UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMISOARAFACULTATEA DE FIZICA

TEZA DE MASTERAT

Raspunsul unui detector de particuleUnruh-deWitt

ıntr-un spatiu-timp de tip wormhole

Coordonator stiintific,Lect.univ.dr. NICOLAEVICI Nistor

Masterand,BLAGA Robert-Cristian

Timisoara,2013

1

Abstract

In aceasta teza, am analizat raspunsului unui detector de particule de tip Unruh-deWittin spatiul Minkowski, respectiv intr-un spatiu-timp ce contine o gaura de vierme, indiferite scenarii. In cazul plat am investigat efectul variatiilor bruste si al tipului si tim-pul cuplarii asupra probabilitatii de tranzitie a detectorului. Variatiile, respectiv cuplareainteractiunii, actioneaza ca o perturbatie pentru campul cuantic, producand excitatii ceinduc tranzitii intre starile interne ale detectorului. In ambele scenarii apar oscilatiianomale, ce se amortizeaza odata cu trecerea timpului, probabilitatea tinzand spre o val-oare constanta in limita viitorului infinit. In cazul in care traiectoriile sunt etern uniformesau uniform accelerate se recupereaza rezultatele bine cunoscute din literature, i.e. prob-abilitate nula in cazul inertial, respectiv raspuns termal in cazul uniform accelerat. Inpartea a doua a tezei, am analizat raspunsul detectorului intr-un spatiu-timp ce contine ostructura topologica numita gaura de vierme (“wormhole”). Am obtinut solutiile ecuatieiKlein-Gordon pe acest spatiu-timp si am construit expresiile amplitudinilor de tranzitie.Am investigat raspunsul detectorului pe o traiectorie inertiala ce traverseaza radial gaurade vierme. Probabilitatea rezultanta prezinta un maxim la trecerea prin gaura, urmatade o perioada de oscilatii amortizate. La timpi mari probabilitatea tinde la o valoareconstanta nenula. Este remarcabil acest fapt, deoarece traiectoria este continua iar de-tectorul este cuplat etern. Caracteristicile curbei de probabilitate se datoreaza integraltopologiei induse de prezenta gaurii de vierme.

2

3

Cuprinsul

Introducerea 5

1 Modelarea unui detector de particule 71.1 Cuantificarea campurilor pe spatii curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Teoria detectorului Unruh-deWitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Raspunsul detectorului in spatiul Minkowski 132.1 Regularizarea functiei Wightman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Traiectorii inertiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Traiectorii accelerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Raspunsul detectorului in metrica de tip wormhole 223.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Modurile cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Amplitudinea, Probabilitatea si Rata de tranzitie . . . . . . . . . . . . . 273.4 Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala . . . . . . . . . . 29

3.4.1 Traiectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2 Contributia modului l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.3 Cazuri limita: E a, E a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.4 Probabilitatea totala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Concluzii 35

4

Introducere

Incepand cu publicarea in 1974 a celebrului articol despre radiatia gaurilor negre, decatre S.Hawking [6, 7], a inceput sa se contureze ideea ca fenomenele aflate la interfatadintre teoria campurilor cuantice si relativitatea generala sunt strans legate de termodi-namica. Hawking a aratat ca o gaura neagra formata de pe urma colapsului unei stele,un observator aflat la infinit o vede radiand cu un spectru termal la temperatura

T = ~κ2πck , (1)

unde κ este gravitatia la suprafata gaurii negre.In efortul de a intelege implicatiile rezultatului lui Hawking, in 1976 W.Unruh intro-

duce conceptul de detector de particule [26], o unealta cu ajutorul careia starea unui campcuantic poate fi investigat intr-un mod neambiguu, notiunea de particula fiind definitaintr-un mod operational ca ”ceva” ce este detectat de detector. Unruh a demonstrat caaceste efecte termale nu sunt restranse doar la spatiu-timp curbat, aratand ca un ob-servator uniform accelerat in spatiul Minkowski percepe vidul Minkowski ca fiind o baietermala la temperatura

T = ~a2πck , (2)

unde a reprezinta acceleratia observatorului.Modelele de detectoare s-au dovedit a fi un instrument foarte productiv, raspunsul

detectorului fiind investigat in diferite scenarii atat in spatiul-Minkowski [27, 25, 24, 8],cat si pe spatii curbate [15, 3, 2]. O a treia categorie de scenarii investigate in literaturaeste cazul spatiilor cu topologie netriviala [12, 13, 19]. In acest caz raspunsul nenul aldetectorului are o componenta ce nu este datorat nici miscarii, nici gravitatiei ci prezenteiunor conditii pe frontiera specifice, impuse de topologia spatiului.

In aceasta teza prezentam o analiza a raspunsului detectorului intr-un spatiu plat cecontine o structura topologica numita gaura de vierme (”wormhole”).

In primul capitol expunem elementele de baza ale teoriei campului cuantic pe spatiicurbate, semnaland problemele care apar. Apoi dezvoltam teoria detectoarelor de par-ticule aplicata modelului de detector Unruh-deWitt. Prezentam forma probabilitatii siratei de tranzitie pentru cazul general, pentru o traiectorie arbitrara.

In capitolul doi revizuim raspunsul detectorului pentru diferite cazuri in spatiul Minkowski.

5

Cuprinsul

Pentru traiectorii inertiale si uniform accelerate regasim rata nula respectiv rata termala,investigata amanuntit in literatura. Investigam probabilitatea si rata de tranzitie pen-tru traiectorii cu un salt in viteza si pentru traiectorii cu accelerare brusca, iar in finalanalizam traiectorii inertiale si accelerate pe timp finit (cu detectorul ”cuplat”/”pornit”la un timp finit).

In capitolul trei prezentam rezultate proprii pentru raspunsul detectorului intr-unspatiu ce contine o structura topologica numita gaura de vierme (”wormhole”). Inves-tigam raspunsul detectorului aflat pe o traiectorie radiala inertiala, ce trece prin gaura devierme. Utilizam modelul de detector Unruh-deWitt in interactiune cu un camp scalar.Pentru campul scalar gasim solutiile potrivita la ecuatia Klein-Gordon in spatiu-timpulwormhole (WH). Datorita topologiei netriviale introduse de gaura de vierme, probabil-itatea pentru detectorul inertial ce trece prin gaura de vierme va creste in momentultrecerii, stabilizandu-se la o valoare strict pozitiva. Rata de tranzitie va prezenta variatiiputernice in apropierea gaurii.

6

Chapter 1

Modelarea unui detector de particule

1.1 Cuantificarea campurilor pe spatii curbe

In aceasta sectiune introducem elementele de baza ale procedurii de cuantificare a cam-purilor pe spatii curbe si vom ilustra dificultatile intampinate. Pentru caracterizareastarilor campurilor au fost introduse diferite modele de detectoare de particule, deoareceacestea elimina ambiguitatile aparute in urma procedurii de cuantificare. Un text stan-dard despre cuantificarea campurilor cuantice pe spatii curbe, care deasemenea continesi elementele de baza ale teoriei detectoarelor de particul, este bine cunoscuta carte a luiN.Birrell si P.Davis [1].

Din punct de vedere formal, procedura de cuantificare a unui camp pe un spatiu-timp oarecare este similar cu cea din Minkowski. Primul pas este scrierea lagrangianului(pentru simplitate vom considera un camp scalar). Substitutiile necesare pentru a trecede la lagrangianul din Minkowski la cel general, sunt urmatoarele:

ηµν → gµν

∂µ → ∇µ (1.1)

unde gµν reprezinta tensorul metric, ηµν metrica Minkowski, iar ∇µ derivata covariantaasociata metricii gµν .

