1. Prezentare general a produsului PMT 2. Tipuri de probleme

2.1 Problema de transport (Classical Transportation Problem)

2.2 Drum minim n graf (Shortest Path Algorithm) 2.3 Analiza drumului critic (Activity Scheduling) 2.4 Fire de ateptare (Queuing Models) 2.5 Amplasarea depozitelor centrale 2.6 Echilibrarea liniilor de fabricaie 2.7 Planificarea materialelor Clasificare ABC 2.8 Cantitatea optim de aprovizionat (EOQ)

CAPITOLUL 3

1. Prezentare general a produsului PMT

Produsul program PMT (Production Management Trainer) este un produs specializat n rezolvarea unei mari varieti de probleme de planificare i utilizeaz un set de proceduri i metode matematice consacrate ce permit studiul unor situaii concrete care apar n managementul operativ.

PMT grupeaz ansamblul de probleme manageriale pe care le trateaz n trei subclase de probleme i anume:

Probleme de planificare tactic a produciei Tactical Production Planning

Probleme de planificare operativ a produciei Operative Production Planning

Probleme diverse Miscellaneous Problems Aceast clasificare se regsete i n meniul principal al produsului, unde principalele opiuni sunt cele de mai sus, completate de alte dou opiuni:

Options opiuni legate de tipul de grafice utilizate (2D sau 3D), dac acestea sunt color sau alb-negru i posibilitatea de a alege ntre dou nivele de complexitate pentru produs Basic i Advanced, diferena constnd n faptul c pentru nivelul de baz nu sunt disponibile toate tipurile de probleme.

Help

Lista complet a problemelor manageriale ce pot fi tratate cu PMT este prezentat mai jos:

1. Planificarea tactic a produciei 1.1. Amplasarea depozitelor centrale

1.1.1. Un singur depozit central (modelul Steiner-Weber) 1.1.2. Mai multe depozite centrale

1.2. Planificarea capacitilor (analiza de performan) 1.2.1. Analiza performanei sistemelor flexibile

PMT

1.2.1.1. Metoda de alocare static 1.2.1.2. Analiza valorii medii

1.2.2. Analiza performanei unui centru de producie 1.2.3. Analiza performanei liniilor de flux asincron

1.3. Echilibrarea liniilor de fabricaie 1.4. Amplasarea ntreprinderii

2. Planificarea operativ a produciei

2.1. Planificarea agregat a produciei 2.1.1. Modelul LP 2.1.2. Procedura Column Minima

2.2. Ordonanarea produciei de baz 2.3. Planificarea necesarului de materiale (MRP)

2.3.1. Analiz ABC 2.3.2. Planificarea determinist a necesarului de materiale 2.3.3. Proceduri de previzionare

2.4. Dimensionarea loturilor de fabricaie 2.4.1. Cantitatea optim de aprovizionat 2.4.2. Cantitatea optim de produs 2.4.3. Algoritmi dinamici de dimensionare a produciei 2.4.4. Ordonanarea n timp versus dimensionarea loturilor 2.4.5. Dimensionarea i secvenierea loturilor

2.5. Ordonanare 2.5.1. Ordonanarea activitilor 2.5.2. Secveniere

2.5.2.1. Secveniere pe o singur main 2.5.2.2. Algoritmii lui Jahnson (2 maini)

2.6. Managementul stocurilor 2.7. Planificarea transportului (modelul clasic de transport)

3. Probleme diverse

3.1. Controlul calitii 3.1.1. Eantionare 3.1.2. Controlul proceselor

3.2. Planificarea lucrrilor de ntreinere mentenan 3.3. Proceduri de cercetri operaionale

3.3.1. Drumul minim n graf (algoritmul lui Dijkstra) 3.3.2. Modele de ateptare (analitic) 3.3.3. Simularea sistemelor cu fire de ateptare

Pentru fiecare tip de problem este disponibil cte un modul special compus din cadrul general matematic al problemei (algoritmi de rezolvare) i interfaa cu utilizatorul. Interfaa unui astfel de modul conine n principiu o zon de introducere a datelor de intrare, zone de prezentare a rezultatelor pariale sau finale ale execuiei algoritmului, o serie de butoane pentru lansarea n execuie a algoritmului, prezentarea unor exemple de probleme sau ieirea din modul. O mare parte din module conin un set de probleme predefinite care pot fi activate pe rnd n cadrul modulului respectiv cu ajutorul unor Check Buttons. Exist de asemenea probleme care presupun introducerea prealabil a unor indicatori specifici (de exemplu: numrul de produse), care definesc dimensiunea problemei, pentru ca apoi s se genereze pe baza lor i restul datelor de intrare. Rezultatele sunt prezentate n aceeai fereastr, ns n zone-ecran diferite i pot fi rezultate n form numeric sau grafic.

Introducerea datelor de intrare se poate face n mai multe moduri: pentru datele care definesc cadrul general al problemei

(dimensiunea) introducerea datelor iniiale se face prin editare normal;

pentru datele sub form de tabel exist o csu de editare exterioar tabelului n care se introduce valoarea dorit, iar apoi se efectueaz un click pe celula din tabel unde se dorete inserarea acelei valori;

pentru datele sub form de grafic utilizate de anumite probleme (production line balancing, activity scheduling) este disponibil un editor grafic.

