1.Se consider modelul:yt = a + bxt + utn urma prelucrrii electronice a calculelor econometrice privind modelul de mai sus s-au obinut urmtoarele rezultate:

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R0,6809

R Square0.46362

Adjusted R Square0,4223

Standard Error7,5104

Observations15

R Square = R2=0.68092=0.46362

ANOVA

dfSSMSFSignificance F

Regression1633,6594633.659411.233960,0052

Residual13733.1051956,4057

Total141366.76459

R2=SSR/SST => SST=1366.76459MSR=SSR / dfSy/x2 = MSRMSR/MSE=11.23396

CoefficientsStandard Errort StatP-valueLower 95%Upper 95%

Intercept-8,518513.4044-0,63550,5361-37,474920.4376

X Variable 10,18120,05413.34930,00520.06460,2981

Durbin Watson Statistics = 1,54 ( d1 = 1,08; d2 = 1,36)F (White Heteroskedasticity Test) =2,03 (Critical F (White Heteroskedasticity Test) = 3,88)

= -8.5185 ; = 0.1812Sb=0.0541t1calc= /Sa => -0.6355=-8.5185/Sa => Sa=13.4044

t2calc= /Sb => t2calc = 0.1812/0.0541 => t2calc = 3.3493lower 95% - t/2,n-2*Sa = -37.4749 => t/2,n-2= 2.1602

- t/2,n-2*Sb= 0.1812 2.1602 * 0.0541 = 0.0646Upper 95% + t/2,n-2*Sa = 20.4376

+ t/2,n-2*Sb = 0.2981

Se cere:1) Sa se scrie ecuatia de regresie si sa se interpreteze economic valorile coeficientilor

Y=20.4376+0.2981*X

este estimatorul punctului de intercepie () obinut pe baza datelor din eantion; este estimatorul pantei liniei drepte () obinut pe baza datelor din eantion; arata ca media este in crestere cu 0.1812 Fsignificance =0.0052 < 0.05 => modelul este valid Coeficientul de determinatie: 46.362%

2) S se verifice semnificaia parametrilor modelului, s se determine intervalele de ncredere corespunztoare acestora (Critical t = 2,16);

= -8.5185 = punctul in care variabilele explicative sunt 0. t=| - 0.6355| nu este semnificativ diferit de 0, deci nu este semnificativ statistic.

Intervalul de incredere pt : - t/2,n-2*Sa tcrit, rezulta respingem H0, deci e semnificativ statisticIntervalul de incredere pentru este: b-tcrit*sbb+tcrit*sb, rezulta 0.6975632.737088

4. Analizati sensul si intensitatea legaturii dintre cele doua variabile si testati semnificatia indicatorului utilizat.

b=1.7173 > 0, rezulta ca legatura dintre cele doua variabile este directaintensitatea legaturii dintre cele doua variabile rezulta din calculul raportului de corelatie R=(SSR/SST)=0.808327, deci legatura este destul de puternicaH0: R nu este semnificativ statisticH1: R este semnificativ statisticF=R2/(1-R2)*8=0.653393/(1-0.653393)*8=15.0809>Fcrit, rezulta ca respingem ipoteza nula, deci R este semnificativ statistic

5. Sa se calculce valorile estimate de model si erorile.

abVanzari (Yi)Profit (Xi)Valorile estimate de model: i=-a+bxiErorile: yi-i

-2,693011,717325779,328267477-2,328267477

-2,693011,717325667,610942249-1,610942249

-2,693011,717325679,328267477-3,328267477

-2,693011,717325855,8936170212,106382979

-2,693011,7173251479,3282674774,671732523

-2,693011,717325544,1762917930,823708207

-2,693011,717325151014,480243160,519756839

-2,693011,717325879,328267477-1,328267477

-2,693011,717325161014,480243161,519756839

-2,693011,71732510811,04559271-1,045592705

6. Pe baza seriei erorilor sa se verifice ipoteza de non-autocorelare a erorilor utilizand testul Durbin-Watson pentru un nivel de semnificatie de 5%(d1=1,08 i d2=1,36)

Erori eiei-ei-1(ei-ei-1)2ei2d

-2,3282674770,71732522872,5873451,471121,410254

-1,610942249-1,717325228

-3,3282674775,434650456

2,1063829792,565349544

4,671732523-3,848024316

0,823708207-0,303951368

0,519756839-1,848024316

-1,3282674772,848024316

1,519756839-2,565349544

-1,045592705

TESTUL DURBIN-WATSONH0: erorile nu sunt autocorelate (=0)H1: erorile sunt autocorelate (0)

d=((ei-ei-1)2)/(ei2)=1.410254 care se gaseste in intervalul (d2, 4-d2), deci acceptam ipoteza H0 , erorile nu sunt autocorelate

7. Sa se verifice ipoteza de normalitate a distributiei erorilor(S= -0.841, K= -1.137) pentru un nivel de semnificatie de 5%( ).

