tema/unitatea: vectori în plan. geometrie...

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

1

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

Tema/Unitatea: Vectori în plan. Geometrie analitică

Prof. Monoranu Doina

Breviar teoretic Vectori în plan

I. Segmente orientate. Noţiunea de vector

O pereche ordonată BA, de puncte ale planului determină în mod unic:

a). un segment AB cu lungimea );,( BAdl

b). o direcţie dată de dreapta AB ; c). un sens dat de semidreapta .(AB

Definiţie: O pereche ordonată de puncte BA, din plan se numeşte segment orientat (vector

legat).Notaţie: .AB

Observaţii:

1. Punctul A se numeşte originea (punctul de aplicaţie) iar punctul B extremitatea (vâful) segmentului

orientat AB ;

2. Lungimea segmentului AB se numeşte modulul segmentului orientat AB ; Notaţie: AB .

3. Dreapta AB se numeşte suportul segmentului orientat AB iar direcţia ei se numeşte direcţia

segmentului orientat .AB

Definiţie: Se numesc segmente echipolente două segmente orientate care au aceeaşi direcţie, acelaşi

modul şi acelaşi sens. Notaţie: AB ~ CD .

Definiţie: Mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat AB se numeşte

vector (vector liber). Notaţie: AB .

Observaţii:

1. Orice segment orientat din această mulţime se numeşte reprezentant al vectorului AB ;

2. Vectorii liberi se pot nota şi cu litere mici , , , ,...a b u v .

Definiţie: Doi vectori se numesc vectori egali dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul.

Definiţie: Doi vectori se numesc vectori coliniari dacă au aceeaşi direcţie.

Definiţie: Doi vectori se numesc vectori opuşi dacă au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şi sensuri diferite.

Observaţii: 1.Vectorul nul este vectorul care are modulul 0 iar direcţia şi sensul sunt nedeterminate;

2.Vectorul unitar (versor, vector unitate) este vectorul care are modulul 1.




2

B

O

C

A

A

B

O

Regula triunghiului Regula paralelogramului II. Adunarea vectorilor

Definiţie: Fie ,a b doi vectori şi OA , AB

reprezentanţi ai acestora.Se numeşte b suma

celor doi vectori vectorul s care are ca reprezentant

OB .

1.Regula triunghiului se extinde la adunarea mai multor vectori şi se numeşte regula poligonului:

1 2 2 3 1 1... n n nA A A A A A A A

2. Dacă 1 nA A atunci 1 2 2 3 1... 0n nA A A A A A .

Proprietăţile adunării vectorilor:

Oricare ar fi vectorii , ,u v w au loc: 1. u v v u (comutativitatea);

2. 0 0u u u ( 0 este element neutru); 3. ( ) ( )u v w u v w (asociativitatea);

4. ( ) ( ) 0u u u u ( u este vectorul opus lui u ).

Notaţie: u v u v ,oricare ar fi vectorii u şi v .

III. Înmulţirea cu scalari a vectorilor

Definiţie: Fie v un vector şi . Vectorul v este vectorul

care are:

aceeaşi direcţie cu v ;

acelaşi sens cu v daca α>0 şi sens opus cu v dacă 0 ;

modulul egal cu v .

IV. Coliniaritatea a doi vectori

Teoremă: Vectorii u şi v sunt vectori coliniari dacă şi numai dacă există α astfel încât v u . Observaţii:

1. Vectorii u şi v sunt vectori coliniari dacă şi numai dacă există *, astfel încât 0u v ;

2. Dacă u şi v sunt vectori necoliniari, atunci din orice relaţie de forma 0u v 0 ;

3. Punctele A,B,C sunt puncte coliniare dacă şi numai dacă există α încât AB BC .

V. Reper cartezian. Coordonatele unui vector

Definiţie: Fie o dreaptă d în plan. Se numeşte reper cartezian pe dreapta d o pereche ,O i formată

dintr-un punct O de pe dreaptă şi un versor i al direcţiei acestei drepte. Notaţie: Ox , ,O i .

Observaţii:

1. d se numeşte axă (axa de coordonate), O se numeşte originea iar i versorul reperului;

2. Dacă M x d atunci OM xi ;

3. x se numeşte abscisa (coordonata) vectorului OM .

Definiţie: Fie Ox şi Oy două axe ortogonale în plan.

Se numeşte reper cartezian în plan tripletul , ,O i j ,

unde i şi j sunt versorii celor două axe. Notaţie: xOy , , ,O i j .

Observaţii:

1. O se numeşte originea reperului, Ox se numeşte axa absciselor, iar Oy axa ordonatelor;

Y

Y

X

A

(

Proprietăţi ale înmulţirii cu scalari:

Oricare ar fi vectorii şi au loc:

1. sau ;

2. ; 3. ;

4. ; 5. .