Majoritatea modulelor au definite un buton de comand Start sau Continue prin care se ncepe sau se continu rezolvarea problemei. Dac algoritmul matematic presupune efectuarea mai multor iteraii, atunci eticheta butonului Start se schimb Iteraia i iar n zona de afiare a rezultatelor se prezint rezultatele pariale provenit de la iteraia curent i. Modulele sunt prevzute cu nc dou butoane de comand: Calculator i Return. Butonul Calculator deschide o fereastr n care se pot efectua calcule matematice. Apsarea butonului de comand Return are ca efect imediat ieirea din modulul problemei curente i pierderea definitiv a datelor. De aceea este recomandabil ca diferitele tipuri de date s se copieze n prealabil n Clipboard, de unde pot fi copiate cu uurin ntr-un document Word, de exemplu. Acest lucru se face apsnd butonul dreapta al mouse-ului pentru tabele, iar pentru grafice utiliznd butonul stnga.

2. Tipuri de probleme

2.1 Problema de transport (Classical Transportation Problem) Acest modul se ocup cu rezolvarea problemei de transport uzuale. Intrarea n modul se face din meniul principal astfel: Operative Planning->Transportation Planning. n principial, exist un numr de furnizori i de beneficiari ntre care se pot transporta anumite cantiti de marf cu un anumit cost. Se dorete minimizarea costului total de transport astfel nct cererea s fie satisfcut integral de ofert.

Notaiile folosite sunt: a(i) - cantitatea oferit de furnizorul i b(j) - cantitatea cerut de consumatorul j c(i,j) - costul de transport ntre i si j x(i,j) - cantitatea transportat ntre i I j ds(j) - diferena de cost n coloana j dz(i) - diferena de cost n linia i u(i) - variabila dual pe linia i v(j) - variabila dual pe coloana j

Soluia iniial este calculat cu metoda de aproximare a lui Vogel, iar soluia optim se obine cu ajutorul algoritmului MODI. Principala restricie impus datelor de intrare este ca acestea s fie ntregi. Dac problema nu este echilibrat (cantitatea total cerut nu este egal cu cantitatea total oferit), atunci echilibrarea se face introducnd, dup caz, un furnizor sau un consumator fictiv, ce tranzacioneaz o cantitate egal cu diferena de cantitate necesar echilibrrii i al crui cost este stabilit la 9999.

Exemplu : Societatea comerciala Tipar S.A. a ncheiat un contract cu Prigat

S.A. pentru 180.000 de etichete pentru buturi rcoritoare. n contract se specific faptul c Tipar va livra marfa la filialele clientului, n cantitile cerute de acesta. Livrarea se va face din produsele stocate n cele trei depozite ale firmei. n Tabelul 3.1. sunt prezentate costurile de transport de la fiecare depozit ctre cele patru filiale, numrul de etichete disponibile n fiecare depozit i numrul de etichete necesar fiecarei filiale. Costurile de

transport sunt exprimate n sute de mii de lei, iar etichetele n sute de mii de exemplare. Se dorete determinarea modului de livrare a etichetelor din depozite ctre filiale pentru a realiza minimizarea costului total de transport, astfel nct cererea s fie satisfacut integral de ofert.

Tabelul 3.1

Filiala Cluj

Filiala Braov

Filiala Iai

Filiala Ploieti

Disponibil

Depozit Bucureti

44.0 17.4 41.1 6.0 55

Depozit Constana

70.3 43.7 53.7 32.3 45

Depozit Sibiu 16.8 14.0 44.4 25.4 80 Necesar 60 40 30 50 180

Rezolvare: Mai nti se introduc datele iniiale ale problemei, specificndu-se

numrul de furnizori i de clieni, ntr-un tabel de tipul Tabelului 3.2.

Tabelul 3.2 c(i,j) J=1 j=2 j=3 j=4 a(i) dz(i) i=1 44 17 41 6 55 11 i=2 70 44 54 32 45 12 i=3 17 14 44 25 80 3 b(j) 60 40 30 50 180 ds(j) 27 3 3 19

Urmeaz rezolvarea propriu-zis a problemei, n dou etape: 1. Calculul soluiei iniiale cu ajutorul metodei de aproximare a lui

Vogel Vogel's approximation: Step 1: x(3,1)=60 Step 2: x(1,4)=50 Step 3: x(3,2)=20 Step 4: x(1,2)=5 Step 5: x(2,2)=15 Step 6: x(2,3)=30 Initial solution: Total costs: 3965

Calculul soluiei optime cu ajutorul algoritmului MODI MODI method New basic variable: X(2,4) X(2,2)=0 X(1,2)=20 X(1,4)=35 X(2,4)=15 Optimal solution: Total costs: 3950

n concluzie, se vor transporta urmtoarele cantiti de etichete ntre

depozite i filiale, date n Tabelul 3.3.:

Tabelul 3.3 Filiala

Cluj Filiala Braov

Filiala Iai

Filiala Ploieti

Disponibil

Depozit Bucureti

0 20 0 35 55

Depozit Constana

0 0 30 15 45

Depozit Sibiu 60 20 0 0 80 Necesar 60 40 30 50 180

Costul optim de transport al etichetelor este de 3950 u.m. Filiala din Cluj va primi 60.000 de etichete de la depozitul din Sibiu,

Filiala din Braov va primi 20.000 de etichete de la depozitul din Bucureti i 20.000 de etichete de la cel din Sibiu. Filiala din Iai primete tot necesarul de care are nevoie de la depozitul din Constana, iar filiala din Ploieti va primi 35.000 de etichete de la depozitul din Bucureti i 15.000 de la cel din Constana.

