curs vibratii

Universitatea Ovidius Constana Facultatea de Inginerie Mecanic, Industrial i Maritim Centrul ID-IFR

Vibraii~ Tutorial ID-IFR ~

Curs Vibraii Mecanice

Capitolul 1

CAPITOLUL 1 NOIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Consideraii generale. Definiie.n viaa de toate zilele, vibraiile constituie n primul rnd un produs al progresului tehnic, un agent mecanic cu aciune nociv asupra oamenilor, cldirilor i mainilor, i abia n al doilea rnd o micare a crei energie este folosit n procese industriale utile. n practic vibraiile nu pot fi evitate, fiind un rezultat al funcionrii mainilor de lucru i al vehiculelor, al aciunii mediului ambiant asupra structurilor mecanice construite de om. Cel mai frecvent, ele apar datorit contactului prin rostogolire sau alunecare ntre elementele mainilor, jocurilor i toleranelor de prelucrare, forelor neechilibrate ce acioneaz asupra pieselor n micare alternativ sau de rotaie. Vibraiile de nivel relativ sczut se pot propaga n lungul structurii elastice a utilajelor, navelor sau a cldirilor, excitnd vibraia la rezonan a altor pri ale structurii, care devin astfel surse importante de zgomote i vibraii. O definiie riguroas a vibraiei mecanice, care s includ toate micrile crora li se d acest nume, este greu de formulat. Dac un corp, avnd o anumit poziie de echilibru, execut, n mod alternant, o serie de micri n jurul acestei poziii, se zice c el se afl n micare vibratorie. Se va numi sistem mecanic ansamblul format din unul sau mai multe corpuri solide cu legturile lor mecanice, interioare i exterioare. Un sistem mecanic este elastic dac n componena lui exist cel puin un element care se deformeaz elastic. Un corp rigid aezat pe o fundaie elastic, o bar deformabil pe reazeme rigide, sunt exemple de sisteme elastice. Asupra unui sistem elastic pot aciona diferite tipuri de sarcini exterioare, iar sistemului i se pot impune anumite deplasri fa de o poziie de echilibru stabil. Sarcinile exterioare i deplasrile variabile n timp vor cpta denumirea comun de excitaie sau perturbaie. Starea sistemului neperturbat va fi considerat stare de referin. Dac un sistem elastic este excitat, n el apar mici micri alternante fa de poziia de referin, numite micri vibratorii, iar despre sistem se spune ca vibreaz sau ca execut vibraii mecanice. Vibraiile mecanice ale sistemelor elastice pot fi caracterizate printr-un numr dat de parametri. A determina valorile acestor parametrii nseamn a afla rspunsul sistemului elastic la excitaia dat. Rspunsul este condiionat att de parametrii excitaiei, ct i de carecteristicile mecanice ale sistemului. Rezolvarea unei probleme de vibraii const, n general, n stabilirea relaiilor care exist ntre excitaie, rspuns i caracteristicile mecanice ale sistemului, astfel c dintr-un numr dat de mrimi cunoscute s se poat determina restul mrimilor necunoscute.

1.2. Clasificarea vibraiilor Vibraiile mecanice se pot clasifica dup o serie de criterii : Dup numrul gradelor de libertate sau parametrii independeni care definesc, la un moment oarecare, poziia tuturor elementelor sistemului oscilant, sunt : vibraii n sisteme cu unul, cu dou sau mai multe grade de libertate. Un corp rigid, a crui micare vibratorie const din o translaie pe o direcie cunoscut sau o rotaie n jurul unei axe date, are un singur grad de libertate. Numrul maxim de grade de 7


Capitolul 1

libertate ale unui rigid este de ase. Un sistem cu un numr oarecare de mase n vibraie are, de obicei, un numr de grade de libertate egal cu cel al maselor (maximum de 6 ori numrul maselor). sistemele continue cu un numr infinit de grade de libertate (coarde, bare, membrane, plci, nvelitori). Dup ecuaia diferenial a micrii - din care decurg o serie de proprieti ale micrii vibraiile sunt : liniare neliniare. Dup cauzele care provoac micarea, vibraiile sunt : o libere - datorate unei deplasri sau unui impuls iniial; o forate sau ntreinute. Dup cum, n timpul vibraiei se consum sau nu energie mecanic, vibraiile pot fi : amortizate; neamortizate. Dup legea variaiei n timp a micrii, ca i a excitaiei, vibraiile pot fi: deterministe periodice armonice nearmonice o modulate n amplitudine o modulate n frecven o oarecare neperiodice aproape periodice tranzitorii aleatoare. staionare ergodice nergodice nestaionare

8

Curs Vibraii Mecanice 1.3. Noiuni i definiii

Capitolul 1

Vibraii active vibraii ntreinute produse de agregate i care se transmit fundaiilor sau postamenilor. Vibraii pasive vibraii care apar n agregate, atunci cnd funcioneaz sau nu, fiind excitate de surse ca motorul principal, etc. Vibraia armonic este micarea periodic cea mai simpl exprimat prin una din funciile :q = A sin (t + )

(1.1)q = A cos (t + )

(1.2) n care A, i sunt mrimi constante i reprezint parametrii vibraiei. Elongaia q = q (t ) reprezint valoarea instantanee a coordonatei. Se mai numete i deplasare instantanee, care poate fi liniar x [m] sau unghiular [rad], [rad]. Amplitudinea deplasrii A este valoarea maxim a elongaiei sau deplasrii. Faza vibraiei armonice este argumentul (t ) = t + al funciei periodice, unde = (0 ) este faza iniial la momentul iniial t = 0. Pulsaia vibraiei armonice este viteza de variaie a fazei, adic

=

d dt

(1.3)

se mai numete i frecven circular. Frecvena vibraiei armonice reprezint numrul de perioade complete ntr-o unitate de timp precizat, adic

f =

1 T

(1.4)

Condiia de periodicetate a vibraiei armonice impune ca dup un interval de timp T, argumentul funciei q(t) s creasc cu 2, adic

(t + T ) = (t ) + 2 (t + T ) + = t + + 2de unde

T = 2 T = 2 (1.5) Nivelul de vibraii N (dB) expresie logaritmic a raportului a dou mrimi specifice de acelai tip: X N = 20 log X 0

(1.6)

Fore de excitaie orice for sau moment exterior care acioneaz asupra sistemului i poate s produc oscilaii forate (ntreinute).

9


Capitolul 1

Valoarea de vrf (peak value) valoarea absolut cea mai mare a mrimii variabile care caracterizeaz vibraia ntr-un interval de timp determinat (analizat). Valoarea dintre vrfuri (peak to peak value) valoarea absolut a diferenei dintre amplitudinea cea mai mare i cea mai mic, cunoscut i sub numele de amplitudine total a vibraiei. Valoarea medie - a modulului valorii variabile. Acesta este valoarea absolut medie a desfurrii (average absolute value).X med 1 = TT

x(t ) dt0

(1.7)

Valoarea efectiv (RMS root mean square) se exprim :X RMS = 1 TT

x2 (t )dt0

(1.8)

Este numit valoare medie efectiv sau media ptratic a variaiei funciei n timp. n teoria vibraiilor aceast mrime este egal cu abaterea standard (standard deviation), iar expresia de sub radical reprezint variaia procesului vibrator. Analiza spectral a vibraiilor reprezentarea valorilor caracteristice a desfurrii vibraiilor funcie de frecven. Aceasta se obine prin analiza funciilor de tip Fourier, prin calcule sau prin msurtori, care informeaz asupra componentelor unei desfurri date. Pentru vibraii determinate, va fi un spectru discret, cunoscut i sub numele de liniar, iar pentru procese stohastice un spectru continuu, cunoscut sub numele de densiti spectrale ale energiei vibraiilor. Analiza spectral pe benzi (de frecven) Analiza procesului de vibraii n care valorile efective de vrf, sau altele, se determin pentru vibraiile studiate pe tot domeniul de frecvene caracteristice lui, pe calea ipotezei c banda de filtrare a semnalului este proporional cu valoarea global. Aceste benzi pot avea o lime constant (de exemplu 3 Hz 10 Hz), sau constant procentual, care se caracterizeaz prin raportul dintre limea benzii de filtrare i frecvena de mijloc a benzii. De exemplu :f = 23% f0 f = 70,7% f0

teriar octav

Banda se caracterizeaz prin raportul de frecvenelor ei limit (cea superioar i cea inferioar) i acestea sunt egale cu 10 decad; 2 - octav; 21/2 semioctav; 21/3 ter; precum i prin frecvena de mijloc, calculat ca fiind media geometric a frecvenelor superioare i inferioare a benzii. Frecvenele mijoc de band, nirate n ordine, constituie, de obicei, n scar logaritmic, axa variabilelor independente pentru trasarea caracteristicii spectrului.

10


Capitolul 2

CAPITOLUL 2 CINEMATICA VIBRAIILOR ARMONICE

2.1. Vibraia armonicMicarea unui punct material sau a unui sistem de puncte materiale este o micare periodic, dac se repet dup un interval de timp. Cel mai mic interval de timp dup care micarea se repet poart denumirea de perioad i se noteaz cu T. Matematic o micare periodic a unui sistem cu un grad de libertate x de perioad T, poate fi exprimat sub formax(t ) = x(t + T )

(2.1) oricare ar fi timpul t. Folosind coordonate generalizate relaia (2.1) devineq (t ) = q (t + T )

(2.2) Cea mai simpl micare periodic este micarea a crei ecuaie se exprim cu ajutorul funciilor trigonometrice sinus sau cosinus i se numete vibraie armonic x = x0 + A sin t x = x0 + A cos t unde x0 = abscisa centrului de vibraie; A sin t , A cos t , A sin (t + ) , A cos (t + ) = elongaia; A = amplitudinea; t , t+ = faza micrii; = faza iniial; = pulsaia (numrul de perioade n 2 uniti de timp); sau sau x = x0 + A sin (t + ) x = x0 + A cos(t + )

(2.3)

f =T=

= frecvena (numrul de perioade n unitatea de timp); 2

1 = perioada micrii. f Viteza n micarea vibratorie armonic, & v = x = A cos t & v = x = A sin t a = && = A 2 sin t x a = && = A 2 cos t x & sau v = x = A cos(t + ) & sau v = x = A sin s(t + ) sau a = && = A 2 sin (t + ) x sau a = && = A 2 cos(t + ) x

(2.4)

Acceleraia n micarea vibratorie armonic,

(2.5)

Reprezentarea grafic, n timp a mrimilor x, v i a este ilustrat n figura 2.1.

5


Capitolul 2

Fig. 2.1

2.2. Reprezentarea vibraiei armonice cu ajutorul vectorilor rotitoriSe consider un vector OA de modul A care se rotete n jurul originii cu viteza unghiular =const. (figura 2.2) avnd faza iniial (unghiul fcut de OA cu Ox n momentul iniial). Proiectnd acest vector pe sistemul de axe Oxy se obine x = A cos(t + ) y = A sin (t + )

(2.6)

care reprezint ecuaiile unor vibraii armonice. Deci, proieciile extremitii vectorului rotitor OA pe axe efectueaz vibraii armonice.

