testul 5 – bv – rezolvare - portalmta.files.wordpress.com · web viewdetermina-rea săgeţii...
TRANSCRIPT
TESTUL 5 BV REZOLVARE
136
280
Teste gril de Rezistena materialelor
TESTUL NR.1 BRAOV
REZOLVARE
R.1.1 Deformaia total a barei este nul, respectiv:
,
de unde rezult c
.
kN
6
,
47
X
1
=
Rspunsul corect este b.
R. 1.2 Pentru seciunea 1 modulul de rezisten este
,
h
I
2
W
1
D
D
=
iar pentru seciunea 2 modulul de rezisten este
(
)
2
h
a
I
4
W
2
+
=
D
D
. Din condiia
2
1
W
W
D
D
=
, se obine
2
1
2
2
2
a
h
+
=
-
=
. Rspunsul corect este b.
R.1.3 Unghiul de rsucire total n seciunea 1 este:
p
2
p
0
p
1
GI
m
5
,
3
GI
5
,
1
m
2
GI
mxdx
l
l
l
l
=
+
=
j
.
Rspunsul corect este e.
R.1.4 Momentul ncovoietor maxim se dezvolt n dreptul punctului de aplicare al forei:
l
l
F
25
,
0
5
,
0
2
F
M
max
i
=
=
.
Momentul de inerie al seciunii triunghiulare este:
36
bh
I
3
z
=
. n fibrele de sus, apar tensiuni de compresiune iar fibrele de jos, tensiuni de ntindere:
,
MPa
40
c
h
3
2
bh
36
F
25
,
0
ct
at
3
t
max
=
s
=
s
=
s
l
de unde se obine
kN
3
2500
F
=
.
MPa
120
c
h
3
1
bh
36
F
25
,
0
cc
ac
3
c
max
=
s
=
s
=
s
l
.
Rspunsul corect este c.
R.1.5 Piesa de lemn este solicitat la traciune i ncovoiere.
,
120
b
6
F
30
b
120
F
a
2
max
s
+
=
s
de unde rezult c
mm
200
b
=
.
Rspunsul corect este a.
R.1.6 Momentele de ncovoiere n punctele 2 i A fiind egale cu 0, rezult c
0
Y
1
=
i respectiv
F
2
Y
3
=
. Aplicnd n continuare regula lui Vereceaghin se obine c
0
v
A
=
. Rspunsul corect este e.
R.1.7 Sistemul este simplu static nedeterminat. Datorit simetriei de construcie i solicitare, este suficient a se considera numai jumtate din cadru. Se alege sistemul de baz i sistemul static echivalent ca n figura alturat i se pun condiiile:
F
F
F
2
1
=
+
;
)
)
2
1
F
(
B
F
(
B
u
u
=
; respectiv, deplasrile orizontale ale punctelor B de pe cele dou bare s fie egale.
Deplasarea pe orizontal a punctului B, n dreptul forelor F1 i F2 se calculeaz aplicnd regula lui Vereceaghin, respectiv Mohr-Maxwell:
EI
R
F
33
,
1
R
R
R
F
R
3
2
R
R
F
2
1
EI
1
u
3
1
1
1
F
(
B
)
1
=
+
=
;
EI
R
F
4
d
sin
R
F
EI
1
u
3
2
2
2
0
3
2
F
(
B
)
2
p
=
a
a
=
p
.
De unde se obine
F
372
,
0
F
1
=
i
F
628
,
0
F
2
=
, deci momentul ncovoietor n punctul A este 0,628 FR
FR
63
,
0
. Rspunsul corect este f.
R.1.8 Rspunsul corect este d.
R.1.9 Rspunsul corect este b.
TESTUL NR.2 - BRAOV
REZOLVARE
R.2.1 Ecuaia de echilibru,
i3
M0
=
, Y1.3 - 3F(3 - x) + F = 0, rezult
1
83x
YF
3
-
=
l
l
. Condiia
23
MM
=
conduce la ecuaia 3x2 - 8x + 32 = 0. Soluia problemei este x1 = 0,451. Rspunsul corect este c.
R.2.2 Fa de axele centrale z i y, momentele de inerie sunt:
34
z
bh9b
I
124
==
i
34
y
bhb
I
124
==
. ntruct, Izy = 0, din
44
zy
04
z'y'
II
19bb
Isin2sin90b
2244
a
-
==-=
. Rspunsul corect este a.
R.2.3 Din legea lui Hooke
OLOLOL
E
se
=
i
CuCuCu
E
se
=
cnd
OLCu
ee
=
se obine
OLOL
CuCu
E
E
s
s
=
. Rspunsul corect este b.
R.2.4 Se consider ecuaiile difereniale
dT
q
dx
=-
i
i
dM
T
dx
=
. Prin integrare rezult:
3
0
1
2
qx
T(x)C
3
=-+
l
i
4
0
i12
2
qx
M(x)CxC
12
=-++
l
. Constantele C1 i C2 sunt determinate din condiiile: la x = 0, Mi(0) = 0 i la x = , Mi() = 0. Se obin: C1 = q0/12 i C2 = 0. Momentul de ncovoiere este
4
2
0
i
q
xx
M(x)
12
+-
l
ll
. Momentul ncovoietor este extrem cnd T = 0, respectiv
0
12
q
3
x
q
0
2
3
0
=
+
-
l
l
, deci x =
l
l
0,63
4
/
3
=
, prin urmare Mimax = Mi(0,63) = 0,0394q02 deci k = 0,0394. Rspunsul corect este a.
R.2.5 Din condiia de rezisten
tpa
(M/W)
tt
=
se obin dimensiunile:
Pentru arborele tubular
t
3
4
a
16M
D69,45mm
(1)
pta
=
-
i d =
a
D = 0,7D = 48,62 mm.
Pentru arborele de seciune circular
t
3
a
16M
d63,38mm
pt
=
.
Ariile seciunilor transversale sunt:
22
A(Dd)
4
p
=-
i
2
ss
Ad
4
p
=
de unde
2222
22
s
ADd69,4548,62
0,612
Ad63,38
--
===
. Rspunsul corect este b.
R.2.6 n seciunea periculoas Miz = 6F, Miy = 3F i Mt = F. Momentul de ncovoiere rezultat este
l
F
45
M
M
M
2
iy
2
iz
i
=
+
=
. Momentul echivalent dup teoria a III-a va fi:
l
F
46
M
M
M
2
t
2
i
(III)
ech
=
+
=
. Din condiia de rezisten,
(III)
ech
echa
z
M
W
ss
=
se obine diametrul barei
(III)
6
ech
3
3
a
32M
324610
d83,12mm
120
psp
==
.
Rspunsul corect este b.
R.2.7 Conform schemei de calcul folosind principiul suprapunerii efectelor (v. figur)
se obine
(p)(Y)(Y)
AbABCD
vvv
d
-=+
sau
433
112
pYY
6EI3EI3EI
d
-=+
lll
de unde
4
1
33
12
13
Yp3EI7956N
8
d
=+=
+
l
ll
unde:
=
4
50
I
12
. Rspunsul este d.
R.2.8 Se aplic regula Vereceaghin. Diagramele datorit forei exterioare respectiv forei unitare sunt artate n figurile de mai jos. Determinarea sgeii vB = 0. Rspunsul corect este c.
a.
b.
R.2.9 Datorit simetriei se consider numai un sfert de cerc (vezi figura) i condiia
A
0
j
=
. Folosind teorema Castigliano:
/2/2
i
AiA
A
00
M
111
MdsMFR(1cos)Rd0
EIMEI2
pp
jjj
==--=
rezult MA = 0,182FR.
Rspunsul corect este b.
TESTUL NR. 3 BRAOV
REZOLVARE
R.3.1 Efortul din fir se determin scriind ecuaia de echilibru de momente fa de punctul O:
(
)
F
5
,
0
N
0
Na
2
aF
5
,
1
a
N
;
0
M
O
i
=
=
+
-
=
.
Considernd poziia deformat a sistemului, se observ c
C
B
v
v
2
=
, i notnd cu x lungimea firului corespunztoare deplasrii
B
v
, se obine:
(
)
(
)
a
x
EA
x
a
3
F
5
,
0
EA
Fx
5
,
0
2
EA
x
a
3
N
EA
x
N
2
=
-
=
-
=
.
Deci, seciunea care rmne pe loc (nu se deplaseaz) este cea din dreptul scripetelui 1. Rspunsul corect este e.
R.3.2 Punctul O fiind mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic este i centrul ptratului de latur a. Deci
0
I
zy
=
, ca atare oricare ar fi poziia axelor z i y ele sunt axe principale de inerie, respectiv
y
z
I
I
=
.
Deci
24
a
I
2
1
I
4
patrat
z
z
=
=
i
24
a
I
2
1
I
4
patrat
y
y
=
=
. Rspunsul corect este d.
R.3.3 Unghiul de rsucire total n seciunea 1 este:
(
)
4
2
2
0
4
2
0
4
1
Gd
m
28
d
G
32
dx
mx
m
d
G
32
dx
mx
2
l
l
l
l
p
=
p
+
p
=
j
+
,
deci
p
=
28
k
. Rspunsul corect este b.
R.3.4 Momentul ncovoietor maxim este
mm
N
10
4
,
4
pa
5
,
0
M
6
2
2
i
=
=
iar momentul de inerie fa de axa z-z este
=
-
-
=
12
b
2
b
4
12
b
4
b
b
10
12
b
7
b
12
I
3
3
3
3
3
3
z
(
)
4
4
b
664
128
4000
12096
12
b
=
-
-
=
.
Modulul de rezisten este:
3
4
max
z
z
b
666
,
110
b
6
b
664
y
I
W
=
=
=
.
n fibrele superioare;
,
MPa
40
b
666
,
110
M
at
3
2
max
,
t
=
s
=
s
n fibrele inferioare;
MPa
120
b
666
,
110
M
ac
3
2
max
,
c
=
s
=
s
.
De unde rezult
MPa
10
MPa
97
,
9
b
=
. Rspunsul corect este b.
R.3.5 Bara 1 este solicitat numai la ntindere, tensiunea maxim care se dezvolt n aceasta fiind egal cu:
100
F
10
10
F
1
max
=
=
s
.
Dup fixarea prin sudur a barei 2, ntreg sistemul este solicitat la ntindere i ncovoiere, tensiunea maxim fiind:
80
F
12
10
6
F
120
F
2
max
2
=
+
=
s
.
