valori λ numite valori
proprii şi cărora le corespund funcţii proprii ( )xU . Valorile proprii se determină pe baza condiţiilor la limită impuse soluţiei ( )txu , , adică funcţiei ( )xU . Această ecuaţie, numită ecuaţie caracteristică, este întotdeauna transcendentă şi are o infinitate de rădăcini.
Fiecărei pulsaţii proprii rp ( )…,2,1=r îi corespunde o funcţie ( )tTr , respectiv o funcţie proprie ( )xU r , iar soluţia generală va fi de forma:
171
( ) ( ) ( )tTxUtxu rr
r ⋅= ∑∞
=1,
(5.28) Cele mai frecvente tipuri de legături sunt date în Tabelul 1.
Tabelul 1. Tipuri
de legături
Condiţii limită
Ecuaţia caracteristică
Pulsaţii proprii Funcţii proprii
x=0 x=L I – L U=0 U'=0
0cos =cpL
( )
Lcrpr 2
12 π−= ( ) ( )
LxrCxUr 2
12sin π−=
I – I U=0 U=0 0sin =
cpL
Lcrprπ
= ( )LxrDxUrπsin=
L –L U'=0 U'=0 0sin =
cpL
Lcrprπ
= ( )LxrCxUrπcos=
Se constată că funcţiile proprii sunt determinate până la o constantă şi revenind la
soluţia generală (5.28), ţinând cont şi de (5.26), pentru bare (I – L) se poate scrie:
( ) ( ) ( )L
xrtpBtpAtxur
rrrr 212sinsincos,
1
π−+=∑
∞
= (5.29)
unde constantele rA şi rB se determină din condiţiile iniţiale. Conform condiţiilor iniţiale (5.10) rezultă:
( ) ( )L
xrAxr
r 212sin
1
πϕ −=∑
∞
= (5.30)
şi
( ) ( ) ( )L
xrBL
crx rr 2
12sin2
121
ππψ −−=∑
∞
= (5.31)
ceea ce reprezintă dezvoltări în serii Fourier, având coeficienţii:
( ) ( ) dxL
xrxL
AL
r 212sin2
0
πϕ −= ∫ (5.32)
şi
( ) ( ) ( ) dxL
xrxcr
BL
r 212sin
124
0
πψπ
−−
= ∫ (5.33)
astfel soluţia generală este complet determinată. Pentru celelalte cazuri, bare (I – I) şi bare (L – L) se urmăreşte acelaşi procedeu. 5.1.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia vibraţiilor libere ale barelor:
172
2
2
tuA
xuEA
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
(5.34) pentru cazurile date în Tabelul 1. se poate scrie:
( ) UApUAE 2ρ−=′′ (5.35)
unde, pentru simplificare, U este scris în loc de U(x), iar U' în loc de dxdU
.
Relaţia (5.35) poate fi scrisă pentru oricare dintre valorile proprii. Fie rp şi sp două valori proprii distincte şi respectiv, ( )xU r şi ( )xU s funcţiile proprii corespunzătoare. Se poate scrie:
( ) rrr UApUAE 2ρ−=′′ (5.36) şi
( ) sss UApUAE 2ρ−=′′ (5.37) După înmulţirea relaţiei (5.36) prin ( )xU s , respectiv relaţia (5.37) prin ( )xU r şi prin integrare între limitele 0 şi L, se obţine:
( ) dxUAUpdxUAEU sr
L
rr
L
s ∫∫ −=′0
2
0
ρ (5.38)
şi
( ) dxUAUpdxUAEU sr
L
ss
L
r ∫∫ −=′0
2
0
ρ (5.39)
Integrând relaţiile (5.38) şi (5.39) prin părţi şi ţinând cont de condiţiile la limită din Tabelul 1. rezultă că:
dxUAUpdxUUEA sr
L
r
L
sr ∫∫ =′′0
2
0
ρ (5.40)
şi
dxUAUpdxUUEA sr
L
s
L
sr ∫∫ =′′0
2
0
ρ (5.41)
prin scăderea acestor două relaţii se obţine:
( ) 00
22 =− ∫ dxUAUpp sr
L
sr ρ (5.42)
dar sr pp ≠ , deci:
00
=∫ dxUAU sr
L
ρ (5.43)
şi din (5.40):
173
00
=′′∫ dxUUEAL
srρ (5.44)
Relaţiile (5.43) şi (5.44) reprezintă condiţiile de ortogonalitate pentru vibraţiile longitudinale ale barelor. Se spune că modurile proprii sunt ortogonale în raport cu distribuţia de masă, respectiv distribuţia de rigiditate. De asemenea, prin înmulţirea relaţiei (5.36) cu ( )xU r şi integrând pe domeniul [0,L] , se obţine:
( ) dxAUpdxUAEU r
L
rr
L
r2
0
2
0∫∫ −=′ ρ (5.45)
din care, prin integrare prin părţi şi folosind condiţiile de frontieră din Tabelul 1., se deduce:
( )
r
r
r
L
r
L
r MK
dxAU
dxUEAp =
′
=
∫
∫2
0
2
02
ρ (5.46)
unde
( ) dxUAEK r
L
r2
0
′= ∫ , dxAUM r
L
r2
0∫= ρ (5.47)
fiind rigiditatea modală, respectiv masa modală corespunzătoare modului natural r, a cărui formă modală este dată de funcţia proprie ( )xU r şi care este determibată până la o constantă. Tocmai de aceea, se introduce normarea funcţiilor proprii, corespunzând astfel, fiecărei funcţii o amplitudine unică. O astfel de normare poate fi astfel încât în punctul în care ( )xUr este maximă, să
aibe o valoare specificată ( ) 1max =xUr . Cea mai frecventă este însă normarea:
dxAUM r
L
r2
0∫= ρ (5.48)
unde pentru masa modală se ia 1=rM . Funcţiile ( )xφ care satisfac aceleaşi condiţii la limită ca şi setul de funcţii proprii, fără a satisface ecuaţia diferenţială (5.35), se numesc funcţii de comparaţie sau generatoare şi pot fi reprezentate prin serii convergente de forma:
( ) ( )xUx rr
r∑∞
=
=1αφ (5.49)
unde coeficienţii rα se por determina prin înmulţirea relaţiei (5.49) cu ( )dxxAU rρ şi integrarea pe domeniul (0,L). Ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:
174
dxAU
dxUA
r
L
L
r
r2
0
0
∫
∫=
ρ
φρα (5.50)
5.1.5. Vibraţii longitudinale amortizate ale barei În prezenţa frecărilor, vibraţiile longitudinale ale barelor se vor stinge în timp, deci se vor amortiza. Presupunând o amortizare de natură vâscoasă, ecuaţia (5.8) se poate scrie:
2
22
2
2
2xuc
tuh
tu
∂∂
=∂∂
+∂∂
(5.51) Aplicând metoda separării variabilelor soluţia va fi de forma (5.21). Introducând-o în ecuaţia (5.51) se obţine, prin separarea variabilelor:
UUc
TThT ′′=
+ 22 (5.52)
Deoarece fiecare raport conţine câte o variabilă, ele pot fi egale numai dacă sunt constante, şi datorită mărginirii soluţiei în timp, această constantă trebuie să fie negativă. Dacă se ia - 2p constanta considerată, din (5.52) se poate scrie: 02 2 =++ TpThT (5.53)
şi 02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ U
cpU (5.54)
După cum se constată ecuaţia (5.54) este identică cu (5.25), ceea ce arată că valorile proprii şi funcţiile proprii sunt ca şi la vibraţiile libere neamortizate. Considerând
hp > , se obţine pentru funcţia ( )tT expresia: ( ) ( )tBtAetT ht αα sincos += − (5.55) unde
22 hp −=α Soluţia generală va fi de forma:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=∑
∞
=
−
cxpD
cxpCtBtAetxu r
rr
rrrrrr
ht sincossincos,1
αα (5.56)
unde constantele de integrare se vor determina pe baza condiţiilor iniţiale şi la limită ca şi pentru vibraţiile longitudinale neamortizate. 5.1.6. Vibraţiile longitudinale forţate ale barei Vibraţii forţate longitudinale ale barei pot să apară în cazul în care bara este acţionată printr-o forţă axială distribuită sau are condiţii la limită variabile în timp.
175
În lipsa amortizării (h=0) şi presupunând o forţă axială distribuită ( ) ( ) txqtxq ωcos, 0= , ecuaţia (5.8) devine:
( )
tAxq
xuc
tu ω
ρcos0
2
22
2
2
=∂∂
−∂∂
(5.57)
Soluţia particulară a acestei ecuaţii, numită şi vibraţie forţată va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu p ωcos, = (5.58) Punând condiţia să verifice ecuaţia (5.57) se obţine:
( )xqEA
Uc
U pp 02
2 1−=+′′
ω (5.59)
Evident că funcţia ( )xU p trebuie să fie o funcţie de comparaţie sau generatoare, deci se poate dezvolta în serie după funcţiile proprii:
( ) ( )xUxU rr
rp ∑∞
=
=1
α
(5.60) Considerând numai cazul barei ce verifică condiţiile la limită din Tabelul 1., prin înlocuirea relaţiei (5.60) în (5.59), se obţine:
( ) ( ) ( )xqEA
xUc
xU rrr
r 02
2
1
1−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+′′∑
∞
=
ωα (5.61)
Se înmulţeşte ecuaţia (5.61) cu ( )dxxAU rρ şi integrând pe domeniul (0,L),
ţinând cont şi de condiţiile de ortogonalitate, se obţine:
dxUqAEA
dxAUcc
pr
L
r
Lr
r 00
2
02
2
2
2 1∫∫ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− ρωα (5.62)
de unde se determină coeficienţii rα :
( ) ( ) ( )dxxUxqpL r
L
rr ∫−=
0022
2ω
α (5.63)
unde s-a ţinut cont că pentru funcţiile proprii din Tabelul 1., luând constanta
nedeterminată egală cu unitatea, ( )20
2 LdxxUL
r =∫ . Se constată că apare fenomenul de
rezonanţă pentru cazul în care pulsaţia forţei perturatoare este egală cu una din pulsaţiile proprii.
5.2. Vibraţiile de răsucire ale barelor
În cazul în care bara este supusă unor cupluri variabile de răsucire se produc vibraţii de răsucire sau de torsiune. Barele solicitate la răsucire se numesc arbori.
176
Se va considera bara din fig. 5.3. supusă la răsucire prin intermediul unui cuplu distribuit, aplicat din exterior ( )txm , . Rotirea secţiunii situată la distanţa x va fi ( )tx,θ .
Fig. 5.3
Considerând un element de bară Δx, asupra lui vor acţiona cuplurile forţelor interioare de momente ( )txM , şi ( )txxM ,Δ+ , cuplurile distribuite de frecare ( ) xtxr Δ,,θ şi de perturbare ( ) xtxm Δ, .
Pentru efortul tangenţial se poate scrie legea lui Hooke: γτ G= (5.64) unde G este modulul de elasticitate transversal, iar γ este alunecarea specifică la distanţa r de centrul secţiunii:
( ) ( ) ( )
xtxr
xtxtxxr
x ∂∂
=Δ
−Δ+=
→Δ
,,,lim0
θθθγ (5.65)
Momentul forţelor interioare reduse în centrul secţiunii este:
( )x
GIdArdxdGdArtxM
∂∂
=== ∫∫∫∫θθτ 0
2, (5.66)
unde ( )xI0 este momentul de inerţie polar al secţiunii (momentul geometric). Dacă se notează cu ( )xJ0 momentul de inerţie axial (momentul mecanic) pentru unitatea de lungime a barei, se poate scrie ecuaţia de momente faţă de axa barei.
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,,2
2
0 =Δ+Δ−−Δ++∂∂
Δ− xtxmxtxrtxMtxxMt
xJ θθ
(5.67) Prin împărţire şi trecerea la limită se obţine:
( ) ( )txmtxrx
Mt
J ,,,2
2
0 +−∂∂
=∂∂ θθ
(5.68)
sau ţinând cont şi de relaţiile (5.64) şi (5.65)
177
( ) ( )txmtxrx
GIxt
J ,,,02
2
0 +−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
=∂∂ θθθ
(5.69)
Considerând frecările neglijabile şi momentele exterioare perturbatoare nule se obţine:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
=∂∂
xGI
xtJ θθ
02
2
0
(5.70) Pentru cazul barei omogene şi de secţiune constantă, ecuaţia vibraţiilor libere de răsucire va fi:
2
2
02
2
0 xGI
tJ
∂∂
=∂∂ θθ
(5.71)
Dacă se notează 2
0
0 cJ
GI= , ecuaţia (5.71) are aceiaşi formă ca şi ecuaţia vibraţiilor
longitudinale ale barei. Şi în acest caz pentru rezolvarea completă a problemei este necesar cunoaşterea condiţiilor iniţiale şi la limită. Condiţiile iniţiale pentru vibraţiile de răsucire vor fi de forma:
( ) ( )xtxt
ϕθ ==0
, ; ( ) ( )xt
tx
t
ψθ=
∂∂
=0
, (5.72)
Condiţiile la limită sunt determinate de legăturile existente la cele două extremităţi. Astfel, pentru un capăt încastrat, celălalt liber (I, L) condiţiile sunt:
( ) 0,0=
=xtxθ şi ( ) 0, 0 =
∂∂
=∂∂
===
=LxLx
Lx xxGItxM θθ
(5.73)
Dacă la un capăt se aplică un cuplu de moment ( )tM L , atunci condiţia la limită este: ( ) ( )tMGI LLx
=′=
θ0 (5.74) Deoarece, ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este asemenea cu cea a vibraţiilor longitudinale nu vor exista deosebiri în modul de determinare a soluţiilor.
5.3. Vibraţiile transversale ale barelor 5.3.1. Deducerea ecuaţiei vibraţiilor transversale Barele supuse solicitării de încovoiere se numesc grinzi. Se va considera grinda din fig. 5.4.a. a cărei axă nedeformată este axa Ox şi care va lua prin deformare forma din fig. 5.4.b. Deplasarea transversală a axei neutre în punctul de abscisă x la un moment t se notează cu ( )txv , . Pentru stabilirea ecuaţiei vibraţiilor trasversale se separă un element al barei, fig. 5.4.c. Prin separare se înlocuiesc legăturile cu forţele tăietoare ( )txxT ,Δ+ şi ( )txT , , respectiv momentele încovoietoare ( )txxM ,Δ+ şi ( )txM , . Asupra elementului se
178
consideră că acţionează şi forţa perturbatoare pe unitatea de lungime ( )txq , . Se va considera că elementul sub acţiunea forţelor date şi de legătură va avea o mişcare plană. Prin ( )tx,θ s-a notat rotaţia secţiunii transversale, ( )tx,β este unghiul de
alunecare a secţiunii datorită efectului forţelor tăietoare, iar xv∂∂
este unghiul de înclinare
al axei neutre.