Fig. 2.2 Viteza este

& x = A sin (t + ) = A cos t + + 2

(2.7)

i se poate obine proiectnd vectorul rotativ OA , de modul A, care se rotete cu viteza unghiular =const. i este defazat fa de OA cu /2 rad n sensul lui (figura 2.2). Acceleraia este

&& = A 2 cos(t + ) = A 2 cos(t + + ) x

(2.7)

i se poate obine proiectnd vectorul rotativ OA , de modul A2, care se rotete cu viteza unghiular =const. i este defazat fa de OA cu rad n sensul lui (figura 2.2). 6


Capitolul 2

2.3. Reprezentarea vibraiei armonice cu ajutorul funciilor complexeDac vectorul rotitor este reprezentat ntr-un plan complex, el poate fi exprimat printr-o funcie complex q de modul egal cu amplitudinea vibraiei armonice A i argument egal cu faza micrii, adic

q = A cos(t + ) + iA sin(t + ) = Aei (t + )(2.8) cu unitatea imaginar i = 1 . Partea real a funciei complexe exprim vibraia cosinusoidal, iar partea imaginar reprezint vibraia sinusoidal, respectiv x = Re (q ) = A cos (t + )

(2.9) y = Im(q ) = A sin (t + )

(2.10) Reprezentarea vibraiei armonice sub form complex are avantajul c permite nlocuirea calculului cu funcii reale printr-un calcul mult mai simplu cu funcii complexe de variabil real. Acest avantaj apare evident n calculele mai complexe care implic derivare sau integrare. Dac considerm primele dou derivate n raport cu timpul ale funciei complexe dat de relaia (2.8), avem

& q = iAei (t + ) = iq(2.11)2 && q = (i ) Aei (t + ) = 2q

(2.12) Din relaiile de mai sus se vede c, fiecare derivare este echivalent cu nmulirea vectorului iniial prin i. n particular, dac vibraia armonic este dat de relaia (1.1), expresiile deplasrii i derivatele de ordinul nti i doi n raport cu timpul ale ei, permit calcularea vitezei i acceleraiei vibraiei armonice, scrise sub forma

q = Im Aei (t + ) = A sin(t + )(2.13)

[

]

& q = Im iAei (t + ) = A sin t + + 2

[

]

2 && q = Im (i ) Aei (t + ) = 2 A sin(t + + )

[

]

(2.14) (2.15)

7


Capitolul 2

2.4. Compunerea vibraiilor armonice 2.4.1. Vibraii armonice paralele de aceeai pulsaieFie vibraiile armonice date prin ecuaiile q1 = A1 sin (t + 1 ) q2 = A2 sin (t + 2 ) crora li se ataeaz aceeai direcie. Se caut micarea rezultant.Soluia analitic

(2.16)

Deoarece vibraiile au aceeai direcie, rezult c nsumarea lor se reduce la operaii algebrice de forma q = q1 + q2 ; q = A1 sin (t + 1 ) + A2 sin (t + 2 ) = = ( A1 cos + A2 cos 2 ) sin t + ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) cos t Se noteaz C1 = A1 cos 1 + A2 cos 2 ; C2 = A1 sin 1 + A2 sin 2 ; i rezultq = C1 sin t + C2 cos t A sin (t + )

= A1 sin t cos 1 + A1 sin 1 cos t + A2 sin t cos 2 + A2 sin 2 cos t =

(2.17)

(2.18)

(2.19)

dezvoltnd membrul drept se obineC1 sin t + C2 cos t A sin t cos + A sin cos t

(2.20)

identificnd termenii , rezult C1 = A cos ; C tan = 2 ; C1 C2 = A sin ;2 A2 = C12 + C2 ;

(2.21)

2 A = C12 + C2 =

( A1 cos 1 + A2 cos 2 )2 + ( A1 sin 1 + A2 sin 2 )2

(2.22)

dezvoltnd i grupnd termenii de sub radical, n final se obine expresia amplitudinii

A=

2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(1 + 2 )

(2.23)(2.24)

tan =

A1 sin 1 + A2 sin 2 A1 cos 1 + A2 cos 2

8


Capitolul 2

Rezultanta a dou vibraii armonice de aceeai pulsaie este tot o vibraie armonic, avnd pulsaia egal cu pulsaia vibraiilor componente. Pentru un numr finit de vibratii armonice paralele de aceeai pulsaie, micarea rezultant se obine prin generalizarea rezultatului anterior astfel q1 = A1 sin (t + 1 ) q2 = A2 sin (t + 2 )K KKK KKK qn = An sin (t + n )

(2.25)

adicq = q j = A j sin (t + j )n n j =1 j =1

n n q = A j cos j sin t + A j sin j cos t j =1 j =1

(2.26)

Notnd

Aj =1 n

n

j

cos j = A cos sin j = A sin (2.27)

Aj =1

j

se obine

tan =

A Aj =1 j =1 n

n

j

sin j cos j2 2

j

(2.28)

n n A = A j cos j + A j sin j j =1 j =12

(2.29)

iar vibraia rezultant are expresia de formaq = A sin (t + )

(2.30)Soluia vectorial

Vibraiile q1 i q2 pot fi considerate ca fiind proieciile pe aceeai ax ale vectorilor echipoleni de modul A1 i A2 i care se rotesc n jurul polului cu viteza unghiular constant. Deoarece ambii vectori se rotesc cu aceeai vitez unghiular, paralelogramul construit cu ajutorul lor este nedeformabil i se rotete n jurul polului O cu viteza unghiular . n figura 2.3 s-a reprezentat poligonul vectorilor la momentul iniial pentru t = 0.

9


Capitolul 2

Fig. 2.3

2.4.2. Vibraii armonice paralele de pulsaii diferiteFie vibraiile armonice de forma q1 = A1 sin (1t + 1 ) q2 = A2 sin ( 2t + 2 ) crora li se ataeaz aceeai direcie. Se caut micarea rezultant. Pentru uurina calculelor cele dou vibraii vor fi puse sub form complex, astfel q1 = A1ei (1t +1 ); q2 = A2ei ( 2 t + 2 );

(2.31)

(2.32)

Se introduc notaiile 1 = 1 + 2 2 = 1 2 i deci pulsaiile, corespunztor celor dou vibraii au expresiile1 + 2 ; 2 2 2 = 1 ; 2 +2 i 1 t +1 2 2 i 1 t + 2 2

(2.33)

1 =

(2.34)

Micarea rezultant sub form complex are expresia q = q1 + q2 = A1ei (1t + 1 )

+ A2e

i ( 2 t + 2 )

= A1e

+ A2e

(2.35)

fcnd calculele n membrul drept i ordonnd se obine i 1 + 2 t i 2 2 t i 1 t i 1 t + = A1e 2 + A2e 2 e 2 = Ae 2 q

(2.36)

unde necunoscutele sunt A i . A1 cos 1 + 2 2 t + iA1 sin 1 + 2 2 t + A2 cos 2 2 2 t + iA2 sin 2 2 2 t = A cos + iA sin 10


Capitolul 2 (2.37)

Fcnd notaiile

= 1 +

2 t 2 = 2 2 t 2A1 cos + iA1 sin + A2 cos + iA2 sin = A cos + iA sin

(2.38)

relaia (2.37) devine (2.39)

Fcnd ordonrile i identificrile de rigoare, se obine sistemul A1 cos + A2 cos = A cos A1 sin + A2 sin = A sin 2 A2 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( )

(2.40)

Ridicnd fiecare relaie la ptrat din sistemul (2.40) i adunnd, n urma calculelor se obine (2.41)

unde

= 1 2 + 2t = (1 2 )t + (1 2 )iar tan = A1 sin + A2 sin A1 cos + A2 cos

(2.42)

(2.43)

Prin urmare amplitudinea se va calcula cu relaia2 A A12 + A2 + 2 A1 A2 cos[(1 2 )t + (1 2 )]

(2.44)

iar

2 A1 sin 1 + 1 2 tan = 2 A1 cos 1 + 1 2

2 t + A2 sin 2 + 1 t 2 2 t + A2 cos 2 + 1 t 2

(2.45)

Fig. 2.4 11


Capitolul 2

Micarea rezultant rmne periodic numai dac raportul pulsaiilor 1 i 2 este raional, adic dac 1 2 se poate scrie sub forma a dou numere ntregi, prime ntre ele, de forma n1 n2 . Acest lucru se observ din interpretarea geometric a compunerii vibraiilor. Pentru ca micarea s fie periodic, de perioad T , este necesar ca vectorul rotitor A s ocupe periodic aceeai poziie i s aib aceeai valoare. Acest fapt se realizeaz numai dac vectorii rotitori A1 i A2 , reprezentnd vibraiile componente, ocup simultan aceleai poziii dup aceeai perioad T. Pentru aceasta este necesar ca perioada T s fie multiplu al perioadei T1 = 2 1 , ct i al perioadei T2 = 2 2 , adic T = n1T1 = n2T2 sau n1 T2 1 = = n2 T1 2 (2.46)

Pentru ca T s fie minim trebuie ca numerele ntregi n1 i n2 s fie prime ntre ele. Vibraia periodic rezultat din compunerea vibraiilor paralele de pulsaii diferite are o form complicat, depinznd de parametrii vibraiilor componente i de raportul dintre acetia.

2.4.3. Vibraii armonice ortogonale de aceeai pulsaieFie un punct material n plan supus simultan la dou vibraii armonice definite astfel : x = A sin (t + ); y = B sin t (2.47) unde x i y reprezint coordonatele punctului fa de un sistem de referin ortogonal fix. Se caut traiectoria punctului material raportat la sistemul de referin xOy , considerat fix. Se elimin argumentul t ntre cele dou ecuaii astfel :sin t = y B y2 B2

cos t = 1

(2.48)

Din relaia (2.47) avemx = A sin t cos + A sin cos t

(2.49) sau x y y2 = cos + 1 2 sin A B B de undey2 x y cos = 1 2 sin 2 A B B 2

(2.50)

(2.51) 12

n urma calculelor se obine


Capitolul 2

x2 y 2 xy + 2 2 cos = sin 2 2 A B AB

(2.52)

Traiectoria este de form eliptic, avnd discriminantul termenilor de ordinul doi de forma :

=

1 cos AB

1 A2

1 cos 1 1 1 1 AB = 2 2 2 2 cos 2 = 2 2 1 cos 2 = 2 2 sin 2 1 AB AB AB AB B2

(

)

(2.53) Se constat c dac > 0 , atunci elipsa are centrul n originea sistemului de axe de coordonate. Deoarece, funciile trigonometrice sunt restricionate ( sin(t + ) 1 i sin (t ) 1 ), rezult c elipsa este limitat pe cele dou direcii.

Fig. 2.5

Fig. 2.6

Se spune c traiectoria evolueaz dup o elips care se nscrie ntr-un dreptunghi de laturi 2A, 2B.Cazuri particulare

a) Dac = 0 i A =B din relaia (2.52) rezultx2 y2 xy x y + 2 2 =0 =0 2 A B AB A B2

x y =0 A B

(2.54)

de unde

y=

B x A

(2.55)

care se exprim grafic n figura 2.6, pentru A=B. b) Dac = i A =B din relaia (2.52) rezultx2 y 2 xy x y + 2 +2 =0 + =0 2 A B AB A B2

x y + =0 A B

(2.56)

de unde 13


Capitolul 2

y=

B x A

(2.57)

care se exprim grafic n figura 2.7, pentru A=B.

Fig. 2.7 c) Dac = /2 i A B din relaia (2.52) rezult

Fig. 2.8

x2 y 2 + + =1 A2 B 2care se exprim grafic n figura 2.8 sub forma unei elipse (pentru A = B avem un cerc).

(2.58)

2.4.4. Vibraii armonice ortogonale de pulsaii diferiteVibraiile armonice ortogonale pot avea pulsaii diferite, adic legile de micare pot fi de forma x = A sin (1t + ); y = B sin 1t (2.59) Traiectoriile micrii sunt curbe complicate, care depind de raportul pulsaiilor. Se demonstreaz c traiectoriile sunt curbe nchise dac raportul pulsatiilor este un numr raional. Traiectoriile descrise de mobil n micarea rezultat din compunerea a dou vibraii ortogonale se numesc curbele lui Lissajous . n figura 2.9 sunt reprezentate curbele Lissajous pentru diferite rapoarte ale pulsaiilor i valori ale unghiului . Din relaia (2.59) se constat c toate curbele Lissajous, indiferent dac sunt nchise sau nu, se menin n dreptunghiul de laturi egale cu dublul amplitudinii vibraiilor ortogonale componente. Curbele Lissajous pot fi puse n eviden i prin metode experimentale (mecanice, optice, electronice, etc.) n practic aceste curbe sunt utilizate pentru determinarea pulsaiilor proprii ale vibraiilor diferitelor sisteme mecanice.

Tabel curbele Lissajous

14


Capitolul 2

2.5. Vibraii apropiate de cele armoniceSe ntlnesc vibraii la care amplitudinea, pulsaia sau faza iniial nu mai sunt constante, ci variaz n funcie de timp, sub formaq = A(t ) sin [ (t )t + (t )] sau*

q = A(t ) cos[ (t )t + (t )]

(2.60) Considerm un interval de timp T , pentru care : - funciile A(t), (t), (t) au variaii lente, astfel nct A, , i pot fi considerate relativ constante; - sin t + T * t + T * + t + T * = sin[ (t )t + (t ) + 2 ] = sin[ (t )t + (t )] n acest caz se mai pot pstra noiunile de amplitudine, pulsaie i faz iniial. Vibraiile care au aceast proprietate se numesc vibraii apropiate de cele armonice. Un exemplu de vibraie apropiat de vibraia armonic l reprezint vibraia amortizat (fig.2.9), la care mrimile i sunt constante, iar amplitudinea descrete exponenial cu timpul, adic

[(

)(

) (

)]

q = Ae nt sin(t + )(2.61) n care n este un parametru mic pozitiv. Dac n < 0, atunci amplitudinea crete exponenial cu timpul i funcia (2.61) va exprima o vibraie cresctoare (fig. 2.9 b).