Tensiunea maxim crete cu
%
25
%
100
1
1
2
max
max
max
=
s
s
-
s
. Rspunsul corect este c.
R.3.6 Conform figurii alturate, folosind regula lui Vereceaghin, se obine:
=
=
D
a
a
2
a
8
a
p
3
2
EI
1
2
AB
mm
555
,
0
EI
12
a
p
4
=
=
.
Rspunsul corect este d.
R.3.7 Datorit simetriei constructive i de solicitare, este suficient a se considera numai jumtate din cadru. Cadrul fiind simplu static nedeterminat, se alege sistemul de baz i sistemul static echivalent ca n figura alturat:
Cu metoda forelor rezult:
ecuaia canonic
0
X
F
1
1
11
=
D
+
d
;
(1)
valorile coeficienilor
11
d
i
F
1
D
sunt:
EI
3
a
20
a
2
a
a
2
a
2
3
2
a
2
a
2
2
1
EI
1
3
11
=
+
=
d
;
.
EI
6
Fa
17
a
2
a
Fa
a
3
2
a
a
Fa
2
1
EI
1
3
F
1
-
=
+
+
-
=
D
nlocuind valorile coeficienilor
11
d
i
F
1
D
n ecuaia canonic (1) se obine
F
40
17
X
1
=
. n figura alturat este trasat diagrama N. Se observ c valoarea forei axiale pe poriunea AB este
F
40
23
. Deci rspunsul corect este d.
R.3.8 Rspunsul corect este b.
R.3.9 Sistemul este simetric construit i simetric solicitat. Deci n axa de simetrie exist numai Mi i N. Datorit articulaiei din punctul C, rezult c Mi=0. Deci rmn necunoscute numai forele axiale. n final sistemul este de dou ori static nedeterminat.
Rspunsul corect este e.
TESTUL NR. 4 BRASOV
REZOLVARE
R.4.1 Sistemul de bare articulate este simplu static nedeterminat. Sistemul de baz i sistemul static echivalent sunt prezentate n figura alturat.
Dac se ine cont de F i variaia temperaturii (t ecuaia canonic este:
.
0
X
F
1
t
1
1
11
=
D
+
D
+
d
Pe baza tabelului:
Bara
(i
EiAi
NiF
ni1
Ni
1,a
a
EA
0
1
0
1,b
a
2EA
0
1
0
2
a
EA
F/(3
- 1/(3
F/(3
3
a
EA
F/(3
- 1/(3
F/(3
rezult:
;
EA
a
16
13
EA
a
3
1
2
EA
2
a
EA
a
A
E
n
i
i
i
2
1
i
11
=
+
+
=
=
d
l
;
EA
Fa
3
2
EA
a
3
1
3
F
2
F
1
-
=
-
=
D
t
a
2
t
a
2
1
t
n
i
i
i
i
t
1
D
a
=
D
a
=
D
a
=
D
l
.
Fcnd nlocuirile n ecuaia canonic rezult:
.
13
F
4
EA
t
12
X
11
F
1
t
1
1
-
D
a
-
=
d
D
+
D
-
=
Dup nlocuirile numerice rezult X1 = 0, deci N1 = n11(X1 = 0.
Ca atare (1,max = N1/A = 0.
Rspunsul corect este d.
R.4.2 Se poate calcula numai momentul de inerie fa de axa central (2:
4
3
3
2
10
872
12
30
80
12
120
100
I
=
-
=
D
mm4.
Rspunsul corect este f.
R.4.3 Se calculeaz unghiul total de rsucire:
(
)
(
)
=
+
p
=
+
p
=
p
=
=
j
l
l
l
l
l
l
l
l
0
4
4
4
0
0
4
0
0
4
0
0
p
0
tot
x
dx
Gd
M
32
x
d
dx
G
M
32
dx
)
x
(
d
32
G
M
dx
)
x
(
GI
M
(
)
,
Gd
M
3
28
x
1
3
1
Gd
M
32
4
0
0
3
4
4
0
l
l
l
l
p
=
+
-
p
+
=
unde s-a nlocuit
(
)
,
x
d
)
x
(
d
l
l
+
=
diametrul barei n seciunea x.
Rspunsul corect este b.
R.4.4 Analiznd diagrama de fore tietoare se observ saltul la mijlocul grinzii are valoarea 2F. Variantele de ncrcri care ndeplinesc aceast condiie sunt c i d. n plus, diagrama de momente de ncovoiere este situat n partea de sus a grinzii, adic fibra ntins este cea superioar, pe ambele poriuni. Acest lucru ne argumenteaz faptul c, rspunsul corect este ncrcarea de la punctul d.
Rspunsul corect este d.
R.4.5 Se calculeaz deformaia specific la traductor:
.
10
5
20
01
,
9
4
-
=
=
D
=
e
l
l
Tensiunea care a produs lungirea traductorului electrorezistiv este:
( = E(( = 2(105(5(10-4 = 100 MPa. (a)
Aceast tensiune este produs de solicitarea compus de traciune i ncovoiere:
(
)
F
472
,
3
6
120
60
30
F
120
60
F
W
M
A
F
2
z
i
=
+
=
+
=
s
. (b)
Egalnd relaiile (a) i (b) rezult valoarea forei F = 288 kN.
Rspunsul corect este b.
R.4.6 Se calculeaz deplasarea n punctul B folosind regula lui Vereceaghin. Folosind diagramele Mi i mi din figura alturat, rezult pentru vB, expresia:
.
ab
3
2
M
b
b
2
1
EI
1
ab
3
2
M
a
a
2
1
EI
1
v
0
2
0
1
B
l
l
l
l
+
+
-
=
i se egaleaz cu zero.
Se obine:
.
b
a
I
I
2
2
2
1
=
Rspunsul corect este c.
R.4.7 Structura este simetric din punct de vedere constructiv i antisimetric ncrcat. Deci n axa de simetrie Mi = 0 i N = 0.
Sistemul static echivalent este prezentat n figura de mai sus i ecuaia canonic a metodei forelor este:
(11X1 + (1F = 0.
Se calculeaz coeficienii ecuaiei canonice:
;
EI
a
3
13
a
a
a
4
a
3
2
a
2
1
EI
1
3
2
11
=
+
=
d
(
)
EI
F
a
12
a
2
aF
5
aF
a
4
EI
1
3
F
1
-
=
+
-
=
D
,
i nlocuind n ecuaia canonic se obine fora necunoscut:
.
F
13
36
EI
a
3
13
EI
F
a
12
X
3
3
11
F
1
1
=
=
d
D
-
=
Se reprezint diagrama de momente de ncovoiere Mi i se observ c:
.
aF
13
36
M
max
,
i
=
Rspunsul corect este a.
R.4.8 Se calculeaz raportul tensiunilor tangeniale maxime:
(
)
(
)
.
75
,
0
d
2
d
6
16
d
2
16
d
6
W
W
6
M
W
W
M
6
3
3
3
3
2
p
1
p
0
t
1
p
2
p
0
t
1
max
2
max
=
=
p
p
=
=
=
t
t
Rspunsul corect este e.
R.4.9 Rspunsul corect este c.
TESTUL NR. 5 BRAOV
REZOLVARE
R.5.1 Sistemul este triplu static determinat. Ecuaiile de echilibru pentru nudul B sunt:
( Xi = 0;N2 ( sin 60( + N3 ( sin 30( - N4 ( sin 30( - N5 ( sin 60( - F( cos 30(= 0;
( Yi = 0;N2 ( cos 60( + N3 ( cos 30( + N1 + N4 ( cos 30( + N5 ( cos 60( = F ( sin 30(;
Problema se rezolv folosind metoda u i v (compatibilitii geometrice). Lungirile barelor se pot calcula folosind aceast metod (vezi figura alturat) cu relaiile:
+
=
D
+
=
D
+
=
D
+
=
D
+
=
D
;
150
sin
v
150
cos
u
;
120
sin
v
120
cos
u
;
60
sin
v
60
cos
u
;
30
sin
v
30
cos
u
;
90
sin
v
90
cos
u
5
4
3
2
1
l
l
l
l
l
;
v
EA
N
1
=
l
;
2
1
v
2
3
u
60
cos
EA
N
2
+
=
l
;
2
3
v
2
1
u
30
cos
EA
N
3
+
=
l
;
2
3
v
2
1
u
30
cos
EA
N
4
+
-
=
l
.
2
1
v
2
3
u
60
cos
EA
N
5
+
-
=
l
Se rezolv sistemul de 7 ecuaii cu necunoscutele
)
5
,
1
i
(
N
i
=
i u, v i se obine valoarea N1 = 0,196 F.
Rspunsul corect este f.
R.5.2 Se calculeaz momentul de inerie fa de axa z:
.
bh
3
1
12
h
b
2
2
I
3
3
z
=
=
Din punct de vedere geometric ntre a, b i h exist relaia:
b2 + h2 = a2,
care se nlocuiete n expresia lui Iz valoarea
(
)
2
1
2
2
b
a
h
-
=
i se obine:
(
)
.
b
a
b
3
1
I
2
3
2
2
z
-
=
Pentru a gsi valoarea lui b pentru care Iz este maxim se anuleaz prima derivat a lui Iz:
0
db
dI
z
=
respectiv
(
)
(
)
(
)
,
0
b
2
b
a
b
b
a
3
1
2
1
2
2
2
3
2
2
=
-
-
+
-
de unde rezult
.
2
a
b
=
n final, se calculeaz raportul
.
3
2
a
2
a
a
b
h
k
2
2
=
-
=
=
Rspunsul corect este f.
R.5.3 Analiznd diagrama de momente ncovoietoare se observ saltul de
l
F
3
2
n seciunea aflat la distana
3
l
de articulaia din dreapta. Singura ncrcare care corespunde acestei necesiti este varianta b. Rspunsul corect este b.
R.5.4. Pentru trapez centrul de greutate se gsete la distana
3
a
4
3
h
b
B
B
b
2
=
+
+
fa de baza mare.