Notand cu m masa campului scalar, cu ξ cuplajul dintre camp si metrica, iar R estescalarul Ricci, si tinand cont de faptul ca, pentru campul scalar derivata covarianta esteegala cu derivata obisnuita, lagrangeanul este:

L = 12√−g [gµνφ,µφ,ν − (m2 + ξR)φ2]. (1.2)

Cu ajutorul lagrangeanului putem scrie actiunea, iar anularea variatiei actiunii in raport

7

1.1. Cuantificarea campurilor pe spatii curbe

cu φ, conduce la ecuatia de camp:

( +m2 + ξR)φ = 0, (1.3)

unde d’Alembertianul scris in metrica gµν are forma:

= 1√−g

∂µ(√−ggµν∂ν) (1.4)

Termenul ξRφ2 reprezinta cuplarea dintre camp si metrica. Pe langa valoarea obisnuitaξ = 0 (cuplare minimala), rol semnificativ maj joaca valoarea ξ = 1/6, pentru carecuplajul se numeste conform, deoarece in cazul in care m = 0 si campul se transforma caφ→ Ω−1(x)φ, actiunea si ecuatia de camp sunt invariante la transformarea (conforma):

gµν → Ω2(x)gµν , (1.5)

unde Ω este o functie (de cele 4 coordonate) reala ,continua si nesingulara.Exista un set complet de solutii ui ale ecuatiile de mai sus, ce respecta relatiile de co-

mutare standard, pe hipersuprafete spatiale constante Σ. Indicele i reprezinta schematicsetul complet de ”etichete” necesare pentru a defini univoc functiile ui.Orice solutie φ poate fi scrisa in functie de modurile ui, in felul urmator:

φ(x) =∑i

(aiui(x) + a†u∗i (x)

)(1.6)

Aplicand procedura canonica de cuantificare, coeficientii a† si a devin operatori de crearesi anihilare, si asupra lor vor fi impuse relatiile de comutare:

[ai, a†j] = δij, [ai, aj] = [a†i , a†j] = 0. (1.7)

Cu ajutorul operatorilor a si a† se construieste apoi spatiul Fock, in particular starea devid este definita de relatia:

ai|0〉 = 0 (1.8)

Din acest punct se ivesc primele probleme. Ele sunt legate de faptul ca setul de moduriui nu este unic, dimpotriva exista o infinitate de seturi de moduri care respecta ecuatiade camp. Alegem un set ui dintre acestea. Solutia φ poate fi scrisa in functie de acestea:

φ(x) =∑i

(aiui(x) + a†u∗i (x)

)(1.9)

8

1.1. Cuantificarea campurilor pe spatii curbe

Deoarece ambele seturi de moduri sunt complete, putem scrie un set in functie de celalalt:

uj = ∑i

(αjiui + βjiu∗i )

uj = ∑i

(α∗jiui − βjiu∗i ) (1.10)

Relatiile de mai sus se numesc transformari Bogolubov, iar coeficientii α si β se numesccoeficienti Bogolubov. Din relatiile de mai sus, si utilizand proprietatile de ortonormali-tatea a modurilor, gasim relatiile intre cele doua seturi de operatori de creare si anihilare:

aj = ∑i

(α∗jiai + βjia†i )

aj = ∑i

(αjiai − βjia†i ) (1.11)

Din relatiile de mai sus se observa clar ca, atata timp cat βji 6= 0, spatiile Fock definitede cele doua seturi de moduri nu vor fi echivalente, in special vidul |0〉 al unui set nu vafi anihilat de operatorii de anihilare al celuilalt set.

aj|0〉 = 0 (1.12)

aj|0〉 =∑i

β∗ji|1j〉 6= 0 (1.13)

Pentru a intelege continutul fizic al relatiei de mai sus, evaluam valoarea media a oper-atorului numar de particule Ni = a†iai, a modului ui, in starea de vid |0〉 a setului demoduri ui:

〈0|Ni|0〉 =∑j

|βij|2, (1.14)

de unde intelegem ca starea de vid |0〉 contine ∑j|βij|2 particule in modul ui.

In cazul spatiului Minkowski problema este una aparenta, deoarece avem un sistemde coordonate preferential caruia putem asocia un set ”natural” de moduri. Acest sis-tem de coordonate este cel cartezian (t, x, y, z), selectat de grupul Poincare, elementulde linie fiind invariant sub actiunea acestui grup. Vectorul ∂t este un vector Killing alspatiului Minkowski, ortogonal pe hipersuprafetele spatiale t = const, iar modurile suntfunctii proprii ale acestui vector, cu valoarea proprie −iω (pt. ω > 0, moduri cu frecventapozitiva). Continutul fizic al acestei ultime afirmatii este urmatorul: setul preferentialde moduri ne permite sa selectam un set de solutii cu frecventa pozitiva/negativa, starileexcitate ale carora le vom interpreta ca particul/antiparticule. Faptul ca vectorul Killing∂t este temporal pe toata varietatea si modurile fiind functii proprii ale acestuia ne garan-teaza ca separarea intre moduri nu va fi afectata pe parcursul evolutiei temporale (in altecuvinte modurile particula si antiparticula nu se vor amesteca intre ele). Vidul in acestcaz este invariant la transformarile Poincare sau, in alte cuvinte, acesta este vidul pe carei-l observa toti observatorii inertiali.

9

1.2. Teoria detectorului Unruh-deWitt

Intr-un spatiu curb oarecare, situatia este mult mai problematica. Grupul Poincarenu mai este un grup de simetrie al spatiu-timpului si in general nu va exista un vectorKilling cu ajutorul caruia sa definim frecventele pozitive. In unele cazuri de spatiu-timpam putea avea simetrie sub actiunea unor transformari restranse, cum ar fi rotatiile sautranslatiile, cazuri in care vom putea defini coordonate ”naturale” asociate cu vectoriiKilling, analog coordonatelor rectangulare din Minkowski, insa acestea nu se vor bucurade acelasi statut central ca cele corespunzatoare din Minkowski.

In concluzie, intr-un spatiu-timp oarecare in general nu exista o decompozitie ”natu-rala” a lui φ, ceea ce se traduce in inexistenta unui mod unic de definire a operatorilorde creare si anihilare, ceea ce se traduce intr-o ambiguitate in definirea starii de vid si aconceptului de particula.

1.2 Teoria detectorului Unruh-deWitt

Una dintre cele mai importante probleme in teoria cuantica a campului pe spatii curbeeste definirea clara a notiunii de particula. Dupa cum am vazut mai sus, in Minkowskiparticulele sunt definite cu ajutorul grupului de simetria, grupul Poincare. Astfel un modal ecuatiei de camp, care descrie o particula, este un mod de frecventa pozitiva in raportcu coordonata temporala obisnuita t. Sub actiunea transformarilor Poincare, solutiilede frecventa pozitiva se transforma in solutii de frecventa pozitiva, astfel conceptul departicula este acelasi pentru toti observatorii intertiali, in sensul in care toti observa-torii masoara acelasi numar de particule. Mai mult, vidul definit cu aceste moduri esteinvariant la tranformarile Poincare. Problemele intr-un spatiu curb oarecare devin evi-dente. Relativitatea generala ne spune ca toate sistemele de coordonate sunt echivalente,astfel nu exista o coordonata temporala preferentiata fata de care sa definim frecventelepozitive. Mai mult, grupul Poincare nu mai este grup de simetrie intr-un spatiu curboarecare, astfel definitia particulei din spatiul Minkowski nu poate fi extinsa.

O posibila solutie, sugerata de Unruh, deWitt si altii, a fost definirea notiunii departicula intr-un mod pragmatic, operational definind particula ca fiind ceva ce estedetectat de un detector de particule.

Detectorul original considerat de Unruh (1976) este o particula intr-o cutie cuplat cuun camp cuantic aflat intr-un spatiu curb. Detectarea unei particule se intampla atuncicand detectorul, sub influenta campului, efectuaza o tranzitie corezpunzatoare absorptieisau emisiei unei cuante a campului. Modelul lui deWitt (1979) este un model mai simpludecat cel initial al lui Unruh. Acesta din urma considera o particula cuantica (descrisade macanica cuantica obisnuita) cuplata cu un camp scalar printr-un operator de tipmonopol.

In cele ce urmeaza vom prezenta elementele de baza ale teoriei detectorului Unruh-deWitt.

10

1.2. Teoria detectorului Unruh-deWitt

Cele doua elemente cheie sunt: un camp scalar φ(x) , respectiv detectorul, un sistemcuantic cu doua nivele |E0〉, |E〉

Fara lipsa de generalitate, putem considera energia nivelului fundamental al detectoru-lui ca fiind 0, si o vom nota cu |0d〉. Traiectoria detectorului este x(τ), iar interactiuneadintre detector si camp o consideram punctiforma (caractaristic interactiunii de monopol)si realizata dealungul traiectoriei detectorului. Hamiltonianul ce descrie interactiunea areurmatoarea forma:

Hint = gm(τ)φ(τ), (1.15)

unde g este o constanta de cuplaj, iar m(τ) este momentul de monopol al detectorului.Evolutia operatorului de monopol este guvernata de hamiltonianul detectorului Hd:

m(τ) = eiHdτm(0) e−iHdτ (1.16)

Consideram sistemul format din detector si campul scalar in starea |0d〉|0φ〉 = |0〉, undecu |0φ〉 am notat starea de vid a campului scalar φ, la timpul τ0. Probabilitatea pe caredorim sa o aflam este cea, ca la un timp ulterior τ1 > τ0, detectorul sa se afle in stareaexcitata |E〉 (diferita de starea |E0〉 = |0d〉), indiferent de starea finala |φ〉 a campului.Pentru a calcula aceasta cantitate lucram in imaginea de interactiune unde evolutia op-eratorilor este guvernata de Hamiltonianul liber, iar evolutia starilor de Hamiltonianulde interactiune. Amplitudinea de tranzitie de interes este data de:

〈φ,E|0φ, 0det〉 = 〈φ,E|T exp[−i∫ τ1

τ0Hint(τ) dτ

]|0φ, 0d〉 (1.17)

unde T este operatorul de ordonare temporala, iar amplitudinea este calculata de la stareainitiala |0φ, 0det〉 la timpul τ = τ0, la starea finala |φ,E〉 la timpul τ = τ1. Constanta decuplaj fiind in general una mica, interesul principal este prezentat de termenul in ordinulintai al teroriei perturbatiilor. Acesta ia forma:

〈φ,E|0φ, 0d〉 = ig〈φ,E|∫ τ1

τ0dτ m(τ)φ(τ)|0φ, 0d〉 (1.18)

= ig〈E|m(0)|0d〉∫ τ1

τ0dτ eiEτ 〈φ|φ(τ)|0φ〉 (1.19)

Pentru a gasi probabilitatea ca detectorul sa efectueze o tranzitie, indiferent de stareafinala a campului, trebuie sa ridicam la patrat relatia de mai sus, iar apoi sa sumam dupatoate starile finale posibile |φ〉 ale campului.