Fig. 2.9 Funcia (2.61) nu este periodic, deoarece condiia de periodicitate q (t ) = q (t + jT ) pentru orice valoare a argumentului t. Pe de alt parte, se constat c dei funcia se anuleaz dup intervale de timp egale, derivatele ei au valori diferite la fiecare trecere prin zero a funciei. Acest fapt arat c sistemul material care oscileaz trece prin poziia de echilibru dup intervale de timp egale, dar cu viteze i acceleraii diferite. innd seama de faptul c sistemul material trece la intervale de timp egale prin poziia de echilibru stabil, adic are o fals periodicitate, pentru caracterizarea micrii oscilatorii respective se utilizeaz noiunea de pseudoperioad, definit prin perioada factorului sinusoidal al funciei (2.61). Pseudoperioada T* este egal cu intervalul de timp minim dintre dou momente n care funcia (2.61) se anuleaz, iar derivata ei n raport cu timpul are acelai semn. 15


Capitolul 2

Dac A, i din ecuaia (2.60) variaz dup o anumit lege, vibraia se numete modulat. Dup mrimea care variaz n timp, se deosebesc vibraii modulate n amplitudine, vibraii modulate n frecven i vibraii cu modulaie de faz. Vibratia modulat n amplitudine este dat de expresiaq = A(t ) cos (t + )

(2.62) n care A(t) este o funcie de variaie nceat. n figura 2.10 este reprezentat diagrama micrii care este tangent curbelor q=A(t) i q=-A(t) n puncte situate la intervale de timp egale cu T = 2 numite pseudoperioade.

Fig. 2.10 Vibraia modulat n frecven este dat de expresia

q = A cos[0 + (t )]tunde (t ) este o funcie de variaie nceat. Diagrama micrii este reprezentat n fig. 2.11.

(2.63)

Fig. 2.11 Vibraia cu modulaie de faz are expresia

q = A0 cos[t + f (t ) + ]

(2.64)

Dac se introduce noiunea de pulsaie instantanee (t) definit ca derivata fazei n raport cu timpul ( (t ) = d t = + f (t ) ), rezult c ntre vibraia modulat n frecven i vibraia cu modulaie de faz nu exist o deosebire esenial. Din acest motiv se consider cele dou vibraii ca fcnd parte dintr-o singur grup, aceea a vibraiilor cu modulaie de unghi.

16


Capitolul 4

CAPITOLUL 4 VIBRAIILE SISTEMELOR CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE

4.1. Exemple de sisteme oscilanteSistemele oscilante cu un singur grad de libertate sunt formate, n general, dintr-o mas rigid, care execut o micare de translaie sau rotatie ce poate fi determinat printr-un singur parametru i unul sau mai multe elemente elastice, legate de masa rigid i de un suport. Dac elementul elastic lipsete, masa rigid poate avea oscilaii de pendul, atunci cnd rezemarea permite astfel de micri; pentru amplitudini mici, oscilaiile pendulului sunt considerate liniare. Vibraiile cu un grad de libertate mai poart denumiri specifice dup natura micrii i modul de solicitare a elementului elastic. n figura 4.1 sunt prezentate sistemele elastice alctuite dintr-un element inerial caracterizat prin masa m sau momentul de inerie J i un element elastic cu deformaii axiale liniare (fig. 4.1 a), deformaii liniare de ncovoiere (fig. 4.1. b) i deformaii torsionale (fig. 4.1 c).

Fig. 4.1.

4.1.1. Vibraia armonic liberSe nelege, sub acest nume, vibraia sistemului care a fost scos din poziia de repaus, fiind lsat apoi s oscileze liber, cu frecvena sa proprie. Se d sistemul oscilant din figura 4.2., format din masa rigid m i arcul de constant elastic k , de mas neglijabil. Masa este constrns s execute micare de translaie.

Fig. 4.2 1


Capitolul 4

Prin definiie, constanta elastic a arcului k, este fora care produce o deformaie elastic egal cu unitatea. Ea se poate defini ca raportul ntre fora F aplicat elementului elastic i deformaia x care i corespundek= F x

(4.1)

Ca urmare fora elastic produs n arcul ce sufer o deformaie x este dat de relaia

F = kx(4.2) Singurul parametru care definete, n orice moment, poziia masei m este deplasarea sa, msurat pe direcia micrii. n cazul de fa, deplasarea se face pe vertical, iar poziia masei poate fi msurat prin distana ei la un anumit reper. Aa, de exemplu, se poate msura : - deplasarea x1 fa de poziia netensionat a arcului; - deplasarea x fa de poziia de repaus a masei m (cnd arcul este ntins cu sgeata static ). Se prefer a dou origine, care este n acelai timp centrul de oscilaie al sistemului. Ecuaia micrii oscilatorii se poate scrie folosind principiul lui dAlembert. Se consider masa m n micare, aflat la un moment dat n poziia din figura 4.2. , adic la distana x de centrul de oscilaie, respectiv la x1 de la poziia n care arcul este netensionat. Ecuaia micrii este m&&1 = F kx1 x m&&1 = mg k ( x + s ) x respectiv m&&1 + k (x + s ) mg = 0 x La rndul su s este sgeata static produs de greutatea F =mg , adic (4.4)

(4.3)

s =

mg k

(4.5)

nlocuind relaia de mai sus n relaia (4.4), ecuaia de micare devine

m&&1 + kx = 0 x

(4.6)

x x Cum variabilele x1 i x sunt legate prin relaia x1 = x + s rezult c &&1 = && i deci ecuaia diferenial a micrii este

m&& + kx = 0 x

(4.7)

La acelai rezultat se ajunge i direct, innd seama c forele F i ks din figura 4.2. b , i fac echilibrul i scriind ecuaia dAlembert sub forma (4.7). Ecuaia diferenial a micrii se mai scrie&& + x k x=0 m

Notnd pulsaia proprie a sistemului oscilant cu 2


Capitolul 4

p=

k m

(4.8)

i nlocuind expresia ei n relaia (4.7) se obine ecuaia && + p 2 x = 0 x a crei soluie general este de forma (4.9)

x = C1 cos pt + C2 sin ptCondiiile iniiale ale micrii la momentul t=0 sunt

(4.10)

x = x0 t=0 & x = v0Din (4.10) i (4.11) rezult expresiile celor dou constante C1 = x0 v C2 = 0 p ceea ce conduce la ecuaia deplasriix = x0 cos pt + v0 sin pt p

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Ea se mai scrie i sub forma

x = A sin( pt + )(4.14) unde A = amplitudinea oscilaiei libere; = faza la originea timpului ; x = elongaia micrii. n funcie de condiiile iniiale, amplitudinea i faza sunt

v A = x + 0 p x0 p tg = v02 0

2

(4.15)

Dac n expresia pulsaiei proprii dat de relaia (4.8) se exprim masa m funcie de greutate, rezult

p=

kg G

(4.16)

Dac se ine seama de expresia sgeii statice dat de relaia (4.5), atunci se obine o alt expresie a pulsaiei sub forma 3


Capitolul 4

p=

g

s

(4.17)

4.1.2. Vibraii torsionaleSub acest nume se neleg n special vibratiile care se produc atunci cnd elementul elastic este un arbore solicitat la rsucire. Caracteristic acestui mod de vibraii este faptul c n ecuaia diferenial masa se nlocuiete prin momentul de inerie masic fa de axa de rotaie, deplasarea este un unghi, iar constanta elastic se msoar n Nm/rad. Se consider sistemul oscilant din figura 4.3, format din volantul cu momentul de inerie J i arborele elastic de lungime l i diamedru d . Dac asupra discului se aplic un cuplu Mt , el se rotete cu un unghi , iar la arborele elastic ia natere un cuplu al forelor elastice, k, de sens contrar lui Mt . n acest fel, se stabilete o stare de echilibru. Suprimnd brusc cuplul exterior Mt , volantul este pus n micare, n sens contrar lui Mt , de ctre cuplul forelor elastice.

Fig. 4.3 Ecuaia diferenial a micrii de rotaie a volantului este& J& = k

(4.18) respectiv& & + k =0 J

(4.19)

unde pulsaia proprie are expresia

p=

k J

(4.20)

Soluia general ecuaiei (4.19) este

= C1 cos pt + C 2 sin ptCondiiile iniiale ale micrii la momentul t=0 sunt

(4.21)

4


Capitolul 4

= t = 0 & &&0 = 0Din (4.21) i (4.22) rezult expresiile celor dou constante

(4.22)

C1 = 0 & C2 = 0 pceea ce conduce la

(4.23)

= 0 cos pt +

&0p

sin pt (4.24)

Ea se mai scrie i sub forma

= sin( pt + )(4.25) cu& 2 0 = + p 0 p tg = &2 0 0

(4.26)

Dac discul este cilindric, de greutate F i mas m , momentul de inerie este - la disc plin, de diametru D

J=-

mD 2 GD 2 = 8 8g

(4.27)

la disc tubular cu perete subire, avnd diametrul mediu D i neglijnd spiele,

J=

mD 2 GD 2 = 4 4g

(4.28)

4.1.3. Vibraii de ncovoiereSe consider arborele elastic din figura 4.4, ncrcat la mijloc cu o mas rigid m. n repaus, arborele are sgeata static are urmtoarea expresie

s =

mgl 3 48EI

(4.29)

Constanta elastic se calculeaz cu relaiak= 48 EI l3

(4.30) 5


Capitolul 4

Fig. 4.4 Dac un impuls scoate masa m din poziia de echilibru, ea va ncepe s vibreze n jurul acestei poziii, cu pulsaia

p=

k g = = m s

48EI ml 3

(4.31)& y0 sin pt p

Cu sistemul de axe din figur, ecuaia micrii vibratorii se scrie sub formay = A sin ( pt + ) = y0 cos pt +

(4.32)

4.2. Constante elastice ale unor sisteme elastice liniare cu un grad de libertateCoeficientul de rigiditate al unui sistem elastic reprezint fora static ce produce o deplasare egal cu unitatea. Deplasarea poate fi liniar sau unghiular. Dac deplasarea este liniar, coeficientul de rigiditate se msoar n uniti de for pe uniti de lungime. n sistemul internaional SI, coeficientul de rigitate se msoar n N/m. Dac deplasarea este o rotire, coeficientul de rigiditate se msoar n uniti de moment al forei pe uniti de unghi, adic n Nm/rad. n cele ce urmeaz se prezint cteva cazuri ntlnite n tehnic, precum i expresiile coeficientului de rigiditate k . Sub aciunea static a unei fore, sistemul elastic se deformeaz, punctele lui avnd deplasri diferite. Rezult c i coeficientul de rigiditate n cazul unor solicitri simple ale barei drepte. Se consider bara dreapta de lungime l, cu aria seciunii transversale A, momentul de inerie al seciunii transversale n raport cu axa de simetrie a seciunii I, momentul de inerie polar Ip , cu modulul de elasticitate longitudinal E (modulul lui Young) i modulul de elasticitate transversal G. Tabel 4.1 Constante fizice pentru cele mai folosite materiale Material Modulul de elasticitate Densitatea longitudinal E [N/m2] [kg/m3] Oel 2,0 x 1011 7,8 x 103 10 Aluminiu 7,1 x 10 2,7 x 103 Bronz 10,0 x 1010 8,5 x 103 10 Cupru 6,0 x 10 2,4 x 103 Beton 3,8 x 109 1,3 x 103 Cauciuc 2,3 x 109 1,1 x 102 Modulul de elasticitate transversal G [N/m2] 8,0 x 1010 2,67 x 1010 3,68 x 1010 2,22 x 1010 8,21 x 108 6


Capitolul 4

Bar solicitat axial . Bara solicitat axial din fig. 4.5 se alungete sub aciunea greutii, seciunea deplasndu-se cu mrimeaxst = Fl EA

(4.33)

iar coeficientul de rigiditate se calculeaz cu expresiak= EA l

(4.34)

Fig. 4.5

Fig. 4.6

Bar ncovoiat. Fora F produce ncovoierea barei (fig. 4.6), seciunea de capt a barei se deplaseaz transversal cu sgeata yst , dat de relaia

Fl 3 yst = 3EIiar coeficientul de rigiditate estek= F 3EI = 3 yst l

(4.35)

(4.36)

Fig. 4.7 Bar torsionat Sub aciunea momentului de torsiune M (fig. 4.7) seciunea de capt a barei se rotete cu unghiul

=

Ml GI p

(4.37)

iar coeficientul de rigiditate se determin cu relaia

7

Curs Vibraii Mecanice k= M

Capitolul 4

=

GI p l(4.38)

Arc elicoidal. Considerm arcul elicoidal din fig. 4.8. Alungirea arcului are loc n lungul axei sale. Din rezistena materialelor se cunoate expresia sgeii statice a acesteia, dat de relaia

xst =unde

64 FR 3n Gd 4

(4.39)

F fora axial; R raza de nfurare; n numrul de spire; d diametrul srmei; G modulul de elasticitate transversal. Rigiditatea ei se calculeaz cu expresia

k=

Gd 4 64nR3

(4.40)