Se calculeaz forele capabile pentru cele dou poziii ale seciunii barei:
Poziia 1:
condiia de rezisten la traciune este:
,
a
3
4
I
F
a
3
4
I
M
at
z
z
max
i
t
1
max
s
=
=
s
l
de unde rezult
;
a
I
4
3
F
at
z
1
cap
l
s
condiia de rezisten la compresiune este:
,
a
3
5
I
F
a
3
5
I
M
ac
z
z
max
i
c
1
max
s
=
=
s
l
n care se nlocuiete (ac = 4(at i rezult:
.
a
I
3
12
F
at
z
1
cap
l
s
Valoarea forei capabile n cazul 1 este
.
a
I
4
3
)
F
,
F
min(
F
at
z
1
cap
1
cap
1
cap
l
s
=
=
Poziia 2
condiia de rezisten la traciune este:
,
a
3
5
I
F
a
3
5
I
M
at
z
z
max
i
t
2
max
s
=
=
s
l
de unde rezult:
;
a
I
5
3
F
at
z
2
cap
l
s
condiia de rezisten la compresiune este:
,
a
3
4
I
F
a
3
4
I
M
ac
z
z
max
i
c
2
max
s
=
=
s
l
n care se nlocuiete (ac = 4(at i se obine:
.
a
I
3
F
at
z
2
cap
l
s
Valoarea forei capabile n cazul 2 este:
.
a
I
5
3
)
F
,
F
min(
F
at
z
2
cap
2
cap
2
cap
l
s
=
=
Se calculeaz raportul forelor capabile pentru cele dou cazuri:
.
25
,
1
4
5
a
I
5
3
a
I
4
3
F
F
c
at
z
at
z
2
cap
1
cap
=
=
s
s
=
=
l
l
Rspunsul corect este b.
R.5.5 Se calculeaz momentul de ncovoiere echivalent n ncastrare:
(
)
(
)
2
,
2012461
400
4500
400
2250
M
M
M
2
2
2
2
iy
2
iz
ech
,
i
=
+
=
+
=
N ( mm
i momentul de torsiune Mt = 2250(300 = 675000 N(mm.
Condiia de rezisten, folosind ipoteza a III-a de rupere, este:
,
M
M
d
32
M
M
W
1
4
a
2
t
2
ech
,
i
3
2
t
2
ech
,
i
z
2
2
III
max
,
ech
s
+
p
=
+
=
t
+
s
=
s
de unde se calculeaz valoarea minim a diametrului barei:
019
,
60
)
300
2250
(
)
2
,
2012461
(
100
32
M
M
32
d
3
2
2
3
2
t
2
ech
,
i
a
=
+
p
=
+
ps
mm.
Rspunsul corect este e.
R.5.6 Cu regula lui Vereceaghin, conform figurii alturate rezult:
(
)
(
)
(
)
(
)
+
-
-
+
+
-
-
=
EI
1
5
,
0
3
2
2
F
5
,
0
2
1
EI
1
5
,
0
3
2
F
5
,
0
2
1
v
B
l
l
l
l
l
l
(
)
.
48
p
8
F
EI
1
EI
1
5
,
0
2
1
8
p
3
2
4
3
2
-
=
=
-
+
l
l
l
l
l
Din condiia vB = 0 rezult:
.
F
6
p
l
=
Rspunsul corect este f.
R.5.7 Datorit simetriei geometrice i de ncrcare a cadrului din figura alturat (poziia a), n axele de simetrie T = 0. innd cont de simetria fa de axa 1-1 se poate considera sistemul static echivalent din figura b i datorit simetriei fa de axa 2, n final sistemul static echivalent e prezentat n figura c cu ecuaia canonic:
(11X1 = 0,
de unde rezult X1 = 0.
Rspunsul corect este b.
R.5.8 Se calculeaz momentul de inerie fa de diagonala ( considernd seciunea dreptunghiular format din cele dou triunghiuri rezultate prin mprirea de ctre diagonale (():
.
ah
6
5
2
12
h
a
5
I
3
3
=
=
D
Se calculeaz nlimea triunghiului:
.
a
5
12
a
5
a
4
a
3
h
=
=
Se nlocuiete h n expresia lui I( i se obine:
.
a
25
288
5
a
12
a
6
5
I
4
3
=
=
D
Rspunsul corect este c.
R. 5.9 Rspunsul corect este d.
TESTUL 6 BRAOV
REZOLVARE
R.6.1 Datorit simetriei constructive i de solicitare tensiunile din barele 1 i 3, dup efectuarea montajului vor fi egale i negative. Rspunsul corect este b c ndeplinete aceste dou condiii.
R.6.2 Pentru seciunea 1 momentul de inerie este:
(
)
(
)
,
8
4
R
4
R
12
R
2
R
3
I
4
4
3
1
z
p
+
=
p
+
=
iar pentru seciunea 2 momentul de inerie va fi:
(
)
(
)
.
8
4
R
4
R
12
R
2
R
3
I
4
4
3
2
z
p
-
=
p
-
=
Deci
p
-
p
+
=
8
8
I
I
2
z
1
z
i rspunsul corect este b.
R.6.3 Din diagrama T se observ c reaciunile din reazeme sunt 2ap, ndreptate n sus, saltul la mijlocul grinzii este de 2ap.
Deci pot fi luate n calcul poziiile b, c i d. Dar diagrama T are panta aceeai deci p = const. Rspunsul corect este d.
R.6.4 Momentul ncovoietor maxim este n ncastrare:
,
3
p
3
2
p
2
1
M
2
max
i
l
l
l
=
=
iar modulul de rezisten al seciunii triunghiulare este:
.
32
b
3
b
3
2
3
b
36
b
y
I
W
3
3
max
z
z
=
=
=
Deci
,
b
3
p
32
W
M
a
3
2
z
max
i
max
s
=
=
s
l
de unde se obine
.
m
kN
75
,
3
p
Rspunsul corect este a.
R.6.5 n punctul B din seciunea de sus se produc tensiuni normale de compresiune i ncovoiere, respectiv
(
)
.
bh
F
8
h
5
,
0
b
6
Fh
25
,
0
h
5
,
0
b
F
2
B
-
=
-
-
=
s
n punctul C din seciunea de jos apar numai tensiuni de compresiune, deoarece fora F acioneaz chiar n centrul bazei, deci
.
bh
F
C
-
=
s
Raportul (B/(C = 8. Rspunsul corect este b.
R.6.6 Conform figurii alturate, cu regula lui Vereceaghin rezult:
;
EI
F
96
5
6
5
2
2
F
2
1
EI
2
1
v
3
A
l
l
l
l
=
-
-
=
.
EI
F
48
1
2
3
2
2
2
F
2
1
EI
2
1
v
3
B
l
l
l
l
=
-
-
=
Deci
.
5
,
2
1
48
96
5
v
v
B
A
=
=
Rspunsul corect este d.
R.6.7 Se nlocuiete reazemul cu necunoscuta X1. Se scrie c, deplasarea vertical n drepul lui X1 este nul, cu suprapunerea de efecte rezult:
(
)
(
)
,
EI
2
x
x
F
EI
3
x
F
EI
3
X
2
3
3
1
-
+
-
=
l
l
l
de unde rezult
(
)
(
)
[
]
.
x
x
3
x
2
2
F
X
2
3
3
1
-
+
-
=
l
l
l
Momentul ncovoietor n dreptul forei F este:
(
)
(
)
[
]
.
x
x
3
x
x
2
2
F
x
X
M
2
2
3
3
1
i
-
+
-
=
=
l
l
l
Anulnd derivata
0
dx
dM
i
=
rezult distana x0 = 0,366( pentru care momentul ncovoietor este maxim. Rspunsul corect este a.
R.6.8 Rspunsul corect este c.
R.6.9 Rspunsul corect este c.
TESTUL 7 BRAOV
REZOLVARE
R.7.1 Fie
1
X
reaciunea din ncastrarea 1 (orientat spre stnga). Deformaia total a barei este nul, respectiv:
(
)
(
)
(
)
0
EA
2
a
F
5
,
0
X
EA
2
a
F
X
EA
a
F
X
EA
a
X
1
1
1
1
=
-
+
-
+
-
+
, de unde rezult
.
F
583
,
0
X
1
=
Se observ c tensiunea maxim este pe poriunea 1-B, i este egal cu
A
F
583
,
0
A
N
B
1
max
=
=
s
-
, deci
583
,
0
k
=
. Rspunsul corect este c.
R.7.2 La o seciunea triunghiular momentul de inerie fa de baz este:
12
h
b
I
3
=
.
Faa de axa z-z, momentul de inerie
48
h
b
2
h
12
b
2
I
3
3
z
=
=
;
Faa de axa y-y, momentul de inerie
48
hb
2
b
12
h
2
I
3
3
y
=
=
.
Raportul
2
2
y
z
b
h
I
I
k
=
=
. Rspunsul corect este b.
R.7.3 Analiznd variaia forei tietoare rezult c pe prima poriune de lungime a, T este negativ i egal cu ap, deci rmn n atenie ncrcrile a, b i d. Avnd n vedere convexitatea diagramei de momente din zona mijlocie rezult c rmne n discuie ncrcarea b, care corespunde diagramelor T i Mi. Rspunsul corect este b.
R.7.4 Bara de lemn este supus la ncovoiere oblic i tensiunea maxim este:
MPa
62
,
7
6
120
200
30
sin
F
1500
6
200
120
30
cos
F
1500
F
500
2
2
2
2
1
max
=
+
+
=
s
o
o
,
cci
N
2000
F
F
2
1
=
=
. Rspunsul corect este b.
R.7.5 Eforturile n seciunea de la baza stlpului sunt:
F
4
N
-
=
(compresiune);
Fd
324
,
6
2
6
Fd
M
2
2
i
=
+
=
(ncovoiere);
Fd
5
,
0
M
t
=
(torsiune).
Cu ipoteza a treia de rupere (tensiunilor tangeniale maxime) tensiunea echivalent este:
=
p
+
p
-
p
-
=
t
+
s
=
s
2
3
2
3
2
2
2
ech
d
16
Fd
5
,
0
4
d
32
Fd
324
,
6
d
4
F
4
4
(
)
=
p
=
p
=
+
+
p
=
2
4
2
2
2
40
10
3
953
,
218
d
F
953
,
218
64
4
32
324
,
6
16
d
F
.
MPa
67
,
130
=
Deci rspunsul corect este f.
R.7.6 Cu regula lui Vereceaghin, conform figurii alturate rezult:
(
)
(
)
(
)
(
)
=
-
-
+
-
-
=
j
1
3
2
F
2
2
1
EI
2
1
1
F
2
1
EI
1
A
l
l
l
l
EI
F
6
5
2
l
=
;
(
)
(
)
EI
F
3
1
1
3
2
F
2
2
1
EI
2
1
2
A
l
l
l
=
-
-
=
j
.
Raportul
.
5
,
2
3
1
6
5
B
A
=
=
j
j
Deci rspunsul corect este e.