∑φ

|〈φ,E|0φ, 0d〉|2 = g2|〈E|m(0)|0d〉|2∫ τ1

τ0dτ∫ τ1

τ0dτ ′ e−iE(τ−τ ′) 〈0φ|φ(τ)φ(τ ′)|0φ〉 (1.20)

Termenul din fata integralelor, numita de unii autori ”selectivitatea” detectorului, tine de

11

1.2. Teoria detectorului Unruh-deWitt

detaliile interne ale detectorului si este independent de traiectoria detectorului. Termenulal doilea se numeste functia de raspuns a detectorului si este universala in sensul ca nutine de detaliile detectorului.

Fτ0,τ1(E) =∫ τ1

τ0dτ∫ τ1

τ0e−iE(τ−τ ′)dτ ′〈0|φ(τ)φ(τ ′)|0〉 (1.21)

Urmatorul pas este sa facem o transformare de variabile, urmandu-l pe Schlicht [23], lavariabilele u = τ, s = τ − τ ′ pt. τ < τ ′ si u = τ ′, s = τ ′ − τ pt. τ ′ > τ . Astfel functia deraspuns devine:

Fτ0,τ1(E) = 2∫ τ1

τ0du∫ u−τ0

0dsRe

(e−iEs〈0|φ(u)φ(u− s)|0〉

), (1.22)

unde ne-am folosit de faptul ca 〈0|φ(τ)φ(τ ′)|0〉 = 〈0|φ(τ)φ(τ ′)|0〉∗. Daca redenumimτ1 = τ si diferentiem aceasta expresie dupa τ , gasim formula ratei de tranzitie ca fiind:

Fτ0,τ (E) = 2∫ τ−τ0

0dsRe

(e−iEs〈0|φ(τ)φ(τ − s)|0〉

)(1.23)

Observam ca rata are contributii doar in intervalul [τ0, τ ], contribuie doar evolutia dintrecut a detectorului si in acest sens este cauzala. Daca functia 〈0|φ(τ)φ(τ ′)|0〉 esteinvarianta la translatii in timp, in alte cuvinte, depinde doar de ∆τ = τ − τ ′, expresiaratei poate fi simplificata la forma [12]:

Fτ0,τ (E) =∆τ∫−∆τ

ds e−iEs 〈0|φ(s)φ(0)|0〉, (1.24)

unde acum am notat ∆τ = τ − τ0.Pentru a intelege semnificatia fizica a ratei de tranzitie, o scriem in forma urmatoare:

Fτ0,τ (E) = limδτ→0

Fτ+δτ,τ0 −Fτ,τ0

δτ(1.25)

Din formula de ma sus devine evident ca rata de tranzitie compara raspunsul detectoarelordin doua ansambluri coerente de detectori, unul masurat la timpul τ , iar celalalt la τ+δτ .F fiind proportional cu probabilitatea de tranzitie, este strict non-negativa. In schimb Fpoate avea domenii negative, conditia fiind ca integrala ratei pe tot intervalul, fiind egalacu probabilitatea la finalul intervalului, sa dea o valoare pozitiva.

12

Chapter 2

Raspunsul detectorului in spatiul Minkowski

In cele ce urmeaza vom folosi modelul Unruh-deWitt de detector de particule in inter-actiune cu un camp scalar fara masa, pentru a investiga raspunsul detectorului aflat pediferite traiectorii in spatiul Minkowski. Rata de tranzitie este investigata amanuntit inliteratura, atat pentru traiectorii inertiale cat si pentru traiectorii accelerate.

2.1 Regularizarea functiei Wightman

Campul scalar respecta ecuatia Klein-Gordon fara masa. Expandam campul in functiede un set standard de solutii ortonormale ale ecuatiei de camp:

φ(t,x) =∫ d3k

(2π) 32√

2ω

(a(k)e−i(ωt+kx) + a†(k)ei(ωt+kx)

), (2.1)

unde pentru camp fara masa ω = |k|.Pentru calcularea ratei avem nevoie de functia de corelatie 〈0|φ(x)φ(x′)|0〉, pe care o

calculam utilizand expansiunea de mai sus a campului φ.

〈0|φ(x)φ(x′)|0〉 = 1(2π)3

∫ d3k

2ω(e−iω(t−t′)+ik(x−x′)

)(2.2)

Integrala de mai sus se poate rezolva trecand la coordonate sferice, insa integrala dupa |k|rezulta intr-o divergenta ultra-violeta ce trebuie eliminata regularizand integrala. Regu-larizarea obisnuita, cunoscuta in literatura ca prescriptia - iε, consta intr-un cut-off expo-nential pentru modurile de frecventa mare, realizata prin introducerea termenului e−iε|k|

sub integrala. Dupa efectuarea integralelor ajungem la expresia urmatoare:

〈0|φ(x)φ(x′)|0〉 = − 14π2

1[(t− t′ − iε)2 − (x− x′)2] , (2.3)

unde intelegem t = t(τ),x = x(τ) si t′ = t′(τ ′),x′ = x′(τ ′).In [23], Schlicht (2004) arata ca functia de corelatie de mai sus nu este potrivita si

13

2.1. Regularizarea functiei Wightman

propune o regularizare alternativa. Argumentul principal este ca aplicand functia decorelatie de mai pentru o traiectorie uniform accelerata, cu detectorul pornit (”cuplat”)la τ0 = −∞, rezulta intr-o rata dependenta de timpul τ in loc de rezultatul (termal)independent de timp asteptat. Solutia propusa consta in modificarea functiei de core-latie prin utilizarea unei metode diferite de regularizare. Noua regularizare este gasita,considerand detectorul punctiform ca limita unui detector extins in spatiu. Un argumentputernic pentru noua regularizare este faptul ca un model de detector extins ar trebui safie un model mai apropiat de un detector real, decat detectorul punctiform.

Abordarea lui Schlicht consta in considerarea detectorului ca un obiect extins, ceramane rigid in sistemul propriu al detectorului, sistem construit cu ajutorul coodonatelorFermi [16]. O incercare de a modela un detector ce nu poate proba distante mai micidecat o lungime caracterista ε consta in inlocuirea operatorului de camp din punctulx(τ), in hamiltonianul de interactiune, cu valoarea mediata a operatorului, intr-un volumcaracteristic Vε, centrata in punctul respectiv.

Φ(τ) =∫Vεd3ξ φ(x(τ, ξ)), (2.4)

unde (τ, ξ) reprezinta coordonatele Fermi. Efectul medierii (spatiale) este introducereaunui cut-off la distante mici, care se traduce intr-o incapacitate a detectorului de a detectamodurile cu frecvente mari. Cu Φ(τ) putem acum calcula functia de corelatie. Observamca in limita ε→ 0, aceasta se reduce la expresia integrala a functiei de corelatie obisnuite.

O generalizare a medierii elementare de mai sus este medierea operatorului de camputilizand o functie de fereastra cu lungime caracteristica ε.

Φ(τ) =∫d3ξ Wε(ξ)φ(x(τ, ξ)) (2.5)

Putem folosi o functie de fereastra cu suport infinit, daca functie descreste suficient derepede la distante mari, sau putem considera o dimensiuni cu adevarat finita pentrudetector , folosind o functie de fereastra nenula doar pe un domeniu finit. Indiferent decaz, functia Wε trebuie sa respecte:

∫d3ξ Wε(ξ) = 1, (2.6)

pentru ca medierea unei functii constante sa rezulte in aceeasi constanta. De asemeneapentru ca limita ε → 0 sa ne redea campul in acel punct, functia de fereastra trebuie saaproximeze functia δ - Dirac.

Functia de fereastra poate fi aleasa in diverse forme, insa cea considerata de Schlichteste avantajoasa deoarece integralele din expresia functiei de corelatie se pot calcula exact.

