0

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

TEORIA TELETRAFICULUI

Partea 1 CICLU DE PRELEGERI

Chiinu

2013

1

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

Facultatea Inginerie i Management n

Electronic i Telecomunicaii Catedra Telecomunicaii

TEORIA TELETRAFICULUI

Partea 1 CICLU DE PRELEGERI

Chiinu

Editura Tehnica-UTM

2013

2

Lucrarea de fa include prima parte a cursului Teoria teletraficului i este divizat n dou compartimente. n

primulcompartiment snt analizateprincipalele modele matematice

ale proceselor de sosire n sistemele de telecomunicaii, iar n al doilea compartiment - subiectele referitoare la teletrafic.

Obiectivul acestei discipline const n definirea unor modele

matematice care descriu funcionarea sistemelor de telecomunicaii. Prin analiza acestor modele se poate determina raportul optimal

dintre nivelul de calitate a serviciului i capacitatea sistemului. Astfel, teoria devine un instrument important n planificarea

judicioas a investiiilor, facilitnd familiarizarea viitorilor ingineri cu principalele metode utilizate la tratarea acestor probleme.

Cursul Teoria teletraficului este destinat studenilor UTM cu

profilul 525 Electronic i comunicaii, specialitile Teleradio

comunicaii, cu forma de studii la zi i cu frecven redus.

Autor: conf.univ., dr. Ion NAZAROI

Recenzent: conf.univ., dr. Lucreia NEMERENCO

Redactor: Eugenia BALAN

Bun de tipar 27.09.13 Formatul 60x84 1/16

Hrtie ofset. Tipar RISO Tirajul 50 ex.

Coli de tipar 3,0 Comanda nr.93

U.T.M., 2004, bd. tefan cel Mare i Sfnt, 168

Editura TehnicaUTM

2068, Chiinu, str. Studenilor, 9/9

U.T.M., 2013

3

INTRODUCERE

Teoria teletraficului se preocup de problemele de evaluare a

performanei i de planificare a sistemelor de telecomunicaii,

bazndu-se pe teoria probabilitilor, teoria ateptrii, statistic,

analiza combinatorie.

Termenul teletrafic acoper toate tipurile de trafic de

telecomunicaii. ns n cadrul acestui curs teoria va fi ilustrat mai

des prin exemple din sistemele de telefonie sau transport date. n

acelai timp, se accentueaz cinstrumentarul dezvoltat nu depinde

de tehnologie i este aplicabil i n alte domenii de activitate cum ar

fi traficul de producie, de stocare i distribuie, rutier, aerian, naval,

orice tip de sistem de servire stohastic.

Obiectivul disciplinei teoria teletraficuluiconst n definirea unor

modele matematice care descriu funcionarea sistemelor de

telecomunicaii.Prin analiza acestor modele se poate determina

raportul optimal dintre nivelul de calitate a serviciului i capacitatea

sistemului. Astfel, teoria devine un instrument important n

planificarea judicioas a investiiilor.

Modelul matematic al procesului de servire tratat n teoria

teletraficului include patru elemente de baz:

1. Proprietile statistice ale traficului.Snt determinate de

cererile utilizatorilor sistemului de telecomunicaii, fiind

urmtoarele:

a) procesele aleatoarede sosire a cererilor de apel;

b) procesele aleatoare ce descriu timpii de servire.

Aceste dou procese, de regul, se consider independente,

deoarece durata apelului nu depinde de timpul sosirii lui. n figura

1.1 este ilustrat terminologia folosit pentru procesul trafic.

Momentul apariiei, de exemplu, al unui apel telefonic este numit

timp sosire, iar momentul finalizrii servirii apelului timp

plecare. Intervalul dintre dou sosiri succesive este numit interval

intersosiri.

4

Fig.1.1. Terminologia aplicat pentru procesul trafic

2. Structura sistemului de servire. Este determinat de un ir de

parametri care descriu partea material (hardware), precum i

ansamblul de programe (software). Descrierea detaliat a sistemelor

de telecomunicaii este subiectul disciplinelor tehnice.

3. Strategia de operare sau disciplina de servire determin modul

de utilizare a sistemului de prelucrare n funcie de cerinele

traficului. De exemplu, pierderea sosirilor blocate, ateptarea

eliberrii resurselor ntr-un ir de ateptare sau repetarea

tentativelor de apel.

4. Indicatorii calitii de servire se determin n funcie de

proprietile i caracteristicile procesului de sosire, structura i

parametrii sistemului de servire i strategia de operare. Este posibil

i sarcina invers - determinarea parametrilor sistemului de servire

de anumit structur n funcie de proprietile procesului de sosire,

strategia de operare i indicatorii de calitate predefinii.

1. PROCESE DE SOSIRE

1.1. DESCRIEREA PROCESELOR PUNCT

Termenul sosire n teoria teletraficului se utilizeaz n general ca

tentativa de a stabili o comunicaie prin intermediul sistemului de

servire cu scopul transmisiunii de informaie. n calitate de surse de

sosiri pot servi aparatul telefonic sau calculatorul, programul de

calculator etc. Deseori termenulsosireeste nlocuit cuapel, client,

unitate de trafic.

5

Fluxul apelurilor telefonice n sistemul de comutaie sau

almesajelor la un server formeaz un proces de sosire. Procesul de

sosire este de regul un proces stocastic. Procesele stocastice snt

modele matematice de studiu ale fenomenelor aleatorii. Matematic

acestea se descriu ca procese stocastice punct. Cele mai importante

procese punct snt procesele Poisson care vor fi descrise detaliat n

continuare. Un proces stocastic este format dintr-un ir, de regul

infinit, de variabile aleatoare dependente de parametrul timp. n general, procesul de sosire poate fi descris astfel (fig. 1.2):

timpii it de sosire a clientului/apelului:

......0 1210 ii ttttt , (1.1)

intervalele de timp dintre dou sosiri succesive:

1 iii ttX , ,...2,1i (1.2)

numrul de sosiri tN n intervalul semideschis t,0 . n corespundere cu cele dou variabile aleatoare tN i iX ,

procesul punct poate fi caracterizat sub dou aspecte:

reprezentarea numr tN - cnd intervalul timp t este constant

i se observ variabila aleatoare tN ca numr de apeluri sosit

n acest interval;

reprezentarea interval iT numrul sosirilor n este constant

i se observ variabila aleatoare iT pentru intervalul de timp

pn ce vor interveni n sosiri (fig. 1.2).

Fig.1.2. Moduri de descriere a procesului de sosire

6

Din figura 1.1 se observ:

n

iin XT

1

. (1.3)

Relaia fundamental simpl dintre aceste dou valori aleatoare

este nNt , dac tTn . Probabilitatea c numrul de sosiri tN

n intervalul de timp t va fi mai mic dect neste egal cu probabilitatea c intervalul timp nT pn vor sosi n apeluri este mai

mare sau egal cu t :

)()( tTpnNp nt , ,...2,1n (1.4)

Aceast relaie este numit identitatea Feller-Jensen.

Reprezentarea numr i reprezentarea interval a procesului punct

snt echivalente.

1.2. PROPRIETILE PROCESULUI DE SOSIRE

1.2.1. Proces staionar

Staionar (omogen n timp) este procesul, caracteristicile

probabilistice ale cruia nu depind de timp. Cu alte cuvinte, pentru

procesul staionar probabilitatea sosirii apelurilor n intervalul t depinde doar de durata lui, dar nu i de plasarea intervalului pe axa

timpului.

Definiie. Pentru oricare 02 t arbitrar i orice 0k

probabilitatea c n intervalul 211, ttt vor sosi k apeluri este independent de 1t , deci, pentru orice t i k va fi adevrat

egalitatea:

}{}{

121121kNNpkNNp tttttttt . (1.5)

Staionaritatea procesului de sosire poate fi definit i prin

reprezentarea interval ca independena i distribuirea identic (IID)

a tuturor intervalelor de timp ntre sosirile succesive iX .

Procesul de sosire a apelurilor la o central telefonic este

nestaionar. Intensitatea acestui proces, numrul mediu de apeluri pe

7

uniti de timp variaz n funcie de trimestrul i luna anului, de

ziua sptmnii i de or. Totui, pe parcursul zilei poate fi aleas o

perioad de una-dou-trei ore, cnd procesul de sosire este aproape

de cel staionar.

1.2.2. Proces cu postaciune

Cu postaciune este procesul la care caracteristicile probabilistice

depind de evenimentele anterioare. Cu alte cuvinte, probabilitatea

sosirii apelului n intervalul 21,tt depinde de numrul, momentele i timpul de servire a apelurilor venite pn la momentul 1t .

Pentru procesul independent (fr postaciune), probabilitatea

condiionat a sosirii apelurilor n intervalul 21,tt calculat cu anumite presupuneri,privind procesul de servire pn la momentul

1t , este egal cu cea necondiionat. Aceast proprietate poate fi

exprimat prin condiia c evoluia procesului nu depinde de

evenimentele ulterioare, ce doar de starea actual.

Definiie. Probabilitatea c un numr de k sosiri se va afla n

intervalul 211, ttt este independent de numrul de sosiri pn la momentul 1t :

}{}{

120112kNNpnNNkNNp tttttt . (1.6)

Dac aceast proprietate se pstreaz pentru orice t , atunci procesul este numit procesul Markov. Pentru un proces Markov

evoluia sistemului depinde doar de starea prezent a lui, dar nu i

de modul cum a fost obinut aceasta stare. Se mai consider c

procesul este fr memorie.

Dac independena se refer numai la anumite puncte timp, de

exemplu momentele de sosire a apelurilor, atunci aceste puncte snt

numite puncte de echilibru sau puncte de regenerare[4]. Procesul

respectiv are postaciune limitat i trebuie cunoscut doar intervalul

precedent de pn la ultimul punct de regenerare.