Fig. 5.4
Presupunând neglijabilă deplasarea în lungul axei Ox, se pot scrie două ecuaţii de echilibru pentru elementul considerat. Ecuaţia de proiecţii pe direcţia transversală se poate scrie:
( ) ( ) ( ) xtxqtxTtxxTtvxA Δ+−Δ+=
∂∂
Δ ,,,2
2
ρ (5.75)
iar ecuaţia de momente faţă de centrul de masă al elementului va fi:
( ) ( ) ( ) ( )2
,2
,,,2
2 xtxTxtxxTtxMtxxMt
xJ Δ−
ΔΔ+−−Δ+=
∂∂
Δθ
(5.76)
Împărţind cele două ecuaţii (5.75) şi (5.76) prin Δx şi trecând la limită pentru 0→Δx , se obţin ecuaţiile:
( )txqxT
tvA ,2
2
+∂∂
−=∂∂ρ (5.77)
şi
Tx
Mt
J −∂∂
=∂∂
2
2θ (5.78)
Pe de altă parte, din teoria de rezistenţa materialelor, se poate scrie:
179
EIM
x=
∂∂θ
(5.79)
xv
kAGT
∂∂
−== θβ (5.80)
Termenii 2
2
tJ∂∂ θ
şi kAGT
sunt numiţi în mod uzual, efecte de ordinul doi, unde
coeficientul k are valoarea 65
pentru secţiuni dreptunghiulare şi 109
pentru secţiuni
circulare. Primul termen a fost introdus de Rayleigh şi ţine cont de inerţia de rotaţie, iar al doilea a fost introdus de Timoshenko şi ţine cont de efectul deformaţiei de alunecare a secţiunilor sub acţiunea forţelor tăietoare. Eliminând T, M şi θ între relaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se obţine ecuaţia lui Timoshenko pentru bare omogene de secţiune constantă.
02
2
2
2
2
2
2
2
22
4
2
2
4
4
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−−∂∂
tvAq
tkGAJ
tvAq
xkGAEI
txvJ
tvAq
xvEI ρρρ
(5.81) În ecuaţia (5.81) se pot identifica termenii de corecţie daţi de inerţia de rotaţie, respectiv de deformaţia de alunecare. Neglijând aceşti termeni, din ecuaţiile (5.77), (5.78), (5.79) şi (5.80) se deduce ecuaţia Euler – Bernoulli:
( )txqtvA
xvEI
x,2
2
2
2
2
2
=∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ ρ (5.82)
care, în cazul barelor de secţiune constantă devine:
( )txqtvA
xvEI ,2
2
4
4
=∂∂
+∂∂ ρ (5.83)
În cazul particular ( ) 0, =txq se obţine ecuaţia vibraţiilor libere trasnversale ale grinzii:
04
42
2
2
=∂∂
+∂∂
xva
tv
(5.84)
unde
A
EIaρ
= (5.85)
Trebuie remarcat că efectul corecţiei dat de deformaţia de alunecare şi de inerţia de rotaţie creşte odată cu creşterea modului considerat şi descreşte cu lungimea şi inversul razei de giraţie. 5.3.2. Condiţii iniţiale la limită
180
Pentru determinarea vibraţiilor transversale ale grinzii trebuie cunoscute condiţiile iniţiale, adică poziţia şi viteza fiecărui punct în momentul iniţial. Aceasta înseamnă să fie cunoscute funcţiile:
( ) ( )xtxvt
ϕ==0
, şi ( ) ( )xt
txv
t
ψ=∂
∂
=0
, (5.86)
De asemenea, trebuie cunoscute condiţiile limită date de legăturile pe care le are bara. Cele mai frecvente condiţii la limită sunt:
a) Capăt încastrat (I) ( ) 0,
0=
=xtxv şi ( ) 0,
0=′
=xtxv (5.87)
adică deplasarea şi unghiul de înclinare sunt nule.
b) Capăt simplu rezemat sau articulat (R) ( ) 0, =
=Lxtxv şi ( ) 0, =
=LxtxM (5.88)
ceea ce înseamnă că deplasarea şi momentul încovoietor sunt nule în capătul simplu rezemat. Ultima relaţie este echivalentă cu ( ) 0, =′′
=Lxtxv .
c) Capăt liber (L)
( ) 0, ==Lx
txT şi ( ) 0, ==Lx
txM (5.89) ceea ce înseamnă că la capătul liber nu există forţă tăietoare şi nici moment de încovoiere. Aceste relaţii pot fi scrise şi astfel:
03
3
=∂∂
=Lxxv
şi 02
2
=∂∂
=Lxxv
(5.90)
Astfel, în fiecare capăt se obţin două condiţii de frontieră. Condiţii diferite se obţin dacă în capătul barei este ataşată o masă m sau un arc (fig. 5.5.). Pentru fig. 5.5.a. se poate scrie din proiecţii de forţe:
( )Lxt
vmtLT=∂
∂= 2
2
, (5.91)
sau
LxLx t
vmxvEI
== ∂∂
=∂∂
2
2
3
3
(5.92)
iar din ecuaţia de momente: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′
=Lxtxv (5.93)
Pentru cazul din fig. 5.5.b.: ( ) 0, =tLM sau ( ) 0, =′′
=Lxtxv (5.94)
şi
181
( )Lx
Lx
txTxvEI
==
=∂∂ ,3
3
sau ( )Lx
Lx
txvEIk
xv
==
=∂∂ ,3
3
(5.95)
Fig. 5.5.
5.3.3. Vibraţii libere transversale ale barelor Vibraţiile libere transversale ale barelor lungi şi subţiri, cazul Bernoulli – Euler sunt guvernate de ecuaţia:
( ) 0, =+″′′ vAvEI ρ (5.96) Pentru integrarea ecuaţiei (5.96) se va aplica metoda separării variabilelor, soluţia luându-se de forma: ( ) ( ) ( )tTxVtxv ⋅=, (5.97) unde ( )xV şi ( )tT sunt funcţii ce urmează a fi determinate. Înlocuind (5.97) în ecuaţia (5.96), aceasta, pentru bare omogene şi de secţiune constantă, devine: ( ) ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅ tTxAVtTxEIV IV ρ (5.98) care poate fi separată în:
2pTT
VV
AEI IV
=−= (5.99)
Şi în acest caz rapoartele (5.99) sunt satisfăcute pentru orice x şi t numai dacă sunt egale cu aceeaşi constantă. Din condiţia de mărginire în timp rezultă că această constantă trebuie să fie pozitivă. Urmează că din ecuaţia (5.99) se poate scrie: 02 =+ TpT (5.100)
02 =− VpEIAV IV ρ
(5.101)
Ecuaţia (5.100) are soluţia de forma: ( ) ptBptAtT cossin += (5.102)
182
iar pentru ecuaţia (5.101) soluţia este de forma rxe , obţinându-se ecuaţia caracteristică:
02
4 =−EIApr ρ
(5.103)
şi are rădăcinile λ=1r , λ−=2r , λir =3 , λir −=4 , unde λ este:
42
EIApρλ = (5.104)
Soluţia generală se va scrie: ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= (5.105) Există cinci constante în soluţia generală, C, D, E şi F constante de integrare, iar pulsaţiile proprii p sunt asociate fiecărei valori proprii λ. Pentru determinarea acestor constante se folosesc condiţiile de limită (frontieră). În Tabelul 2. sunt date cazurile cele mai frecvente de legături la care poate fi supusă o bară, în care simbolul R reprezintă rezemarea. Tabelul 2. Tipul legăturii
Ecuaţia caracteristică
21X 2
2X 23X 2
4X 25X
I – L 0cos1 =+ xchx 3,516 22,03 61,69 120,9 199,8 R – R 0sin =x 9,869 39,47 88,82 157,9 246,7 I – I; L – L 0cos1 =− xchx 22,37 61,67 120,9 199,8 298,5 I – R; L – R thxtgx = 15,41 49,96 104,2 178,2 272,0
În acest tabel s-a notat: LX rr λ= (5.106)
de unde pulsaţiile proprii devin:
A
EILX
p rr ρ2
2
= (5.107)
Trebuie remarcat că pulsaţiile proprii nule corespunzătoare celor două moduri de corp rigid pentru bara L – L şi un mod de corp rigid pentru bara L – R nu sunt trecute în Tabelul 2. 5.3.4. Relaţii de ortogonalitate Pornind de la ecuaţia (5.98) şi observând că soluţia ecuaţiei este armonică de forma: ( ) ( ) ( )ϕ+⋅= ptxVxv cos (5.108) Înlocuind-o în ecuaţia (5.98) se obţine: VApEIV IV 2ρ= (5.109)
183
Această ecuaţie poate fi scrisă pentru orice pereche: pulsaţie proprie, funcţie proprie. Fie rp , rV şi sp , sV două astfel de perechi. Se poate scrie:
rrIV
r VApEIV 2ρ= (5.110)
ssIV
s VApEIV 2ρ= (5.111) Se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu sV , iar (5.111) cu rV şi prin integrarea de două ori prin părţi pe domeniul (0, L), se obţine:
( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr
L
rs
L
rL
rsrs ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0
2
00
ρ (5.112)
( ) dxVAVpdxVVEIVVEIVEIV sr
L
ss
L
rL
srsr ∫∫ =⋅′′⋅′′+′′⋅′−′′′0
2
00
ρρ (5.113)
Ţinând cont de condiţiile de limită (5.87), (5.88) şi (5.89) şi prin scăderea ecuaţiilor (5.112) şi (5.113) se obţine pentru sr pp ≠ :
00
=∫ dxVAV sr
L
ρ (5.114)
iar din (5.112):
00
=⋅′′⋅′′∫ dxVVEI s
L
r (5.115)
adică relaţiile de ortogonalitate. În acelaşi mod, dacă se înmulţeşte ecuaţia (5.110) cu rV , prin integrare se obţine:
r
rr M
Kp =2 (5.116)
unde
( )dxxVEIKL
rr ∫ ′′=0
; ( )dxxAVML
rr ∫=0
2ρ (5.117)
reprezintă rigiditatea şi masa modală corespunzătoare modului r.
5.4. Probleme 5.4.1. O bară de lungime L, omogenă şi de secţiune constantă, este încastrată la ambele capete. Bara este adusă înt-o mişcare vibratorie longitudinală dându-li-se tuturor punctelor o viteză constantă 0v în lungul barei. Să se determine mişcarea rezultantă. Rezolvare:
Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale pentru a lăsa capetele încastrate se poate scrie, folosind şi Tabelul 1., astfel:
184
( )Lxrt
LcrBt
LcrAtxu
rrr
πππ sinsincos,1∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Din condiţiile iniţiale ( ) 00,
0=
=txu şi ( ) 00
, vtxut
== , se obţine:
( ) 0sin0,1
==∑∞
= LxrAxu
rr
π
( ) 01
sin0, vLxr
LcrBxu
rr ==∑
∞
=
ππ
din care rezultă:
0=rA şi dxLxrv
crB
L
rπ
πsin2
00∫= , adică:
cr
LvBr 22
04π
= , pentru r impar şi 0=rB pentru r par.
Mişcarea rezultantă va fi:
( )L
tcrLxr
rcLv
txur
⋅= ∑
∞
=
πππ
sinsin14,
3,122
0
5.4.2. O bară de lungime L este încastrată la un capăt şi legată printr-un arc de constantă k la celălalt capăt (fig. 5.6.). Să se deducă ecuaţia pulsaţiilor proprii.
Fig. 5.6.
Rezolvare: În cazul vibraţiilor longitudinale funcţiile proprii sunt de forma:
( ) xcpDx
cpCxU ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= sincos
Punând condiţiile de frontieră: ( ) 0
0=
=xxU şi ( ) ( )
LxLxxUAExkU
==′=−
se obţine din prima condiţie: 0=C , iar din a doua:
185
Lcp
cpAEL
cpk ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− cossin sau
kcpAEL
cptg −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
.
Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă rigiditatea arcului este foarte mică în comparaţie cu cea a barei, ecuaţia pulsaţiilor proprii este:
∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ L
cptg , adică:
( )L
crprπ12 −
=
sunt pulsaţiile proprii din cazul barei cu un capăt încastrat şi celălalt liber. 5.4.3. O bară de lungime L este încastrată la un capăt, iar la celălalt capăt este ataşată o masă concentrată m (fig. 5.7.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii.
Fig. 5.7.
Rezolvare: Condiţiile la limită în acest caz sunt: pentru capătul încastrat ( ) 0,
0=
=xtxu , iar
pentru celălalt capăt: LxLx t
umxuAE
== ∂∂
−=∂∂⋅ 2
2
Soluţia generală a vibraţiilor longitudinale libere este de forma:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=∑
∞
=
xcpDx
cpCtpBtpAtxu r
rr
rr
rrrr sincossincos,1
,
din prima condiţie se obţine: 0=rC , iar din a doua:
Lcp
mpLcp
cAEp r
rrr ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sincos 2 sau
r
r
mpcAL
cp
tg ρ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Aceasta este ecuaţia pulsaţiilor proprii. Dacă masa ataşată m este foarte mică, în comparaţie cu masa barei, ecuaţia
pulsaţiilor proprii devine: ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ L
cptg r , adică
( )L
crprπ12 −
= .
186
Dacă masa ataşată m este mult mai mare decât masa barei: r
r
mpcAL
cp
tg ρ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
,
devine un raport foarte mic, pentru cea mai mică pulsaţie 1p , se poate scrie:
LcpL
cptg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 11
şi înlocuind în ecuaţia pulsaţiilor proprii:
1
1
mpcAL
cp ρ
=
de unde mLAEp =1 , adică pulsaţia unui sistem cu un grad de libertate, având masa m şi
constanta elastică L
AEk = .
5.4.4. O bară de lungime L este liberă la un capăt, iar celălalt capăt se mişcă după legea
tr sin⋅ (fig. 5.8.). Să se determine vibraţia forţată a barei.
Fig. 5.8.