2.2 Drum minim n graf (Shortest Path Algorithm) Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Miscellaneous->Operation Research Algorithms->Shortest-Path Algorithms. Drumul minim ntr-un graf orientat dintre un nod oarecare i oricare alt nod se determin cu ajutorul algoritmului lui Dijkstra. Graful problemei se poate introduce fie prin matricea asociat grafului, fie folosind editorul de grafuri. n acest ultim caz trebuie avut n vedere c editorul de grafuri nu permite introducerea de arce paralele ntre aceleai dou noduri. Singura modalitate de a introduce i al doilea arc este

inserarea valorii dorite direct n matricea asociat grafului n poziia respectiv.

Notaiile folosite sunt: i,j,h - indexul nodurilor N-i - nodul i d(i,j) - lungimea arcului de la i la j MK - mulimea nodurilor marcate Distance(i) - distana de la nodul a (curent) la nodul i Predecessor(i) - predecesorul nodului i n drumul minim de la

a la i Exemplu: Transportul unor utilaje noi trebuie s se efectueze ntre localitile

Cluj i Bucureti folosind ci de comunicaie ce trec prin alte 6 localiti intermediare. n Tabelul 3.4. sunt prezentate costurile de transport (n sute mii lei) dintre localiti.

Tabelul 3.4

Bucureti Ploieti Braov Sibiu Sebe Alba Turda Cluj Bucureti - 3 11 6 0 0 0 0 Ploieti 0 - 8 4 7 0 0 0 Braov 0 0 - 3 8 0 0 0 Sibiu 0 0 0 - 1 0 9 0 Sebe 0 0 0 0 - 6 5 6 Alba 0 0 0 0 0 - 0 7 Turda 0 0 0 0 0 0 - 5 Cluj 0 0 0 0 0 0 0 -

S se determine succesiunea de localiti prin care trebuie organizat

transportul, astfel nct costul total de transport s fie minim.

Rezolvare: Nodurile vor fi notate dup cum urmeaz:

1 Bucureti 2 Ploieti 3 Braov 4 Sibiu

5 Sebe 6 Alba 7 Turda 8 Cluj

Dup introducerea grafului corespunztor problemei, se ncepe

rezolvarea acesteia prin selectarea butonului Start.

Iteration 1 New distance(2)=3, New distance(3)=11, New distance(4)=6, Labeled nodes: Set MK: { 2 3 4 } Iteration 2 New distance(5)=10, Labeled nodes: Set MK: { 3 4 5 } Iteration 3 New distance(5)=7, New distance(7)=15, Labeled nodes: Set MK: { 3 5 7 } Iteration 4 New distance(6)=13,

New distance(7)=12, New distance(8)=13, Labeled nodes: Set MK: { 3 6 7 8 } Iteration 5 Labeled nodes: Set MK: { 6 7 8 } Iteration 6 Labeled nodes: Set MK: { 6 8 } Iteration 7 Labeled nodes: Set MK: { 8 } Iteration 8 Labeled nodes: Set MK is empty

Rezultatele intermediare sunt descrise astfel: End! i Distance(i) Predecessor(i) 1 0 0 2 3 1 3 11 1 4 6 1 5 7 4 6 13 5 7 12 5 8 13 5

n concluzie, dup cum se observ din rezultatele finale, coloana

predecesorilor, pentru realizarea unui cost total de transport minim se parcurg localitile n urmtoarea succesiune: Bucureti -> Sibiu -> Sebe -> Cluj, distana fiind n acest caz minim, respectiv de 13 uniti (sute mii lei).

2.3 Analiza drumului critic (Activity Scheduling)

Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Operative Planning->Scheduling-> Activity Scheduling. Modulul realizeaz ordonanarea activitiilor sau operaiilor unui proiect folosind metoda CPM (Critical Path Method) de analiz a drumului critic.

Pentru fiecare activitate a proiectului se definete un timp de prelucrare i o list de activiti direct precedente. Aceast list poate fi introdus ca atare sau cu ajutorul editorului grafic. n urma execuiei algoritmului metodei CPM se obine o ordonare a intrrii n prelucrare a activitilor pe baza restriciilor de ordine. Este posibil s se obin soluii n care unele activiti s poat fi prelucrate ntr-o anumit marj de timp, pe cnd altele au momente de ncepere i terminare ce trebuie respectate obligatoriu. Aceste ultime activiti se numesc activiti critice, iar un set direct ordonat de activiti critice, care ncepe cu o prim activitate a proiectului i se termin odat cu execuia complet a proiectului se numete drum critic. ntr-un proiect exist unul sau mai multe drumuri critice.

Asupra datelor de intrare ale acestei probleme exist o serie de restricii:

durata de prelucrare a unei activiti este determinist graful proiectului este orientat i nu are circuite timpul dintre execuia a dou activiti consecutive este ignorat. n plus, pentru fiecare activitate se poate introduce un timp de

ntrziere (durata ntre sfritul activitii i i nceputul activitii succesoare j), care se utilizeaz pentru a specifica faptul c dou activiti consecutive se pot desfura n paralel.

