10.5.3. Calculul de verificare la vibraii torsionale10.5.3.1. Determinarea sistemului oscilant echivalentStudiul vibraiilor torsionalealearborelui cotit const n determinarea pulsaiilor i formelor oscilaiilor proprii ale arborelui (modurile de vibraie), determinarea amplitudinilor oscilaiilor forate ale arborelui cotit i tensiunile corespunztoare care se produc nacest arbore, ncazul diferitelor regimuri de exploatare.Arborelecotit, fiindunsistemcuform complicat,estenlocuitcuunarboredrept echivalent, a crui rigiditatetrebuies fie identic cu rigiditatea arborelui cotit, iar momenteledeinerie mecanic alemaselor legate de arborele cotit (inclusiv masa proprie) sunt identicepentrucei doi arbori, cotit real i drept echivalent. Cele dou condiii sunt determinate de natura fenomenului de oscilaie, care const n transformarea periodic a energiei de deformare n energie cinetic i invers.Arborele cotit, nefiind o grind dreapt, nu permite determinarea cu exactitate a rigiditii sale. Cele mai precise rezultate pentru determinarea rigiditii arborelui cotit se obin pe cale experimental, prin msurarea unghiului de rsucire, cnd arborele cotit este ncrcat cu diferite momente:[ ] radGI l Mpt , (1)relaiecunoscutdinteoriaelasticitii, n care reprezint unghiul cu care se rotesc, una fa de alta, dou seciuni transversale alearborelui, situateladistanal[m], sub aciunea unui moment de torsiune tM[KNm]; G[ ]2m kN reprezint modului de elasticitate transversal, iar pI[ ]4m momentul deinerie polar al acestuia. Rigiditatea arborelui (constantaelasticdersucire)sedefinete ca fiind:.lGIMCpt (2)Analog, pentru arborele echivalent imaginatcaunarboredrept, frmas,de diametru 0d, eventual gol la interior ncrcat cuunnumrdevolani (discuri),rigiditatea sa va fi:.000lI GCp (3)Pentrusimplificare, diametrul exterior i, eventual, interior al arborelui cotit se aleg egale cu diametrul exterior i, respectiv, interior ale fusului palier: ldi ild, astfel nct momentul de inerie polar al arborelui echivalentvafi egalcu cel al fusuluipalier, conform relaiei:( )[ ].3244 40md dI Iill lp p (4)Punnd condiia deja enunat a identitii rigiditii celor doi arbori:0C C se poate deduce lungimea redus a arborelui echivalent:[ ] mIIl lppoo. (5)Deformaia total a elementelor de rigiditate diferit ale arborelui cotit sub aciunea unui moment de rsucire. const Mt va fi:,1 njjsau:njjt tCMCM1,deci elasticitateatotalaarborelui (inversul rigiditii) va fi:,1 11njjC C(6)undecuns-anotat numrul deelemente componente cu rigiditi diferite ale arborelui cotit i putnd fi diferit de numrul i de coturi.Pentruuncot, elasticitateasedetermin innd cont c n componena acestuia intr dou jumti de fus palier (fiecare cu elasticitatealC 21), manetonul (avnd elasticitateamC1) i dou brae (cu elasticitatea bC1). Deci:C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 183.1.1.1.1.C 19C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56.2 1 1 1b m l cotC C C C+ + (7)Curelaiaanterioar, lungimearedusa cotului va fi:.00cotpCI Glcot (8)Deoarece unele elemente au forme geometriceneregulate, lungimileredusese determin pe cale experimental. Relaiile de calcul pentru formele elastice cele mai uzitate sunt date n tabelul 1.Astfel determinat,dinpunctdevedereal rigidit-ii, arborele echivalent trebuie s ndeplineasc i condiia identitii Tabelul 1Forma elementului Relaia de calcul a lungimii reduse Observaii 0 1 24 440400iid dd dl lli ild dd d00( ) 13241400+ + m m mdd ll21ddm 4 440400i mid dd dl l22 1d ddm+( )4400ah ddl la=0.5 pentru un canal de pana=1.0pentru dou canale de pana=2.0pentru arborele canelatl-lungimea canalului( )4 440400iid ah dd dl l a, l cu semnificaia anterioar( ) ( )309 . 0 9 . 0 9 . 0hbDRDDh l h l llmlm l+ + + + Relaia lui Timoshenko:4 44 4;mi m mli l ld d Dd d D ( )305 . 1 75 . 0 8 . 0hbDRDDl h l llmlm l+ + + Relaia lui Carter302 . 0 8 . 0 6 . 0hbDDRRDDhRbl dlhl llm mlm lll+ ,_

+ +

,_

+ Relaia lui Zimanenko

,_

+31 114 440 075 . 0 75 . 0b hRd dld lmi mmRelaia lui Ker Wilson, pentruaprecierealungimii echivalen-tea poriuniide lungime l, cuprins ntre dou manetoane neseparate prin palierC1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 183.1.1.1.2.C 19C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56momentelor de inerie mecanice ale maselor nmicarederotaiecucelealearborelui real.Schematizarea const n ncrcarea arborelui cuun numr de discuri (volani), care corespund maselor aferente fiecrui cot al arborelui, ultimul disc fiind echivalent volantului (fig. 1).n schema din figura 1 s-a notat cu 6 , 1 , j J j, momentul deineriemecanical maselor n micare aferente cotului de ordinul j, distana redus de la axa sa la ceaa ultimului discfiind jl. n figura 1,c s-a fcut reducerea, n continuare, a sistemului echivalent cu apte discuri din figura 1,b la un sistem mai simplu, cu trei discuri.Momentele reduse, n acest ultim caz, ca i lungimileredusefadeultimul disc, sunt date n relaiile (9).( )( ).22117 52106 6 5 5 4 4003 3 2 2 1 100 06 5 4 05 2 1 0Jl J l J l JlJl J l J l JlJ JJ J J JJ J J J + + + + + + + + (9)Deci, va rmne de determinat, pentru precizarea complet a sistemului oscilant echivalent, momentul de inerie mecanic total al unui cot,J; pentru aceasta se aplic relaia:0'm cotJ J J + (10)n care cotJ este momentul de inerie propriu-zis al cotului, iar0'mJeste momentul de inerie al maselor n micare aferente cotului respectiv, redus la axa de rotaie. Prima mrime se calculeaz din:C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 183.1.1.1.3.C 19C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 560 02b m l cotJ J J J + + , (11)unde lJ este momentul de inerie mecanic al fusului palier (presupus, eventual, gurit), dat de:( ) l l l ll d d Ji4 432, (12)llfiind lungimea fusului palier, iar densitatea materialului fusului.Momentul de inerie mecanic al manetonului,0 mJ, reduslaaxaderotaie, este dat de:( )( )( ) ( ) [ ] , 8324322 2 2 2 22 2 24 4 20R d d l d dR l d dl d d R m J Ji iiim m m m mm m mm m m m m m+ + ++ + (13)iar 0 bJ este momentul de inerie al braului, redus la axa de rotaie.n cazul n care braul are o form complicat, se face divizarea acestuia ntr-un numr de n poriuni, rezultate prin intersecia braului cu nsuprafee cilindrice coaxiale cu fusul palier, de raze R, ca n figura 2.Cu notaiile de aici se poate deduce masa poriunii de ordinul j ca fiind: j jjm jR h R mj3602o, (14)unde:11;2 +j j jj jmR R RR RRj, (15)iar momentul de inerie al elementului respectiv va fi:2j jm j bR m J , (16)de unde:njb bjJ J10. (17)Rmne s mai determinm momentul de inerie al maselor n micare aferente cotului, reduslaaxaderotaie,0'mJ. Acestemase sunt: masa bielei raportat la maneton,mbm, ca i o fraciune xdin masa ama pieselor n micare de translaie (a se vedea i 2.9).Valoareaxse determin impunnd condiia ca energia cinetic a maselor n micare alternativ am s fie egal cu energia cinetic a unei mase echivalente 0m aflat n micarede rotaiecumanetonul i avnd viteza periferic a acestuia mw ; deci:2 202121p a mw m w m ,unde: R wm, iarpw, viteza pistonului este datderelaiasimplificatdin1.1.2. Vom obine:202 sin2sin ,_