Wε(ξ) = 2π2

ε

(ξ2 + ε2)2 , (2.7)

14

2.2. Traiectorii inertiale

numita uneori si functie de fereastra Lorentz. Regularizarea introdusa de aceasta estesimilara cu regularizarea iε obisnuita, doar ca in cazul acesta cut-off-ul modurilor defrecvente mari este realizat in sistemul propriu al detectorului, spre deosebire de cazuliε, unde cut-off-ul este efectuat la modurile de frecvente inalte vazute de observatoriiinertiali. Pentru miscarea inertiala a detectorului cele doua regularizari sunt echivalente.Dupa calcule laborioase se ajunge la urmatoarea forma a functiei de corelatie:

〈0|φ(x)φ(x′)|0〉 = − 14π2

1(t− t′ − iε(t+ t′))2 − (x− x′ − iε(x + x′))2 , (2.8)

unde se subintelege ca t,x respectiv t′,x′, sunt functii de τ respectiv τ ′.

2.2 Traiectorii inertiale

Primul caz pe care i-l consideram este cel al detectorului aflat pe o traiectorie inertiala.Calculam rata de tranzitiei [1.23, 1.24] utilizand functia de corelatie [2.8]. Parametrul εdin functia de corelatie utilizata, fiind lungimea caracteristica a detectorului, o vom fixala o valoare mica dar finita, investigarea limitei ε→ 0 fiind amanata la sfarsitul sectiuniiprezente.

Detector static

Pentru detectorul aflat in repaus, traiectoria este t = τ, x = x0 = const. In cazul incare detectorul este pornit la τ0 = −∞, rata de tranzitie este:

Fτ (E) = − 14π2

∞∫−∞

dse−iEs

(s− 2iε)2 (2.9)

Dupa cum am mentionat anterior, functia de corelatie in acest caz este echivalenta cucea obtinuta de pe urma regularizarii iε obisnuite. Integrala poate fi evaluata cu teoremareziduurilor. Polul se afla pe semiaxa imaginara pozitiva, astfel pentru E > 0 rata estenula. Cazul E < 0 ar corespunde unei tranzitii la un nivel inferior al detectorului, in altecuvinte unei emisii spontane, consideram insa doar tranzitiile de la nivelul fundamental|0d〉 a detectorului la un nivelul superior |E〉. Rezultatul este unul anticipat, deoarecerata nula arata ca detectorul ce sta in Minkowski nu se va excita.

Am considerat mai sus un detector ce sta pe loc, insa functia de corelatie pentru undetector ce se misca cu o viteza constanta v este aceeasi, iar rata va fi identic nula. Acestlucru este garantat de altfel, de faptul ca generatorii boosturilor sunt vectori Killing aispatiu-timpului Minkowski si astfel toate marimile fizice trebuie sa fie independente dev.

15

2.2. Traiectorii inertiale

Pornire brusca

Investigam in continuare miscarea detectorului pe traiectorii inertiale ce au un salt inviteza. Considerand saltul in viteza la τ = 0, traiectoria detectorului este:

t(τ) = θ(τ)γτ + θ(−τ)τ

x(τ) = θ(τ)γvτ, (2.10)

unde θ este functia Heaviside, iar γ este factorul de contractie Lorentz, iar τ ∈ −∞,∞Desi traiectoria este inertiala pe ambele intervale, va aparea o rata nenula in momentulsaltului deoarece functia de corelatia acum nu mai este invarianta la translatii in timpulτ . Putem anticipa forma ratei: 1) pentru timpi negativi detectorul este static, rata fiindnula 2) pentru τ →∞ rata din nou va fi nula, deoarece in caz contrar probabilitatea ardiverge 3) rata va fi puternic localizata in jurul punctului τ = 0, momentul saltului inviteza.

Figure 2.1: Probabilitatea (stanga) si rata (dreapta) de tranzitie pentru detector pe traiec-toria cu pornire brusca, pentru E = 0.1 si ε fixat la valoarea 0.01.

Figure 2.2: Probabilitatea (stanga) si rata (dreapta) de tranzitie pentru detector pe traiec-toria cu pornire brusca, pentru v = 0.5 si ε fixat la valoarea 0.01.

Pornirea brusca trebuie interpretat ca si cazul limita al unei accelerari pe un interval detimp, atunci cand intervalul tinde la zero. Pornirea actioneaza ca o perturbatie ce excita

16

2.2. Traiectorii inertiale

campul. Intervalul de timp asociat perturbatiei fiind foarte mic (nul, in limita), vor fiexcitate si modurile de frecventa mare a campului. In cazul detectorului cu extinderespatiala, lungimea caracteristica ε finita a detectorului, limiteaza absorbtia modurilor defrecventa mare rezultand intr-o probabilitate finala finita. Daca luam cazul limita ε→ 0,probabilitatea va fi divergenta. Observam ca aparitia divergentei are nevoie de ambeleingrediente pentru a aparea: 1) sa fie excitate modurile de frecventa arbitrar de mare alecampului, 2) detectorul sa poate absorbi pe acestea.

Traiectorii pe interval de timp finit

Pana acum am considerat detectorul ”pornit” la τ0 → −∞. Intr-un scenariu mai realist,de interes este raspunsul unui detector ce este pornit la un moment τ0 si ”functioneaza” peun interval ∆τ finit. Rata va contine contributii datorate pornirii detectorului, ”cuplarea”pe care o consideram este instantanee, astfel ca rata de tranzitie este:

Fτ0,τ (E) = − 14π2

∆τ∫0

dsRe

(e−iEs

(s− 2iε)2

)(2.11)

Observam ca formula de mai sus poate fi rescrisa ca o suma de doi termeni, unul dintre eifiind rata obisnuita pentru interval infinit de timp propriu, iar cel de-al doilea un termende corectie.

Fτ0,τ (E) = − 14π2

∞∫0

−∞∫

∆τ

dsRe( e−iEs

(s− 2iε)2

)(2.12)

Prima integrala este cea pentru interval infinit si am vazut in cazul traiectoriei pentrudetectorul static, ca contributie ei este nula. A doua integrala este un termen de corectiedatorat cuplarii detectorului si o vom nota cu F∆τ .

F∆τ (E) = − 12π2

∫ ∞∆τ

dscos(Es)

(s− 2iε)2 , (2.13)

echivalent cu rezultatul obtinut de Svaiter si Svaiter [25]. Autorii au notat ca aceastaintegrala are domenii de valori negative. Important este ca rata sa se anuleze in limitaasimptotica si ca probabilitatea sa fie pozitiva pe tot intervalul, ceea ce se si poate vedeade pe fig[2.3]. Raspunsul detectorului in cazul cuplarii la timp finit difera semnificativ decazul pornirii bruste, in special prin faptul ca raspunsul detectorului in cazul cuplarii esteindependenta de viteza v, functia Wightman fiind invarianta la boosturi. Rata nenulaeste un efect al initierii interactiunii camp-detector si nu depinde de viteza detectorului.Raspunsul detectorului pe timp finit a fost studiat in detaliu in ref [25, 24, 8].

In acest caz am considerat o cuplare brusca a detectorului. In limita detectoruluipunctiform apar probleme, probabilitatea si rata de tranzitie fiind dependente de ε, dupa

17

2.2. Traiectorii inertiale

Figure 2.3: Probabilitatea (stanga) si rata (dreapta) de tranzitie pentru detectorul petraiectorie uniforma, cuplat la τ0 = 0. E = 1, v = 0.5.

cum se vede din figura [2.3]. O alternativa este cuplarea adiabiatica realizata cu ajutorulunei functii continue χ(τ). In acest caz se poate face fara probleme limita ε → 0, insaraspunsul detectorului va depinde de forma explicita a functiei χ(τ). Pornirea bruscaeste limita cand functia de cuplare devine functia treapta Θ(τ).

Influenta functiei de cuplare asupra raspunsului detectorului a fost investigata in[24, 15, 22]. Efectele diferitor functii de fereastra folosite pentru modelarea detectorului,in metoda de regularizare introdusa de Schlicht, a fost studiata in [14].

Limita ε→ 0

Revenim acum la problema limitei detectorului punctiform. Primul lucru ce merita ev-identiat este ca, folosind regularizarea lui Schlicht si interpretand regularizatorul ε cafiind lungimea caracteristica a detectorului (fixat la o valoare mica, dar finita), probabil-itatile si ratele in toate cazurile mai sus studiate sunt finite. Parametrul ε introduce uncut-off pentru modurile de frecvente mari. In interpretarea standard natura divergenteieste pusa pe seama prabusirii teoriei campurilor cuantice la frecvente/energii arbitrar demari (echivalent: la distante mici). In interpretarea regularizatorului ε ca si lungimeacaracteristica a detectorului, eliminarea divergentei este de ordin practic: detectorul fiindextins in spatiu, nu poate absorbi cuante de frecvente arbitrar de mari ale campului.