Procesul de sosire de la un grup destul de mare de surse, dup

proprietile sale, este apropiat procesului independent cu condiia

8

c nu se iau n considerare tentativele repetate. i invers, procesul

de sosire generat de un grup mic de surse are o postaciune

semnificativ. De exemplu, dac numrul de abonai 10N , atunci probabilitatea sosirii apelurilor depinde semnificativ de numrul de

abonai liberi libN . n cazul cnd toate sursele snt libere, aceast

probabilitate este mai mare dect atunci cnd 5libN . Numrul de

surse libere, la rndul su, depinde de evenimentele precedente, prin

ce i se manifest postaciunea procesului. Cu creterea capacitii

grupului de surse se micoreaz treptat i cota surselor ocupate din

numrul lor sumar. Corespunztor, slbete postaciunea procesului

i, ncepnd cu o oarecare valoare limit limN , aceasta poate fi

ignorat.

Procesul de sosiri repetate este, deasemenea,un exemplu de

proces cu postaciune, deoarece apelul repetat apare ca rezultat al

pierderiiapelului precedent.

Procesele cu postaciune se mpart n dou clase: cu postaciune

simpli cupostaciune limitat. Mai detaliat vom studia aceste

clase de procese ntr-un paragraf aparte.

1.2.3. Proces simplu (ordinar)

Simplueste procesul pentru care practic snt imposibile sosirile

multiple, n grup.

Definiie. Un proces punct este numit simplu sau ordinar dac

probabilitatea c ntr-un interval de timp t ,suficient de mic, producerea a dou sau mai multe evenimente este neglijabil n

raport cuprobabilitatea producerii cel mult a unui singur eveniment,

adic:

)(0}2{ tNNp ttt . (1.7)

Procesul cu sosiri multiple, neordinar, poate fi considerat o

succesiune simpl a momentelor de sosire.

n reelele de telecomunicaii procesurile de sosire, de regul,

snt simple.

9

1.3. CARACTERISTICILE PROCESULUI DE SOSIRE

Printre caracteristicile principale ale procesului aleator putem

enumera: funcia de renoire, parametrul i intensitatea.

Funcia de rennoire a procesului aleator este media numrului

de sosiri n intervalul 21,tt :

}{),(

1221 ttNNEttH . (1.8)

Funcia ),( 21 ttH este nenegativ, nedescresctoare i n

problemele practice ale teoriei teletraficului nentrerupt.

Parametrul procesului de sosire t n momentul t este limita

raportului dintre probabilitatea sosirii cel puin a unui apel n

intervalul ttt , i lungimea intervalului t , cnd 0t :

t

NNp ttttt

}1(lim0 . (1.9)

Parametrul procesului determin densitatea de probabilitate a

momentului de apelare n punctul t . Definiia parametrului este echivalent cu presupunerea c probabilitatea sosirii cel puin a

unui apel n intervalul ttt , cu precizia pn la infinitezimala )(0 t este proporional cu lungimea intervalului t i paramerului

procesului :t

)(0}1{ ttNNp tttt . (1.10)

Pentru procesul staionar, probabilitatea sosirilor nu depinde de

timp,iar relaia (1.10) devine mai simpl:

)(0}1{ ttNp t . (1.11)

Intensitatea instantanee a procesului t n momentul t este

derivat a funciei de renoire n raport cu timpul:

/0lim t

ttttt N

t

NN

. (1.12)

Intensitatea medie a procesului n intervalul 21,tt este raportul dintre media numrului de sosiri n acest interval i lungimea

intervalului:

10

12

2121

),(),(

tt

ttHtt

. (1.13)

Noiunile de intensitate instantanee i intensitate medie

caracterizeaz procesul de sosire nestaionar. Intensitatea procesului

staionar este media numrului de sosiri pe unitate de timp.

Asemntor parametrului ,t intensitatea instantanee t a

procesului de sosire se determin pentru un oarecare moment t . Se observ, ns, c dac parametrul caracterizeaz procesul

momentelor de apelare, atunci intensitatea instantanee - procesul de

sosire a cererilor de apel. Rezult c tt , unde egalitatea este

posibil doar pentru procesele simple, cnd fiecrui moment de

apelare i corespunde un singur apel.

Clasificarea proceselor de sosire poate fi efectuatdup gradul de

postaciune: procese independente, procese cu postaciune simpl i

procese cu postaciune limitat. Din prima grup fac parte

procesele: Poisson, Poisson nestaionar i Poisson neordinar.La

clasa proceselor cu postaciune simpl se referprocesele:

binomial,aplatizati cu sosiri repetate.Postaciune limitat au

procesele: de renoire, Palm, Erlang i Poisson intermitent.

1.4. PROCES DE TIP POISSON

1.4.1. Definiia procesului Poisson

Poisson se numete procesul de sosire staionar, simplu i

independent. Procesul Poisson poate fi reprezentat prin familia de

probabiliti ),(tPk apariia ,...)2,1,0( kk sosiri n intervalul de timp

t,0 . Pentru determinarea distribuiei numrului de sosiri k n intervalul de lungimea t fie c acest interval se mparte n nsegmente egale ntt / . n baza proprietii de staionaritate a procesului se admite c probabilitatea intervenirii cel puin a k sosiri ntr-un interval de timp ,t suficient de mic, este:

)(0)(1 tttPk . (1.14)

11

Dac se admite c ,0t atunci se poate scrie:

n

tttPk )(1 . (1.15)

Probabilitatea contrarie, cnd nu intervin sosiri n intervalul ,t

se determin astfel:

n

ttPk 1)(0 . (1.16)

Reieind din proprietatea de independen a procesului Poisson,

sosirile n intervalele timp ce nu se intersecteaz pot fi considerate

ca ncercri independente,fiind aplicat distribuia Bernoulli:

knk

knnk

n

t

n

tCP

1, , (1.17)

unde:

nkP , - probabilitatea ca n urma a n ncercri n k intervale t

vor interveni sosiri, iar n kn intervale nu va interveni nici o sosire;

knC - numrul combinrilor de n luate cte k .

n virtutea ordinaritii procesului Poisson aceast probabilitate

este aproximativ egal cu probabilitatea apariiei k sosiri n

intervalul de timp t,0 :

)(, tPP knk . (1.18)

Pentru n destul de mare, respectiv t suficient de mic, probabilitatea survenirii a dou sau mai multe sosiri ntr-un interval

t este valoare infinitezimal:

).(0)(2 ttPk

Valoarea exact a probabilitii )(tPk se va obine dac se va

admite c :n

12

.

!

1!

)1)...(1(lim

1lim)(

tk

knk

kn

knk

knnk

ek

t

n

t

k

t

n

knnn

n

t

n

tCtP

(1.19)

Ca rezultat s-a obinut distribuia Poisson de parametrul :

,...2,1,0,

!)(

ke

k

ttP t

k

k (1.20)

Pentru verificarea dac (1.20) este tabloul/funcie de distribuie,

se ia suma tuturor probabilitilor )(tPk posibile care trebuie s fie

egal cu unitatea:

1

!)(

0 0

k k

kt

kk

tetP

. (1.21)

Mai sus a fost utilizat seria Maclaurin:

0 !k

kx

k

xe . (1.22)

Analiza evoluiei distribuiei Poisson n funcie de valoarea

numrului de sosiri k se va efectua folosind formula de recuren

obinut din raportul a dou probabiliti succesive )(tPk i )(1 tPk :

)()( 1 tP

k

ttP kk

. (1.23)

Din (1.23) se observ c probabilitatea )(tPk pentru:

tk crete; tk descrete.

Maximul funciei )(tPk se atinge n dou puncte 1 tk i

tk , dac t este numrntreg i ntr-un singur punct

tk , dac valoarea t este numr fracionar. Prin [X] se noteaz partea ntreag a fraciei X.

13

Paralel cu distribuia Poisson, n scopuri practice, deseori se

utilizeaz i probabilitatea cumulativ )(tP ki c n intervalul cu

lungimea t vor surveni pn la k sosiri. Valorile acestei probabiliti snt tabelate, de exemplu n [3]. Utiliznd aceste tabele,

se poate calcula i probabilitateasurvenirii unui numr fixat de sosiri

)(tPk :

)()()( 1 tPtPtP kikik . (1.24)

Se poate concluziona c o mrime, care reprezint un numr

oarecare de sosiri (variabil n raport cu timpul), este distribuit

Poisson dac satisface condiiile:

a) este un numr ntreg i pozitiv, inclusiv zero;

b) ntr-un interval suficient de mic al domeniului de variaie

poate surveni o singur sosire sau nici una (probabilitatea survenirii

a dou sau mai multe sosiri n acestinterval este nul);

c) probabilitatea producerii apariiei unei singure sosiri ntr-un

asemenea interval suficient de mic este proporional cu mrimea

intervalului.

1.4.2. Caracteristicile distribuiei Poisson

Media numrului de sosiri n intervalul t,0 este prin definiie dat de formula:

te

k

tktPkMk t

k

k

kk

11 !)( . (1.25)

La deducere a fost utilizat seria Maclaurin

0 !k

kx

k

xe .

Dispersia (variana) numrului de sosiri n intervalul t,0 a distribuiei Poisson este dat de expresia:

14

.!

)(1)(

2

0

2

2

1

2

1

2

tttek

tt

kMtPkkkkMtPkDk

t

k

k

kkk

k

(1.26)

Deci, pentru distribuia Poisson tDkMk . Egalitatea valorii medii i dispersiei distribuiei Poisson este

aplicat pe larg n practic. Pe baza acestei egaliti se poate trage

concluzia privind corespunderea oricrui proces real cu distribuia

Poisson.

