exercitii si probleme de dinamica si vibratii

PREFAŢĂ

Lucrarea de faţă se adresează în primul rând studenţilor din învăţământul superior tehnic cu profilul mecanic, dar poate fi folosită şi de studenţii de la alte profiluri, care au în planurile de învăţământ discipline ca: fundamente de inginerie mecanică, mecanică, cinematica şi dinamica roboţilor industriali, dinamica maşinilor, vibraţii mecanice, calculul dinamic al structurilor etc. Deoarece la toate facultăţile şi colegiile universitare din învăţământul superior tehnic se predă cel puţin una din aceste discipline, în general se caută ca, în limita orelor de curs şi aplicative disponibile, să se prezinte studenţilor cât mai multe noţiuni şi metode de studiu ale fenomenelor mecanice ce apar în diverse domenii tehnice. Această tendinţă a cadrelor didactice poate să conducă la formarea unor specialişti bine pregătiţi şi cu un orizont larg în diverse domenii ale tehnicii şi producţiei, cu condiţia ca noţiunile, legile mecanicii şi metodele de studiu prezentate la curs să fie foarte bine înţelese de studenţi. Se poate aprecia că lucrarea de faţă vine în sprijinul cadrelor didactice şi studenţilor tocmai pentru realizarea acestui deziderat.

Prezenta culegere de probleme a fost structurată pe programele analitice ale disciplinelor de mecanică şi de vibraţii mecanice, predate studenţilor de la Facultatea de Mecanică, la specializările cu profil mecanic. Încadrarea pe capitole a problemelor din această culegere urmăreşte fixarea cunoştinţelor din capitolele corespunzătoare ale cursurilor predate, precum şi din capitolele precedente. În fiecare capitol sunt prezentate câteva probleme rezolvate, alese astfel încât să ajute al aprofundarea principalelor noţiuni şi cunoştinţe din capitolul corespunzător predat la curs, iar apoi sunt date enunţurile unor probleme nerezolvate, într-o succesiune logică, de la simplu la conex, la care se dau răspunsurile la întrebările din enunţ. La unele probleme rezolvate se dau mai multe metode de rezolvare, pentru a se justifica recomandarea de folosire a uneia dintre metodele prezentate, în funcţie de anumite condiţii.

Se poate aprecia că toate problemele cuprinse în prezenta culegere sunt sugestive pentru aprofundarea cunoştinţelor de mecanică şi, în cea mai mare parte, au fost elaborate de autori în vederea realizării acestui deziderat.

Autorii

CUPRINS

PREFAŢĂ................................................................................................................

1. Statica............................................................................................................. 3

1.1 Reducerea sistemelor de forţe......................................................................... 3 1.2 Centre de greutate........................................................................................... 25 1.3 Echilibrul punctului material.......................................................................... 36 1.4 Echilibrul corpului rigid................................................................................. 47 1.5 Echilibrul sistemelor materiale....................................................................... 60

2. Cinematica..................................................................................................... 85

2.1 Cinematica punctului material........................................................................ 85 2.2 Cinematica vibratiilor..................................................................................... 105 2.3 Cinematica corpului rigid............................................................................... 116 2.4 Cinematica mecanismelor plane..................................................................... 137 2.5 Mişcarea relativă a punctului material............................................................ 151 2.6 Compuneri de mişcări ale corpului rigid........................................................ 159

3. Dinamica........................................................................................................ 172

3.1 Dinamica punctului material........................................................................... 172 3.2 Momente de inertie......................................................................................... 191 3.3 Dinamica sistemelor materiale....................................................................... 199 3.4 Ciocniri şi percuţii.......................................................................................... 221 3.5 Mecanică analitică.......................................................................................... 233

4. Vibraţii mecanice.......................................................................................... 249

4.1 Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un grad de libertate.............................................................................. 249

4.2 Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate................................................................ 277

4.3 Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor.............................................. 303

BIBLIOGRAFIE....................................................................................................... 330

1.1. Reducerea sistemelor de forţe

1.1.1. Să se reducă sistemul de 5 forţe concurente, dat mai jos prin expresiile analitice ale forţelor faţă de sistemul de referinţă cartezian triortogonal drept Oxyz.

r r r rF i j1 3 4 5= + + k ,

r r r r r r r rF i j3 3 4 5= − +F i j2 3 4 5= + − k , k ,

r r r r[F i j k4 3 4 5= − + + , ]

r r r rF i . j k N5 6 8 5= − − +

Rezolvare

rMetoda I. Se pot determina valorile absolute ale forţelor Fi Fi

α ij

, precum şi unghiurile dintre forţele

r rFi , Fj ale sistemului considerat ( i j, , ... ,= 1 5 ; ), pe

baza relaţiilor cunoscute: i j<

F X Y Zi i i i= + +2 2 2 , α ij

X X Y Y Z Z= i j i j i j

i jF F+ +

arccos ,

astfel încât rezultă: F F F F1 2 3 4= = = = F N5 5 1118= = ,N5 2 7 07= , , , 5

α1510

10= −

⎛

⎝⎜arccos

⎞

⎠⎟α

π12 2= , α13 = arccos 9

25 , α , 14

1625

= arccos ,

α25 =⎛

⎝⎜arccos 3 10

10−

⎞

⎠⎟α23

1625

− ⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

arccos α24 =⎛⎝⎜

arccos 925

− ⎞⎠⎟

, , ,

, α . απ

34 2= , α

39 10= arccos35 250 45

11 10250

= arccos

Cu acestea, se calculează valoarea absolută a rezultantei:

R F F F Nii

i j ji ji j

= + == =

<

∑ ∑2

1

5

1

5

2 15cos,

α i

iα ,

rFi , pe baza relaţiei: precum şi unghiurile dintre rezultantă şi forţele

4 Statica - 1

αα

i

j ij

F= =

∑arccos

cos1

5

j

R ,

din care rezultă:

α α απ

1 3 4= = =4

, απ

23

=4

, α55

= arccos5

.

Metoda II. Proiecţiile rezultantei pe axele de coordonate ale sistemului de

referinţă Oxyz sunt:

X Xi= =∑5

0 Ni=1

[ ]r rR k N= 15

, , , Y Yi= =∑5

0 Z Zi= =∑5

15i=1

R N

i=1

astfel încât rezultă:

, = 15 , α βπ

= =2

, γ = 0 ,

unde α, β, ( sunt unghiurile făcute de rezultantă cu axele de coordonate. Se observă că, pentru reducerea unui sistem de n forţe concurente, este mai avantajoasă această metodă dacă , deoarece comportă un volum de calcul mai redus faţă de prima metodă, pentru determinarea valorii absolute şi a direcţiei rezultantei.

n > 3

1.1.2. Să se descompună forţa [ ]r r r rF i j k N= + +15 12 9 după direcţiile ,

, ( date prin vectorii unitari: ( )Δ1

( )Δ 2 Δ 3)

(r r re i1

2= + )j2

, (r r re i2

2= − )j2

, ( )r r re j3

2= + k

2 .

Rezolvare

Metoda I. Din condiţia: r r r rF F e F e F e= + +1 1 2 2 3 3 , prin proiectare pe axele de coordonate se obţin ecuaţiile:

( ) 151 2F F+ =2

2 , ( )2

2 1 2F F F− + 123 = , 2

293F = ,

din care rezultă: F N1 9 2= F N2 6 2= F N3 9 2= , , .

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 5 Expresiile analitice ale celor 3 componente ale forţei

rF

)j1

, dirijate după direcţiile necoplanare date, devin:

(r r rF i9= + , ( )r r r

F i6= − j2 , ( ) [ ]r r rF j k9= + N3 .

Metoda II. Din datele problemei se pot determina uşor unghiurile α dintre

direcţiile date: ij

απ

12 = 2 , α

π23

2=

3 , α

π13 = 3

,

precum şi unghiurile α dintre forţa i

rF şi direcţiile exprimate analitic prin vectorii

unitari re : i

α11 9

=⋅arccos

r rF eF

, α22 1

=⋅

=arccos arccos10

r rF e10

= arccosF

,

α13 7

=⋅

=arccos arccos10

r rF eF

,

unde F este valoarea absolută a forţei N= 15 2rF

F Fj ij i icos cosα α∑ =3

. Pe baza relaţiei:

, j=1

dând lui i valorile 1, 2, 3, se obţin ecuaţiile:

F F1

3 27 2+ =

2 2 , F F

23 3 2

− =2 2

, F F F1 2

321 2

− + =2 2 2

Fi

,

din care rezultă aceleaşi valori ale componentelor forţei rF , dirijate după direcţiile

date. Deoarece, pentru a aprecia direcţia forţei

rF

α i

faţă de cele 3 componente ale sale după direcţiile necoplanare date, este necesar ca şi la prima metodă să se calculeze

unghiurile , se observă că cele două metode prezintă aproximativ acelaşi

grad de dificultate. 1.1.3. Placa semicirculară cu centrul O şi de rază OA OB OD R= = = este

rotită cu unghiul α ca în fig. 1.1.3 în jurul diametrului său AB, situat pe axa Ox. În punctul P de pe periferia plăcii, determinat prin unghiul β faţă de raza OD din planul Oyz, acţionează forţa

r perpendicular pe planul plăcii. F

Să se determine momentul forţei în raport cu punctul O.

6 Statica - 1 Rezolvare

Metoda I. Pe baza definiţiei

momentului unei forţe în raport cu un punct, rezultă imediat că momentul forţei

rF în raport

cu punctul O este vectorul rM reprezentat în fig.

1.1.3, situat în planul plăcii, perpendicular pe raza OP şi având valoarea . Descompunând mai întâi acest vector după direcţiile razelor OB şi OD perpendiculare între ele, se obţine expresia sa analitică:

M FR=

r r r rM FR i FR j FR k= − − +cos cos sin sin sinβ α β α β

. Fig. 1.1.3

r

Metoda II. Forţa F este perpendiculară pe axa Ox, astfel încât se poate descompune uşor după direcţiile celorlalte două axe de coordonate:

,sinFF,kFjFF

α=′′′+′=rrr

.cosFF α=′′

Astfel, momentele forţei în raport cu axele de coordonate rezultă: rF

,POFMz

y

′⋅′=

,POFM,PPFMx

′⋅′′−=

′⋅−=

,sinsinFRMz

y

βα=

,sincosFRM,cosFRMx

βα−== − β

unde este proiecţia punctului P pe axa Ox. Se observă că momentele forţei faţă de axele de coordonate sunt chiar proiecţiile pe aceste axe ale momentului forţei în raport cu originea axelor.

′P

Metoda III. Deoarece coordonatele punctului P de aplicaţie a forţei sunt:

,cossinRsinPPz,coscosRcosPPy

,sinRPOx

βα=α′=βα−=α′−=

′= = β

din definiţia momentului unei forţe în raport cu un punct se obţine:

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 7

r

r r r r r r

Mi j kx y z

F F

i j kR R R

F F=

′ ′′= −

0 0sin cos cos sin cos

sin cosβ α β α

α α=β

=

( )= − − − +FR i FR j FR kcos cos sin cos sin sin sinβ α α α β α β2 2r r r

= − − +FR i FR j FR kcos cos sin sin sinβ α β α βr r r

. Observaţie. În această problemă este mai uşor de aplicat prima metodă,

deoarece forţa este perpendiculară pe vectorul de poziţie rr OP= . În general, se recomandă aplicarea celei de-a doua metode, atât pentru calculul momentului unei singure forţe în raport cu un punct, dacă braţul forţei se determină mai greu, cât şi pentru calculul momentului rezultant al unui sistem de forţe.

1.1.4. Asupra unei piramide regulate, având ca bază pătratul ABCD, vârful V

şi toate muchiile de lungime m25,0=l , acţionează ca în fig. 1.1.4 un sistem de 7 forţe, exprimate prin:

rF1 = λAV ,

rF , DV2

rF3 VB ,

rF4 VC= λ= λ = λ ,

rF5 = λCA ,

rF6 = λBD ,

rF OV7 = λ ,

unde O este centrul bazei, iar λ = 160 N m . a) Să se determine elementele

torsorului de reducere în O. b) Să se arate că sistemul de forţe

dat se reduce la o rezultantă unică şi să se determine axa centrală.

c) La ce se reduce un nou sistem de forţe aplicat piramidei, obţinut prin adăugarea la sistemul de forţe iniţial a forţei rF8 = λAB2 2 în punctul O? Care vor fi ecuaţiile axei centrale în acest caz ?

Rezolvare

a) Se observă că triunghiurile isoscele VAC şi VBD sunt dreptunghice în V, prin urmare 22 l= . Faţă de sistemul de

referinţă Oxyz, reprezentat în fig. 1.1.4, expresiile analitice ale forţelor sunt:

Fig. 1.1.4

OV

8 Statica - 1

( )k2ji20k022j

2l0i

2l0F1

rrrrrrrl ++−=

⎥⎦⎢⎣⎟⎠

⎜⎝⎠⎝⎠⎝

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛

−+⎟⎞

⎜⎛ ++⎟

⎞⎜⎛ −= λ ,

( )k2ji20k022j

2l0i

2l0F2

rrrrrrrl ++=

⎥⎦⎢⎣⎟⎠

⎜⎝⎠⎝⎠⎝

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛

−+⎟⎞

⎜⎛ ++⎟

⎞⎜⎛ += λ ,

( )k2ji20k220j0

2li0

2lF3

rrrrrrrl −+=

⎥⎦⎢⎣⎟⎠

⎜⎝⎠⎝⎠⎝

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛

−+⎟⎞

⎜⎛ −+⎟

⎞⎜⎛ −= λ ,

( )k2ji20k220j0

2li0

2lF4

rrrrrrrl −+−=

⎥⎥⎤

⎢⎢

⎦

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎛

−+⎟⎞

⎜⎛ −+⎟

⎞⎜⎛ −−= λ , ⎣

⎜⎝⎠⎝⎠⎝

( )r r rF l l i l l j i5

r rj40= +⎛ ⎞ + − −⎛ ⎞⎡ ⎤

= −λ , 2 2 2 2⎝⎜ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟⎣

⎢⎦⎥

( )r r rF l l i l l j i6

r rj40= − −⎛ ⎞ + − −⎛ ⎞⎡ ⎤

⎦⎥ = − −λ ,

2 2 2 2⎝⎜ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟⎣⎢

[ ]Nk220k022F7

rrrl =⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

−= λ⎠⎝

.

Pentru a determina mai simplu elementele torsorului de reducere în O ale sistemului de forţe dat, se dau în continuare două metode de calcul, bazate pe împărţirea acestuia în subsisteme de forţe.

Metoda I. Se observă că primele 4 forţe sunt concurente în V, iar celelalte 3

în O, astfel încât sistemul de forţe dat se poate descompune în două subsisteme de forţe concurente, care se reduc la câte o rezultantă:

r r r r r rR F F F F j1 1 2 3 4 80= + + + = ,

[ ]r r r r r rR F F F j k N2 5 6 7 80 20 2= + + = − + .

Momentul rezultant faţă de O al sistemului de forţe dat va fi egal cu momentul rezultantei

rR1 , aplicată în V, deci elementele torsorului de reducere în O sunt:

[ ]

[ ].Nmi210i2RROVM

,Nk220RRR 21

rrrr

211O

rrrr

l −=−=×=

=+=

Metoda II. Se observă că subsistemele formate din forţele

rF1 ,

rF4 şi

rF5 ,

respectiv rF2 ,

r rF3 şi F6 , se reduc la câte un cuplu de forţe, deoarece rezultantele lor

sunt:


( )r r r rF F F AV VC CA 0+ + = + + =λ1 4 5 , ( )r r r r

F F F DV VB BD 0+ + = + + =λ2 3 6 .

Pentru a calcula momentele acestor cupluri de forţe, care sunt vectori liberi, pentru fiecare subsistem se calculează momentul unei forţe în raport cu punctul de intersecţie al celorlalte două, astfel încât rezultă:

( )

( ) [ ]

r r

r r r

r r

r r

r r r

r r

M VO Fi j k

i j

M VO Fi j k

i j Nm

1 5

2 6

40 0 25 22

0 0 11 1 0

5 2

40 0 25 22

0 0 11 1 0

5 2

= × = ⋅ −−

= − −

= × = ⋅ −− −

= − +

, ,

, .

Rezultanta sistemului de forţe dat va fi egală cu rF7 , iar momentul rezultant

faţă de O este egal cu suma vectorială a momentelor celor două cupluri, obţinându-se astfel aceleaşi elemente ale torsorului de reducere ca şi prin metoda precedentă.

b) Deoarece produsul scalar dintre rezultantă şi momentul rezultant este nul, sistemul de forţe dat se reduce la rezultanta unică

rR pe axa centrală. Pentru

determinarea axei centrale se poate folosi teorema lui Varignon, din care rezultă: 20 2 10 2

20 2 0y

x= −

− =⎧⎨⎩

, ⎩

. xy m== −

⎧⎨0

0 5,

c) Expresia analitică a forţei rF8 , adăugată în O la sistemul de forţe iniţial,

este:

[ ]Nj220j2F8

rrrl == λ

2 ,

astfel încât elementele torsorului de reducere în O ale noului sistem de forţe devin:

( ) [ ][ ]

r r r r r

r r r′ = + = +

= = −

R R F j k N8 20 2 ,

′M M i NmO O 10 2 .

Se observă că şi în acest caz produsul scalar dintre rezultantă şi momentul rezultant este nul, deci şi noul sistem de forţe se reduce la rezultanta unică

r′R , pe noua

axă centrală, care se poate determina tot cu ajutorul teoremei lui Varignon: ( )20 2 10 2y z− = −

− =

⎧⎨⎪

⎪ 20 2 0x⎩ ,

[ ]xz y m=

= +⎧⎨

00 5,⎩

.

10 Statica - 1 1.1.5. Asupra unui cub cu muchiile de

lungime acţionează un sistem de forţe, pentru care momentele rezultante în raport cu vârfurile sale A, C şi E sunt:

l

rM ECA = λ1

rM BCC = λ 2 , ,

rM OAE = λ 3 ,

λ λ λunde 1 , 2 şi 3 sunt constante pozitive (vezi fig. 1.1.5).

a) Să se determine relaţiile dintre λ1 , λ 2 şi λ 3 , din condiţia ca cele 3 momente rezultante să verifice proprietăţile variaţiei torsorului de reducere cu punctul de reducere.

Fig. 1.1.5

b) Pentru λ 3λ λ1 2= = = F să se determine torsorul de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală.

c) Să se determine torsorul de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală pentru un nou sistem de forţe, obţinut prin adăugarea la sistemul de forţe iniţial a forţei

lr

BAF , aplicată în vârful B al cubului. FB =

Rezolvare a) În raport cu sistemul de referinţă Oxyz din fig. 1.1.5, expresiile analitice

ale celor 3 momente rezultante sunt: ( )kjM

rrri2C

r1A l −= λ M ,

rlλ iM−=

rr , 3E lλ= ,

care trebuie să verifice proprietăţile variaţiei torsorului de reducere cu punctul de reducere pentru un sistem de forţe aplicat unui corp rigid. Deoarece rezultanta încă nu se cunoaşte, se poate verifica numai proprietatea conform căreia proiecţiile momentelor rezultante în raport cu două puncte de reducere pe dreapta ce uneşte cele două puncte sunt egale. Această proprietate este verificată pentru perechea de puncte de reducere C şi E, deci mai trebuie să fie impusă pentru celelalte două perechi. Pentru aceasta, se calculează versorii direcţiilor EA AC şi :

( )r r re EA

EAi k1

22

= = − ( )r r rACAC

i j22

2= = − +e , ,

apoi se impun condiţiile:

,22eM

22eM

,22eM

22eM

22C12A

11A31E

ll

ll

rrrr

rrrr

λλ

λλ

=⋅==⋅

=⋅==⋅

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 11 din care rezultă:

λ λ λ1 2 3= = . b) Pe baza formulei de variaţie a momentului rezultant în raport cu două

puncte de reducere se pot scrie relaţiile: r r r

r rM M CA

M M CE RA C

rR= − ×⎧

⎨⎪

E C= − ×⎩⎪ ,

r r r

r rM M AC

M M EC RA C− = ×

− = ×

⎧⎨⎪⎪

rR

E C⎩

F= −lll F2YZ =+ 0X =−l 0=

,

din care rezultă ecuaţiile: ll FZ = Z , l , , l lY− ll FX −=

, , , X−lavând ca necunoscute proiecţiile X, Y, Z ale rezultantei

rR pe axele de coordonate. De

aici se determină: X = 0 , Y Z F= = , ( )r r r

R F j k= + ,

astfel încât se poate calcula şi momentul rezultant în raport cu originea axelor de coordonate:

0i2F2iFRCOMM CO

rrrrrrll =+−=×−=

2 .

Rezultă că sistemul de forţe ce acţionează asupra cubului se reduce la rezultanta unică

r(R pe axa centrală )Δ , care trece prin punctele O şi D, aşa cum s-a

reprezentat în fig. 1.1.5. c) Pentru noul sistem de forţe, elementele torsorului de reducere în O devin:

( )

.kFFOBMM BOO

,kFjFkjFFRR Brrrr

rrrrrrr

l−=×+=′

=−+=+=′

Deoarece se observă că cele două elemente ale torsorului de reducere în O sunt coliniare, având direcţia axei Oz, rezultă că ele reprezintă chiar elementele torsorului minimal, iar noua axă centrală este Oz.

1.1.6. Asupra unui paralelipiped dreptunghic, având sistemul de referinţă

Oxyz şi dimensiunile geometrice reprezentate în fig. 1.1.6, acţionează 4 subsisteme de forţe paralele şi distribuite, după cum urmează: 1) forţele paralele cu a doua bisectoare a planului Oyz, uniform distribuite pe suprafaţa OAHG, de intensitate 2

1p = 6F2 l ;

12 Statica - 1 2) forţele paralele cu axa Oz, distribuite pe suprafaţa OABC, astfel încât pe fâşiile paralele cu axa Ox sunt linear distribuite, iar pe fâşiile paralele cu axa Oy sunt uniform distribuite, de intensitate maximă 24F l= pe muchia AB; 2p3) forţele paralele cu prima bisectoare a planului Oyz, linear distribuite pe muchia GD, de intensitate maximă l3F2 în punctele G şi D; 2p =3

4) forţele paralele cu axa Oy, distribuite după o semisinusoidă pe muchia CD, de intensitate maximă l3Fπ= la mijlocul muchiei. p4

a) Să se efectueze reducerea celor 4 subsisteme de forţe paralele şi distribuite.

b) Să se determine torsorul de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală pentru sistemul de forţe ce acţionează asupra paralelipipedului.

c) Ce forţă rF

trebuie aplicată în vârful I al paralelipipedului, astfel încât noul sistem de forţe ce acţionează asupra lui să se reducă la un cuplu unic? Care va fi momentul cuplului rezultant în acest caz?

5

Fig. 1.1.6

Rezolvare a) 1) Primul subsistem de forţe paralele şi uniform distribuite se reduce la

rezultanta rF1 în centrul lor (21 )23,0,C ll , pentru care rezultă:

( ) ( )kjF2kj22F22eFF 111

rrrrrr−=−==∫ =⋅⋅== F2234pdApF 11s1 ll , .

2) Al doilea subsistem de forţe paralele şi distribuite se va reduce la rezultanta

r rF F k2 2= în centrul ( )0,3,x2 l . Pentru determinarea valorii F2 a acestei

rezultante şi a coordonatei x2 a centrului forţelor paralele, se alege ca element de suprafaţă o fâşie paralelă cu axa Oy, pe care forţele paralele sunt uniform distribuite. Ca urmare, se obţine:

C2


( ) x4pxp 2

2s l= , ( )∫ ∫ =⋅==

l

ll

4

02s2 4

2 F3dx6xpdAxpF ,

( )( ) 3

8dxxF3

64p

dAxp

dAxxpx

4222s

2ll

l

l

=== ∫∫∫

02s

.

3) Al treilea subsistem de forţe paralele şi distribuite se reduce la un cuplu de forţe, deoarece pe segmentul de dreaptă GE se obţine rezultanta

r rF F e3 3 3= în centrul )l3,y, , iar pe segmentul de dreaptă ED se obţine rezultanta −(0C 33

rF3 în centrul

)l3,y3− . Ca urmare, rezultă: (′ l6,0C3

( ) ( )y33pyp 3

3 −= lll , ( ) F2dyy3

3pF

3

03 l

( )

( )

3 =−= ∫l

l ,

( ) lll

l

l

l

l

l

=−== ∫∫

∫ 3

0

33

03

3

03

3 dyy3yF2

13p

dyyp

dyyypy ,

( ) ( )2 rrrrrrkjFkj

2F2eFF 333 +=+⋅== ,

iF4i422FFCCM 33333

rrrrll −=⋅⋅−=×′= .

4) Pentru al patrulea subsistem se obţine:

( )ll 3

sinpzp 44zπ

= ,

F2dz3

zsinpF3

44 =π

= ∫l

l0

,

deci acesta se reduce la rezultanta jF2F4

rr−= în centrul forţelor paralele

( )23,6,0C4 ll . b) Elementele torsorului de reducere în O sunt:

( ).kF4jF4iF5FOCMOCM

,kFjF2kF3kjF2FFFR

443O

421rrrrrrrr

rrrrrrrrr

FOCF 2211 lll +−=×+=

=−+−=++=

0F4MR ≠=⋅ l

+×+×

2Deoarece O

rr, rezultă că sistemul de forţe considerat se reduce

la un torsor minimal complet, având elementele: r rR Fk= , ( ) kF4kMM OR

rrrrl=⋅= .

14 Statica - 1 În acest caz, proiecţiile pe axele Ox şi Oy ale rezultantei sunt nule, astfel încât

ecuaţiile axei centrale rezultă din condiţiile:

⎩ y ⎩ 0FxF4 ⎩ 5y

kFRF

⎨⎧

=+=−

0xZM0yZMx , , ⎨ . ⎨

⎧

=+−

=− 0FyF5l

l ⎧

=

=

ll4x

c) Din condiţia ca noul sistem de forţe să se reducă la un cuplu, se obţine: rrr−=−= , 5

deci momentul cuplului rezultant devine: kF4iFFOIMM 5O

rrrrr+−=×+= ll .

Observaţie. Axa centrală ( )Δ a sistemului iniţial de forţe se află în planul

suprafeţei ABIH, fiind paralelă cu muchia IB la distanţa de acesta. Prin adăugarea forţei

r în I, care are ca suport muchia IB, aceasta şi rezultanta de pe formează

un cuplu de moment

lF5

iFM1

( )Δrrl−= , prin urmare momentul cuplului rezultant pentru

noul sistem de forţe se poate calcula mai uşor ca suma vectorială dintre acest moment şi momentul minimal.

1.1.7. Asupra unui punct material acţionează un sistem de 3 forţe, ale căror

proiecţii pe axele sistemului de referinţă Oxyz sunt date în tabelul de mai jos. a) Să se determine valoarea rezultantei

sistemului de forţe şi unghiurile formate de aceasta cu cele 3 forţe ale sistemului, folosind ambele metode analitice pentru reducerea forţelor concurente.

b) Ce forţă 4 , paralelă cu planul Oxy, trebuie aplicată suplimentar punctului material, astfel încât noua rezultantă să formeze cu cele 3 forţe date iniţial unghiurile

rF

)31( ? Ce unghiuri formează noua rezultantă cu forţa arccos321 =α′=α′=α′rF4 şi cu

axele de coordonate?

Răspunsuri

a) R N= =400 5 894 , α1 15= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠arccos 15 105⎟ = ° ,

α2155

= =arccos 39° , α315

15= =arccos 75° .

i Xi [N] Yi [N] Zi [N] 1 -200 200 200 2 600 -600 600 3 400 400 -400


b) ( )r r rF i4 400= − + j , ′ =α

π4 2

, ′ = ′ = ′ = = °α β3

355 . γ arccos

1.1.8. Asupra unui corp rigid, raportat la sistemul de referinţă Oxyz,

acţionează un sistem de 4 forţe, aplicate în punctele ( )P m m1 2 1, ,− 0P m3 − ,

, ,

, , având expresiile analitice: ( )P m2 0 3 0, ,−

( )1 0 0, , P m m4 3 2,( )0

( )r r rF i1 200 3 4= − j , ( )j4i3800F2

rrr+−= , ( )r r r

F i3 400 3 4= − + j ,

( ) [ ]r r rF i1200 3 4= − j N4 .

a) Să se arate că cele 4 forţe sunt paralele între ele şi să se calculeze rezultanta lor.

b) Să se determine coordonatele centrului forţelor paralele şi ecuaţiile axei centrale.

c) Ce forţă rF5 trebuie aplicată suplimentar într-un punct Q al axei centrale,

astfel încât noul sistem de forţe ce acţionează asupra corpului să fie în echilibru?

Răspunsuri

a) ( )r r r[ ]rR i= −200 3 4 j e N , = 1000

rr re i j3

545

. = −

b) )m23 0, , z = 0 , (C m22 , [ ]57 m4 3 1x y+ = .

( )r r r rF i j5 200 3 4= − + = e1000− . c)

Fig. 1.1.10

Fig. 1.1.9

16 Statica - 1 1.1.9. Asupra tetraedrului OABC, având muchiile OA a= 4 , OB a= 8 şi perpendiculare între ele, acţionează ca în fig. 1.1.9 un sistem de 5 forţe, care se exprimă prin:

OC a= 6

rF OC1 = λ ,

rF CA2 = λ ,

rF AD3 = λ ,

rF DE4 = λ ,

rF EO5 = λ , unde

D şi E sunt mijloacele muchiilor AB, respectiv BC, iar λ este o constantă pozitivă. a) Să se arate că sistemul de forţe considerat se reduce la un cuplu de forţe şi

să se calculeze momentul cuplului rezultant. b) La ce se reduce un nou sistem de forţe aplicat tetraedrului, obţinut prin

adăugarea la vechiul sistem a forţei rF IJ6 = λ în C ? Punctul I se află pe muchia OA la

distanţa OI a= 3 , iar J se află pe OB la distanţa OJ a= 2 . În acest caz să se determine elementele torsorului de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală.

Răspunsuri

( )j k+ 4 . r r rM a i= +6 2 32λa)

r

b) rr rr r

R a= −3 λ λi a j+ 2 , MO = a k24 2λ , z = 0 , 2 3 24ax y+ = .

1.1.10. Se consideră prisma dreaptă din fig. 1.1.10, având ca baze hexagoanele regulate cu centrele O şi O′, pentru care se cunosc lungimile muchiilor şi

. Asupra prismei acţionează un sistem de 11 forţe, aplicate în vârfuri ale prismei ca în fig. 1.1.10, care se exprimă prin relaţiile:

AB = a2AA a′ = 3

rF AA1 = ′λ ,

rF A D2 = ′λ ,

rF DA3 = λ ,

rF BE4 = λ ,

rF EE5 = ′λ ,

rF E B6 = ′λ ,

rF CC7 = ′λ

r , F C H8 = ′ ′λ

r, F H C9 = ′λ

r , F HE10 = λ

rF BD11 = λ , ,

unde λ este o constantă pozitivă. a) Să se arate că primele 9 forţe ale sistemului sunt în echilibru. b) Să se determine elementele torsorului de reducere în O, torsorul minimal şi

axa centrală pentru sistemul de forţe ce acţionează asupra prismei. r

c) Ce forţă F12 trebuie aplicată suplimentar în punctul O′, astfel încât noul sistem de forţe să se reducă la un cuplu unic? Care va fi momentul cuplului rezultant în acest caz?

Răspunsuri

a) Primele 9 forţe din sistemul considerat se reduc la 3 cupluri de forţe, având momentele:

r rM DA1 1= ×

r rF , M BE F2 5= × ,

r rM H C F3 7= ′ × , a căror sumă

vectorială este nulă. r r rR a i a j= − +3 5λ λ

r r0 , 5 3 . 0x y+ =MO = 0 z , = ,

r r rb)

rF a12 3= λ i a j5− λ ,

r( )rM a= +3 52λ i j3 .

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 17 1.1.11. Asupra unui cub, având muchiile de lungime , acţionează sistemul

de 6 forţe din fig. 1.1.11, toate forţele având aceeaşi valoare F. l

a) Să se determine elementele torsorului de reducere în O, momentul minimal şi axa centrală pentru sistemul de forţe dat.

b) Dacă la sistemul de forţe considerat se adaugă un cuplu de forţe, având forţele sale situate în planul feţei OABC a cubului, ce valoare şi ce sens trebuie să aibă

momentul rM al acestui cuplu, astfel încât noul sistem de forţe să se reducă la o

rezultantă unică? Care va fi axa centrală în acest caz?

Răspunsuri

a) r rR Fk= 4 ,

kFjF2iF2MO

rrrrll +l= −

kFMR

, rrl= ,

2yx ==

M

l .

b) kFrrl−= ,

2y l== . x

1.1.12. Asupra unui cub, având muchiile de lungime l , acţionează un sistem de forţe, format din 4 forţe aplicate în vârfuri ale cubului ca în fig. 1.1.12, precum şi dintr-un cuplu de forţe, având forţele sale situate în planul feţei OABC a cubului şi

momentul rM . Se cunosc: F F1 4 3= ,

F F2 2= F F3 3, = , F F4 = λ , , λ fiind un parametru întreg pozitiv.

lFM =

a) Pentru λ = 2 să se determine elementele torsorului de reducere în O, momentul minimal şi axa centrală.

b) Pentru ce valoare a parametrului λ sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică? Care va fi axa centrală?

c) Dacă λ = 5, ce forţă rF5 trebuie

adăugată în E la sistemul de forţe considerat, astfel încât noul sistem de forţe să se reducă la un cuplu unic? Care va fi momentul acestui cuplu?

Fig. 1.1.11

Fig. 1.1.12

18 Statica - 1

Răspunsuri a) kF3jF4R

rrr−= , kF3iF5MO

rrrll +−= ,

r r rR Fj= −4 Fk3 MO , kF3iF5

r rrll +−= ,

5F9Rl

−=M ,

2512x l

= , . l5z = 4y3 +

b) λ = 5 ,

43x l

=4

5z l= . ,

rrF Fj= −5 4 , c) r r r r′ = + ×M M OEO O =F MO5 . 1.1.13. Un sistem de forţe ( )S1 , care acţionează asupra unui corp rigid, se

reduce la un torsor minimal complet, având elementele r rR F1 = i şi

r rM Fd1 = i , pe axa

centrală , care trece prin originea sistemului de referinţă Oxyz. Un alt sistem de

forţe se reduce la rezultanta unică

( )Δ1

)2(SrR2 de valoare F pe axa centrală , care

este situată în planul Oxy, trece prin O şi formează unghiul α cu axa Ox. Un al treilea sistem de forţe se reduce la un cuplu unic de moment

(Δ 2 )

( )S3

rM3 , paralel cu planul Oxy,

de valoare 3Fd şi formând unghiurile π 2 cu ( )Δ1 , respectiv π α2 + cu . Dacă asupra corpului rigid acţionează simultan cele trei sisteme de forţe, se obţine un nou sistem de forţe .

( )Δ 2

( )Sa) Pentru ce valoare ( )π se reduce sistemul de forţe ( )S la forma

cea mai simplă? În acest caz să se determine elementele torsorului de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală.

α1 0 2∈ ,

b) Pentru ce valoare ( )α π noul sistem de forţe se reduce la un cuplu unic? Care va fi momentul cuplului rezultant în acest caz?

2 0 2∈ ,

c) Pentru ce valoare ( )π0 2∈ , axa centrală a sistemului de forţe ( )S trece

prin O? La ce se reduce sistemul de forţe

α3

( )S în acest caz?

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 19 Răspunsuri

r r rR = +

32F i F j3

2 , ( )r r r

a) απ

1 3= , M FdO = i j− 3 , MR = 0 ,

y x3=

3z d2 3

3= − , .

b) α π2 = , r rM MO= .

c) απ

343

= , r r r′ = −R F i F j

232

, r r′ =M MO O , Fd2MR =′ , y x= − 3

, z = 0 . 1.1.14. Asupra unui corp rigid, raportat la sistemul de referinţă Oxyz,

acţionează un sistem de forţe , care se reduce la un torsor minimal complet cu

elementele

( )S1r rR F1 = i şi

r rM F1 di2= − pe axa centrală ( )Δ1 ce trece prin punctul

. Un alt sistem de forţe (A1 0 2, )d 0, ( )2S se reduce la rezultanta unică r rR F2 2= − j pe

axa centrală ce trece prin punctul ( )Δ 2 ( )A 0 0, , d2 . Un al treilea sistem de forţe (

se reduce la un cuplu unic de moment

)3S

( )r r r rM Fd i= + λj k2+3 , unde λ este un parametru

raţional. Dacă asupra corpului rigid acţionează simultan cele trei sisteme de forţe, se formează un nou sistem ( . )S

a) Pentru ce valoare λ1 a parametrului λ noul sistem de forţe se reduce la forma cea mai simplă? În acest caz să se determine elementele torsorului de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală.

b) Pentru ce valoare λ 2 a parametrului λ axa centrală a sistemului de forţe ( )S tece prin O? Să se determine şi în acest caz elementele torsorului de reducere în O, torsorul minimal şi axa centrală.

Răspunsuri r r

a) λ112

= , ( ) , r r rR F i j= − 2

rM FdO = ⎛

⎝⎜i j+ ⎞

⎠⎟12

, MR = 0 ,

y x= −2 , z d=

2 .

20 Statica - 1 b) λ 2 2= − ,

r r′ =R R , ( )r r r

′ =M FdOO 2−i j2 , i j , Fd5MR =′ ,

y x= −2 , z = 0 . 1.1.15. Asupra unui cub cu muchiile de lungime acţionează un sistem de

forţe. Reducând acest sistem de forţe în vârfurile sale B, D şi E, se obţin momentele rezultante:

l

rM BCB = λ1 ,

rM CDD = λ 2 ,

rM HEE = λ 3

1 λ 2 3

,

unde λ , , λ sunt constante pozitive (vezi fig. 1.1.15). a) Să se stabilească relaţiile dintre

λ1 , λ 2 şi λ 3 din condiţia ca cele 3 momente rezultante să verifice proprietăţile variaţiei torsorului de reducere cu punctul de reducere.

λ λ λ 3b) Pentru 1 2= = = F să se determine rezultanta sistemului de forţe, momentul rezultant în raport cu O, momentul minimal şi axa centrală. Să se calculeze coordonatele punctului Q din planul Oxy prin care trece axa centrală.

rc) Ce forţă FQ trebuie adăugată

sistemului iniţial de forţe în punctul Q, astfel încât noul sistem de forţe să se reducă la un cuplu unic? Care va fi momentul cuplului rezultant?

Fig. 1.1.15

Răspunsuri

λ λa) λ1 2

( )r r3= . =r r

R F i= + j k− , ( )ji2FMO

rrl= +− , lF

33

− , r

MR =

y4x5 +− ,

b)

y3

5z =−=l

⎟⎟⎞0,

35, ll .

⎠⎜⎜⎝

⎛3

4Q

( )r r r rF F iQ = − j k− + , ( )kji

rrr−+ .

3FMM R

rr l−==

c)

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 21 1.1.16. Se consideră piramida regulată VABCD, având ca bază pătratul

ABCD, vârful V şi toate muchiile de lungime l , asupra căreia acţionează un sistem de forţe. Momentele rezultante ale acestui sistem de forţe în raport cu vârfurile A, B şi C ale piramidei se exprimă prin relaţiile:

rM AVA = λ1 ,

rM AB ADB = +λ λ2 3 ,

rM FACC = 2

1 λ 2

,

unde λ , şi λ 3 sunt constante pozitive. a) Să se determine parametrii λ1 , λ 2 , λ 3 şi să se exprime analitic cele 3

momente rezultante în raport cu sistemul de referinţă Oxyz cu originea în centrul bazei, având axele Ox şi Oy paralele şi de acelaşi sens cu vectorii DA , respectiv AB .

b) Pentru sistemul de forţe considerat, să se determine elementele torsorului de reducere în O, momentul minimal şi axa centrală.

Răspunsuri

λ λ1 2= = λ32 2 2 2= F , a) ( )k2jiF2MA

rrrrl ++−= , ( )jiF2MM CB

rrrrl +−== .

(b) r rR Fi= −2 , )kj2i2FMO

rr r rl +−= + , iF2

rMR

rl− , =

2y l= ,

22z l

= .

1.1.17. Asupra unui corp rigid, raportat la sistemul de referinţă Oxyz, acţionează un sistem de forţe. Dacă se reduce acest sistem de forţe în O, se obţine o rezultantă unică. Dacă se efectuează reducerea în punctul ( )ll ,0,A , se obţine

momentul rezultant rMA de valoare , care formează cu axa Ox unghiul lF4MA =

α π1 4= . Făcând reducerea sistemului de forţe în punctul ( )0,4,3B ll rezultă un

moment rezultant rM ce formează cu axa Ox unghiul . Să se

determine: B ( )0 8−os ,α2 = arcc

a) rezultanta sistemului de forţe şi valoarea ei; b) expresiile analitice ale momentelor rezultante

rMA şi

rM B ;

c) ecuaţiile axei centrale.

Răspunsuri

( )r r r rR F i= +

22

3 4 j k+ 3 , F123,4= ; F17R =a)

22 Statica - 1

b) ( )kiF22MA

rrrl − , = ( )r r r

M F i j+4 3 ; B = −3 2

2

c) z x= =

)

y34

.

1.1.18. Asupra unui corp rigid, raportat la sistemul de referinţă Oxyz,

acţionează un sistem de forţe, pentru care se dau momentele rezultante în raport cu punctele A, B şi C după cum urmează:

( 0,2,2A ll , ( )k4j4i2FMA

rrrrl ++−= ,

( )lll 2,B , , ( )k7j4i4FMB

rrrrl ++= ,

( )ll 3,0,C , ( )k8j5i8FMC

rrrrl ++= .

Să se determine: a) elementele torsorului de reducere în O; b) momentul minimal şi axa centrală;

rc) forţa suplimentară FE şi punctul ei de aplicaţie E de pe axa Ox, adăugată

sistemului iniţial de forţe, astfel încât noul sistem să se reducă la o rezultantă unică paralelă cu Oz şi trecând prin punctul ( )0,,0D l . În acest caz să se determine noua rezultantă şi noua axă centrală.

Răspunsuri

a) j k+2 2 , ( )rrR F i= −

r r+ ( )k5iF2MO

rrrl += ;

b) lr

F6MR = ( )y54yz == x

52

−−l ; , x410 −−l

c) r r r

′ =r rF FE = −i Fj2 , l5xE = , R Fk2 , x = 0 , l=y .

1.1.19. Pentru amenajarea hidroenergetică a unui râu de munte, se construieşte

un baraj din beton armat, având forma unei prisme drepte, cu secţiunea transversală de formă trapezoidală şi cu dimensiunile geometrice din fig. 1.1.19. Se cunosc: lungimea barajului , înălţimea m30=l a m= 17 5, , lăţimea b m= 6 25, , densitatea medie a

betonului armat ρ , densitatea apei b kg m= ⋅7 4 103, 3 ρa = 10 kg m3

H m= 15 h m

3 , adâncimea

apei în amonte , în aval 1 25, , acceleraţia gravitaţională = g m s= 10 2

şi presiunea atmosferică p N m05 210= .

a) Să se reducă cele 3 sisteme de forţe paralele distribuite ce acţionează asupra barajului, şi anume forţele distribuite volumetric, datorită greutăţilor volumelor

1.1 - Reducerea sistemelor de forţe 23 elementare din compoziţia barajului, precum şi forţele distribuite pe suprafeţele plane laterale ale barajului, datorită presiunii apei din amonte şi aval.

b) Pentru întregul sistem de forţe ce acţionează asupra barajului, să se determine rezultanta, momentul rezultant faţă de centrul O al bazei barajului, precum şi axa centrală. Să se verifice stabilitatea barajului, determinând distanţa OI şi comparând-o cu b, I fiind punctul de intersecţie dintre axa centrală şi planul bazei.

c) Pentru cazul cel mai defavorabil de solicitare a barajului, în care în amonte apa urcă până la înălţimea barajului, să se verifice din nou stabilitatea barajului, determinând distanţa până la O a punctului J de intersecţie

dintre noua axă centrală şi planul bazei barajului.

Fig. 1.1.19

Răspunsuri

a) ⋅106 , G N= 364 22, x mC = 1 389, , z mC = 7 778, , 62 10 , 6 031F N1 4 2= ⋅, x m1 = − , , 0 613z m1 = , ,

610 , 6 25F N2 78 75= ⋅, x m2 = , , 6 429z m2 = , . r( ) [ ]N106 ,

r r rR i k= − +74 77 365 64, ,

r [ ]M jO = −6 5, Nm106 ,

[ ]b)

− + =74 77, ,x z OI6 5, m , m b= << . 0365 64 018,

( ) rc) [ ]

rr r′ = − +R i k110 86 365 64, , N106 ,

r [ ]′ = −M jO 350

OJ = <0 957,

Nm106 ,

m b .

1.1.20. Asupra unui cadru spaţial de greutate neglijabilă, raportat la sistemul de referinţă Oxyz, având forma şi dimensiunile din fig. 1.1.20, acţionează 5 sisteme de forţe distribuite, precum şi forţa concentrată

rF6 , aplicată în A, paralelă cu axa Ox de

valoare 5 2F . Forţele uniform distribuite pe arcul de cerc IJ sunt concurente în O, iar forţele uniform distribuite pe segmentul de dreaptă DE sunt paralele cu axa Oz′, care este a doua bisectoare a planului Oyz.

a) Să se reducă cele 5 sisteme de forţe distribuite, determinând rezultantele lor şi coordonatele punctelor lor de aplicaţie faţă de sistemul de referinţă considerat.

24 Statica - 1 b) Pentru întregul sistem de forţe ce acţionează asupra cadrului, să se

determine elementele torsorului de reducere în O, momentul minimal şi axa centrală.

Fig. 1.1.20

Răspunsuri

a) ( ) , r r rF F j k1 4= − C1 0

2,

⎝⎜ a2

−⎛ ⎞

a22

,⎠⎟ ,

r rF F2 k2= − , C a a4

3, , ⎞

⎠⎟ , 2 0⎛

⎝⎜

r rF Fj3 3= − , C a a1

9− ⎞

⎠⎟ , ( )r r r

0 2, ,⎛⎝⎜ ( )C a a a2 − , F F4 2= − j k+ , 3 4 , ,

r rF 5Fk5 4= , a a, − . ( )C a2 ,

b) r r r r rr

R F= − ⎛⎝⎜

i j+ ⎞⎠⎟

52

, rM Fa iO = −⎛

⎝⎜3 15

2j k− ⎞

⎠⎟2 , MR = 0 ,

4a , z a= 3 . 2 5x y− =

x R= cosθ y R= sin

1.2. Centre de greutate

1.2.1. Să se determine coordonatele faţă de sistemul de referinţă Oxyz din fig.1.2.1.a) ale centrului de greutate pentru un sfert de spiră dintr-o elice cilindrică, confecţionat din sârmă, care are ecuaţiile parametrice:

[ , θ , z R tg= θ α , ]π∈ 0 2,θ , unde R este raza cilindrului de înfăşurare, iar α este unghiul de pantă al elicei cilindrice.

Rezolvare

Fig. 1.2.1

Metoda I. În fig. 1.2.1.a este reprezentat arcul de elice cilindrică AD corespunzător unui sfert de spiră, precum şi cilindrul de înfăşurare al elicei cilindrice.

Deoarece lungimea elementară a arcului este:

( ) ( ) ( )ds dx dy dz R d= + + =2 2 2

cosαθ ,

se calculează uşor cu ajutorul integralelor atât lungimea arcului corespunzător unui sfert de spiră:

L ds R d R= = =∫ ∫

0

2

0

2

2

π π

αθ

παcos cos

,

26 Statica - 1 cât şi coordonatele centrului său de greutate:

xL

xdsR

R d R

yL

ydsR

R d R

zL

zdsR

R tg d R tg

C

C

C

= = =

= = =

= = =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1 2 2

1 2 2

1 24

0

2 2

0

2

0

2 2

0

2

2 2 2

π π

π π

π π

απ α

θ θπ

απ α

θ θπ

απ

αα

θ θπ

α

coscos

cos ,

coscos

sin ,

coscos

.0 0

Metoda II. Abscisa şi ordonata ale centrului de greutate C al arcului

de elice cilindrică AD coincid cu cele ale proiecţiei sale C′ pe planul Oxy, care mai reprezintă şi centrul de greutate al arcului de cerc AB din fig.1.2.1.a), care este un sfert de cerc de rază R. Ca urmare rezultă:

xC yC

OC R R′ = =

sinπ 4 2 2π π4

,

x y OC RC C= = ′ =cosπ

π42

zC

.

Cota a lui C coincide cu cea a proiecţiei sale C″ pe ax Oz, care este şi proiecţia pe Oz a centrului de greutate al segmentului de dreaptă AD din fig.1.2.1.b, reprezentând desfăşurarea plană a arcului corespunzător de elice cilindrică. Deoarece în această desfăşurare segmentul de dreaptă AB are lungimea arcului de cerc corespunzător, se obţine:

BD ABtg R tg= =απ

α , 2

z BD R tgC = =12 4

πα .

1.2.2. Se consideră o placă spaţială omogenă de forma şi dimensiunile din fig. 1.2.2, raportată la sistemul de referinţă Oxyz. Să se determine:

a) coordonatele x1 şi y1 ale centrului de greutate al suprafeţei din planul Oxy a plăcii;

b) volumele V1 şi V2 ale corpurilor de rotaţie obţinute prin rotirea completă a suprafeţei din planul Oxy a plăcii în jurul axelor Ox, respectiv Oy;

c) coordonatele centrului de greutate al plăcii.

1.2 - Centre de greutate 27 Rezolvare

a) Luând ca element de suprafaţă o fâşie paralelă cu axa Oy, de grosime

infinitezimală dx, se obţine:

A xa

x a dx a10

2

42 5

3= − +

⎝⎜

⎠⎟ =∫ ,

a 24 28⎛ ⎞

xA

xa

x a dx a11 0 4

2 57

= − +⎝⎜

⎠⎟ =∫ ,xa 241 10⎛ ⎞

y . A

xa

x a dx aa

11

2 2

0

412 4

2 5 10370

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∫

Fig. 1.2.2

b) Pe baza celei de-a doua teoreme a lui Guldin, rezultă:

V y A a1 1 132 412

15= =π

π ,

V x A a2 1 132 80

3= =π

π .

c) Pentru a folosi

formulele de calcul ale coordonatelor centrului de greutate în funcţie de cele ale centrelor de greutate parţiale, este necesar să se descompună suprafaţa plăcii în 6 părţi, care se numerotează după cum urmează:

1 - suprafaţa din planul Oxy ; 2 - suprafaţa dreptunghiului OBDE ; 3 - suprafaţa triunghiului OAE ; 4 - suprafaţa semicercului cu centrul în H, de rază 2a ; 5 - suprafaţa sfertului de cerc cu centrul în O, de rază 2a ; 6 - suprafaţa sfertului de cerc cu centrul în O, de rază a .

Pentru efectuarea cu acurateţe a calculelor, este recomandabil să se completeze tabelul urmator.

28 Statica - 1

Nr. crt. Ai xi yi zi Aixi Aiyi Aizi

1 28 2

3a 10

7a 103

70a 0

40 3

3a 206 3

15a 0

2 20 2a 0 52

a 50 3a 2a 0 40 3a

3 8 2a 4 a3

0 4 a3

32 3

3a 0 32 3a

3

4 −2 2πa 0 3a 12 8π − a

3π 0 −6 3πa − +

⎠⎟8

3π⎛

⎝⎜⎞16 3a

−πa2 0 8 a 5

3π8

3πa 0 −

8 3a 3

−83

3a

6 −π 2a −

1 3a 4

4 a 3π

0 4

3πa

30 −

33a 1

∑

448 3912

2− π a - - - 713

3a 916 90− π15

3a ( )53 8 3− π a

Din tabel rezultă imediat:

A A a a

xA

A x a a

yAC i i

i −=1 5 448 39πA y a a

ii

C i ii

= =−

=

= =−

=

= =−

=

=

=

∑

∑

∑

1

2 2

1

6

6

448 3912

27 123

1 284448 39

0 87

1 4 916 90 1 56

π

ππ

, ,

, ,

, ,

6

( )z A za

aC i i= =−

=∑1 12 53 81 03

6 π, .

A i −= 448 391 π

Se consideră corpul omogen de rotaţie, având greutatea

1.2.3.rG , reprezentat

în fig. 1.2.3 în semisecţiune mediană cu planul vertical Oyz. Volumul său se obţine prin rotirea completă a suprafeţei plane haşurate în jurul axei Oz. Pe lângă greutatea sa, asupra corpului mai acţionează ca în figură 4 forţe concentrate, având valorile: F F G10 2= = , F G3 = , F G41 2 = λ . Să se determine:

gol, având semiseca) înălţimea h a cilindrului ţiunea mediană OBDE, astfel încât centrul său de greutate să coincidă cu centrul de greutate al corpului;

b) distanţa d de la centrul de greutate al suprafeţei haşurate la axa Oz; ţe ce c) valoarea parametrului λ pentru ca axa centrală a sistemului de for

acţionează asupra corpului să treacă prin O.

1.2 - Centre de greutate 29 Răspunsuri

a)

( )

h r= 1 2, ;

d r r=91

b) +

=24

0 764π

, ;

λ = 2 .

1.2.4 – 12. Pentru fiecare pla plană omogenă, având forma şi dimensiunile intr-una din fig. 1.2.4 – 12, să se determine coordonatele centrului de greutate faţă de

sistemu

ăspunsuri

3 5

c)

căd

l de referinţă Oxy din figură.

R 1.2.4.

x a aC = −−

+ −= −

29

29 68 2 3

0 27ππ

, ,

( )y a aC = −

− −

+ −=

29

56 9 3

8 2 31156

π

π, .

Fig. 1.2.3 Fig. 1.2.4

30 Statica - 1

1.2.5.

Fig. 1.2.5 Fig. 1.2.6

Fig. 1.2.7 Fig. 1.2.8

x a aC = −+

= −18 9 2

0 46π

, , 127 y a aC = −

+= −

9 9 20 225

π, .

31

1.2.6. ( )x

aaC =

+=

9 40 6

π,

+ −48 12 3 5π , a12,0

531248a)13(8yC =π−+

+π= .

1.2.7. ( )( )

xa

aC =−−

=27 649 20

0 137π

π, , y a aC = −

−−

= −23

3 220 2

0 29ππ

, .

1.2 - Centre de greutate 31

1.2.8.

Fig. 1.2.10 Fig. 1.2.9

x a aC = −−

= −2

−3 460 056π

π, ,

13 3 y aC =

a −−3 46

0 2972 15π=

28π

, .

( )x a aC =

+=

289 12

0 2π

, , ( )

y a aC = −1.2.9. +

= −4

3 120 088

π, .

0.

x a aC =

−=

43 6 0 633π ,−3 19 2π

, y a aC = −−−3 19 2

= −2 31 9 0 143π

1.2.1π

.

1.2.11.

,

Fig. 1.2.12 Fig. 1.2.11

x a aC =−128 15−

=25 28 3

1 74ππ

, , a

=−

1628 3π

yC a= 0 86, .

32 Statica - 1

( )x a aC =

+=

445 1 6 2

1 7ln

, yC =1.2.12. , a a

+=

51 6 2

0 97ln

, .

.2.13. Se consideră ă ogen, raportat la sistemul de referinţ cuaţia

1 un arc de parabol om

y x a= 2 , pentru 0 22ă plan Oxy, având e ≤ ≤x a .

laterale a lor de rota e obţinute prin rotirea v Oy.

a) Să se determine coordonatele centrului său de greutate. b) Să se calculeze ariile le corpuri ţi

completă a arcului de parabolă considerat în jurul axelor Ox, respecti

Răspunsuri

) ( )

( )x a aC =−

+ +=

311 5 2

2 5 2 51 27

ln, , a ( )y aC =

− +

+ +=

8

18 5 2 5

2 5 2 50 82

ln

ln, .

b)

a

( )A Ly a aC1

2 2218 5

815 24= = =π π , ,

2 5− +ln

A Lx a aC22 22 11 5 2

323 66= =

−=π π ,

4. O linie plană omogenă, confecţ ă mul de referinţă Oxy, este constituită din arcul de parabolă de ecuaţie y ax2 2= pentru 0 ≤ ≤x

.

1.2.1 ionată din sârm , raportată la siste

2a şi din segmentul de dreaptă de ecuaţie x y a+ = 4 pentru 2 4a x a≤ ≤ . a) Să se determine coordonatele centrului său de greutate.

Să se calculeze aria corpului de rota t prin r leb) ţie obţinu otirea comp tă a liniei în jurul axei Ox.

Răspunsuri

) ( )

a ( )x a aC =+ −

+ + +=

8

96 2 18 5 2

4 2 2 5 2 51 886

ln

ln, ,

+ 5


( )y a aC =+ −

=12 2 11 5 2 114, . + + +3 4 2 2 5 2 5ln

A Ly aC= =+ −

=2 12 2 11 5 23

412 2π π a435, . b)

1.2.15. O placă plană omogenă, raportată la sistemul de referinţă Oxy, are suprafaţa sa cuprinsă între parabolele de ecuaţii y x a x a= − +2 3 2 şi y x a x a= − − −7 102 .

a) Să se determine coordonatele centrului său de greutate. b) Să se calculeze volumele V1 şi V2 ale corpurilor de rotaţie obţinute prin

rotirea completă a suprafeţei sale în jurul axelor Ox, respectiv Oy.

Răspunsuri a) , C = 0 2, . x aC = 2 5, y a

b) V a132

15=

π , V a2

353

=π

.

1.2.16. O placă plană omogenă, raportată la sistemul de referinţă Oxy, are suprafaţa sa cuprinsă între axele de coordonate şi arcul din primul cadran al elipsei de ecuaţie x a y b2 2 2 2 1+ = , corespunzătoare unui sfert de elipsă.

a) Să se determine coordonatele centrului său de greutate. b) Să se calculeze volumele V1 şi V2 ale corpurilor de rotaţie obţinute prin

rotirea completă a suprafeţei sale în jurul axelor Ox, respectiv Oy.

Răspunsuri

x aC =

43π

, y bC =

43π

. a)

b) V1

2

=ab23π

, V2

2

=a b23π

.

34 Statica - 1 1.2.17. Să se determine aria totală şi volumul unui tor semicircular, obţinut

prin rotirea completă a unui semicerc de rază r în jurul unei axe din planul său, care este paralelă cu diametrul său la distanţa a r4= π .

Răspunsuri

( )A r= +4 3 4 2π , V r r= =16

316 7553 3π ,

G F= λ

.

1.2.18. Asupra cadrului spaţial din fig. 1.2.18, constituit dintr-o bară omogenă îndoită ca în figură, raportat la sistemul de referinţă Oxyz cu axa Oz verticală, acţionează, pe lângă greutatea proprie de valoare , două subsisteme de forţe uniform distribuite pe lungimile arcului de cerc AB şi a segmentului de dreaptă DE, precum şi forţa concentrată

rF3 de valoare 3F,

aplicată în E după direcţia dreptei EB. Cunoscând ( )λ π= + =3 4 38,10 ,

1 6 38= , 2 3 69= ,λ şi λ , să se determine: a) coordonatele centrului de

greutate C al cadrului; b) rezultantele celor două

subsisteme de forţe distribuite şi coordonatele punctelor lor de aplicaţie;

Fig. 1.2.18

c) elementele torsorului de reducere în O, momentul minimal şi axa centrală pentru întregul sistem de forţe ce acţionează asupra cadrului.

Răspunsuri

a) x aC = =

4λ

a0 9, , y aC = =

λa0 228, , z a

C = =2λ

a0 456, ;

b) ( )F j k , r r rF1 6 38= +, C a1 0 2

2, ,

⎛

⎝⎜

⎞a2

2 ⎠⎟ ,


r rF Fj7 38= − , ( )C a a2 0, , , ; 2 2

c)

r rR Fi= −2 , ( )r r r r

M Fa i jO = + −4 38 4, , k12 76 , r rM FR = ai4 38, ,

6 38, , z a= −2 . y a= −

l2ABOBOA === l=PQF F F G1 2 3

1.2.19. Se consideră placa plană omogenă din fig. 1.2.19, cu greutatea de valoare G, raportată la sistemul de referinţă Oxy cu axa Oy verticală. Suprafaţa plăcii este delimitată de arcele de cerc OA şi AB, având centrele în B, respectiv în O, precum şi de segmentul de dreaptă OB. Pe lângă greutatea proprie, asupra plăcii mai acţionează 3 forţe concentrate în planul său, aplicate ca în figură în punctele P, Q şi în centrul de greutate C al plăcii. Cunoscând

, ,

Fig. 1.2.19

= = = , să se determine: a) coordonatele centrului de

greutate C al plăcii; b) elementele torsorului de

reducere în O şi ecuaţia axei centrale pentru sistemul de forţe aplicat plăcii.

Răspunsuri

a) l=Cx , l678,0= ; l334

5yC −π=

r rb) ( )rR G= 1MOi j− , kG178,

rrl , l178,1= . −= yx +

1.3. Echilibrul punctului material 1.3.1. Un punct material de greutate G se află pe suprafaţa unui cilindru

parabolic cu generatoarea orizontală, având ecuaţia z y a= 2 2 faţă de sistemul de referinţă Oxyz cu axa Oz verticală, orientată în sens ascendent. Dacă se cunoaşte coeficientul de frecare μ dintre punctul material şi legătură , să se determine:

a) poziţiile de echilibru ale punctului material pe legătură; b) reacţiunile legăturii asupra punctului material în poziţiile sale de echilibru

la limită.

Rezolvare Metoda I. a) Faţă de sistemul de referinţă considerat se exprimă uşor analitic

atât ecuaţia legăturii sub forma ( )x y z, , = 0f , cât şi rezultanta forţelor direct aplicate, care este greutatea punctului material. Din datele problemei rezultă:

za

− =2

0y2

, rr

R Gkd = − , astfel încât, pe baza condiţiei de echilibru:

X fx

Y fy

Z fz

X Y Z fx

fy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

μ

+ +

+ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≥+

2 2 22 2 2

11

, fz

∂∂

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

precum şi a ecuaţiei legăturii, se obţine: Ga

G y a2 2 2

11+ + μ

≥ , 02

2

≤ ≤z aμ .

b) Notând cu Tx , Ty , Tz proiecţiile pe axele de coordonate ale forţei de

frecare, care sunt necunoscute, se obţin condiţiile de echilibru la limită:

1.3 - Echilibrul punctului material 37

Tx = 0 , T yay − =λ 0 , T Gz + − =λ 0 , − + =

ya

T Ty z 0 ,

T T Ta

ax y z2 2 2 2+ + +y2=

μλ ,

din care, ţinând seama şi de ecuaţia legăturii, rezultă:

y a , z a=

μ2

= μ , λμ+2 2 21

=+

=Ga

y aG2

, 2

N fxx = =λ

∂∂

0 , N fy

Gy = =

+λ

∂∂

μμ

m1 2 , N f

zG

z = =+

λ∂∂ μ1 2 ,

T Gay Gy = = ±2 2 2

μy a+ +1 μ

, T , Gy

y aG

z =+

=+

2

2 2

2

21μ

μ 2μ+1=

GN , 2μ+1

fμ

=GF .

Metoda II. Se observă că proiecţiile pe axa Ox ale forţelor ce acţionează asupra punctului material sunt nule, astfel încât se poate studia echilibrul său numai în planul vertical Oyz. Condiţiile de echilibru ale punctului material aflat în orice poziţie

Fig. 1.3.1

( )P x y z, ,x =

pe legătură se vor exprima la fel ca şi în cazul când . Condiţiile de echilibru ale punctului material în planul Oyz, ţinând seama de fig. 1.3.1, devin:

0

− + =N Ff cossin 0θ θ , N Ff sin Gcosθ − = 0θ+ ,

tg dzdy

ya

θ = = , z =

F Nf

ya

2

2 ,

≤ μ , astfel încât rezultă:

F N tgy

f = θ Na

= , y a≤ μ , 02

z ; 2

≤ ≤aμ

a)

b) tgθ μ= , 21

cosμ+

, 1

=θ ( ) 2μ+=

1 ,

+=

Gtg1cos

GN 2θθ 21F

. μ+

=G

fμ

Se observă că această metodă conduce mai rapid la aceleaşi rezultate.

38 Statica - 1 1.3.2. Pe o circumferinţă din sârmă, situată într-un plan vertical, se află două

inele A şi B, fiecare de greutate G, legate între ele printr-un fir inextensibil de greutate neglijabilă. Cunoscând unghiul la centru 2α corespunzător firului întins şi coeficientul de frecare μ ϕ= tg dintre inele şi circumferinţă, să se determine:

a) valorile unghiului θ dintre verticală şi dreapta ce uneşte centrul O al cercului cu mijlocul D al firului întins, pentru echilibrul inelelor pe circumferinţă;

b) reacţiunile circumferinţei asupra inelelor şi efortul din fir în cazul echilibrului la limită al inelelor, dacă α π= 4 şi 0 4< <ϕ π .

Rezolvare

a) În fig. 1.3.2 s-au reprezentat forţele ce acţionează asupra inelelor în poziţia lor de echilibru la limită, când tendinţa de mişcare a sistemului format de ele este în sensul de coborâre al inelului A pe cerc. Din condiţiile de echilibru la limită pentru acest caz se va determina valoarea maximă a unghiului θ, iar valoarea sa minimă rezultă luând în considerare tendinţa de mişcare în sens contrar, astfel încât pentru echilibrul inelelor este necesar ca θ să ia valori cuprinse între θmax şi θmin .Ţinând seama de fig. 1.3.2, ecuaţiile de proiecţii ale forţelor ce acţionează asupra fiecărui inel pe

tangentele la cerc şi pe normalele corespunzătoare sunt:

Fig. 1.3.2

( )( )

G N tg SS N tg G

sin cos ,cos sin ,

α θ ϕ αα ϕ α θ

+ − − =− − − =

1

2

00

( )( )

N S GN S G

1

2

00

− − + =− − − =

sin cos ,sin cos ,

α α θα α θ

( )N S G1 0= +

din care se determină: ( )G2 0N S+ =sin cosα α θ , = + − =sin cosα α θ ,

( )( )

( )( )

S G G=− +

−=

+ −+

sincos

sincos

α ϕ θα ϕ

α ϕ θα ϕ

, tgθϕ

α ϕmaxsin

cos cos=

+2

2 2 .

Pentru tendinţa de mişcare în sens contrar a sistemului format de cele două inele se obţin aceleaşi ecuaţii de echilibru la limită, dar proiecţiile forţelor de frecare pe

1.3 - Echilibrul punctului material 39 tangentele corespunzătoare vor avea semne contrare faţă de cazul precedent. De aici rezultă imediat θ θmi = − . n max

b) Pentru α π= 4 se obţin următoarele rezultate:

θ ϕmax = 2 S G= , ,

( )N G12 1 2 2= + −cos sinϕ ϕ

2 , ( )N G2

22

1 2 2= + +cos sinϕ ϕ ,

ϕmin = −2θ , S G= ,

( )N G12 1 2 2= + +cos sinϕ ϕ

2 , ( )N G2

2 1 2 2= + −cos sinϕ ϕ2

,

μN1 , respectiv μiar forţele de frecare au valorile maxime N2

λ > 0

.

1.3.3. În absenţa câmpului gravitaţional, un punct material este atras de vârfurile unui paralelipiped dreptunghic, având muchiile de lungimi a, b şi c, cu forţe proporţionale cu distanţele de la punctul material la aceste vârfuri, factorul de proporţionalitate fiind .

a) Să se determine rezultanta sistemului de forţe ce acţionează asupra punctului material în funcţie de coordonatele sale faţă de sistemul de referinţă Oxyz, având originea în unul din vârfurile paralelipipedului şi axele de coordonate orientate după muchiile corespunzătoare.

b) Să se afle poziţia de echilibru a punctului material. c) Să se studieze echilibrul punctului material în cazul în care forţele ce

acţionează asupra lui din partea vârfurilor paralelipipedului nu mai sunt de atracţie, ci de respingere.

Răspunsuri

a) r r r rR a y j c z k= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

82

82

82

λ λ λx i b PM= 8λ ,

( )P x y z, , , M⎛⎝⎜

a b c2 2 2

, , ⎞⎠⎟

.

x a=

2 , y b

=2

, z c=

2 . b)

r′ = −R PM8λ .

c)

40 Statica - 1 1.3.4. Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală se află un corp B de

greutate P, legat ca în fig. 1.3.4 printr-un fir ideal de punctul cel mai de sus A al planului înclinat şi printr-un alt fir ideal de un corp de greutate Q, porţiunea până la scripetele mic din figură a acestui fir fiind orizontală.

a) Să se determine reacţiunea planului înclinat asupra corpului B şi efortul

din firul AB. b) Pentru ce valori ale greutăţii Q, corpul B se desprinde de planul înclinat?

Răspunsuri a) QsinN P= −cosα α , QT P= +sin cosα α . b) ctg> α . Q P

Fig. 1.3.5 Fig. 1.3.4

1.3.5. Un corp de greutate G se află în echilibru pe un plan înclinat cu unghiul

α faţă de orizontală, fiind ţinut în poziţia din fig. 1.3.5 prin două fire ideale, paralele cu planul înclinat, care formează unghiurile β şi γ cu linia de cea mai mare pantă a planului.

a) Să se determine reacţiunea planului înclinat asupra corpului şi eforturile din fire.

b) Pentru ce valori ale coeficientului de frecare μ dintre planul înclinat şi corp, acesta este menţinut în echilibru pe plan şi în cazul în care firele sunt tăiate?

Răspunsuri

a) cosN G= α , ( )

T GA =

sisin +

n sinα γβ γ

, ( )

T+sinG

B =sin

sinα ββ γ

.

b) μ α≥ tg .

1.3 - Echilibrul punctului material 41

1.3.6. Un inel de greutate G se poate mişca fără frecare pe un cerc din sârmă situat într-un plan vertical. De inel este legat un fir inextensibil şi de greutate

neglijabilă, care este trecut peste un scripete mic situat în punctul A cel mai de sus al cercului şi are legat la celălalt capăt un corp de greutate Q (vezi fig. 1.3.6).