Graful activitilor se poate construi n dou moduri: cu ajutorul editorului grafic. Graful trebuie construit de la stnga

spre dreapta, n ordinea cresctoare a indecilor activitilor. prin introducerea n primul ecran a listei activitilor i a listei de

precedene. Notaii: i - indexul activitilor D(i) - durata activitii i ES(i) - timpul de ncepere cel mai devreme al activitii i EF(i) - timpul de terminare cel mai devreme al activitii i LS(i) - timpul de ncepere cel mai trziu al activitii i LF(i) - timpul de terminare cel mai trziu al activitii i SL(i) - rezerva de timp a activitii i

Calculele efectuate, conform metodei CPM, sunt: EF(i) = ES(i) + D(i) ES(i) = max {EF(h) + timp ntrziere minim (h,i) | h din mulimea

predecesorilor lui i} LS(i) = LF(i) - D(i) LF(i) = min {LS(j) - timp intrziere minim (i,j) | j din mulimea

succesorilor lui i} Cele mai importante elemente, suficiente pentru soluia final, sunt

ES(i) i LF(i), care stabilesc urmtoarea relaie cu durata activitii:

ES(i) + D(i) LF(i).

Egalitatea se ndeplinete pentru activitile critice. Aplicarea metodei CPM presupune parcurgerea grafului nainte i napoi. Parcurgerea nainte seleteaz timpii minimi de prelucrare, iar parcurgerea napoi pe cei maximi.

n final, rezultatul este dispus sub forma unui un grafic Gantt n care activitile sunt reprezentate cu albastru nchis. Graful Gantt se poate baza fie pe timpul cel mai devreme de ncepere al unei activiti, fie pe cel mai trziu. Rezervele de timp apar cu albastru deschis.

Opional, se pot aloca resurse pentru activiti. n acest caz se reprezint grafic modul de ncrcare a resurselor.

Exemplu: Se pune problema construirii unei noi hale de producie. Se cere s

se analizeze modul de desfurare a activitilor care urmeaz s fie executate, astfel nct timpul de construcie s fie minim.

Proiectul presupune parcurgerea etapelor din Tabelul 3.5:

Tabelul 3.5

Rezolvare: Dup definirea grafului activitilor utiliznd una din cele dou

metode menionate, se ncepe parcurgerea nainte a acestuia, prin selectarea butonului Start. n aceast etap se vor completa coloanele corespunztoare timpilor celor mai devreme (ES(i) i EF(i)).

Pasul al doilea presupune parcurgerea napoi a grafului i completarea coloanelor aferente timpilor celor mai trziu (LS(i) i LF(i)). n final, se va completa ultima coloan a tabelului, cea corespunztoare rezervei totale de timp a activitilor (SL(i)).

Node ES(i) EF(i) LS(i) LF(i) SL(i) Task-1 7 2 9 2 Task-2 9 0 9 0 Task-3 9 15 9 15 0 Task-4 15 17 15 17 0 Task-5 15 19 15 19 0 Task-6 19 22 19 22 0 Task-7 22 26 22 26 0 Task-8 26 32 26 32 0 Task-9 32 40 32 40 0 Task-10 32 35 32 35 0 Task-11 35 37 35 37 0 Task-12 32 35 32 35 0 Task-13 32 36 32 36 0 Task-14 37 38 37 38 0

Nr.Crt. Simbol Denumire activitate Condiionri Durata 1 A Organizare antier (I) - 7 2 B Organizare antier (II) - 9 3 C Spturi A,B 6 4 D Evacuare pmnt C 2 5 E Turnare beton n fundaii C 4 6 F Ridicare stlpi susinere E 3 7 G Ridicare etaj I E,F 4 8 H Ridicare etaj II E,F,G 6 9 I Montare perei (prefabricate) F,G,h 8 10 J Acoperire cldire H 3 11 K Finisaj parter G,H,J,M 2 12 L Finisaj etaj I H,M 3 13 M Finisaj etaj II H,J 4 14 N Finisaj aspect exterior K 1

ntr-o alt seciune a ecranului acestei probleme se va construi graficul Gantt aferent, la timpii cei mai devreme sau cei mai trziu, n funcie de opiunea utilizatorului. Graficul Gantt pentru problema propus este reprezentat n Figura 3.1:

Task

1413121110987654321

0 10 20 30 40

Figura 3.1

n concluzie, timpul minim de desfurare a proiectului va fi de 38

de sptmni. Singura activitate necritic este prima, respectiv organizarea antierului I, care are o rezerv total de timp de 2 sptmni.

2.4 Fire de ateptare (Queuing Models)

Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Miscellaneous-

>Operations Research Algorithms->Queuing Models. Modulul trateaz diferite modele de sisteme de servire cu fir de

ateptare, n care principalii parametrii sunt: numrul de staii de servire lungimea firului de ateptare numrul de clieni. n funcie de gruparea acestor trei elemente se pot rezolva n acest

modul 4 tipuri de probleme cu fire de ateptare. Fiecare tip poate fi notat prescurtat utiliznd 3 litere, care indic: Repartiia sosirilor/Repartiia

timpilor de servire/Numrul staiilor de servire. Repartiiile sunt codificate cu ajutorul urmtoarelor litere:

M distribuii de probabilitate Poisson sau exponeniale D sosiri i serviri deterministe G distribuii de probabilitate generale.

