Definiţie. Fie E⊂R ş i f : E → R ,x0∈E. Atunci x0 este punct de minim(maxim) local

pentru f dacă există o vecinătate V a lui x0astfel încât să avem:

f ( x0 ) ≤ f ( x ) ,(f ( x0 ) ≥ f ( x ))(∀) x∈V ∩ E

Observaţii. Dacă a este un punct de minim local al funcţiei f, atunci numărul f (a)se

numeste minim(maxim) al lui f, iar punctul (a , f (a)) de pe grafic se numeşte punct de

minim(maxim) local al graficului.

Definiţie. Fie E⊂R şi f : E → R , x0∈E. Atunci x0 este punct de minim(maxim)

absolut pentru f dacă:

f (x0)≤ f (x ) ,(f ( x0 ) ≥ f ( x )) ,(∀)x∈E

Teorema lui FermatFie E⊂R ş i f : E → R ,x0∈E interior lui E. Dacă f este derivabilă înx0şi x0 este

punct de extrem local, atunci f ' (x0)=0.

Demonstraţie

Fie x0−¿ punct de minim local (analog se demonstrează cazul în care x0 este punct

de maxim local). Cum x0−¿ interior lui E ⟹ (∀)V o vecinătate a lui x0, V ∈ E, astfel

încât f ( x0 ) ≤ f ( x ) ,(∀)x∈V .

Pentru x∈V , x<x0⟹f ( x )−f ( x0)

x−x0

≤ 0

Cum f este derivabilă în x0 , există

limx↗ x0

f ( x )−f ( x0 )x−x0

=f s' (x0)≤ 0

Pentru x∈V , x>x0⟹f ( x )−f ( x0)

x−x0

≥ 0

Cum f este derivabilă în x0 , există

limx↘ x0

f ( x )−f ( x0 )x−x0

=f d' (x0)≥ 0

Cum f este derivabilă în x0⟹ f s' ( x0 )=f s

' ( x0 )=f ' ( x0 )⟹ f ' ( x0 )=0

Observaţii:

1) Dacă E nu ar fi deschis teorema nu ar fi adevărată.De exemplu: Fie f : [0,1 ] → R , f ( x )=x . Punctele x=0 , x=1 sunt extreme pentru f

dar f ' (0 )=1 , f ' (0 )=1.2) Reciproca teoremei lui Fermat este în general falsă:

De exemplu, f ( x )=x3 , f : (−1,1 ) →R ,este derivabilă în ¿0 , f ' (0 )=0, dar x=0 nu este punct

de extrem local. Funcţia este strict crescătoare pe (−¿1,1).

3) Un punct x0∈ E poate fi punct de extreme fără să existe f '( x0)De exemplu: Fie f : R → R , f ( x )=|x|, are x=0 punct de minim, însă f nu e derivabilă în x=0

4) f : E → R , este o funcţie derivabilă pe un interval deschis E, atunci zerourile derivatei sunt numite puncte critice ale lui f pe E. Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii derivabile se află printre punctele critice ale funcţiei.5) Interpretare geometrică

Exemplul 1 . Să se arate că există cel puţin un număr real a>0 cu proprietatea

ax ≥ x+1 ,(∀)x∈R

Soluţie:

Se consideră funcţiaf : R → R , f ( x )=ax−x−1 , a>0 ,a≠ 1.

Evident, f este derivabilă pe R, f ( x ) ≥ 0 = f (0) , decix=0 este un punct de minim

pentru f şi conform teoremei lui Fermat f ' (0 )=0dar f ' ( x )=ax ln a−1⟹ ln a−1=0⟹a=e

Exemplul 2. Să se arate că există cel puţin un număr real a>0 cu proprietatea

ax ≥ xa,(∀ ) x>0

Soluţie:

Considerăm funcţia f : ( 0 , ∞) → R , f (x )=ax−¿

−xa

Funcţia f este derivabilă pe (0 , ∞ ) şi f ( x ) ≥ 0=f (a ) ,¿deci x = a este un punct de minim

şi conform teoremei lui Fermat f ' (a )=0. Cumf ’ ( x )=ax ln a−a xa−1⟹aa¿

Exemplul 3. Dacă avem a ,b>0 şi ax+bx ≥ 2,(∀ ) x∈R ,atunci ab=1

Soluţie:

Considerăm funcţia f : R → R , f ( x )=ax+bx−2.

Funcţia f este derivabilă pe R şi f ( x ) ≥ 0=f (0 ) ,(∀)x ∊ R , deci x = 0 este un punct de

minim şi conform teoremei lui Fermat

f ' (0 )=0. Cumf ’ ( x )=ax ln a+bx ln b⟹ ln a+ ln b=0⟹ab=1.