R.7.7 Cadrul este simplu static nedeterminat. Se alege sistemul de baz i sistemul static echivalent ca n figura alturat.
Cu metoda forelor rezult:
ecuaia canonic
0
X
F
1
1
11
=
D
+
d
;
(a)
valorile coeficienilor
11
d
i
F
1
D
sunt
EI
15
16
2
EI
5
1
3
2
2
1
EI
1
2
3
11
l
l
l
l
l
l
l
=
+
=
d
;
(b)
(
)
(
)
EI
p
15
16
3
2
p
2
2
1
EI
1
p
2
2
2
1
EI
5
1
4
2
2
F
1
l
l
l
l
l
l
l
-
=
-
+
-
=
D
.
(c)
nlocuind (b) i (c) n (a) se obine
l
p
X
1
=
. In figur este trasat diagrama Mi. Se observ c, momentul ncovoietor maxim este
2
p
l
. Rspunsul corect este c.
R.7.8 Rspunsul corect este d.
R.7.9 Rspunsul corect este b.
TESTUL NR.8 - BRAOV
REZOLVARE
R.8.1 Aria seciunii transversale oarecare este A = A1 + (A2 A1)x/ care verific condiiile de contur de la capetele barei: la x = 0, A = A1 iar la x = , A = A2. Lungirea total este
D===
+--
ll
l
l
l
2
121211
00
A
NdxFdxF
dxln
EA[A(AA)x/]E(AA)A
. Rspunsul corect este d.
R.8.2 centrul de greutate al seciunii se afl pe dreapta AB, ntruct momentul static fa de aceast dreapt este nul, SAB = bh.h/2 (3bh/2).(2.3h/3) = 0. Se aplic relaia lui Steiner pentru a determina momentul de inerie
=+++=
2
2
33
3
AB
bhhb(3h)3h3bh
Ibh0,766bh
1223632
. Rspunsul corect este c.
R.8.3 Ecuaia de echilibru MA + MB = m are dou necunoscute. Prin urmare din condiia geometric
t
AB
p
0
M(x)dx
0
GI
j
==
l
, unde Mt(x) = MA mx, i condiia de echilibru se obine MA = MB = m/2. Rotirea unei seciuni curente este :
xx
2
t
ppp
00
M()d
[(m/2)m]dm
(x)(xx)
GIGI2GI
xx
xx
j
-
===-
l
l
.
d
0
dx
j
=
conduce la x = /2. Derivata a doua a funciei (x) este negativ la x = /2, prin urmare
2
max
p
m
8GI
j
=
l
.
Rspunsul corect este d.
R.8.4 Grinda este ncrcat simetric. Reaciunile vor fi egale cu jumtate din ncrcare, 50 kN. Momentul maxim este la mijlocul grinzii i este egal cu, Mimax = 50.800 25.400 = 30.103kNmm = 30.106 Nmm. Modulul de rezisten este
33
3
z
z
max
I
1b160(b/16)144
W(115427b49766,4)mm
y801212
==-=+
. (a)
Pe de alt parte, din condiia de rezisten la ncovoiere
6
53
imax
z
a
M
3010
W210mm
150
s
===
. (b). Din egalarea mrimilor (a) i (b) se obine b = 129,9 mm 130 mm. Rspunsul corect este e.
R.8.5 ncrcarea grinzii este p =
g
A datorit greutii proprii. Reaciunea din A, din condiia de echilibru, este YA = p( - 2a)/[2( - a)].
Momentul de ncovoiere n seciunea curent Mi(x) = YAx px2/2. Derivata momentului este nul pentru :
x = (-2a)/[2( -a)] iar
2
i
2
dM
0
dx
. /pp/pp/
pPrin urmare, div class="embedded" id="_1098340058"/p22/p
pmax/p
p2/p
pp(2a)/p
pM/p
p8(a)/p
p-/p
p=/p
p-/p
pll/p
pl/p
iar div class="embedded" id="_1098340129"/p2/p
pimin/p
ppa/p
pM/p
p2/p
p=/p
. Egalitatea div class="embedded" id="_1098340170"/pimaximin/p
pMM/p
p=/p
conduce la ecuaia de gradul doi 2a2-4a+2 = 0 cu soluia corespunztoare a = 0,293.
/ppRspunsul corect este b./ppR.8.6 Se pleac de la relaia div class="embedded" id="_1098340305"/p2/p
pmax/p
p2/p
py/p
p(y)14/p
ph/p
ptt/p
p/p
p=-/p
p/p
p/p
. La y = h/4 rezult div class="embedded" id="_1098340386"/pt/p
= 11,25 MPa. Rspunsul corect este b./ppR.8.7 Modelul de calcul este artat n figur, unde vA = 0. /ppFolosind principiul suprapunerii efectelor, rezult div class="embedded" id="_1098455184"/p=-+=/p
pl/p
pl/p
p3/p
p2/p
pA/p
pA/p
pY/p
pM/p
pv0/p
p3EI2EI/p
de unde div class="embedded" id="_1098340577"/pA/p
p3M/p
pY/p
p2/p
p=/p
pl/p
. Rotirea seciunii A se determin pe sistemul echivalent tot prin metoda suprapunerii de efecte div class="embedded" id="_1098456259"/pj/p
p=-=/p
pl/p
pll/p
p2/p
pA/p
pA/p
pY/p
pMM/p
pEI2EI4EI/p
. Rspunsul corect este b./pp/p
pR.8.8 Se folosete regula lui Vereceaghin. Diagramele momentelor de ncovoiere datorit ncrcrii reale i forei unitare sunt reprezentate n figura R.1.8. Se obine/ppdiv class="embedded" id="_1098340895"/p2/p
piiG/p
p1/p
pm/p
p2M/p
pv/p
pEIEI/p
pW/p
p==/p
p/p
pl/p
.
/pp Rspunsul corect este d./pp/pp/p/pp/
p/
pR.8.9 Datorit ncrcrii antisimetrice, cadrul se secioneaz n axa vertical. Se obine sistemul fundamental reprezentat n figura de mai jos. Ecuaiile metodei forei se reduc la una: div class="embedded" id="_1098341127"/p1111F/p
pX0/p
pd/p
p+D=/p
(a), /ppunde div class="embedded" id="_1098341162"/p223/p
p11/p
p227/p
p2EI3EI3EI/p
pd/p
p=+=/p
pllll/p
pl/p
; div class="embedded" id="_1098341258"/p2/p
p1F/p
p2M2M/p
pEIEI/p
pD==/p
pll/p
pl/p
. /ppIntroduse n ecuaia (a) rezult X1 = -6M/(7). /ppDin condiiile de echilibru rezult: YA = X1. Rspunsul corect este d./pp/ppa./pp/ppb./pp/ppc./p
TESTUL NR. 9 - BRAOV
pREZOLVARE/ppR.9.1 div class="embedded" id="_1098345871"/p44/p
p6464/p
pz/p
p250150/p
pI149,5610mm15010mm/p
p6412/p
pp/p
p/p
p=-==/p
. /ppRspunsul corect este c./ppR.9.2 div class="embedded" id="_1098345978"/p3/p
pnec/p
p6/p
pa/p
pF32010/p
pA299625mm/p
p1,222106000/p
psg/p
p-/p
p/p
p==/p
p--/p
pl/p
. Rspunsul corect este d./ppR.9.3 Fie fora X pentru realizarea montajului forat. Problema este static nedeterminat. Prin urmare condiia geometric este div class="embedded" id="_1098345658"/p2/p
pXX/p
p2EA2EAcos/p
pd/p
pa/p
p+=/p
pll/p
. Din aceast ecuaie se obine div class="embedded" id="_1098345734"/p6EA/p
pX/p
p5/p
pd/p
p=/p
pl/p
. Lungirea barei 1 este div class="embedded" id="_1098345843"/p1/p
pX3/p
p0,6/p
p2EA5/p
pd/p
pd/p
pD===/p
pl/p
pl/p
. /ppRspunsul corect este e./pp/p
pR.9.4 Fie F1 i F2 forele preluate de arcul 1, respectiv arcul 2. Tensiunile din cele dou arcuri la neglijare efectelor forei tietoare sunt: div class="embedded" id="_1098346185"/p(1)/p
pt/p
p11/p
p1/p
ppp/p
pM/p
pFR/p
pWW/p
pt/p
p==/p
, div class="embedded" id="_1098346300"/p(2)/p
pt/p
p22/p
p2/p
ppp/p
pM/p
pFR/p
pWW/p
pt/p
p==/p
. Raportul lor conduce la div class="embedded" id="_1098346327"/p111/p
p222/p
pFR/p
pFR/p
pt/p
pt/p
p=/p
. Din egalitatea celor dou sgei f1arc = f2arc sau div class="embedded" id="_1098346571"/p33/p
p1122/p
p44/p
pFRnFRn/p
pGdGd/p
p=/p
, se obine div class="embedded" id="_1098346576"/p2/p
p1112/p
p2/p
p2221/p
pFRR/p
pFRR/p
pt/p
pt/p
p==/p
. Rspunsul corect este d./ppR.9.5 Momentul maxim de ncovoiere este la mijlocul grinzii. El este egal cu p2/8 = 2.107 Nmm. Se determin poziia centrului de greutate i momentul de inerie axial. Se obine Iz = 2176.104 mm4. Modulul de rezisten este Wz = Iz/ymax = 272.000 mm3, unde ymax = 80 mm./pp/pp/
pTensiunea maxim va fi div class="embedded" id="_1098479244"/ps/p
p/p
p===/p
p7/p
pimax/p
pmax/p
pz/p
pM/p
p210/p
p73,52MPa./p
pW272000/p
Rspunsul corect c./ppR.9.6 Din relaia div class="embedded" id="_1098479394"/pt/p
p=/p
pt/p
pmax/p
pp/p
pM/p
pW/p
se obinediv class="embedded" id="_1098479427"/ppp/p
p+/p
p=/p
p/p
p112/p
p333/p
p16M16(MM)/p
p0,5dd/p
se obine M2 = 7M1. /ppRspunsul corect este d./ppR.9.7 Momentul de ncovoiere este dup axa y, Mi = Fa + 3Fa= 4Fa iar momentul de torsiune Mt = 4Fa Fa = 3Fa. Dup teoria a III-a de rezisten, /ppdiv class="embedded" id="_1098479718"/p=+=/p
p22/p
pechit/p
pMMM5Fa/p
. Din condiia de rezisten se obine div class="embedded" id="_1132815583"/pN/p
p212/p
p32/p
p30/p
p300/p
p5/p
p120/p
p5a/p
pW/p
p/p