Un sistem de servire presupune deci existena unui anumit numr de

staii paralele de servire a clienilor i a unui fir de ateptare de lungime finit sau nu. Duratele de servire a clienilor n fiecare staie i duratele de sosire n firul de ateptare a acestora urmeaz anumite legi de distribuie care n mod normal ar trebui s fie cunoscute. Acest lucru este ns greu de stabilit pentru fiecare problem n parte, motiv pentru care aceti timpi sunt introdui prin valorile lor medii, care depind direct de parametrii distribuiilor mai sus amintite.

Datele de intrare sunt, n ordinea de introducere: C numrul de staii de servire n paralel N numrul maxim de clieni n sistem ritmul mediu al sosirilor ritmul mediu al servirilor V(B) variaia timpilor de servire

Condiia principal de existena a corectitudii datelor de intrare este

respectarea urmtoarei inegaliti:

< C*

Nerespectarea acestei inegaliti duce la aglomerarea sistemului de servire, deoarece numrul de clieni sosii depete capacitatea de servire n timp util a sistemului.

Rezultatele finale ale problemei sunt date de urmtorii indicatori: Rho - factorul de utilizare a sistemului de servire (intensitatea traficului) Ls - numrul mediu de clieni ce ateapt n sistem, inclusiv cei n curs

de servire Lq - numrul mediu de clieni n firul de ateptare Ws - timpul mediu de ateptare n sistem (inclusiv timpul de servire) Wq - timpul mediu de ateptare n fir P(n) - probabilitatea ca n sistem s se gseasc n clieni la un moment dat P0=P(0) probabilitatea ca un client s nu atepte.

Aceste rezultate vor fi prezentate n cele dou ecrane din stnga ferestrei modulului. Ecranul inferior prezint rezultatele obinute prin rezolvarea tuturor problemelor dintr-o seciune de lucru.

Exemplu: Mai multe staii de servire La o tipografie sosesc zilnic clieni cu diferite comenzi. Tipografia

lucreaz n mod normal cu 4 maini de tiprit identice. Date statistice din anii precedeni au dus la urmtoarele rezultate: sosirile clienilor urmeaz o distribuie de tip Poisson, cu media de 25 clieni/zi, timpul de execuie al unei lucrri are o repartiie exponenial cu o medie de 18 lucrri/zi. S se determine probabilitatea ca un client s nu atepte n sistem.

Rezolvare : Se alege modelul M/M/c, aferent unui sistem cu mai multe staii de

servire, cu distribuie poissonian a sosirilor i distribuie exponenial a servirilor.

n urma rezolvrii problemei se obin urmtoarele rezultate:

Rho Ls Lq Ws Wq PO 1.3889 1.4202 0.0313 0.0568 0.0013 0.24768

n acelai timp, se numrul N de clieni din sistem n unitatea de

timp este reprezentat grafic n Figura 3.2.

Number n of customers in system

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6

Figura 3.2

Conform datelor finale, probabilitatea ca un client s nu atepte n sistem este P0 = 0.24768.

Programul ne permite s facem o analiz, respectiv ce s-ar ntmpla dac tipografia ar dispune de 2 sau respectiv 6 maini, prin faptul c rezultatele rmn disponibile de la o problem la alta, dup cum se poate observa din Figura 3.3.

Figura 3.3

Pe primul rnd avem rezultatele problemei iniiale, pe al doilea cazul cu 2 maini, iar pe al treilea rnd rezultatele pentru situaia cu 6 maini. Gaficul din dreapta este pentru ultima situaie analizat.

Din rezultate se observ ca probabilitatea ca un client s nu atepte crete destul de mult dac se utilizeaz 4 maini n loc de 2, dup care se stabilizeaz, ceea ce indic faptul c 6 maini nu ar fi justificate.

2.5 Amplasarea depozitelor centrale Un singur depozit central (modelul Steiner-Weber) Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Tactical Planning-

>Facility Location->Single facility location in the plane. Depozitul central se consider a fi un depozit care se aprovizioneaz

de la un singur furnizor i care deservete un anumit numr de clieni.

Pentru determinarea locaiei unui astfel de depozit central se utilizeaz o tehnic iterativ de gsire a soluiei. Obiectivul este de minimizarea a costurilor de transport att de aprovizionare, ct i de desfacere.

Mai nti depozitul central se consider a fi localizat n centrul de greutate al grafului format prin amplasarea clienilor i furnizorului. Centrul de greutate se calculeaz prin minimizarea ptratelor distanelor ntre clieni i furnizor. Iterativ, se caut apoi locaia cu costuri minime.

Problema presupune cunoaterea cantitilor cerute de clieni. Cantitatea aprovizionat de la furnizor (fabric) se stabilete egal cu suma total a cantitilor cerute. Dac se consider costurile de transport de aprovizionare (cost pe unitate transportat de la furnizor la depozit) a fi 0, furnizorul nu va influena amplasarea optim a depozitului.

Pe msura derulrii iteraiilor se va afia o hart n care clienii sunt reprezentai prin cercuri, furnizorul printr-un ptrat verde i amplasarea curent a depozitului central sub forma unui ptrat alb.