Rezolvare: Vibraţia forţată a acestei bare se datoreşte condiţiilor de frontieră, care sunt: ( ) trtxu
xωsin,
0=
= şi
( ) 0,=
∂∂
=Lxxtxu
Deoarece interesează vibraţia forţată, aceasta va fi de forma: ( ) ( ) txUtxu pp ωsin, = . Înlocuind-o în ecuaţia diferenţială a vibraţiilor longitudinale
(5.9), se obţine:
187
( ) ( )xUtctxU pp ′′⋅=− ωωω sinsin 22 sau 02
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+′′ pp U
cU ω
Soluţia acestei ecuaţii este de forma:
( ) xc
Cxc
CxU p ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ωω sincos 21
iar vibraţia forţată este:
( ) txc
Cxc
Ctxu p ωωω sinsincos, 21 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Din condiţiile iniţiale se obţine: ( ) trtCtu ωω sinsin,0 1 == , adică rC =1
şi 0sincossin 2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∂∂
=
tLc
CLc
rcx
u
Lx
ωωωω
adică cLtgrC ω
⋅=2 , de unde vibraţia forţată va fi:
( ) txc
Lc
tgxc
rtxu ωωωω sinsincos, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Se constată că valorile pentru care pulsaţia mişcării capătului barei este egală cu
pulsaţiile proprii ale barei
( )
Lcrpr 2
12 πω −== ,
fac amplitudinea vibraţiei ( )txup , infinit de mare. 5.4.5. Un disc de moment de inerţie J este rigid legat de capătul liber al unui arbore de lungime L (fig. 5.9.). Să se determine ecuaţia pulsaţiilor proprii pentru vibraţiile de torsiune ale arborelui.
Fig. 5.9.
188
Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a vibraţiilor de răsucire este:
2
22
2
2
xc
t ∂∂
=∂∂ θθ
,
unde θ este unghiul de rotaţie al arborelui, iar ρGc =2 .
Soluţia generală a acestei ecuaţii este:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=∑
∞
= axpD
axpCtpBtpAtx rrrr
rrrrr sincossincos,
1
θ
Condiţiile de frontieră sunt:
( ) 0,0 =tθ şi LxLx t
Jx
GI== ∂
∂=
∂∂
− 2
2
0θθ
din prima condiţie rezultă 0=rC , iar din a doua condiţie:
cLpJp
cLpp
cGI r
rr
r sincos 20 −=−
sau
r
r cJpGI
cLtgp 0=
care reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii. 5.4.6. Să se determine pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii (forma modurilor proprii) pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi simplu rezemată (articulată) la ambele capete (fig. 5.10.).
Fig. 5.10.
Rezolvare: Folosind soluţia dată de (5.105) şi condiţiile la limită, care în acest caz sunt: ( ) 0
0=
=xxV , ( ) 0
0=′′
=xxV
şi pentru celălalt capăt: ( ) 0=
=LxxV , ( ) 0=′′
=LxxV ,
se obţine pentru capătul 0=x :
189
0=+ FD şi ( ) 02 =− FDλ de unde 0== FD . Pentru celălalt capăt, Lx = : 0sin =+ LELCsh λλ ( ) 0sin2 =− LELCsh λλλ Acesta este un sistem liniar şi omogen. Pentru a exista soluţii nebanale trebuie ca:
0sin
sin22
=−
−
LLshLLsh
λλλλ
λλ
adică 0sin =⋅ LLsh λλ . Deoarece 0=Lshλ , numai dacă 0=Lλ , soluţii nebanale vor fi dacă 0sin =Lλ . Această ecuaţie caracteristică va da pulsaţii proprii:
πλ rLr = , de unde : A
EIL
rpr ρπ 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
iar funcţiile proprii vor fi:
( )LxrExVrπsin=
unde E este o constantă nedeterminată. Funcţiile proprii sunt determinate până la un factor amplitudine arbitrar. Forma primelor trei moduri proprii sunt arătate în fig. 5.11.
Fig. 5.11.
5.4.7. Să se determine pulsaţiile proprii pentru vibraţiile transversale ale unei grinzi încastrată la un capăt şi liberă la celălalt capăt (fig. 5.12.).
190
Fig. 5.12.
Rezolvare: Folosind soluţia (5.105): ( ) xFxExDchxCshxV λλλλ cossin +++= şi condiţiile la limită: ( ) 0
0=
=xxV ; ( ) 0
0=′
=xxV şi ( ) 0=′′
=LxxV ; ( ) 0=′′′
=LxxV
se obţine sistemul algebric:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−0000
sincos
coscos
00
1010
3333
2222
FEDC
LLLshLch
LLLchLsh
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλ
Acest sistem are soluţii nebanale dacă 1cos =⋅ Lchx λλ , ceea ce constituie ecuaţia caracteristică, ale cărei rădăcini se obţin prin metode numerice. Primele patru valori sunt: 8751,11 =Lλ , 6941,42 =Lλ 8548,73 =Lλ , 996,104 =Lλ iar din relaţiile (5.106) şi (5.107) rezultă:
A
EIL
pρ21
516,3= ,
AEI
Lp
ρ2203,22
=
A
EIL
pρ23
7,61= ,
AEI
Lp
ρ24121
=
191
5.5. Vibraţiile membranei plane şi ale unei plăci plane subţiri
5.5.1. Stabilirea ecuaţiilor cu derivate parţiale ale membranei plane O membrană plană este un corp elastic bidimensional, de forma unei suprafeţe plane în stare nedeformată, delimitată de o curbă plană închisă numită contur, care poate prelua numai eforturi de întindere. Se consideră o membrană plană omogenă cu densitatea de suprafaţă de , aflată iniţial în planul Oxy. Sub acţiunea unei forţe perturbatoare q(x,y,t) distribuită pe suprafaţa membranei, orientată după axa Oz perpendiculară pe planul Oxy, aceasta va avea vibraţii forţate după axa Oz, caracterizate de deformaţia w(x,y,t).
Fig. 5.13
Dacă se separă un element de suprafaţă al membranei cu dimensiunile Δx şi Δy în stare nedeformată, la momentul t al mişcării, asupra lui acţionează forţele din figura 5.13. Forţele axiale şi se consideră distribuite pe laturile elementului de suprafaţă, iar
reprezintă acceleraţia acestui element la momentul t al mişcării. Condiţiile de echilibru dinamic ale elementului considerat conduc la ecuaţiile:
(5.118)
Deoarece unghiurile , , şi sunt mici, se pot face aproximările:
(5.119)
În aplicaţii tehnice membrana este fixată pe un contur, astfel că din primele ecuaţii (5.118) rezultă:
192
(5.120) iar ultima ecuaţie (5.118) devine:
(5.121)
Cu notaţia din (5.121) se obţine:
(5.122)
Rezultă că vibraţiile libere ale membranei vor fi descrise de ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale
(5.123)
Ecuaţiile (5.122) sau (5.123) se folosesc pentru studiul vibraţiilor forţate, respectiv libere, ale membranei dreptunghiulare. Condiţiile iniţiale şi de limită pentru integrarea acestor ecuaţii vor fi
(5.124)
(5.125) unde a şi b sunt dimensiunile membranei în stare iniţială. În cazul unei membrane circulare este necesar să se exprime ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în coordonate polare, faţă de un sistem de coordonate cu originea în centrul membranei. Relaţiile de transformare ale coordonatelor vor fi
(5.126)
din care rezultă
(5.127)
Pe baza relaţiilor (5.127) se pot scrie
193
(5.128)
de unde ecuaţia de mişcare (5.123) pentru vibraţiile libere ale membranei devine
(5.129)
În acest caz condiţiile iniţiale şi condiţia la limită sunt:
(5.130)
unde R este raza membranei circulare în stare iniţială. 5.2.2. Stabilirea ecuaţiei cu derivate parţiale a plăcii dreptunghiulare subţiri
Fig. 5.14
Se consideră o placă omogenă dreptunghiulară cu densitatea şi dimensiunile a
respectiv b mult mai mari decât grosimea sa h. Se caută să se stabilească ecuaţia
194
diferenţială cu derivate parţiale a vibraţiilor de încovoiere (transversale) ale plăcii, dacă se pot neglija toate forţele şi momentele disipative. Deoarece deformaţiile transversale ale plăcii sunt foarte mici, pentru aceasta se poate separa un element de suprafaţă al plăcii cu dimensiunile infinitesimale dx şi dy, care în stare deformată a plăcii rămâne paralel cu planul Oxy. Asupra feţelor laterale ale acestui element de suprafaţă acţionează eforturile distribuite pe laturile elementului ca în figura 5.14, unde Tzx şi Tzy sunt forţe tăietoare. Mx şi My sunt momente încovoietoare, iar Mxy este moment de răsucire. Din condiţiile sale de echilibru dinamic rezultă:
(5.131)
Pe baza relaţiilor cunoscute din rezistenţa materialelor:
(5.132)
unde D este rigiditatea la încovoiere a plăcii, iar este coeficientul lui Poisson, se obţine:
(5.133)
Înlocuind (5.133) în prima ecuaţie (5.131), rezultă:
(5.134)
unde s-a notat . Vibraţiile libere ale plăcii se vor studia, astfel, cu ecuaţia:
(5.135)
Pentru integrarea ecuaţiilor (5.134) sau (5.135) se folosesc condiţiile iniţiale (5.124), iar condiţiile limită se exprimă în funcţie de modul de fixare al plăcii pe contur. Astfel, pe o latură încastrată săgeata w şi panta sau sunt nule. Dacă placa este încastrată pe contur, condiţiile limită devin:
195
(5.136)
Pe o latură rezemată bilateral săgeata şi momentul încovoietor sunt nule, deci pentru o placă dreptunghiulară rezemată pe contur sunt valabile următoarele condiţii limită:
(5.137)
5.5.3. Vibraţiile libere ale membranei dreptunghiulare Folosind metoda separării variabilelor, soluţia ecuaţiei (5.123) se exprimă sub forma:
(5.138)
Cu notaţiile obiţnuite ale derivatelor, se poate scrie
(5.139)
Din (5.139) se obţin trei ecuaţii diferenţiale obişnuite
(5.140)
care au soluţiile generale
(5.141)
Valorile proprii d, s şi se determină din condiţiile la limită (5.125), care conduc la ecuaţiile
(5.142)
Din (5.142) rezultă
196
(5.143)
Pulsaţiile proprii ale membranei devin
(5.144)
Dacă se consideră , soluţia generală a ecuaţiei (5.123) se poate exprima sub forma
(5.145)
în care , şi produsul lor se numesc funcţii proprii. Constantele de integrare şi din (5.145) se determină din condiţiile iniţiale (5.124), care conduc la
(5.146)
Pe baza dezvoltării în serie dublă Fourier a funcţiilor şi din (5.146) rezultă
(5.147)
5.5.4. Vibraţiile libere ale plăcii dreptunghiulare subţiri
197
Din condiţia că soluţia (5.138) se obţine
(5.148)
Pentru cea de a doua ecuaţie (5.148) se caută soluţii de forma
(5.149)
care conduc la ecuaţia caracteristică
(5.150)
Se observă că soluţiile generale ale ecuaţiilor (5.148) se pot exprima sub forma
(5.151)
în care, pe baza ecuaţiei (5.150), trebuie să fie verificată relaţia
(5.152)
Valorile proprii d şi s se determină din condiţiile limită, iar rezultă din (5.152). Pentru placa rezemată bilateral pe contur, din (5.137) rezultă
(5.153)
Condițiile (5.153) conduc la ecuaţiile:
198
(5.154)
(5.155)
(5.156)
unde s-a ţinut seama că din (5.154) rezultă . Pentru că sistemele liniare şi omogene (5.155) şi (5.156) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli, deci se obţin ecuaţiile caracteristice:
(5.157)
care sunt aceleaşi ca şi la membrana dreptunghiulară. Rezultă că valorile proprii, funcţiile proprii, soluţia generală şi constantele de integrare şi vor fi aceleaşi, dar aici pulsaţiile proprii sunt:
(5.158)
În cazul în care placa este încastrată pe contur, condiţiile limită (5.136) se exprimă prin:
(1.159)
care conduc la ecuaţiile:
(1.160)
199
(1.161)
(1.162)
în care s-a ţinut seama de (5.160). Pentru ca sistemele liniare şi omogene (5.161) şi (5.162) să admită soluţii diferite de soluţia banală, este necesar ca determinanţii acestora să fie nuli. Din această condiţie se obţin ecuaţiile caracteristice:
(5.163)
Fig. 5.15
ale căror soluţii se determină grafic, din intersecţia graficelor funcţiilor şi , dacă se notează sau cu (Fig. 5.15). Astfel, se obţine şi
, iar pentru se poate lua . În acest mod se determină următoarele valori proprii:
(5.164)
200
iar valorile proprii şi pulsaţiile proprii rezultă:
(5.165)
Deoarece ca funcţii proprii se pot lua funcţiile
(5.166)
soluţia generală a ecuaţiei (5.135) în acest caz devine:
(5.167)
în care constantele de integrare, pe baza condiţiilor iniţiale (5.124), se determină cu integralele:
(5.168)
5.5.5. Vibraţii forţate cu forţă perturbatoare armonică ale unei plăci dreptunghiulare subţiri
Se consideră forţa perturbatoare armonică distribuită pe suprafaţă
201
(5.169)
care acţionează asupra unei plăci dreptunghiulare subţiri. Amplitudinea a acestei forţe perturbatoare este o funcţie dată, definită pe suprafaţa dreptunghiulară a plăcii. Vibraţiile forţate corespunzătoare ale plăcii sunt date de o soluţie particulară a ecuaţiei (5.134) care, de asemenea, se poate exprima sub forma:
(5.170)
Din condiţia ca această soluţie să verifice ecuaţia (5.134), rezultă:
(5.171)
Deoarece soluţia a ecuaţiei (5.171) trebuie să verifice condiţiile de margine ale plăcii, aceasta se descompune după funcţiile proprii:
(5.172)
în care, pe baza celei de a doua ecuaţii (5.148), trebuie să fie îndeplinite condiţiile:
(5.173)
pentru orice valori naturale ale lui i şi j. Înlocuind (5.172) în (5.171) şi ţinând seama de (5.173), se obţine:
(5.174)
de unde coeficienţii rezultă:
202
(5.175)
Se observă că pentru amplitudinea corespunzătoare din (5.175) poate să tindă spre infinit, dacă integrala din membrul drept este diferită de zero, deci şi în acest caz poate să apară fenomenul de rezonanţă.