+ am m . (18)Din relaia (18) se poate deduce c efectul maselornmicarealternativestevariabil, prin intermediul lui(de exemplu, n punctele moarte efectul este nul). De aici apare necesitatea determinrii unei mase echivalente medii, prin intermediul relaiei de mediere:.214122 sin4sin sin22 sin2sin2 21220222 22022000aaaammdmdmd m m

,_

+

,_

+ + ,_

+ (19)Fig. 1Fig. 2C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 183.1.1.1.4.C 19C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Aceasta conduce la urmtoarea estimare a lui 0'mJ:,21'20R m m Ja bm m

,_

+ (20)pentru bmm , masa bielei raportat la maneton, avnd relaia de calcul din 2.3, iar pentru am , relaia corespunztoare din paragraful 2.5.10.5.3.2. Determinarea pulsaiilor proprii ale liniilor de arbori10.5.3.2.1. Determinarea pulsaiilor proprii ale liniilor de arbori cuplai direct cu motorulVomconsiderapentrunceput unsistem oscilant simplu, alctuit dintr-undiscplasat pe un arbore cu elasticitate mare, ncastrat la uncapt, conformcelor prezentatela10.3 (fig. 1).Pentru determinarea pulsaiei proprii a sistemului, vom aplica metodologia de rezolvare a ecuaiilor difereniale aferente comportamentului arborelui, cunoscute din rezistena materialelor. Sistemul din figura 1, supus unui moment de torsiunetM va genera un moment elastic:, C M Mt E(1)undeCeste rigiditatea sistemului, iar unghiul de deformaie. Ecuaia diferenial a micrii libere va fi:022 EMdtdJ , (2)sau, echivalent:. 022 +JCdtd(3)Notnd cu:[ ]10 sJC, (4)ecuaia diferenial devine:. 02022 +dtd(5)cu soluia de tipul:( ) , sin0 + t(6)unde-elongaiaunghiularamicrii, -amplitudinea micrii.Seconstatc0definitprin relaia(4) reprezint pulsaia propriea sistemului avut n discuie.Un sistem mai complex este acela format din dou discuri (fig. 2), corespunznd schemei unui motor cu un cilindru i un volant (fig. 2,a). Arboreleechivalent dinfigura2,b esteliber lacapete, spredeosebiredecel anterior.Deformaiile unghiulare corespunztoare celor dou discuri sunt1 i2 , iar deformaia total va fi2 1 ; astfel, ecuaiiledemicare, pentrufiecarediscn parte vor fi:( )( )' + +001 222222 12121CdtdJCdtdJ, (7)cu soluiile generale:( )( )' + + tt0 2 20 1 1sinsin. (8)Aceste soluii verific sistemul (7), ceea ce conduce la urmtorul sistem de ecuaii omogene, necunoscutele 1i 2 :( )( ) ' . 00220 2 12 120 1J C CC J C(9)Fig. 1Fig. 2C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 19C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Sistemul admite i soluii diferite de soluia banal dac i numai dac:( )020 220 1 J C CC J Cde unde rezult pulsaia proprie a sistemului:( )[ ].12 12 10+ sJ JJ J C, (10)prezentat deja n 10.3.Relaia dintre amplitudini, rezultat din oricare dintre ecuaiile (9) va fi:. 12011 2

,_

CJ(11)De aici se poate constata c ( ) 1 , sign2 1 , deci cele dou discuri vibreaznsensuri opuse, aadari existo seciune a arborelui care nu se rotete. Aceast seciune reprezint un nod. Presupunnd ca amplitudinile diverselor seciuni variaz liniar cu lungimea, se obine variaiagraficdinfigura2,c, numitlinie elastic.Se numetemod de vibraie, variaia deformaiei unghiulare a seciunilor arborelui echivalent culungimeasa. Cazul sistemului cu doi volani se caracterizeaz printr-un singur mod de vibraie, cu un singur nod.Un alt caz particular care prezint interes practic sporit este acela al sistemului compus din trei discuri (fig. 3,a). Sistemul de ecuaii difereniale ale micrii, innd cont de rigiditile diferite ale poriunilor dintre volani va fi:( )( ) ( )( )' + + +0002 3 223232 1 1 3 2 222222 1 12121CdtdJC CdtdJCdtdJ(12)cu soluiile generale:( ) 3 , 1 , sin0 + i ti i, (13)care, introduse n sistemul (12), conduc la un sistemdeecuaii omogennnecunoscutele i , pentrucarecondiiadecompatibilitate este:00020 3 2 2220 2 2 1 1120 1 1 + J C CC J C C CC J C,care, dezvoltat, conduce la o ecuaie biptrat n 0:. 03 22 12 12 13 12 1 203222 111 40 ++ + +

,_

+++ J JC CJ JC CJ JC CJCJC CJC(14)Notnd:( )'+ + +++ 3 2 13 2 12 13222 111J J JJ J JC CqJCJ C CJCp, (15)obinem:02040 + q p ,cu soluiile:[ ]1 20421II , I

,_

t s q p p , (16)ceeacenseamncseobineopulsaie proprie de gradul I( )I0i o alta de gradul II ( )II0, croralecorespunddoumoduri de vibraie (fig. 3,b i c). Linia elastic Iel are un Fig. 3C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56singur nod ( )1O, iar linia IIel dou noduri ( )2 , 1O. Relaiile dintre amplitudini vor fi deduse din oricaredouecuaii alesistemului al crui determinant este rezolvat anterior:.111202320111 320111 2II , III , III , I

,_

CJCJCJ(17)n toate cazurile expuse, dup determinarea pulsaiei proprii, se poate calcula i frecvena proprie a vibraiei libere a sistemului, cu relaia:. 55 . 920001]1

