tsra cap stabilitatea sisistemelor

7/31/2019 TSRA Cap Stabilitatea Sisistemelor

1/11

C6 / 1

Capitolul 5

Stabilitatea sistemelor liniare

Coninut

1. Scopul lucrrii ................................................................................................. 12. Aspecte teoretice ............................................................................................ 1

2.1. Stabilitatea sistemelor liniare ................................................................... 12.1.1. Stabilitatea intern............................................................................... 12.1.2. Stabilitatea extern.............................................................................. 3

Algoritm de verificare a stabilitii............................................................................ 4Funcii Matlab utile.................................................................................................. 5

3. Aplicaii cu rezolvare analitici numeric.................................................. 54. Aplicaii de laborator ...................................................................................... 7

A.1. Aplicaie demonstrativ .............................................................................. 7A.2. Aplicaii cerute......................................................................................... 10

1. Scopul lucrrii

Lucrarea prezint noiunile de stabilitate interni extern a sistemelor liniare i a metodelepractice de testare a acestora. In proiectarea unui sistem de reglare automat este esenial sse asigure stabilitatea acestuia.

Dac sistemul ar fi instabil, evident c el nu ar putea asigura reglarea conform referinei

impuse. Trebuie spus c, spre deosebire de sistemele din natur, care sunt n general stabile(datorit respectrii principiului al doilea al termodinamicii), sistemele de reglare automatpot fi instabile (ele absorbnd energia necesar de la sursa care alimenteaz procesul cetrebuie reglat).

De aceea este important s se cunoasc proprietile eseniale ale stabilitii i metodele detestare a acesteia.

2. Aspecte teoretice

2.1. Stabilitatea sistemelor liniare

Sunt definite dou tipuri de stabilitate:- intern (sau n sens Liapunov),

- extern, sau de tip intrare mrginit - ieire mrginit, numit uneori BIBO (BoundedInput, Bounded Output).

2.1.1. Stabilitatea intern

Def.: Un sistem linear este intern asimptotic stabil dac:


2/11

Capitolul 5

C5 / 2

( ) 0=

tlimt

, unde: ( )

=

)SLDpentru(Zt,A

)SLNpentru(Rt,et

t

At

Considernd componenta de regim liber din evoluia strilor unui sistem 0)( xt , relaiade definiie spune c un sistem liniar este intern asimptotic stabil dac evoluia strilor saletinde ctre zero cnd t , n absena intrrilor (comenzi i perturbaii):

( ) ( ) 00 ==

xtlimtxlimt

lt

Observaii: Stabilitatea intern este o proprietate caracteristic matricei A. Matricele legatedirect de intrare/ieire B, C, D, nu intervin, fapt pentru care se spune c este o stabilitateintern sistemului.

Interpretarea stabilitii: Dac un sistem este ntr-o stare de echilibru oarecare, dat, i estescos din aceasta datorit unei aciuni exterioare el va reveni n starea iniial de echilibru la

ncetarea aciunii perturbatoare.

Verificarea stabilitii interne asimptotice se face utiliznd urmtoarea teorem:

Un sistem este intern asimptotic stabil daci numai dac:

a) n cazul sistemelor cu timp continuu Rt , valorile proprii ale matricei A aupartea real strict negativ:

0


3/11

Stabilitatea sistemelor

C5 / 3

unde:

C Semiplanul stng din planul C al numerelor complexe, exclusiv axa imaginar

( )01U Aria din interiorul unui cerc de raz 1, centrat n origine, exclusiv frontiera

Criteriul de verificare a stabilitii interne: Un sistem este intern asimptotic stabil dactoate valorile proprii ale matricei A din cadrul reprezentrii n spaiul strilor a sistemuluisunt n domeniul de stabilitate. Astfel:

1. se calculeaz valorile proprii ale matricei A (mulime numit spectrul

matricei, ( )A ), din reprezentarea n spaiul strilor, adic soluiile ecuaiei:

0= )AIdet( => ( )A

2. se testeaz dac aceast mulime este inclus n domeniul de stabilitatespecific sistemului considerat:

( ) CA pentru sisteme cu timp continuu

( ) ( )01UA pentru sisteme cu timp discret

Relaia de incluziune este strict, adic pentru stabilitatea asimptotic nu se admit valoriproprii pe frontiera domeniului de stabilitate.Observaie: Stabilitate simpl din mecanic, n care se admit i valori proprii pe frontierdar doar de ordinul unu de multiplicitate, din punctul de vedere al teoriei sistemelor nuprezint interes practic.