Fig. 1.3.6

Să se determine poziţiile de echilibru ale inelului şi reacţiunea legăturii asupra sa pentru fiecare din poziţiile de echilibru determinate. Pentru ce valori ale greutăţii Q există aceste poziţii de echilibru ale inelului?

Răspunsuri

N Q G1θ π1 = ± , = − , ; 0Q ≥

θ2 22

= ± arcsin QG

N G2 = , . Q G< 2 ,

1.3.7. O bilă mică de greutate P se sprijină fără frecare pe o suprafaţă semisferică, la care planul diametral, ce conţine şi diametrul AB, este orizontal. De bilă este legat un fir ideal, care trece peste un scripete mic fixat în A şi are la celălalt capăt un corp de greutate Q (vezi fig. 1.3.7).

Să se determine poziţia de echilibru a bilei, relaţia dintre P şi Q pentru existenţa echilibrului, precum şi reacţiunea legăturii asupra bilei în poziţia sa de echilibru. Fig. 1.3.7

Răspunsuri

θ =+ +

28

4

2 2

arccosQ Q P

PP Q≥ , ,

( )NQ P Q

PP Q Q Q P=

+ −− + +

2 22 2 28

88 2 8 .

42 Statica - 1

1.3.8. Două bile mici A şi B, având greutăţile , respectiv , legate între ele printr-o tijă rigidă de greutate neglijabilă şi de lungime 2 , se află în echilibru fără frecare în interiorul unei semisfere de rază , aşa cum este reprezentat în fig. 1.3.8 în secţiunea cu planul vertical median, unde diametrul DE este orizontal.

G1 G G>2 1

l

l>R

Să se determine valoarea unghiului θ dintre tijă şi orizontală la echilibru, reacţiunile suprafeţei asupra bilelor,

precum şi efortul din tijă în poziţia de echilibru.

Fig. 1.3.8

Caz particular: şi G G2 12= 32R l= .

Răspunsuri

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=θ4

,0RGG

GGarctg22

21

12

l

l

( ) ,

21212

21

GGGR

GG2T l

+=

( )( )

, 22 G4l−

( )21

2221

2211

AGG4GGR

GGRGNl−+

+= ,

( ) 21212

212B

GGGGR

GGRGN+

+=

22 4l−

Caz particular: 6π

=β=θ 1G2T = 1A G3N = 1B G32N =, , , .

1.3.9. Un semicerc din sârmă, situat într-un plan vertical, este fixat ca în fig. 1.3.9 de un perete la capătul A al diametrului său AB, care formează unghiul

Fig. 1.3.9

α π≤ 3 cu orizontala. Pe semicerc se află un inel de greutate G, de care este legat un fir ideal ce trece peste un scripete mic fixat în B şi are la celălalt capăt un corp de greutate P.

a) Dacă frecarea dintre inel şi semicerc este neglijabilă şi P G= , să se determine poziţiile de echilibru ale inelului şi reacţiunea legăturii asupra sa în aceste poziţii.

1.3 - Echilibrul punctului material 43 b) Dacă frecarea dintre inel şi semicerc este caracterizată de unghiul de

frecare ϕ dat, să se determine valorile greutăţii P pentru care inelul rămâne în echilibru pe semicerc în poziţia sa în care θ α= 2 . Pentru ce valori ale unghiurilor α şi ϕ această poziţie de echilibru este posibilă?

c) Pentru α = 0 , ϕ π= 8 şi P G= , să se afle poziţiile de echilibru ale inelului pe semicerc.

Răspunsuri

αa) θ π α1 = − 2 , N1 0= , θ π2 = −

23

, N 2= − G3

sin α . 2

b) ( )( )P G≤ −

+cos 3α ϕ+α ϕ

, π

sinϕ α

23 , ≥ − α

π≤

3 .

( )2 2 3arctg + ≤ ≤ π .

P1 P2

l AB a

c) θ

1.3.10. Pe bara fixă OABD din fig. 1.3.10, îndoită în unghi drept în A şi B într-un plan vertical, respectiv într-un plan orizontal, având latura OA verticală, se află culisoarele

şi de aceeaşi greutate G, legate între ele printr-un fir inextensibil de lungime

Fig. 1.3.10

= =2 2 . Cunoscând coeficientul de frecare μ = 3 2

d P

dintre bară şi culisoare, să se determine valorile posibile ale distanţei

B= 1 pentru echilibrul culisoarelor pe bară, precum şi reacţiunile legăturilor la care sunt supuse cele două culisoare în cazul echilibrului lor la limită.

Răspunsuri

0 3≤ ≤d a T N N G= = =1 22 3

3F F Gf f1 2= = . , ,

44 Statica - 1 1.3.11 – 17. Un inel de greutate G este supus la legătura pe un arc de curbă

plană aspră, confecţionat din sârmă, având ecuaţia:

1.3.11. y a x , 0 2≤ ≤x aπ

a= sin

1.3.12. y a x , − ≤ ≤

π π2 2

a x a a

= cos

1.3.13. y xa

= x−2

3 , 0 3≤ ≤x a

1.3.14. ya

x=2 2 , − ≤ ≤a x a

1.3.15. y a exa= −

⎛

⎝ ⎠⎜

⎞⎟1 , ](x a∈ −∞ ,

1.3.16. xa a2 24

1+ =y2 2

, − ≤ ≤2 2a x a

1.3.17. y x x x= − −3 2

2a a23 2

, − ≤ ≤3 4a x a

faţă de planul vertical Oxy cu axa Oy verticală, orientată în sensul pozitiv ascendent. Cunoscând coeficientul de frecare la alunecare μ = 0 5, dintre inel şi curbă, să se determine poziţiile de echilibru ale inelului pe legătură, precum şi reacţiunile legăturii asupra sa în poziţiile sale de echilibru la limită.

Răspunsuri

1.3.11. xa

∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

π π3

23

U⎤⎦⎥

π π43

53

, , , N G=2 5

5, F Gf =

55

.

1.3.12. xa

∈ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

π π6 6

, , N G=2 5

5F Gf =

55

, .

1.3.13. xa

∈⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

54

74

, , N G=2 5

5, F Gf =

55

.

1.3.14. xa

∈ −⎡⎣⎢

18

18

⎤⎦⎥

, , N G=2 5

5, F Gf =

55

.

1.3.15. xa

≤ − ln ,2 N G=2 5

5, F Gf =

55

.

1.3 - Echilibrul pu material 45 nctului

1.3.16. ya

∈ − −⎡

⎣⎢

⎦⎥

⎣⎢

⎦⎥2 2

⎤ ⎡ ⎤1 2 2 1, ,U , N G=

2 55

, F Gf =5

5.

1.3.17. xa

∈ −−

−−⎡

⎣⎢ 2

⎤ + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

11 1 7 1 7 12

11 12

, , ,U⎦⎥2

N G=2 5 ,

5 F Gf =

5 .5

1.3.18. Un punct material de greutate G este supus la legătura bilaterală pe suprafaţa unui elipsoid cu ecuaţia:

x y z2 2 2

1+ + =a a a2 2 24 4

faţă de sistemul de referinţă Oxyz, având axa Oz verticală. Cunoscând unghiul de frecare ϕ π dintre punctul material şi legătură, să se determine: = 4

a) poziţiile de echilibru ale punctului material pe legătură şi reacţiunile suprafeţei asupra sa în poziţiile sale de echilibru la limită;

b) poziţiile de echilibru în cazul în care legătura punctului material pe suprafaţa elipsoidului este unilaterală;

c) reacţiunile suprafeţei asupra punctului material în poziţiile sale în care z a= 2 . Să se arate că în aceste poziţii punctul material se află în echilibru.

Răspunsuri

a) za

∈ − −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢1 5

5U

⎤

⎦⎥

55

1, , , N Ff= =2

G2 ;

za

∈⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

55

1, za

∈ −⎡

⎣⎢ 1 −

⎤

⎦⎥

55

, ;b) sau

c) N G=2 7

7, F Gf =

217

, α ϕ= <arctg 32

.

1.3.19. În punctele A, B şi C ale unui tavan orizontal, care formează un triunghi echilateral cu laturile de lungime a, sunt legate 3 arcuri elicoidale identice, având constanta elastică k fiecare. Celelalte capete ale arcurilor sunt legate de un corp punctiform P de greutate G. Ştiind că în poziţia de echilibru a corpului figura geometrică PABC este un tetraedru regulat, să se determine lungimea arcurilor în stare nedeformată.

46 Statica - 1

Răspuns

l a Gk0

66

= − ⋅ .

1.3.20. Pe catetele OA şi OB ale unui triunghi dreptunghic, confecţionat din sârmă, situat într-un plan vertical, având ipotenuza AB orizontală şi unghiul α π≤ 4 P1 P2

G G2

dat, se află inelele şi , de greutăţi , respectiv , legate între ele printr-un fir inextensibil de greutate neglijabilă (vezi fig. 1.3.20).

1

a) Dacă frecarea dintre inele şi legături este neglijabilă, să se determine valoarea unghiului θ dintre fir şi

orizontală, precum şi reacţiunile legăturilor asupra inelelor, în poziţia lor de echilibru. Care trebuie să fie raportul G G2 1 pentru ca, în poziţia de echilibru a inelelor, firul să fie orizontal? Care este valoarea unghiului θ pentru G G1 2= ?

Fig. 1.3.20

b) Dacă frecarea dintre inele şi legături este caracterizată de unghiul de frecare ϕ α< , acelaşi pentru ambele inele, să se afle valorile unghiului θ pentru echilibrul lor.

c) Pentru cazul particular în care GG G1 2= = , α π≤ 4 şi ϕ π= 12 , să se determine poziţiile de echilibru ale inelelor şi valoarea efortului din fir în poziţiile lor de echilibru la limită.

Răspunsuri

a) θ = −arctg GG

1

2

cossin

αα

α , T G G= +12 2cos α α

( )N G G1 1 2= + sinα

22 2sin ,

, ( )N G G2 1 2= + cosα ; GG tg

2

121 1= ≥

α ;

θπ

α= − ≥2

2 0 .

1.4 - Echilibrul corpului rigid 47

b) ( )( ) ( ) ( )

( )arctg

GG

arctgGG

1

2 sin1

2

cos cossin

α ϕα ϕ θ ϕ α

α ϕ++

− + ≤ ≤ − +−α ϕ

α ϕ− .

c) − ≤ ≤π

θπ

6 6 , T G=

12

.

1.4. Echilibrul corpului rigid

1.4.1. O bară omogenă de greutate G

şi lungime 2l se află în echilibru într-un plan vertical, în poziţia în care unghiul format cu planul orizontal este α, fiind simplu rezemată în punctele sale O, B şi D ca în fig. 1.4.1. Cunoscând distanţa

Fig. 1.4.1

= l<aBD , să se determine reacţiunile reazemelor.

Rezolvare

Metoda I. Ecuaţiile de proiecţii ale forţelor ce acţionează asupra barei faţă de sistemul de referinţă plan Oxy sunt:

N NB Dsin sinα− = 0 N G N NDα , O B− − + =cos cos 0α α , din care rezultă:

N N N GB D= = , . O

Se observă că forţele ce acţionează asupra barei formează două cupluri de forţe, astfel încât ecuaţia de momente pentru echilibrul barei se poate exprima în raport cu orice punct. Din această condiţie de echilibru se determină valoarea comună a reacţiunilor şi : NB ND

0cosGaNB − α =l ,

α== cosGa

NN DBl

.

Metoda II. În locul sistemului de referinţă Oxy se va considera Ox′y′, cu axa

Ox′ dirijată după axa barei, faţă de care ecuaţiile de proiecţii ale forţelor devin:

48 Statica - 1 N GO sin sinα− = 0 N GO B Dcos cos , N Nα α − + − α = 0

ND

, din care se obţin aceleaşi rezultate. Se constată că cele două metode prezintă acelaşi grad de dificultate, dar, în general, se recomandă alegerea sistemului de referinţă Ox′y′, deoarece în ecuaţia de proiecţii pe axa Ox′ dispar 2 necunoscute, adică reacţiunile şi , care sunt perpendiculare pe bară.

NB

1.4.2. Bara omogenă OA, de lungime 4a şi greutate 2G, îndoită la mijlocul său B sub unghiul π α− dintre cele două laturi ale sale, se află în echilibru într-un plan vertical, fiind încastrată în O în poziţia în care latura sa OB este orizontală. Pe lângă greutatea proprie, asupra barei mai acţionează ca în fig. 1.4.2, în planul său, un subsistem de forţe paralele şi linear distribuite pe latura BA, care sunt perpendiculare pe această latură şi au intensitatea maximă p în A, o forţă concentrată de valoare , aplicată la mijlocul laturii OB sub

unghiul α faţă de ea, precum şi un cuplu de forţe de moment M.

F2

a m= 0 6,

Fig. 1.4.2

Să se determine: a) rezultanta F1 a subsistemului de forţe distribuite şi poziţia C pe latura AB

a punctului său de aplicaţie; b) reacţiunile încastrării. Date numerice: , 3 G N200 , α π= , = p N m= 600 F kN2 1 5= ,

M Nm= 44, ,

.

Rezolvare a) În raport cu axa Bx′, dirijată după latura BA a barei, se obţine:

F pxa

dx paa

10

2

2=

′′ =∫ , ′ =

′′ ′ =∫x

Fpx

ax dx a

C

a12

431 0

2

.

1.4 - Echilibrul corpului rigid 49 b) În fig. 1.4.2 s-au reprezentat reacţiunile încastrării şi forţele direct aplicate

ce acţionează asupra barei, unde , în locul greutăţii barei aplicată în centrul său de greutate, s-au considerat greutăţile parţiale ale laturilor sale, ale căror puncte de aplicaţie se determină mai uşor. Condiţiile de echilibru ale barei faţă de sistemul de referinţă Oxy devin:

− + + =X F FO 1 2 0sin cosα α , Y F F GO − + − =1 2 2cos sin 0α α ,

( ) ( )− + + =α αM M Ga G a a F a x F a′2 2 0cos cos sinαO C1 2+ − − + , din care rezultă:

X pa FO = +sin cosα α2 a G FO , Y p= + −cos sinα α2 2

( )

,

M Ga pa F a MO = + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −3 2 42

2cos cos sinα α α3

X NO = 1012 Y NO

.

Pentru datele numerice din enunţ se obţine: 720 M NmO , 100 . = − = ,

1.4.3. Să se studieze echilibrul unui troliu omogen de greutate G, având razele tamburilor r şi R, aşezat pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul orizontal, asupra căruia acţionează ca în fig. 1.4.3 o forţă F paralelă cu linia de cea mai mare pantă a planului înclinat, aplicată la capătul unui fir ideal, înfăşurat pe tamburul de rază r al troliului. Se cunosc coeficienţii de frecare de alunecare μ şi de rostogolire s dintre troliu şi planul înclinat.

Fig. 1.4.3

Rezolvare

În fig. 1.4.3 s-au reprezentat sensurile pentru forţa de frecare de alunecare

şi pentru momentul de rostogolire corespunzătoare tendinţei de mişcare cu alunecare şi rostogolire a troliului în sus pe planul înclinat. Se alege sistemul de referinţă Oxy din figură, în planul vertical de echilibru al troliului, cu originea în punctul său de contact cu planul înclinat, faţă de care ecuaţiile de echilibru sunt:

Ff

F G Ff +

Mr

( )F R r GR Mr− =sinα 0 N Gcos 0 , − α = − =sin 0 . + − α ,

Din aceste ecuaţii se determină reacţiunile:

50 Statica - 1 N G cos F F G sinα , ( )= α , = − M F R r GR sinα , = + −rf

care trebuie să verifice condiţiile de echilibru cu frecare: F G G− ≤sin cosα μ α , ( )F R r GR sG+ − ≤sin cosα α .

Notând cu ϕ unghiul de frecare de alunecare şi cu μa arctg= r arctg s Rϕ = un unghi de frecare echivalent, corespunzător rezistenţei la rostogolire, din aceste condiţii rezultă:

( ) ( )G F Ga

a acos cosϕ ϕasin sinα ϕ α ϕ−

≤ ≤+

,

( ) ( )GR F GRr r−≤ ≤

+sin sinα ϕ α ϕR r R rr r+ +cos cosϕ ϕ

.

Deoarece, în general, s este foarte mic, raportul s/R va fi mult mai mic decât μ, astfel încât, pentru echilibrul troliului pe planul înclinat, forţa F trebuie să ia valori cuprinse între cel corespunzătoare echilibrului la limită, luând în considerare numai cele două tendinţe opuse de rostogolire ale troliului. Pentru acest caz, întâlnit frecvent în aplicaţii, condiţiile de echilibru se pot exprima sub forma:

( ) ( ) ( ) ( )G GR F GR Ga r r asin sin sin sinα ϕ α ϕ α ϕ α ϕ−≤

−≤ ≤

+≤

+R r R ra r r acos cos cos cosϕ ϕ ϕ ϕ+ +

,

pe baza cărora se pot analiza posibilităţile de mişcare ale troliului pe planul înclinat.

1.4.4. Pe un plan înclinat cu unghiul α π≤ 4 faţă de orizontală este fixat rigid un stâlp OA de lungime a, perpendicular pe planul înclinat. La capătul A al stâlpului este legată, printr-o articulaţie sferică fără frecare, bara omogenă AB, de lungime 4a şi greutate G, care se sprijină cu capătul B pe planul înclinat. Cunoscând coeficientul de frecare μ dintre bară şi planul înclinat, să se determine:

a) valorile unghiului θ dintre linia de cea mai mare pantă a planului

înclinat şi dreapta OB pentru echilibrul barei;

Fig. 1.4.4

b) poziţiile de echilibru ale barei şi reacţiunile legăturilor asupra sa în poziţiile sale de echilibru la limită, dacă valoarea coeficientului de frecare este

( )μ = +10 5 1 =9 0 644, şi α π= 4 .


Rezolvare

a) În fig. 1.4.4 s-au reprezentat forţa direct aplicată G şi forţele de legătură ce acţionează asupra barei într-o poziţie de echilibru, în care s-a ţinut seama că forţa de frecare Ff este perpendiculară pe dreapta OB în planul înclinat, deoarece se opune tendinţei de alunecare pe planul înclinat a capătului B al barei. Faţă de sistemul de referinţă Oxyz din figură, având axa Ox după linia de cea mai mare pantă a planului înclinat şi axa Oz perpendiculară pe acesta, ecuaţiile de proiecţii ale forţelor pe axele de coordonate sunt:

X F Gf− + =sin sinθ α 0 Y Ff+ =cosθ 0 Z N G+ − =cosα 0 , , . Pentru a putea calcula uşor momentele reacţiunii normale N şi al forţei de frecare faţă de axele de coordonate, este util să se calculeze braţele acestor forţe:

, OB . OB a a a= − =16 152 2 BB a′ = 15 sinθ a′ = 15 cosθ , De asemenea, pentru calculul momentelor greutăţii G faţă de axele de coordonate, este util să se descompună această forţă după axele planului vertical Oxz şi să se determine coordonatele centrului de greutate C al barei:

, x OC aC = ′ =015 cosθ2

y C C aC = ′ ′ =015 sinθ2

, z CC aC = ′ =

2 .

Ca urmare, ecuaţiile de momente faţă de axele de coordonate, pentru echilibrul barei, devin:

15 152

0Na Ya Gasin cos sinθ α θ− − = ,

Xa =15 0cosα θNa Ga Ga− + +12

152

cos sin cosθ α ,

152

F af15 0Ga− =sin sinα θ .

Din aceste ecuaţii şi din primele 2 ecuaţii de proiecţii ale forţelor se determină:

F Gf = 2

sin sinα θ X G G= −2

2sin sin sinα θ α , ,

N G= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

215

15cos sin cosα α θY G

= −2

sin sin cosα θ θ , ,

astfel încât, pe baza condiţiei de echilibru cu frecare de alunecare, rezultă:

52 Statica - 1

G G2 2

1515

sin sin cos sin cosα θ μ α α θ≤ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , θ θ θmin max≤ ≤ ,

θμ α

μ

μmax arcsin=

+−

15152

ctg arctg15

, θ θmin max= − .

b) Pentru valorile date pentru μ şi α se obţin rezultatele:

− ≤ ≤π

θπ

6 6 ,

( )N G G=

40

−=

2 10 50 27, , F Gf = =

28

0 177, G ,

X G G= −16

0 62,= −7 2

, Y G= ± = ±6

160 15, G ,

Z G=−

+⎛⎜

⎞⎟ =

2 3 24

1040

0 6, G⎝ ⎠

l2OB =

.

1.4.5. Bara omogenă OA, de lungime 2l şi greutate G, se află în echilibru într-un plan vertical, fiind articulată în O şi legată în A cu un fir trecut peste un scripete mic B, firul având atârnat la celălalt capăt un corp de greutate Q, ca în fig. 1.4.5. Scripetele B şi articulaţia O se află pe aceeaşi orizontală la distanţa . Neglijând frecările în articulaţii, să se determine valorile unghiului θ dintre bară şi orizontală pentru echilibrul barei, reacţiunea articulaţiei în poziţiile sale de echilibru şi să se precizeze valorile greutăţii Q

pentru care există aceste poziţii de echilibru.

Fig. 1.4.5

Răspunsuri

θ1

2 2

22

2=

+ +arccos

Q Q GG

, 2GQ0 ≤≤ ,

θ2

2 2

22

2=

− +arccos

Q Q GG

≥ 0 , Q ,


VG Q Q Q G

GO =− +2 2

2

2 2 2 2m , H Q G Q Q Q GO = − +

2 22 2 2mG2

2

( )Γ

.

1.4.6. Bara omogenă AB, de lungime l

şi greutate G, se află în echilibru în planul vertical Oxy, fiind rezemată fără frecare la extremităţile sale pe axa verticală Oy şi pe o curbă plană din acest plan, ca în fig. 1.4.6. Să se determine:

a) ecuaţia curbei ( )Γ faţă de sistemul de referinţă Oxy, astfel încât bara să se afle în echilibru în orice poziţie determinată de unghiul

[ )π0 2, dintre ea şi verticală; θ ∈

b) reacţiunile reazemelor în funcţie de θ şi în funcţie de abscisa x a punctului B pentru

curba ( )Γ determinată.

Fig. 1.4.6

Răspunsuri

a) ⎟⎟

2x-1l

, l⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

-12

y l≤≤ x ; 0

b) 22

x , A

x-2G

=tg2G

=Nl

θ 22 x-x3-

ll

. 22

2B

42G

=tg+42G

=N θ

1.4.7. Corpul omogen de rotaţie din

fig. 1.4.7, având greutatea G şi dimensiunile geometrice din figură, este simplu rezemat în B pe un perete vertical şi legat în A de punctul fix D, aparţinând aceluiaşi perete vertical, printr-un fir inextensibil de lungime r, egală cu raza cercului diametral al semisferei şi cu raza cercului de la baza conului, care formează corpul considerat. Să se determine:

Fig. 1.4.7

a) valoarea înălţimii h a conului, exprimată în funcţie de r, astfel încât centrul de greutate al corpului să fie în punctul O, centrul cercului bazei conului, comun cu cel diametral al semisferei;

54 Statica - 1

b) valorile unghiurilor ϕ şi α la echilibrul corpului; c) reacţiunea reazemului şi efortul din fir în poziţia de echilibru a corpului.

Răspunsuri

h r= 3a) ;

ϕ απ

= =6

; b)

c) N G=3

3 , T G=

l>R

2 33

.

1.4.8. Bara neomogenă AB, de lungime l şi greutate G, având densitatea proporţională cu distanţa de la un punct curent al barei la extremitatea sa A, se află în echilibru într-un plan vertical, fiind simplu rezemată ca în fig. 1.4.8 pe un perete vertical şi pe suprafaţa interioară a unui cilindru circular de rază cu generatoarea orizontală. Să se determine:

Fig. 1.4.8

a) poziţia centrului de greutate C al barei; b) valoarea unghiului θ dintre bară şi

verticală pentru echilibrul barei şi valorile lungimii l pentru existenţa acestei poziţii de echilibru;

c) reacţiunile reazemelor în poziţia de echilibru a barei.

Răspunsuri

a) 3

AC

( )

2l= ;

b) ll

4−

, R2arccos

22

=θ R<≤ l ; 3R

c) 22Rl

l−−

, 22

A R9

3GN =

22

2 . B

RR

3G2N

l−=


1.4.9. O placă plană omogenă de greutate G, având forma şi dimensiunile din fig. 1.4.9, se află în echilibru într-un plan vertical cu latura sa OA orizontală, fiind articulată în O şi legată în A de punctul fix B printr-un arc elicoidal vertical de constantă elastică k. Să se determine:

Fig. 1.4.9

a) coordonatele centrului de greutate al plăcii faţă de sistemul de referinţă Oxy cu axa Ox după latura sa OA şi axa Oy verticală, orientată în sens pozitiv ascendent;

b) deformaţia arcului până în poziţia de echilibru a plăcii;

c) reacţiunea articulaţiei în poziţia de echilibru a plăcii.

Răspunsuri

a) ( )

x aC =++

=52 93 6

ππ

a2 927, ,

y aC = −

+= −

86 π

a0 875, ;

b) Δl xa

Gk

GC= =5

0

V GO = 0k

5854, ;

c) 4146, , HO = 0 .

1.4.10. O placă plană omogenă de greutate G, având forma şi dimensiunile din fig. 1.4.10, se află în echilibru într-un plan vertical cu latura sa OA orizontală, fiind articulată în O şi legată în B de punctul fix E printr-un fir inextensibil, care formează unghiul α cu verticala. Patrulaterul OABD este un trapez dreptunghic, iar tangenta în B la arcul de cerc care delimitează placa este verticală. Să se determine:

a) coordonatele centrului de greutate al plăcii faţă de sistemul de referinţă Oxy, având axele dirijate după dreptele OA, respectiv OD;

b) valorile unghiului [ )α π0 2, pentru ca placa să poată fi în echilibru în poziţia considerată;

∈

c) reacţiunea articulaţiei şi efortul din fir.

56 Statica - 1

Fig. 1.4.10

Răspunsuri

a) l106,1332

xCl 32

π−−π

= = ,

ll 516,0

33213

=π−π−

=32

yC ;

b) 6

0 π<α≤ ;

c) T =−⎛

⎝⎜ ⎠⎟

0

6sin α

G⎞

553,π

,

V G G GO = −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −+

−0 553

6

0 106 33

, cos

sin

, cos sincos sin

απ

α

α αα α

, H GO =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

0 553, sin

sin

απ

α6

.

1.4.11. Bara omogenă AL, de greutate G şi lungime 2 , având atârnată greutatea Q la capătul său L, este articulată în A de un perete vertical şi ţinută în echilibru în poziţia perpendiculară pe peretele vertical prin firele inextensibile DE şi DF, legate între mijlocul D al barei şi punctele fixe E, respectiv F, aparţinând peretelui vertical. Ştiind că dreptele CE şi BF sunt verticale, că punctele A, B şi C se află pe aceeaşi orizontală şi cunoscând unghiurile

l

α α β β1 , 2 , 1 şi 2 din fig. 1.4.11, să se determine eforturile din fire şi reacţiunea articulaţiei.

Răspunsuri

( )TQ G

E =+

+2 2 2

1 2 1 2 1

sin cossin sin cos sin sin cos

α βα β β α β β

, 2

( )TQ G

F =+

+1 2 1 2sin sin cos sin sinα β β α2 1 1

1

sin coscos

α ββ

X T TA E F= +cos cos cos cosα β2β

,

α β1 1 2 2

Y T TA F E= −sin cos sin cosα β α ,

β2 2 1 1 Z Q G T TA E F , = + − −sin sinβ β1 2 .


1.4.12. Placa omogenă ABH din fig. 1.4.12, de forma unui triunghi dreptunghic isoscel şi de greutate G, este articulată în A de un perete vertical şi ţinută în poziţia de echilibru orizontală prin firele inextensibile BD, BE şi HE, care leagă placa de punctele fixe D şi E din acelaşi perete vertical. În prelungirea laturii HB a plăcii este legat un alt fir, care este trecut peste un scripete mic fixat în K şi are atârnată greutatea Q la celălalt capăt. Ştiind că patrulaterele ABHF şi ADEF sunt pătrate, să se determine eforturile din fire şi reacţiunea articulaţiei A. Pentru ce valori ale greutăţii Q placa rămâne în echilibru în poziţia dată?

Fig. 1.4.11

Fig. 1.4.12

Răspunsuri

( )Q3G232TBD −= ,

( )GQ333TBE −= ,

T GHE =2

3 ,

X Q GA =

−33

Y GA

,

= 2Z GA

, 2= − ,

G Q G3

23

≤ ≤ .

1.4.13. Bara omogenă AB, de lungime 2l şi greutate G, având atârnată

greutatea Q la capătul său B, se află în echilibru într-un plan vertical în poziţia în care formează unghiul α cu orizontala, fiind sprijinită ca în fig. 1.4.13 pe două reazeme

58 Statica - 1 aspre D şi E. Cunoscând distanţa dintre reazeme l<a , să se determine valorile coeficientului de frecare μ dintre bară şi reazeme, precum şi cele ale greutăţii Q, pentru echilibrul barei în poziţia considerată, dacă reazemul E se află la capătul său A.

Fig. 1.4.13

Răspunsuri Se notează 1>a λ=l . Dacă ( )μ αtg λ≤ −4 1 bara nu poate fi în echilibru în poziţia

considerată. Dacă ( )μ α λ≥ −tg 2 1 , bara va fi în echilibru pentru orice valoare a greutăţii Q. Între aceste valori, trebuie să fie îndeplinite condiţiile:

( )( )

Q G . tg

≥− −

>α μ

μ λ α2 1

4 10

l

tg− −λtg tgα

λμ

αλ4 1 2 1−

< <−

,

1.4.14. Bara omogenă AB, de lungime

şi greutate G, se află în echilibru într-un plan vertical Oxy, fiind rezemată fără frecare în D pe suprafaţa unui semicilindru circular de rază 2R l< şi cu frecare în A pe un plan orizontal, unde coeficientul de frecare este μ. Centrul O al semicercului de intersecţie a suprafeţei cilindrice cu

planul vertical de echilibru se află pe aceeaşi orizontală cu capătul A al barei, în care este legat un fir orizontal, trecut ca în fig. 1.4.14 peste un scripete mic S, având atârnată greutatea Q la celălalt capăt al său. Să se determine:

Fig. 1.4.14

a) valorile raportului Q G pentru echilibrul barei în poziţia sa în care unghiul format cu orizontala este α dat;

1.4 - Echilibrul corpului rigid 59 b) reacţiunile reazemelor pentru condiţiile de echilibru la limită al barei în

poziţia considerată.

Răspunsuri

( )a) ( )λ−μ+αλ≤≤αα sin1sinGQcos 2 ααcos , λ−μ−αλ sin1sin2

α<

2sin2

; =λ<R2

1 l

N GD = λb) αsin , N GA = −⎛⎝⎜1

2λ F N⎞

⎠⎟2αsin , f A= μ .

1.4.15. Un troliu omogen de greutate G, având razele tamburilor R şi r, este ţinut în echilibru pe un perete vertical aspru cu ajutorul unui fir inextensibil, legat între centul O al troliului şi punctul fix B din acelaşi perete vertical. Pe tamburul de rază r al troliului este înfăşurat un alt fir, care trece peste un scripete mic S şi are legat la celălalt capăt un corp de greutate Q. În fig. 1.4.15 s-a reprezentat troliul împreună cu legăturile sale în poziţia sa de echilibru, şi anume în planul vertical perpendicular pe peretele vertical de sprijin, în care unghiurile dintre primul fir şi orizontală, respectiv dintre porţiunea înclinată a celui de al doilea fir şi verticală, au aceiaşi valoare α dată.

Cunoscând coeficientul de frecare μ

Fig. 1.4.15

< 1 dintre troliu şi peretele vertical de spijin, să se determine:

a) valorile greutăţii Q şi ale unghiului α pentru echilibrul troliului, b) reacţiunile reazemului din A şi efortul din firul OB în cazul echilibrului la

limită al troliului.

Răspunsuri π

a) ( ) αμ−αμ−ααμ

≤≤Rcossinr

cosRGQ02cos

, απ

4 2≤ < ;

b) ( )

( ) αμ−αμ−ααμ+

=2cosRcossinr

sinRrGT , ( )

N Grr R

=− −

cossin cos cos

αα μ α μ α2

,

F Nf = μ .

1.5. Echilibrul sistemelor materiale 1.5.1. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 1.5.1.1), reprezentat

în secţiunea cu planul său vertical de echilibru Oxy, în care se găsesc: bara BD, axa de simetrie a corpului cilindric, centrul de greutate C al platformei dreptunghiulare, încastrată în O în poziţie orizontală, cei doi scripeţi, precum şi toate firele de legătură dintre corpuri. Pentru fiecare corp sunt indicate pe figură greutatea sa şi dimensiunile sale geometrice. Firul legat în I de corpul cilindric este orizontal, iar toate celelalte fire sunt verticale. Frecările dintre bara BD şi corpul cilindric, precum şi cele din articulaţiile scripeţilor, sunt neglijabile. Cunoscând r10a == l , ,

, G G1 7=

G G2 16= G G3 4= , G G , 4 40= Q G1 9= , Q G2 84= , Q G3 8= , să se determine: a) unghiul θ dintre bară şi orizontală la echilibru; b) valoarea maximă a razei R şi valoarea minimă a coeficientului de frecare

μ, pentru echilibrul la limită al corpului cilindric pe platformă; c) reacţiunile încastrării, pentru R r= 2 şi μ = 0 5, .

Rezolvare Metoda I. Metoda cea mai generală pentru studiul echilibrului unui sistem de

corpuri este metoda separării corpurilor, cu ajutorul căreia se determină atât poziţiile de echilibru ale sistemului, cât şi reacţiunile legăturilor exterioare şi interioare în poziţiile sale de echilibru, dacă problema este static determinată. Pentru aplicarea acestei metode, în această problemă nu mai este necesar să fie separate corpurile de greutăţi

, , şi scripetele fix de greutatea G, deoarece reacţiunile legăturilor la care sunt supuse aceste corpuri au valori ce rezultă în mod evident în poziţiile lor de echilibru, care sunt, de asemenea, evidente. Pentru celelalte 4 corpuri ale sistemului, reprezentate separat în fig. 1.5.1.2) – 5) sub acţiunea forţelor direct aplicate, care sunt greutăţile proprii, respectiv a reacţiunilor legăturilor, ecuaţiile de echilibru sunt:

Q1 Q2 Q3

N NB E− =sinθ 0 N G QcosE θ − − =1 1 0 , ,

( ) 0cosQ2Gcos

r8N 11E =θ+−θ

l N N Q FE B fsin , θ − + − =3 0 ,

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 61 N N GE− − =cosθ 2 0 ,

( ) ( ) = 0N cosNr4 EsinNhRQG E32tgr8hB θλ−−θ−−λ+θ− , H QA − =3 0 , V G QA − − =3 3 0 , F H Hf O A− − = 0 ,

V N Q V GO A− + − − =2 4 0 , ( )M aQ a N aG aVO A+ − + − − =3 2 4 02 4λ , din care se determină:

N G QE =

+1 1 , ( )N G Q tgB = +1 1 θ , ( )( )cosθ 11 Q2G +

113 QGr8 +cos =θ , l

N G G Q= + +1 2 1 , F Qf = 3 , ( )( )

121

2113

QGGtg21QGr4RQ

++θ+++

=λ ,

HA Q= 3 V G QA , = +3 3

2314321O QQQGGGGV − ,

H Q QO = − =3 3 0 , +++++= ,

( ) ( )( )+ + + + + −λM aG a G Q a G G Q aQO 2 4 34 3 3 1 2 1 2= + .

Fig. 1.5.1

Se observă că toate reacţiunile legăturilor rezultă ca funcţii de greutăţile corpurilor sistemului şi de parametrii de poziţie θ şi λ, care se exprimă în funcţie de datele problemei. Răspunsurile la întrebările din enunţ se obţin prin particularizare pentru valorile date ale acestor greutăţi şi ale dimensiunilor geometrice ale corpurilor.

62 Statica - 1 a) Pentru r10=l , G G1 7= şi Q G1 9= se obţine:

( )( )

cos3 8 7 910 7 18

64125

θ =++

=r G Gr G G

, o3754arccos ≅=θ .

b) Pentru echilibrul corpului cilindric pe platformă, în poziţia considerată a sistemului, este necesar să se impună condiţiile:

0 5< , 0≤λ r < ≤F Nf μ , din care, pentru θ determinat şi valorile greutăţilor din enunţ, rezultă:

λ =+

≤R r r17 5

4G , F Gf = ≤8 32μ , R r≤ 3 , μ ≥ =

1 0 25,4

.

Valorile extreme pentru R şi μ, corespunzătoare echilibrului la limită, se obţin luând egalitatea în ultimele 2 relaţii de mai sus.

c) Pentru R r= 2 , a r= 10 şi valorile greutăţilor din enunţ se determină λ, VO şi MO , deoarece HO = 0 , astfel încât rezultă:

λ =19r4

, , VO = 0 ( )M Gr GO r= + + − = −800 480 472 2520 768 .

Metoda II. În această problemă nu se cer reacţiunile legăturilor interioare,

prin urmare volumul de calcul va fi mult mai mic dacă se aplică metoda separării parţiale, prin care se separă subsisteme de corpuri din sistemul dat, având legăturile interioare rigidizate şi solidarizate de corpurile subsistemului considerat pentru rezolvarea fiecărui punct al problemei.

a) Primul subsistem trebuie să fie constituit numai din bara BD, care este în echilibru în panul vertical Bx′y′ sub acţiunea forţelor din fig. 1.5.1.2). Deoarece nu se cer reacţiunile reazemelor din B şi E, este suficient să se scrie ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe axa By′ şi ecuaţia de momente faţă de B, din care, după eliminarea reacţiunii NE , rezultă θ = arccos4 5. Acest rezultat ne arată că centrul de greutate al barei se află chiar în punctul E în poziţia sa de echilibru, deoarece

l=r10 . =θ= cosr8BEb) În fig. 1.5.1.6) s-a reprezentat al doilea subsistem de corpuri, constituit din

bara BD şi corpul cilindric, aflat la limita răsturnării în jurul punctului K şi la limita alunecării imprimate de forţa orizontală Q3 . Condiţiile de echilibru la limită devin:

Q Ff3 0− = N G G Q− − − =1 2 1 0 , , 5 7 0rG rG rQ RQ+ F N2 1 1 3− − = = μ , , f

din care se determină:

Ff = 8G , , N G= 32 ( )RGr

rmax =+ −

=80 7 63

3G8

, μmin = =8 1G

32 4G .

c) Deoarece valorile date pentru R şi μ îndeplinesc condiţiile de echilibru ale corpului cilindric pe platformă, sistemul de corpuri se va afla în echilibru în poziţia sa

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 63 în care unghiul θ are valoarea determinată. Pentru determinarea reacţiunilor încastrării, al treilea subsistem de corpuri va fi constituit din toate corpurile sistemului rămase după tăierea firului vertical legat în J de platformă. Subsistemul considerat trebuie să fie în echilibru sub acţiunea reacţiunilor încastrării, a greutăţilor corpurilor sale şi a efortului din firul tăiat, aşa cum este reprezentat în fig. 1.5.1.1), în care trebuie să se ţină seama de faptul că greutatea este aplicată chiar în punctul E, unde se află mijlocul barei BD în poziţia sa de echilibru. Prin urmare, ecuaţiile de echilibru devin:

Q2

G1

HO = 0 , V G G G G Q Q QO − − − − − + − =1 2 3 4 1 2 3 0( )

, ( ) ( )M aQ r G a r Q aG aG a R QO aG a+ − − + − + − − − + =3 42 2 12 2 4 4 01 1 4 3 3

M Gr GrO

, din care rezultă , iar momentul încastrării va fi: V HO O= = 0

( )= + + + + + − = −160 98 198 800 160 336 2520 768 .

1.5.2. Sistemul de

corpuri omogene din fig. 1.5.2, în care sunt indicate dimensiunile geometrice ale corpurilor, se află în echilibru în planul vertical Oxy, sub acţiunea greutăţii G a troliului, articulat la capătul A al grinzii orizontale OA de greutate neglijabilă, a greutăţii Q a sarcinii, a forţelor paralele orizontale de intensitate maximă p, distribuite ca în figură pe bara verticală BD de greutate neglijabilă, precum şi a forţei F, aplicată sub unghiul α la capătul E al pârghiei DE, de asemenea de greutate neglijabilă, care este articulată în D şi se găseşte în poziţie orizontală atunci când firul

inextensibil înfăşurat pe tamburul de rază 2r al troliului este întins. Neglijând frecările din articulaţii şi cunoscând coeficientul de frecare μ

Fig. 1.5.2

= πln7 dintre tamburul de rază 2r al troliului şi firul înfăşurat pe el, să se determine:

a) rezultanta F1 şi centrul C pentru forţele paralele distribuite; b) valoarea minimă a forţei F pentru echilibrul sistemului; c) reacţiunile încastrării din O a grinzii pentru F F= 2 min . Date numerice: , α = arctg3 r cm5 G N, 200 Q kN, 2 8, , = = = p kN m= 2 .

64 Statica - 1

Rezolvare a) În raport cu axa verticală By′ din fig. 1.5.2, dirijată după bara BD, rezultă:

F pr

y dy pdy pr pr prr

r

r

10

3

3

5

332

2 72

= ′ ′ + ′ = + =∫ ∫ ,

( )y yF

pyr

y dy py dypr

pr pr rC C

r

r

r

= ′ =′′ ′ + ′ ′

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + =∫ ∫

13

27

3 8 2271 0

3

3

52 2

2rFsin

.

b) Pentru determinarea valorii minime a forţei F, corespunzătoare echilibrului

la limită al troliului, datorită frecării firului înfăşurat pe tamburul său de rază 2r sub unghiul la centru de 180°, ar trebui să fie separate corpurile între care este legat acest fir, adică troliul şi pârghia DE. În această problemă nu se cer reacţiunile din articulaţiile A şi D ale corpurilor amintite, astfel încât este suficient să se considere tăiate porţiunile verticale ale acestui fir şi să se scrie ecuaţiile de momente faţă de articulaţii ale celorlalte forţe ce acţionează asupra acestor corpuri, în afara reacţiunilor din articulaţii, între care se numără şi eforturile T1 şi T2 din fir, aşa cum sunt reprezentate în fig. 1.5.2. Prin urmare, condiţiile de echilibru la limită ale acestor corpuri devin:

7 51rT rT 0α − − = rT , 2 2 02 1rT rQ , T T , e2 1= μπ− − =din care, pentru valoarea lui μ dată în enunţ, se determină:

T Q1 12= , T Q

2712

= , F Qmin sin

=3

7 α

+

.

c) Pentru determinarea reacţiunilor încastrării se impune aplicarea metodei

rigidizării sistemului în poziţia sa de echilibru, deoarece nu se cer reacţiunile legăturilor interioare. Prin aplicarea acestei metode, se obţin următoarele ecuaţii:

− + =H FO 1 F 0cos V G Q FO − − sinα + α = , 0M F y rFO C− −

, rG rQ rF− − + =1 10 0sin6 7 5 cosα α ,

din care, pentru şi cu valorile , , determinate anterior, rezultă: F F= 2 min Fmin F1 yC

H pr QctgO = +72

67

α ,

V G Q Q G QO = + − = +

67 7

,

M pr Gr Qr Qrctg Qr r pr G ctg QO = + + + − = + +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

11 6 7 307

607

11 6 30 117

2 αα

.

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 65 Pentru datele numerice din enunţ se obţin următoarele valori ale reacţiunilor

încastrării: H kV N

O

O

N

M NmO

==

115600

, ,,

= 95 .

1.5.3. Un fir omogen de greutate specifică lineară γ se află în echilibru în

planul vertical Oxy ca în fig. 1.5.3.1), un capăt al său fiind legat în punctul fix A, porţiunea sa BD fiind sprijinită fără frecare pe periferia unui disc circular fix, situat în planul de echilibru al firului, având centrul O şi raza R, iar ultima sa porţiune DE atârnă pe verticală.

1

P0Cunoscând ordonatele punctelor O şi din figură, fiind punctul cel mai de jos al porţiunii AB al firului,

1 P0

12π5=α , 65πβ = şi efortul în fir în punctul , să se determine:

Rγ=T0

P0

a) lungimea b a porţiunii DE a firului; b) lungimea totală a firului; c) abscisa xC a centrului de greutate C al întregului fir, aflat în poziţia sa de

echilibru.

Fig. 1.5.3

66 Statica - 1

Rezolvare a) Se ştie că ecuaţia curbei plane de echilibru a unui fir omogen greu faţă de

sistemul de referinţă Oxy, situat în planul său vertical de echilibru, având axa Ox orizontală la distanţa a de punctul P0 cel mai de jos al firului şi axa Oy verticală ce trece prin P0 este ( )y a ch x a= , iar efortul în fir în punctul său curent ( )P x y, este T y= γ . De aici rezultă imediat RT a0 = =γ γ , deci a R= . Ca urmare, efortul în fir la capătul B al porţiunii sale AB trebuie să fie:

( )T y R R RB B= = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=γ γ π β γ

32

2+ sin

TB

.

Pe de altă parte, aceeaşi valoare a efortului trebuie să rezulte din studiul echilibrului porţiunii de fir DB, care este supusă la legătura fără frecare pe o suprafaţă cilindrică. În fig. 1.5.3.2) s-a separat această porţiune de fir în poziţia sa de echilibru pe legătură, unde reprezintă greutatea a porţiunii DE. Asupra unui element de fir de lungime

TD = γds =

bRd

G3

θ acţionează greutatea sa dG ds= γ , reacţiunea normală dN a legăturii, precum şi eforturile din fir la capetele elementului considerat, dirijate după tangentele corespunzătoare la curba de echilibru a firului. Deoarece aici nu se cere variaţia reacţiunii normale N a legăturii cu unghiul θ, care este parametrul de poziţie al elementului de fir considerat, pentru echilibrul său este mai uşor să se scrie ecuaţia de momente ale forţelor ce acţionează asupra lui în raport cu O , astfel încât rezultă: 1

( )TR d R T dT+ − + =γ θ θ 0 , R2 cos T T . R d b RB D= + = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫γ θ θ γ

π

cos0

56

2TBÎn urma comparării acestui rezultat cu valoarea determinată anterior pentru , se

obţine b = R3 2 .

b) Lungimea totală a firului se compune din lungimea 1l a porţiunii sale AB, din lungimea 2l a arcului de cerc BD cu unghiul la centru β şi din lungimea 3l a porţiunii sale DE. Deoarece 2R3b3 ==l şi 6R5R2 π== βl , mai rămâne de determinat 1l , pentru care se prezintă în continuare 2 metode.

Metoda I. Ecuaţia curbei de echilibru a porţiunii AB a firului fiind cunoscută, se poate determina efectuând integrala din ds pe această curbă între punctele B şi A, astfel încât se obţine:

1l

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 67

( ) ( ),13R231132R

1Ry1

RyR

axsh

axshadx

axchdx

dxdy1

2

2

2B

2

2ABA

x

x

x

x

2

1

A

B

A

B

+=⎟⎞

⎜⎛ +−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫∫l

⎠⎝

unde ordonata punctului A s-a determinat din condiţiile: T T RA cosα γ= =0 ,

( )y T R RAA= = = +2 3 1γ αcos

.

Metoda II. Deoarece greutatea porţiunii de fir AB este 11G lγ= , se poate determina mai uşor lungimea sa din ecuaţiile de proiecţii pe orizontală şi pe verticală ale forţelor ce acţionează asupra sa în poziţia sa de echilibru, care sunt eforturile din fir la capetele sale şi greutatea . În fig. 1.5.3.1) s-au reprezentat aceste forţe, în cazul în care firul este secţionat în B şi porţiunea sa AB este rigidizată în poziţia sa de echilibru. Din această figură rezultă:

G1

( ) 0sinR2cosyA =β−πγ−αγ , ( ) 01cosR2sinyA =γ−β−πγ+αγ l ,

( )y R= +2 3 1A , ( )R132 +=l1 .

Lungimea l a întregului fir va avea valoarea:

( ) R582,913253R =⎟⎞

⎜⎛ ++

π+=l

62 ⎠⎝ .

c) Ecuaţia de momente ale forţelor ce acţionează asupra porţiunii de fir AB în

raport cu proiecţia B′ a punctului B pe axa Oy este: ( ) ( ) 0xR2yRcosRx2sinxy 11ABAAγ +α γ β−π γ− − − γ =l ,

din care, după determinarea absciselor şi : xA xB

( )yA + + +3 6x R chR

RA = =arg ln 2 2 ,

( )x R ch RB = = − +arg ln2 2 3 ,

se obţine: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .R626,0R22632ln36322ln32x1 =−+−+−++++

=132 +

68 Statica - 1 Abscisa a centrului de greutate al arcului de cerc BD şi abscisa a celui

al porţiunii verticale a firului vor fi: x x32

( )

( )

x x R R

R R

B223

22 2

2 3 32

25

2 31

= − − − =

= − + + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

cos sin cos

ln , ,

π ββ

β β

π

( ) ( )x x R R R RB3 2 3 32

1 3 183= − − − = − + + +⎛⎜

⎞⎟ = −cos ln ,π β

⎝ ⎠ ,

astfel încât rezultă: ( ) ( ) R772,0R183,35,131,265626,0132xxxx 332211

C −=⋅−⋅π−⋅+

=++

=lll

582,9l

l

l

.

Fig. 1.5.4

1.5.4. Bara omogenă OA, de lungime 2 şi greutate G, este articulată în O şi se sprijină pe capătul B al barei identice BD, care este articulată la mijlocul său C şi are atârnată greutatea Q la celălalt capăt. Ştiind că articulaţiile O şi C se află pe aceeaşi verticală la distanţa =OC şi neglijând frecările, să se determine:

a) valorile unghiului θ dintre bara OA şi verticală în poziţiile de echilibru ale sistemului şi valorile greutăţii Q pentru existenţa acestor poziţii de echilibru;

b) reacţiunile legăturilor în poziţiile de echilibru determinate.

Răspunsuri

a) θ1 0= , θ π2 = , ∀ ≥Q 0 ; θ4

ccos GQ

, 3 = ar QG

>4

;

b) θ θ= 1 2, : H H NBO C= = = 0 , V GO = , V G QC = + ;

θ θ= 3 : NB = −12

16Q G2 2 , H H GQO C= =

816Q G−2 2 ,


V G Q GO = − +2

2

Q8 , V G Q G

C = + −32

Q8

G1 G2

.

1.5.5. Barele omogene AB şi BC, de greutăţi , respectiv , articulate între ele în B şi la celelalte capete în punctele fixe A, respectiv C, se află în echilibru ca în fig. 1.5.5, unde articulaţiile A şi C sunt situate în planul orizontal Oxy, iar articulaţia B se sprijină pe peretele vertical Oxz în punctul corespunzător de pe axa Oz. Ştiind că punctele O, A, B şi C pot fi considerate ca vârfuri ale unui cub, să se determine reacţiunile tuturor legăturilor, dacă reazemul din B este aplicat:

a) barei AB; Fig. 1.5.5 b) barei BC; c) fusului articulaţiei comune

pentru cele două bare.

Răspunsuri

NB X XG G=

+1 2

2 , YA C C= = = 0 , YA

G G= −

+1 2

2 ,

Z G GA = +1

2

2 , Z G

C = 2

2

X YB B=

;

a) = 0 , G

= − 2 ; ZB 2

b) XB = 0 , Y G GB =

+1 2

2 , Z = − 2 ;

GB 2

X X1 2=c) Y2 0= = , Y G G1 =

1 2

2+

, Z Z G1 2

2= − . 2

= −

70 Statica - 1 1.5.6. Bara AB de lungime l şi greutate neglijabilă este articulată în punctul

fix A dintr-un plan orizontal şi se sprijină pe un disc circular omogen de rază R şi greutate G, care, la rândul lui, este rezemat în punctul E pe acelaşi plan orizontal şi în

punctul D pe muchia unui prag de înălţime . Sistemul astfel format se află în echilibru într-un plan vertical ca în fig.1.5.6, în care unghiul

h R<

Fig. 1.5.6

2 2α < π dintre bară şi orizontală este cunoscut, sub acţiunea unei forţe orizontale F, aplicată la capătul B al barei.

a) Să se determine valorile forţei F şi ale înălţimii h pentru care sistemul de corpuri se află în echilibru în poziţia dată.

b) Pentru ce valori ale înălţimii h a pragului, sistemul se află în echilibru, oricât de mare ar fi valoarea forţei F ?

c) Pentru α π= 6 şi h R= 2 să se determine reacţiunile tuturor legăturilor.

Răspunsuri

( )a)

( ) ( ) α2cos ,

−−α−−

α≤<

hR2h2sinhRhR2h

sin2RGF0 2l

( )h R< −1 2α

( )h R≥ −1 2

cos

. b) cos α .

c) R2F

Dl

= , N GE ( )R43 −l , R4FHA =

R4Fl

−= . NNC = = , VA

1.5.7. Grinda cu zăbrele din fig. 1.5.7, având dimensiunile geometrice din figură, la care laturile paralele ale trapezului isoscel ABCD sunt orizontale, se află în echilibru într-un plan vertical sub acţiunea greutăţii Q a unui corp atârnat în A. Să se determine:

a) reacţiunile legăturilor exterioare; b) eforturile din bare cu metoda separării nodurilor; c) eforturile din barele 4, 5 şi 6 cu metoda secţiunilor.


Răspunsuri

a) H H1 = − =Q

2 , V Q1 2= , 2V Q= − ; 2

b) T Q12

2= , T Q2

32

= , T Q334

= , T T Q4 85

2= = ,

T Q5 = −134

, T Q63 5

4= , T Q7

1.5.8. Pentru grinda cu zăbrele din fig. 1.5.8, având toate barele de aceeaşi

lungime, aflată în echilibru într-un plan vertical sub acţiunea forţelor exterioare orizontale sau verticale din figură, să se determine:

a) reacţiunile legăturilor exterioare din O şi A; b) eforturile din barele 4, 5 şi 6, respectiv 8, 9 şi 10, folosind metoda

secţiunilor.

12

= − .

Fig. 1.5.8

Fig 1 5 7

72 Statica - 1

Răspunsuri a) H FO = − , V FO = 2 , N FA = ;

b) T43 3

=− F3

, T F5 3= − , 2 3 T F6 3

= , 2 3 T T T F9 8 10 3= − = − = .

1.5.9. Un corp de greutate un perete vertical aspru, pe care este apăsat datorită unei forţe orizo a capătul B al barei AB articulată

A, al cărei efect de apă ite prin altă bară OC, articulată la capete între locu corpului. Sistemul astfel format se află

ţia din fig. 1.5.9, în care articulaţiile O şi A se pe acee , AB un şi orizontallijând icula ile barel

recare μ dintre corp şi peretele vertical, să se determine: a) valorile forţei F pentru echilibrul sistemului de corpuri în poziţia

conside

3

G se sprijină pentale F, aplicată l

în sare se transmmij l C al barei AB şi centrul de greutate al în echilibru într-un plan vertical în poziaflă aşi orizontală 2= OC , iar ghiul α dintre bare ă este dat. Neg frecările în art ţii şi greutăţ or şi cunoscând coeficientul de f

rată; b) reacţiunile articulaţiilor O, C şi A, precum şi ale peretelui vertical asupra

corpului, dacă forţa F are valoarea minimă corespunzătoare echilibrului sistemului în poziţia dată.

Răspunsuri

a) G

tgF

tgα μ α μ+≤ ≤

− , μ α< tg ;

G

b) H H N Gtg

=+α μ

, , O C= = HA = 0

V V GtgO C= V

tgA= =+α

α μ ,

F Gtgf = +μα μ

.

1.5.10. Un disc circular omogen de rază R şi greutate G se sprijină pe un

perete vertical aspru, pe care este apăsat datorită unei forţe verticale F, aplicată la capătul B al barei AB articulată în A, al cărei efect de apăsare se transmite prin altă

Fig. 1.5.9


OC, articulată la c rei AB şi centrul discului. Sistemul de corpuri astfel format se află în echilibru într-un plan vertical în pozi fig. 1.5.10, în care articulaţiile O şi A sunt situate pe aceeaşi orizontală, , iar unghiul α dintre bare şi orizontal este dat. Cunoscând coeficie re de lunecare μ şi cel de rostogolire s R

OC, articulată la c rei AB şi centrul discului. Sistemul de corpuri astfel format se află în echilibru într-un plan vertical în pozi fig. 1.5.10, în care articulaţiile O şi A sunt situate pe aceeaşi orizontală, , iar unghiul α dintre bare şi orizontal este dat. Cunoscând coeficie re de lunecare μ şi cel de rostogolire s R

bară apete între mijlocul C al bară apete între mijlocul C al baţ2=AB

ntul de frec

ţ2=AB

ntul de frec

ia din OC

a

ia din OC

aăă< μaa dintre disc şi peretele vertical, iar greutăţile

arelor şi frecările din articulaţii fiind neglijabile, să se determine:

F, corespunzătoare echilibrului la limită al ului în poziţia dată;

ba) valorile forţei F pentru echilibrul sistemului de corpuri în poziţia

considerată; b) reacţiunile tuturor legăturilor pentru valoarea minimă a forţei

sistemc) reacţiunile legăturilor pentru F G= .

Răspunsuri

a)

RGtg

Rtg sF RGtg

Rtg sα

αα

α+≤ ≤

− ,

s R

Fig. 1.5.10

tg< α , μ α< tg ;

b) H H H N RG= = = = ,

Rtg sO C A D +α

V V RGtgRtg sO C= =

+α

α , VA = 0 ,

F sG Nf = < μ , M sNr D= ; Rtg s D+α

c) H H H N GctgO C A D= = = = α , V VO C G= = , V FA Mf r= = 0 . =

1.5.11. Sistem mogene din fig. 1.5.11, format din bara AB de lungime l şi greutate G şi dintr-un disc circular de rază R şi greutate 9G, articulate

le în centrul discului a capătul B al barei, se află în echilibru într-un plan ical, astfel încât unghiul dintre bar ontală are valoare

ul de corpuri o

între e şi lvert ă şi oriz a ( )lRarccos=α .

jină pe un plan orizontal aspru, iar frecările din reazeperete vertical şi din articulaţia B sunt neglijabile.

a) Ce valo e ntru coeficienţii de frecare de alunecare μ şi de rostogolire s dintre disc şi planul orizontal, astfel încât sistemul să se găsească

chilibru în poziţia dată?

Discul se spri mul A al barei pe un

ri trebuie să fi asigurate pe

în e

74 Statica - 1 b) Să se determine reacţiunile tuturor legăturilor pentru echilibrul la limită al

sistemului în poziţia considerată.

Răspunsuri

a) ( )22 R20 −≥μ

l ,

22 RR −l

( )22 R20s

−≥

l .

222 RR −l

b) 2 B2

22

fBA RR

2GRFHN

−−

===ll

, V G= , N GC = 10 ,

22

222

r RR

2GRM

−−

=ll

.

1.5.12. Sistemul de 2 bare omogene din fig. 1.5.12, de lungime l şi greutate

G fiecare, articulate între ele la câte un capăt şi având celălalt capăt articulat în punctul fix O, respectiv rezemat în B pe un plan orizontal, se află în echilibru într-un plan vertical, astfel încât unghiurile dintre bare şi orizontală au valorile α şi β date, pentru care tg tgα β> 3 .

Fig. 1.5.12 Fig. 1.5.11

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 75 a) Neglijând frecările, să se determine valoarea forţei orizontale F, aplicată la

capătul B al barei AB, pentru echilibrul sistemului în poziţia dată. b) În absenţa forţei F, pentru ce valori ale coeficientului de frecare μ dintre

bara AB şi planul orizontal va rămâne sistemul în echilibru în poziţia considerată? c) Pentru α π= 5 12 , β π= 12 şi ( )μ = +3 1 4 să se verifice dacă sistemul

se află în echilibru, iar în caz afirmativ să se determine reacţiunile legăturilor în această poziţie de echilibru.

Răspunsuri

a) F Gtg tg

=−α β

.

μα βtg

. b) ≥−2

3tg

μ μ= min , F H H Gf A O= = =3

6 , V GA =

33

, c)

( )NB = −3 3 , G (3 )V G

O = +3

3 3 .

uă corpuri paralelipipedice de greut , sunt legate prin articulaţii cilindrice fără frecare în ele tijei omogene AB, de greutate 2G, şi se sprijin ă plane înclinate cu unghiurile α, respectiv β, faţă , pentru care sunt date

1.5.13. Do ăţi G1 , r

ă pe dou de orizontală

espectivtate la capet

G2

centrele lor de greu

4 şi α ≤ π β = π α−2 . Sistemul de corpuri astfel format se află în echilibru într-un plan vertical ca în fig. 1.5.13.

a) Dacă frecările dintre corpuri şi

precum reacţi nile

planele înclinate sunt neglijabile, să se determine valoarea unghiului θ dintre tijă şi orizontală în poziţia de echilibru a sistemului, şi u legăturilor interioare şi exterioare sistemului. Ce relaţie trebuie să fie verificată între greutăţile celor 3 corpuri, astfel încât sistemul să fie în echilibru în poziţia în care tija este orizontală? Care este valoarea unghiului θ în poziţia de echilibru a sistemului pentru G G G1 2= = ?

Fig. 1.5.13

76 Statica - 1 b) Dacă frecările dintre corpuri şi planele înclinate sunt caracterizate de

unghiul de frecare ϕ α< , acelaşi pentru ambele reazeme, să se afle valorile unghiului θ pentru echilibrul sistemului.

c) Pentru cazul particular în care G G G1 2= = , α π= 4 şi ϕ π= 12 să se determine valorile unghiului θ şi reacţiunile legăturilor în poziţiile de echilibru la limită ale sistemului.

Răspunsuri

( )( )

θαα

α=++

−arctgG GG G

2

1

cossin

a) , ( )G G G+ +2 1 2 sin cosα α

G ,

H HA B= = ,

( )V G G GA = + +2 1 22cos α − 1 ( )V G G G GB = + + −2 1 2

22sin α ,

( )N G G G1 1 22= + + cosα , ( )G G G2 1 22= + + sinα ; NG GG G

tg++

=2

1

2α ; θπ

α= −2

2 .

( ) ( ) ( ) ( )( )

b) ( ) ( ) ( ) ( )

arctgG GG G

+ −+ −

+ −1

cosnα ϕα ϕ

ϕ α .

arctg≤ ≤θG GG G

2

1 si+ ++ +

− +2 cossin

α ϕα ϕ

α ϕ

θπ

max = 6 , H H GA B= = 3 , V GA = 2 , VB = 0c) ,

( )N G1

22

3 3= + , ( )F Gf1

22

3 3 , = −

( )N G2

22

3 1= + , ( )3 1= − ; F Gf 2

22

θπ

min = −6

,

H H GA B= = 3 , V GB = 2 , ( )3 1= + , N G1

22

( )F Gf1

22

3 1= − ( )N G2

2 3 3= + , , 2 ( )F G

f 22 3 3= − .

1.5.14. Sistemul d ogene din fig. 1.5.14 se află în echilibru într-

un plan vertical, în poziţ ghiul fo cu orizontala de bara OA, articulat la capete în punctul fix O centrul de greutate al corpului 2, are valoareaα dată.

2

e 3 coia sa rmat

rîpuri n carşi în

ome un

ă Cunoscând greutăţile G1 , G2 , G3 ale celor 3 corpuri, coeficientul de frecare

μ1 dintre corpul 3 şi planul orizontal pe care se reazemă, coeficientul de frecare μ2 dintre corpurile 2 şi 3 şi neglijând frecările din articulaţii, să se determine:

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 77 a) valorile forţei orizontale F, aplicată ca în figură asupra corpului 3, pentru

ilibrul sistemului în poziţia dată; b) valoarea forţei F şi reacţiunile articulaţiilor pentru echilibrul la limită

sistemul n

ech al

ui î poziţia considerată, dacă: G G1 2= , G G2 = , G G3 4= , μ μ1 2 0 5= = , .

Răspunsuri

a) 0 2≤ ≤

2 11 2 1

2

+ 21 3

++

tgG

+F G G μ μ

αμ

μ;

( )FG tg

tg=

++

2 42

αα

, b)

H H GA O= =

2 ,

tg+2 α( )V

G tgA =

−+

22

α ,

tgαFig. 1.5.14

( )VO =+2 3 α

.

e consideră sistemul de corpuri omogene din

15, aflat în echilibru într-n plan

G tgtg+2 α

1.5.15. S

fig. 1.5.u vertical în poziţia din figură, în care bara OA de greutate G, articulată în O, este ţinută în poziţie orizontală printr-un fir ideal, legat la capete în punctele sale A şi C şi înfăşurat sub unghiul la centru de 180° pe tamburul de rază r al unui troliu cu axă fixă orizontală, frecarea dintre acest fir şi tambur fiind caracterizată de coeficientul de frecare μ π= ln7 . Pe tamburul de rază 2r al troliului este înfăşurat un alt fir ideal, care este trecut peste 3 scripeţi de greutate Fig. 1.5.15

78 Statica - 1 neglijabilă ca în figură şi are atârnat la celălalt capăt un corp de greutate Q. Ştiind că

orţiunile rectilinii ale firelor sunt orizontale sau verticale, cunoscând dimensiunile

spunsuri

pgeometrice din figură şi neglijând frecările din articulaţii, să se determine valorile greutăţii Q pentru echilibrul sistemului în poziţia dată, precum şi reacţiunile articulaţiei O în cazul echilibrului la limită al sistemului.

Ră

25

≤ ≤Q G , 0 H GO =25

, V GO =

3 .

1.5.16. Grinda omogenă OA, de lungime 12r şi greutate 12G, este încastrată în O în poziţie orizontală şi de ea sunt legate ca în fig. 1.5.16, prin articulaţiile cilindrice B şi D cu fusele orizontale, sau prin fire perfect flexibile şi inextensibile, mai multe corpuri omogene de greutăţi şi dimensiuni geometrice indicate pe figură. Considerând frecările neglijabile, cu excepţia frecării dintre tamburul de rază 2r al troliului şi firul înfăşurat pe el sub unghiul la centru de 180°, caracterizată de coeficientul de frecare μ π= ln2 , să se determine valorile greutăţii Q pentru echilibrul sistem nul vertical din figură, precum şi reacţiunile încastrării în cazul echilibrului la limită al sistemului.

ului în pla

Răspunsuri

Fig. 1.5.16

5≤ ≤Q G , H GO = 2 , V GO = 120 , M GrO =0 8 682 .


.5.17. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 1.5.17, aflat în echilibru în poziţia din figură, în care pârghia O1A de greutate neglijabilă este orizonta

μ din şla r, s

R

1

lă şi axa pivotului tronconic de greutate G este verticală. Pentru modificarea forţei de apăsare P a pivotului pe lagărul de pivotare corespunzător se aşează greutatea G1 pe pârghie la distanţa b de O, iar pentru imprimarea tendinţei de pivotare a pivotului se atârnă greutatea G2 la un capăt al unui fir perfect flexibil şi inextensibil, care trece peste un scripete ideal şi este înfăşura pe alt scripete solidar cu axa pivotului. Cunoscând distanţa OO a1 = , razele R , r1 , R1 , unghiul α şi coeficientul de frecare de alunecare tre pivot i

gă ă se determine: a) momentul maxim al frecării

de pivotare în funcţie de P; b) valoarea forţei de apăsare P

în funcţie de G, G1 , a şi b, valoarea greutăţii G2 şi reacţiunile articulaţiilor O1 şi O2 pentru echilibrul la limită al sistemului considerat.

ăspunsuri

Fig. 1.5.17

) a M P R rR rmax sin

=−−

23

13

13

12

12

μα

;

( )b) P G a b

aG= +

+ G H= = , 1 VaG a b G

aRR rR rO O2

1 13

13

12

122 2

23

=+ + −

−μ

αsin ,

HO10= , V b GO =

a1 1 .

1.5.18. Grinda omogenă OA de greutate G20G1 = este încastrată în O în oziţie orizontală şi de ea sunt legate, prin articulaţii cilindrice fără frecare, pârghia BD

de greutate neglijabilă, respectiv troliul omogen de greutate G25G2

p= , având razele

80 Statica - 1 tamburi este înfăşlor r şi 2r. Pe tamburul de rază r al troliului urat un fir, de care este atârnată o sarcină de greutate G121Q = , iar pe tamburul său de rază 2r se sprijină cu frecare un sabot de frână de forma din fig. 1.5.18, solidarizat de pârghie printr-o bară de greutate neglijabilă, având grosimea λ, greutatea G şi unghiul la centru al arcului de cerc corespunzător 2 3α π= . S s e corpuri astfel format se află în echilibru într-un plan vertical sub acţiunea unei forţe F, aplicată perpendicular pe pârghie la capătul său D, datorită frecării dintre sabotul de frână şi tamburul de rază 2r al troliului, caracterizată de coe de frecare

i temul d

ficientul μ = 3 3. Cunoscând dimensiunile geometrice din figură, să se determine:

a) grosimea λ a sabotului de frână, astfel încât centrul său de greutate să se afle pe suprafaţa sa de contact cu tambur

b) valoarea forţei F şi reacţiunile încastrării în cazul echilibrului la limită al sistemului în poziţia conside

ul;

rată.

Răspunsuri

a) ( )( )( )λ π π π= − + − +r2

6 2

= r6 0 185, ;

b) F G= 50 3 , H GO = 25 3 , V GO = 242 , M GrO = 2126 .

1.5.1 te acţionat de un cuplu de moment M ş torită frecării cu un sabot de frână, solidarizat ca în figură

9. Discul circular cu centrul O din fig. 1.5.19 esi este frânat da

Fig. 1.5.19 Fig. 1.5.18

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 81 de o p

e ârghiei, a sabotului, a discului, a scripetelui mobil, frecările din articulaţii, rigiditatea

ărghie orizontală, care imprimă sabotului forţa de apăsare pe disc prin intermediul unui palan diferenţial, acţionat de forţa activă P. Neglijând greutăţilpfirelor şi cunoscând coeficientul de frecare μ dintre sabot şi disc, precum şi dimensiunile geometrice din figură, să se determine valoarea forţei P şi reacţiunile articulaţiei O pentru echilibrul la limită al sistemului în planul vertical din figură.