5.5.6. Vibraţiile libere ale membranei circulare
În cazul vibraţiilor libere ale membranei circulare este avantajos să se considere ecuaţia (5.129), cu condiţiile iniţiale şi limită (5.130). Folosind metoda separării variabilelor, se consideră soluţia ecuaţiei (5.129) de forma
(5.176)
pentru care se obţine:
(5.177)
A doua ecuaţie (5.177) se poate exprima sub forma:
(5.178)
deci din prima ecuaţie (5.177) şi din (5.178) rezultă:
(5.179)
Soluţia celei de a doua ecuaţii (5.179) este funcţia Bessel de speţa întâi şi de ordin . Această soluţie nu poate să depindă şi de funcţia Bessel de speţa a doua,
203
deoarece pentru r=0 trebuie să fie mărginită. Din condiţia limită (5.130) se obţine ecuaţia caracteristică:
(5.180)
care are un şir infinit de soluţii discrete pentru fiecare valoare a lui s. Deoarece din condiţiile limită pentru funcţia , care sunt:
(5.181)
se obţine ecuaţia caracteristică , deci valorile proprii adimensionale sunt , din ecuaţia caracteristică (5.180) rezultă un şir dublu de valori proprii şi
respectiv un şir dublu de pulsaţii proprii . Ca urmare, soluţia generală a ecuaţiei (5.129) se exprimă sub forma:
(5.182)
Pentru determinarea constantelor de integrare şi pe baza condiţiilor iniţiale (5.130), se foloseşte proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor Bessel de speţa întâi, care este
(5.183)
În acest mod se obţine:
(5.184)
204
6. METODE NUMERICE ŞI APROXIMATIVE Din problemele de vibraţii prezentate în capitolele precedente se poate constata că, de cele mai multe ori, găsirea soluţiilor exacte ale ecuaţiilor diferenţiale este foarte dificilă, dacă nu chiar imposibilă, iar volumul de calcul pentru determinarea pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii este mare. Din aceste motive s-au fundamentat numeroase metode aproximative. În concordanţă cu forma în care aceste soluţii sunt reprezentate, metodele aproximative se împart în două grupe:
1. Metode numerice, în care soluţiile aproximative sunt date sub forma unor tabele. 2. Metode analitice, care dau soluţiile aproximative ale ecuaţiilor diferenţiale sub
forma unor expresii analitice. Din acest motiv, aceste metode sunt cunoscute frecvent sub numele de metode aproximative.
6.1. Evaluarea numerică a răspunsului sistemului cu un grad de libertate
6.1.1. Soluţia numerică bazată pe interpolarea forţei perturbatoare În multe probleme practice de vibraţii mecanice forţa perturbatoare ( )tF nu este cunoscută sub forma unei expresii analitice, ci este dată sub forma unui set de valori discrete ( )ii tFF = , Ni ,1= . În mod frecvent intervalul de timp iii ttt −=Δ +1 este luat constant. Pentru calculul numeric al integralelor ce apar în formulele lui Duhamel (1.123) şi (1.133) se poate folosi metoda Simpson sau metoda trapezelor, dar o metodă mult mai directă şi mai eficientă se obţine prin interpolarea forţei perturbatoare ( )tF . Această metodă se bazează pe o soluţie exactă, folosind rezultatele din problema 1.3.28. În fig. 6.1. se arată interpolarea constantă şi interpolarea liniară a forţei ( )tF . În cazul
interpolării constante, valoarea forţei în intervalul itΔ se consideră iF~ şi se calculează ca
fiind media valorilor de la capetele intervalului itΔ ; ( )15,0~++= iii FFF .
Fig. 6.1.
205
În cazul interpolării liniare a forţei perturbatoare, forţa în intervalul considerat va fi:
( ) ττ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
+=i
ii t
FFF (6.1)
unde iii FFF −=Δ +1 Se va considera în continuare răspunsul unui sistem neamortizat. Pentru o interpolare constantă, răspunsul poate fi obţinut pe baza soluţiei (1.123) şi răspunsului dat de condiţii iniţiale nenule (1.65).
( ) ( )τωτωω
τωτ ni
nn
ini k
Fxxx cos1
~sincos −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= (6.2)
( ) τωτω
ωτω
ωτ
ni
nn
ini
n kFx
xx sincossin ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= (6.3)
Calculând aceste expresii la timpul 1+it , adică pentru itΔ=τ , se obţine:
( ) ( ) ( )[ ]ini
inn
iinii t
kF
tx
txx Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ=+ ωω
ωω cos1
~sincos1 (6.4)
( ) ( ) ( )ini
inn
iini
n
i tkF
tx
txx
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ−=+ ωω
ωω
ωsin
~cossin1 (6.5)
Ecuaţiile (6.4) şi (6.5) sunt formule de recurenţă pentru calculul stării dinamice ( )11, ++ ii xx la momentul 1+it , fiind dată starea ( )ii xx , la momentul it . Pentru cazul în care interpolarea forţei perturbatoare se face liniar, aproximaţia este mai bună. Folosind ecuaţia (6.1) pentru un sistem vibrant neamortizat cu un singur grad de libertate se obţin formulele de recurenţă:
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]ininin
i
ini
inn
iinii
ttt
F
tkF
tx
txx
Δ−Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
Δ+
+Δ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ=+
ωωω
ωωω
ω
sin
cos1sincos1
(6.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]inin
iin
iin
n
iini
n
i ttk
Ft
kF
tx
txx
Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
Δ+Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Δ−=+ ω
ωωω
ωω
ωcos1sincossin1
(6.7) Formulele de recurenţă (6.4) şi (6.5), respectiv (6.6.) şi (6.7), pot fi convenabil scrise sub forma: iiiii xDxCFBFAx ⋅+⋅+⋅+⋅= ++ 11 (6.8) iiiii xDxCFBFAx ⋅′+⋅′+⋅′+⋅′= ++ 11 (6.9)
206
Dacă intervalul itΔ este constant, coeficienţii de la A până la D' trebuie calculaţi o singură dată, ceea ce măreşte viteza de calcul a răspunsului. Deoarece, formulele de recurenţă se bazează pe soluţii parţiale exacte, într-un interval de timp itΔ , este necesar ca mărimea pasului itΔ să fie ales astfel încât să se facă apropiere strânsă a răspunsului aproximativ de soluţia totală exactă. Pentru aceasta este recomandabil să se ia un pas
10n
iT
t ≤Δ , nT fiind perioada naturală a sistemului.
6.1.2. Integrarea numerică pas cu pas Metoda aplicată în paragraful precedent permite determinarea răspunsului unui sistem vibrant liniar la un timp discret it . O altă metodă, care poate fi folosită, atât pentru sisteme liniare, cât şi pentru sisteme neliniare, se bazează pe aproximarea derivatelor ce apar în ecuaţia diferenţială a mişcării şi pe generarea soluţiei pas cu pas, folosind paşii itΔ . Există foarte multe variante ale acestei metode, una dintre cele mai frecvent folosite fiind metoda de mediere a acceleraţiei (Newmark 41=β ) . În continuare se va considera sistemul mecanic a cărui ecuaţie de mişcare este: ( )tFkxxcxm =++ (6.10) cu condiţiile iniţiale: ( ) 00 xx = şi ( ) 00 vx = date. Acceleraţia în intervalul de timp it şi 1+it este luată ca medie a valorilor de la capetele intervalului de timp (fig. 6.2.) ( ) ( )15,0 ++= ii xxx τ (6.11)
Fig. 6.2.
Integrând ecuaţia (6.11) de două ori se obţine:
( )11 2 ++ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+= ii
iii xx
txx (6.12)
( )1
2
1 4 ++ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+Δ+= ii
iiiii xx
ttxxx (6.13)
207
Pentru determinarea unui algoritm, pentru integrarea numerică, este convenabil a se folosi variaţiile iFΔ , ixΔ , ixΔ şi ixΔ , unde iii FFF −=Δ +1 , şi aşa mai departe. Atunci din (6.12) şi (6.13) se obţin:
( ) iiiii
i xtxxt
x 242 −Δ−Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=Δ (6.14)
iii
i xxt
x 22−Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=Δ (6.15)
Din ecuaţia de mişcare (6.10) care se scrie pentru it şi 1+it , se obţine: iiii Fxkxcxm Δ=Δ+Δ+Δ (6.16) Ecuaţiile (6.14) şi (6.16) prin substituţie conduc la: χχ
iii Fxk Δ=Δ (6.17) unde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+= 2
42
iii t
mtckk χ (6.18)
şi
iii
ii xmxctmFF 224
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ+Δ=Δ χ (6.19)
Se determină ixΔ din (6.17), apoi se obţine ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15), respectiv iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 iii xxx Δ+=+1 (6.20) Acceleraţia poate fi determinată, de asemenea, din ecuaţia de mişcare:
m
kxxcFx iii
i−−
= (6.21)
Această ecuaţie este folosită pentru obţinerea acceleraţie 0x . În concluzie, algoritmul pentru integrarea numerică prezentată are următorii paşi:
1. Se introduc k, c, m, 0x , ( )itF , Ni ,,1,0 …= ; 2. Se determină 0x din (6.21); 3. Se introduce itΔ ;
4. Se determină χik din (6.18);
5. Se determină χiFΔ din (6.19);
6. Se determină ixΔ din (6.17);
208
7. Se determină ixΔ şi ixΔ din (6.14) şi (6.15); 8. Se determină 1+ix , 1+ix , 1+ix din (6.20).
Dacă itΔ este constant, ciclul se reia de la pasul 5, altfel de la pasul 3. 6.2. Evaluarea numerică a răspunsului sistemelor liniare cu mai multe
grade de libertate
6.2.1. Metoda diferenţelor finite Pentru integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }Qqkqcqm =++ (6.22) cu condiţiile iniţiale { }0q şi { }0q date, sunt cunoscute mai multe metode. Metoda diferenţelor finite este folosită pentru a aproxima derivatele de diferite ordine şi are la bază dezvoltările în serie Taylor ale unei funcţii ( )xf în jurul unui punct oarecare x astfel:
( ) ( ) ( )+
Δ+Δ+=Δ+
2
2
2
2 xdx
fdxdxdfxfxxf
xx (6.23)
( ) ( ) ( )+
Δ+Δ−=Δ−
2
2
2
2 xdx
fdxdxdfxfxxf
xx (6.24)
Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, se obţine:
( ) ( )
xxxfxxf
dxdf
x ΔΔ−−Δ+
=2
(6.25)
Dacă se iau şi termenii ce conţin derivatele de ordinul doi din (6.23) şi (6.24) se obţine:
( ) ( ) ( )
( )22
2 2x
xxfxfxxfdx
fd
x ΔΔ−+−Δ+
= (6.26)
În mod similar, pentru a obţine relaţii pentru derivate de ordin superior, se dezvoltă ( )xxf Δ+ 2 şi ( )xxf Δ− 2 .
Folosind formulele (6.25) şi (6.26), vectorii viteză şi acceleraţie la orice moment it , păstrând un pas constant tΔ , por fi exprimaţi astfel:
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqttqt
tq iii Δ−−Δ+Δ
=21
(6.27)
( ){ }( )
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]ttqtqttqt
tq iiii Δ++−Δ−Δ
= 212 (6.28)
209
Înlocuind (6.27) şi (6.28) în (6.22) se obţine:
( )
[ ] [ ] ( ){ } ( ){ } [ ]( )
[ ] ( ){ }
( )[ ] [ ] ( ){ }ttqc
tm
t
tqmt
ktQttqct
mt
i
iii
Δ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−Δ
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ−−=Δ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
+Δ
211
2211
2
22
(6.29)
Din ecuaţia (6.29) se poate calcula ( ){ }ttq i Δ+ , dar pentru iniţializarea ciclului este nevoie a se cunoaşte ( ){ }tq Δ− pentru a se putea determina ( ){ }tq Δ . Presupunând date condiţiile iniţiale ( ){ }0q şi ( ){ }0q din (6.22) pentru t=0 se determină ( ){ }0q . Pentru a obţine ( ){ }tq Δ− se scad ecuaţiile (6.28) şi (6.27):
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }02
002
qtqtqtq ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+Δ−=Δ− (6.30)
Un dezavantaj al acestei metode este că pasul de timp tΔ trebuie să fie mai mic decât pasul critic ( )crtΔ pentru ca operatorul să fie stabil. 6.2.2. Metoda Newmark Ecuaţiile de bază ale acestei metode sunt: ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }ttqttqttqttq iii Δ+Δ+Δ−+=Δ+ γγ 11 (6.31)
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ttqttqttqttqttq iiii Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+Δ+=Δ+ 22
1 21 ββ (6.32)
unde γ şi β sunt parametrii ce pot fi determinaţi impunându-se o acurateţe şi o stabilitate dorită. Pentru γ se ia de obicei valoarea 21 , iar pentru β se iau valori ce depind de modul în care se presupune că variază acceleraţia în intervalul it şi tti Δ+ (fig. 6.3.).
Fig. 6.3.
210
În plus, la ecuaţiile (6.31) şi (6.32) se consideră ecuaţia (6.22) satisfăcută la timpul tti Δ+ [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }ttQttqkttqcttqm iiii Δ+=Δ++Δ++Δ+ (6.33) Pentru a obţine soluţia numerică, în primul rând se rezolvă (6.32), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ , apoi se înlocuieşte în (6.31), de unde se obţine ( ){ }ttq i Δ+ şi, în sfârşit, se foloseşte (6.33) pentru a se obţine ( ){ }ttq i Δ+ .
6.3. Metode analitice aproximative 6.3.1. Calculul energiei cinetice şi potenţiale pentru sisteme continue Relaţiile (2.10) şi (2.17) dau energia cinetică şi potenţială pentru sisteme discrete. Expresii similare se pot deduce şi pentru sistemele continue, cu observaţia că, diferite sisteme continue au expresii diferite pentru aceste energii. Pentru a scoate în evidenţă legătura dintre sistemele discrete şi continue se vor deduce expresiile energiilor cinetică şi potenţială pentru o bară, care vibrează longitudinal, privind-o ca un caz limită a unui sistem discret. Se consideră sistemul de mase iM ( )ni ,,2,1 …= (fig. 6.4.). Masele sunt legate prin arcurile ik . Energia cinetică este:
( ) 2
121
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∑
= dttdu
ME in
iic
(6.34)
unde ( )
dttdui este viteza masei iM .
Fig. 6.4.