Notaii: i - indexul clienilor VZX(i) - coordonata X a clientului i VZY(i) - coordonata Y a clientului i W(i) - cantitatea transportat ctre clientul i Datele de intrare ale problemei sunt supuse urmtoarelor restricii: costurile sunt proporionale cu distanele amplasarea furnizorului unic i a clienilor sunt date ca puncte

ntr-un spaiu euclidian

Exemplu: ntreprinderea Metter SRL, cu sediul n Braov produce articole

promoionale pentr trei principali clieni care i desfoar activitatea n Sibiu, Cluj i Miercurea Ciuc. Costurile de transport de la fabric spre depozit este de 1.000.000 lei, iar costul de transport din depozit spre clieni este de 2.000.000 lei.

Dac se cunosc coordonatele fabricii i ale clienilor acesteia, ct i cantitatea lunar livrat spre fiecare client, s se gseasc amplasarea optim pentru depozitul firmei.

Rezolvare: n partea superioar a ecranului din Figura 3.4. sunt definite datele iniiale ale problemei, respectiv numrul de clieni, costurile de transport ctre i din depozit, amplasarea furnizorului i a clienilor i cantitile cu care se aprovizioneaz fiecare client.

Se selecteaz apoi butonul Run pentru a ncepe rezolvarea problemei. n urma fiecrei iteraii se selecteaz butonul Continue, pn ce se ajunge la soluia optim.

Figura 3.4

n acest caz, soluia optim a fost obinut dup 9 iteraii. Distanele optime sunt: spre primul client de 23.08 km, spre al doilea 66.75 km i respectiv 29.22 km pn la al treilea client. Distana optim ntre depozit i fabric este de 7.02 km, amplasarea fiind dat n figur.

Costul total de transport va fi de 12.467,65 mii lei.

Mai multe depozite Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Tactical Planning-

>Facility Location->Multiple discrete facility location. Dac se d un numr fix de fabrici (furnizori selectai dintr-un set

de locaii posibile) i se cunosc capacitile fabricilor, problema amplasrii clienilor n raport cu acestea astfel nct costul de transport s fie minim se rezolv cu ajutorul problemei de transport. Se calculeaz un cost total, format din costurile fixe ale fabricilor selectate i costurile optime de transport.

O amplasare potenial a unei fabrici poate fi exclus din setul de locaii selectat dac i se stabilete o capacitate (a(i)) nul. O valoare a(i)>0 include fabrica n soluie i duce la creterea costului total fix cu costul fix al fabricii.

Restricie: toate numerele trebuie s fie ntregi. Notaii: a(i) - capacitatea unei posibile locaii i b(j) - cererea clientului j f(i) - costurile fixe pentru o locaie i

Versiunea produsului PMT utilizat n rezolvarea problemelor din

culegere (PMT 3.5) rezolv aceast problem ca pe o simpl problem de transport, a crei rezolvare a fost deja exemplificat.

Versiunile superioare, ncepnd cu PMT 4.0 permit obinerea unei soluii grafice. n acest caz, soluia subproblemei de transport este reprezentat pe o hart n care dreptunghiurile roii reprezint posibile amplasri ale fabricilor, iar punctele verzi reprezint amplasarea clienilor, acestea putnd fi deplasate i cu ajutorul mouse-ului. Dreptunghiul alb semnific amplasarea posibil a unei fabrici deselectate (a (i) = 0).

2.6 Echilibrarea liniilor de fabricaie

Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Tactical Planning -> Production Line Balancing.

Problema echilibrrii liniilor de fabricaie este rezolvat printr-o procedur euristic bazat pe sortarea activitilor dup urmtoarele criterii:

1) valoarea cumulat a duratei activitii cu duratele succesorilor imediai

2) suma duratelor tuturor succesorilor unei activiti 3) numrul total de succesori 4) durata cea mai lung a unei activiti Mai nti se definete graful de precedene cu ajutorul editorului

grafic. Activitile sunt reprezentate prin noduri i trebuie s fie numerotate de la stnga spre dreapta. Se introduc apoi fie duratele, fie cantitatea planificat pe perioad. Durata unei perioade se presupune a fi de 480 de uniti de timp. Dac se introduce durata activitilor, cantitatea se adapteaz, i invers.

Procedeul este urmtorul: toate activitile sunt trecute ntr-un set de activiti candidate i

se verific dac pot fi repartizate pe maina curent dac nu se mai pot asigna activiti, se trece la urmtoarea main dac o activitate este repartizat pe o maina, toate arcele ce ies

din nodul corespunzator din graful de preceden vor fi terse setul activitilor candidate este format din activitile

corespunztoare nodurilor n care nu intr nici un arc. Duratele activitilor se considera a fi deterministe. Notaii: i - index-ul activitilor D(i) - durata activitii i AE-i - activitatea i

Exemplu: O fabric produce i comercializeaz biciclete Fulgerul, cererea

fiind de 540 de biciclete pe zi. Timpul de lucru este de 450 de minute pe zi, iar duratele i ordinea precedenelor pentru activitile desfurate la asamblarea bicicletei sunt date n Tabelul 3.6.:

Tabelul 3.6 Activitate Durat (secunde) Activiti precedente

A 45 - B 11 A C 9 B D 50 A E 15 D F 12 C G 12 C H 12 E I 12 E J 8 F, G, H, I K 9 J

Rezolvare: Introducem mai nti graful de precedene al problemei, cu ajutorul

editorului grafic prezentat n Figura 3.5.