1]1

minciclisciclin(18)Generaliznd cele prezentate anterior, vom facereducereasistemului oscilant real, aa cum am mai spus, la un ansamblu de n discuri cu momente de inerie iJ , discuri legate ntre ele prin segmente elastice fr mas, conform figurii 4.Valoarea deplasrii unghiulare a disculuii este i , rigiditatea tronsonului i (cuprins ntre discurile ii( ) 1 + i) este iC iar momentul de torsiune aplicat volantului i de ctre tronsonul 1 iva fi itM.Ecuaia de echilibru a momentelor, pentru discul de ordinul i va fi:01 22 ++ i it tiiM MdtdJ . (19)innd cont de relaia:( )1 1 i i i E tC M Mi i, (20)ecuaia (19) devine:( ) ( ) 01 1 122 + + i i i i i iiiC CdtdJ . (21)Punnd, pentru indiceleidomeniul de variaien i , 1 i speecificnd c avem1 nporiuni elastice cuprinse ntre cele ndiscuri (deci tronsoanele de ordin0 1 i , pentru1 ii respectiv1 1 + + n i , pentrun i nu exist), putemprecizac(21) reprezint, defapt, sistemul ecuaiilor de micare ale tuturor discurilor.Soluiilesistemului suntdeforma deja menionat:( ) n i ti i, 1 , sin0 + . (22)Ca i n cazurile particulare prezentate anterior, prin derivarea de dou ori a relaiilor (22) i introducerea n sistemul (21), obinem un sistem denecuaii omogene cun necunoscutei, sistemacrui condiiede compatibilitatedoecuaiedegradul2nn necunoscuta0. Rdcinadubl00 nu prezint interes, corespunznd sistemului rigid. Rmn( ) 1 2 n rdcini distincte, dintre care se rein numai cele ( ) 1 n pozitive. Pentru determinarea pulsaiilor proprii ale sistemului cundiscuri( ) 3 > ns-audezvoltat mai multe metode, cea mai frecvent utilizat fiind metoda Holzer.Metoda utilizeaz dou relaii de baz; prima este (19) scris innd cont de (22):iidtd 2022, (23)sub forma:i i t tJ M Mi i +201i adouadedusdin(20) pentrutronsonul urmtor1 + i :.11iti iCMi ++ +Fig. 4C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Ultimele dou relaii, scrise pentru amplitudini, constituie un sistem:'+ +++iti ii i t tCMJ M Mii i11120, (24)unde amplitudinea momentului de torsiune itM s-a notat cu itM .Dac valorile 1 i1tM sunt alese astfel nct s satisfac condiiile la limit n extremitateastng a sistemului, ecuaiile (24) servescladeterminareavalorilori i itM corespunztoare unei valori date ale pulsaiei 0 .Valoarea aleas pentru 0va fi o pulsaie proprie dac condiiile la limit vor fi verificate n extremitatea dreapt. De exemplu, calculul poate ncepe cu valorile:0 ; 111 tM (25)i sencheieprindeterminareamomentului rezidualntM . Pulsaiileproprii sunt valorile lui 0pentru care se obine:. 0 ntM(26)Cele n pulsaii proprii (dintre care una este nul) pot fi obinute determinndntM n funcie de0 i cutnd prin interpolare pulsaiile pentru care0 ntM(fig. 5).Modul de vibraie de ordinulj( ) n j , 1 se obine calculnd, pentru fiecare disc, amplitudinea deplasrii unghiulare corespunztoare pulsaiei proprii de ordinul j. Deci:{ } .......1jni j ;' Prezentm, n continuare, algoritmul de calcul pe baza principiului metodei, expus anterior. Pentru aceasta, sistemul (21) se pune, folosind relaiile (22) i (23), sub forma:( ) ( ) n i C C Ji i i i i i i i, 1 , 01 1 120 + +(27)sau, prin substituirea ultimului termen, succesiv, dinecuaiaanterioar(deordinul 1 i , etc.):1 , 1 ,1120 1 +n i JCijj jii i, (28)an-a ecuaie, prinnsumareamembrucu membru a relaiilor anterioare, fiind:0120 nii iJ , (29)care nu reprezint dect o alt form de scriere a relaiei (26) i exprim, deci, condiia pe care trebuie s-o ndeplineasc valoarea pulsaiei0 pentru ca sistemul oscilant s poat executa vibraii libere.Rezolvarea iterativ a sistemului de ecuaii dat de relaiile (28)i(29)seface pebaza tabelului 1.Valoareapulsaiei cucaresedemareaz calculul iterativ din schema lui Holzer poate fi cea dedus din shematizarea sistemului oscilant cuunul, cudousautrei discuri. Calculul se oprete atunci cnd momentul rezidual (29) capt valoare nul.Exemplificmmetodologia de calcul cu pulsaiilor proprii de gradul I i II pentru motorul naval Sulzer6RND90printabelul 2 pentru pulsaia proprie de gradul I i tabelul 3 pentru pulsaia de gradul II. Sistemul echivalent este redat n figura 6,a, iar modurile de vibraie n figura 6,b.Din analiza modurilor de vibraie prezentatendiagramadelafiguraanterior menionatseconstatcprimul modde vibraie are nodulIO pe axa port-elice, aproximativlamijlocul su, iaramplitudinile vibraiilor discurilor ce schematizeaz mecanismele motoare aferente cilindrilor variaz puin pe lungimea arborelui cotit.C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56n ceea ce privete al doilea mod de vibraie,seconstatcaprimul nod II , 1Ose produce aproximativ la mijlocul arborelui cotit, ceea ce nseamn c cele dou jumti alesalevor vibra, nopoziie defazcu amplitudini relativ egale ( ) 9538 . 0 , 0000 . 16 1 iar, aceasta conducnd la anularea excitaiilor produse de momentul motor.Tabelul 1Nr.disc.iJ20iJi ijj jJ120 iC ijj jiJC1201- [ ]2Nms[ ] m N - [ ] m N [ ] m N -1 2 3 4 5 6 711J20 1 J000 . 11 120 1 J1C120 111 JC22J20 2 J120 111 21 JC 2120jj jJ2C 212021jj jJC.............................................................................1 n1 nJ20 1 nJ 212022 11njj jnn nJC 1120njj jJ1 nC 112011njj jnJCnnJ20nJ 1120111njj jnn nJC njj jJ120- -Tabelul 2Nr. disciJ20iJ i ijj iJ120iC ijj iiJC1201- [Nms2][Nm] - [Nm] [Nm] -1 8290.0 163.448 1051.0000 163.448 1051.15687 1090.014132 8046.0 158.641 1050.9859 319.848 1051.15687 1090.027653 8046.0 158.641 1050.9582 471.8621051.15687 1090.040794 8046.0 158.641 1050.9174 617.405 1051.15687 1090.053375 8046.0 158.641 1050.8641 754.481 1051.15687 1090.065226 8290.0 163.448 1050.7988 885.051 1050.72354 1090.122337 4293.9 84.660 1050.6765 942.325 1050.07084 1091.330168 73120 1441.665 105-0.6536 0.000 - -2 3 2I 01I 010 972 . 1 , 407 . 44 s sFig. 5Tabelul 3Nr. disciJ20iJ iijj iJ120 iCijj iiJC1201 - [Nms2][Nm] - [Nm] [Nm] -1 8290.0 2871.646 1051.0000 2871.646 1051.15687 1090.248232 8046.0 2787.195 1050.7518 4966.978 1051.15687 1090.429353 8046.0 2787.195 1050.3224 5865.618 1051.15687 1090.507034 8046.0 2787.195 105-0.1846 5351.057 1051.15687 1090.462555 8046.0 2787.195 105-0.6472 3547.268 1051.15687 1090.306636 8290.0 2787.195 105-0.9538 808.290 1050.72354 1090.111727 4293.9 1478.402105-1.0655 -776.562 1050.07084 109-1.096188 73120 25328.691 1050.0307 0.000 - -2 3 2II 01I I 010 631 . 34 , 094 . 186 s sC1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 5610.5.3.2.2. Determinarea pulsaiilor proprii ale liniilor de arbori cuplai prin transmisie mecanic cu motorulSituaia interpunerii unei transmisii mecanice (deobicei cu roi dinate)n linia de arbori este des ntlnit n cazul instalaiilordepropulsienavalcumotoare semirapide, pentru asigurarea unei turaii corespunztoare funcionrii elicei.Reductoarele navale se construiesc de obicei ntr-o treapt, cu raportul de transmisie:5 2 emtrnni, (1)undemn ien sunt turaiile motorului, respectiv elicei.Sepot ntlni linii dearbori cuplai prin transmisii mecanice neramificate sau ramificate. n tabelul 1se prezintcteva exemple de utilizareamotoarelorcu ardere intern n cadrul unor instalaii de propulsie naval cu linii de arbori cuplai cu transmisii mecanice.n tratarea problemei enunate n titlul paragrafului vom face urmtoarele consideraii: reducerea momentului de inerie mecanic J al unor mase care se rotesc cu viteza unghiular ' (respectiv turaia n ), diferit deviteza(res-pectiv turaia)na arborelui cotit, se face prin aplicarea principiului conservrii energiei cinetice, rezultnd relaia de calcul:Tabelul 1a Remorcher maritim: doumotoareantrennd, prindou cuplaje i un reductor, o elice cu pas variabil; manevrabilitate ridicat.b Cabotier i cargobot mic: unsingur motor reversibil n linie, antrennd o elice cu pas fix; toate agregatele auxiliare montate pe motor.c Ferry-boat (car): dou motoare, fiecare antrennd o elice cu pas fix; compartiment maini ct mai jos posibil, pentru a crea punte de ambarcare vagoane (automobile).d Dragor: dou motoare antrennd o elice cu pas variabil; n prova instalaiei, prize de putere pentru pompa de nisip i generatorul de arbore; sarcina maxim a motorului: 70%.e Cargobot de linie: dou motoare reversibile, antrennd o elice cu pas fix, prin dou cuplaje i un reductor cu intrri identice; manevre cu un motor pe mers nainte i cellalt pe mers napoi.f Port-container: dou motoare, antrennd dou elice cu pas variabil printr-un reductor; compartiment maini mic i cobort pentru spaiu cargou ct mai mare.g Navdepasageri: patrumotoarenV, antrennddoua elice cu pas variabil prin cuplaje i doua reductoare; motoare bine echilibrate, vibraii reduse ale navei.h Tanc petrolier i bulk-carrier: trei motoare pe un reductor antrennd o elice cu pas fix sau variabil; acionarea pompelor de marf prin prize de putere de la grupul motor principal; randament mare al instalaiei, greuti i costuri instalare reduse.Fig. 1C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 5622 2'''''tri JnnJ J J ,_