In limita detectorului uniform rata si probabilitatea diverg logaritmic cu ε → 0, asacum se observa si din fig[2.4]. Pentru detectorul pornit pe timp finit diverge atat ratacat si probabilitatea, un rezultat surprinzator este insa ca pentru detectorul pornit laτ0 = −∞ desi rata este nula, probabilitatea diverge in limita ε→ 0.

18

2.3. Traiectorii accelerate

Figure 2.4: Rata de tranzitie (stanga) pentru detectorul in miscare uniforma, cuplat lamomentul τ0 = 0. Raspunsul detectorului este afectata de variatia dimensiunii caracteris-tice ε doar in zona timpilor mici. In conditia in care am fixat parametrului ε la o valoaremica dar finita, rata se va anula in limita timpilor mari (τ →∞), in limita detectoruluipunctiform insa rata va diverge logaritmic cu ε (graficul din dreapta)

2.3 Traiectorii accelerate

Miscarea uniform accelerata

Consideram in continuare detector ce se misca pe o linie de univers uniform acceleratadescrisa de traiectoria:

t(τ) = α sinh(τ

α

)x(τ) = α cosh

(τ

α

), (2.14)

unde a este acceleratia (constanta) pe traiectorie, iar detectorul este cuplat la τ0 → −∞.Dupa un pic de reorganizare, ajungem la urmatoarea forma pentru functia de corelatie:

W (τ, τ ′) = − 1(4π)2

1(α sinh

(τ−τ ′2α

)− iε cosh

(τ−τ ′2α

))2 (2.15)

Functia de corelatie fiind invarianta la translatii temporale, rata de tranzitie se scrie:

Fτ (E) = − 1(4π)2

∞∫−∞

dse−iEs(

α sinh(s

2α

)− iε cosh

(s

2α

))2 (2.16)

Integrala se poate rezolva cu teorema reziduurilor, rezultatul fiind:

Fτ (E) = ω

2π1

e2πωα − 1 , (2.17)

19

2.3. Traiectorii accelerate

Figure 2.5: Rata de tranzitie (linie continua) a detectorului care sta pana la τ = 0, iarapoi accelereaza brusc cu a = 1. Initierea accelerarii actioneaza ca o perturbatie ce produceefecte tranzitorii, in limita timpilor mari rata revine la cea termala (linie punctata),calculata pentru detector etern accelerat.

rezultatul clasic regasit in literatura. Rata respecta conditia KMS:

Fτ (E) = e−ET Fτ (−E), (2.18)

unde am notat T = 12πα . Se spune ca rata in cazul detectorului accelerat este termala,

deoarece este egala cu rata unui detector static aflat in echilibru termodinamic cu obaie termala (de particule) cu temperatura T. In acest caz exista o relatie intre emisiaspontana si absorbtie, reflectata in cazul detectorului accelerat de conditia KMS.

Accelerare brusca

Urmatorul caz investigat este cazul detectorului ce se misca inertial pana la un mo-ment τc, iar apoi accelereaza cu acceleratie constanta 1/α. Traiectoria detectorului estedescrisa de:

t(τ) = α sinh(τ/α) Θ(τ) + τ Θ(−τ)

x(τ) = α cosh(τ/α) Θ(τ), (2.19)

unde Θ este functia (treapta) Heaviside, si am considerat τc = 0.Observam ca in limita asimptotica rata tinde spre valoarea termala, iar efectele ac-

celerarii bruste sunt tranzitorii si se observa doar la ∆τ = τ − τc mic.

Accelerare uniforma pe interval de timp finit

Ultimul caz investigat este cel al miscarii uniform accelerate, cu detectorul pornit laun moment τ0. Cuplarea detectorul din nou o consideram instantanee. Raspunsul detec-

20

2.3. Traiectorii accelerate

Figure 2.6: Rata de tranzitie (linie continua) a detectorului care sta pana la τ = 0, iarapoi accelereaza brusc cu a = 1. Initierea accelerarii actioneaza ca o perturbatie ce produceefecte tranzitorii, in limita timpilor mari rata revind la cea termala (linie punctata),calculata pentru detector etern accelerat.

torului poate fi separat ca si in cazul miscarii inertiale, intr-o constributie egala cu cea adetectorului cuplat la τ0 = −∞ plus o corectie datorata intervalului de timp finit.

Fτ0,τ (E)

= − 1(4π)2

∞∫0

−∞∫

∆τ

dsRe e−iEs(

α sinh(s

2α

)− iε cosh

(s

2α

))2

, (2.20)

unde prima integrala este rezultatul termal [2.17], iar integrala a doua este corectia sieste egala cu:

F∆τ (E) = 1(4π)2

∫ ∞∆τ

dscos(Es)

(α sinh( s2α)− iε cosh( s

2α))2 (2.21)

Termenul de corectie, fiind o functie para in E, nu respecta conditia KMS, astfelraspunsul detectorului aflat in miscare uniform accelerata, cuplat la un timp finit intrecut nu este termal in acest sens. Pentru τ → ∞ termenul de corectie se anuleaza, sirata astfel in limita asimptotica revine la natura termala.

21

Chapter 3

Raspunsul detectorului in metrica de tipwormhole

In acest capitol investigam raspunsul detectorului de particule Unruh-deWitt intr-unspatiu-timp ce contine o structura topologica tip gaura de vierme (”wormhole”). Dupacunostintele noastre, in momentul de fata nu exista nici o lucrare publicata pe temaefectului Unruh in legatura cu metrici de tip gaura de vierme.

3.1 Geometria

Consideram cel mai elementar tip de gaura de vierme, regasita in literatura sub numele”thin-shell wormhole”, descrisa de metrica:

ds2 = −dt2 + dr2 + r2(ρ)(dθ2 + sin2θdφ2), (3.1)

unde coordonata radiala r este:

r(ρ) = a+ |ρ|, ρ ∈ (−∞,∞) (3.2)

Observand ca, coordonata fizica ρ ia atat valori pozitive cat si negative, metrica de maisus descrie doua spatii Minkowski unite dealungul unei sfere cu raza r = a. Cele douaregiuni, cu sgn(ρ) = ±, descriu cate un spatiu Minkowski cu o bila de raza a exclusa.Curbura nenula este localizata exclusiv pe sfera r = a, scalarul Ricci fiind egal cu:

R = −8aδ(ρ) (3.3)

Odata cu publicarea in (1988) a articolului [18, 17], de catre M.Morris si K.Thorne, aluat avant studiul gaurilor de vierme. Desi in momentul de fata nu exista dovezi ca gaurilede vierme ar exista in Univers, totusi investigarea lor este utila in primul rand ca si unealtade predat/invatat relativitate generala, iar in al doilea rand pentru studierea campurilorcuantice pe varietati cu topologie netriviala. O parte semnificativa din literatura legata

22

3.2. Modurile cuantice

de gauri de vierme este legata de studierea stabilitatii gaurilor de vierme [4, 20]. Directiide cercetare alternative sunt: progararea undelor in spatiul WH [10], calcul de self-forcepentru diferite cazuri [11], investigarea fluctuatiilor vidului in prezenta gaurii de vierme[21]. Un text de baza despre gauri de vierme este cartea lui M.Visser [28].

In momentul de fata, dupa cunostiintele noastre, nu exista nici un articol in literaturacare studiaza efectul Unruh in legatura cu spatii ce contin gauri de vierme. Un studiucuprinzator despre efectul Unruh pe spatii cu topologie netriviala apartinand autoruluiP.Langlois, este [12].

3.2 Modurile cuantice

Consideram un camp scalar fara masa, cuplat minimal la campul gravitational, ce re-specta ecuatia Klein-Gordon: (

4− ∂2

∂t2

)ϕ(x, t) = 0, (3.4)

unde operatorul d’Alembert este scris cu ajutorul metricii [3.1]Efectuam o analiza Fourier dupa timp asupra campului ϕ:

ϕ(x, t) =∞∫−∞

ϕ(x, ω)e−iωt, (3.5)

cu fiecare componenta satisfacand ecuatia de unda tip Helmholtz:

(∇2 + k2)ϕ(x, ω) = 0, (3.6)

unde am notat k2 = ω2/c2. Deoarece problema poseda simetrie sferica, este potrivit sacautam solutii corespunzatoare coordonatelor sferice. In aceste coordonate operatorulLaplace are forma:

∇2 = 1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ 1r2sinθ

∂

∂θ

(sinθ

∂

∂θ

)+ 1r2sin2θ

∂2

∂φ2 (3.7)

Solutiile in unde sferice la ecuatia undelor scalare, se gaseste in [9]. Datorita simetrieisferice, putem separa variabilele unghiulare de cea radiala, astfel ca solutia generala laecuatia [3.6] este:

ϕ(x, ω) =∑l,m

flm(r)Ylm(θ,Φ), (3.8)