Răspunsuri P M

R=

−+μ 1

a ca b

R rR−μ

2 ,

H MRO =

1

, V MO =

μ 1

1.5.20. Să se determine valorile forţei ctive P pentru echilibrul sistemului din fig. .5.20, dacă se cunosc greutatea Q şi cifra λ a

fiecărui

Răspuns

R .

a1

a din cei trei scripeţi de greutate neglijabilă, iar corpul de greutate Q este menţinut în poziţia din figură cu ajutorul unor ghidaje verticale fără frecare, care nu au mai fost reprezentate.

( )

( )Q P

λ λ λ λ λ+ +≤

+ +1 12 2 2 .

1.5.21. Să se determine valorile greutăţii P pentru echilibrul sistemului din fig. .5.21, ştiind că toţi scripeţii de greutate neglijabilă au aceeaşi cifră λ, cunoscând reutatea Q şi coeficientul de frecare μ dintre aceasta şi reazemul său orizontal, dacă

bara AB

Fig. 1.5.20 Qλ≤

3

1g

, de asemenea de greutate neglijabilă, este menţinută în poziţie orizontală cu ajutorul unor ghidaje verticale fără frecare, care nu au mai fost reprezentate.

82 Statica - 1

Răspuns

P Q≤−−

λμλλ

4 11

.

1.5.22. Un troliu omogen de greutate P este montat, prin intermediul unor

rticulaţii cilindrice cu frecare, în interiorul unui bloc cubic de greutate G, astfel încât entrele de greutate ale celor două corpuri să coincidă. Pe tamburul de rază r al troliului

este înf

cubic, să se determine valorile greutăţii Q pentru echilibrul sistemului de

ac

ăşurat un fir, având celălalt capăt legat de un tavan, iar pe tamburul său de rază R este înfăşurat alt fir, având legat la celălalt capăt un corp de greutate Q.

Cunoscând cifra troliului λ şi neglijând frecările din ghidajele verticale ale bloculuicorpuri în poziţia sa din fig. 1.5.22.

Fig. 1.5.22 Fig. 1.5.21

Răspuns

( ) ( )r P GR r

Qr P GR r

+−

≤ ≤+−λ

λλ

, R > rλ .

1.5 - Echilibrul sistemelor materiale 83 1.5.23. Pentru mecanismul de ridicat din fig. 1.5.23, prevăzut cu o frână cu

sabot, se cunosc dimensiunile geometrice din fig

Răspunsuri

ură, unghiul α, coeficientul de frecare μ dintre sabotul de frână şi troliu, cifra λ a scripeţilor şi a troliului, greutatea Q a sarcinii şi se neglijează greutăţile celorlalte corpuri din sistem. Să se determine valoarea forţei verticale F de acţionare afrânei şi reacţiunile legăturilor din O, A, C şi D pentru echilibrul la limită al sistemului.

Fig. 1.5.23

( )( )( )

FQr a c

R a bmin =−

+ +μ

μ λ λ2 1 ,

( )N Qr

RC =+μ λ λ2 1

, ( )

F H H QrRf A D= = =

+λ λ2 1 ,

( )( )( )

( )( )

( )V VQr b c

R a bA D= =+

+ +μ

μ λ λ2 1 , H

Q R rRO =

−+

λ αλ λ

co2 1

, s

( )V

Q RRO =

−+

μλ αμ λ λ

sin2 1

,

M hHD D= .

1.5.24. Pentru sistemul de corpuri din fig. 1.5.24, la care culisorul solidar cu ara orizontală de lungime l se poate mişca fără frecare pe tija verticală O O , se

cunosc

r

b 1 2

razele troliului, cifra λ a troliului şi a scripeţilor, greutatea Q şi se neglijează greutăţile celorlalte corpuri din sistem. Să se determine valorile forţei active P pentru echilibrul sistemului şi înălţimea h a culisorului pentru ca suma reacţiunilor tijei asupra sa să nu depăşească valoarea nQ, ştiind că firele de legătură dintre troliu şi scripeţi formează cu verticala unghiuri foarte mici.

84 Statica - 1

Răspunsuri

( )

( ) ( )Q R r Q R r− −λ λ3 3

( )RP

R+≤ ≤

+λ λ λ λ1 1 ,

n2h l

≥ .

mogen greu, perfect flexibil şi inextensibil, având greutatea G şi

ele, săge

Fig. 1.5.24 Fig. 1.5.25

1.5.25. Un fir olungimea l , este legat la capete de două inele mici de greutate neglijabilă, care se sprijină ca în fig. 1.5.25 pe o tijă orizontală aspră, coeficientul de frecare fiind μ ϕ= tg . Pentru echilibrul la limită al inelelor pe tijă, să se determine distanţa d dintre

ata maximă h a firului, efortul minim T0 şi eforturile la capete ale firului.

Răspunsuri

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

μ=2

ctglnd l , ( )

ϕϕ−

=cos2

sin1h l , T G

0 2=μ

, T T GA B= =

2cosϕ .

2.1. Cinematica punctului material 2.1.1. Legea de mişcare a unui punct material în coordonate carteziene este

dată prin:

( )y r t= +4 1 2sinλ , (x r t= 5 2cosλ , )t= −3 1 2sinλ

( )C r r0 4 3, ,

z r ,

unde r şi λ sunt constante pozitive. Să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia, vitezele areolare faţă de originea axelor de coordonate şi faţă de punctul

în mişcarea dată a punctului material, precum şi raza de curbură a traiectoriei sale.

Rezolvare Prin eliminarea timpului din legea de mişcare a punctului material, se obţin

ecuaţiile analitice ale traiectoriei sale: 3 4 24y z r+ = ,

( ) ( )x y r z r2 24 3+ − + − = r 2252

R ,

rcare este cercul cu centrul în C şi de rază = 5 , situat într-un plan paralel cu axa Ox, ce intersectează planul Oyz după diametrul său AB, extremităţile acestui diametru având coordonatele ( )A r0 8 0, , ( )B r0 0 6, ,, respectiv .

Pentru determinarea vitezei punctului material la un moment t al mişcării sale, se calculează proiecţiile vitezei pe axele de coordonate: v x tr tx = = −& sin10 2λ λ v y tr ty = =& cos8 2λ λ v z tr tz = = −& cos6 2λ λ , , ,

de unde se obţine valoarea absolută a vitezei:

v v v v tr t t t trx y z= + + = + + =2 2 2 2 2 2 2 2 22 25 16 9 10λ λ λ λ λsin cos cos .

Direcţia şi sensul vitezei punctului material se pot determina uşor, calculând cosinuşii directori ai direcţiei sale faţă de axele de coordonate, dar în mişcarea circulară a unui punct material este mai importantă raportarea lor la sistemul de

86 Cinematica - 2 referinţă intrinsec al traiectoriei sale, cu originea în poziţia sa curentă . Faţă de acest sistem de referinţă se poate scrie:

( )P x y z, ,

r r r rv R= × =ω ρ ωτ ,

r rω ω= b ,

r r r rρ = , = − = −CP r r RnC

unde rτ n, , r r

b sunt versorii tangentei, normalei principale şi binormalei, astfel încât rezultă:

r r r rρ λ λ λ= + −5 4 32 2r t i r t j r tcos sin sin 2k , ω λ= =

v t2R

,

r r r rτ λ λ λ= − + −sin cos cost i t j t k2 24 23

, 5 5

r r r rn t i t j t k= − − +cos sin sinλ λ λ

5 52 2 24 3

,

( ) ( ) ( )r r r r r r rb n t t j t t k j= × = + + + = +τ λ λ λ λ

3 4 1 3 42 2 2 2 2 2 2 2cos sin sin cos k5 5 5

.

Se observă că vectorul unitar al binormalei, după care este dirijat vectorul viteză unghiulară în mişcarea circulară a punctului material, are direcţia normalei la planul traiectoriei sale.

Pentru determinarea acceleraţiei punctului material, se prezintă în continuare două metode.

Metoda I. Se calculează proiecţiile pe axele de coordonate ale acceleraţiei,

utilizând sistemul de referinţă Oxyz: a v r t t r ta v r t t r ta v r t t r t

x x

y y

= = − −= = −= = − +

& sin cos ,& cos sin ,& cos sin ,

10 208 166 12

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

λ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ

z z

de unde se obţine valoarea absolută a acceleraţiei:

a a a a r t= + + = +2 2 2 410 1 4λ λx y z2 .

Dacă se calculează cosinuşii directori ai direcţiei acceleraţiei faţă de axele acestui sistem de referinţă, se obţin expresii complicate, din care nu se determină uşor direcţia şi sensul acceleraţiei în poziţia curentă a punctului material pe traiectorie. De aici rezultă că este mai util să se determine direcţia şi sensul acceleraţiei punctului material faţă de raza curentă

rρ şi faţă de viteza sa

rv , deci în raport cu normala principală, respectiv cu tangenta la traiectorie în poziţia sa curentă. Notând cu φ unghiul dintre acceleraţie şi normala principală, măsurat în planul traiectoriei, se pot exprima relaţiile:

2.1 - Cinematica punctului material 87

( )cos cos ,

cos sin ,

π ϕ ϕρ λ

λπ

ϕ ϕλ

− = − =⋅

= −+

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =

⋅=

+

rr

r r

aaR

tt

a vav t

21 4

21

1 4

2

4 2

4 2

astfel încât se obţine:

tgϕ =1t λ2 2 , ϕ

λ= arctg

t1

2 2 ,

de unde se determină mai uşor direcţia şi sensul acceleraţiei punctului material în orice moment al mişcării sale.

Metoda II. În coordonate intrinseci rezultă imediat: r rε ε= b , ε ω λ= =& 2 ,

a R rετ λ= = 10 , , a R t rn = =ω λ2 220 2

a R r t= + = +ε ω λ λ2 4 10 1 4 4 2 ,

tgt

ϕεω λ

= =2 2

12

,

deci mişcarea circulară a punctului material este uniform accelerată, având acceleraţia unghiulară constantă

r rε λ= 2 b .

Pentru determinarea vitezelor areolare cerute în enunţ, se calculează în primul rând viteza areolară faţă de C:

( )r r r r r rΩC v R b tr j k= × = = +

1 1 5 3 42 2ρ ω λ2 2

,

după care se obţine uşor viteza areolară faţă de O:

( )( )

r r r r r r r r

rΩ ΩO C Cr v r v tr t i tr t j

tr t k

= × = × + = − + −

+ +

12

12

12 15 1

20 1

2 2 2 2

2 2

λ λ λ λ

λ λ

cos sin

sin .

+

R

Ştiind că mişcarea punctului material este circulară, este evident că raza de curbură a traiectoriei sale este constantă şi egală cu raza r= 5 a cercului. Dacă nu se observă că mişcarea sa este circulară, se poate determina raza de curbură a traiectoriei sale cunoscând valorile absolute ale vitezei şi acceleraţiei, calculate în urma studiului mişcării în coordonate carteziene. Într-adevăr, cu aceste valori cunoscute, se obţine succesiv:

a v rτ λ= =& 10 ,

a a a t r= − =2 2 220 λn2

τ ,

R va

t rt r

rn

= = =2 2 2 2

2 2

10020

5λλ

.

88 Cinematica - 2 2.1.2. Se dă legea de mişcare în mişcarea plană a unui punct material prin

coordonatele carteziene: y r tcos3= λ x r t= 2 cosλ ,

exprimate ca funcţii de timp, unde r şi λ sunt constante pozitive. a) Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului material,

precum şi raza de curbură a traiectoriei sale, exprimată în funcţie de timp şi apoi în funcţie de abscisa adimensională ξ = x r .

b) Să se calculeze valorile extreme ale vitezei punctului material şi apoi să se determine poziţiile şi acceleraţiile sale la momentele în care viteza sa are valori extreme. Cum se explică poziţiile acestor acceleraţii faţă de traiectorie?

c) Să se arate că mişcarea punctului material este periodică şi apoi să se determine poziţiile Pi pe traiectorie, vitezele rvi şi acceleraţiile rai la momentele t corespunzătoare unei perioade a mişcării, pentru care t0 0

i

= , t1 3= π λ , t 2 2= π λ , t 3 2 3= π λ , t 4 = π λ , t ti i+ = +4 π λ .

Rezolvare

a) Pe baza relaţiei cunoscute:

cos cos cos3 4 33α α= − α , se poate elimina uşor timpul din legea mişcării, astfel încât rezultă:

y x x=

⎛⎝⎜

2 r−

⎞⎠⎟32

2

,

− ≤ ≤2 2r x r , deoarece cosλt ≤ 1

x

. Prin urmare, traiectoria punctului material este un arc de parabolă cubică, situat în interiorul dreptunghiului determinat de dreptele de

ecuaţii Fig. 2.1.2

r= ±2

v r tx = −2 λ

şi , aşa cum este reprezentată în fig. 2.1.2. y r= ±Pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei punctului material, se calculează

proiecţiile acestora pe axele de coordonate: λsin v r ty , 3 3= − λ λ sin

a r tx = −2 2λ λcos ty = −9 32λ λcos

,

, a r , de unde rezultă:

v r t t= +λ λ λ4 9 32 2sin sin a r t t= +λ λ λ2 2 24 81 3cos cos , .

2.1 - Cinematica punctului material 89 Cunoscând valorile absolute ale vitezei şi acceleraţiei puntului material,

exprimate ca funcţii de timp, pentru raza de curbură a traiectoriei se obţine succesiv:

( )a vr t t t

t tτ

λ λ λ λ λ

λ λ= =

+

+&

sin cos sin cos

sin sin

2

2 2

4 27 3

4 9 3

t3 ,

( )( )

a a ar t t

t t

r t

tn = − =

−

+=

+ −

2 22

2 2

2 2

2 2

12 1 2 2

4 9 3

48

4 9 4 1τ

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

cos sin

sin sin

sin cos

cos

t ,

( )( ) ( )( )R v

ar t

tr

c = =+ −

=+ −2

2 2 3 22 2 3 2

48

4 9 4 1

24

4 9 1cos

cos

λ

λ

ξ

ξn

.

b) Din condiţia de extrem a vitezei, &v = 0 , rezultă succesiv:

sin cosλ λt t = 0 sin2 t = 0λ , ,

2λ πt kk = , t kk =

πλ2

, k ∈Ν .

Pentru , , punctul material se află în poziţia din fig. 2.1.2 cu viteza minimă nulă şi are acceleraţia tangentă la traiectorie, de valoare maximă

k n= 4 n N∈ P0

a r 285= λ0 . Pentru k n= +4 1, punctul material se va găsi în poziţia , având viteza tangentă la traiectorie de valoare maximă

P2

v2 r= λ13 şi acceleraţia minimă nulă. Pentru , acesta se află în poziţia cu viteza nulă şi cu acceleraţia maximă tangentă la traiectorie, iar pentru

k n= +4 2 P4

k n= +4 3 el ajunge din nou în cu şi acceleraţia nulă şi viteza maximă tangentă la traiectorie, dar având sensul contrar faţă de viteza

P2

rv2 din figură. Se mai pot determina nişte valori de extrem intermediar pentru viteza punctului din condiţia &v = 0

( ), pentru care avem:

( )4 27 4 1 4 3 02 2+ − −cos cosλ λt t = ,

din care rezultă:

cos4 3154

λt = − ,

t jj = ± −⎛⎜

⎞⎟

π 1 31arccos⎝ ⎠λ λ2 4 54

, j N∈ .

În poziţiile corespunzătoare acestor momente, acceleraţia punctului material va fi normală la traiectorie, deoarece acceleraţia sa tangenţială a τ v= & este nulă. În poziţiile şi , acceleraţia sa normală este nulă, deoarece în aceste poziţii viteza sa are valoarea minimă nulă, iar acceleraţia sa tangenţială este diferită de zero, deoarece variaţia în timp a vitezei sale va fi nenulă, în aceste poziţii punctul

P0 P4

90 Cinematica - 2 material schimbându-şi sensul de mişcare pe traiectorie. Într-adevăr, de exemplu în

se obţine: P0

( ) ( ) ( )( )( )( )

av t t v t

t

r t t t

tr

tt

t0 00

0

2 2 2

2 2

24 27 4 1 4 3

4 9 4 185=

+ −=

+ − −

+ −=

→→

→lim lim

cos cos cos

cosΔ

ΔΔ

λ λ λ λ

λλ

. La momentele în care punctul material trece prin , acceleraţia sa este nulă, adică ambele componente ale acceleraţiei sale în coordonate intrinseci sunt nule, deoarece:

P2

v2 v= max &v2 0= , ,

( )a Pτ 2 0= , ( )R Pc 2 →∞ , ( )a Pn 2 0= .

c) Din analiza variaţiei vitezei punctului material, efectuată la punctul

precedent, rezultă că mişcarea sa este periodică cu perioada T = 2π λ , aceeaşi cu perioada de variaţie a abscisei x şi a proiecţiilor pe axa Ox ale vitezei şi acceleraţiei sale, care este de 3 ori mai mare decât perioada 2 3π λ de variaţie a ordonatei y, respectiv a proiecţiilor pe această axă ale vitezei şi acceleraţiei sale. De asemenea, la punctul precedent s-au determinat poziţiile sale Pi pe traiectorie, valorile vi şi ai ale vitezei şi acceleraţiei sale la momentele t i corespunzătoare indicelui i par, precum şi poziţiile acestor vectori faţă de traiectorie. Mai rămâne să se determine aceste elemente ale mişcării punctului material la momentele t i pentru indicele i impar, pentru care se observă că sin3 0λt i = , deci cos3 1λt i = ± . Ca urmare, la aceste momente punctul material se va găsi în poziţia ( )P r r1 , − sau ( )P r r3 − , cu

viteza paralelă cu axa Ox de valoare v v v v= = = r3= λ , iar valorile corespunzătoare ale acceleraţiei sale se pot calcula după cum urmează:

1 3 5 7

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t a t r a t

t a t r a t

t a t r a t

t a t r a t

x y

x y

x y

x y

1 12

12

3 32

32

5 52

52

7 72

72

39

23

943

95 9

= = − =

= = =

= = =

= = − =

πλ

λ λ

πλ

λ λπλ

λ λ

πλ λ

, ,

, ,

, ,

, ,

r

r

r

r3

−

−

λ

,

,

,

,

a a a a r 282= = = = λ

P P1 7≡ P P3 5

. 1 3 5 7

Având calculate proiecţiile pe axele de coordonate ale acceleraţiei punctului material în poziţiile sale şi ≡ , se poate determina uşor orientarea vectorilor corespunzători ai acceleraţiei, atât faţă de sistemul de referinţă Oxy, cât şi faţă de traiectorie.

2.1 - Cinematica punctului material 91 2.1.3. Mecanismul din

fig. 2.AB de

1.3, format din manivela lungime R şi bara BD de

lungime 4R, articulate între ele în B, se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se roteşte în jurul articulaţiei fixe A după legea θ λ= t , unde λ este o constantă pozitivă dată, iar bara trece printr-

anşon articulat în O la distanţa AO Run m

= 2 , măsurată pe axa Ox. Ştiind că unghiul θ este elă, să se : ei şi ecuaţia traiectoriei sale în

coordonate polare;

Fig. 2.1.3

măsurat între direcţ ă a axei Oy şi maniv determinea) legea mişcării capătului D al bar

raţiei punctulu momentele

ia negativ

b) componentele radiale şi transversale, precum şi valorile absolute ale vitezei şi accele i D la t k= πk λ6 , k N∈ , corespunzătoare unei rotaţii complete a manivelei.

Rezolvare a) rCoordonatele polare ale punctului D vor fi raza vectoare OD= şi

unghiul polar ν dintre bară şi axa Ox. Pentru exprimarea lor ca funcţii de timp, se pot scrie relaţiile:

OB Rsin cosϕ θ= , OB R Rcos sinϕ θ+ = 2 ,

din care rezultă: θtgϕθ

=−cos

sin2 ,

OB R= −5 4s astfel încât legea mişcării punctului D în coordonate polare va fi:

inθ ,

( )r t R R= − − ≤ ≤⎨⎪ 4 3sin , ,λ

πR r4 5

arctg tt

=−

− ≤ ≤

⎧

⎩⎪ 2 6 6cos

sin, .ϕ

λλ

πϕ

Pentru eliminarea timpului din această lege de mişcare, în primul rând se exprimă în funcţie de timp ϕcos , care este strict pozitiv, după care se poate determina sinλt ca

arelefuncţie de ϕ . Prin urmare, ecuaţia traiectoriei punctului D în coordonate polare se obţine din următo calcule succesive:

92 Cinematica - 2

cos sinϕ

ϕ sinλλ

=+

=−−5 4 t

0ϕ− = ,

11

22tg

t ,

sin sin sin sin2 2 24 4λ ϕ λ ϕt t− + cos2

sin sin cos sinλ ϕ ϕ ϕt = ± −2 1 4 ,

2 2

r −s ϕR= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4 8 3 4 4 32 2cos cos coϕ ϕm ,

unde toate expresiile de sub radicali sunt pozitive pentru ν cuprins într −π 6 e şi π 6. În fig. 2.1.3 s-a reprezentat şi această traiectorie pe baza ecuaţiei sale în

necesar ca, în primul rând, să se calculeze prima şi a doua derivată în raport cu timpul

coordonate polare, care este exprimată de ultima relaţie din cele de mai sus. b) Pentru determinarea elementelor mişcării cerute în enunţ, este

pentru coordonatele polare r şi ν , care sunt:

( )&

cossin

,r R tt

=−

&sin

sin,

tt

=−−

25 4λ λ

λ1 2

5 4ϕ

λ λλ

( )( )( )

( )

&&sin sin

,rR t t

=− −2 2 1 22λ λ λ

sin&&

cossin

,

tt

t

−

= −−

5 4

65 4

3 2

22

λ

ϕ λλ

λ

după

care rezultă:

v r= ,& ,ϕ2

v ra r rϕ

ϕ

ϕϕ ϕ

== +

& ,& & && ,2

v v va a a

r= +

= +

2 2

2 2ϕ ,

. a r r

r

r = −&&&

r ϕ

Valorile acestor elemen işcării punctulu omentele date în enunţ, pentru o rotaţie completă a manivelei, sunt calculate în tabelul de mai jos.

10 11

te ale m i D la m

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

r/R 1,76 2,27 2,76 3,00 2,76 2,27 1,76 1,35 1,09 1,00 1,09 1,35 vr 0,8 0,0 -0,8 -1,0 -0,9 -0,7 -0,3 /Rλ 0,9 1,0 0,0 0,3 0,7 v φ/Rλ 0,35 0,0 -1,3 -3,0 -1,3 0,0 0,35 0,4 0,35 0,33 0,35 0,4 v/Rλ 0,96 1,00 1,54 3,00 1,54 1,00 0,96 0,76 0,49 0,33 0,49 0,76

ar λ/R 2 0,28 0,0 -1,5 -5,0 -1,5 0,0 0,28 0,43 0,52 0,55 0,52 0,43 aφ/Rλ2 -0,1 -1,3 -4,3 0,0 4,27 1,30 0,07 -0,2 -0,2 0,0 0,18 0,23 a/Rλ2 0,30 1,30 4,53 5,00 4,53 1,30 0,30 0,49 0,55 0,55 0,55 0,49

S se ă t ns t iş i p ie

are este o curbă plană închis faţă de axa Ox. Ca urmare, mişcarea sa va fi perio

e ob rvă c punc ul co idera se m că în acelaş sens e tra ctoria sa, c ă, simetrică

dică, având perioada T = 2π λ egală cu intervalul de timp necesar unei rotaţii complete a manivelei. Se observă, de asemenea, că viteza punctului D nu se

2.1 - Cinematica punctului material 93 anulează, având valori extreme în poziţiile sale în care raza vectoare r are valori extreme şi ϕ = 0 , adică:

r Rmax = 3 , v Rmax = 3 λ ,

r Rmin = , v Rmin =

λ3

.

2.1.4. Mecanismul bielă-manivel

ă excentric din fig. 2.1.4.1), format din manivela AB de lungime R şi biela BC de lungime 2R, articulate între ele în B, se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se roteşte în jurul articulaţiei fixe ( )A R0, după legea θ λ= 2 t , unde

constantă poz ată, iar culisorul C, articulat la celălalt capăt al bielei, se mişcă pe axa Ox. are şi legea de variaţie a

λ este o itivă d

a) se determine legea de mişc vitezei

se traseze diagramele legii de mişcare şi vitezei culisorului,

Fig. 2.1.4.1)

Să

Săculisorului.

b) reprezentând grafic abscisa sa adimensională x R şi viteza sa adimensională v Rλ ca funcţii de unghiul θ dintre manivelă şi direcţia negativă a axei Oy care es e proporţional cu timpul.

c) Să se dete

t dat

valorile rmine valorile extreme ale vitezei culisorului, unghiului θ şi momentele la care viteza sa atinge aceste valori extreme.

Rezolvare ) ϕ unghiul dintre a Se notează cu B′ proiecţia punctului B pe axa Ox şi cu

bielă şi aceeaşi axă. Pe baza fig. 2.1.4.1) se pot exprima relaţiile geometrice şi trigonometrice:

OB = R2

sin θ , 2 BB OB R R′ = = =sin sin sinθ θϕ

22

222 ,

( )sin sin cosϕθ

θ= = −2

212

1 ,

( )cos sin cos sinϕ ϕ θ θ= ± − = ± + +1 12

2 12 2 ,

astfel încât legea mişcării rectilinii a culisorului se determină din condiţia:

94 Cinematica - 2 x AB BC R R= − = −sin cos sin cosθ ϕ θ ϕ2 ,

din care rezultă:

( )( ) [ ] ( )[ ]( )(sin ) [ ]

xt t t kT t kT t kT k T

R t kT t kT=

+ + ∈ + + +

+ + + +⎨⎪

⎩⎪

cos sin , , ,

cos , ,

2 1 2 2 1

2 2 1 2

21 3

1 3

λ λ U

unde k N∈ ,

R t −⎧ sin2λ

t + sin2 2λ λ t t t∈,λ

t1 2= π λ , t 3 3 2= , iar T 2π λ = π λ este perioada mişcării sale, unzân la două ro ii complete anivelei. coresp d taţ ale m Prin derivarea acestei expresii

în raport cu timpul, se obţine legea de variaţie a vitezei culisorului:

( )( )

[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]

x

R tt t

t tt kT t kT t kT k T

R tt t

t tt t kT t kT

=

+−

+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∈ + + +

−−

+ +

⎛⎜⎜⎜

⎞⎟⎟⎟

∈ + +

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

2 22 1 2

2 1 2 2 21 3 1

2 22 1 2

2 1 2 2 21 3

λ λλ λ

λ λ

λ λλ λ

λ λ

cossin cos

cos sin, , ,

cossin cos

cos sin, , .

U

⎝ ⎠⎩

b) Diagramele cerute în enunţ

sunt reprezentate în fig. 2.1.4.2) pe baza expresiilor determinate la punctul precedent pentru legea de mişcare şi legea de variaţie a vitezei culisorului. Mişcarea sa fiind periodică, aceste diagrame s-au reprezentat numai pentru o perioadă a mişcării, după care se repetă atât variaţia abscisei x a culisorului, cât şi cea a vitezei sale. Se observă că aceste diagrame sunt continue la momentele t kT1 + şi t kT3 + , la care le corespund unghiurile de rotaţie ale manivelei θ π1 4+ k , respectiv θ π3 4+ k , unde θ π1 = şi θ π3 3= . De asemenea, se observă că aceste diagrame verifică proprietăţile diagramelor mişcărilor rectilinii ale punctului material, deoarece elongaţia x creşte în intervalele de timp în care viteza este pozitivă, scade în intervalele de timp în care aceasta devine negativă, iar

Fig. 2.1.4.2)

la momentele

2.1 - Cinematica punctului material 95 ′ + T şi ′t k ′ +t kT , la care le corespund unghiurile θ + π′ 4k , respectiv ′′ +θ π4k ,

când viteza se anule longaţiei, care sunt: ază, se ating valorile extreme ale e

( )′ = + = ′ =θ π θ2 1 2 2arccos , ,x x R

( )′′ = − = ′′ = −θ π θ3

4 13

2 2arccos , .

max

minx x R

Din diagrama vitezei culisorului se obţine i

c)

max = 2λ

mediat:

v R , t k=

πλ

, θ π= 2k ,

( )v R= − =2 2 1 0 83λ λ, Rei , t t kT= + , ( )θ π= +4 1k , 1

( )v Rmin ,+ = −2 2 1 4 83λ λ , R t t kT= +3 , ( )θ π= +4 3k= − ,

unde reprezintă valoarea de extre intermediar tezei. Aceleavei

dm a vi şi puncte de

extrem in diagrama vitezei se pot determina pe baza legii de variaţie în timp a acceleraţiei culisorului, care are expresia în funcţie de θ λ= 2 t dată de:

( )( )( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )( )

( ) ( )[ ]a

R k k

R k k

=

− −−

+ −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∈ + + +

− +−

+ −

⎛⎜⎜⎜

⎞⎟⎟⎟

∈ + +

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

4 14

1 34 4 1 4 3 4 1

4 14

1 34 1 4 3

23

23

λ θθ θ

θ θθ π π π

λ θθ θ

θ θθ π π

sinsin cos

cos cos, , ,

sinsin cos

cos cos, , .

U k k

⎝ ⎠⎩

π

2.1.5. Un punct material se mişcă uniform cu viteza v0 dată pe elicea cilindric

ă de ecuaţii parametrice: x R= cosθ , y R sin , z R tg= θ = θ α ,

exprimate în coordonate cartez za R lindrului d făşurare al elicei iene, a ci e în unde racilindrice şi unghiul său de pantă α π< 4 sunt cunoscute. Ştiind că la momentul

iniţial t0 0= al mişcării θ = 0 şi să se determine legea mişcării, viteza areolar celeraţia punctului material la un moment t al mişcării sale, precum şi raza de curbură a traiectoriei sale, studiind mişcarea sa:

a) în coordonate carteziene;

&θ > 0 ,ă şi ac

b) în coordonate cilindrice.

96 Cinematica - 2

Răspunsuri

a) x R=v tR

⎛⎝⎜

⎞cos 0 α y R v tR

= ⎛⎝⎜

⎞sin 0 α z v⎠⎟

cos , t= 0 sin⎠⎟

cos , α ;

b) ρ = R , θ α=v t0

Rcos , z v t= 0 sinα ;

Ω = + ⎛⎝⎜

⎞Rv v tR

0 02

21

2si α

⎠⎟2n , a v

R= 0 2 α

2

cos , R Rc =

( )

cos2 α .

2.1.6. Mişcarea unui punct material pe traiectoria sa cunoscută este dată

prin legea orară:

[ ]s t t t m= +ππ126

cos ,

pul t se exprimă în secunde.

punctului material este elicea cilindrică de rază

unde tima) Să se determine poziţia punctului material pe traiectorie la momentul

t sf = 15 şi să se calculeze lungimea drumului parcurs de el de la momentul iniţial t0 0= până la momentul tf .

b) Dacă traiectoriaR m= π2 10 şi unghi de pantă α π= 6 , să se determine valorile vitezei şi

eraţiei sale la momentul tf . accel

Răspunsuri ) ( )s s t m= = =15 47 1π ,a , f f

m78,59sssss −+

k

sss 3f231201 =−+−+−=l ,

( )s s tk+ +=1 1 , ( )t kkk

+ = − +1 1 6 , k = 0 1 2, , .

b) v m s= =π 314, , a τ = 0 , a aR R

m snc

= = = =2 27 5cos ,α .

v v2 2

2.1 - Cinematica punctului material 97 2.1.7. Se dă legea mişcării plane a unui punct material în coordonate

carteziene prin funcţiile de timp: x r t= 2 sinλ , , y r t= cos λ2

în care r şi λ sunt constante pozitive. a) Să se determine traiectoria, viteza, viteza areolară, acceleraţia şi raza de

curbură a traiectoriei în funcţie de timp şi în funcţie de abscisa x, în mişcarea considerată a punctului material.

b) La ce momente şi în care poziţii pe traiectorie, viteza punctului material are valori extreme? Să se calculeze aceste valori extreme ale vitezei sale.

c) Să se determine acceleraţia punctului material şi direcţia acceleraţiei faţă de traiectorie în poziţiile în care viteza sa are valori extreme. Cum se explică aceste rezultate?

Răspunsuri

a) y r xr

= −2

4 , − ≤ ≤2 2r x r , 0 ≤ ≤y r , v r t t2 λin

,

= +2 1λ λcos s

( )r rΩ = − +λ λ λr t2 21cos sin t k , a r t t2 λcos , = +2 22 2λ λsin

( )R rC 2 1 t r x= + = +

⎝⎜2 1

3 2

r ⎠⎟

4 2 . ⎛ ⎞2 3 2

2sin λ

b) t kk =

πλ2

, k N∈ ; ( )P r0 0, , v rmax = 2λ ; ( ) ,

( ) , vmin = 0 .

P r1 2 0,

P r2 0− ,3

a a0 = =c) rn22λ , a a a1 3= = =τ

t0 0

r22 2λ . 2.1.8. Un inel se mişcă pe parabola din sârmă de ecuaţie faţă de

sistemul de referinţă plan Oxy, astfel încât acceleraţia sa este paralelă cu axa Ox tot timpul mişcării sale. Ştiind că la momentul iniţial

y p2 2= x

= al mişcării sunt date şi , să se determine legea de mişcare, viteza şi acceleraţia inelului şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi de coordonatele sale carteziene.

y = 0&y v= >0 0

98 Cinematica - 2 Răspunsuri

xp

= 0

2v t2 2

, y v t= 0 ; v vp

p v t= +0 202 2 ; a v

p= 0

2

;

R pp

p xp

p ypC = +

⎛⎝⎜

⎠= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1 2 12

3 2 2

2

3 2

x

t0 0= y

v t ⎞⎟0

2 2 3 2

.

2.1.9. Un inel se mişcă pe parabola din sârmă de ecuaţie faţă de sistemul de referinţă plan Oxy, astfel încât acceleraţia sa are valoarea constantă şi este paralelă cu axa Ox tot timpul mişcării sale. Ştiind că la momentul iniţial

al mişcării sale sunt date

y p2 2=a0

= 0 &y > 0 şi , să se determine legea mişcării în coordonate carteziene, viteza şi viteza areolară a inelului şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coordonatele sale.

Răspunsuri

x a t= 0

2

2 , y t pa= 0 , ( )v a p a t= +0 0

2 , r rΩ = −

a t pa k02

04 ;

R p a tp

p xp

p ypc = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1 2 10

2 3 2 3 2 2

2

3 2

.

2.1.10. Un inel se mişcă pe lănţişorul din sârmă de ecuaţie ( )y d ch x d= faţă de sistemul de referinţă plan Oxy, astfel încât acceleraţia sa este paralelă cu axa Oy tot timpul mişcării sale. Ştiind că la momentul iniţial t0 0= al mişcării sunt date

şi , să se determine legea de mişcare, viteza şi acceleraţia inelului şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coordonatele sale carteziene.

x = 0 &x v= >0 0

Răspunsuri

x v t= 0 , y d chd

= 0v t , v v ch v t

d= 0

0 , ad

chd

= 0 0v v t2

,

R d ch v td

d ch xd

ydc = = =2 0 2

2

.

2.1.11. Un inel se mişcă pe lănţişorul din sârmă de ecuaţie ( )y d ch x d=

Oz şi valoarea acceleraţiei sale este proporţională cu ordonata sa y în orice moment

faţă de sistemul de referinţă plan Oxy, astfel încât acceleraţia sa este paralelă cu axa

2.1 - Cinematica punctului material 99 al mişcării sale, factorul de proporţionalitate fiind λ2 . Ştiind că la momentul iniţial t0 0= al mişcării sale sunt date x = 0 şi &x > 0 , s e determine legea mişcării în

cceleraţia inelului şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de coordonatele sale.

ă scoordonate carteziene, viteza, viteza areolară şi a

spunsuriRă

x d= λ t , y d ch t= λ ; v d ch ( )r rΩ = −

λt= λ λ , λ λ λd t sh t ch t k

2

2 ;

a d ch t= λ λ2 , R d ch t d ch xdc = =2 2λ

2.1.12. Mecanismul bmanivel

a

ă dată

al

viteza, acc ia, viteza a

ia faţă de

Răspunsuri

yd

=2

.

ielă-

ă din fig. 2.1.12, format din manivela OA de lungime 2l şi biela AB de aceeaşi lungime, rticulate între ele în A, se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se roteşte în jurul articulaţiei fixe O după legea θ λ= t , unde λ este o constantă pozitiv , iar culisorul B, articulat la celălalt capăt al bielei, se mişcă pe axa Ox.

a) Pentru mijlocul M bielei să se determine legea de mişcare în coordonate carteziene, traiectoria,

za de curbură a traiectoriei. b) La ce momente şi în care poziţii pe traiectorie, viteza

Fig. 2.1.12

eleraţ reolară şi ra punctului M are

valori extreme? Să se calculeze aceste valori extreme ale vitezei sale. c) Să se determine acceleraţia punctului M şi direcţia aceste

traiectorie în poziţiile în care viteza sa are valori extreme. Cum se explică aceste rezultate?

a) tcos3x λ= l , tsiny λ= l ; 19 2 =+l

, yx 22

tsin81v 2 λ+λ= l ; 2l

tcos81a 22 λ+λ= l ; 2

23lλ=Ω ; ( ) 232

c tsin813

R λ+=l

.

100 Cinematica - 2

t kk =

πλ2

, kb) N∈ ; ( )0,3lM0 (− , ) , 0,3M2 l

lλ=== min20 vvv , ( )l,0M1 , ( )l−,M3 , lλ=0 == 3vv 31 . 2

maxn2

minn31 τ

vmax

c) l20 3aaaa λ==== ; laaaa λ==== ; a v= =& 0 .

.1.13. Un disc circular cu centrul C şi de rază R se mişcă în planul Oxy, ş are pe axa Ox, iar centrul său se mişcă pe

dreapta

2astfel încât se rostogole te fără alunec

y R= după legea x RtC = λ , unde λ este o constantă pozitivă dată. a) Pentru punctul P de pe periferia discului, care la momentul iniţial

t0 0= s în O, să se ne legea de mişcare în coordonate care află determi teziene, traiectoria, viteza, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei.

b) Notând cu I punctul de contact al discului cu axa Ox şi cu θ unghiul dintre razele sale CI şi CP, să se verifice relaţiile:

r rv k IP= − ×&θ ,

ra CP= − &θ2 , R IPc = 2 .

Răspunsuri

( )tλ , ( )y R t= −1 cosλa) x R t= −λ sin . ţiile parametrice ale traiectoriei

o cicloidLegea de miş

tecare a punctului P reprezintă şi ecua

sale, care es ă.

v R t= 2

2λ

λsin , a R= λ2 , R R tc = 4 sin λ .

2b) Deo θ λ= t mediat relaţiile din enunţ, calculând

vectorii arece , se pot verifica i

IP şi CP ţii de

din fig. 2.1.14, de lungimi bOF +

ca func θ .

2.1.14. Mecanismul format din barele

= l , l=ED , AB b= şi

FC

b+= l ca , u de

reprezintă un romb de latură b

, articulate între ele în figură npatrulaterul EFBD

<l , se mişcă în planul Oxy astfel încât manivela OF are o

Fig. 2.1.14

2.1 - Cinematica punctului 101 material mişcare de rotaţie uniformă în jurul articulaţiei fixe O după legea θ λ= t , iar culisoarele A şi C, articulate l lalte capete ale barelor AB, respectiv FC, se mişcă pe axa Ox. Să se determine legile de mişcare, traiectoriile, vitezele şi acceleraţiile punctelor B şi D.

a cele

Răspunsuri

Pentru B: ( ) tcos2bx λ+= l , y b t= sinλ ; ( )

12

2

=by

2bx

2 ++ l

2

;

( ) tcosbtsin 222 λ+λ ( )2bv 2+λ= l ; tbtcos22 +λbx

2ba 2 +λ= l

( ) tcossin22 λ .

Pentru D: λ+ l= , ( ) tsinby λ−= l ;

( ) ( )1

by

bx

2

2

2

2

=−

++ ll

; t2cosb2bv 22 λ−+λ= ll ,

t2cosb2ba 222 λ++λ= ll

r v t

.

2.1.15. În mişcarea plană a unui punct material, se dă legea sa de mişcare în coordonate polare:

= , θ = ω0 0tv0

, ωunde şi 0 sunt constante pozitive. Să se determine traiectoria, viteza,

acceleraţia şi viteza areolară a punctului material şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de unghiul polar θ.

Răspunsuri

r v= 0 0θ ωTraiectoria de ecuaţie este o spirală a lui Arhimede;

v v t= +0 02 21 ω ; a v t= +0 0 0

2 24ω ω ; Ω =12 0

20

2v tω ;

( )( )

( )( )R

v t

t

vc =

+

+=

+

+0 0

2 2 3 2

0 02 2

02 3 2

02

1

2

1

2

ω

ω ω

θ

ω θ .

102 Cinematica - 2 2.1.16. În mişcarea plană a unui punct material, se dă legea sa de mişcare

în coordonate polare: r r e= 0

tλ , θ = λt0

, unde r şi λ sunt constante pozitive. Să se determine traiectoria, viteza, acceleraţia şi viteza areolară a punctului material şi să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de raza vectoare r.

Răspunsuri Traiectoria de ecuaţie este o spirală logaritmică; r r eθ= 0

v r e t= 2 0λλ a r e t= 2 0

2λ λ ; ; Ω = ; r e t02 2 2λ λ r2er2R t

0c == λ . 2.1.17. Ştiind că în mişcarea plană a unui punct material P, în orice

moment al mişcării sale viteza şi viteza areolară faţă de un punct O din planul mişcării verifică relaţiile:

v rr

=2 0

2λ , Ω =

λr02

2 ,

r OP= r OP0 0, t0 0= este raza vectoare iniţială la momentul unde = , iar λ este o constantă pozitivă dată, să se determine legea sa de mişcare în coordonate polare, măsurând unghiul polar de la raza vectoare iniţială, ecuaţia traiectoriei, viteza, acceleraţia şi raza de curbură a traiectoriei sale.

Răspunsuri

r r t= +0 1 2λ , θ λ= +ln 1 2 t ; r r ; e= 0θ v r

=+2 0λ

λt1 2

( )

;

a rt

=+

21 2

20

3 2

λ

λ( )R r t rc = + =0 2 1 2 2λ ; .

2.1.18. Sistemul format din două bare AM şi MB de aceeaşi lungime l , articulate între ele în M, se mişcă în planul Oxy astfel încât celelalte extremităţi ale barelor se mişcă pe axa Ox după legile:

( )x lf tA = , ( )

x klf tB = ,

2.1 - Cinematica punctului material 103 unde funcţia adimensională de timp f(t) şi constanta pozitivă k se consideră cunoscute.

a) Să se determine legea de mişcare a punctului M în coordonate polare şi ecuaţia traiectoriei sale în coordonate carteziene.

b) Pentru k = 3, să se afle expresia funcţiei f(t), astfel încât puntul M să se mişte uniform cu viteza 2λl pe un arc al traiectoriei determinate. În acest caz, să se precizeze arcul de traiectorie pe care se mişcă punctul considerat şi să se calculeze valoarea acceleraţiei sale.

Răspunsuri

( ) ( )⎟⎟⎞

+tf

k ; R2 . a) k1Rr +== l , ⎠

⎜⎜⎝

⎛=θ tf

R2arccos l x y2 2+ =

b) ( )f t ⎛⎝⎜

2cos λt t= − ⎞⎠⎟± ⎛

⎝⎜34 2cosπ

λ − ⎞⎠⎟−

31π

, 0 23

≤ ≤t πλ

,

− ≤π3 3

≤θπ

, l22a λ= .

2.1.19. Cadrul plan din fig. 2.1.19, constituit din barele drepte AB şi CE solidarizate în C şi perpendiculare între ele, se mişcă în planul Oxy astfel încât cele două bare trec prin manşoanele articulate în O, respectiv în punctul D de pe axa Ox, iar unghiul dintre bara AB şi axa Ox variază în timp după legea θ = λt

OD CB d, unde λ este

o constantă pozitivă dată. Cunoscând = = , să se determine legea de mişcare a punctului B în coordonate polare, ecuaţia traiectoriei sale, precum şi valorile absolute ale vitezei şi acceleraţiei sale la un moment t al mişcării. De asemenea, să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi de raza vectoare.

Răspunsuri

Fig. 2.1.19

( )r d t= +1 cosλ , θ ; λ= t( )r d= +1 cosθ reprezintă ecuaţia

unei cardioide în coordonate polare;

v d t= 2

2λ

λcos ;

a d t= +λ λ2 5 4cos ;

( )R d t rdc = + =23

2 1 23

2cosλ .

104 Cinematica - 2

2.1.20. Mecanismul din fig. 2.1.20, format din bara AB ce trece printr-un manşon articulat în O şi manivela CD de lungime l , articulate între ele în D, se

mişcă în planul Oxy astfel încât manivela se roteşte în jurul punctului fix C de pe axa Ox după legea ϕ λ= 2 t , unde λ este o constantă pozitivă dată. Cunoscând

l=OC şi l≤= bBD , să se determine legea de mişcare a punctului B în coordonate polare, ecuaţia traiectoriei sale şi valorile absolute ale vitezei şi acceleraţiei acestui punct la un moment t al mişcării sale. De asemenea, pentru să se exprime raza de curbură a traiectoriei sale în funcţie de timp şi în funcţie de unghiul polar θ din figură.

Fig. 2.1.20

l=b

Răspunsuri

tcos2br λ+= l λ= t

θ+= cos2br l

, θ ;

reprezintă ecuaţia unui melc al lui Pascal în coordonate polare;

tcosb4b4v 22 λ++λ= ll ; tcosb8b16a 222 λ++λ= ll

( ) ;

( )( )

θ+θ+

=λ+

λ+=

cos23cos45

3tcos233tcos45R

2323

cl

l .

2.2 - Cinematica vibraţiilor 105

2.2. Cinematica vibraţiilor 2.2.1. Un mobil are o mişcare rectilinie dată de legea:

( ) [ ]xt

m11 1

= −−π

sin , 2 2πunde timpul se măsoară în secunde. Legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

pul se măsoară în secunde. Legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

[ ]x x x x kx m2

1 11

1103

10 5= + + +π π

&&&

&&& . 2

a) Pentru k = 0 , să se determine amplitudinea A a mişcării rezultante a celui

de-al doilea mobil, precum şi defazajul ψ faţă de mişcarea primului mobil, folosind atât reprezentarea vectorială, cât şi cea prin numere complexe a mărimilor armonice.

b) Să se determine valoarea constantei k pentru ca mişcările celor două mobile să fie în fază şi în acest caz să se scrie legea mişcării rezultante a celui de-al doilea mobil.

Rezolvare

a) Legea mişcării rectilinii a primului mobil se mai poate exprima sub forma:

Fig. 2.2.1

[ ]x m1 2 21

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

π π πsin cost t2 2

1π 2π

,

deci vibraţia sa armonică are amplitudinea [ ]x m0

21= π , pulsaţia [ ]ω π= −2 1s şi faza

iniţială ϕ = 0 . Ca urmare, derivata de ordinul n în raport cu timpul a acestei legi de mişcare va fi o mărime armonică cu aceeaşi pulsaţie, defazată înaintea mişcării cu unghiul nπ 2

x n0ω k

şi având amplitudinea . Pentru = 0 n = 0 1 2, , şi , în fig. 2.2.1 s-au reprezentat cei 3 vectori rotitori în planul Oxy în jurul originii axelor, care corespund

106 Cinematica - 2 celor trei componente armonice de aceeaşi pulsaţie ale mişcării rezultante a celui de-al doilea mobil. Din figură rezultă imediat:

A m=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=3

201

10120

0 12 2

, , tgψ = 3 , ψπ

=3

.

Dacă se foloseşte reprezentarea prin numere complexe a mărimilor armonice, legea de mişcare a primului mobil va fi reprezentată de numărul complex:

z t i t ei t1 2 2

21 1= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

π π πcos sin2 2π π

.

Numărul complex ce reprezintă vibraţia armonică a celui de-al doilea mobil rezultă succesiv:

( )

z z z z z i z z z i

e e ei t i i t

2

2

1 1 1

2

1

2

1

2

1

2

1

22 3 2 3

103

1015 10

320 20 10

12

32

1 1

= + + = + − = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= ⋅ ⋅ = +

π π π π π π

π π π π π

& &&

,210 10π

de unde se obţin aceleaşi valori pentru A şi ψ.

b) În fig. 2.2.1 s-a reprezentat cu linie întreruptă şi cel de-al patrulea vector, corespunzător celei de-a patra componente armonice a mişcării mobilului al doilea, dacă constanta k este diferită de zero şi pozitivă. Din condiţia ca vibraţia sa armonică să fie în fază cu cea a primului mobil, rezultă:

3=

kπ20 8

, k =2 35π

, [ ]x t t m21 0 05= =cos , cos

20 2 2π π

.

2.2.2. O forţă perturbatoare ce acţionează într-un sistem vibrant are variaţia în timp din fig. 2.2.2, care se poate exprima analitic prin:

( ) ( )F t F sign t= 0 sinω , unde şi sunt constante pozitive date. Această forţă fiind periodică cu perioada F0 ωT = 2π ω , să se dezvolte în serie Fourier.

Rezolvare Dezvoltarea în serie Fourier a forţei perturbatoare date este:

( ) ( )F t a a n t b n tn nn

= + +=

∞

∑0

12cos sinω ω ,


pentru care coeficienţii se calculează cu formulele cunoscute:

( )a F t d00

2

= ∫ωπ

π ω

t , ( )a F t n tdn = ∫ωπ

ωπ ω

cos0

2

t , ( )b F t nn = ∫ωπ

ωπ ω

sin2

tdt0

( )

.

Deoarece în prima perioadă de variaţie a forţei, aceasta se poate exprima sub forma:

Fig. 2.2.2

F t

F t

t

F t

=

− ∈

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0

0

∈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

0 0 2

2

, , ,

, , , ,

, , ,

πωπω

πω

πω

πω

coeficienţii şi rezultă nuli, iar pentru

se obţine: a0 an

bn

( )bn

n t n t Fn

n kn = − + = = −⎨⎩⎪

π ωω ω

ππ ω0 04 2 1cos cos

,

, .

( )

F n k k N= ∈⎧⎪∗

ω π ω π ω0 21 0 2, ,

Ca urmare, dezvoltarea în serie Fourier a forţei date va fi: ( )F t F k t

kF t t t

k

=−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

∞

∑4 2 12 1

4 13

3 15

50

1

0

πω

πω ω ω

sinsin sin sin ...

x A t= +cos ω ϕ T s

.

2.2.3. Un punct execută o vibraţie armonică pe axa Ox după legea . Ştiind că perioada mişcării este ( ) = 4 t s1 6=

x m1 0 05= , şi că la momentul

punctul are elongaţia şi viteza v m s1 0 0785,= − , să se exprime numeric legea sa de mişcare, măsurând elongaţia în metri şi timpul în secunde.

Răspuns

[ ]t m− ⎞⎟

220 2

34

cos π π

x A t= sinωx1 v1 x2 v2

x = ⎛⎝⎜ ⎠

.

2.2.4. Un punct execută o vibraţie armonică pe axa Ox după legea

. Ştiind că la momentele t1 şi t2 din prima perioadă a mişcării, elongaţia şi viteza punctului sunt şi , respectiv şi , să se determine:

108 Cinematica - 2 a) amplitudinea A, pulsaţia Τ şi cele două momente; b) legea mişcării şi momentele t1 , t2 pentru datele numerice:

x x1 2 3 20= = = m0 0866, , v v1 2 m s0 1− = , . =

Răspunsuri

a) A v x v xv v

=−−

22

12

12

22

22

12 , ω =

−−

v vx x

22

12

12

22 ,

t arctg xv1

1

1

1=ω

ω , t a2

2

1=ω

rctg xv

2ω ;

b) [ ] , x t m= 0 1 2, sin

t t2 123

= = = s1 047π , .

2.2.5. Vibraţia armonică a unui punct este descrisă de legea:

[( ) ]x x mm= t +0 25cos ψ , în care timpul se exprimă în secunde.

a) Dacă la momentul iniţial t0 0= al mişcării punctului sunt date elongaţia x = 0 şi viteza [ ]x m s3 , să se determine amplitudinea x0 şi faza iniţială ψ.

& ,= −0 125

x1 5 2= cos

b) Ştiind că mişcarea determinată este rezultanta compunerii a două vibraţii armonice coliniare de aceeaşi pulsaţie, dintre care prima componentă este

[ ]t mm5 , să se afle cea de-a doua componentă.

Răspunsuri

x mm0 5 3 8 66= = ,a) ,

ψ =2

. π

b) [ ]mm⎠⎟

. x t2 10 25 23

= +⎛⎝⎜

⎞cos π


2.2.6. Un mobil are o vibraţie rectilinie armonică dată de legea . Legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

x x t1 0= cosω

x x dt x xt

2 1 1 1 2 12 2 1 1= + + +∫ω ω ω

& &x0

& .

Să se determine legea mişcării rezultante a celui de-al doilea mobil, folosind atât reprezentarea vectorială, cât şi cea prin numere complexe a mărimilor armonice.

Răspuns

x x t2 024

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos ωπ

x x t1 0= cosω

.

2.2.7. Un mobil are o vibraţie rectilinie armonică dată de legea . Legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

x x x x x2 1 1 2 1 3 12 3 2 3

= + + +ω ω ω

& && &&& .

Să se determine legea mişcării rezultante a celui de-al doilea mobil, folosind atât reprezentarea vectorială, cât şi cea prin numere complexe a mărimilor armonice.

Răspuns

x x t2 02 23

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos ωπ

.

2.2.8. Legea mişcării rectilinii a unui mobil este:

[ ]x t cm1 3 23

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin π ,

unde timpul se măsoară în secunde. Ştiind că legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

110 Cinematica - 2

x x dt x x xt

2 1 1 1 14 2 12

14

= + + +∫ & &0

& ,

să se determine această lege de mişcare şi defazajul mişcării primului mobil faţă de aceasta, folosind cele două reprezentări cunoscute ale mărimilor armonice.

Răspunsuri

[ ]x t cm2 3 2 212

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos π πΔΦ = , .

4

2.2.9. Legea mişcării rectilinii a unui mobil este:

[ ]x t cm1 2= − −⎛⎜

⎞⎟sin π

x x x x x2 1 1 1 12 8

, 2 3⎝ ⎠

unde timpul se măsoară în secunde. Ştiind că legea mişcării rectilinii a unui alt mobil se poate exprima în funcţie de cea a primului mobil prin:

= + − −& && &&& , să se determine această lege de mişcare şi defazajul acesteia faţă de mişcarea primului mobil, folosind cele două reprezentări cunoscute ale mărimilor armonice.

Răspunsuri

[ ]x t cm2 3 22

512

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos π π ,

4=

x x t1 03 2

ΔΦ .

2.2.10. Un punct material are o mişcare rectilinie compusă din două vibraţii

armonice coliniare, ale cărei componente sunt: sin= ω ,

x x t2 02 3sin= ω ,

unde şi sunt constante pozitive cunoscute. Să se determine valorile extreme ale amplitudinii mişcării rezultante, momentele la care sunt atinse, perioada de variaţie a amplitudinii şi perioada mişcării rezultante.

x0 ω


Răspunsuri

A xmax = 5 0 , ωπ

=k2tk A xmin 0 ( ) ,

π, =

ω−= 1k2tk

*Nk∈ , , ′ = =T T 2πω

x x t1 04

.

2.2.11. Un punct material are o mişcare rectilinie compusă din două vibraţii

armonice coliniare, ale cărei componente sunt: cos= ω ,

x x t2 0 2cos= ω , unde x0 şi ω sunt constante pozitive cunoscute. Să se determine:

a) valorile extreme ale amplitudinii mişcării rezultante, momentele la care sunt atinse, perioada de variaţie a amplitudinii şi perioada mişcării rezultante;

b) valorile extreme ale vitezei punctului material şi poziţiile sale la momentele în care sunt atinse.

Răspunsuri

a) , A xmax = 5 0 ωπ

=k2tk , 0min x3A = , ( )

ωπ

−1k2 , *Nk∈ , =tk ′ = =T T 2πω

;

b) v xmax = ( )3 3 0ω , x vmax3

( )x vmin

x=2 0 ,

vmin = 0 , x= −3 0 .

2.2.12. Un mobil are o mişcare rectilinie compusă din două vibraţii armonice coliniare cu pulsaţiile de valori apropiate, ale cărei componente sunt:

x t1 0 007 0 051= +⎛⎜

⎞⎟, sin , π

π ,

3⎝ ⎠

[ ]x t m2 0 013 0 0536

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, cos , ππ

,

unde timpul se măsoară în secunde. Să se determine valorile extreme ale amplitudinii mişcării rezultante, momentele la care sunt atinse, perioada bătăilor şi perioada mişcării rezultante.

112 Cinematica - 2 Răspunsuri

A m2 k min ,max ,= 0 0 , , A m0 006 )1k2(500tk1000tk = = −= , , , k N∈ ∗

′ =T s103 = ⋅2 103 , T s .


x t0 064 169= +⎛⎜

⎞⎟, sin π

π1 6⎝ ⎠

, [ ]x t0 036 182= −⎛⎜

⎞⎟, cos π

π m2 3⎝ ⎠ ,

unde timpul se măsoară în secunde. Să se determine valorile extreme ale amplitudinii mişcării rezultante, momentele la care sunt atinse, perioada bătăilor şi perioada mişcării rezultante.

Răspunsuri

A mmax ,= 0 1 , 13

k2tk = A mmin ,, = 0 028 , 13

1k2tk−

= k N∗ , ∈, [ ]′ = =T T s213

x t1 0 05 3= , cos

.


, [ ]x t m2 0 154

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, cos ππ

,

unde timpul se măsoară în secunde. Să se determine valorile extreme ale amplitudinii mişcării rezultante, momentele la care sunt atinse, perioada bătăilor şi să se arate că mişcarea rezultantă nu este periodică.

Răspunsuri

A mmax ,0 2 ( )= , ( )

34tk −π

A mmin ,0 1 , ( )1k8 π+

= , = ( )34tk −π

3k8 π−= , , k N∈ ∗

[ ]s3

2T−ππ

=′ . Mişcarea rezultantă nu este periodică pentru că raportul π

=ωω

=2

TT

2

1

1

2

este iraţional.


2.2.15. Pentru vibraţia rectilinie amortizată a unui punct se cunosc: pseudoperioada , decrementul logaritmic T = 5 s δ = 0 2, , poziţia iniţială şi viteza iniţială

x m0 0 025= ,v m s0 10= − 3− . Să se determine legea mişcării punctului şi ecuaţiile

curbelor pe care sunt situate punctele de extrem din diagrama mişcării sale, dacă timpul se exprimă în secunde.

Răspunsuri

[x e tt= −0 025 0 40 04, cos ,, π ]x e me t1 2

0 040 024,,,= ± −

1

. , 2.2.16. Un punct execută o vibraţie amortizată pe axa Ox după legea

. Ştiind că la momentele şi date, în diagrama mişcării punctului se ating primul maxim de valoare , respectiv primul minim de valoare

, valori de asemenea cunoscute, care verifică relaţia:

x Ae tt= −ε ωsin

x2 0<

t1

x1

t t2 >0>

2

12212

2

12

1

xxln

tttsin

t+π

ttsin π

=−π

−=−π

, să se determine:

a) valorile pentru constantele pozitive A, ε şi Τ; b) legea mişcării punctului pentru datele numerice: t s1 2 5= , , 2 12 5= , , t s

x e142 0= =π dm645, , x e2

5 42= − = −π dm0 028, , timpul fiind măsurat în secunde.

Răspunsuri

a) ωπ

=−t t2 1

, ( )12 t-t2T , = ε =−1

2 1 2t tx1

xln ,

A x xt

t t

=⎛⎜

⎞⎟

−1 1

1

2 1

πx

xx⎝ ⎠

+2

2 2 1

2πln ;

b) [ ]dm . x e tt= −210

10π πsin

114 Cinematica - 2 2.2.17.

x x e= 0

la un moment

.17.x x e= 0

la un moment

Un punct execută o vibraţie amortizată pe axa Ox după legea Un punct execută o vibraţie amortizată pe axa Ox după legea ptt−ε cos . Cunoscând pseudoperioada T şi decrementul logaritmic δ şi ştiind că ptt−ε cos . Cunoscând pseudoperioada T şi decrementul logaritmic δ şi ştiind că

t T1 4< al mişcării punctului sunt date elongaţia x1 0> şi viteza sa v1 0< , să se de

a) momentul t1

termin, elongaţia x şi viteza v la momentul t t T2 1

e:

2 2 = + ;

b) legea mişcării punctului şi ecuaţ

iile curbelor pe care sunt situate punctele de extrem din diagrama mişcării sale pentru datele numerice: T s= 4 , δ = 0 4, ,

x e m1 0 05 2 0 067= =, , , sm112,0x1,0v 11 −=⎟0 05,

2 ⎠⎜⎝

+−= , timpul fiind măsurat

în secunde.

R

⎞⎛ π

ăspunsuri

a)

t T arctgx1

1

2 2= −

⎝⎜ ⎟

π πδ

, v T⎛ ⎞

1 2 ⎠πx x

21= ,

eδ v v2

1 0= < ;

b)

eδ

x e tt= −0 1 0 1, cos, π , x ee t

1 20 10 099,

,,= ± − .

2.2.18. În fig. 8.1

Pro

mişcarea tachetului este periodică cu perioada

2

2.2.1 ) este reprezentat un mecanism cu camă, la care cama are o mişcare de rotaţie uniformă în jurul articulaţiei O1 , cu viteza unghiulară ω.

filul camei este astfel realizat, încât tachetul mecanismului are o mişcare rectilinie după legea dată prin diagrama din fig. 2.2.18.2), h şi Τ fiind cunoscute. Deoarece

Fig. 2.2.18.1) Fig. 2.2.18.2)

T 2= π ω , să se dezvolte în serie Fourier.

2.2 - Cinematica vibraţiilor 115 Răspuns

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

x t h hk

k t k t

kk t

kk t k t

k

= −−

− + −⎛

⎝⎜⎜ +

+−

− +−

− − −⎞

⎠⎟⎟

=

∞

∑243

24 3

4 3 4 3

12 1

4 2 24 1

4 1 4 1

2 21

2 2

πω ω

ω ω ω

cos sin

cos cos sin .

2.2.19. Pentru mecanismul cu camă din fig. 2.2.18.1), profilul camei,

reprezentat cu linie discontinuă, este astfel realizat, încât tachetul său are o mişcare rectilinie după legea dată prin diagrama din fig. 2.2.19, unde h şi Τ sunt cunoscute. Mişcarea tachetului fiind periodică cu perioada T 2= π ω , să se dezvolte în serie Fourier.

Răspuns

( )x t h h n tn

h h t tn

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

∞

∑2 2221π

ωπ

ωωsin sin sin ... .

2.2.20. Momentul cuplului transmis de cilindrul unei pompe cu piston cu

simplu efect arborelui principal al pompei variază în timp după legea din fig. 2.2.20, care se exprimă analitic sub forma:

( )

( ) ( )M

nt

n=

+≤ ≤

+⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0

02 1 2 1

, ,

ω ωπ

ωπ

ωn N∈ M0

M t n tn

≤ ≤+⎧ 2 2 1

sin , ,ωπ π

unde , iar şi Τ sunt constante pozitive cunoscute. Acest moment având o variaţie periodică cu perioada T = 2π ω , să se dezvolte în serie Fourier.

Răspuns

( )M t M k tk

M tk

= −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

∞

∑02

1

01 2 24 1

1 23

2π

ωπ

ωcos cos ... .

Fig 2 2 19 Fig 2 2 20

2.3. Cinematica corpului rigid 2.3.1. În mişcarea unui corp rigid, având sistemul de referinţă legat de el

Oxyz, se cunosc, în orice moment al mişcării, vitezele punctelor sale , şi

( )A R , ,0 0

( )B R R R, , ( )C R0 0, ,

( )r r rv R j kA = +λ λ2 sin

, exprimate prin:

t , ( )r r r rv R i j kB = − + +λ λ2 sin t ,

( )r r r rv R i j k tC = − + +λ λsin ,

unde λ este o constantă pozitivă dată.

a) Să se arate că vitezele acestor puncte verifică proprietăţile generale ale distribuţiei de viteze ale unui corp rigid.

b) Să se studieze distribuţiile de viteze şi de acceleraţii ale rigidului la un moment t al mişcării sale, determinând parametrii cinematici, viteza şi acceleraţia de alunecare, precum şi axele instantanee pentru distribuţiile de viteze şi de acceleraţii ale rigidului.

Rezolvare a) Deoarece viteza unghiulară a rigidului nu este cunoscută, se poate verifica

numai proprietatea conform căreia proiecţiile vitezelor a două puncte din rigid pe dreapta care le uneşte sunt egale. Pentru aceasta, se calculează versorii celor trei drepte determinate de câte două din punctele A, B şi C:

( )r r re AB

ABj k1

22

= = + , ( )r r re AC

ACi j2

22

= = − + , ( )r r rCBBC

i k32

2= = +e ,

cu ajutorul cărora se verifică această proprietate după cum urmează:

( )

( )

( )

r r r r

r r r r

r r r r

v e R t v e R t

v e R t v e R t

v e R t v e

A B

A C

B C

⋅ = + = ⋅ =

⋅ = = ⋅ = +

⋅ = − + = ⋅ =

1 1

2 2

3 3

22

2 1 3 22

2 22

1 1

22

1 1 0

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

sin sin ,

sin sin ,

sin .

2.3 - Cinematica corpului rigid 117 b) Pentru studiul distribuţiei de viteze a rigidului, în primul rând este necesar

să se determine parametrii cinematici corespunzători, adică vectorul viteză unghiulară rω al rigidului şi viteza rvO a originii sistemului de referinţă legat de el. Pentru aceasta, se aplică formula generală de distribuţie a vitezelor punctelor A, B şi C, ale căror viteze sunt date, alegând ca nou punct de referinţă punctul C, adică:

r r rv v CA C= + ×ω A , r r rv v CBB C= + ×ω .

Proiectând aceste relaţii pe axele sistemului de referinţă legat de rigid, se obţin ecuaţiile: 0 = − +λ λ ωR t Rsin z , 2λ λ λ λ ωR t R t Rsin sin z= + , , 0 = +ω ωx y

0 R y= ω , ( )λ λ λ λ ω ω= + −2 , , R t R t R z xsin sin 0 R y

ω ωx y= = 0

= − ωdin care rezultă:

kr

. , ω λ λz tsin tλsinλ= , ωr=

Vectorul viteză unghiulară al rigidului fiind astfel determinat, se poate calcula viteza originii sistemului de referinţă legat de el:

( )r r r r rv v CO R j k= + × = +ω λ sin tO C λ ,

precum şi viteza de alunecare:

tsinRvu O λλ=ω

⎟⎞

⎜⎛ ω

=ω⎠⎝ ω

rr

orr

kr

,

cu ajutorul căreia se analizează cazurile posibile de distribuţie a vitezelor rigidului la un moment t al mişcării sale. Se observă că la momentele t kk = π λ , , atât viteza unghiulară cât şi viteza de alunecare sunt nule, deci la aceste momente rigidul va avea o distribuţie de viteze de repaus. La orice moment

k N∈

t t k≠ , distribuţia de viteze a rigidului va fi de rototranslaţie, deoarece viteza unghiulară şi viteza de alunecare sunt coliniare şi diferite de zero. Pentru a determina axa instantanee de rototranslaţie Δ′, corespunzătoare distribuţiei de viteze a rigidului la momentele t t k≠ , se impune condiţia ca viteza unui punct curent Q de pe ea să fie egală cu viteza de alunecare, adică:

r r r rv r uO Q+ × =ω , de unde rezultă:

− =y tλ λsin 0 λ , λ λ λR t x tsin sin 0 x ; R+ = = − , . y = 0Pentru studiul distribuţiei de acceleraţii a rigidului, trebuie determinaţi mai

întâi parametrii cinematici corespunzători, adică vectorul acceleraţie unghiulară rε al

rigidului şi acceleraţia raO a originii sistemului de referinţă legat de el, cunoscând parametrii cinematici pentru distribuţia vitezelor. Expresiile analitice ale acestor vectori devin:

118 Cinematica - 2

( )( )

itsinRtcoskjRvt

va

,ktcostdt

d

22

222O

OO

2

rrr

rrrrrr

r

.ktcosjtcositsinR

rrrr

=λλ−λ+λ=×ω+∂∂

=

λλ=∂ω∂

=ω

=ε

λ+λ+λ−λ=

Se observă că vectorii viteză şi acceleraţie unghiulară sunt coliniari şi nu se anulează simultan, astfel încât cazurile de distribuţie a acceleraţilor rigidului la un moment t al mişcării sale se analizează în funcţie de acceleraţia de alunecare, care este:

r rr r

rr r r

w a a R tO O= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ω kω ε

εεε

λ λ2 cos . ω

( )ω

La momentele t nn = +2 1 2π λ , n N∈ , acceleraţia de alunecare se anulează, deci la aceste momente rigidul va avea o distribuţie de acceleraţii de rotaţie în jurul unei axe, deoarece viteza unghiulară este diferită de zero. La orice moment t t n≠ , acceleraţia de alunecare este nenulă şi distribuţia de acceleraţii a rigidului va fi de rototranslaţie. În ambele cazuri, axa instantanee de rotaţie sau rototranslaţie Δ″ va fi aceeaşi, deoarece ecuaţiile ei se obţin din condiţia ca acceleraţia unui punct curent P de pe ea să fie egală cu acceleraţia de alunecare, adică:

( )r r r r r r ra r r w

= 0tλ λ 0R t x y tcos sin =

O P P

2 2 2 2 2

+ × + × × =ε ω ω , de unde rezultă:

− − −λ λ λ λ λ λR t y t xsin cos sin2 2 2 2

, λ λ ; λ λtcos+ −

x R= − , y 0 . =

Se observă că axele instantanee Δ’ şi Δ″ coincid, deci mişcarea absolută a rigidului va fi o mişcare de rototranslaţie faţă de axa fixă paralelă cu Oz, pe care se mişcă punctele sale de coordonate

O z1 1

( )−R z, ,0 în raport cu sistemul de referinţă legat de el. Mai mult, alegând sistemul de referinţă fix astfel încât, la momentul iniţial

al mişcării, punctul O să se afle pe axa la distanţa R de O , rezultă că rigidul are o mişcare de şurub, punctul său O mişcându-se pe elicea cilindrică de ecuaţii parametrice:

t0 0= O x1 1 1

z RO1

x Ry R

O

O

1

1

==

cos ,sin ,

= ,

θθ

θ

O z1 1

în care unghiul θ dintre axele şi Ox, măsurat într-un plan perpendicular pe axa de rototranslaţie , variază în timp după legea:

O x1 1

2.3 - Cinematica corpului rigid 119

[ ]θ ω λ λ λ= = = −∫ ∫dt tdt t Radt t

1sin cos0 0

t t

.