,_

; (2) reducerea unui sistemcompus dintr-un disc cu momentul de ineriemJ ' (ce nsumeaz momentele de inerie ale tuturor mecanismelor unui motor), transmisia mecanic neramificat, prin roi dinate avnd momentele de inerie 1trJ i 2trJ elice cu momentul de inerieeJ (figura 1) se face pe baza relaiilor:' + trtrtrtr m mtr tr tr trtr m mii c ci J J Ji J J211 2222, (3)primeledoudedusedin(1)i (2), iara treia dintr-o condiie de conservare a energieipotenialeacumulatenarborele motor deformat ( 2 /2m mC ), energiecare se regsete integral n arborele port-elice, pe care se opereaz reducerea ( 2 /2e mC ).ncontinuare, vomaplicaacestecteva consideraii la determinarea pulsaiilor proprii ale unui sistem complex: instalaie de propulsie naval cu dou motoare semirapide identice care antreneaz printr-un dublu reductor un arbore port-elice, raportul de reducere fiind24 . 01tri .Valorile momentelor de inerie ale discurilor ce reduc mecanismele motoare identice sunt:26 17999 . 37 ... Nms J J momentul de inerie al volantului 27271 . 292 Nms J al roilor din-ate ale transmisiei mecanice2855333 . 01Nms J Jtr 29846 . 1642Nms J Jtr , al cuplajului intermediar pe linia axial 2107071 . 21 Nms J , iar al elicei 21105 . 1299 Nms J .Rigiditile poriunilor de arbore dintre discurile aferente fiecrui cilindru al motorului sunt Nm C C C C85 4 2 110 23263 . 2 ; tronsonul mediandintrediscurile3i 4are rigiditatea Nm C8310 95711 . 1 ; rigiditatea arborelui dintre ultimul disc i volant este Nm C8610 982 . 3 , acelui decuplaremotor-C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56reductor Nm C8710 14476 . 3 , a arborelui intermediar Nm C8910 31477 . 2 , a arborelui porteliceNm C81010 24159 . 5 .Sistemul oscilant complet este reprezentat n figura 2,a. Pe baza acestuia se construiete sistemul simplificat din figura 2,b, pentru care se determin, pe baza relaiilor de reducere din 10.5.3.1 i (3) urmtoarele mrimi:( ). 10 6138023 . 11 1 110 652797 . 181667571 . 1320, 05885 . 185 26389 . 9011791010 91187 1761172211 102829712 2NmCJC CJJCNmC JJCiJJi CNms J J JNms J i J JNms J i Jeeiitr metr trii tr m +

,_

+

,_

+ ++ + + dublu reductorSistemul de ecuaii difereniale ale micrii sistemului simplificat va fi:( )( )( ) ( )' + + +0 200222222tr m m e tr etrtrtr m mmmtr e eeeC CdtdJCdtdJCdtdJ(4)analog celui ce descrie micarea sistemului cu trei discuri, cu soluiile de tip armonic, soluii care satisfac sistemul:( )( )( ) ( )' + + + . 0 200202020tr m m e tr e tr trtr m m m mtr e e e eC C JC JC J(5)Amplificnd, nultimul sistem, ecuaiaa doua cu 2 i nsumnd ecuaiile membru cu membru, se obine relaia:0 2202020 + + m m tr tr e eJ J J , (6)exprimnd, ca i aceasta, condiia ca sistemul s poat executa vibraii libere.Introducnd mrimile:11 212 2; ;JCJCJCeeemmm (7)i exprimnd primele dou relaii din (5) sub forma:202 202; mmtrmmeetreeCJCJ, (8)putem scrie (6) ca fiind:2 202 202mmeetrC CJ + sau nc:02040 + b a , (9)unde:.2,22 22 22 2tre m m em etrm em eJC CbJC Ca + + ++ + (10)Soluiile ecuaiei (9) suntI0iII0, valorile pulsaiei de gradul I i II petru sistemul oscilant simplificat.Pentru cazul concret obinem: 2 5 210 122187 . 0 se,2 5 210 06985 . 2 sm, 2 5 2110 0644 . 59 s ( )113169 . 2430 s , Tabelul 2Nr.disciJ~20~~iJi~ ijj jJ120~~~iC~ ijj jiJC120~~~~11 1 0.00222 1 0.00222 1 0.002222 1 0.00222 0.99778 0.004435 1 0.044353 1 0.00222 0.993345 0.006640 0.876594 0.0075754 1 0.00222 0.985777 0.008828 1 0.0088285 1 0.00222 0.976948 0.010997 1 0.0109976 1 0.00222 0.965951 0.013141 1.783547 0.0073687 7.73205 0.017165 0.958583 0.029595 1.408545 0.0210118 0.01464 0.000032 0.937572 0.029625 - -11 34.36649 0.076294 x 0.076294x 0.234772 0.324971x10 0.57426 0.001275 0.675029x 0.077155x 0.103679 0.744169x9 4.38747 0.009740 -0.069139x 0.076481x - -Fig. 2C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56510 65182 . 204 a,1010 689318 . 26 b. Ecuaia biptrat va fi:0 10 689318 . 26 10 65182 . 20410 205 40 + deci: 10104034 . 4522 , 23511 . 114II I s s .Valorile acestea sunt necesare pentru calculul iterativ al modurilor de vibraiea sistemului complet din figura 2,a. Calculele se fac adimensional, prin introducerea notaiilor:1 1 1 1~;~;~;~CCCJJJiiiiiiii i seprezintntabelul 2, pentrupulsaia proprie de gradul I.Calculul s-a pornit ncepnd cu ramura cu opt discuri, dup procedeul descris n paragraful anterior, pn s-a obinut valoarea:. 029625 . 0~~~8120 jj jJSe continu calculul cu linia axial, pornind dinspreparteaopustransmisiei.naceast situaie nu se cunoate valoarea amplitudinii unghiulare relative a vibraiei discului 11; se noteazcuxaceastvaloare,nfunciede care se efectueaz calculul pn la valoarea:x 069139 . 0~9 .Impunem acum condiia ultim de deformaie, din setul (3), innd cont de sensurile opuse de rotaie ale celor dou discuri, cu numerele de ordine 8 i 9:tri9 8~ ~ ,adic:( )24 . 01069139 . 0 937572 . 0 x ,de unde: . 2545637 . 3 xMomentul rezidual pe linia axial va fi:. 2489112 . 0 076481 . 0~~~11920 x Jjj jCondiia vibraiilor libere impune ca:0~~~ ~~~2119206120 jj jjtr j jJ i J,n care, de asemenea, s-a inut cont de sensurilederotaie. DacvaloareaI0cu care s-a pornit calculul este pulsaia proprie de gradul I atunci va satisface ultima relaie:002037 . 0 2489112 . 024 . 01029625 . 0 2 ,valoaresuficient demicpentruaaccepta valoarea cu care s-a fcut calculul: 00222 . 0210I