23

3.2. Modurile cuantice

unde Ylm sunt armonicele sferice definite de

Ylm =

√√√√2l + 14π

(l −m)!(l +m)! P

ml (cosθ)eimφ, (3.9)

iar functiile radiala flm satisfac ecuatia radiala:[d2

dr2 + 2r

d

dr+ k2 − l(l + 1)

r2

]flm(r) = 0, (3.10)

cu r(ρ) = a+ |ρ|.In cazul cuplarii non-minimale, ecuatia de mai sus mai contine un termen datorat

interactiunii cu campul gravitational localizat in ρ = 0, termen de forma ξR = −8ξ δ(ρ)a

Ecuatia radiala se rezolva gasind solutiile pe cele doua regiuni sgn(ρ) = ±, undeecuatia este echivalenta cu ecuatia radiala obisnuita din Minkowski, iar apoi egalandsolutiile (si derivatele lor) in punctul ρ = 0.Cu substitutia:

flm(r) = 1√rulm(r), (3.11)

ecuatia [3.10], devine:[d2

dr2 + 1r

d

dr+ k2 −

(l + 12)2

r2

]ulm(r) = 0 (3.12)

Ecuatia de mai sus este ecuatia Bessel cu ν = l + 12 . Astfel forma generala a solutiilor

pentru ecuatia radiala [3.10] este:

flm(r) = Alm√rJl+ 1

2(kr) + Blm√

rNl+ 1

2(kr) (3.13)

De regula, se definesc functiile Bessel si Hankel sferice prin:

jl(z) =√π

2z Jl+12(z) (3.14)

nl(z) =√π

2z Nl+ 12(z) (3.15)

h(1,2)l (z) =

√π

2z [Jl+ 12(z)± iNl+ 1

2(z)] (3.16)

In cazul spatiului Minkowski, impunand conditia ca solutiile sa fie finite pe toata va-rietatea si stiind ca functiile Nl(z) diverg pentru z → 0, coeficientul Blm trebuie sa seanuleze, solutiile fiind de forma:

flm(z) ∼ jl(z) (3.17)

24

3.2. Modurile cuantice

Observam ca pentru metrica wormhole [3.1], limita inferioara pentru coordonata ra-diala este r = a. Astfel functiile Nl(z) raman solutii viabile, deoarece in cazul nostruele nu diverg in niciun punct de pe varietate. Din acest motiv putem considera si solutiiconstruite cu ajutorul functiilor Hankel sferice. Forma acestora este:

h(1,2)(z) = e∓iz

z(...) , (3.18)

unde paranteza contine un polinom cu coeficienti complecsi de gradul l in 1/z. Aces-tea descriu unde sferice incidente si emergente. Construim solutiile pentru spatiu-timpulwormhole in functie de acestea. Avem doua tipuri de moduri:

1) unde incidente din zona ρ > 0 (indice σ = +)2) unde incdiente din zona ρ < 0 (indice σ = −).

Forma functiilor radiale este:

f+ω`(ρ) =

Nω`

[h

(2)` (ωr)−Rω` h

(1)` (ωr)

]if ρ > 0

Nω`

[Tω` h

(1)` (ωr)

]if ρ < 0,

(3.19)

f−ω`(ρ) =

Nω`

[Tω` h

(1)` (ωr)

]if ρ > 0

Nω`

[h

(2)` (ωr)−Rω` h

(1)` (ωr)

]if ρ < 0.

(3.20)

Coeficientii de reflectie si transmisie se gasesc impunand conditii de continuitate de clasaC1 asupra solutiilor in ρ = 0.

ϕ(a+ 0+) = ϕ(a+ 0−)

ϕ(a+ 0+)′ = −ϕ(a+ 0−)′, (3.21)

unde in a doua relatie derivarea se face dupa variabila r, iar semnul ”−” apare datoritafaptului ca

dr = sgn(ρ) dρ (3.22)

Dupa un pic de algebra, si utilizand formula cunoscuta pentru wronskianul a doua functiiHankel sferice [5]:

W [h(1)l (z), h(2)

l (z)] = −2iz2 , (3.23)

25

3.2. Modurile cuantice

Figure 3.1: Coeficientii de reflexie (Rω) si transmisie (Tω).

Figure 3.2: Partea reala a functiilor radiale [3.19] incidente din zona ρ > 0.

ajungem la urmatoarea forma pentru coeficientii de reflectie si transmisie:

Rω` = [h(1)` (ωa)h(2)

` (ωa)]′

2h(1)` (ωa)h(1)

` (ωa)′, (3.24)

Tω` = −i(aω)2

h(1)` (ωa)h(1)

` (ωa)′. (3.25)

Forma explicita a coeficientilor pentru l = 0, 1, 2 se gaseste in anexa A.Coeficientul Nωl se gaseste impunand conditia de ortonormalitate a modurilor (in

raport cu produsul scalar obisnuit pentru campul scalar):

(ϕσω `m, ϕσ′

ω′` ′m′) = δσ, σ′ δ(ω − ω′) δ`, ` ′ δm,m′ , (3.26)

cu rezultatul:Nω` = ω√

2π(3.27)

Functiile radiale f±ωl(r) reprezinta unde incidente din universul σ = ±, ce se imprastiepe gaura de vierme rezultand intr-o parte reflectata si o parte transmisa. In mod intuitiv,modurile cu lungimea de unda 1/ω a (unde a este largimea gaurii de vierme) nu potpatrunde prin gaura de vierme ele fiind complet reflectate, iar modurile cu lungimea deunda 1/ω a trec neimprastiate prin gaura, partea reflectata fiind foarte mica. Acest

26

3.3. Amplitudinea, Probabilitatea si Rata de tranzitie

lucru este confirmat de formele asimptotice ale coeficientilor de transmisie si reflectie[3.24,3.25]. Pentru frecvente mici coeficientul de reflexie devine unitar iar cel de transmisienul (reflexie totala), iar pentru frecvente mari coeficientul de reflexie devine nul iar celde tranmisie unitar (transmisie totala).

In continuare aplicam procedura canonica de cuantificare pentru campul scalar ϕ.Expansiunea in moduri a campului este:

ϕ(x) =∑α

aαϕα(x) + a†αϕ∗α(x), (3.28)

unde indexul α denota setul complet de numere cuantice necesare pentru a descrie inmod unic modurile, in cazul nostru acestea fiind α = σ, ω, l,m. Coeficientii a† si adevin operatori de creare si anihilare, ce respecta relatiile de comutare:

[aα, a†β] = δα,β , [aα, aβ] = [a†α, a†β] = 0, (3.29)

unde δα,β semnifica functie delta-Kroenecker pentru indicii discreti, respectiv functiadelta-Dirac pentru indicii continui.

Modurile cuantice ϕα(x) sunt solutiile ecuatiei Klein-Gordon [3.4], gasite mai sus:

ϕσω`m(t, ρ, θ, φ) = fσω` (r)Y`m(θ, φ) e−iωt, (3.30)

cu armonicele sferice Y`m definite in [3.9], iar functiile radiale fω` [3.19,3.20] cu coeficientiide transmisie si reflexie respectiv coeficientul de normalizare dat de [3.24,3.25] respectiv[3.27].

3.3 Amplitudinea, Probabilitatea si Rata de tranzitie

Marimile pe care dorim sa le aflam sunt probabilitatea si rata de tranzitie a detectorului,de la starea fundamentala |E0〉 la starea excitata |E〉. Pentru aceasta avem nevoie inprimul rand de amplitudinea de tranzitie a sistemului detector - camp scalar de la starea|0, E0〉 = |0〉|E0〉, starea fundamentala a detectorului si starea de vid a campului, lastarea |α,E〉 = |ϕα〉|E〉, starea campului descrisa de setul de numere cuantice α si stareaexcitata a detectorului. Amplitudinea este data de:

A 0, E0→α,E(τ) = 〈E|µ(0)|E0〉 ×τ∫

τ0

dτ eiEτ 〈α|ϕ(x(τ))|0〉 ≡ Aα(E, τ). (3.31)

Neglijam primul termen din formula amplitudinii, ”sensitivitatea detectorului”, aceastanefiind dependenta de traiectoria detectorului ci doar de detaliile interne ale acestuia.

