1

Tema 4

NOT¼A. Tema const¼a în câte un subpunct, corespunz¼ator num¼arului curent alstudentului din Apelul grupei (a�sat pe platform¼a). Dac¼a num¼arul curent dep¼aseste20; se va considera restul împ¼artirii acestui num¼ar la 20; de exemplu, un studentavând num¼arul curent 34; va aborda subpunctul 14:Modela) S¼a se probeze c¼a functia u (x; y) = x3 � 3xy2 + x� y este armonic¼a.b) S¼a se determine functia olomorf¼a f (z) stiind c¼a f (1) = 0 si c¼a Re f (z) =

u (x; y) :

Solutie. a) Trebuie s¼a ar¼am c¼a�u = 0; adic¼a @2u@x2+ @2u@y2

= 0: Avem @u@x= 3x2�3y2+1;

@2u@x2

= 6x; @u@y= �6xy � 1si @2u

@y2= �6x: Deci @2u

@x2+ @2u

@y2= 6x� 6x = 0:

b) Vom determina partea imaginae¼a v (x; y) a lui f (z) utilizând conditiile Cauchy-Riemann � @u

@x= @v

@y@u@y= � @v

@x

:

Folosim prima conditie: @v@y= @u

@x() @v

@y= 3x2 � 3y2 + 1 rezult¼a v (x; y) =R

(3x2 � 3y2 + 1) dy = 3x2y � y3 + y + c (x) ; unde c (x) este o functie ce depindedoar de x si apare în urma integr¼arii în raport cu y: În continuare folosim a douarelatie Cauchy-Riemann: @v

@x= �@u

@y() 6xy + c0 (x) = 6xy + 1; adic¼a c0 (x) = 1;

ceea este echivalent cu c (x) =R1 � dx = x+ c. Deci v (x; y) = 3x2y� y3+ y+x+ c:

În felul acesta f (z) = x3 � 3xy2 + x� y + i (3x2y � y3 + y + x+ c) : F¼acând y = 0;z devine x; adic¼a restrictia lui f (z) la axa real¼a este f (x) = x3 + x+ ix+ ic: Decif (z) = z3 + z + iz + ic: Pentru determinarea constantei c folsim conditia f (1) = 0;adic¼a 2 + i+ ic = 0; de unde c = 2i� 1: În �nal, f (z) = z3 + (1 + i) z � 2� i:

Problem¼a. Se consider¼a functia u (x; y) (respectiv v (x; y)) de mai jos.a) S¼a se arate c¼a u (x; y) (respectiv v (x; y)) este o functie armonic¼a;b) S¼a se determine functia olomorf¼a f (z) stiind c¼a Re f (z) = u (x; y) (respectivIm f (z) = v (x; y)) în �ecare din cazurile de mai jos, dac¼a

1. f (0) = 1 si v (x; y) = x+ 2xy;

2. f (1) = �1 si u (x; y) = 2x3 � x2 � 6xy2 + x+ y2;

3. f (0) = 2 si u (x; y) = 2x3 � 6xy2 + 2xy + x;

4. f (i) = 0 si v (x; y) = x+ 3y + 2xy;

5. f (0) = 0 si v (x; y) = 9x2y � 6xy � 3y3 + y;

2

6. f (i) = �1 si u (x; y) = 2x4 � 12x2y2 + 2y4;

7. f (1) = 2 si u (x; y) = 2x3 � 6xy2 � 4y;

8. f (i) = 0 si v (x; y) = x+ 3y � 2xy;

9. f (i) = i si u (x; y) = x2 + 3x� y2 � y;

10. f (1) = i si u (x; y) = 4x� 2xy;

11. f (0) = i si u (x; y) = x3 + 3x2 � 3xy2 + x� 3y2;

12. f (�1) = i si v (x; y) = 3y3 � 9x2y;

13. f (1) = 2e si v (x; y) = 2ex sin y;

14. f (0) = 0 si v (x; y) = ex+1 sin y;

15. f (0) = 1 si u (x; y) = x+ e�x cos y;

16. f (0) = 1 si u (x; y) = x+ e�y cosx;

17. f (0) = �1 si v (x; y) = y � e�x sin y;

18. f (0) = 1 si u (x; y) = x4 � 6x2y2 + y4 + 1;

19. f (0) = 1 si v (x; y) = y + e�y cosx;

20. f (1) = 1 + e si v (x; y) = ex cos y + x2 � y2;