În configuraţia de echilibru masa iM ocupă poziţia ix . Notând iii xmM Δ= , unde im poate fi considerată masa unităţii de lungime, când ∞→n , trecând la limită 0→Δ ix şi energia cinetică se poate scrie:
( ) ( ) ( ) dx
ttxuxmx
dttdu
mEL
ii
n
iixc
i
2
0
2
10
,21
21lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
=Δ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∫∑
=→Δ
(6.35)
211
unde variabila x este în locul poziţiei indexate ix , iar L reprezintă lungimea barei. În cazul barei omogene ( ) ( )xAxm ρ= . Pentru calculul energiei potenţiale se presupune sistemul liniar. Notând cu ( )tFi forţa din arcul ik şi cu 1−− ii uu deformaţia acestuia, expresia energiei potenţiale este:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]211
11 2
121 tutuktututFE ii
n
iiii
n
iip −
=−
=
−=−= ∑∑ (6.36)
Introducând notaţiile i
ii x
EAk
Δ= şi ( ) ( ) ( )tututu iii Δ=− −1 , expresia (6.36), trecând la
limită se poate scrie:
( ) ( ) ( ) dx
xtxuxEAx
xtu
EAEL
ii
in
iixp
i
2
0
2
10
,21
21lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
=Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
= ∫∑=
→Δ (6.37)
Într-un mod analog, se exprimă aceste energii pentru o bară aflată în vibraţii de răsucire:
( ) ( ) dxt
txxJEL
c
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫θ
(6.38)
( ) ( ) dxx
txxGIEL
p
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫θ
(6.39)
precum şi pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere:
( ) ( ) dxt
txvxAEL
c
2
0
,21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
= ∫ ρ
(6.40)
( ) ( ) dxx
txvxEIEL
p
2
2
2
0
,21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂= ∫
(6.41) 6.3.2. Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange pentru sistemele continue în metoda modurilor presupuse Pentru a genera un model cu N grade de libertate pentru un sistem continuu soluţia aproximativă ( )txu , ( ( )tx,θ sau ( )txv , ) se ia de forma:
( ) ( ) ( )tqxtxu r
N
rr ⋅=∑
=1
, φ (6.42)
unde ( )xrφ sunt funcţii acceptabile (funcţiile generatoare sau de comparaţie pot fi privite întotdeauna ca funcţii acceptabile). Funcţiilor acceptabile li se impun numai verificarea
212
condiţiilor de frontieră geometrice, constituind astfel o clasă mai largă decât cea a funcţiilor generatoare. Funcţiile de timp ( )tqr corespund coordonatelor generalizate. Se ca considera cazul vibraţiilor longitudinale, caz în care, înlocuind (6.42) în expresiile energiilor cinetică şi potenţială, se obţine:
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =
==N
rsr
N
srssr
N
rs
N
sr
L
c qqmdxqqxxxAE1 11 10 2
121 φφρ (6.43)
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∫= == =
=′′=N
rsr
N
srssr
N
rs
N
sr
L
p qqkdxqqxxxEAE1 11 10 2
121 φφ (6.44)
unde
( ) dxxAm sr
L
rs φφρ∫=0
; ( ) dxxEAk sr
L
rs φφ ′′= ∫0
(6.45)
Cu alte cuvinte, pE şi cE sunt funcţii pătratice de coordonatele generalizate, respectiv vitezele generalizate. Coeficienţii formelor pătratice sunt elementele matricelor [ ]k şi [ ]m din forma matriceală:
{ } [ ]{ }qmqE Tc 2
1= ; { } [ ]{ }qkqE T
p 21
= (6.46)
Dacă bara este supusă unor forţe externe distribuite pe unitatea de lungime ( )txf , , atunci lucrul mecanic virtual este:
( ) ( ) r
N
rr
L
qQtxudxtxfL δδδ ∑∫=
=⋅=10
,, (6.47)
Din (6.42) deplasarea virtuală ( )txu ,δ se scrie:
( ) ( ) r
N
rr qxtxu δφδ ∑
=
=1
, (6.48)
care înlocuită în relaţia (6.47) dă forţele generalizate:
( ) ( ) ( )dxxtxftQ r
L
r φ⋅= ∫0
, (6.49)
Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare se folosesc ecuaţiile lui Lagrange (2.1), obţinându-se:
( )∑∑==
=+N
sjsjs
N
ssjs tQqkqm
11, Nj ,1= (6.50)
sau sub forma matriceală: [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQqkqm =+ (6.51) În concluzie, alegând un număr de N funcţii acceptabile, calculând coeficienţii din (6.45) şi forţele generalizate, se ajunge la ecuaţia de mişcare (6.51), a cărei rezolvare a fost discutată la vibraţiile sistemelor discrete. Dacă se presupune şi efectul forţelor rezistente, ca fiind forţe de amortizare vâscoasă, pe unitatea de lungime acţionează o forţă
213
( ) ( ) ( )dxtxuxcdxtxr ,, −= (6.52) c(x) fiind un coeficient de distribuţie a amortizării. Forţele generalizate de amortizare vor fi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxqxxcdxxtxrQ r
L N
sssr
Lar φφφ ∫ ∑∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅=
=0 10
, (6.53)
sau
s
N
jjs
ar qcQ ∑
=
−=1
, Nj ,1= (6.54)
unde coeficienţii matricei de amortizare [c] sunt:
( ) dxxcc sr
L
rs φφ∫=0
(6.55)
6.3.3. Metoda Rayleigh Pentru obţinerea unei soluţii aproximative, corespunzătoare modului fundamental, se poate folosi metoda lui Rayleigh. Această metodă se bazează pe teorema de conservare a energiei mecanice totale a sistemelor conservative, adică: max.max. pc EE = (6.56) Energia cinetică a unei bare ce vibrează longitudinal din (6.35) este:
( ) dxtuxAE
L
c
2
021
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ ρ (6.57)
iar energia potenţială este:
( ) dxxuxEAE
L
p
2
021
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ (6.58)
Presupunând o lege armonică de variaţie a deplasării ( )txu , , de forma: ( ) ( ) ptxUtxu cos, = (6.59) energia cinetică maximă, respectiv energia potenţială maximă, sunt date de:
( ) dxUxApEL
c2
0
2max. 2
1∫= ρ (6.60)
( ) dxxUxEAE
L
p
2
0max. 2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ (6.61)
Din ecuaţia (6.56) se obţine:
214
( )URdxUA
dxdxdUEA
p L
L
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
∫
∫2
0
2
02 (6.62)
Pentru a determina pulsaţia fundamentală din (6.62) se presupune o deformaţie sau o funcţie ( )xU , care satisface condiţiile geometrice de frontieră, adică o funcţie acceptabilă. Expresia (6.62) se numeşte raportul lui Rayleigh şi depinde de funcţia aleasă ( )xU .
6.3.4. Metoda Rayleigh – Ritz Dacă se doreşte determinarea mai multor pulsaţii naturale, se va înlocui funcţia ( )xU printr-o combinaţie liniară de N funcţii acceptabile
( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.63) unde Nααα ,,, 21 … sunt constante , iar Nφφφ ,,, 21 … sunt funcţii acceptabile. Dacă se înlocuieşte (6.63) în raportul lui Rayleigh, se obţine acest raport ca o funcţie de cele N constante. Se demonstrează (6.4.2.) că raportul lui Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea unui mod propriu. Deci, se poate scrie setul de condiţii:
0321
=∂∂
==∂∂
=∂∂
=∂∂
N
RRRRαααα
… (6.64)
Acestea vor reprezenta un sistem liniar algebric omogen în necunoscutele Nααα ,,, 21 … . Impunând condiţia de soluţie nebanală sistemului (6.64) se obţin pulsaţiile proprii şi constantele Nααα ,,, 21 … . Dacă funcţia ( )xU se dezvoltă în serie de funcţii modale ortogonale, astfel ca
1=rM , atunci:
( ) ( )xUxU r
N
rr∑
=
=1
α (6.65)
iar raportul lui Rayleigh, ţinând cont şi de relaţiile de ortogonalitate (5.43) şi (5.44), cât şi de relaţiile (5.46) şi (5.48), devine:
( ) 222
21
2222
22
21
21
N
NNpppUR
αααααα
++++++
=……
(6.66)
Dacă 01 ≠p , relaţia (6.66) se poate scrie:
215
( ) 2
1
2
1
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
2
2
1
2
21
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
αα
αα
αα
αα
αα
αα
N
NN
pp
pp
pp
pUR
…
…
(6.67)
Deoarece Npppp ≤≤≤≤ 321 , fiecare termen al numărătorului este mai mare sau egal cu termenul corespunzător numitorului. Deci, ( ) 2
1pUR ≥ (6.68)
Un procedeu similar se foloseşte pentru a arăta că ( ) 2NpUR ≤ .
6.3.5. Metoda Galerkin Pentru a da o soluţie aproximativă ecuaţiei (5.25) sau (5.101), folosind metoda Galerkin, se presupune că soluţia se scrie sub forma unei combinaţii liniare de funcţii de punct ( )xiφ , care satisfac, fiecare în parte, toate condiţiile la limită, atât cele geometrice, cât şi cele naturale: ( ) NNxU φαφαφα +++= …2211 (6.69) Deoarece ( )xU nu este o soluţie exactă, după introducerea în ecuaţia (5.25) se obţine o cantitate, în membrul drept, diferită de zero, numită reziduu şi notată cu ( )pUR , . Această notaţie nu trebuie confundată cu raportul Rayleigh.
Valorile constantelor Nααα ,,, 21 … se obţin punând condiţiile ca integrala reziduului înmulţită cu fiecare funcţie, pe toată lungimea barei, să fie nulă:
( ) 0,0
=∫ dxpUR i
L
φ Ni ,,2,1 …= (6.70)
Ecuaţiile (6.70) reprezintă, de asemenea, un sistem omogen. Din condiţia de soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică. Cantitatea ( )pUR , poate fi privită şi ca o măsură a erorii de aproximare. Constantele Nααα ,,, 21 … se pot determina şi pe baza metodei celor mai mici pătrate:
( )[ ] imdxpURL
min,0
2 =∫ (6.71)
Din condiţia de minim, rezultă tot un sistem algebric liniar şi omogen.
6.4. Evaluarea numerică a pulsaţiilor proprii şi a vectorilor proprii
6.4.1. Metoda puterii folosind matricea de eliminare
216
Metoda puterii este o metodă iterativă, pentru determinarea vectorilor proprii şi a valorilor proprii, bazată pe dezvoltarea (2.85). Implicaţia acestei dezvoltări este că problema de valori proprii (2.63) sau (2.67) conduce la un set de vectori proprii { }rμ ,
nr ,1= liniar independenţi. Ecuaţia (2.67) poate fi pusă şi sub forma: [ ]{ } { }rrrD μλμ = nr ,,2,1 …= (6.72)
unde [ ] [ ] [ ]mkD 1−= este matricea dinamică a sistemului, iar 2
1
rr p=λ .
În baza relaţiei (2.85) un vector, cu care se începe iteraţia, poate fi scris astfel:
( ){ } { } { } { } { }r
n
rrnn μαμαμαμαμ ∑
=
=+++=1
22111 … (6.73)
Prin înmulţirea vectorului ( ){ }1μ cu matricea [ ]D , ţinând cont şi de ecuaţia (6.72), se obţine un alt vector ( ){ }2μ , de forma:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr
n
rrr
n
rr DD μ
λλ
αλμαμμ11
11
12 ∑∑==
=== (6.74)
Spre deosebire de (6.73), unde fiecare vector propriu { }rμ este înmulţit cu constantele
rα , în vectorul ( ){ }2μ are componentele înmulţite cu 1λ
λα r
r . Deoarece valorile proprii
sunt presupuse ordonate astfel ca nλλλλ ≥≥≥≥ 321 raportul 1λλr , arată nivelul de
participare a vectorului propriu { }rμ în componenţa vectorului ( ){ }2μ . Desigur procedeul
poate fi continuat, astfel încât, dacă ( ){ }2μ se împarte cu 1λ şi se înmulţeşte cu [ ]D , se obţine:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } { }rr
n
rrr
rn
rr DDD μ
λλ
αλμλλ
αμλ
μλ
μ2
111
11
12
1
2
1
3 11⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==== ∑∑
== (6.75)
Şi, în general, după k paşi:
( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } { }r
k
rn
rr
kk
kk DD μλλ
αλμλ
μλ
μ1
111
112
1
1
1
11−
=
−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=== ∑ (6.76)
Pentru un număr suficient de mare de paşi:
( ){ } [ ] ( ){ } { }1111
111
1lim1lim μαμλ
μλ
== −−∞→∞→
kkk
k
kD (6.77)
Deci, procedeul este convergent spre primul vector propriu şi prima valoare proprie. Mai mult, când convergenţa este îndeplinită, vectorii ( ){ }kμ şi ( ){ }1−kμ satisfac ecuaţia (6.72), deoarece ei, amândoi pot fi priviţi ca { }1μ , iar pulsaţia fundamentală va fi
121 1 λ=p .
217
Numărul paşilor iterativi depinde de doi factori. Primul factor de care depinde acest număr de paşi este sistemul însuşi şi anume, dacă valorile 1λ şi 2λ sunt comparabile, separarea vectorilor { }1μ şi { }2μ este mai înceată şi numărul paşilor mai mare. Al doilea factor depinde de experienţa analistului, deoarece alegerea vectorului de iteraţie ( ){ }1μ cât mai apropiată de primul mod va reduce numărul paşilor iterativi. Un lucru este sigur, indiferent de numărul paşilor iterativi, procesul converge către primul mod, exceptând cazul în care vectorul ales pentru iteraţie coincide perfect cu un mod superior. Dacă este aşa, problema se pune cum se determină modurile superioare. O modalitate ar fi găsirea unui vector de iteraţie care să nu-l conţină pe { }1μ . Acest procedeu este, în general, mai dificil. O altă metodă este aşa numita metoda matricei de eliminare. Dacă 1λ şi { }1μ reprezintă primul mod al matricei [ ]D , iar normalizarea este
făcută astfel ca { } [ ]{ } 111 =μμ mT , atunci matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]mDD T111
2 μμλ−= (6.78) va avea aceleaşi valori proprii ca şi [ ]D , exceptând 1λ . Înmulţind cu ( ){ }1μ relaţia (6.78) se obţine:
( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } [ ]{ } { } { } [ ]{ }rT
n
rrr
n
rrr
n
rr mDDD μμαμλμαμαμ 1
111
1
2
1
12 ∑∑∑===
−== (6.79)
Ţinând cont de condiţiile de ortogonalitate şi ecuaţia (6.72), relaţia (6.79) se reduce la:
( )[ ] ( ){ } ( )[ ]{ } { }rr
n
rrr
n
rr DD μλαμαμ ∑∑
==
==2
2
1
12 (6.80)
deci matricea ( )[ ]2D este liberă de vectorul propriu { }1μ . Deci, folosind pentru iteraţie
orice vector arbitrar, împreună cu matricea ( )[ ]2D , procesul iterativ va converge către 2λ şi { }2μ .
Deoarece valoarea proprie dominantă pentru ( )[ ]2D este 2λ , procesul de eliminare poate continua folosind: ( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD T
22223 μμλ−= (6.81)
de unde se va obţine 3λ şi { }3μ . Procesul de eliminare poate fi scris pentru cazul general:
( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]mDD Tsss
ss111
1−−−
− −= μμλ , ns ,,3,2 …= (6.82) Pentru determinarea ultimului mod nλ , { }nμ se poate folosi pentru iteraţie matricea
[ ] [ ] [ ] 11 −− = Dkm .