27

3.3. Amplitudinea, Probabilitatea si Rata de tranzitie

Utilizand expansiunea [3.28] a operatorului de camp, amplitudinea devine:

Aα(E, τ) =τ∫

τ0

dτ eiEτϕ∗α(x(τ)), (3.32)

Observam ca amplitudinea este nenula doar in cazul in care starea α descrie o stareuniparticula. Data fiind amplitudinea [3.32], probabilitatea de tranzitie se calculeaza casi:

Pα(E, τ) = |Aα(E, τ)| 2 (3.33)

Marimea fizica ce ne intereseaza este probabilitatea ca detectorul sa faca o tranzitie de lastarea fundamentala la cea excitata, indiferent de starea finala a campului scalar. Pentrua obtine aceasta probabilitate ”totala”, trebuie sa sumam probabilitatea ”partiala” demai sus dupa toate starile finale α posibile ale campului

P(E, τ) =∑α

Pα(E, τ) (3.34)

Rata de tranzitie corespunzatoare se poate obtine direct din probabilitatea finala:

R(E, τ) = d

dτP(E, τ) (3.35)

Formula [3.35] se interpreteaza in modul descris in pragraful [1.25].Procedura de mai sus este folositoare in cazul in care cunoastem functia Wightman:

W (x, x′) =∑α

ϕα(x)ϕ∗α(x′), (3.36)

cu ajutorul careia probabilitatea totala se scrie:

P(E, τ) =τ∫

−∞

dτ1

τ∫−∞

dτ2 W (x(τ1), x(τ2)). (3.37)

Alternativ, in cazul in care nu stim forma explicita a functiei Wightman, se poate gasi ratatotala de tranzitie prin calcularea mai intai a ratelor ”partiale” cu ajutorul probabilitatilorpartiale

Rα(E, τ) = d

dτPα(E, τ) (3.38)

Rα(E, τ) = 2Reϕ∗α(x(τ))

τ∫−∞

dτ ′e−iE(τ−τ ′)ϕα(x(τ ′)) , (3.39)

28

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

iar apoi efectuand suma dupa toate starile finale ale campului:

R(E, τ) =∑α

Rα(E, τ) (3.40)

In cazul nostru setul de numere cuantice ce descrie unic modurile este α = σ, ω, l,m,astfel ca: ∑

α

→∞∫0

dω∑l

∑m

∑σ

, (3.41)

iar modurile cuantice ϕα sunt cele obtinute mai sus [3.30].

3.4 Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

3.4.1 Traiectoria

Consideram un detector cuplat la τ0 = −∞ ce se misca pe traiectoria:

t(τ) = γτ

r(τ) = a+ |γvτ |

φ(τ) = 0 (3.42)

θ(τ) = 0

Faptul ca miscarea se produce in planul θ = 0 selecteaza modurile cu m = 0 in ampli-tudinea de tranzitie, deoarece

Y m6=0l (φ, 0) = 0 (3.43)

Traiectoria descrie un detector aflat in miscare uniforma radiala ce vine de la ρ → ∞(universul notat cu σ = +), care in momentul τ = 0 trece prin gatul gaurii de viermeiar apoi continua miscarea uniforma prin universul σ = − . Datorita topologiei netrivialeintroduse de existenta gaurii de vierme, la trecerea prin τ = 0 coordonatele unghiularenu se transforma

φ→ φ

θ → θ (3.44)

Observam ca aceasta traiectorie este continua. In cazul miscarii rectilinii uniforme inspatiul Minkowski la trecerea prin τ = 0 coordonatele unghiulare se transforma ca:

φ→ φ+ π

θ → π − θ, (3.45)

29

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

pe cand traiectoria [3.42] descrie un detector ce se misca cu viteza constanta pana inτ = 0 iar apoi continua cu viteza −v mergand inapoi pe aceeasi traiectorie.

3.4.2 Contributia modului l = 0

Incepem analiza raspunsului detectorului in metrica wormhole aflat in miscare pe traiecto-ria [3.42], cu contributia modului l = 0 la probabilitatea/rata totala de tranzitie. Analizacontributiei modului l = 0 este semnificativa din doua motive 1) forma simpla a modurilesi a coeficientilor de reflectie si de transmisie permite manipularea analitica intr-o oarecaremasura, lucru imposibil pentru contributiile de ordin arbitrar de mare, iar 2) din formaacestei probabilitati/rate partiale putem trage unele concluzii asupra probabilitatii/rateitotale. Amplitudinea pentru aceasta contributie este:

A0(E, τ) =τ∫

−∞

dτ eiEτ ϕσ ∗ω00(x(τ), t(τ)), (3.46)

unde ϕσω00 este modul [3.30], cu l = m = 0. Scrisa explicit, amplitudinea arata in felulurmator:

t < 0 : A+0 (E, t) =

τ∫−∞

dτ eiEτ(f+ω0(r)Y00(φ, θ) e−iωt

)∗

=√

14π

τ∫−∞

dτ Nω0(h

(1)0 (ωr)−R ∗ω0 h

(2)0 (ωr)

)ei(E+γω)τ

=√

18π2ω

τ∫−∞

dτ

(−ie

iωr

r+ e2iaω

1 + iaω

ie−iωr

r

)ei(E+γω)τ

= ieiaω√8π2ω

τ∫−∞

dτ

(ei(E+γω(1 + v))τ

(1 + iaω)(a− γvτ) −ei(E+γω(1− v))τ

a− γvτ

)(3.47)

t > 0 : A+0 (E, t) = A+

0 (E, 0−) +τ∫

0

dτ eiEτ(f+ω0(r)Y00(φ, θ) e−iωt

)∗

= A+0 (E, 0−) +

√1

4π

τ∫0

dτNω0(T ∗ω0 h

(2)0 (ωr)

)ei(E+γω)τ

= A+0 (E, 0−)−

√1

8π2ω

τ∫0

dτ

(iaω e2iaω

1 + iaω

ie−iωr

r

)ei(E+γω)τ

= A+0 (E, 0−)− iaω

1 + iaω

ieiaω√8π2ω

τ∫0

dτ

(ei(E+γω(1 + v))τ

a+ γvτ

)(3.48)

30

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

Figure 3.3: Contributia modului l = 0 la probabilitatea de tranzitie a detectorului aflatin miscare radiala uniforma pe traiectoria [3.42] in spatiu-timpul WH descris de metrica[3.1]

Probabilitatea partiala se obtine sumand contributia celor doua tipuri de moduri si inte-grand dupa toate frecventele posibile:

P0(E, t) =∞∫0

dω(|A+

0 | 2 + |A−0 | 2)

(3.49)

Integrala dupa frecvente din [3.34,3.41] nu se poate calcula analitic din cauza depen-dentei complicate a coeficientului de reflectie si transmisie de frecventa. Reprezentamgrafic probabilitatea in functie de ρ.

Se observa ca probabilitatea variaza puternic in jurul r = a (gatul gaurii de vierme),este non-negativa pe tot domeniul si converge la o valoare strict pozitiva in limita timpilormari. In comparatie probabilitatea analoga in cazul detectorului ce se misca rectiliniuuniform in spatiul Minkowski este nul in limita τ → ∞. Pentru a vedea acest lucru,amintim ca functiile radiale in Minkowski sunt functiile Bessel sferice jl cu normalizareapotrivita (functiile nl diverg in limita nula a argumentului). Amplitudinea se scrie:

AM0 (E) ∼∞∫−∞

dτ ei(E+ γω)τj0(ωr) (3.50)

Pentru detectorul static (t = τ, r = const.) amplitudinea:

AM0 (E) ∼∞∫−∞

dτ ei(E+ γω)τ = δ(E + γω) (3.51)

este nula deoarece argumentul functiei delta-Dirac este mereu pozitiva.

31

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

Figure 3.4: Probabilitatea partiala l = 0

Pentru un detector aflat in miscare rectilinie uniforma descrisa de traiectoria:

t = γτ

r = |γvτ |

φ = Θ(τ) π

θ = Θ(τ) π, (3.52)

amplitudinea este:

AM0 (E) ∼∞∫−∞

dτ ei(E+ γω)τj0(ωr)Ylm(θ, φ) (3.53)

∼∞∫−∞

dτ

τei(E+ γω(1 + v))τ −

∞∫−∞

dτ

τei(E+ γω(1− v))τ (3.54)

In pasul intermediar ne-am folosit de paritatea functiilor Bessel sferice si a armonicelorsferice:

jl(−z) = (−1)l jl(z) (3.55)

Ylm(π − θ, π + φ) = (−1)l Ylm(θ, φ) (3.56)

Cele doua integrale se pot calcula cu teorema reziduurilor. Integranzii au cate un polin τ = 0. Reziduurile polilor fiind egale, amplitudinea si implicit si probabilitatea seanuleaza.

In cazul WH pentru timpi mari (τ → ∞) amplitudinea se poate scrie cu ajutorulfunctiei Exponential Integral:

Ei(z) =z∫

−∞

et

tdt (3.57)

32

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

Utilizand notatiile:α± = (E + γω(1± v)) a

γv, (3.58)

amplitudinea se scrie:

A+0 (E) = e−iα−

v(π+iEi(iα+))− 1

1 + iωa

e−iα+

v(π+iEi(iα−))− ωa

1 + iωa

eiα+

v(π+iEi(−iα−)),

(3.59)analog si A−0 . Probabilitatea nu poate fi calculata analitic, recurgem la calcul numeric.

In fig [3.5] am analizat dependenta probabilitatii de v si E.In continuare investigam comportamentul probabilitati in cazurile limita ale parametrilor

de care depinde: E a, E a.