1.4.3. Distribuia intervalelor intersosiri

n conformitate cu paragraful 1.1, definirea procesului Poisson

prin reprezentarea numr (1.20) este echivalent cu prezentarea

distribuiei intervalelor ntre sosirile consecutive, pe scurt inter-

sosiri. Fie )( tzP funcia de distribuie a intervalului intersosiri,

atunci este evident:

)(1)( tzPtzP , (1.27)

unde: probabilitatea )( tzP c urmtoarea sosire va depi

valoarea t este echivalent cu probabilitatea )(0 tP absenei sosirii n

intervalul de timp t . Pentru 0k din (1.20) se obine:

tetP )(0 . (1.28)

Respectiv,distribuia intervalelor intersosiri este dat de ecuaia: tetzP 1)( . (1.29)

Aceasta este distribuia fundamental n teoria teletraficului,

repartiia exponenial negativ. Ea este caracterizat de un singur

parametru - rata de sosiri . Derivata ecuaiei (1.29) n raport cu t este densitatea de

distribuie a intervalelor dintre sosiri: tetp )( . (1.30)

15

Distribuia (1.29) este nu numai necesar, dar i suficient pentru

determinarea procesului Poisson.

n analiza practic se utilizeaz des caracteristicile distribuiei

exponeniale aa ca valoarea medie, dispersia(variana), abaterea

medie ptratici coeficientul de variaie a intervalului :z

Media

0

1)(

dttptMz ; (1.31)

Dispersia

0

2

22 1)(

zMdttptDz (1.32)

Abaterea medie ptratic

1

Dzz ; (1.33)

Coeficientul de variaie (sau de omogenitate) ca msur

normalizat a iregularitii distribuiei

100Mz

zCV

. (1.34)

Egalitatea valorilor Mz i z este caracteristic pentru distribuiaexponenial. Aceast proprietate se utilizeaz drept

criteriu pentru acceptarea iniial a ipotezei c oricare date statistice

pot fi descrise cu ajutorul distribuiei exponeniale.

Proprietateaprincipal a distribuiei exponeniale este lipsa de

memorie (numit i proprietatea Markovian). Dac intervalul de

timp dat de o distribuie exponenial a durat un oarecare , atunci legea de distribuie a prii rmase a intervalului va fi, de asemenea,

exponenial i nu va depinde de .

Pentru demonstrarea acestei proprieti, se presupune c dup

momentul sosirii ultimului apel a trecut un timp . S se determine probabilitatea c pn la momentul sosirii urmtorului apel vor mai

dura t uniti de timp. Pe baza regulii nmulirii probabilitilor obinem:

)()()( tzPzPtzP , (1.35)

unde:

16

)( tzP i )( zP snt probabilitile c intervalul z va fi

mai mare respectiv ca t i ;

)( tzP - probabilitatea condiionat c intervalul z va fi mai

mare ca t dac deja a durat un timp i care trebuie determinat. Reieind din (1.29), se obine:

)()( tzPee t ;

tetzPtzP )()( (1.36)

De unde rezult c probabilitatea condiionat nu depinde de

timpul deja scurs i este egal cu probabilitatea necondiionat.Astfel, s-a demonstrat c timpul rezidual la fel este

dat de legea exponenial i nu depinde de timpul deja scurs.

Legea exponenial este unica ce are aceast proprietate. Aceast

proprietate a distribuiei exponeniale este de fapt confirmarea

proprietii fundamentale a procesului Poisson - lipsa de

postaciune. Utilizarea legii exponeniale simplific considerabil

deducerile matematice, n particular, legate de examinarea

proceselor de sosire i de servire aapelurilor.

1.4.4. Superpoziia i decompoziia proceselor Poisson

Superpoziia ctorva procese Poisson independente duce la

formarea procesului sumar, de asemenea Poisson, cu parametrul

egal cu suma parametrilor proceselor iniiale. Decompoziia

procesului Poisson cu parametrul n n direcii, astfel nct fiecare sosire a procesului s fie orientat n direcia i cu

probabilitatea iP (evident, 11

n

iiP ), duce la formarea n procese

Poisson cu parametrii iP ( ni ,...,2,1 ). Aceste proprieti ale

procesului Poisson se utilizeaz pe larg, deoarece simplific

dimensionarea sistemelor i reelelor de telecomunicaii.

Modelul procesului Poisson are importan fundamental n

teoria teletraficului, deoarece acest proces descrie suficient de bine

procesul de formare a apelurilor de la grupuri mari de abonai.

17

Majoritatea rezultatelor analizei sistemelor i reelelor de

telecomunicaii se obin pe baza modelului procesului Poisson i

numai o mic parte - pe baza celorlalte modele de procese de sosire.

1.5. PROCESUL POISSON NESTAIONAR

Procesul simplu i independent, care n fiecare moment t are un parametru finit (t) se numete proces Poisson nestaionar

(nonstationary sau nonhomogeneous Poisson process).

Funcia aleatoare (t) poate fi nentrerupt sau n trepte. n

ultimul caz, parametrul procesului variaz prin trepte n momentele

kttt ,...., 21 care pot fi cunoscute din timp sau pot fi ntmpltoare(n

funcie de tipul procesului - determinist sau aleator). Valorile

salturilor, deasemenea, pot fi cunoscute din timp sau pot fi

ntmpltoare. Pentru procesul Poisson nestaionar cu parametrul

aleator pot fi ntmpltoare doar momentele sosirii apelurilor sau

numai valorile variaiei parametrului, sau simultan i una, i alta.

Procesul Poisson nestaionar cu parametrul )(t poate fi

descris,utiliznd familia de probabiliti ),( 0 ttPk alesurvenirii k

sosiri n intervalul :,0 tt

)(0

!

)(),( tm

k

k ek

tmttP , (1.37)

unde: t

t

duutm

0

)()( este media parametrului )(t .

Se observ c, deoarece procesul este nestaionar, probabilitatea

),( 0 ttPk depinde nu numai de lungimea intervalului dar i de

momentul 0t .

Clasa procesurilor Poisson nestaionar cu parametrul aleator

este destul de vast, deoarece este posibil aplicarea diferitor funcii

aleatoare pentru descrierea parametrului (t) .

18

1.6. PROCESUL POISSON CU SOSIRI MULTIPLE

Procesul Poisson cu sosiri multiple (Batched Poisson arrival

process) este un proces staionar i independent la care fiecrui

eveniment i corespunde un grup de sosiri. Momentele

evenimentelor formeaz un proces Poisson cu parametrul . De

aceea, probabilitatea apariiei evenimentelor este determinat de

legea Poisson.

Se admite c fiecrui eveniment cu probabilitatea lp i

corespunde un grup format din );,...,1( rrll sosiri identice.

Atunci parametrul i intensitatea procesului cu sosiri multiple pot fi

calculate din urmtoarele expresii:

r

lla

1

;

r

l

r

lll alpl

1 1

, (1.38)

unde: prin la se noteaz intensitatea apariiei grupelor de sosiri

a cte l n fiecare. Se observ, dup cum i era de ateptat, c .

Valoarea l este caracteristica neordinaritii procesului. Snt posibile procese cu caracteristica l constant sau aleatoare.

1.7. PROCES CU POSTACIUNE SIMPL

Caracteristica fundamental a procesului de sosire cu

postaciune simpl const n dependena parametrului procesului de

starea sistemului de servire. Sistemul de servire se poate afla n una

din mulimea de stri posibile )(ts . Fiecare stare se deosebete de

alta prin numrul de intrri i de ieiri ale sistemului ocupate, prin

numrul surselor libere n servire sau n ateptarea servirii etc.

Starea sistemului de servire la momentul t depinde de procesul de sosire i servire a apelurilor pn la acest moment. Prin urmare,

19

procesul care depinde de starea sistemului de servire, este un proces

cu postaciune. Astfel de postaciune se numete simpl, deoarece

pentru calcularea parametrului procesului de sosire la momentul t este suficient informaia numai despre starea sistemului la acest

moment. Modificarea parametrului n funcie de schimbarea strii

sistemului duce la nestaionaritatea procesului de sosire. Se

menioneaz, c aceast dependen se evideniaz doar prin starea

)(ts . Pentru fiecare stare concret parametrul procesului de sosire

cu postaciune simpl are valoare constant.

Parametrul procesului de sosire n starea sistemului )(ts este

limita raportului dintre probabilitatea sosirii cel puin a unui apel n

intervalul tt, i lungimea intervalului , cnd 0 :

)(1

0)(

),(lim

tsi

ts

ttP

. (1.39)

Probabilitatea )(1 ),( tsi ttP este condiionat, deoarece

valoarea ei depinde de starea sistemului )(ts . Reieind din cele

expuse, se poate remarca c procesul cu postaciune simpl poate fi

numit proces simplu, parametrul cruia la momentul t depinde numai de starea sistemului de servire.

Modelul procesului de sosire cu postaciune simpl este unul

dintre cele mai generale n teoria proceselor de sosire. Practic, orice

proces de sosire poate fi considerat proces cu postaciune simpl,

deoarece sistemul de servire ntotdeauna influeneaz ntr-o

oarecare msur asupra procesului de sosire.

1.8. PROCES BINOMIAL

Procesul de sosire cu distribuie binomial, prescurtat proces binomial, este un proces simplu, parametrul cruia i este direct

proporional numrului de surse libere iN n starea i a sistemului de

servire:

= ( ), (1.40) unde:

20

este parametrul (intensitatea) sursei n stare liber;

N -numrul comun de surse;

i - numrul surselor ocupate. Procesul binomial se mai numete proces Poisson de tipul doi

(Pure ChanceTraffictypeTwo, PCT-II). Denumirea se explic prin

faptul c procesul binomial ca i procesul Poisson este utilizat

pentru descrierea procesului sosirilor primare. Modelul de proces

binomial ia n considerare aa-numitul efect al numrului finit de

surse, care const n aceea c apelurile pot sosi numai de la surse

libere. Parametrul procesului binomial variaz prin salturi. Valoarea

maximal parametrul o atinge cnd toate sursele sunt libere, iar cea

minimal,cnd numrul de surse ocupate este maximal. Aceast

proprietate a procesului binomial influeneaz procesul de servire a

cererilor i semnificativ majoreaz capacitatea de transmisiune a

traficului de ctre sistemul de serviciu.