pF/p
p3/p
pz/p
pa/p
p=/p
pp/p
p/p
p=/p
p=/p
. Rspunsul corect este b./ppR.9.8 Se aplic metoda lui Vereceaghin. Diagrama de ncovoiere se traseaz prin suprapunere de efecte (vezi figura). Diagrama datorit forei unitare este artat n figura R.3.8,b. Se calculeaz deplasarea n dreptul forei P, div class="embedded" id="_1098481766"/p23/p
pFaP/p
pv220/p
p4EI6EI/p
p=-+=/p
pll/p
. Rezultatul egalat cu zero conduce la P = 1,5F. Rspunsul corect este c./pp/ppa./pp/ppb./p
pR.9.9 Se ridic nedeterminarea. Sistemul de baz este reprezentat n figura a. Se aplic metoda forelor, div class="embedded" id="_1098480467"/p1111F/p
pX0/p
pd/p
p+D=/p
, unde div class="embedded" id="_1098480505"/p3/p
p23/p
p11/p
p1125/p
p2/p
pEI233EI/p
pd/p
p/p
p=+=/p
p/p
p/p
pll/p
pll/p
idiv class="embedded" id="_1098480744"/p3/p
p1F/p
pF/p
p6EI/p
pD=-/p
pl/p
. Se obine div class="embedded" id="_1098480760"/p1/p
p3/p
pXF/p
p10/p
p=/p
. Din diagramele reprezentate n figurile b i c se obine Mimax = F. Rspunsul corect este b./pp/ppa./pp/ppb./pp/ppc./p
TESTUL NR. 10 - BRAOV
pREZOLVARE/ppR.10.1 Din condiia ca Iz = Iy se obine div class="embedded" id="_1098355067"/p2/p
p(U)(U)(U)/p
pzy/p
pb/p
p2I2IeA/p
p2/p
p/p
p/p
p=+-/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
se obine b = 188,14 mm. Rspunsul corect este c./ppR.10.2 div class="embedded" id="_1098355162"/p6/p
pt/p
p1/p
pooo/p
pt12,51060050/p
pAA0,53mm/p
pcos45cos45cos45/p
pa/p
p-/p
pD/p
pD/p
p====/p
pl/p
pl/p
. /ppRspunsul corect este c./ppR.10.3 Problema este static nedeterminat. Condiia de echilibru MA = MB i condiia de deformaie div class="embedded" id="_1098355403"/pAAA/p
pppp/p
pMa(MM)2aMa/p
p0/p
pGIGIGI/p
p-/p
p++=/p
conduc la MA = MB = M/2. Dup trasarea diagramei se gsete momentul maxim de torsiune Mtmax = M/2. Tensiunea tangenial maxim este div class="embedded" id="_1098355617"/ptmax/p
pmax/p
pp/p
pM/p
p75MPa/p
pW/p
pt/p
p==/p
. /ppRspunsul corect este c./pp/p
pR.10.4 Se traseaz diagramele de eforturi secionale. Se gsete valoarea momentului maxim p2. Seciunea are axe de simetrie. Prin urmare, centrul de greutate se gsete la intersecia lor. /ppMomentul de inerie fa de axa de ncovoiere este/ppdiv class="embedded" id="_1132815867"/p=/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
pp/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p+/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
pp/p
p-/p
pp/p
p=/p
p2/p
p2/p
p4/p
p4/p
pz/p
p4/p
pd/p
p4/p
p4/p
pd/p
p4/p
pd/p
p64/p
p4/p
p64/p
pd/p
pI/p
0,036d4. Modulul de rezisten are valoarea div class="embedded" id="_1098548796"/p3/p
pz/p
pz/p
pmax/p
pI/p
pW0,072d/p
py/p
p==/p
. Din condiia de rezisten Wz = Mimax/a se obine d =21 mm. /ppRspunsul corect este a. /pp/p
pR.10.5 Folosind principiul suprapunerii efectelor, sgeata n B este div class="embedded" id="_1098355748"/p(Q)(p)/p
pBBB/p
pvvv/p
p=-/p
sau:/ppdiv class="embedded" id="_1098355975"/p34/p
p(Q)/p
pBBB/p
pQp/p
pvv0/p
p28EI48EI/p
pj/p
p=-=-=/p
plll/p
de unde div class="embedded" id="_1098355974"/pp/p
pQ/p
p6/p
p=/p
pl/p
. Rspunsul corect este d./ppR.10.6 Cazul de ncrcare 1: Mi = 2F, div class="embedded" id="_1132816049"/p3/p
p1/p
pd/p
p32/p
p2F/p
p/p
pp/p
p/p
p=/p
pl/p
./ppCazul de ncrcare 2: Mi = F, Mt = Fa, div class="embedded" id="_1130663395"/p2/p
p2/p
pech/p
pa/p
pF/p
pM/p
p+/p
p=/p
pl/p
,div class="embedded" id="_1132815933"/p3/p
p2/p
p2/p
p2/p
pd/p
pa/p
pF/p
p32/p
p/p
pp/p
p+/p
p/p
p=/p
pl/p
./ppRaportul div class="embedded" id="_1130663560"/p1,2/p
p5/p
p6/p
p300/p
p400/p
p300/p
p2/p
pa/p
p2/p
p/p
p/p
p2/p
p2/p
p2/p
p2/p
p1/p
p2/p
p=/p
p=/p
p+/p
p/p
p=/p
p+/p
p=/p
pl/p
pl/p
. Rspunsul corect este b./ppR.10.7 Bara este solicitat la ncovoiere strmb cu traciune. Seciunea periculoas este n ncastrare. Momentele de ncovoiere n cele dou plane ortogonale sunt: Mz = 3Fd i My = 4Fd. Momentul de ncovoiere rezultant este div class="embedded" id="_1098356471"/p22/p
pizy/p
pMMM5Fd/p
p=+=/p
. Fora axial este egal cu N = 4F. Tensiunea maxim trebuie s fie cel mult egal cu tensiunea maxim, adic div class="embedded" id="_1098356752"/pi/p
pmax/p
p22/p
pz/p
pM/p
pN16F160F/p
p176MPa/p
pAWdd/p
ps/p
ppp/p
p=+=+/p
. Din aceast condiie se obine F = 1000 N. Rspunsul corect este d./ppR.10.8 Se separ cele dou grinzi pentru ridicarea nedeterminrii. n punctul B , sgeile celor dou grinzi sunt egale./ppdiv class="embedded" id="_1098553183"/p33/p
p22/p
p1121YY/p
pFF/p
pEI23233EI3EI/p
p/p
p+-=/p
p/p
p/p
pllll/p
pll/p
./ppSe determin necunoscuta Y = 1,25 F. Sgeata n dreptul forei F se determin pe grinda 1. Mrimea sgeii este div class="embedded" id="_1098553427"/p223/p
pC/p
p4F2(2)Y513F/p
pv/p
p2EI32EI38EI/p
p=-=/p
plllll/p
. /ppRspunsul corect este e./pp/ppa./pp/ppb./p
pR.10.9 Se ridic nedeterminare dup care se traseaz diagrama de momente de ncovoiere:/pp/ppa./pp/ppb./pp/ppc./p
pConsidernd sistemul echivalent figur, exist o singur ecuaie/ppdiv class="embedded" id="_1098553743"/p1111F/p
pX0/p
pd/p
p+D=/p
, unde div class="embedded" id="_1098554266"/p3/p
p22/p
p11/p
p1122/p
p3/p
pEI23EI/p
pd/p
p/p
p=+=/p
p/p
p/p
pll/p
plll/p
i div class="embedded" id="_1098554620"/p23/p
p1F/p
pF2F/p
p2EI33EI/p
pD=-=-/p
plll/p
. /ppSe obine X1 = F/6. Momentul se obine cu relaia MI = M0 + m.X1. Momentul maxim este n ncastrare i are valoarea 5F/6. /ppRspunsul corect este c./pTESTUL NR. 11 BUCURETI
pREZOLVARE/ppR.11.1 Din ecuaia de momente fa de reazemul B se obine VA = 0,75F + 7,5. Punctul de extrem local se afl pe poriunea pe care acioneaz fora uniform distribuit. Expresiile forei tietoare i momentului pe aceast poriune sunt:/pT(x) = 7,5 ( 0,25F ( 8x
pM(x) = ( 4x2 + x(7,5 ( 0,25F) + 0,5F + 1/ppDin condiia ca fora tietoare s se anuleze la distana x = 0,75 m (condiia ca n acest punct momentul s aib un extrem) se determin F = 6 kN. Valoarea momentului n punctul de extrem va fi Mextr = 6,25 kNm./ppRspunsul corect este d./ppR.11.2 Din condiia (arc = (a se obine:/ppdiv class="embedded" id="_1132905945"/pmm/p
p7/p
pFR/p
p16/p
pd/p
p3/p
pa/p
p=/p
ppt/p
p=/p
/ppNumrul de spire se calculeaz scriind expresia sgeii arcului i egalnd-o cu valoarea impus. Se obine:/ppdiv class="embedded" id="_1132906051"/p4/p
p3/p
pmax/p
pGd/p
pn/p
pFR/p
p64/p
pf/p
p=/p
( div class="embedded" id="_1132906119"/pspire/p
p7/p
pFR/p
p64/p
pf/p
pGd/p
pn/p
p3/p
pmax/p
p4/p
p=/p
p=/p
/ppRspunsul corect este c./ppR.11.3 Din condiia de rezisten ( ( (a se obine:/ppdiv class="embedded" id="_1132906371"/pmm/p
p100/p
pD/p
pd/p
p1/p
pM/p
p16/p
pD/p
p3/p
p4/p
pa/p
pt/p
p=/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p-/p
ppt/p
p=/p
/ppPentru c d = 0,8D, rezult d = 80 mm. Deoarece condiia de rigiditate este ndplinit simultan, se poate scrie:/ppdiv class="embedded" id="_1132906704"/p(/p
p)/p
prad/p
p10/p
pd/p
pD/p
pG/p
pM/p
p32/p
pGI/p
pM/p
p5/p
p4/p
p4/p
pt/p
pp/p
pt/p
pmax/p
pmax/p
p-/p
p=/p
p-/p
pp/p
p=/p
p=/p
pj/p
p=/p
pq/p
pl/p
/ppRspunsul corect este a./ppR.11.4 Poziia centrului de greutate fa de un sistem de axe ce are centrul pe axa de simetrie n punctul superior al seciunii este:/ppdiv class="embedded" id="_1133006410"/p60/p