TESTUL JARQUE-BERAH0: erorile sunt normal distribuiteH1: erorile nu urmeaza o distributie normalaJB = 10/6 * (S2+(K-3)2/4)= 8.31 > 2,2 , deci respingem ipoteza nula, erorile nu sunt normal distribuite.

8. Sa se verifice ipoteza de homoschedasticitate a erorilor daca F (White Heteroskedasticity Test) =2,84 (Critical F (White Heteroskedasticity Test) = 3,88).H0: erorile prezinta homoscedasticitateH1: erorile prezinta heteroscedasticitateF = 2.84 < Critical F = 3.88 deci acceptam ipoteza nula, erorile sunt homoscedastice.

9. tiind c n perioada imediat urmtoare xt+1 = 20 s se estimeze yt+1 pe baza unui interval de ncredere.

n acest caz, dac :

unde:

estimaia punctual a valorii de prognoz pentru variabila y;

valoarea real a variabilei y n momentul de prognoz ().

Sub form matriceal, relaia anterioar devine:

unde:

=- reprezint matricea coloan a valorilor de prognoz ale variabilelor () pentru momentul ().

mil. RON.n vederea estimrii intervalului de ncredere pentru aceast valoare probabil este necesar calcularea dispersiei de prognoz acestei valori cu ajutorul relaiei:

7 7177494949

6621216363636

6731821423649

8543220406425

147570359819649

5463024202516

1510710570150225100

8786456566549

1610914490160256100

10810100808010064

95711725824197311052537

12 b0 + b1 * 95+ b2*71=17295*b0 + b1 * 1052 + b2 * 731=58271*b0 + b1 * 731 + b2 * 537 = 419

B0=207.03 B1=63.88 B2=-118.52

Intervalul de ncredere a prognozei profitului, estimat cu un prag de semnificaie , pentru care valoarea lui , preluat din tabela distribuiei Student, este se va calcula cu ajutorul relaiei:

n concluzie, pentru un prag de semnificaie de 5%, profitul va fi cuprins ntre 160 i 301 milioane lei.

10. Daca se include in cadrul modelului o a doua variabila exogena timpul sa se estimeze parametrii modelului de regresie bifactoriala de forma: si sa se interpreteze economic si econometric rezultatele obtinute(rezolvarea se va face in excel).

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R0,827778

R Square0,685216

Adjusted R Square0,595277

Standard Error2,584168

Observations10

ANOVA

dfSSMSFSignificance F

Regression2101,754550,877277,6187270,0175

Residual746,745466,677923

Total9148,5

CoefficientsStandard Errort StatP-valueLower 95%Upper 95%Lower 95.0%Upper 95.0%

Intercept-2,750713,302202-0,832990,432348-10,55925,057757-10,55925,057757

X Variable 11,5153740,5104992,9684150,0208550,3082352,7225130,3082352,722513

X Variable 20,2711920,3223790,8412220,428022-0,491111,033496-0,491111,033496

RESIDUAL OUTPUT

ObservationPredicted YResiduals

18,128098-1,1281

26,883917-0,88392

38,670482-2,67048

45,9109272,089073

59,2128674,787133

64,9379380,062062

714,301370,698628

810,02644-2,02644

914,843761,156244

1012,0842-2,0842

Vanzari (Yi)Profit (X1i)Timpul (X2i)

771

662

673

854

1475

546

15107

878

16109

10810

Ecuatia modelului de regresie bifactoriala: i = -2.75 + 1.51*x1i + 0.27*x2i

Interpretare parametrii:In cazul in care profitul creste cu 1 mil. RON, iar timpul ramane constant, atunci vanzarile cresc cu 1.51 zeci mil. RON.Daca timpul creste cu 1 luna, iar profitul ramane constant, atunci vanzarile cresc cu 0.27 zeci mil. RON.

Se observa ca b1 si b2 sunt pozitivi, deci legatura dintre variabile este directa.F = 7.618 > F critic =5.317, deci respingem ipoteza nula si acceptam ipoteza alternativa, adica modelul este valid.

Se observa ca doar parametrul 1 este semnificativ statistic (t = 1.96 > t critic), pe cand parametrii si 2 nu sunt semnificativi statistic ( t< t critic sau capetele intervalelor de incredere au semne diferite sau P-value > 0.05)

Coeficientul de determinatie R2 = 0.68 ne arata ca 68% din variatia vanzarilor este explicata de variatia profitului si a perioadei de timp.