suport de seminar- algebra liniar a anul ighiba/suporturi/seminar-algebra-liniara.pdf6.recapitularea...

Suport de seminar- Algebra liniaraanul I

2018

1

Seminar 1

1. Recapitularea unor notiuni teoretice:

(a) Adunarea si ınmultirea matricelor;

(b) Ridicarea la putere a unei matrici patratice;

2. Sa se calculeze:

(a)

1 23 57 8

+

2 11 26 7

;

(b)

(1 22 3

)+

(1 −1 11 2 −1

).

3. Fie matricea A =

(1 10 1.

)Sa se calculeze An, n ∈ N.

4. Recapitularea unor notiuni teoretice:

(a) Determinanti de ordin 2;

(b) Determinanti de ordin 3;

(c) Permutari: definitie, semnul unei permutari;

(d) Determinanti de ordin n, n ∈ N∗-definitie;

(e) Proprietati ale determinantilor.

5. Sa se calculeze urmatorii determinanti:

(a)

∣∣∣∣ 1 2−1 2

∣∣∣∣ ;(b)

∣∣∣∣∣∣1 2 31 −1 21 1 2

∣∣∣∣∣∣ ;

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 0−1 1 1 23 4 1 21 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .6. Sa se arate ca orice matrice A ∈M2(R) verifica identitatea A2−det(A) ·A+tr(A) ·I2 = 0

(formula Cayley-Hamilton).

2

Seminar 2

1. Sa se calculeze determinantul

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 −10 3 1 11 −1 2 32 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .2. Recapitularea unor notiuni teoretice: rangul unei matrici, metode de identificare a ran-

gului.

3. Sa se determine rangul matricelor:

(a)

(1 2 3−1 1 1

);

(b)

1 −1 2 11 2 2 −20 3 0 −31 1 2 −1

;

4. Recapitularea unor notiuni teoretice: sisteme de ecuatii liniare, interpretare practica,sisteme de tip Cramer.

5. Sa se rezolve sistemul

{2x+ 3 y = 7

x+ y = 3.

6. Recapitularea unor notiuni teoretice: sisteme compatibile, sistemele incompatibile, teo-rema Kronecker-Capelli, teorema lui Rouche.

7. Sa se rezolve sistemele

(a)

{2x+ 3 y + 4 z = 9,

x+ y + 2 z = 3;

(b)

2x+ 3 y + 4 z = 9

x+ y + 2 z = 33x+ 4 y + 6 z = 12;

(c)

2x+ 3 y + 4 z = 9

x+ y + 2 z = 33x+ 4 y + 6 z = 12;

(d)

2x+ 3 y + 4 z = 9

x+ y + 2 z = 33x+ 4 y + 6 z = 1.

3

Seminar 3

1. Sa se rezolve sistemele

(a)

2x+ 3 y − z = 1

3x+ y + z = 3x− 2 y + 2 z = 2;

(b)

4x+ 3 z + t = 105 y + z − 4 t = 1

3 y + t = 17x+ 2 y + 3 t = 25;

(c)

5x+ 7 y = 43x+ 2 y = 65x− 5 y = 102x− 9 y = −2

11x− 3 y = 16;

(d)

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 13x1 + 2x2 + x3 − x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1

2x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2;

2. Recapitularea unor notiuni teoretice: inversa unei matrici, matricea adjuncta.

3. Sa se verifice daca matricea A =

1 0 12 1 1−1 1 0

este inversabila si ın caz afirmativ sa se i

se calculeze inversa.

4

Seminar 4

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: descrierea metodei lui Gauss de rezolvare a sis-temelor liniare.

2. Folosind metoda lui Gauss, sa se rezolve sistemele de ecuatii:

(a)

2x1 − x2 + x3 − x4 = 2x1 − x2 + x3 + x4 = 1

5x1 − 3x2 + 3x3 − x4 = 5;

(b)

x1 + 2x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 1x1 + x2 − x3 = 0;

(c)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

2x1 − x2 + x3 − x4 = 2x1 − 2x2 − 2x4 = −1;

(d)

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 13x1 + 2x2 + x3 − x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1

2x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2.