Valoarea medie a parametrului procesului binomial este:

, (1.41)

unde: - probabilitatea c surse snt ocupate. Raportul dintre valoarea medie i numrul comun de surse determin intensitatea medie a sursei . Deosebirea dintre parametrii i este esenial. Se presupunec n intervalul de timp sursa genereaz cereri/sosiri. naintea sosirii sursa, pe parcursul unui timp aleator a fost liber, dup cepe parcursul

timpului a fost ocupat. Atunci intensitatea sursei n stare liber

se calculeaz din raportul numrului de sosiri i durata sumar a timpului liber:

(1.42)

Intensitatea medie a sursei este considerat raportul dintre

numrul de sosiri i lungimea intervalului :

(1.43)

21

Notnd durata medie a intervalului de stare liber prin

iar a intervalului de ocupare prin

se va obine:

; ( ). (1.44)

Deci, intensitatea sursei n stare liber este valoarea invers

mediei timpului liber, iar intensitatea medie a sursei-mrimea

invers intervalului mediu dintre sosiri. Este evident c ntre

parametrii examinai exist urmtoarea relaie: . Distribuia intervalului de stare liber este determinat de legea exponenial

negativ cu parametrul : ( )

. (1.45)

Aceasta presupune c sosirile de la surs survinntmpltor i

independent de momentele intervenirii i terminrii serviciilor

cererilor precedente.

Modelul procesului binomial este mai general dect al procesului

Poisson. Procesele binomiale sunt analogul in timp discret al

proceselor Poisson. Cu creterea numrului de surse N i micorarea

corespunztoare a parametrului gradul de postaciune a procesului binomial se reduce. La limit, cnd , dar aa nct produsul rmne constant i finit, procesul binomial trece n Poisson cu parametrul =N . n realitate, pentru N (n funcie de parametrul i valoarea maxim a numrului ) poate fi utilizat modelul mai simplu al procesului

Poisson. Eroarea, la care duce aceast nlocuire,nu este

semnificativ.

1.9. PROCES APLATIZAT

Procesul de sosire scurs/prelucrat de ( ) trepte de selecie i oferit trepte ale sistemului de comutaie se numete proces aplatizat sau proces Poisson aplatizat, dac primei trepte i

se ofer un proces Poisson.

22

Orice fascicul de legtur funcioneaz asemntor cu un ventil,

care las s treac sosirile survenite la urmtoarea treapt, dac cel

puin o linie din fascicul este disponibil, i se nchide, dac toate

liniile snt ocupate. De aceea, dac la intrare procesul este Poisson

cu parametrul , atunci parametrul procesului la ieirea fasciculului

va avea o valoare din dou posibile sau . Se presupune c treapta de selecie este format din fascicule de legtur identice cu capacitatea i la intrrile fiecrui fascicul sosete un proces Poisson cu parametrul . Atunci procesul aplatizat la ieirea treptei

va avea parametrul ( ), unde - numrul de fascicule n care snt ocupate toate linii. Procesul aplatizat generalizeaz procesul binomial. Pentru obinem un model de proces binomial, iar treapta de selecie se transform n linii de abonai. La fiecare linie de abonat survine un proces de sosire Poisson cu

parametrul .

Procesul aplatizat se refer la clasa proceselor cu postaciune

simpl, deoarece parametrul lui depinde de starea sistemului de

serviciu. Tipul acesta de postaciune,ca i n cazul procesului

binomial, contribuie la creterea capacitii de transmisiune a treptei

de selecie ulterioare, dar n msur mai mic. Dispersia numrului

de sosiri n intervalul pentru procesul Poisson aplatizat este mai mic dect valoarea medie a acestui numr. Procesul este supus

aplatizrii n cea mai mare msur n intervalele cnd snt multe

sosiri. Ca rezultat, numrul de sosiri n diferite intervale de timp se

niveleaz, iar dispersia se micoreaz mai repede dect valoarea

medie.

1.10. PROCES CU SOSIRI REPETATE

Procesul cu sosiri repetate este format din procesul sosirilor

primare (Poisson, binomial ori Poisson nestaionar) i procesul

sosirilor repetate. Sosirile repetate apar ca rezultat al eurii

sosirilor primare sau repetate anterior ca reacie a sursei la

funcionarea sistemului de serviciu. Parametrul procesului cu sosiri

repetate depinde de numrul surselor care repet sosirile i se

23

calculeaz prin nmulirea numrului acestor surse cu intensitatea unei surse . Aceasta presupunec intervalul de timp anterior momentului apariiei sosirii repetate este distribuit dup legea

exponenial cu parametrul . Parametrul procesului comun este egal cu suma parametrilor

proceselor sosirilor primare i repetate i n cazul procesului de

sosiri primare de tipul binomial se determin astfel:

( ) (1.46)

unde:

- numrul surselor care se servesc; - intensitatea surselor care repet sosirile; - intensitatea sursei libere; - intensitatea sursei care repet sosirile. Parametrul procesului cu sosiri repetate se determin integral de

starea sistemului de serviciu,de numrul surselor ocupate i de numrul surselor care repet sosirile De aceea, procesul cu sosiri repetate se refer la clasa proceselor cu postaciune simpl i poate

fi considerato generalizare a procesului binomial. Dac intensitile

sursei libere i sursei de sosiri repetate snt egale ( ), atunci sosirile primare,n sens probabilistic, nu se mai deosebesc de cele

repetate i procesul cu sosiri repetate trece n proces binomial.

Deoarece, de regul, (pentru abonaii reelelor de telecomunicaii locale aproximativ de 50-100 ori), procesul cu

sosiri repetate are mai multe intervale scurte ntre sosiri n comparaie cu procesul de sosiri primare ce majoreaz dispersia

valorii Exist o corelaie semnificativ ntre valorile i starea sistemului de serviciu. Cu ct mai multe surse repet cererile, cu att

mai multe linii snt ocupate i, corespunztor, este mai mic

intervalul Aceasta duce la mrirea pierderilor. Examinarea procesului comun de sosire se confrunt des cu

necesitatea separrii sosirilor repetate de cele primare i calculul

valorilor i . n calitate de criteriu al sosirilor repetate se poate utiliza lungimea intervalului anterior sosiriicererii de la surs. Se presupunec se trateaz un proces de la abonai i snt cunoscute momentele de sosire ale fiecrui apel i numrul sursei care l-a

24

iniiat. Acceptnd o oarecare valoare marginal , se pot separa sosirile de la fiecare surs cu intervalele , considerndu-le repetate, de cele cu , atribuindu-le la cele primare. Valoarea trebuie aleas astfel nct sosirile primare s formeze un proces apropiat dup proprietile sale de modelul procesului binomial sau

Poisson (n funcie de valoarea ). Pentru procesulcu sosiri repetate, dispersia a numrului

de sosiri , aprute n intervalul , este semnificativ mai mare dect valoarea medie . Raportul se majoreaz odat cu creterea valorii pierderilor i a intensitilor sursei de sosiri

repetate. Aceasta se explic prin faptul c sosirile repetate se

grupeaz ntr-un numr mic de intervale cu cea mai mare

concentraie a cererilor.

1.11. PROCESE DE PLECARE

Succesiunea momentelor de terminare a servirii apelurilor,

pachetelor, mesajelor formeaz procesul deplecare. Proprietile

procesului de plecare n general depind de proprietile procesului

de sosire oferit, de calitatea funcionrii sistemului de comutaie i

de legea de distribuie urmat de timpul de servire.

Timpul de servire al apelului poate fi determinist sau aleator.

Timpul determinist este dat de succesiunea valorilor ce caracterizeaz durata servirii apelului sau a grupului de apeluri . Dac , timpul de servire este constant. Timpul determinist de servire se folosete, de exemplu, la servirea apelurilor de ctre

unitile de comand i control ale centralelor de tip crossbar i

celor digitale cu comanda prin program nregistrat. Totui, n mai

multe cazuri practice timpul de servire este aleator.

Timpul de servire aleator se supuneunei legi oarecare.Cel mai

des se folosetedistribuia exponenial negativ:

( ) , (1.47) unde: - timpul mediu de servire.

25

Alegerea acestei legi se explic prin proprietatea cea mai

important a distribuiei exponeniale - lipsa de memorie (este

demonstrat anterior n punctul 1.4.3). Aplicat la timpul de

servire, aceast proprietate poate fi definit n felul urmtor: dac

servirea unui apel a durat un oarecare timp , atunci legea de distribuie a prii rmase nu depinde de acest timp.Cercetrile

distribuiei timpului de servire n sistemele de comunicaii denot c

n multe cazuri poate fi acceptat legea exponenial.