px/p
p2/p
p3600/p
px/p
p60/p
px/p
pA/p
pz/p
pA/p
pz/p
p2/p
pi/p
pi/p
pi/p
pG/p
p+/p
p+/p
p+/p
p=/p
p=/p
p/p
p/p
/ppPunnd condiia zG = 52,5 mm, se obine o ecuaie de gradul doi avnd soluiile x1 = 15 mm i x2 = 30 mm. Cea de-a doua soluie nu ndeplinete condiia ca nlimea seciunii s fie mai mic de 140 mm. Deci x = 15 mm. Pentru aceast valoare se calculeaz momentul de inerie axial, care are valoarea Iy = 6547500 mm4 i modulul de rezisten axial Wy = 79363,6 mm3. Din condiia de rezisten (max = (a , se obine:/ppdiv class="embedded" id="_1132907483"/pN/p
p6/p
p,/p
p9523/p
pW/p
pF/p
pa/p
py/p
pcap/p
p=/p
ps/p
p/p
p=/p
pl/p
/ppRspunsul corect este e./ppR.p(/p
p)/p
p0/p
pEA/p
p3/p
pF/p
p3/p
pp/p
pX/p
pEA/p
p8/p
p,/p
p0/p
p3/p
p3/p
pp/p
pX/p
pEA/p
p6/p
p,/p
p0/p
pdx/p
ppx/p
pX/p
p1/p
p1/p
p3/p
p0/p
p1/p
p=/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p+/p
p+/p
p-/p
p+/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p/p
p+/p
p-/p
p+/p
p+/p
p-/p
p/p
pl/p
pl/p
pl/p
pl/p
pl/p
11.5 Din ecuaia de momente fa de reazemul B se obine VA = 1,5p + 18 [kN]. n sectiunea A fora tietoate are dou valori: TA(( = -12 kN i TA+( = 1,5p + 6 [kN]. Fora tietoare din seciunea B este TB = 6 1,5p. TB nu poate fi egal n modul cu TA+( dect pentru p = 0. Deci condiia din problem nu se poate scrie dect sub forma TB = (TA(((de unde se obine p = 12 kN/m. Pentru aceast valoare a forei distribuite, diagramele T i M sunt cele din figura alturat. Condiia de rezisten (max ( (a se scrie:/ppdiv class="embedded" id="_1132911095"/p108/p
p6/p
pa/p
p10/p
p18/p
p3/p
p6/p
p=/p
p/p
/ppde unde se obine a = 100 mm./ppRspunsul corect este b./ppR.11.6 Sistemul este static nedeterminat i se poate rezolva prin metoda Mohr-Maxwell. Valorile forelor axiale sunt:/ppN1 = ( 0,25F(sin2(; N2 = 0,5F(cos(;/ppN3 = 0,5F(2-cos2()./ppValoarea minim a efortului N1 este N1min = (0,25F i se obine pentru sin 2( = 1, adic pentru ( = 45(./ppRspunsul corect este c./ppR.11.7 Conditia pentru ca barele s intre n contact se scrie:/pp1(1(t0 + 2(2(t0 = (0/ppde unde se obine (t0 = 20(C. Dac variaia de temperatur este (t = 2(t0 = 40(C atunci n fiecare bar apare o for axial de compresiune N iar condiia de deformaie devine:/ppdiv class="embedded" id="_1132912322"/p0/p
p2/p
p2/p
p2/p
p1/p
p1/p
p1/p
p2/p
p2/p
p1/p
p1/p
pA/p
pE/p
pN/p
pA/p
pE/p
pN/p
pt/p
pt/p
pd/p
p=/p
p+/p
p+/p
pD/p
pa/p
p+/p
pD/p
pa/p
pl/p
pl/p
pl/p
pl/p
/ppde unde se determin N = ( 27761 N. Tensiunile n cele dou bare sunt:/ppdiv class="embedded" id="_1132912331"/pMPa/p
p7/p
p,/p
p34/p
pA/p
pN/p
p1/p
p1/p
p-/p
p=/p
p=/p
ps/p
i div class="embedded" id="_1132912337"/pMPa/p
p7/p
p,/p
p46/p
pA/p
pN/p
p2/p
p2/p
p-/p
p=/p
p=/p
ps/p
/ppRspunsul corect este f./ppR.11.8 Condiiile de echilibru i respectiv deformaie se scriu:/ppM = MOL + MAl/pp((Ol = ((Al sau div class="embedded" id="_1132912589"/p(/p
p)/p
p32/p
p60/p
p90/p
pG/p
pM/p
p32/p
p60/p
pG/p
pM/p
p4/p
p4/p
pAl/p
pAl/p
p4/p
pOL/p
pOL/p
p-/p
p/p
pp/p
p/p
p/p
p=/p
p/p
pp/p
p/p
p/p
pl/p
pl/p
/ppde unde se obin MOL = 0,425M i MAl = 0,575M. Din condiia de rezisten pentru fiecare material, rezult:/ppdiv class="embedded" id="_1132912858"/p80/p
p16/p
p60/p
pM/p
p425/p
p,/p
p0/p
pOL/p
pa/p
p3/p
pOL/p
p=/p
pt/p
p=/p
p/p
pp/p
p=/p
pt/p
( M( = 7,98 kNm/ppdiv class="embedded" id="_1132912907"/p(/p
p)/p
p60/p
p90/p
p16/p
p60/p
p90/p
pM/p
p575/p
p,/p
p0/p
pAl/p
pa/p
p4/p
p4/p
pAl/p
p=/p
pt/p
p=/p
p/p
p-/p
p/p
pp/p
p=/p
pt/p
( M(( = 11,99 kNm/ppMcap = min (M(, M(() = 7,98 kNm./ppRspunsul corect este a./ppR.11.9 Momentele de inerie Iy sunt aceleai pentru cele dou seciuni. Iz este mai mare pentru seciunea B deoarece, pentru dreptunghiurile de nlime 80 mm, la calculul momentului de inertie fa de axa Oz ce trece prin centrul de greutate, se adaug, conform formulei lui Steiner, termenul 2(80(5(12,52. Singurul rspuns n care div class="embedded" id="_1132913904"/pB/p
py/p
pA/p
py/p
pI/p
pI/p
p=/p
i div class="embedded" id="_1132913819"/pA/p
pz/p
pB/p
pz/p
pI/p
pI/p
p>
este varianta a.
Rspunsul corect este a.
Observaie: Varianta corect se poate obine i prin calcul direct. Se obine:
A
y
I
=
B
y
I
=133,5 cm4;
A
z
I
= 84 cm4;
B
z
I
=96,5 cm4.
TESTUL NR. 12 BUCURETI
REZOLVARE
R.12.1 Din ecuaia de momente fa de reazemul B, se obine VA = 2 kN, ndreptat n jos. Expresia momentului ncovoietor pe intervalul AB este M(x) = (2x [kNm]. Din ecuaia diferenial a fibrei medii deformate w(( = (M/(EI), scris pentru structura studiat, se obine EIw(( = 2x . Integrnd de dou ori, rezult:
2
1
3
1
2
C
x
C
3
x
EIw
;
C
x
EI
w
EI
+
+
=
+
=
j
=
Constantele de integrare se determin din condiiile x = 0 ( w = 0 i x = 1 m ( w = 0. Se obin C1 = 1/3 Nm2 i C2 = 0. Din condiia ( = 0 se obine x = 1/
3
m. Pentru aceast valoare a lui x, sageata este w(1/
3
) = 0,004 m = 4 mm.
Rspunsul corect este d.
R.12.2 Diagramele de momente M0 i m1 sunt prezentate n figura de mai jos.
1
1
n
Deoarece pe bara pe care exist ambele diagrame M0 este simetric iar m1 antisimetric, rezult c (10 = 0 i deci X = 0.
Rspunsul corect este b.
R.12.3 Caracteristicile geometrice ale seciunii pentru calculul la compresiune excentric sunt:
mm
93
,
79
A
I
i
y
y
=
=
;
mm
69
,
18
A
I
i
z
z
=
=
n sistemul de axe ce trece prin centrul de greutate al profilului, coordonatele punctului de aplican sistemul de axe ce trece prin centrul de greutate al profilului, coordonatele punctului de aplicaie a forei sunt: y0 = 45 mm i z0 = 100 mm. Ecuaia tensiunii se scrie:
(
)
z
0157
,
0
y
129
,
0
1
A
F
i
zz
i
yy
1
A
F
2
y
0
2
z
0
+
+
=
+
+
=
s
Tensiunea maxim apare n punctul de aplicaie a forei iar cea minim, n colul opus al seciunii (punctul de coordonate (45, (100). Introducnd coordonatele acestor puncte n ecuaia tensiunii, se obin valorile (max= 8,375F/A i (min = (6,375F/A. Rezult k = (1,3.
Rspunsul corect este a.
R.12.4 Din ecuaiile de momente n raport cu punctele B i C, se obin: N1 = F(L ( x)/L i N2 = Fx/L. Egalitatea tensiunilor la ntindere ( = N/A se scrie:
(
)
AL
2
Fx
AL
x
L
F
=
-
de unde se obine x = 2L/3. De aici se obin N1 = F/3 i N2 = 2F/3. Alungirile celor dou bare elastice sunt:
EA
3
FL
EA
L
N
1
1
1
1
=
=
d
i
EA
6
FL
EA
L
N
2
2
2
2
=
=
d
Deplasarea punctului de aplicaie a forei F se poate obine din schema de deformare a sistemului prezentat n figura alturat. Se poate scrie:
2
1
n
3
1
2
1
2
F
=
d
-
d
d
-
d
de unde se deduce:
EA
FL
9
2
3
2
2
1
F
=
d
+
d
=
d
Rspunsul corect este e.
R.12.5 Punctele A i C se deplaseaz n sus iar punctul B n jos. Se exclud astfel variantele b, c,d i f. Pe console, momentul ncovoietor este constant. Conform ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate, pe console sgeata w va fi o funcie de gradul doi iar rotirea de gradul nti. ntre reazeme, unde T ( 0, momentul este de gradul nti, deci sgeata va fi de o funcie de gradul trei iar rotirea o funcie de gradul doi. Aceasta corespunde situaiei prezentate n figura a.
Rspunsul corect este a.