,_

, adic 0471168 . 010I, deci 3169 . 2430 0471168 . 0I0150894 . 114 s , foarte apropiat de valoarea 1023511 . 114i s obinut anterior, prin calcul simplificat. Se poate constata c Tabelul 3Nr.disciJ~20~~iJi~ ijj jJ120~~~iC~ ijj jiJC120~~~~11 1 0.10121 1 0.10121 1 0.101212 1 0.10121 0.89879 0.19217 1 0.192173 1 0.10121 0.70661 0.26368 0.876594 0.300814 1 0.10121 0.40580 0.30475 1 0.304755 1 0.10121 0.10105 0.31498 1 0.314986 1 0.10121 -0.21393 0.29332 1.783547 0.164467 7.73205 0.78256 -0.37839 -0.00279 1.408545 -0.001988 0.01464 0.00148 -0.38037 -0.00335 - -11 34.36649 3.47823 x 3.47823x 0.234772 14.81535x10 0.57426 0.05812 -13.81535x 2.67528x 0.103679 25.8035x9 4.38747 0.44405 -39.61885x -14.91747x - -( ) 00384 . 061885 . 3924 , 038037 . 0 x11 34.36649 3,47823 -0.00384 -0.01335 0.234772 -0.0568910 0.57426 0,05812 0.05305 -0.01027 0.103679 -0.099029 4.38747 0,44405 0.15207 -0.05725 - -C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56pornind iniial de la aceast din urm, numrul de iteraii este relativ mic.n tabelul 3 se prezint calculul desfurat analog, pentru determinarea pulsaiei de gradul II.Momentul rezidual va avea valoarea; ( )08520 . 0 05725 . 024 . 0 00335 . 0 2 , valoare care poateficonsideratsatisfctoare, ceeace nseam-n c: 10121 . 0210II

,_

, 31813 . 010II, deci 10167 . 773II s, valoarecumultdiferitde 104 . 4522II scalculat pentru sistemul simplificat. n schimb, II0 calculat corespunde suficient de exact cu pulsaiade ordinul I a sistemului format numai din motorul necuplat, deoarece:. 0~~~8120 jj jJModurile de vibraie ale sistemului analizat anterior sunt prezentate n figura 3. Amplitudineamaximamodului degradulI se produce n dreptul elicei, iar nodul n apropierea reductorului. Primul nod al modului II este aproximativ la mijlocul axului motor, iar cel de-al doilea n apropierea elicei.Fig. 3C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 5610.5.3.3. Vibraiile torsionale forate ale linii8lor de arbori10.5.3.3.1. Sursele de excitaie a vibraiilor torsionaleOrice influen perturbatoare care genereaz i menine vibraiile reprezint sursa de excitaie.Principalasursdeexcitaiealiniilor de arbori acionai de motoare cu ardere intern cu piston o constituie variaia presiunii gazelor n cilindrii motorului n timpul ciclului motor, ca i forele de inerie ale mecanismelor motoare, care genereaz cuplul motor variabil.Variaiile periodice ale momentului rezistent pot fi surse de excitaie (de exemplu, n cazul elicelor navale, la trecerea unei pale prin dreptul etamboului, se produce o variaie a forelor ce acioneaz asupra sa, deci i a momentului rezistent produs de acea pal).Ca orice surse de excitaie, momentul motor variabil esteciclic, perioadasafiind precizat n paragraful 2.8. Prin urmare, momentul motor, prin componentele sale: momentul forei de presiune a gazelor ( )pM i al forelor de inerie al maselor aflate n micare de translaie ( )aM va suporta o dezvoltare armonic.Datorit egalitii dintre mrimea momentului motor i a momentului de dezechilibru (rsturnare), egalitatea precizat n paragraful mai sus amintit, analiza armonic a momentului motor va fi aceeai cu a momentului de ruliu (paragraful 3.2.3), adic putem scrie:1 kkM M, (1)unde:( )k k kt k M M + sin , (2)n care s-a nlocuitprin relaia t , iar fazele iniialekprink, pentru a evita confuziile. Pentru discul de ordinul j echivalent dinamic cu masele n micare aferente cilindrului de acelai ordin i n care aprindereaseproducedup( ) 1 jdecalaje unghiulare fa de cilindrul 1, vomavea urmtoarea expresie a momentului excitator:( ) [ ] { } . , 1 , 1 sin i j j t k M Mk k kj + (3)10.5.3.3.2. Rezonana sistemelor oscilanten cele ce urmeaz ne vom referi, iniial, la sistemul oscilant cu un disc (fig. 1, paragraful 10.5.3.2). Vom considera cazul cel mai general al micrii acestuia, i anume micarea amortizat forat.Aceasta nseamn c sistemul cedeaz energie micarea fiind amortizat, cu variaia elongaiei scznd exponenial n timp, datoritrezistenelor internei externe. Se consider c rezistenele sunt proporionale cu viteza:dtdM , (4)undecoeficientul de amortizare se calculeaz pe baza unor relaii empirice pentru principalele organe care produc amortizri datoritfrecrilor externe: cuplul piston-cilindru, lagrele arborelui cotit, elicele navale, volanii motoarelor n frecare cu aerul, etc. De exemplu, pentru elicea naval, relaia de calcul poate fi:. 301]1

radNmsnMee(5)Pe de alt parte, sistemul primete succesiv, dinexterior, o energiecel puin egal cu energia pierdut prinamortizare. Excitaia sistemului, sub forma armonic (2), provoac un rspuns sinusoidal, conform principiului suprapunerii efectelor, astfel c sistemul vavibracuoelongaieunghiular de tipul excitaiei.Matematic, ecuaia diferenial a micrii amortizate forate a unui disc va fi:( )k kt k M CdtddtdJ + + +sin22, (6)sau:( )Jt k MdtdJ dtdk k + + + sin2022,unde s-a folosit relaia corespunztoare pentru pulsaia proprie0 din paragraful 10.5.3.2, pentrusistemul monodimensional. Se introduce mrimea adimensionala, numit amortizare, prin relaia:. 220 aJ(7)Ecuaia de micare devine:C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56( ).sin220 022Jt k Mdtdadtd k k + + +(8)Soluia ecuaiei (8) se poate scrie ca sum dintre soluia general a ecuaiei omogene i osoluieparticularaecuaiei neomogene, deci:pk + 0 , (9)unde 0 are forma:

,_

+ 020 0 01 sin0t a et a(10)iar pk de forma:( ) ( ) + tku kpkdu u t u k eJM000sin sin10.(11)Pentru aceasta din urm se poate arta c se ajunge la urmtoarea forma:( ) . sink k k pkt k + + (12)Calculelefiindfoarte laborioase, preferm s determinmdirect amplitudineaki diferenadefazk, prinintroducerealui pk din (12) n (8); vom avea:( )( ) ( )( ) . sinsin cos2 sin2002 2kkk k k k kk k k kt kJMt k t kk a t k k + + + + + + + + + Dezvoltnd funciile trigonometrice i grupndu-le convenabil, obinem:( ) [ ]( ) [( ) ] ( )( ) . sincos sincos 2 sinsin 2 cos2 20002 2 20kkk k kk k kk k k kt kJMt k kk a t kk a k + + ++ + + Aplicm metoda identificrii coeficienilor, obinnd sistemul:( )( )' + 0 sin cos 2sin 2 cos2 2 20 002 20k k k kkk k k kk k aJMk a k.Sescotde aicik sin ik cos priviteca necunoscute:( ) [ ] ( )( )( ) [ ] ( ) ' + + 2 20222 202 202 20222 2004cos42sink a kkJMk a kakJMkkkkkk.Ridicnd acum ultimele dou relaii, membrucu membru, la ptrat, se obine amplitudinea unghiular:( ) [ ] ( )2 20222 2041 + k a kJMkk, (13)iar prin mprirea acelorai obinem diferena de faz:.12arctg200