Not: Dac un sistem continuu este intern asimptotic stabil, adic 0)Re(


4/11

Capitolul 5

C5 / 4

Domenii de stabilitate sunt prezentate n Figura 5.1i Figura 5.2.

Dac sistemul este extern strict stabil la o intrare mrginit, ieirea este tot mrginit -BIBO.

Observaii: Stabilitatea intern depinde exclusiv de matricea A, iar cea extern depinde de

toate matricele/vectorii sistemului. innd cont c b)AIdet(

)AI(c)(H

T

=

+

, polii

funciei de transfer sunt o submulime a valorilor proprii ale matricei A, se observ cstabilitatea asimptoticintern o implic pe cea extern. Reciproca nu este adevrat.

Este posibil ca un sistem s nu fie intern asimptotic stabil, dar s fie extern strict stabil.Acest lucru se ntmpl dac n urma aducerii )(H la forma ireductibil se simplific

polii situai n zona de instabilitate. ns n teoria sistemelor nu se fac simplificri de poliinstabili pentru c se altereaz proprietatea de stabilitate.

Algoritm de verificare a stabilitii

Pentru testarea stabilitii interne i externe a sistemelor se vor parcurge urmtoarele etape:Etapa I: Se identific tipul sistemului i domeniul de stabilitate asociat acestuia.

Etapa II:

Pentru testarea stabilitii interne :

1. Se calculeaz valorile proprii ale matricei A, adic spectrul acesteia,

rezolvnd ecuaia ( ) 0= AIdetn

, unde n este dimensiunea sistemului.

2. Se verific apartenena tuturor soluiilor obinute la domeniul de stabilitate:

- pentru SLN: ( ) ( ){ }01 == AsIdetCs...,sA nn adic toatevalorile proprii sunt plasate n semiplanul negativ al numerelor complexe

- pentru SLD: ( ) ( ) ( ){ }0011 == AzIdetUz...,zA nn adictoate valorile proprii sunt plasate n interiorul cercului de raz 1, centrat

n origine

Pentru testarea stabilitii externe1. Se determin funcia de transfer a sistemului, cu relaia:

db)AI(c)s(H nT

+=1

2. Se calculeaz polii funciei de transfer, adic rdcinile numitorului

3. Se verific apartenena tuturor soluiilor obinute la domeniul de stabilitate

pentru SLN: ( )[ ] CsH iP

pentru SLD: ( )[ ] ( )01UzH i P

],...,1[ ni , unde n este dimensiunea sistemului


5/11


C5 / 5

Sistemul este stabil (extern sau intern) dac sunt verificate condiiile de la ultimele puncte.

Funcii Matlab utile

n testarea stabilitii se vor utiliza urmtoarele funcii Matlab:eig() pentru calculul valorilor proprii ale unei matrice;roots() pentru calculul rdcinilor unui polinom;det() n calculul determinantului unei matrice.

3. Aplicaii cu rezolvare analitici numeric

1. S se testeze stabilitatea intern i extern pentru urmtoarele sisteme cu timpcontinuu:

a)

=

10

101A ,

=

1

1b , ( )20=Tc

b)

=

32

10A ,

=

1

0b , ( )01=Tc

Sistemul a) soluie:

1) Testarea stabilitii interne. ( ) ( ){ }0==

AsIdetCsA

Calcul analitic: Se calculeaz valorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaiei

( ) 0=AsIdet :

( ) 110

101 2 =+

= s

s

sAsIdet => 1,1 21 == ss => ( ) { }

11,1 = CA

Calcul alternativ n Matlab: Valorile proprii ale unei matrice se obine cu funcia eig:

>> A=[1 10;0 -1];

>> eig(A)

ans =

1-1

Se verific soluiile anterioare, = Cs 12 => sistemul nu este intern asimptotic stabil.

