Una din problemele actuale cu care se confrunt agenii economici este prognoza

Una din problemele actuale cu care se confrunt agenii economici este prognoza

nivelului rezultatelor unei anumite activiti. Pentru realizarea acestui obiectiv este necesar

nregistrarea valorilor rezultatelor pentru o perioad mai mare de timp i gsirea unei funcii

care s modeleze ct mai exact fenomenul studiat.

n teoria economic matematic, cele mai utilizate sunt modelele de ajustare a

datelor folosind metoda celor mai mici ptrate.

Vom prezenta un studiu de caz ce va fi abordat cu ajutorul acestei metode, utiliznd

ajustarea parabolic.

Volumul vnzrilor unui pachet de servicii turistice pe o perioad de 7 luni a

nregistrat urmtoarea evoluie:

Luna martie aprilie mai iunie iulie august septembrie

Volum

vnzri

(mii lei)

30 54 76 82 70 50 45

S se realizeze o prognoz pentru luna urmtoare.

Dispunerea valorilor sugereaz forma unei parabole.

Pentru simplificarea calculelor, tabelul precedent poate fi reprezentat sub forma:

xi -3 -2 -1 0 1 2 3

yi 30 54 76 82 70 50 45

Vom folosi funcia de ajustare f(x) = ax2 + bx + c.

Suma ptratelor erorilor este dat de funcia:

[ ] [ ]

= =

+ + = =

7

1

2 2 7

1

2 ) ( ) , , (

i

i i i

i

i i y c bx ax y x f c b a F .

Punem condiia ca suma ptratelor erorilor s fie minim:

=

=

=

0 ) , , (

0 ) , , (

0 ) , , (

'

'

'

c b a F

c b a F

c b a F

c

b

a

. Avem:

AE Turism durabil

Nr. 18 Noiembrie 2005 139

( )

( )

( ) + + =

+ + =

+ + =

=

=

=

7

1

2 '

7

1

2 '

7

1

2 2 '

2 ) , , (

2 ) , , (

2 ) , , (

i

i i i c

i

i i i i b

i

i i i i a

y c bx ax c b a F

x y c bx ax c b a F

x y c bx ax c b a F

rezult sistemul

= + +

= + +

= + +

= = =

= = = =

= = = =

7

1

7

1

7

1

2

7

1

7

1

7

1

7

1

2 3

7

1

7

1

2 7

1

2 7

1

3 4

0 7

0

0

i i

i

i

i i

i i

i i

i

i

i

i i

i i

i i

i

i

i

i i

y c x b x a

y x x c x b x a

y x x c x b x a

(*)

xi

2 yi xi

2 xi

3 xi

4 xi yi xi

2 yi

-3 30 9 -27 81 -90 270

-2 54 4 -8 16 -108 216

-1 76 1 -1 1 -76 76

0 82 0 0 0 0 0

1 70 1 1 1 70 70

2 50 4 8 16 100 200

3 45 9 27 81 135 405

=

=

7

1

0

i

i x

=

=

7

1

407

i

i y

=

=

7

1

2 28

i

i x

=

=

7

1

3 0

i

i x =

=

7

1

4 196

i

i x

=

=

7

1

31

i

i i y x

=

=

7

1

2 1237

i

i i y x

Sistemul (*) este echivalent cu:

=

=

=

= + +

= + + = + +

761 , 76

107 , 1

654 , 4

407 7 0 28

31 0 28 0

1237 28 0 196

c

b

a

c b a

c b a

c b a

Am obinut parabola de ajustare 761 , 76 107 , 1 654 , 4 ) ( 2 + + = x x x f .

Pentru prognoza lunii urmtoare vom considera x = 4 i rezult f(4) = 6,725 mii lei, adic

67.250.000 lei.