Dac timpul de servire este constant i pierderile snt excluse,

atunci proprietile procesului de plecare coincid cu proprietile

procesului de sosire. Apare doar deplasarea n timp de mrimea a momentului de sosire a apelului i momentului de terminare a

servirii. n sistemele reale pot surveni pierderi de apeluri sau

ateptri de servire, ceea ce influeneaz evident asupra procesului

de plecare.

n cazul distribuiei exponeniale, momentele de terminare a

servirii apelurilor nu depind de momentele iniierii lor. De aceea,

proprietile procesului de plecare nu depind de procesul de sosire

i de calitatea funcionrii sistemului de comutaie, dar se determin

numai de numrul de sosiri n servire. Dac n sistem snt ocupate

servere ( surse), atunci probabilitatea eliberrii a servere n intervalul poate fi determinat ca probe reuite din numrul comun de probe independente . Aceast probabilitate poate fi calculat aplicnd distribuia Bernoulli:

( ) ( ) , (1.48)

unde: este probabilitatea eliberrii unui server n intervalul Dac timpul de servire urmeaz o distribuie exponenial:

( ) (1.49) atunci

( ) ( ) . (1.50)

Exist probabilitatea c n intervalul nu s-a eliberat nici unul dintre serverele ocupate:

( ) (1.51)

26

sau probabilitatea c cel puin o linie s-a eliberat:

( ) ( ) . (1.52) Parametrul procesului de plecare, dac snt ocupate k servere,

este:

( )

.

Probabilitatea ( ) poate fi obinut din (1.52),

utiliznd seria Maclaurin

0 !

)1(k

kkx

k

xe :

( ) ( ) (

)

( ).

Atunci parametrul procesului de plecare, dac snt ocupate k

servere, este:

[

( )

] . (1.53)

n mod similar se poate demonstra c probabilitatea eliberrii

cel puin a douservere ntr-un mic interval t este o mrime infinitezimal:

( ) ( ) Deci, procesul deplecare este ordinar, iar parametrul lui este

proporional cu numrul serverelor (surselor) ocupate. Drept

coeficient de proporionalitate servete valoarea invers a timpului

mediu de servire, care poate fi interpretat ca intensitatea sursei n

stare ocupat. Aadar, procesul de plecare dup proprietile sale

este asemntor procesului binomial.

Dac sistemul de comutaie funcioneaz astfel nct linia care

s-a eliberatndat este ocupat de alt cerere, atunci procesul de

plecare are un parametru constant (unde: - numrul comun de linii n sistem) i dup proprietile sale este de tip Poisson. n acest

caz exist probabilitatea c n intervalul vor aprea eliberri:

( ) (

)

. (1.54)

Deseori, n teoria teletraficului, n scopul simplificrii calculelor

timpul mediu de serviciu este considerat drept unitate condiionat de timp (u.c.t.).

27

1.12. PROCESE CU POSTACIUNE LIMITAT

1.12.1. Proces de renoire

Procesul simplu cu intervalele dintre sosiri ,..., 21 XX reciproc

independente se numete proces cu postaciune limitat. Acest

proces poate fi determinat prin succesiunea funciilor de distribuie

a intervalelor dintre sosiri. Pentru procesul cu postaciune

limitat,probabilitatea sosirii unei cereri n intervalul de timp depinde numai de amplasarea intervalului ctre momentul survenirii ultimului apel i nu depinde de timpul survenirii celorlalte

apeluri. Pentru astfel de procese, n momentul survenirii sosirii,

aciunile viitoare nu depind de cele precedentei toat postaciunea

se limiteaz doar la timpul dintre sosiri. O clas special de procese

cu postaciune limitat snt procesele de rennoire, care se

caracterizeaz prindistribuie identic, dar oarecare a intervalelor de

timp dintre sosiri:

)(...)()( 21 XFXFXF (1.55)

Aadar, procesul de rennoire este un proces de sosire pentru care

intervalele intersosiri snt variabile aleatoare pozitive, independente

i identic distribuite (IID).

O generalizare anumit a procesului de renoire este procesul de

rennoire cu ntrziere. Procesul de rennoire cu ntrziere este

determinat de dou funcii de distribuie: )(1 XF i :)(XF

)(...)()( 32 XFXFXF , )()(1 XFXF . (1.56)

Funcia )(1 XF caracterizeaz distribuia intervalului de timp

ntre oricare moment iniial 0t i momentul survenirii primei sosiri.

Dac procesul de rennoire este staionar, atunci acesta va fi de

tip Poisson. Procesul de rennoire cu ntrziere staionar se numete

proces Palm. Distribuia intervalelor ntre sosirile procesului Palm

corespunde relaiilor:

28

t

duutXP0

01 )()( ;

)(1)( 0 ttXP k , 2k , (1.57)

unde:

)(0 t - probabilitatea condiionat ca nici ososire s nu intervin

n intervalul de timp t ,dac n momentul iniial al acestui interval a survenit un apel;

- parametrul (sau intensitatea) procesului Palm, MX/1 . Procesul Palm este o generalizare a procesului Poisson. Pentru

tet )(0 imediat se observ: t

k etXPtXP 1)()( 1 , (1.58)

care este distribuia procesului Poisson.

Destul de important este urmtoarea teorem numit Palm:

Dac procesul de sosire ntr-un sistem de servire cu pierderi i

distribuie exponenial a timpului de servire este proces Palm,

atunci sosirile respinse formeaz de asemenea un proces Palm. n

special, dac procesul de sosire va fi Poisson, atunci procesul

sosirilor pierdute va fi proces Palm. Modelul procesului Palm se

utilizeaz pentru dimensionarea sistemelor de comutaie cu

accesibilitate limitat, a reelelor cu ci de ocolire, a sistemelor cu

multe trepte. ns apar unele dificulti n legtur cu faptul c

superpoziia a dou sau mai multor procese Palm independente duce

la un proces sumar, care de acum nu este de tipul Palm. Totui,

decompoziia unui proces Palm astfelnct fiecare sosire a

procesului s treac n direcia i cu probabilitatea iP (evident,

11

n

iiP ) duce la formarea n procese Palm.

1.12.2. Procesul Erlang-n

Termenul procesErlang-n se extinde asupra unei vaste clase

de procese care se deosebesc prin distribuia intervalelor ntre

29

sosiri. De exemplu, dac din procesul Poisson se exclude fiecare a

doua sosire, procesul obinut se numete proces Erlang de ordinul

doi. Procesul Erlang de ordinul trei se efectueaz prin pstrarea

fiecrei a treia sosire din procesul Poisson. n general, proces

Erlang de ordin se numete procesul format din procesul Poisson, dac din ultimul se pstreaz fiecare a sosire, iar celelalte se exclud. Evident, procesul Poisson poate fi considerat proces

Erlang de ordinul nti.

Intervalele dintre sosirile procesului Erlang snt reciproc

independente i au distribuie identic, deoarece ele snt obinute

prin unirea unui numr standard de intervale independente ale

procesului Poisson. n funcie de numrul de intervale de timp unite

n serie se obine distribuia Erlang de anumit ordin. Unirea n serie

a dou intervale formeaz distribuia Erlang-2, iar unirea respectiv a

intervale distribuia Erlang-n. Aceast denumire se utilizeaz pentru definirea intervalului dintre sosirile procesului.

Se admit sosirile ( ) i ale procesului Erlang obinut prin excluderea a ( ) sosiri din procesul iniial Poisson. S se determine legea de distribuie a intervalului ntre sosirile procesului Erlang de ordinul . Fie ( ) densitatea de distribuie a lungimii acestor intervale. Atunci cu probabilitatea ( ) intervalul se plaseaz pe segmentul ( ). Pentru aceasta este necesar producerea concomitent a dou evenimente: sosirea plasat n intervalul ( ) (probabilitatea acestui eveniment este ) i intervalului de lungimea s-i revin sosiri ale procesului iniial Poisson. nmulind probabilitile acestor

evenimente i raportnd rezultatul la t, se obine:

( ) ( )

( ) . (1.59)

Aceasta este densitatea de distribuie Erlang de ordinul n.

Pentru formula (1.59) trece n lege exponenial negativ ce caracterizeaz procesul Poisson. Valoarea medie i dispersia

intervalului pot fi obinute ca sumele valorilor corespunztoare

30

ale procesului iniial, dat fiind faptul c intervalele acestui proces

snt independente:

, (1.60)

. (1.61) Parametrul procesului Erlang de ordinul este:

. (1.62)

Deci, odat cu majorarea ordinului crete valoarea medie i dispersia intervalului , pe cnd parametrul procesului se micoreaz.

1.12.3. Procesul Poisson intermitent (IPP)

Alt model de proces de rennoire folosit frecvent este procesul

Poisson intermitent sau ntrerupt (interrupted Poisson process) [3,4]. Intervalele dintre sosirile acestui proces urmeaz o lege

hiperexponenial (hyperexponential or flatdistributions).

Prin combinarea n paralel a distribuii exponeniale cu parametrii ,... , , care snt urmate corespunztor de probabilitile se obine o distribuie hiperexponenial. Funcia de distribuie pentru cazul mai rspndit

n practic cu numrul de va fi:

( ) ( ) ( ) (

)

(1.63)

Densitatea de distribuie va fi:

( )

(1.64) iar valoarea medie:

i dispersia:

( )

. (1.65)

Distribuia (1.63) poate fi interpretat n felul urmtor: odat cu

probabilitatea intervalul dintre sosiri urmeaz o lege exponenial cu parametrul iar cu probabilitatea - o lege

31

exponenial cu parametrul . n cazul cnd , distribuia hiperexponenial se transform n lege exponenil.

Procesul Poisson intermitent poate fi obinut ca rezultat al

derulrii procesului Poisson printr-un ntreruptor. Intervalele de

conectare i deconectare a ntreruptorului snt distribuite dup

legea exponenial cu parametrii respectivi i . Drept interpretare fizic a ntreruptorului poate servi sistemul cu o

singur linie i cu pierdericruia i este oferit un proces Poisson cu

parametrul , iar timpul mediu de serviciu este egal cu . Dac linia este ocupat, ntreruptorul este deschis i procesul Poisson

cu parametrul este transmis sistemului de servire, dac linia este

liber, ntreruptorul este nchis i sosirile nu snt transmise.