5

Seminar 5

1. Fie multimea A =

{(0 0a b

); a, b ∈ R

}.

(a) Sa se arate ca A ımpreuna cu operatia de ınmultire a matricelor formeaza un semi-grup;

(b) Verificati daca (A, ·) este monoid;

2. Fie multimea GL(2) = {A ∈M2(R) ; detA 6= 0}.

(a) Sa se arate ca GL(2) ımpreuna cu operatia de ınmultire a matricelor formeaza ungrup;

(b) Verificati daca GL(2) ımpreuna cu operatia de adunare a matricelor formeaza ungrup.

3. Acelasi exercitiu ca mai sus dar pentru multimile: GL+(2) = {A ∈M2(R) ; detA > 0}si SL(2) = {A ∈M2(R) ; detA = 1}.

4. Fie multimea G = (−1, 1) si operatia x ∗ y =x+ y

1 + x y, ∀x, y ∈ G. Sa se arate ca (G, ∗)

este un grup abelian.

6

Seminar 6

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: compunerea permutarilor.

2. Sa se arate ca S3 (grupul permutarilor de grad 3) ımpreuna cu operatia de compunereeste un grup neabelian.

3. Recapitularea unor notiuni teoretice: clase de resturi modulo n, operatii, tabla adunariisi a ınmultirii ın Zn, n > 2.

4. Sa se arate ca Z3 ımpreuna cu operatia de adunare si ınmultire formeaza un corp comu-tativ.

5. Sa se arate ca Z4 ımpreuna cu operatia de adunare si ınmultire nu formeaza un corp. Cestructura algebrica puteti identifica?

6. Legatura dintre distributivitate si comuntativitatea operatiei aditive dintr-un corp.

7

Seminar 7

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: corp comutativ, definirea unui spatiu liniar.

2. Sa se arate ca Rn ımpreuna cu adunarea pe componente si ınmultirea pe componente cuscalari din R este spatiu liniar (vectorial) peste R.

3. Sa se arate ca multimea polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti reali, notata Rn[X]sau Pn, ımpreuna cu adunarea polinoamelor si ınmultirea cu scalari din R este spatiu liniar(vectorial) peste R. Ce se poate spune despre multimea polinoamelor de grad n (exactn)?

4. Fie C[0, 1] = {f : [0, 1]→ R : f functie continua}. Sa se arate ca C[0, 1] ımpreuna cuadunarea functiilor si ınmultirea cu scalari din R este spatiu liniar (vectorial) peste R.

5. Fie CD[0, 1] = {f : [0, 1]→ R : f functie continua f(0) = 0, f(1) = 0}. Sa se arate caCD[0, 1] ımpreuna cu adunarea functiilor si ınmultirea cu scalari din R este spatiu liniar(vectorial) peste R.

6. Este {f : [0, 1]→ R : f functie continua, f(0) = 1, f(1) = 1} spatiu liniar (vectorial)peste R.

8

Seminar 8

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: subspatiu vectorial.

2. Sa se precizeze care din urmatoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatii vectoriale alelui R3 peste R:

(a) X1 = {(x1, x2, 0) : x1, x2 ∈ R;

(b) X2 = {(x1, x2,−1) : x1, x2 ∈ R;

(c) X3 = {(x1, 0, 0) : x1 ∈ R;

(d) X4 = {(x1, 1, 0) : x1 ∈ R;

(e) X5 = {(x1, x2, x3) : x1 + 5x2 − 2x3 = 0, x1, x2, x3 ∈ R};(f) X6 = {(x1, x2, x3) : x1 + 5x2 − 2x3 = 1, x1, x2, x3 ∈ R};(g) X7 = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 > 0, x1, x2, x3 ∈ R}.