,_

kkak(14)Dac momentul de excitaie ar fi constant, am avea urmtoarea ecuaie de micare:JMdtdadtd k + +20 0222 , (15)simplificat fa de (8); atunci o soluie particular va fi:CMJMk ksk 20; (16)constantask reprezintdeplasarea unghiular staticpe care o produce un moment constant. Raportul:skkkA(17)se numetefactor de amplificare (receptivitate dinamic) i are expresia:.4 11202220

,_

+11]1

,_

kakAk(18)C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Analiza micrii sistemului oscilant se poate face prin intermediul urmtoarelor mrimi: kA a , , . Dac notm:Jcr 02 , (19)mrime numit coeficient critic de amortizare, putem defini amortizarea ca fiind:.cra(20)Vom ntlni deci situaiile:cr < -micarea este periodic amortizat;cr > -micarea este aperiodic, intens amortizat, sistemul nemaiputndreveni la starea iniial de echilibru;cr -conducela 1 a , micareancepes devin aperiodic ( ) 1 a.Corelaiadintreamortizareaai factorul de amplificare kAdat prin relaia (18) este reprezentat grafic n figura 1.Aacumreiesedinreprezentareagrafic menionat, cu ct amortizarea este mai mare, factorul de amplificare se reduce, deci i amplitudineamicrii scade, deformaiile unghiulare sunt mai mici, iar vibraiile torsionale mai reduse.Micarea periodic forat a sistemului, pentrucarepulsaiileproprii sunt egalecu pulsaiile forei excitatoare se numete rezonan. Aadar, pentrusistemul oscilant cu un singur disc, care are o singur pulsaie proprie, condiia de rezonan va fi:0 k (21)k fiind ordinul armonicei excitaiei. Se observ claamortizarenul( ) 0 a, kA, deci k; deformaiaunghiularfiindinfinit mare, se produce ruperea arborelui.Se poateartac,pentru 22 acurbele din figura 1 prezint un maxim egal 2022 11 21aka a pentru iar pentru 22> afactorul de amplificare descrete continuu de la valoarea 1 la 0, toate curbele tinznd asimptotic ctre zero, cnd 0k.C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Relaia (13), prin intermediul relaiei (17), permite calculul amplitudinilor care pot atinge valori periculoase n zona din apropierea valorii:10 k, mai precis:( ) 2 . 1 8 . 00 k; pentru reducerea acestor amplitudini va trebui mrit amortizarea; n afara zonei periculoase