Atunci parametrii distribuiei (1.63):

( - ) ( ) ( - ) ( )

( ) . (1.66)

Dac ntreruptorul este construit pe baza sistemului cu linii, atunci procesul la ieirea ntreruptorului va avea intervalele dintre

sosiri date de o lege hiperexponenial de ordinul ( )

2. TRAFICUL N REEAUA DE TELECOMUNICAII

2.1. DISCIPLINA DE SERVIRE

Disciplina de servire sau strategia de operare determin

modalitatea de servire a traficului, adic precizeaz regula dup care

se pun la dispoziie serverele sistemului. Cererile de apel pot fi

servite fr pierderi sau cu pierderi. n primul caz, fiecrui apel

ndat i se ofer resursa solicitat, n al doilea caz, o parte

dintreapeluri primesc refuz n servire sau snt reinute un oarecare

timp. Sistemele de comunicaii reale se planific cu pierderi.

32

Servirea cu pierderi (uneori se mai adaug cu pierderi

evidente) presupune c comunicaia i apelul corespunztor n caz

de respingere de ctre sistem se pierde i mai mult nu se rentoarce

n sistemul dat. Aceast strategie se noteaz prin abrevierea BCC

(BlockedCallsCleared). Sosirile blocate ies din sistem.

Alte dou strategii de servire se manifest prin meninerea cererii

de apel n caz de congestie a sistemului ntr-un ir de ateptare sau

apelul se repet. n primul caz,apelurile reinute se pstreaz n

irurile de ateptare i snt servite pe msura eliberrii resurselor.

Strategia este notat prin abrevierea BCQ (Block CallsQueued).

Cozile de ateptare pot fi comune sau individuale pentru fiecare

resurs sau grup de resurse. Deservirea apelurilor din cozi poate fi

efectuat n ordinea sosirii primul sosit, primul servit (FIFO -

First In First Out), n ordine invers, rnd reversibil (LIFO - Last In

First Out), n ordine aleatoare, rndntmpltor (SIRO - Serve In

RandomOrder) i cu prioritate pentru unele categorii de sosiri

(prioritate relativ). E posibil i prioritatea absolut. Dac

cerereagsete mulimea canalelor accesibile n ntregime ocupate,

atunci se ntrerupe servirea apelului cu prioritate mai inferioar i

ocup circuitul respectiv.

Servirea apelurilor repetate este o generalizare a strategiei cu

ateptare. Denumirea mai des folosit a acestei strategii este BCR

(Block CallsRetried). Sursele de trafic cererile crora au fost

respinse formeaz un rnd activ i repet ncercrile de apel peste

intervale de timp ntmpltoare sau deterministe pn reuesc s

obin serviciul solicitat. Disciplina de servire cu apeluri repetate

este un model matematic mai general dect disciplinele cu pierderi

i cu ateptare. Odat cu creterea intensitii de repetare a

apelurilor, intervalele dintre ncercrile succesive se micoreaz i

ajungndla limit, cnd intensitatea devine infinit, toate ncercrile

se contopesc ntr-o ateptare continu. Odat cu micorarea

intensitii de repetare a apelurilor se terge diferena dup

intensitate dintre sursele de sosiri primare i sosirile repetate. Dac

intensitile se egaleaz, atunci caracteristicile sistemului cu

apeluri repetate coincid cu caracteristicile sistemului cu pierderi.

33

Deci, toate sosirile pot fi considerate primare, iar apelurile reinute

ca i cum se pierd evident.

Practic, disciplinele de servire menionate mai sus se utilizeaz

ca discipline combinate. n sistemul cu ateptare deseori snt

prevzute restricii pentru timpul de ateptare sau pentru lungimea

irului de ateptare. Atunci o parte din apelurile survenite snt

deservite cu ateptare, iar alt parte - cu pierdere evident sau dup

ncercri suplimentare. Dac deservirea se efectueaz dup sistemul

cu apeluri repetate, atunci pot exista restricii la numrul surselor

care repet ncercrile sau la numrul de apeluri repetate de o surs.

Caracterul restriciilor utilizate poate fi determinist sau aleator. n

ultimul caz se determin legea de distribuie a valorilor aleatoare.

Modelul matematic cu pierderi evidente BCC este mai rar

ntlnit n practic, ns, totui, n diapazonul pierderilor mici

( 01,0p ) red destul de exact procesul de servire a apelurilor n

sistemele reale.

2.2. TRAFICUL I TIPURILE DE TRAFIC

Pentru caracterizarea procesului de servire a sosirilor de ctre

sistemele de telecomunicaii se utilizeaz noiunea de trafic.

Termenul trafic semnific ncrctura unui sistem de comunicaii.

Cuvntul trafic provine din limba italian i nseamn bussines [4].

Traficul este un proces aleator care corespunde numrului de

sosiri aflate concomitent n servire n momentul de timp t (figura 2.1).

n scopuri de dimensionare a sistemelor de telecomunicaii se

utilizeaz intensitatea medie a traficului pe perioada de timp T.

Definiia intensitii traficului. Conform definiiei ITU,

intensitatea instantanee a traficului ntr-un ansamblu de resurse este

numrul de resurse ocupate la momentul dat de timp [4]. n funcie

de tehnologia considerat, n calitate de ansamblu de resurse poate

fi considerat un grup de servere, linii, circuite, canale, truck-uri,

calculatoare etc. n teoria teletraficului cuvntul trafic denot, de

regul, intensitatea lui.

34

Fig.2.1. Traficul servit (egal cu numrul canalelor ocupate) n funcie n(t)

de timp[4]

Deoarece traficul este mrime aleatoare, n cercetrile teoretice i

calculele practice snt utilizate momentele caracteristice ale acestei

valori aleatoare. Momentele statistice, media, variana (dispersia),

deviaia (abaterea) standard i momentele de ordin superior ale

traficului pot fi calculate pentru o perioad definit de timp T . De exemplu, valoarea medie a intensitii traficului se determin astfel:

T

dttnT

TY0

)(1

)( , (2.1)

unde:

)(tn este numrul resurselor ocupate n momentul t .

Traficul servit cAY estetraficul prelucrat de un grup de servere

pe durata intervalului T (fig.2.1). n aplicaii, intensitatea medie a traficului servit n intervalul de tip T se determin ca numrul mediu de resurse ocupate n aceast perioad.

35

Unitatea de msur a intensitii traficului este Erlang, n

memoria savantului danez A.K.Erlang, care a utilizat primul teoria

probabilitilor n analiza traficului telefonic. Erlang este unitate

adimensional. ITU definete1 Erlang ca fiind intensitatea de trafic

produs de un ansamblu de resurse cnd doar una din ele este

ocupat. Corespunztor, intensitatea de trafic de 2 Erleste produs

de dou resurse ocupate .a.m.d.

n figura 2.2 snt date graficul (funcia n trepte) traficului )(tn

servit de un ansamblu cu 5 resurse n funcie de timp, intensitatea

medie a traficului servit ),( 21 ttY n intervalul ),[ 21 tt i timpul de

ocupare a fiecrei resurse .

Fig. 2.2. Traficul i timpul de ocupare a resurselor

Integrala funciei traficului )(tn constituie volumul de trafic care

numeric este egal cu timpul total de ocupare a resurselor n

intervalul ),[ 21 tt :

36

),()(),( 2121

2

1

ttdttnttYt

t ii

, (2.2)

unde: ),( 21 tti este timpul total de ocupare a resursei i n

intervalul ),[ 21 tt .

Volumul de trafic se msoar n Erlang/ore (Erl/ore) sau dac

este mai convenabil n Erlang/secunde. Un Erl/or este volumul de

trafic servit de o resurs timp de o or.Volumul de trafic de 2

Erl/ore este produs de 2 resurse ocupate continuu n decurs de o

or sau de o linie ocupat continuu n decurs de dou ore .a.m.d.

Deci, intensitatea medie a traficului poate fi calculat ca

raportul dintre volumul de trafic i lungimea intervalului:

12

2121

),(),(

tt

ttYttY

. (2.3)

Traficul servit nu poate depi numrul de resurse. O resurs

poate servi cel mult un Erlang.

Paralel cu traficul servit, pentru analiza modelelor de servire, se

utilizeazabstracii matematice ale traficului. n continuare, vom

prezenta aceste tipuri de trafic.

Traficul oferit A este traficul servit de un sistem de comunicaii n care nici o sosire nu este respins din cauza insuficienei de

resurse. Altfel spus, dac numrul resurselor este nelimitat. Fiind o

entitate teoretic valoarea traficul oferit nu poate fi msurat. Ea

poate fi doar estimat indirect prin traficul servit. La analiza acestui

trafic se opereaz cu doi parametri:

1) rata sosirilor , care este numrul mediu de sosiri pe unitate de timp;

2) timpul mediu de servire s . Traficul oferit este egal cu produsul:

sA . (2.4) Parametrii trebuie adui la aceeai unitate de timp (sosiri/or la

ore sau sosiri/secund la secund). Din formul se observ c

unitatea de trafic este adimensional i nu depinde n ce uniti se

37

msoar timpul, ore sau secunde. Intensitatea traficului oferit egal

cu 1 Erl este produs de procesul de sosire cu intensitatea de o

sosire pe durata timpului mediu de servire.

Traficul pierdut sau respins lA este diferena dintre traficul

oferit i traficul servit:

YAAl . (2.5)

Evident, traficul pierdut poate fi redus prin mrirea numrului de

resurse ale sistemului de servire.

Trafic potenialeste traficul oferit unui sistem de servire unde nu

snt limitri n utilizarea serviciului de orice gen cum ar fi costul sau

accesul la sistem. Un exemplu de astfel de sistem ar fi accesul la

telefon nerestricionat, continuu i fr plat.