3. Fie S ⊂ Rn multimea solutiilor sistemului liniar Ax = 0 ∈ Rm, unde A ∈ Mm,n(R). Sase arate ca S este subspatiu vectorial a lui Rn peste R.

4. Sa se verifice daca GL(2), GL+(2), SL(2) sunt subspatii vectoriale ale spatiului liniarM2(R) peste R.

5. Sa se verifice daca multimile Sym(n) = {A ∈ Mn(R) : AT = A}, Skew(n) = {A ∈Mn(R) : AT = −A}, sl(n) = {A ∈ Mn(R) : trA = 0} sunt subspatii vectoriale alespatiului liniar Mn(R) peste R.

Seminar 9

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: vectori liniar independenti.

2. Sa se arate ca vectorii v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (2,−1, 1) din R3 sunt liniaridependenti si sa se afle relatia de dependenta liniara dintre ei.

3. Sa se studieze dependeta liniara pentru sistemele de vectori:

(a) A1 =

(2 −13 1

), A2 =

(0 2−1 1

), A3 =

(5 12 −1

)ın M2(R);

(b) p1 = 2x2 + x+ 3, p2 = x2 + 5x− 3, p3 = 3x2 − x+ 7 ın R2[X] (adica P2);

(c) v1 = (1,−1, 2), v2 = (1, 0, 3), v3 = (2, 1, 1) ın R3.

(d) v1 = (1,−1, 2, 1), v2 = (1, 0, 3, 1), v3 = (0, 0, 0, 0) ın R4.

4. Se considera ın R3 vectorii:

v1 = (1,−1, 1), v2 = (2,−1, 3), v3 = (1, 3, 5), v4 = (3, 1, 7).

Sa se determine numarul maxim de vectori liniar independenti din sistemul S = {v1, v2, v3, v4}.

9

5. Recapitularea unor notiuni teoretice: spatiul liniar generat de o mutime de vectori.

6. Sa se arate ca vectorii v1 = (2,−1, 3, 5) si v2 = (1, 3,−2, 4) din R4 sunt liniar independenti.Sa se verifice daca vectorul v = (−1, 11,−12, 2) apartine spatiului generat de v1 si v2.

7. Sa se verifice daca polinoamele 2x2 + 3x si x+ 1 apartin spatiului generat de {x3 + 2x−1, 2x2 + 1, x3 − x}.

10

Seminar 10

1. Recapitularea unor notiuni teoretice: sistem de generatori, baze, dimensiunea unui spatiuliniar.

2. Sa se determine dimensiunea spatiului vectorial Rn.

3. (a) Sa se determine λ ∈ R astfel ıncat vectorii v1 = (λ, 0, 1), v2 = (0, λ,−1), v3 =(−1, 1, λ) sa formeze o baza ın R3.

(b) Pentru λ = 1, sa se determine coordonatele vectorului v = (1, 1, 1) ın baza {v1, v2, v3}.(c) Pentru λ = 1, sa se scrie matricea schimbarii de baza, de la baza canonica (uzuala)

din R3 la baza {v1, v2, v3}.(d) Pentru λ = 1, sa se scrie matricea schimbarii de baza, de la baza {v1, v2, v3} la baza

canonica (uzuala) din R3 .

4. Sa se arate ca ın spatiul vectorial Pn (adica Rn[X]), al polinoamelor de grad cel mult ncu coeficienti reali, sistemul {1, x, x2, ..., xn} formeaza o baza. Care este dimensiunea luiPn.

5. In R3 se considera bazele

B = {v1 = (1,−1, 1), v2 = (2, 0, 1), v3 = (1,−2, 0)} si

B′ = {w1 = (2, 1, 2), w2 = (−1,−2,−1), w3 = (0, 1, 1)}.

(a) Sa se indice matricea de trecere de la baza B la baza B′ si matricea de trecere de labaza B′ la baza B;

(b) Sa se determine coordonatele vectorului v fata de baza B′ stiind ca are coordonatele(1, 1, 0) fata de baza B.