2) Testarea stabilitii externe.

Calcul analitic: Se determin funcia de transfer cu relaia dbAsIcsH T += 1)()( ,unde d=0


6/11

Capitolul 5

C5 / 6

=> ( )

( )( )

1

12

1

1

1

10

10120

22

=

+

=s

s

s

s

s

sH

Calcul n Matlab:

>> A = [1 10;0 -1];

>> b = [-1;1];

>> cT = [0 2];

>> d = 0;

% Calculul functiei de transfer a sistemului

>> [num,den]=ss2tf(A,b,cT,d)

num =

0 2 -2

den =

1 0 -1

Funcia de transfer )(sH se aduce la forma ireductibil i se determin polii (rdcinilenumitorului):

( )

1

2

1

12)(

2 +=

=

ss

ssH => 11 =p => ( ) { }

= CsH 1P => sistemul este

extern strict stabil, dei intern nu este asimptotic stabil.

Sistemul b) soluie:

Rspuns: ( ) { } 12,1 = CA , sistemul este asimptotic intern stabil

( )( )( )21

1

++=

sssH => ( )[ ] { } = CsH 2,1P sistemul este extern strict stabil.

2. S se testeze stabilitatea interni extern pentru urmtorul sistem cu timp discret:

=

7.00

07.0d

A ,

=

0

2d

b , ( )11=Tdc

Soluie:

a) Testarea stabilitii interne

Se calculeaz valorile proprii ale matricei A, prin rezolvarea ecuaiei ( ) 0=AzIdet :

( )700

070

.z

.zAzIdet d

+

+= => 7.0,7.0 21 == zz


7/11


C5 / 7

sau alternativ numeric:

>> Ad=[-0.7 0;0 -0.7];

>> valori_proprii = eig(Ad)

valori_proprii =

-0.7000

-0.7000

ntruct ( )0, 121 Uzz sistemul este intern asimptotic stabil.

b) Testarea stabilitii externe. Deoarece sistemul este intern asimptotic stabil el este iextern strict stabil.

4. Aplicaii de laborator

A.1.Aplicaie demonstrativ

1. Un sistem cu timp continuu este descris de urmtoarele matrice:

[ ]001

0

1

1

700

020

001

=

=

= Tc,b,A

Se cere:a) S se verifice dac este intern asimptotic stabil;

b) S se determine funcia de transfer a sistemului i s se aduc aceast funcie la oform ireductibil;

c) S se vizualizeze simultan evoluia n timp a mrimilor de stare x i a mrimilor deieire y, considernd la intrare un semnal treapt-unitar i condiii iniiale nule:

0

0

0

0

x

=

a) S se testeze stabilitatea extern a sistemului i s se compare cu rezultatul obinutla punctul a).

Soluie:

Calcul analitic

Testarea stabilitii interne: ( ) ( ) 0det 3 ==

AsICsA


8/11

Capitolul 5

C5 / 8

0

700

020

001

100

010

001

det =

s => 7,2,1 321 === sss

( ) { } 17,2,1 = CA se observ c sistemul este instabil intern .

Testarea stabilitii externe:

Funcia de transfer a sistemului:

( ) [ ] ,

s

ss

sH 0

0

11

700

020 001001

1

+

++

=

Se observ c matricea (sI-A) este sub form Jordan, atunci inversa ei acesteia este:

1

10 0

11 0 01

0 2 0 0 02

0 0 71

0 0

7

ss

ss

s

s

++

+ = +

=> ( )23

32

0

1

1

7

1

2

1

1

12 ++

+=

++=

ss

s

ssssH

=> { }2 3 2 0 2, 1s s s+ + = 1 C polii fac parte din domeniul de stabilitate

( )Re 0< , rezultnd de aici c sistemul este stabil extern.