Figura 3.5

Pentru rezolvarea problemei utiliznd acest graf de precedene selectm opiunea Return.

n fereastra de dialog aferent problemei de echilibrare, nainte de rezolvarea propriu-zis a problemei, mai trebuie s specificm

cantitatea de bicilete care se dorete a se produce Production

Quantity = 540 buci i durata ciclului de fabricaei Cycle Time = 450 min *60

sec/min = 27000 sec.

criteriul pe care l dorim pentru rezolvare. Rezolvm mai nti problema utiliznd primul criteriu, respectiv al

rangului (valoarea cumulat a duratei activitii cu duratele succesorilor imediai).

ntr-o prim etap, derulat odat cu selectarea opiunii Start, are loc ierarhizarea activitilor dup criteriul ales:

Ranking Rank Value Task 1 313.0 1 2 123.0 4 3 78.0 2 4 73.0 5 5 67.0 3 6 29.0 9 7 29.0 8 8 29.0 7 9 29.0 6 10 17.0 10 11 9.0 11

Selectarea repetat a opiunii Continue are ca efect parcurgerea

celorlate etape din rezolvare, cu obinerea urmtoarelor rezultate: intermediare respectiv alocarea succesiv a activitilor pe staii

de lucru

Intermediate Results Station 4 Candidate tasks: {6,7,8} Task 8 (t=12.0) assigned to station 4 remaining time 38.00 Candidate tasks: {6,7} Task 7 (t=12.0) assigned to station 4 remaining time 26.00 Candidate tasks: {6} Task 6 (t=12.0) assigned to station 4 remaining time 14.00 Candidate tasks: {10} Task 10 (t=8.0) assigned to station 4 remaining time 6.00 Assigned tasks: {8,7,6,10}

Station 1 Candidate tasks: {1} Task 1 (t=45.0) assigned to station 1 remaining time 5.00 Assigned tasks: {1} Station 2 Candidate tasks: {2,4} Task 4 (t=50.0) assigned to station 2 remaining time 0.00 Assigned tasks: {4} Station 3 Candidate tasks: {2,5} Task 2 (t=11.0) assigned to station 3 remaining time 39.00 Candidate tasks: {3,5} Task 5 (t=15.0) assigned to station 3 remaining time 24.00 Candidate tasks: {3,8,9} Task 3 (t=9.0) assigned to station 3 remaining time 15.00 Candidate tasks: {6,7,8,9} Task 9 (t=12.0) assigned to station 3 remaining time 3.00 Assigned tasks: {2,5,3,9}

Station 5 Candidate tasks: {11} Task 11 (t=9.0) assigned to station 5 remaining time 41.00 Assigned tasks: {11}

finale numrul de staii de lucru necesare i gradul de eficien al soluiei obinute

Task List

Number of stations: 5 Efficiency:78.00%

Se observ c soluia obinut utiliznd acest criteriu de rezolvare presupune utilizarea a 5 staii de lucru, modul n care sunt repartizate activitile fiind dat n Tabelul 3.7:

Tabelul 3.7

Staia 1 2 3 4 5 Activitatea A D B, E, C, I H, G, F, J K

Gradul de eficien este de 78%.

ncercm n continuare s rezolvm problema utiliznd i un alt criteriu, respectiv durata cea mai lung a unei activiti. n acest caz, activitile vor fi dispuse n urmtoarea ierarhie:

Ranking Rank Value Task 1 50.0 4 2 45.0 1 3 15.0 5 4 12.0 9 5 12.0 8 6 12.0 7 7 12.0 6 8 11.0 2 9 9.0 11 10 9.0 3 11 8.0 10

Rezultatele intermediare:

Intermediate results Station 1 Candidate tasks: {1} Task 1 (t=45.0) assigned to station 1 remaining time 5.00 Assigned tasks: {1} Station 2 Candidate tasks: {2,4} Task 4 (t=50.0) assigned to station 2 remaining time 0.00 Assigned tasks: {4} Station 3 Candidate tasks: {2,5} Task 5 (t=15.0) assigned to station 3 remaining time 35.00 Candidate tasks: {2,8,9} Task 9 (t=12.0) assigned to station 3 remaining time 23.00 Candidate tasks: {2,8} Task 8 (t=12.0) assigned to station 3 remaining time 11.00 Candidate tasks: {2} Task 2 (t=11.0) assigned to station 3 remaining time 0.00 Assigned tasks: {5,9,8,2}

Station 4 Candidate tasks: {3} Task 3 (t=9.0) assigned to station 4 remaining time 41.00 Candidate tasks: {6,7} Task 7 (t=12.0) assigned to station 4 remaining time 29.00 Candidate tasks: {6} Task 6 (t=12.0) assigned to station 4 remaining time 17.00 Candidate tasks: {10} Task 10 (t=8.0) assigned to station 4 remaining time 9.00 Candidate tasks: {11} Task 11 (t=9.0) assigned to station 4 remaining time 0.00 Assigned tasks: {3,7,6,10,11}

Rezultatele finale:

Task list Number of stations: 4 Efficiency:97.50%

Se observ c soluia obinut n acest caz are un grad de eficien

mult mai ridicat, respectiv 97.5%, iar activitile sunt repartizate doar pe 4 staii de lucru dup cum se vede n Tabelul 3.8.:

Tabelul 3.8 Staia 1 2 3 4 Activiti A D E, I, H, B C, G, F, J, K

2.7 Planificarea materialelor Clasificare ABC

Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Operative Planning->Material requirements planning->ABC Analysis.