Fig. 4.8

Fig. 4.9

Volant aezat pe arbore elastic de mas neglijabil. n multe cazuri masa arborelui este nejlijabil n comparaie cu masa volantului montat pe acel arbore. n consecin putem considera arborele ca o bar elastic, de mas neglijabil, pe care este fixat un punct M de greutate F, cu care poate fi asimilat volantul. n acest fel bara este solicitat la ncovoiere. n funcie de modul de rezemare se obin expresii diferite ale sgeii statice i ale rigiditii. Pentru cazul din figura 4.9 a, avem

Fl12l22 xst = 3(l1 + l2 )EIk= F 3(l1 + l2 ) = EI 2 xst l12l2

(4.41) (4.42)

Pentru cazul din figura 4.9 b, avem

8

Curs Vibraii Mecanice xst =k=

Capitolul 4

F (l1 + l2 )l22 3EI

(4.43) (4.44)

F 3EI = 2 xst (l1 + l2 )l2

Arcuri montate n serie. Se consider montajul din figura 4.10, unde k1 i k2 sunt constante elastice ale celor dou arcuri. Sub aciunea forei F sistemul a suferit o deformaie x . Fora F este aceeai n orice seciune. Notm cu x1 i x2 deformaiile celor dou arcuri, ele calculndu-se cu relaiile

F k1 F x2 = k2 x1 =

(4.45)

Fig. 4.10 Deplasarea x a masei m este egal cu deformaia total a celor dou elemente elastice, adic x = x1 + x2 . Dac se introduce elementul elastic echivalent, atunci avemx = F k

(4.46)

n care k este coeficientul de rigiditate echivalent, care se calculeaz cu expresia1 1 1 = + k k1 k2

(4.47)

Fig. 4.11 Arcuri montate n paralel. Se consider unul din montajele din figura 4.11, unde k1 i k2 sunt coeficienii de rigiditate ale celor dou arcuri. Sistemul sufer o deformaie x sub aciunea unei fore F, astfel ca fiecare arc s aib aceeai deformaie.

F1 = k1 x F2 = k2 x(4.48) 9

Curs Vibraii Mecanicedar

Capitolul 4

F = F1 + F2

(4.49)

Din (4.48) i (4.49) rezult expresia de calcul a coeficientului de rigiditate echivalent k , dat de relaia

k = k1 + k2

(4.50)

Arcuri montate mixt. n acest caz, pentru determinarea coeficientului de rigiditate echivalent se analizeaz din aproape n aproape, montajele serie i montajele paralel. n figura 4.12 se prezint gruparea mixt a sistemului dat i a modelului de calcul.

Fig. 4.12 Astfel avemk12 = k45 = k1k2 k1 + k2 k 4 k5 k 4 + k5

(4.51) (4.52) (4.53)

k = k12 + k3 + k45

4.3. Vibraii libere amortizateSistemele vibratorii libere (nentreinute) i micoreaz n realitate treptat amplitudinea de la valoarea maxim pn la valoarea zero. Cauza care produce scderea n timp a amplitudinii este frecarea ce apare ntre sistemul oscilant i mediul nconjurtor. Se spune c vibraiile libere se amortizeaz. O astfel de micare nu mai este periodic, dar este considerat micare vibratorie. Dup cum frecrile au loc ntre elementele sistemului oscilant i mediul nconjurtor (reazeme, aer, lichid amortizor) sau n interiorul sistemului (mbinri, material) amortizarea poate fi extern sau intern. 10


Capitolul 4

Amortizarea extern este caracterizat prin existena n sistem a unor fore rezistente, de legtur, aplicate masei n micare. Spre deosebire de acesta, amortizarea intern este caracterizat de apariia unei bucle de histerezis n diagrama efort-deformaie trasat pentru un ciclu complet de ncrcare-descrcare a elementului elastic. Suprafaa nchis de bucla de histerezis este proporional cu energia disipat pe ciclu. Expresia general a forei rezistente (de frecare) este

& Fr = (signx )Runde

(4.54)

& + 1, x > 0 & & signx 1, x = 0 1, x < 0 &

(4.55)

Pentru amortizarea extern se pot adopta diferite legi matematice care s aproximeze fora rezistent sau energia disipat, cum ar fi: - legea forei de frecare vscoas, proporional cu viteza relativ ntre mediile n micare, dat de expresia

& R = cv = cx

(4.56)

unde c este coeficient de amortizare vscoas - legea forei de frecare uscat sau a forei coulombiene, constant n decursul unei semiperioade, exprimat prin relaia

R = const.(4.57) Pe baza observaiilor experimentale, pentru amortizarea intern, s-a stabilit existena a dou mari categorii de materiale : - materiale pentru care amortizarea depinde de amplitudinea i frecvena micrii; - materiale pentru care amortizarea depinde numai de amplitudinea micrii. Primul tip de amortizare intern este cunoscut sub numele de amortizare vscoelastic, al doilea tip sub numele de amortizare histeretic (sau structural , cnd se refer la frecrile din mbinri, reazeme etc.).

4.3.1. Vibraii libere amortizate cu rezisten uscatn acest caz fora de frecare este dat de legea lui CoulombR = N

(4.58) Fora rezistent are modulul constant, iar sensul opus vitezei, n tot timpul micrii.

Fig. 4.13 11


Capitolul 4

n figura 4.13 se prezint un exemplu de astfel de sistem vibratoriu, unde fenomenul de frecare se produce ntre dou corpuri uscate, ecuaia diferenial a micrii avnd expresiam&& + kx = mg x

(4.59)

unde semnul minus (-) se va lua pentru cazul n care micarea are loc n sensul axei Ox. Deci micarea se va studia separat pentru cele dou situaii : - corpul se deplaseaz n sensul axei; - corpul se deplaseaz n sens contrar axei. Soluiile generale pentru cele dou situaii se pot exprima sub forma

x = C1 sin pt + C2 cos pt x = C1 sin pt + C2 cos pt +unde pulsaia proprie este p =

mg mgk k(4.60)

k . m

Fig. 4.14 Se presupune c la nceputul micrii mobilul se afl n repaus i arcul este comprimat (sau ntins) n aa fel c deplasarea iniial a acestuia este x0 > xs . Notm cuxs =

mgk

(4.61)

distana dintre poziia de repaus cnd arcul este netensionat, luat drept origine i dintre poziia de echilibru limit (datorit frecrii). Astfel condiiile iniiale sunt

x = x0 t = 0 & x=0

(4.62)

Cnd mobilul se deplaseaz n sensul axei, la momentul iniial arcul fiind comprimat cu (-x0) legile de micare pentru primele dou etape, innd cont de condiiile iniiale sunt

12

Curs Vibraii Mecanice x = ( x0 xs ) cos pt xs x = (x0 3xs ) cos pt + xs

Capitolul 4

(4.63)

Distanele maxime cu care s-a ndeprtat mobilul n fiecare etap notate x1 , x2 , K , xn , se & determin din condiia x = 0 i rezult

x1 = x0 2 xs x2 = x0 4 xs M xn x0 2nxs

(4.64)

Micare nceteaz atunci cnd, la sfritul unei etape, distana maxim xn xs . Numrul etapelor notat cu n cu care mobilul se mic ntr-un sens sau altul, pentru xn = xs , se calculeaz cu urmtoarea relaien= x0 xs kx0 mg = 2 xs 2 mg

(4.65)

Diagrama micrii este dat n figura 4.14.

4.3.2. Vibraii libere cu amortizare vscoasFrecarea vscoas are loc cnd ntre corpurile n micare se interpune un film de ulei. De asemenea aceast frecare se produce n sistemele elastice prevzute cu amortizoare pentru atenuarea vibraiilor. n acest caz fora rezistent este direct proporional cu viteza. Acest tip de vibraii mai apar i n cazul micrilor ntr-un mediu lichid cu vscozitate mic sau n cazul micrii n aer cu vitez sub 1m/s. Considerm sistemul oscilant din figura 4.15, n care exist un amortizor vscos avnd coeficientul de amortizare c. Cele dou scheme prezentate sunt echivalente, n ambele arcul i amortizorul fiind n paralel.

Fig. 4.15

& x Masa m se deplaseaz n lungul axei x avnd acceleraia && i viteza v = x . ntre cilindrul & & amortizorului i piston, viteza relativ este x ; ei i corespunde fora de frecare vscoas cx , de sens opus vitezei, deci de acelai sens cu forta elastic. Ecuaia diferenial a micrii masei m este 13


Capitolul 4(4.66)

m&& + cx + kx = 0 x &Relaia (4.66) se mparte prin m i notnd2n = c m k p2 = m

ecuaia devine

&& + 2nx + p 2 x = 0 & xSoluia general este de formax = Ce rt

(4.67)

(4.68) unde C este o constant arbitrar. Derivnd (4.68) de dou ori i nlocuind derivatele acesteia n (4.67), se obine ecuaia

r 2Cert + 2nrCert + p 2Cert = 0(4.69) sau ecuaia caracteristic dat sub forma

r 2 + 2nr + p 2 = 0(4.70) care are rdcinile

r1, 2 = n n2 p 2Se disting trei cazuri de rdcini i anume : - np , cu rdcini reale i distincte (cazul amortizrii supracritice). Caz I. Amortizare subcritic n 0ceea ce duce la urmtoarele rdcinir1, 2 = n ip1

(4.72)

Aceste rdcini duc la dou soluii particulare ale ecuaiei (4.67)

14

Curs Vibraii Mecanicex1 = C1 r1t e + e r2 t = C1e nt cos p1t 2 C x2 = 2 e r1t e r2t = C2e nt sin p2t 2i

Capitolul 4

(

)

(

)

(4.73)

Soluia general se scrie prin nsumarea celor dou soluii particulare

x = e nt (C1 cos p1t + C2 sin p1t )respectiv

(4.74)

x = e nt A sin ( p1t + )Cu condiiile iniiale

(4.75)

x = x0 t = 0 & x = v0constantele C1 i C2 au valorileC1 = x0 C2 = v0 + nx0 p1

(4.76)

(4.77)

iar ecuaia micrii este

v + nx0 x = e nt x0 cos p1t + 0 sin p1t p1 Scris sub forma (4.75), ecuaia are

(4.78)

v + nx0 A = x + 0 p 1 p1 x0 tg = v0 + nx02 0

2

(4.79)

Condiia amortizrii subcritice (4.72) se mai scrie

p 2 n2 =

k c2 >0 m 4m 2

(4.80)

Fig. 4.16 15


Capitolul 4

Reprezentarea grafic a micrii descrise de ecuaia (4.75) este dat n figura 4.16. Micarea are pseudopulsaia p1, respectiv pseudoperioada T1 . Cnd amortizarea este mic, n relaia (4.72) se neglijeaz n2 n raport cu p2 i rezult p 2 p12 . Deci, la amortizri mici, frecvena vibraiei este practic egal cu cea a micrii neamortizate. Considerm raportul dintre dou valori maxime succesive ale funciei (4.75) pe care l notm

=

x1 Ae nt = = enT1 x2 Ae n (t +T1 )

Decrementul logaritmic ofer un indiciu asupra intensitii amortizrii i este dat de logaritmul natural al raportului a dou amplitudini succesive (ln ). = ln = nT1 = 2n p n2 2

=

cm p 2 n2

(4.81)

La amortizare slab, cu p 2 p12 , decrementul logaritmic are expresia= 2n c = 2 p 2 km

(4.82)

n afara coeficienilor c, n, care caracterizeaz un amortizor, se mai folosete, n mod curent, raportul de amortizare sau fraciunea din amortizarea critic

=

c c c n = = = cc 2 km 2mp p

(4.83)

Ca urmare relaia (4.82) se mai scrie = 2

(4.84) De asemenea, pseudopulsaia devine

p1 =

n2 p n = p 1 2 = p 1 2 p2 2

(4.85)

Caz II. Amortizare critic n=p n acest caz din (4.71) rezult c rdcinile ecuaiei caracteristice au formar1, 2 = n

(4.86)

iar ecuaia micrii se scrie

x = e nt (C1t + C2 )Cu aceleai condiii iniiale (4.76), ea devinex = e nt [(v0 + nx0 )t + x0 ]

(4.87)

(4.88) 16

Curs Vibraii Mecaniceiar reprezentarea grafic este dat n figura 4.17.

Capitolul 4

Fig. 4.17 Caz III. Amortizare supracritic n>p Dac rdcinile ecuaiei caracteristice (4.70) sunt reale, deci

n2 p 2 =

c2 k >0 2 4m m

(4.89)

ecuaia micrii se scrie

x = C1e r1t + C2e r2tunde s-a notat

(4.90)

r1 = n + n 2 p 2 r2 = n n 2 p 2Aceasta este o micare aperiodic. Pentru condiiile iniiale (4.91)

x = x0 t = 0 & x = v0se obine ecuaia

(4.92)

v + nx0 x = e nt x0 ch n 2 p 2 t + 0 sh n 2 p 2 t n2 p2

(4.93)

n funcie de mrimea parametrilor C1, C2, r1, r2 , reprezentarea grafic a ecuaiei (4.90) are una din formele din figura 4.17.