218
6.4.2. Metoda raportului Rayleigh După cum s-a văzut la paragraful 6.3.3. raportul Rayleigh se deduce pe baza teoremei de conservare a energiei mecanice. Dacă un sistem discret se află în mişcare după unul din modurile proprii, deplasările punctelor din sistem se obţin din (2.95) ( ){ } { } ( )rrrr tpCtq ϕμ += cos (6.83) Energia cinetică şi potenţială a sistemului va fi:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrrT
rrrT
c tpmpCqmqE ϕμμ +== 222 cos21
21
(6.84)
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )rrsTrr
Tp tpkCqkqE ϕμμ +== 22 sin
21
21
(6.85)
În cazul mişcării după un mod propriu de vibraţie r se poate scrie teorema de conservare a energiei mecanice (6.56) sub forma:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }rTrrr
Trrr kCmpC μμμμ 222
21
21
= (6.86)
de unde se obţine mărimea scalară:
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }r
Tr
rT
rr m
kp
μμμμ
=2 (6.87)
Dacă se consideră un vector arbitrar { }μ , atunci raportul Rayleigh (6.87) devine:
( ) { } [ ]{ }{ } [ ]{ }μμ
μμμmkRp T
T
==2 (6.88)
Acest raport, pentru un sistem dat, depinde numai de vectorul arbitrar { }μ şi se bucură de câteva proprietăţi. Prima, ar fi cea care rezultă imediat, dacă vectorul arbitrar { }μ coincide cu un vector propriu, atunci valoarea scalară a raportului este pătratul pulsaţiei proprii asociate. A doua, raportul are o valoare staţionară în vecinătatea unui vector propriu. Într-adevăr, dacă vectorii proprii sunt normalizaţi după regula: { } [ ]{ } 1=r
Tr m μμ , nr ,,2,1 …= (6.89)
atunci se pot scrie şi relaţiile: [ ] [ ][ ] [ ]ImT =μμ ; [ ] [ ][ ] [ ]\
\λμμ =kT (6.90)
unde [ ]μ este matricea modală, [ ]I este matricea unitate, iar [ ]\\λ este o matrice diagonală, având pe diagonală valorile proprii. Un vector arbitrar { }μ se poate scrie şi în forma:
219
{ } { } [ ]{ }αμμαμ ==∑=
r
n
rr
1 (6.91)
unde{ }α este un vector, având componentele date de coeficienţii rα . Înlocuind în raportul Rayleigh relaţia (6.91) şi, ţinând cont şi de (6.90) se obţine:
( ) { } [ ] [ ][ ]{ }{ } [ ] [ ][ ]{ }
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } ∑
∑
=
==== n
ii
i
n
ii
T
T
TT
TT
ImkR
1
2
1
2
\\
α
λα
αααλα
αμμααμμαμ (6.92)
Dacă se presupune că vectorul arbitrar { }μ diferă foarte puţin de un vector propriu { }rμ , aceasta implică faptul că toţi coeficienţii iα pentru ri ≠ , sunt foarte mici comparativ cu rα , adică: rii αεα = , nr ,,2,1 …= , ri ≠ (6.93) unde iε este un număr foarte mic 1<<iε .
Împărţind raportul (6.92) prin 2rα , se obţine:
( )( )
( )( ) 2
1
1
2
2
1
11
1i
n
irirn
iiir
ii
n
iirr
R ελλλεδ
ελδλμ ∑
∑
∑=
=
= −+≈−+
−+= (6.94)
unde irδ este simbolul lui Kronecker, iar factorul ( )irδ−1 , exclude automat termenul corespunzător pentru ri = . Cum iε este un număr foarte mic, relaţia (6.94) arată că raportul Rayleigh are o valoare staţionară în vecinătatea vectorilor proprii. În particular, dacă 1=r , se obţine proprietatea cea mai importantă şi cea mai folosită.
( ) ( )∑=
−+=n
iiR
111 λλλμ 1
2 λε ≥i (6.95)
deoarece 1λλ ≥i . Raportul lui Rayleigh se modifică şi odată cu modificarea matricelor [ ]m şi [ ]k , ale sistemului. Din punct de vedere fizic, acest raport arată că dacă sistemul devine mai rigid, adică dacă [ ]k creşte, pulsaţia fundamentală creşte şi ea, iar dacă sistemul devine mai masiv, aceasta descreşte. 6.4.3. Metoda matricelor de transfer Conform cu metoda matricelor de transfer (Holzer), în cazul vibraţiilor de torsiune, sistemul este privit ca fiind constituit dintr-un număr de n+1 volanţi, iar arborii dintre masele concentrate ale volanţilor au numai rigiditate uniform distribuită (fig. 6.5.). Dacă se izolează volantul i (fig. 6.5.b.), ecuaţia de echilibru dinamic se scrie:
220
Si
Diii MMJ −=ϕ (6.96)
Fig. 6.5
Presupunând că sistemul execută vibraţii armonice cu pulsaţia p, atunci
ii p ϕϕ 2−= , iar (6.96) devine:
iiSi
Di JpMM ϕ2−= (6.97)
Volantul fiind rigid, deplasările unghiulare la stânga şi la dreapta sunt egale: S
iDi ϕϕ =
(6.98) Sub forma matriceală, ecuaţiile (6.97) şi (6.98) se scriu:
S
i
D
i MJpM ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ϕϕ
1
012 (6.99)
Deoarece arborii nu au masă, se poate scrie: D
iSi MM =+1 (6.100)
iar deplasarea relativă a capetelor are expresia:
i
DiD
iSi k
M=−+ ϕϕ 1 (6.101)
unde i
ii l
GIk = , iI fiind moment de inerţie geometric polar.
Sub formă matriceală relaţiile (6.100) şi (6.101) se scriu:
221
D
i
S
i Mk
M ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
ϕϕ
10
11
1
(6.102)
Produsul [ ]iT al matricelor
[ ]i
iV kT⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10
11, [ ]
i
iA JpT
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−=
1
012 (6.103)
care stabilesc legătura dintre doi vectori de stare adiacenţi, se numeşte matrice de transfer. Înlocuind (6.99) în (6.102) se obţine:
[ ]S
ii
S
i MT
M ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+
ϕϕ
1
(6.104)
unde [ ] [ ] [ ]iAiVi TTT ⋅= (6.105) Începând cu primul volant (i=1), rezultă uşor că:
[ ] [ ] [ ] [ ]1
1211 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
MTTTT
M ii
S
i
ϕϕ… (6.106)
Mai mult, din fig. 6.5.a., se poate deduce că:
[ ]12221
1211
11 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+MTT
TT
MT
M
SD
n
ϕϕϕ
(6.107) unde [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1211 TTTTTT nnnV …−+= (6.108) care este cunoscută ca matrice de transfer globală şi dă legătura dintre vectorul de stare din partea stângă a primului volant şi vectorul de stare din partea dreaptă a ultimului volant. Ecuaţia pulsaţiilor proprii se deduce din (6.107) pentru diferite tipuri de condiţii la limită. Următoarele cazuri sunt frecvent întâlnite:
1. Arbore cu capetele libere. În absenţa cuplurilor la capete, condiţiile la limită sunt: 011 == +
Dn
S MM (6.109)
care, înlocuite în (6.107), deoarece 01 ≠Sϕ , trebuie să verifice: 021 =T (6.110) ceea ce reprezintă ecuaţia pulsaţiilor proprii, o ecuaţie algebrică de gradul n+1 în 2p . Se poate da factor comun 2p astfel ca să se obţină rădăcina 02 =p . Acest lucru era de aşteptat, deoarece arborele, având capetele libere, are un mod de vibraţie de corp rigid.
222
2. Arbore cu un capăt încastrat, celălalt liber. Presupunând capătul din stânga
încastrat, deplasarea acestuia este nulă, iar în capătul liber momentul de răsucire este nul. Deci condiţiile de forntieră sunt: 01 =Sϕ ; 01 =+
DnM (6.111)
Din (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 022 =T (6.112) ecuaţia ce dă pulsaţiile proprii şi este de gradul n în 2p .
3. Arborele are ambele capete încastrate. În acest caz, condiţiile de frontieră sunt: 01 == +
Dn
Si ϕϕ (6.113)
iar din ecuaţia (6.107), deoarece 01 ≠SM , trebuie ca: 012 =T (6.114) ceea ce reprezintă ecuaţia caracterisitică, ecuaţie de gradul n-1 în 2p . Pentru modelul de translaţie (fig. 6.6.) se stabilesc relaţii asemănătoare.
Fig. 6.6.
Metoda lui Holzer dă în acest caz următoarele relaţii recurente:
1. Pentru un sistem cu capete libere:
j
i
jj
iii am
kpaa ∑
=++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
11
2
1 (6.115)
unde ia , ik , im sunt amplitudinile, constantele elastice şi masele elementelor sistemului, iar p este pulsaţia unui mod propriu în care se presupune că vibrează sistemul.
2. Pentru un capăt fixat, celălalt liber:
j
i
jj
ii am
kpaa ∑
=++ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
11
2
11 (6.116)
3. Pentru sistemul cu ambele capete fixate:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑
=++ j
i
jj
iii ampak
kaa
1
211
11
1 (6.117)
223
Pentru o valoare dată a pulsaţiei p, se începe procesul iterativ presupunând amplitudinea primei mase 11 =a . Amplitudinile şi forţele de inerţie pentru toate celelalte mase sunt calculate pe baza formulelor precedente. Pentru ultima masă din sistem amplitudinea trebuie să fie zero pentru capete fixate, şi pentru capete libere forţa de inerţie totală este zero. Reprezentând grafic (sau prin calcule numerice) valorile rămase pentru amplitudine sau forţa de inerţie, se obţin adevăratele pulsaţii proprii ale sistemului.
6.5. Probleme
6.5.1. Folosind metoda modurilor presupuse să se obţină un model cu două grade de libertate pentru vibraţiile longitudinale ale unei bare încastrate la un capăt şi supusă unei forţe ( )tN la celălalt capăt. Să se aleagă funcţii acceptabile, funcţii polinomiale. Să se determine pulsaţiile proprii şi forma modurilor proprii şi să se compare cu cele exacte.
Fig. 6.7.
Rezolvare: Se aleg funcţiile acceptabile ( )xiφ , cărora li se impune o singură condiţie de frontieră, condiţia geometrică: ( ) 0,0 =tu , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxu 2211, φφ += Astfel, funcţiile ( )xiφ , 2,1=i , trebuie să satisfacă condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ
Se aleg fucţiile polinomiale ( )Lxx =1φ şi ( )
2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ .
Este convenabil ca funcţiile alese să fie adimensionale, dar nu este o condiţie esenţială. Pe baza relaţiilor (6.45) se pot calcula coeficienţii
srm şi
srk .
Astfel se obţin:
224
3
21
011
ALdxAmL ρφρ == ∫
421
02112
ALdxAmmL
=== ∫ φφρ
5
22
022
ALdxAmL ρφρ == ∫
( )L
EAdxEAkL
=′= ∫0
2111 φ
21210
12 kL
EAdxEAkL
==′′= ∫ φφ
( )L
EAdxEAkL
34
0
2222 =′= ∫ φ
Forţele generalizate se calculează pe baza lucrului mecanic virtual: ( ) 2211, qQqQtLuNL δδδδ +== unde ( ) ( ) ( ) 2211, qLqLtLu δφδφδ += De unde va rezulta că: ( ) NLNQ == 11 φ şi ( ) NLNQ == 22 φ Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:
( )( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
tNtN
LEA
qqAL
2
1
2
1
43
33
31215
1520
60ρ
Pentru determinarea pulsaţiilor proprii se consideră cazul vibraţiilor libere
( )( )0=tN . Luând soluţia de formă armonică { } { } ( )ϕ+= ptaq cos se ajunge la problema de vectori proprii şi valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
1215
1520
43
33
2
12
aa
λ
unde
22
2
20p
ELρλ =
Din condiţia ca sistemul să aibă soluţie nebanală se obţine ecuaţia caracteristică:
( ) 032615 222 =+− λλ cu rădăcinile:
30
4962622,1
±=λ ; 124,02
1 =λ ; 609,122 =λ
225
respectiv, cu pulsaţiile proprii:
ρE
Lp 57,1
1 = ; ρE
Lp 66,5
2 =
Vectorii proprii corespunzători se determină din ecuaţia:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−
001
124153
153203
222
22
rrr
rr
μλλ
λλ
de unde se obţine:
2
2
2
2
2 124153
153203
r
r
r
rr λ
λλλ
μ−−
−=−−
−=
adică 45,021 −=μ ; 381,122 −=μ Soluţia aproximativă este:
( ) ( ) ( ) { } { } { } { } ( ) ( ) ( )rrr
rrrrr
TTr
rr tpxUtpqtqxtxu ϕϕμφφφ +=+=== ∑∑∑
===
coscos,2
1
2
1
2
1
Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r
Tr xU μφ= , 2,1=r
adică
( )2
1 45,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxU
( )2
2 381,1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxU
care sunt reprezentate în fig. 6.8.
Fig. 6.8.
Pentru a face comparaţie cu rezultatele exacte, din Tabelul 1., pentru legătura (I – L ), se scot pulsaţiile proprii şi funcţiile proprii:
( )
ρπ E
Lrpr 2
12 −=
226
( ) ( )LxrCxUr ⋅
−=
212sin π
adică
ρE
Lp 57,1
1 = ; ρE
Lp 71,5
2 =
Formele corespunzătoare acestor moduri sunt reprezentate în fig. 6.9.
Fig. 6.9.
Acest exemplu arată o bună estimare a pulsaţiilor naturale şi care sunt accesibile prin folosirea metodei modurilor presupuse. 6.5.2. O platformă de foraj este modelată ca o bară flexibilă, având lungimea L şi o masă M concentrată în capătul superior. La capătul inferior legătura este modelată printr-un arc spiral de constantă K. Folosind metoda modurilor presupuse, să se determine ecuaţiile mişcării unui model cu două grade de libertate. Se vor presupune mici rotaţii la capătul
0=x .
227
Fig. 6.10. Rezolvare: Se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tv , unde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqxtqxtxv 2211, φφ += Astfel, pentru funcţiile acceptabile ( )x1φ şi ( )x2φ se impune condiţia: ( ) ( ) 000 21 == φφ Se vor lua cele mai simple funcţii care să satisfacă această condiţie, funcţii polinomiale.
( )Lxx =1φ şi ( )
2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ
Pentru calculul coeficienţilor matricei de rigiditate şi de inerţie se scriu expresiile energiilor potenţiale şi cinetice pentru o bară aflată în vibraţii de încovoiere.