,_

> , valoarea1.2 a raportuluifiind limit inferioar ncepnd de la care se poate neglija efectulamortizrii. Pulsaiade rezonan cu ordinul major va fi:. 65 . 7655 . 9122 655 . 91 sknkSistemul ecuaiilor de micare ale primelor i discuri, echivalente dinamic cu manivelele i mecanismele motoare aferente fiecrui cilindru va fi:( ) ( )( ) , , 1 , sin1 1 122i j t k MC CdtdJk kj j j j j jij + + +(11)dedus ca n paragraful 10.5.3.2, cu luarea n consideraie a excitaiei. Sistemulde micarepen-tru celelalte i n discuri pe care nu acioneaz momentele excitatoare, va fi:( )( ) , 01 1122 ++ + ++ + + +++p i p i p ip i p i p ip ip iCCdtdJ(12)unde1 , 1 n p .Soluiilesistemului (11)cu(12)vorfi de tipul armonic, can10.5.3.3.2, fcndns 0 jk(n lipsa amortizrii,0 a ):( ) . , 1 , sin n j t kk j j + (13)S-a considerat n (11) c i j constk kj, 1 , . , deci momentelede excitaie acioneaz n faz pentru toi cilindrii, ceeaceestevalabil pentruordinul major pentru care se aplic prezentul algoritm decalcul. Relaiile(13) vor verificaambele subsisteme (11) i (12), deci vom obine:( ) ( ) ( )( ) ( )( )' + + + + + + + + + + +0, 1 ,1 1121 1 12p i p i p ip i p i p i p i p ikj j j j j j j jCC k Ji j MC C k J(14)unde1 , 1 n p .Cuobservaiadinparagraful 10.5.3.2i anume c 00 nC C (tronsoanele de ordinele respectivenuexist), adunndrelaiile(14) membru cu membru, vom obine:( ) 012 + +njk i j jM i k J, (15)expresieacondiiei casistemul oscilant s execute vibraii torsionale forate de pulsaie k , i anume: suma momentelor forelor de inerie s fie egal cu suma momentelor excitatoare. Calculele seefectu-Tabelul 2Gradul de excitaiekE~... , 11 , 7 , 5 , 1 k ... , 10 , 8 , 4 , 2 k ... , 9 , 3 k ... , 12 , 6 kI 0.0665 0.1396 0.3638 5.5241II 0.1863 1.2672 3.8598 0.2886Tabelul 3Tabelul 4Fig. 3C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56eaz tabelar, pe baza schemei lui Holzer, considernd vibraia primului volant ca necunoscut, notat cu x.Calculul amplitudinilor vibraiilor torsionale foratelarezonancuarmonicadeordin major 6 k a momentuluimotor 6RND90se prezint n tabelul 3.Calculele s-au fcut pentru modul I de vibraie, cu valoarea( )2 2 29 . 5875 65 . 76 s k . Punnd condiia final (15), se obine ecuaia n necunoscuta x:C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56. 01164 . 29 10 48 . 1082665M x Pentru amplitudinea componenei armonice6Mvomfolosi metodologia i relaia final de la 3.2.3, innd cont de egalitatea valoric dintre momentele de ruliu i cele motoare, pentru acelai ordin armonic, Nm M 788856 . De aici, obinem amplitudinea: rad x310 11387 . 2 , n funcie decaresecalculeazamplitudinilemicrii vibratorii forate ale discurilor i momentelor de torsiune aferente acestora.Rezultatele sunt prezentate n tabelul 4, pe baza crora s-au trasat diagramele din figura 3.10.5.3.3.4.2. Determinarea amplitudinii vibraiilor forate amortizateEcuaiile care descriu micarea vibratorie a sistemului, n acest caz, vor fi de tipul celor de la paragraful anterior (vibraii forate neamortizate), la care se adaug ns momentul forelor de frecare de tipul:dtdMjjjkkk (1)Fig. 4unde jk reprezint coeficientul de amortizare a micrii vibratorii forate de ordinul armonic k al momentului motor, deci:( )( )( )( )' + + + ++ + + +++++ ++ +. , 1 , 0, 1 ,1111122122i n p CCdtddtdJi j M CCdtddtdJp i p ip i p ip ip ip ij j jj jjjjk k p ik k p ikkkp ik k k jk k jkkkjn lipsa amortizrii, micarea discurilor este dat de soluia anterioar pentru n j , 1 . Atunci, utiliznd(1), momentul rezistent se poate scrie c:( ) ( ) n j t k k Mj j j jjkk k k k, 1 , cos + + (2)moment prin care este disipat o energie ntr-un ciclu de oscilaie dat de:( )( ) ( )( ) [ ]( ) ( ) .~2 cos 121cos2 2 2 2002 2 22 201 j j j jkj jkj j j jj jkjjkjkk k k k kTk kTk k k kk kTkk kdt t kk dt t kk d M E + + + + + (3.)De aici, energia total disipat prin amortizare pe ntregul sistem va fi:( ) .~12 21 njk k knjj j jjk kk E E(4)Vom considera n continuare c, la rezonan, se produce creterea amplitudinilor vibraiilor forate pn cnd energiaintrodusdeexcitaiadeordinulk compenseaz cea disipat prin amortizare, condiie acoperitoare:k kE E (5)unde, din 10.5.3.3.3, k k k k k kE M E E E~ ~1 1 ; deci: njk kkk kjk jjk E M12 2~ ~1 1,de unde: njkk kkjk jkE M12~~1. (6)n lipsa unor informaii exacte asupra valorilor luijk, se poate aprecia c aceasta reprezint o fraciune din momentul cinetic al discului:n j J qj kkj, 1 ,0 , (7)unde0 estepulsaiadegradul; astfel nct (6) devine:qksk11 , (8)unde1ks, prinanalogiecucel prezentatla 10.5.3.3.2, capt semnificaia unei deplasri unghiulare statice: njk jk ksjkJE M12 20~~1, (9)n care putemface reducerea sistemului echivalent la un singur disc cu momentul de inerie: njk jjJ J120~,i rigiditatea:020 0J C ,deci regsim relaia deformaiei statice unghiulare din paragraful citat, sub forma:.'~0 01CMCEMkkk sk Continund analogia cu sistemul cu un singur disc prezentat n paragraful 10.5.3.3.2, putem preciza factorul de amplificare kA:C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56.111qAkskk(10)Calculul amplitudinilor vibraiilor forate amortizate prezentat este aproximativ, ntruct pentru valorile luikA apelmla diferiterelaii experimentale, cugradul de precizie al fiecruia.De exemplu, pentru kAse poate lua:( ) .~ 158 481 ijk kjiA(11)Pentru motorul 6RND90 cu turaia nominalmin rot n / 122 i cea proprie de gradul I:min rot n / 424I0, ordinul armonicii care poate excita rezonana n domeniul turaiilor de exploatare va fi:4122424I0 nnk ,iar raportul1 . 1424122 4I0nkn, deci funcionarea se situeaz n zona periculoas. Calculele amplitudinilor sunt prezentate tabelar: n tabelul iniial 1 se calculeaz valorileijkj1~, folosind valorilej~din tabelul pulsaiilor proprii (paragraf 10.5.3.2), rezultnd valoarea5.5244, cu care se calculeaz, ncontinuare, valorilefactorului de amplificare cu relaia (11):( ) ( ) . 54 44 5244 . 56158 48 kAS-a ales 49 kA . Valorile gradelor de excitaie s-au preluat din tabelul corespunztordin10.5.3.3.3. Momentelede torsiunesuplimentaremaximes-auobinut prin nmulirea valorii maxime a momentului din tabelul pulsaiilor proprii (paragraf 10.5.3.2) i anumeNm510 325 . 942 cu valorile corespunztoarealeamplitudiniideformaiei primului disc 1k.Valorile sunt prezentate n tabelul 2. Amplitudinile momentelor excitatoare de ordinulks-auobinut dinanalizaarmonic prezentat n paragraful 3.2.3.n ultima coloan a tabelului 2 s-au calculat tensiunile suplimentare corespunztoare relaiei cunoscute din rezistena materialelor:ptWMmaxmax ,unde modulul de rezisten polarpWare valoarea030,16dd fiind diametrul arborelui echivalent; conform 10.5.3.1,mm d dl6800 pentru motorul 6RND90. n figura 1 este redat variaia amplitudinii vibraiilor torsionale forate amortizate n dreptul primului disc. Metoda aproximativ este acoperitoare, dar trebuie completat cu msurtori la nav; relaii suplimentare asupra tensiunilor admisibile1 i2 sevor da n paragraful urmtor.10.5.3.4. Determinarea regimurilor de rezonanMetodele anterioare, mai mult sau mai puin exacte, de determinare a amplitudinilor vibraiilor torsionale forate ale liniilor de arbori comport dificulti legate de volumul mare de calcul.Deaceea, demulte ori este util s se precizeze regimurile de turaie ale motorului la care se produce rezonana, ordinul armonicilor i gradul pulsaiilor de rezonan.Relaia care indic condiia de rezonan sub forma general poate fi scris:.0 k(12)Notnd: kk, (13)undek reprezint pulsaia excitaiei de ordinul k, la rezonan vom avea: 0 k, fiind gradul pulsaiei.Deoarecepoatefi scris i subforma [ ]155 . 9 sn, rezult c pulsaia excitaiei de ordinul k variaz liniar cu turaia ca mai jos:.55 . 9nkk (14)Punctele de intersecie ale dreptelor kcu orizontalele0 dau aa numitele turaii critice. n figura 2 se prezint diagrama pulsaie-turaie pentru motorul 6RND90.Se constat c n zona precizat a turaiilor de lucru, turaiile la care se produce rezonana cu componentele de ordinul 4 i 5 corespunztoare modului I de vibraie vor fi: min rot n / 855Iimin rot n / 1064I, valorile citite pe axa absciselor i care corespund valorilor calculate n tabelul 2, coloana a doua. Semai constatcrezonanapentru armonicile de ordin inferior se produce la turaii care depesc cu mult turaia maxim a motorului.Oalt observaie care se impune este aceea c, prin mrirea rigiditii arborelui cotit sau prin micorarea momentului de inerie mecanic al acestuia, este posibil deplasarea unei turaii critice din zona turaiilor utilizabile ale motorului, nsensulcreterii pulsaiei proprii a vibraiilor. O soluiesatisfctoareod,simultancucea anteriorvizat nc dinfazele de proiectare, folosireanexploatarea amortizoarelor de vibraie; situaia se ntlnete frecvent la motoarele navale.10.5.3.5.Recomandri ale RNR referitoarelavibraiile torsionale ale liniiiordearboriantre-nai de motoarele navaleDatorit importanei vibraiilor torsionale, calculul acestora cade sub incidena regulilor de registru. n continuare vom prezenta recomandrile RNR cuprinse nRegulile generale pentru clasificarea i construcia navelor maritime.Tabelul 1Nr. discjJj~2 ~j2 ~j jJ - [Nms2] - - [Nms2]1 8290.0 1.0000 1.0000 8290.00002 8046.0 0.9859 0.9720 7820.71203 8046.0 0.9582 0.9181 7387.03304 8046.0 0.9174 0.8416 6771.51305 8046.0 0.8641 0.7467 6007.94806 8290.0 0.7988 0.6381 5289.84907 4293.9 0.6765 0.4576 1964.88808 73120 -0.6536 0.4272 31236.86405244 . 5~61 j 807 . 74768~2j jJTabelul 2kknIkE~kM1sk1kmax ktM max k- [rot/min] - [Nm] [rad] [rad] [kNm] [10-1N/mm2]1 424.0 0.0665 468.382 1032.1125 10-410.035 10-3945.632 153.1672 212.0 0.1396 409.218 1033.8745 10-418.985 10-31789.004 289.7713 141.0 0.3638 261.308 1036.4475 10-431.593 10-32977.087 482.2094 106.0 0.1396 182.422 1031.7272 10-48.463 10-3797.489 129.1725 84.8 0.0665 128.188 1030.5781 10-42.833 10-3266.960 43.2406 70.7 5.5241 78.885 10329.5551 10-4144.819 10-313646.656 2210.3967 60.6 0.0665 59.164 1030.2668 10-41.317 10-3124.104 20.1018 53.0 01396 35.991 1030.3407 10-41.669 10-3157.274 25.4749 47.1 0.3638 27.609 1030.6812 10-43.338 10-3314.548 50.94810 42.4 0.1396 11.339 1030.1073 10-40.526 10-349.566 8.02811 38.5 0.0665 10.847 1030.0489 10-40.239 10-322.521 3.64812 35.3 5.5241 7.888 1032.9553 10-414.481 10-31364.581 221.026C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 5610.5.3.5.1. Indicaii generaleCalculelevibraiilor torsionaletrebuies se efectueze att n varianta principal, ct i pentru toate regimurile de funcionare posibile ale instalaiei aflat n exploatare: cu priz de putere maxim i pentru mers n gol (poziia zero a palelor) la instalaiile cu elice cu pas reglabil; cu variantele de funcionare separat i n paralel a motoarelor principale n instalaiileavndmai multemotoareca acioneaz propulsoare prin intermediul aceluiai reductor; cuvarianteledecuplareareductoarelor inversoare; cu variantele de cuplare a unor consumatorisuplimentari deputere,dac momentele lor de inerie sunt comparabile cu momentul de inerie al unui cilindru de lucru; cuuncilindruscosdinfunciune, pentru instalaiile avnd cuplaje elastice; n acestcaztrebuie s se ia cilindrul scos din funciune ca cilindrul pentru care sumele geometrice ale amplitudinilor relative ale vibraiilor sunt maxime; cuelice derezerv, dacmomentul de inerieal acesteiadiferfadecel al elicei principale cu 10% i mai mult.Calculul vibraiilor torsionale trebuie s cuprind: date amnunite ale elementelor sistemului, schema tuturor variantelor posibile de funcionare a sistemului, dimensiunile, momentele de inerie ale maselor i elasticitile elementelor sistemului, parametrii motorului, propulsorului, amortizoarelor, cuplajelor elastice, reductoarelor i generatoarelor; tabelele de calcul ale frecvenei vibraiilor libere ale modurilor principale, care au rezonane apreciabile n gama de la 0.2 la 1.2 a turaiei de calcul;Fig. 1Fig. 2C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56Fig. 1 valorile de calcul ale amplitudinilor vibraiilor celei mai mari mase a motorului pentru toate ordinele i modurile de vibraii analizate; date privind tensiunile de calcul produse de vibraiile torsionale n seciunile cele mai stabile ale arborelui; dac exist cuplaj elastic-calculul amplitudinilor momentelor elastice sau tensiunilor din elementele acestuia i compararea lor cu valori admisibile, iar dac exist reductor-calculul amplitudinilor momentelorelasticei compararealorcu momentul de torsiune mediu.10.5.3.5.2. Tensiuni admisibileTensiunile rezultante datorate vibraiilor torsionalepentruarbori cotii ai motoarelor principale, laofuncionarendelungat, nu trebuie s depeasc valorile determinate cu formula:mmcRRnnd510 213 4 . 0 451