17


Capitolul 4

4.4. Vibraii foraten sistemele elastice apar frecvent cazuri cnd vibraiile sunt produse de forte perturbatoare independente de caracteristicile sistemului. Dac asupra sistemului oscilant din figura 4.18 acioneaz o for F(t) care ntreine micarea, vibraia este ntreinut sau forat.

Fig. 4.18 Dup expresia forei perturbatoare F(t), ca i dup felul amortizrii, vibraiile ntreinute n sistemul cu un singur grad de libertate prezint o serie de cazuri. Clasificarea vibraiilor forate 1. Dup amortizare fr amortizare cu amortizare

& vscoas, Fr = cx & uscat, Fr = Rsignx k & histeretic, Fr = gx oarecare2. Dup excitaie aleatoare determinist periodic o armonic, F (t ) = F0 sin t o oarecare, F (t ) = Fi sin (it + i )1n

impuls oarecare

18


Capitolul 4

4.4.1. Vibraii forate excitate prin for armonic, n sistemul fr amortizareSe consider un sistem elastic ca n figura 4.19, acionat de o for perturbatoare sinusoidal ce are amplitudinea constant F0 i pulsaia .

Fig. 4.19 Ecuaia diferenial a micrii este

m&& + kx = F0 sin t xrespectiv

&& + p 2 x = x

F0 sin t m

(4.94)

unde pulsatia proprie a sistemului este

p= k m(4.95) Notnd q = F0 m , ecuaia (4.94) se mai scrie

&& + p 2 x = q sin t xce are soluia general de formax = C1 cos pt + C 2 sin pt + q sin t p 22

(4.96)

(4.97)

Cu condiiile iniiale

x = x0 t = 0 & x = v0determinm constantele

C1 = x0 C2 = q 1 v0 2 p p 2 (4.98)19

Curs Vibraii Mecanice iar ecuaia micrii (4.97) se mai poate scrie sub forma

Capitolul 4

x = x0 cos pt +

1 q q sin pt + 2 v0 2 sin t 2 p p p 2

(4.99)

Primii doi termeni din membrul al doilea se pot compune, deci relaia (4.99) se mai poate scrie i sub formax = A sin ( pt + ) + q sin t p 22

(4.100)

Determinarea constantelor de integrare se face cu ajutorul condiiilor iniiale. Dac avemx0 = 0 v0 = q p 22

constantele C1 i C2 se anuleaz, micarea cu pulsaia p dispare i rmne numai ecuaia de formax= q sin t p 22

(4.101)

n cazul general, vibraia nu este armonic, ea constnd din suprapunerea a dou micri armonice, de pulsaii p i . Prima este vibraia proprie cu pulsaia p , iar a doua, vibraia forat , cu pulsaia perturbatoare . n general, datorit efectelor de amortizare (care n cazul de fa nu au fost luate n considerare), vibraia proprie dispare rapid i rmne numai cea forat; n acel caz vibraia este armonic, cu frecvena fortei perturbatoare. Dac frecvena forei perturbatoare variaz de la zero la infinit avem urmtoarele situaii: a) Dac < p , ecuaia vibraiei forate are expresia (4.101), deci micarea este n faz cu fora perturbatoare; b) Dac > p, numitorul din relaia (4.101) este negativ. El poate deveni pozitiv, scriindx= q q sin t = 2 sin (t + ) 2 p p22

(4.102)

c)

n acest caz deplasare este defazat cu fa de for. Dac = p , are loc fenomenul de rezonan, n relaia (4.101) amplitudinea devine infinit.

Vom analiza n cele ce urmeaz relaia (4.99) scriind-o dezvoltat, i studiind ce se ntmpl n cazul cnd = p.x = x 0 cos pt +

1 q q sin pt + 2 sin t v0 2 2 p p 2 p( p )

Analizm termenii n sinus i avem q q q ( sin pt + p sin t ) sin pt + 2 sin t = 2 2 2 p p p p p2 2

(

)

(

)

Pentru = p, relaia de mai sus d o nedeterminare de forma 0/0. Aceast nedeterminare se ridic aplicnd regula lui lHpital prin derivare n raport cu , deci 20

Curs Vibraii Mecanicelim

Capitolul 4

qt q ( sin pt + p sin t ) q ( sin pt + pt cos t ) q = lim = sin pt cos pt 2 2 2 p p 2p 2p 2p p p

(

)

Deci la rezonan relaia (4.99) devine

x = x0 cos pt +

v0 q qt sin pt + sin pt cos pt 2 p 2p 2p

(4.103)

Aceast ecuaie reprezint trei micri armonice, de amplitudini constante i a patra, de amplitudine liniar cresctoare cu timpul. Datorit acestui ultim termen, amplitudinea crete la infinit aa cum se observ i n figura 4.20

Fig. 4.20 d)

Fig. 4.21

n vecintatea rezonanei, dac se nlocuiete

1 i p = 2 , i se p ine cont de aproximarea cos 2t cos t 1 , atunci relaia (4.99) se poate scrie sub forma.v0 q sin pt sin t cos t p 2

x = x0 cos pt +

(4.104)

Ultimul termen al relaiei (4.104) reprezint o btaie, adic o vibraie de pulsaie , a crei amplitudine variaz cu pulsaia. n figura 4.21 s-a fcut reprezentarea grafic a relaiei (4.104), marcndu-se cele dou perioade. e) Pentru o variaie continu a pulsaiei , se va examina variaia amplitudinii vibraiei forate. Vom considera ultimul termen al relaiei (4.99), unde se noteaz cu X0 amplitudinea vibraiei forate X0 = F0 q = = 2 2 p m( p 2 )2

F0 2 mp 2 1 2 p (4.105)

Dac se ine seama de expresia pulsaiei proprii p = k m i de sgeata static x s = F0 k , produs de fora F0 , amplitudinea vibraiei se poate scrie sub formaX0 = F0 k

1 1

2

= xs

1 1

2p2

p2

(4.106)

Mrimea adimensional

21

Curs Vibraii MecaniceA1 = X0 = xs

Capitolul 41

1

2

=

1 1 2

p2

(4.107)

poart numele de factor de amplificare al vibraiei forate. Reprezentarea grafic a valorii absolute a raportului X 0 x s n funcie de pulsaia relativ

= p , este dat n figura 4.22.

4.4.2. Vibraii forate excitate prin for armonic, n sistemul cu amortizare vscoasDac oscilatorul din figura 4.19 are un amortizor liniar, n paralel cu arcul, ca n figura 4.22, atunci ecuaia diferenial a micrii este m&& + cx + kx = F0 sin t x & (4.108)

Fig. 4.22 Ecuaia fr membrul al doilea are soluia x1 = e pt (C1 cos p1t + C 2 sin p1t ) unde (4.109)

=

c c = c c 2 km

(4.110) (4.111)

p1 = p 1 2

Pentru ecuaia cu membrul al doilea, se caut o soluie particular de forma x 2 = X 0 sin (t ) care, dup nlocuirea n ecuaia (4.108), conduce la obinerea (4.112)

22

Curs Vibraii MecaniceX0 = tg =

Capitolul 4F02

m

(p

2

) + (2p )2

2

2p p2 2

(4.113)

i deci soluia general a ecuaiei (4.108) estex = x1 + x 2 = e pt (C1 cos p1t + C 2 sin p1t ) + X 0 sin (t )

(4.114)

Primul termen din membrul al doilea reprezint vibraia proprie, iar al doilea, vibraia forat. Datorit amortizrii, vibraia proprie se anuleaz foarte repede, aa c dup trecerea fazei tranzitorii se poate considera soluia staionar dat numai de vibraia forat x x 2 i innd cont de relaiile (4.112) i (4.113) rezult

x x 2 = X 0 sin (t ) =

m

(p

F02

2 2

) + (2p )

2

sin (t )(4.115)

Scond de sub radical pe p2 , innd seama c k = mp 2 i x s = F0 k expresia deplasrii dat de relaia de mai sus devine x x2 = xs 1 2 p 2

+ (2 )2 p 1

2

2

sin (t ) (4.116)

Factorul de amplificare al vibraiei forate este n acest caz A1 = X0 = xs 2 1 2 p 1

+ (2 )2 p

2

2

(4.117)

sau funcie de pulsaia relativ, expresia capt formaA1 =

(1 ) + (2 )2 2

2

(4.118)

Factorul de amplificare A1 este finit pentru orice pulsaie relativ = p , deoarece numitorul expresiei (4.118) este o sum de ptrate. Cnd factorul de amplificare devine maxim , se poate defini rezonana de amplitudine. Pulsaia de rezonan se obine anulnd derivata n raport cu a factorului de amplificare A1, de unde rezult

rez = p 1 2 2pentru 1 2 . Factorul de amplificare la rezonana de amplitudine devineX 1 A1r = 0 = x s r 2 1 2

(4.119)

(4.120) 23


Capitolul 4

Reprezentarea grafic a lui A1, n funcie de , pentru diferite valori 2 , este prezentat n figura 4.23.

Fig. 4.23

Fig. 4.24

Examinarea acestor curbe arat urmtoarele: a) cu ct amortizarea este mai mare, amplitudinea de rezonan este mai mic; b) efectul amortizrii se resimte numai n vecintatea zonei de rezonan, n rest curbele practic coincid; rezult c un amortizor este util pentru un sistem care lucreaz n apropierea rezonanei sau, ocazional, trece prin rezonan; c) curbele au maximul puin n stnga rezonanei sistemului neamortizat, locul geometric al maximelor fiind linia ntrerupt; d) cnd amortizrile sunt foarte mici ( 1 , adic la pulsaii superioare celei de rezonan. p n vibraia forat, deplasarea este defazat n urma forei perturbatoare cu unghiul . Reprezentarea grafic a fazei, dat de expresia are loc pentru

= arctg

2 12

(4.122)

este prezentat n figura 4.24. Pentru = p se obine = 2 , indiferent de valoarea factorului de amortizare . Aceast proprietate permite definirea unei rezonae de faz, caracterizat de faptul c deplasarea este n cuadratur cu fora perturbatoare. n acest caz, factorul de amplificare A1 devine A1r = 1 2 (4.123) 24


Capitolul 4

Dac amortizrile sunt foarte mici, rezonana de faz coincide practic cu rezonana de amplitudine, iar pulsaia de rezonan este aproximativ egal cu pulsaia proprie a sistemului fr amortizare. Din reprezentarea grafic a fazei (fig. 4.24) se observ c la sistemul fr amortizare, sub rezonan, faza este = 0 , iar deasupra rezonanei = , n timp ce la sistemul cu amortizare exist totdeauna o diferen de faz ntre fora excitatoare i deplasare. Fora de frecare vscoas, proporional cu viteza, are expresia:

& Fc = cx = cX 0 cos(t ) = cX 0 sin t + 2

(4.124)

deci are amplitudinea cX 0 funcie de frecvena f = 2 i este defazat cu 2 naintea deplasrii.

25


Capitolul 5

CAPITOLUL 5 VIBRAIILE SISTEMELOR CU NUMR FINIT DE GRADE DE LIBERTATE

5.1. Noiuni introductive

Sistemele cu unul sau dou grade de libertate, reprezint modele matematice simplificate ale structurilor reale, complexe. n unele cazuri, aceste modele simple descriu suficient de precis comportarea dinamic a sistemelor reale. Totui, adesea, o astfel de schematizare nu este posibil, fiind necesar considerarea unor modele matematice cu numr mai mare de grade de libertate. Dei structurile reale sunt sisteme continue, distibuia masei, rigiditii i amortizrii este uneori neuniform, ceea ce permite descrierea comportrii lor cu ajutorul unor modele matematice discrete, avnd un numr finit de grade de libertate. Alteori, discretizarea se face numai n scopul simplificrii studiului problemei, numrul gradelor de libertate ale modelului crescnd odat cu precizia impus calculelor. O structur continu se spune c are o infinitate de grade de libertate, deoarece comportarea ei este definit complet cnd se cunoate micarea fiecrui punct. n cazul vibraiilor forate, aceasta are (teoretic) un numr infinit de rezonane (datorit numrului infinit de frecvene proprii). Din punct de vedere practic, ns, intereseaz rspunsul n cteva puncte semnificative ale structurii sau n domeniul frecventelor de lucru, n care apare doar un numr limitat de rezonane. De aici rezult clar utilitatea modelelor discrete, cu numr finit de grade de libertate. Studiul acestora nu difer principial de cel al sistemelor cu dou grade de libertate, fiind doar mai complicat i necesitnd, pentru organizarea calculelor, folosirea metodelor matriciale. Micarea sistemelor cu numr finit de grade de libertate este descris de un sistem de ecuaii difereniale de ordinul doi, de obicei liniare i cu coeficieni constani. Analiza modal, care folosete o transformare de coordonate n vederea decuplrii ecuaiilor de micare, care apoi pot fi rezolvate independent, ofer o metod simpl i eficace de soluionare a problemei. Trecerea de la coordonate generalizate fizice, la coordonate principale, se face cu ajutorul matricei modale, pentru determinarea creia este necesar rezolvarea problemei de valori proprii asociat matricei dinamice a sistemului. Aceasta se poate face exact, rezolvnd ecuaia caracteristic (ce se obine prin anularea determinantului caracteristic) sau aproximativ , folosind metode pas cu pas sau metoda iteraiei matriceale. Prezentm n continuare pe scurt principiile acestor metode.