2.3. NOIUNI PRIVIND GRADUL DE SERVIRE (GoS)

Sistemele de telecomunicaii se planific n ipoteza c nu toi

abonaii vor solicita servirea n acelai timp. Doar o parte dintre

abonai partajeaz echipamentul costisitor de uz comun. Statistica

arat c aproximativ 5-8% dintre abonai apeleaz centrala n

acelai timp n ora de trafic maximal(busyhour).

Din considerente economice,volumul de echipament este limitat,

de aceea, n unele cazuri,abonatul poate s nu fie deservit sau s

atepte un timp oarecare pn ce apelul va fi satisfcut. Scopul

cercetrilor teletraficului const n gsirea raportului optimal dintre

costul echipamentului i calitatea servirii.

n funcie de modul de operare a sistemului se utilizeaz diferii

indicatori ce caracterizeaz gradul de calitate a servirii, performana

sistemului.

Conform recomandrii E.600 a ITU prin termenul Grade of

Service (GoS) se nelege un numr de variabile ale ingineriei

traficului care asigur msura corespunderii unui grup de resurse

anumitor condiii specifice. Exemple de variabile ale GoS, care

determin aceste condiii specifice, pot servi probabilitatea de

pierdere a apelului sau probabilitatea de ateptare. Valorile

38

parametrilor considerai drept obiective alevariabilelor gradului de

servire snt numite standarde ale gradului de servire.

Calitatea servirii Quality of Service (QoS) este efectul

colectiv al performanei unui serviciu care determin nivelul de

satisfacie al utilizatorului acelui serviciu.

Nu este uor a identifica standardeleGoS necesare unui

anumit nivel QoS, deoarece aceste dou concepte au diferite puncte

de abordare. Conceptul QoSvizeaz situaia din punct de vedere al

clientului, pe cnd GoS din poziia reelei.

GoS se refer la parametrii care pot fi verificai prin performana

reelei.

Performana reelei (Network Performance) este capacitatea

reelei sau a unei pri a ei de a furniza funciile legate de

comunicaiile dintre utilizatori. Performana reelei este evaluat de

mai muli indicatori cum ar fi:

1) productivitatea (throughput) sau rata de servire notat prin y, adic raportul dintre numrul de apeluri care au fost

servite de sistemul n cauz i timpul de observare;

2) productivitatea relativ (normalizedthroughput)notat printh reprezint raportul dintre rata de servireyi rata de

sosire ;

3) probabilitatea de pierdere a apelului ap reprezint raportul

dintre numrul apelurilor respinse i apelurilor sosite. Se

poate uor observa c )1( apy .

n acelai timp, indicatorii pot fi clasificai dup tipul strategiei

de operare. Astfel, fiecare disciplin de servire are caracteristici

specifice aleindicatorilor de calitate.

n sistemul cu pierderi evidente BCC, ca indicatori de calitate

a servirii se utilizeaz probabilitatea de pierdere a apelului sosit, de

timp i de trafic.

Probabilitatea de pierdere a apelului ),( 21 ttpa care a sosit n

intervalul ),( 21 tt , este raportul dintre intensitatea medie a apelurilor

pierdute i intensitatea medie a apelurilor sosite.

39

Probabilitatea de pierdere de timp ),( 21 ttpt n intervalul ),( 21 tt

poate fi definit ca fraciunea perioadei de timp cnd toate resursele

snt ocupate.

Probabilitatea de pierdere de trafic ),( 21 ttptr n intervalul

),( 21 tt este raportul dintre intensitatea traficului pierdut i

intensitatea traficului oferit.

n cazul unor analize teoretice, indicatorii menionai pot fi

definii nu numai pentru intervale de timp limitate, dar i pentru

intervale infinite. Cu ajutorul msurrilor efectuate, n reelele de

telecomunicaii pot fi apreciate probabilitatea de pierdere a apelului

ca fraciune a apelurilor pierdute din numrul de apeluri sosite n

intervalul de examinare sau probabilitatea de pierderi de timp ca

parte a timpului de ocupare total a canalelor din timpul total de

observaie. Aceste formulri se bazeaz pe definiia clasic a

probabilitii. Pierderea de trafic este caracteristic abstract i nu

poate fi msurat real.

n sistemul cu ateptare BCQ indicatorii de calitate snt:

probabilitatea de ateptare )0( p , probabilitatea de ateptare de

durat mai mare dect timpul admis )( atp pentru apelurile

sosite n intervalul ),( 21 tt , precum i timpul mediu de ateptare n

raport cu toate apelurile sosite i n raport numai cu apelurile

reinute. Prezint interes nu doar timpul mediu de ateptare, dar i

distribuia timpului de ateptare. Posibil, un timp mic de ateptare

nu prezint o inconvenien pentru abonat, deaceea nu este o

dependen liniar ntre inconvenien i timpul de ateptare. n

sistemele de telefonie mai des se vorbete despre timpul limit de

ateptare acceptabil. Dac aceast limit este depit, se produce

eliberarea forat a resurselor deja ocupate.

n unele cazuri se determin i ali indicatori cum ar fi lungimea

medie a rndului (numrul mediu de apeluri n irul de ateptare) sau

probabilitatea ca lungimearndului va fi mai mare dect napeluri. n sistemul de sosiri repetateBCR, n calitate de indicatori de

calitate se folosesc probabilitatea de pierdere a apelului primar,

40

probabilitatea de pierdere a apelului repetat, probabilitatea de

pierdere a oricrui apel, numrul mediu de tentative repetate n

raport cu o comunicare stabilit i posibil probabilitatea de pierdere

evident a comunicaiei, dac n sistem exist restricii la numrul

surselor care repet tentativele, sau numrul de apeluri repetate de o

surs. n acest caz, pot fi utilizate i probabilitile de pierdere de

timp i de trafic.

Pentru reelele IP snt recomandai urmtorii parametri GoS:

ntrzierea transmisiunii vocii, variaia ntrzierii pachetelor

(jitterul), rata pachetelor eronate i rata pachetelor pierdute.

n recomandarea Y.1540 se definesc parametrii care pot fi

utilizai la specificarea i estimarea performanei vitezei, acurateei,

fiabilitii i autenticitii/valabilitii transferului de pachete IP

pentru serviciile de comunicaii date:

IPTD (IP pachet transfer delay) este diferena ( ) dintre timpul de intrare a pachetului la destinaie i de ieire de la surs;

IPDV (IP pachet delayvariation) este diferena dintre ntrzierea

actual a pachetului i oarecarentrziere nominal sau de referin;

IPER (IP pachet errorratio) este raportuldintre pachetele

eronate i numrul de pachete transferate cu succes;

IPLR (IP pachet lossratio) este raportul dintre pachetele

pierdute i pachetele total transmise.

n recomandarea Y.1541 snt definite 6 clase QoS ca obiective

ale performanei reelei. Pentru fiecare parametru de performan a

reelei se aduc valori normate.

2.4. VARIAIA N TIMP A TRAFICULUI

n scopul dimensionrii reelelor de telecomunicaii, analizei

performanei sistemelor n exploatare, gestionrii dinamice a

reelelor, prognozei traficului, estimrii ipotezelor referitoare la

proprietile calitative i cantitative ale traficului etc., n reelele de

telecomunicaii se efectueaz msurri ale parametrilor traficului.

Parametrii supui msurrilor pot fi numrul de apeluri sosite la

central, durata medie de ocupare a circuitelor, numrul apelurilor

41

blocate sau reinute, numrul apelurilor finalizate cu convorbire (cu

succes), precum i ali parametri. Mai des se msoar valoarea

medie a acestor variabile, mai rar - variana.

Datele statistice arat c intensitatea teletraficului variaz n

funcie de activitile societii. Valoarea ei depinde de trimestrul

anului, lun, ziua sptmnii i de anumite ore ale zilei. Aceasta se

explic prin faptul c fluxurile de apeluri, care sosesc la centralele

de telecomunicaii, snt nestaionare. Investigaiile variaiilor de

trafic arat c ele snt parial de natur aleatoare, parial

determinist. Astfel, dac cteva zile la rnd se compar numrul de

apeluri sosite la centrala telefonic, atunci se observ o curb

determinist cu variaii stocastice suprapuse. Numrul mediu de

apeluripe minut nregistrat la un centru de comutaie pe parcursul a

24 ore a 10 zile lucrtoare arat ca cel din figura 2.3. Se observ c

n jurul orelor 9 i 10 numrul de apeluri este maximal.

Fig.2.3.Dependena numrului mediu de apeluri de ora zilei

determinat ca media a 10 zile [4]

Oscilaiile traficului snt determinate i de durata medie de

servire a apelului, dei este mai stabil. Totui, se observ c spre

sear durata convorbirilor crete. n figura 2.4 este reprezentat

variaia timpului mediu de servire pe un trunchi de linii pe parcursul

42

a 24 ore. Au fost luate n considerare doar apelurile locale. n orele

de lucru durata de servire este aproape constant, n jurul la 3

minute. Spre sear, durata convorbirilor crete peste 4 minute

datorit abonailor rezideniali. Noaptea convorbirile snt scurte, n

jurul la un minut.

Fig.2.4. Timpul mediu de ocupare a liniilor unui trunchica funcie a

timpului zilei [4].

n procesul msurrilor intensitii traficului se determin cea

mai ncrcat or pe durata zilei. Aceast or a fost numit ora de

trafic maximal (busyhour). Traficul maximal nu se observ la

aceeai or n fiecare zi. Conform recomandrilor ITU,noiunea de

or de trafic maximal fix (time consistent busyhour - TCBH) se

utilizeaz pentru o perioad ndelungat de timp, cnd n medie

traficul este cel mai intensiv. La centralele analogice, n scopul

determinrii orei de trafic maximal i a valorii intensitii traficului

n aceast or, msurrile se recomand a fi efectuate pe parcursul

a10 zile de lucru (fixate cu o acurate de 15 minute), dou

sptmni consecutiv, de dou ori pe an i n lunile cele mai

43

ncrcate. n calitate de or de trafic maximal se alege intervalul

timp de o or n care suma valorilor medii ale traficului n patru

intervale consecutive de 15 minute este maximal.