ABC este o metod de clasificare a stocurilor astfel nct cea mai mare atenie li se acord acelor produse care, dac nu sunt tratate corect vor avea cea mai mare influen negativ asupra eficienei i eficacitii unei operaii. Materialele vor fi clasificate n funcie de o valoare de utilizare, care reprezint produsul dintre valoarea unitar i rata de utilizare a acestora. n majoritatea cazurilor se poate aplica Regula lui Pareto, conform creia aproximativ 20 din materiale reprezint aproximativ 80% din valoarea stocului. Aceste materiale sunt clasificate n Clasa A. Clasa B cuprinde 30% din materiale, care reprezint urmtoarele 10 procente de valoare. Clasa C este format din restul de 50% de materiale, care dein doar 10% din valoarea total.

n planificarea cererii de materiale se utilizeaz aceast clasificare pentru a delimita stocurile n funcie de impactul acestora asupra produciei (dac lipsa acestora din stoc poate sau nu s duc la oprirea produciei).

Exemplu: Pentru desfurarea corespunztoare a activitii de producie a unei

ntreprinderi sunt necesare 8 tipuri de materiale, fiecare influennd producia dup valorile de utilizare date n Tabelul 3.9.

Tabelul 3.9 Produs Valoare de utilizare 1 50 2 150 3 5 4 400 5 20 6 100 7 250 8 25

S se stabileasc produsele a cror absen din stoc afecteaz n cea mai mare msur producia.

Rezolvare: Mai nti, produsul reprezint grafic cumulul valorilor de utilizare,

grafic prezentat n Figura 3.6.

Cumul.%

usage

Cumul. % products

0

20

40

60

80

100

0 25 50 75 100

Figura 3.6

Rezultatele finale sunt dispuse n partea inferioar a ecranului, sub

forma unui tabel n care prima coloan ne prezint ordinea calculat a materialelor dup metoda ABC.

Product Usage value Cumul.%products Cumul.usage Cumul.%usage 4 400 12.50% 400 40.00% 7 250 25.00% 650 65.00% 2 150 37.50% 800 80.00% 6 100 50.00% 900 90.00% 1 50 62.50% 950 95.00% 8 25 75.00% 975 97.50% 5 20 87.50% 995 99.50% 3 5 100.00% 1000 100.00%

Se observ c materialele 4, 7 i 2 reprezint 80% din valoarea

cumulat de utilizare i pot fi clasificate n Clasa A, respectiv materiale de importan major n buna desfurare a produciei. Clasa B este format doar din materialul 6, iar n Clasa C intr restul de materiale: 1,8,5 i 3.

2.8 Cantitatea optim de aprovizionat (EOQ) Pentru a intra n acest modul se urmrete calea: Operative

Planning->Lot Sizing-> Economic Order Quantity. EOQ reprezint un model decizional bazat pe calculul diferenial

care determin dimensiunea optim pentru achiziionarea (Economic Purchase Quantity) sau producerea (Economic Manufacturing Quantity) materialelor dintr-un stoc. Cantitatea optim este cea care respect urmtoarea formul ntre cererea total i costurile totale de stocare.

Q = [sqroot](2cd/h)

Unde : Q = cantitatea de achiziionat (sau de produs)

c = costul de derulare a unei comenzi de achiziionare d = cererea pentru un anumit produs din stoc, pentru o

anumit perioad h = costul de stocare a unei uniti din produs.

Datele de iniiale ale problemei sunt formate din rata de cerere

(Demand Rate), valoarea costului de stocare (Holding Costs) i costul de aprovizionare (Ordering Costs).

Notaii : Bmax nivelul maxim al stocului TP lungimea ciclului de aprovizionare

Exemplu: Se pune problema aprovizionrii cu hrtie a copiatoarelor dintr-o

firm. Necesarul de hrtie este de 22 de cutii pe zi, 6 zile pe sptmn, 52 de sptmni pe an. Care este cantitatea optim de aprovizionat n condiiile n care costul de stocare a unei cutii de hrtie este de 2.8 $/an, iar costul de aprovizionare este 36 $/cutie?

Rezolvare: Cantitatea total de hrtie este de 6864 cutii /an (22 de cutii pe zi x 6 zile pe sptmn x 52 de sptmni pe an).

Introducem datele problemei n fereastra de dialog corespunztoare modulului, prezentat n Figura 3.7, i selectm opiunea Run pentru rezolvare :

Figura 3.7

n condiiile date, cantitatea optim de aprovizionat va fi de 420 de cutii de hrtie, cu un cost total de aproximativ 1176 $, la un interval de aproxiamtiv 3,12 sptmni (0.06 uniti de timp * 52 sptmni/an), respectiv 19 zile lucrtoare.

CAPITOLUL 3 - PMT1. Prezentare general a produsului PMT2. Tipuri de probleme2.1 Problema de transport (Classical Transportation Problem)2.2 Drum minim n graf (Shortest Path Algorithm)2.3 Analiza drumului critic (Activity Scheduling)2.4 Fire de ateptare (Queuing Models)2.5 Amplasarea depozitelor centrale2.6 Echilibrarea liniilor de fabricaie2.7 Planificarea materialelor Clasificare ABC2.8 Cantitatea optim de aprovizionat (EOQ)