3

A M B

A

2. Dacă A ( , )x y este un punct din plan atunci ;OA xi y j 3. ( , )x y se numesc coordonatele vectorului OA . Notaţie: OA ( , )x y .

Teoremă (descompunerea vectorului AB după versorii i şi j ): Dacă 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y sunt puncte din

plan atunci 2 1 2 1( ) ( ) .AB x x i y y j

Proprietăţi:

Dacă 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y sunt puncte necoliniare din plan atunci:

1. 2 22 1 2 1( ) ( ) ;AB x x y y

2. Dacă M este mijlocul segmentului AB atunci 1 2 1 2, ;2 2

x x y yM

3. Dacă G este centrul de greutate al ABC atunci 1 2 3 1 2 3, .2 2

x x x y y yG

Operaţii cu vectori:

Dacă 1 1u x i y j şi 2 2v x i y j atunci au loc:

1. 1 2 1 2( ) ( )u v x x i y y j ;

2. 1 2 1 2( ) ( )u v x x i y y j ;

3. 1 1 ,u x i y j ;

4. 2 21 1u x y .

VI. Vectorul de poziţie al unui punct în plan

Definiţie:Fie O un punct în plan. Vectorul OA se numeşte vectorul de poziţie al punctului A şi se notează

Ar .

Teoremă: Dacă A,B sunt puncte distincte din plan atunci B AAB r r .

Teoremă: Dacă A,B sunt puncte distincte din plan şi M este mijlocul segmentului [AB]

atunci .2

A BM

r rr

Teoremă: Fie A şi B puncte distincte din plan şi M[AB] astfel încât , 0AM

k kMB

atunci .1

A BM

r krr

k

Teoremă: Dacă I este centrul cercului înscris în ABC atunci

.A B CI

ar br crr

a b c

Teoremă: Dacă I este centrul cercului înscris în ABC atunci

.A B CI

ar br crr

a b c

VII. Centre de greutate

Definiţie: Fie *

1 2, ,..., ,nA A A n , puncte din plan. Se numeşte centru de greutate al sistemului de

puncte 1 2, ,..., nA A A , un punct G din plan cu proprietatea că 1 2 ... 0nGA GA GA .

Teoremă (de unicitate şi existenţă): Un sistem *

1 2, ,..., ,nA A A n , de puncte din plan admite un

singur centru de greutate.

Teoremă (relaţia lui Leibniz): Dacă*

1 2, ,..., ,nA A A n , este un sistem de puncte din plan, G centrul

Teoremă: Vectorii şi

sunt vectori coliniari dacă

şi numai dacă




4

său de greutate şi M un punct oarecare din plan atunci 1 2 ... nMA MA MA nMG .

Teoremă: Dacă G este centrul de greutate al ABC atunci .3

A B CG

r r rr

Teoremă: Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci 0GA GB GC .

Teoremă: Dacă G este centrul de greutate al ABC atunci oricare ar fi O un punct din plan are loc:

1

( )3

OG OA OB OC .

Teoremă (Pappus): Fie ABC . Dacă punctele , ,M AB N BC P CA împart aceste segmente

în acelaşi raport atunci ABC şi MNP au acelaşi centru de greutate.

VIII. Alte teoreme remarcabile în geometria plană

Teoremă (Sylvester): Dacă O şi H sunt centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul ABC

atunci: OH OA OB OC .

Consecinţa 1: Într-un triunghi centrul cercului circumscris O , centrul de greutate G şi ortocentrul

H sunt puncte coliniare.

Observaţie: Dreapta pe care se află punctele , ,O G H se numeşte dreapta lui Euler.

Consecinţa 2: În orice triunghi, cu notaţiile uzuale, au loc relaţiile:

a). 3 ;HA HB HC HG b). 2 .HA HB HC HO

Consecinţa 3 (relaţia lui Euler): Fie ABC şi 'O mijlocul segmentului OH . Atunci are loc relaţia

'2 .OA OB OC OO Observaţie: Cercul care trece prin mijloacele laturilor unui triunghi, prin picioarele înălţimilor

triunghiului şi prin mijloacele segmentelor care unesc vârfurile triunghiului cu ortocentrul acestuia se

numeşte cercul lui Euler (cercul celor nouă puncte).

Teoremă (Menelaus): Fie triunghiul ABC şi ' ' ', ,A B C trei puncte astfel încât

' ' ', ,A BC B AC C AB . Dacă ' ' ', ,A B C sunt puncte coliniare, atunci are loc relaţia:

' ' '

' ' '1

A B B C C A

AC B A C B .