Calcul n Matlab:

% Calculul valorilor proprii ale matricei A, pentru testarea stabilitatii interne

A = [-1 0 0;0 -2 0;0 0 7];

b = [1;1;0];

ct= [1 0 0];

d = 0; valori_proprii = eig(A)

valori_proprii =

-1

-2

7

% Calculul functiei de transfer a sistemului

[num,den] = ss2tf(A,b,ct,d)


9/11


C5 / 9

num =

0 1 -5 -14

den =

1 -4 -19 -14

% Determinarea radacinilor numitorului functiei de transfer

radacinile_numitor = roots(den)

radacinile_numitor =

7.0000

-2.0000

-1.0000

Funcia de transfer a sistemului are forma: ( )14194

14523

2

=

sss

sssH

Adus la forma ireductibil: ( )1

1

+=

ssH , se observ c polul acesteia face parte din

domeniul de stabilitate, rezultnd c sistemul este stabil extern.

Simulare:

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

unde:C=[1 0 0]D=0

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

unde:C=[1 0 0;0 1 0;0 0 1 ]

D=[0; 0; 0]

marimil e de stare x1, x2, x3

marimea de iesire yStep

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp [s]

marimi de stare x1, x2, x3

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

timp [s]

marime de iesire y


10/11

Capitolul 5

C5 / 10

A.2. Aplicaii cerute

1. Considernd matriceaA a unui sistem cu timp continuu:

=

21

10A s se

precizeze dac sistemul este intern asimptotic stabil.

2. Funcia de transfer a unui sistem discretizat este: ( )41

12

/zz

zzH

+

= . S se

precizeze dac sistemul este extern strict stabil.

3. Fie funcia de transfer a unui sistem discret

( ) 20202 .z.z

z

zH +=, s

se determine

polii sistemului folosind conversia ntre modelul 'tf' i cel 'zpk'. S se reprezinte grafic(n planul complex), aceti poli i s se analizeze stabilitatea sistemului discret H(z).

4. Un sistem este dat de funcia de transfer ( )1

12 +

=s

zH . Se cere:

a) s se studieze stabilitatea sistemului cu timp continuu.

b) s se studieze stabilitatea sistemului discret obinut, pentru 1=h i3

=h .

5. Se consider SLN descris n spaiul strilor de matricele:

0 1A1 1

= [ ]01,

01 =

=

Tcb

Se cere:

a) s se studieze stabilitatea interni stabilitatea extern;

b) s se vizualizeze rspunsul sistemului la aplicarea unei intrri de tip treapt unitate.

c) s se discretizeze sistemul continuu cu un pas de discretizare h=0.2 i s se studiezestabilitatea interni stabilitatea extern a sistemului discretizat;

d) s se vizualizeze rspunsul sistemului discretizat la intrare treapt unitate.

6. Un SLN este descris de matricele:

[ ]001

0

1

1

700

030

002

=

=

= Tc,b,A .

Se cere:

a) s se verifice dac este intern asimptotic stabil;


11/11


C5 / 11

b) s se calculeze funcia lui de transfer i s se verifice dac este extern strict stabil.

c) s se discretizeze sistemul continuu cu un pas de discretizare h=0.2 i s se studiezestabilitatea interni stabilitatea extern a sistemului discretizat;

7. Se consider circuitul RL serie. Se cere:

a) s se studieze stabilitatea circuitului.

b) s se vizualizeze simultan evoluia n timp a mrimilor de stare x i a mrimilor deieire y, considernd la intrare un semnal treapt-unitari condiii iniiale nule.

c) s se analizeze ce se ntmpl cnd R=0?

8. S se studieze stabilitatea circuitului RLC serie. Explicai comportarea acestuia atunci

cnd R=0?9. S se analizeze stabilitatea sistemului ce descrie motorul de curent continuu cu

excitaie independent. Se va considera, de asemenea i cazul cnd RA=0. Se vaobserva c din punct de vedere al teoriei sistemelor comportarea sa este analoag cu acircuitului RLC, sistemele care le descriu fiind similare.

10. Considernd matriceaA a unui sistem cu timp continuu:

=

993312

111.01232

02110

A

s se precizeze dac sistemul este intern asimptotic stabil.

Indicaie: Pentru calculul numrului de condiionare al matricei se va utiliza funciaMatlab cond(A). Pentru verificarea rezultatului obinut la apelarea funciei eig(A)se utilizeazdescompunerea Schur, calculat cu funcia schur(A).

tsra cap stabilitatea sisistemelor

Documents