2.3.2. Legea de mişcare a unui corp rigid este dată prin legea de mişcare a originii sistemului de referinţă Oxyz legat de el faţă de sistemul de referinţă fix

şi prin exprimarea unghiurilor lui Euler ca funcţii de timp, sub forma: , ,

O x y z1 1 1 1

x RO = cos1 0ω y RO1 0= sinω z O1 0= , ψ ω= 0t , θ π= 2 , ϕ λ , unde R, şi λ sunt constante pozitive cunoscute.

ω= 0tω 0

a) Să se studieze distribuţia de viteze a rigidului la un moment t al mişcării sale, determinând parametrii cinematici corespunzători, viteza de alunecare şi ecuaţiile axei instantanee de rototranslaţie faţă de sistemul de referinţă fix şi faţă de cel legat de rigid.

b) Să se determine axoidele mişcării rigidului. c) Pentru λ = 1 să se studieze distribuţia de acceleraţii a rigidului,

determinând parametrii cinematici corespunzători şi polul acceleraţiilor. d) În condiţia de la punctul c), să se calculeze viteza şi acceleraţia punctului

P1 de pe direcţia pozitivă a axei Ox, situat la distanţa R de O, la momentele ( )t kk = +2 1 0π ω , k N∈ .

Rezolvare a) Matricea de transfer a rigidului este:

[ ] [ ][ ][ ]A A A At t t t tt t t t t= =

−− −

⎡⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ψ θ ϕ

ω λω ω λω ωω λω ω λω ω

cos cos cos sin sinsin cos sin sin cos

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v A R t⎨ ⎬

⎭⎪

⎨ ⎬0cos ⎨ ⎬

⎭⎪

cos t

O 0 0

0⎨

⎩⎪

⎬

⎭⎪ ⎪

⎭

⎬⎪⎩

⎨ω0

00

,

t tλωcos0 0 0

ωω λωω λω=⎧⎪

⎫⎪

0 0sin t

⎣⎢ λωsin

{ } [ ]R t

T=−⎧⎪

⎫⎪ =

⎧⎪

⎫⎪

ω ωω ω

0 0 0sin

astfel încât parametrii cinematici pentru studiul distribuţiei de viteze se pot exprima atât prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă legat de rigid:

R−⎩⎪ ⎭⎪ω 0 λω⎩

⎪0 0

0

( ){ } [ ]{ } ⎪⎫

⎪⎧

ωλω−ωλω

=ω=ω00

1 tcostsin

A

O

⎩⎪

0 0

0

( ){ }vR t

R t10 0

=−⎧⎪

⎫⎪

ω ωω ω

sincos

, { } ,

cât şi prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă fix:

, .

120 Cinematica - 2 De aici rezultă imediat valoarea algebrică a vitezei de alunecare:

u v RO= ⋅ = − ≠r

+

rωω

λ ω

λ102

0 ,

deci la orice moment al mişcări rigidului distribuţia sa de viteze va fi de rototranslaţie faţă de axa instantanee (Δ), ale cărei ecuaţii se determină din condiţia:

r r rr

v rO + × =ω uωωΔ .

Proiectând această ecuaţie pe axele sistemului de referinţă mobil legat de rigid, se obţin ecuaţiile corespunzătoare ale axei (Δ):

x t y t Rcos sinλω λω0 0 0− + =λ21+

, x t y t zsin cosλω λω0 0 0+ −λ= . (1)

Pentru a determina ecuaţiile axei (Δ) faţă de sistemul de referinţă fix, se înlocuieşte în ecuaţia sa vectorială: r r rr r rΔ Δ= −1 10 , după care, prin proiectarea ei pe axele fixe, rezultă:

x t y t R1 0 1 0

2

0cos sinω ωλ

+ − =21 λ+ , x t y t z1 0 1 0 1 0sin cosω ω λ− − = . (2)

b) Ecuaţia axoidei fixe se obţine prin eliminarea timpului între ecuaţiile (2)

ale axei instantanee de rototranslaţie faţă de sistemul de referinţă fix. De asemenea, ecuaţia axoidei mobile se determină din ecuaţiile (1), prin eliminarea timpului. Ca urmare, ecuaţiile axoidelor rezultă:

(AF) ( )

x y z R12

12 2

12

4 2

2 21

+ = ++

λλ

λ ,

(AM) ( )

x y z R2 22

2

2

2 21

+ = ++λ λ

.

Se observă că ambele axoide sunt hiperboloizi de rotaţie cu o pânză, axoida fixă (AF) având centrul şi axa de simetrie , iar axoida mobilă (AM) are centrul O şi axa de simetrie Oz.

O1 O z1 1

c) Distribuţia de acceleraţii a rigidului la un moment t al mişcării sale se va

studia iniţial faţă de sistemul de referinţă mobil legat de el. Pentru λ = 1, parametrii cinematici necesari pentru studiul distribuţiei de acceleraţii devin:

{ } [ ]a AR tR t

R tR tO

T=−−

⎧

⎨⎪

⎪

⎫

⎬⎪

⎪=

−⎧

⎨⎪

⎪

⎫

⎬⎪

⎪

ω ωω ω

ω ωω ω

02

0

02

0

02

0

02

0

0 0

cossin

cossin

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

,


{ }ωω ωω ω

ω=⎧

⎨⎪

⎪

⎫

⎬⎪

⎪

0 0

0 0

sincos

tt

⎩ ⎭0 ⎩ ⎭

, { } . εω ωω ω= −

⎧

⎨⎪

⎪

⎫

⎬⎪

⎪

02

0

02

0

0

cossin

tt

Deoarece produsul vectorial: ( )k-jtωcos+itωsinω=ε×ω 000

3rrrrr

nu se poate anula, rezultă că, în orice moment al mişcării rigidului, distribuţia sa de acceleraţii va fi de rotaţie în jurul unui pol J, a cărui poziţie se determină din condiţia:

( )r r r r r r ra r rO J J 0

⎩

tt0ω

+ × + × × =ε ω ω . Proiectând această ecuaţie pe axele sistemului de referinţă legat de rigid, se obţine sistemul linear şi neomogen de 3 ecuaţii algebrice:

( )( )

− + + =− + + =

+ − =

⎧

⎨⎪

⎪

x t y t t Rx t t y t Rx t y t z

J J

J J

J J J

11

2 2 0

20 0 0

0 02

0 0

0 0

cos sin cos cos ,sin cos sin sin ,sin cos ,

ω ω ωω ω ω ωω ω

− × ≠r r 2ω ε 0 , deci rezultă soluţia unică: care are determinantul

x R tJ = − 2 0cosω , y R tJ = 0sinω2

, zJ = 0 .

Coordonatele polului acceleraţiilor faţă de sistemul de referinţă fix se pot determina pe baza relaţiei matriceale cunoscute:

( ){ } ( ){ } [ ]{ }r r A rR tR t R

tt R

ttJ O J1

11

10

0

0

0

0

02 20 0

= + =⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪+

−−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

cossin

cossin

cossin

ωω

ωω

ωω

O O1

,

0 ⎭⎪

deci polul acceleraţiilor se va găsi la mijlocul segmentului de dreaptă la orice moment al mişcării rigidului.

d) Pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei punctului P1 de coordonate ( )R , ,0 0 faţă de sistemul de referinţă legat de rigid, este mai uşor să se aplice formulele generale:

r r r rv v r= + ×ωO P1 1 , ( )r r r r r r ra a r r= + × + × ×ε ω ωO P P1 1 1

,

care se vor proiecta pe axele acestui sistem de referinţă. În condiţia de la punctul c), deci pentru , rezultă: λ = 1

( )r r rv R j R t k1 0 0 01 cos

( ) ( ) 2222

= − +ω ω ω ,

ktωsinωR2+jtωsintωcos+1ωR+itωcos+tωcos+1ωR=a 000000001

rrrr ,

122 Cinematica - 2

( )v R t 21 1= + +ω ωcos1 0 0

( ) ,

a R t1 02

0210 2= − −ω ωcos

t k

( )r

,

astfel încât, la momentele , viteza şi acceleraţia punctului devin: P1rv t R jk1 0= ω , ( )r r

a t R ik1 0

l l

2= − ω , având valori minime.

2.3.3. La un moment al mişcării tetraedrului regulat VABC cu muchiile de

lungime , viteza vârfului său A are valoarea = λ2vA , direcţia AV şi sensul spre V, viteza vârfului B este orientată după muchia AB cu sensul de la A spre B, iar viteza vârfului C este situată în planul feţei ABC.

a) Să se determine valorile vitezelor punctelor B şi C, precum şi unghiul α dintre viteza punctului C şi latura BC în planul feţei ABC.

b) Să se studieze distribuţia de viteze a tetraedrului la momentul considerat, determinând parametrii cinematici corespunzători, viteza de alunecare şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de referinţă Oxyz legat de el, având originea în centrul bazei ABC, axa Ox după OC şi Oz după OV.

Răspunsuri

lλ=321vC

o71rad24,13

35arctg ==a) lλ=Bv , =α , .

b) ( )k3j22i623

rrrr++

λ−=ω ; ( )k64v j21i33

18O

r r rlr+− +

λ= ;

( )k6j4i3435

2ur r rlr+

λ= + ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

,210

3197z22x

,7083z

362y

l

l

⎩ =− .6,1z83,2x l sau ⎨

⎧ =− ,2,1z63,1y l

2.3.4. Piramida dreaptă VABCD, aflată în mişcare, are ca bază pătratul ABCD şi toate muchiile de lungime l . La un moment al mişcării sale, vârful său A are viteza

2.3 - Cinematica corpului rigid 123 de valoare orientată după muchia AV cu sensul spre V, viteza vârfului B este dirijată după muchia AB, iar viteza vârfului C este situată în planul bazei sale.

lλ= 2vA

a) Să se exprime analitic vitezele punctelor B şi C faţă de sistemul de

referinţă Oxyz legat de piramidă, având originea în centrul bazei sale şi axele de coordonate Ox ||DA , Oy ||AB, Oz ||OV .

b) Să se studieze distribuţia de viteze a piramidei la momentul considerat, determinând parametrii cinematici corespunzători, viteza de alunecare şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de referinţă legat de piramidă.

Răspunsuri a) jvB

rl

rλ= vC , j2

rl

rλ= .

b) ( )ki2-rrr

+ ; λ=ω ( )k2v j3i-2O

r r rl+

r+

λ= ; u = 0 ;

2y l= ,

23z2 l

= . x −

2.3.5. La momentul [ ]t s1 2= π

m5,0 al

mişcării unui cub de muchie =l se ştie că vitezele rv1 , rv2 , rv3 ale vârfurilor sale , , respectiv sunt orientate după unele muchii ale sale, aşa cum sunt reprezentate în fig. 2.3.5.

A1 A2

A3

a) Să se determine relaţiile între valorile vitezelor considerate, din condiţia ca acestea să verifice proprietăţile generale ale distribuţiei de viteze a unui corp rigid.

b) Pentru v v1 2 v m s3 2= = = , să se studieze distribuţia de viteze a cubului la momentul t1 , determinând parametrii cinematici corespunzători, viteza de alunecare şi ecuaţiile axei

instantanee faţă de sistemul de referinţă Oxyz legat de cub, reprezentat în figură.

Fig. 2.3.5

c) Ştiind că în tot timpul mişcării cubului, viteza vârfului său A1 este dirijată după muchia A B1 şi că valoarea algebrică a acestei viteze, exprimată prin proiecţia ei pe axa Oy, variază în timp după legea ( ) [ ]t m s , să se determine acceleraţia

v t1 2= +sin cosra1 a punctului A1 la momentul t1 .

124 Cinematica - 2 d) Dacă tot timpul mişcării cubului, vectorii viteză şi acceleraţie unghiulară

sunt coliniari, să se studieze distribuţia de acceleraţii a cubului la momentul t1, determinând parametrii cinematici corespunzători, acceleraţia de alunecare şi ecuaţiile axei instantanee faţă de sistemul de referinţă legat de cub. Care trebuie să fie mişcarea absolută a cubului în acest caz?

Răspunsuri

a) . v v v1 2 3= =

b) r r

[ ]v jO = 2 m s ; [ ]r rω = 4i Rad s ;

u = 0 ; y = 0 , l=z .

[ ]r r ra j k m s2 . 1 2 8= − +c)

d) [ ]r rra j kO = − +2 8 m s2 ; [ ]r r

ε = −4 2i Rad s ; w = 0 ; y = 0 , l=z .

Mişcarea absolută a cubului trebuie să fie de rotaţie în jurul muchiei fixe CD cu viteza unghiulară ( ) [ ]r r

ω = +4 sin cost t i Rad s şi acceleraţia unghiulară

( ) [ ]rrε = −4 cos sint t i

)l

2Rad s , timpul fiind măsurat în secunde. 2.3.6. – 11. În mişcarea unui corp rigid, se cunosc variaţiile în timp ale

vitezelor punctelor sale , şi , exprimate prin proiecţii faţă de sistemul de referinţă Oxyz legat de rigid, după cum urmează:

P1 P2 P3

2.3.6. , ( )( 0,,0P1 ktsinvr

1 lr

λλ= ; ( )lll ,2 ,P ktsinjv2

r rr , l λ+λ=

) ;

, ( 0,0,P3 l ( )ktsinjiv3

rrrl

rλ++λ= ;

2.3.7. , ( )0,0,P ( )kitcosvrr

1 l 1 lr

+ ( )0,,0Pλλ= ; , 2 l

( )kjt ( )cosv2

rrl

r+λ−λ= kjtcosit

rrcosv3

rl

r( )l,0,0P3 +λ−λλ= ; , ;

2.3.8. , ( )0,0,P1 l ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +λ= sin2jv1

π k2t rr

lr ( )lll ,,P , ; 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ=v2

π++− k

2tsin2ji

rl

r r r ; ( )0,,0P3 l , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+− k2tsin2iλ=v3

rl

r r ;

2.3.9. , ( )0,0,P1 l ( )3tcoskiv1π

+λ−=rr

lr ( )0,0,P2 l− ; ,

( ) 3tcoskiv2π

+−λ=r r

lr

; ( )0,,03 lP , i3tcosv3

rπl

rλ−= ;

2.3 - Cinematica corpului rigid 125 2.3.10. , ( )0,0,P1 l ( )ktsin

r2lnv1

r ; ( )l λ+λ−= 0,,0P2 l ,

, ( ) ( )λ+−λ= ( )ktsin2lnvr

2 lr

λ+λ= ; ( )l,0,0P tsin2lnjivrr

3 3 lr

; 2.3.11. , ( )0,0,P1 l ( )itcos2lnv1

rr ; ( )l +λ= λ 0,,0P2 l ,

( ) jtcos2lnv2

rl

rλ+λ−= ; ( )l,0,0P3 , ( ) ( )λ+−λ= tcos2lnjiv3

rrl

r ;

unde timpul se măsoară în secunde şi λ este o constantă pozitivă dată. Să se studieze distribuţiile de viteze şi de acceleraţii ale rigidului la un moment t al mişcării sale, determinând parametrii cinematici corespunzători, viteza şi acceleraţia de alunecare, precum şi ecuaţiile axelor instantanee pentru distribuţiile de viteze şi de acceleraţii în raport cu sistemul de referinţă legat de rigid.

Răspunsuri

( )ktsiniv ( )O

rrktcosjaO

r2rr r

ω λ= kr rε =

rl

r0 λ+λ=2.3.6. ; ; ; l λ+λ= ;

ktsinur

lr

λλ= ktcosw 2r

lr

λλ= l=y0x = ; ; , .

( )ktcosrr

λλ=ω ktsin2rr

λλ−=ε kitO

rjtcosr

cosvr

lr

2.3.7. ; ; +λ

( )λ−λ= ;

( ) jtsintcositsintcosa 222 2O

rl

rl λ+λλ+λ−λλ= ku

rr r ; lλ=

l− ;

; . w = 0 == yx

krr

λ=ω2.3.8. ; r rε = 0 ; k

2tsin2uvO

rl

rr πλ== ; k

2tcoswaO

rl

rr ππλ== ;

x y= = 0 .

2.3.9. r rω λ

π= cos t j

3 ;

r rε

πλ π= −

3 3sin t j i

3tcosvO

rπl

rλ−= ; ;

k3t

cosi3tsin

3a 22

O

r rλ+

πl

lr π πλ= u w 0 x ; = 0 l=z= = ; , .

r(

2.3.10. ( ) ( )r r rω λ= +i j λln + sin2 t ;

)rr

ελ λ

λ=

+

+

2

2

i j t

t

cos

sinr rv a ; ; O O= = 0

u w= 0 x y= z ; , 0 . = =

126 Cinematica - 2

2.3.11. ; ( )r rω λ λ= +ln cos2 t k

r rε

λ λ= −

2 sin t kλ+2 cos t

;

( ) ( )λ+−λ=rrr tcos2lnjiv l ; O

( ) ( ) jtcos2lntsinitcos2lntcos2cos

tsina 2222O t2

rl⎜⎝ +

rl

r⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ++

λ+λ

λ+⎟⎠⎞⎛ λ++

λ−λ=

u w= = 0 l== yxλ

;

; .

2.3.12. Un corp rigid are o mişcare de rototranslaţie în raport cu axa fixă , fiind pus în mişcare de un şurub legat de rigid, care se mişcă într-o piuliţă fixă.

Se cunosc raza medie R a filetului şurubului, unghiul său de pantă O z1 1

α π= 6 şi valoarea,

constantă în timp, a vitezei unui punct A al filetului şurubului v RA = 2 3 3λ . Considerând sistemul de referinţă Oxyz legat de rigid cu axa Oz, legată de axa şurubului, aflată în mişcare pe şi cu axa Ox trecând prin A, să se determine: O z1 1

a) ecuaţia locului geometric al punctelor rigidului, care au unghiul dintre vitezele lor şi planul perpendicular pe axa şurubului de valoare π 3;

b) ecuaţia locului geometric al punctelor rigidului, care au vitezele perpendiculare pe viteza punctului A;

c) ecuaţia locului geometric al punctelor rigidului, ale căror acceleraţii formează unghiul α cu acceleraţia punctului A.

Răspunsuri

a) x y2 2+ =R⎛ ⎞

2

3⎝⎜ ⎠⎟

;

x R= −b)

3 ;

x y

ψ λ= t

c) = ± 3 .

2.3.13. Un corp rigid cu punctul fix O are o mişcare de precesie regulată, în care unghiurile lui Euler au expresiile:

π

θ , =2

, ϕ = λ2 t

λ fiind o constantă pozitivă cunoscută.

,


a) Să se determine vectorii viteză şi acceleraţie unghiulară ai rigidului la un

vitezele şi acceleraţiile punctelor moment t al mişcării sale.

b) Să se calculeze ( )0,0,P l şi 0,,0P2 l

idelor mişcării rigidului, precum

1

d( )

in rigid la un moment t al mişcării sale. c) Să se determine ecuaţiile axo şi ecuaţiile

centroidelor generate de punctul Q al axei instantanee, situat la distanţa l5OQ = de O.

Răspunsuri

a) ( )k2 ( )jt2cosit2sinrrrr

+ ; λ+λλω jt2sinit2cos2 2rrr

= λ− .

)

λλ=ε

( )kt2cosj2v1

rrl

rλ−λ= ; ( )kt2sini2v2

rrl

rλ+−λ= ;

( )( )kt2sin4it22

b

jt2cost2sincos4a12

rrrl

rλ++λ λλ+−λ= ;

( )( )kt2sin4jt22sin4ia2 t2cost2sin2r

lr rr

+−λ=

c) (AM)

λλ +λ λ .

x y z2 22

2⎝+ = ⎛⎜

⎞⎟⎠

; (AF) ( )z122+ = ; x y1

212

(CM) 222 yx l=+ , l2z (= ± ; (CF) )221

21 2yx l=+ , l±=1z .

ine vectorii vitez ă ai unui corp rig

2.3.14. a) Să se determ ă şi acceleraţie unghiularid, ştiind că, la un moment t al mişcării sale, viteza şi acceleraţia originii

sistemului de referinţă Oxyz legat de rigid se exprimă prin: ( )jtcositsinRvO

rrrλ+λ−λ= , ( )jtsinitscoRa 2

O

rrrλ+λ ,

şi R sunt constante pozitive cunoscute. încât, la momentul iniţial

λ−=unde λ

b) Alegând sistemul de referinţă fix O x y z1 1 1 1 astfel t0 0= , coordonatele punctului O să fie x RO1 = , y zO O1 1 0= = , să se determine legea de mişcare, traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct ( )P x y z, , din rigid.

Răspunsuri

a) rr r

ω ε 0 . = =

128 Cinematica - 2 b) x x R1 = + cosλt , y y R1 t= + sinλ , z z1 = ;

( )2( )x x y y12

1− + R2= , z z1− = ;

v v R= =O λ ; a a RO= = λ2 . 2.3.15. Ştiind că originea sistemului de referinţă Oxyz un rigid aflat

în mişc, legat de

1 1 1are, se mişcă uniform pe prima bisectoare a planului fix O y z cu viteza de

valoare lλ= 2vO şi că, în acelaşi timp, rigidul se roteşte uniform paralelă cu viteza unghiulară de valoare

în jurul axei Oz,O z1 1 , cu ω λ= , să se studieze distribuţiile de

viteze şi de acceleraţii ale rigidului, determinând p trii cinematici corespunzători, viteza şi acceleraţia de alunecare, precum şi axele instantanee pentru distribuţia de viteze (Δ′), respectiv pentru cea de acceleraţii (Δ′′).

arame

Răspunsuri r ( )r rω λ λ= =k k1 ; 11 kjOv

rrl +λ ; 1ku

r rrrr r r= lλ= ; ε = = =a wO 0 ;

(Δ′) l−=1x z1 1= ; x1 0= 1 1=

2.3.16. ment t al oiecţiile pe axele sistemu

tOx ,

, y(Δ′′) , y z .

La orice mo mişcării unui corp rigid, prlui de referinţă Oxyz legat de rigid ale vitezei originii sale şi unghiurile lui

Euler au expresiile: v = λR λsin 4 v ROy

t= λ λcos4 , vOz= 0 ;

ψπ

λ= 3 t , θ =2

, ϕ = λ4 t ,

în care R şi λ sunt constante pozitive cunoscute. teze şi de acceleraţii ale rigidului,

b) Care trebuie s carea absolută a punctului O?

a) Să se studieze distribuţiile de videterminând parametrii cinematici corespunzători, viteza de alunecare, ecuaţiile axei instantanee de rototranslaţie pentru distribuţia de viteze faţă de sistemul de referinţă Oxyz, precum şi polul acceleraţiilor.

ă fie mişc) Să se calculeze viteza şi acceleraţia punctului ( ),0 0 din rigid la un A R ,

moment t şi la momentul t1 8= π λ .

2.3 - Cinematica corpului rigid 129 Răspunsuri

a) ( ) k4jt4cosit4sin3

rrrrλ+ ; λ+λλ=ω ( )jt4sinit4cos12 2

rrrλ−λλ=ε ;

raO = 0 ; ( )k4jt4cos3it4sin325

R3urrrr

+λλ

=

cosR16t4sinz75

+ ;

0t4

λ

x100 =λ+λ− , 0R =4t4siny25t4cosx25 +λ−λ ; J ≡ 0 .

b) v RO = λ , aO = 0 .

c) ( ) ( )( )kt4cos3jt4cos4it4sinRtvA

rrrrλ−λ++λλ= , ( ) ( )r r r

v t R i jA 1 4= +λ ;

( ) ⎟⎠⎞λ kt4sinr

⎜⎝⎛ +λ+λ+−λ= 24jt8sin

29it4cos916Ra 22

A

rrr ,

( )k3i2( ) R8ta 21A

rrr+ . −λ=

O O R1

2.3.17. Bara OA, de lungime 3R, se mişcă în planul fix O x , astfel încât

capătul său O are o mişcare circulară uniformă ca în fig. 2.3.17, raza traiectoriei

y1 1 1

Fig. 2.3.17

= şi valoarea a vitezei sale fiind cunoscute, iar tot timpul mişcării sale bara trece prin manşonul articulat în .

vO

)0(B R ,a) Să se studieze distribuţiile

de viteze şi de acceleraţii ale barei la un moment t al mişcării sale, când unghiul dintre axa Ox legată de ea şi axa O x1 1 are valoarea ( )θ t , determinând parametrii cinematici corespunzători, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

b) Să se determine baza şi rulanta în mişcarea plană a barei.

c) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor D1 , D2 şi D A3 ≡ de pe bară ( D D2 3 ) la momentul în care unghiul θ are valoarea OD D D1 1 2= = π 6.

130 Cinematica - 2

Răspunsuri

a) ω =vRO

2 ; ε = 0 ;

ROI O I= =2 21 ; OJ R= 4 , O J R1 3= .

b) R12 2 ; x y2 + =1

( )R 22 . x y2 2+ =

c) v v vO0 9= , , O1 2

5 3= − v vO O2 2 3= − = v0 52, ,

v v vOO3 2

13 6 3 0 81= − = , ;

a vR

vR

O O1

2 2

417 4 3 0 915= − = , , a v

RvR

O O2

2 2

25 2 3 0 62= − = , ,

a vR

vR

O O3

2 2

425 12 3 0 513= − = ,

O x1 vO

O B h1

.

2.3.18. Bara OA se mişcă în planul fix ca în fig. 2.3.18, astfel încât

capătul său O are o mişcare rectilinie şi uniformă pe axa cu viteza de valoare cunoscută şi tot timpul mişcării se sprijină pe muchia B a unui prag de înălţime

O x y1 1 1

1

= dată. a) Să se studieze distribuţiile de viteze

şi de acceleraţii ale barei la un moment t al mişcării sale, când unghiul dintre axa Oy legată de ea şi axa O y1 1 are valoarea ( )θ t , determinând parametrii cinematici corespunzători, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

b) Să se determine baza şi rulanta în mişcarea plană a barei.

c) Să se calculeze valorile vitezei şi acceleraţiei punctului D de pe bară ( OD h= ) la

momentul în care θ are valoarea π 3.

Fig. 2.3.18

2.3 - Cinematica corpului rigid 131 Răspunsuri

a) ω θ=vhO cos2 ; ε θ θ3cos ; = −

vh

O2

2 sin

x htgI1 = θ , y hI1 2=

cos θ ; J ≡ 0 .

b) yh

1 1xh2 1= + ;

2

x y yh2 1 , y h> . = −

2

v vD O=134

vO= 0 9, ; a vh

125, . c) vhDO O= =

18

02 2

O1 O x1 1

2.3.19. Bara OA se mişcă în planul fix ca în fig. 2.3.19, astfel încât

capătul său O are o mişcare rectilinie şi uniformă pe axa cu viteza de valoare cunoscută şi tot timpul mişcării se sprijină pe periferia unui disc semicircular de rază R, cu centrul în şi cu diametrul după axa .

O x y1 1 1

O x1 1 vO

a) Să se studieze distribuţiile de viteze şi de acceleraţii ale barei la un moment t al mişcării sale, când unghiul dintre axa Oy legată de ea şi axa O y1 1 are valoarea ( )θ t , determinând parametrii cinematici corespunzători, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

Fig. 2.3.19

b) Să se determine ecuaţiile centroidelor în mişcarea plană a barei.

c) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor

D1 şi D2 de pe bară ( OD D R2D1 1= = ) la momentul în care unghiul θ are valoarea π 4 .

Răspunsuri

( )a) ω

θ=

vR

cos2

θO

sin ; ε

θ3 , θ θ

= −+v

RO2

2

2 31 sin cossin

132 Cinematica - 2

x RI1 = y R

I1cosθ , 2=

cossinθ

θJ ≡ 0 ; .

b) y xR1 1 2 1= − , x1

2

; x R1 >xR R

y2

c)

= 2 .

v v vO O16 2 2

20 89=

−= , , v vO O2

12 4 2 v1 26−= , ;

2=

a vR

vR

O O1

2 2102

1 58= = , , a v vO O2

2 2

10 3 16= = ,R R

.

.3.20. Un disc circular cu centrul O ş ă R se rostogoleşte fără aluneca

oscua) S e acceleraţii ale discului la un

mişcarea plană a discului. şi

2 i de raz

a re în planul fix O x y1 1 1 pe cercul cu centrul în O1 şi de rază 3R, în exteriorul

acestuia, astfel încât unghiul dintre dreapta O O1 şi ax O x1 1 variază în timp după legea θ λ1 = t , λ fiind o constantă pozitivă cun tă.

ă se studieze distribuţiile de viteze şi dmoment t al mişcării sale, determinând parametrii cinematici corespunzători, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

b) Să se determine baza şi rulanta înc) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor A1 , A2 , A3

A4 de pe periferia discului, pentru care diametrele A A1 3 şi A A2 4 sunt perpendiculare între ele, A1 fiind punctul de tangenţă dintre disc şi cerc la un moment t al mişcării.

Răspunsuri

a) R3 3ω λ= 4 , ε = 0 ; IO IO1 = = ; JO R1

15= ,

4JO R

= .

b) 4

( )R3 ; x y2 2+ =x y12

12

=

2 2R . + =

) v1 0 ,

v v R2 4 4 2 , v R3 8= = λ = λc ;

, a R1212= λ a a R2 4= = a R3

220= λ .

.3.21. Un disc circular cu centrul O şi de rază R se rostogoleşte fără alunecare în planul fix O x y1 1 1 pe cercul cu centrul în O1 şi de rază 3R, în interiorul

R2 24 17 16 5=λ λ, ,

2


agea θ λ= t , λ fiind o constantă pozitivă cunoscută.

eze celernematici corespunzători, centrul

Răspunsuri

acestuia, astfel încât unghiul dintre dreapta O O1 şi ax 1 1 variază în timp după O xle 1

a) Să se studieze distribuţiile de vit şi de ac aţii ale discului la un moment t al mişcării sale, determinând parametrii ciinstantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

b) Să se determine baza şi rulanta în mişcarea plană a discului. c) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor A A A şi 1 , 2 ,

A A2 4

3 suntA4 de pe periferia discului, pentru care diametrele A A1 3 şi

perpendiculare între ele, A1 fiind punctul de tangenţă dintre disc şi cerc la un moment t al mişcării discului.

a) ;

ω λ= 2 , ε = 0

IO IO R1 3 3= = ; R3

= , JO1 2JO R

= .

b) 2

( )R 23 ; x y R2 2 2+ = . x y12

12

=

+ =

c) v1 0 , v v R2 2 , v R42 4= = λ = λ3 ;

a 6= λ R2 , a a R2 22 5 4= =λ λ1 R2 4 5= , , a R322= λ .

.3.22. Un troliu cu centrul O ta ctiv 2R, se rostogo şte fără alunecare în planul fix n mişcare printr-u

2 şi cu r

O x y1 1 1

dreapt

azele pe axa

mburO x1 1

ă cu

ilor R, respe, fiind pus île

n fir înfăşurat pe tamburul de rază R al troliului, al cărui capăt A se mişcă pe o ă paralel axa O x1 1 . Pentru

R m= 0 2, şi ştiind că, la un moment dat al mişcării troliului, capătul A al firului are

cceleraţia de valori

viteza şi a v m sA = 1 5, ,

respectiv a m sA = 3 75 2, , orientate ca în fig. 2.3.22, să se determine:

a) inematici pentru studiul distribuţiilor de viteze şi de accelera

parametrii c

ţii ale troliului la momentul considerat, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor;

Fig. 2.3.22

134 Cinematica - 2

b) valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor şi de pe eriferia lui de rază R al troliului, pentru car

ţii faţă de sistemul de referinţă fix.

A1 , e, la

A2 , A3 A4

momentul considerat,p tamburudiametrul A A1 3 este paralel cu axa O y1 1 , iar diametrul A A2 4 este paralel cu axa O x1 1 ;

c) viteza polului acceleraţiilor şi acceleraţia centrului instantaneu de rotaţie, exprimate prin proiec

Răspunsuri

a) [ ]sRadk5,2 1

rr−=ω ; [ ]2

1 sRadk25,6rr v mO s= 1=ε − ; ;

a m s O = 2 5 2, ; 1jR2r

OI −= ; ( )OJ R i j= −r r1 1 ;

v m s1 1 5, , v2 5 1=v m s4 0 5 12, , , b) = = = v m s0 5, ; 3 =

a a m s1 223 95= = = , 1 25 10, , a a m s3 4 1 25 1 75= = =, , 22 ;

c) ( ) [ ]rv i j m sJ = −0 5 1 1,r r

; [ ]2I 5,2a 1 smj

rr= .

3. Bara im , îndoită în unghi drept la mijlocul său O, se mişcă , astfel mişcare rectilinie i uniformă pe axa

a) mo cării sal

.3.2 în planul fix

2 AOB de lungO x y

e 2lîncât punctul 1 1 1

O y1 1 ca în fig. 2.3.23, valoarea vA a vitezei sale fiind cunoscută, iar latura OB trece prin manşonul articulat în punctul B de pe axa O x1 1 , pentru care l=DO1 .

Să se studieze distribuţiile de viteze şi de acceleraţii ale barei la un ment t al miş e, când

A are o ş

unghiul dintre axa Ox legată de latura OB a barei şi axa O x1 1 are valoarea ( )θ t , determinând viteza unghiulară, acceleraţi unghiulară, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor.

b) Să se determine baza şi rulanta în mişcarea plană

a

vitezelor şi

ale barei la momentu

a barei. c) Să se calculeze

valorile acceleraţiilor punctelor O şi B

l în care θ π= 6 .

Fig. 2.3.23


Răspunsuri

a)

( )θsin+1v ( ) θcosθsin+1 ; =ω A

l ;

v2

2A

l=ε

θsinl

; J A≡ .

y2=2 ll+1

=ID=IA

b) 1 x . 221 x2y ll =+ , +2

c) v v v1 32,O A= =7

2 A , v vB A= vA−

=16 6 3

21185, ;

ll

2A

O =v

233

=a2Av

6,2 , ll

2A

2A v

675,3=v

263

=

2.3.24. Un con circular

nstant

Ba .

drept cu raza bazei de lungime R şi unghiul la vârf 2α se rostogoleşte fără alunecare pe planul fix Ox y1 1 , astfel încât centrul A al bazei sale are viteza de valoare co ă v RA = λ , orientată ca în fig. 2.3.24. În raport cu sistemul de referinţă

având axele Oz Oz′ ≡ 1 şi Oy′ după dreapta OP1 , P1 fiind punctul de contact al bazei conului cu planul Ox y1 1 , să s te ine:

a) viteza şi acceleraţia unghiulară ului;

Ox′y′z′,

e de rm

a conb) vitezele şi acceleraţiile punctelor P

bazei conului, pentru care diametrele P P1 2 tre ele.

Răspunsuri

Fig. 2.3.24

1 , P2 , P3 şi P4 de pe circumferinţa şi P P3 4 sunt perpendiculare în

a) r rω

λα

= − ′cos

j ; in r′α

cossi

3

2r

αλ

=ε ;

136 Cinematica - 2

( )kicosb) , 2v2 λ−=r rv1 0= iR ′

rr ,

cov3 s

α−α

R ′+′r rλ

=r

,

( )kicoscosα

Rλv4 ′+′α−−=r rr

; kcos

a 31 ′α

= , R2λ rr

( )kj2sincos

a 32 +′αα

−=R ′λr

, 2 rr ( )jsiniRa

2

3 ′α+′λ

−=cos2 α

r ,

rr

( )jsiniRa2

4 ′α−′λ

=rrr

cos2 α .

2.3.25. Un corp rigid cu O, situat pe axa fixă la distanţa punctul fix

OO R1

O z1 1

= , este realizat e h în centrul A al unui disc circular

prin sudarea barei OAde lungimde rază R, în poziţia în care bara este perpendiculară pe planul discului. Discul se rostogoleşte fără alunecare pe planul fix O x y1 1 1 astfel încât viteza punctului A are valoarea constantă v RA = λ şi este orientată ca în fig. 2.3.25. În raport cu sistemul de

ă Ox′y′z′, având axele Oz O z′ ≡ 1 1 şi Oy′ după axa barei, rmine:

a) viteza şi acceleraţia unghiulară a rigidului; telor P1 , P2 , P3 şi P4 de pe periferia discului, t perpen u

referinţsă se dete

celeraP1 2

Fig. 2.3.25

b) vitezele şi acpentru care dia

ţiile puncşi P P3 4 sunmetrele P dic lare între ele, P1 fiind punctul de

şte. contact al discului cu planul fix pe care se rostogole

Răspunsuri

a) khRj

r rr ′λ+′λ−=ω ; i

hR ′ ;

2 rr λ=ε

) r rv1 0= , iR2v2 ′λ−=

rb

r , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′+′−λ= kj

hRiRv3

r r rr ,

⎟⎠⎞

⎜⎝

′+′+′λ−= kjh

iRv4⎛ R rrrr

;

2.4 - Cinematica mecanismelor plane 137 r r ra R R

hj k1

2= ′ + ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λ , r r ra R ,

R2 3= − +⎛ ⎞λ

hj k′ ′

⎝⎜ ⎠⎟2

r r ra R h R

hi R

hj3

22 2

2= −+

′ + ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ ,

r r ra R h R

hi R

hj4

22 2

2=+

′ − ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ .

2.4. Cinematica mecanismelor plane

2.4.1. Discul circular cu centrul O şi de rază 2R se rostogoleşte fără alunecare în planul fix O x pe axa

. În punctul A al discului, situat la distanţa R de O, este articulat un capăt al barei AB de lungime 5R, iar celălalt capăt se mişcă pe axa . La un moment al mişcării mecanismului, în care se cunosc:

y1 1 1

O x1 1

O x1 1 t1

1jROAr

= , r rv RiO = 2 1λ ,

r ra RiO = −2 2

1λ , unde λ este o constantă pozitivă dată, să se

determine:

Fig. 2.4.1.1)

a) viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a discului; b) viteza şi acceleraţia punctului A, acceleraţia centrului instantaneu de

rotaţie şi viteza polului acceleraţiilor pentru disc; c) viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei; d) viteza şi acceleraţia punctului B.

Rezolvare Metoda I. a) Din fig. 2.4.1.1) şi din enunţ rezultă imediat:

.0,iR2iR2dtvda

,0,iR2iR2IOv

21

21

OO

11O

>λ=ω=ελ−=ω−==

<λ−=ωλ=ω−=×ω=

&rr

&r

r

rrrr

138 Cinematica - 2

b) Cunoscând parametrii cinematici pentru studiul distribuţiilor de viteze şi de acceleraţii ale discului la momentul t1 al mişcării mecanismului, se pot determina viteza şi acceleraţia punctului A şi acceleraţia centrului instantaneu de rotaţie pe baza formulelor generale:

,iR3IAOAvv 1OA

rrrrrλ=×ω=×ω+=

( ),ji3R 11OAOAaa 22OA

rrrrλ−=ω−×ε+=

r+

.jR2OIOIa 122

OIarrrr

λ=ω−×ε+= Pentru determinarea vitezei polului acceleraţiilor este necesar, în primul rând, să se afle poziţia acestuia la momentul considerat. Ca urmare, se calculează unghiul ϕ dintre acceleraţia oricărui punct al discului şi dreapta ce uneşte acel punct cu polul acceleraţiilor:

tgϕ ε λ= = =

2

1ω λ2 2 , ϕ

π=

4 ,

precum şi distanţa de la O la polul acceleraţiilor:

OJ a R RO= = =λ

2 4

2

2

2 2+ε ω λ2

,

de unde rezultă imediat poziţia punctului J, aşa cum se arată în fig. 2.4.1.1). În această figură s-a reprezentat cu linie întreruptă şi cercul inflexiunilor pentru disc, care are centrul în A′, la mijlocul diametrului său OI. Acum se poate calcula şi viteza polului acceleraţiilor la momentul considerat:

( )11J jiRIJvrrrr

+λ=×ω= . c) Punctul B având o mişcare rectilinie după axa O x1 1 , viteza sa va fi

paralelă cu viteza celuilalt capăt A al barei la momentul t1 , astfel încât, la momentul considerat, viteza unghiulară ω1 a barei trebuie să fie nulă, deoarece perpendicularele pe aceste viteze în punctele respective sunt, de asemenea, paralele între ele şi nu se pot intersecta. Pentru determinarea acceleraţiei unghiulare ε1 a barei, se calculează acceleraţia punctului B în funcţie de acceleraţia cunoscută a punctului A şi se pune condiţia ca aceasta să fie dirijată după axa O x1 1 , astfel încât rezultă:

( ) ( ) 12

112

1211AB j4RiR3ABABaa

rrrrrλ+ε−λ−ε=ω−×ε+= , ε

λ1

2

= −4

.

d) Deoarece ω1 0= , vitezele tuturor punctelor de pe bară sunt egale ca

vectori, iar după determinarea acceleraţiei unghiulare ε1 se pot determina acceleraţiile tuturor punctelor de pe bară, astfel încât se obţin elementele cerute în enunţ:

2.4 - Cinematica mecanismelor plane 139

r r rv v RiA B= = 3 1λ ,

12

1AB iR15ABaa4

rrrrλ−=×ε+= .

Dacă s-ar cere studiul distribuţiei de acceleraţii a barei al momentul , ar fi necesar să se determine poziţia polului acceleraţiilor şi unghiul dintre acceleraţia oricărui punct al barei şi dreapta ce uneşte acel punct cu . Deoarece

, rezultă

t1

1J1 ϕJ1

ω1 0= ϕ π1 2= ± , deci poziţia lui J se poate determina grafic, ca intersecţia dreptelor perpendiculară pe acceleraţia lui A şi

1

( )Δ1 ( )Δ 2 O x1 1 perpendiculară pe , aşa cum este indicat în fig. 2.4.1.1).

După determinarea vitezei unghiulare ω1 a barei, se mai pot determina acceleraţia unghiulară şi valoarea a acceleraţiei punctului B la momentul , direcţia ei fiind cunoscută, dacă se calculează acceleraţia relativă a lui B faţă de A:

ε a t11 B

ABABABaaa 2 ×ε=ω−×ε=−=rrrrr

, 111ABAB

care se proiectează pe direcţia AB şi pe direcţia perpendiculară: a R RB cos cos sin ,α λ α λ α− − =3 02 2

2 2a R R Rsin sin cos .α λ α λ α ε− + = −3 5 B 1

de unde rezultă:

a R RB = + =3 3 152 2 2λ λ λ R4 4

, ελ λ

1

2 215 3 9 4= − − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= −

5 4 5 5 5 4 .

Metoda II. Pentru determinarea

vitezelor unghiulare şi a acceleraţiilor unghiulare ale celor două corpuri la momentul , se poate studia mişcarea mecanismului după momentul în funcţie de un parametru de poziţie ales convenabil, după care se particularizează pentru valoarea acestui parametru la momentul

. Considerând ca parametru de poziţie al mecanismului unghiul β dintre axa Ox legată de disc ce trece prin A şi direcţia pozitivă a axei , care la momentul este nul, se pot alege sistemele de referinţă

Oxy legat de disc şi Bx′y′ legat de bară ca în fig. 2.4.1.2), pentru care se pot exprima uşor parametrii de poziţie în funcţie de β. După determinarea acestor elemente ale mişcării mecanismului, ceruta la punctele a) şi c), calculul vitezelor şi acceleraţiilor oricăror puncte ale sale se face la fel ca prin metoda precedentă.

t1

t1

Fig. 2.4.1.2)

t1

O y1 1 t1

140 Cinematica - 2 a) Deoarece la orice moment t al mişcării mecanismului, poziţia centrului

instantaneu de rotaţie I al discului este cunoscută, din fig. 2.4.1.2) rezultă imediat:

( ) ( )θπ

βt t= − , ( ) ( )ω βt t= − & , ( ) ( )ε βt t= −&& , 2( ) ( )r r

v t R tO 2 i1= &β , ( ) ( )r ra t , RO 2= &&β t i1

( )&β λ= > , ( )&&β λ2= − <t1 0 t1 0 ,

( )ω λ= − <t1 0 , ( )ε λ2= >t1 0

AA R R R′′

.

c) Notând cu A′′ proiecţia punctului A pe axa O x1 1 , pe baza fig. 2.4.1.2) se poate scrie relaţia:

= + = ′2 5cos sinβ θ , din care, la orice moment al mişcării mecanismului, rezultă succesiv:

( )′ =

+θ

βarcsin

cos25

t , ( ) ( )

( )ω θ

β β

β1 225 2

tt

= ′ = −− +

&& sin

cos ,

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

ε ωβ β

ββ

β β

β1 1 2

2

2 3 225 2

25 2 1 2

25 2t

tt= = −

− +−

− + +

− +&

&& sin

cos& cos cos cos

cos

β

t1 0=

.

Particularizând pentru β , ( ) ( )&β λt = şi ( )&& 2β λt = −1 1 , se obţin parametrii cinematici ceruţi în enunţ:

( )ω1 1 0t = , ( )ελ

1 1

2

t = −4

, ( )′ = =θ αt13arcsin5

.

2.4.2. Un mecanism plan, care se mişcă în planul fix , este format din manivelele de lungime 2R, articulată în , respectiv AB de lungime R, articulată în punctul A de pe axa la distanţa

O x y1 1 1

RO O1 O1

O y1 1 O A1 2= , la celelalte capete ale acestora fiind articulată biela OB de lungime 5R . Ştiind că la un moment dat al mişcării mecanismului, când manivela este dirijată după axa O x , viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară ale manivelei AB au valorile algebrice ω λ şi

, λ fiind o constantă pozitivă cunoscută, pentru momentul considerat să se determine:

O O1 1 1

2 2=

ε λ2 = −

2

a) vitezele unghiulare şi acceleraţiile unghiulare pentru bielă şi cealaltă manivelă;

b) poziţia polului acceleraţiilor al bielei şi acceleraţia mijlocului său C.


Rezolvare

ă că, la momentul

a) Din enunţ rezultconsiderat, mecanismul se află în poziţia din fig. 2.4.2, cu cele două manivele paralele între ele şi perpendiculare pe axa O y1 1 , astfel încât se pot scrie relaţiile: 12B jR2ABv

rrrλ= , ×ω=

( ) 11222B ji4ABABa

r rr r 2R +ω−×ε= , λ−=

11BO jR2BOvvrrr r

ω=×ω+= ,

( )iR 1

r ( -R2 2 )( ),ji-R2

R4-R-R2

BO-BOa

2

222

2BO

rrjR 1

rar r r

1111 ε+ω=

λελωε=

=ω×ε+=

parametrii cinematici ceruţi:

=ω++

din care se determinăFig. 2.4.2

ω = 0 , ω λ1 = , ε λ= 2 , ε1 0= .

b) Pentru acceleraţia punctulu se pot exprima relaţiile: i O acum( ) 1J1

21J1

21

2O jxR2iyJOiR2a

rrrrr−λ+λ=×ε=λ−= ,

de unde rezultă coordonatele polului acceleraţiilor faţă de sistemul de referinţă fix: x RJ1 2= ,

y RJ1 2= − , poziţia sa fiind reprezentată în fig. 2.4.2. Pentru determinarea acceleraţiei punctului C se poate folosi sau formula generală de distribuţie a acceleraţiilor:

⎟⎠⎞⎛22 1

⎜⎝

+λ−=ω−×ε+= 11OC j2

i3ROCOCaarrrrr

, a R RC = =2

6 042 2λ λ, ,

sau formula de distribuţie de rotaţie faţă de polul acceleraţiilor:

37

JCJCaC ×εω−×ε= , JC =2 rrr a R RC = + +44

42

25

372

.

.4.3. Mecanismul din fig. 2.4.3, care se mişcă în planul fix O x y1 1 1 , este format din manivela O D1 de lungime R, bara AB de lungime 4R, bara BC de lungime 2R şi 3 culisoare, dintre care două se mişcă pe axa O x1 1 şi unul pe O y1 1 . Cunoscând

=λ λ2 25 5

2

142 Cinematica - 2

OD DA R= = şi var în timp a unghiului dintre manivelă şi axa O x1 1 dată de iaţiaθ π λ1 2= − t , unde λ este o constantă pozitivă, să s termine: e de

) vitezele unghiulare, acceleraţiile unghiulare, centrele instantanee de rotaţie şi polii acceler

tru cele bare

figură;

aaţiilor pentru barele AB şi BC;

b) ecuaţiile bazelor şi rulantelor pen douăfaţă de sistemele de referinţă din

c) valorile vitezelor şi acceleraţiilor punctelor P1 de pe bara AB şi P2 de pe bara BC, pentru care BP BP R1 2= = .

Răspunsuri

ω = ω = λa) , AB

ω ω λC = = −1 ; B

ε ε= =1 0 ; O I1 DI R2 2= = , x R tI1 1

6= sinλy R tI1 1

6 ,

− cosλ= ; J J O

Fig. 2.4.3

≡ ≡1 1 ;

b) ( )x y R12

12 22+ = , ( )R 2x y2 + − R2= ;

( )2 , (x y R12

12 6+ = ) ( ) ( )′ + + ′ =x R y R2 2 23 ;

v R t12= +λ λ , v R t2

2= +λ λ ; 1 8cos 1 24 cosc)

a R t12 21 8= +λ λsin , a R t2 1 24= +λ λsin .

2.4.4. Dacă ismul din fig. 2. omentul în care ocupă

poziţia din figură, se cunosc ω

2 2

pentru mecan 4.2, la m

2 2= − λ şi ε λ223= , având sensurile contrare celor din

figură, s se determine aceleaşi elemente ale mişcării sale la momentul considerat.

ă


Răspunsuri

ω = 0 , ωa) λ ;

b)

1 = −ε λ2 , ε λ1 2=x yJ J1 1 2=

2 ; R= − ;

=

r r ra R i j= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

λ21 13 7

2 , C a R RC = =

24 6 2λ λ, .

l de ridicat cu dublă

acţionare din fig. 2.4.5, format din 3 scripeţi de aceeaşi raz din sarcina Q, se mişcă într-un plan vertical astfel încât cei doi scripeţi cu axă fixă orizontală se rotesc după legile

85 2

2.4.5. Mecanismu

ă R şi

θ λ1 2= t şi tλ=θ2 , λconstant

1

A2 , de pe pmişcă

fiind o ă pozitivă cunoscută şi cele două

unghiuri de rotaţie având sensurile din figură. a) Să se determine viteza unghiulară,

acceleraţia unghiulară, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor pentru scripetele mobil.

b) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor sarcinii şi ale punctelor A ,

Fig. 2.4.5

A3 , A4

rii mecanism

eriferia scripdiametrul

etelui mobil, pentru care, la un moment dat al A A1 2 este orizontal şi A A3 4 vertical. ului,

Răspunsuri

a) ωλ

= −2

; ε = 0 ; R4=IA2=IA 21 ; J O≡ .

b) v RQ =32λ , v R1 2= λ , v R2 = λ , v v R R3 4

102

18= = =λ λ, ;

aQ = 0 , a a a a R1 2 3 4

2

4= = = =

λ .

144 Cinematica - 2 2.4.6. Dacă pentru me ul de ridicat din fig. 2.canism e de rotaţie

considerate variază în timp după legile θ λ λ2= +t t şi θ λ λ2 2= −t t , λ fiind o stant şi elemente ale mi

moment dat t .

4.5, unghiuril2 2

1

c

2 2

on ă pozitivă cunoscută, să se determine acelea şcării sale la un

Răspunsuri

a) ω λ= −2 2t ; ε λ= −2 2 ; IOt

=λ

; J OR≡ .

b) v R= 2λQ , ( )v R1 2 1= t+λ λ , v R2 2 1 t= −λ λ ,

v v= = R t2 22 1+λ λ 3 4 ;

aQ = 0 ,

a a a a t1 2 3 44 4= = = = .

2.4.7. Bareleare, art şc

planul fix O x y1 1 1 astfel încât celelalte capete ale lor se mişcă pe axa O x1 1 după legile:

x A1

R22 1 4+λ λ

OA şi OB de lungime ă în 2 l fiec iculate între el în O, se mi

tcos2 λ= l , tcos6x B1 λ= l , unde λ este o constantă pozitivă cunoscută (vezi fig. 2.4.7).

traiectoriei punctului

ele de reAO, iar By′′ după BO.

c) Să se calculeze barelor la un moment t al miş

a) Să se determine vitezele unghiulare, acceleraţiile unghiulare, centrele instantanee de rotaţie şi polii acceleraţiilor pentru cele două bare.

b) Să se scri ţiile centroidelore ecuauaţiacelor dou

ferinţă legaă bare şi ec

O, alegând sistem

Fig. 2.4.7

te de bare astfel încât axa Ax′ să fie dirijată după

valorile vitezelor şi acceleraţiilor mijloacelor C şi D ale cării.

Răspunsuri a) ω ω λOA = =1 , ω ω λOB = = −2 ; ε ε1 2 0= = ;


tcos2x1I1 λ= l , 2y

1I1 tsinλ tcos6x2I1 λ= l−= l ; , ;

b)

tsin6y2I1 λ= l

J J O1 2 1≡ ≡ .

( )22211 2yx l=+ , ( ) ( ) 22y l=′+ ; 2x l+′

( )221

21 6yx l=+ , ( ) ( ) ( )222 33yx ll =−′′+′′ ;

1y24 ⎠⎝⎠⎝ ll

x1 =⎟⎟⎞

⎜⎛

21

2⎞

⎜⎛+ .

t , tsin241v 2D λ+λ= lsin81v 2

C λ+λ= l ; c)

taC λ= , cos81 22 λ+l tsa 2D λ= .

2.4.8. Dacă pentru mecanismul din fig. 2.4.7, legile de mişcare rectilinie ale

capetelor A şi B ale baretsinx A1

co2412 +λ l

lo unt: r sλ= l , tsin5x B1 = λl ,

iind o constantă pozitiv ă, să se deter i elemente ale mişcării sale, ca în problema precedentă.

λ f ă cunoscut mine aceleaş

Răspunsuri a) 2ω λ= −1 , ω λ= ; ε ε1 2 0 ; tsix n , I1 ; tcosy λ−= l= = = l λI1 1 1

tsin5x2I1 λ= l , tcos5y

2I1 λ= l ; J J O1 2 1≡ ≡ .

b) 221

21 yx l=+ , ( )

222y

2x ⎟

⎞⎜⎛=′+⎟

⎞⎜⎝⎛ +′

ll ;

2 ⎠⎝⎠

( )221

21 5yx l=+ , ( )

22

2yx ⎟

⎠⎞

⎜⎛=⎟

⎞⎜⎝⎛ −′′+′′ ll

; 2 55

2 ⎝⎠

1y 21

2

=⎟⎞

⎜⎛+ .

23 ⎠⎝⎠⎝ ll

x1 ⎟⎞

⎜⎛

tcos31 2 λ+λ= l tcos151 2 λ+vC , v λ= lc) D ;

tsin31a 22C λ+λ= l , tsin151a 22

D λ+λ= l . 2.4.9. Mecanism din fig. 2.4.9, care se mişcă în planul fix O x y1 1 1 , este

format din discul circular ă R cu centrul în O, biela OA de lungime 4R şi ul de raz

146 Cinematica - 2

nivela de acee e, cele e

tiind că )

paralelă cu axa O x1 1

său O are o mişcare rectil niformă pe O x1 1 v RO = 8λ cunoscu

unghi

) ecuaţiile bazei şi rulantei lă, d

nctehiul

ivela de acee e, cele e

tiind că )

paralelă cu axa O x1 1

său O are o mişcare rectil niformă pe O x1 1 v RO = 8λ cunoscu

unghi

) ecuaţiile bazei şi rulantei lă, d

nctehiul

ma O A1

3 corpuri ale sale fiind artiă.

şte făr

O A1

3 corpuri ale sale fiind artiă.

şte făr

aşi lungimculate între el

pe dreapta (, astfel încât centrul

inie şi u

aşi lungimculate între el

pe dreapta (, astfel încât centrul

inie şi u

ca în figurrostogoleca în figurrostogole

Şă alunecare Ş

ă alunecare discul se

Δ discul se

Δ

cu viteza de valoare cu viteza de valoare tă, să se determine: a) vitezele ulare,

acceleraţiile unghiulare, centrele instantanee de rotaţie şi polii acceleraţiilor pentru bielă şi disc;

tă, să se determine: a) vitezele ulare,

acceleraţiile unghiulare, centrele instantanee de rotaţie şi polii acceleraţiilor pentru bielă şi disc;

bbpentru bie acă sistemul de referinţă legat de ea se alege cu axa Oy dirijată

după OA; c) valorile vitezelor şi acceleraţiilor pu lor M1 , M2 , M3 de pe periferia

discului şi M4 de la mijlocul bielei la momentul în care ung

pentru bie acă sistemul de referinţă legat de ea se alege cu axa Oy dirijată

după OA; c) valorile vitezelor şi acceleraţiilor pu lor M1 , M2 , M3 de pe periferia

discului şi M4 de la mijlocul bielei la momentul în care ung

Fig. 2.4.9

θ1 dintre manivelă şi axa O x1 1 are valoarea π 4 .

Răspunsuri

a) ω ωλθOA = =

sin 1

, ω ω λd = = −1 8 ;

ελ θ

=2

1cos , ε

θ31sin 1 =

AI R2 8

0 ;

O I1 = = , x I1 118R= cosθ , y RI1 1

= − ; J J O1 ; ≡ ≡

b) ( )R 28 ,

( ) ( )R R4 4= ;

x y12

12+ =

x y2 2 2+ −

c) v v R1 3 8 2= = λ , v R2 16= λ , v R2 10= λ ;

a a= = , 4

a R1 2 3264= λ a4 .

2.4.10. Dacă pentru mecanismul din fig. 2.4.9 se dă legea de mişcare rectilinie pe axa O x1 1 a centrului discului sub forma x R tO1 8

R24 2= λ

= λsin , unde λ este o constantă

2.4 - Cinematica mecanismelor plane 147 poz ă, să se determ

ă, poziţia itivă cunoscut ine elementele mişcării sale cerute la punctele a) şi c)

din problema polului acceleraţiilor al discului trebuind precizată la mentul în care

precedentmo θ π1 4= .

Răspunsuri a) ω λ , ω λ λ8= − cos t ; = 1

ε = 0 , ε λ λ128= sin t ;

O I AI R1 2 8= = , x R tI1 18= sinλ , y RI1 1

= − ; J O≡ 1 ,

OJ1R R0 174= = , , 33

ϕ1 2

c) 8

10= =arctg

R8λ ,

° ;

v v1 3= = v R2 8 2= v R2 5= λ ; λ , 4

a128 26 9= − =λ ,R R217 4 2 4λ , a R2

224 2 , = λ

a R28 1= +λ λ R327 4 2 38 08= , , a R4

22 5= λ .

2.4.11. mu

a aralelă cu O1 distanţa 3 l de aceasta. Cunoscând lungimile barelor

lCDBOO 2

Mecanis

în planul fix

l din 4 bare articulate între el ca în

O x1 1 1

care

fig. 2.4.11,

rectilinie pe o

format din figură, se mişcă

culisy astfel

încât orul D are o mişxă p y1 la

2A1 == = , l3AC = , distanţa l2ABOO 21 = = şi variaţia în timp θ λ1 = t

a unghi

sistemul de referinţă legat de bară c

ului dintre O A1 şi axa O x1 1 , unde λ este o constantă pozitivă, pentru bara CD să se determine:

a) viteza unghiulară, acceleraţia unghiulară, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor;

b) ecuaţiile bazei şi rulantei, alegând u axa Cy

Fig. 2.4.11

148 Cinematica - 2 dirijată după ea;

c) valorile vitezei şi acceleraţiei mijlocului său M la momentul în care unghiul θ1 are valoarea π 3.

Răspunsuri

a) ω λ= − ; ε = 0 ;

tcos43x λ+= , , y J1 0=I1 ll tsin4y I1 λ= l l3x J1 ; = ;

b) 211 4y3x ll , ( )2 +− ( )2= ( )2y l=+ ; 22x

c)

2

lλ= 3vM , l2M 7a λ=

anism

figură şi din 2 culisoare având mişcări rectilinii pe axa O x , culisorul C fiind articulat la

.

2.4.12. Mec ul din

şcă înmat

l ca în

fig. 2.4.12, care se O x y1 1 1

bare articulate între e

mi, este forplanul fix

din 3

1 1

mijlocul barei AB. Cunoscând lungimile barelor

l== BDAO1 , l2AB = şi variaţia în timp a unghiului dintre O A1 şi axa O x1 1 da e tă dθ λ1 = t , λ fiind o constantă pozitivă, să se determine:

a) vitezele unghiulare, tr le

instantanee de rotaţie şi polii acceler r pentru le AB şi

leaşi bare, considerând sistemele v cu axa ′

acceleraţiile unghiulare, cen e

aţiilo bareBD;

b) ecuaţiile bazelor şi rulantelor pentru acede referinţă legate de ele cu axa Cy după CA, respecti

c) valorile vitezei şi acceleraţiei mcare

Fig. 2.4.12

Bx după BD; ijlocului M al barei BD la momentul în

θ π1 3= .


RăspunsuriRăspunsuri a) ωA ωB = λ= − , ω ω λBD = =1

l2AI2IO1

; ε ε =1 0 ; = == ;

1tcos4x I1 λ= l ,

1tsin4y I1 λ−= l ;

b)

J J O≡1 1 ; ≡

( )221

21 2yx l=+ ( ) 22

ll =− ; 2 yx + ,

( )2221 4yx =+ ( ) ( ) ( )222 2y l=′+ ; x +′1 l , l

c) ll =λ=237

M ; λ04,3v l2M 8,113a λ== . l22

λ

Mecanismul din fig. 2. mişcă în planul fi format

c ă R cu BD de

e lungime

ă

rectilinie şi uniformă pe O x1 1 cu viteza de valoare figură, să se determine:

a) vitezele unghiulare, acceleraţiile ung ulaşi polii acceleraţiilor pentru cele 3 corpuri ale m candintre bara AB şi axa

b) valorile vitezelor şi acceleraţiilor puncteale

omentul considerat; c) expresiile analitice faţă de sistemul de referinţă fix ale vitezelor şi

acceleraţiilor punctelor A, B şi C în funcţie de unghiul θ.

2.4.13.3, care se

x O x y1 1

l circcentrul în D, bara

l ş

4.1

u

1

ular de raz, este

i bara AB de

din dis

lungim 2 l , cele 3 corpuri ale

sale fiind articulate între ele ca în figură. Ştiind c punctul A se mişcă pe axa O y1 1 , că mijlocul C al barei AB are o mişcare rectilinie pe axa O x1 1 şi că discul se rostogoleşte fără alunecare pe dreapta (Δ) , paralelă cu O x1 1 , astfel încât centrul său are o mişcare vD cunoscută şi orientată ca în

re, centrele instantanee de rotaţie ismului în funcţie de unghiul θ

lor A1 , A2 , A3 şi A4 de pe periferia discului, pentru care diametrul A A1 2 este par l cu axa O y1 1 , iar A3 şi A4 se află pe axa O x1 1 la m

hie

O y1 1 ;

Fig. 2.4.13

150 Cinematica - 2

RăspunsuriRăspunsuri

a) ω ωdDv

R= =1 ,

θ

,

=ω=ωcos3vD

2BDl

,

ω ω θ ωAB = = = −&2 ;

ε 0=θθ2 sinv

=ε−=ε 32D

2 cosl ; 1 9

I A1 1≡ , −= DI2 −= θcos3l , y I1 2θ=y I1 cosCI l ; =

J J D , J C≡1 2≡ ≡ ;

b) , v vD2 2=v1 0= , v v vD2 ; 3 4= = a a a1 2 3= = aR

D4= = ;

c)

v2

r rv tgA

D=3

v j1θ , ( )r r rvB = −

v i tg jD +3

2 1 1θ , r rv iC

D= −3 1 ;

r raC = 0

v

, r ra a v

lB AD= − =2

3 19 cos θ

ul

i

l2DO1

rj .

2.4.1psograf

mişcăat

4. in fig.

în planul fix

Mecanism

O x y1 1 1 , estelungim

eli 2.4.14, care se d

form din 4 bare de = , l== BDOC şi l3OA = , articulate între ele ca în

, articulaţia O mişcându-se O x1 1 . Ştiind că

O C C1

figurăpe axa

D OB BE EA= = = =

ă

şi că unghiul dintre bara O D1 şi axa O x1 1 variază în timp dup legea θ λ1 = t , λ fiind o constantă

lare, centrele instantanee de rotaţie

elor O, B, E omentul în

pozitivă cunoscută, să se determine:

a) vitezele unghiulare, acceleraţiile unghiuşi polii acceleraţiilor pentru barele OC, BD şi OA;

b) valorile vitezelor şi acceleraţiilor punct şi A la mcare

Fig. 2.4.14

θ π1 3= pentru datele numerice: m2,0=l , λ = −0 5 1, s .

2.5 - Mişcarea relativă a punctului material 151

Răspunsuri a) ω ω ω ω λOC BD= = = = −1 2 , ω ω λOA = = ;

ε ε ε1 2

I D1 ≡0=

l4DI2IO 221 === = ;

, , tcos2x I1 λ= l , tsin2y I1 λ−= l ; ; J J J O1 2≡ ≡ ≡ 1

b) v m s , O = 0 173, v m s , B = 0 265, v m sE = 0 374, ,

v m s58 ; A = 0 4, 2sm05,a , O 0= a m s2 , B = 0 087,a mE = 0 132, s2 , a mA = 0 187,

O O O A OA OB R1 2

s2 .

2.5. Mişcarea relativă a punctului material

Fig. 2.5.1

2.5.1. Mecanismul din fig. 2.5.1, format din 5 bare articulate între ele ca în figură, de lungimi

= = = = şi DE R= 2 2DB BC CA AE

, pentru care = = =

O O R1 2

şi = , se mişcă în planul

fix astfel încât unghiul dintre manivela şi axa variază în timp după legea

O x y1 1 1

O O1

O x1 1

θ λ1 = t , λ fiind o constantă pozitivă cunoscută. Pe bara DE se mişcă un culisor P după legea

( )CP s t R t= = 2 sinλ . Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia în mişcarea absolută a culisorului.

152 Cinematica - 2

Rezolvare

Din fig. 2.5.1 şi din enunţ se observă imediat că triunghiul OAB de bare articulate, care formează un sistem rigid, este dreptunghic în O şi isoscel, astfel încât axele sistemului de referinţă Oxy legat de el rămân paralele cu axele fixe tot timpul mişcării. Rezultă că bara DE are o mişcare de translaţie circulară cu viteza şi acceleraţia punctului O, care sunt elemente ale mişcării de transport a culisorului în mişcarea sa absolută. Ca urmare, viteza absolută şi acceleraţia absolută pentru culisor se determină după cum urmează:

r r rv v va r= + t , v s R tr = =& cos2λ λ , v Rt = λ ,

v R t t t= + − − +⎛⎜

⎞⎟λ λ λ

π πλ λ λ1 2 2 22cos cos cos cost R t= −λ sina ⎝ ⎠4 2

r r r ra a a aa r t c= + + , a v R tr r= = −& sin2 2λ λ , , a , a Rt = λ2c = 0

a R t t t R t ta = + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +λ λ λ

πλ λ λ λ2 2 21 2 2 2sin sin cos sin cos .

4Pentru determinarea traiectoriei absolute a culisorului, se exprimă ca funcţii de

timp coordonatele sale faţă de sistemul de referinţă fix: R R t= + +sin cosλ λR t2

x1 , y , R R t R t R

1 2 2= − + =sin sinλ λ

O x1 1

de unde rezultă că mişcarea absolută a culisorului este rectilinie pe o dreaptă paralelă cu axa la distanţa R 2

va aa x1

de aceasta. Se observă că se obţin aceleaşi valori absolute pentru şi prin derivarea în raport cu timpul a abscisei a culisorului.

2.5.2. Bara OAB din fig. 2.5.2, având laturile OA şi EB perpendiculare între ele, se mişcă în planul fix astfel încât punctul său E are o mişcare circulară pe cercul cu centrul în punctul O de pe axa , de rază

O x y1 1 1

O y1 1 OE OO R= =1 , iar latura sa EB trece printr-un manşon articulat de culisorul C, care se mişcă pe axa O x . Bara CD este solidarizată de culisor în poziţia sa în care este perpendiculară pe axa culisorului şi punctul său de intersecţie cu latura OA a primei bare este materializat printr-un inel P. Ştiind că legea mişcării rectilinii a culisorului este exprimată prin

1 1

( )O C x R tC1 1 1 2= = + λ , unde λ este o constantă pozitivă cunoscută, să se determine elementele mişcărilor relative faţă de cele două bare ale inelului şi elementele mişcării sale absolute.