,_

t (15)unde: 1tensiunileadmisibile [ ]2/ mm N ; d -diametrul arborelui [mm]; -turaia considerat [ ]1 s ;cn -turaia de calcul [ ]1 s ; mRrezistena de rupere la traciune a motorului [ ]2/ mm N .n cazul cnd se utilizeaz un material cu rezisten de rupere mai mare de 2/ 780 mm N, ncalculesevaadopta2/ 780 mm N Rm . Dac2 2/ 430 / 510 mm N R mm Nm > > , se va adopta 2/ 510 mm N Rm .Pentru navele ale cror motoare principale se exploateaz timp ndelungat cu momentul maximde torsiune la o turaie mai mic dect cea de calcul (remorchere, traulere, etc.), n toate cazurile se va adopta cn n . n zonele de turaii( )cn 05 . 1 85 .. 0 , tensiunile produsenutrebuiesdepeascjumtate din tensiunile admisibile determinate cu formula (15).Tensiunile admisibile datorate vibraiilor torsionale, n gama turaiilor( )cn 05 . 1 85 . 0 -pentru arbori cotii ai motoarelor ce antreneaz generatoare i alte mecanisme auxiliare de mare importan, precumi pentruarborii generatoarelor, nutrebuies depeasc valorile determinate cu formula:( ) .510 22 . 0 5 . 221mmRRd t (16)Tensiunile admisibile pentru zonele de turaii interzise la funcionarea de lung durat, dar princarese admiteotrecere rapid, nu trebuie s depeasc valorile admisibile determinate cu formulele: pentru arborii cotii ai motoarelor principale:1 22 ;(17) pentru arborii cotii ai motoarelor care antreneaz generatoare, precumarborii generatoarelor:.1 25 ,(18)unde2 -tensiuneaadmisibilpentruturaii interzise la funcionarea de lung durat [ ]2/ mm N ;1-tensiunea admisibil [ ]2/ mm N , dat de (15) sau (16).Pentru arborii intermediari, de mpingere i port-elice, tensiunile datorate vibraiilor torsionale, la o funcionare de lung durat n zona de turaii( )cn 05 . 1 9 . 0 , nutrebuie s depeasc valorile determinate cu formula:38 . 1181601+t d kmc cR. (19)Tensiunile admisibile produse de vibraiile torsionale n zonele de turaii mai mici dect cele indicate nu trebuie s depeasc valorile determinate cu formula:11]1

,_

+t 21318160cd kmnnc cR, (20)5 01 0 01 5 02 001 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 00 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0k = 4k = 3nI 5nI 4k = 2k = 1k = 7k = 6k = 8k = 5k =1 0k = 9k =1 2k =1 1 [ s- 1 ]0 I I0 In[ r ot / m i n]2 5 5 0 7 5 1 0 0s a r c i n a [ % ]C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56C1C2C3C4C5C6C7C8C9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C 17C 18C 20C 21C 22C 23C 24C 25C 26C 27C 28C 29C 30C 31C 32C 33C 34C 35C 36C 37C 38C 39C 40C 41C 42C 43C 44C 45C 46C 47C 48C 49C 50C 51C 52C 53C 54C 55C 56unde mRrezistena de rupere a materialului [ ]2/ mm N ; dac se utilizeaz materiale avnd rezistena de rupere mai mare de 600 2/ mm N, n calcule se va adopta 2/ 600 mm N Rm ; kc-coeficient,tabelul 3;dc-factordescar,dat de relaia:2 . 093 . 0 35 . 0 + d cd, (21)cu d -diametrul arborelui [mm];n-turaia considerat [ ]1 s ;cn -turaiadecalcul [ ]1 s ; 2 1 , -tensiuni admisibile[ ]2/ mm N .Pentru navele ale cror motoare se exploateaz timp ndelungat cu momentul maxim de torsiune la turaie mai mic dect turaia de calcul, pe toat gama ( )cn 05 . 1 2 . 0 se va utiliza formula (19).Tensiunile admisibile pentru zonele de turaii interzise la funcionarea de lung durat, dar princaresepermiteotrecere rapid, nu trebuie s depeasc valorile determinate de formula:[ ] . /7 . 12 12mm Nck t (22)10.5.3.5.3. Msurarea tensiunilor produse de vibraiile torsionaleRezultatele calculelor pentru vibraii torsionale trebuie s fie confirmate prin msurtori. Acestea vor fiefectuate n toate regimurile de funcionare ale instalaiei, care au fost examinate pentru calcule.Frecvenele msurate ale vibraiilor libere nu trebuie s difere fa de cele de calcul cu mai mult de 5%. n acest caz contrar, calculul trebuie corectat n mod corespunztor.Calculele tensiunilor conform datelor torsiografice trebuie s se efectueze la amplitudini maxime ale vibraiilor prii corespunztoare a torsiogramei, iar la apreciereavibraiilorforatefrrezonan este necesar s se efectueze analiza armonic a torsiogramei.10.5.3.5.4. Zone de turaii interziseDac tensiunile efective depesc tensiunile admisibile determinate pe baza relaiilor (15) i (20), dar nu depesc valorile pentru care se admite trecerea rapid date de (17), (18) i (22), se stabileteozonde turaii interzise. Nuseadmitzoneinterzise pentru turaiile cn n 8 . 0 >.Zonele de turaii interzise, n care tensiunile din arbori datorate vibraiilor torsionale sau momentele din cuplajul elastic sau reductor depesc valorile admisibile, se determin lund ca baz turaia de rezonan( )rezni domeniul de turaii n care tensiunile (momentele) depesc valorile admisibile, fa de care se ia n ambele sensuri rezn 03 . 0 .Tabelul 3Arbori intermediariArbori de mpingereArbori port-eliceCu flane forjate dintr-o bucat sau cu mbinri fr panCu canal de panCu guler de mpingere-kc 1.0 0.75 0.85 0.55