Teoremă (Reciproca teoremei lui Menelaus): Fie triunghiul ABC şi ' ' ', ,A BC B AC C AB astfel

încât două dintre punctele ' ' ', ,A B C sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar al treilea punct este

situat pe prelungirea celei de-a treia laturi sau toate punctele ' ' ', ,A B C sunt situate pe prelungirile laturilor

triunghiului. Dacă are loc relaţia ' ' '

' ' '1

A B B C C A

AC B A C B , atunci punctele ' ' ', ,A B C sunt puncte coliniare.

Teoremă (Ceva): Fie triunghiul ABC şi ' ' ', ,A B C trei puncte astfel încât ' ' ', ,A BC B CA C AB

. Dacă dreptele ' ' ', ,AA BB CC sunt concurente, atunci are loc relaţia

' ' '

' ' '1

A B B C C A

AC B A C B .

Teoremă (Reciproca teoremei lui Ceva): Fie triunghiul ABC şi ' ' ', ,A B C trei puncte astfel încât

' ' ', ,A BC B CA C AB . Dacă are loc relaţia ' ' '

' ' '1

A B B C C A

AC B A C B , atunci dreptele ' ' ', ,AA BB CC

sunt concurente.




5

Teoremă (Van Aubel): Fie triunghiul ABC şi punctele ' ' ', ,A BC C AC B AB . Dacă dreptele

' ' ', ,AA CB BC sunt concurente într-un punct P , atunci are loc relaţia' '

' ' '

B A C A PA

B C C B PA .

IX. Produsul scalar a doi vectori

Definiţie: Fie u şi v vectori. Se numeşte produs scalar al vectorilor u şi v numărul real cos( , ).u v u v

Notaţie: u v = cos( , ).u v u v

Teoremă (exprimarea în coordonate a produsului scalar): Dacă 1 1u x i y j şi 2 2v x i y j

atunci 1 2 1 2u v x x y y .

Observaţie: 1, 1, 0i i j j i j j i .

Teoremă: Fie u şi v vectori. 1 2 1 2 0u v x x y y .

Proprietăţi: Fie vectorii u , ,v w şi m . Atunci au loc:

1. 2

u u u ; 2. u v v u (comutativitate);

3. m u v mu v u mv ; 4. u v u v .

5. 0u v pentru cos ( , ) 0u v şi 0u v pentru cos ( , ) 0u v ;

6. u v w u v u w (distributivitatea faţă de adunarea vectorilor);

Elemente de geometrie analitică

1. Distanţa dintre două puncte ,1 1

A x y şi , :2 2

B x y 2 2

2 1 2 1AB x x y y .

2. Panta dreptei :AB 2 1 ,2 1

2 1

y ym x x

AB x x

3. Coordonatele mijlocului M al segmentului :AB ,2

x xBAx

M

.

2

y yBAy

M

4. Coordonatele punctului N care împarte segmentul AB în raportul :k

1 2 ,1

x kxxN k

1 2 .

1

y kyyN k

5. Coordonatele ortocentrului G al ABC unde , ,1 1

A x y , ,2 2

B x y , :3 3

C x y

1 2 3

3

x x xxG

, 1 2 3 .

3

y y yyG

6. Ecuaţia dreptei determinată de un punct şi o direcţie: Fie ,0 0 0

M x y şi vectorul ,a bv atunci

0: ,d r r tv t , unde 0

r vectorul de poziţie al punctului 0

M , iar r vectorul de poziţie al punctului

.M d

7. Ecuaţii parametrice ale dreptei : 0

: , .

0

x x atd t

y y bt

8. Ecuaţia carteziană a dreptei : 0 0: ,x x y y

da b

0a şi 0.b

Observaţie:




6

9. Ecuaţia generală a dreptei : : 0,d ax by c 0a sau 0,b unde a

mb

panta dreptei d 0b .

10. Ecuaţia explicită a dreptei : : ,d y mx n unde m este panta dreptei şi n este ordonata la origine.

11. Ecuaţiile dreptelor paralele cu axele de coordonate : : ,d x a dreaptă verticală , : ,d y b dreaptă

orizontală.

12. Ecuaţia dreptei prin tăieturi : : 1,x y

da b 0a şi 0b unde ,0A a şi 0,B b reprezintă punctele de

intersecţie ale dreptei cu axele de coordonate.