( ) 20
0
2
21
21 θKdxvEIE
L
p +′′= ∫
( )tLvMdxvAEL
c ,21
21 2
0
2 += ∫ ρ
unde
( ) ( ) ( )tqxtxv rr
r ⋅= ∑=
2
1
, φ
( ) ( ) ( )∑=
⋅′=′=2
10 0,0
rrr tqtv φθ
Dacă se înlocuiesc aceste relaţii în expresiile energiilor potenţiale şi cinetice, ţinând cont că acestea sunt forme pătratice în coordonatele generalizate, respectiv în vitezele generalizate, se obţin:
( )( ) ( )( ) 22
10
2111 0
LKKdxxEIk
L
=′+′′= ∫ φφ
( ) ( ) 0210
2112 =′′′′== ∫ dxxxEIkkL
φφ
( )( ) ( )( ) 32
20
2222
40LEIKdxxEIk
L
=′+′′= ∫ φφ
( ) ( ) MALLMdxxAmL
+=+= ∫ 32
12
10
11ρφφρ
( ) ( ) ( ) ( ) MALLLMdxxxAmmL
+=+== ∫ 421210
2112ρφφφφρ
228
( ) ( ) MALLMdxxAmL
+=+= ∫ 522
22
022
ρφφρ
Punând ecuaţiile mişcării sub formă matriceală, se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++
0
0
40
0
54
43
2
1
2
2
2
1
q
q
LEI
LK
q
q
ALMALM
ALMALM
ρρ
ρρ
6.5.3. Se consideră sistemul din fig. 6.11. Folosind metoda modurilor presupuse, să se
calculeze primele două pulsaţii proprii şi modurile corespunzătoare pentru L
EAk = .
Fig. 6.11.
Rezolvare: Pentru alegerea funcţiilor acceptabile se pune o singură condiţie geometrică de frontieră: ( ) 0,0 =tu . Se pot lua ca funcţii acceptabile, funcţiile proprii pentru vibraţiile longitudinale
ale barei I – L , adică: ( ) ( )LxrCxr ⋅
−=
212sin πφ , 2,1=r
Deplasarea în modurile presupuse va fi:
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxu 21 2
3sin2
sin, ππ+=
Energia cinetică este:
{ } [ ]{ }qmqqALqALdxtuAE T
L
c 21
4421 2
221
2
0
=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ρρρ
iar energia potenţială:
( ) ( )
{ } [ ]{ }qkq
qqL
EAqLEAq
LEAtLkudx
xuEAE
T
L
p
21
2169
16,
21
21 2
2122
221
22
2
0
=
−++=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ππ
Ecuaţia sub formă matriceală este:
229
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
−++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
00
898
88
810
01
2 2
12
2
2
1
LEA
qqAL
π
πρ
din care se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:
ρE
Lp 06,2
1 = ; { } { }1,011 =Tμ
ρE
Lp 94,4
2 = ; { } { }97,912 −=Tμ
şi funcţiile care dau forma modurilor proprii:
( )Lx
LxxU
23sin1,0
2sin1
ππ⋅+=
( )Lx
LxxU
23sin97,9
2sin2
ππ⋅−=
6.5.4. Se consideră o bară I – L în vibraţii longitudinale şi care are la capătul liber o
masă concentrată 10ALM ρ
= .
Să se determine primele două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare.
Fig. 6.12.
Rezolvare: Considerând aceleaşi funcţii acceptabile ca şi la problema precedentă, deplasarea în modurile presupuse este:
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxu 21 2
3sin2
sin, ππ+=
Energia cinetică este:
( ) ( ) ( ) { } [ ]{ }qmqqqALqqALtLuMdxtuAE T
L
c 21
204,
21
21 2
2122
21
22
0
=−++=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ρρρ
iar energia potenţială este:
{ } [ ]{ }qkqqL
qL
EAdxxuEAE T
L
p 21
89
8221 2
2
221
22
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ππ
Ecuaţiile de mişcare sub formă matriceală sunt:
230
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
0
0
890
08
61
16
102
1
2
2
2
1
q
q
LEA
qqAL
π
πρ
de unde se obţin pulsaţiile proprii şi vectorii proprii:
ρE
Lp 43,1
1 = ; { } { }021,011 −=Tμ
ρE
Lp 37,4
2 = ; { } { }35,512 =Tμ
Funcţiile care dau forma aproximativă a modurilor proprii vor fi: ( ) { } { }r
Tr xU μφ= , 2,1=r
adică
( )Lx
LxxU
23sin021,0
2sin1
ππ⋅−=
( )Lx
LxxU
23sin35,5
2sin2
ππ⋅+=
6.5.5. Sistemul din fig. 6.13. este constituit dintr-o bară încastrată liberă (I – L) cu un arc şi o masă M suspendată la un capăt liber. Să se folosească metoda modurilor presupuse pentru a determina primele trei pulsaţii proprii ale sistemului şi modurile proprii corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere. Pentru bară se vor lua funcţiile acceptabile
( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ . Se va lua 3L
EIk = , 7ALM ρ
= .
Fig. 6.13.
Rezolvare: Deplasarea unui punct al barei în metoda modurilor presupuse va fi:
231
( ) ( ) ( )tqLxtq
Lxtxv 2
3
1
2
, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Energia cinetică a barei este:
( )
2221
21
2
2
3
1
2
0
2
01
14610
21,
21
qALqqALqAL
dxqLxq
LxAdx
ttxvAE
LL
c
ρρρ
ρρ
++=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
= ∫∫
iar energia potenţială:
( )
223213
213
2
23120
2
2
2
01
662
6221,
21
qLEIqq
LEIq
LEI
dxqLxq
LEIdx
xtxvEIE
LL
p
++=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂= ∫∫
Energia cinetică a masei M este:
23
232 142
1 qALqMEcρ
==
iar energia potenţială a arcului:
( )[ ] ( )23213
232 2
,21 qqq
LEIqtLvkEp −+=−=
Scriind energia cinetică a sistemului, respectiv energia potenţială a sistemului sub forma matriceală:
{ } [ ]{ }qmqE Tc 2
1= ; { } [ ]{ }qkqE T
p 21
=
şi, înlociund în ecuaţia matriceală de mişcare: [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ qkqm se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
111
1137
175
3000
03035
03542
2103
2
1
3
3
2
1
qqq
LEI
qqq
ALρ
Rezolvând problema de valori proprii şi vectori proprii, se obţin:
A
EIL
pρ21
14,2= ; { } { }118,053,01 −=Tμ
232
A
EIL
pρ22
34,4= ; { } { }35,041,012 −−=Tμ
A
EIL
pρ23
92,34= ; { } { }001,0182,03 −−=Tμ
6.5.6. O bară simplu rezemată la fiecare capăt, are fixat un arc de constantă 340LEIk =
la 4L de un capăt (fig. 6.14.). Folosind metoda Rayleigh, să se calculeze pulsaţia fundamentală a vibraţiilor de înconvoiere.
Fig. 6.14.
Rezolvare: Pentru determinarea pulsaţiei fundamentale se alege funcţia acceptabilă
( )LxxV πsin= , funcţie ce verifică condiţiile geometrice de frontieră:
( ) ( ) 0,,0 == tLvtv , unde ( ) ( ) ( )tqxVtxv ⋅=, , reprezintă deplasarea unui punct al barei. Presupunând o lege armonică de deplasare a fiecărui punct al barei, se poate scrie: ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= Acum se pot calcula energia cinetică maximă a barei şi energia potenţială maximă a sistemului:
( )dxvAVpEL
c ∫=0
22max. 2
1 ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
= ∫ 421
21 2
2
2
2
0max.
LkVdxxVEIE
L
p
de unde, pe baza conservării energiei mecanice se obţine raportul Rayleigh:
AEI
Ldx
LxA
kdxLxEI
L
dxVA
LkVdxxVEI
p L
L
L
L
ρπ
πρ
πππ
ρ4
4
0
2
22
04
4
2
0
2
0
2
2
2
2 40
sin
4sinsin
4 +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
∫
∫
sau
233
A
EIL
pρ
π2
440+=
6.5.7. Să se determine pulsaţia fundamentală a vibraţiei de încovoiere a unei bare omogene de lungime L şi încastrată la ambele capete, folosind metoda Rayleigh. Rezolvare: Energia cinetică a unei bare aflată într-o mişcare vibratorie de încovoiere este:
( ) dxt
txvAEL
c
2
0
,21∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
= ρ
iar energia potenţială este:
( ) dxx
txvEIEL
p
2
02
2 ,21∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂=
unde ( ) ( ) ( ) ( ) ptxVtqxVtxv cos, ⋅=⋅= , presupunând o deplasare armonică pentru fiecare punct al barei. ( )xV este o funcţie acceptabilă care să îndeplinească condiţiile geometrice de frontieră:
( ) ( ) 0,,0 == tLvtv şi ( ) ( ) 0,,0 =′=′ tLvtv
Luând ( )L
xxV π2cos1−= , se constată că sunt verificate aceste condiţii. Raportul lui
Rayleigh va da:
23
8 34
2
0
2
02
2
2
ALLEI
dxVA
dxxVEI
p L
L
ρ
π
ρ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
adică
A
EIL
pρ2
79,22=
6.5.8. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15.).
234
Fig. 6.15.
Rezolvare: În cazul în care se doreşte mai multe pulsaţii proprii, funcţia ( )xV se ia ca o serie de funcţii acceptabile, adică, care verifică condiţiile geometrice de frontieră. Pentru acest caz se consideră: ( ) 2211 φαφα +=xV , unde
Lxπφ 2cos11 −= ;
Lxπφ 4cos12 −=
verifică condiţiile impuse: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ ( ) ( ) 00 11 =′=′ Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 =′=′ Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:
( )( )
( )2
433
168
2122
21
3
22
214
2
0
2
02
2
ααααρ
ααπ
ρ++
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫A
LEI
dxVA
dxxVEI
VR L
L
Ţinând cont că în jurul unui mod propriu, raportul ( )VR are valoare staţionară, din condiţiile:
( ) ( ) 0
21
=∂∂
=∂∂
ααVRVR
se obţine următoarea problemă algebrică de valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13
4
32
23
160
0116αα
ρααπ ALp
LEI
cu soluţia:
A
EIL
pρ21
35,22= ; { } { }57,011 =Tμ
şi A
EIL
pρ22
124= ; { } { }45,112 −=Tμ
235
Formele modale sunt date de funcţiile: ( ) { } { }r
Tr xV μφ= , 2,1=r
adică
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Lx
LxxV ππ 4cos157,02cos11
şi ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Lx
LxxV ππ 4cos145,12cos12
6.5.9. Se consideră bara omogenă încastrată la un capăt, liberă la celălalt capăt (I – L) din fig. 6.16. Folosind metoda Rayleigh – Ritz, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.
Fig. 6.16.
Rezolvare: Funcţia ( )xV se va lua de forma: ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα += unde ( )x1φ şi ( )x2φ sunt două funcţii acceptabile, verificând numai condiţiile geometrice de frontieră.
Dacă se iau ( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ , se constată că, condiţiile geometrice
de frontieră sunt îndeplinite. ( ) ( ) 000 21 == φφ şi ( ) ( ) 000 21 =′=′ φφ Înlocuind în raportul Rayleigh, se obţine:
( )( )
( )210
427042
6622
2221
21
3
2221
21
2
0
2
02
2
ααααρ
αααα
ρ++
++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫AL
LEI
dxVA
dxxVEI
VR L
L
Condiţiile de staţionare pentru raportul lui Rayleigh conduc la sistemul algebric de valori proprii:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13 3035
3542
21063
322ααρ
αα ALp
LEI
pentru care se obţine:
236
A
EIL
pρ21
53,3= ; { } { }38,011 −=Tμ
şi A
EIL
pρ22
81,34= ; { } { }182,02 −=Tμ
Cele două funcţii modale sunt:
( )32
1 38,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV
( )32
2 82,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxV
6.5.10. O grindă uniformă simplu rezemată, având masa LAm ρ= , susţine la mijlocul său o maşină, având masa mM ⋅= 5 (fig. 6.17.). Folosind funcţiile acceptabile
( )Lxx πφ sin1 = şi ( )
Lxx πφ 2sin2 = , să se determine cu metoda Rayleigh – Ritz primele
două pulsaţii proprii şi funcţiile modale corespunzătoare vibraţiilor de încovoiere.
Fig. 6.17.
Rezolvare: Funcţia ( )xV se ia de forma:
( )L
xLxxV παπα 2sinsin 21 +=
Funcţiile alese ca funcţii acceptabile verifică condiţiile geometrice de frontieră: ( ) ( ) 00 11 == Lφφ şi ( ) ( ) 00 22 == Lφφ Înlocuind în raportul lui Rayleigh, se obţine:
( )( )
( ) 21
22
21
3
22
21
4
22
0
2
02
2
2
216
2αααρ
ααπ
ρ MALL
EI
LMVdxVA
dxxVEI
VR L
L
++
+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
=
∫
∫
237
Punând condiţia de staţionaritate pentru acest raport, se obţine problema de valori proprii:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13
4
10
021
160
01
α
αρρ
ααπ AL
MALp
LEI
pentru care se obţin:
A
EIpρ
π11
2
1 = ; { } { }011 =Tμ
A
EIpρ
π 22 4= ; { } { }102 =Tμ
6.5.11. Un agregat aeroelectric este constituit dintr-o coloană uniformă ce susţine o platformă cu echipament. Considerând platforma ca o masă concentrată, având masa
LAM μρ= ( LAρ este masa coloanei), să se deducă pulsaţiile proprii şi funcţiile modale corespunzătoare primelor două pulsaţii. Se va folosi metoda Rayleigh – Ritz, luând ca
funcţii acceptabile ( )2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ şi ( )
3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lxxφ , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =
21μ .
Fig. 6.18.
Rezolvare:
( )3
2
2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV αα
238
( )( )
( )
( ) ( )221
2221
21
3
2221
21
22
0
2
02
2
210307042
6622
ααμραααα
αααα
ρ ++++
++
=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=
∫
∫
ALALL
EI
LMVdxVA
dxxVEI
VR L
L
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
12
2
13 2103021035
2103521042
21063
322αα
μμ
μμραα ALp
LEI
A
EIL
pρ21
0172,2= ;
AEI
Lp
ρ22038,23
=
( )32
1 35,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LxxV
( )32
2 95,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Lx
LxxV
6.5.12. Folosind metoda Galerkin, să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare pentru vibraţiile de încovoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (fig. 6.15. de la problema 6.5.8.). Rezolvare: Ecuaţia vibraţiilor libere transversale (de încovoiere) ale unei bare omogene este:
02
2
4
4
=∂∂
+∂∂
tvA
xvEI ρ
Fiecare punct al barei are o mişcare armonică ( ) ( ) ptxVtxv cos, ⋅= , pentru care ecuaţia diferenţială de mai sus devine:
04
4
=− Vdx
Vd λ
unde 42
βρλ ==EIAp
.