11

Seminar 11

1. Fie sistemele de vectori

B = {v1 = (−1, 1,−1), v2 = (1,−1, 2), v3 = (2, 1, 2)} si

B′ = {w1 = (1, 0, 3), w2 = (2,−2, 1), w3 = (−1, 1, 1)}.

(a) Sa se verifice daca B si B′ sunt baze ın R3;

(b) Sa se scrie matricea schimbarii de baza, de la baza canonica (uzuala) din R3 la bazaB si la baza B′;

(c) Folosind matricele de la punctul precedent, sa se determine matricea schimbarii debaza, de la baza B la baza B′;

(d) Sa se determine coordonatele vectorului v, scris ın baza v = (1, 2, 2), ın baza B;

(e) Sa se determine coordonatele vectorului v, scris ın baza v = (1, 2, 2), ın baza B′.

2. (a) Sa se verifice daca polinoamele p1 = x2 − x, p2 = 2x2 + x, p3 = x2 + 1 formeaza obaza ın P2.

(b) Sa se scrie matricea de trecere de la baza uzuala {1, x, x2} la aceasta baza.

(c) Sa se afle coordonatele polinomului q = 2x2 − 1 ın baza {p1, p2, p3}.

3. Sa se determine dimensiunea si o baza a spatiului generat de vectorii v1 = (1, 2,−1, 3),v2 = (2, 0,−1, 4), v3 = (0, 4,−1, 2) din R4.

4. Sa se calculeze dimensiunea si sa se indice o baza a spatiului solutiilor urmatoarelorsisteme liniare si omogene

(a)

x1 + x2 − x3 = 0

3x1 − 2x2 + 2x3 = 0

6x1 + x2 − x3 = 0;

(b)

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 0.

(c)

x1 − x2 + x3 = 0

2x1 − x3 = 0

x1 − 2x2 = 0.

5. Sa se identifice toate subpatiile spatiului vectorial R3 si sa se interpreteze geometric.

Seminar 12

Partial

12

Seminar 131. Fie U1, U2 subspatii vectoriale ale unui spatiu vectorial V peste un corp K.

(a) Sa se arate ca U1 ∩ U2 si U1 + U2 := span{U1 ∪ U2} sunt subspatii vectoriale ale luiV peste K;

(b) Este U1 ∪ U2 subspatiu vectorial al lui V peste K?

(c) Sa se arate ca U1 + U2 = {u1 + u2 |u1 ∈ U1, u2 ∈ U2};

2. Sa se scrie R2 si R3 ca suma de doua subspatii complementare.

3. Sa se arate ca aplicatia ϕ : R2 → R3, ϕ(x1, x2) = (x1, x2, 2x1− x2) este o aplicatie liniara(transformare liniara, operator liniar). Sa se determine nucleul si dimensiunea nucleuluioperatorului ϕ.

4. Fie aplicatia ϕ : C1(0, 1)→ C(0, 1), ϕ(f) = f ′. Sa se arate ca ϕ este un operator liniar.

5. Fie aplicatia ϕ : C(0, 1)→ R, ϕ(f) =∫ 1

0f(x)dx. Sa se arate ca ϕ este un operator liniar.

6. Sa se verifica daca aplicatiile ϕ : R2 → R2 date de

(a) ϕ(x1, x2) = (x1 x2, x1);

(b) ϕ(x1, x2) = (x1 + 1, x2);

sunt operatori liniari.

7. Fie operatorul liniar ϕ : R2 → R3, ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2, 3x1 + x2).

Sa se calculeze kerϕ si Imϕ. Este ϕ injectiv? Dar surjectiv?

8. Fie operatorul liniar ϕ : R3 → R3,

ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3,−x1 + x2 + 2x3, x2 − x3).

(a) Sa se arate ca ϕ este o bijectie;

(b) Sa se calculeze ϕ−1.

9. Fie operatorul ϕ : R3[X] → R4, ϕ(p) = (a3, a2, a1, a0), unde p = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0,a0, a1, a2, a3 ∈ R. Sa se arate ca ϕ este un izomorfism si sa se determine inversa lui.