13. Ecuaţia dreptei determinate de punctul ,0 0 0

M x y şi panta :m : .0 0

d y y m x x

14. Ecuaţia dreptei determinate de două puncte distincte ,1 1

A x y şi , :2 2

B x y

1 1: ,

2 1 2 1

y y x xd

y y x x

1 2x x şi

1 2y y SAU

1

1 0.1 1

12 2

x y

x y

x y

15. Unghiul a două drepte în plan. Fie : 01 1 1 1

d a x b y c şi : 02 2 2 2

d a x b y c . Atunci unghiul

dreptelor este unghiul format de vectorii lor directori şi este determinat de relaţia:

1 2 1 2cos .2 2 2 21 1 2 2

a a b b

a b a b

16. Poziţia relativă a două drepte în plan. Dreptele : 01 1 1 1

d a x b y c şi : 02 2 2 2

d a x b y c sunt :

a) paralele 1 1 1||1 2 1 2

2 2 2

a b cd d m m

a b c . b) confundate 1 1 1 .

1 2 2 2 2

a b cd d

a b c

c) concurente 1 11 2

2 2

.a b

d d Aa b

d) perpendiculare 01 2 1 2 1 2

d d a a b b 1.1 2

m m

Condiţia de paralelism: || .1 2 1 2

d d m m Condiţia de perpendicularitate: 1 2

d d 1.1 2

m m

17. Distanţa de la punctul ,0 0 0

M x y la dreapta : 0 :h ax by c 0 0, .

0 2 2

ax by cd M h

a b

18. Aria triunghiului cu vârfurile , ,1 1

A x y , ,2 2

B x y , :3 3

C x y ,

.2

BC d A BCA

ABC

SAU 1

,2

AABC

unde

11 1

12 2

13 3

x y

x y

x y

19. Condiţia de colinianitate a punctelor , ,1 1

A x y , ,2 2

B x y , :3 3

C x y

1 2 1 2 ,

3 2 3 2

y y x xA BC

y y x x

,

3 2x x

3 2y y SAU

11 1

12 2

13 3

0

x y

x y

x y

20.CERCUL

20.1 Ecuaţia cercului este: 2 2 2

x a y b r , unde ,C a b este centrul cercului, iar 0,r este




7

raza cercului

20.2. Dacă , 0, 0C a b O ecuaţia cercului este: 2 2 2

x y r .

20.3. Ecuaţia generală a cercului este: 2 2

0,x y mx ny p unde , ,2 2

m na b

2 2.r a b p

Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

1. Fie triunghiul ABC . Să se determine k Z astfel încât 3 3BC CA k AB .

2. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și GM BC , M AC . Să se determine k R astfel încât

GM kBC .

3. Să se determine coordonatele simetricului punctului A față de mijlocul segmentului BC dacă 0, 4A ,

(0,2)B , (3,2)C .

4. Se consideră punctele 6, 3A , 6,9B , 0, 2C . Să se determine coordonatele vectorului

1

22

u AB BC .

5. Să se calculeze AB AC CD în cazul 4,5A , 4, 2B , 0, 2C , 0,6D .

6. Să se determine m R pentru care dreptele 1 : 2 3 0d x my și

2 : 5 0d mx y sunt paralele.

7. Se consideră în plan punctele 1,1A , 2, 1B , 0, 1C , 3,1D . Să se verifice că dreptele AB și

CD sunt paralele.

8. Să se determine m R pentru care punctele să fie coliniare :

a) 2,5A , 1,5B , 3,C m ; b) 2,3A , 1,B m+2 , 3,C m .

9. Să se determine ecuația medianei duse din vârful C al triunghiului ABC în cazurile :

a) 1, 2A , 5,6B , 1,1C ; b) 2,3A , 1, 2B , 3, 1C

10. Să se determine lungimea înălțimii duse din vârful O al triunghiului MON , unde 4,0M , 0,3N și

0,0O

1. Arătați că unghiul vectorilor 3u i j și 2v i j este obtuz.

2. Punctele A , B , C , D verifică relația 3 2AB AC AD . Arătați că B , C , D sunt coliniare .

3. Calculați distanța de la punctul 2, 2A la dreapta determinate de punctele 1,0B și 0,1C .

4. Scrieți ecuația dreptei care conține punctul 3, 2M și este perpendicular pe dreapta : 2 5 0d x y .

5. Determinați a R pentru care distanța dintre dreptele 1 : 2015 0d x y și 2 : 0d x y a să fie

egală cu 2 .

6. Fie punctele 1, 2A , 4,6B și 3, -1C . Aflați lungimea bisectoarei din A a triunghiului ABC .

7. Fie 1, 2A și 3, 1B . Determinați ecuațiile dreptelor care trec prin A și sunt situate la distanța 2 de B

8. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2 3

1log , log 9

2

n

n

nA

și ,nB -n, 2n n N .

a) Să se determine ecuația dreptei 1B și 2B .

b) Să se arate că n nA B , oricare ar fi n N .

c) Să se demonstreze că pentru orice n N , punctul nA aparține dreptei 1 2A A .

tema/unitatea: vectori în plan. geometrie...

Documents