Fig. 2.5.2

Rezolvare Ca parametru de poziţie

pentru mecanismul format de cele două bare se poate alege unghiul θ1 dintre latura OA a primei bare şi direcţia pozitivă a axei . Notând

O x1 1

1 2

OCE

θ = θ , din fig. 2.5.2 se observă că unghiurile formate de latura comună OC a triunghiurilor dreptunghice congruente şi

cu catetele corespunzătoare au valorile: OCO1

12 2 41

πθ

π−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= −

2 41θ π

θ= −ϕ=

, astfel încât rezultă:

O C EC Rctg1 4= = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

πθ R

tg 11 1−=

−θ θsintg R 11+ θ θcos

,

OP R ECtg CP= + =−

= =θθ θ1

1 11 sin cosR EC

;

v x RC C= = =R

& 1 2λ− si1

&

n1

1

θθ

( )ω θ ; λ θ= = −& sin1 12 1 ,

( )v v R R2θ θ

r r1 21 1

12

11 1= =

−=

−

& cossin sinθ

1

θcosλ θ

; a a ; R2λ θ& Rr r1 2

1

1

2

14= =

−=

θλ

sin

( )r r rr ( )rv v i jr r1 1 1 1 1 1= +cos sinθ θ ; r

a a i jr r1 1 1 1 1 1= +cos sinθ θ

v OP Rt1 2= =ω λ

,

unde ω reprezintă viteza unghiulară a primei bare. Vitezele şi acceleraţiile de transport ale inelului faţă de cele două bare vor fi:

r r( )rv v i jt t1 1 1 1 1 1= − +sin cosθ θ ; ,

( )ε ω λ θ θ= = − −& cos sin4 121 1 ,

(a OP Rt12

14τ ε λ θ= = cos )P Rtn1

2 214 1= = −ω λ θsina O , ,

154 Cinematica - 2

( ) ( )r r r r ra a i j a it t t

n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= − − + − +τ θ θ θ θsin cos cos sin j1 ;

r r rv v Ri2= = λ 0t C2 1 t C2 , a a= = ,

iar acceleraţiile sale complementare devin:

( )r r r r ra v R i2 22 4 2 2= × = − +ω λ θ θsin cos jc r1 1 1 1 1 1 c2 , a 0= ,

astfel încât rezultă: r r r r r r rv v v v v R i ja r t r t= + = + = +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1 2 2 1

1

112

1λ

θθ

cossin

, v Ra = −

2 21 1

λθsin

;

r r r r r ra a a a a Rja r t c r= + + = =1 1 1 2 14λ

θ1

2 . Pentru determinarea traiectoriei absolute a inelului, se exprimă coordonatele sale faţă de sistemul de referinţă fix ca funcţii de timp prin intermediul parametrului de poziţie

:

x x RC1 1

1

1= =

−cossinθ

, y CP R1 = =

11− sinθ ,

θ1

de unde se obţine ecuaţia sa:

y R x1

12

= +R2 2

θ= 1

,

care reprezintă o parabolă cu axa de simetrie paralelă cu . Se observă că se obţin aceleaşi expresii pentru viteza absolută şi acceleraţia absolută ale inelului, dacă se derivează în raport cu timpul coordonatele sale şi şi se ţine seama de valoarea determinată a vitezei unghiulare ω .

O y1 1

1x1 y&

2.5.3. Circumferinţa din sârmă cu centrul O şi de rază R din fig. 2.5.3 se mişcă

în planul fix , fiind antrenată de manivelele şi articulate la capetele diametrului său BD, pentru care se cunosc:

O x y1 1 1 O B1

O D1 2

O D2

O O1 2O B R2= = = , , λ fiind o constantă pozitivă dată. Pe circumferinţă se mişcă inelul A după legea , unghiul θ dintre razele OB şi OA având sensul din figură. Să se determine elementele mişcărilor relativă, de transport şi absolută ale inelului.

θ λ1 = tθ λ= t

Răspunsuri

v Rr = λ v Rt 2λ v v v Ra t r , = = − = λ ; ,

a Rr = λ2t = 2 2λ ac 0 a a a Ra t r= − = λ2 , ; = , a R ,


( )Γa x R y R1 1

O1

Γa x R y R1 1

O1

( ) . ( ) . 2 2 2− + =2 2 2− + =

Fig. 2.5.4

Fig. 2.5.3

2.5.4. Circumferinţa din sârmă cu centrul O şi de rază R din fig. 2.5.4 se

roteşte în planul său cu viteza unghiulară ω constantă în jurul punctului său fix , care este situat pe o dreaptă fixă din planul mişcării sale. Al doilea punct de intersecţie dintre dreapta fixă şi circumferinţă este materializat printr-un inel M. Să se determine vitezele şi acceleraţiile relative, de transport şi absolute ale inelului la un moment dat al mişcării, când unghiul dintre raza O şi dreapta fixă are valoarea θ cunoscută.

2.5.4. Circumferinţa din sârmă cu centrul O şi de rază R din fig. 2.5.4 se roteşte în planul său cu viteza unghiulară ω constantă în jurul punctului său fix , care este situat pe o dreaptă fixă din planul mişcării sale. Al doilea punct de intersecţie dintre dreapta fixă şi circumferinţă este materializat printr-un inel M. Să se determine vitezele şi acceleraţiile relative, de transport şi absolute ale inelului la un moment dat al mişcării, când unghiul dintre raza O şi dreapta fixă are valoarea θ cunoscută.

O1O1

RăspunsuriRăspunsuri v Rt = 2 ω θcos v Rr = 2 ω v Ra 2= ω θ , , sina Rt = 2 2ω θcos R= = 4 2ω a a Ra t= = 2 2ω θcos

;

, a a , . r c

2.5.5. Un avion zboară uniform spre nord după un meridian al Pământului cu viteza relativă v km0 720= h

R km= 6400. Cunoscând raza medie a meridianului pe care se mişcă

avionul , să se determine valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale sale la momentul în care ajunge la latitudinea λ = °30 , ţinând seama de mişcarea de rotaţie a Pământului în jurul axei sale, pentru care să se calculeze viteza unghiulară.

Răspunsuri ω = ⋅ − −7 27 10 5 1, s , v m sa = 450 a m sa = ⋅ −37 5 10 3 2, , .

156 Cinematica - 2

2.5.6. Un avion zboară uniform de la vest spre est după o paralelă a Pământului, care are latitudinea nordică λ = °30 , cu viteza relativă v km0 720= h

R km= 6400

. Ştiind că avionul zboară la o înălţime pentru care distanţa medie până la centrul Pământului este , să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor sale relative, de transport şi absolute, ţinând seama de mişcarea de rotaţie a Pământului în jurul axei sale.

Răspunsuri

v v m sr = =0 200 , v Rt = m s=ω λcos 403 , v ma s= 603 ;

a v m sr = = ⋅ −02

37 2 10,R

2

cosλ , a R , m s⋅ −2 3 210t = =ω λ 29cos

a v m sc = = ⋅ −2 29 1 1003 2ω , , a m . sa = ⋅ −65 3 10 3 2,

2.5.7. Un punct material porneşte din vârful unui con circular cu unghiul la vârf 2α şi se mişcă uniform cu viteza relativă u pe o generatoare a conului. Ştiind că, în acelaşi timp, conul se roteşte uniform accelerat, fără viteză unghiulară iniţială, cu acceleraţia unghiulară ε în jurul axei sale de simetrie, să se determine valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale punctului material la un moment t de la începutul mişcării.

Răspunsuri

v u ta = +1 2 4 2ε αsin 42a t9sintu ε+αε=a . ,

2.5.8. Un punct material porneşte din vârful unui con circular cu unghiul la vârf 2α şi se mişcă uniform accelerat, fără viteză iniţială, cu acceleraţia relativă w pe o generatoare a conului. Ştiind că, în acelaşi timp, conul se roteşte uniform cu viteza unghiulară ω în jurul axei sale de simetrie, să se determine valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale punctului material la un moment t de la începutul mişcării.

Răspunsuri

v wt ta = +2

4 2 2 2ω αsin ( ) , a . w t ta = + +2

4 122 2 2 2 2ω ω αsin

2.5 - Mişcarea relativă a punctului material 157 2.5.9. Semicercul din sârmă din fig. 2.5.9, având centrul O şi raza R, se mişcă

în planul fix O x astfel încât capetele diametrului său BD se mişcă pe axele de coordonate şi unghiul dintre axa Oy trecând prin B şi axa

variază în timp după legea

y1

O y1 1

1 1

Fig. 2.5.9

θ = λ1 t , unde λ este o constantă pozitivă cunoscută. Pe semicerc se mişcă un inel A astfel încât unghiul dintre razele OA şi OB variază în timp după legea θ = λ2 t . Să se determine elementele mişcărilor relativă şi absolută ale inelului.

Răspunsuri

( )Γr x y R2 2 2+ = ( )Γa x y12

1

v v Rr a= = 2λ a Rr = 4 2λ

AO OB=O x y1 1 1

O y1 1

, ; R2 24+ =

Ra t= = 2 2λ ; , a a . 2.5.10. Bara ABD sub formă de T din fig. 2.5.10, având laturile AB şi OD

perpendiculare între ele şi , se mişcă în planul fix astfel încât capetele sale A şi B se mişcă pe axele de coordonate, iar unghiul dintre latura sa AB de lungime 2R şi axa variază în timp după legea θ π= t 6 . Pe latura sa OD se mişcă un culisor C după legea:

( ) ( )OC x t R t= = −2 1 3cos .π

R m Pentru

= 0 25,

t s1 1

să se calculeze valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale culisorului la momentul = şi să se exprime ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sale absolute în funcţie de θ . Să se verifice că valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale culisorului la momentul se pot obţine şi

prin derivarea în raport cu timpul a coordonatelor sale faţă de sistemul de referinţă fix.

Fig. 2.5.10

t1

158 Cinematica - 2

Răspunsuri

v R ma = + =π 14 3 0 52, s6

a ; , R m sa = − =

π22

3658 7 3 0 47,

x R R124= +sin sin cosθ θ θ y R R1

34= +cos sinθ θ , .

2.5.11. Barele şi se mişcă în planul fix astfel încât se roteşte uniform în jurul articulaţiei

după legea

O A1 BD O x y1 1 1 O A1

O1 θ λ1 = t

RO 2= =

şi BD are o mişcare de translaţie rectilinie după legea în poziţia în care rămâne paralelă cu axa

, punctul său O mişcându-se pe axa . Dacă punctul de intersecţie dintre cele două bare este materializat prin inelul M, să se determine elementele mişcării absolute ale inelului şi elementele mişcărilor sale relative faţă de cele 2 bare, alegând sistemele de referinţă legate de bare cu axele O după

şi Oy′ după OB.

O O x1 1 t2 λcos

Fig. 2.5.11

O y1 1

O x1 1

x1

O A1

Răspunsuri

x O M R t= =1 2 cosλ y = 0 , ; r rv R tir1 2= − λ λsin ,

r ra R ; t ir1

22= − λ λcos

′ =x 0 ′ = =y OM R tsin2λ , ; r rv R tjr2 2 2= ′λ λcos r r

a R ; , tjr224 2= − ′λ λsin

( )Γa x R y R12

12 2− + = v Ra ( ) , = 2 λ , . a Ra = 4 2λ

2.6 - Compuneri de mişcări ale corpului rigid 159

2.6. Compuneri de mişcări ale corpului rigid 2.6. Compuneri de mişcări ale corpului rigid 2.6.1. Bara AB de lungime 4R se mişcă în planul fix O x astfel încât

capetele sale se mişcă pe axele de coordonate şi unghiul dintre axa legată de ea şi variază în timp după legea

2.6.1. Bara AB de lungime 4R se mişcă în planul fix O x astfel încât capetele sale se mişcă pe axele de coordonate şi unghiul dintre axa legată de ea şi

variază în timp după legea

y2 2 2

Oy1

y2 2 2

Oy1

O y2 2O y2 2 θ λ1 = t , λ fiind o constantă pozitivă cunoscută. La mijlocul său O este articulat un capăt al barei OD de lungime 5R, iar celălalt capăt D al acesteia este legat printr-un inel de o circumferinţă din sârmă de rază 2R şi cu centrul în C pe axa , care este situată într-un plan paralel cu la distanţa

. O z2 2 O x y2 2 2

O C R2 3=

OP P P P1 1 2 2

a) Să se determine parametrii cinematici pentru bara OD, în mişcările sale relativă faţă de AB, de transport şi absolută.

b) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor relative şi absolute ale punctelor P1 , P2 şi P3 de pe bara OD, pentru care P P D3 3= = = .

Rezolvare

a) În fig. 2.6.1.a) s-au reprezentat mecanismul format de cele două bare şi sistemele de referinţă legate de ele Ox y z1 1 1 , respectiv Oxyz. Se observă că distanţa

R2 2

Fig. 2.6.1.a)

O O = rămâne constantă tot timpul mişcării mecanismului, astfel încât proiecţia D′ a punctului D pe planul O x y2 2 2 este diametral opusă punctului O pe traiectoria sa, care este tot o circumferinţă de rază 2R, având centrul în O2 .

160 Cinematica - 2 Deoarece 2OD D D D O2 2= ′ + ′

relativă faţă de AB d, rezultă că dreptunghiul DD′OD′′ are

lati

legat de bara OD o mişcare e rotaţie în jurul laturii OD′′ paralelă cu O z2 2 , după care s-au orientat axele Oz1 legată de AB şi Oz legată de OD. Ca urmare, parametrii cinematici în mişcarea re vă a barei OD faţă de AB vor fi:

θπ

θπ

λ= − = −2

22

21 t , r rr

ω θ λ10 2= = −&k k , r r

10 0= . etrii

imediat

ε Param cinematici în mişcarea de transport a barei OD sunt parametrii cinematici corespunzători mişcării absolute a barei AB, care, evident, este o mişcare plană în planul O x y2 2 2 . Se observă

că unghiul dintre axa Ox′2 paralelă cu O x2 2 şi ax x1 legată de AB este

a Oθ1 , astfel încât

rezul :

Fig. 2.6.1.b)

tăr r r rω θ λ21 1= =& k k

rε21 0= OI2 1 12 , O I R4= = , , , J O1 2≡

1 J1unde cu I şi s-au notat centrul instantaneu de rotaţie, respectiv polul acceleraţiilor pentru bara AB.

În urma determinării parametrilor cinematici pentru cele două mişcări componente ale barei OD, se observă că mişcarea sa absolută este compunerea a două mişcări de rotaţie faţă de axe paralele între ele, care poate fi o mişcare plană sau mai particulară. Ca urmare, parametrii cinematici în mişcarea sa absolută vor fi:

r r r r r r rω ω ω ω λ= = + = −20 10 21 k , ε = 0

O I O O O I R R2 10 2 21 2 1 2 2 4 0= + ,

= − ⋅ + ⋅ =λ , I J Oω ω λ ≡ ≡ 2

O z2 2

, deci mişcarea sa absolută este de rotaţie în jurul axei fixe cu viteza unghiulară rω constantă.

b) Elementele cerute în enunţ ale mişcărilor relative şi absolute ale punctelor P1 , P2 şi P3 vor fi aceleaşi cu cele ale proiecţiilor lor pe planul O x y2 2 2 , care împart segmentul de dreaptă mobil OD′ de lungime 4R în 4 părţi egale. Ca urmare, rezultă:

v R Rr1 10 2= =ω λ v Rr2 4 v Rr3 6= λ , = λ ; ,

2.6 - Compuneri de mişcări ale corpului rigid 161

v2a 0= ; v va a1 3= R R= ω = λ ,

a R R0 4= =ω λ r228= λ

2 2r1 1 a R12= λ

a a R Ra a1 3= = =ω λ a2 0

2 2 , a R , ; 2r3

, a = . Se observă că punctul de pe bara OD are viteza absolută ca şi acceleraţia absolută nule, deci se poate obţine aceeaşi mişcare a mecanismului dacă se fixează acest punct printr-o articulaţie pe axa O z la distanţa

P2

2 2 O P R2 2 3 2= .

Fig. 2.6.2

2.6.2. Să se studieze mişcarea mecanismului din fig. 2.4.12, considerând mişcarea absolută a barei BD ca fiind compusă din 3 rotaţii în jurul unor axe instantanee paralele între ele, şi anume rotaţia barei BD faţă de AB, a barei AB faţă de

şi a manivelei faţă de sistemul de referinţă fix. Pentru aceasta, cunoscând variaţia în timp a unghiului θ dată în problema 2.4.12, să se exprime ca funcţii de timp unghiurile de rotaţie corespunzătoare celor 3 rotaţii componente ale mişcării absolute a barei BD şi să se determine:

O A1 O A1

1

162 Cinematica - 2

a) vitezele unghiulare şi acceleraţiile unghiulare în mişcările relative şi absolute ale celor 3 bare;

b) centrele instantanee relative şi absolute ale barelor; c) polii acceleraţiilor în mişcările relative şi absolute ale barelor; d) vitezele şi acceleraţiile relative şi absolute ale mijlocului M al barei BD la

momentul t1 3= π λ .

Rezolvare Pentru a se utiliza notaţiile consacrate în cazul compunerii mai multor mişcări

ale unui corp rigid, sistemul de referinţă fix la care se raportează mişcarea mecanismului din fig. 2.4.12 trebuie să fie notat cu O x , iar unghiul θ devine . Alegând sistemele de referinţă legate de bare ca în fig. 2.6.2, unde axa este paralelă cu , variaţia în timp a unghiurilor de rotaţie corespunzătoare celor 3 rotaţii componente ale mişcării absolute a barei BD rezultă:

z3 3 3 1 θ3

Ax′1Bx1

2t1

π−λ−=θ 22

2 3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−π

,

t22 λ2−π

=θ

t3

,

θ = λ .

a) Cu notaţiile cunoscute, vitezele şi acceleraţiile unghiulare ale barelor în mişcările lor relative şi absolute devin:

ω θ10 1 2= =& λ λ , , ω ω , ω θ21 2 2= = −& θ2 32 3= = =& λω ω ω20 10 21 0= + = , ω = ω = ω +ω = λ ω30 20 32 , ω ω λ1 21 32= + = −

ε ε ;

ε10 21 20 0= = = , ε ε ε= = =1 2 0 , unde elementele mişcărilor absolute ale barelor s-au notat cu un singur indice, iar pentru mişcarea absolută a barei BD, de care este legat sistemul de referinţă Bxy, indicele “0” a fost suprimat.

b) Deoarece mişcarea absolută a barei BD este compusă din 3 rotaţii în jurul axelor paralele Bz , Az′1 şi O z3 2 , rezultă că centrele instantanee relative I01 şi I12 coincid cu articulaţiile dintre barele respective, adică I B01 ≡ şi I A12 ≡ , iar mişcarea relativă a barei BD faţă de O A3 este de translaţie circulară, datorită faptului că

20 0= = şi .const= Se observă că teorema colinearităţii a 3 centre instantanee relative este verificată, deoarece centrul instantaneu relativ I20 , care ar ω ε20 2=AB l

2.6 - Compun şcări ale corpului rigid 163 eri de mitrebui să se găsească la intersecţia dreptelor AB şi I I2 , este aruncat la infinit, cele două drepte fiind paralele între ele. Cunoscând poziţia centrului instantaneu absolut 2 3≡ pentru bara O A3 şi cele două centre instantanee relative aflate în poziţiile momentane ale articulaţiilor A şi B, se pot determina poziţiile centrelor instantanee absolute I1 şi I pentru celelalte 2 bare prin construcţia grafică din fig. 2.6.2, de unde rezultă:

I O

I II I

2 12

1 12

1=1

2

=ωω

, ; l=AI=AO 13 1=ωω

IIII

1

1 =01

01 , . l3=BI=BI1

c) Polii acceleraţiilor J 01 , J12 şi J 20 în mişcările relative ale barelor coincid

cu centrele instantanee corespunzătoare, deoarece primele 2 mişcări relative sunt de rotaţie în jurul unor axe, iar a treia este de translaţie. Cunoscând vitezele şi acceleraţiile unghiulare ale barelor în mişcările lor absolute, se observă imediat că polii acceleraţiilor în aceste mişcări coincid cu O3 pentru toate barele mecanismului.

d) Viteza şi acceleraţia relativă a punctului M faţă de bara AB la orice

moment vor fi:

BMv ×ω=rr

101r , ll

λ=λ2=v21r , BMa 2ω−= 101r

r ,

l2 2=2

λ4 l2λ1r =a

O A3

,

iar elementele corespunzătoare ale mişcării sale relative faţă de vor fi exprimate de viteza şi acceleraţia relativă a punctului B în mişcarea barei AB faţă de : O A3

ABv 212r ×ω=rr

, ll λ=⋅λ= 422v 2r , AB2212r ω−=ar , . ll2r 24a =⋅λ= 2 28λ

Pentru determinarea elementelor cerute în enunţ ale mişcării absolute a punctului M, se pot calcula elementele mişcărilor de transport ale barelor AB şi , precum şi acceleraţiile complementare, după care se aplică formulele de compunere a vitezelor şi acceleraţiilor în mişcarea relativă a unui punct material. Deoarece s-au determinat parametrii cinematici în mişcarea absolută a barei BD, este mai uşor să se calculeze viteza şi acceleraţia absolută a punctului M pe baza distribuţiilor de viteze şi acceleraţii în mişcarea plană a acestei bare, astfel încât, la momentul , rezultă:

O A3

t1

IMva ×ω=rr

, lλ=2

va37

;

JMa 2ω−=r

a , l2λ13

=aa 2 .

Observaţie. Se pot păstra parţial notaţiile din fig. 2.4.12 pentru sistemul de

referinţă fix O în loc de şi pentru unghiul 00yx0 O x y1 1 1 θ1 dacă se face o numerotare inversă a barelor mecanismului şi a unghiurilor de rotaţie corespunzătoare. În acest caz, manivela devine primul corp al mecanismului şi de ea se leagă sistemul de AO0

164 Cinematica - 2referinţă , al doilea corp va fi bara AB cu sistemul de referinţă legat de ea

, iar cel de-al treilea corp este bara BD, de care se leagă sistemul în loc de Bxy. De exemplu, vitezele unghiulare relative şi absolute ale barelor se vor nota astfel: , ω , ; ω , , ω .

110 yxO

22yBx

23ω 12 13ω 011 ω= 022 ω=ω 033 ω=ω=

l

33yBx

2.6.3. Cubul OABCDEHI cu muchiile de lungime are o mişcare compusă

din 5 mişcări instantanee de rototranslaţie cu axele dirijate după diagonala sa OI, respectiv după diagonalele BO, DO, HO şi IE ale feţelor sale corespunzătoare, după care s-au ales versorii direcţiilor acestor axe ca în fig. 2.6.3. Cunoscând valorile algebrice momentane ale parametrilor cinematici pentru distribuţiile de viteze în cele 5 mişcări componente ale cubului, exprimate prin: ω λ1 2 3= sin tλ ,

tcos32u1 λλ= l ,

ω ω2 3= = ω λ λ4 2= sin t ,

ω λ5 2= − ,

tcos2uuuu 5432 λλ==== l , unde λ este o constantă pozitivă dată, să se determine:

a) parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze şi acceleraţii în mişcarea absolută a cubului;

b) vitezele şi acceleraţiile absolute ale vârfurilor cubului la un moment t al mişcării sale.

Rezolvare

a) Din enunţ rezultă că mişcarea absolută a cubului, de care s-a legat sistemul de referinţă Oxyz ca în fig. 2.6.3, este compusă din mişcarea sa relativă de rototranslaţie faţă de un sistem mobil O x y z1 1 1 1 cu axa dirijată după re1 , din mişcarea acestuia, de asemenea de rototranslaţie, faţă de alt sistem mobil

x y z2 2 2 2 cu axa dirijată după

Fig. 2.6.3

O re2 , ş.a.m.d., ultima sa mişcare componentă fiind tot de rototranslaţie faţă de sistemul de referinţă fix

cu axa dirijată după O x y z5 5 5 5re5 . Cu

notaţiile folosite la compunerea mai multor

2.6 - Compuneri de mişcări ale corpului rigid 165 mişcări ale unui corp rigid, parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze în mişcările componente ale cubului devin:

( )r r r r rω ω λ λ2= = + +e i j k sin10 1 1 t , ( ) tcoskji2euu λ++λ== 110 1

rrrrrl ,

( ) ( )r r r r r rω ω λ λ λ λ= = − − = − +e i j t i jsin sin t , ( ) tcosjiuu λ+λ−==

rr5421rr

l , 21 2 2

( )r r rω λ= − +j k tsinλ , ( ) tcoskju λ+λ−=32

rrrl , 32

( )r r rω λ= − +i k tsinλ43 , ( ) tcoskiu λ+λ−=43

rrrl ,

(r r rω λ= +i j)54 , ( ) 2154 utcosjiu rrrr

l =λ+λ−= ,

astfel încât, în mişcarea sa absolută, parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze şi acceleraţii vor fi:

(r r r r r rω ω ω ω λ= = = = ++∑50 1

4

54i i j,i ) , =0i

( )

( ) ( )( ) ,vjtcos1it Or

=λ−+λcos

IOuruv 5454

4

0i0ii,1ii,1i50

rr

rrrrrr=×ω+=×ω+=∑

=++

1l +−λ=

rr r

ε∂ω

= = 0∂t

, ( )k2jtsinitsinvva 2O

OO t

rrrrrr

rl +λ+λλ=×ω+

∂=

∂

)

,

deoarece se observă că primele 4 mişcări instantanee de rototranslaţie, componente ale mişcării absolute ale cubului, au axele concurente în O şi sumele vectoriale ale parametrilor cinematici pentru distribuţiile de viteze ale acestora sunt nule. Ca urmare, mişcarea absolută a cubului va fi de rototranslaţie faţă de axa fixă (Δ) trecând prin punctele sale I şi E cu parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze şi acceleraţii exprimaţi prin:

(r r rω λ= +i j , ( ) tcosjiu λ+λ−=

rrrl ,

r rε = 0 , ( ) tsinjiw 2 λ+λ=

rrrl .

Evident, la momentele în care se anulează viteza de alunecare, distribuţia de viteze a cubului în mişcarea sa absolută va fi de rotaţie în jurul axei (Δ), iar la momentele în care se anulează acceleraţia de alunecare, distribuţia sa de acceleraţii va fi de rotaţie în jurul aceleiaşi axe.

b) Vitezele absolute ale vârfurilor cubului vor fi: ( ) ( )( )jtcos1itcos1vv BO

rrrrλ−+λ+−λ== l

( ) ,

( )( )kjtcos1itcos1vA

rrrrl −λ−+λ+−λ= ,

166 Cinematica - 2

( ) ( )( )kjtcos1itcos1vC

rrrrl +λ−+λ+−λ= , ( )( )ktcosjiDv

rrrrl +λ+−λ= ,

( ) tcosjivv λ+λ−==rrrr

l , ( )( )ktcosjivrrrr

l +λ+λ−= , IE H

iar acceleraţiile lor absolute rezultă: ( )( )k2tsinjiaa BO

2rrrrr

+λ+λ== l , ( ) ( )( )itsin1A k2jtsin1a 2rrrr

l

( )+λ++λ+−λ= ,

( )( )jtsin1itsin1aC k22rrrr

+λ+−+λ+λ= l

( ) ,

( )( )sin1D jtsin1ita 2rrr

l +λ= λ+−+λ ,

( ) tsinjiaa IE λ+λ== 2rrrr

l , ( ) ( )( )jtsin1itsin1aH2

rrrl λ++λ+−λ= .

2.6.4. O placă plană, având ecuaţia curbei ce o delimitează faţă de planul de referinţă legat de ea exprimată prin O x y1 1 1

( )xy f=

Fig. 2.6.4

1 1

O x1 1

, are o mişcare de translaţie rectilinie în planul fix Oxy, astfel încât axa se mişcă pe Ox după legea ( )tOO1 = l

l

λ1− , λ fiind o constantă pozitivă cunoscută. Manivela OA de lungime este articulată în O şi se sprijină cu celălalt capăt pe curba ce delimitează placa plană considerată.

a) Să se determine viteza unghiulară a manivelei în funcţie de abscisa x1 a punctului A şi să se exprime x1 ca funcţie de timp şi de f.

b) Să se determine funcţia f astfel încât viteza unghiulară a manivelei să fie constantă, de valoare λ , dacă O1 se află pe curba ( )x1 1= . y f

Răspunsuri

a) 22

f ′l , fff

λ

−+′=

l( ) 22 f−l . 1 1tλx +−= lω

b) 22 f−l . 1farcsinx +=+l

ll

O x z1 ′ ′ O x1 ′ 1 ′

2.6.5. Un disc circular de rază R se rostogoleşte fără alunecare în planul pe axa , astfel încât centrul său O porneşte de pe axa O z şi se mişcă

2.6 - Compuneri de mişc rigid 167 ări ale corpului uniform pe o dreaptă paralelă cu cu viteza de valoare O x1 ′ vO R= λ . În acelaşi timp, planul mişcării discului are o mişcare de rotaţie uniformă în jurul axei fixe

după legea , unghiul O z O z1 1 1≡ ′ θ1 = tλ θ1 fiind măsurat în planul fix între axele şi ca în fig. 2.6.5. La un moment t al mişcării discului, să se determine:

O x y1 1 1

O x1 1 O x1 ′

a) viteza unghiulară, acceleraţia unghiulară, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor în mişcarea sa relativă;

b) viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară în mişcarea sa absolută;

c) valorile vitezelor şi acceleraţiilor absolute ale punctelor sale A1 , A2 , A3 şi A4 , situate la momentul considerat pe periferia sa la capetele diametrelor A A1 2 ||O z1 ′ şi A A3 4 ||O x1 ′ .

Fig. 2.6.5

Răspunsuri

a) r rω λr j= ′ ,

r , I Ar

rε r = 0 ≡ 1 , J Or ≡ ;

b) ( )j k′ + ′ , r r rω λa =

r rεa

v R

λ i= − ′2 ;

c) t12= λ , v R2 = λ t2 24+ λ , ( )v R3 2 1= +λ t 2−λ ,

( )v R4 2 1= +λ t 2+λ ; a R t21+ λ , 12 2= λ a R t2+ ,

)2

2 217= λ λ

(a R2 4 2= +λ ( )t 2−λ , 3 a R42 4 2= +λ

y1 1 1

O y1 1

θ λ1 = t

λ2ωr

t 2+λ .

2.6.6. Bara AB de lungime 4R, de care s-a legat sistemul de referinţă Ox′y′z′ ca în fig. 2.6.6, se mişcă în planul fix O x astfel încât capetele sale se mişcă pe axele de coordonate şi unghiul dintre axele Oy′ şi variază în timp după legea

, unde λ este o constantă pozitivă cunoscută. La mijlocul O al barei este montat printr-un rulment cu bile un disc circular de rază R, care are o mişcare de rotaţie uniformă faţă de bară cu viteza unghiulară = , orientată ca în figură.

a) Să se determine viteza unghiulară, acceleraţia unghiulară, centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor în mişcarea de transport a discului.

168 Cinematica - 2 b) Să se exprime viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară în mişcarea

absolută a discului prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă legat de bară. c) Să se calculeze valorile vitezelor şi acceleraţiilor absolute ale punctelor

sale A1 , A2 , A3 şi A4 de pe periferia discului la momentul t1 4= π λ , când A1 şi A2 se găsesc pe axa Oz′, iar A3 şi A4 pe Ox′.

Fig. 2.6.7

Fig. 2.6.6

Răspunsuri a)

r rωO I Ot1 2=

λt k= ′ , r rε t = 0 ,

I Rt 4= , J Ot ≡ 1 .

b) r r rω λ= λj k′ + ′ , a 2r rε λa = − i′2 2 .

c) v v1 2= = R2 2λ , v R3 = 13λ , v R4

a a1 2= = a a R

ω ω ω ω λ1 2 4 5= =

5= λ ;

R26λ , R323= λ , 27= λ . 4

2.6.7. Un cub cu muchiile de lungime l are o mişcare compusă din 5 rotaţii în jurul unor axe dirijate după muchii ale sale ca în fig. 2.6.7 şi dintr-o mişcare instantanee de rototranslaţie în raport cu axa dirijată după diagonala sa DA. Ştiind că parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze în mişcările componente ale cubului au valorile:

= = , ω λ3 3= , ω λ , 6 3= lλ3u = , unde λ este o constantă pozitivă cunoscută, să se determine parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze şi de acceleraţii în mişcarea sa absolută.

2.6 - Compuneri de mişcări ale corpului rigid 169 Răspunsuri

( )r r r r r

ω ε= = 0 , k2ji2λvO

r r rr aO = 0 . l +−−= lλ3vO = , ,

2.6.8. Un cub cu muchiile de lungime l are o mişcare compusă din 6 rotaţii în jurul unor axe dirijate după muchii ale sale ca în fig. 2.6.8. Ştiind că vitezele

unghiulare în mişcările componente ale cubului au aceeaşi valoare constantă λ dată, să se determine:

Fig. 2.6.8

a) parametrii cinematici pentru distribuţiile de viteze şi de acceleraţii în mişcarea sa absolută, exprimaţi prin proiecţii pe axele sistemului de referinţă Oxyz legat de cub, având axa Ox dirijată după

rω1 şi celelalte axe

după celelalte 2 muchii concurente în O; b) viteza absolută şi acceleraţia

absolută de alunecare a cubului, precum şi ecuaţiile axelor instantanee de rototranslaţie sau de rotaţie faţă de sistemul de referinţă legat de el.

Răspunsuri a)

r rω λ= 4 k ,

r rε = 0 ,

( )kj2i2λvO

rrrl= +− , ( )jiλ2r 8aO

rr rl + ; =

b) kλurrl= ,

rw = 0 ;

( )′Δ , ( )′′Δ

r

2y l== . x

l2O x y1 1 1

θ

2.6.9. Mecanismul din fig. 2.6.9, format din 3 bare identice de lungime

fiecare, se mişcă în planul fix astfel încât unghiurile din figură variază în timp după legile:

t 3 2 t , θ λ1 2= = θ = − λ ,unde λ este o constantă pozitivă cunoscută.

170 Cinematica - 2 a) Să se determine viteza unghiulară, acceleraţia unghiulară, centrul

instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor în mişcarea absolută a barei AB. b) Să se arate că mişcarea absolută a barei BD este de translaţie şi să se

calculeze viteza absolută şi acceleraţia absolută a unui punct M de pe ea la un moment t al mişcării.

Răspunsuri a) ω ω ω λ2 12 23 2= + = , ε2 0= ,

l== AI2 , IO 21 23AJO 2l

= . 3=J21

b) ω ε3 3 0= = ,

tλcos4+ , 5λ2vM = l

tλcos8+ . 17λ2a 2M = l

θ

Fig. 2.6.9

2.6.10. Mecanismul din fig. 2.6.10, format din 5 bare identice de lungime 4l fiecare, se mişcă în planul fix astfel încât unghiurile din figură variază în timp după legile:

O x y1 1 1

t , θ θ θ λ1 2 4 5= = = =

3 4 tθ = − λ , unde λ este o constantă pozitivă cunoscută.

Fig. 2.6.10

Să se determine:

a) vitezele unghiulare relative şi absolute ale barelor;

b) centrele instantanee de rotaţie şi polii acceleraţiilor pentru barele 2 (AB), 3 (BC) şi 4 (CD) în mişcările lor relative una faţă de alta, precum şi în mişcările lor absolute;

2.6 - Compuneri de mişcări ale corpului rigid 171 c) valorile vitezei şi acceleraţiei absolute ale unui punct M de pe bara 5 (DE) la

un moment t al mişcării.

Răspunsuri a) λω ω ω23 45 56= = = , ω λ34 4= − , ω ω λ24 35 3= = − ,

λ2ω ω= = − , ω λ26 = − , 25 36 ω λ46 2= ; ω λ1 = , ω λ2 2= , λ3 2= − , ω λ4 = − , ω5 0= ; ω

b) B , CI J23 23≡ ≡ I J34 34≡ ≡ , I J24 24≡ ,

B CI∈ 24 , 3

4BI24l

=

J

;

l2AI , O A2 1∈ , l=2AJ ,

)IO 221 ==

( ) ( 2232 2BIBI == l tλ2sin ,

J J3 2≡ , tλ2sinl ,

;

2tλsin ++tλcos 2cos2tλ +

( )16tλsin8,tλ2cos8tλcos8I lll ++

tλsinλ8vM += l

4

( )0,tλ2cos24J4 l−

( ) c) tλ2sin2 ,

( )tλ2cos4 . tλcosλ8a 2M += l

3.1. Dinamica punctului material 3.1.1. Să se demonstreze legile lui Kepler, enunţate mai jos, privind mişcarea

planetelor în jurul Soarelui, pe baza studiului mişcării unui punct material sub acţiunea unei forţe centrale de atracţie newtoniană.

a) Traiectoria oricărei planete este o elipsă, având Soarele într-unul din focarele sale.

b) Raza vectoare a unei planete descrie arii egale în intervale de timp egale. c) Raportul dintre pătratul timpului de revoluţie şi cubul semiaxei mari a

traiectoriei este acelaşi pentru toate planetele.

Rezolvare Cea de-a doua lege a lui Kepler, enunţată la b), rezultă imediat din legea

ariilor, valabilă în mişcarea unui punct material sub acţiunea oricărei forţe centrale. Conform acestei legi, mişcarea unui punct material sub acţiunea unei forţe centrale este plană, având viteza areolară constantă de valoare c 2 .

Pentru determinarea traiectoriei punctului material, aflat în mişcare sub acţiunea unei forţe de atracţie newtoniană, se aplică ecuaţia lui Binet, care exprimă ecuaţia diferenţială a traiectoriei în coordonate polare. În cazul mişcării unei planete în jurul Soarelui, ecuaţia lui Binet devine:

dr

kMmr

rmc

2

2 2

2

21 1⎛⎜⎞⎠⎟+ = − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

, d rθ ⎝

unde k este constanta atracţiei universale, M este masa Soarelui, iar m este masa planetei. Se observă că în membrul drept al acestei ecuaţii se obţine o constantă pozitivă, care se notează cu 1 p , astfel încât rezultă:

( )1 10p

= + −ε

θ θcos( )

, r (1) , p

=+ −1 0ε θ θcosr p

p ckM

=2

ε θ0

ε

,

unde şi sunt constante de integrare. Relaţia (1) reprezintă ecuaţia unei conice în coordonate polare, având focarul în centrul atractiv O, excentricitatea şi parametrul p. Natura conicii depinde de excentricitatea sa, care este o constantă de integrare, astfel încât, pentru determinarea ei, se consideră ca poziţie iniţială a planetei o poziţie în care

3.1 - Dinamica punctului material 173 unghiul polar este luat nul şi raza vectoare , viteza şi unghiul θ r v0 0 α dintre ele sunt presupuse cunoscute. Deoarece viteza radială a planetei se poate exprima prin:

( ) ( )v r dr d r c cr = = = − = −& sin sinθ

ε θ θε

θ θ2

0 2 0d dt p r pθ ,

condiţiile iniţiale considerate conduc la ecuaţiile:

r p0 =

01+ ε θcos , v c

0 0cos sinαpε

θ= − ,

din care rezultă:

ε θcos 00r

1= −p

, ε θ αsin 0 , p r v

0r= −

p ctgkM

= 02

02 2sin α

,

tg r vkM r v

θα α

α00 0

2

2 2=−

sin cossin0 0

, εα

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 20

202 2

2 2 02r v

k Mv kM

rsin

0

(2) .

Pe baza relaţiei (2) se poate determina natura conicii: − pentru v k0 0= M r şi α π= ± 2 se obţine ε = 0 , deci traiectoria

planetei este un cerc; kM r v0 0< <− pentru kM r02 (3) se obţine 0 1< <ε , deci traiectoria

planetei va fi o elipsă; v0 0≥− pentru kM r2 rezultă ε ≥ 1 , deci un punct material care atinge sau

depăşeşte această viteză în sistemul solar va părăsi acest sistem pe o ramură tinzând spre infinit a unei parabole, respectiv a unei hiperbole.

Traiectoriile planetelor din sistemul solar nu pot avea ramuri tinzând spre infinit, astfel încât aceste traiectorii pot fi numai elipse. Într-adevăr, pe baza observaţiilor şi măsurătorilor astronomice s-a constatat că în orice poziţie a unei planete pe traiectoria sa sunt verificate relaţiile (3). În cazul planetei Mercur, care este cea mai apropiată de Soare, se obţine o valoare foarte mică a excentricităţii, deci traiectoria sa este foarte apropiată de un cerc.

Pentru a demonstra cea de-a treia lege a lui Kepler, enunţată la c), este necesar să se calculeze lungimea a a semiaxei mari a traiectoriei unei planete şi timpul său T de revoluţie. Pe baza relaţiei (1), pentru ( )cos θ θ− = ±0 1, se pot determina valorile extreme ale razei vectoare, astfel încât rezultă:

2 22a p p p

= + =1 1 1+ − −ε ε ε

, a p= 2−1 ε

, b a p ap= − = =1 2

2ε

−1 ε ,

unde b este lungimea semiaxei mici. Perioada de revoluţie a planetei se determină din legea ariilor:

174 Dinamica - 3

r ddt

c2 θ= , T ,

rc

d abc

a ac

ckM kM

a= = = =∫2

0

2 23 22 2 2

θπ π ππ

a3

v0

de unde, prin ridicare la pătrat şi împărţire cu , se obţine relaţia care demonstrează această lege.

3.1.2. Un corp punctiform paralelipipedic de masă m este aruncat cu viteza iniţială de valoare pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul orizontal. Se cunosc unghiul β dintre viteza iniţială şi orizontala corespunzătoare a planului înclinat, precum şi coeficientul de frecare μ dintre corp şi planul înclinat.

a) Să se stabilească proprietăţile mişcării corpului pe planul înclinat în funcţie de ( ]β π0 2, şi ( ]0 2, tg . ∈ ∈μ α

b) Pentru β π= 2 şi μ α= tg să se determine legea de mişcare a corpului pe planul înclinat.

c) Pentru α π= 6 , β π= 3 şi μ = 3 3 să se arate că traiectoria corpului admite o asimptotă paralelă cu linia de cea mai mare pantă a planului înclinat şi să se determine ecuaţia asimptotei şi viteza corpului pe ramura asimptotică a traiectoriei sale.

Rezolvare

a) În fig. 3.1.2 s-a reprezentat sistemul de referinţă fix Oxyz legat de planul înclinat, cu originea în poziţia iniţială a corpului şi cu axa Oy dirijată după linia de cea mai mare pantă a planului înclinat în sens ascendent. Într-o poziţie oarecare a corpului pe planul înclinat, asupra sa acţionează greutatea proprie mgr , reacţiunea normală rN a planului înclinat şi forţa de frecare

rFf , care este situată în

planul Oxy, este dirijată după tangenta la traiectorie în poziţia curentă P a corpului în sensul opus vitezei sale rv şi are valoarea Fig. 3.1.2

3.1 - Dinamica punctului material 175 μN. Ca urmare, aplicând legea fundamentală a dinamicii, ecuaţia diferenţială vectorială a mişcării corpului pe planul înclinat devine:

ma mg N N vr r

vr r

= + − μ ,

ale cărei proiecţii pe axele sistemului de referinţă considerat sunt ecuaţii diferenţiale nelineare, greu de integrat. Se obţin ecuaţii diferenţiale mai uşor de integrat dacă se studiază mişcarea corpului pe planul înclinat în coordonate intrinseci faţă de traiectoria sa plană necunoscută, pentru care se consideră ca parametru de poziţie unghiul θ dintre tangenta la traiectorie şi axa Ox, măsurat în planul Oxy. Aceste ecuaţii rezultă:

mv mg& sin sin= − −α θ Nμ ,

mvRc

mg2

= sin cosα θ

N mg− =cosα 0

,

, iar după înlocuirea valorii N din ultima ecuaţie în prima, ele devin:

( )dvdt

g= − sin sinα θ + cosμ α (1) ,

v g2

= sin cosαRc

θ

Rc

(2) ,

unde cu s-a notat raza de curbură a traiectoriei. Pentru a se putea integra aceste ecuaţii diferenţiale, în primul rând este necesar să se exprime în funcţie de θ. Pentru aceasta, notând cu δ unghiul dintre normala principală PP′′ a traiectoriei şi axa Ox, din fig. 3.1.2 rezultă:

Rc

δπ

θ= −2

, θdθ

dtdsδd

dsc −=−==

Rc

dtvddt

R .

Înlocuind în (2) valoarea determinată pentru şi apoi eliminând timpul prin împărţirea membru cu membru a ecuaţiei (1) la cea care rezultă, se obţin ecuaţiile:

v ddt

gθα= − sin cos

θ (3) ,

dv tgθvdθ

λθcos

α= ctg 0 2,

= + (4) ,

unde λ μ este o constantă adimensională ce ia valori în intervalul ( când μ are valorile din enunţ. Ecuaţia (4) are variabilele separabile, deci se poate integra uşor, dar chiar fără integrarea ei se pot stabili proprietăţile mişcării corpului pe planul înclinat în funcţie de β şi λ în loc de μ, pe baza ecuaţiilor (1), (2) şi (3).

]

176 Dinamica - 3 Pentru β π= 2 se observă că mişcarea corpului este rectilinie pe axa Oy, deci

θ π= 2 şi din (1) rezultă:

( )= −v v gt +0 sin cosα μ α (5) ,

( )y v t gt= − +0

2

sin cosα μ α2

]α

(6) .

Legea mişcării (6) este valabilă în timpul mişcării ascendente a corpului, pentru , unde timpul de urcare se determină din (5) pentru . Dacă

, deci , în mişcarea descendentă a corpului se schimbă sensul forţei de frecare şi acceleraţia corespunzătoare se obţine din (1) pentru

[t t u∈ 0,

( )λ ∈ 0 1;t u v = 0

( )μ ∈ 0, tgθ π= 2 şi −μ

în loc de μ. Dacă , corpul se opreşte la momentul şi nu va mai avea mişcare descendentă.

[ ]λ ∈ 1 2; t u

Pentru ( )β π∈ 0 2, , traiectoria corpului în mişcarea sa pe planul înclinat va fi o curbă plană, care trebuie să verifice ecuaţiile (1), (2) şi (3). Din (2) rezultă , egalitatea fiind îndeplinită numai dacă

cosθ ≥ 0Rc →∞ , deoarece forţa de frecare nu poate

determina schimbarea sensului de mişcare pe traiectorie, astfel încât viteza nu se poate anula, decât în cazul în care β π= 2 . Ca urmare, din (3) se obţine , ceea ce arată că θ scade, în timpul mişcării corpului, de la valoarea iniţială β la

dθ ≤ 0−π 2 , deci

traiectoria sa va fi o curbă plană cu o asimptotă paralelă cu axa Oy. Din (1) rezultă că, pe ramura ascendentă a traiectoriei, când θ scade de la β la 0, viteza scade de la valoarea iniţială la o valoare ce se poate determina în urma integrării ecuaţiei (4) de la la . Pe ramura descendentă a traiectoriei corpului, viteza sa continuă să

scadă, până când se anulează membrul drept al ecuaţiei (1), adică pentru . Pentru se obţine

v0

0

)

θ β= θ =

(sinθ λ= −∗

λ ∈ 0 1; ( )∗θ π∈ −0 2, , pentru care viteza corpului este minimă, după care aceasta creşte de la valoarea minimă la o valoare tinzând spre infinit pe ramura asimptotică a traiectoriei sale. Într-adevăr, în urma integrării ecuaţiei (4):

( )( )

θ

1λ

λθ

βθθsin1lnθdλθtgvln +

+=∫ ⎟

⎞⎜⎛ += ,

β0 cosθcosv ⎠⎝

v v=+⎛

⎜⎞⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

0

11 sin cosθ βλ λ

+⎝ ⎠1 sin cosβ θ (7) ,

se obţine: ( )( )

( )( )( )

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

=+−+

=+ −

−→

−

−→+

−→

λ1

πλ

1λ

π1λ

λ

π θsin1θcoslim

1λλ

θsinθcos1λθcosθsin1λlim

θcosθsin1lim

2θ

2θ

2θ

3.1 - Dinamica punctului material 177

λ1

2πθ

λ1

2

2

2πθ θtg1

2θtg1

lim1λ

λθtg2θtg1

2θtg1

lim1λ

λ

−

−→

−

−→ ⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎛

+

−

+=

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜

222 ⎠⎝⎠

⎛

++

−

+= .

⎝

Pentru , rezultă λ = 1 θ π∗ = − 2 şi limita de mai sus are valoarea finită 1 2 , deci mişcarea corpului pe ramura asimptotică a traiectoriei sale va fi uniformă. Dacă

, se observă că membrul drept al ecuaţiei (1) nu se poate anula, dar limita de mai sus este nulă, deoarece 1

(λ ∈ , ]1 20− <λ

λ = 1

, astfel încât, în acest caz, viteza corpului scade tot timpul mişcării sale, până când, pe ramura descendentă a traiectoriei sale, viteza sa devine nulă şi corpul se opreşte pe planul înclinat într-o poziţie care se poate determina.

Se observă că proprietăţile mişcării corpului punctiform considerat pe un plan înclinat aspru sunt similare celor ale mişcării unui punct material greu în aer numai dacă .

b) În condiţiile din enunţ, din (5) şi (6) rezultă că legea mişcării corpului pe

axa Oy va fi:

y v t gt= −02 sinα , [ ]t t u∈ 0, , t v

u =0

g2 sinα ,

deci corpul se opreşte în poziţia:

( )y y t vumax = = 0

2

gsin4 α .

c) Pentru datele din enunţ se obţine λ = 1 şi din analiza efectuată la punctul

a) rezultă că traiectoria corpului admite o asimptotă paralelă cu axa Oy, care va avea ecuaţia x xa= . Pentru a determina abscisa xa a asimptotei şi viteza va a corpului pe ramura asimptotică a traiectoriei sale se folosesc ecuaţiile (3) şi (7), din care rezultă:

( )dx v dt v vd

gvg

d= = − = −

−

−cos cos

sin cos sinα θ θ2 1 2θ θθ θ7 2 3 0

2

, tg uθ2= ,

( ) ( )( ) ( )

x vg

d v u uu

= −−

−= −

−⋅

− − − +∫

7 2 32 1

7 2 32

2 3 1 3 1 202

23

02 2

3θ

θπ

θ

sin g u−3 13 3

,

x x vg

vga u

= =−

=→−lim ,

1

02

024 3

60 378 v v v va = =

−=

→−lim ,θ

π2

0 02 3

40 067 , .

178 Dinamica - 3 3.1.3. O placă pătrată, de grosime cunoscută, are o mişcare de translaţie

rectilinie şi uniform accelerată într-un plan vertical, pe linia de cea mai mare pantă a unui plan înclinat cu unghiul α = π 6

a g=

faţă de planul orizontal. Pe placă este practicat un canal circular de rază R cu centrul în centrul său O, în care se poate mişca fără frecare o bilă de masă m. Ştiind că acceleraţia plăcii are valoarea , g fiind acceleraţia gravitaţională, să se determine poziţia de repaus relativ a bilei, reacţiunea canalului asupra sa în poziţia sa de repaus relativ, precum şi perioada micilor oscilaţii în jurul poziţiei sale de repaus relativ, dacă mişcarea plăcii pe planul înclinat are loc în sensul:

a) ascendent; b) descendent.

Rezolvare

a) În fig. 3.1.3 s-au reprezentat forţele ce acţionează asupra bilei în timpul unei mişcări relative faţă de placă, în cazul în care placa se mişcă pe planul înclinat în sensul ascendent. Ca parametru de poziţie al bilei în timpul mişcării sale relative s-a considerat unghiul ϕ dintre raza curentă OP şi normala la planul înclinat. În acest caz, legea fundamentală a dinamicii mişcării relative a unui punct material se exprimă prin:

Fig. 3.1.3

mg N Fr tImar r r r

= + + ,

unde forţa inerţială de transport are valoarea ma. Proiecţiile acestei ecuaţii vectoriale pe tangenta şi pe normala principală la traiectoria relativă conduc la ecuaţiile:

( )mR ma mg&& cos sinϕ

ϕ ϕ α= − − , (1)

( )mR N ma mg& sin cosϕ ϕ ϕ α2 = − − −

, din care, pentru poziţia de repaus relativ a bilei şi datele din enunţ, rezultă:

cos sin cosϕ ϕ ϕr r r− + =3

212

0 , ϕπ ( )r = 3

, N mgrϕ = 3 .

3.1 - Dinamica punctului material 179 Pentru determinarea perioadei micilor oscilaţii ale bilei în jurul poziţiei sale de repaus relativ, în ecuaţia (1) se înlocuieşte ϕ = ϕ + θr , unde θ este un nou parametru de poziţie, astfel încât rezultă:

R g&& cos sin sin cosθ θ θ θ= − − −⎛

θ⎜⎞⎟

1 3 3 1 , && sinθ θ+ =3 0g

R ,

⎝ 2 ⎠22 2

sinθ θ= , &&θ θ+ 3 0g=

R , ω = 3 g

R , T R

= 2 3π

g3 .

b) Dacă placa se mişcă pe planul înclinat în sensul descendent, forţele ce

acţionează asupra bilei în timpul mişcării sale relative vor fi aceleaşi, numai sensul forţei inerţiale de transport se schimbă, aceasta având sensul contrar celui din fig. 3.1.3. În acest caz, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării relative a bilei devin:

R g g&& cos sinϕ ϕ ϕπ

= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, (2) 6

mR N mg mg& sin cosϕ ϕπ2 = + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ϕ6

,


− ′ − ′ + ′ =cos sin cosϕ ϕ ϕr r3 1 0r2 2

, ′ = −ϕπ

r 6 , ( )N mr′ =ϕ g ,

iar pentru această poziţie de repaus relativ din (2) rezultă:

ϕ θπ

= −6

, R g&& cos sin sin cosθ θ θ θ= − + + −⎛⎜

⎞θ

⎝⎟

3 1 1 32

, ⎠2 2 2

&& sinθ θ+ =g 0R

, sin , θ θ= &&θ θ+ =g 0R

, ′ =ωgR

, ′ =T R2πg

.

Observaţie. Poziţia de repaus relativ a bilei, în fiecare din cele două cazuri de

mişcare a plăcii pe planul înclinat, se mai poate determina cu ajutorul construcţiei geometrice a rezultantei dintre greutatea bilei şi forţa inerţială de transport, care va fi un vector constant şi în poziţia de repaus relativ trebuie să fie echilibrată de reacţiunea normală a canalului asupra bilei. Astfel, în cazul a), această rezultantă are valoarea

3mg şi formează unghiul π 3 cu normala la planul înclinat. Se mai poate determina şi perioada micilor oscilaţii ale bilei în jurul poziţiei sale de repaus relativ, care trebuie să fie egală cu perioada micilor oscilaţii ale unui pendul matematic de lungime R într-

180 Dinamica - 3

un câmp gravitaţional uniform cu acceleraţia 3g

A h0 0, v0

. Pentru cazul b), aceste elemente ale mişcării relative a bilei se pot determina în mod analog.

3.1.4. În absenţa câmpului gravitaţional, un punct material se mişcă în planul

Oxy sub acţiunea unei forţe de atracţie din partea axei Ox, care este proporţională cu masa m a punctului şi cu distanţa la axa Ox, factorul de proporţionalitate fiind . Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, punctul material se găseşte în poziţia

şi are viteza iniţială de valoare paralelă cu axa Ox, să se determine:

k2

( )a) legea mişcării punctului material şi ecuaţia traiectoriei sale; b) valorile extreme ale vitezei punctului material şi poziţiile sale

corespunzătoare pe traiectorie. Ce direcţie faţă de traiectorie şi ce valoare are acceleraţia sa în aceste poziţii?

Răspunsuri

a) x v t= 0 , ; y h kt= cos

y h kxv

cos ; =0

b) în poziţiile ( )A h0 0, , v vmin = 0 ⎟− h,kv0 ,

⎠⎞

⎜⎝⎛ πA2 ⎜

⎝⎛ 2A4

⎟π h,kv0 , ... ;

⎠⎞

v vmax 0 k h= +2 2 2 în poziţiile ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π 0,

k2vA 0

1 , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π 0,

k2v3 0

3A , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π h,

kv5A 0

5 , ... .

În poziţia în care viteza punctului material este minimă, acceleraţia sa are valoare maximă şi este dirijată după normala la traiectorie, deoarece în

aceste poziţii

h2kamax =0va ==τ &

a. În poziţiile în care viteza punctului este maximă acceleraţia

sa are valoarea minimă , deoarece în aceste poziţii şi acceleraţia sa normală 0min =

Cn R

va = ∞→CR

k2

2

este nulă ( ).

3.1.5. În absenţa câmpului gravitaţional, un punct material se mişcă în planul Oxy sub acţiunea unor forţe de atracţie din partea axelor de coordonate, care sunt proporţionale cu masa m a punctului şi cu distanţele corespunzătoare la axele de coordonate, factorul de proporţionalitate fiind . Ştiind că, la momentul iniţial al

3.1 - Dinamica punctului material 181 mişcării, punctul material se află în poziţia ( )A h0 0, şi are viteza iniţială de valoare

paralelă cu axa Oy, să se determine: v kh0 2=a) legea mişcării punctului material şi ecuaţia traiectoriei sale; b) valorile extreme ale vitezei punctului material şi poziţiile sale

corespunzătoare pe traiectorie. Ce direcţie faţă de traiectorie şi ce valoare are acceleraţia sa în aceste poziţii?

Răspunsuri a) , kt2 sin ; x h kt= cos y h=

1h4h 22 +yx 22

=

vvmax

;

în poziţiile ( )A h0 0, şi ( )0,hA2 − ; b) kh2O ==( în poziţiile şi v khmin = ( )h2,0A1 )h2,0A − . 3

În aceste poziţii, avem acceleraţia tangenţială a punctului , deci acceleraţia sa va fi dirijată după normala principală la traiectoria sa eliptică şi va avea una din cele două valori extreme: , respectiv .

0va ==τ &

hka 2min = hk2a 2

max = 3.1.6. Un punct material P de masă m se mişcă în planul vertical Oxy, cu axa

Ox verticală orientată în sens descendent, sub acţiunea greutăţii sale şi a unei forţe de natură elastică, exprimată prin

rF kOP= − . Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării,

punctul material se află în repaus în poziţia ( )A d0, , să se determine: a) legea mişcării punctului material şi ecuaţia traiectoriei sale; b) intervalul de timp al mişcării sale din poziţia iniţială până în poziţia B, în

care traiectoria intersectează axa Ox, valorile vitezei şi acceleraţiei sale în poziţia B.

Răspunsuri

a) ( )tω 0 y dx g= −ω 0

2 1 cos , t= cosω 0 , ω 0 = m ;

k y d= −⎛⎝⎜

⎞1

2ωg

x⎠⎟0 ;

vg d

B =+2 2 4

0

ωb) tAB

0

=πω2

, 0

ω , aB = 0 .

182 Dinamica - 3 3.1.7. Un punct material P de masă m se mişcă în planul vertical Oxy, cu axa

Oy verticală orientată în sens ascendent, sub acţiunea greutăţii sale şi a două forţe de natură elastică, exprimate prin

rF kA1 = − P şi

rF kB2 = − P , punctele A şi B fiind situate

pe axa Ox la aceeaşi distanţă d de O. Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, punctul material se află în O cu viteza iniţială verticală, orientată în sens ascendent, de valoare

( )v g m k2=0 , să se determine: a) legea mişcării punctului material şi ecuaţia traiectoriei sale; b) momentele la care viteza sa se anulează şi poziţiile sale pe traiectorie la

aceste momente. Ce valori are acceleraţia punctului material în aceste poziţii?

Răspunsuri

a) x = 0 , ( )g t= +ω 0

2 sin osy t −ω 0 1 , ω 0 c ω2

=k

m ; 0

( )t nn = +4 14 0

πω

, n N∈ ; b)

( )1y gmax = −

ω 02 2 ( )g

+ω 0

2 2 1y ; min = − ,

g2amin −= g2max =a . , 3.1.8. Un mobil este aruncat de la suprafaţa Pământului cu viteza iniţială de

valoare , care formează unghiul α cu planul orizontal. În timpul mişcării sale, mobilul întâmpină rezistenţa aerului proporţională cu masa şi cu viteza sa, factorul de proporţionalitate fiind

v0

1 k . a) Să se determine legea de mişcare a mobilului şi legea de variaţie a vitezei

sale. b) Să se verifice proprietăţile generale ale mişcării unui punct material greu

în aer.

Răspunsuri

( )x kv e t k= − −0 1cosα ( )( ) kgtt k − ; e− −1y k kg v= + 0 sinαa) ,

( )

kt0x ecosvv −α= , kgesinvkgv kt

0y −α+= −

b) α

.

==∞→

coskvxlimx 0ta , kgvlimc yt− = = −

∞→ .


.1.9. Un mobil este lăsat liber de la o înălţime 3 h m= 160

ntâmpină faţă de suprafaţa

Pământului. Ştiind că, în timpul mişcării sale, mobilul î rezistenţa aerului proporţională cu masa şi cu pătratul vitezei sale, factorul de proporţionalitate fiind 0 00625 1, m− , să se determine legea sa de mişcare şi valoarea vitezei sale la momentul în care aju ge la suprafaţa Pământului. Se va considera acceleraţia gravitaţională ng m s= 10 2 .

Răspunsuri

[ ]m4tchln160 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= , x v m sf = 37 64, .

.1.10. aruncat de la suprafaţa Pământului pe verticală în sus cu viteza ini

3 Un mobil este ţială v m s0 40= . Ştiind că, în timpul mişcării sale, mobilul întâmpină

rezistenţa aerului proporţională cu masa şi cu pătratul vitezei sale, factorul de proporţionalitate fiind 0 1 1, m− , să se determine legea mişcării sale ascendente şi înălţimea maximă până la care ajunge. Se va considera acceleraţia gravitaţională g m s= 10 2 .

Răspunsuri

( )[ ]mtsin4tcosln10 += , h mmax ,= 14 166x .

3.1.1 Un punct material de masă m se mişcă acţiunea unei forţe centrale, are este p ţional cu masa sa şi cu raza vectoa ţă de centrul O, factorul de

r

cazuri, că viteza areolară a punctului material este constantă.

1.ropo

sub re fac r ă

proporţionalitate fiind k2 . Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, viteza sa iniţială de valoare v0 este perpendiculară pe raza vectoare r0 , să se determine legea de mişcare, traiectoria şi legea de variaţie a vitezei sale în coordonate carteziene, luând axa Ox după 0 , dacă forţa centrală este:

a) de atracţie; b) de respingere.

Să se verifice, în ambele

184 Dinamica - 3 Răspunsuri

a) x r kt= cos0 , y v=

kkt0 sin ;

xr v0

202

ktcos ;

k y 1+ = ;

r sin 0

2 2 2

v kx = − 0

x =

kt , v vy =

b) ktchr , 0 ktshy ; kv0=

x2

1 ; r

k y

0

2 2

ktshkrv = , ktchvv = ;

v202− =

Ω =1

0x 0y 2 0 0r v .

3.1.12. Traiectoria unui punct material de masă m , aflat în mişcare sub

iunea unei forţe centrale de atracţie, este un cerc de rază centrul atractiv O. Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, punctul mate al se află în poziţia A0 diametral opus

acţ R ce trece prin ri

ă faţă de O şi are viteza iniţială de valoare v0 , să se exprime valorile forţei centrale şi vitezei sale în funcţie de raza vectoare faţă de O.

Răspunsuri

F mv Rr

=32 0

2 4

5 , v v Rr

=4 0

2

2 .

3.1.13. Un punct material de masă m este aruncat pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de planul orizontal cu viteza iniţială orizontal

.1.13, ţinând seama de

ă de valoare v0 . a) Să se scrie ecuaţiile diferenţiale ale

mişcării punctului material pe planul înclinat în coordonate carteziene, faţă de sistemul de referinţă din fig. 3frecarea de alunecare dintre el şi legătură, caracterizată prin coeficientul de frecare μ cunoscut.

b) Pentru μ = 0 să se determine legea de mişcare a punctului material, ecuaţia traiectoriei şi legea de variaţie a vitezei sale în coordonate

Fig. 3.1.13

carteziene.

3.1 - Dinamica punctului material 185 c) Pentru μ α= tg să se arate că traiectoria punctului material admite o

asimptotă paralelă cu linia de cea mai mare pantă a planului înclinat şi să se determine

R

ecuaţia asimptotei şi viteza punctului material pe ramura asimptotică a traiectoriei sale.

ăspunsuri

a) &&&x

& &x

x y+

+ , cosg =

2 20μ α &&

&y y+

2 2& &cos sin

x yg g

+=μ α α .

b) x v t= 0 , y gt=

2

2sinα ;

y gx=

2

sinα v vx = 0 , v0

22 ; v gty sin= α .

c) xga = 3 sinα

v2 02

, v v= 0 . a 2

.1.14. Un punct material de masă m este lansat cu viteza iniţială orizontală de valoare v0 din poziţia A corespunzătoare punctului cel mai înalt al suprafeţei exterioa

care ajunge pe planul orizontal. Frecarea de

3

re a unei sfere fixe cu centrul O şi de rază R, aşezată pe un plan orizontal ca în fig. 3.1.14, unde grosimea suportului în punctul cel mai de jos al sferei este neglijabilă.

a) Să se determine valoarea v0 astfel încât punctul material să părăsească legătura într-o poziţie B pe sferă, dată prin unghiul la centru α faţă de verticală, măsurat în planul vertical al mişcării.

b) Pentru valoarea v0 determinată, să se calculeze valoarea vitezei finale a punctului material, în momentul în alunecare dintre punctul material şi sferă, precum şi rezistenţa aerului, se consideră neglijabile.

Fig. 3.1.14 Fig. 3.1.15

186 Dinamica - 3 Răspunsuri

a) ( )v gR0 3 2= −cosα .

b) ( )v gRf = +3 2cosα .

Un punct material de masă m este lăsat liber din poziţia pe suprafaţa unui cilindru parabolic cu generatoarea orizontală, care are

ecuaţia y px2 2= faţă de sistemul de referinţă Oxyz cu axa Oy verticală orientată n sens pozitiv ca în fig. 3.1.15. Neglijând frec unecare a punctului material pe legătură, să se deter ziţia B în care acesta părăseşte legătura.

Răspuns

3.1.15.

( )A p p0 2 2 0, ,

îascendent area de al

mine po

( )B p

asă m se poate mişca fără frecare pe parabola din sârmă de ecuaavând sen

ză

p2 0, , .

3.1.16. U

n inel de mţii x = 0 şi y pz2 2= faţă de sistemul de referinţă Oxyz cu axa Oz verticală,

pozitiv ascendent. Pe lângă greutatea proprie, asupra inelului mai acţionea

rF , ale cărei proiecţii pe axele de coordonate sunt:

sul o forţă

X k x yzp

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 , Y k y xz

p= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 , Z k z xy

p= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 ,

unde k este o constanta) Să se ar

ă pozitivă cunoscută. ate că forţa

rF e vă şi să se calculeze lucrul ecanic

efectuat de f ţele ce acţionează asupra inelului în deplasarea sa pe parabol din O în oziţia )p2 2, , .

b) Dacă inelul este lansat din O cu viteza iniţială de valoare v0 , să se determi

În condiţiile de l

Răspunsuri

ste conservati măor

(A p0p

ne v0 şi m astfel încât acesta să ajungă în A cu viteza şi acceleraţia nule. c) a punctul b), să se determine reacţiunea parabolei asupra

inelului, când acesta ajunge în poziţia A.

a) L kp mgpOA = −8 22 .


b) v gp023

3= , m kpg

=6

.

c) ( )r rr rN i −kp j kA = − +2 4 2 .

3.1.17. Un inel de masă m se poate mişca fără frecare pe elipsa din sârmă de

ecuaţie x a y b2 2 2 2 1+ = faţă de planul vertical Oxy cu axa Oy verticală, având sensul pozitiv ascendent.

se determ l tăţii inelului în deplasarea sa din oziţia A a , 0 în poziţia B b0, .

b) Dacă inelul este lansat din A cu viteza iniţială de valoare , să se ermine să ajungă ă.

c) ul b) şi pentru a

a) Să( )

ine lucru( )

mecanic al greup

v0

det v0 şi m astfel încât acestaÎn condiţiile de la punct

în B cu viteza nulb R= = , să se exprime valoarea

cţiunii legăturii asupra inelului în funcţie de ordonata sa y, în timpul mişcării sale A în B.

readin

Răspunsuri a) L mgbAB = − .

v gb0 2= . b)

c) ( )NR

y b= −3 2 .

mg

Fig. 3.1.19 Fig. 3.1.18

188 Dinamica - 3 3.1.18. U masă m este lă ia A pe astroida din sârmă

prezentată în fig. 3.1.18, care are ecuaţia n inel de sat liber din poziţ

re x y R+ = faţă de planul vertical xy din figură, în care axa Oy este verticală. Neglijând frecarea de alunecare dintre

inel şi legătură, să se determine:

din A în B.

2 3 2 3 2 3

O

a) viteza cu care ajunge în B; b) intervalul de timp al mişcării sale

Răspunsuri

a)

v gB = 2 ; R

b) g2

R6tAB = .

3.1.1 eprezentat un corp rigid executat din sârmă de oţel,

are o care aţie uniformă cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe fixe verticale, faţă de care latura sa OA formeaz unghiul α dat. Pe această latură se mişcă fără frecare inelul M de masă m, care se află iniţial în poziţia sa de repaus relativ, din care est

9. În fig. 3.1.19 este rcare miş de rot

ă

e lansat cu viteza iniţială relativă v0 spre A. Să se determine legea mişcării relative a inelului şi reacţiunea legăturii asupra sa în timpul mişcării sale relative.

Răspunsuri

( )α vcosg 0

αω+

αω== sh

sinsinOMx 22

αω sint ;

( )αωαω+α

= sintshcosvmsinmg

0y

( )αωαω= sintchsinvm2N 0z .

3.1.20. Discul circular cu cent şi de rază R se roteşte uniform în planul

ău orizontal în jurul articulaţiei din O1 cu viteza unghiulară

N ,

rul O1

s ω . La distanţa h de O1 te practicat un canal rectiliniu, î care se mişcă fără frecare culisorul A de masă m, gat de marginile canalului prin arcuri elicoidale de constantă elastică echivalentă k,

ca în fig. 3.1.20. La momentul iniţial al mişcării relative, culisorul se află la mijlocul O

esle

n

3.1 - Dinamica punctului material 189 al canalului, în poziţia în care arcurile sunt nedeformate, unde i se imprimă viteza iniţială relativă v0 .

a) Dacă ω ω= =0 k m , care va fi poziţia de repaus relativ a culisorului? Dar dacă ω ω≠ 0 ?

b) Pentru ω ω< 0 să se determine legea mişcării relative a culisorului şi componentele re cţiunii canalului asupra sa în timpul mişcării sale relative.

a

Răspunsuri

a) 0ω=ω , )hR,hR(xx 2222r −−−∈∀= ;

0ω≠ω , 0xr = ;

( )x t= −2 2 0

2

ω ωωsinv

−0

0

2ω

b) ( )x v0 t−0

2 2= −0

2 2

ω ωω ωsin ;

( )N m v t m hy = − −2 0 02 2 2ω ω ω ωcos , N mgz = .

3.1.21. Circumferinţa din sârmă cu centrul O şi de rază R se roteşte în jurul

diametrului său vertical cu viteza unghiulară ω constantă. Pe circumferinţă se poate

Fig. 3.1.20 Fig. 3.1.21

190 Dinamica - 3 mişca f ă frecare un inel M de masă m, pentru care se consideră ca parametru de poziţie al m rii sale relative unghiul θ dintre raza mobilă OM şi raza verticală OA, aşa cum

în cazul micilor oscilaţii în jurul acestor poziţii

ărişcă

este reprezentat în fig. 3.1.21. a) Să se determine toate poziţiile de repaus relativ ale inelului pe

circumferinţă şi valorile corespunzătoare ale reacţiunii legăturii asupra sa. b) Să se studieze stabilitatea poziţiilor de repaus relativ determinate,

exprimând legea de mişcare a inelului de repaus relativ.