5.2. Stabilirea ecuaiilor de micareEcuaiile de micare se deduc utiliznd una din metode cum ar fi principiul lui dAlembert, metoda coeficienilor de influen sau ecuaiile lui Lagrange, obinndu-se n final un sistem, de n ecuaii difereniale ordinare, cu coeficieni constani, omogen sau neomogen dup cum vibraiile sunt libere sau forate.

1


Capitolul 5

5.2.1 Folosirea principiul lui dAlembertPentru sistemul din figura 5.1 a, n care masele m1, m2, ...., mn sunt constrnse s se deplaseze doar pe direcia x, scriind ecuaia de echilibru dinamic a masei mj (fig. 5.1 b) se obine :

Figura 5.1& & & & m j && j + k j (x j x j 1 ) + k j +1 (x j x j +1 ) + c j (x j x j 1 ) + c j +1 (x j x j +1 ) = f j (t ) x

(5.1. a)

sau&& & & & mj x j c j x j 1 + c j + c j + 1 x j c j + 1 x j + 1 k j x j 1 + k j + k j + 1 x j k j + 1 x j + 1 = f j ( t )

(

)

(

)

(5.1. b)

Dac se scrie ecuaia (5.1) pentru cele n mase din figura 5.1, rezult sistemul :

[ m]{ x} + [ c]{ x} + [ k ]{ x} = { f } && &

(5.2)

n care matricea maselor [m], matricea coeficienilor de amortizare [c], i matricea constantelor elastice [k] au expresiile :

m1 0 M [ m] = 0 M 0

0 M 0 M 0

K

0 0

m2 K

M K mj K M 0

0 K 0 M K 0 M K mn K

(5.3. a)

c1 + c2 c 2 M [ c] = 0 M 0 0

c2 c2 + c3 M 0 M 0 0

0 M 0 M 0 0

c3 K

K

0 0

0 0 M c j + c j +1 M 0 0

0 0

K K

0 0 M 0 M

0 0 M 0 cn 1 + cn cn M

M K cj M K K 0 0

M c j +1 K M 0 0

K cn 1 0 K

0 M 0 (5.3. b) M cn cn + cn +1 02

Curs Vibraii Mecanice k1 + k2 k 2 M [ k] = 0 M 0 0 k2 M 0 M 0 0 0 M 0 M 0 0 K K k2 + k3 k3 K K 0 0 0 0 0 0 K K 0 0 M 0 M 0 0 M 0 kn 1 + k n kn M

Capitolul 5 0 M 0 (5.3. c) M kn kn + kn +1 0

M K k j M 0 0

M M k j + k j +1 k j +1 K M 0 0 M 0 0

K kn 1 0 K

& && iar vectorii deplasrilor {x}, vitezelor { x} , acceleraiilor { x} i forelor perturbatoare {f} au forma x1 x { x} = 2 , M xn x1 & x & { x} = 2 , & M xn & x1 && x && { x} = 2 , && M xn && f1 f { f } = M2 fn

(5.4)

Matricile parametrilor sistemului au forma (5.3) doar atunci cnd coordonatele generalizate exprim deplasrile maselor i cnd arcurile i amortizoarele sunt legate ntre dou mase consecutive. Cnd acestea sunt legate ntre mase i un reper fix, sau ntre mase neconsecutive, apar i ali termeni nediagonali n matricele [k] i [c].Aplicaie

Se consider sistemul din figura 5.2, format din masele m1 i m2 , legate de reperele fixe prin arcurile de constantele elastice masele k1 i k3 i legate ntre ele prin arcul de constant elastic k2 . Masele sunt astfel ghidate nct se pot deplasa numai pe direcie vertical. Se noteaz cu x1(t) i x2(t) deplasrile independente ale celor dou mase fa de poziia de echilibru static.

Figura 5.2 Pentru a obine ecuaiile micrii, se izoleaz fiecare mas, aplicndu-i forele de legtur i forele de inerie. Se scrie apoi ecuaia de echilibru dinamic, conform principiului lui dAlembert, pentru fiecare mas n parte. Rezult sistemul 3


Capitolul 5

x m1&&1 + k1 x1 + k2 ( x1 x2 ) = 0 x m2 &&2 + k3 x2 k2 ( x1 x2 ) = 0care se mai scrie sub forma

x m1&&1 + (k1 + k2 )x1 k2 x2 = 0 x m2 &&2 k2 x1 + (k2 + k3 )x2 = 0Ecuaiile micrii sistemului de mai sus formeaz un sistem de dou ecuaii difereniale liniare, omogene, de ordinul doi, cu coeficieni constani. Se introduc urmtoarele notaii matricealem1 0 0 m2 k +k k2 [k ] = 1 2 k k 2 + k3 2 x {x} = 1 x2

[m] =

{&&} = x {0} =

x &&1 x &&2

0 0

i utiliznd regulile de nmulire i nsumare pentru matrice, sistemul de mai sus se poate scrie sub form compact

[m]{&&} + [k ]{x} = {0} xx unde [m] matrice de inerie, [k] matrice de rigiditate, {x} vectorul deplasrilor i {&&} vectorul acceleraiilor. 1 nmulind ecuaia de mai sus scris matriceal cu inversa matricei de inerie, [m ] , se obine

[m]1[m]{&&} + [m]1[k ]{x} = {0} xDar produsul dintre inversa matricei de inerie cu ea nsi este matricea unitate

[m]1[m] = [I ] = [m]1[k ] = [d ]

1 0 0 1

iar matricea dinamic a sistemului este dat de expresia

i astfel rezult urmtoarea ecuaie matriceal

{&&} + [d ]{x} = {0} x

4

Curs Vibraii MecaniceDezvoltnd, matricea dinamic pentru sistemul nostru are expresia

Capitolul 5 k1 + k2 k2 m1 = k 2 + k3 k 2 m2 k2 m1 d11 d12 = k2 + k3 d 21 d 22 m2

1 [d ] = m1 0 lor

0 k + k 1 2 1 k2 m2

Matricele de inerie i de rigiditate sunt ntotdeauna simetrice, deci identice cu transpusele

[m] = [m], [k ] = [k ],Matricea dinamic nu este, n general, simetric i are cel puin un termen nediagonal diferit de zero. Desfurat, sistemul se scrie sub forma

x &&1 + d11 x1 + d12 x2 = 0 x &&2 + d 21 x1 + d 22 x2 = 0Cele dou ecuaii nu sunt independente deoarece prima ecuaie conine un termen n x2(t) , iar a doua ecuaie conine un termen n x1(t) . Se spune c cele dou ecuaii sunt cuplate, iar termenii care produc dependena unei ecuaii de cealalt (deci dependena micrii unei mase de micarea celelilalte mase) se numesc termeni de cuplaj. Gradul de cuplare este determinat de elementele nediagonale ale matricei dinamice, d12 i d21 . Dac d12 = d 21 = 0 , ecuaiile devin independente, sistemul degenernd n dou sisteme cu un grad de libertate.

5


Capitolul 5

5.2.2. Metoda coeficienilor de influenAtunci cnd elementele elastice sunt bare sau sisteme de bare solicitate la ncovoiere este mai greu de precizat expresia forelor de legtur introduse la izolarea maselor, n funcie de deplasri. n aceste cazuri este mai avantajoas utilizarea metodei coeficienilor de influen.

Figura 5.3

Astfel, pentru vibraii libere neamortizate ale sistemului din figura 5.3, se obine sistemul de ecuaii :&& && && m1 11 y1 + m2 12 y2 +K+ mn 1n yn + y1 = 0 M && && && m1 j1 y1 + m2 j 2 y2 +K+ mn jn yn + y j = 0 M && && && m1 n1 y1 + m2 n 2 y2 +K+ mn nn yn + yn = 0

(5.5)

sau, sub form matriceal

[ ][ m]{ y} + { y} = { 0} &&unde [] este matricea coeficienilor de influen; [m] este matricea de inerie; {y}este matricea coloan a deplasrilor; 11 12 K 1n 22 K 2 n 21 , [ ] = M n1 n 2 K nn m1 K 0 K 0 0 O M m2 0 , [ m] = M M O M 0 K 0 K mn y1 y { y} = M2 yn

(5.6)

(5.7)

n cazul vibraiilor fortae amortizate, se obine ecuaia

[ ][ m]{ y} + [ ][ c]{ y} + { y} = [ ]{ f } && &care se poate aduce la forma

(5.8 a)

[ m]{ y} + [ c]{ y} + [ k ]{ y} = { f } && &folosind relaia

(5.8 b)

6


Capitolul 5 (5.9)

[ k ] = [ 1 ]Aplicaie

Fie sistemul din figura 5.4, format dintr-o grind elastic de mas neglijabil i dou mase concentrate m1 i m2 .

Figura 5.4 Se consider c deplasrile maselor y1 (t ) i y 2 (t ) , datorite ncovoierii grinzii, au loc pe o singur direcie, perpendicular pe axa barei nedeformate. Perturbat de aceast poziie, sistemul execut vibraii libere neamortizate. Dac se noteaz ij (i, j = 1, 2) coeficienii de influen ai sistemului, reprezentnd deplasarea grinzii n seciunea i produs de o for egal cu unitatea, aplicat n seciunea j , prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor, deplasrile celor dou mase vor avea expresiile y1 = 1 11 + 2 12 y 2 = 1 21 + 2 22 unde 1 = m1 &&1 y 2 = m2 &&2 y sunt forele de inerie care acioneaz asupra maselor n micare. nlocuind expresiile (5.11) n (5.10) rezult y y 11 m1 &&1 + 12 m2 &&2 + y1 = 0 21 m1 &&1 + 22 m2 &&2 + y 2 = 0 y y Sub form matriceal, sistemul (5.12) se scrie (5.12) (5.11) (5.10)

[b]{&&} + {y} = {0} yunde s-a notat

(5.13)

[b] =

11 m1 12 m2 21 m1 22 m2

{y} =

y1 y2

{&&} = y

&&1 y y &&2

Matricea [b] se poate scrie 7


Capitolul 5

[b] =

11 12 m1 0 = [ ][m] 21 22 0 m2

unde [] este matricea coeficienilor de influen. nmulind ecuaia (5.13) la stnga cu inversa matricei [b] se obine

[b]1 [b]{&&} + [b]1 {y} = {0} ysau

{&&} + [d ]{y} = {0} yunde se recunoate matricea dinamic a sistemului

(5.14)

[d ] = [b]1 = [m]1 [ ]1

(5.15)

5.2.3. Utilizarea ecuaiilor lui LagrangePentru un sistem conservativ, n vibraie forat amortizat, forele generalizate Qj sunt derivatele cu semn schimbat ale energiei poteniale Wp a sistemului, n raport cu coordonatele generalizate qj , avnd o component n plus datorat forelor perturbatoare :Qj = W p q j + Q je

(5.16) (5.17)

Q je =

x x1 x f 1 (t ) + 2 f 2 (t ) + K + n f n (t ) q j q j q j Wc W p Wd , + Q je = q & q j q j j

n acest caz, ecuaiile Lagrange se scriu sub formad Wc dt q j &

( j = 1,..., n )

(5.18)

n general, matricele[m], [k] i [c] se pot obine respectiv din expresiile energiei cinetice, Wc, energiei poteniale Wp i energiei disipate n sistem, Wd, scrise n coordonate alese pentru a defini micarea. Aceste energii au formele:Wc = Wp = Wd = 1 n n & & mij qi q j 2 i =1 j =1 1 n n k ij qi q j 2 i =1 j =1 1 n n & & cij qi q j 2 i =1 j =1 , mij = m ji , k ij = k ji , cij = c ji

(5.19)

sau, exprimate prin produse de matrice,

8

Curs Vibraii Mecanice1 ' & & {q} [m]{q} 2 1 ' W p = {q} [k ]{q} 2 1 ' & & Wd = {q} [c ]{q} 2 Wc =

Capitolul 5

(5.20)

unde [m], [k] i [c] sunt matrice simetrice, care au ca elemente coeficienii formelor ptratice pozitiv definite (5.19). Introducnd expresiile (5.18) ale energiilor n ecuaiile lui Lagrange, se obine forma general :x n x1 && && && & & & m11 q1 + m12 q 2 + K + m1n q n + c11 q1 + c12 q 2 + K + c1n q n + k11 q1 + k12 q 2 + K + k1n q n = q f 1 + K + q f n 1 1 m q + m q + K + m q + c q + c q + K + c q + k q + k q + K + k q = x1 f + K + x n f 21 &&1 && && & & & 22 2 2n n 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2n n 1 n q 2 q 2 M x x && && && & & & mn1 q1 + mn12 q 2 + K + mnn q n + c n1 q1 + c n 2 q 2 + K + c nn q n + k n1 q1 + k n 2 q 2 + K + k nn q n = 1 f1 + K + n f n q n q n

(5.21)Aplicaie

Se consider sistemul din figura 5.5, format din masele m1 i m2 , legate de reperele fixe prin arcurile de constantele elastice masele k1 i k3 i legate ntre ele prin arcul de constant elastic k2 . Asupra maselor m1 i m2 acioneaz forele f1(t) i f2(t). Masele sunt astfel ghidate nct se pot deplasa numai pe direciile verticale x1(t) i x2(t).