Pentru a găsi o soluţie aproximativă ( )xV se vor lua doi termeni ai combinaţiei liniare de funcţii de comparaţie (generatoare) în care se poate aceasta dezvolta ( ) ( ) ( )xxxV 2211 φαφα +=
unde ( ) 12cos1 −=L
xx πφ ; ( ) 14cos2 −=L
xx πφ . Funcţiile de comparaţie trebuie să
satisfacă toate condiţiile de frontieră. La acest tip de legături (I –I), condiţiile de frontieră
239
sunt de fapt condiţiile geometrice: deplasările şi unghiurile de înclinare în cele două capete sunt nule, fapt ce se verifică imediat. Înlocuind soluţia aproximativă:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos12cos 21 L
xL
xxV παπα
în ecuaţia diferenţială, se obţine reziduul:
( ) 42
44
24
14
4
14cos42cos2 βαπβπαβαπβπα +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Lx
LLx
LVR
Înlocuind în condiţiile:
( ) ( ) 0,0
=⋅∫ dxVRxL
i βφ , 2,1=i
se obţine:
04cos
42cos212cos
42
44
24
14
4
10
=⎭⎬⎫+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫
dxL
x
LLx
LLxL
βαπ
βπαβαπβπαπ
şi
04cos
42cos214cos
42
44
24
14
4
10
=⎭⎬⎫+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∫
dxL
x
LLx
LLxL
βαπ
βπαβαπβπαπ
de unde se obţine sistemul omogen:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0
0
421
221
2
1
444
4
4444
α
α
ββπβ
βββπ
L
L
Pentru soluţia nebanală, se obţine ecuaţia: ( ) ( ) 010777115900 348 =⋅+− LL ββ a cărei rădăcini dau pulsaţiile proprii:
A
EIL
pρ21
48,22= şi
AEI
Lp
ρ221,124
=
cărora le corespund vectorii proprii:
240
{ } { }43,011 =Tμ ; { } { }45,112 −=Tμ Forma modurilor aproximateve este dată de funcţiile:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos43,012cos1 L
xL
xxV ππ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 14cos45,112cos2 L
xL
xxV ππ
6.5.13. Să se determine primele două pulsaţii proprii şi formele modale corespunzătoare, folosind metoda Galerkin pentru vibraţiile transvervale ale unei bare omogene simplu rezemată (fig. 6.19.).
Fig. 6.19.
Rezolvare: Se va alege funcţia ( )xV ca o combinaţie liniară de două funcţii de comparaţie:
( )Lxx πφ sin1 = şi ( )
Lxx πφ 3sin2 =
Deci:
( )Lx
LxxV παπα 3sinsin 21 +=
şi verifică toate condiţiile de frontieră. Într-adevăr: ( ) ( ) 00 == LVV (deplasarea nulă la capete) ( ) ( ) 00 =′′=′′ LVEIVEI (momente nule la capete) 6.5.14. Folosind metoda diferenţelor finite, să se determine primele două pulsaţii proprii şi modurile proprii corespunzătoare pentru vibraţiile de înconvoiere ale unei bare omogene încastrată la ambele capete (vezi 6.5.8. şi 6.5.12.). Rezolvare: Pentru găsirea unei soluţii numerice pentru rezolvarea ecuaţiei:
044
4
=− Vdx
Vd β
funcţia ( )xV se dezvoltă în serie Taylor în jurul unui punct x, astfel:
241
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2
4
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ+
Δ+Δ+=Δ+
şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4!3!2
4
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ−
Δ+Δ−=Δ−
Luând numai primii doi termeni ai dezvoltărilor, prin scădere se obţine:
( ) ( )
xxxVxxV
dxdV
x ΔΔ−−Δ+
=2
iar prin adunare, se obţine:
( ) ( ) ( )
( )22
2 2x
xxVxVxxVdx
Vd
x ΔΔ++−Δ+
=
În mod similar se poate scrie.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4
2!3
2!2
2224
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ+
Δ+Δ+=Δ+
şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!4
2!3
2!2
2224
4
43
3
32
2
2 xdx
Vdxdx
Vdxdx
VdxdxdVxVxxV
xxxx
Δ+
Δ−
Δ+Δ−=Δ−
Prin adunare, ţinând cont şi de expresiile de mai sus, se obţine:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxVxxVxVxxVxxV
xdxVd
x
Δ−−Δ+−−Δ−+Δ+Δ
= 446224
344
4
Fig. 6.20.
Se aproximează ecuaţia diferenţială în punctele 1 şi 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =Δ
3Lx .
( ) 0464 14132101 =−+−+−− VVVVVV λ
( ) 0464 24143210 =−+−+− VVVVVV λ
unde
242
44
41 33
4 βλ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L.
Condiţiile de frontieră dau: 030 ==VV (deplasări nule)
0=dxdV
, pentru nodurile 0 şi 3 (unghiurile de înclinare nule)
Din această relaţie se obţine: 11 VV =− şi 24 VV = Ţinând cont şi de aceste relaţii, seobţine sistemul:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−
2
141
2
1
10
01
74
47
VV
VV
λ
Rezolvând această problemă de valori proprii, se obţine:
A
EIL
pρ21
5,13= ; { } { }111 =Tμ
şi A
EIL
pρ22
8,25= ; { } { }112 −=Tμ
Observaţie: Pentru a obţine, prin această metodă, rezultate mai apropiate de cele exacte trebuie mărit numărul de puncte modale de pe bară. 6.5.15. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.21. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Se va lua mmm == 21 ,
mm 23 = , kkk == 21 , kk 23 = . Fig. 6.21. Rezolvare: Ecuaţia diferenţială a mişcării sub formă matriceală este:
243
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
220
23
02
200
00
00
3
2
1
3
2
1
qqq
kk
kkk
kk
qqq
m
m
m
Problema de valori proprii poate fi pusă sub forma.
[ ]{ } { }μμ 2
1p
D =
unde
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== −
521
421
2111
kmmkD
sau introducând notaţia 2mpk
=λ , aceasta devine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
521
421
211
μμμ
μμμ
Luând pentru prima iteraţie vectorul ( ){ } { }3211 =
Tμ , se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
185,045,0
2020179
321
521
421
211
Folosind vectorul ( ){ } { }185,045,02 =
Tμ pentru iteraţia a doua, se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18601,04615,0
15,715,715,63,3
185,045,0
521
421
211
Pentru a treia iteraţie ( ){ } { }18601,04615,03 =
Tμ :
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18607,04625,0
1817,71817,71817,63416,3
0000,18601,04615,0
521
421
211
244
Pentru a patra iteraţie ( ){ } { }18607,04625,04 =
Tμ :
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0000,18607,04625,0
1839,71839,71839,63232,3
0000,18607,04625,0
521
421
211
Rezultă că { } { }18607,04625,01 =Tμ şi 1839,71 =λ .
Normalizând vectorul propriu { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se obţine:
10000,18607,04625,0
200
00
00
0000,18607,04625,0
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
m
m
mT
sau 19547,2 21 =αm ;
m5817,0
1 =α , iar vectorul { }1μ normalizat va fi:
{ } { }5817,05006,02690,011 mT =μ şi
mkp 373,01 =
Pentru a obţine cel de-al doilea mod se construieşte matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]
( )[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
200
010
001
5817,05006,02690,0
5817,05006,02690,0
1839,7
521
421
211
2
1112
kmD
km
kmmDD
T
Tμμλ
Deoarece, în modul al doilea există un nod, se alege vectorul de iteraţie de forma: ( ){ } { }1111 −=
Tμ
Se putea alege ca vector de pornire a iteraţiei un vector arbitrar. Această observaţie va face ca să se reducă numărul iteraţiilor. Prima iteraţie pentru cel de-al doilea mod este:
245
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
4653,05468,00000,1
7609,01
11
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
A doua iteraţie este:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
3888,03705,00000,1
6134,04653,0
5468,00000,1
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
A treia iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
3598,03024,00000,1
5886,03883,0
3705,00000,1
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
După şapte iteraţii, pentru o convergenţă 310−=ε , se obţine: 5731,02 =λ ; { } { }3399,02561,012 −=Tμ Pentru normalizare se ia: { } { }3399,02561,0122 −=αμ T
13399,0
2561,00000,1
200
00
00
3399,02561,00000,1
22 =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− m
m
mT
α
sau
m
8781,02 =α , iar vectorul { }2μ normalizat
{ } { }2984,02249,08781,012 −=
mTμ şi pulsaţia corespunzătoare
mkp 320,12 = .
Pentru cel de-al treilea mod se construieşte matricea:
246
( )[ ] ( )[ ] { } { } [ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=−=
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
200
010
001
2984,02249,08781,0
2984,02249,08781,0
5731,0
1383,00918,01240,0
1838,01997,00326,0
2482,00326,04801,0
22223
km
km
kmmDD
T
Tμμλ
În cel de-al doilea mod există două moduri. Se va alege ( ){ } { }1211 −=T
μ . Prima iteraţie va da:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7870,04636,2
0000,12146,0
12
1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A doua iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7477,03533,2
0000,12486,0
7870,04634,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A treia iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7469,03507,2
0000,12391,0
7477,03533,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A patra iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7468,03504,2
0000,12389,0
7469,03507,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
A cincea iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
7468,03504,2
0000,12389,0
7468,03504,2
0000,1
0362,00533,00261,0
1068,01707,00805,0
0154,00805,00382,0
247
Deci, s-a obţinut cel de-al treilea mod propriu:
{ } { }7468,03504,213 −=Tμ ; mkp 0459,23 =
Pentru normare se foloseşte procedeul:
17468,0
3504,20000,1
200
00
00
7468,03504,2
0000,123 =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
m
m
mT
α
de unde m
3617,03 =α şi vectorul { }3μ normat
{ } { }2701,08502,03617,013 −=
mTμ
6.5.16. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistemul vibrant din fig. 6.22. prin metoda puterii, folosind matricea de eliminare. Să se compare pulsaţiile proprii cu valorile obţinute prin metoda raportului Rayleigh. Se va lua
mmmm === 321 ; kkkkk ==== 4321 . Fig. 6.22. Rezolvare: Pentru acest sistem:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
m
m
m
m
00
00
00
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
kk
kkk
kk
k
20
2
02
matricea dinamică este:
248
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== −
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,01
kmmkD
Pentru determinarea primului mod se alege ca vector de începere a iteraţiei
( ){ } { }1111 =T
μ , şi se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000,1333,1000,1
5,1111
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,0
Pentru o convergenţă 210−=ε , după cinci iteraţii, se obţine:
{ } { }14141,111 =Tμ şi mkp 7653,01 =
În normalizarea vectorului { }1μ după regula { } [ ]{ } 111 =μμ mT , se va lua
{ } { }14141,1111 αμ =T , care va conduce la:
m5,0
1 =α şi { } { }5,0707,05,011 mT =μ
Pentru cel de-al doilea mod, se construieşte matricea:
( )[ ] [ ] { } { } [ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
3232,01034,01767,0
1034,01465,01034,0
1767,01034,03232,0
100
010
001
5,0707,05,0
5,0707,05,0
707,1
75,05,025,0
5,015,0
25,05,075,0
1112
km
km
kmmDD
T
Tμμλ
Procesul de iteraţie se va începe cu ( ){ } { }1101 31 −= −T
μ . Prima iteraţie:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⋅=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−−−
1109,2
14997,0
1101
3232,01034,01767,0
1034,01465,01034,0
1767,01034,03232,043
249
După a doua iteraţie se obţine: 4999,02 =λ şi { } { }11081 5
2 −⋅= −Tμ
Practic, în modul al doilea, corpul 2m rămâne în repaus. După normalizare, se obţine:
m
707,02 =α
{ } { }707,00707,012 −=
mTμ ;
mkp 414,12 =
Pentru modul al treilea, se obţine:
mkp 847,13 = ; { } { }1414,113 −=Tμ .
6.5.17. Se consideră construcţia cu trei nivele din fig. 6.23. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua mm =1 , mm 42 = , mm 43 = , kkk == 21 , kk 33 = . Fig. 6.23. Răspuns: Ecuaţiile de mişcare în formă matriceală sunt:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
410
121
011
400
020
001
3
2
1
3
2
1
qqq
kqqq
m
Cele trei moduri naturale de vibraţie sunt:
mkp 457,01 = ; { } { }25,079,011 =Tμ
mkp =2 ; { } { }1012 −=Tμ
250
mkp 34,13 = ; { } { }25,079,013 −=Tμ
6.5.18. Se consideră construcţia cu patru nivele din fig. 6.24. Să se determine modurile naturale de vibraţie. Se va lua: mm =1 , mmm 232 == , mm 34 = , kk =1 , kk 22 = , kk 33 = , kk 44 = . Fig. 6.24. Răspuns: Matricele de inerţie şi rigiditate ale sistemului sunt:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3000
0200
0020
0001
mm ; [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
=
7300
3520
0231
0011
kk
Cele patru moduri de vibraţie sunt:
{ }mkp
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
88.5507,4166,2929,13
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−
=
63,070,043,023,0
00,115,053,049,0
44,000,109,077,0
15,090,000,100,1
μ
251
BIBLIOGRAFIE
1. L. BERETEU, I. SMICALĂ, Mecanică – Dinamica şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1992.
2. L. BRINDEU, Vibraţii, Lit. Inst. Politehnica "Traian Vuia", Timişoara, 1979. 3. GH. BUZDUGAN, L. FETCU, M. RADES, Vibraţiile sistemelor mecanice,
Editura Academiei, 1975. 4. R. R. CRAIG, Structural dynamics; John Wiley and Sons, 1981. 5. R.R.CRAIG , A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics, John Wiley and
Sons, 2006 6. B. P. DEMIDOVICH, I. A. MARON, Computational Mathematics, Mir
Publishers, 1981. 7. P. HAGEDORN, Non – Linear Oscillations – clarendon Press – Oxford, 1988. 8. M. HUSSEY, Fundamentals of Mechanical Vibrations, Mac Millan Press Ltd.,
1983. 9. M. LALANNE şi alţii, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and
Sons Ltd.,1984. 10. N. LEVITSKII, Kolebania v mehanizmah, Nauka Moskva, 1988. 11. L. MEIROVITCH, Elaments of Vibration Analysis, Mc. Graw – Hill, New York,
1975. 12. L. MEIROVITCH, Computational Methods in Structural Dynamics, Syhoff –
Noordhoff, The Netherlands, 1980. 13. L. MEIROVITCH, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley and Sons,
New York, 1988. 14. L. MEIROVITCH, Fundamentals of Vibration, McGraw-Hill, New York, 2001 15. S. RAO, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, 1982. 16. W. SATO, Theory and Problems of Mechanical Vibrations, Schaum, Publishing,
New York, 1964. 17. GH. SILAS, Mecanică. Vibraţii mecanice, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1968. 18. GH. SILAS, L. BRINDEU, A. HEGEDUS, Culegere de probleme de Vibraţii
mecanice, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1967. 19. I. SMICALĂ, L. BERETEU, A. TOCARCIUC Exercitii si probleme de
mecanică si vibratii, Editie electronica, 2010. 20. W. T. THOMSON, Theory of Vibration, Uhwin Hyman Ltd. London, 1989. 21. W.T. THOMSON The Theory of Vibration with Applications, Taylor&Francis
Ltd., 1996 22. A. C. WALSHAW, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood
Ltd., 1984.