Răspunsuri

a) θ1 0= , θ π2 = , 24,3garccos±=θ ; N mg1 2, =

Rω , N mR3,4

2= ω .

sârm de ecua3.1.22. Parabola din ţie ă y x p= 2 faţă de sistem ţă2 ul de referin din fig. .1.22 se roteşte în metrie verticale Oy cu viteza unghiulară 3 jurul axei sale de si

ω constant se mişcă fără frecare ă. Pe parabolămasă m, carinelul A de e este lansat din vârful O al

parabolei cu viteza iniţială relativă v0 . Să se determine:

a) poziţia de repaus relativ şi reacţiunea legăturii asupra inelului în poziţia sa de repaus relativ, dacă ω ω= = g p ; 0

b) poziţia de repaus relativ şi reacţiunea legăturii asupra inelului în poziţia sa de repaus relativ, dacă ω ω≠ 0 ;

c) expresia vitezei relative a inelului în funcţie de poziţia sa pe parabolă în timpul mişcării sale relative, dacă ω ω≠ 0 .

Fig. 3.1.22

Răspunsuri

a) ∀ ∈x y R, , y xp

=2

2 , N mg x p1

2 2= + ;

b) x y= = 0 , N mg2 = ; p

c) ( ) ( )v v p+02 22 . v x yr = + − = −0

2 202 2

02ω ω ω ω

3.2 - Momente de inerţie 191

3.2. Momente de inerţie 3.2.1 – 11. Să se determine momentele de inerţie axiale, polare şi centrifugale

pentru corpurile omogene de masă m, având forma şi dimensiunile geometrice din fig. 3.2.1 – 11, în raport cu sistemele de referinţă din fiecare figură, unde cu C s-a notat centrul de greutate al corpului şi cu indicele zero sunt notate axele principale de inerţie corespunzătoare originii sistemului de referinţă considerat.

Rezolvare În cele ce urmează se prezintă două metode pentru rezolvarea completă a

problemei 3.2.11, la celelalte probleme dându-se numai răspunsurile la întrebările din enunţ. În fig. 3.2.11 nu s-au mai reprezentat sistemele de referinţă şi

, pentru a nu se complica figura, iar suprafaţa de secţiune a corpului cu planul său de simetrie Oyz a fost haşurată.

Ox y z0 0 0

Cx y z′ ′ ′0 0 0

Metoda I. Calculul momentelor de inerţie axiale şi centrifugale în raport cu

sistemul de referinţă Oxyz se poate face pe baza descompunerii corpului considerat în corpuri la care se cunosc formule de calcul ale momentelor de inerţie în raport cu axe paralele, cu originea în centrul de greutate al fiecărui corp parţial rezultat în urma descompunerii. Corpul din fig. 3.2.11 se poate descompune în două paralelipipede dreptunghice cu centrele de greutate C şi , precum şi în cubul cu centrul O, considerat ca cea de-a treia parte a corpului dat iniţial. Deoarece densitatea acestui corp este:

1 C2

ρ = = = = = =mV

mV

mV

mV

ma

ma

ma

1

1

2

2

3

3

13

33 38 20

= =ma

238 4

,

se obţine:

m m m1 3

25

= = , m m2 5= ,

astfel încât momentele de inerţie axiale ale celor 3 părţi faţă de sistemele de referinţă din figură rezultă:

192 Dinamica - 3

Fig. 3.2.2

Fig. 3.2.1

Fig. 3.2.4

Fig. 3.2.3

Fig. 3.2.6

Fig. 3.2.5

Fig. 3.2.8

Fig. 3.2.7


Fig. 3.2.9

Fig. 3.2.10

Fig. 3.2.11

194 Dinamica - 3

( ) ( )J mx1

1 1 2 2 217a a ma12

1630

= + = , ( ) ( )J m a a may1 1 2 2

2

124

6= + = ,

1

( )

( )J a a maz1 124 16

3= + =

m1 1 2 2 22 ; ( ) ( )J m a a ma

x2 124

12= + =2 2 2 2

2

( )

,

( )J a a may2 124 4

15= + =

m2 2 2 2 22 , ( ) ( )J m a a ma

z2 2 2 2

2

4= + =2 12 12

( ) ( ) ( )

;

( )J J J m a a max y z3 3 3 3 2 2 2

124 4 4

15= = = + = ,

iar toate momentele de inerţie centrifugale sunt nule, axele de coordonate fiind axe de simetrie pentru fiecare corp parţial. Cu ajutorul formulelor lui Steiner, pentru întregul corp rezultă:

( ) ( ) ( )J J m a a J m a a J mx x x x= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + =

1 2

11

22

22

22

3 294

44

8215

a ,

( ) ( ) ( ) ( )J J m a J m a J may y y y= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + + =1 2

11

22

22 3 2

2 15

( ) ( ) ( )

2 22 ,

( )J J m a J m a J mz z z z= + + + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =1 2

11

2 22

23 23 14 a

2 3 ,

( )J J J J mO x y z= + + =1 a29

52 ,

2J J= = 0

xy zx

( )

,

( )J m a a m a a mayz = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= −1 2

23 2 42 2 5

.

Pentru determinarea axelor principale şi a momentelor principale de inerţie în raport cu punctul O este necesar să se caute axele respective din planul Oyz, deoarece se observă că axa Ox este principală de inerţie. Pentru aceasta, se consideră axa (Δ) ce trece prin O, variabilă în acest plan, faţă de care momentul de inerţie al corpului va fi:

( )J J J J may z yzΔ = + − = − +cos sin sin cos cos sin2 2

2

2 2 23 12 2 6 2θ θ θ θ θ15

θ .

Din condiţia de extrem a acestui moment de inerţie rezultă:

tg2 1θ = −

2 , θ1

1 1 13 17= − = − ° ′arctg2 2

, θ θ2 1 90 76 43= + °= ° ′ ,

de unde se obţin momentele principale de inerţie în raport cu punctul O:

J J max1 5 47, 2= = , ( ) 2= =θJ J ma2 1 1 278Δ , , ( ) 2= =θJ J ma3 2 4 855Δ , .

3.2 - Momente de inerţie 195 Centrul de greutate al corpului se va găsi în planul său de simetrie Oyz, deci

coordonatele sale vor fi:

xC = 0 , ym y m y

aCC C=+

=1 21 2 11m 10

, zm z m z a

CC C=+

=1 21 2

m 5 .

Pe baza formulelor lui Steiner rezultă:

J J m a a max x′ = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

121100 25

25360

22

2 ,

J J m a may y′ = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1072

2 , 5 75

J J m a maz z′ = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=11 10372

2 , 10 300

( )J J m a a J J J maC O x y z= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + + =′ ′ ′

121100 5

12

9120

22

2 ,

J J= = 0 , x y z x′ ′ ′ ′

J J my z my z yz C C′ ′ = − = −51 2a50

.

Axele şi momentele principale centrale de inerţie ale corpului se determină în mod analog, astfel încât, pe baza valorilor calculate mai sus şi cu notaţiile din fig. 3.2.11, rezultă:

( )J J J J

may z y z′ ′ ′ ′ ′= ′ + ′ − ′ ′ =

= − ′ + ′

Δ cos sin sin cos

cos sin ,

2 2

22

6001465 609

θ θ θ θ

2 612 2θ θ

tg2 204203

1′ = − ≅ −θ , , ′ = − °θ1 22 5, ′ = °θ2 67 5, ,

J J max′ ′1 4 217,= = 2 , ( )= = 2θJ J ma′ ′ ′2 1 1 72Δ , , ( )= = 2θJ J ma′ ′ ′3 2 3 16Δ , . Metoda II. Metoda cea mai generală pentru calculul momentelor de inerţie

axiale şi centrifugale ale unui corp în raport cu un sistem de referinţă Oxyz este cu ajutorul integralelor de volum pe domeniul volumetric ocupat de corp, deoarece nu întotdeauna se poate efectua o descompunere convenabilă a corpului în părţi, astfel încât pentru fiecare parte să se poată determina uşor momentele de inerţie în raport cu axele paralele ce trec prin centrul de greutate al părţii respective. Pentru corpul din fig. 3.2.11, gradul de dificultate pentru efectuarea acestor calcule prin această metodă generală este acelaşi ca şi prin metoda precedentă, deoarece integralele de volum corespunzătoare se pot efectua relativ uşor, după cum urmează:

196 Dinamica - 3

( ) ( )J y z dxdydz y z dydz dx ma

a az dz

a az dz a a az dz ma

xa

a

a

a

a

= + = + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜ +

+ +⎛⎜

⎞⎟ + − +

⎛⎜

⎞⎟

⎞⎟ =

∫∫∫ ∫∫∫ ∫

∫ ∫− −

ρ ρ2 2 2 22

32

3

32

3 32

02

10 3125 4 82 ,

a a⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠− −3 3 3 15

( )

J x z dxdydz a az dydz ma

a z adz

a z adz a z adz ma

ya

a

a a⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠− −3 3 15

( )

a

= + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜ +

+ +⎛⎜

⎞⎟ + +

⎛⎜

⎞⎟

⎞⎟ =

∫∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫−

ρ ρ2 23

22

22

3

22

22

02

23

210 3

4 22 ,

J x y dxdydz a ay dydz ma

a dz

a dz a a a a dz ma

za

a

a a⎝ ⎠− −3 3 3 3

J xydxdydz ydydz xdxxy

a

= =∫∫∫ ∫∫∫ρ ρ 0

a

= + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜ +

+ + + −⎛⎜

⎞⎟

⎞

⎠⎟ =

∫∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫−

ρ ρ2 23

22

33

3 2 3 302

23

210

23

2 4 125 143

,

=

, a−

J yzdxdydz yzdydz dx ma

a zdz a zdz

a a zdz ma

yza

a

a

a

a

a

a⎝ ⎠− 2 2 5

J xzdxdydz zdydz xdxzx

a

= =∫∫∫ ∫∫∫ρ ρ 0

= = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜ + +

+ −⎛⎜

⎞⎟ = −

∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫

∫− − −

ρ ρ10 2 2

25 4

2

23 2

2 202 ,

a

=−

−a , 0

,

unde s-au efectuat mai întâi integralele în raport cu x şi apoi cele în raport cu y, care s-au descompus pe intervalele [ ] , [ ]0, a , respectiv [ ]a a, 5 . Se observă că se obţin aceleaşi rezultate, iar, mai departe, calculele pentru determinarea celorlalte momente de inerţie cerute în enunţ se efectuează la fel ca în prima metodă.

Răspunsuri 3.2.1. , ( )J Jx = +sin sin2 1α α ( )= + cos1α αJ Jy cos2 ,

( )J J J J Jz O x y= = + = + +1 3 3sin cosα α ,


J Jxy =12

sin cosα α , J Jyz zx= = 0 , ( )

J ma=

+ +

2

3 1 sin cosα α ;

( )J J J J Jz y x xy ⎠1 2 2, ⎝2 21 4= − +⎛⎜ ⎞⎟m , J J z3 = .

3.2.2. J J J J mRx y x y= = = =′ ′

2

, J J , J J J J mRz O x y x y= = + = + =′ ′2

2

, J JJ J= = 0xy x y′ ′ yz zx= = 0 .

3.2.3. J mbx =

2

, J may =

2

, ( )J J m a bz O= = +2 2

6 ,

6 6

J mabxy = , J Jyz zx= = 0 ;

12

( )J1 2 12, ⎝⎜m a b a b2 2 2 2 2 2 2= + − +⎛ ⎞

m a b⎠⎟

, J J z3 = ;

J mbx′ =

2

18 , J ,

may′ =

2

18 ( )J J m a bz C′ = = +2 2

18 ,

J mabx y′ ′ = −

36 y z′ ′ , J J z x′ ′= = 0 .

, J J mRz C= =

2

3.2.4. J J J mRx y x= = =′

2

2 ,

4

J mRy′ =

5 2

, J J mRz O′ = =

3 2

2 ,

4

. J J= = 0xy x y′ ′

3.2.5. J max =

10 2

, J may =

5 2

6 , J J ma

z O= =35 2

18 ,

9

J maxy =

1118

2

2

3

;

, J , . J ma1 0 345= , ma2 1 6= , 2 J J maz 1 944= = , 2

3.2.6. J J J J m H Rx y= = = = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2

2 2

3 4 , J J J J mR

z z= = = =′ ′3 3

2

2 ,

J m H RO = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

3 2 ,

198 Dinamica - 3

J J J J m H Rx y′ ′ ′ ′= = = = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2

22

4 3 ,

J m H RC = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 6

22 .

3.2.7. J J J J J J mRx y z= = = = = =1 2 3

225

,

J mRO =

3 2

. 5

3.2.8. J J J J m H Rx y= = = = +⎛⎜

⎞⎟1 2

2 23⎝ ⎠10 2

, J J J J mRz z= = = =′ ′3 3

2310

,

( )J m H RO = +10

32 2 ,

( )J J J J m H Rx y′ ′ ′ ′= = = = +1 22 23 4

80 ,

( )J m H RC = +380

82 2 .

3.2.9. J J J J mRx y= = = =1 2219

40 , J J J J mRz z= = = =′ ′3 3

2720

,

J mRO =2013 2 ,

J J J J mRx y′ ′ ′ ′= = = =1 22603

1280 ,

J mRC =1280827 2 .

3.2.10. 231zx mR117JJJJ ====

50 , J J J J mRy y= = = =′ ′2 2

21125

,

J mRO =2564 2 ,

231zx mR2063JJJJ ==== ′′′′ 1600

,

J mC =483 2R320

.

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 199

3.3. Dinamica sistemelor materiale 3.3. Dinamica sistemelor materiale

3.3.1. Sistemul de patru corpuri omogene din fig. 3.3.1, care se mişcă fără frecare în planul vertical cu axa verticală, având sensul pozitiv ascendent, este format din manivela 1 de lungime şi masă

3.3.1. Sistemul de patru corpuri omogene din fig. 3.3.1, care se mişcă fără frecare în planul vertical cu axa verticală, având sensul pozitiv ascendent, este format din manivela 1 de lungime şi masă

O x y1 1 1O x y1 1 1 O y

m

O y

m

1 11 1

llm1 3m1 3= , din bara 4 de lungime şi masă l2m4 6m= , articulată la mijlocul său C de capătul corespunzător al manivelei, precum şi din culisoarele 2 şi 3 de mase m m m2 3= = , care se mişcă pe axele de coordonate şi sunt articulate la capetele A şi B ale barei. Ştiind că sistemul este lăsat liber din poziţia sa iniţială în care unghiul θ dintre bară şi axa are valoarea θ mică, să se exprime viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei în funcţie de parametrul de

poziţie al sistemului considerat.

O y1 1

θ

Fig. 3.3.1 0

Rezolvare Deoarece frecările sunt neglijabile, toate legăturile sunt ideale şi asupra

sistemului acţionează numai greutăţile corpurilor sale ca forţe direct aplicate, care sunt forţe conservative, deci sunt îndeplinite condiţiile pentru aplicarea teoremei conservării energiei mecanice pentru sisteme materiale. Pentru calculul energiei cinetice E a sistemului la un moment oarecare t al mişcării sale, este necesar să se exprime vitezele unghiulare ale corpurilor 1 şi 4 şi vitezele culisoarelor la momentul t în funcţie de parametrul de poziţie θ al sistemului. Din fig. 3.3.1, în care s-a notat cu I centrul instantaneu al barei şi cu ω viteza sa unghiulară, rezultă imediat:

cII

ω θ= & , θπ

θ1 2= − ω θ θ1 1= = −& &

θθ=ω= cos2IAv2&l θθ=ω= sin2IBv3

&l θ=ω= &lICvC

, ,

, , , astfel încât se obţine:

200 Dinamica - 3

.m2

1312

4m621m6

21sin4

2mcos4

2m

3m3

21

J21vm

21vm

21vm

21J

21E

22

22

2222222222

24

2C4

233

222

211cII

θ=

=θ⋅

+θ+θθ+θθ+θ=

=ω++++ω=

&

&&&&&

l

llll

l

Pentru calculul energiei potenţiale a sistemului în poziţia sa de la momentul t, determinată de unghiul θ , se consideră poziţia sa de referinţă, pentru care energia potenţială este nulă, poziţia în care

EpII

θ are valoarea π 2 , deci θ1 0= . Deoarece culisorul 2 se mişcă pe axa orizontală , energia potenţială a sistemului va fi dată numai de greutăţile corpurilor 1, 3 şi 4, astfel încât se obţine:

O x1 1

θ=θ+θ⋅+θ= cosmg2

l19gmcosgm

2gmE 431pIIl

t

cosl2lcos .

dată şi , rezultă: &θ are valoarea Pentru momentul iniţial , când 0 0= θ1 0=θ0

EcI = 0 , 0pI cosmg19E θ= l2

cII pII cI pI

.

Aplicând teorema conservării energiei mecanice:

E E E E+ = + ,

se determină viteza unghiulară a barei:

( )θ−θ=θ=ω coscosg190

&13l

,

după care, prin derivare în raport cu timpul, se obţine şi acceleraţia sa unghiulară:

θ=θ−θ

θθ=θ=ε sin

26g19

coscos2sin

13g19

ll

&&&

0

,

care se exprimă în funcţie de parametrul de poziţie θ, aşa cum se cere în enunţ.

3.3.2. Bara omogenă AOB de greutate 6G şi lungime , îndoită în unghi drept la mijlocul său O, se poate roti fără frecare în jurul laturii sale verticale OB, care este fixată în această poziţie prin intermediul lagărelor din B şi D, ca în fig. 3.3.2. Pe latura sa OA se poate mişca fără frecare un culisor P de greutate G. La momentul iniţial al mişcării, când culisorul este legat printr-un fir scurt la o distanţă foarte mică de O, se imprimă sistemului viteza unghiulară

l2

ω 0 şi se taie firul. a) Să se exprime viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei

ca funcţii de poziţia culisorului pe latura OA şi de viteza sa relativă.


b) Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a culisorului la momentul în care ajunge la capătul A al barei.

c) Să se afle variaţia în funcţie de poziţia culisorului pe latura OA a momentului unui cuplu exterior de forţe, care trebuie aplicat barei, astfel încât viteza sa unghiulară să fie menţinută constantă în timpul mişcării relative a culisorului.

Rezolvare

a) În fig. 3.3.2 s-au reprezentat forţele exterioare direct aplicate ce acţionează asupra sistemului, care sunt greutăţile corpurilor sale, precum şi sistemul de referinţă Oxyz legat de bară, care are o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe Oz1 . Se observă că nici aceste forţe şi nici reacţiunile din lagăre nu dau momente faţă de această axă fixă verticală, astfel încât se poate aplica teorema de conservare parţială a momentului cinetic total al sistemului în raport cu o axă fixă:

Fig. 3.3.2

0

2

3gG3x

gGx

3gG3

ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+ω

l 2l ,

de unde rezultă:

220

2

x+ω

=ll

ω , ( )2=l

l &&

&x

220

2

xxx2

+

ω−=ωε ,

în care x este parametrul de poziţie al mişcării relative a culisorului, iar reprezintă viteza sa relativă.

b) Proiecţia pe axa Ox a ecuaţiei diferenţiale a mişcării relative a culisorului conduce la ecuaţiile:

Gg

x Gg

x&& = ω 2

( ) , 222

20

4

xxx

+

ω=l

l&& .

Din ultima ecuaţie se poate determina o integrală primă pe baza substituţiei:

&&& & &

x dxdt

dxdx

dxdt

ddx

x= = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2 ,

astfel încât, după separarea variabilelor, rezultă:

202 Dinamica - 3

( ) 2x22 +lx 2

02

22

20

42 ω+

ω−=

ll& ,

22 x+0xx ω

=l

&l

l=x

.

Pentru se obţine:

i2

v 0r lω=2 rr

, r rω

ω= 0

2k ,

j2

OAvt0rrr lω

=×ω= , ( )0 ji22

va

r rr l+

ω= ;

i4

ar =20rr lω k22 2

000

rrr lω

ωω4

k22l

−=−=ε , ,

( )j2i4

202

rrrr l+

ωOAOAat −=ω−×ε= ,

j22 2

0

rrrrlωv2a rc =×ω= ,

j42 2

0a

rrlω=

x

a .

c) Dacă viteza unghiulară a barei este menţinută la valoarea constantă ω 0 în

timpul mişcării relative a culisorului, din ecuaţia diferenţială a mişcării sale relative se obţine:

&&x = ω 02 , dxx

2xd 2

0

2

ω=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ &

⎠⎝ , &x x= ω 0 .

Ca urmare, momentul cinetic total al sistemului faţă de punctul fix O va avea expresia:

( ) ( ) kxGOPkixOPGkG3K 022

00

2

O

rrr&

rrl

lω+=×ω+×+ω=

gg3g ,

iar derivata sa în raport cu timpul devine:

kxG2kxxG2K 2200O gg

rr&&r ω=ω= .

Pe baza teoremei momentului cinetic total pentru sisteme rezultă că, pentru a se menţine constantă viteza unghiulară a barei în timpul mişcării relative a culisorului, este necesar să se aplice barei un cuplu de forţe de moment dirijat după axa fixă Oz şi cu variaţia în funcţie de x dată de:

1

( )M x G x= 2 02 2ω

g .

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 203 3.3.3. Sistemul de trei corpuri omogene din fig. 3.3.3, în care sunt date

greutăţile corpurilor şi razele tamburilor troliului, respectiv a discului circular 2, se mişcă într-un plan vertical, pornind din repaus, astfel încât corpurile 1 şi 2 se rostogolesc fără alunecare pe un plan orizontal, iar bara 3 de lungime 2 10R , articulată la un capăt în centrul la discului, alunecă cu celălalt capăt A pe acelaşi plan orizontal. Se consideră că cei doi tamburi ai troliului au aceeaşi grosime, se neglijează frecările de rostogolire şi frecarea din articulaţie şi se dau valorile pentru momentul cuplului aplicat troliului

C2

M GR= 1 5, , respectiv pentru coeficientul de frecare de alunecare dintre capătul A al barei şi planul orizontal μ3 0 125, . =

Fig. 3.3.3

Să se determine: a) legea de mişcare a centrului C1 al troliului; b) reacţiunile tuturor legăturilor, exterioare şi interioare; c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare de alunecare μ1 şi μ2 dintre

corpurile 1, respectiv 2, şi planul orizontal, astfel încât să fie îndeplinită condiţia de rostogolire fără alunecare a acestora.

Rezolvare a) Metoda I. Metoda cea mai generală pentru rezolvarea problemelor de

dinamică a sistemelor materiale este metoda separării corpurilor, asociată cu aplicarea principiului lui d′Alembert pentru fiecare corp separat. În fig. 3.3.3 s-au reprezentat forţele şi momentele exterioare şi interioare ce acţionează asupra corpurilor sistemului, precum şi rezultantele şi momentele rezultante ale forţelor de inerţie pentru fiecare corp în parte. Pentru simplificarea desenelor nu s-au mai reprezentat separat corpurile 2

204 Dinamica - 3 şi 3, reacţiunile X şi Y din figură ale articulaţiei se consideră că sunt aplicate asupra barei, asupra discului ele vor acţiona în sensuri contrare. Sistemul având un singur grad de libertate, în primul rând este necesar să se stabilească relaţiile cinematice între parametrii de poziţie ai corpurilor, alegând ca parametru de poziţie independent deplasarea pe orizontală a centrului al troliului, măsurată de la începutul mişcării sistemului. Cu notaţiile din fig. 3.3.3 rezultă imediat:

x1 C1

&x I C1 1 1 1 3= I C R2 2 2 22=θ θ

& &R 1=θ θ 4R = , , x x ; 41 2Rθ θ & &2 3= =& & & &

θ θ1 21= =

x3R

, x x x2 32

= = 13 ,

unde s-a considerat că toţi parametrii de poziţie se măsoară de la începutul mişcării sistemului. Pe baza acestor relaţii cinematice se pot calcula rezultantele şi momentele rezultante în raport cu centrele de greutate ale forţelor de inerţie pentru fiecare corp din sistem şi prin aplicarea principiului lui d′Alembert se obţin ecuaţiile:

N G1 10 0− = , F T Ggf1 1x10 0− − =&& ,

3 3 41 02

1GR RT RF GR x− − − =

&&

31 g Rf ; 2

N G Y2 4 0− − = , T X F Ggf 2 13

x− − − =4 2 0&& , 2 2 8

32 g Rf 02

1RT RF GR x+ − =

&&;

N Y G325 0+ − =4

, X N G x− − =31

25 2 0&&g8 4 3

, 3 3 033RN R

NRX RY+ + − =

8Ff 3

,

unde s-a ţinut seama că forţa de frecare are valoarea maximă μ3 3 3 8N N= . Rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se face mai uşor începând cu ultimele 3 ecuaţii, astfel încât rezultă:

X Gg⎝ ⎠8 3 1x= +

⎛⎜

⎞⎟3 98

&& , Y Gg⎝ ⎠4 3 1x= +

⎛⎜

⎞⎟13 8

&& , N Gg3 13⎝ ⎠

x3 2= −

⎛⎜

⎞⎟&& ,

N G x2 129 8= +

⎛⎜

⎞ , F G xf 2 13 130

= − +⎛⎜

⎞⎟&& , T G

g4 3⎝⎟&&⎠ g⎝ ⎠3 1x= +

⎛⎜

⎞⎟16

3 194&&

g16 3⎝ ⎠ ,

N G1 10= , F Ggf1 116 3⎝ ⎠

x3 674= +

⎛⎜

⎞⎟&& ,

3 3 972 16

9 337 413

01 1G G G x G G x Gg

x− − − − − =&& && && , 24 16 81g g

&& ,x g g m1

9 0 125= ≅ ≅s2718 80

.

Ca urmare, legea de mişcare a centrului de greutate al troliului va fi:


x g t K t K1

2

1 29718 2

= + + , K K1 2 0= = ,

[ ]x t m= 0 1252

,2

.

Metoda II. Deoarece sistemul de corpuri considerat are un singur grad de

libertate, legea sa de mişcare se mai poate determina şi pe baza teoremei energiei cinetice pentru sisteme materiale, aplicată sub forma sa diferenţială:

dE dL dL dLci= + +

N 2

d l . Având în vedere faptul că legăturile interioare sunt ideale, se obţine . Pentru calculul lucrului mecanic elementar dL al reacţiunilor legăturilor exterioare, se observă că forţele de frecare şi sunt aplicate în centrele instantanee de rotaţie

, respectiv , deci nu dau lucru mecanic, astfel încât numai va efectua lucru mecanic. Pentru calculul acestui lucru mecanic elementar este necesar să se determine reacţiunea normală , care se obţine uşor din ecuaţia de momente faţă de C pentru bară:

dLi = 0l

Ff1 Ff 2

I1 I2 Ff 3

3

2 6 254 33 1RN R

g&&

2 3 254

03 3R N G x R Gμ + + − = ,

N G x3 13 2= −

⎛⎜

⎞⎟&&

g3⎝ ⎠ .

Ca urmare, rezultă:

dL N dx Gg⎝ ⎠3 3 3 18 3 3

x dxl = − = − −⎛⎜

⎞⎟μ 13 2 2

&& ,

dL Md GRdx

RGdx= = =θ1 12 3 2

d 13 1 ;

E G

gx G

gR G

gR x

R

Gg

x

Gg2

R xR

G x G x

c = + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + +

+ + =

12

10 12 2

9 9 2

2 9 212

4 49

1 4 42 9

1 25 4 10

12

212

12

212

2 2

&&

&

&& & ,

g g2 4 92 1 1

dE G x dxc = 20 1 1& &g

; 11

11 dxx11GxdxG20 ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−=&&

&&g1842g ⎠⎝

,

206 Dinamica - 3

de unde, împărţind cu dt şi simplificând cu 0dt

dxx 11 >=& , se obţine aceeaşi acceleraţie

ca şi prin metoda precedentă. 1x&&

deci se obţine aceeaşi lege de mişcare ca şi prin metoda precedentă. b) Reacţiunile legăturilor se determină prin înlocuirea în relaţiile

corespunzătoare obţinute prin prima metodă a valorii constante a acceleraţiei centrului troliului, deci rezultă:

, G10N1 = G3635,0G718

F 1f =261

= ,

G26,7G1436

N2 =10423

= , G221,0G159F 2f −=−=718

G375

,

, , N G3 3 ,0F 3f≅ =

G238,0G718

T ==171

,

G426,0G153X ==359

, G26,3G4NG4679Y 2 =−==1436

.

c) Pentru a fi îndeplinită condiţia de rostogolire fără alunecare a corpurilor 1

şi 2 pe planul orizontal, este necesar ca forţele de frecare Ff1 şi Ff 2 să nu depăşească valoarea lor maximă μ1 1N , respectiv μ 2 2N , astfel încât rezultă:

μ11 0 03635≥ =

Ff ,1N

, μ22 0 03044≥ =

Ff ,2N

.

Observaţie. Dacă acceleraţia centrului de greutate al troliului atinge sau

depăşeşte valoarea C1

9 2g

dLl =

, se observă că reacţiunea normală devine nulă, deci capătul A al barei nu se mai sprijină pe planul orizontal. Valoarea corespunzătoare a momentului M aplicat troliului se obţine uşor cu ajutorul teoremei energiei cinetice, deoarece în acest caz forţa de frecare va fi şi ea nulă şi rezultă, de asemenea,

. Ca urmare, se obţine:

N3

Ff 3

0

20 1 1G x dx M dx& & =

3 1g R ,

GR60Mgx1 =&& , &&x g

19

≥2

1

, . GR270M ≥

Pentru a se realiza mişcarea sistemului cu o acceleraţie atât de mare, valorile minime ale coeficienţilor de frecare μ şi μ2 vor rezulta mult mai mari, din condiţia de rostogolire fără alunecare a corpurilor 1 şi 2 pe planul orizontal.


3.3.4. Sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.4, în care sunt date dimensiunile geometrice şi greutăţile corpurilor, porneşte din repaus din poziţia din figură, pentru care porţiunea de fir dintre scripeţii şi este orizontală şi paralelă cu axa Ox legată de placa dreptunghiulară antrenată în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe verticale . Ştiind că frecările din articulaţii şi greutăţile scripeţilor sunt neglijabile, că firul este perfect flexibil şi inextensibil şi că placa se mişcă într-un

mediu rezistent ce respectă legea lui Newton privind rezistenţa mediului (

S1 S2

O z1 1

dF kv dA= 2 ), să se determine:

a) expresiile vitezei şi acceleraţiei corpului de greutate 4G în funcţie de deplasarea sa q pe verticală, măsurată de la începutul mişcării;

Fig. 3.3.4 Fig. 3.3.4

b) viteza limită a corpului de greutate 4G şi viteza unghiulară limită a plăcii după un timp foarte mare de la începutul mişcării;

c) reacţiunile din lagărele O1 şi O2 la momentul în care placa a efectuat un număr întreg N de rotaţii complete.

Rezolvare Înainte de a trece efectiv la rezolvarea problemei, este necesar să se efectueze

reducerea forţelor rezistente paralele între ele şi distribuite după legea lui Newton privind rezistenţa mediului pe suprafaţa plăcii, la un moment oarecare al mişcării sistemului. Considerând ca parametru de poziţie al sistemului deplasarea q a corpului de greutate 4G, unghiul θ de rotaţie a plăcii, viteza sa unghiulară ω şi viteza v a unui punct al elementului de arie dA din fig. 3.3.4 vor fi:

θ =qr2

, ω θ= =&&qr2

, v x qxr

= =ω&

2 ,


208 Dinamica - 3

dxxqrk

23dxr6

r4xqkdF 22

2

22

&&

== , , 22r4

qkr32dFF &== ∫0

23r4

qkr96dFxM &−=−= ∫0

, x MF

rC =−

= 3 ,

unde s-a ţinut seama de faptul că rezultanta F a forţelor rezistente este orientată în sensul negativ al axei Oy şi poate fi aplicată în centrul C al acestor forţe paralele.

a) Metoda I. Deoarece scripetele fix S2 este ideal şi are masa neglijabilă, eforturile dinamice din cele două porţiuni ale firului trecut peste acest scripete vor fi egale, având valoarea comună notată cu T în fig. 3.3.4. Aplicând ecuaţia de mişcare a unui corp cu axă fixă pentru placă şi legea fundamentală a dinamicii pentru corpul de greutate 4G, se obţin ecuaţiile:

G r rT kr q16 2 962

3 2&& &θ = −g 3

, 4 4G q G&& = −g

T ,

din care rezultă:

T G Gg

q= −4 4&& , &&

&q g qc

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34

12

2 , cr

Gk

=12 3

,

( )&&& &

&q dqdt

dqdq

dqdt

ddq

q= = =12

2 , − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =c q

cg q2

2

21 32

ln & , &q c e q= − −1 λ ,

λ = =3 18 2g r kg2 2c G

, &&q g e q= −3 λ

4 .

Metoda II. Sistemul considerat având un singur grad de libertate, pentru studiul mişcării sale se poate aplica teorema energiei cinetice sub forma diferenţială:

, E GdE dLcd=

g gq

gq

2 3 2 3& &

r G Gc = + =

1 16 1 4 822 2 2&θ ,

dE Gg

qdqc =163

& & , dL Gdq Md G qc

dqd = + = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4 4 1

2

2θ&

,

din care se obţine aceeaşi ecuaţie diferenţială a mişcării sale.

b) Pentru un timp foarte mare de mişcare al sistemului se poate considera că q tinde la infinit, deci viteza limită a corpului de greutate 4G va fi egală cu constanta c. Viteza unghiulară limită a plăcii rezultă imediat:

ω ω0 21 1

= = = =lim lim &q c G2 2 4 3→∞ →∞q qr r r k

.


c) Pentru un număr N de rotaţii complete ale plăcii rezultă:

θ π= 2 N , , q r= 4π N &θ γ= −c 1r2

, &&θ γ , , =38gr

γ π λ= −e rN4

unde γ este o constantă adimensională pozitivă cunoscută, având valoarea mai mică decât 1. Deoarece la momentul considerat placa va fi, de asemenea, în poziţia din fig. 3.3.4, ca şi la momentul iniţial al mişcării, aplicând principiul lui d′Alembert pentru placă şi exprimând proiecţiile pe axele sistemului de referinţă Oxyz legat de placă, mai puţin ecuaţia de momente faţă de axa fixă Oz, se obţin ecuaţiile:

X X T Gg1 2 r 22 0+ + + =&θ , Y Y F G

g1 2 r2 0+ − − =&&θ

4 4 01 2rY rY 4 2 02 1rT rX rX rG

, , Z G1 0− =

− = , 5 4+ − + = , ( )T G= −4 3γ ,

din care se determină reacţiunile din lagăre:

( ) ( )X G cgr1

2

83 2 2 1= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ γ , ( )X G c

gr2

2

838 27 2 1= − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟γ γ ,

(F G= −8 1 γ )3

, ( )Y Y G1 2 32 23= = − γ

24 , Z G1 = .

3.3.5. Regulatorul centrifugal de construcţie cât mai simplă, reprezentat schematic în fig. 3.3.5, are următoarele elemente componente: tija sa verticală, pe care

sunt articulate două bare omogene identice, fiecare de greutate G şi lungime

, precum şi manşonul D de greutate Q, care este menţinut într-o anumită poziţie pe tijă prin intermediul a două fire inextensibile de aceeaşi lungime 2 , legate în punctele şi de bare, pentru care

l3

Fig. 3.3.5

lB1 B2

l2OBOB 21 == . Neglijând frecările, să se determine parametrul de poziţie ODλ = al manşonului pe tijă în funcţie de viteza unghiulară constantă a regulatorului considerat.

ω 0

Rezolvare Din datele problemei rezultă că

patrulaterul este un romb cu OB DB1 2

210 Dinamica - 3 lungimea laturilor 2 , pentru care unghiul ϕ din fig. 3.3.5 va depinde de viteza unghiulară constantă a regulatorului, când se realizează echilibrul relativ al barelor faţă de tija regulatorului. Pentru a determina această dependenţă, este necesar să se aplice teorema momentului cinetic faţă de punctul fix O pentru bare, astfel încât în ecuaţiile corespunzătoare să nu apară reacţiunile articulaţiei O, care nu sunt cerute în enunţ. În primul rând, mai este necesar să se determine eforturile dinamice din fire, care, datorită simetriei faţă de axa fixă , vor avea aceeaşi valoare T. Din condiţia de repaus relativ al manşonului pe tijă se obţine:

lω 0

Oz1

2 0Q , T Q=Tcosϕ − =

2cosϕ

OA1

ϕ

.

Pe baza simetriei menţionate se observă că este suficient să se aplice teorema momentului cinetic numai pentru una din cele două bare şi în fig. 3.3.5 s-a ales bara

. Pentru calculul momentului cinetic al barei considerate în raport cu punctul său fix O, în fig. 3.3.5 s-a reprezentat şi sistemul de referinţă Oxyz legat de ea, ale cărui axe trebuie să fie principale de inerţie. Faţă de acest sistem de referinţă rezultă:

ω ωx = − 0 cos , ω ω ϕy = 0 sin , ω ϕ= & ; J x = 0 , 2zy g

G3JJ l== ;

( )kjsin0gG3

z

kzzJjJi yyx

rr+ω+

r r&

rJxK

r2

O l ϕ+= ϕω=ωω ,

( )( )kcossinjgG3K

tK

dtKd

OO

rrrrr

2 02 2

0&&cos&O

r

l ϕϕ+ϕ=×ω∂∂

ω+=

ϕ = 0

ω−ϕϕ .

Prin aplicarea teoremei momentului cinetic se obţin ecuaţiile:

& , ( ) ϕ−ϕ−=ϕϕcosω−ϕ 2sinT2sinG2

3sin20

2 ll

l &&gG3 ,

din care, după înlocuirea valorii determinate a efortului T, rezultă: ( )

2gQ4G

, ( )

2gQ4G32cos

0G6cos

ω+

ϕl

3=

+4 =ϕl

G

=λ . 0G3 ω

3.3.6. Se consideră mecanismul de ridicat din fig. 3.3.6, format din corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care sunt date greutăţile şi razele scripeţilor, iar frecările se consideră neglijabile. Pentru ridicarea la o înălţime h a sarcinii de greutate Q = 47 în 3 etape, se aplică scripetelui fix un cuplu de moment M cu următoarele valori constante în fiecare etapă a mişcării:

- în prima etapă M1, pentru care sarcina atinge viteza sm2,1v0 = în

intervalul de timp ; s5,1t1 =

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 211 - în a doua etapă M2, pentru mişcarea uniformă a sarcinii cu durata t ; s132 =

s5,1t3

- în etapa a treia M3, pentru care sarcina se opreşte la înălţimea h în intervalul de timp . =

Considerând acceleraţia gravitaţională g , să se determine: m s= 10 2

a) relaţiile cinematice, exprimând parametrii de poziţie din fig. 3.3.6 în funcţie de deplasarea x a sarcinii pe verticală;

b) valorile momentului M în cele 3 etape şi înălţimea h; c) eforturile dinamice din fire în etapa a treia a mişcării.

Răspunsuri

a) x x1 = , θ1 =xR

, x x2 2= , θ22

=x

R , θ3

4=

xR

;

b) M GR554

= , 1 M GR252

= , M GR454

= , m4,17h3 = ; 2

c) 43 24, , 22 10, , 22 06T G1 = T G2 = T G3 = , , 11 49T G4 = , , 11 41, . T G5 =

Fig. 3.3.6

Fig. 3.3.7

212 Dinamica - 3 3.3.7. Se consideră mecanismul de ridicat din fig. 3.3.7, format din corpuri

omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care sunt date greutăţile corpurilor şi razele scripeţilor, iar frecările se consideră neglijabile. Ştiind că mecanismul porneşte din repaus sub acţiunea unui cuplu motor de moment aplicat scripetelui fix, să se determine:

M GR= 16

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q G= 3 ; b) eforturile dinamice din fire.

Răspunsuri

x gt=15

2a) ;

b) G2,4= , G3,4G521T1 = T2 = , G9,9T3 = ,

G7,14 = , T G6,0= , G5,0G53T5 = T6 = .

3.3.8. Se consideră mecanismul de ridicat din fig. 3.3.8, format din corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care se dau

greutăţile şi razele tamburilor troliului cu axă fixă orizontală, greutatea şi raza scripetelui mobil, precum şi greutatea sarcinii Q, iar frecările sunt neglijabile. Ştiind că mecanismul porneşte din repaus sub acţiunea unui cuplu motor de moment

Fig. 3.3.8

M GR= 30 aplicat troliului, să se determine:

a) legea de mişcare a sarcinii; b) eforturile dinamice din fire.

Răspunsuri

x gt=5

562 ; a)

b) G86,18 , G7

132T1 ==

G4,11= , G7

80T2 =

G14,12 . G785T3 ==


3.3.9. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.9, pentru care sunt date greutăţile corpurilor şi razele scripeţilor. Firele se consideră perfect flexibile şi inextensibile, iar frecările din articulaţii şi frecarea de rostogolire pe planul orizontal a scripetelui 1, care se rostogoleşte fără alunecare, sunt neglijabile. Ştiind că sistemul porneşte din repaus sub acţiunea unui cuplu motor de moment

Fig. 3.3.9 M GR= 18 aplicat scripetelui 1, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q G= 12 ; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare de alunecare μ1 dintre

scripetele 1 şi planul orizontal pentru a fi îndeplinită condiţia de rostogolire fără alunecare a acestuia.

Răspunsuri

a) x gt=1

132 ;

b) G46,12 , G13

162T1 == G85,11 , G13

154T2 == G85,13T , G13

1803 ==

G43,11 ; G13

146TT 54 ===

c) μ13526

≥ = 1 346, .

3.3.10. Un troliu omogen cu 3 tamburi este suspendat între două ghidaje verticale, între care se poate mişca fără frecare, printr-un fir vertical perfect flexibil şi

214 Dinamica - 3 inextensibil înfăşurat pe tamburul său de rază 2R. Pe tamburul său de rază R este înfăşurat un alt fir ideal, care are legat la celălalt capăt un corp de greutate (vezi fig. 3.3.10).

Q G= 13

a) Să se determine acceleraţia aQ a corpului de greutate Q, acceleraţia aO a centrului O al troliului şi eforturile dinamice din fire.

b) Să se determine aceleaşi elemente, dacă firul de suspendare al troliului este înfăşurat pe tamburul său de rază R, iar celălalt fir pe tamburul de rază 2R.

Răspunsuri

a) a g m s6 2 , Q = =511

4 4, a gO = =1011

8 9, m s2 2 ; G09,7= , G1178T1 =

G1184T2 == G636,7 .

b) a a gQ O= − = =

737

1 856, m s2 ;

G54,10 , G37390T1 == G68,17 . G

37654T2 ==

Fig. 3.3.10

Fig. 3.3.11

3.3.11. Dacă se ridică o sarcină de greutate mică Q G= cu ajutorul

mecanismului de ridicat din fig. 3.3.11, acţionat de un cuplu motor de moment , neglijând frecările şi rigiditatea firelor să se determine: M GR= 4

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 215 a) acceleraţia sarcinii; b) eforturile dinamice din fire.

Răspunsuri

a gQ = =43

13, m s08 2 ; a)

b) T G173

= , T G283

= , T G3 2= .

3.3.12. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.12, pentru care se cunoaşte şi se ştie că troliul 1 se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal. Dacă sistemul porneşte din repaus şi se neglijează frecarea din articulaţia

, frecarea de rostogolire a troliului 1 şi rigiditatea firelor, să se determine:

μ2 0 6= ,

O1

a) legea de mişcare a corpului de

greutate Q G= 4 ; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ1 pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a troliului 1.

Răspunsuri

a) [ ]mt41 2 ; ,3gt101

1,35x 2 ==

b) G716,0 , G101

3,72T1 == G876,0T , G202

9,1762 == G22,1T = ; G

1012,123

3 =

c) μ1108 1606

≥, 0 178= , .

Fig. 3.3.12

216 Dinamica - 3

3.3.13. Un disc circular omogen de greutate G şi rază R se rostogoleşte fără alunecare pe linia de cea mai mare pantă a unui plan înclinat cu unghiul α faţă de planul orizontal. În centrul O al discului este legat un fir ideal, trecut peste un scripete fix identic cu discul, astfel ca porţiunea sa corespunzătoare să fie paralelă cu linia de cea mai mare pantă a planului înclinat, iar la celălalt capăt al firului este legat un corp de greutate Q (vezi fig. 3.3.13). Neglijând frecarea din articulaţia şi frecarea de rostogolire a discului, să se determine:

G= 3 O1

a) acceleraţia corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a discului.

Răspunsuri

( )a gQ = −

53 sinα ; a)

b) ( )T G1

35

2= + sinα , ( )T G2 10

9 7= + sinα ;

c) αα

− sincos

. ≥310

μ

Fig. 3.3.13

Fig. 3.3.14

3.3.14. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.14, pentru care datele sunt notate pe figură. Ştiind că discul circular cu centrul O se rostogoleşte fără

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 217 alunecare pe un plan orizontal aspru şi neglijând frecarea din articulaţia şi rigiditatea firelor, să se determine:

O1

a) acceleraţia corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de alunecare μ pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a discului.

Răspunsuri

a) ( )

( )a

g RQ sG2R PQ =

+ +2 3Q G−

;

( )G3Q2P

s2R3GPRRQT1 ++

++=

b) ,

( )G3Q2P

Q2PsRQ3RGT2 ++

++=

;

( )( )

c) μ ≥+ +

+ +RQ s P Q

R P Q2 2

2 3

M GR= 6 O1

+ GG

.

3.3.15. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.15, acţionat de

un cuplu motor de moment aplicat scripetelui fix cu centrul , pentru care datele sunt notate pe figură. Neglijând masa scripetelui mic S, frecările din articulaţii şi rigiditatea firelor, să se determine:

a) acceleraţia corpului care urcă pe planul înclinat; b) eforturile dinamice din fire.

Răspunsuri

( )a g= − −

47

1 sin cosα μ α sin cosα μ α+ < 1a) , ;

b) ( )T G 4 3 3= + +sin cosα μ1 7α , ( )T G 5 2 2= + +sin cosα μ α2 7

,

( )T G3

37

6= + +sin cosα μ α , ( )T G4 7

19 2 2= + +sin cosα μ α .

218 Dinamica - 3

3.3.16. Pentru sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.16 se neglijează

rigiditatea firelor şi toate frecările, cu excepţia frecării de alunecare dintre cele două corpuri paralelipipedice suprapuse, aşezate pe un plan orizontal luciu, caracterizată prin coeficientul de frecare μ de valoare mică. Să se determine:

a) acceleraţia corpului de greutate Q G= 3 şi eforturile dinamice din fire la începutul mişcării sistemului;

b) valoarea maximă a coeficientului de frecare μ pentru ca să alunece corpul paralelipipedic superior peste celălalt, precum şi noua acceleraţie a corpului de greutate Q după ce acest corp paralelipipedic cade pe planul orizontal.

Răspunsuri

a) a gQ = =

8133

0 5, m s9 2 , G82,2= , G133375T1 = G895,1T , G

133252

2 ==

G865,1G133248T3 == , G8,1G

133240T4 == ;

b) ′ = =a gQ

853

1 4, m s8 2 , μ <8

133= 0 06, .

Fig. 3.3.15

Fig. 3.3.16

3.3 - Dinamica sistemelor materiale 219 3.3.17. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.3.17, pentru care

datele sunt notate pe figură şi se neglijează rigiditatea firelor, frecarea din articulaţia O şi frecarea de alunecare dintre corpul paralelipipedic de greutate 3G şi planul orizontal. Pentru valori mari ale coeficientului de frecare μ dintre cele două corpuri paralelipipedice, pentru care nu are loc alunecarea lor relativă, să se determine:

a) acceleraţia corpului de greutate Q G= 2 ; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ pentru a fi îndeplinită

condiţia din enunţ.

Răspunsuri

a) a g m s8 2 ; Q = =1651

3 0,

b) G04,2= , G51

104T1 =

G37,1= ; G5170T2 =

c) μ ≥8

170

dF kv dA= 2

O O1 2

= 0 05, .

3.3.18. O paletă sub forma unui disc circular cu centrul B, de greutate G şi

rază R, se mişcă într-un mediu rezistent ce respectă legea lui Newton privind rezistenţa mediului ( , v fiind viteza elementului de arie dA din fig. 3.3.18). Braţul paletei de lungime R şi masă neglijabilă este solidarizat la mijlocul O al axei verticale

de lungime 2R în poziţie perpendiculară pe axă, care este montată la capetele sale în două lagăre cu frecările neglijabile ca în fig. 3.3.18. Cunoscând coeficientul de rezistenţă a mediului:

Fig. 3.3.17

k GgR

=17

38 3λ

, π

unde λ este o constantă adimensională dată, să se determine: a) rezultanta F şi centrul C al forţelor paralele de rezistenţă a mediului,

distribuite pe suprafaţa paletei, în funcţie de viteza unghiulară momentană ω a paletei; b) legea de mişcare a paletei, exprimând unghiul său de rotaţie θ ca funcţie de

timp, dacă la momentul iniţial al mişcării i se imprimă viteza unghiulară ω0 ;

220 Dinamica - 3

c) reacţiunile dinamice din lagăre la un moment t al mişcării paletei; d) numărul N de rotaţii executat de paletă până când viteza sa unghiulară

scade la jumătate din cea iniţială.

Fig. 3.3.18

Răspunsuri

a) F Gg

R 2λ ω , =289152

x OCC = = R3817

;

( )θλ

= +1ln

X G=

1

1

λω 0t ; b)

c) ( )1− γ , ( )1X G2 = − + γ ,

Y Y1 2= =G15

304−

λγ Z G1 = , ( )

γ ; , ω

λω=

+

Rg t

02

021

d) =ln22πλ

. N

3.4 - Ciocniri şi percuţii 221 3.3.19. Bara omogenă AOB de lungime şi greutate 3G, îndoită în unghi

drept în O astfel încât OB , este articulată în O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare de o axă fixă verticală ca în fig. 3.3.19. În poziţia în care unghiul dintre latura AO a barei şi axa fixă are valoarea ϕ dată, se imprimă sistemului o viteză unghiulară ω, astfel încât aceasta să rămână constantă în timpul mişcării sale ulterioare, dacă frecările din lagăre sunt neglijabile.

l3AO2=

a) Să se exprime ω în funcţie de ϕ. b) Să se calculeze valorile

componentelor V şi H ale reacţiunii articulaţiei O pentru valoarea determinată a vitezei unghiulare ω.

Răspunsuri

a) ϕ

ϕ−2

sin ,

ϕ=ω

sincos4

7g3l

0 4< <ϕ arctg .

b) V G= 3 , ( )H G

=−3

144 2cos

sinϕ ϕ

2sinϕ

.

3.4. Ciocniri şi percuţii

3.4.1. Un disc circular omogen de masă m şi rază r se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal astfel încât viteza rvO a centrului său O este constantă ca vector. La un moment dat, discul se ciocneşte ca în fig. 3.4.1 de un prag de înălţime h r< 2 . Ştiind că ciocnirea este perfect plastică şi neglijând frecările, să se determine:

a) viteza unghiulară a discului şi viteza centrului său O la sfârşitul ciocnirii; b) percuţia aplicată discului în timpul ciocnirii; c) valoarea minimă a vitezei rvO pentru ca discul să poată sări peste prag în

urma ciocnirii.

Fig. 3.3.19

222 Dinamica - 3 Rezolvare

a) Mişcarea dată în enunţ a discului

înainte de ciocnire se realizează numai dacă asupra discului acţionează doar greutatea proprie şi reacţiunea normală a planului orizontal. În timpul ciocnirii sale de prag, aceste forţe au valoare medie neglijabilă faţă de valoarea medie a reacţiunii normale a muchiei pragului asupra sa. De asemenea, ţinând seama de faptul că, pentru h r< 2 , valoarea componentei tangenţiale a vitezei punctului de contact A al discului cu pragul la începutul ciocnirii este mică, se poate neglija şi efectul percutant al forţei de frecare din A. Ca urmare, în timpul

ciocnirii, asupra discului acţionează numai percuţia P, aplicată în A după direcţia normalei comune, după care s-a orientat axa Ox a sistemului de referinţă Oxyz legat de disc. Deoarece, tot timpul ciocnirii, distribuţia de viteze a discului va fi de mişcare plană, pe baza legilor ciocnirilor este necesar să se determine componentele u′ şi w′ din fig. 3.4.1 ale vitezei centrului O al discului la sfârşitul ciocnirii, precum şi viteza sa unghiulară corespunzătoare ω′, cunoscând parametrii cinematici v0 şi ω = v r0 la începutul ciocnirii. Proiectând legile ciocnirilor pentru disc pe axele sistemului de referinţă considerat, se obţin ecuaţiile:

Fig. 3.4.1

( ) P+ = ( )m w vO′ − =sinα 0 ( )z ′Jm u vO′ cosα ω −ω = , , 0

′ =u 0

, la care trebuie adăugată condiţia ca ciocnirea să fie perfect plastică, din care rezultă

. Prin urmare, parametrii cinematici ai discului ceruţi în enunţ vor fi:

′ = =ω ωvrO , ′ = ′ = =

−v w v r hr

vO O Osinα .

b) Din prima dintre ecuaţiile de mai sus rezultă:

( )P mv

h r hr

mvO O= =−

cosα2

.

c) Dacă se neglijează frecarea din A şi rezistenţa aerului, după ciocnire discul

va avea o mişcare plană în planul vertical perpendicular pe muchia pragului, astfel încât viteza sa unghiulară se menţine constantă, iar centrul său se va mişca la fel ca în mişcarea fără frecare a unui inel pe un arc de cerc cu viteza iniţială w′. Pentru a sări peste prag, este necesar ca centrul discului să ajungă cu viteza nulă sau mai mare ca zero într-o astfel de poziţie pe traiectoria sa, încât să urce pe verticală cu o înălţime

3.4 - Ciocniri şi percuţii 223 egală cu h. Aplicând teorema energiei cinetice pentru disc, de la sfârşitul ciocnirii până la momentul în care centrul său se ridică pe verticală cu înălţimea h, în condiţiile considerate se obţine:

( ) ( )m v J m v J mgh= −O z2′′

( )

O2 2 2′ −ω ωz

1 12 2 2 2+ − ,

′′ = ′ − ≥v v ghO O2 2 0 ,

r h v gOrh−

≥ 2 , vr gh

O ≥2

r h− .

Observaţie. Dacă frecarea din A nu poate fi neglijată, forţa de frecare

corespunzătoare va avea o valoare medie mare în timpul ciocnirii şi va produce o percuţie tangenţială , aplicată în A după direcţia şi sensul axei Oy, care are ca efect anularea şi a componentei tangenţiale a vitezei punctului de contact A în timpul ciocnirii. În acest caz, pe baza legilor ciocnirilor se obţin ecuaţiile:

Pt

m u vO′ cos( )+ =α P , ( )− =αm w , v PO tsin′

( )J rP′z t− = −ω ω , la care se adaugă condiţiile:

=′u 0 , ′ − ′w r 0 , ω =astfel încât rezultă:

′ = ′ =−v w v r hrO O 3

3 2 , ′ =

−ω v r h

rO 3 2

3 2 ,

( )P mv

h r hO=

−2r

, P mv ht O=

r3 .

Deoarece, după ciocnire, discul va avea o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe Az′ paralelă cu Oz, până când centrul său ajunge pe aceeaşi verticală cu A, prin aplicarea teoremei energiei cinetice se obţine:

( ) ( )1 12 2J J2 2

mz z′ ′′′ − ′ = −ω ω gh ( ) , ′′ = ′ −ω ω 22

4gh3r

, vr gh

O ≥2 3

r h−3 2 .

În continuare, mişcarea discului va fi o mişcare plană de rostogolire fără alunecare pe planul orizontal superior al pragului cu viteza unghiulară ω′′ constantă. Dacă valoarea coeficientului de frecare de alunecare este foarte mică, această mişcare a discului va fi de rostogolire cu alunecare, având parametrii cinematici determinaţi anterior.

3.4.2. Sistemul de două corpuri omogene din fig. 3.4.2, format din bara OA de lungime 2l şi greutate G şi din placa ABD de greutate 3G sub formă de triunghi echilateral cu lungimea laturilor 2l , se află în echilibru într-un plan vertical, corpurile fiind articulate între ele în A şi bara în punctul fix O prin articulaţii cilindrice fără

224 Dinamica - 3 frecare. La un moment dat, la mijlocul laturii AB a plăcii se aplică o percuţie dată P ca în figură, perpendiculară în planul plăcii pe latura sa AB.

a) Să se determine vitezele unghiulare ale corpurilor la sfârşitul ciocnirii şi percuţiile de legătură din articulaţii în timpul ciocnirii.

b) Să se calculeze aceleaşi elemente ale ciocnirii pentru datele numerice: m1,0=l , G N= 5 , P kgm s= 14 .

Rezolvare

a) În fig. 3.4.2 s-au reprezentat sistemele de referinţă Ox′y′z′, respectiv C xyz2 , legate de cele două corpuri, unde originea celui de-al doilea sistem de referinţă s-a luat în centrul de greutate C2 al plăcii, deoarece aceasta are o distribuţie de viteze de mişcare plană cu parametrii cinematici variabili în timpul ciocnirii. De asemenea, fără a se efectua separarea corpurilor, s-au reprezentat componentele verticale şi orizontale ale percuţiilor de legătură din articulaţii, notate cu indicele superior v, respectiv o,

pentru articulaţia interioară din A fiind folosită linia continuă pentru componentele aplicate plăcii şi linia întreruptă pentru cele acţionând asupra barei. Aplicând legile ciocnirilor pentru fiecare corp în parte, se obţin ecuaţiile:

;P3

32J,PP23v

gG3,P

2P o

A2zoAC

vA 2

l=ω′−=′−=0

,P2 oA1z l=ω′′J,PPv

gG,PP0 o

OoAC

vO

vA 1

−=′−=

în care se pot calcula imediat:

2z g

GJ l= , 2C1

vz gG

34J l=′ 1 , ω′=′ l , 23

32ω′l1C 2v

2+ω′=′ l ,


lGPg

5633

1 =ω′ , lG

Pg141

2 =ω′ ,

P PAo =

328

, P POo = −

356

, P21PP v

OvA == .

Fig. 3.4.2

3.4 - Ciocniri şi percuţii 225 b) Pentru datele numerice din enunţ şi g = 9 8

′ =1 62,′ =1 62,

m s1 2, se obţin următoarele valori ale elementelor ciocnirii:

, se obţin următoarele valori ale elementelor ciocnirii:

−1−1ωω 25 5, s ′ =2 1925 5, s ′ =2 19 , ω , , ω , −1−1ss

P kgm sA = 0 866,o , P kgm sO = −0 433,o , P P kgm sA O= = 7v v .

3.4.3. Un corp rigid cu centrul de simetrie O este realizat prin solidarizarea ca în fig. 3.4.3 a unei bare AB de greutate 3G şi lungime 4R de un disc circular de rază R şi greutate 2G. Corpul astfel format este articulat în O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, iar între fusul articulaţiei şi corp este montat un arc spiral de constantă elastică

la torsiune K, care este nedeformat în poziţia orizontală a barei. Se roteşte corpul în jurul articulaţiei cu un unghi θ

Fig. 3.4.3

0 faţă de orizontală şi se lasă liber, iar la momentele în care bara ajunge din nou în poziţie orizontală au loc ciocniri repetate cu un opritor fix în punctul D al barei, pentru care DB R 2= . Cunoscând coeficientul de restituire la ciocnire de valoare 0,5 , acelaşi pentru toate ciocnirile, să se determine:

a) vitezele unghiulare ale corpului la începutul şi sfârşitul celei de-a n-a ciocnire;

b) percuţia aplicată barei de opritor în timpul celei de-a n-a ciocnire; c) durata mişcării corpului până la sfârşitul celei de-a n-a ciocnire.

Răspunsuri

a) ωθ ω

n = − n−0 0

12 , =

θ ω 15RKgG

; ′ω ω 0 =n n0 0

2 ,

P KGn= −

θ0

2

(

g15

; b)

c) )t nn = −2 102

πω

.

226 Dinamica - 3 3.4.4. Bara omogenă OA de lungime l

şi greutate G, articulată în punctul fix O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, este lăsată liber din poziţia în care unghiul θ format cu verticala are valoarea α

Fig. 3.4.4

1

d=

. La momentul în care ajunge în poziţia verticală, bara se ciocneşte cu un opritor fix în punctul său D pentru care OD . Ştiind că, după ciocnire, bara se ridică până la un unghi θ maxim de valoare α α2 1< , aşa cum este reprezentat în fig. 3.4.4, să se determine:

a) coeficientul de restituire la ciocnire; b) percuţia aplicată barei de opritor în

timpul ciocnirii; c) distanţa d pentru ca percuţia de

legătură din articulaţie să fie nulă (D să fie centru de percuţie).

Răspunsuri

a) R =sin

α 2

1

2

sin

α2 ;

b) +⎜⎝⎛ α

=2

sing3

2d

GP 1ll⎟⎠⎞α

2sin 2 ;

c) 3

l

α1

OD d=

2d l= .

3.4.5. Bara omogenă OA de lungime şi greutate G, articulată în punctul fix O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, este lăsată liber din poziţia în care formează unghiul cu orizontala. La momentul în care ajunge în poziţie orizontală, bara se ciocneşte cu un opritor fix în punctul său D pentru care . Ştiind că, după ciocnire, bara se ridică până la un unghi maxim α α2 1< faţă de orizontală, aşa cum este reprezentat în fig. 3.4.5, să se determine:

a) coeficientul de restituire la ciocnire;

3.4 - Ciocniri şi percuţii 227 b) percuţia aplicată barei de opritor în timpul ciocnirii; c) distanţa d pentru ca percuţia de legătură din articulaţie să fie nulă (D să fie

centru de percuţie).

Fig. 3.4.5

Răspunsuri

R =1

sinsin

αα

2 ; a)

b) ( )1sing3d

GP +α=ll

2sinα ;

c) 3

0

2d l= .

3.4.6. Bara omogenă AB de greutate G şi lungime l cade pe verticală, rămânând în poziţie orizontală. La un moment dat al acestei mişcări de translaţie

rectilinie, când viteza de translaţie a barei are valoarea , aceasta se ciocneşte ca în fig. 3.4.6 de un opritor fix în punctul său D pentru care

v

4BD l= . Ştiind că ciocnirea este perfect plastică, să se determine:

a) viteza centrului de greutate C al barei şi viteza sa unghiulară la sfârşitul ciocnirii;

Fig. 3.4.6 b) percuţia aplicată barei de opritor în timpul ciocnirii.

Răspunsuri

a) ′ = vC37 0 , v

0v712l

=′ ; ω

b) Gg

v=47 0 . P

228 Dinamica - 3 3.4.7. Bara omogenă OA de lungime l şi greutate G, articulată în punctul fix

O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, este lăsată liber din poziţia în care formează unghiul α1 cu verticala. La momentul în care ajunge în poziţie verticală, bara se ciocneşte în capătul său A cu un corp paralelipipedic de greutate G 2 , aflat în repaus pe un plan orizontal aspru, frecarea de alunecare dintre corp şi plan fiind caracterizată de coeficientul de frecare μ (vezi fig. 3.4.7). Ştiind că, după ciocnire, bara se roteşte în sens contrar până la un unghi maxim α α2 1< faţă de verticală, iar corpul parcurge distanţa d pe planul

orizontal până la oprire, să se determine:

Fig. 3.4.7

a) coeficientul de restituire la ciocnire; b) relaţiile între datele problemei pentru ca ciocnirea să se producă în

condiţiile considerate; c) coeficientul de restituire la ciocnire, distanţa d şi percuţia aplicată corpului

de bară în timpul ciocnirii pentru datele numerice:

G N10= , m318,02 =3 −=l , ( )μ = + =3 2 5 0 629, , α1 120= ° ,

α2 2 3 10 20= = °arcsin .

Răspunsuri

a)

2sin

sin3

d

R1

2α+μ

= l 2α

;

b) l

d321 μ

, 2

sin2

sin 21 =α

+α

l3d2 μ

≥ ; 2

sin2

sin 1 α−

α

d m=

c) R = 1 , 0 72, , P kgm s15, 2 . =

3.4 - Ciocniri şi percuţii 229 3.4.8. Bara omogenă OA de lungime şi greutate G, articulată în punctul fix

O printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, este lăsată liber din poziţia sa în care formează unghiul faţă de orizontală. La momentul în care ajunge în poziţie verticală, bara se ciocneşte în capătul său A cu o bilă de greutate

l

α = °30G 2 , aflată în repaus

pe un plan orizontal (vezi fig. 3.4.8). Cunoscând coeficientul de restituire la ciocnire , să se determine: R = 0 5,a) viteza bilei şi viteza unghiulară a barei la sfârşitul ciocnirii; b) deviaţia maximă β faţă de verticală a barei după ciocnire; c) percuţia din A şi percuţia de legătură din articulaţie în timpul ciocnirii.

Fig. 3.4.8

Răspunsuri

lg29 ,

10v =′

l2g

103

; =ω′a)

b) β = = °3 10 ; 2

20arcsin

c) g2

20G9 l

, PA =g2

40G9P l

. O =

3/2

3.4.9. Bara omogenă de lungime şi greutate G, articulată în punctul

fix printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, este lăsată liber din poziţia sa verticală reprezentată cu linie întreruptă în fig. 3.4.9. La momentul în care bara ajunge în poziţie orizontală, capătul său A se ciocneşte cu capătul B al unei alte bare omogene BC de lungime 2 şi greutate 2G, articulată la mijlocul său în punctul fix

prin altă articulaţie cilindrică fără frecare şi aflată în repaus în poziţie orizontală. Cunoscând coeficientul de restituire la ciocnire R

O A1 lO1

O A1

lO2

= , să se determine: a) vitezele unghiulare ale barelor la sfârşitul ciocnirii; b) percuţiile de legătură din articulaţii în timpul ciocnirii.

230 Dinamica - 3

Fig. 3.4.9

Răspunsuri

lg3

91

1 =ω′lg3

95

=ω ; 2′a) ,

b) g39

G l ,

5P1 = g39G l

. 10P2 =

3.4.10. Sistemul de două bare omogene din fig. 3.4.10, având greutatea G şi

lungimea 2 fiecare, se află în echilibru ca în figură, fiind articulate între ele în A şi bara OA în punctul fix O prin articulaţii cilindrice fără frecare. La un moment dat, la mijlocul C al barei AB se ciocneşte o bilă de greutate

l

G , care are la începutul ciocnirii viteza orizontală de valoare , iar la sfârşitul ciocnirii viteza sa are aceeaşi direcţie, sensul contrar şi valoarea . Să se determine:

Fig. 3.4.10

2

0v5v0

a) vitezele unghiulare ale barelor la sfârşitul ciocnirii; b) coeficientul de restituire la ciocnire; c) percuţiile de legătură din articulaţii în timpul

ciocnirii.

Răspunsuri

a) l

0v149

= , 1ω′ l0

2v

79

=ω′ ;

3.4 - Ciocniri şi percuţii 231

b) R = =5 0 714, ; 7

c) P Gg

v37 0 , A = P G v3

14 0 . gO =

l

3.4.11. Sistemul de două bare omogene din fig. 3.4.11, având lungimea şi masa m fiecare, se află în echilibru ca în figură, fiind articulate între ele în A şi bara OA în punctul fix O prin articulaţii cilindrice fără frecare. La un moment dat, la mijlocul C al barei AB se aplică percuţia dată P orizontală. Să se determine:

a) vitezele unghiulare ale barelor la sfârşitul ciocnirii; b) percuţiile de legătură din articulaţii în timpul

ciocnirii.

Răspunsuri

a) lm

P73

= , 1ω′ lmP

76

= ; 2ω′

b) P PA =

7 , P P

O =14

.

3.4.12. Sistemul de două plăci plane omogene din fig. 3.4.12, unde placa

dreptunghiulară are lungimea OA

Fig. 3.4.11

l2= , lăţimea şi greutatea 6G, iar cea sub formă de triunghi echilateral ABD are lungimea laturilor 2 şi greutatea 3G, se află în echilibru într-un plan vertical, plăcile fiind articulate între ele în A şi cea dreptunghiulară în O prin articulaţii cilindrice fără frecare. Ştiind că, la un moment dat, se aplică primei plăci percuţia dată P ca în figură, să se determine:

l

l

Fig. 3.4.12

a) vitezele unghiulare ale plăcilor la sfârşitul ciocnirii;

b) percuţiile de legătură din articulaţii în timpul ciocnirii.

232 Dinamica - 3

Răspunsuri

a) lG

Pg10910

, 1 =ω′lG

Pg109

38 ; 2 −=ω′

b) P PA =12109

, P PO =37

109 .

3.4.13. Sistemul de două corpuri omogene din fig. 3.4.13, format din discul circular de rază a şi greutate 2G şi din bara AB de lungime 2a şi greutate 3G, se află în echilibru într-un plan vertical, corpurile fiind articulate între ele în A şi discul în punctul fix O prin articulaţii cilindrice fără frecare. Ştiind că, la un moment dat, se

aplică discului percuţia dată P ca în figură, să se determine:

Fig. 3.4.13

a) vitezele unghiulare ale corpurilor la sfârşitul ciocnirii;

b) percuţiile de legătură din articulaţii în timpul ciocnirii;

c) valoarea percuţiei P, dacă aceasta apare în timpul ciocnirii discului cu o bilă de greutate G, având viteza la începutul ciocnirii de valoare v0 şi coeficientul de restituire la ciocnire fiind R = 3 4 .

Răspunsuri

a) ′ =116

PgGa

, ω ′ = −2ω14

PgGa

;

b) P PA =

4 , P P

O =512

;

c) Gg

v=32 0 . P

3.5 - Mecanică analitică 233 3.4.14. Sistemul de două corpuri omogene din fig. 3.4.14, format din bara OA

de lungime 4a şi greutate 3G şi dintr-un disc circular de rază 2a şi greutate 4G, se află în echilibru într-un plan vertical, corpurile fiind articulate între ele în A şi bara în punctul fix O prin articulaţii cilindrice fără frecare. Ştiind că, la un moment dat, se

aplică discului o percuţie P ca în figură, sub un unghi α dat faţă de orizontală, să se determine:

Fig. 3.4.14

a) vitezele unghiulare ale corpurilor la sfârşitul ciocnirii;

b) componentele verticale şi orizontale ale percuţiilor de legătură din articulaţii în timpul ciocnirii.