10. Fie aplicatiile ϕ : C1(0, 1)→ C(0, 1), ϕ(f) = f ′ si ψ : C(0, 1)→ C1(0, 1), ψ(f) = g, undeg : (0, 1)→ R este data de g(x) =

∫ x0f(t) dt.

(a) Este ϕ un izomorfism de spatii liniare?

(b) Sa se arate ca ψ este un operator liniar.

(c) Sa se calculeze ψ ◦ ϕ si ϕ ◦ ψ.

(d) Este ψ un isomorfism de spatii liniare?

13

Seminar 14

1. Se considera aplicatia ϕ : R4 → R3, definita prin

ϕ(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x4, x1 + 3x2, x1 − x3 − x4).

Sa se arate ca ϕ este un morfism (operator liniar) si sa se scrie matricea transformarii ınraport cu bazele uzuale din R3 si R4.

2. Fie aplicatia liniara ϕ : R3 → R3 care are ın raport cu baza uzuala din R3 matricea

A =

1 0 00 2 1−1 1 −1

.

(a) Sa se determine expresia aplicatiei ϕ;

(b) Sa se determine matricea transformarii lui ϕ ın raport cu baza

B′ = {f1 = (2, 1,−2), f2 = (1, 0, 1), f3 = (0, 2,−7)};

(c) Sa se determine imaginea vectorului v = (1, 2,−2) prin transformarea ϕ, folosindexpresia matricei A;

(d) Folosind matricea A, sa se justifice daca ϕ este un izomorfism.

(e) Sa se determine matricea operatorului ϕ−1.

3. Fie aplicatia ϕ : R2 → R3, ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2, 2x1 + x2). Fie B1 baza canonicadin R2 si B2 baza canonica din R3. Fie B′2 baza data de sistemul de vectori

B′2 = {f1 = (2,−1, 1), f2 = (0, 1, 0), f3 = (3, 1, 2)}.

(a) Scrieti matricea schimbarii de baze de la B2 la B′2;

(b) Aflati matricea operatorului ın perechea de baze B1, B2;

(c) Aflati matricea operatorului ın perechea de baze B1, B′2;

(d) Este ϕ un izomorfism?

4. Fie vectorii e′1 = (2, 3, 5), e′2 = (0, 1, 2), e′3 = (1, 0, 0) si e′′1 = (1, 1,−1), e′′2 = (1, 1, 1),e′′3 = (2, 1, 2). Gasiti operatorul liniar ϕ ∈ L(R3) ce are proprietatea ca ϕ(e′i) = e′′i ,∀ i = 1, 2, 3.

14

Seminar 15

1. Determinati polinoamele caracteristice, valorile proprii si vectorii proprii pentru urmatoriioperatori liniari:

(a) ϕ : C2 → C2, ϕ(x1, x2) = (2 x1 + x2, x1 + 2x2);

(b) ϕ : C2 → C2, ϕ(x1, x2) = (x1 + x2, x2);

(c) ϕ : C3 → C3, ϕ(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2);

(d) ϕ : C3 → C3, ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + 7x2, 2x2 − x3, 3x3).

2. Fie operatorul ϕ : Rn → Rn avand matricea A ın baza canonica si ψ : Rn → Rn avandmatricea QAQ−1 ın baza canonica, unde Q ∈ GL(n). Sa se arate ca ϕ si ψ au aceleasivalori proprii. Au ϕ si ψ si aceeasi vectori proprii?

3. Fie matricea A =

1 0 10 2 00 0 3

.

(a) Aratati ca A este inversabila si scrieti A−1 ca o combinatie liniara de puteri pozitiveale lui A.

(b) Calculati matricea A9 folosind teorema Hamilton-Cayley.