Figura 5.5 Dac ecuaiile de micare se scriu utiliznd principiul lui dAlembert, la suma forelor ce acioneaz asupra fiecrei mase se adun fora perturbatoare respectiv. Astfel, pentru sistemul din figura 5.5, se obine

x m1 &&1 + (k1 + k 2 )x1 k 2 x 2 = f1 (t ) x m2 &&2 k 2 x1 + (k 2 + k 3 )x 2 = f 2 (t )sau

(5.22)

9


Capitolul 5 (5.23)

[m]{&&} + [k ]{x} = { f } x

Utiliznd ecuaiile lui Lagrange, forele generalizate au o component n plus datorat forelor perturbatoareQj = W p q j + Q je

, unde

Q je =

x1 x f 1 (t ) + 2 f 2 (t ) q j q j

pentru j= 1, 2. (5.24)

Ecuaiile Lagrange se scriu sub formad Wc dt q j & Wc W p = Q je , + q q j j

( j = 1,2)

(5.25)

unde1 & & & &2 m11 q12 + 2m12 q1 q 2 + m 22 q 2 2 1 2 W p = k11 q12 + 2k12 q1 q 2 + k 22 q 2 2 Wc =

(

)(5.26)

(

)

Constantele mij kij ( i, j = 1, 2) se numesc coeficieni de inerie, respectiv coeficieni de rigiditate. Cnd coordonatele generalizate sunt exprimate prin rotiri, coeficienii de inerie au dimensiuni de momente de inerie masice, iar coeficienii de rigiditate au dimensiuni de momente de rsucire. nlocuind expresiile energiilor (5.26) n ecuaiile Lagrange (5.25) se obine forma general a ecuaiilor care caracterizeaz micarea vibratorie a sistemului cu dou grade de libertate

x1 x 2 && && m11q1 + m12 q 2 + k11 q1 + k12 q 2 = q f1 + q f 2 1 1 x1 x 2 m21 q1 + m22 q 2 + k 21 q1 + k 22 q 2 = && && f1 + f2 q 2 q 2 q1 = x1 q2 = x2iar ecuaiile devin

(5.27)

Dac q1 i q2 reprezint deplasrile pe direciile pe care acioneaz forele f1(t) i f2(t), atunci

x x m11 &&1 + m12 &&2 + k11 x1 + k12 x 2 = f1 (t ) x x m21 &&1 + m22 &&2 + k 21 x1 + k 22 x 2 = f 2 (t )care se pot scrie sub forma compact (5.23).

(5.28)

10


Capitolul 5

5.3 Moduri proprii de vibraiePulsaiile proprii i formele modurilor proprii se obin prin rezolvarea sistemului de ecuaii omogene pentru vibraiile libere neamortizate

[ m]{ x} + [ k ]{ x} = { 0} &&Se caut soluiile x1, x2, ... , xn, ale sistemului, sub forma

(5.29)

a1 {x} = M sin ( pt + ) = {a}sin( pt + ) a n

(5.30)

reprezentnd o micare armonic sincron n toate coordonatele. n acest tip de vibraie, configuraia general a micrii nu se schimb, cu excepia elongaiei care variaz peste tot armonic n timp, astfel nct raportul ntre oricare dou elongaii xi(t) i xj(t), i j, rmne constant n timpul micrii. nlocuind (5.30) n ecuaia (5.29) se obine

( [ k ] p 2 [ m]) {a} = {0}Pulsaiile proprii sunt soluiile ecuaiei algebrice det( [ k ] p 2 [ m] ) = 0

(5.31)

(5.32)

care are n rdacini reale, pozitive, n general distincte, p12, p22, ... , pn2. Exist deci n pulsaii pr (r =1, ..., n) n care este posibil o micare armonic de forma (5.30). Fiecrei pulsaii pr i corespunde un vector {a(r)} cu elemente reale aj(r), astfel nct este satisfacut ecuaia matriceal

([k ] p

2 r

[ m] ) {a ( r ) } = { 0}

(5.33)

Vectorii proprii {a(r)}, denumii i vectori modali, sunt unici, n sensul c raportul ntre dou elemente arbitrare air) i ajr) este constant. Valoarea elementelor este arbitrar, deoarece ecuaia (5.31) este omogen. Deci forma unui mod propriu de vibraie este unic, dar amplitudinea este arbitrar, fiind definit de condiiile iniiale ale micrii libere, sau de excitaie. Ecuaia matriceal (5.33) este echivalent cu un sistem algebric omogen de n ecuaii, cu necunoscutele a1(r), a2(r), ... , an(r) . Se mparte fiecare ecuaie cu a1(r) i se noteaz cu j(r) rapoartele obinute

j =

( r)

a (j r )( a1 r )

11

Curs Vibraii Mecanice( Deoarece 1r ) =

Capitolul 5

a1(r ) = 1 , noul sistem algebric conine n ecuaii cu (n-1) necunoscute : a1(r ) 2(r), ... , n(r), care este compatibil, deoarece determinantul su este nul. Rezolvndu-l, se determin forma modului propriu de vibraie, de ordinul r , dat de ansamblul de elemente adimensionale 1(r), 2(r),... , n(r), unde 1(r) =1. Se noteaz( 1( r ) a 1 r ) {a ( r ) } = M = a1( r ) M = a1( r ) { ( r ) } ( r) a ( r ) n n

(5.34)

unde {(r)} este vectorul propriu normalizat de ordinul r . Micarea n modul propriu de vibraie de ordinul r este caracterizat de vectorul

{x ( ) } = {a ( ) }sin ( p t + ) = { ( ) }a ( ) sin( p t + ) = { ( ) }r r r r r r r 1 r r

r

(5.35) unde s-a notat cu r coordonata principal r

r = a1(r ) sin ( p r t + r )a1(r) fiind o constant arbitrar, pn la precizarea condiiilor iniiale. Micarea general a sistemului este dat de o suprapunere de moduri proprii

(5.36)

{x} = { (1) }a1(1) sin ( p1t + 1 ) + K + { (r ) }a1(r ) sin ( p r t + r1 ) + K + { (n ) }a1(n ) sin ( p n t + n1 )(5.37)

unde a1(1), ... , a1(n) i 1, ... , n sunt 2n constante care se determin de la caz la caz din cele 2n condiii iniiale, exprimate prin deplasrile i vitezele la momentul t=0. Relaia (5.37) se mai poate scrie sub forma

{ x} = { ( r ) } r = [ A]{ }r =1

n

(5.38)

unde matricea modal [A] are vectorii proprii normalizai drept coloane 1( 1) ( 1) 2 = M ( 1) n

[ A] = [{ ( 1) }{ ( 2 ) }K{ ( n ) }]

1( 2 ) 2( 2 ) nM( 2)

( ) K 1 n ( ) K 2n M ( K n n)

(5.39)

iar {} este matricea coloan a coordonatelor principale. Avem urmtoarele relaii de ortogonalitate

{ ( ) } [ m]{ ( ) } = 0s ' r

( r s) ( r s)

( a) ( b)(5.40)

{ ( ) } [ k ]{ ( ) } = 0s ' r

12

Curs Vibraii MecanicePe baza acestor relaii se arat c urmatoarele matrice sunt diagonale

Capitolul 5

[ M ] = [ A] ' [ m][ A] [ K ] = [ A] ' [ k ][ A]

( a) ( b)(5.41)

elementele de pe diagonala principal numindu-se mase generalizate (mase modale), respectiv constante elastice generalizate (constante elastice modale) i avnd expresiileM r = { ( r ) } [ m]{ ( r ) },'

( r = 1, K , n) ( a ) ( r = 1, K, n) ( b)(5.42)

K r = { ( r ) } [ k ] { ( r ) },'

Folosind transformarea de coordonate (5.38), ecuaia (5.29) devine

&& [ m][ A]{ } + [ k ][ A]{ } = { 0}nmulind la stnga cu transpusa [A] a matricei modale, rezult

&& [ A] ' [ m][ A]{ } + [ A] ' [ k ][ A]{ } = { 0}sau, pe baza relaiilor (5.41),

&& [ M ]{ } + [ K]{ } = { 0}Desfurat, ecuaia matriceal (5.43) devine&& M11 + K11 = 0 M M + K = 0 && n n n n

(5.43)

(5.44)

deci, n coordonate principale, micarea este caracterizat de n ecuaii independente, care se rezolv separat. Prin analogie, soluia are forma (5.36). Pulsaiile proprii au expresiile

{ ( r ) } [ k ]{ ( r ) } Kr p = = , Mr { ( r ) } ' [ m]{ ( r ) }' 2 r

( r = 1,..., n)(5.45)

Vectorii modali normalizai {(r)} satisfac ecuaii de forma

( [ k ] p [ m] ){ } = {0}2 r (r )

(5.46)

Ei formeaz un sistem de vectori, liniar independeni, astfel nct orice vector ndimensional, reprezentnd o configuraie arbitrar a sistemului, poate fi construit ca o combinaie liniar a vectorilor modali. Din punct de vedere fizic, aceasta implic faptul c orice micare a sistemului, datorit unei excitaii arbitrare, poate fi considerat la un moment dat ca o suprapunere de moduri proprii nmulite cu nite constante care reprezint o msur a gradului de participare a fiecrui mod la rspunsul total. Pulsaiile proprii pr i vectorii proprii {(r)} depind numai de matricele [m] i [k], fiind deci proprieti intriseci ale sistemului. Micarea de pulsaie pr i de forma {(r)} poate exista independent de orice alt micare, de pulsaie ps i forma {(s)} , r s. De exemplu, dac sistemul 13


Capitolul 5

capt o deformaie iniial avnd forma modului propriu {(r)} i este lsat apoi s vibreze liber, micarea ce urmeaz este o oscilaie armonic, cu pulsaia proprie pr. ntr-adevr, fie {x(0)}={x0} i relaia (5.37) rezult& & { x( 0)} = { x0 } vectorii deplasrilor i vitezelor iniiale. Din

{x0 } = a1( r ) { ( r ) }sin rn r =1n

(5.47 a) (5.47 b)

& {x0 } = a1( r ) p r { ( r ) }cos rr =1

nmulind relaiile (5.47) la stnga cu {(s)}[m] i innd cont de relaiile de ortogonalitate (5.40 a) i (5.42 a) rezult dupa nlocuirea indicelui s prin r :

a 1( r ) sin r = a 1( r ) cos r =

1 { ( r ) } ' [ m]{x 0 } Mr 1 & { ( r ) } ' [ m]{x 0 } pr M r 1 1 ' sin p r t + { ( r ) } [ m] {x 0 } cos p r t { ( r ) } pr M r Mr

(5.48 a) (5.48 b)

nlocuind expresiile (5.48) n soluia general (5.37) se obine

& {x( t )} = { ( r ) } [ m]{x 0 }' r =1

n

(5.49)

& reprezentnd rspunsul sistemului la condiiile iniiale {x0} i {x 0 } .

Dac vectorul deplasrilor iniiale se aseamn cu un vector propriu

{x } = x { }(s) 0 0

iar vectorul vitezelor iniiale este zero& {x } = {0}0

soluia general (5.49) devine :

{x( t )} =

x0 { ( r ) } ' [ m]{ ( s) } cos p r t { ( r ) } r =1 M rn

(5.50)

Folosind relaiile de ortogonalitate, soluia (5.50) se reduce la

{x( t )} = x 0 { ( s ) } cos p s treprezentnd o micare armonic sincron, cu pulsaia ps , forma deformat n orice moment fiind asemenea cu forma modului pro1priu de ordin s .