Răspunsuri

′ = ′ =ω ωα

1 2 28Gacos

; Pg

a)

b) P PAo

Oo= =2 1

7P P PA

vOv= =

C A2

P cosα , sinα .

3.5. Mecanică analitică 3.5.1. Se consideră sistemul de 7 corpuri omogene din fig. 3.5.1, pentru care

se cunosc greutăţile corpurilor şi razele scripeţilor sau ale tamburilor troliului 1 notate pe figură, precum şi lungimea 3R a barei , greutatea sa 3G şi momentul M GR= 75 4 al cuplului motor aplicat troliului. Ştiind că troliul 1 şi discul circular 2 se rostogolesc fără alunecare pe planele orizontale din figură, iar rigiditatea firelor, frecările din articulaţii, frecările de rostogolire şi frecarea de alunecare a capătului A al barei sunt neglijabile, să se determine:

a) acceleraţiile centrelor de greutate C1 , C2 şi C6 ale corpurilor 1, 2, respectiv 6;

b) eforturile dinamice din fire; c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare μ1 şi μ2 , pentru a fi

îndeplinită condiţia de rostogolire fără alunecare a corpurilor 1, respectiv 2.

234 Dinamica - 3

Fig. 3.5.1

Rezolvare Se observă că sistemul considerat are două grade de libertate. Înainte de a trece

efectiv la rezolvarea problemei, este necesar să se stabilească relaţiile cinematice, prin care se exprimă parametrii de poziţie ai corpurilor în funcţie de cei doi parametri de poziţie independenţi, care se aleg în mod avantajos ca fiind deplasările pe orizontală

şi ale centrelor de greutate ale corpurilor 1, respectiv 2. Dacă toţi parametrii de poziţie din fig. 3.5.1 sunt măsuraţi de la începutul mişcării sistemului, rezultă: x1 x2

3.5 - Mecanică analitică 235

θ11

2=

Rx

, θ22=

xR

, θ31

2=

Rx

, θ422

=x

, R

x x x x5 6

1 4= =

− 2

4 , θ6

1 4= 2

4+x x

R , x x7 2= .

a) Pentru studiul mişcării sistemelor mecanice supuse la legături olonome,

aşa cum este şi sistemul considerat, în cadrul mecanicii analitice se folosesc ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua. Pentru stabilirea lor, în primul rând trebuie să se calculeze energia cinetică a sistemului la un moment oarecare al mişcării sale, care va fi:

E Gg

x Gg

R Gg

R xR

Gg

x Gg

R xRc = + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

12

6 12

22

4 42 4

12

2 12

221

22 2

12

2 22

222

2&&

&&

+

( ) ( )+ + +

−+

−+

12 2 4 2 2 2 16 22 2g R g R g g

2 1 2 4 1 4 1 2 416

212 2

22

1 22

1 22

G R x G R x G x x G x x& & & & & &

( )+

++ = + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 2 4 1 3 35 7 121 2

2

2 22

12

22

1 2G R x x G x G x x x x

& && & & & & ,

2 2 16 2 8 2g R g g


∂E G x xc & &135 1

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∂x g& 1

24 2 ,

∂E G x xc & &1 21 14= − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∂x g& 2 2

I2

.

În continuare, trebuie să se calculeze lucrul mecanic elementar virtual al forţelor şi momentelor direct aplicate sistemului, având în vedere faptul că forţele de frecare şi nu efectuează lucru mecanic, fiind aplicate în centrele instantanee de rotaţie , respectiv . Ca urmare, se obţine:

Ff1

I1Ff 2

⎟⎞

⎜⎛ δ+δ=δ−δ−δθ=δ 21651

d x3x69GxG2xGML⎠⎝ 8

,

din care se determină forţele generalizate:

Q G169

=8

, Q G2 3= .

Cu aceste elemente calculate, ecuaţiile lui Lagrange devin: G x x35 1 69

1 2&& &&−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

gG

4 2 8 ,

G x x− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

1 14 31 2&& &&g

G2

g

,

din care rezultă:

&&x1 = , &&x g2 = 4

, &&&& &&

x x x6

1 24 0=4−

= .

236 Dinamica - 3

b) Pentru determinarea reacţiunilor legăturilor exterioare şi interioare ale unui

sistem mecanic, în cadrul mecanicii analitice se aplică principiul deplasărilor virtuale pentru corpuri sau subsisteme de corpuri separate din sistem, luând în considerare şi lucrul mecanic elementar virtual al rezultantei forţelor de inerţie şi al momentului lor rezultant pentru fiecare corp în parte. În cazul sistemului considerat, pentru determinarea eforturilor dinamice din fire, se poate începe cu separarea primului corp, pentru care se dau, pe rând, deplasarea virtuală δy1 de translaţie rectilinie pe verticală în sus, deplasarea virtuală δx1 de translaţie rectilinie pe orizontală şi deplasarea virtuală δθ1 de rotaţie în jurul centrului de greutate C1 . Aplicând principiul deplasărilor virtuale, se obţin ecuaţiile:

N y G y6 0δ δ−1 1 1 = , , ( )F T R xI 0− − =δf1 1 1 1 ( )M RT RF MI+ − − =2 0δθf1 1 1 1

G

,


N1 6= , F G G xf1 175 21 33

= − =&&g

G4 2 4

, T G G x G1 175 33 9

= − =&&g4 2 4

.

În continuare, se separă corpurile 3, 5, 6 şi 4, în această ordine, pentru fiecare corp dându-se o singură deplasare virtuală după cum urmează: de rotaţie cu δθ , de translaţie rectilinie pe verticală cu

3

δx5 , de rotaţie cu δθ6 δθ4, respectiv de rotaţie cu . Prin aplicarea în mod analog a principiului deplasărilor virtuale, se obţin celelalte eforturi dinamice din fire:

T G Gg3 14 4

x G75 17 7= − =&& , T G G

g5 5x G= + =&& ,

( )T T G x x4 3 1 24 5= − + =&& &&

gG

4 4 , T T G x G2 4 22 3

= − =&&g 4

.

c) Forţa de frecare Ff1 şi reacţiunea normală N1 , care acţionează asupra

troliului datorită legăturii sale pe planul orizontal în condiţiile considerate, au fost deja determinate, astfel încât rezultă:

μ11 11 1 375≥ = =

Ff ,1 8N

δx2

.

Se observă că valoarea minimă a acestui coeficient de frecare este mare şi vor fi necesare măsuri speciale pentru mărirea frecării de alunecare dintre troliu şi reazemul său, cum ar fi practicarea unor zimţi pe periferia tamburului său de rază 2R.

Forţa de frecare , care împiedică alunecarea discului 2 pe planul orizontal pe care este rezemat, se poate determina dând o deplasare virtuală de translaţie rectilinie cu după direcţia orizontală subsistemului format de corpurile 2 şi 7, pentru care se obţine:

Ff 2


T x F x R x R xfI I

2 2 2 2 2 2 7 2 0δ δ δ δ− − − = , F T G x Gf 2 2 2

5= − = −&&

g 2Y

.

Pentru a determina reacţiunea normală N G2 2= + , unde componenta verticală Y a reacţiunii articulaţiei interioare , reprezentată în fig. 3.5.1 ca acţionând asupra barei, are valoarea Y G

C2

N= −3 7

N7

, se observă că este necesar să se afle mai întâi valoarea reacţiunii normale a planului orizontal asupra capătului A al barei. Pentru aceasta, se consideră deplasarea virtuală de rotaţie a barei cu δθ7 în sens trigonometric în jurul articulaţiei , pentru care se obţine ecuaţia: C2

N R R R G RI7 7 7 7 72 2 3 2⋅ + ⋅ − ⋅δθ δθ δθ

20= ,

din care rezultă:

N G G x7 23 3 2 0= − >&&

g2 8 , N ,

G G G7 3 232

3 63= + = ,2 2

μ22 0 138≥ =

Ff ,2N

.

Observaţie. Aplicarea principiului deplasărilor virtuale pentru determinarea

reacţiunilor dinamice, aşa cum s-a arătat mai sus, este echivalentă cu aplicarea principiului lui d′Alembert pentru corpuri sau subsisteme de corpuri separate din sistemul mecanic dat.

3.5.2. Se consideră sistemul format dintr-o pană triunghiulară de greutate G, care alunecă fără frecare pe un plan orizontal cu una din catetele sale, precum şi dintr-un corp paralelipipedic de greutate Q, care alunecă fără frecare pe ipotenuza penei, unghiul α dintre ipotenuză şi cateta orizontală fiind cunoscut. Ştiind că sistemul porneşte din repaus din poziţia sa în care parametrii de poziţie din fig. 3.5.2 au valori nule, să se determine legile de mişcare ale celor două corpuri.

Fig. 3.5.2

238 Dinamica - 3

Răspunsuri

( )( )xG Q

t1 22

4=

+ sinQg 2sin α

α , ( )x

G Q gG Q2 2

2

2=

+

+

sinsin

α

α

m1

m2

t .

3.5.3. Un disc circular omogen de masă şi rază r este articulat printr-o

articulaţie cilindrică fără frecare în centrul său O de un culisor de masă neglijabilă, care se mişcă fără frecare pe o axă verticală. Pe periferia discului este înfăşurat un fir

perfect flexibil şi inextensibil, care este trecut peste un scripete mic ideal şi legat la celălalt capăt de un corp paralelipipedic de masă aşezat pe un plan orizontal luciu (vezi fig. 3.5.3).

Fig. 3.5.3

Să se determine acceleraţia centrului O al discului, acceleraţia corpului paralelipipedic şi efortul dinamic din fir.

Răspunsuri

&&x m mm m

g11 2

1 2

23

=++

, && , x m gm m2

1

1 23=

+

T m m gm m

=+1 2

1 23

O1 O2

m1 m2

O2

.

3.5.4. Două discuri circulare omogene cu centrele şi , având aceeaşi rază R, dar masele diferite , respectiv , sunt legate între ele ca în fig. 3.5.4 printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil trecut peste un scripete mic ideal. Ştiind că primul disc se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal, frecarea de rostogolire fiind neglijabilă, iar centrul al celui de-al doilea disc se mişcă fără frecare pe o axă fixă verticală, să se determine:

a) acceleraţiile centrelor discurilor;

3.5 - Mecanică analitică 239 b) efortul dinamic din fir; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a primului disc.

Răspunsuri

Fig. 3.5.4

&&xm g

m m12

+ ,

1 2

49 8

=a)

&&x m mm m

g++

; 21 2

1 2

6 89 8

=

b) Tm m

=3

9 81 2

m m g+1 2 ;

c) μ ≥+m m1 29 8

m2 .

3.5.5. Se consideră sistemul de 7 corpuri omogene din fig. 3.5.5, pentru care

se cunosc datele notate pe figură, reprezentând greutăţile corpurilor, razele scripeţilor sau ale tamburilor troliului 1, coeficienţii de frecare de alunecare μ şi de rostogolire s cunoscuţi, precum şi momentul M al cuplului motor aplicat troliului. Neglijând frecările din articulaţii şi rigiditatea firelor, ştiind că troliul 1 şi discul circular 5 se rostogolesc fără alunecare pe două plane orizontale aspre şi că sistemul porneşte din repaus,

Fig. 3.5.5

240 Dinamica - 3 să se determine:

a) acceleraţia centrului de greutate C1 al troliului, acceleraţia corpului 2 pe planul orizontal corespunzător şi legea de mişcare a corpului 7 pe verticală în sus;

b) eforturile dinamice din fire; c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare μ1 şi μ5 pentru a fi

îndeplinită condiţia de rostogolire fără alunecare a corpurilor 1 şi 5.

Răspunsuri

a) ,4 092 , ,1 67= , &&x g1 = &&x g2

2

T G T G T G3

x g7 0 529= , t ;

b) 28 25, , 19 7= , , 22 8= , , T G63 34= , , 1 = 2 4

T G5 60= , ; T G6 37=

c) 1 5 27≥ , , 6 625≥ , . μ μ5

3.5.6. Se consideră sistemul de 7 corpuri omogene din fig. 3.5.6, care porneşte

din repaus şi pentru care se cunosc datele notate pe figură, reprezentând greutăţile corpurilor sau ale tamburilor troliului 3, razele scripeţilor, respectiv ale tamburilor troliului, coeficienţii de frecare de alunecare μ μ1 , 2 şi de rostogolire s. Neglijând

3.5 - Mecanică analitică 241 frecările din articulaţii şi rigiditatea firelor şi ştiind că troliul se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal aspru, să se determine:

a) acceleraţiile corpurilor 1 şi 2 pe planele orizontale corespunzătoare şi legea de mişcare a corpului 7 pe verticală în jos;

b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a troliului.

Răspunsuri a) ,0 14= , ,0 45= , t 22175, ; &&x g1

T G

&&x g2

T G=

x g0=7

2 3

b) 1 2 4= , , 2 375, , 2 465T G= , ,

T G2 885= ,4 T G5 2 825= , T G6 3 45= , , ,

μ ≥

O2

;

c) 0 2035, .

3.5.7. Un troliu omogen, având razele şi greutăţile celor doi tamburi indicate în fig. 3.5.7, este articulat printr-o articulaţie cilindrică fără frecare după axa sa de simetrie în centrul de greutate al unui bloc paralelipipedic de greutate 3G, care se

poate mişca fără frecare între două ghidaje verticale. Pe tamburul de rază R al troliului este înfăşurat un fir perfect flexibil şi inextensibil cu celălalt capăt fixat ca în figură, iar pe tamburul său de rază 2R este înfăşurat un alt fir ideal, având o porţiune verticală şi cealaltă porţiune înfăşurată pe periferia unui disc circular omogen de greutate Q şi rază 2R, al cărui centru

se poate mişca fără frecare pe o axă fixă verticală. Ştiind că sistemul porneşte din repaus, să se determine:

O1

Fig. 3.5.7

a) acceleraţiile centrelor de greutate O1 şi O2 ; b) valorile greutăţii Q pentru care centrul de greutate

O1 al blocului paralelipipedic urcă pe verticală; c) legile de mişcare ale centrelor O1 şi O2 şi

eforturile dinamice din fire pentru Q G= 19 .

Răspunsuri ( ) ( )

&&xQ5

2+

+ ; a) &&x

g GG Q1

2 163

=Q8

2−

+ ,

g GG Q2

2 163

=

242 a - 3 Dinamicb) Q G> 18 ;

c) x gt101

= − , 1

2

x gt34101

= ; 2

2

G327, , 12G101

1245T1 ==

G2,6G627T2 ==101

O1

.

3.5.8. Două discuri circulare omogene, având razele şi greutăţile indicate în fig. 3.5.8, se mişcă într-un plan vertical, astfel încât centrele lor şi se mişcă fără frecare pe două axe fixe verticale, discurile fiind legate între ele şi discul cu centrul de un punct fix prin două fire verticale perfect flexibile şi inextensibile. Ştiind că sistemul porneşte din repaus, să se determine:

O1 O2

a) legile de mişcare ale centrelor O1 şi O2 ; b) eforturile dinamice din fire.

Răspunsuri

a) t20 35, , t 20 45, ; x g1 = x g2 =T1 Tb) G7,0= , G1,02 = .

Fig. 3.5.8

Fig. 3.5.9


3.5.9. Trei scripeţi omogeni identici, având raza R şi greutatea G fiecare, sunt legaţi între ei ca în fig. 3.5.9 prin fire verticale perfect flexibile şi inextensibile. Asupra primului scripete fix cu centrul O acţionează un cuplu motor de moment constant M, cel de-al doilea scripete fix este articulat în centrul său la un capăt al unui stâlp de greutate 8G, care este încastrat la celălalt capăt O în poziţie verticală, iar centrul al celui de-al treilea scripete se mişcă fără frecare pe o axă fixă verticală. Ştiind că sistemul porneşte din repaus şi neglijând frecările din articulaţii, să se determine:

1

O2

O3

M

a) acceleraţia unghiulară a primului scripete şi acceleraţia centrului celui de-al treilea scripete pe verticală în jos;

b) valorile momentului M pentru care centrul O3 se mişcă pe axa verticală în sus;

c) legile de mişcare ale celui de-al treilea scripete, eforturile dinamice din fire şi reacţiunile dinamice ale încastrării O pentru GR= 3 .

Răspunsuri

( ) ( )a) &&θ 2

−GRGR

, 34

g M1 = &&x

g G3

34

=R MGR−

;

b) GR> 3 ; M

c) x3 0= , θ3 R , T G1 2

2

=gt

= , T G2 = ,

O = 12 , OV G H MO = = 0 .

3.5.10. Se consideră sistemul de corpuri omogene din fig. 3.5.10, în care se

dau masele corpurilor şi raza R a celor doi scripeţi, firele verticale de legătură dintre corpuri fiind perfect flexibile şi inextensibile. Ştiind că sistemul porneşte din repaus şi neglijând frecările, să se determine:

a) acceleraţia unghiulară a scripetelui fix şi acceleraţia centrului O2 al scripetelui mobil pe verticală în jos;

b) legile de mişcare ale scripeţilor şi eforturile dinamice din fire pentru m m m m1 2 33 3= = = .

Răspunsuri ( )

( )a) &&θ1

3 2

1 2 3

2 33 2

=−

+ +g m

R m m 6m

m ,

244 Dinamica - 3

( )( )

&&xg m m m

R m m m21 2 3

1 23 2+ + 362

=+ +

;

b) θ1 0= , 3

gtx2 = , 2

θ2

2

3= −

gtR

, T T mg1 2= = .

Fig. 3.5.11 Fig. 3.5.10

3.5.11. Doi scripeţi omogeni de aceeaşi greutate G şi aceeaşi rază R sunt legaţi

între ei printr-un fir vertical perfect flexibil şi inextensibil. Centrul al scripetelui mobil se mişcă fără frecare pe o axă fixă verticală, iar la periferia scripetelui fix, articulat în centrul său printr-o articulaţie cilindrică fără frecare, acţionează o forţă verticală de valoare constantă F, ca în fig. 3.5.11. Ştiind că sistemul porneşte din repaus, să se determine:

O2

O1

a) acceleraţiile unghiulare ale scripeţilor;

b) valorile forţei F pentru care scripetele fix se roteşte în sens orar;

c) valorile forţei F pentru care scripetele fix se roteşte în sens trigonometric, iar centrul scripetelui mobil coboară pe verticală;

d) valorile forţei F pentru care centrul scripetelui mobil urcă pe verticală;

e) legile de mişcare ale scripeţilor şi efortul dinamic din fir pentru F G= 2 .


Răspunsuri

( )( )a) &&θ1

2 35

−GGR

, =g F &&θ 2

2 2= −

+g F5

GGR

;

03

≤ <F G ; b)

G F G2 ; < <c) 3

d) F G> 2 ;

e) θ θ1 2

2

= − =gtR

, x2 0= , T G= .

3.5.12. Sistemul de două corpuri omogene din fig. 3.5.12 este format dintr-un troliu cu greutăţile şi razele tamburilor notate pe figură, care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal, precum şi dintr-un disc circular cu greutatea şi raza notate, de asemenea, pe figură, al cărui centru se mişcă fără frecare pe o axă fixă verticală, cele două corpuri fiind legate între ele ca în figură printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil trecut peste un scripete mic ideal. Ştiind că sistemul porneşte din repaus şi neglijând frecarea de rostogolire a

troliului, să se determine:

Fig. 3.5.12

O1

a) legile de mişcare ale centrelor de greutate O1 şi O2 ale celor două corpuri;

b) efortul dinamic din fir; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ dintre troliu şi planul

orizontal pentru a fi îndeplinită condiţia de mişcare impusă în enunţ a acestuia.

246 Dinamica - 3

Răspunsuri

a) x gt21439

= , x g2 t2239

= ; 1

T G=1139

; b)

c) μ ≥1

117 .

3.5.13. Pentru sistemul de 3 corpuri omogene din fig. 3.5.13 se cunosc masele corpurilor notate pe figură, coeficienţii de frecare de alunecare μ1 dintre corpul de masă şi planul orizontal şi dintre cele două corpuri paralelipipedice suprapuse,

precum şi raza r a discului circular de masă , al cărui centru O se mişcă fără frecare pe o axă fixă verticală. Corpul de masă şi discul sunt legate între ele ca în figură printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil trecut peste un scripete mic ideal. Ştiind că sistemul porneşte din repaus, să se determine:

m1 μ2

m3

m1

1

μ μ1 2

a) legile de mişcare ale corpurilor, efortul dinamic din fir şi valoarea minimă a

coeficientului de frecare μ2 pentru care cele două corpuri paralelipipedice nu alunecă unul faţă de celălalt; în acest caz să se precizeze valorile coeficientului de frecare μ pentru care corpul de masă m1 alunecă pe planul orizontal;

Fig. 3.5.13

b) acceleraţiile celor două corpuri paralelipipedice şi a centrului discului dacă 0= = .

Răspunsuri

( )(

( )((

))

22 gtm)

22 gtma)

213

11321 mm3m

m3m21xx

+++μ−

== , 213

1133 mm3m

m2m21x

++++ − μ

= ,


( )( )( )

2 , ( )( )

( )T

m g m mm m m

=+ ++ +

3 1 1 2

2

1 μ

213 mm3mr ++211

3 gtmm11 +μ+−=θ ,

3 13

( )( )

μμ

23 1 1 2

3 1

3≥

− ++ +

m m m

2m3m m ;

( )0

313

1 2+m m≤ <μ

m ;

b) &&x m g3

+ , &&x2 0= ,

m m11 33

=( )

&&xg m m1 3+

+ .

m m31 3

23

=

3.5.14. Pentru sistemul de 3 corpuri omogene din fig. 3.5.14 se cunosc masele corpurilor notate pe figură, coeficientul de frecare de alunecare μ1 dintre corpul de

masă şi planul orizontal, precum şi raza r a discului circular de masă , care se rostogoleşte fără alunecare pe corpul de masă în planul vertical al mişcării sistemului. Corpurile de mase şi sunt legate între ele printr-un fir perfect flexibil şi inextensibil trecut peste un scripete mic ideal. Ştiind că sistemul porneşte din repaus şi neglijând frecarea de rostogolire a discului, să se determine:

m1

m

Fig. 3.5.14

2

m1

m1 m3

a) legile mişcărilor absolute ale corpurilor şi valorile coeficientului de frecare μ1 pentru care are loc mişcarea sistemului în condiţiile considerate;

b) efortul dinamic din fir; c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ2 pentru a fi îndeplinită

condiţia de rostogolire fără alunecare a discului; d) acceleraţia corpului de masă m1 şi efortul dinamic din fir după ce discul

cade pe planul orizontal.

248 Dinamica - 3

Răspunsuri

( )(

( ))

22 gtmm

a) 312

11331 m3m

mm23xx

++ ( )22 gt

mm+μ−

== , 312

1132 m3m

mm21x

++− μ +

= ,

( )( )

2

312

21132 gt

mm3mmmm

r1

+++μ−

=θ , 0 13

1 2

≤ <+

μm

m m

( )

;

b) ( ) gm32 ;

mm3mmm3mm3T

312

1121

+++μ++

=

( )( )

μμ

23 1 1 2

m ;

2 13≥

− ++ +

m mm m

( )3

mc)

d) &&xg m

m m13 1

1 3

=m1−

+μ

, ( )T

m m gm m

= 1 3

1 3

++

11 μ .

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 249

4.1. Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate

4.1.1. Se consideră sistemul mecanic de corpuri omogene din fig. 4.1.1, pentru care datele sunt notate alăturat. Un fir perfect flexibil şi inextensibil este legat la capătul al barei

, apoi este înfăşurat pe periferiile celor 4 scripeţi sub unghiurile la centru

A1

O A1 1

2 3π , , , respectiv

π π π23π , iar la celălalt capăt al firului este

atârnat corpul de greutate 20G. Frecările din articulaţii sunt neglijabile, iar parametrul de poziţie θ se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, în care cele două bare se află în poziţie orizontală. Să se determine:

a) legea de mişcare θ θ= ( )t , ştiind că la momentul iniţial se roteşte bara O A2 2 în jurul articulaţiei cilindrice O2 cu unghiul θ0 0 01= , rad , după care sistemul este lăsat liber;

b) eforturile dinamice din porţiunile firului specificate în figură, ştiind că în poziţia de echilibru static a sistemului eforturile T1 , T2 şi T3 au aceeaşi valoare statică T G0 20= ;

c) valoarea minimă a coeficientului de frecare μ dintre fir şi scripeţi pentru ca acesta să

nu alunece pe periferia scripeţilor.

Fig. 4.1.1

Rezolvare

a) Deoarece unghiul θ0 este foarte mic, având aproximativ valoarea 0,575 grade, rezultă că sistemul considerat va avea mici oscilaţii libere şi neamortizate în jurul poziţiei sale de echilibru static. Din figură se observă că, dacă firul nu alunecă pe

250 Vibraţii mecanice - 4 periferia scripeţilor, cei doi scripeţi articulaţi în centrele C1 şi C2 ale barelor nu se rotesc faţă de bare şi, în consecinţă, formează corp comun cu acestea. Ca urmare, sistemul dat are un singur grad de libertate, parametrul de poziţie fiind unghiul θ de rotaţie a corpurilor în jurul articulaţiilor fixe, astfel încât pentru stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării se poate folosi ecuaţia lui Lagrange de speţa a doua sub forma:

d E E Ec c p∂ ∂dt ∂θ ∂θ

∂

∂θ&⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− + = 0 .

Pentru calcului energiei cinetice a sistemului se ţine seama de faptul că acesta efectuează mici oscilaţii în jurul poziţiei sale de echilibru şi că se poate considera ca fiind format din corpuri cu axă fixă, la care se adaugă corpul de greutate 20G, aflat în mişcare de translaţie rectilinie pe verticală. Cu datele notate pe figură se obţine:

J G R Gg

R G R G R1

2 22 26 16 4 4 2 50= + + =( ) , J 2

Gg

8=

R Gg

R2

24= , g g g3 2 2

( )E J J G Rgc = ⋅ + ⋅ +2 1

22 1

212

20 31 12

2 22 2 2 2& & &θ θ θ

Gg

R= 144&θ ,

de unde se observă că energia cinetică a sistemului, în cazul micilor sale oscilaţii, nu depinde de coordonata generalizată θ.

Notând cu ΔL deformaţia arcului elicoidal până în poziţia de echilibru static a sistemului, energia sa potenţială devine:

( ) ( )

( ) ( )

E k R L G R G ⋅ R k L

GR

R L GR GR

L

p = + − ⋅ − ⋅ =

= + − −

12

4 20 3 2 10 22

225 4 100 225

2 2

2 2

θ θ θ

θ θΔ Δ .

−1

Δ Δ

Deformaţia statică ΔL a arcului se determină din condiţiile ca atât cât şi ( )Ep θ

∂ ∂E θp să fie nule în poziţia de echilibru static a sistemului, deci pentru θ = . Prima condiţie este îndeplinită pentru orice ΔL, iar din a doua rezultă:

0

( ) θ=−Δ+θ⋅=∂

GR7200GR100LR4R4G450Ep

∂θ R , ΔL R

=18

.

Ecuaţia diferenţială a mişcării se obţine succesiv:

288 7200 02G R GR&&θ θ+ =R

, , &&θ ω θ+ =25 002


unde s-a notat ω0 = g R2 . Ţinând seama de condiţiile iniţiale date, soluţia ultimei ecuaţii diferenţiale rezultă:

[ ]θ ω=

0 01 5 0, cos t rad .

b) Pentru a determina eforturile dinamice din porţiunile de fir specificate în figură prin secţionare, se separă cele 5 corpuri care rezultă şi pentru fiecare corp în parte se aplică principiul lui d’Alembert. Deoarece nu se cer reacţiunile articulaţiilor, nu se separă cei doi scripeţi mobili articulaţi la mijlocul barelor, iar pentru cele 4 corpuri cu axă fixă se scriu numai ecuaţiile de momente faţă de articulaţiile fixe. Ca urmare, se pot scrie următoarele ecuaţii de echilibru dinamic:

450 418

4R R T R T⎝⎜ ⎠⎟

35R T R G R J10 2 01 4 1GR

Rθ θ+⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + =&& ,

T G Gg

R5 20 20 3

&&

0

&&

− + ⋅ =&&θ

T R T R J2 3 2 0⋅ − ⋅ + =θ T R G R J4 2 110 2 0⋅ − ⋅ − ⋅ + =θ

, , T R T R J1 3 2 0⋅ − ⋅ − =&&θ

, T R ,


T G G , T T G

, T T Gg

R5 20 60= − &&θg

R3 1 4= − &&θg

R2 1 8= − &&θ ,

G20RG58TG20RG230G7200TT 114 +θ−=+θ+θ+= &&&&gg

T4 T2

.

Se observă că ultima din relaţiile de mai sus conduce la aceeaşi ecuaţie diferenţială a mişcării sistemului, din care se poate determina pe o altă cale legea sa de mişcare. De asemenea, se observă că efortul dinamic T nu se poate determina cu ajutorul legilor mecanicii clasice, deoarece atât corpurile cât şi toate legăturile sunt considerate nedeformabile. Cu toate acestea, în acest caz se poate considera că raportul dintre eforturile dinamice şi rămâne tot timpul mişcării cel de la echilibrul static al sistemului, care este 2. Din această condiţie rezultă:

1

T G R G T Gg

58 20− + = −&& &&θ θg

R1 12 16 , T G Gg1 20 42 R= − &&θ .

Înlocuind în relaţiile găsite && cos , cosθ ω θ ω ω= − = −25 5 0 25 502

0 0t g t0R, se determină

cele 5 eforturi dinamice cerute:

252 Vibraţii mecanice - 4

T G G1 020 10 5 5= + , cos tω , T G G2 020 12 5 5 t= + , cos ω ,

T G3 020 11 5G t5+ , cos ω T G40 25G t4 05= + cos= ω , ,

T G G t5 020 15 5cos= + ω .

Se observă că toate porţiunile de fir sunt întinse tot timpul mişcării sistemului, iar valorile eforturilor statice din aceste porţiuni sunt cele care rezultă din enunţ:

T T T T T G10 20 30 50 0 20= = = T T G40 02 40= = = = . ,

c) Firul ar putea să alunece pe periferia scripeţilor numai prin porţiunea sa înfăşurată sub unghiul la centru 2π pe toată periferia scripetelui articulat în C2 pe bara O A2 2 , sau pin cea înfăşurată sub unghiul 3π pe scripetele articulat în C1 pe bara O A1 1 . Deoarece, conform ipotezei considerate, raportul T T4 2 rămâne constant tot timpul mişcării sistemului, condiţia ca prima din cele două porţiuni ale firului să nu alunece este dată de relaţia lui Euler pentru frecarea firelor, astfel încât avem:

TT

e4

2

22= ≤ πμ , μπ

≥ =ln ,22

0 11 .

Pentru cealaltă porţiune de fir, care poate să alunece, rezultă:

TT

GG

e4

5

36535

137

max

max

= = ≤ πμ μπ

≥ =ln13

,73

0 066 , ,

TT

GG

e4

5

3155

3min

min

= = ≤ πμ , μ . π

≥ =ln ,33

0 12

Ca urmare, valoarea minimă a coeficientului de frecare dintre fir şi scripeţi pentru ca firul să nu alunece pe periferia lor este min ,0 12

v0

. μ =

4.1.2. Se consideră sistemul mecanic de corpuri omogene din fig. 4.1.2, pentru care datele sunt notate alăturat. Firele se consideră perfect flexibile şi inextensibile, iar frecările sunt neglijabile. Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării sistemului, se imprimă corpului de greutate G viteza iniţială vertical în jos în poziţia sa de echilibru static, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate G;

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 253 b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea maximă a vitezei iniţiale v0 pentru ca toate firele să fie întinse

tot timpul mişcării sistemului.

Rezolvare

a) Din figură se observă că, deoarece firele sunt perfect flexibile şi inextensibile, troliul mobil are o mişcare de rotaţie instantanee în jurul unei axe orizontale, care este perpendiculară în I pe planul vertical în care are loc mişcarea sistemului. Într-adevăr, dacă în B se desfăşoară pe tamburul de rază 3R al troliului o lungime x de fir, numai în această condiţie se înfăşoară în D şi se desfăşoară în A aceeaşi lungime x/2 de fir. De aici rezultă că, la o deplasare cu x, pe verticală, a corpului de greutate G, troliul şi scripetele fix se rotesc în acest plan vertical în jurul punctelor I, respectiv O, cu unghiurile θ θ2 3 4= = x R , iar centrul de greutate C al troliului are o deplasare pe verticală egală cu x 4 .

Ca urmare, sistemul considerat are un singur grad de libertate, iar ca parametru de poziţie se ia deplasarea x pe verticală a corpului de greutate G, măsurată din poziţia de echilibru static a sistemului, deoarece se cere legea de mişcare a acestui corp. Pentru stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării sistemului se poate folosi ecuaţia lui Lagrange de speţa a doua sub forma:

Fig. 4.1.2

d E E Ec c p∂ ∂dt x x x∂ ∂

∂

∂&⎝ ⎠⎛⎜

⎞⎟ − + = 0 .

Deoarece sistemul considerat este compus din 3 corpuri, din care unul are o

mişcare de translaţie rectilinie, iar celelalte două au mişcări de rotaţie în jurul unei axe fixe sau instantanee, pentru calculul energiei cinetice a sistemului este necesar să se calculeze momentele de inerţie J2 şi J3 ale acestor două corpuri faţă de axele lor de rotaţie. Cu datele notate pe figură, acestea devin:

J Gg

R Gg

R Gg

R Gg

R2

2 22 22

26 9

28 36= + + = , J G

gR G

gR3

224 4

28= =


,


E Gg

x J J

G x G R x G R x G x

c = + + =

= + + =

12

12

12

1 18 4 15

22 2

23 3

2

2 22

22

2

22

& & &

&& &

& .

θ θ

g g R g R g2 16 16 8

Se observă că energia cinetică a sistemului nu depinde de x. piral până în poziţia de

echilibrNotând cu Δθ deformaţia unghiulară a arcului su static a sistemului, energia potenţială devine:

( ) ( )

( ) .GR30Gx3xGR30

K21

4xG8GxK

21E

22

223p

θΔ−−⎟⎞

⎜⎛ θΔ+=

=θΔ−−−θΔ+θ=

R4 ⎠⎝

nghiular ă Δθ a arcului spiral se poate determina din condiţia Deformaţia u ă static∂ ∂E xp = 0 pentru x = 0, deci se obţine:

∂EGR x G G xp = +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− =60 1 3 15Δθ

∂x R R R4 4 4 , o5,11rad2,01

===θΔ5

.

Ca urmare, ecuaţia diferenţială a mişcării se poate scrie succesiv:

15 15 0G x G x&&+ =4 4g g

, ω 0 =gR

, ,

unde ω 0 este pulsaţia proprie a sistemulu Ţinând seama de condiţiile iniţiale date,

&&x x+ =ω 02 0

i. soluţia ultimei ecuaţii diferenţiale rezultă:

x v t= 00ωsin

0ω .

b) Pentru determinarea eforturilor dinamice din fire, se separă corpul de greutate G şi troliul prin secţionarea firelor, iar pentru fiecare corp separat se aplică principiul lui d’Alembert. Deoarece troliul are mişcare plan-paralelă, momentul rezultant al forţelor de inerţie pentru acest corp trebuie calculat faţă de centrul său de greutate C, deci avem nevoie de momentul de inerţie J2 faţă de axa paralelă cu axa

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 255 instantanee de rotaţie ce trece prin C. Acest moment de inerţie se poate calcula direct sau cu formula lui Steiner pentru momente de inerţie axiale:

′ = + = − =J G R G R J G R G R2

2 2

22 22 6 9 8 28

g g g g2 2 .

Astfel se obţin următoarele 3 ecuaţii:

T Gg

x G1 0+ − =&& , T T T G Gg

x2 3 1 8 8

40+ − − + =

&&

&&

,

T R T R T R J2 3 1 2 23 3 0⋅ − ⋅ + ⋅ − ′ =θ ,


.tsinGv19G15xG19G15T

,tsinGRv

47G

23x

gG

47G

23T

,tsinGRvGx

gGGT

00

3

00

02

00

01

ω+=−=

ωω

−=+=

ωω

+=−=

&&

&&

&&

R42g42 0ω

Dacă se scrie şi ecuaţia de momente faţă de articulaţia fixă O din principiul lui d’Alem

Valorile minime ale eforturilor dinamice din fire sunt:

bert aplicat scripetelui fix, care este separat prin secţionarea firelor, se observă că se poate obţine aceeaşi ecuaţie diferenţială a mişcării sistemului.

c)

GRv1T 0

min1 ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ω−=

0 ⎠⎝ ,

4G

Rv76T 0

min2 ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ω−=

0 ⎠⎝ ,

4G

Rv1930T 0

min3 ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ω−=

0 ⎠⎝ ,

astfel încât din condiţiile jmin

jT ≥ 0 , = 1 2 3, , , rezultă:

,

v R0 0≤ ω v R0 06

≤ ω7

, v R0 030

≤ ω19

.

Ca urmare, valoarea maximă a vitezei iniţ le pentru ca toate firele să fie întinse tot timpul mişcării este:

ia


v R0 06 0 857max ,= =ω Rg7

.

4.1.3. Un corp paralelipipedic de greutate G se poate mişca fără frecare între două ghi în fig.

daje verticale ca 4.1.3.a. Între centrul de greutate al corpului şi punctele fixe A şi B sunt montate două arcuri elicoidale identice, care au fiecare lungimea l în stare nedeformată. Se cunosc d b= 12 , b13=l ş se ştie că, sub acţiunea greutăţii sale,

ză pe verticală cu distanţa b din poziţia în care arcurile sunt nedeformate până în poziţia sa de echilibru static, notată cu O. urilor, deformaţia lor Δ l până în u verticala în pozi

i

corpul se deplasea

a) Să se det stanta elastică k a arcpoziţia de echilibru static şi unghiul α format de ele c ţia de echilibru

nstanta elastică echivalentă k în cazul micilor oscilaţii în jurul poziţiei de

e deplasează pe verticală în jos cu distanţa mică x b0 5

Fig. 4.1.3.a

ermine con

static. b) Să se reprezinte grafic caracteristica elastică a sistemului de arcuri şi să se

afle co e

echilibru static. c) Să se determine legea de mişcare a corpului, dacă la momentul iniţial al

mişcării acesta s =0 , din poziţia

Rezolvare

de echilibru static, după care este lăsat liber.

a) Notând cu C0 poziţia centrului de greutate al corpului în care arcurile sunt

nedeformate, distanţa CC0 se poate determina din datele problemei:

b5144169bdCC 220 =−=−= l ,

astfel încât rezultă: CO b b b= + =5 6 . Ca urmare, unghiul i cu

erticala şi deformaţia lor Δ l la echilibru static devin: α format de arcur

v


( ) b4164,0b1356α = =arctg d arctg2 , COd 22 −+=Δ llCO

=−= .

Constanta elastică k se deter esiv din condiţia de echilibru static:

mină succ

Gcosk2 =αΔl ,

( ) b1222,32

bG5

bG

135625

cos2k ==

−=

αΔ=

l .

b) Sistemul de arcuri din fig. 4.1.3.a este echivalent cu

n arc nelinear, care va avea constanta elastică echivalent e

c

c)

G2

37,G

u ă knumai în cazul micilor oscilaţii ale corpului în jurul poziţiei sale de echilibru static. Ca urmare, se poate folosi modelul mecani din fig. 4.1.3.b, unde este necesar să se determine caracteristica elastică a arcului nelinear. Pentru aceasta, este necesar să se exprime forţa elastică Fe , dirijată după axa Ox, aplicată corpului din partea sistemului de arcuri, în funcţie de deplasarea sa x din poziţia de echilibru static. Ţinând seama de fig. 4.1.3.a şi notând cu ΔL DE= deformaţia suplimentară corespunzătoare a arcurilor, această forţă elastică (luată cu semn opus) devine:

Fig. 4.1.3.b

( )

.1b6

b6G22,32

BDe

⎟⎠

⎜⎝−=

BDBO

b6⎞x ⎛+

xb6BOBDG22,32cosLk2F +−=βΔ=

Folosind mărimile adimensionale F Ge şi ξ = x b6 , se poate scrie:

( )( )

F ⎛ ⎞5G

e = + −+ +⎝

⎜⎜

⎠

⎟⎟32 22 1 1

4 1 2, ξ

ξ ,

caracteristica elastică a arcului nelinear, aceeaşiă grafic în fig. 4.1.3.c. Din această figură se obser r

ceea ce reprezintăarcuri, reprezentat

cu a sistemvă că arcul ne

ului de linea

se poate considera ca fiind linear numai în cazul micilor oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru static, pentru care trebuie să fie unificate condiţiile: − ≤ ≤0 1 0 1, ,ξ sau − ≤ ≤0 6 0 6, ,b x b . În acest caz, deoarece din fig. 4.1.3.a se observă că β α≅ şi ΔL x≅ cosα , se poate scrie:


F kxe = 2 cos α , deci constanta elastică echivalentă a arcului nelinear la mici oscilaţii este:

2

k k G Ge = = =2 32 22 1 0742cos , ,α .

b b30

Acelaşi rezultat se obţine dacă se dezvoltă caracte lastică nelineară F xe în serie de puteri şi se păstrează n k xe în cazul micilor oscilaţii

Deoarece x0 < 0,6b , este îndeplinită condiţia ca să avem mici oscilaţii ale n jurul poziţiei sale de echilibru static. Ca urmare, ecuaţia diferenţială a

ristica e( ) umai termenul linear

.

d)orpului îc

mişcării se poate scrie succesiv:

G x k xe&&+ = 0 , g

G x G&& ,+1 0

g bx =74 0 , , && ,x x+ =1 074 00

2ω ω 0 =gb

,

de unde, ţinând se i de condiţiile iniţiale date, rezultă legea miş

ama ş cării:

)t036,1cos(b5,0tcosxx 0n0 ω=ω= .

Fig. 4.1.3.c

Observaţia 1. Sistemul de arcuri din această problemă reprezintă o soluţie

constructivă frecvent folosită pentru izolarea vibraţiilor, deoarece prezintă 3 avantaje importante faţă de alte soluţii constructive. În primul rând, acest sistem de arcuri are o caracteristică elastică nelineară, ceea ce conduce la evitarea pericolului rezonanţei în cazul vibraţiilor forţate, chiar şi pentru o amortizare vâscoasă neglijabilă. În al doilea

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 259 rând, tehnologia de realizare a acestui sistem de arcuri este mult mai simplă decât cea pentru fabricarea altor elemente elastice cu caracteristică nelineară. Al treilea avantaj constă în faptul că se poate micşora foarte uşor constanta elastică echivalentă k e a sistemului de arcuri la mici oscilaţii prin mărirea distanţei d, prin care creşte unghiul α şi scade cosα. Acest ultim avantaj este foarte important pentru izolarea vibraţ r, deoarece aşa cum se ştie, pentru o bună izolare a vibraţiilor în regimul normal de funcţionare cu pulsaţia ω a forţei perturbatoare este necesar ca raportul

iilo

ω ω n să fie cât

mai mare faţă de 2 , deci ωn trebuie să fie cât mai mic. Observaţ 2.ia Ecuaţia diferenţială a mişcării corpului pentru oscilaţii mari

este:

( )( )

G G b⎛ ⎞6 5g

xb

b xb b x

&& ,+ + −+ +⎝

⎜⎜

⎠

⎟⎟ =32 22

66 1

144 60

2 2 ,

care se poate exprima în func orma:

ţie de variabila adimensională ξ sub f

( )( )

&& ,ξ ω ξξ

+ + −+ +

⎛⎜

⎞⎟52

⎝⎜

⎠⎟ =5 37 1 1

4 100 2

.

Se observă că această ecuaţie diferenţială este nelineară şi nu se poate integra complet prin funcţii analitice decât în cazul micilor oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru static. Totuşi, o integrală primă se poate obţine folosind substituţia:

&&& &

&& &ξ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞d d d d d 2

ξξ

ξξ ξ

= = = =⎝⎜

⎠⎟

dt d dt d d 2 ,

cu ajutorul căreia rezultă:

( ) ( )

( ) ( )

&,

, ,

ξ 5+ ωξ

ξ

ωξ

ξ

2

02

22

02 0

2

02

237

12

5 4 1

5 371

25 4 1

+− + +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=+

− + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

unde ξ0 0 6= x benergiei meca

. Acelaşi rezultat se obţine dacă se aplică teorema de conservare a nice, care este valabilă în cazul vibraţi i neamortizate pentru

sistem mecilor libere ş

orice anic. De aici se poate exprima viteza & &x b= 6 ξ ca funcţie de ξ sub forma:


( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

&x = ,

, ,

b

b

+ + − − + + − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= + + − −+ + + + +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

6 5 37 2 2 5 4 1 4 1

6 5 37 2 1 2 5

4 1 4 1

0 0 0 02 2

0 0 0

02 2

ω ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ω ξ ξ ξ ξξ ξ

, în orice moment al mişcării, trebuie să fie îndeplinită condiţia de unde rezultă că

ξ ξ≤ 0 , deci x x≤ 0 .

4.1.4. Elementul elastic al sistemului vibrant din fig.

4.1.4.a este constituit dintr-un arc elicoidal linear de constantă elastică

k, dar a cărui masă m nu se poate neglija, având o valoare apropiată de masa corpului atârnat la capătul său liber. Ţinând seama de masa arcului şi ştiind că parametrul de poziţie x se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine:

a) legea de mişcare ( )x x t= , ştiind că la momentul iniţial al mişcării se imprimă

Fig. 4.1.4.a corpului viteza iniţială v0 ca în

fig. 4.1.4.a; b) legea vibraţiei forţate a corpului, dacă

suportul arcului vibrează pe verticală după legea f r t= sinω , unde ω = 3k m ;

c) legea completă de mişcare a corpului, dacă, începutul vibraţiei suportului dula pă legea dată anterior,

Rezolvare

acesta se află în repaus în poziţia sa de echilibru static.

a) Pentru stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării în cazul vibra şi neamortizate ale

Lagrange de a d umecanice onse v tcinetice a sistemului ţinând se a şi de masa arcului, în primul rând trebuie calculată

ţiilor libere sistemului considerat se poate aplica ecuaţia lui

o a sub forma sa cea mai simplă, corespunzătoare sistemelor r a iv cu un singur grad de libertate. Pentru calculul energiei

Fig. 4.1.4.b

speţa lineare şi c e

am

4.1 - Vibra lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 261 ţii energia cinetică Ec

a a acestuia. Dacă, la un moment dat al mişcării sistemului, când viteza corpului este &x , lungimea arcului deformat este L, atunci vitezele spirelor arcului se distribuie linear pe lungimea sa, ca în fig. 4.1.4.b. Ca urmare, un element de arc de lungime , situat la distanţa y de capătul O fixat al arcului, de masă dy

( )dm m L dy= , va avea viteza ( )&x L y . Astfel se obţine:

2L

0

23

2L

0

2ac

1dyyxm1x1E&&

== ∫∫ 22 xm

6L2dmy

L2&= ,

iar energia cinetică a sistemului devine:

E E mxc ca= + =

25 2&

m m x mx+⎝

⎞⎠⎟

=1 1

2 35 8

32 2& & .

Pentru calcului energiei potenţiale a sistemului în poziţia sa în care corpul are

o deplasare x pe verticală din poziţia de echilibru static, se ţine seama de faptul că la o ţie ΔL a arcului, centrul său de greutate se deplasează cu distanţa

⎛⎜

deforma pe verticalăΔL 2 , deci lucrul mecanic al greutăţii sale mg va avea valoarea mg LΔ 2 . Ca urmare, notând cu Δ l deformaţia arcului până în poziţia de echilibru static a sistemului, energia sa potenţială devine:

( ) ( )22p k

21mgx5

2xmgxk

21E ll Δ−−−Δ+= .

Deformaţia statică Δ l a arcului se determină din condiţia ca, în poziţia de echilibru static a sistemului, energia sa potenţială să fie minimă, astfel încât rezultă:

( ) kxmg2

11xkx

Ep =−Δ+=∂∂

l , k

mg2

11=Δl .

Având calculate energia cinetică şi cea ţială a siste

ecua ţ ine ecuapoten mului, cu ajutorul ţia diferenţiei lui Lagrange de spe a a doua se obţ ţială a mişcării:

163

0mx kx&&+ = , sau &&x xn+ =ω 2 0 , unde ω n m= =0

4 4 .

ω k1 3

Impunând condiţiile i entru soluţia

niţiale date p generală:

x C t C tn n= +1 2cos sinω ω , sau x C= 1 co t C t+02

0

4 4s sinω ω

,

262 Vibraţii mecanice - 4 se determină legea de mişcare cerută

:

x v t x v t= 4 0 0

40ωωsin

nnω

, = 0 ωsin sau .

b) Aşa cum s-a arătat la rezolvarea primului punct al pr emei, faptul că se

ţine seama de masa arcului influen calcului energiei cinetice a sistemului, pentru care la masa corpului trebuie adăugată o treime din masa arcului. Faptul că

oblţează numai

greutatea arcului este distribuită pe lungimea sa nu influenţează calcului energiei potenţiale a sistemului, care se mai poate exprima sub forma E kxp =

2 2 cu x măsurat

din poziţia de echilibru static, ci numai calcului deformaţiei statice Δl. Dacă şi capătul O al arcului se deplasează, împreună cu suportul său, pe

verticală în jos cu distanţa f, atunci, la o deplasare cu x în a laşi sens din poziţia de echilibru static a celuilalt capăt al arcului, deformaţia sa va fi x

cef− . Ca urmare,

energia cinetică a sistemului rămâne cea calculată la punctul precedent, deoarece &x este viteza absolută a corpului, dar energia sa potenţială devine: ( )E k x fp = − 2 2 . Cu aceste mărimi calculate, în acest caz se obţine o nouă ecuaţie diferenţ a mişcării:

ială

( )163

0mx k x f&& + − = , sau 163

mx kx kr&& + =

tsinω ,

care, observând că ω ω= a:

0 , se mai poate exprima sub form

&& sin t016 16 (1) x x r

+ =ω ω

ω02

02

.

Legea vibraţiei forţate a corpului este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (1), care, aş ă fie de forma memcondiţia ca să fie o soluţie particulară a ecuaţiei (1), rezultă:

a cum se ştie, trebuie stsinxx ω=

brului drept. Ca urmare, impunând o0p

ωω

ω02

2 02

16−

⎛⎝⎜

⎞= r , 0 016 ⎠

⎟x x r0 15= − , ( )π+ω= tsin

15rx 0p (2) .

Op xxx +=c) Legea completă de are a corpului este mişc , unde este

soluţia particulară (2) a ecuaţiei diferenţiale (1), iar Ox este componenta tranzitorie a

. C

px

mişcării, exprimată de soluţia generală a ecuaţiei omogene a urmare, constantele de integrare A şi B din soluţia generală:


x A= cos t B t r t+ −sin sinω ωω0

04 4 15

trebuie determinate din noile condiţii iniţ sunt, conform enunţului, condiţii iniţiale nule.

0

iale, care Pentru aceasta se calculează viteza:

& sin cos cosx A t B t r t= − + −ω ω ω ω ω

ω0 0 0 0 004 15


,

4 4 4 ,

A = 0 ω ω0 0 B r=4

4 10B r− = ,

5 15 ,

deci legea completă de miş

c corpului este: are a

x t t= −⎝⎜154

4sinr ⎛ ⎞

⎠⎟0sinωω ,

unde

0

ω ω= =0 3k m .

4.1.5. Se consid ă sistemul vibrant din fig. 4.1.5, format din corpuri omogene gate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate

lăturat. Ştiind că, la momentul iniţial al mi rii, se imprimă corpului de greutate Q

iţiale v

erlea şcă

viteza iniţială v0 pe verticală în jos în poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea maximă a vitezei in 0

pentru ca firele să fie întinse tot timpul mişcării.

Răspunsuri

a) x v

n

= 0

ωωsin tn , ω n = 2

11kgG

2 ; Fig. 4.1.5

b) T G vn1 2 1=

⎛ ⎞ωωn

gtn0+

⎝⎜

⎠⎟si ,

T G vg

n t232

54

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω , n

0 ωsin T G v3

32

74

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω ;

gtn

n0 ωsin


( )v g Ggk

112

. n

067

37max = =

ω 4.1.6. Se consider n fig. 4.1.6, format din corpuri omogene

legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat. Ştiind că, la

mv pentru

c)

ă sistemul vibrant di

momentul iniţial al mişcării, se imprimă corpului de greutate Q viteza iniţială v0 pe verticală în sus în poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dina ice din fire; c) valoarea maximă a vitezei iniţiale

0

ca firele să fie întinse tot timpul mişcării.

Fig. 4.1.6 Răspunsuri

a) x v0 ωsin tn

n=ω

, ω n G= 2

23 ;

kg2

b) T G vg

tn0−⎝⎜

⎠⎟

ω sin , n1 2 1=⎛ ⎞

ω T G2 =v

gtn

n02 1 5

4−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ωωsin ,

T G vg

tnn ⎠⎟ωsin ; 3

02 1 2116

= −⎛⎝⎜

⎞ω

c) ( )v g G

n0

1621

821max = =

ω 4.1.7. Se consideră sistemul vibrant din fig. 4.1.7, format din corpuri omogene

legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat. Troliul mobil se rostogoleşte

gk

462

.

fără alunecare pe planul orizontal, alunecarea sa fiind împiedicată de un fir ce se înfăşoară sau se desfăşoară pe tamburul său de rază 2R. Neglijând frecările şi ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, sistemul este lăsat liber după ce se deplasează corpul de greutate Q pe verticală în jos cu x0 din poziţia de echilibru static a sistemului, în care arcul vertical este pretensionat cu T0 , să se determine: Fig. 4.1.7

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 265 a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire;

ionare a arcului vertical pentru

spunsuri

c) valoarea minimă a efortului T0 de pretensca firele să fie întinse tot timpul mişcării.

Ră

a)

x x tn0 cosω , ω nkg9G

=137

= ;

b) T T G k tn3 20+ sω , x1 0 037

= + co T T G kx tn2 0 03 3937

= + + cosω ,

( )T T G kx tn0 cosω ; 3 023

3 4537

= + +

c) ( )T kx G0 03 4574min = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

.1.8. Se consideră sistemul vibrant din fig. 4.1.8, format din corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat

aracterizată de coeficientul de frecare μ. Neglijând celelalte frecări şi ştiind că, la omentul iniţial al mişcării, se imprimă corpului de greutate Q viteza iniţială v0 pe

eficientului de frecare μ pentru ca troliul să

suri

.

4

. Troliul mobil se rostogoleşte fără alunecare cu tamburul său de rază R pe o platformă orizontală, alunecarea sa fiind împiedicată de existenţa frecării de alunecare, cmverticală în jos în poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire;

ntru ca firele să fie întinse totc) valoarea maximă a vitezei iniţiale v0 petimpul mişcării şi valoarea minimă a coaibă o mişcare de rostogolire fără alunecare.

Răspun

) a x v tn

n= 0

ωωsin , ω n G

=10

; kg


b) T G v n

g n1 ⎝⎜ t2 1= +

⎠⎟ωsin , 0⎛ ⎞ω T G v

g n2 4⎝⎜ tn02 1 5

= +⎛ ⎞

⎠⎟

ωωsin ;

( )v g Gc)

gk10

, n

0 5max ω4 8= = F tf n

⎞⎠⎟ωn , G v

gn= +

⎛⎝⎜4 1 19

80ω si

μω

min = + > 143

196

v

4.1.9. Se consideră sistemul vibrant din fig. 4.1.9, for ogene

legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat. Neglijând frecările şi ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, siste este lăsat lib

ă a deplasării iniţiale x pentru ca firele să fie întinse tot

0

gn .

Fig. 4.1.9 Fig. 4.1.8

mat din corpuri om

muler după ce se deplasează corpul de greutate Q pe verticală în jos cu x0 din

poziţia de echilibru static a sistemului, în care arcul elicoidal este pretensionat cu T G0 3= , să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea maxim 0

timpul mişcării.

Răspunsuri

x x tn= 0 cosω , ω nkg

=2

a) G

;

b) T G1 06 1= + ω kx tn4kx tn2

cos , T G2 0= cos+ ω ,

T G kx tn3 04 12

= + cosω ;


( )x G0

4=c)

kmax .

4.1.10. Se consider ul vibrant din fig. 4.1.10, format din corpuri

omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat. Neglijând frecările şi ştiind că, la momentul iniţial al mişc istemul este lăsat liber după ce se deplasează corpul de

plasării iniţiale

ă sistem

ării, s

greutate Q pe verticală în jos cu x0 din poziţia de echilibru static a sistemului, în care arcul elicoidal este nedeformat, să se determine:

a) legea de mişcare a corpului de greutate Q;

b) eforturile dinamice din fire;

c) valoarea maximă a dex0 pentru ca firele să fie întinse tot timpul mişcării. Fig. 4.1.10

Răspunsuri

a) x x t= cos , ωn0 ω n G22

b)

kg= ;

T G kx tn1 0411

= − cosω , 9

T G k2 4 12

= − x tn0 cosω ,

T G3 0422

= − osω

( )

kx tn3 c ;

c) x Gk0

449max = .

4.1.11. Se consider ul vibrant din fig. 4.1.11, format din corpuri

ogene leg şi inextensibile, pentru care datele t notate a ările şi ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, se

imprim petelui fix viteza unghiulară iniţială

ă sistemom ate între ele sun lăturat. Neglijând frec

prin fire perfect flexibile

ă scri ω 0 ca în figură în poziţia de echilibru static a sistemului, în care arcul elicoidal este nedeformat, să se determine:

a) legea mişcării centrului C al scripetelui mobil; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea maximă pentru ω 0 , astfel încât firele să fie întinse tot timpul

mişcării.

268 Vibraţii mecanice - 4 Răspunsuri

a) x R tn

n=ωω

ω0 sin , ω n =kgG

611

;

b) T G kR tn

n019

11

= +2 22

ωω

ωsin ,

T Gn

2 2 22kR tn

0131= +

ωω

ωn

( )

si ;

c) ωω

01119max =

GkR

n .

4.1.12 – 15. Se consider ul vibrant din 2 - 15, format din 4

corpuri omogene legate între eldatele sunt n . Neglijând frecă ile şi ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, se imprimă troliului viteza unghiulară iniţială

Fig. 4.1.11

ă sistem fig. 4.1.1e prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care

otate alăturat rω 0 ca în figură în poziţia de

echilibru static a sistemului, în care arcul elicoidal este nedeformat, să se determine: a) legea de mişcare a corpului de greutate Q; b) eforturile dinamice din fire; c) valoarea maximă pentru ω 0 , astfel încât firele să fie întinse tot timpul

mişcării.

Răspunsuri 4.1.12.

x R tn

n=ωω

ω0 sin , a) ω n = 2 2

b)

kgG71

;

T G kR tn

n078

71ωω

ωsin , 1 4= + T G kR tn

n204

71ω15

= +ω

ωsin ,

T Gn

n3 471

= −ω

ωinkR t01 ω s , T G4 4= kR tn

n025

21−

ωω

ωsin ;

( )c) ω ω014239max = =

GkR R

gkn .

1 222, G


a)

4.1.13.

x R

Fig. 4.1.12 Fig. 4.1.13

ω nkgt=

3 0ωωsin ,

nn2 ω G2

= ;

b) T G kRn

n10 t3

ωsin , ω3= − T G kR

nn2

0

4 ωt−

ωω

5=

2ωsin ,

T G kR t05 ω sin , n

n3 2 4 ω5

= − ω T G= kR tn

n405

294

−ωω

ωsin ;

c) ( )ω ω0109max = =

GkR R kn .

0 786, Gg

Fig. 4.1.14 Fig. 4.1.15


4.1.14.

a) x R t=3 0ω

ωsin , n

n2 ωω n

kg= ;

b)

G3

T G kRn

n105= −

ωω

ωsin t , T G kR t09 5= −

nn2 2 3

ωω

ωsin ,

T G kR n309 4

= −ω

ωsin tn2 3 ω

, T G kR tn

n409

253

= −ωω

ωsin ;

c) ( )ω ω02 7 1 56

max

, ,= =

G Ggn .

kR R k 4.1.15.

)

ω nkg

=1x R ω tn=

20

ωωsin , a

G2 2 ;

n

b) T G kR tn

nsin , 02 38

= +ω

ωω

T G2 3= , T G kRn

n303 1

8= + tω

ωωsin1 ,

T G47

=2

, T G tn

n57 1

= − kR 0ωω2 2

ωsin ;

c)

( )ω ω016 1 886

max

,= =

G Gg3kR Rn .

O placă plană omogenă de masă m este articulată în punctul fix O rintr-o articulaţie cilindrică fără frecare, având fusul orizontal. Momentul de inerţie

sic al plăcii fa otaţie este ţa de la centrul său de greutate C la de rotaţie fusul şi placă este montat un arc spiral cu

onstanta elastică la torsiune K, astfel încât, în poziţia de echilibru static a plăcii, ul dintre dreapta OC şi verticală (fig. 4.1.16). Ştiind că, la momentul iniţial

al mişcării, se roteşte placa cu un unghi

k

4.1.16.

pma ţă de axa de r J, iar distanaxa este d. Între articulaţiei cunghi este α

θ0 foarte mic din poziţia sa de echilibru static, după care aceasta este lăsată liber, să se determine:

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 271 a) ecuaţia diferen ăcii în jurul pozi

ilibru static şi deformaţială a micilor oscilaţii ale pl ţiei sale de

ech ţia statică unghiulară θst a a

c) pulsaţia p rticulare

rcului spiral;b) pulsaţia proprie şi legea de mişcare a

roprie în cazurile pa

plăcii;

0 şi α = 2 . α = π

Răspunsuri a) ( )cosmgdKJ θ⋅α++θ&& 0= ,

θα

stmgd

= −sin

K ;

b) ωα

nK mgd

J=

+ cos ,

θ θ ω= 0 cos nt ;

c) α = 0 , ω nK mgd

J=

+ ;

απ

=2

, ω n = .

ă corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi in pentru care datele sunt notate alăturat. Se neglijează frecarea în articulaţia )OC R= = şi se consideră că sistemul efectuează mici oscilaţii în j de ech static, în care bara este orizontal

ţ işcării, în pozisistemului se imprimă barei viteza unghiulară iniţialmică

K J

Fig. 4.1.16

4.1.17. Se consideră sistemul vibrant din fig. 4.1.17, format din dou

extensibile, cilindrică O (AOurul poziţiei sale ilibru

ă şi arcurile elicoidale sunt nedeformate. Ştiind că, la

ţia de echilibru static a momentul ini ial al m

ă foarte ω 0 n ră, să se

determine: a)

ca î figu

ecuaţia diferenţială a ilor osci mului şi

ţia st ară θst a arcului spiral;

b) legea de mişcare

mic laţii ale sistedeforma atică unghiul

( )θ θ= t şi valorile vitezei unghiulare iniţiale ω 0 pentru care sistemul are oscilaţii foarte

Fig. 4.1.17

272 Vibraţii mecanice - 4 mici (amplitudinea θ θ0 2≤ st );

nt întinse tot c) eforturile dinamice din fire şi să se verifice că acestea sutimpul mişcării.

Răspunsuri

a) 16 1600 0Rθ θ+ = , 2Gg

R G&& θstGRGR

= −7

600

b)

rad= − = − °0 012 0 7, , ;

θωω

ω= 0

nntsin , ω n

gR

= 10 , ω ≤

c)

ω0 0 006 0 06=, ,ngR

;

T G tn

n101 50= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ωω

ωsin , T G tn01 150−

⎛⎝⎜

⎞⎟

ωω

ωsin , n ⎠2 =

0G1,0 >= .

G)9,01(1501GT max0min2 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−=

rpuri între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele

unt notate alăturat. Se neglijează frecarea din articulaţia scripetelui fix şi cea de rostogolire a troliului, dar frecarea de alunecare a tamburului de rază 2R al troliului pe

ă. Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, sistemul ste lăsat liber după ce se deplasează corpul de greutate 12G pe verticală în jos cu

x R0 0= , din poziţia de echilibru static, în care arcul spiral este nedeformat, să se determine:

nω

4.1.18. Se consideră sistemul vibrant din fig. 4.1.18.a, format din 3 coomogene legate s

Fig. 4.1.18.a) Fig. 4.1.18.b)

planul orizontal nu este neglijabile

3

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 273 a) ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului, pulsaţia sa proprie pentru

vibraţiile sale fără amortizare, deformaţia statică Δ l a arcului elicoidal până la echilibrul static şi deplasarea corespunzătoare y a corpului de greutate 12G; st

b) diagrama mişcării corpului de greutate 12G şi numărul n de semioscilaţii până la oprire;

c) eforturile dinamice din fire şi să se verifice că acestea sunt întinse tot timpul mişcării.

Răspunsuri

a) && &x x R signxn n+ = −ω ω2 2

40 , ω n

gR

= , RΔ = , ystlR

=3

;

b) n = 6 ; diagrama mi prezeşcării este re ntată în fig. 4.1.18.b;

c) T G GR

x tj n1 012 12= + cosω , ( )T G G GR

x tjj n2 012 0 1 1 9= + − +, cosω ,

( )T3 8 1= G G G x tj41 1 7+ − +, cosω jR j n0 , = 1 6, ... ,

între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele ă frecările şi se iţ ului ile din fire au aceeaşi valoare

statică T0 = 6G. La un moment dat suportul inferior al arcului elicoidal începe să vibreze pe

t0

;

se observă că toate eforturile sunt pozitive, chiar şi în prima semioscilaţie, în care x R01 0 275= , .

4.1.19. Se consideră sistemul vibrant din fig.4.1.19, format din corpuri omogene legate

sunt notate al turat. Se neglijeazăia de echilibru static a sistemştie că în poz

toate efortur

verticală după legea sinrf ω= , unde

R/g0 =ω . Să se determine: ţială a mişcării ie şi deformaţiile

statice Δx şi Δθ ale celor 2 arcuri; b) legea de mişcare x = x(t) corespunzătoare vibraţiei forţate a centrului C al scripetelui mobil;

a) ecuaţia diferensistemului, pulsaţia sa propr

Fig. 4.1.19

274 Vibraţii mecanice - 4 ac

c) eforturile dinamice din fire şi valoarea maximă a amplitudinii r pentru ca stea să fie întinse tot tim rii.

e pul mişcă

Răspunsuri

, 2Rg2 , 0n ω==ω a) tsin

RrG12x

RG60x

gG15 0ω=+&&

; 55,9rad61- ,

6Rx o−==θΔ=Δ

tsin15

r4x 0ω= ; b)

c) , tsinRrG

4522G6 0ω+= T , tsin

RrG

452G6T 201 ω+=

R12R135max ≅= .

11r ; tsin

RrG

4514G6T 03 ω+=

4.1.20. Se consideră sistemuomogene legate între ele prin fire perf u care datele sunt notate alăturat. Se neglijează frec şi s

i bara AB articulată în

in fire au

ă T0 = 2G. Între cele are este montat un arc spiral de

constantă elastică la torsiune K. La un moment dat bara OD începe să vibreze după legea t2sin 00 ω

l vibrant din fig.4.1.20, format din corpuri ect flexibile şi inextensibile, pentrările e ştie că, în poziţia de echilibru static a

sistemului, în care bara OD este fixată în poziţie orizontală şacelaşi punct fix O (AO = OC = R), se află în poziţie verticală, eforturile d

aceeaşi valoare staticdouă b

, unde ϕ = ϕ

R/g0 =ω . Să se determine: a) ecuaţia diferenţială a micilor oscilaţii forţate ale sistemului, pulsaţia sa proprie şi deformaţiile statice θst şi xst ale celor două arcuri; b) legile de mişcare θ = θ(t) şi x = x(t) corespunz toare vibraţiei forţate a barei AB, respectiv a centrului C1 al

Fig. 4.1.20 ă

4.1 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate 275 scripetelui mobil, precum şi valoarea am φ0 pentru ca bara AB să efectueze

ici oscilaţii de rotaţie cu amplitudinea 72/plitudinii

m θ = π0 ; c) eforturile dinamice din fire şi să se verifice dacă ele sunt întinse tot timpul mişcării.

suriRăspun

a) t2 0ω , sinGR25RgG25 2 =θ+θ&& GR21 0ϕ 0n R

gω==ω ,

ost 11rad

214

=−=θ , R2stx = .

b) ( )π+ωϕ=θ t2sin257

00 , ( π+ωϕ= t2sin25R7x 0

) , 0

o0 9rad 156,0

50425

==π

=ϕ ;

c) , ( t2sin5,32GT 01 ωϕ−= ) ( )t2sin46,52G 00T2 = ωϕ+0 ,

( )t2sin1,22GT 003 ωϕ+= , ( )t2sin14,02GT 004 ωϕ−= ,

1,1T , 0G 454,1T

. 0G 978,1T , 0G 67,1Tmin2min1

>=>=, 0G 5

min4min3

>=>=

4.1.21. Sistemul vibrant di ru turat,

bare omogene identice, fiecare de greutate 3G şi lungime 4ℓ, articulate la mijloacele lor în punctele fixe O1 şi O2 prin articulaţii cilindrice fără frecare. Se cunosc

==

n fig.4.1.21, pent care datele sunt notate alăeste format din 2

= 112211 BEDADA l== 2 şi se ştie că în

poziţia de echilibru static a sistemului, în care barele sunt orizontale, arcul elicoidal cu

2BE

Fig. 4.1.21

276 Vibraţii mecanice - 4 suportul fixat este nedeformat şi efortul din firul inextensibil are valoarea statică T0 =

. dat s i elicoidal începe să vibreze pe verticală după legea , unde 4G uluLa un moment

t2sinrf 0ω=uportul arc

l/g0 =ω . Să

diferenţială a micilor oscilaţii ale sistemului în jurul poziţiei sale de chili aţia sa proprie fără amortizare, factorul de amortizare la torsiune şi

deforma are ale arcurilor spirale ; şcărilor corespunzătoare vibraţiilor forţate ale barelor şi valoarea

m iei suportului pentru ca amplitudinea vibraţiei forţate a barei 1B1

se determine: a) ecuaţia

bru static, pulsţiile statice unghiulb) legile mi

plitudinii r a vibra să

e

a ţA fie 36/0 π=θ ; amic din fir.

c) efortul din

Răspunsuri

a) t2singG

25

012

0 ω+θω+ &l , Gr2G5 1 =θlgG5 1

2θ&&l 0n =l

, g

ω=ω

40=ε , rad 2st 1 =θ ,

ωst 2 rad 2−=θ ;

( )ψ−ω=θ t2sinrb)

25 01l

, 10 ( )ψ−ω=θ t2sin

50 02l

, r10

23

11a π⎞⎛ arctg3

rctg >−π=⎟⎠

⎜⎝−=ψ ; ll 7,0

72r == ;

105 π

c) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ−ω+ψ−ω

π+= t2sin3t2cos

35

36GG4T 00 .