3.4.3 Cazuri limita: E a, E a

Figure 3.5: Comportamentul probabilitatii partiala l = 0 pentru E a. Am reprezentatgrafic P0(E)× E6, cu a fixat la unitate. Se observa ca probabilitatea scade cu E6.

Cazul E a

In limita energiilor mari probabilitatea scade, dupa cum se observa din fig[3.5], cu E6.Aceasta dependenta este caracteristica traiectoriilor cu continuitate C1.

Cazul E a Investigarea limitei a→ 0 este dificila datorita dependentei coeficientilorde reflectie si transmisie de a. Cautam sa aproximam amplitudinea [3.59], pentru a E.Am gasit ca aproximatia:

A±0 (E) ∼ ln

[1 + ω

Eα+

1 + ωEα−

]− ln

[α+

α−

], (3.60)

este o aproximatie suficient de buna. Am analizat numeric dependenta probabilitatiicalculate cu ajutorul amplitudinii [3.60], cu rezultatul ca aceasta diverge logaritmic cu a.

33

3.4. Raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala

Pentru a→ 0 :P0(E) ∼ ln a (3.61)

3.4.4 Probabilitatea totala

Raspunsul total al detectorului aflat in miscare radiala uniforma este:

P(E, τ) = Pl=0(E, τ) +∞∑l=1Pl(E, τ) , (3.62)

unde primul termen este contributia modului l = 0 (”s-wave contribution”), analizatain sectiunea precedenta, iar termenul al doilea reprezinta contributii de ordin superior.Datorita formei complicate a modurilor, respectiv a coeficientilor de reflexie si transmisieo analiza analitica a raspunsului total al detectorului este practic imposibila. Recurgemla calcul numeric. Primul pas este sa rotim integralele din formula amplitudinii [3.48] inplanul complex:

t < 0 : A(±)ωl (E, t) = −ieiEt

∞∫0

ds e−Es(ϕ(±)ωl (a− vt− ivs))∗ (3.63)

t > 0 : A(±)ωl (E, t) = A

(±)ωl (E, 0−) + i

∞∫0

ds e−Es(ϕ(±)ωl (a+ ivs))∗ (3.64)

−ieiEt∞∫0

dt e−Es(ϕ(±)ωl (a+ vt+ ivs))∗

Studiul probabilitatii totale, scrise cu ajutorul amplitudinii [3.64], este in curs dedesfasurare. Rezultatele preliminare sunt:

1) probabilitatea totala pentru timpi mari este strict pozivita2) rata de tranzitie prezinta variatii puternice in zona r = a

34

Chapter 4

Concluzii

In prezenta teza am investigat efectul Unruh intr-un spatiu-timp WH descris de metrica[3.1] cu ajutorul modelului de detector Unruh-deWitt. In primul capitol am prezentatelementele din teoria cuantificarii campului pe spatii curbat respectiv teoria de baza amodelelor de detectoare de particule. In al doilea capitol am revizuit raspunsul detec-torului pe traiectorii inertiale si accelerate regasind rezultatele clasice gasite in literatura.In capitolul patru am prezentat rezultate noi asupra efectului Unruh in metrica WH.Am investigat raspunsul detectorului pe o traiectorie radiala inertiala cu principalelerezultate:

1) Modurilor cuantice: am facut o alegerea potrivita pentru cele 2 seturide functii radiale fσωl ; am gasit coeficientii Rωl si Tωl impunand conditii de continuitateC1, respectiv coeficientului de normare Nωl impunand conditia de ortonormalitate pentrumoduri

2) Contributia modului l = 0 : am reprezentat grafic probabilitatea in functiede timp, pentru detectorul aflat pe o traiectorie inertiala ce trece prin gaura de vierme,gasind o probabilitate strict pozitiva.

3) Cazuri limita: am investigat comportamentul probabilitatii par-tiale l = 0 in cazurile limita ale parametrilor de care depinde probabilitatea (E a

respectiv E a). Am aflat ca probabilitatea diverge logaritmic pentru a → 0, si scadecu E6 in limita E mare.

4) Raspunsul detectorului: am analizat numeric probabilitatea totala pentrudetectorul in miscare radiala inertiala ce trece prin gaura de vierme, cu rezultatul prelim-inar ca pentru timpi mari probabilitatea este strict pozitiva, iar rata prezinta o variatieputernica in jurul gatului gaurii de vierme (ρ = 0, r = a)

35

Bibliography

[1] Nicholas David Birrell and Paul Charles William Davies. Quantum fields in curvedspace, volume 7. Cambridge university press, 1984.

[2] S Deser and Orit Levin. Accelerated detectors and temperature in (anti-) de sitterspaces. Classical and Quantum Gravity, 14(9):L163, 1997.

[3] S Deser and Orit Levin. Equivalence of hawking and unruh temperatures and en-tropies through flat space embeddings. Classical and Quantum Gravity, 15(12):L85,1998.

[4] LH Ford and Thomas A Roman. Quantum field theory constrains traversable worm-hole geometries. Physical Review D, 53(10):5496, 1996.

[5] Izrail Solomonovich Gradshteyn and Iosif Moiseevich Ryzhik. Table of integrals,series, and products. Academic press, 2014.

[6] Stephen W Hawking. Black hole explosions. Nature, 248(5443):30–31, 1974.

[7] Stephen W Hawking. Particle creation by black holes. Communications in mathe-matical physics, 43(3):199–220, 1975.

[8] A Higuchi, GEA Matsas, and CB Peres. Uniformly accelerated finite-time detectors.Physical Review D, 48(8):3731, 1993.

[9] John David Jackson and Ronald F Fox. Classical electrodynamics. American Journalof Physics, 67:841, 1999.

[10] Sayan Kar, Deshdeep Sahdev, and Biplab Bhawal. Scalar waves in a wormholegeometry. Physical Review D, 49(2):853, 1994.

[11] Nail R Khusnutdinov, Arkady A Popov, and Lilia N Lipatova. Self-force of a pointcharge in the spacetime of a massive wormhole. Classical and Quantum Gravity,27(21):215012, 2010.

[12] Paul Langlois. Imprints of spacetime topology in the hawking-unruh effect. arXivpreprint gr-qc/0510127, 2005.

36

Bibliography

[13] Paul Langlois. Causal particle detectors and topology. Annals of Physics,321(9):2027–2070, 2006.

[14] Jorma Louko and Alejandro Satz. How often does the unruh–dewitt detector click?regularization by a spatial profile. Classical and Quantum Gravity, 23(22):6321,2006.

[15] Jorma Louko and Alejandro Satz. Transition rate of the unruh–dewitt detector incurved spacetime. Classical and Quantum Gravity, 25(5):055012, 2008.

[16] FK Manasse and CW Misner. Fermi normal coordinates and some basic concepts indifferential geometry. Journal of mathematical physics, 4:735, 1963.

[17] Michael S Morris and Kip S Thorne. Wormholes in spacetime and their use forinterstellar travel: A tool for teaching general relativity. Am. J. Phys, 56(5):395–412, 1988.

[18] Michael S Morris, Kip S Thorne, and Ulvi Yurtsever. Wormholes, time machines,and the weak energy condition. Physical Review Letters, 61(13):1446, 1988.

[19] Nistor Nicolaevici. Response of uniformly accelerated particle detectors in the pres-ence of co-accelerated mirrors. Progress of Theoretical Physics, 127(3):433–452, 2012.

[20] Eric Poisson and Matt Visser. Thin-shell wormholes: Linearization stability. PhysicalReview D, 52(12):7318, 1995.

[21] Arkadii A Popov and Sergey V Sushkov. Vacuum polarization of a scalar field inwormhole spacetimes. arXiv preprint gr-qc/0009028, 2000.

[22] Alejandro Satz. Then again, how often does the unruh–dewitt detector click if weswitch it carefully? Classical and Quantum Gravity, 24(7):1719, 2007.

[23] Sebastian Schlicht. Considerations on the unruh effect: Causality and regularization.Classical and Quantum Gravity, 21(19):4647, 2004.

[24] L Sriramkumar and T Padmanabhan. Finite-time response of inertial and uniformlyaccelerated unruh-dewitt detectors. Classical and Quantum Gravity, 13(8):2061,1996.

[25] BF Svaiter and NF Svaiter. Inertial and noninertial particle detectors and vacuumfluctuations. Physical Review D, 46:5267–5277, 1992.

[26] William G Unruh. Notes on black-hole evaporation. Physical Review D, 14(4):870,1976.

37

Bibliography

[27] William G Unruh and Robert M Wald. What happens when an accelerating observerdetects a rindler particle. Physical Review D, 29(6):1047–1056, 1984.

[28] Matt Visser. Lorentzian wormholes. From Einstein to Hawking, 412 pp.. AIP Press,1, 1996.

38