15

Seminar 16

1. Fie A ∈M2(R). Sa se arate ca tr(A2) = −2 detA+ [tr(A)]2.

2. Fie ϕ ∈ L(Cn) avand matricea ın baza canonica simetrica.

(a) Sa se verifice daca matricea operatorului este simetrica ın orice baza din R3;

(b) Sa se arate ca valorile proprii ale operatorului ϕ sunt reale.

3. Fie ϕ ∈ L(Cn) avand matricea ın baza canonica antisimetrica. Sa se verifice daca valorileproprii ale operatorului ϕ sunt toate reale.

4. Sa se arate ca pentru orice endomorfism ϕ : V → V , nucleul si imaginea sunt subspatiiinvariante ale lui V relativ la ϕ.

5. Sa se arate ca matricea transformarii liniare ϕ : R3 → R3, data de

ϕ(x1, x2, x3) = (−3x1 + 2x2,−5x1 + 4x2, 2x1 − 2x2 − x3),

poate fi adusa la forma diagonala fata de o baza din R3. Sa se precizeze aceasta baza,dar si forma diagonala a matricei operatorului ϕ ın aceasta baza.


ϕ(x1, x2, x3) = (2 x1, x1 + 4x2 − 2x3, 7x1 + 7x2 x2 − 5x3),

nu poate fi adusa la forma diagonala fata de o baza din R3.

7. Matricea nesingulara A ∈ Mn(R) are valorile proprii λi ∈ C, i = 1, 2, ..., n. Sa se aflevalorile proprii si sa se scrie polinomul caracteristic pentru matricea inversa A−1.

8. Matricea A ∈Mn(R) are valorile proprii λi ∈ C, i = 1, 2, ..., n. Sa se afle valorile propriisi sa se scrie polinomul caracteristic pentru matricea A2.

16

Seminar 171. Sa se arate ca matricea transformarii liniare ϕ : R3 → R3, data de

ϕ(x1, x2, x3) = (−3x1 + 2x2,−5x1 + 4x2, 2x1 − 2x2 − x3),



ϕ(x1, x2, x3) = (2 x1, x1 + 4x2 − 2x3, 7x1 + 7x2 x2 − 5x3),



ϕ(x1, x2, x3) = (−3x1 + 2x2,−5x1 + 4x2, 2x1 − 2x2 − x3),



ϕ(x1, x2, x3) = (2 x1, x1 + 4x2 − 2x3, 7x1 + 7x2 x2 − 5x3),


17

Seminar 181. Fie T : C[(0, 2π)]→ C[(0, 2π)], T (f) = g, g(x) =

∫ 2π

0[1 + sin(x− t)]f(t)dt, x ∈ [0, 2π]. Sa

se determine valorile si vectorii proprii.

2. Sa se reduca la forma canonica Jordan matricele:

(a)

1 −3 3−2 −6 13−1 −4 8

;

(b)

6 6 −151 5 −51 2 −2

;

(c)

0 1 0−4 4 0−2 1 2

.

3. Folosind produsele scalare canonice din spatiile euclidiene corespunzatoare, sa se calculueprodusele scalare si normele vectorilor

(a) x = (2, 3), y = (−6, 4);

(b) x = (1,−1, 2, 3), y = (1, 0, 2, 0,−4).

4. Sa se arate ca urmatoarele spatii liniare poate fi organizat ca spatii euclidiene:

(a) spatiul matricelor cu n linii si m coloane cu elemente reale;

(b) spatiul functiilor continue definite pe un interval compact cu valori reale.

Pot fi acestea organizate si ca spatii normate?

18

Seminar 191. Fie u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2,−3), u3 = (5,−4,−1). Sa se arate ca vectorii formeaza o

baza ortogonala a lui R3. Sa se determine coordonatele vectorului x = (1, 2, 3) ın raportcu aceasta baza.

2. Sa se calculeze distanta si unghiurile dintre vectorii

(a) u = (1, 2,−3, 0), v = (2, 4,−3, 1);

(b) f(t) = 2t− 1, g(t) = t2 + 1 pe C([0, 1]).