14


Capitolul 5

5.4 Vibraii foraten cazul vibraiilor forate ecuaia de micare

[ m]{ x} + [ c]{ x} + [ k ]{ x} = { f } && &Efectund transformarea de coordonate

(5.51)

{x } = [ A] { }i nmulind la stanga cu transpusa [A] a matricei modale, rezult && [ A] ' [ m][ A]{ } + [ A] ' [ c][ A]{&} + [ A] ' [ k ][ A]{ } = [ A] ' { f } n cazul amortizrii proporionale se obine

(5.52)

(5.53)

[A]' [c ][A] = [C ]Se noteaz

(5.54)

[A]' { f } = {}vectorul forelor generalizate (forelor modale). Utiliznd notaiile (5.52), (5.54) i (5.55), ecuaia matriceal (5.53) devine

(5.55)

& [M ]{&}+ [C ]{&}+ [K ]{ } = {} & & M r &r + C r r + K r r = r

(5.56)

reprezentnd un sistem de n ecuaii independente de forma (5.57)

care descriu micarea n modul r, caracterizat de variaia coordonatei principale r . Fiecare ecuaie (5.57) se poate rezolva separat. n cazul unei excitaii armonice {f}={F} sin t, deci pentru r = r sin t ,

(r = 1, K , n ) r sin (t r )

(5.58)

soluia ecuaiei (5.57) este

r =Kr

2 1 2 pr

+ 2 r pr

2

2

(5.59)

Unde r = arctg

2 r 1

pr

2p r2

(5.60)

iar p r2 = Kr , Mr

r =

Cr 2 pr M r

(5.61)15

Din relaia de transformare (5.52) rezult soluia general a micrii armonice


Capitolul 5n

{x} = { ( r ) } r = n r =1 r =1

{ } {F }{ }(r ) ' 2 (r )

Kr

1 2 pr

+ 2 r pr

2

2

sin (t r )

(5.62)

Dac se aplic o singur for Fl sin t coordonatei l i se msoar rspunsul n coordonata j, modulul receptanei jl are expresia :Xj Fl =r =1 n

jl =

l( r ) j( r )Kr 2 1 2 + 2 r pr pr 2 2

=r =1

n

x l x j r rKr 2 1 2 + 2 r pr pr 2 2

(5.63)

Atunci cnd pulsaia excitatoare se apropie de valoarea pr , contribuia termenului r la expresia jl devine predominant, iar variaia acestui termen cu pulsaia corespunde comportrii n vecintatea rezonanei, a unui sistem echivalent, cu un singur grad de libertate, avnd parametrii Mr, Kr, i Cr . Rezult c atunci cnd pulsaiile proprii sunt relativ deprtate, din punct de vedere practic, fiecare maxim de rezonan poate fi aproximat cu rspunsul ntr-un singur mod de vibraie. Dar rspunsul n modul r se suprapune peste ceilali termeni ai sumei (5.63), deci chiar dac excitaia se face la pulsaia = pr, cu o singur for nu se poate excita un mod propriu de vibraie. Acest lucru nu se poate realiza dect folosind mai multe fore, avnd o anumit distribuie n lungul sistemului. n cazul amortizrii proporionale, se poate arat c excitaia necesar pentru a produce un rspuns n modul propriu de vibraie de ordinul s , la o pulsaie oarecare , este 2 { f } = { F } sin t = 1 2 + 2 s2 [ m]{ ( s) } sin t ps ps Dac nlocuim (5.64) n (5.62), rezult2 2

(5.64)

{x} = r =1

n

2 s

2 1 2 ps 2 1 2 ps

+ 2 ps + 2 ps 2

2

2

2

{ } [m]{ }{ }sin (t )(r ) ' (s) (r ) r

Kr

sau folosind relaiile de ortogonalitate

{x} = { ( s ) }sin (t s )

(5.65)

deci vectorul deplasrilor {x} este proporional cu vectorul propriu {(s)}. Dac se lucreaz la pulsaia de rezonan = ps , atunci s =90, iar excitaia necesar pentru a produce un rspuns

{ x} = { ( s) } sin( p s 90 o ) = { ( s) } cos p s t

(5.66)

{ f } = 2 s s2 [ m]{ ( s) } sin p s t (5.67) are forma deci forele {f} sunt proporionale cu forele de inerie corespunztoare deplasrilor modale.16


Capitolul 5

5.5 Metode aproximative n studiul sistemelor 5.5.1 Noiuni introductiveProblema determinrii pulsaiilor proprii i a formei modurilor proprii, conduce la necesitatea rezolvrii complete a unei ecuaii algebrice de gradul n, urmat de aflarea soluiilor pentru n sisteme de ecuaii omogene cu n necunoscute. Dac n 3 , calculele se complic foarte mult, ncepnd chiar de la scrierea ecuaiei pulsaiilor proprii, care se obine prin dezvoltarea unui determinant de ordinul n. Din acest motiv, au fost elaborate numeroase metode aproximative, unele cu un caracter general, altele privind anumite tipuri particulare de sisteme oscilante, cu ajutorul crora s se poat determina pulsaiile proprii i formele modurilor proprii, cu precizia dorit. Dup schema de calcul adoptat, metodele se pot separa n dou categorii: metode de iteraie metode pasa cu pas.

n metodele de iteraie se consider iniial o form arbitrar pentru modul propriu cutat, asupra creia se aplic un procedeu de iteraie convergent, diferit de la metod la metod, obinndu-se n final forma real a modului propriu i valoarea pulsaiei respective. n toate etapele procesului de iteraie se introduce forma normalizat a modului propriu, mprind amplitudinile tuturor coordonatelor micrii prin amplitudinea primei coordonate, care n felul acesta devine egal cu unitatea. Pentru procedeele de iteraie, rezultatul nu depinde de forma iniial aleas, aceasta influennd doar asupra numrului de iteraii necesar pentru atingerea preciziei dorite. Dintre metodele de iteraie utilizate pe care le vom prezenta, amintim : 1) Metoda iteraiei matriceale; 2) Utilizarea principiului lui Rayleigh; 3) Metoda matricilor de transfer; n metodele pas cu pas, se consider iniial o valoare arbitrar a pulsaiei proprii, pentru care se calculeaz abaterea sistemului de la starea de echilibru i deformaie, realizat cnd pulsaia proprie a sistemului are valoarea ei real. Reprezentnd grafic aceast abatere n funcie de diferitele valori iniiale ale pulsaiei considerate, se obin pulsaiile proprii n dreptul punctelor din grafic pentru care abaterile rezultate sunt nule. Metodele aproximative se pot combina, obinndu-se o mbuntire a preciziei i o micorare a volumului de calcule. Dintre metodele pas cu pas utilizate, amintim : 1) Metoda Holzer care se utilizeaz la calculul pulsaiilor proprii i a formei modurilor proprii pentru sisteme oscilante formate din mase legate ntre ele cu arcuri sau din discuri pe arbori n vibraii de rsucire; 2) Metoda Myklestad i Prodhl - care se utilizeaz la calculul pulsaiilor proprii i a formei modurilor proprii n vibraiile de ncovoiere ale grinzilor sau arborilor cu mase concentrate;

5.5.2 Metoda iteraiei matriciale17


Capitolul 5

Metoda se utilizeaz pentru calculul pulsaiei proprii minime, pl2 , sau a pulsaiei maxime2 p n , i a formei modurilor proprii corespunztoare, cnd se cunoate matricea dinamic a sistemului:

[d]=[m]-1[k] sau inversa ei [b]=[d]-1=[k]-1[m]=[][m] Dac n ecuaia matriceal (5.31) se folosesc vectori normalizai, se poate scrie

([k ] p [m]){} = {0}2

Prin nmulirea la stanga cu [k]-1, respectiv cu [m]-1, aceasta devine

[b]{} =

1 {} p2

(a) (b) (5.68)

[d ]{ } = p 2 {}

Ambele ecuaii (5.68) vor fi considerate sub forma

[L]{} = {}

(5.69)

Coeficienii 1, , n i matricele coloan {(1)}, , {(n)}, care satisfac relaia (5.69) sunt valorile proprii i vectorii proprii ai matricei [L]. Procedeul de iteraie const n urmtoarele etape : 1) Se consider un vector arbitrar iniial, avnd primul termen egal cu unitatea {}1 ; 2) Se efectueaz produsul [L]{}1 , obinndu-se un vector care are primul element diferit de unitate, aceasta se va nota cu (1); 3) Se normalizeaz vectorul produs [L]{}1 i se noteaz cu {}2 vectorul obinut

[L]{ }1 = (1) { }2 [L]{ }1 = (1) { }1

(5.70)

4) Se compar {}2 cu {}1; dac {}2{}1 , din relaia (5.70) rezult (5.71)

deci relaia (5.50) este satisfacut pentru =(1) i {}={}1 ; 5) Dac {}2 {}1, se trece la urmtoarea iteraie, efectund operaiile de la punctele 2) ..4) pentru {}2; iteraiile se repet pn cnd se obine, cu precizia dorit {}i = {}i-1 Se poate demonstra c procesul este convergent i c oricare ar fi vectorul iniial {}1, se obine valoarea proprie maxim max i vectorul propriu corespunztor.

18


Capitolul 5

max

Datorit acestui fapt, dac matricea de iteraie este [L]=[b], valoarea proprie rezultat este 1 = 2 , deci pp2 = 1

max

2 = p min = p12

(5.72 a) (5.72 b)

Dac matricea de iteraie este [L] = [d], se obine valoarea proprie max=p2=p2max=p2n Alegerea formei iniiale a modului propriu cutat se face considernd vectori cu elemente egale cu unitatea, n faz (deci de acelai semn) pentru primul mod i n opoziie de faz (de semne alternante) pentru ultimul mod. Iteraia matriceal poate da i modurile intermediare, dup o pregtire prealabil a matricei de iteraie, folosind metoda eliminrii. Orice vector arbitrar {} nmulit la stnga cu matricea [b] conduce la primul mod de vibraie, deci procedeul trebuie modificat pentru a obine modul al doilea. Vectorul arbitrar {} ales pentru al doilea mod trebuie s fie independent de primul vector propriu, deci s fie ortogonal cu {(1)}, ceea ce se scrie sub forma {} [m] {(1)}=0 Dac se noteaz [m] {( r)}={m( r)}, (r=1,2, ,n) relaia de ortogonalitate (5.73) ia forma( ( 1 m1(1) + 2 m 22) + K + n m nn ) = 0

(5.73) (5.74)

(5.75)

Din ecuaia (5.75) se poate calcula 1 n functie de celelalte (n-1) variabile, care pot fi alese arbitrar. Se formeaz astfel sistemul( ( ( m31) m n1) m 21) 1 = (1) 2 (1) 3 K (1) n m1 m1 m1 2 = 2 M n = n

(5.76)

Sistemul (5.76) se scrie matriceal sub forma {(2)}l = [S(1)]{} unde( m 21) 0 (1) m1 1 0 = 0 0 M M 0 0 ( m31) ( m n1) (1) m1 0 0 M 1

(5.77)

[S ](1)

m1(1) 0 1 M 0

K K K K

(5.78)

se numete matricea de eliminare, {} este un vector arbitrar, iar {(2)}l este ortogonal cu {(1)}. 19


Capitolul 5

Se poate arta c relaia (5.77) rezult eliminand primul mod din expresia vectorului arbitrar {}. Deoarece aceast eliminare trebuie fcut n fiecare treapt de iteraie, nmulind la stnga cu [b] n (5.77), rezult [b]{(2)}l = [b][S(1)]{} Introducnd o noua matrice [b(2)]=[b][S(1)] problema de valori proprii capt forma (5.79)

[b ]{} =( 2)

1 { } p2

(5.80)

iar matricea [b(2)] conduce la convergen spre modul al doilea de vibraie, la fel cum [b] a condus la convergen spre primul mod propriu de vibraie. Procesul iterativ pentru modul al doilea de vibraie urmeaz aceleai etape ca pentru primul mod, avnd la baz ecuaia (5.80). n continuare, pentru a obine modul al treilea de vibraie, se elimin primul i al doilea vector propriu din expresia vectorului arbitrar {} care trebuie s satisfac dou condiii de ortogonalitate

{ }' [m]{ (1) } = 0 { }' [m]{ ( 2) } = 0

(5.81)

Rezolvnd ecuaiile (5.81), adic exprimnd 1 i 2 n funcie de celelalte (n-2) ecuaii de forma j=j (j=3, 4, ,n), unde j au valori arbitrare, se obine un sistem de n ecuaii, care se scrie sub forma matriceal {(3)}l = [S(2)]{} Matricea de eliminare are forma0 0 0 = 0 M 0 0 0 0 M 0(2 m 23) (

curs vibratii

Documents