R.12.6 Momentul de inerie axial Iy are expresia:
4
3
3
y
mm
5920000
12
80
15
2
12
120
50
I
=
-
=
.
Tensiunea tangenial maxim apare n centrul de greutate al seciunii transversale. Momentul static al suprafeei de deasupra centrului de greutate este:
3
y
mm
66000
20
40
20
50
50
20
S
=
+
=
Deoarece fora tietoare este constant n lungul barei (T = F), tensiunea tangenial maxim are expresia:
MPa
6
,
6
I
b
S
T
y
y
max
=
=
t
.
Momentul static pentru punctul K este:
3
K
y
mm
50000
50
20
20
S
=
=
.
Tensiunea tangenial minim n K se obine pentru limea maxim bmax K = 50 mm i este:
MPa
2
I
b
S
T
y
K
max
K
y
K
min
=
=
t
Raportul cerut este 3,3.
Rspunsul corect este f.
R.12.7 Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura de mai jos. n seciunea periculoas N = 49F, My = F, Mz =2F, Mt = F.
2
0
N
Deoarece fora axial este mare, ea nu se poate neglija la calculul de dimensionare. n acest caz, aplicnd teoria a III-a de rezisten, se obine:
3
2
y
2
z
2
y
d
F
5
32
d
F
4
W
M
M
A
F
p
+
p
=
+
+
=
s
l
;
3
p
t
d
F
16
W
M
p
=
=
t
l
;
2
2
ech
4
t
+
s
=
s
Din condiia (ech = (a, se obine:
2
3
2
3
2
2
a
d
F
16
4
d
F
5
32
d
F
49
4
p
+
p
+
p
=
s
l
l
de unde, prin ncercri, se obine d = 116,6 mm.
Se poate considera d = 117 mm. Rspunsul corect este d.
3
R.12.8 Sistemul de baz i diagramele de eforturi sunt prezentate n figura alturat. Diagramele M0 i m3 sunt simetrice, iar m1 si m2 sunt antisimetrice. Rezult c (10, (20, (13 i (23 sunt nule, deci X1 = X2 = 0. Singura necunoscut nenul este momentul ncovoietor X3. Coeficienii de influen sunt EI(30 = (5F2 i EI(33 = 6, de unde se obine X3 = M = 0,83F.
Rspunsul corect este f.
R.12.9 Fora necesar anulrii jocului se determin din condiia ca sgeata n captul liber al barei s fie egal cu jocul (. Expresia sgeii n captul liber este:
y
3
EI
48
F
5
w
l
=
n care Iy = 160000 mm4. Din condiia w = (, se obine F = 614,4 N.
Rspunsul corect este c.
TESTUL NR. 13 BUCURETI
REZOLVARE
R.13.1 Condiia pentru ca deplasarea s fie pe direcia forei este:
u
v
tg
=
a
,
o
M
M
unde u i v sunt deplasrile punctului K pe orizontal i respectiv vertical. Pentru calculul acestor deplasri se introduce n sistem pe rnd o for unitate orizontal i respectiv vertical. Diagrama de momente M a barei cotite precum i diagramele datorate forelor unitate sunt prezentate n figura de mai jos.
Cu ajutorul metodei Mohr-Maxwell, se calculeaz:
(
)
6
sin
3
cos
2
F
dx
Mm
EIu
3
u
a
-
a
=
=
l
(
)
6
cos
3
sin
8
F
dx
Mm
EIv
3
v
a
-
a
=
=
l
Din condiia enunat mai sus se obine ecuaia:
a
-
a
a
-
a
=
a
sin
3
cos
2
cos
3
sin
8
tg
cu soluia ( = 22,5(.
Rspunsul corect este f.
=
+
1
1
1
1
1
/
/
//
//
R.13.2 Problema se poate rezolva cu metoda Mohr-Maxwell. Sistemul de baz precum i sistemele 0 i 1 sunt prezentate n figura de mai jos.
Din ecuaiile de momente fa de articulaie, se obin
2
0
N
= 2,5Fsin45( = 125 kN i
2
1
n
= 0. Ecuaia de deplasri se scrie:
0
X
t
1
1
0
1
=
d
+
d
+
d
unde:
0
EA
n
N
i
i
i
1
i
0
0
1
=
=
d
l
,
(
)
N
mm
10
2
EA
n
6
i
i
2
i
1
1
1
-
=
=
d
l
,
(
)
mm
24
,
0
t
n
i
i
i
i
1
t
=
D
a
=
d
l
.
Se obine X = N1 = ( 120 kN. Fora axial n cealalt bar este N2 =
2
1
2
0
Xn
N
+
=125 kN iar tensiunile sunt (1 = ( 120 MPa i (2 = 125 MPa.
Rspunsul corect este c.
R.13.3 Deoarece pe feele unde lucreaz tensiunile (x i (z nu exist tensiuni tangeniale, nseamn c (x = (1 i (z = (2 sunt tensiuni principale. Din relaiile:
a
s
-
s
+
s
+
s
=
s
2
cos
2
2
2
1
2
1
;
a
s
-
s
=
t
2
sin
2
2
1
,
cu ( = 120 MPa, ( = 60 MPa i 2( = 60(, se obin: (x = (1 = 154,6 MPa i (z = (2 = 16,1 MPa. Deformaia specific principal maxim are expresia:
(
)
4
2
1
1
10
49
,
7
E
1
-
=
ns
-
s
=
e
Rspunsul corect este d.
R.13.4 Incrcarea este antisimetric fa de diametrul orizontal al barei curbe. Reaciunile prezint i ele simetrie, fiind dispuse ca n figura alturat. H3 = 0 deoarece reaciunile orizontale din 1 i 2 se anuleaz. Se poate considera V1 = X. Gradul de nedeterminare este GN = 1.
Rspunsui corect este a.
3
R.13.5 Diagrama de momente M pentru ncrcarea studiat precum i diagrama m datorat unei fore unitate aplicat n punctul C sunt prezentate n figura de mai jos.
Deplasarea se calculeaz cu relaia Mohr-Maxwell, rezultnd:
(
)
2
2
2
6
x
x
Fa
dx
Mm
EI
l
l
l
-
=
=
d
Valoarea maxim se obine dac dw/dx = 0, adic pentru x =
3
/3.
Rspunsul corect este c.
3
R.13.6 Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura de mai jos.
n seciunea periculoas apar urmatoarele eforturi: N = F; M = FR. Carac-teristicile geometrice ale seciunii transversale sunt: A = 2400 mm2 i Iy = 720000 mm4. Excentricitatea poate fi calculat cu relaia aproximativ
mm
5
,
1
AR
I
e
y
=
.
Conform figurii alturate, se pot calcula mrimile: R1 = 170 mm, R2 = 230 mm, d1 = 28,5 mm, d2 = 31,5 mm. Tensiunile n punctele cele mai deprtate de axa neutr sunt:
F
10
73
,
9
R
d
Ae
M
A
N
3
1
1
max
int
-
=
+
=
s
=
s
F
10
192
,
7
R
d
Ae
M
A
N
3
2
2
min
ext
-
-
=
-
=
s
=
s
Raportul cerut este k = (0,739.
Rspunsul corect este e.
R.13.7 Momentele ncovoietoare sunt My = Fb i Mz = 0,5Fb. Modulele de rezisten ale seciunii transversale sunt Wy = 2b3/3 i Wz = b3/3. Tensiunile maxim i respectiv minim sunt:
2
2
2
z
z
y
y
min
max,
b
2
F
3
b
2
F
3
b
2
F
W
M
W
M
A
N
-
=
=
s
de unde se obin: (max = 2,5F/b2 i (min = (3,5F/b2.
Din condiiile (max = (at i (min = (ac, se obin dou valori ale forei F( = 39,2 kN i F(( = 35 kN. Se alege valoarea minim.
Rspunsul corect este c.
R.13.8 Fie b = x i h dimensiunile dreptunghiului. Se poate scrie relaia:
d2 = b2 + h2.
Modulul de rezisten Wy al seciunii dreptunghiulare este:
(
)
(
)
6
x
d
x
6
bh
x
W
2
2
2
y
-
=
=
Acesta are o valoare maxim n punctul unde derivata sa se anuleaz, adic pentru x = d/
3
. Se obine b = 100 mm i h = 100
2
mm. Rezult k = 0,707.
Rspunsul corect este a.
R.13.9 Rspunsul corect este b. La solicitarea axial lungirile specifice sunt constante pe ntreaga seciune, deci ( = constant. Cum ( = E(( ( ( = constant.
TESTUL NR. 14 BUCURETI
REZOLVARE
R.14.1 Din condiia ca sgeata arcului s fie egal cu (, se obine fora necesar anulrii jocului:
n
R
64
f
Gd
F
3
4
=
.
Raportul FAB/FBA va fi:
37
,
1
f
Gd
n
R
64
n
R
64
f
Gd
F
F
2
2
2
3
2
1
3
1
2
1
BA
AB
=
=
Rspunsul corect este c.
R.14.2 Deoarece sistemul de bare este simetric, rezult c N1 = N2. Din ecuaia de echilibru pe vertical a nodului C, se obine 2N1(cos60( + F = N3. ntre lungirile barelor 1 i 3, exist relaia (1 = (3( cos60(. Scriind expresia lungirii i rezolvnd sistemul de ecuaii, se obine N3 = 16F/13. Deplasarea nodului C este de fapt lungirea barei 3, adic:
EA
13
F
12
A
2
E
5
,
1
N
3
3
l
l
l
=
=
D
de unde se obine F = 13 kN.
Rspunsul corect este b.
R.14.3 Fora distribuit poate fi descompus ntr-o for uniform distribuit echivalent cu p i una distribuit n triunghi, echivalent cu p/2. Scriind ecuaia de momente fa de reazemul B, se obine VA =2p/3. Expresiile forei tietoare i momentului ncovoietor ntr-o seciune oarecare a barei sunt:
(
)
2
x
2
p
px
3
p
2
x
T
-
-
=
l
l
(
)
3
2
x
6
p
x
2
p
x
3
p
2
x
M
-
-
=
l
l
Momentul maxim este n seciunea n care T = 0, adic pentru x = 0,528 i are valoarea Mmax = 0,188p2.
Rspunsul corect este a.
R.14.4 Scriind ecuaiile de momente fa de capetele barei rigide, se obin forele din arcuri F1 = F( ( x)/ i respectiv F2 = Fx/. Condiia ca bara rigid s rmn orizontal este aceea ca sgeile celor dou arcuri s fie egale. nlocuind expresiile forelor n relaia
4
2
2
3
2
2
4
1
1
3
1
1
Gd
n
R
F
64
Gd
n
R
F
64
=
se obine x = 0,283.