La centralele digitale, msurrile se efectueaz n mod automat.

Conform recomandrii ITU E.500, se definesc dou tipuri de valori

ale traficului n ora de trafic maximal-normal i ridicat. Traficul de

nivelul A numit normal se obine ca medie a traficului pe durata a

30 zile cele mai ncrcate ale anului,iar nivelul B (ridicat) - a 5 zile

cele mai ncrcate ale anului.

Pentru a asigura o calitate suficient, normat privind deservirea

abonailor la orice or din cele 24 ore, calculul numrului de

circuite, dispozitive necesare servirii traficului se efectueaz

reieind din valoarea intensitii traficului n ora de trafic maximal.

Gradul de concentrare a traficului n ora de trafic maximal (htm)

se estimeaz prin valoarea coeficientului de concentrare , care reprezint raportul dintre traficul n ora de trafic maximal i traficul

total n 24 ore:

. (2.6)

Valoarea coeficientului de concentrare depinde de tipulreelei i

centraleii se situeaz n limitele:

.

2.5. TIPURI DE OCUPARE A CIRCUITELOR

Asupra valorii traficului influeneaz orice ocupare a

circuitelor i dispozitivelor centralei de comutaie.n linii generale,

ocuparea circuitelor i dispozitivelor centralei se poate solda cu

stabilirea legturii solicitate (apeluri reuite) sau cu eecuri din

diferite cauze (apeluri nereuite). Apelurile nereuite ncarc

semnificativ i neproductiv resursele sistemului de servire. Printre

cele mai rspndite cauze ale eecului se pot enumera:

- abonatulsolicitateste ocupat( ); - abonatul solicitat nu rspunde ( ); - apeluri greiteale solicitantului( );

44

- pierderi de apel din cauza blocajuluin sistemul de servire sau

erorilor tehnice ( ). n paranteze se indicnotaia folosit pentru timpul mediu de

ocupare i cota apelurilor de tipul dat. Utiliznd notaiile de mai sus

i lund n considerare apelurile reuite i nereuite, se poate calcula

valoarea medie a timpului de ocupare a circuitelordup formula:

( ), (2.7)

unde:

- timpul mediu de ocupare a circuitelorn cazulapelurilor reuite;

- cota apelurilor reuite. Fie c valoarea medie a numrului de apeluri,iar - numrul

mediu de apeluri reuite,atunci cota legturilor reuite:

. (2.8) n mod similar poate fi calculat orice alt coeficient cu

ocupare de tipul x.

Repartiia valorilor coeficienilor este numit spectru de ocupare. Dup datele statistice, spectrul de ocupare pentru reeaua

de acces a reelelor locale variaz n urmtoarele limite:

; ; ; ; .

Valorile posibile ale coeficientului arat c maximum 50% dintre apeluri snt reuite, ceea ce caracterizeaz randamentul

centralei.

Durata medie a unui apel reuit poate fi calculat din relaia:

, (2.9) unde:

- timpul de ascultare a tonului de disc; - durata de formare a cifrelor numrului;

- timpul de stabilire a conexiunii; - duratact abonatul chemat ascult semnalul de apel;

45

- durata efectiv a convorbirii; - timpul de eliberare a conexiunii. n mod similar pot fi calculate i valorile medii ale timpului de

ocupare de alte tipuri, de exemplu, timpul mediu de ocupare, cnd

abonatul chemat este ocupat:

, (2.10)

unde este durata de ascultare a semnalului de ocupat. Pentru simplificarea calculelor timpului mediu de ocupare a

circuitelor, lund n considerare tot spectrul de angajri posibil, se

utilizeaz ecuaia:

(2.11)

unde:

(2.12)

Coeficientul caracterizeaz majorarea intensitii traficului din

cauza ocuprii neproductive a circuitelor i dispozitivelor centralei.

Odat cu creterea numrului de cifre ale adresei liniei abonatului

chemat se majoreaz i coeficientul . Pentru centralele de tipul

pas cu pas coeficientul n condiii similare este mai mare dect

pentru centralele cu coordonate.

Pe baza celor expuse mai sus poate fi calculat intensitatea

traficului:

. (2.13) Rezultatele msurrilor fluxului de apeluri la centralele

telefonice arat ca variana numruluide apeluri este de zeci i chiar sute de ori mai mare dect media lor c. n acelai timp, raportul

varianei numrului de apeluri reuite la valoarea medie ( ) este de zeci de ori mai mic dect raportul respectiv dintre variana numrului de apeluri i media c. Deci, este evident c estimarea numrului mediu de apeluri reuite poate fi efectuat cu o precizie mai mare dect a numrului de apeluri c. Astfel,

exactitatea prognozei intensitii traficului va crete dac n formula

(2.13) se va introduce : . (2.14)

n final seaccentueaz c toate valorile se calculeaz pentru ora

de trafic maximal.

46

2.6. PROGNOZA INTENSITII TRAFICULUI

La baza proiectrii reelei de telecomunicaii stau cerinele

referitoare la trafic. Determinarea creterii traficului trebuie

efectuat ct se poate mai precis, deoarece dac cerinele nu snt

prognozate corect, reeaua se realizeaz cu un cost mai ridicat sau la

un nivel mai sczut dect prescriu normativele. Intensitatea

traficului depinde de numrul i componena abonailor centralei.

Componena posibil a abonailor depinde de tipul reelei n care

funcioneaz centrala dat. Astfel, pentru reelele urbane PSTN se

prevd 3 categorii de linii de abonat analogice:

1) abonai rezideniali ; 2) abonai de instituii ; 3) posturi publice, taxofoane .

Prognozarea numrului i componenei abonailor unei centrale

urbane se efectueaz n funcie de sectorul instalrii ei (centrul sau

periferia oraului, zon industrial sau rezidenial), densitatea

telefonic existent i componena liniilor de abonat conectate la

centralele care funcioneaz n condiii similare. ntr-o reea rural,

prognozarea numrului de abonai dup categorii se efectueaz n

funcie de tipul comunei/orelului (centru administrativ sau sat de

rnd), densitatea abonailor i numrul de comune/orele n raza

de deservire a centralei.

ntr-o reea urban, pentru calculul intensitii traficului de

plecare a liniei de abonat de categoria x se utilizeaz expresia

(2.14), care poate fi scris sub forma:

. (2.15) Pentru uniformitatea traficului pe grupe este raional ca acestea

s fie alctuite din diferite categorii de abonai. Prin urmare,

intensitatea traficului de plecare a unui grup de abonai este dat de

formula:

, (2.16)

unde:

- numrul liniilor de abonat de categoria x; m - numrul de categorii.

47

Prognozarea traficului n reelele rurale se efectueaz n

conformitate cu urmtorul model. Pe baza datelor statistice, fiecare

linie de abonat de categoria x se caracterizeaz printrei valori de

trafic: de plecare , de sosire i local (n cadrul centralei)

. Determinarea a trei valori de trafic n schimbul uneia, ca n

reelele urbane, majoreaz precizia calculelor pentru reeaua cu un

numr relativ mic de abonai. Pentru un grup de abonai intensitile

traficului de plecare,de sosire i local se calculeaz conform

relaiilor:

;

. (2.17)

Mai sus a fost expus cazul calculului traficului cnd la centrale

snt conectate doar linii de abonat analogice. Dac se presupune

conectarea i a altor tipuri de linii, de exemplu digitale ISDN sau

ADSL, atunci n mod similar se iau n calcul i aceste linii.

48

BIBLIOGRAFIE

1. L. Ioan, G. Niculaescu. Comutaie i rutare n telecomunicaii. Bucureti:Matrix Rom, 2011.

2. G. Miculescu. Traficul n reelele de telecomunicaii, Bucureti: Ed. Tehnica, 1994.

3. ITU-D. Teletraffic Engineering Handbook. Geneva (http://www.itu.int), 2010.

4. .. , .. , .. . . .: . , 1996.

5. . . , . . . . .:. , 1985.

6. ... . .: . , 2010.

7. .. , .. . . .: --, 2005.

8. .. . (http://strelnikov.ws/dl/TT/TT_v2.0.pdf), 2011.

http://strelnikov.ws/dl/TT/TT_v2.0.pdf

49

CUPRINS

Introducere..........................................................................3

1. Procese de sosire............................................................4 1.1. Descrierea proceselor punct..................................4

1.2. Proprietile proceselor de sosire...........................6

1.3. Caracteristicile procesului de sosire......................9

1.4. Proces de tip Poisson............................................10

1.5. Procesul Poisson nestaionar................................17

1.6. Procesul Poisson cu sosiri multiple......................18

1.7. Proces cu postaciune simpl................................18

1.8. Proces binomial.....................................................19

1.9. Proces aplatizat.....................................................21

1.10. Proces cu sosiri repetate.......................................22

1.11. Procese de plecare................................................24

1.12. Procese cu postaciune limitat............................27

2. Traficul n reeaua de telecomunicaii...........................31 2.1. Disciplina de srvire.................................................31

2.2. Traficul i tipurile de trafic....................................33

2.3. Noiuni privind gradul de servire (GoS)................37

2.4. Variaia n timp a traficului....................................40

2.5. Tipuri de ocupare a circuitelor...............................43

2.6. Prognoza intensitii traficului...............................46

Bibliografie...................................................................48

http://library.utm.md2013-11-01T13:16:18+0200Chisinau, RMLibrary TUMI attest to the accuracy and integrity of this document