4.2 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate 277

4.2. Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate

4.2.1. Se consideră sistemul vibrant din fig.4.2.1, format din corpuri omogene

legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care datele sunt notate alăturat. Se neglijează frecările în articulaţii, iar partametrii de poziţie x1 şi x2 se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, x2 fiind deplasarea pe verticală a

centrului de greutate C al scripetelui mobil. Ştiind că, la momentul iniţial al mişcării, în poziţia de echilibru static a sistemului se imprimă corpului de masă m viteza iniţială

Fig. 4.2.1

mRv0 =

)t(x x, ) 22

k pe verticală în jos, să se

determine: a) energia cinetică a sistemului, energia sa potenţială şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sub formă matriceală; b) pulsaţiile proprii, vectorii proprii normaţi şi matricea modală normată; c) legile de mişcare

t(xx 11 == şi forma lor matriceală.

Rezolvare

a) Din fig.4.2.1 se observă imediat relaţiile cinematice:

Rx2 ,

R2x 1

131

1 =θ=θ=θ ,

R

xxIBx

ICx

IAx 2112A

2−

====θ ,

din care rezultă:


12A122 xx2 x, x2xRR-ICIA , RxIC −=

2121 xxxx −−

===−

.

Cu ajutorul acestor relaţii se pot calcula energia cinetică a sistemului şi energia sa potenţială:

( ) ( ) , xxm1xmxm5xxmR21

xm221

Rx

2mR2

21

R4x

2mR20

2mR4

21xm

21E

221

22

21

221

2

222

21

2

2

21

2221c

&&&&&&

&&&

&

−++=−

+

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

22R22 2

( )

( )22122

21

23

222

2A1

21p

x4x3k1kxkx9

kR1721kx2

21xRk4

21kx

21E

−++=

=θ++−θ+=

2

, 0kx18kx12xm3xm- 212 =+−+

Folosind ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua pentru sisteme lineare şi conservative, se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcării:

, 0kx12kx27xmxm6 2121 =−+− &&&&

1 &&&&

care, cu notaţia m

⎭⎩⎭⎩⎦⎣⎭⎩⎦⎣ 22

ϕ+μ= ptcosx

k0 =ω , se pot exprima sub forma matriceală:

⎬⎫

⎨⎧

=⎬⎫

⎨⎧

⎥⎤

⎢⎡

ω+⎬⎫

⎨⎧

⎥⎤

⎢⎡−

−00

xx

1812-12-27

xx

3116 12

01

&&

&& .

b) Ştiind că această ecuaţie diferenţială matriceală are soluţii armonice de

forma , unde {μ} este un vector propriu normat, se ajunge la ecuaţia matriceală:

{ } { } ( )

( )

( ) ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

μ

μ

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−ω−ω−

−ω−−ω

0

0

p318p12

p12p627 1

2222

220

220

⎭⎩⎭⎩⎥⎦⎢⎣ 200

.

4.2 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate 279 Pentru a avea soluţii diferite de soluţia banală, determinantul acestui sistem de

2 ecuaţii lineare şi omogene trebuie să fie nul, astfel încât se obţine ecuaţia caracteristică: 17 , 0342p165p 00

4224 =ω+ω− din care se determină cele două pulsaţii proprii:

002001 59,2 114p , 732,1 3p ω=ω=ω=ω=17

.

Deoarece, pentru fiecare din cele două pulsaţii proprii, cele două ecuaţii algebrice sunt linear dependente, iar vectorii proprii trebuie să fie normaţi, se consideră μ1r = 1 pentru r = 1 şi r = 2, iar μ2r rezultă din relaţiile:

22

2r

20

22

2r

20

r2p12p627 −ω

=−ω

=μr0r0 p318p12 −ω−ω

⎦⎣ −⎭⎩−⎭⎩ 5,215,21

⎭⎩⎦⎣⎭⎩ 22222

⎭⎩⎭⎩ 00

.

Se obţin μ1r = 1 şi μ2r = -5/2 , deci cei doi vectori proprii normaţi şi matricea modală normată corespunzătoare devin:

. { } { } [ ]⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=μ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=μ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=μ11

, 1

, 1

21

c) Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale matriceale se poate exprima sub forma {x} = [μ] {ξ} în funcţie de coordonatele normale, sau sub forma matriceală:

⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

+

+

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−=

⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

tpsinBtpcosA

tpsinBtpcosA

5,21

11

x

x 11111 ,

în care constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale:

. { } { }⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧ ω

=⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

==R

x , 0

x , 0t0

00 &

Se obţin valorile:


R11,0RB , R4,0RB , 0AA 02

0121 =

p5,3p4,1 21

ω==

ω=== ,

cu care se pot scrie legile de mişcare cerute şi forma lor matriceală:

t59,2sinR11,0t732,1sinR4,0x 001 ω+ω= ,

t59,2sin275,0t732,1sinR4,0x 002 ω−ω= ,

. ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

ω

ω

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−=

⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

t 2,59sin R 0,11

t 1,732sin R 0,4

5,21

11

x

x 01

⎭⎩⎦⎣⎭⎩ 02

Observaţie: Aici nu se mai pune problema de a verifica dacă firele sunt întinse tot timpul mişcării, deoarece ele pot fi pretensionate cu ajutorul arcurilor elicoidale de constante elastice k şi 2k.

6/= π 4.2.2. Pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală se rostogoleşte fără alunecare un disc circular omogen de rază R şi masă 6m. În centrul O al discului este articulată o bară omogenă OA de masă 3m şi lungime 4R printr-o articulaţie fără frecare, iar între fusul articulaţiei şi un perete fix este montat un arc elicoidal paralel cu planul înclinat de constantă elastică k = 9 mg/2R. La momentul

iniţial al mişcării, se deplasează centrul discului cu x0 paralel cu planul înclinat în jos, din poziţia de echilibrul static a sistemului, bara fiind menţinută în poziţie verticală, după care sistemul este lăsat liber.

Fig. 4.2.2

Să se determine: a) energia cinetică, energia potenţială şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sistemului pentru oscilaţii mari, în funcţie de parametrii de poziţie x1 şi x2 = 2Rθ, măsuraţi din poziţia de echilibru static; b) energia cinetică, energia potenţială, ecuaţiile

4.2 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate 281 diferenţiale ale mişcării, pulsaţiile proprii şi vectorii proprii pentru sistem, în cazul micilor oscilaţii în jurul poziţiei sale de echilibru static; c) legile de mişcare, forma lor matriceală şi valorile deplasării iniţiale x0 pentru ca sistemul să efectueze mici oscilaţii ( )o≤θ0 5 .

Rezolvare a) Se observă că cele 2 corpuri ale sistemului au fiecare câte o mişcare plană în planul vertical din fig.4.2.2. Pentru disc se cunoaşte poziţia centrului instantaneu de rotaţie I, deoarece, conform enunţului, acesta se rostogoleşte fără să alunece pe planul înclinat, deci se obţine . Pentru bară nu este necesar să se determine poziţia

centrului instantaneu de rotaţie, deoarece viteza sa unghiulară este θ , iar viteza centrului său de greutate C se poate determina pe baza formulei generale de distribuţie a vitezelor unui corp rigid, astfel încât rezultă:

R/x11 && =θR2/x2&=&

⎟⎞

⎜⎛ π

+++=ω+=xcosxx2xxV , OCxVV 2

2122

21c20c &&&&

rrr

⎠⎝ 6R2 .

Cu aceste relaţii cinematice se poate calcula energia cinetică a sistemului:

. xcosxxm3xm2xm6xR16m31

6R2xcosxx2xxm3

21

Rx

2mR6

21xm6

21E

221

22

212

22

2

221

22

212

21

221c

⎟⎞

⎜⎛ π

+++=⋅

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+++++=

&&&&&

&&&&&

&

6R2R4122 ⎠⎝

Notând cu xst deformaţia arcului până în poziţia de echilibru static a sistemului, energia sa potenţială devine:

( ) 2st

21

2st1p kx1xcos1R2mg3sinmgx9xxk1E −⎟

⎞⎜⎛ −⋅+

π−+=

2R262 ⎠⎝ .

Deformaţia statică xst se determină din condiţia ca în poziţia de echilibru static a sistemului, pentru care x1 = x2 = 0, energia sa potenţială să fie minimă, deci rezultă:

( )R2xR22x 21 ∂

xsin mg3E

, R x, xmg9mg9xxkE 2p

st1st1p =

∂==−+=

∂∂

282 Vibraţii mecanice - 4 Pentru stabilirea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării, se folosesc ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua sub formă:

2 1, j , 0xE

xE

xE

dtd pcc ==

∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∂∂& jjj ⎠⎝

cu ajutorul cărora rezultă:

0xmg9xsinxm3xcosxm3xm12 122

22

21 =+⎟⎞

⎜⎛ π

+−⎟⎞

⎜⎛ π

++ &&&&&R26R2R26R2 ⎠⎝⎠⎝

,

0xsinmg3xm4xcosxm3 22

21 =++⎟

⎞⎜⎛ π

+ &&&&R26R2 ⎠⎝

x , x &&

Se observă că, în cazul oscilaţiilor mari ale sistemului, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sale sunt profund neliniare. O integrală primă a acestor ecuaţii diferenţiale se poate obţine aplicând teorema conservării energiei mecanice, dar aceasta nu prezintă interes pentru sisteme cu mai multe grade de libertate. b) În cazul micilor oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru static a sistemului, energia sa cinetică şi cea potenţială se exprimă ca forme pătratice şi omogene de vitezele generalizate , respectiv de coordonatele generalizate x1 , x2 , deci rezultă:

21

2122

2121

22

21c xxm33xm2xm6

2&&

π6

cosxxm3xm2xm6E &&&&&& ++=++= ,

22

21

222

1p xmg3xmg9x2mgR6xmg91E +=⎟⎞

⎜⎛⋅+=

R4R4R4R22 ⎠⎝

Ca urmare, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării devin:

0xR2

xm2

xm12 121 =++ &&&&mg933

,

0xmg3xm4xm33221 =++ &&&&

R22 ,

care, folosind notaţia Rg

0 =ω , se pot exprima sub forma matriceală:

4.2 - Vibra 283 ţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ω+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

0

0

x

x

30

029

x

x

4332

3312

2

120

2

1

&&

&&

⎦⎣⎦⎣ 22

.

Acelaşi rezultat se obţine dacă se linearizează direct ecuaţiile diferenţiale nelineare ale mişcării, stabilite în cazul oscilaţiilor mari ale sistemului. Pulsaţiile proprii ale sistemului se determină din ecuaţia caracteristică:

04

27p36p4

165

p43p33

p2

33p1229

40

220

4

220

2

2220

=ω+ω−=−ω−

−−ω

22

,

din care rezultă:

,389p 20

22,1

mω=

165 ,522,03p 001 ω=ω=

11 000 775,03p ω=ω=

5

Cei doi vectori proprii, care trebuie să fie normaţi, se determină din ecuaţia matriceală:

2,... 1, r , 0

01

p43p33

p2

33p1229

2r2r

20

2r

2r

2r

20

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

μ⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−ω−

−−ω

22 ⎦⎣

,

din care rezultă 321 =μ şi 322 −=μ . Ca urmare, vectorii proprii normaţi şi matricea metodă normată corespunzătoare devin:

{ } { } [ ]⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=μ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=μ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=μ11

, 1

, 1

21

⎦⎣ −⎭⎩−⎭⎩ 3333 .

c) Soluţia generală a ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării în cazul micilor oscilaţii se poate exprima sub forma matriceală:


{ } [ ]{ }⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

+

+

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−=ξμ=

tpsinBtpcosA

tpsinBtpcosA

33

11 x

1111

⎭⎩⎦⎣ 2222

⎭⎩⎭⎩ 00

,

în care constantele de integrare se determină din condiţiile iniţiale:

. { } { }⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

=⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

==0

x , x

x , 0t 0

0

0 &

Se obţin valorile:

0BB , xAA 210

21 ====2

,

cu ajutorul cărora se pot exprima legile de mişcare cerute, precum şi forma lor matriceală:

t3cosxt3cosxx 00

00

1 ω+ω=52112

,

t3cosx3t3cosx3x 00002 ω−ω=52112

,

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

ω

ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

t3cosx

t113cos

2x

33

11

x

x

00

00

2

1

⎭⎩ 52

.

Pentru a determina valorile cerute în enunţ ale deplasării iniţiale x0 > 0, este necesar să se exprime în funcţie de x0 amplitudinea θ0 a oscilaţiilor mici de rotaţie ale barei. Pentru aceasta se calculează:


, t113

53cost

113

53cos22

R4x3

t53cost

113cos

R4x3

R2x

000

0002

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ψ+ω⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−ω⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω==θ

⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝

unde s-a folosit formula de calcul a amplitudinii mişcării rezultante la compunerea a două vibraţii armonice de pulsaţii diferite, astfel încât rezultă:

R 1,0R3 x, x30

00 =

π≤

π≤=θ

5436R2.

Observaţie: Alunecarea discului pe planul înclinat poate fi împiedicată numai de forţa de frecare de alunecare corespunzătoare, care se poate determina aplicând principiul lui d’Alembert pentru întregul sistem. 4.2.3. În fig.4.2.3. este reprezentat modelul de translaţie al unui sistem vibrant cu 3 grade de libertate, pentru care se dau masele, constantele elastice şi coeficienţii de

amortizare vâscoasă, pentru care există relaţiile:

mk0,1 c , mk

0 ==ω

tsinrf 0

.

Parametrii de poziţie din figură se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, în care suportul din dreapta este fixat şi

arcurile elicoidale sunt pretensionate cu acelaşi efort static. Să se determine:

Fig. 4.2.3

a) pulsaţiile proprii, vectorii proprii şi matricea modală normată pentru sistemul fără amortizare; b) legile de mişcare şi forma lor martriceală pentru vibraţiile libere cu amortizaree vâscoasă ale sistemului, dacă, la momentul iniţial al mişcării, în poziţia de echilibru static se imprimă corpului de masă 2m viteza iniţială v0 pe orizontală spre dreapta; c) legile de mişcare forţată şi forma lor matriceală pentru vibraţiile forţate cu amortizare vâscoasă ale sistemului, dacă, la un moment dat, suportul din dreapta începe să vibreze pe orizontală după legea ω= .

Rezolvare

286 Vibraţii mecanice - 4 a) Folosind notaţiile matriceale cunoscute, ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilor libere şi neamortizate ale sistemului se exprimă prin forma matriceală: [ ]{ } [ ]{ } { }0xkxm =+&&

⎦⎣⎦⎣

⎦⎣⎦⎣

, unde matricele de inerţie şi de rigiditate sunt:

[ ] ,

100

020

001

m

m00

0m20

00m

m

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=

[ ] 520242

025k

k5k20k2k4k2

0k2k5k

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−= .

Pulsaţiile proprii ale sistemului se determină din ecuaţia caracteristică:

[ ] [ ]

( )( )mpk5k20k2mp2k4k2

0k2mpk5mpk

22422

2

2

2

2 =−−−−−

−−=−

0k6mkp7pm mpk52 =+−−=

din care rezultă: 030201 6p , 5p , p ω=ω=ω= . Vectorii proprii normaţi se determină din ecuaţia matriceală:

3, 2, 1, r ,

0

0

01

mpk5k20

k2mp2k4k2

0k2mpk5

r2

2

2r

2r

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

μ

μ=

−−

−−−

−−

r3r ⎭⎩⎭⎩

astfel încât aceştia şi matricea modală normată devin:


{ } { } { } [ ] . 11-10,5-02111

, 1

5,01

, 1

01

, 121

1321

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=μ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=μ

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

−=μ

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=μ

⎦⎣⎭⎩⎭⎩⎭⎩

⎭⎩⎭⎩⎦⎣ 3

mk

⎦⎣

b) Ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilor libere cu amortizare vâscoasă ale sistemului se exprimă sub forma lor matriceală:

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−

−−

−

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

0

x

x

x

k5k20

k2k4k2

0k2k5

x

x

x

c5c20

c2c4c2

0c2c5

x

x

x

m00

0m20

00m

2

1

3

2

1

3

2

1

&

&

&

&&

&&

&&

de unde se observă că sistemul are amortizare proporţională, deoarece elementele matricei de amortizare [c] sunt proporţionale cu cele ale matricei de rigiditate [k]. Ca urmare, trecând la coordonatele normale {ξ} cu transformarea de coordonate

, unde [μ] este matricea modală normată pentru sistemul fără amortizare, se ajunge la matricele modale de inerţie, de amortizare, respectiv de rigiditate, care rezultă toate diagonale, astfel încât ecuaţiile diferenţiale în coordonate normale se decuplează. Într-adevăr, dacă, după efectuarea transformării de coordonate, se înmulţeşte la stânga ecuaţia matriceală cu [μ]T şi se înlocuiesc şi

, atunci se obţin matricele modale:

{ } [ ]{ }ξμ=x

2ω=0m1,0c ω=

0

[ ] [ ] [ ][ ]

, 5,200

0200010

m

11-10,5-02111

m0002m000m

15,01101

121mM T

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=μμ=


[ ] [ ] [ ][ ]

, 5,100

010001

m

11-10,5-02111

5c2c-02c-4c2c-02c-5c

15,01101

121cC

0

T

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ω=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=μμ=

⎦⎣

⎦⎣

, 0155,15,2 30303

[ ] [ ] [ ][ ]

, 150001000010

m

11-10,5-02111

5k2k-02k-4k2k-02k-5k

15,01101

121kK

20

T

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ω=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=μμ=

Ecuaţiile diferenţiale în coordonate normale devin:

, 0102

, 01010

2

220202

120101

=ξω+ξω+ξ

=ξω+ξω+ξ

=ξω+ξω+ξ

&&&

&&&

&&&

astfel încât soluţia generală pentru vibraţiile libere cu amortizare vâscoasă ale sistemului se poate exprima sub forma matriceală:

( )( )( )⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

+++

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

σ

σ

σ

th sinBth cosAeth sinBth cosAe

th sinBth cosAe

1115,002

111

xxx

t-2222

t-1111

t-

2

1

3

2

1

⎭⎩⎦⎣⎭⎩ 33333

în care factorii de amortizare şi pseudopulsaţiile vibraţiilor amortizate rezultă:

. 431,2ph , 222,2ph , 999,0ph 033302220111

, 3,0 , 25,0 , 05,0222222

030201

ω=σ−=ω=σ−=ω=σ−=

ω=σω=σω=σ

4.2 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate 289 Constantele de integrare se determină din condi

{ } { } ,

0

v

0

x ,

0

0

0

x , 0t 0000

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

== &

ţiile iniţiale:

⎭⎩⎭⎩din care se obţin:

. v16,0v4,0B , v4,0v2B , 0BAAA 00

300

12321 =−======= hh5 31

Legile de mişcare cerute şi forma lor matriceală devin:

, t43,2sinev16,0tsinev4,0x 00 ω−ω=

0 ⎭nde s-au aproximat h1 = ω0 şi h3 =2,43 ω0 .

forţate cu amortizare vâscoasă ale istem

3 ⎭⎩⎭⎩⎦⎣

, t43,2sinev08,0tsinev8,0x

, t43,2sinev16,0tsinev4,0x

t3,0t05,0

0t3,0

00t05,0

02

0t3,0

00t05,0

01

00

00

ω+ω=

ω−ω=

ω−ω−

ω−ω−

ω−ω−

00003

,

t43,2sine

0

t43,2sine0,4v

5,002

111

x

x

t05,0

0t05,0

0

2

1

0

0

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎪⎨

⎧

ω

ω

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−

−=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

ω−

ω−

0,16v-111x 03 ⎪⎩⎦⎣⎭⎩u c) Ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilors ului se exprimă sub forma matriceală:

,

)t(F

0

0

x

x

x

k5k20

k2k4k2

0k2k5

x

x

x

c5c20

c2c4c2

0c2c5

x

x

x

m00

0m20

00m

2

1

3

2

1

3

2

1

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−

−−

−

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

&

&

&

&&

&&

&&

290 Vibraţii mecanice - 4 unde forţa perturbatoare transmisă prin arc şi amortizor, datorită vibraţiei suportului lor comun, este

( )

tcosrm3,0tsinrm3fc3kf3)t(F

2

0200

20 =ωω+ωω=+= &

. 0,1 arctg , rm3F , tsinF 0000 =ϕω=ϕ+ω=

Sistemul având amortizare proporţională, se pot determina mai uşor atât vibraţiile sale libere, cât şi cele forţate, trecând la coordonate normale cu transformarea de coordonate { } [ ]{ }ξμ= x

⎭⎩⎭⎩⎦⎣

. Forţele perturbatoare modale se obţin sub forma matriceală:

( ){ } [ ] ( ){ }( )

( ) , tsin11-1

rm3tF

00

15,01101

121tFtP 0

20

T ϕ+ω⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧ω=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−=μ=

astfel încât ecuaţiile diferenţiale în coordonate normale devin:

( )( )( )

, tsinr3102

, tsinr31010

22

0202

20202

0201

20101

ϕ+ωω=ξω+ξω+ξ

ϕ+ωω−=ξω+ξω+ξ

ϕ+ωω=ξω+ξω+ξ

&&&

&&&

&&&

. tsinr3155,15,2 0030303

Soluţiile particulare ale acestor ecuaţii diferenţiale vor fi de forma:

( )( )( ) , tsin

, tsin

, tsin

2002p2

1001p1

ψ−ϕ+ωξ=ξ

ψ+ϕ+ωξ=ξ

ψ−ϕ+ωξ=ξ

3003p3

iar din condiţia ca acestea să verifice ecuaţiile diferenţiale, rezultă:

. 12,0arctg ,r 238,0r6343 ; 125,0arctg

,r 384,0r63

653 ; 2

, r3

3032

02101

=ψ==ξ=ψ

−=−=ξπ

=ψ=ξ

317

4.2 - Vibraţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate 291 Ca urmare, legile de mişcare forţată se pot exprima uşor sub forma lor

matriceală:

{ } [ ]{ }( )

( )( )

, tsinr238,0tsinr384,0

t3rcos-

1115,002

111 x 20

0

pp⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

ψ+ϕ+ωψ+ϕ+ω−ϕ+ω

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−=ξμ=

30 ⎭⎩⎦⎣

de unde rezultă imediat legile de mişcare pentru fiecare corp al modelului de translaţie considerat. Observaţie: Amplitudinea cea mai mare a vibraţiilor forţate ale sistemului se obţine pentru primul mod natural de vibraţie ξ1 , deoarece pulsaţia ω0 a forţei perturbatoare este egală cu pulsaţia fundamentală p1 a sistemului fără amortizare, iar factorii de amortizare sunt mult mai mici decât pulsaţiile proprii corespunzătoare.

4.2.4. – 4.2.14. Se consideră sistemul vibrant cu două grade de libertate din fig.4.2.4. – 4.2.14, format din corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile, pentru care se cunosc datele notate alăturat şi m/k=0ω . Neglijând frecările şi ştiind că parametrii de poziţie independenţi din figură se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine: a) energia cinetică a sistemului, energia sa potenţială şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sub formă matriceală ; b) pulsaţiile proprii şi vectorii proprii ;

c) soluţia generală a ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sub formă matriceală.

Fig. 4.2.4

Fig. 4.2.5

Fig. 4.2.6


Fig. 4.2.9

Fig. 4.2.8

Fig. 4.2.7

Fig. 4.2.11

Fig. 4.2.12

Fig. 4.2.10


Fig. 4.2.13

Fig. 4.2.14

Rezultatele sunt date în tabelul următor, la punctul a) fiind dată numai forma matriceală a ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sistemului.

4.2 - Vi 295 braţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate

298 Vibraţii mecanice - 4 4.2.15. – 4.2.25. Se consideră sistemul vibrant cu două grade de libertate din fig.4.2.15 – 4.2.25, format din corpuri omogene legate între ele prin legături ideale, pentru care se cunosc datele notate alăturat, între aceste date existând relaţiile notate pe figură. Ştiind că parametrii de poziţie independenţi din figură se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, să se determine: a) energia cinetică a sistemului, energia sa potenţială şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în cazul oscilaţiilor mari în jurul poziţiei sale de echilibru static ; b) ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sub formă matriceală în cazul micilor oscilaţii ale sistemului în jurul poziţiei sale de echilibru static;

c)pulsaţiile proprii ale sistemului, vectorii proprii şi matricea modală normată, în cazul micilor oscilaţii.

Fig. 4.2.16

Fig. 4.2.15

Fig. 4.2.17

Fig. 4.2.18


Fig. 4.2.19

Fig. 4.2.21 Fig. 4.2.20

Fig. 4.2.22

Fig. 4.2.23

Fig. 4.2.25

Fig. 4.2.24

Rezultatele sunt date în tabelul următor. La punctul a) nu sunt date ecuaţiile diferenţiale ale mişcării care se obţin uşor aplicând ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua pentru sisteme conservative, iar la punctul c) nu sunt explicitaţi vectorii proprii, care se regăsesc în matricea modală normată pe coloane.

4.2 - Vi 301 braţii lineare ale sistemelor mecanice cu mai multe grade de libertate

4.3 - Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor 303

4.3. Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor

Fig. 4.3.1

4.3.1. Se consideră sistemul vibrant din fig.4.3.1, format din corpuri omogene legate între ele prin fire perfect flexibile şi inextensibile şi prin arcuri elicoidale de masă neglijabilă, pentru care datele sunt notate alăturat. Se neglijează frecările şi forţele de amortizare, iar parametrii de poziţie x1, x2 = Rθ şi x3 din figură se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului. Să se determine pulsaţiile proprii şi vectorii proprii normaţi cu 3 zecimale exacte pentru sistemul considerat, folosind metoda iteraţiei matriceale cu matricea dinamică şi cu inversa ei, precum şi relaţiile de ortogonalitate ale vectorilor proprii cu matricea de inerţie.

Rezolvare Deoarece scripetele mobil, care se află într-o mişcare plană, în planul vertical al mişcării sistemului, are centrul instantaneu de rotaţie în I, se pot calcula uşor energia cinetică şi cea potenţială pentru întregul sistem:

23

22

21

23

2

2322

3222

1c

xm29xm

21xm

25xm6

21

RxmR

21xm2

21mR

21xm5

21E

&&&&

&&&&

++=+

+++θ+=

( ) ( ) 23

232

221

21p kx

21x2xk2

21xxk4

21kx

21E +−+−+=

Din aceste expresii se pot scrie direct matricea de inerţie [m] şi cea de rigiditate [k], care rezultă aplicând ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua:


[ ] [ ] , 940464

045kk ,

900010005

mm⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=

⎦⎣⎦⎣

iar inversele lor devin:

[ ] [ ]

142016

204536

163638

k461k ,

100

090

008,1

m91m 11

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

= −−

⎦⎣⎦⎣

.

Matricea dinamică [D] şi inversa ei rezultă:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−ω

==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω==

−

−

94036543602,79

9k mD

, 12620801804518014436190

461mkD

201-1

20

1

⎦⎣

unde s-a notat m/k0

111=μ

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

=ω . Pentru a determina pulsaţia proprie fundamentală p1 şi primul vector propriu {µ}1 se efectuează iteraţii cu matricea dinamică, începând cu vectorul iniţial

. { } { }T)0(

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1792,1

6372,1226

226405370

111

12620801804518014436190

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

18965,17744,1

292816,292336,55558,519

1792,1

6372,1

12620801804518014436190


, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1912,17962,1

882,305882,305735,58441,569

18965,17744,1

12620801804518014436190

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1914,17994,1

936,307936,307356,58911,554

1912,17962,1

12620801804518014436190

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

19142,1

8,1232,308

232,308022,59079,554

1914,17994,1

12620801804518014436190

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

19143,1

8,1284,308

284,308139,5909112,554

19142,1

8,1

12620801804518014436190

. ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

19143,1

8,1286,308

286,3081435,5909148,554

19143,1

8,1

12620801804518014436190

După 7 iteraţii se obţine { } { }19143,18,1T

1 =μ cu 3 zecimale exacte pentru μ21 , iar pentru a se asigura această precizie s-a lucrat cu 4 zecimale, astfel încât eroarea absolută la determinarea coeficientului de distribuţie μ21 este mai mică decât 10-4.

Pulsaţia proprie fundamentală se determină din condiţia 21p

1=1λ , astfel încât rezultă:

0122 386,0p , 1286,308ω==

10 p46ω

111 −=μ

.

Pentru a determina cea mai mare pulsaţie proprie p3 şi vectorul propriu corespunzător {μ}3 se fac iteraţii cu inversa matricei dinamice, pornind de la vectorul

iniţial { } . { }T)0(


⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

17,9

2462,113

13126

2,16

11-1

94036543602,79

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

11643,138,13

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

165,12

696,18,47

8,4766,604

0558,81

17,9

2462,1

94036543602,79

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

109,13

7843,16,59

6,59156,780

344,106

165,12

696,1

94036543602,79

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

1154,13

7977,136,61

36,611,807

3,110

109,13

7843,1

94036543602,79

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

1163,138,1

616,61616,61

033,811888,110

1154,13

7977,1

94036543602,79

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

11643,138,1

652,61652,61

602,8119736,110

1163,138,1

94036543602,79

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

11643,138,1

6572,616572,61

670,811983,110

1163,138,1

94036543602,79

.

Se obţine cu 3 zecimale exacte pentru μ23 , tot după 7 iteraţii, iar pentru pulsaţia proprie p3 rezultă:

{ } { }T −=μ

0323

20

203 6174,2p , p8508,66572,61

ω==ω=ω=λ9

.

4.3 - Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor 307 Pentru a determina vectorul propriu {μ}2 se folosesc relaţiile de ortogonalitate ale acestuia cu ceilalţi doi vectori proprii determinaţi, care, pentru matricea de inerţie [m], se exprimă prin: { } [ ]{ } { } [ ]{ }TT =μμ=μμ 0m , 0m 32

1

091643,139 , 099143,19 22122212

. 21

}μμ Considerând { } {T

2 =μ , se obţin ecuaţiile: 2212

μ − μ + ==+μ+μ ,

din care rezultă μ12 = -1 şi μ22 = 0. Pulsaţia proprie p2 se poate determina cel mai uşor după o singură iteraţie cu matricea dinamică sau cu inversa ei, dar aici, pentru verificarea exactităţii calculelor, se foloseşte raportul lui Rayleigh:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } 02

20T

2T22

2 p , k14kp ω=ω==μμ

=22 m14m μμ

.

4.3.2. În fig.4.3.2 este reprezentat modelul de translaţie al unui sistem vibrant linear cu 3 grade de libertate, pentru care se cunosc masele corpurilor aflate în mişcare

de translaţie rectilinie pe verticală şi constantele elastice

ale arcurilor elicoidale, precum şi

Fig. 4.3.2

m

{ }

k0 =ω . Parametrii

de poziţie independenţi x1, x2, x3 se măsoară din poziţia de echilibru static a sistemului, în care arcul de constantă elastică 59k este nedeformat, iar f1, f2, f3 sunt deplasările pe verticală ale corpurilor din poziţia în care celelalte arcuri sunt nedeformate până în poziţia de echilibru static a sistemului. a) Să se determine pulsaţia proprie fundamentală p1 şi vectorul propriu corespunzător {μ}1 cu metoda iteraţiei matriceale, cu eroare absolută mai mică decât 10-4 pentru μ21 , pornind de la vectorul iniţial

{ }3/114,11T)0( =μ .

b) Să se verifice că { } { }101T2 −=μ reprezintă

transpusa celui de al doilea vector propriu şi să se afla valoarea exactă a pulsaţiei proprii corespunzătoare p2. c) Să se determine cel de al treilea vector propriu

308 Vibraţii mecanice - 4 {μ}3 pe baza relaţiilor de ortogonalitate cu vectorii proprii cunoscuţi şi apoi să se calculeze pulsaţia proprie corespunzătoare p3 cu raportul lui Rayleigh. d) Să se determine valorile vectorilor proprii {μ}2 şi {μ}3 , şi ale pulsaţiilor proprii corespunzătoare cu ajutorul matricelor de eliminare. e) Să se determine valori aproximative ale pulsaţiilor proprii p1 şi p2 cu ajutorul unei funcţii spectrale. f) Să se determine valori aproximative ale pulsaţiei proprii fundamentale p1 cu ajutorul metodei: - Stodola ; - raportului lui Rayleigh ;

- ecuaţiei lui Rayleigh ; - Dunkerley ; - Dunkerley cu mărirea preciziei rezultatului.

Rezolvare

a) Din fig.4.3.2 se pot scrie direct matricele de inerţie [m] şi de rigiditate [k], tinând cont de forma matriceală a expresiilor pătratice corespunzătoare energiei

cinetice { } { },x]m[x1E Tc &&=

2 respectiv energiei potenţiale { } { },x]k[x1E T

p = 2

⎦⎣⎦⎣

:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=7516016321601625

kk , 300020001

mm ,

cu ajutorul cărora se calculează matricea dinamică:

[ ] [ ] [ ]

. 32,16856,2

125,371268.72444,21

3441

300020001

44,5456,2475,181256,21244,21

3441mkD

0

0

1

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ω=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω== −

⎦⎣

4.3 - Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor 309 Se efectuează iteraţii cu matricea dinamică, pornind de la vectorul iniţial dat în enunţ:

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1/31,144

136,51

17,1258,7551,36

1/31,14

1

32,16856,2125,371268,72444,21

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1/31,1447

1456,51

17,15258,9

51,456

1/31,144

1

32,16856,2125,371268,72444,21

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1/31,1448

14728,51

17,157658,926351,4728

1/31,1447

1

32,16856,2125,371268,72444,21

,

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1/31,1448

14752,51

17,158458,93

51,4752

1/31,1448

1

32,16856,2125,371268,72444,21

.

Se observă că după numai 4 iteraţii este asigurată precizia cerută în enunţ pentru determinarea coeficientului de distribuţie μ21 , ceilalţi având valori exacte date în { })0(μ . Ca urmare, rezultă:

{ } { } 01221T1 5851,2p , 14752,51 , 3/11448,11 ω===λ=μ

10 p344ω .

b) Dacă {μ}r este un vector propriu al sistemului, atunci este satisfăcută

relaţia matriceală:

[ ]{ } { } 2rrrr1 3, 2, 1,r , D =λ=∀μλ=μ

rp .

Pentru {μ}2 dat în enunţ se obţine:


⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

1-01

76,1313,76-

013,76

1-01

32,16856,2

125,371268,72444,21

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

,

astfel încât rezultă valoarea exactă:

02200

22 5p , 25

1344

76,13ω=

ω=

ω=λ .

c) Considerând { } { }T μ=μ 3323 μ şi folosind relaţiile de ortogonalitate: 13

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }TT =μμ=μμ 0m , 0m 3231

0 3 - 1 , 02896,2 333323

, se obţin ecuaţiile algebrice: 1 =μ=μ+μ+ . din care rezultă:

31 , 5824,0 3323 =μ−=μ .

Raportul lui Rayleigh pentru cel de al treilea mod de vibraţie este:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

20T

3T32

3 317,34k0285,69kp ω==μμ

=33 m0115,2m μμ

1

,

din care rezultă p3 = 5,858 ω0 > p2.

d) Pentru eliminarea primului mod natural de vibraţie din matericea dinamică [D], în locul primului vector propriu normat {μ}1 se consideră

11 μα= , care se normează cu condiţia: { } { }μ′

{ } [ ]{ }T =μ′μ′ m1 11 ,

din care rezultă m

50287,01 =α . Astfel, noul vector propriu normat pentru primul mod

devine:

4.3 - Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor 311 { } {T =μ′ }167234,0575686,050287,01 , în care s-au considerat toate cifrele semnificative după virgulă, pentru mărirea preciziei calculelor. Matricea de eliminare a primului mod rezultă:

[ ] [ ] { } { } [ ]⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−−−−

ω=μ′μ′λ−=

981,11935,1779,1902,2381,3902,2337,5804,5423,8

3441mDD 2

0

T111

)1(

⎦⎣

.

Aşa cum se ştie, oricare ar fi matricea pătrată [A] de ordinul n, se pot determina în principiu cei n vectori proprii {μ}r din ecuaţiile matriceale: [ ]{ } { } n1,..., r , A rrr =μλ=μ (1) dacă se pot determina cele n valori proprii λr din ecuaţia caracteristică: [ ] [ ] ( ) 0PAI =λ=−λ nn (2) Pentru n ≥ 3 nu se pot determina uşor şi cu precizie ridicată cele n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice, astfel încât se efectuează iteraţii cu matricea [A], pornind de la un vector iniţial { })0(μ

=1r

, care se exprimă întotdeauna ca o combinaţie lineară a vectorilor proprii:

. { } { }∑ μα=μn

rr)0(

Se ştie că procesul iterativ este convergent către modul natural de vibraţie pentru care valoarea proprie λ este cea mai mare, dar acest proces poate fi lent convergent, deci pot fi necesare foarte multe iteraţii pentru a se asigura precizia dorită a calculelor . Convergenţa procesului iterativ depinde în mare măsură de modul în care se alege vectorul iniţial { })0(μ , care trebuie să fie cât mai apropiat de vectorul propriu normat corespunzător modului cu valoarea proprie cea mai mare. Astfel, la punctul a) s-a dat în enunţ acest vector iniţial foarte apropiat de { }1μ , ceea ce face să se asigure precizia cerută după numai 4 iteraţii. Revenind la matricea de eliminare [ ])1(D , după eliminarea primului mod rămâne λ2 valoarea proprie cea mai mare. Dacă se începe procesul iterativ cu

, aşa cum se consideră vectorul iniţial pentru modul al doilea de { } {T)0( }111 −=μ

312 Vibraţii mecanice - 4 vibraţie, atunci sunt necesare peste 20 de iteraţii pentru a obţine valorile exacte { } şi 2μ

22

2 p1

=λ . Deoarece { } dat în enunţ este vector propriu pentru matricea dinamică, el

trebuie să fie vector propriu şi pentru matricea de eliminare

2μ

[ ])1(D

⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎦⎣

, astfel încât rezultă:

, ⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−−−−

1-01

76,1313,76-

013,76

1-01

981,11935,1779,1902,2381,3902,2337,5804,5423,8

02222 5p , 176,13ω===λ

22 p344βω .

Pentru eliminarea şi a modului al doilea din [ ])1(D , se consideră

, pentru care se impune condiţia de normare: { } { }μα=μ′ 222

{ } [ ]{ }T =μ′μ′ 1m 22 ,

din care rezultă m5,0

2 =α . Matricea de eliminare a celui de al doilea mod din [ ])1(D

devine:

[ ] [ ] { } { } [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

ω=μ′μ′λ−=

661,1935,1661,1902,2381,3902,2983,4804,5983,4

3441mDD 2

0

T222

)1()2(

⎭⎩⎣

.


⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−

−

1/30,5824-

102426,10

3,341425,8384-

10,02426

1/30,5824-

1

661,1935,1661,1902,2381,3902,2

983,4804,5983,4

⎭⎩⎭⎩⎦

03223 858,5p , 102426,10ω===λ

30 p344ω .

Se observă că, în principiu, folosind metoda iteraţiei matriceale cu matricea

dinamică şi cu matricele de eliminare succesive ale modurilor precedente, se

4.3 - Metode aproximative pentru studiul vibraţiilor 313 pot determina toţi vectorii proprii şi toate pulsaţiile proprii pentru orice sistem vibrant linear, oricât de mare ar fi numărul său n de grade de libertate. Deoarece erorile de calcul se cumulează de la o matrice de eliminare la următoarea, pentru a se asigura o anumită precizie de calcul este necesar să se lucreze cu cât mai multe zecimale şi să se efectueze foarte multe iteraţii, ceea ce impune implementarea unui algoritm de calcul pentru un program pe calculator.

e) Ecuaţia caracteristică de forma (2), pentru n = 3 şi D2

0ω , conduce la ecuaţia polinomială: [ ] [ ] [ ]=′= 344DA

016,710024,136226,75 =−λ+λ−λ

23 , (3)

în care 2

20

p344ω=λ . Cele 3 rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) se aşează în ordine

descrescătoare 0321 >λ>λ>λ , corespunzător ordinei crescătoare a pulsaţiilor proprii . O funcţie spectrală din care se determină valori aproximative pentru primele 2 valori, respectiv pentru primele 2 pulsaţii proprii, se obţine din (3) luând în considerare numai primii 3 termeni. În acest caz se obţin valorile aproximative:

321 ppp0

2967,30 , 9633,44 λ>=λλ<=λ

p3696,3p , p766,2p 202101

D′

<<<

, 2211

aa <ω=>ω=

aa

, care sunt în concordanţă cu teoria dezvoltată de S.A.Bernstein. Este necesar să se observe că valorile proprii exacte care rezultă din (3) sunt de ori mai mari decât cele determinate la punctele precedente, doarece în locul matricei dinamice s-a considerat .

20344ω

[ ]f) Formula lui Stodola pentru determinarea unei valori aproximative a

pulsaţiei fundamentale p1 în cazul unui sistem cu 3 grade de libertate este:

( )222332211a

1 fmfmfmfmfmfmgp

++++

=332211

.

Pentru a determina deplasările corpurilor pe verticală până în poziţia de echilibru static a sistemului sub acţiunea greutăţilor proprii, se impun condiţiile de echilibru, care se pot exprima sub forma matriceală: [ ]{ } { }gmfk = , unde {f} este

314 Vibraţii mecanice - 4 matricea coloană a acestor deplasări, iar {m} este matricea coloană a maselor corpurilor. De aici rezultă:

[ ] { }⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

ω=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ω==

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧−

07814,017878,015442,0

g

321

44,5456,2475,181256,21244,21

344ggmk

fff

20

20

12

1

⎭⎩⎭⎩⎦⎣⎭⎩ 3

101 p6525,2p

⎭⎩⎭⎩ 13

.

Cu formula lui Stodola se obţine , care este o valoare aproximativă mai apropiată de p1 decât cea determinată anterior cu metoda funcţiei spectrale.

a >ω=

Pentru a aplica metoda raportului lui Rayleigh pentru primul mod natural de vibraţie, se consideră că o valoare aproximativă a primului vector propriu normat este:

. { }⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=μ

506,015775,1

1

f/ff/f

1

12a1

Cu această valoare aproximativă, care diferă de {μ}1 determinat la punctul a)

se obţine:

{ }( ) [ ]{ }{ }( ) [ ]{ }

20aTa

1

a1

Ta1a

1 0356,7m448878,4k300734,31

m

kp ω==μμ

μμ=

01 6525,2p

, 1

a ω= de unde rezultă , aceeaşi valoare aproximativă ca şi cea determinată cu metoda lui Stodola. Metoda ecuaţiei lui Rayleigh (Ec)max = (Ep)max se poate aplica pentru determinarea oricărei pulsaţii proprii, dacă se cunosc amplitudinile vibraţiilor libere şi neamortizate ale sistemului, în cazul în care acesta vibrează după modul corespunzător de vibraţie. În cazul primului mod natural de vibraţie, se consideră că aceste amplitudini sunt proporţionale cu deplasările pe verticală ale corpurilor, sub acţiunea greutăţilor proprii, până în poziţia de echilibru static a sistemului. Cu această consideraţie, se poate scrie succesiv: { } { } ( ) { } { } ( )11111 tpsinfCpx , tpcosfCx ϕ+−=ϕ+= & ,

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )112T22

1T

c tpsinf mfCp1x mx1E ϕ+== &&22

,


{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )112T2T

p tpcosf kfC1x kx1E ϕ+==22

1

10111 p138,2p , 26,75

26,759633,44,766,2p138,2 1010

.

Se observă că, aplicând ecuaţia lui Rayleigh şi simplificând cu f , se ajunge la acelaşi raport al lui Rayleigh pentru primul mod natural de vibraţie, deci rezultă aceeaşi valoare aproximativă pentru p1.

2

Metoda lui Dunkerley se bazează pe metoda funcţiei spectrale, care se obţine luând în considerare numai primii doi termeni din ecuaţia caracteristică (3), deci rezultă:

. aa <ω=λ>=λ

Cu această metodă, ţinând seama şi de valoarea aproximativă obţinută la punctul e), se poate stabili numai un interval în care se află pulsaţia proprie fundamentală sau valoarea proprie λ1:

<λ<ω<<ω (4)

Pentru mărirea preciziei rezultatului, deci pentru restrângerea intervalelor (4), Dunkerley a observat că valoarea 75,26 a coeficientului lui λ2 din (3) este suma

a elementelor de pe diagonala principală a matricei 332211 ddd ++ [ ]D′ . De asemenea, pe baza relaţiilor dintre răcini şi coeficienţi într-o ecuaţie polinomială, se poate scrie:

332211321 ddd ++=λ+λ+λ .

Deoarece ecuaţia caracteristică (3) se obţine din condiţia ca toţi determinanţii ecuaţiilor matriceale de forma (1), să fie nuli, pentru [ ] [ ]DA ′= şi un vector arbitrar {μ} în locul vectorilor proprii, se mai poate exprima relaţia matriceală:

[ ]{ } { }′D μ = μλ (5)

Înmulţind ecuaţia (5) la stânga cu [ ]D′ şi ţinând seama de aceeaşi ecuaţie, se poate scrie succesiv:

[ ] { } [ ]{ } { } [ ] { } [ ]{ } {− j1jj22 }μλ=μ′λ=μ′μλ=μ′λ=μ′ DD,...,DD

332211 d,d,d

.

Ultima ecuaţie conduce la o ecuaţie caracteristică tot de forma (3), dar valoarea aproximativă pentru λ1 , determinată cu metoda lui Dunkerley din noua ecuaţie caracteristică, rezultă mai apropiată de cea reală decât valoarea 75,26 din (4). Notând cu elementele de pe diagonala principală a matricei )j()j()j( [ ]jD′ , această nouă valoare aproximativă şi suma rădăcinilor noii ecuaţii caracteristice devin:

( ) )j()j()j(jjjj )j()j()j(a ddd , ddd ++=λ+λ+λλ>++=λ 332211321133221111 .

316 Vibraţii mecanice - 4 În mod asemănător se obţine:

( ) ( ) )j2()j2()j2(j2j22jj2 )j2()j2()j2(aa ddd , ddd ++=λ+λ+λλ>++=λ>λ 33221132113322112111

Se mai poate determina o valoare aproximativă prin adaus pentru λ1 , pe baza raportului:

( ) ( )( ) ( ) )j()j()j(

)j2(33

)j2(22

)j2(11

jj33221113

j213

j212j

1jj2

j1

j23

j22

j21

dddddd

///1

++++

=λλ+λλ+λλ+

λ=λ+λ

λ+λ+λ .

12 / +λλ

1/ 13

3 1λ+

1/ 12 <λλ

Deoarece şi <λλ , se observă că numărătorul factorului lui

este mai mic decât numitorul, astfel încât rezultă: jλ1

( ) 1j

)j()j()j(

)j2(33

)j2(22

)j2(11

3a1 ddd

dddλ<

++++

=λ332211

.

Ca urmare, pentru restrângerea intervalelor (4), se pot folosi relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )2a113

a10a10a , 344p344

λ<λ<λωλ

<<ωλ 3121

.

Intervalele de valori pentru p1 şi λ1 , date de aceste relaţii, pot fi făcute oricât de mici, dacă se ia j suficient de mare. Pentru sistemul considerat se va lua numai j = 2, deoarece pentru valori mai mari creşte foarte mult volumul de calcul, care nu se poate efectua cu precizie ridicată decât prin programe de calculator. Pătratul matricei [ ]D′ devine:

[ ]

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′

0032,3824926656,19273825,1790738

9968,5771476767,3344

32,16856,2125,371268,72444,21

32,16856,2

125,371268,72444,21

D 2

⎦⎣

d ; 25,d 3311

de unde rezultă:

; 0032,3821790d ; 3344,767 22)2()2()2( === ,

( ) 2,54 a λ>=λ 111 dar ( ) 26,75a <λ 11

D′

.

În mod asemănător, ridicând încă odată la pătrat matricea [ , se obţin valorile:

]2


( ) ( )aa

)4(33

)4(22

)4(11

032,49 ; 56,51

; 55,620382d ; 1,4657379d ; 2,1789450d

λ<=λλ>=λ

===

131121

56,519,0324 , 6487,2p583,2 1010

Ca urmare, chiar şi pentru această valoare mică a lui j se obţin intervale de

valori suficient de restrânse pentru p1 şi λ1 : <λ<ω<<ω , observându-se că valorile cele mai apropiate de valorile exacte sunt cea inferioară pentru p1 şi cea superioară pentru λ1. 4.3.3 – 4.3.56. În fig.4.3.3 este reprezentat modelul de translaţie cel mai general pentru un sistem vibrant linear cu 3 grade de libertate, pentru care se cunosc masele corpurilor aflate în mişcare de translaţie rectilinie pe verticală şi constantele elastice ale arcurilor elicoidale, date în tabelul 4.3.1-a, precum şi m/k0 =ω .

Fig. 4.3.3

a) Să se determine pulsaţia proprie fundamentală p1 şi vectorul propriu corespunzător { }1μ cu metoda iteraţiei

matriceale, pornind de la vectorul iniţial { })0(μ , dat în tabelul 4.3.1-b.

{ }2 b) Să se verifice că μ dat în tabelul 4.3.1-b este un vector propriu al sistemului şi să se afle pulsaţia proprie corespunzătoare p2. c) Să se determine celălalt vector propriu { }3μ pe baza relaţiilor de ortogonalitate cu vectorii proprii cunoscuţi şi apoi să se calculeze pulsaţia proprie corespunzătoare p3 cu raportul lui Rayleigh. Răspunsurile la problemele 4.3.3 – 4.3.56, şi anume: matricea dinamică [D], pulsaţiile proprii pr (r = 1, 2, 3) şi matricea modală normată [µ], sunt date în tabelul 4.3.2.


Tabelul 4.3.1-a

Nr. probl. k1 k2 k3 k4 k5 k6 m1 m2 m3

4.3.3 2k k k 2k k 2k 3m m1918

3m

4.3.4 k k k k k k 2m m12023 2m

4.3.5 5k 2k 2k 5k 2k 6k 11m m59 11m

4.3.6 4k 3k 3k 4k 3k 4k m 2m m

4.3.7 60k 60k 80k 100k 20k 80k 3m m 2m

4.3.8 k 3k 3k k 3k 0 m m52

m

4.3.9 3k 2k 2k 3k k 0 m 2m m

4.3.10 30k k152

k152

30k k152

0 25m 6m 25m

4.3.11 28k 7k 7k 28k 7k 0 25m 6m 25m

4.3.12 90k 10k 10k 90k 10k 0 75m 12m 75m

4.3.13 27k 3k 3k 27k 3k 0 25m 4m 25m

4.3.14 27k 12k 12k 27k 12k 0 m135

m813

m5

13

4.3.15 63k 28k 28k 63k 28k 0 m3

13 m3940 m13

3

4.3.16 117k 52k 52k 117k 52k 0 m3

169 m3

40 m3

169

4.3.17 16k 9k 9k 16k 9k 0 m725 m

2518 m

725

4.3.18 64k 36k 36k 64k 36k 0 m725 m

2518 m

725

4.3.19 400k 225k 225k 400k 225k 0 1075m m25

5418 1075m


4.3.20 688k 387k 387k 688k 387k 0 625m 126m 625m

4.3.21 400k 225k 225k 400k 225k 0 625m 126m 625m

4.3.22 1600k 900k 900k 1600k 900k 0 25m m12625

25m

4.3.23 100k 100k 100k 100k 100k 0 40m 42m 40m

4.3.24 60k 120k 120k 60k 60k 0 9m 10m 9m

4.3.25 15k 30k 30k 15k 15k 0 3m m103

3m

4.3.26 300k 600k 600k 300k 300k 0 18m 20m 18m

4.3.27 40k 60k 60k 40k 20k 0 25m 24m 25m

4.3.28 14k 21k 21k 14k 7k 0 100m 96m 100m

4.3.29 400k 600k 600k 400k 200k 0 5m m245

5m

4.3.30 693k 924k 924k 693k 231k 0 49m 44m 49m

4.3.31 525k 700k 700k 525k 175k 0 7m m447

7m

4.3.32 27k 36k 36k 27k 9k 0 14m m788 14m

4.3.33 180k 225k 225k 180k 45k 0 m8170

m m8170

4.3.34 44k 55k 55k 44k 11k 0 81m 70m 81m

4.3.35 19600k 24500k 24500k 19600k 4900k 0 18m m9

140 18m

4.3.36 150k 480k 320k 160k 120k 0 m65

m52

m32

4.3.37 3k 2k 2k 3k 0 0 m 2m m

4.3.38 2k k12

k12

2k 0 0 25m 6m 25m


4.3.39 4k k k 4k 0 0 5m m65

5m

4.3.40 3k k13

k13

3k 0 0 10m m58 10m

4.3.41 9k k k 9k 0 0 m252

2m m252

4.3.42 9k 4k 4k 9k 0 0 13m m4013

13m

4.3.43 39k k3

52 k3

52 39k 0 0 169m 40m 169m

4.3.44 k k49

k49

k 0 0 m1315

m839

m1315

4.3.45 4k 2k 4k 10k 0 0 10m 3m 10m

4.3.46 8k 2k 2k 8k 0 0 m m1225

m

4.3.47 k 4k 4k k 0 0 19m 96m 19m

4.3.48 1600k 1100k 900k 1300k 0 0 m35

m45

m25

4.3.49 3k k k 0 0 0 4m 2m m

4.3.50 7k 5k 3k 0 0 0 m76

m m

4.3.51 60k 10k 5k 0 0 0 10m 5m 2m

4.3.52 k 2k 2k 0 0 0 5m 2m m

4.3.53 24k 10k 10k 0 0 0 10m 10m 10m

4.3.54 k 2k k 0 0 0 m65

3m 2m

4.3.55 k95

2k k32

0 0 0 m2738 m5

4 m

4.3.56 72k 72k 6k 0 0 0 9m 3m m


Tabelul 4.3.1-b

Nr. probl. { })0( μ T

{ }2 μ T

4.3.3 { } 15,01 { } 101 −

4.3.4 { } 16,01 { } 101 −

4.3.5 { } 14,01 { } 101 −

4.3.6 { } 111 { } 172,01 −

4.3.7 { } 4,05,01 { } 2,62-1,13-1

4.3.8 { } 111 ⎭⎬

⎩⎨ − 1

31 ⎫⎧ 2

4.3.9 { } 175,11 ⎭⎬

⎩⎨ − 1

21 ⎫⎧ 1

4.3.10 { } 111 { } 101 −

4.3.11 { } 111 { } 101 −

4.3.12 { } 121 { } 101 −

4.3.13 { } 121 { } 101 −

4.3.14 { } 111 { } 101 −

4.3.15 { } 111 { } 101 −

4.3.16 { } 111 { } 101 −

4.3.17 { } 111 { } 101 −

4.3.18 { } 111 { } 101 −

4.3.19 { } 111 { } 101 −


4.3.20 { } 111 { } 101 −

4.3.21 { } 111 { } 101 −

4.3.22 { } 111 { } 101 −

4.3.23 { } 111 ⎭⎬−− 1

31 ⎫

⎩⎨⎧ 4

4.3.24 { } 111 { } 101 −

4.3.25 { } 111 { } 101 −

4.3.26 { } 111 { } 101 −

4.3.27 { } 111 { } 101 −

4.3.28 { } 111 { } 101 −

4.3.29 { } 111 { } 101 −

4.3.30 { } 111 { } 101 −

4.3.31 { } 111 { } 101 −

4.3.32 { } 111 { } 101 −

4.3.33 { } 111 { } 101 −

4.3.34 { } 111 { } 101 −

4.3.35 { } 111 { } 101 −

4.3.36 { } 111 { } 306,11 −

4.3.37 { } 175,11 { } 101 −

4.3.38 { } 111 { } 101 −

4.3 - Metode aproximative pentru studiu ţiilor 323 l vibra

4.3.39 { } 111 { } 101 −

4.3.40 { } 121 { } 101 −

4.3.41 { } 121 { } 101 −

4.3.42 { } 111 { } 101 −

4.3.43 { } 111 { } 101 −

4.3.44 { } 111 { } 101 −

4.3.45 { } 3,07,01 { } 221 −−

4.3.46 { } 121 { } 101 −

4.3.47 { } 111 { } 101 −

4.3.48 { } 9,05,11 { } 7741 ,0211,0 −−

4.3.49 { } 421 { } 101 −

4.3.50 { } 321 { } 111 −

4.3.51 { } 951 { } 531 −

4.3.52 { } 111 { } 211 −−

4.3.53 { } 431 { } 1 1495,12835,1 −

4.3.54 { } 5,111 { } 5,111 −

4.3.55 { } 25,11 { } 08151 ,14273,0 −

4.3.56 { } 411 { } 311 −


Tabelul 4.3.2.

Nr. probl. [D] pr [μ]

4.3.3 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

ω 1621954545754

180 20

⎥⎤

⎢⎡ 5419162

1

03 2p ω=

002

001

291,135p

888,01915p

ω=ω=

ω=ω=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

−11190632,0

⎥⎤

⎢⎡ 111

4.3.4 ⎥

⎤

⎢⎢⎢⎡

ω2404624024023480

4801

20

⎥⎥

⎦⎣ 4802324003 4p ω=

002

001

414,12p

8,02315p

ω=ω=

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 111⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

− 300696,0

111

4.3.5 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

ω4301812011063110

310 20

⎥⎤

⎢⎡ 12018430

1

0

02

001

62

p

745,035p

ω=

ω=ω=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

−111

5,2709/4

03 374,211

p ω=ω=

⎥⎤

⎢⎡ 111

4.3.6 ⎥⎦⎢⎣

ω 76352 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

3144367

12

0

02

01

606,3

026,3p685,1p

ω

ω=

03 13p =ω=

ω=

⎥⎦⎢⎣ −111⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 072,0387,1111

4.3.7 ⎥⎦⎢⎣

ω 6,131,39,60⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

2,69,62,106,44,32,28

10661

2 02

01

31,9p76,5pω=

03 16p ω=

ω=

⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−− 1113,1518,0111

− 9,262,246,0

4.3.8 ⎥⎦⎢⎣ 3375270⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω3010030277533

601

2

003 162,310p ω=ω=002

01

449,26p

632,0p

ω=ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 03/22,1

111

⎦⎣ −111

4.3.9 ⎥⎦⎢⎣

ω 1014442 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

735741410

12

003 646,27p ω=ω=002

01

449,26p

p

ω=ω=

ω=

⎥⎦⎢⎣ −111⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 05,02111

4.3.10

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 503/5

111

⎥⎦⎢⎣ 2754275420 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1752101757542275

12

003

02

01

732,13p

449,1pp

ω=ω=

ω== ω

⎦⎣ − 111

4.3 - Metode aproximative pentru studiu 325 l vibraţiilor

4.3.11 ⎥⎦⎢⎣ 27542750⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1752101757542275

3921

03 673,1p ω=02

01

4,1p966,0pω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 503/5

111

⎦⎣ − 111

4.3.12 ⎥⎦⎢⎣ 17516250⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1001601002516175

2401

2

003 414,12p ω=ω=02

01

265,1pp

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 505,2

111

⎦⎣ − 111

4.3.13 ⎥⎦⎢⎣ 17516250⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1001601002516175

2161

2 02

01

2,1p949,0pω=

03 342,1p ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 505,2

111

⎦⎣ − 111

4.3.14 ⎥⎦⎢⎣ 169286,670⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω3,118913,1186,6728169

24571

003 708,653p ω=ω=02

01

922,4p3p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.15 ⎥⎦⎢⎣ 169286,670⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω3,118913,1186,6728169

8,34391

2

0

02

01

937,7

824,5p55,3p

ω

ω=

03 73p =ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.16 ⎥⎦⎢⎣ 169286,670⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω3,118913,1186,6728169

4,4911

2 02

01

2,2p342,1pω=

03 3p ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.17 ⎥⎦⎢⎣ 75,36818,5475,1680⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω75,2685,15075,26875,16818,5475,368

24081

2

003 29,572p ω=ω=02

01

47,3p2p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

⎦⎣ − 111

4.3.18 ⎥⎦⎢⎣ 75,36818,5475,1680⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω75,2685,15075,26875,16818,5475,368

96321

2

0

02

01

58,10

94,6p4p

ω

ω=

03 74p =ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

⎦⎣ − 111

4.3.19 ⎥⎦⎢⎣ 75,36818,5475,168200 0

03

02

01

525,1pp

57,0p

ω=ω=⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

ω75,2685,15075,26875,16818,5475,368

12

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

⎦⎣ − 111


4.3.20 ⎥⎦⎢⎣ 75,36818,5475,168⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω75,2685,15075,26875,16818,5475,368

68,5911

20

03 623,2p ω=02

01

72,1p99,0pω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 111⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

4.3.21 ⎥⎦⎢⎣ 75,36818,5475,1680⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω75,2685,15075,26875,16818,5475,368

3441

2

03 2p ω=02

01

3115,1p756,0p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

⎦⎣ − 111

4.3.22 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω 75,36818,5475,16875,2685,15075,26875,16818,5475,368

344001

20

03 20p ω=02

01

11,13p56,7p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 111⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

− 3/25021/25

111

4.3.23 ⎥⎦⎢⎣ 2521150⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω204220152125

1001

2

003 162,310p ω=ω=02

01

887,2p196,1p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 03/47/10

111

⎦⎣ −− 111

4.3.24 ⎥⎦⎢⎣ 4,556,30⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω5,45,75,46,354,5

601

2 02

01

77,5p2p

ω=

03 325,6p ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,102,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.25 ⎥⎦⎢⎣ 4,556,30⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω5,45,75,46,354,5

451

2

03 477,5p ω=02

001

5p732,13p

ω=ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,102,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.26 ⎥⎦⎢⎣ 4,556,30⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω5,45,75,46,354,5

1501

2

03 10p ω=02

001

13,9p162,310p

ω=ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,102,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.27 ⎥⎦⎢⎣ 2251681250⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω175280175125168225

5601

2

003 828,222p ω=ω=02

01

366,2pp

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/5025,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.28 ⎥⎦⎢⎣ 22516812549 0

03

02

01

837,0p7,0p296,0p

ω=ω=⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

ω175280175125168225

12

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/5025,1

111

⎦⎣ − 111


4.3.29 ⎥⎦⎢⎣ 2251681250⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω175280175125168225

280001

2

03 20p ω=02

01

733,16p071,7p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/5025,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.30 ⎥⎦⎢⎣ 5883962940⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω441693441294396588

124741

2

03 124,8p ω=02

01

514,6p3p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 75,1011/14

111

⎦⎣ − 111

4.3.31 ⎥⎦⎢⎣ 5883962940⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω441693441294396588

661501

2

03 7,18p ω=02

01

15p9,6pω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 75,1011/14

111

⎦⎣ − 111

4.3.32 ⎥⎦⎢⎣ 5883962940⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω441693441294396588

17011

2

03 3p ω=02

01

405,2p108,1p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 75,1011/14

111

⎦⎣ − 111

4.3.33 ⎥⎦⎢⎣ 15,127,767,50⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω91,886,1391,867,57,715,12

27721

2

03 458,26p ω=02

01

683,20p10p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 8,107/9

111

⎦⎣ − 111

4.3.34 ⎥⎦⎢⎣ 15,127,767,50⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω91,886,1391,867,57,715,12

68,91

2

03 563,1p ω=

002

01

222,19

11p

59,0p

ω=ω=

ω=

⎥⎦⎢⎣ − 111⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

− 8,107/9

111

4.3.35 ⎥⎦⎢⎣ 15,127,767,50⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω91,886,1391,867,57,715,12

194041

2

03 70p ω=02

01

72,54p46,26pω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 8,107/9

111

⎦⎣ − 111

4.3.36 ⎥⎦4,55474452,⎥⎥⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω 2994,446108968,3914,37481612,453

965761

20

03 28p ω=02

01

3,22p36,7p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣0⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

− 415,006,1186,1

111

− 022,03963,

4.3.37 ⎥⎦⎢⎣ 810230 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω52552108

12

003 449,26p ω=ω= ⎦⎣ − 111

002

01

236,25p

p

ω=ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,002

111


4.3.38 ⎥⎦⎢⎣ 45650⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω2530255645

41

2

03 447,0p ω=02

01

316,0p258,0p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 503/5

111

⎦⎣ − 111

4.3.39 ⎥⎦⎢⎣ 45650⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω2530255645

401

2

003 414,12p ω=ω=

02

01

p816,0p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 503/5

111

⎦⎣ − 111

4.3.40 ⎥⎦⎢⎣ 95850⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω5080505895

301

2 02

01

577,0p5,0p

ω=

03 707,0p ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 505,2

111

⎦⎣ − 111

4.3.41 ⎥⎦⎢⎣ 95850⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω5080505895

721

2

03 095,1p ω=02

01

894,0p775,0p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 505,2

111

⎦⎣ − 111

4.3.42 ⎥⎦⎢⎣ 28640520⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1691301695240286

2341

2

003 732,13p ω=ω=

02

01

p775,0p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.43 ⎥⎦⎢⎣ 28640520⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1691301695240286

781

2 02

01

577,0p447,0p

ω=

03p ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.44 ⎥⎦⎢⎣ 28640520⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1691301695240286

3901

2

03 236,2p ω=02

01

291,1pp

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,603,1

111

⎦⎣ − 111

4.3.45 ⎥⎦⎢⎣

ω 80182088 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

6063702021170

12

03 6,1p ω=02

01

p68,0p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 41,32294,0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−− 7,92688,0111

4.3.46 ⎥⎦⎢⎣ 45125400 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω25602551245

12

03 65,3p ω= ⎦⎣ − 111002

001

162,310p

236,25p

ω=ω=

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/505,2

111


4.3.47 ⎥⎦⎢⎣ 114480760⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω956009576480114

1901

2

03 517,2p ω=002

01

236,25p

5,0p

ω=ω=

ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 3/1016/19

111

⎦⎣ − 111

4.3.48 ⎥⎦38,872,9⎥⎥⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω 97,286,476,2326,798,168,977,10

351551

20

03 32,80p ω=02

01

9,69p34p

ω=ω=

⎥⎦

⎢⎣ − 519,2774,0944,0

⎥⎤

⎢⎡

−− 065,1211,082,1111

4.3.49 ⎥⎦⎢⎣

ω 7843 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

484124

12

03 338,1p ω=02

01

p458,0p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 414⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 162,30162,3111

4.3.50 ⎥⎦⎢⎣

ω 1427235210 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

727235303035

12

03 76,3p ω=002

01

229,26p

027,1p

ω=ω=

ω=

⎥⎦⎢⎣

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 92,01154,2111

− 246,0132,3

4.3.51 ⎥⎦⎢⎣ 3835100⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω1435102510

601

2

03 74,2p ω=02

01

2pp

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,036

111

⎦⎣ − 25,0510

4.3.52 ⎥⎦⎢⎣ 46100⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω36102410

21

2

03 867,1p ω=02

01

p339,0p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 713,92287,1⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−− 213,71213,1

111

4.3.53 ⎥⎦⎢⎣ 291750⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω17175555

121

2

03 2p ω=02

01

455,1p53,0p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 2,01495,13495,4⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

− 6,02835,11165,3

111

4.3.54 ⎥⎦⎢⎣

ω 50451210 0⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

304512203012

12

03 748,1p ω=02

01

913,0p33,0p

ω=ω=

⎥⎦⎢⎣ − 0654,05,18346,1⎥⎤

⎢⎡

− 3346,014346,1111

4.3.55 ⎥⎦334825651520⎥⎥⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω205225651520108013501520

19441

20

03 142,2p ω=02

01

4466,1p56542,0p

ω=ω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

6453,00815,11287,23283,14273,0675,1111

4.3.56 ⎥⎦⎢⎣ 146972 0

03 6p ω=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

ω269139

12 02

01

828,2p2p

ω=ω=

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− 5,215,1

111

⎦⎣ − 5,035,4

BIBLIOGRAFIE

1. Bereteu L., Smicală I., Tocarciuc A., Mecanică şi Vibraţii, Editura Politehnica, Timişoara, 2006

2. Bereteu L., Smicală I., Mecanică – Dinamică şi aplicaţii. Editura Mirton Timişoara, 1992

3. Brîndeu L., Vibraţii. Litografia Institutului Politehnic „ Tr. Vuia” Timişoara, 1979

4. Buzdugan Gh., Fetcu L., Radeş M., Vibraţiile sistemelor mecanice, Editura Academiei, 1975

5. Craig R., R., Structural Dynamics, John Wiley and Sons, 1981

6. Hegedus A., Drăgulescu D., Probleme de mecanică. Dinamică, Editura Facla Timişoara, 1979

7. Hegedus A., Drăgulescu D., Probleme de mecanică. Statică şi cinematică, Editura Helicon Timişoara, 1993

8. Meirovitch L., Computational methods in structural dynamics, Sythoff – Noordhoff, The Netherlands, 1980

9. Soto W., Theory and problems of mechanical vibrations, Shaum Publishing, New York, 1964

10. Silaş Gh., Brîndeu L., Hegedus A., şi alţii, Culegere de probleme de vibraţii mecanice, Editura Tehnică Bucureşti, 1967

11. Smicală I., Bereteu L., Probleme de mecanică, Editura Mirton Timişoara, 1991

12. Smicală I., Bereteu L., Vibraţii mecanice. Teorie şi probleme, Litografia U.T. Timişoara, 1995

13. Thomson W. T., Theory of vibration, Unwin Hyman Ltd., London, 1989

14. Walshaw A. C., Mechanical vibrations with applications, Ellis Horwood Ltd., 1984

exercitii si probleme de dinamica si vibratii

Documents