Rspunsul corect este b.
R.14.5 Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura alturat. Pentru calculul deplasrii verticale n captul liber se introduce o for unitate i se traseaz diagramele de momente pentru aceast ncrcare. Aceste diagrame sunt identice cu cele prezentate, pentru F = 1. Deplasarea se obine din relaia Mohr-Maxwell:
(
)
l
l
l
l
l
l
l
l
l
+
+
=
+
=
d
2
F
GI
1
3
2
2
2
2
F
2
3
2
2
F
EI
1
dx
m
M
GI
1
dx
m
M
EI
1
p
y
t
t
p
y
y
y
innd seama c G = E/(2 + 2() = E/2,6 i c Ip = 2Iy, se obine
y
3
EI
F
6
,
5
l
=
d
, de unde rezult F = 664 N.
Rspunsul corect este e.
2
R.14.6 Pentru calculul deplasrii orizontale n captul liber se traseaz diagrama de momente M i cea dat de o for unitate orizontal aplicat n acest punct (figura alturat). Aplicnd relaia Mohr-Maxwell, se obine EIyu=F3/2. Din condiia u = ( rezult F0 = 2(EIy/3 . Dc pe bar se aplic o for F = 2F0, sistemul devine static nedeterminat. Considernd drept necunoscut reaciunea din reazemul orizontal, sistemul de baz se descompune n dou sisteme ale cror diagrame de momente sunt aceleai ca cele anterioare (considernd X = 1). Se obine succesiv: EIy(10 = F3/2, EIy(11 = 7F3/3; X = (3F/14. Seciunea periculoas este n ncastrare unde
2
y
0
max
7
EI
22
7
F
11
14
F
11
M
l
l
l
d
=
=
=
iar tensiunea maxim are valoarea:
MPa
66
7
z
E
22
z
I
M
2
max
max
y
max
max
=
d
=
=
s
l
Rspunsul corect este d.
R.14.7 Din ecuaia de momente fa de reazemul 2, se obine VB = q(x ( )/2. Momentele n punctele 2 i 3 au expresiile:
2
p
M
2
2
l
-
=
;
(
)
2
x
q
M
3
l
l
-
=
Din condiia (Mk = 0, se obine x = 2.
Rspunsul corect este e.
R.14.8 Izolnd cei doi arbori, se obine schema din figura alturat. Din condiia ca rotirea celor doi arbori n dreptul bolului s fie aceeai, se obine:
2
(
)
(
)
[
]
(
)
32
d
G
2
M
M
32
d
2
,
1
d
5
,
1
G
2
M
4
x
4
4
x
p
-
=
-
p
l
l
de unde se obine Mx = 0,749 M. Tensiunile maxime n eav i arbore sunt:
(
)
3
4
3
1
d
M
914
,
1
d
5
,
1
d
2
,
1
1
16
d
5
,
1
M
749
,
0
=
-
p
=
t
3
3
2
d
M
093
,
5
16
d
M
=
p
=
t
Punnd condiia (max = (a, se obine d = 50 mm.
Rspunsul corect este d.
R.14.9 Rspunsul corect este b.
TESTUL NR. 15 BUCURETI
REZOLVARE
R.15.1 Tensiunea tangenial pe o suprafa nclinat este dat de relaia:
a
t
-
a
s
-
s
=
t
2
cos
2
sin
2
xy
y
x
Deoarece pe direciile prinicpale tensiunea tangenial este nul, din relaia de mai sus se obine:
MPa
10
2
sin
2
2
1
=
a
s
-
s
=
t
Rspunsul corect este e.
R.15.2 Singura seciune la care nici una dintre axe nu este o ax de simetrie este cea din figura b.
Rspunsul corect este b.
'
B
H
R.15.3 Izolnd arborele i placa rigid, se obin schemele din figura alturat. Rotirea n captul liber al arborelui se scrie:
(
)
p
p
GI
N
2
M
GI
5
,
1
N
2
l
l
l
l
-
+
-
=
j
Aceeai rotire se poate exprima funcie de scurtarea celor dou bare solicitate la compresiune:
EA
N
tg
=
D
=
j
j
l
l
Egalnd cele dou expresii ale rotirii, se obine fora axial N = 500 N. Momentul creat de forele axiale este M1 = 2N = 0,2 kNm. Momentul de rsucire maxim este de 0,3 kNm iar tensiunea maxim din arbore are valoarea:
MPa
2
,
12
W
M
p
max
max
=
=
t
.
Rspunsul corect este e.
'
A
H
R.15.4 Centrul de greutate al seciunii transversale este notat cu G n figura alturat. Momentele de inerie sunt Iy = 986666 mm4 i Iz = 2346666 mm4. Razele de inerie ale seciunii sunt:
mm
56
,
17
A
I
i
y
y
=
=
;
mm
08
,
27
A
I
i
z
z
=
=
.
Coordonatele punctului de aplicaie a forei F n sistemul de axe ce trece prin centrul de greutate sunt: y0 = 20 mm i z0 = (5 mm. Ecuaia tensiunii normale este:
(
)
z
0162
,
0
y
0273
,
0
1
A
F
i
zz
i
yy
1
A
F
2
y
0
2
z
0
-
+
=
+
+
=
s
Axa neutr a seciunii este reprezentat n figur cu linie ntrerupt. Punctele cele mai deprtate de aceasta ax sunt A(40,(25) i B((40,35). nlocuind coordonatele acestor puncte n ecuaia tensiunii, se obin:
(A = (max = 2,497 F/A ; (B = (min = (0,659 F/A.
Raportul n are valoarea ( 3,79.
Rspunsul corect este f.
R.15.5 Montajul se poate realiza n dou moduri: fie se aplic o for n nodul B2 pentru a lungi bara 2, fie se aplic o for n nodul B1, trgnd de barele 1 i 3.
n primul caz, fora se determin din condiia
1000
2
EA
2
F
2
l
l
l
=
=
D
de unde se obine F = 20 kN.
n al doilea caz, scriind ecuaiile de echilibru pentru nodul B1 se obin forele axiale N1 = N2 =
2
2
F
-
. Proiectnd deplasarea ( pe direcia forei N1 se obine:
EA
2
2
F
EA
N
45
cos
1
1
l
l
l
-
=
=
D
=
d
-
de unde se obine aceeai valoare F = 20 kN.
Rspunsul corect este c.
'
B
H
R.15.6 Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura alturat.
innd seama c = 10d, n seciunea periculoas se poate scrie:
2
3
2
y
2
z
2
y
d
F
12
,
513
32
d
F
5
4
d
F
3
W
M
M
A
N
=
p
+
p
=
+
+
=
s
l
2
3
p
t
d
F
86
,
101
16
d
F
2
W
M
=
p
=
=
t
l
2
2
2
ech
d
F
08
,
552
4
=
t
+
s
=
s
Din condiia (ech = (a, se obine d = 60 mm.
Rspunsul corect este b.
R
r
r = 0.8R
M
t
t
max
t
min
R.15.7 Grinda se poate descompune aa cum se prezint n figura alturat. Din ecuaiile de momente fa de punctele C i D pentru grinda din mijloc se obin necunoscutele:
X1 = kF/3 i X2 = 2kF/3.
Scriind ecuaiile de momente fa de punctele A i B pentru grinzile ncastrate se obin momentele din ncastrari: MA = 3F ( 0,5kF i MB = 6F ( kF. Din condiia MB = MA se obine k = 6.
Rspunsul corect este d.
R.15.8 Rspunsul corect este e.
R.15.9 Din relaiile:
n
30
M
t
P
p
=
i
p
t
W
M
=
t
se obine:
p
nW
30
p
=
t
P
innd seama c n1 = 2n2 i egalnd tensiunile din cei doi arbori, rezult:
Wp2 = 2Wp1, sau:
16
d
2
D
d
1
16
D
3
1
4
3
p
=
-
p
,
de unde d = 202 mm. Grosimea peretelui va fi t = (D ( d)/2 = 39 mm.
Rspunsul corect este a.
TESTUL NR. 16 BUCURETI
REZOLVARE
R.16.1 Momentul ncovoietor ntr-o seciune oarecare a barei este M(x) = px2/2 iar modulul de rezisten axial are expresia:
(
)
(
)
2
200
x
2
y
e
49
5
6
x
bh
x
W
+
=
=
Expresia tensiunii normale este:
2
200
x
2
y
e
49
10
px
W
M
+
=
=
s
Pentru determinarea seciunii unde tensiunea este maxim, se pune condiia
0
dx
d
=
s
, sau
0
e
49
e
200
x
e
49
5
px
3
200
x
200
x
200
x
=
+
-
+
.
Excluznd soluia x = 0, ecuaia se rezolv prin ncercri, rezultnd x ( 626,8 mm. Pentru aceast soluie se obine tensiunea maxim (max = 7,586p. Din conditia (max = (a , rezult p = 15 N/mm.
Rspunsul corect este c.
R.16.2 Se pune condiia (AC = (. Reaciunea HA are valoarea 2q iar forele axiale sunt NAB = 2q (qx i respectiv NBC = q (qx. Se obine:
(
)
(
)
EA
q
5
,
1
dx
EA
x
N
dx
EA
5
,
1
x
N
2
BC
BC
AB
AB
AC
l
l
=
+
=
D
Din condiia (Ac = ( se obine q = 60 N/mm.
Rspunsul corect este f.
R.16.3 Din condiia ca n articulaia interioar momentul s fie nul, se obine VA = 0,5p2. Deoarece ncrcarea este simetric, rezult VD = 0,5p2. Scriind suma forelor pe vertical i innd seama c VB = VC (din aceleai considerente de simetrie), rezult pentru aceste dou reaciuni valoarea VB = VC = 2,5p2. Trasnd diagramele de eforturi, se obine n seciunea periculoas (T(= 1,5p i (M( = p2.
Rspunsul corect este b.
R.16.4 Ambele sisteme sunt simplu static nedeterminate. Pentru primul caz, sistemul de baz precum i diagramele M0 i m1 sunt prezentate n figura de mai jos. Se poate observa c diagramele nu au nici o poriune comun, deci (10 = 0 i n acest caz X = 0.
La fel se ntmpl i cu cellalt sistem. Pentru calculul deplasrii n seciunea K, se intr