3. Sa se ortonormeze sisteme de vectori

(a) u1 = (1,−2, 2), u2 = (−1, 0,−1), u3 = (5, 3,−7);

(b) v1 = (7, 4, 3,−3), v2 = (1, 1,−6, 0), v3 = (5, 7, 7, 8), v4 = (2, 1, 3, 0).

4. Sa se gaseasca o baza ortonormata a subspatiului generat de vectorii v1 = (1, 2, 2,−1),v2 = (1, 1,−5, 3), v3 = (3, 2, 8,−7). Sa se completeze aceasta baza la o baza ortonormataa lui R4.

19

Seminar 201. Verificati daca F : R2 × R2, F ((x1, x2), (y1, y2)) = x1y2 − x2y1 este o forma bilininara

simetrica.

2. Sa se arate ca F : R3×R3 → R, F (x, y) = 2x1y1−5x1y2 +2x2y1−3x2y1−3x2y3 +4x3y2−x3y3 este o forma biliniara. Care este matricea lui F ın baza e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0),e3 = (1, 1, 1)? Este simetrica forma biliniara?

3. Fie forma biliniara F : R2 × R2 → R, F (x, y) = 3x1y1 + 2x1y2 − x2y2. Gasiti matriceleasociate lui F ın bazele e1 = (1, 1), e2 = (1, 0), respectiv e′1 = (1, 2), e′2 = (−1, 1). Cerelatie este ıntre cele doua matrice?

4. Fie a, b ∈ R, V spatiul polinoamelor de grad cel mult 2. Sa se verifice daca functia

F : V × V → R, F (f, g) =

∫ b

a

(

∫ b

a

f(s)ds)g(t)dt, ∀ f, g ∈ V,

este o functionala biliniara pe V .

Sa se determine matricea lui F ın bazele e1 = 1, e2 = t, e3 = t2, respectiv f1 = 1.f2 =t− 1, f3 = (t− 1)2.

5. Care este polara formei patratice Φ : R3 → R, Φ(x) = x21 − x22 + x1x2 + 3x2x3?

6. Sa se calculeze formele patratice asociate formelor biliniare:

(a) F : R2 × R2, F ((x1, x2), (y1, y2)) = x1y2 − x2y1;

(b) F : V × V → R, F (f, g) =∫ ba(∫ baf(s)ds)g(t)dt, ∀ f, g ∈ V , unde V = C[(0, 1)].

7. Fie Φ : R3 → R care ın caza canonica a lui R are expresia Φ(x) = 5x21+6x22+4x1x2−4x1x3.Sa se reduca la forma canonica folosind metoda lui Gauss si sa se deduca baza canonica.

8. Fie Φ : R3 → R care ın caza canonica a lui R are expresia Φ(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1. Sase reduca la forma canonica folosind metoda lui Gauss si sa se deduca baza canonica.

20

Seminar 211. Fie Φ : R3 → R care ın caza canonica a lui R are expresia Φ(x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 −

4x1x2− 4x1x3. Sa se reduca la forma canonica folosind metoda lui Jacobi si sa se deducabaza canonica.

2. Fie Φ : R3 → R care ın caza canonica a lui R are expresia Φ(x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 −4x1x2−4x1x3. Sa se reduca la forma canonica folosind metoda transformarilor ortogonalesi sa se deduca baza canonica.

3. Sa se indice care din urmatoarele forme patratice sunt pozitiv (semi)definite si care suntnegativ (semi)definite:

(a) Φ(x) = 2x21 + x22 − 4x1x2 − 4x2x3;

(b) Φ(x) = x21 + x22 + x23 + x1x2 + x2x3 + x3x1;

(c) Φ(x) = 4x1x2 − x23;(d) Φ(x) = 21x2 + 2x3x2;

(e) Φ(x) = x21 + x22 + 5x23 + 2x1x3 − 4x3x4.

21

suport de seminar- algebra liniar a anul ighiba/suporturi/seminar-algebra-liniara.pdf6.recapitularea...

Documents